高二数学专题(一)简化圆锥曲线运算的几种数学思想人教版
人教版A版高中数学高二选修2-1 第二章复习优化圆锥曲线运算的十种方法与技巧
优化椭圆运算的十种方法与技巧杨新兰河北省乐亭二中063600圆锥曲线是解析几何的重要组成部分，它涉及的知识深广，所用方法又灵活多变，因此是学习的重点和难点．由于圆锥曲线问题运算量大，很多问题可能会因冗长的运算、繁琐的推导而无法进行到底，最终只好望题兴叹．因此，在解题中，尽量减少运算则成为迅速、准确解题的关键．为此，本文介绍优化椭圆运算的几种方法与技巧，供读者参考．一、回归定义凡是涉及到椭圆焦点坐标、离心率、准线方程、焦半径等圆锥曲线问题，往往与定义有关，求解时回归定义是优化解题过程的途径之一．例1 已知椭圆42x +32y = 1，能否在此椭圆位于y 轴左侧的部分上找到一点M ，使它到左准线的距离为它到两焦点F 1、F 2距离的等比中项？解：由椭圆方程可知a = 1，b =3，并求得c = 1，离心率e =21，准线x = 4．设椭圆上y 轴左侧部分存在点M(x 0，y 0)()020＜x ≤-满足|MN|2=||1MF ·||2MF ， ① 则由椭圆第二定义，得4||01+x MF =21，024||x MF -=21， 因而由椭圆的焦半径公式知||1MF = a +e x 0= 2 +21x 0，||2MF = a －e x 0= 2－21x 0． 又|MN| =||1MF ·e 1= 2||1MF = 4 + x 0．将以上各式代入①中得：(4 + x 0)2= ( 2 +21x 0)( 2－21x 0)，整理得：5x 20 + 32 x 0+ 48 = 0，所以x 0=－512或x 0=－4，这与－2≤x 0＜0相矛盾，故不存在满足条件的点M ．二、整体运算圆锥曲线诸多问题，常归结为求某一个式子的值．此类问题，一般无需求该式中每一个字母的值，而只需对条件式进行运算，作为一个整体，直接求该式子的值．例2 求证：椭圆b 2x 2+ a 2y 2= a 2b 2 (a ＞b ＞0)的弦中点与椭圆中心连线的斜率(两斜率均存在时)与此弦的斜率之积为－22ab ．解：设弦两端点为A (x 1， y 1)，B(x 2， y 2)，中点为P ，则k OP =2121x x y y ++，k AB =1212x x y y --，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.,2222222222212212b a y a x b b a y a x b ⇒ b 2(x 2+ x 1)(x 2－x 1) + a 2(y 2+ y 1)(y 2－y 1) = 0 ⇒，2121x x y y ++·1212x x y y --=－22a b ，即k OP ·k AB =－22ab ． 三、运用曲线系方程对于曲线C 1：1f (x ，y) = 0，C 2：2f (x ，y) = 0，设它们有一交点A(x 0，y 0)，则有1f ( x 0，y 0) = 0，2f ( x 0，y 0) = 0，那么曲线系C ：1f (x ，y) +λ2f (x ，y) = 0 (λ为实数)一定过点A ，所以C 表示过曲线C 1、C 2交点的曲线系．因此，在处理有关二次曲线问题时，如果能把所求曲线归结为曲线系C ，然后由其它条件求得其中的参数，这样解题，可以简化运算，优化解题过程，将使一些问题得到巧妙的解决．例3 一椭圆长短轴平行于坐标轴，与直线 2x + y = 11 相切于点 P(4，3)，它还经过点Q(0，－1)，R(1，10+ 1 )，求椭圆方程．解：视点 P(4，3)为退化椭圆，其方程为 ( x －4)2+ n( y －3)2= 0 ，( n ＞0，n ≠1 )．由此所求椭圆长、短轴与坐标轴平行且与直线2x + y = 11 相切于点 P 的椭圆方程可设为：( x －4)2+ n( y －3)2+λ(2x + y －11) = 0 ． (1)将Q 、R 点坐标代入(1)式得 n =21，λ= 2 ．代入椭圆方程(1)得 2( x －2)2 +( y －1)2 = 12．即所求椭圆方程为6)2(2-x +12)1(2-y = 1．四、借用平面向量由于平面向量融数、形于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为中学数学知识的一个交汇点和联系多项内容的媒介．因此，用平面向量解决椭圆问题大大拓宽了解题思路与解题方法，使解题过程得到简化．例4 椭圆92x +42y = 1的焦点为F 1，F 2，点P 为椭圆上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，求点P 横坐标的取值范围．解：由题意，设三点坐标分别为：P(x 0，y 0)，F 1(－5，0) ，F 2(5，0)， 则−→−1PF = (－5－x 0，－y 0)，−→−2PF = (5－x 0，－y 0)．由∠F 1PF 2为钝角，得−→−1PF ·−→−2PF ＜0，即(－5－x 0)·(5－x 0) + y 20＜0． ⑴又点P(x 0，y 0)在椭圆上，所以920x +42y = 1． ⑵联合⑴、⑵不难求得－553＜x 0＜553．五、极端思想通过考察问题的极端元素，灵活地借助极限状态解题，则可以避开抽象及复杂运算，优化解题过程，降低解题难度．这是简化运算量的一条重要途径．例5 例6 一椭圆长短轴平行于坐标轴，与直线 2x + y = 11 相切于点 P(4，3)，它还经过点Q(0，－1)，R(1，10+ 1 )，求椭圆方程．解 视点 P(4，3)为退化椭圆，其方程为 ( x －4)2 + n( y －3)2 = 0 ，( n ＞ 0，n ≠1 )． 由此所求椭圆长、短轴与坐标轴平行且与直线2x + y = 11 相切于点 P 的椭圆方程可设为：( x －4)2 + n( y －3)2 +λ(2x + y －11) = 0 ． (1)将Q 、R 点坐标代入(1)式得 n =21，λ= 2 ．代入椭圆方程(1)得 2( x －2)2 +( y －1)2 = 12．即所求椭圆方程为6)2(2-x +12)1(2-y = 1 ．六、补集思想有些椭圆问题，从正面处理较难，常需分类讨论，运算量大，且讨论不全又容易出错．如用补集思想考虑其对立面，可以达到化繁为简的目的．例6 若椭圆22x + y 2= a 2 ( a ＞0 ) 与连结两点A( 1，2 )，B( 3，4 )的线段没有公共点，求a 的范围．此题若从正面解需分A 、B 两点都在椭圆外或都在椭圆内两种情况考虑，如果利用补集思想求解，则可以避免分情况讨论，运算简洁．解：设a 的允许值的集合为全集I = {a |a ∈R ，a ＞0 }，先求椭圆和线段AB 有公共点时a 的取值范围．易得线段AB 的方程是y = x + 1，x ∈[1，3] ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==+.1,2222x y a y x ⇒ a 2=23x 2+ 2x + 1 ，x ∈[1，3] ，并求得：29≤a 2≤241． ∵ a ＞0，∴223≤a ≤282． 故当椭圆与线段AB 无公共点时 a ＞282 或 0＜a ＜223． 七、整体思想对有些椭圆问题，注意其整体结构特点，设法将问题整体变形转化，以达到避免一些不必要的运算，降低解题难度．例7 从椭圆32x +22y = 1外一点p(2，4)作椭圆的切线，求两切线的夹角．解：由椭圆的切线方程y = kx ±222b k a +知两切线的方程为：y = kx ±232+k ．又切线过点p(2，4)，所以 4 = 2x ±232+k ，整理得，k 2－16k + 14 = 0． ∴ k 1+ k 2= 16，k 1·k 2= 14．∴ tan θ= |21211k k k k +-| =|1|4)(2121221k k k k k k +-+=|141144162+⨯-=322．∴两切线的夹角θ= arctan 322． 八、方程思想把解析几何问题中的解析式看作一个方程，通过解方程的手段或对方程的研究，使问题得到解决，这种思想方法在解析几何试题中经常使用．例8 已知椭圆22a x +22by = 1 (a ＞b ＞0)，A 、B 是椭圆上两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点p(x 0，0)，求证：－a b a 22-＜x 0＜ab a 22-．证明：若AB 的中点为M ，AB 的垂直平分线为l ：y = k(x －x 0)．① 由于l 与x 轴相交，因此k ≠0，故k AB =－k1． 又因为k OM ·(－k 1) =－22a b ，所以k OM =22akb ，OM 所在直线方程为y =22a kb x ，代入①，得22akb x = k(x －x 0)．因此所证明的结论变为方程的解在椭圆内的取值范围问题．故由上述方程解得x =222ba a -x 0．(x 为点M 的横坐标) 但点M 在椭圆22a x +22b y = 1内部，即－a ＜222b a a -x 0＜a ，解得－a b a 22-＜x 0＜ab a 22-．评析：用方程思想解决某些范围问题特别简单，容易寻找问题的突破口． 九、参数思想处理椭圆问题，可以通过引入参变量替换，使许多相关或不相关的量统一在参变量下，其妙处在于减少未知量的个数或转化原命题的结构，以达到简化解题过程的目的．例8 已知椭圆22a x +22b y = 1 (a ＞b ＞0)，A 、B 是椭圆上两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点p(x 0，0)，求证：－a b a 22-＜x 0＜ab a 22-．证明：设A(acos θ1，b sin θ1)，B(acos θ2，b sin θ2)，由|PA|2= |PB|2可得： (x 0－acos θ1)2+ b 2sin 2θ1= (x 0－acos θ2)2+ b 2sin 2θ2，∴ (a 2－b 2)( cos 2θ1－cos 2θ2) = 2a x 0( cos θ1－cos θ2)．∵AB 的垂直平分线与x 轴相交，故AB 与y 轴不平行，即cos θ1≠cos θ2，所以有：－2＜cos θ1+ cos θ2＜2 ．∴(a 2－b 2)( cos θ1+ cos θ2) = 2a x 0，即－2 (a 2－b 2)＜2a x 0＜2 (a 2－b 2)，故－a b a 22-＜x 0＜ab a 22-．十、转化思想数学问题的求解过程，实际上就是问题的转化过程．它主要体现在条件由“隐”转化为“显”，结论由“暗”转化为“明”，即从陌生向熟悉、复杂向简单、间接向直接的过程．例9 当a 为何实数时，椭圆2)(2a x -+ y 2= 1与曲线C ：y 2=21x 有公共点？解：椭圆方程变形为：2)2(a x -+ y 2= 1．设2a x -= cos θ，y = sin θ ，即x = a +2cos θ，y = sin θ 代入曲线C 得：sin 2θ=21(a +2cos θ)，即a = 2sin 2θ－2cos θ ⑴ ．椭圆与曲线C 有交点，等价于方程⑴有解，即等价于函数 y =2sin 2θ－2cos θ 的值域．∴ a = 2sin 2θ－2cos θ =49－2(cos θ +42)2，∵－2≤49－2(cos θ +42)2≤49，∴a 的取值范围是[－2，49]．。
高二数学专题(一)简化圆锥曲线运算的几种数学思想人教版知识精讲
a2
3. 解：视点 P（ 4， 3）为退化椭圆，其方程为 (x 4) 2 n( y 3)2 0 （ n 0, n 1 ）
由此所求椭圆长、短轴与坐标轴平行且与直线
2x y 11 相切于点 P 的椭圆方程可设
为：
( x 4)2 n( y 3) 2
(2x y 11) 0 （ 1）
将 Q、 R 点坐标代入（ 1）式得： n 1 , 2
于是，所求圆的方程为： ( x 1) 2 ( y 1) 2 2 或 ( x 1)2 ( y 1) 2 2
【模拟试题】（答题时间： 60 分钟）
x2
1. 已知椭圆
y2
1 ，能否在此椭圆位于 y 轴左侧的部分上找到一点
M ，使它到左
43
准线的距离为它到两焦点 F1、 F2 距离的等比中项？
2. 求证：椭圆 b 2 x 2 a 2 y 2 a 2b 2( a b 0) 的弦中点与椭圆中心连线的斜率（两斜率
，即 t
( 2 1) t
2 1时， d 达到最小值。此时可求得
a b 1或 a b 1
由于 r 2 2b 2 ，故 r
2 。于是所求圆的方程是：
2
2
2
2
( x 1) ( y 1) 2 或 (x 1) ( y 1) 2
转化 2： 三角代换求最值
令 2b sec , a tan ,0
2，
a 2b 则d
2 sin
所以 a
因为
2 sin 2 9
2 4
9 2 cos
4
2(cos
2 )2 4
2(cos
2 )2
4
9 ，所以 a 的取值范围是 [ 4
9 2, ]
4
人教版A版高中数学高二选修2-1 第二章复习例谈圆锥曲线中的数学思想
例谈圆锥曲线中的数学思想山东省枣庄市第二中学（邮编:277400） 赵钦荣数学思想方法是数学的灵魂，它始终伴随在数学学习和研究的过程中，蕴涵在每一个知识板块中，学习数学就是要学习数学的解题思想以及解题方法。
圆锥曲线是解析几何的核心内容，在圆锥曲线的学习中主要有以下数学思想方法值得我们注意。
一、数形结合思想数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。
例1. 直线L 的方程为：x ＝－p 2 (p>0),椭圆中心D(2＋p 2,0)，焦点在x 轴上，长半轴为2，短半轴为1，它的左顶点为A 。
问p 在什么范围内取值，椭圆上有四个不同的点，它们中每一个点到点A 的距离等于该点到直线L 的距离？【分析】 由抛物线定义，可将问题转化成：p 为何值时，以A 为焦点、L 为准线的抛物线与椭圆有四个交点，再联立方程组转化成代数问题（研究方程组解的情况）。
【解】 由已知得：a ＝2，b ＝1, A(p 2,0)，设椭圆与双曲线方程并联立有： y pxx p y 22222241=-++=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪[()]，消y 得：x 2－(4－7p)x ＋(2p ＋p 24)＝0 所以△＝16－64p ＋48p 2>0,即6p 2－8p ＋2>0，解得：p<13或p>1。
结合范围(p 2,4+p 2)内两根，设f(x)＝x 2－(4－7p)x ＋(2p ＋p 24)， 则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+>+<-<>0)24(0)2(2427420p f p f p p p p 2100821210<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<∈<<->⇒p p p R p p p 或，结合上面的p<13或p>1，有0<p<31. 结合以上，满足题意的p 的范围是0<p<31. 【注】本题利用方程的曲线将曲线有交点的几何问题转化为方程有实解的代数问题。
圆锥曲线运算的几种数学思想
专题：简化圆锥曲线运算的几种数学思想（一）极端思想通过考察圆锥曲线问题的极端元素，灵活地借助极限状态解题，则可以避开抽象及复杂运算，优化解题过程，降低解题难度。
这是简化运算量的一条重要途径。
[例1] 求已知离心率52=e ，过点（1，0）且与直线l ：032=+-y x 相切于点（35,32-），长轴平行于y 轴的椭圆方程。
解：把点（35,32-）看作离心率52=e 的椭圆0)35(51)32(22=-++y x （“点椭圆”），则与直线l ：032=+-y x 相切于该点的椭圆系即为过直线l 与“点椭圆”的公共点的椭圆系方程为：0)32()35(51)32(22=+-+-++y x y x λ又由于所求的椭圆过点（1，0），代入上式得，32-=λ因此，所求椭圆方程为：1522=+y x（二）补集思想有些圆锥曲线问题，从正面处理较难，常需分类讨论，运算量大，且讨论不全又容易出错，如用补集思想考虑其对立面，可以达到化繁为简的目的。
[例2] k 为何值时，直线l ：)1(1-=-x k y 不能垂直平分抛物线x y =2的某弦。
解：设}|{R k k I ∈=，|{k A =直线l 垂直平分抛物线x y =2的某弦}。
若直线l 垂直平分抛物线的弦AB ，且A ),(11y x ，B ),(22y x ，则121x y =，222x y =上述两式相减得：212121))((x x y y y y -=+-即21212111y y x x y y k +=--=-又设M 是弦AB 的中点，且),(00y x M ，则22210ky y y -=+=因为点M 在直线l 上，所以k x 1210-=由于M 在抛物线的内部，所以020x y <，即042121)2(32<+-⇒-<-k k k k k 020)22)(2(2<<-⇒<+-+⇒k k k k k故原命题中k 的取值范围是2-≤k 或0≥k（三）整体思想对有些圆锥曲线问题，注意其整体结构特点，设法将问题整体变形转化，以达到避免一些不必要的运算，降低解题难度。
例说巧用数学思想解决圆锥曲线综合问题
槡［（ｘ１ ＋ｘ２）２ －４ｘ１ｘ２］，化 简 方 程 可 得 槡ａ＋ｂ －ａｂ／（ａ ＋ｂ）＝１，由于题目 明 确 表 示 ＯＣ 的 斜 率 为槡２／２，及 ａ／ｂ ＝
槡２／２，将该等式关系代入 槡ａ＋ｂ －ａｂ／（ａ ＋ｂ）＝ １ 中 可 得
点 分别为Ａ 点和Ｂ 点，且ＡＢ 的中点为Ｃ，若｜ＡＢ｜＝２ 槡２，且
ＯＣ 的斜率为槡２／２，求该椭圆的方程”这一 数 学 题 目 时，便 可
以引导学生合理地应用方程思想来解决，先 从 该 数 学 题 目 中 找 出不同变量之间的等式关系，将ａｘ２＋ｂｙ２ ＝１与ｘ＋ｙ－１ ＝ ０联立可得出方程式（ａ＋ｂ）ｘ２ －２ｂｘ＋ｂ－１＝０，由于题
关 键 词 ：数 学 思 想 ；圆 锥 曲 线 问 题 ；应 用 策 略
对于高中阶段的学生而言，数学思想 的 培 养 是 该 阶 段 数 学教师的重要教学任务，如何帮助学生熟 练 地 掌 握 不 同 的 数 学思想来解决相应的数学问题是数学教师在课堂教学活动 中的主要教学目标，接下来笔者以圆锥曲 线 这 一 课 程 内 容 为 主体，对一些常见数 学 思 想 的 应 用 展 开 详 细 的 论 述，希 望 这 些意见和 建 议 可 以 对 相 关 教 师 提 供 一 些 新 的 教 学 思 路 和 方向。 一 、方 程 思 想
周刊
例说巧用数学思想解决圆锥曲线综合问题
丁立新
摘 要：圆锥曲线是高中数学课程内容中的重点，同时也是难点，学生在解决圆锥 曲 线 相 关 的 数 学 问 题 时，常 常 会 找 不 到 突 破点而难以在较短的时间内解出正确的答案 。针对这种情况，教师可以培养学生对于 数 学 思 想 的 认 知 和 应 用，在 遇 到 难 度 较 高 的圆锥曲线问题时 ，巧妙地运用数 学 思 想 对 其 进 行 快 速 地 解 决，提 高 解 题 效 率，这 也 是 笔 者 将 要 与 大 家 进 行 重 点 探 究 的 核 心 内容。
例说巧用数学思想解决圆锥曲线综合问题
例说巧用数学思想解决圆锥曲线综合问题数学是一门独特而美妙的学科，它不仅能够解决实际问题，还能够培养我们的逻辑思维能力和抽象思维能力。
在数学中，圆锥曲线是一类经典的曲线，包括椭圆、抛物线和双曲线。
在本文中，我们将讨论如何巧用数学思想解决圆锥曲线综合问题。
让我们来看一个典型的圆锥曲线问题：已知一条直线和一个焦点，如何确定一个椭圆，使得这条直线经过椭圆的两个焦点？解决这个问题的关键在于利用椭圆的几何定义和焦点的性质。
根据定义，椭圆是一条平面上的闭合曲线，其到两个焦点的距离之和为常数。
我们可以先确定椭圆的长轴和短轴的长度，然后利用这些信息来确定椭圆的位置。
假设直线与两个焦点的距离分别为d1和d2，且椭圆的长轴为a，短轴为b。
根据椭圆的几何定义，我们可以得到以下两个方程：(d1 + d2)/2 = a(d1 - d2)/2 = b通过解这个方程组，我们可以得到椭圆的长轴和短轴的长度。
然后，我们可以利用这些信息确定椭圆的位置。
在解圆锥曲线问题时，数学还能帮助我们简化问题、优化算法和找到突破口。
在解决椭圆问题时，我们可以将其转化为一个代数方程求解问题。
具体来说，我们可以构造一个关于椭圆的方程后，利用代数方法求解该方程。
这样一来，我们就能够利用代数的工具和技巧解决问题，而无需画图和几何概念。
数学还能够帮助我们理解圆锥曲线的性质和特点。
通过分析曲线的方程和参数，我们可以研究曲线的对称性、焦点位置、渐近线等特点，并利用这些特点解决问题。
在解决抛物线问题时，我们可以利用抛物线的焦点和准线的性质，将问题转化为一个求最值的问题，然后利用数学分析方法求解。
数学还能帮助我们验证和验证答案。
在解决圆锥曲线问题时，我们通常会得到一个代数方程的解。
为了验证这个解是否正确，我们可以将解代入原方程中，然后检查是否满足等式。
如果等式成立，那么我们的解是正确的；如果等式不成立，那么我们需要重新检查计算过程。
巧用数学思想可以帮助我们解决圆锥曲线综合问题。
2020-2021年高二数学圆锥曲线基础知识梳理 人教版
2019-2020年高二数学圆锥曲线基础知识梳理人教版一、复习目标1、掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及其几何性质，理解椭圆的参数方程。
2、了解圆锥曲线的简单应用。
二、要点精讲1、圆锥曲线的统一性（1）从方程的形式看，在直角坐标系中，椭圆、双曲线和抛线这三种曲线的方程都是二元二次的，所以也叫二次曲线。
（2）从点的集合（或轨迹）的观点看，它们都是与定点和定直线距离的比是常数e 的点的集合（或轨迹），这个定点是它们的焦点，定直线是它们的准线，只是由于离心率e 取值范围的不同，而分为椭圆、双曲线和抛物线三种曲线。
（3）这三种曲线都可以是由平面截圆锥面得到的截线，因而才称之为圆锥曲线。
（4）圆锥曲线第二定义把“曲线上的点M”、“焦点F”、“相应准线l”和“离心率e”四者巧妙地联系起来，所以在圆锥曲线的问题中，凡与准线、离心率、焦点有关的问题应充分利用第二定义。
2、双曲线与椭圆的联系与区别（1）双曲线和椭圆的标准方程知识结构相似：①方程形式相似：只一号之别（椭圆是“+”、双曲线是“－”）；②对称性相同：都关于x 轴、y轴、原点对称。
（2）双曲线和椭圆也有明显区别：①双曲线和椭圆的形状是不一样的，双曲线是两条曲线，而椭圆是一条封闭的曲线；②双曲线有两条渐近线，而椭圆没有渐近线；③双曲线有两顶点，离心率 e＞1，准线在两顶点之间；而椭圆有四个顶点，离心率0＜e＜1，准线在两顶点之外。
3、焦半径圆锥曲线上一点与其焦点的连线段称为这一点的焦半径，下面是用的较多的焦半径公式：（1）对于椭圆()而言，|PF1|=+ex0，|PF2|=－ex0.（2）对于双曲线（）而言，若点p在右半支上，则|PF1|=+ex0；若点p在左半支上，则|PF1|=－(ex0+), |PF2|=－(ex0－)。
（3）对于抛物线y2=2px(p>0)而言，|PF |=x0+.以上各式中，P(x0 ,y0)是曲线上的一点，F1、F2分别是椭圆、双曲线的左、右焦点，F 是抛物线的焦点，在这里特别强调的是，由于曲线方程的不同，焦半径公式也各不相同。
人教版A版高中数学高二选修2-1 第二章复习圆锥曲线中的数学思想
圆锥曲线中的数学思想山东 秦振数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学知识的精髓，是将知识转化为能力的桥梁。
解决圆锥曲线问题经常用到各种基本数学思想，掌握这些数学思想有利于提高我们分析问题和解决问题的能力。
下面介绍数学思想在圆锥曲线中的应用，供大家参考。
一、函数思想利用函数的有关性质，解决圆锥曲线的有关问题。
即以运动和变化的观点，分析圆锥曲线问题的数量关系，建立函数关系，运用函数的图象和性质求解，从而使问题获得解决。
例1 如图1所示，曲边梯形由曲线21y x =+及直线0y =，x=1，x =2所围成，试问通过曲线21y x =+，[]12x ∈，上的哪一点作切线，能使此切线从曲边梯形上切出一个最大面积的普通梯形。
分析 先求出适合条件[]12x ∈，的一条切线方程，再求出这条切线与直线x=1，x =2的交点坐标，根据梯形面积公式列出函数关系式，再求最值。
解 设[]012x ∈，，点()2001x x +，为曲线21y x =+上一点，过这点的切线的斜率是002y x '=，故切线方程是20021y x x x =-+①。
切线①与x=1，的交点纵坐标是210021y x x =-+，与x =2的交点的纵坐标是22041y x x =-+。
所以切线①在曲边梯形上切出梯形的中位线长21200312y y x x +=-+，梯形的高为1。
故普通梯形的面积20031S x x =-+2031324x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭。
当032x =时，S 最大。
故过点31324⎛⎫ ⎪⎝⎭，作切线能切出最大面积的普通梯形。
评注 在解圆锥曲线中的最值或次数的取值范围问题时，通常转化为函数问题，结合具体的函数性质求解，这样可以使问题化难为易，化繁为简，是一个重要的解题策略。
如果函数解析式中含有参数，一般要根据定义域和参数的特点分类讨论。
二、方程思想圆锥曲线问题，大部分题目都以二元二次方程形式给出的，因此，根据题目中的其它数量关系再列出方程与原方程联立，并运用方程（组）的有关性质求解，从而简化解题过程，减少运算量。
人教版高中数学选修1-1第二章2.2圆锥曲线知识点总结
2 G 圆锥曲线知识点小结圆锥曲线在高考中的地位：圆锥曲线在高考数学中占有十分重要的地位，是高考的重点、热点和难点。
通过以圆锥曲线为载体，与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合，结合数学思想方法，并与高等数学基础知识融为一体，考查学生的数学思维能力及创新能力，其设问形式新颖、有趣、综合性很强。
(1).重视圆锥曲线的标准方程和几何性质与平面向量的巧妙结合。
(2).重视圆锥曲线性质与数列的有机结合。
(3).重视解析几何与立体几何的有机结合。
高考再现：2011年（文22）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+y2= 1.如图所示，斜率为k（k＞0）且不过原点的直线l交椭圆C于A、B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线x=-3于点D（-3，m）.（1）求m2+k2的最小值；（2）若∣OG∣=∣OD∣·∣OE∣,①求证：直线l过定点；②试问点B、能否关于x轴对称？若能，求出此时△ABG的外接圆方程；若不能，请说明理由.（理22）已知动直线l与椭圆C：+=1相交于P（x，y），Q（x，112y△2）两个不同点，且OPQ的面积△SOPQ=，其中O为坐标原点．（1）证明：+ 和 + 均为定值；（2）设线段 PQ 的中点为 M ，求∣OM ∣·∣PQ∣的最大值；（3）椭圆 C 上是否存在三点 D,E,G ，使得 △S OD E= △S OD G= S △OEG= ？若存在，判断△DEG 的形状；若不存在，请说明理由．(2009 年山东卷)设 m ∈R,在平面直角坐标系中,已知向量 a =(mx,y+1),向量 b =(x,y-1),a⊥b ,动点 M(x,y)的轨迹为 E.（1）求轨迹 E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;（2）已知 m=1/4,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨 迹 E 恒有两个交点 A,B,且 OA⊥OB(O 为坐标原点),并求出该圆的方程;(3)已知 m=1/4,设直线 l 与圆 C:x 2+y 2=R 2(1<R<2)相切于 A ,且 l 与轨迹 E 只有1一个公共点 B ,当 R 为何值时,|A B |取得最大值?并求最大值.11 1一.圆锥曲线的定义：椭圆：平面内与两个定点的距离之和等于定长（大于 ）的点的轨迹叫做椭圆。
浅谈解决圆锥曲线问题的几种方法
浅谈解决圆锥曲线问题的几种方法圆锥曲线是数学中的一个重要概念，它包括椭圆、双曲线和抛物线。
解决圆锥曲线问题的方法有很多种，下面将对其中的几种常用方法进行浅谈。
一、几何法几何法是最直观的解决圆锥曲线问题的方法之一。
通过画图、几何推理等方法，可以找到圆锥曲线的性质和特点，从而解决问题。
对于椭圆，可以通过绘制几个焦点和几个点，找到它的长短轴、离心率等特征；对于抛物线，可以通过绘制几个焦点和几个点，找到它的焦点坐标、对称轴等特征。
几何法的优点是直观易懂，可以帮助我们更好地理解圆锥曲线的性质，但是在解决复杂问题时可能不够高效。
二、代数法代数法是解决圆锥曲线问题的一种常用方法。
它通过建立相关方程，并运用代数工具来研究和解决问题。
代数方法可以通过变量的具体取值来求解未知数，可以精确地描述圆锥曲线的性质和特点。
对于椭圆，可以通过椭圆的标准方程来求解椭圆的焦点坐标、离心率等特征；对于双曲线，可以通过双曲线的标准方程来求解双曲线的焦点坐标、离心率等特征。
代数法的优点是精确性高，可以进行复杂计算，但是需要掌握一定的代数知识和技巧。
三、参数法参数法是解决圆锥曲线问题的一种特殊方法。
它通过引入参数，将圆锥曲线的方程转化为参数方程，从而简化问题的求解过程。
参数法可以将复杂的曲线问题转化为常规的直线或简单的函数关系的求解问题，能够帮助我们更好地理解和掌握圆锥曲线的性质。
对于椭圆，可以引入参数来将其转化为单位圆的参数方程，从而简化问题的求解过程；对于双曲线，可以引入参数来将其转化为双曲线的标准参数方程，从而简化问题的求解过程。
参数法的优点是简化问题、减少计算量，但是需要掌握参数方程的求解方法和技巧。
四、向量法向量法是解决圆锥曲线问题的一种常用方法。
它通过引入向量的概念和运算，将曲线的运动和性质转化为向量的运算问题，从而求解曲线的方程和特征。
向量法可以通过线性代数的知识来分析和解决问题，可以从向量的几何特征出发，发现和掌握曲线的几何性质。
高中数学圆锥曲线解题思路
高中数学圆锥曲线解题思路
一、基本方法
1、待定系数法，基本量，求直线方程中的参数，求曲线方程中的a、b、c、
e、p。
2、齐次方程法，比值问题，解决离心率渐近线夹角等比值问题。
3、韦达定理法，直线和曲线的相交问题。
对交点设而不求，勇韦达定理实现转化，如果根很容易求得，需要直接求根。
4、点差法，弦中点问题，对端点设而不求。
也叫五条等式法，点满足方程2个，中点公式2个，斜率公式1个。
5、距离转化法，将斜线上的长度问题，比例问题，向量问题，转化为直线上的问题。
二、基本思想
1、常规求值需要找等式，求范围找不等式。
2、是否存在”当存在解决不存在的自然无解。
3、过“定点”“定值”先设参变量，然后说明和变量无关。
定点问题：常把参数的齐次项放在一起，令=0。
或者特殊值探解。
定值问题：把变动的参数表示出来，然后证明和参数无关，或者特殊求值，在进行一般证明。
最值问题：几何法，二次配方法，三角代换法，均值不等式，切线方法
4、有些题思路易成，但是难以实施，需要优化方法，才具有可行性，积累经验。
5、大部分题目只要忠诚的准确的将条件表达出来，一般都会产生思路。
三、解题套路
1、一化（点，直线，曲线化成代数式）
2、二代（点代入线，点代入曲线）
3、图形特点的代数化
4、解方程组出答案。
高二数学解圆锥曲线问题常用方法汇总
⾼⼆数学解圆锥曲线问题常⽤⽅法汇总解圆锥曲线问题常⽤⽅法汇总【学习要点】解圆锥曲线问题常⽤以下⽅法： 1、定义法（1）椭圆有两种定义。
第⼀定义中，r 1+r 2=2a 。
第⼆定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。
（2）双曲线有两种定义。
第⼀定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最⼩值为c-a ：第⼆定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第⼆定义的应⽤，常常将半径与“点到准线距离”互相转化。
（3）抛物线只有⼀种定义，⽽此定义的作⽤较椭圆、双曲线更⼤，很多抛物线问题⽤定义解决更直接简明。
2、韦达定理法因直线的⽅程是⼀次的，圆锥曲线的⽅程是⼆次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为⽅程组关系问题，最终转化为⼀元⼆次⽅程问题，故⽤韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点⽅法之⼀，尤其是弦中点问题，弦长问题，可⽤韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作⽤。
3、设⽽不求法解析⼏何的运算中，常设⼀些量⽽并不解解出这些量，利⽤这些量过渡使问题得以解决，这种⽅法称为“设⽽不求法”。
设⽽不求法对于直线与圆锥曲线相交⽽产⽣的弦中点问题，常⽤“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代⼊圆锥曲线⽅程，作差后，产⽣弦中点与弦斜率的关系，这是⼀种常见的“设⽽不求”法，具体有：（1）)0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02020=+k b y a x 。
（2）)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02020=-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 4、数形结合法解析⼏何是代数与⼏何的⼀种统⼀，常要将代数的运算推理与⼏何的论证说明结合起来考虑问题，在解题时要充分利⽤代数运算的严密性与⼏何论证的直观性，尤其是将某些代数式⼦利⽤其结构特征，想象为某些图形的⼏何意义⽽构图，⽤图形的性质来说明代数性质。
高二数学第八章圆锥曲线方程教材分析 新课标 人教版 教案
高二数学第八章圆锥曲线方程教材分析本章是在学生学习了直线和圆的方程的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线。
这一章主要学习椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程、简单几何性质以及它们的简单应用6个小节，教学时间约为18课时，各小节的教学时间分配如下：8．1椭圆及其标准方程 3课时8．2椭圆的简单几何性质 4课时8．3双曲线及其标准方程 2课时8．4双曲线的简单几何性质 3课时8．5抛物线及其标准方程 2课时8．6抛物线的简单几何性质 2课时小结与复习 2课时一、内容与要求(一)本章的教学内容圆锥曲线这一章研究的对象是图形，包括三种曲线：椭圆、双曲线、抛物线，使用的方法是代数方法，它的基础是第七章学过的曲线和方程的概念我们知道，曲线可以看成是符合某种条件的点的轨迹，在解析几何里用坐标法研究曲线的一般程序是：建立适当的坐标系；求出曲线的方程；利用方程讨论曲线的几何性质；说明这些性质在实际中的应用在第七草里学生已经初步学习了这种方法，不过，“圆锥曲线”这一章中，这种研究曲线的方法和过程以及它的优势体现得最突出所以，“圆锥曲线”一直是解析几何的重点内容，特别是在对学生掌握坐标法的训练方面有着不可替代的作用本章研究的椭圆、双曲线、抛物线的方程，主要是它们在直角坐标系中的标准方程，所谓标准方程就是曲线在标准位置时的方程，即曲线的中心或顶点在坐标原点，对称轴在坐标轴上时的方程，通过对这种方程的讨论得到的曲线的性质，可以利用平移图形推广到曲线的其他位置上去，所以，曲线的标准方程及它们在标准位置上的性质是本章的重点(二)教学要求本章的教学要求归纳起来有以下几点：1．掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和几何性质；2．能够根据条件利用工具画圆锥曲线的图形，并了解圆锥曲线的初步应用；3．进一步掌握坐标方法；4．结合本章内容的教学，使学生进一步领会运动变化、对立统一的观点解析几何是用代数的方法解决几何问题，体现了形数结合的思想，因而这一部分的题目的综合性比较强，它要求学生既能分析图形，又能灵活地进行各种代数式和三角函数式的变形，这对学生能力的要求较高坐标方法是要求学生掌握的，但是，作为普通高中的必修课的教学要求不能过高，只能以绝大多数学生所能达到的程度为标准二、本章的主要特点(一)突出重点1．突出重点内容本章所研究的三种圆锥曲线，都是重要的曲线因为对这几种曲线研究的问题基本一致，方法相同，所以教材对这三种曲线没有平均使用时间和力量，而是把重点放在椭圆上通过求椭圆的标准方程，使学生掌握列这一类轨迹方程的一般规律，化简的常用办法这样，在求双曲线、抛物线方程的时候，学生就可以独立地，或在教师的指导下比较顺利地完成在讨论椭圆的几何性质时，教材以椭圆为例详细地说明了在解析几何中讨论曲线几何性质的一般程序，以及怎样利用方程研究曲线的X围、对称性，怎样确定曲线上的点的位置等，这样，学生在学习双曲线和抛物线时，就可以练习使用这些方法，从而在掌握解析几何基本方法上得到锻炼和提高在讨论曲线的几何性质时，不求全，有选择地介绍主要性质以便学生集中精力掌握圆锥曲线的最基本的性质2．突出坐标方法要重视数学思想方法的教学，结合教学内容，把反映出来的数学思想方法的教学，作为高中数学教学的一项重要任务来完成根据圆锥曲线这部分内容的特点，在这一章里把训练学生掌握坐标法作为这一章数学方法教学的重点例如教材在第8.6节中选择了一个求正三角形边长的例题，解这个题目时，首先要证明正三角形的对称轴就是抛物线的对称轴，这是用方程证明图形性质的问题，并且是比较典型的(二)注意内容的整体性和训练的阶段性高中数学教材是一个整体，各部分知识和技能之间是有机联系着的，特别是教材采用了“混编”的形式，将代数、立体几何、解析几何合成统一的高中数学，这就更需要加强各章之间的联系，互相配合，发挥整体的效益(三)注意调动学生学习的主动性教材是为教学服务的，归根结底是为学生服务的学生是学习的主人，只有他们有主动性，才能达到学会学好的目的目前，高中学生被动学习的现象比较突出，在调动学生学习的主动性方面，注意交代知识的来龙去脉，教给学生解决问题的思路例如，在讲椭圆的几何性质时，由于这是第一次出现，所以教材增加了一些说明性的文字，首先说明解析几何里讨论曲线性质时，通常要讨论哪些性质，然后说明用方程讨论这些性质时的一般方法，这就使学生知道为什么学习，怎样去学习，学习就会变得主动又如，学生学习中遇到的另一个问题是不会分析问题，遇到问题不知从什么地方入手，只好被动地听讲教材注意提高例题的质量，在一些例题中给出了分析或小结(例题解后的注)，通过对一些典型例题的分析，使学生学会分析解题思路,找出问题的关键，减少解题的盲目性；通过小结，指出解决问题的一般规律，提高学生解决问题的能力，提高学习效率三、教学中应注意的问题(一)注意准确地把握教学要求准确地把握教学要求包括两个方面，第一是把握好大纲的精神，第二是学生的实际根据大纲的精神，圆锥曲线部分是属于控制教学要求的内容，但目前由于考试的影响，这一部分教学的要求比较高，题目的难度很大如何控制教学要求是个难点高中的教学时间有限，作为全体学生都必须掌握的必修课程，应以最基础的知识和最基本的技能、能力为主，要使学生切实把基础打好不要过分重视技巧性很强的难题从学生的学习规律来说，训练不能一次完成，要循序渐进，打好基础才能有较大的发展余地，急于求成是不可取的；学生的基础、兴趣、志向都是不同的，要根据学生的实际提出恰当的教学要求，这样学生才有学习的积极性，才能使学生达到预定的教学要求(二)注意形数结合的教学解析几何的特点就是形数结合，而形数结合的思想是一种重要的数学思想，是教学大纲中要求学生学习的内容之一，所以在这一章的教学过程中，要时刻注意这种数学思想的教学，并注意以下几点：1．注意训练学生将几何图形的特征，用数或式表达出来，反过来，要使他们能根据点的坐标或曲线的方程，确定点的位置或曲线的性质，使学生能比较顺利地将形的问题转化为数或式的问题，将数或式的问题转化为形的问题。
浅谈解决圆锥曲线问题的几种方法
浅谈解决圆锥曲线问题的几种方法圆锥曲线问题是高中数学中比较重要的一种问题。
解决圆锥曲线问题需要掌握一定的数学知识和技巧。
本文将从几种不同的角度介绍解决圆锥曲线问题的几种方法。
一、代数法代数法是解决圆锥曲线问题较为基础的一种方法。
对于给定的圆锥曲线，我们可以采用代数方式将其表示出来，然后通过对代数式进行化简、拆分等运算来求解问题。
以椭圆为例，设椭圆的方程为：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$其中，a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴。
若已知椭圆的长半轴和短半轴分别为5和3，求椭圆的周长和面积。
解题思路：首先，根据椭圆的方程，可以得到：周长：$C=4aE(\frac{b^2}{a^2})$面积：$S=\pi ab$其中，E是椭圆的第二类完全椭圆积分。
代入已知数据，可以得到：周长：$C=4\times 5E(\frac{9}{25})\approx 20.0124$面积：$S=\pi\times 5\times 3\approx 47.1239$二、几何法解题思路：首先，根据双曲线的性质，可以得到：离心率：$e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$其次，根据题意，双曲线的长轴长度为6，所以有：$2a=6$即：$a=3$又因为焦点为(-3,0)，(3,0)，所以有：$2c=6$即：$c=3$将已知数据代入公式，可以得到：$b^2=c^2-a^2=9-9=0$所以：离心率：$e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1+0}=1$三、投影法以抛物线为例，设抛物线的方程为：$y^2=4px$其中，p为抛物线焦点到抛物线的顶点的距离。
若已知抛物线焦点为(0,2)，顶点为(0,0)，求抛物线的焦距和面积。
其次，根据题意，抛物线的焦点为(0,2)，顶点为(0,0)，所以有：$p=2$四、向量法以圆为例，设圆的方程为：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$其中，(a,b)为圆心坐标，r为圆的半径。
数学思想在解答圆锥曲线问题中的应用
备考指南圆锥曲线问题具有较强的综合性，通常会综合考查圆锥曲线的定义、性质，平面几何图形的性质、定理，向量的坐标运算法则，方程的判别式、韦达定理，函数的图象、性质.在解答圆锥曲线问题时，可灵活运用一些数学思想，如数形结合思想、函数思想、转化思想、方程思想等来辅助解题，这样有利于提升解题的效率.一、数形结合思想数形结合思想是指根据数与形之间的等价关系来进行互化，从而使问题获解.数形结合思想是解答圆锥曲线问题的重要思想.我们知道，每一种圆锥曲线都有与其对应的方程和图形，因此在解答圆锥曲线问题时，可以根据解题需求，由圆锥曲线的方程画出图形，化数为形；由圆锥曲线列出方程，以形助数，将问题转化为方程问题或者图形的位置关系、性质问题来求解.例1.如图1，已知圆O ：x 2+y 2=1与坐标轴的交点分别为A ，B ，C ，D ，设点P 到A ，B ，C ，D 四点的距离分别为d 1，d 2，d 3，d 4，若d 21=d 22+d 23，则d 4的取值范围为____.解：由题意知A ()1,0，B ()0,1,C ()-1,0,D ()0,-1，设P ()x ,y ，因为d 21=d 22+d 23，所以()x -12+y 2=x 2+()y -12+()x +12+y 2，整理得()x +22+()y -12=4，在平面直角坐标系中作圆()x +22+()y -12=4，如图1所示.设圆心为E 、半径为r ,连接ED ，则E()-2,1，图1由图1可知P 点到D 点的最大距离，即为d 4的最大值||ED +r =()-2-02+()1+12+2=22+2，点P 到点D 的最小距离，即为d 4的最小值||ED -r =22-2，故d 4∈[]22-2,22+2.设出P 点的坐标后，便可根据已知条件快速求得关于P 的坐标的方程，可将该方程视为圆心为E ()-2,1、半径为2的圆.P 点是圆E 上的动点，而E 、D 的距离是固定的，通过研究图形可知，d 4的最大值为||ED +r ，d 4的最小值为||ED -r .这样，通过方程与对应曲线之间的互化，把数形结合起来，即可将问题转化为圆外一点到圆上一点的最大（小）距离问题，利用圆的几何性质以及定义就能快速求得问题的答案.例2.如图2，已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1()a ＞0,b ＞0的左、右焦点为F 1、F 2，左、右顶点为A 1、A 2，点M 、N 在y 轴上. OM +2ON =0(O 为坐标原点)，直线MA 1、MA 2与C 的左、右支分别交于另外两点P 、Q .若四边形PQF 2F 1为矩形，且P 、N 、A 2三点共线，则C 的离心率为______.图2解：由 OM +2 ON =0,得 OM =-2 ON ，设N ()0,n ，∴M ()0,-2n ，由ìíîïïx =c ，x 2a 2-y 2b2=1，可得ìíîïïx =c ，y =±b 2a ，取Q æèçöø÷c ,-b 2a ，P æèçöø÷-c ,-b 2a ，又A 1()-a ,0，A 2()a ,0，P 、N 、A 2三点共线，∴kPA 2=b 2a a +c，k NA 2=n -a =-n a ，52备考指南∴-n a =b 2a a +c，n =-b 2a +c，∵P 、M 、A 1三点共线，∴k PA 1=b 2a a -c，k NA 1=-2n a ，∴-2n a =b 2a a -c ，2n =b 2a -c ，∵-2b 2a +c =b 2a -c ，∴-2a +c =1a -c ，∴c =3a ，∴e =ca=3.解答本题，需运用数形结合思想，结合图形中点、曲线、矩形的位置关系，根据向量的坐标运算法则、直线的斜率公式，建立关于a 、b 、c 的方程，即可通过解方程组，求得双曲线的离心率.二、函数思想函数思想主要用于求圆锥曲线的最值、参数的取值范围.在运用函数思想解题时，往往要先利用圆锥曲线的性质、定义、方程，求得目标式；然后选取合适的变量，将目标式视为关于该变量的函数式，利用函数的图象、性质来求得问题的答案.例3.已知P ()a ,b 是直线x +y =2k 和圆x 2+y 2=k 2-4k +5的公共点，则ab 的最大值为____.解：由{x +y =2k ，x 2+y 2=k 2-4k +5，消去y 可得2x 2-4kx +3k 2-4k +5=0，∵直线x +y =2k 与圆x 2+y 2=k 2-4k +5有公共点，∴Δ=k 2+4k -5≤0，解得-5≤k ≤1，由{a +b =2k ，a 2+b 2=k 2-4k +5，得()a +b 2-2ab =4k 2-2ab =k 2-4k +5，即ab =32k 2+2k -52=32æèöøk +232-169，则当k =-5时，ab 取最大值32×1699-196=25.由于P 点是直线与圆的公共点，所以P 点的坐标同时满足直线与圆的方程，于是将其分别代入直线与圆的方程中，建立关于a 、b 、k 的关系式，并通过恒等变换，用k 表示出ab ，再将其看作关于k 的一元二次函数式，利用一元二次函数的性质求得ab 的最大值.在运用函数思想解题时，要注意选取合适的对象作为变量，并求出变量的取值范围.在本题中，我们将直线的方程与圆的方程联立，通过消元y 得到一元二次方程，从而求得变量k 的取值范围.三、转化思想转化思想是指采用一些手段，如换元、引入待定系数、构造数学模型等，通过变换，使问题得以转化.运用转化思想解答圆锥曲线问题，需将已知条件和所求目标关联起来，通过添加辅助线，构造圆、双曲线、抛物线、椭圆，将复杂的、陌生的问题转化为简单的、熟悉的问题，以根据圆锥曲线的性质、定义、方程解题.例4.如图3，已知抛物线C ：y 2=8x 的准线为l ，圆E ：()x +12+()y -42=1，点P 、Q 分别是抛物线C 和圆E 上的动点，点P 到准线l 的距离为d ，则||PQ +d的最小值为____.图3解：由题意可知抛物线C ：y 2=8x 的准线为x =-2，焦点F ()2，0，圆E ：()x +12+()y -42=1的圆心为()-1,4，半径为r =1，由抛物线的定义可知||PF =d ，则||PQ +d =||PQ +||PF ,由圆的性质可知||PE -r ≤||PQ ≤||PE +r ，即||PE -1≤||PQ ≤||PE +1，所以||PQ +||PF ≥||PF +||PE -1≥||EF -1,当且仅当E ，P ，F 三点共线时等号成立，又||EF =()2+12+42=5，因此||PQ +d ≥5-1=4.我们先根据抛物线的定义、圆的性质，将||PQ +d 的最小值问题转化为两点E 、F 之间的最小距离问题；然后结合图形确定两点距离最小时的情形：E 、P 、F 三点共线，据此建立关系式，求得问题的答案.可见，运用数学思想，能高效解答圆锥曲线问题.在解题时，同学们需根据解题需求，将问题与所学的函数、方程、平面图形等知识关联起来，灵活运用数形结合思想、函数思想、转化思想来辅助分析、解答问题，以提升解题的效率.（作者单位：江苏省启东市汇龙中学）53。
高中数学圆锥曲线解题方法归纳
高中数学圆锥曲线解题方法归纳圆锥曲线是高中数学中的一个重要部分，包括椭圆、双曲线和抛物线。
这些曲线通常通过平面截取圆锥的不同部分来形成。
为了更好地理解和解决这类问题，我们需要掌握一些基本的解题方法。
1. 定义法：根据圆锥曲线的定义来解题。
例如，椭圆和双曲线的定义是两个焦点到曲线上任一点的距离之和或差为一个常数。
抛物线的定义是一个点到固定点（焦点）和固定直线（准线）的距离相等。
2. 参数方程法：对于一些复杂的圆锥曲线问题，我们可以使用参数方程来表示曲线上点的坐标。
这样可以将几何问题转化为代数问题，便于计算。
3. 切线法：对于一些与圆锥曲线切线相关的问题，我们可以使用切线性质来解题。
例如，切线到曲线上任一点的距离在切点处达到最小值。
4. 极坐标法：将问题转化为极坐标形式，利用极坐标的性质来解题。
例如，在极坐标下，距离和角度的关系可以简化为数学表达式。
5. 几何法：利用圆锥曲线的几何性质来解题。
例如，椭圆的焦点到椭圆中心的距离等于椭圆上任一点到椭圆中心的距离减去椭圆半径。
6. 代数法：通过代数运算来解题。
例如，解联立方程来找到满足多个条件的点的坐标。
7. 数形结合法：结合图形和数学表达式来解题。
通过观察图形，可以更好地理解问题的本质，从而找到合适的解题方法。
以上是高中数学中圆锥曲线解题的一些基本方法。
需要注意的是，每种方法都有其适用的范围和局限性，需要根据具体问题选择合适的方法。
同时，这些方法也不是孤立的，有时需要综合运用多种方法来解决一个复杂的问题。
通过大量的练习和总结，我们可以提高解决圆锥曲线问题的能力。
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高二数学专题（一）简化圆锥曲线运算的几种数学思想人教版【本讲教育信息】一. 教学内容：专题（一）简化圆锥曲线运算的几种数学思想二. 教学重、难点： 1. 重点：圆锥曲线的综合问题。
2. 难点：灵活运用介绍的几种数学思想简化圆锥曲线的运算。
【典型例题】（一）极端思想通过考察圆锥曲线问题的极端元素，灵活地借助极限状态解题，则可以避开抽象及复杂运算，优化解题过程，降低解题难度。
这是简化运算量的一条重要途径。
[例1] 求已知离心率52=e ，过点（1，0）且与直线l ：032=+-y x 相切于点（35,32-），长轴平行于y 轴的椭圆方程。
解：把点（35,32-）看作离心率52=e 的椭圆0)35(51)32(22=-++y x （“点椭圆”），则与直线l ：032=+-y x 相切于该点的椭圆系即为过直线l 与“点椭圆”的公共点的椭圆系方程为：0)32()35(51)32(22=+-+-++y x y x λ又由于所求的椭圆过点（1，0），代入上式得，32-=λ因此，所求椭圆方程为：1522=+y x（二）补集思想有些圆锥曲线问题，从正面处理较难，常需分类讨论，运算量大，且讨论不全又容易出错，如用补集思想考虑其对立面，可以达到化繁为简的目的。
[例2] k 为何值时，直线l ：)1(1-=-x k y 不能垂直平分抛物线x y =2的某弦。
解：设}|{R k k I ∈=，|{k A =直线l 垂直平分抛物线x y =2的某弦}。
若直线l 垂直平分抛物线的弦AB ，且A ),(11y x ，B ),(22y x ，则121x y =，222x y =上述两式相减得：212121))((x x y y y y -=+- 即21212111y y x x y y k +=--=-又设M 是弦AB 的中点，且),(00y x M ，则22210ky y y -=+= 因为点M 在直线l 上，所以kx 1210-=由于M 在抛物线的内部，所以020x y <，即042121)2(32<+-⇒-<-kk k k k 020)22)(2(2<<-⇒<+-+⇒k kk k k故原命题中k 的取值范围是2-≤k 或0≥k（三）整体思想对有些圆锥曲线问题，注意其整体结构特点，设法将问题整体变形转化，以达到避免一些不必要的运算，降低解题难度。
[例3] 从椭圆12322=+y x 外一点P （2，4）作椭圆的切线，求两切线的夹角。
解：由椭圆的切线方程222b k a kx y +±=知两切线的方程为：232+±=k kx y又切线过点P （2，4），所以23242+±=k k ，整理得，014162=+-k k 所以1621=+k k ，1421=⋅k k所以21211tan k k k k +-=θ212122114)(k k k k k k +-+=322141144162=+⨯-= 所以两切线的夹角322arctan =θ（四）方程思想把圆锥曲线问题中的解析式看作一个方程，通过解方程的手段或对方程的研究，使问题得到解决，这种思想方法在解析几何试题中经常使用。
[例4] 已知双曲线C ：)1()1(22222>=+-a a y a x a ，设该双曲线上支的顶点为A ，且上支与直线x y -=相交于P 点，一条以A 为焦点，M （m ,0）为顶点，开口向下的抛物线通过点P ，设PM 的斜率为k ，且3141≤≤k ，求实数a 的取值范围。
解：由双曲线方程知A （0，1），则抛物线方程为))(1(42m y m x ---=，由双曲线与直线相交，解得点P 的坐标为),(a a -，又因为点P 在抛物线上，所以))(1(42m a m a ---= ①而MP 的斜率为aam k -=，所以a ak m +=将a ak m +=代入①，得))(1(42ak a ak a --+-=，即0)1(442=--+a k a ak ②根据题意，方程②在区间]31,41[上有实根令a k a ak k f --+=)1(44)(2，其对称轴方程为021<-=aa k所以47120)31(0)41(≤≤⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤a f f 所以实数a 的取值范围为]4,712[（五）函数思想对于圆锥曲线问题上一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的变量，从而使变量与其中的参变量之间构成函数关系，此时，用函数思想与函数方法处理起来十分方便。
[例5] 直线m ：1+=kx y 和双曲线122=-y x 的左支交于A 、B 两点，直线l 过P （0,2-）和AB 线段的中点M ，求l 在y 轴上的截距b 的取值范围。
解：由)1(1122-≤⎩⎨⎧=-+=x y x kx y 消去y 得022)1(22=++-kx x k ，由题意，有： ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>--=<-=+>-+=∆0120120)1(8422122122k x x k k x x k k 21<<⇒k 设M （00,y x ），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=-=+=200221011112k kx y k k x x x由P （0,2-）、M （2211,1kk k --）、Q （b ,0）三点共线，可求得2222++-=k k b 设22)(2++-=k k k f 817)41(22+--=k ，则)(k f 在)2,1(上为减函数。
所以)1()()2(f k f f <<，且0)(≠k f所以1)()22(<<--k f 所以)22(+-<b 或2>b（六）参数思想处理圆锥曲线问题，可以通过引入参变量替换，使许多相关或不相关的量统一在参变量下，其妙处在于减少未知量的个数或转化原命题的结构，以达到简化解题过程的目的。
[例6] 当a 为何实数时，椭圆12)(22=+-y a x 与曲线C ：x y 212=有公共点？ 解：椭圆方程变形为：1)2(22=+-y a x 设2a x -θθsin ,cos ==y ，即θθsin ,cos 2=+=y a x 代入曲线C 得：)cos 2(21sin 2θθ+=a ，即θθcos 2sin 22-=a （1）椭圆与曲线C 有交点，等价于方程（1）有解，即等价于函数θθcos 2sin 22-=y 的值域所以22)42(cos 249cos 2sin 2+-=-=θθθa 因为49)42(cos 24922≤+-≤-θ，所以a 的取值范围是]49,2[-（七）转化思想数学问题的求解过程，实际上就是问题的转化过程。
它主要体现在条件由“隐”转化为“显”，结论由“暗”转化为“明”，即从陌生向熟悉、复杂向简单、间接向直接的过程。
[例7] 设圆满足：① 截y 轴所得弦长为2；② 被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为1:3，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l ：02=-y x 的距离最小的圆的方程。
解：设圆的圆心为P （b a ,），半径为r ，由①知122+=a r ；由②知，圆P 截x 轴所得劣弧对应的圆心角为︒90，即圆P 截x 轴所得的弦长为r 2，故有222b r =，消去r 得圆心的轨迹为：1222=-a b如何求圆心P （b a ,）到直线l ：02=-y x 的距离52b a d -=的最小值，这样转化为从不同角度求条件最值问题。
转化1：变量替换求最值∵ 1222=-a b ∴ 1)2)(2(=-+a b a b 设)0(2≠=+t t a b ，则有t a b 12=-，解得t t a 12-=，tt b 122+=，所以有 52b a d -=52)1(2)1(tt t t +--==521)12()12(tt ++-5552)12(1)12(≥-+-=tt 当且仅当tt )12(1)12(-=-，即12+=t 时，d 达到最小值。
此时可求得1==b a 或1-==b a由于222b r =，故2=r 。
于是所求圆的方程是： 2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x转化2：三角代换求最值令πθθθ20,tan ,sec 2≤≤==a b ， 则θθθθcos 5sin cos 5sin 252d b a d ±⇒-=-=2=，所以)sin(512ϕθ±+d 2由1512)sin(2≤+=±d ϕθ，得55≥d当d 达到最小值55时，)sin(ϕθ±=1，从而4πϕ±=，并由此解得=θ4π或43πθ=即1==b a 或1-==b a ，以下同解法1转化3：判别式法求最值 由52b a d -=得d b a 52±=-，即2225544d bd b a +±= ①将1222-=b a 代入①式，整理得01554222=++±d bd b ② 把它看作b 的一元二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即0)15(82≥-=∆d ，得152≥d ，所以55≥d 将55=d 代入②，得02422=+±b b 解得1±=b从而1,2222±===a b r ，由12=-b a ，知a 与b 同号于是，所求圆的方程为：2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x【模拟试题】（答题时间：60分钟）1. 已知椭圆13422=+y x ，能否在此椭圆位于y 轴左侧的部分上找到一点M ，使它到左准线的距离为它到两焦点1F 、2F 距离的等比中项？2. 求证：椭圆)0(222222>>=+b a b a y a x b 的弦中点与椭圆中心连线的斜率（两斜率均存在时）与此弦的斜率之积为22ab -。
3. 一椭圆长短轴平行于坐标轴，与直线112=+y x 相切于点P （4，3），它还经过点Q （1,0-），R （110,1+），求椭圆方程。
4. 两个不同的点P 、Q 在曲线2x y =上移动，不管如何选择其位置，它们总不能关于直线)3(-=x m y 对称，求m 的范围。
5. 过抛物线x y 42=的焦点F 的直线l 与该抛物线交于A 、B 两点，若AB 的中点为M ，直线l 的斜率为k 。
（1）试用k 表示点M 的坐标；（2）若直线l 的斜率2>k ，且点M 到直线l '：043=++m y x 的距离为51，试确定实数m 的取值范围。
6. 已知椭圆12222=+by a x （0>>b a ），A 、B 是椭圆上两点，线段AB 的垂直平分线与x轴交于点P （0,0x ），求证：<<--022x ab a a b a 22-。