1-5事件的独立性与伯努利概型

例 6 加工某一种零件需要经过三道工序，设三道 工序的次品率分别为 2% ， 3% ， 5% ，假设各道序是 互不影响的，求加工出来的零件的次品率. 解 设
A={产品为次品}, Ai={第i道工序的产品为次品} (i=1,2,3),则来自A A1 A2 A3
P(A) 1 P( A ) 1 P( A1 A2 A3 )
,P ( Ai ) pi , i 1,2 , , n, Ai 第i个元件正常工作
串联系统的可靠性
由n 个元件串联而成的系统,只要有一 个元件失效,该系统就失效.因此串联系 统的可靠性为:
P串 P ( A1 A2 An ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( An ) p1 p 2 p n
P (1 105 ) 520
1 520 105 0.9948
例8 甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击.设 三人射中飞机的概率分别为0.4,0.5,0.7,一人射中 飞机被击落的概率为0.2, 两人射中飞机被击落的 概率为0.6,三人射中,则飞机被击落.求飞机被击落 的概率. 解 设 A {飞机被击落 }, Bi {飞机被i个人击中 }, i 1,2,3
例1 掷两次硬币,观察其出现正面H和反面T的情 况.设事件 A={第一次出现正面H}, B={第二次出现正面H}, 则试验的样本空间为 Ω={HH,HT,TH,TT} 所以
A={HH,HT},B={HH,TH},AB={HH}
P(A)=2/4=1/2, P(B)=2/4, P(B|A)=1/2, P(AB)=1/4
p并 1 (1 p1 )(1 p2 )(1 pn )
元件n
例9 设由5个元件组成的系统 如图1所示, 元件的可靠性分 别为 p1 , p2 , p3 , p4 , p5 ,
示意图1 1 3
求系统的可靠性. 解 记Ai={第i个元件正常工 作}, i=1,2,…,5
(1) 在元件5正常工作的条 件下, 则系统变为图2,它的 可靠性为
P ( A ) P ( A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A1 )P ( A2 )
10% 3% 10% 3% 12.7%
2. 多个事件的独立性
定义 设A,B,C是三事件,如果具有等式 P(AB)=P(A)P(B) P(BC)=P(B)P(C) P(CA)=P(C)P(A) 则称三事件A,B,C两两独立.
2. n重伯努利试验 若一试验的结果只有两个A和Ā, 在相同的条 件下, 将试验独立地重复进行n次, 则称这n次试验 所组成的试验为n重复伯努利试验或伯努利概型.
5
2 4
示意图2
1 2 3 4
[1 (1 p1 )(1 p2 )][1 (1 p3 )(1 p4 )]
(2)在元件5失效的条件下, 则 系统变为图3,它的可靠性为
1 (1 p1 p3 )(1 p2 p4 )
示意图3 1 2 3 4
由全概率公式知, 原系统的可靠性为
=P(A)+P(B)-P(AB) =P(A)+P(B)-P(A)P(B) =0.9+0.85-0.9×0.85=0.985
例4 一种产品分二道工序独立生产,第一道工序的 次品率为10%,第二道工序的次品率为3%.问该种产 品的次品率是多少? 解 设
A={产品为次品}, Ai={第i道工序的产品为次品} (i=1,2), 则
6 2 / 102 P(B|A) 6 / 10 6 / 10
P(A) 6 / 10, P(AB) 6 2 / 102
（2） P(B) P(AB AB) P(AB) P( AB)
P(A)P(B|A) P( A )P(B| A )
6 6 4 6 6 10 10 10 10 10
1 i j n,都有 则称这n个事件A1 ,A2 , ,An 是两两两独立.
定义 设A1 , A2 , , An 是n个事件, 如果对任意的
k (1 k n)和任意的 1 i1 i 2 i k n, 都有 P ( Ai1 Ai2 Aik ) P ( Ai1 ) P ( Ai2 ) P ( Aik ) 则称这n个事件A1 , A2 , , An 是相互独立的 .
1 P( A1 )P( A 2 )P( A 3 )
=1-98%×97%×95%=0.09693
例7 某彩票每周开奖一次，每一次提供十万分 之一的中奖机会，若你每周买一张彩票，尽管你 坚持十年（每年52周）之久，你从未中过一次奖 的概率是多少？ 解 按假设，每次中奖的概率是10-5,
于是每次未中奖的概率是1-10-5, 十年共购买彩票520次，每次开奖都是相互独立的 故十年中未中过奖（每次都未中奖）的概率是
即 故
1=1+P(B)-P(AB)
P(AB)=P(B)
P(AB)=P(A)P(B)
定理
若事件A与B相互独立 , 则事件A与B , 事件A 与
B , 事件A 与B 相互独立 .
证明
因为
只证" A, B相互独立 A与B 独立" P ( AB ) P ( A) P ( AB)
P ( A) P ( A) P ( B) P ( A)[1 P ( B)] P ( A) P ( B )
第5节
事件的独立性与伯努利概型
一、 事件的独立性 设A,B是两个事件,如果 P(A)>0,则可以 定义P(B|A).一般情况下,A的发生对B发生的 概率是有影响的,这时有
P(B|A)≠P(B)
若A的发生对B发生的概率没有影响,则有 P(B|A)=P(B) 因此 P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B).
注意
一组事件两两独立并不能保证它们相互独立.
例5 设袋中有4个球,其中1个涂成白色,1个涂成红 色,1个涂成黄色,1个涂有白,红,黄三种颜色.今从 袋中任取一球,设 A={取出的球涂有白色}, B={取出的球涂有红色}, C={取出的球涂有黄色} 试验证事件A,B,C两两独立,但不相互独立. 验证 易知 P(A)=P(B)=P(C)=1/2, 但是 P(AB)=P(BC)=P(CA)=1/4 P(ABC)=1/4≠ 所以 P(AB)=P(A)P(B) P(A)P(B)P(C)=1/8 P(BC)=P(B)P(C) P(ABC)≠ P(A)P(B)P(C) P(CA)=P(C)P(A) 故A,B,C不相互独立. 即事件A,B,C两两独立.
从而有P(B|A)=P(B),P(AB)=P(A)P(B).事实 上,显然第一次是否出现正面与第二次是否出现 正面是互不影响的.
例2 一个袋子中装有6只黑球，4只白球，采用有 放回的方式摸球，求 （1）第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到黑球 的概率； （2）第二次摸到黑球的概率. 解 设A表示第一次摸到黑,B表示第二次摸黑球,则 (1) 所以
定理 零概率事件与任何事件都是互相独立的. 证明 因为 AB A 设P(A)=0, B为任一事件,
所以
0 ≤ P(AB)≤P(A)=0 P(AB)=0 故 P(AB) =P(A)P(B)
定理 概率为1的事件与任何事件都是互相独立的. 证明 设P(A)=1, B为任一事件, 则 1 = P(A)≤P(A+B)≤1 所以 又 P(A+B)=1 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
所以A与B 独立.
定理 若P(A)>0,P(B)>0,则A,B相互独立与A,B 互不相容不能同时成立. 证明 则 (1) 若A,B相互独立,
P(AB)=P(A)P(B)≠0 即A,B是相容的. (2) 若A,B互不相容,则
AB=,P(AB)=0.
因此 0=P(AB)≠ P(A)P(B)>0
定理 设A,B是两事件,且P(A)>0.则A,B相互独立 的充要条件是P(B|A)=P(B)
p5 [1 (1 p1 )(1 p 2 )][1 (1 p3 )(1 p4 )] (1 p5 )[1 (1 p1 p 3 )(1 p 2 p4 )]
二、 独立试验概型
1. 重复独立试验
在相同的条件下, 将试验E重复进行, 且每次 试验是独立进行的, 即每次试验各种结果出现的 概率不受其他各次试验结果的影响, 则称这一系 列试验所组成的试验为重复独立试验.
证明 (必要性)若A,B相互独立,即 P(AB)=P(A)P(B ), 又P(A)>0,则 P(B|A)=P(AB)/P(A) = P(A)P(B )/P(A) =P(B) (充分性)若P(B|A)= P(B),则 P(AB)= P(A)P(B|A)=P(A)P(B )
例 3 甲、乙两个战士打靶 , 甲的命中率为 0.9, 乙 的命中率为0.85,两人同时射击同一目标,各打 一枪.求目标被击中的概率. 解 设 A={甲击中目标}, B={乙击中目标}, C={目标被击中}, 则 P(C)=P(A+B)
P ( B3 ) P (C 1C 2 C 3 ) 0.4 0.5 0.7 0.14 P ( A | B1 ) 0.2, P ( A | B2 ) 0.6, P ( A | B3 ) 1
且B1,B2,B3两两互不相容,故有由全概率公式得
P ( A) P ( B1 ) P ( A | B1 ) P ( B2 ) P ( A | B2 ) P ( B3 ) P ( A | B3 ) 0.36 0.2 0.41 0.6 0.14 1 0.458
注意到P(B|A)=P(B)即事件A发生与否对事件B发生 的概率没有影响，从直观上看，这是很自然的，因 为我们采用的是有放回的摸球，第二次摸球时袋中 球的构成与第一次摸球时完全相同，因此，第一次 摸球的结果当然不会影响第二次摸球，在这种场合 下我们说事件A与事件B相互独立.