对数与对数运算2导学案

合集下载

高中数学 2.2.1对数与对数运算(2)导学案新人教A版必修1

课题：2.2.1对数与对数运算（2）一、三维目标：知识与技能: 1．理解和掌握对数运算的性质； 2．掌握对数式与指数式的关系。

过程与方法: 通过对具体实例的学习,使学生了解知识源于生活，服务于生活。

情感态度与价值观: 1.通过对数的运算法则的学习，培养学生的严谨的思维品质；2.在学习过程中培养学生探究的意识，体会数学的应用价值。

二、学习重、难点：重点：对数运算的性质与对数知识的应用。

难点：正确使用对数的运算性质。

三、学法指导：学生自主推理、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标。

四、知识链接：B ㈠ ⑴、x1.0822=, x 的值可以表示为___________。

⑵、3464=,对数形式记作_______________。

⑶、2384=,对数形式记作____________________。

⑷、2100.01-=,对数形式记作__________________。

A ㈡对数的定义及对数恒等式：log a N b =⇔ （a ＞0，且a ≠1，N ＞0）.A ㈢指数的运算性质：_______;_______m n m n a a a a ⋅=÷=；()________;__________m na ==。

五、学习过程：A 问题1：我们知道，对数式可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算性质，得出相应的对数运算性质吗？例如:,,+⋅===mnm nm n a a aM a N a 设,于是,m n MN a += 由对数的定义得到log ,log m n a a M a m M N a n N =⇔==⇔= log m n a MN a m n MN +=⇔+= log log log a a a M N MN ∴+=即：同底对数相加，底数不变，真数相乘。

B 问题2:请根据指数的性质按照以上的方法推出对数的其它性质。

如果a ＞0且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么：（1）log log log a a a MN M N =+ （2）log log log aa a MM N N=- （3）log log ()n a a M n M n R =∈C 问题3:1. 在上面的式子中，为什么要规定a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0呢？2.你能用自己的语言分别表述出以上三个等式吗？B 例1.计算：① 01.0lg ； ② 42log (2； ③ 5lg 2lg +； ④lg1001/5⑤ 142log 2112log 487log 222--+； ⑥ 25lg 50lg 2lg )2(lg 2+⋅+；⑦2593⨯3（）㏒； ⑧3332726log log log 535+-.C 例2．用a a a x , y , z ㏒㏒㏒表示下列各式：（1）2a x yz （）㏒（2）a ㏒ yz x 2 （3）a ㏒zy x2C 例3．必修一66页例5、例6请同学们认真阅读例题内容及解法，要求每个人都可以在课堂上展示。

人教版高中数学数学导学案对数式与对数函数2

对数式与对数函数（2）编写赵继森审查董猛学习目标1. 理解对数函数的定义、图象和性质，能利用对数函数单调性比较同底对数大小，2.了解对数函数的特性以及函数的通性在解决有关问题中的灵活应用．学习重难点①理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；②理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握函数图像通过的特殊点；③知道对数函数是一类重要的函数模型；④了解指数函数x y a =与对数函数log a y x =互为反函数(),1a o a ≠热身训练1、若0.70.7 1.1log 0.8,log 0.8, 1.1,a b c ===则,,a b c 的大小关系是2、若函数22()log f x x =的值域是[]0,1,则x 的取值范围是3、设0,1,a a >≠函数2lg(23)()x x f x a-+=有最大值，则不等式2log (57)0a x x -+>的解集为 _________ 4. 设,0.(),0.x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩则1(())2g g =__________ 5. 已知7log 18a <，则a 的取值范围是 6．在函数()121f x x =；()22f x x =；()32x f x =；()412log f x x =四个函数中，当121x x >>时，能使()()1212122x x f x f x f +⎛⎫+<⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭成立的函数是范例分析：例题1．函数()()()⎩⎨⎧≥<+-=1log 13822x x x ax x x f a 在R x ∈内单调递减，则a 的范围是_________．变式训练1：已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是__________变式训练2.：已知函数）且10)(3(log )(2≠>+-=a a ax x x f a 满足：对任意实数21,x x ，当221a x x ≤<时，总有()()21x f x f >，那么实数a 的取值范围是例题2．已知函数)12lg()(2++=x ax x f 。

《对数与对数运算(2)》的教学设计

《对数与对数运算2》导学案一、温故而知新：1、指数与对数间的关系＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿,底数范围是＿＿＿, 真数范围是＿＿＿＿。

2、常用的对数等式：㏒a a=＿＿＿ , ㏒a 1= ＿＿＿ .3、指数的运算性质：(1)＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ , (2) ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ , (3) ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

二、探究对数的运算性质：1.自主完成表格，并从对数值间关系的角度，分析表中各列数据，你有哪些发现？如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么：M a (log =)N ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ,=NMa log ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ,n a M log =＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

学生任选一组验证：log a M + log a N = ＿＿，M a (log =)N ＿＿ ,log a M - log a N = ＿＿， =NMalog ＿＿＿， n ·log a M = ＿＿， n a M log =＿＿＿＿。

（充分验证后填好前面的结论）2.运算性质的证明：① M a (log =)N M a log ＋N a log ；证明如下：NM MN n m MN a MN N n M m N a M a a a a a a a a n m a a n m n m n m log log )(log )(log log ,log ,,,+=+=======++，即，于是则令② =NMa log M a log －N a log ；证明一下？③ n a M log n =M a log )(R n ∈．证明一下？三、变式训练1.求值：（1）㏒（2）㏒31272.化简：㏒1014—2㏒1073+㏒107—㏒1018四、本节我学到了什么？（有总结才有提高噢！）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

高中数学 2_2 对数与对数运算2教案新人教版必修1

对数与对数运算（二）
（一）教学目标
1．知识与技能：理解对数的运算性质．
2．过程与方法：通过对数的运算性质的探索及推导过程，培养学生的“合情推理能力”、“等价转化”和“演绎归纳”的数学思想方法，以及创新意识．
3．情感、态态与价值观
通过“合情推理”、“等价转化”和“演绎归纳”的思想运用，培养学生对立统一、相互联系，相互转化以及“特殊—一般”的辩证唯物主义观点，以及大胆探索，实事求是的科学精神．
（二）教学重点、难点
1．教学重点：对数运算性质及其推导过程.
2．教学难点：对数的运算性质发现过程及其证明.
（三）教学方法
针对本节课公式多、思维量大的特点，采取实例归纳，诱思探究，引导发现等方法．（四）教学过程。

《对数与对数运算》第二课时教学设计

《对数与对数运算》第二课时教学设计一、概述：学科：数学年级：高一课时：1个课时内容：对数运算的法则本节课的价值及重要性：让学生体会重要的数学思想方法，如归纳的思想，类比的思想；掌握对数运算的法则.二、教学目标知识与技能：掌握对数运算的法则，并能理解这些法则的依据.过程与方法：通过对数运算性质的推导与探究过程，培养学生“合情推理”，“演绎归纳”的数学思想.情感、态度与价值观：通过数学思想的运用，培养学生“从特殊到一般”的归纳思维，以及从指数的运算法则到对数的运算法则的类比思想，大胆探索，小心求证，实事求是的科学品质.三、教学重点与难点教学重点：对数运算的性质教学难点：对数运算的性质的探究过程及方法四、教学资源多媒体，教学卡片，人教版教师参考书五、教学设计思路教材分析：教科书的思路是根据指数与对数的关系及指数运算性质，推导对数运算的性质.教学时，要注意将指数与对数的运算性质进行对照加以复习和巩固.对数的换底公式是进行对数运算的重要基础，只要求学生知道换底公式并利用它将对数转化为常用对数或自然对数来计算.学情分析:对数对于学生来讲是一个全新的知识，学生对它并不熟悉，甚至可以说是很生疏，要自主地去探究对数的运算性质是有难度的.为此需要设计好教学的流程，为学生的探究创造条件.六、教学流程回忆过去 → 探究未知 → 实战演练 → 思考交流 →课堂练习→ 课堂小结 → 作业七、板书设计0,1,0,0,1log ()log log (2)log log log (3)log log ()a a a aa a n a a a a M N MN M NM M N NM n M n R >≠>>=+=-=∈如果则（）八、教学过程一、回忆过去问：对数是怎样定义的？答：如果x a N =（a＞０，a ≠１），那么x 叫做以a 为底N 的对数。

记作log a x N =.（PPT 投影）师强调：1.对数是一个数(log a N R ∈)2.指数式与对数式如何相互转化（PPT 投影）问：对数的几个结论?答：log 10,log 1a a a ==（PPT 投影）二、探究未知1）动手实践：填出下表各组的值，并从数据中分析等量关系，猜想对数的运算性质（PPT 投影）（PPT 投影）提示：可以让学生自己再找几组类似的数据，关系式中分别从指数值，对数值两个角度思考2）活动：活动1：请同学们类比上面两组数据分组讨论，根据指数的运算法则猜想对数的运算法则，a a =n n m m a a a-= （说明：教师在活动中巡视小组合作情况，对有需要的小组提供帮助. ）活动结束选取小组作为代表用实物投影仪展示学生的成果，并请学生作出说明，教师做适当2log 8补充.最后幻灯片播放法则1的证明.（PPT 投影）活动结束得出对数运算法则（对其中的真数，底数的范围进行说明，师生合作探讨）3）实战演练例1：计算12525361log (93);(2)lg100;(3);(4)log Ine -⨯（）PPT 投影）例2：log ,log ,log .a a a x y z 用表示下列各式132232(1)log ;(2)log ;(3)log (4)log a a a a x x yz xy z yz -（PPT 投影）4）思考交流（PPT 投影）判断下列各式是否成立，如果不成立，举一个反例(1)lg()lg lg lg (2)lg lg (3)lg()lg lg lg (4)lg lg lg MN M NM M N N M N M NMM N N==+=-= 5）课堂练习：课本第68页练习题1，2，3（PPT 投影）补充练习：（1）7lg142lglg 7lg183-+-（PPT 投影）（2（说明：对数运算时一般原则是把真数转化成质因子的乘积）课后思考题：证明：log log (0,1;0,1;0)log c a c b b a a c c b a =>≠>≠>且且（PPT 投影） 6）课堂小结：（1）对数的运算法则（2）运算的小技巧（真数转化成质因子的乘积）（3）数学方法：观察——归纳——总结——证明从特殊到一般（归纳思想）先猜后证（类比思想）即合情推理，演绎归纳（PPT 投影）7）作业：练习本对数与对数运算2（PPT 投影）。

2.2.1对数与对数运算(二) 教案新部编本

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校2.2.1对数与对数运算（二）教案学习目标：对数的运算性质．熟练运用对数的运算性质进行化简求值；学习重点：证明对数的运算性质．学习难点：对数运算性质的证明方法与对数定义的联系．学习过程一、复习1．对数的定义 b N a =log 其中 ),1()1,0(+∞∈Y a 与 ,0(+∞∈N 2．指数式与对数式的互化)10( log ≠>=⇔=a a b N N a a b 且3.重要公式：⑴负数与零没有对数； ⑵01log =a ，log =a a ⑶对数恒等式N a N a =log4．指数运算法则 )()(),()(),(R n b a ab R n m a a R n m a a a n n n mn n m n m n m ∈⋅=∈=∈=⋅+二、新授内容1．积、商、幂的对数运算法则：如果 a ＞ 0，a ≠ 1，M ＞ 0， N ＞ 0 有：)()()(3R)M(n nlog M log 2N log M log N M log 1N log M log (MN)log a n a a a a a a a ∈=-=+= 证明⑴：设a log M =p , a log N =q ．由对数的定义可以得：M =p a ，N =q a ．∴MN = p a q a =q p a + ∴a log MN =a log q p a + ∴a log MN =p +q ，即证得a log MN =a log M + a log N ．证明⑵：设a log M =p ，a log N =q ．由对数的定义可以得M =p a ，N =qa ． ∴q p q p a a a N M -== ∴q p N M a -=log ∴q p N M a -=log 即证得N M NM a a a log log log -=．证明⑶：设a log M =P 由对数定义可以得M =p a ,∴n M ＝npa ∴a log n M =np ，即证得a log n M =n a log M ．说明：上述证明是运用转化的思想，先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂的运算性质进行恒等变形；然后再根据对数定义将指数式化成对数式．①简易语言表达：“积的对数 = 对数的和”……②有时逆向运用公式：如110log 2log 5log 101010==+．③真数的取值范围必须是),0(+∞：)5(log )3(log )5)(3(log 222-+-=-- 是否成立？不成立)10(log 2)10(log 10210-=-是否成立？不成立 ④对公式容易错误记忆，要特别注意：N M MN a a a log log )(log ⋅≠，N M N M a a a log log )(log ±≠±．2．讲授范例：例1．用x a log ，y a log ，z a log 表示下列各式：（1）()z x y log a ===332log )3((2)log z y x zy x a a（4）z y x a3log =例2．计算（1）25log 5（1）解：5log 25= 5log 25=2 （按照范例，求解（2）、（3）（4）题）（2）1log 5.0=（3）)24(log 572⨯=（4）5100lg =例3．计算：(1);50lg 2lg )5(lg 2⋅+(1)解： 50lg 2lg )5(lg 2⋅+＝)15(lg 2lg )5(lg 2+⋅+＝2lg 5lg 2lg )5(lg 2+⋅+ ＝2lg )2lg 5(lg 5lg ++＝2lg 5lg +＝1；（按照范例，求解（2）、（3）题）(2);25log 20lg 100+ (3) .18lg 7lg 37lg 214lg -+-评述：此例题体现对数运算性质的综合运用，应注意掌握变形技巧，如(3)题各部分变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系.(2)题要避免错用对数运算性质.例4．20世纪30年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级M ，其计算公式为M ＝lg A －lg A 0.其中，A 是被测地震的最大振幅，A 0是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差).(1)假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级(精确到0.1)；(2)5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍(精确到1). 解：（1）M ＝lg20－lg0.001= lg 001.020=lg20000= lg2+ lg104≈4.3 因此，这是一次约为里氏4.3级的地震.（2）由M ＝lg A －lg A 0可得M ＝lg 0A A <=> 0A A =10M <=> A= A 0 · 10M 当M=7.6时，地震的最大振幅为A 1= A 0·107.6 ；当M=5时，地震的最大振幅为A 2= A 0 · 105，所以，两次地震的最大振幅之比是 21A A = 507.6010A 10••A =5-7.610= 2.610≈ 398 答：7.6级地震的最大振幅大约是5级地震的最大振幅的398倍。

《对数与对数运算》教案2

2.2 对数函数2.2.1 对数与对数运算第1课时整体设计教学内容分析本节课是新课标高中数学A版必修1中第二章对数函数内容的第1课时，也就是对数函数的入门．对数函数对于学生来说是一个全新的函数模型，学习起来比较困难．而对数函数又是本章的重要内容，在高考中占有一定的分量，它是在指数函数的基础上，对函数类型的拓广，同时在解决一些日常生活问题及科研中起着十分重要的作用．通过本节课的学习，可以让学生理解对数的概念，从而进一步深化对对数模型的认识与理解，为学习对数函数做好准备．同时，通过对对数概念的学习，对培养学生对立统一、相互联系、相互转化的思想，培养学生的逻辑思维能力都具有重要的意义．学生学习情况分析现阶段大部分学生学习的自主性较差，主动性不够，学习有依赖性，且学习的信心不足，对数学存在或多或少的恐惧感．通过对指数与指数幂的运算的学习，学生已多次体会了对立统一、相互联系、相互转化的思想，并且探究能力、逻辑思维能力得到了一定的锻炼．因此，学生已具备了探索、发现、研究对数定义的认识基础，故应通过指导，教会学生独立思考、大胆探索和灵活运用类比、转化、归纳等数学思想的学习方法．设计思想学生是教学的主体，本节课要给学生提供各种参与机会．为了调动学生学习的积极性，使学生化被动为主动，本节课可利用多媒体辅助教学，引导学生从实例中认识对数模型，体会引入对数的必要性．在教学重难点上，步步设问、启发学生的思维，通过课堂练习、探究活动、学生讨论的方式来加深理解，更好地突破难点和提高教学效率．让学生在教师的引导下，充分地动手、动口、动脑，掌握学习的主动权．教学目标1．理解对数的概念，了解对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的互化；理解对数的性质，掌握以上知识并形成技能．2．通过实例使学生认识对数模型，体会引入对数的必要性；通过师生观察分析得出对数的概念及对数式与指数式的互化．3．通过学生分组进行探究活动，掌握对数的重要性质．通过做练习，使学生感受到理论与实践的统一．4．培养学生的类比、分析、归纳能力，培养学生严谨的思维品质以及在学习过程中培养学生的探究意识．重点难点重点：(1)对数的概念；(2)对数式与指数式的相互转化．难点：(1)对数概念的理解；(2)对数性质的理解．幂底数←a→对数底数指数←b→对数幂←N→真数．对数的基本性质负数和零没有对数；log a1＝0；log1；log N教学反思本教学设计先由引例出发，创设情境，激发学生对对数的学习兴趣；在讲授新课部分，通过结合多媒体教学以及一系列的课堂探究活动，加深学生对对数的认识；最后通过课堂练习来巩固学生对对数的掌握．第2课时作者：卢岩冰整体设计教学目标1．知识与技能(1)通过实例推导对数的运算性质，准确地运用对数的运算性质进行运算、求值、化简，并掌握化简求值的技能．(2)运用对数的运算性质解决有关问题．(3)培养学生分析、解决问题的能力．培养学生的数学应用意识和科学分析问题的精神和态度．2．过程与方法(1)让学生经历并推导出对数的运算性质．(2)让学生归纳整理本节所学的知识．3．情感态度与价值观让学生感觉对数运算性质的重要性，增加学生的成功感，增强学习的积极性．重点难点重点：对数运算的性质与对数知识的应用．难点：正确使用对数的运算性质．教学过程导入新课思路1．上节课我们学习了以下内容：1．对数的定义．2．指数式与对数式的互化．a b ＝N ⇔log a N ＝b . 3．重要性质：(1)负数与零没有对数；(2)log a 1＝0，log a a ＝1；(3)对数恒等式log Na a ＝N . 下面我们接着讲对数的运算性质〔教师板书课题：对数与对数运算(2)〕．思路2.我们在学习指数的时候，知道指数有相应的运算法则，即指数运算法则： a m ·a n ＝a m ＋n ；a m ÷a n ＝a m －n ；(a m )n ＝a mn ；m a n ＝n ma .(a ＞0且a ≠1) 从上节课我们还知道指数与对数都是一种运算，而且它们互为逆运算，对数是否也有和指数相类似的运算法则呢？答案是肯定的，这就是本堂课的主要内容，点出课题：对数与对数运算(2)．推进新课新知探究提出问题(1)在上节课中，我们知道，对数运算可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算的性质，得出相应的对数运算的性质吗？(2)如我们知道a m ＝M ，a n ＝N ，a m ·a n ＝a m ＋n ，那m ＋n 如何表示，能用对数式运算吗？ (3)在上述(2)的条件下，类比指数运算性质能得出其他对数运算性质吗？ (4)你能否用最简练的语言描述上述结论？如果能，请描述. (5)上述运算性质中的字母的取值有什么限制吗？ (6)上述结论能否推广呢？(7)学习这些性质能对我们进行对数运算带来哪些方便呢？讨论结果：(1)通过问题(2)来说明．(2)若a m ·a n ＝a m ＋n ，M ＝a m ，N ＝a n ，于是MN ＝a m ＋n ，由对数的定义得到M ＝a m ⇔m ＝log a M ，N ＝a n ⇔n ＝log a N ，MN ＝a m ＋n ⇔m ＋n ＝log a MN ，log a MN ＝log a M ＋log a N .因此m ＋n 可以用对数式表示．(3)令M ＝a m ，N ＝a n ，则M N ＝a m ÷a n ＝a m －n ，所以m －n ＝log a M N.又由M ＝a m ，N ＝a n，所以m ＝log a M ，n ＝log a N .所以log a M －log a N ＝m －n ＝log a M N ，即log a MN＝log a M －log a N .设M ＝a m ，则M n ＝(a m )n ＝a mn .由对数的定义，所以log a M ＝m ，log a M n ＝mn .所以log a M n ＝mn ＝n log a M ，即log a M n ＝n log a M . 这样我们得到对数的三个运算性质：如果a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则有 log a (MN )＝log a M ＋log a N ；①log a MN＝log a M －log a N ；②log a M n ＝n log a M (n ∈R )．③ (4)以上三个性质可以归纳为：性质①：两数积的对数，等于各数的对数的和；性质②：两数商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数；性质③：幂的对数等于幂指数乘以底数的对数．(5)利用对数运算性质进行运算，所以要求a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0. (6)性质①可以推广到n 个数的情形：即log a (M 1M 2M 3…M n )＝log a M 1＋log a M 2＋log a M 3＋…＋log a M n (其中a ＞0，a ≠1，M 1，M 2，M 3，…，M n 均大于0)．(7)纵观这三个性质我们知道，性质①的等号左端是乘积的对数，右端是对数的和，从左往右看是一个降级运算．性质②的等号左端是商的对数，右端是对数的差，从左往右是一个降级运算，从右往左是一个升级运算．性质③从左往右仍然是降级运算．利用对数的性质①②可以使两正数的积、商的对数转化为两正数的各自的对数的和、差运算，方便了对数式的化简和求值．应用示例例1 用log a x ，log a y ，log a z 表示下列各式：(1)log a xy z ；(2)log a x 2y 3z.活动：学生思考观察，教师巡视，检查学生解题情况，发现问题及时纠正．利用对数的运算性质，把整体分解成部分．对(1)log a xyz，可先利用性质②，转化为两数对数的差，再利用性质①，把积的对数转化为两数对数的和．对(2)log a x 2y3z，可先利用性质②，转化为两数对数的差，再利用性质①，把积的对数转化为两数对数的和，最后利用性质③，转化为幂指数与底数的对数的积．解：(1)log a xyz＝log a (xy )－log a z ＝log a x ＋log a y －log a z ；(2)log a x 2y 3z＝log a (x 2y )－log a 3z＝log a x 2＋log a y －log a 3z ＝2log a x ＋12log a y －13log a z .点评：对数的运算性质实质上是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘例2 求值：(1)；(2)log 3127.解：(1)解法一：设x =，则(3)x ＝33＝(3)3，所以x ＝3.解法二：33==.(2)解法一：令x ＝log 3127，则3x ＝127，即3x ＝3－3，所以x ＝－3.解法二：log 3127＝log 33－3＝－3.例3 计算：(1)lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18；(2)lg 243lg 9；(3)lg 27＋lg 8－3lg 10lg 1.2.解：(1)解法一：lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18＝lg(2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.解法二：lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18＝lg 14－lg ⎝⎛⎭⎫732＋lg 7－lg 18＝lg 14×7⎝⎛⎭⎫732×18＝lg 1＝0. (2)lg 243lg 9＝lg 35lg 32＝5lg 32lg 3＝52.(3)lg 27＋lg 8－3lg 10lg 1.2＝1133222lg(3)lg23lg(10)32lg10+-⨯＝32(lg 3＋2lg 2－1)lg 3＋2lg 2－1＝32.点评：此例题体现对数运算性质的综合运用，应注意掌握变形技巧，如(3)题各部分变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系；(2)题要避免错用对数的运算性质．对数运算性质的灵活运用、运算性质的逆用常被学生所忽视．例4 设x ＝log 23，求23x －2－3x2x －2－x的值．活动：学生思考观察，教师引导，学生有困难及时提示并评价学生的思考过程．本题主要考查对数的定义及其运算性质．先利用对数的定义求2x ，再求23x ，从而可求，或先化简再代入求值．解法一：由x ＝log 23，得2x＝3,2－x ＝13，所以23x－2－3x 2x －2－x ＝33－⎝⎛⎭⎫1333－13＝32＋3×13＋⎝⎛⎭⎫132＝919. 解法二：由x ＝log 23，得2x＝3,2－x ＝13，所以23x －2－3x 2x －2－x ＝(2x －2－x )(22x ＋1＋2－2x )2x －2－x＝22x ＋1＋2－2x ＝32＋1＋⎝⎛⎭⎫132＝919.知能训练课本本节练习第1,2,3题．【补充练习】1．用log a x ，log a y ，log a z ，log a (x ＋y )，log a (x －y )表示下列各式：(1)log a3xy 2z ；(2)log a ⎝⎛⎭⎪⎫x ·4z 3y 2；(3)2132log ()a xy z-；(4)log a xyx 2－y 2；(5)log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y x －y ·y ；(6)log a ⎣⎡⎦⎤y x (x －y )3. 解：(1)log a3x y 2z ＝log a 3x －log a y 2z ＝13log a x －(2log a y ＋log a z )＝13log a x －2log a y －log a z ； (2)log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ·4z 3y 2＝log a x ＋log a 4z 3y 2＝log a x ＋14(log a z 3－log a y 2) ＝log a x －24log a y ＋34log a z ＝log a x －12log a y ＋34log a z ；(3)2132log ()a xy z-＝log a x ＋12log a y ＋23log a z-＝log a x ＋12log a y －23log a z ；(4)log axy x 2－y2＝log a xy －log a (x 2－y 2)＝log a x ＋log a y －log a (x ＋y )(x －y ) ＝log a x ＋log a y －log a (x ＋y )－log a (x －y )；(5)log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y x －y ·y ＝log a x ＋y x －y ＋log a y ＝log a (x ＋y )－log a (x －y )＋log a y ； (6)log a ⎣⎡⎦⎤yx (x －y )3＝3[log a y －log a x －log a (x －y )]＝3log a y －3log a x －3log a (x －y )．2．已知f (x 6)＝log 2x ，则f (8)等于( )A ．43B ．8C ．18D ．12解析：因为f (x 6)＝log 2x ，x ＞0，令x 6＝8，得316222x==，所以f (8)＝122log 2＝12.另解：因为f (x 6)＝log 2x ＝16log 2x 6，所以f (x )＝16log 2x .所以f (8)＝16log 28＝16log 223＝12.答案：D 拓展提升已知x ，y ，z ＞0，且lg x ＋lg y ＋lg z ＝0，求111111lg lg lg lg lg lg y zz xx yx y z+++⋅⋅的值．活动：学生讨论、交流、思考，教师可以引导．大胆设想，运用对数的运算性质．由于所求的式子是三项积的形式，每一项都有指数，指数中又有对数，因此想到用对数的运算性质，如果能对所求式子取对数，那可能会好解决些，故想到用参数法，设所求式子的值为t .解：令111111lg lg lg lg lg lg y zz xx yxyzt +++⋅⋅=，则lg t ＝⎝⎛⎭⎫1lg y ＋1lg z lg x ＋⎝⎛⎭⎫1lg z ＋1lg x lg y ＋⎝⎛⎭⎫1lg x ＋1lg y lg z ＝lg x lg y ＋lg x lg z ＋lg y lg z ＋lg y lg x ＋lg z lg x ＋lg z lg y ＝lg x ＋lg z lg y ＋lg x ＋lg y lg z ＋lg y ＋lg z lg x ＝－lg ylg y＋－lg z lg z ＋－lg x lg x ＝－3，所以t ＝10－3＝11 000即为所求．课堂小结1．对数的运算性质．2．对数的运算性质的综合应用，特别是性质的逆向使用．课本习题2.2A 组 3,4,5.设计感想在前面研究了对数概念的基础上，为了运算的方便，本节课我们借助指数的运算性质，推出了对数的运算性质，引导学生自己完成推导过程，加深对公式的理解和记忆，对运算性质的认识类比指数的运算性质来理解记忆，强化性质的使用条件，注意对数式中每一个字母的取值范围，由于它是以后学习对数函数的基础，所以安排教学时，要反复练习，加大练习的量，多结合信息化的教学手段，顺利完成本堂课的任务．第3课时作者：刘菲整体设计教学目标1．知识与技能推导对数的换底公式，培养学生分析、解决问题的能力，培养学生的数学应用意识和科学分析问题的精神和态度．2．过程与方法让学生经历推导对数的换底公式的过程，归纳整理本节所学知识． 3．情感态度与价值观通过对数的运算性质、对数换底公式的学习，培养学生的探究意识，培养学生的严谨的思维品质；感受对数的广泛应用．重点难点重点：对数的运算性质、换底公式及其应用．难点：正确使用对数的运算性质和换底公式．教学过程导入新课思路1．问题：你能根据对数的定义推导出下面的换底公式吗？a ＞0，且a ≠1，c ＞0，且c ≠1，b ＞0，log a b ＝log c blog c a.教师直接点出课题：对数与对数运算(3)——对数的换底公式及其应用．思路2．前两节课我们学习了以下内容：1．对数的定义及性质；2．对数恒等式；3．对数的运算性质，用对数的运算性质我们能就同底数的对数进行运算，那么不同底数的对数集中在一起，如何解决呢？这就是本堂课的主要内容．教师板书课题：对数与对数运算(3)——对数的换底公式及其应用．思路3．从对数的定义可以知道，任意不等于1的正数都可作为对数的底，数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数表和自然对数表，只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数，这样，如果能将其他底的对数转换为以10为底或以e 为底的对数就能方便地求出任意不等于1的正数为底的对数，那么，怎么转化呢？这就需要一个公式，即对数的换底公式，从而引出课题：对数与对数运算(3)——对数的换底公式及其应用．推进新课新知探究提出问题(1)已知lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，求log 23的值；(2)根据(1)，如a ＞0，a ≠1，你能用含a 的对数式来表示log 23吗？(3)更一般地，我们有log a b ＝log c blog c a，如何证明？(4)证明log a b ＝log c blog c a的依据是什么？(5)你能用自己的话概括出换底公式吗？ (6)换底公式的意义是什么？有什么作用？活动：学生针对提出的问题，交流讨论，回顾所学，力求转化，教师适时指导，必要时提示学生解题的思路，给学生创造一个互动的学习环境，培养学生的创造性思维能力．对(1)目前还没有学习对数的换底公式，它们又不是同底，因此可考虑对数的定义，转化成方程来解；对(2)参考(1)的思路和结果的形式，借助对数的定义可以表示；对(3)借助(1)(2)的思路，利用对数的定义来证明；对(4)根据证明的过程来说明；对(5)抓住问题的实质，用准确的语言描述出来，一般是按照从左到右的形式；对(6)换底公式的意义就在于对数的底数变了，与我们的要求接近了．讨论结果：(1)因为lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，根据对数的定义，所以100.301 0＝2,100.4771＝3.不妨设log 23＝x ，则2x ＝3，所以(100.301 0)x ＝100.477 1,100.301 0×x ＝100.477 1，即0.301 0x ＝0.477 1，x ＝0.477 10.301 0＝lg 3lg 2.因此log 23＝lg 3lg 2＝0.477 10.301 0≈1.585 0.(2)根据(1)我们看到，最后的结果是log 23用lg 2与lg 3表示，是通过对数的定义转化的，这就给我们以启发，本来是以2为底的对数转换成了以10为底的对数，不妨设log 23＝x ，由对数定义知道，2x ＝3，两边都取以a 为底的对数，得log a 2x ＝log a 3，x log a 2＝log a 3，x ＝log a 3log a 2，也就是log 23＝log a 3log a 2.这样log 23就表示成了以a 为底的3的对数与以a 为底的2的对数的商．(3)证明log a b ＝log c blog c a.证明：设log a b ＝x ，由对数定义知道，a x ＝b ；两边取以c 为底的对数，得log c a x ＝log c b ⇒x log c a ＝log c b ；所以x ＝log c b log c a ，即log a b ＝log c blog c a.一般地，log a b ＝log c blog c a(a ＞0，a ≠1，c ＞0，c ≠1，b ＞0)称为对数的换底公式．(4)由(3)的证明过程来看，换底公式的证明要紧扣对数的定义，证明的依据是：若M ＞0，N ＞0，M ＝N ，则log a M ＝log a N .(5)一个数的对数，等于同一底数的真数的对数与底数的对数的商，这样就把一个对数变成了与原来对数的底数不同的两个对数的商．(6)换底公式的意义就在于把对数式的底数改变，把不同底问题转化为同底问题，为使用运算性质创造条件，更方便化简求值．说明：我们使用的计算器中，“log ”通常是常用对数，因此要使用计算器计算对数，一定要先用换底公式转化为常用对数．如log 23＝lg 3lg 2，即计算log 23的值的按键顺序为：“log ”→“3”→“÷”→“log ”→“2”→“＝”．再如：在前面要求我国人口达到18亿的年份，就是要计算x ＝log 1.011813，所以x ＝log 1.011813＝lg1813lg 1.01＝lg 18－lg 13lg1.01≈1.255 3－1.0390.004 3＝32.883 7≈33(年)．可以看到运用对数换底公式，有时要方便得多．应用示例例1 求log 89·log 2732的值．活动：学生观察题目，思考讨论，互相交流，教师适时提示，学生板演，利用换底公式统一底数；根据题目的特点，底数不同，所以考虑把底数统一起来，可以化成常用对数或以2为底的对数，以3为底的对数也可．解法一：log 89·log 2732＝lg 9lg 8·lg 32lg 27＝2lg 33lg 2·5lg 23lg 3＝109.解法二：log 89·log 2732＝log 29log 28·log 232log 227＝2log 233·53log 23＝109.解法三：log 89·log 2732＝log 39log 38·log 332log 327＝23log 32·5log 323＝109.点评：灵活运用对数的换底公式是解决问题的关键．例2 计算：(1)log 52·log 4981log 2513·log 734；(2)log 43·log 92－12log . 活动：学生积极交流，教师引导，学生展示自己的思维过程，教师对学生的表现及时评价．先利用对数运算性质和换底公式进行化简，然后再求值；对(1)根据题目的特点，底数不同，所以考虑把底数统一起来，再利用对数的运算性质化简．对(2)利用换底公式把底数统一起来，再化简求值．解：(1)原式＝lg 2lg 5·lg 34lg 72lg 3－1lg 52·lg 22lg 73＝12·lg 2lg 5·4lg 32lg 7－lg 32lg 5·2lg 23lg 7＝－3. (2)log 43·log 92－12log ＝log 23log 24·log 22log 29－1422log (32)1log 2＝12log 23·12log 32＋54log 22 ＝14＋54＝32. 点评：在利用对数的换底公式进行化简求值时，一般情况是根据题中所给的对数式的具体特点选择恰当的底数进行换底，如果题目中所给的真数和底数互不相同，我们常选择以10为底的对数进行换底．例3 (1)证明log a x log ab x＝1＋log a b ； (2)已知11log a b ＝22log a b ＝…＝log a n n b ＝λ，求证：1212log ()a a a n nb b b λ= . 活动：学生思考、讨论，教师适当提示：(1)运用对数换底公式，统一成以a 为底的对数可直接得解，或利用对数的定义，分别把三个式子设出，再由定义转化成指数形式，利用指数幂的性质得解；(2)这是条件证明问题，应在现有条件下利用换底公式，转化成积的形式，从题目的结论来看，真数是积的形式，因此要创造对数的和的形式，这就想到先换底，再利用等比性质来解．(1)证法一：设log a x ＝p ，log ab x ＝q ，log a b ＝r ，则x ＝a p ，x ＝(ab )q ＝a q b q ，b ＝a r .所以a p ＝(ab )q ＝a q (1＋r )，从而p ＝q (1＋r )．因为q ≠0，所以p q ＝1＋r ，即log a x log ab x＝1＋log a b . 证法二：显然x ＞0且x ≠1，x 可作为底数，左边＝log a x log ab x ＝log x ab log x a＝log a ab ＝1＋log a b ＝右边．(2)证明：因为log a 1b 1＝log a 2b 2＝…＝log a n b n ＝λ，所以由换底公式得lg b 1lg a 1＝lg b 2lg a 2＝…＝lg b n lg a n ＝λ.由等比定理，所以lg b 1＋lg b 2＋…＋lg b n lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a n ＝λ.所以lg(b 1b 2…b n )lg(a 1a 2…a n )＝λ. 所以1212log ()a a a n nb b b ＝lg(b 1b 2…b n )lg(a 1a 2…a n )＝λ. 点评：在解题过程中，根据题目的需要，把底数转化，换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，该公式既可正用，又可逆用，使用时的关键是选择底数，换底的目的是实现对数式的化简．例4 20世纪30年代，里克特(C.F.Richter)制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大．这就是我们常说的里氏震级M ，其计算公式为M ＝lg A －lg A 0，其中，A 是被测地震的最大振幅，A 0是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差)．(1)假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级(精确到0.1)；(2)5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍(精确到1)?活动：学生审题，教师引导，学生交流，展示自己的思维过程，教师强调实际问题的注意事项．根据题目给出的数学模型及其含义来解决．这是实际问题，但题目给出了数学模型即关系式，关系式是以常用对数的形式给出，因此要利用对数的定义和运算性质，同时注意要使实际问题有意义．解：(1)M ＝lg 20－lg 0.001＝lg 200.001＝lg 20 000＝lg 2＋lg 104≈4.3. 因此，这是一次约为里氏4.3级的地震．(2)由M ＝lg A －lg A 0可得M ＝lg A A 0，即A A 0＝10M ，所以A ＝A 0·10M . 当M ＝7.6时，地震的最大振幅为A 1＝A 0·107.6；当M ＝5时，地震的最大振幅为A 2＝A 0·105.所以，两次地震的最大振幅之比是A 1A 2＝A 0×107.6A 0×105＝107.6－5＝102.6≈398. 答：7.6级地震的最大振幅大约是5级地震的最大振幅的398倍．点评：利用所学知识解决实际问题，是教学的一个难点．知能训练课本本节练习4.【补充练习】(1)已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，则lg 12lg 15等于( ) A ．2a ＋b 1＋a ＋b B ．a ＋2b 1＋a ＋b C ．2a ＋b 1－a ＋b D ．a ＋2b 1－a ＋b(2)已知2lg(x －2y )＝lg x ＋lg y ，则x y的值为( ) A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．4或－1(3)若3a ＝2，则log 38－2log 36＝__________.(4)lg 12.5－lg 58＋lg 0.5＝__________. 答案：(1)C (2)B (3)a －2 (4)1拓展提升探究换底公式的其他证明方法：活动：学生讨论、交流、思考，教师可以引导，大胆设想，运用对数的定义及运算性质和指数幂的运算性质．证法一：设log a N ＝x ，则a x ＝N ，两边取以c (c ＞0且c ≠1)为底的对数，得log c a x ＝log c N ，所以x log c a ＝log c N ，即x ＝log c N log c a .故log a N ＝log c N log c a. 证法二：由对数恒等式，得log Na N a ，两边取以c (c ＞0且c ≠1)为底的对数，得log c N＝log a N ·log c a ，所以log a N ＝log c N log c a. 证法三：令log c a ＝m ，log a N ＝n ，则a ＝c m ，N ＝a n ，所以N ＝(c m )n ＝c mn .两边取以c (c ＞0且c ≠1)为底的对数，得mn ＝log c N ，所以n ＝log c N m ，即log a N ＝log c N log c a. 对数换底公式的应用：换底公式log a N ＝log c N log c a(c ＞0且c ≠1，a ＞0且a ≠1，N ＞0)的应用包括两个方面，即由左端到右端的应用和由右端到左端的应用，前者较为容易，而后者则易被学生忽视，因此，教学时应重视后者的用法，下面仅就后者举例说明：例：化简：log a M log a N ＋log b M log b N ＋log c M log c N ＋log d M log d N.解：原式＝log N M ＋log N M ＋log N M ＋log N M ＝4log N M .课堂小结1．对数换底公式；2．换底公式可用于对数式的化简、求值或证明．若对数式的底数和真数可转化成同底数的幂的形式，则该幂底数可被选作换底公式的底数，也可把对数式转化成以10为底的常用对数或以任意数a (a ＞0且a ≠1)为底的对数式的形式．作业课本习题2.2A 组 6,11,12.【补充作业】1．已知1271log 7a =，131log 5b =，求log 81175的值．解：因为1271log 7＝log 277＝13log 37＝a ，所以log 37＝3a . 又因为131log 5＝log 35＝b ，所以log 81175＝14log 3(25×7)＝14(log 325＋log 37)＝14(2log 35＋log 37)＝3a ＋2b 4. 2．求证：(log 23＋log 49＋log 827＋…＋2log 3n n )log 9n 32＝52. 证明：左边＝(log 23＋log 49＋log 827＋…＋log 2n 3n )log 9n 32＝(2222log 3+log 3+log 3++log 3n)·1nlog 932 ＝n log 23·1n log 332＝log 23·52log 32＝52＝右边．设计感想本堂课主要是学习对数的换底公式，它在以后的学习中有着非常重要的应用，由于对数的运算性质是在同底的基础上，因此利用对数换底公式把不同底数的对数转化为同底显得非常重要，有时也可以逆用对数的换底公式达到我们的目的，特别是实际问题的应用十分广泛，因此要反复训练，强化记忆，所以设计了大量的例题与练习，授课时要加快速度，激发学生学习的兴趣，多运用多媒体的教学手段．备课资料【备选例题】【例1】化简：log a M log b N ·log b M log c N ·log c M log d N ·log d M log a N. 解：原式＝log a M log a N ·log b M log b N ·log c M log c N ·log d M log d N＝log N M ·log N M ·log N M ·log N M ＝(log N M )4. 【例2】求证：log a b ＝1log b a(a ＞0，b ＞0且a ≠1，b ≠1)．证法一：log a b ＝log b b log b a ＝1log b a. 证法二：1log b a ＝log b b log b a＝log a b . 【例3】试证：1log 2x ＋1log 3x ＋1log 4x ＋…＋1log n x ＝1log n ！x. 证明：1log 2x ＋1log 3x ＋1log 4x ＋…＋1log n x＝log x (2×3×4×…×n )＝log x(1×2×3×4×…×n)＝log x n！＝1log n！x.【知识拓展】对数的创立对数是中学初等数学中的重要内容，那么当初是谁首创“对数”这种高级运算的呢？在数学史上，一般认为对数的发明者是16世纪末到17世纪初的苏格兰数学家——纳皮尔(J.Napier，1550—1617)男爵．在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科．可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间．纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于独立发明了对数．当然，纳皮尔所发明的对数，在形式上与现代数学中的对数理论并不完全一样．在纳皮尔那个时代，“指数”这个概念还尚未形成，因此纳皮尔并不是像现行代数课本中那样，通过指数来引出对数，而是通过研究直线运动得出对数概念的．那么，当时纳皮尔所发明的对数运算，是怎么一回事呢？在那个时代，计算多位数之间的乘积，还是十分复杂的运算，因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法．让我们来看看下面这个例子：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、…1、2、4、8、16、32、64、128、256、512、1 024、2 048、4 096、8 192、16 384、…这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表示2的指数，第二行表示2的对应幂．如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的和来实现．比如，计算64×256的值，就可以先查询第一行的对应数字：64对应6,256对应8；然后再把第一行中的对应数字加起来：6＋8＝14；第一行中的14，对应第二行中的16 384，所以有64×256＝16 384.纳皮尔的这种计算方法，实际上已经完全是现代数学中“对数运算”的思想了．回忆一下，我们在中学学习“运用对数简化计算”的时候，采用的不正是这种思路吗？计算两个复杂数的乘积，先查《常用对数表》，找到这两个复杂数的常用对数，再把这两个常用对数值相加，再通过《常用对数的反对数表》查出值的反对数值，就是原先那两个复杂数的乘积了．这种“化乘除为加减”，从而达到简化计算的思路，不正是对数运算的明显特征吗？经过多年的探索，纳皮尔男爵于1614年出版了他的名著《奇妙的对数定律说明书》，向世人公布了他的这项发明，并且解释了这项发明的特点．所以，纳皮尔是当之无愧的“对数缔造者”，理应在数学史上享有这份殊荣．伟大的导师恩格斯在他的著作《自然辩证法》中，曾经把笛卡儿的坐标、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼茨的微积分共同称为17世纪的三大数学发明．法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯(Pierre Simon Laplace,1749—1827)曾说：“对数，可以缩短计算时间，在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”．。

对数与对数运算(二)优秀导学案

对数与对数运算（二）导学案课题：对数与对数运算（二）执课时间：学习小组：学习目标掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程；能较熟练地运用法则解决问题.重点难点预测重点运用对数运算性质解决问题. 难点对数运算性质的证明方法知识清单（现有知识储备） 1、2、3、学习过程疑难梳理、方法总结教学过程：一、复习准备：1．提问：对数是如何定义的？ → 指数式与对数式的互化：x a N =⇔log a x N =2．提问：指数幂的运算性质？二、讲授新课：1. 教学对数运算性质及推导：① 引例：由p q p q a a a +=，如何探讨log a MN 和log a M 、log a N 之间的关系？设log a M p =, log aN q =，由对数的定义可得：M =p a ，N =q a∴MN =p a q a =q p a +∴a log MN =p +q ，即得a log MN =a log M +a log N② 探讨：根据上面的证明，能否得出以下式子？如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 ，则a a alog (MN)=log M +log N ; a a a M log =log M -log N N； ()n a a log M =nlog M n R ∈① 讨论：自然语言如何叙述三条性质？性质的证明思路？（运用转化思想，先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂运算性质进行恒等变形；然后再根据对数定义将指数式化成对数式）④ 运用换底公式推导下列结论：log log m n a a n b b m =；1log log a b b a= 1. 教学例题：例1. 判断下列式子是否正确，（a ＞0且a≠1，x ＞0且a ≠1，x ＞0，x ＞y ），（1）log log log ()a a a x y x y ⋅=+ （2）log log log ()a a a x y x y -=-（3）log log log a a a x x y y =÷ （4）log log log a a a xy x y =-（5）(log )log n a a x n x = （6）1log log a a x x =-（7）1log log n a a x x n =例2（ P 65例3例4）：用log a x ，log a y ，log a z表示出（1）（2）小题，并求出（3）、（4）小题的值.（1）log a xy z（2）23log 8a x y （3）75log (42)z ⨯ （4）5lg 100三、巩固练习：1、P 681、2、32. 设lg 2a =,lg3b =，试用a 、b 表示5log 12.变式：已知lg ２＝0.3010，lg ３＝0.4771，求lg ６、lg12、lg 3的值.3、计算：7lg142lg lg7lg183-+-； lg 243lg9； lg 27lg83lg 10lg1.2+-.4. 试求2lg 2lg2lg5lg5+⋅+的值5. 设a 、b 、c 为正数，且346a b c ==，求证：1112c a b -=四、小结：对数运算性质及推导；运用对数运算性质；换底公式.五、作业：P 743、4、5后记：。

2.2.1对数与对数运算导学案

2.2.1 对数与对数运算导学案【学习目标】理解对数的含义及对数的运算.【教学重点】：（1）对数的定义；（2）指数式与对数式的互化【教学难点】：推导对数性质一、问题引入：（1）32= (2) 83=a ,则a = (3)2002年我国GDP 为a 亿元，如果每年平均增长8%,那么经过多少年GDP 是2002年的2倍？二、辅导自学阅读课本62页内容，完成下列内容：1、对数的概念：一般地，如果那么数x 叫做以的对数，记作，其中a 叫做对数的，N 叫做。

注意：底数的限制： ;真数的限制：2、两个重要对数（1）常用对数：以为底的对数，简记为；（2）自然对数：以为底的对数，简记为；3、对数与指数的互化：三、例题分析例1：将下列对数式写成指数式。

（1）532log 2= （2）4811log 3-= （3）31000lg = （4）381log 2-=()10≠>=a a N a x 且N 10log N e log例2：将下列指数式写成对数数式。

（1）62554= （2）64126-= （3）73.531=m ）（例3：求下列各式x 的值：（1）32log 64-=x (2)68log =x (3)x =100lg四、探究活动（对数的性质））探究1：求下列各式的值：（1）（2）（3）探究2：求下列各式的值：（1）（2）（3）探究3：1、求下列各式的值：（1）（2）1log 33log 36.0log 772、求下列各式的值：（1）；（2）；（3）思考：你发现了什么？归纳：1、“1”的对数等于，即=1log a，类比 2、底数的对数等于“1”，即=a a log 3、对数恒等式：4、对数恒等式：5、和没有对数。

【巩固训练】1.把下列各题的指数式写成对数式:(1)42＝16; （2）30=1; （3）4x ＝2 （4）2x ＝0.5;(5)54=625 (6)3-2= (7)()-2=16. 2.把下列各题的对数式写成指数式:(1)x ＝log 527 (2)x ＝log 87 (3)x ＝log 43(4)x ＝log 7; (5)log 216=4; (6)log27=-3;433log 410lg 10=a 9141313.求下列各式中x的值:(1)log8x=(2)logx27=3(3)log2（log5x）=1 (4)log3（lgx）=0 32。

高中数学《对数与对数运算》导学案

第二章基本初等函数§2.2.1对数与对数运算一、【学习目标】1. 理解对数的概念，掌握指数式与对数式的互化；2. 熟练运用对数的运算性质，掌握化简,求值的技巧。

【重点、难点】对数的概念和指数式与对数式的互化，对数运算性质的应用；对数概念的理解，对数运算化简、求值技巧。

二、学习过程【情景创设】1. 通过与指数式的比较，引出对数定义与性质；2. 结合幂的运算性质，推导出对数的运算性质。

【导入新课】1. 对数的概念一般地，若，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，a 叫做对数的底数，N 叫做真数。

2. 指数式与对数式的互化 log x a a N N x =⇔=3. 两种特殊的对数（1）对数10log lg N N 记为（2）对数e log ln N N 记为(e=2.71828…)4. 结论（1）没有对数（2）1的对数为，同底的对数为，即log 10,log 1.a a a ==5. 对数的运算性质（1）log log log a a a M N MN += （0M > ， 0N > ， 0a >且1a ≠）（2）log log log a a a M M N N-= （0M > ， 0N > ， 0a >且1a ≠）（3）log log n a a n M M = （0M >， 0N > ， 0a >且1a ≠ ， n N +∈）三、典例分析例1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：（1）54=625 (2)61264-= (3)1() 5.733m =(4) 3log 92= (5)5log 1253= (6) 12log 164=-例2 用log a x ，log a y ，log a z 表示下列各式。

（1）log a xy z （2）log a例3 求下列各式的值。

（1）752log (42)⨯ （2）【变式拓展】1．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：2(1)416= 21(2)39-= 1(3)()53m =255(4)log 2= 412(5)log 2=- 11000(6)log 3=-2．计算下列各式的值（1）23log (279)⨯ （2）7log （3）7lg142lg lg 7lg183---（4）lg 243lg9 （5四、总结反思1. 理解对数的概念，掌握指数式与对数式的互。

优秀教案20-对数与对数运算(2)

2.2.1对数与对数运算（2）教材分析本节内容是数学1第二章基本初等函数 2.2.1对数与对数运算的第二课时.对数与对数运算是学生学习了指数运算后学习的又一重要运算，要求理解对数的运算性质，能灵活运用对数运算性质进行对数运算.本节课是在学习了“对数的概念”后进行的，是上节内容的延续与深入，也是为研究学习后续知识对数函数与性质的作必备的知识和思想上的准备，起到了承上启下的重要作用.课时分配本节内容用1课时的时间完成，主要讲解对数运算性质的推导、证明及应用运算性质进行简单的对数运算、解决简单的数学问题.教学目标重点: 探究、发现对数的运算性质及运算性质的简单应用. 难点：对数运算性质的发现与证明以及正确使用对数的运算性质. 知识点：对数的运算性质.能力点：能利用对数运算性质解决简单的数学问题，通过自主探究发现对数的运算性质及证明，提高学生合情推理、等价转化和类比归纳等数学思维能力.教育点：经历由特殊到一般、由已知到未知、由具体到抽象的研究数学问题的过程，培养学生的观察力与团队合作精神，体会探究的乐趣，激发学生的学习热情.自主探究点：探究发现对数的运算性；并利用类比的方法证明对数的运算性质（2）和（3）. 考试点：利用对数的运算性质进行对数运算.易错易混点：运用对数运算性质时，学生容易忽略对数式中的底数、真数的取值范围；容易自创公式、误用公式，如：log ()log log a a a M N M N ±=±，log ()log log a a a M N M N ⋅=⋅等.拓展点：课外探究怎样进行不同底数的对数间的运算？为换底公式的讲解做铺垫.教具准备多媒体课件、投影仪课堂模式学案导学一、引入新课（一）知识回顾：（教师出示多媒体课件并提出问题） 1.对数是怎样定义的？2.对数与指数有怎样的相互转化关系？3.指数有哪些运算性质？【师生活动】教师提出问题，学生思考并回答问题，教师根据学生回答进行板书.【设计意图】“温故知新”学习新知识前的简单知识回顾，能唤起学生的记忆，引发学生的学习兴趣．通过知识回顾为学习新内容作好知识上的准备，更为学生自主探究铺平道路．二、探究新知（一）归纳运算性质1.猜想问题：类比指数的运算性质，你能猜想对数的一些运算性质吗？[设计意图]培养学生自主发现问题、提出问题的能力，并为下一步探究发现对数运算性质指明方向. 2.探究、发现计算下列各式的值：（出示多媒体课件）（1）2log 64，2log 4，2log 16；（2）3243log 27，3log 9，3log 27；（3）23log 9，32log 9⋅. 师：请计算上述各组的对数值. 生：学生解答，得出答案：（1）2log (416)6⨯=，2log 42=，2log 164=；（2）3243log 227=，3log 2435=，3log 273=；（3）23log 94=，32log 94⋅=.师：引导学生分组讨论，你能发现各组对数值之间有哪些等价关系吗？生：分组讨论，同学间交流各自的意见，得出各组对数值之间的等价关系.222log (416)log 4log 16⨯=+； 333243log log 243log 2727=-；23log 932log 9=⋅. 师：将上述等式关系进行板书，并继续提问：你能发现一般形式的结论吗？例如：2log ()=?M N ⋅，3log =?MN，3log =?n M . 生：学生经过思考给出答案.222log ()=log +log M N M N ⋅，333log =log log MM N N-，33log log n M n M =.师：要注意M 和N 的取值范围(0)M N >，.对任意的底数a （01a a >≠，且）有没有更一般的结论呢？生：思考得出各自的成果，然后进行分组讨论，并最终分析得出小组成果. 师：将小组得出的成果进行投影展示.经过师生对话将小组成果进行完善，分析得出对数可能的运算性质：如果01a a >≠，且，00M N >>，，那么（1）log ()log log a a a M N M N ⋅=+；（2）log log log aa a MM N N=-；（3）log log ()na a M n M n R =∈【设计意图】通过具体对数计算进行引入，为学生的自主探究创设情景，引发学生探究知识的兴趣，培养学生归纳、概括、提出数学问题的能力和由特殊到一般的科学思维方法.避免直接将公式抛给学生．【设计说明】通过问题探究发现公式，培养学生分析、归纳、猜想的数学思维能力；通过生生、师生间的探讨、合作，培养学生的观察力与团队合作精神.（二）公式证明在上节课中，我们知道，指数式与对数式可以互化，即对数式可看作指数运算的逆运算，那么我们能不能把未知的对数问题转化为已知的指数问题呢？【设计意图】沟通本节内容与前面章节内容的联系，启发引导学生利用指数幂的运算性质及指数与对数的关系进行证明.分析：运用转化思想，通过假设，将对数式化成指数式，并利用指数幂的运算性质进行等价变形，进而证明对数运算性质．证明：设log log a a M m N n ==，，由对数定义得：m na M a N ==，.+m n m n M N a a a ∴⋅=⋅=，log ()log log a a a M N m n M N ∴⋅=+=+.【设计意图】让学生明确由“归纳一猜想”是发现数学结论的有效方法；回归对数定义，让学生体会对数定义在证明过程所发挥的关键作用，回到最原始（定义）的地方是解决数学问题的有效策略．师：你能按照以上的方法证明对数运算的其它性质吗？生：学生板演展示自己的证明过程.请同学们观察证明过程，若有问题引导学生一起指正、完善. 通过师生对话，最终给出完整的证明过程.【设计意图】通过自己推导证明另两条运算性质，使学生进一步理解对数与指数间的关系；培养学生的逻辑推理能力和自主发现问题、解决问题的能力，进而激发学生自主学习的热情.三、理解新知1.师：对数的运算性质中，各字母的取值范围有何限制条件？生：01a a >≠，且，00M N >>，．师：判断下列两式的正误：（1）222log (10)2log (10)-=-；（2）lg[(2)(5)]lg(2)lg(5)-⋅-=-⋅-．生：（1），（2）都不对，因为负数没有对数．师：很好，只有所给对数和所得结果中的对数都存在时，等式才能成立．【设计意图】通过即行练习，进行辩错巩固，深化对运算性质适用范围的理解． 2.师：分析对数运算性质的结构特点，能用语言叙述运算性质吗？生：通过合作交流，分组讨论，得出结论. 师生共同总结运算口诀：（1）两个正数乘积的对数等于这两个正数对数的和；（2）两个正数商的对数等于这两个正数对数的差；（3）一个正数的n 次方的对数等于这个正数的对数的n 倍.即：积的对数=对数的和；商的对数=对数的差；n 次方的对数=对数的n 倍.【设计意图】通过师生共同总结加强对公式正确形式的理解，正确认识公式、记忆公式，学会学习． 3.性质（1）可以推广到n 个正数的情形：111230,,,,01n a a M M M M >≠> ，且，123123log ()log log log log +++a n a a a a n M M M M M M M M ⋅⋅=+ .4.对数运算性质既可正用，也要注意逆用.【设计意图】为准确地运用新知——利用对数运算性质进行化简、求值、证明作必要的铺垫.四、运用新知例1（见教材例3）用log a x ， log a y ，log a z 表示下列各式：（１）log a xy z ；（２）log a分析：正向利用对数运算性质直接化简.学生自主完成例1，并请学生到前面板演解题过程.教师引导学生共同批改学生答案，探讨解题中出现的问题和解题的关键点，并校对自己的答案．解：（1）log axyzlog ()log log log log a a a a a x y zx y z =⋅-=+-；（2）log a22log (log log log log 112log log log .23a a a aa a a a x x x y z =-=+=+-[设计意图]培养学生反思、总结的习惯．例2(见教材例4) 求下列各式的值：（1）752log (42)⨯；（2）（3）2(2)log (8)--. 解：（1）752log (42)⨯7522=log 4log 2+227log 45log 2=+72519=⨯+=；（2）15lg100=21lg105= 25=. （3）2(2)log (8)-- 2221log log 224-===- 点评：本题运算的实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减运算.第（1）小题是性质（1）和性质（3）的综合运用，注意先做积的对数，后做幂的对数；第（3）小题若拆成22log (2)log (8)---就要犯错了，要当心真数大于零（回扣理解新知部分）．[设计意图]巩固所学的运算性质，提高计算能力；通过简单的对数计算，使学生进一步熟悉对数运算性质的结构特点，学会正确选择公式，而不是死记公式．练习：教材68P ：1、2[设计意图] 通过练习规范学生的解题步骤，加强熟练应用公式的能力．例3计算1324lg 2493- 分析：解本题的关键是充分运用对数的运算性质，把式子中的项拆开，在重新组合；运算时，一般先化简合并同类项．解：（1）1324lg 2493-1411(lg32lg 49)lg8lg 2452322=--⨯+ 52321411(lg 2lg 7)lg 2lg(57)2322=--⨯+⨯ 51lg 2lg 72lg 2lg5lg 722=--++ 11lg 2lg522=+1lg(25)12=⨯= 思考：本题还有其它解法吗？学生：有！给出解法.（如有困难，提示学生逆向运用对数运算性质，引导学生将原式变形）方法二：1324lg 2493-213232lg()lg8lg(749=-+23lg lg8lg(77=-+17lg 42===．[方法总结]这类问题一般有两种处理方法：一种是将式中真数的积、商、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；另一种方法是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值.[设计意图]“通过一题多解”发散思维，掌握对数运算的变形技巧，体会运算性质的正用和逆用.（回扣理解新知部分）五、课堂小结教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？学生作答：1．知识：对数运算性质：如果01a a >≠，且，00M N >>，，那么（1）log ()log log a a a M N M N ⋅=+；（2）log log log aa a MM N N=-；（3）log log ()na a M n M n R =∈2．思想：合情推理、等价转化、类比归纳和由特殊到一般的思想．教师总结: 1.对数的运算性质2.对数运算的易错点（请同学们一定不要自创公式,要灵活运用公式）在发现对数运算性质的过程中运用了观察，归纳，猜想，类比等数学方法，体现了由特殊到一般的数学思想。

新人教A版必修1高中数学2.2.1-2对数与对数运算导学案

高中数学 2.2.1-2对数与对数运算导学案新人教A 版必修1学习目标：掌握对数的运算性质学习重点：对数的运算学习过程：一、理论学习对数的运算性质：如果0,01,0>>≠>N M a a ，且，那么：（1）N M N M a a a log log )(log +=∙ （2）N M NMa a alog log log -= （3）)(log log R n M n M a n a ∈=（4）)0(log log ≠∈=b R n b M bn M a n a b，、（5）)1,(log log log ≠∈=a R cb a abb c c a 、、二、实践应用 1、求下列各式的值（1）=⨯)24(log 572 （2）=5100lg（3）=⨯)927(log 23 （4）=2100lg（5）=00001.0lg （6）=e ln(7)=-3log 6log 22(8)=+2lg 5lg(9)=+31log 3log 55(10)=-15log 5log 33(11)=+25.0log 10log 255（12）=-64log 325log 225（13）=)16(log log 22（14）=)25(log log 5412、已知b a ==3lg ,2lg ，求下列各式的值（1）=6lg （2）=4log 3（3）=12log 2 （4）=23lg3、化简下列各式：（1）=⋅a c c a log log（2）=⋅⋅⋅2log 5log 4log 3log 5432（3）=++)2log 2)(log 3log 3(log 9384三、课后反思计算题1、 lg 5·lg 8000＋06.0lg 61lg )2(lg 23++.2、求x 的值lg 2(x ＋10)－lg(x ＋10)3=4.3、求x 的值23log 1log 66-=x .4、求x 的值9-x －2×31-x =27.5、求x 的值x )81(=128.6、求x 的值5x+1=123-x .7、10log 5log )5(lg )2(lg 2233++·.10log 188、 (1)lg 25+lg2·lg50; (2)(log 43+log 83)(log 32+log 92). 9、求121log 8.0--=x x y 的定义域.10、log 1227=a,求log 616.11、求log 927的值.12、设3a =4b =36,求a 2＋b1的值.13、求x 的值log 2(x －1)+log 2x=114、求x 的值4x +4-x －2x+2－2-x+2+6=015、求x 的值24x+1－17×4x +8=016、求x 的值log 2(x －1)=log 2(2x+1) 17、求x 的值log 2(x 2－5x －2)=218、求x 的值log 16x+log 4x+log 2x=719、求x 的值log 2[1+log 3(1+4log 3x)]=120、求y 的值lg(y －1)－lgy=lg(2y －2)－lg(y+2)21、求x的值lg(x2+1)－2lg(x+3)+lg2=022、求x的值lg2x+3lgx－4=0。

对数及其运算导学案2

导学案课题：对数及其运算（二）编码：数学必修1 编制人：审核人: 班级姓名：小组：1. 掌握对数的运算性质2. 能较熟练地运用对数运算法则解决问题.3. 知道用换底公式能把一般对数式化成自然对数或常用对数试一试：1.你能否利用指对数的关系推导对数的换底公式？2. 运用换底公式推导下列关系式：log m n a b =？1log log a b b a与的关系.复习回顾：：1. 指对数关系：x a N =⇔2.对数的运算性质：如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 ，则（1） log ()a MN = （2） log a M N= （3） log n a M = （4） log a Na= ．3.换底公式log a b = （0a >，且1a ≠； 0b >）．温故练习：1. 2121log log 22+= .2.315lglg 523+= . 3. 设n m a a ==3log ,2log ，求nm a +2的值.4. 已知 lg 3 = a ， lg 7 = b ，用 a ，b 表示lg 63.例1：（1）求32log 9log 278∙的值（2）求证z z y x y x log log log =⋅例2：已知b a ==4log ,3log 55，求：12log 25 (用a,b 表示)例3：1995年我国人口总数是12亿，如果人口的年自然增长率控制在1.25℅，问哪一年我国人口总数将超过14亿？（用式子表示）1. 2lg 2lg2lg5lg5+⋅+=2.2.π67log 7ln 6log e =_____________3.设3643==yx，求yx 12+= 4. 已知518,9log 18==b a ，求45log 36.1. 化简：（1）222lg5lg8lg5lg20(lg2)3+++；（2）()()24525log 5+log 0.2log 2+log 0.5. 2. 若()()lg lg 2lg2lg lg x y x y x y -++=++，求xy的值．3. 设a 、b 、c 为正数，且346a b c ==，求证：1112c a b-=.谈一谈你的收获 :。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

姓名：组别：班别：得分：
第1页
高一数学
《2.2.1-2对数的运算》导学案
编写：熊柳芝审核：马庆高唐晖编号:005
[目标展示]
1、掌握对数的运算性质，能运用运算性质进行对数的有关计算；
2、了解换底公式，能用换底公式将一般对数化为自然对数或常用对数。

[重点难点]
重点： 1、利用对数的运算性质进行对数运算；难点： 1、对数的运算性质的证明；
2、利用换底公式解题。

[课前预习]
1、复习指数式与对数式的互化
如果)10(≠>=a a N a x 且，那么=x 2、指数的运算性质
（1）=∙n m a a
（2）=÷n m a a
（3）=n m a )( 3、对数的运算性质
如果10≠>a a ，，M>0，N>0，那么（1）=∙)(log N M a
（2）=)(log N
M
a
（3）=n a M log 4、换底公式
______________________（1010≠>≠>c c a a ，且；，且）
[达成目标]
1、用x a log ，y a log ，z a log 表示下列各式：
（1）z xy
a log ；（2）32log z
y x a
2、求下列各式的值：
（1）)24(log 572⨯；（2）5100lg ； 3、求下列各式的值：
（1）8.1log 3
7
log 2-35log 555+；（2）42log 2
1
12log 487log 222
-+；（3）22)2(lg 20lg 5lg 8lg 3
2
5lg +∙++
4、利用对数的换底公式化简下列各式：（1）a c c a log log ∙；
（2）2log 5log 4log 3log 5432∙∙∙；
（3）（3l
o g 3l o
g 8
4
+）（2l
o g 2l o
g 9
3
+）.
[我的疑问]
请将预习过程中未能解决的问题写在下面，准备课堂上与老师和同学们进行讨论交流解决。

姓名：组别：班别：得分：
第2页
[合作探究]
1、请问：b a ab 333log log )(log +=一定成立吗？为什么？
2、换底公式有何作用？如何选用换底公式？
[课内巩固训练]
1、用x lg ，y lg ，z lg 表示下列各式：
（1）)lg(xyz ；（2）z
xy 2
lg ；
（3）z
xy 3lg
；（4）z
y x
2lg
；
2、求下列各式的值：
（1）)927(log 3⨯；（2）2
100lg ；
（3）00001.0lg ；（4）5ln e ；
（5）3log -6log 22；（6）10lg 5lg +；（7）3log 3
1
log 55+；（8）15log -5log 33
3、
（1）求值：10log 9log 8log 7log 6log 98765∙∙∙∙
（2）已知b a ==3lg 2lg ，，用a ，b 表示12log 3
（3）若a =5log 3，求75log 15；
（4）化简：
7
log 1
7log 17log 1235++.。