6 三角形的尺规作图
三角形知识总结与尺规作图知识点
（4)相似三角形面积的比等于相似比的平方。
5、相似多边形
（1）如果两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比(或相似系数）
（2）相似多边形的性质
①相似多边形的对应角相等，对应边成比例
②相似多边形周长的比、对应对角线的比都等于相似比
3、三角形相似的判定
（1）三角形相似的判定方法
①定义法:对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似
②平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似
③判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似,可简述为两角对应相等，两三角形相似.
结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。
结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。
考点四、相似三角形
1、相似三角形的概念
对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。相似用符号“∽"来表示,读作“相似于"。相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。
2、相似三角形的基本定理
③相似多边形中的对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比
④相似多边形面积的比等于相似比的平方
6、位似图形
如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心,此时的相似比叫做位似比.
性质：每一组对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比都等于位似比。
④判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等,那么这两个三角形相似,可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.
三角形全等的判定ASA-AAS及尺规作图五种基本作
以上内容是基于给定的大纲和指令进行的扩 展，但请注意，由于缺乏具体细节和背景信 息，某些描述可能不够精确或全面。如有需 要，请进一步补充和修正。
04
asa-aas在实际问题中的 应用
在几何证明题中的应用
在几何证明题中，asa-aas判定定理常常用于证明两个三角形全等。通过比较两 个三角形的两边和夹角，如果满足条件，则两个三角形全等，从而可以得出其他 相关结论。
asa-aas的发展方向
拓展适用范围
实际应用研究
研究如何将ASA-AAS判定应用于更广 泛的情况，例如处理只有一边和两个 角的情况或者只有两边和夹角的情况。
研究如何将ASA-AAS判定应用于解决 实际问题，例如几何证明、建筑设计、 工程测量等领域。
引入其他判定方法
研究如何将其他三角形全等判定方法 （如SAS、SSS、HL等）与ASA-AAS 判定相结合，以拓展其应用范围。
经过一点做已知直线的垂线
总结词
垂线的作法
详细描述
在给定的直线上选择一个点，然后使 用圆规在该点上画圆，与直线相交于 两点。连接这两点即可得到经过该点 的垂线。
作已知角的角平分线
总结词
角平分线的作法
详细描述
在给定的角内，使用圆规以角的顶点为圆心画圆，与角的两 边相交于两点。连接这两点即可得到该角的角平分线。
Hale Waihona Puke VS应用在尺规作图中，可以利用asa-aas判定三 角形全等来确定未知点的位置。例如，已 知一个三角形的两个角和一边，可以通过 asa-aas判定另一个三角形与之全等，从 而确定未知点的位置。
利用asa-aas解决实际问题
• 实例：在建筑设计中，常常需要确定某一点的位置使得该点到 两个已知点的角度相等。通过asa-aas判定定理，可以确定未知 点的位置，从而满足建筑设计的需求。
三角形的尺规作图
三角形的尺规作图
06
应用
在几何问题中的应用
确定三角形形状
解决几何问题
通过尺规作图，可以确定给定条件的 三角形形状，如等腰三角形、直角三 角形等。
通过三角形的尺规作图，可以解决各 种几何问题，如求三角形面积、证明 线段相等或垂直等。
证明几何定理
利用三角形的尺规作图，可以证明几 何定理，如塞瓦定理、梅涅劳斯定理 等。
在奥林匹克数学竞赛中，三角形的尺规作图是常用的解题技巧之 一，用于解决几何问题。
数学奥林匹克国家队选拔赛
在数学奥林匹克国家队选拔赛中，三角形的尺规作图也是重要的考 察内容之一。
国际数学奥林匹克竞赛
在国际数学奥林匹克竞赛中，三角形的尺规作图也是选手必须掌握 的基本技能之一。
THANKS.
三角形的尺规作图
汇报人： 2024-01-02
目录
• 尺规作图的基本知识 • 三角形的性质和分类 • 三角形的尺规作图方法 • 特殊三角形的尺规作图 • 三角形的尺规作图技巧 • 三角形的尺规作图应用
尺规作图的基本知
01
识
尺规作图定义
尺规作图
使用无刻度的直尺和圆规进行图 形构造的方法。
限制条件
现代应用
尺规作图在几何学、工程 制图等领域有广泛的应用 。
02
三角形的性质和分
类
三角形的基本性质
三角形的不变形性
三角形的三边长度和三个 角的大小在尺规作图过程 中保持不变。
三角形的稳定性
三角形是一种稳定的几何 图形，不易发生形变。
三角形内角和定理
三角形的三个内角之和等 于180度。
三角形的边和角
直角三角形
总结词
直角三角形是一种有一个角为直角的三角形，其作图方法需要利用勾股定理。
《三角形的尺规作图》教案
《三角形的尺规作图》教案教学目标1、在分别给出的两角夹边、两边夹角和三边的条件下，能够利用尺规作三角形．2、能结合三角形全等的条件与同伴交流作图过程和结果的合理性．教学重点根据题目的条件作三角形．教学难点探索作图过程．教学工具圆规、直尺准备活动(1)计算已知线段a，求作线段AB，使得AB＝a．(2)已知：∠α，求作：∠AOB，使∠AOB＝∠α．(3)已知：M为∠AOB边上的一点，如图所示，过M作直线CD，使得CD//OA．教学过程内容一：(根据简单图形书写作法)(1)如图，使用直尺作图，看图填空．①②③④①过点____和_______作直线AB；②连结线段___________；③以点_______为端点，过点_______作射线___________；④延长线段__________到_________，使得BC＝2AB．(2)如图，使用圆规作图，看图填空：①在射线AM上__________线段________＝___________．②以点______为圆心，以线段______为半径作弧交_________于点___________．③以点______为圆心，以任意长为半径作弧，分别交∠AOB两边，交_________于点__ _________，交________于点__________．这部分内容是为让学生熟悉作法的语言表达而设的．教师应该让学生慢慢理解这种语言表达的意思．逐步学会自己口述表达自己的作图过程．内容二：(作一个三角形与已知三角形全等)1、已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形．已知：线段a，c，∠α．求作：ΔABC，使得BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠α．作法与过程：(1)作一条线段BC＝a，(2)以B为顶点，BC为一边，作角∠DBC＝∠a；(3)在射线BD上截取线段BA＝c；(4)连接AC，ΔABC就是所求作的三角形．给出示范和作法，让学生模仿，教师可以在黑板上做一次示范，让学生跟着一起操作，并在画完图后，让学生再自己操作一遍．而在下面的作图中，就让学生小组内讨论、交流，通过集体的力量完成，教师再给以一定的指导．2、已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形．已知：线段∠α，∠β，线段c．求作：ΔABC，使得∠A＝∠α，∠B＝∠β，AB＝c．作法：(1)作____________＝∠α；(2)在射线______上截取线段_________＝c；(3)以______为顶点，以_________为一边，作∠______＝∠β，________交_______于点_______．ΔABC就是所求作的三角形．先让学生独立思考，探索作图的过程，对可以自己作出图形的学生，要求他们在小组内交流，用自己的语言表述作图过程．教师要注意提醒学生在作图过程中，是以哪个点为圆心，什么长度为半径作图．3、已知三角形的三边，求作这个三角形．已知：线段a，b，c．求作：ΔABC，使得AB＝c，AC＝b，BC＝a．在完成三个作图后，要鼓励学生比较各自所作的三角形，利用重合等直观的方法观察所作的三角形是否全等．在此机会上，引导学生利用已经获得的三角形全等的条件来说明大家所作的三角形一定是全等的，即说明作法的合理性．课程总结能根据题目给出的条件作出三角形．能口述作图过程．课后作业课本习题1、2。
三角形的尺规作图
（2）分别以B，C为圆心，以c，
b（为3半）径连画接弧AB，，两A弧C。交于A点；B
C
△ABC就是所求作的三角形。
1.你能用尺规作一个直角三角形，使其 两条直角边分别等于已知线段a，b吗？ 并写出作法。
a
b
分析：先在草稿纸上画出一个假设的“已 作出的三角形”，会发现是“已知两边及 夹角求作三角形”，所以按照此方法作图。
△ABC和△ABC'就是所求作的三角形。
D
CN
A cα BaC E
两边及夹角
C' α
a
a
A
bBM
两边及一边的对角
感悟：已知三角形的两边及一角并不都能只确定一个三 角形。当已知两边及夹角时可以确定一个三角形，因此 可以用来判定两个三角形全等；而当已知两边及一边的 对角时，会画出两个不同的三角形，因此不能用来作为 判别两个三角形全等的条件。
如何利用尺规作出一个三角形与已知三角形全等？ A
B
C
1．已知三角形的两边及其夹角，求作这 个三角形。
已知：线段a，c，
a
c
求作：△ABC，使BC=a，AB=c，∠ABC=
请按照给出的作法作出相应的图形。
作法
示范
（1）作角
D
DBC
（2）在射线BE上截取线段BC=a， 在射线BD上截取线段BA=c；
B
AD
B
A
（3）连接AC，△ABC就是
所求作的三角形。
B
C C C
将你所作的三角形与同伴作出的三 角形进行比较，它们全等吗？为什么？
两边及它们的夹角对应相 等的两个三角形全等(SAS)。
1.已知三角形的两边及夹角，求作这个三角形。
《三角形的尺规作图》 精选优质课件
已知三角形的三边 求作三角形
它比金子还宝贵，让我们慢慢的品味，细细的品尝
设置疑问 a 在《水浒传》里，我结识了忠义宽容的宋江；
已知:线段a,b,c b 让地球每重 个还 人旧 的貌 一， 生但 中还 之要所旧 以貌 能变 不新 断颜 提， 高到 ，处 与莺 其歌 始燕 终舞 如， 一更 的有 学潺 习潺 是流 分水 不。 开的，所谓活到老学到老，庄子说，吾生也有涯，而知无涯。
虽然我们都明白要多读书，读好书。可 仍然有 一些人 没有养 成良好 的读书 习惯， 究其原 因，那 是因为 他们没 有对读 书产生 兴趣， 兴趣才 是最好 的老师 ！ 读书不仅仅能够让孩子获取广泛的知识 ，陶冶 情操， 还能使 孩子得 到放松 休闲， 缓解焦 虑，调 节情绪 ，与孩 子一齐 读书， 既能留 出一些 时间与 孩子共 处，又 能要求 自己也 养成读 书的习 惯，一 举两得 。 经常读书的人会思考，明白怎样才能想 出办法 。他们 智商比 较高， 能够把 无序而 纷乱的 世界理 出头绪 ，抓住 根本和 要害， 从而提 出解决 问题的 方法。 经常读 书的人 不会乱 说话， 言必有 据，每 一个结 论会透 过合理 的推导 得出， 而不会 人云亦 云、信 口雌黄 。 读书的最终目的当然是为了提高对人性 的认识 ，锻炼 心胸， 逐步训 练感受 幸福的 潜力， 培养自 信心， 构成实 践潜力 。有道 是腹有 诗书气 自华， 因此， 养成阅 读习惯 将受用 终生。 阅读习 惯是在 心灵深 处装了 一部发 动机， 一个人 养成了 读书的 习惯， 一辈子 不寂寞 。养不 成读书 的习惯 ，一辈 子不知 所措。
(3)以B为圆心, C为半径画弧 十于岁是后 ，所一读路之闻书着，书资香料味自，然跟要着丰时富代了的许步多伐，单就就这当么代长文大学了作，品变，老从了伤。痕文学到反思文学，再到改革文学，最后到如今的各种文学潮流
青岛版八年级数学上册《尺规作图(2)》课件
假设这个三 角形已作出
你能作出这个三 角形吗？
1、已知三角形的两角及其夹边，求作这 个三角形。
回顾刚才作三 角形的顺序
Z.x.x. K
还有没有其 他的作法？
2、已知三角形的两边及夹角，求作这个 三角形。
已知：线段a , c , ∠α。
a
c
α
求作：△ABC，使BC=a，AB=c，∠ABC=∠α。
3.已知三角形的三条边，求作这个三角 形。
αβaFra bibliotek2、已知线段a，b和∠α，求作△ABC，使其有一个内角等于∠α ，且∠α的对边等于a，另有一边等于b。
a
b
α
谈 谈 你
本 节 课
收 获 与 疑 惑
的
已知：线段 a，b，c。
a
b
c
求作：△ABC，使AB=c，AC=b，BC=a。
尝试自己分析并作出这个三角形、写出 作法。
1、“手和脑在一块干是创造教育的开始，手脑双全是创造教育的目的。” 2、一切真理要由学生自己获得，或由他们重新发现，至少由他们重建。 3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。 5、数学教学要“淡化形式，注重实质.
尺规作图三角形
1 、 在分别给出的两角夹边、两边夹角和三 边的条件下，能够利用尺规作三角形。 2、 能结合三角形全等的条件与同伴交流 作图过程和结果的合理性。
根据题目的条件作三角形．
探索作图过程
1、已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形。 已知：∠α，∠β，线段c。
α
β
c
求作：△ABC，使∠A=∠α ，∠B=∠β，AB=c。
你会分析作图题吗？
冀教版八年级上册数学第13章 全等三角形 三角形的尺规作图
2．下列作图不是尺规作图的是( )
C
A．用没有刻度的直尺和圆规作线段a等于已知线段
B．用没有刻度的直尺和圆规作一个角等于已知角
C．用刻度尺作一条5cm长的线段
D．用没有刻度的直尺和圆规作一个三角形
3．已知三边作三角形，用到的基本作图是( )
C
A．作一个角等于已知角
B．作已知直线的垂线
C．作一条线段等于已知线段
解：如图所C被墨迹污染了，请你重新作一个△A1B1C1，使 △A1B1C1≌△ABC.(要求：用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹)
解：如图所示，△A1B1C1即为所求作的三角 形．
10．已知：如图，在△ABC中，点D是BC延长线上的一点，且CD＝BC. 求作：△ECD，使△ECD≌△ABC，且点E与点A在BC的同侧．(要求：尺
李华没有对已知中的边和角的位置关系进行分类讨论
6．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，小明做了如 下操作： ①以A为圆心，AB长为半径画弧，交AC于点F； ②以A为圆心，任意长为半径画弧，交AB，AC于
M，N两点，分别以M，N为圆心，以大于M1 N的 长为半径画弧，两弧交于一点P，作射线AP2 ，交
D．作一条线段等于已知线段的和
4．【2020·河北邢台金华中学期中】如图，它是作△ABC的作图痕迹，则此作
图的已知条件是( )
A．已知两边及夹角
C
B．已知三边
C．已知两角及夹边
D．已知两边及一边对角
5．【教材改编题】下面是李华同学设计并完成的“已知两线段及一角作三角形” 的尺规作图过程． 已知：线段m，n及∠O(如图)． 求作：△ABC，使得线段m，n及∠O分别是它的两边和一角． 作法：如图．
冀教版八年级上
全等三角形尺规作图
全等三角形尺规作图xx年xx月xx日CATALOGUE目录•全等三角形基本概念•全等三角形尺规作图基本法则•尺规作图的技巧和方法•尺规作图的实例分析•尺规作图的应用和意义01全等三角形基本概念两个三角形全等是指它们能够完全重合，即三个内角相等且三条边相等。
全等三角形的记号是“≌”，读作“全等形ABCD”或“三角形ABC全等于三角形DEF”。
全等三角形的对应边相等，对应角相等。
全等三角形的对应边上的高相等，对应边上的中线相等，对应角平分线相等。
SSS（Side-Side-Side）：如果三角形的三条边相等，则它们全等。
AAS（Angle-Angle-Side）：如果三角形的两个角相等且这两个角的夹边相等，则它们全等。
ASA（Angle-Side-Angle）：如果三角形的两个角相等且其中一个角的对边相等，则它们全等。
SAS（Side-Angle-Side）：如果三角形的两条边相等且这两条边的夹角相等，则它们全等。
全等三角形的判定方法02全等三角形尺规作图基本法则无刻度直尺只限制长度测量，无法进行面积、角度等测量。
圆规可以用来画圆和圆弧，也可以用来复制图形。
尺规作图的基本概念直接法通过圆规和无刻度直尺，直接画出全等三角形。
间接法通过画出一个三角形，再使用圆规和无刻度直尺，间接画出全等三角形。
全等三角形的尺规作图方法画出三角形使用圆规，以点A为圆心，以AB为半径画圆弧，得到点C；再以点B为圆心，以AB为半径画圆弧，得到点D；连接CD得到三角形ABC。
确定两个已知点确定两个已知点A和B，并连接两点得到线段AB。
判断全等通过比较AC和BC的长度，可以判断三角形ABC和三角形DEF是否全等。
作图步骤03尺规作图的技巧和方法1作图技巧23明确要画的图形，了解所需条件和限制条件。
确定作图目标根据已知条件逐步推导，按照顺序将图形画出来。
画图步骤检查画出的图形是否符合题目要求，确保准确性。
检验作图结果根据等边三角形的性质，通过平分已知角度或边长即可得到三个等边三角形。
七年级数学下册课件(北师大版)用尺规作三角形
解：如图，A 为汽车站的位置，B 为桥的位置，这三个
场所构成一个等腰三角形．
6 综合与实践”学习活动准备制作一组三角形，记这些三
角形的三边分别为a，b，c，并且这些三角形三边的长度
为大于1且小于5的整数个单位长度．
(1)用记号(a，b，c )(a ≤b ≤c )表示一个满足条件的三角
形，如(2，3，3)表示边长分别为2，3，3个单位长度的 一个三角形，请列举出所有满足条件的三角形；
(2)用直尺和圆规作出三边满足a< b<c 的三角形(用给
定的单位长度，不写作法，保留作图痕迹)．
解：(1)共九种：(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，3)， (2，3，4)，(2，4，4)，(3，3，3)，(3，3，4)， (3，4，4)，(4，4，4)．
(2)只有a＝2，b＝3，c＝4的一个三角形．如图， △ABC 即为满足条件的三角形．
知识点 2 用尺规作三角形 做一做 1.已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形.
已知：线段a，c，∠α (如图).
求作：△ABC，使BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠α.
作法与示例：
作法
(1)作一条线段BC＝a；
示范
(2)以B 为顶点，以BC 为一边 作角∠DBC＝ ∠α；
(3)在射线BD上截取线段BA ＝c；
(1)已知，即将条件具体化； (2)求作，即具体叙述所作图形应满足的条件； (3)分析，即寻找作图方法(通常画出草图)； (4)作法，即根据分析所得的作图方法，作出正式图
形，并依次叙述作图过程； (5)说明，即验证所作图形的正确性．其中(3)在草稿
纸上进行，(5)通常省略不写．
例4 如图，△ABC 是不等边三角形，DE＝BC，以D，E 为两个顶 点作位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC 全等，则
尺规作图等腰三角形全等三角形及直角坐标
尺规作图、等腰三角形、全等三角形及直角坐标教学课题尺规作图、等腰三角形、全等三角形及直角坐标教学目标1、 掌握尺规作图的方法，学会用几何语言描述作图过程2、 巩固全等三角形和等腰（等边）三角形的判定证明，加强用几何语言描述的能力3、 掌握平面直角坐标系及相关概念，类比（由数轴到平面直角坐标系）的方法、数形结合的思想． 教学重、难点灵活运用四种全等三角形判定定理；构建平面直角坐标系，掌握平面内点与坐标的对应．◆ 诊查检测：1、 选择题(1)一个正方形在平面直角坐标系中三个点的坐标为（-2，-3）,（-2，-1）,（2，1）,则第四个顶点的坐标为（ ）A ．（2，2） B.（3，2） C.（2，-3） D.（2，3）(2)右图中是在方格纸上画出的小旗图案，若用(0，0)表示A 点，(0，4)表示B 点，那么C 点的位置可以表示为( )A.(0，3)B.(2，3)C.(3，2)D.(3，0)(3)已知点A （a ，b ）在第四象限，那么点B （b ，a ）在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限 D. 第四象限(4) 过两点A （3，4）,B （-2，4）作直线AB ，则直线AB( )A.经过原点B.平行于y 轴C.平行于x 轴D.以上说法都不对(5)在平面直角坐标系中，以点P(-1,2)为圆心，1为半径的圆与x 轴有（ ）个公共点A ．0B ．1C ．2D ．3(6) 如图，把图①中△ABC 经过一定的变换得到图②中的△A 'B 'C '，如果图①的△ABC 上点P 的坐标是),(b a ，那么这个点在图②中的对应点P '的坐标是A ．)3,2(--b aB ．)3,2(--b aC ．)2,3(++b aD ．)3,2(++b a2、填空题(1) 在平面直角坐标系中，点P)1,1(2+-m 一定在第 象限． (2)一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（-1，-1）、（-1，2）、（3，-1），则第四个顶点的坐标为 ． (3)点A （2，0），B （-3，0），C （0，2），则△ABC 的面积为 ．(4)将点P(-3,y)向下平移3个单位，并向左平移2个单位后得到点Q(x,-1)，则xy=_________．A B C3、在所给的图中按所给的语句画图:①连结线段BD; A②过A、C画直线AC；③延长线段AB；④反向延长线段AD． C DE4、如图，使用圆规和直尺分别画出∠AOB和∠BOC的角平分线OM和ON，并说明作图过程．如果∠MON=68º，那么∠AOC应为多少度？5、如图为风筝的图案．（1）若原点用字母O表示，写出图中点A，B，C的坐标．（2）试求（1）中风筝所覆盖的平面的面积．6、如图，在△ABC中三个顶点的坐标分别为A(-5，0)，B(4，0)，C(2，5)，将△ABC沿x轴正方向平移2个单位长度，再沿y轴沿负方向平移1个单位长度得到△EFG。
《三角形的尺规作图》参考课件1
随堂练习
1.利用尺规不能唯一作出的三角形是（
）
A、已知三边
B、已知两边及夹角
C、已知两角及夹边 D、已知两边及其中一边的对角
2.已知∠α和线段a，用尺规作ΔABC，∠A=∠α, ∠C=3∠α, AC=a,则全班同学用尺规作出的ΔABC都是全 等的，其根据是（ ）
A. SSS B. SAS C.ASA D.AAS
费曼学习法--
实操
第五步 反思总结
（五） 反 思 总 结
1. 反思你前面哪个步骤停留时间最长 ；
2. 总结是什么原因造成的
（是之前相关知识基础不牢固 还是这次的某个概念自己理解错了）； 3.反思你思考的时候在哪里卡住了， 着重这个地方，再次理解。
费曼学习法--
实操
第六步 实践检验
（六） 实 践 检 验
1
第一遍知道大概说了什么就行；
2
第二遍知道哪块是重点；
3
第三遍可以做出一些判断。
高效学习逻辑 思维
事实知识（know--what）：知道是什么的知识， 主要叙述事实方面的知识； 原理知识（know--why）：知道为什么的知识 ， 主要是自然原理和规律方面的知识； 技能知识（know--how）：知道怎么做的知识 ， 主要是对某些事物的技能和能力； 人力知识（know--who）：知道是谁的知识 ， 主要是谁知道以及谁知道如何做某些事的能 力；
费曼学习法--实操步骤
1 获取并理解 费
32 根据参考复述 仅靠大脑复述
曼 学
54 循环强化 反思总结
习 法
6 实践检验
费曼学习法--
实操
第一步 获取并理解你要学习的内容
（一） 理 解 并 获 取
三角形的尺规作图
作一个角等于已知角 已知：∠AOB，求作∠A′O′B′，使 ∠A′O′B′＝∠AOB A D′ A′ D
O 作法： C B O′
C′ B′
（ 2 ）以 O为圆心，任意长为半径 OC 长为半 （3 4）以O′为圆心， ）以C′为圆心， DC 长为半 （ 1 ）做射线O′B′ （5）过D′做射线O′A′ 则∠A′O′B′为所求作的角 画弧，交 径画弧，交O′B′于C′点 OA于D点，交OB于 C。 点。 径画弧，交前弧于D′点 。
c
求作：△ABC，使∠A= ，∠B= ，AB=c.
，线段c． ， 已知：
c
求作：△ABC，使∠A= ，∠B= ，AB=c.
c
请按照给出的作法作出相应的图形． 作法 （1）作 DAF ．
示范
D
A
（2）在射线AF上截取线段 AB=c； A （3）以B为顶点，以BA为一边， 作 ABE ，BE交AD于点 C．则△ABC就是所求作的三角 A 形．
C
C' a a
N
A b B M 作法： 1. 作∠MAN=∠α 2. 在射线AM上截取AB=b
α
同样是已知两边及一 角，为什么会出现两 个三角形呢？你从中 可以感悟到什么？
3. 以B为圆心，以a为半径画弧，交AN于点C， C' 4. 连接BC，BC' △ABC和△ABC'就是所求作的三角形。
D
A C'
如何利用尺规作出一个三角形与已知三角 全等？ A
B
C
1．已知三角形的两边及其夹角，求作这 个三角形． 已知：线段a, c, .
三角形尺规作图
第七讲 用尺规作三角形2．基本尺规作图包括：(1)作一条线段等于____________；(2)作一个角等于____________；(3)作一个角的平分线(以后将学到)；(4)作一条线段的垂直平分线(以后将学到)；(5)过一点作已知直线的垂线(以后将学到)．3．利用尺规作三角形，有三种基本类型：(1)已知三角形的两边及其夹角，求作符合要求的三角形，其作图依据是“________”；(2)已知三角形的两角及其夹边，求作符合要求的三角形，其作图依据是“________”；(3)已知三角形的三边，求作符合要求的三角形，其作图依据是“________”．4．已知三边作三角形，用到的基本作图是( )A ．作一个角等于已知角B ．作已知直线的垂线C ．作一条线段等于已知线段D ．作一条线段等于已知线段的和5．如图，已知∠α和线段c ，求作等腰三角形ABC ，使其底角∠B ＝∠α，腰AB ＝c .要求仅用直尺和圆规作图，写出作法，并保留作图痕迹．解：作法如下：(1)作射线BP ，再作∠PBQ ＝∠α；(2)在射线BQ 上截取BA ＝c ；(3)以点A 为圆心，线段c 为半径作弧交射线BP 于点C (除过点B 外)；(4)连接AC .则△ABC 即为所求作的三角形(如图)．6．(中考·咸宁)已知：∠AOB . 求作：∠A ′O ′B ′，使∠A ′O ′B ′＝∠AOB .(1)如图①，以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA ，OB 于点C ，D ；(2)如图②，画一条射线O ′A ′，以点O ′为圆心，OC 长为半径画弧，交O ′A ′于点C ′；(3)以点C ′为圆心，CD 长为半径画弧，与第(2)步中所画的弧交于点D ′；(4)过点D ′画射线O ′B ′，则∠A ′O ′B ′＝∠AOB .根据以上作图步骤，请你说明∠A ′O ′B ′＝∠AOB .解：由作法得OD ＝OC ＝O ′D ′＝O ′C ′，CD ＝C ′D ′.在△OCD 和△O ′C ′D ′中，⎩⎪⎨⎪⎧OC ＝O ′C ′，OD ＝O ′D ′，CD ＝C ′D ′，所以△OCD ≌△O ′C ′D ′(SSS)．所以∠COD ＝∠C ′O ′D ′，即∠A ′O ′B ′＝∠AOB .第七讲用尺规作三角形讲义一、尺规作图1.尺规作图的定义：在几何作图中，把用没有刻度的直尺和圆规作图，简称尺规作图．注意：尺规作图指的是只用没有刻度的直尺和圆规两种工具．2.基本作图：①作一条线段等于已知线段；②作一个角等于已知角；③作一个角的平分线；④作线段的垂直平分线；⑤过一点作已知直线的垂线．二、用尺规作三角形1.已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形.已知：线段a，c，∠α(如图).求作：△ABC，使BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠α.作法与示例：(1)作一条线段BC＝a；(2)以B为顶点，以BC为一边，作角∠DBC＝∠α；(3)在射线BD上截取线段BA＝c；(4)连接AC.△ABC就是所求作的三角形.2.已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形.已知：∠α，∠β，线段c(如图).求作：△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，AB＝c.请按照给出的作法作出相应的图形.作法：(1)作∠DAF＝∠α；(2)在射线AF上截取线段AB＝c；(3)以B为顶点，以BA为一边，作∠ABE＝∠β，BE交AD于点C，△ABC就是所求作的三角形.例1如图所示，已知线段a，c和∠α，求作：△ABC，使BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠α，根据作图在下面空格中填上适当的文字或字母．(1)如图①所示，作∠MBN＝________；(2)如图②所示，在射线BM上截取BC＝_____，在射线BN上截取BA＝________；(3)连接AC，如图③所示，△ABC就是_________________．例2如图，已知：∠α，∠β＝90°，线段a.求作：Rt△ABC，使∠B＝∠α，∠C＝∠β，BC＝2a.(不写作法，保留作图痕迹)例3如图，已知线段a，b，m，求作△ABC，使BC＝2a，AC＝b，且BC边上的中线AD＝m.几何作图的一般步骤：(1)已知，即将条件具体化；(2)求作，即具体叙述所作图形应满足的条件；(3)分析，即寻找作图方法(通常画出草图)；(4)作法，即根据分析所得的作图方法，作出正式图形，并依次叙述作图过程；(5)说明，即验证所作图形的正确性．其中(3)在草稿纸上进行，(5)通常省略不写．例4如图，△ABC是不等边三角形，DE＝BC，以D，E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC全等，则最多可以作出_______个这样的三角形．易错小结如图，已知线段a，b和∠α＝40°，你能作出符合如下要求的唯一三角形吗？AB＝a，BC＝b，∠A＝∠α，若能，写出作法；若不能，请说明理由．。
全等三角形尺规作图
利用辅助线提高作图效率
中线、高线、角平分线
在作全等三角形时，可以利用中线、高线、角平分线等辅助线来帮助定位和构造三角形。这些辅助线能够提供更 多的几何信息，使得作图过程更为精准和高效。
平行线、垂线
在复杂情况下，可以通过构造平行线、垂线等辅助线，将问题分解为更简单的部分进行解决。这种方法能够大大 降低作图的难度，并提高作图的效率。
04
该方法基于全等三角形的对 应角相等性质，通过确保角 度和边长的一致，实现全等 三角形的作图。
05 全等三角形尺规作图的注 意事项与技巧
作图精度控制
使用精确的测量工具
在进行全等三角形尺规作图时，应使用精确的测量工具，如精确 的直尺和圆规，以确保测量的准确性。
细心操作
在作图过程中，要保持细心，避免因为粗心大意导致测量或绘制的 误差。
06 全等三角形尺规作图的应 用与拓展
在几何题中的应用
解题思路简化
全等三角形尺规作图可以用于证 明和求解几何题目，通过构建全 等三角形，可以将复杂的几何问 题转化为简单易解的等式关系。
图形性质研究
利用全等三角形尺规作图，可以 深入探究三角形的各种性质，如 角度、边长等，进一步理解几何
学的基本原理。
步骤一：已知一个三角形及 其各边长度。
步骤二：在作图区域选择一 点作为全等三角形的一个顶 点，并从该点出发绘制已知 三角形的一条边，使其长度 与已知三角形的对应边相等 。
步骤三：按照已知三角形的 边长和角度关系，依次绘制 全等三角形的其他两条边。
该方法利用了全等三角形的 对应边相等性质，通过确保 各边长度一致，从而达到作 图的目的。
实例3：利用对应角法作全等三角形
01
步骤一：已知一个三角形及 其各角度大小。
用尺规作图画三角形的方法
用尺规作图画三角形的方法
要用尺规作图画三角形，需要三个步骤。
第一步：拿起尺规，准备好你要画的图形，例如画一个三角形。
第二步：在纸张上画一条直线，然后拉出尺规的第一端，以三个不容的刻度作为三角形的三边。
可以先将尺规移动到直线下方，然后将尺规旋转90度，按你想要画的三角形的边缘去分别車每一边，再将点连起来画出三角形。
第三步：最后用铅笔将三角形内部的点全部填满，以完成我们用尺规画三角形的步骤。
总之，用尺规画图画三角形共需三步：第一步是拿起尺规，准备好要画的图形，第二步是在纸上画一条直线，通过旋转尺规来画出三角形的三边，第三步是用铅笔将三角形内部的点全部填满，就可以完成我们用尺规画三角形的步骤了。
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13.4 三角形的尺规作图 学习目标： 知识与技能：1.了解尺规作图的含义及其历史背景；已知三边利用尺规作三角形.
2.在给出两边及其夹角的条件下，能够利用尺规作三角形.
3.在给出两角及其夹边的条件下，能够利用尺规作三角形.
过程与方法：会画一个角等于已知角；作角平分线；给定边角条件下，求作三角形； 情感态度与价值观：培养学生作已知线段的垂直平分线；要了解作法的理由.
重 点：尺规作给定边角条件下的三角形.
难 点：探索作图过程.
预习过程：
1、如图,使用直尺作图,看图填空.
① ② ③ ④
① 过点____和_______作直线AB （2）连结线段___________;（3）以点_______为端点,
过点_______作射线___________;（4）延长线段__________到_________,使得BC=2AB.
2、如图,使用圆规作图,看图填空:
在射线AM 上__________线段________=___________.
① 以点______为圆心,以线段______为半径作弧交_________于点___________.
以点______为圆心,以任意长为半径作弧,分别交∠AOB 两边,交_________于点___________, 交________于点__________.
活动一 做一做
已知线段c b a ,,，如何用直尺（没有刻度）和圆规作ABC ∆使得c AB b AC a BC ===,,(三边符合三角形的条件)
a b c
作法：
展示过程：略.
αα
活动二
做一做： 已知三角形的两边及其夹角,求作这个三角形.
已知：线段a ，c ，∠α.
求作：ΔABC ，使得BC= a ，AB=c ，∠ABC=∠α.
作法与过程：
展示过程：略
活动三：
做一做 已知三角形的两角及其夹边,求作这个三角形.
已知：线段∠α，∠β，线段c .
求作：ΔABC ，使得∠A=∠α，∠B=∠β，AB=c.
作法：（1）作线段BC=
(2) 在BC 的同旁，作∠ =∠α， 作∠______=∠β,________与_______交于 .ΔABC 就是所求作的三角形.
∠α+∠β应满足什么条件，才能作出ΔABC ？
[动脑筋]
例：已知一直角边和它相邻的一个锐角，如何作出这个直角三角形呢？
a
已知：锐角∠α 和线段a 如图.
求作：ABC Rt ∆，使∠BCA=90度，AC=a
∠A=∠α
展示过程：略
反馈练习：
选一选
1、利用尺规不能唯一作出的三角形是（）
A、已知三边
B、已知两边及夹角
C、已知两角及夹边
D、已知两边及其中一边的对角
2、利用尺规不可作的直角三角形是（）
A、已知斜边及一条直角边
B、已知两条直角边 C.已知两锐角 D.已知一锐角及一直角边
3、以下列线段为边能作三角形的是（）
A、2厘米、3厘米、5厘米
B、4厘米、4厘米、9厘米
C、1厘米、2厘米、3厘米
D、2厘米、3厘米、4厘米
学后反思：。