高中数学-直线的两点式方程
人教版高中数学必修二3.直线的两点式方程 课件
B(0, b) l
O A(a, 0) x
研读教材P.95－P.96: 1. 直线的两点式方程是什么？
人教版高中数学必修二3.2.2直线的两 点式方 程 课件
研读教材P.95－P.96: 1. 直线的两点式方程是什么？ 2. 直线的两点式方程适用范围是什么？
人教版高中数学必修二3.2.2直线的两 点式方 程 课件
(1)BC边所在直线的方程；
(2)BC边上中线AM所在直线的方程；
(3)高AE所在直线的方程.
y
E
C A
O Mx
B
人教版高中数学必修二3.2.2直线的两 点式方 程 课件
人教版高中数学必修二3.2.2直线的两 点式方 程 课件
课堂小结
1. 两点式、截距式、中点坐标. 2. 到目前为止，我们所学过的直线方程
3.2.2直线的两点 式方程
复习引入
1. 直线的点斜式方程及其注意事项；
复习引入
1. 直线的点斜式方程及其注意事项； 2. 直线的斜截式方程及其注意事项；
复习引入
1. 直线的点斜式方程及其注意事项； 2. 直线的斜截式方程及其注意事项； 3. 若l1: y＝k1x＋b1, l2 :y＝k2x＋b2，
[已知两定点(不适合与x轴 或y轴垂直的直线)]
人教版高中数学必修二3.2.2直线的两 点式方 程 课件
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直线方程模块 4. 截距式方程：
5. 一般式方程：
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人教版高中数学必修二3.2.2直线的两 点式方 程 课件
高中数学：3.《直线的两点式方程》课件【新人教A版必修2】PPT完美课件
教A版必修2）
§3.2.2 直线的两点式方程
课前提问：
若直线l经过点P1（1，2）， P2（3，5），
求直线l的方程.
思考：
已知直线上两点P1(x1,y1), P2(x2,y2)（其中x1≠x2, y1≠y2 ），如何求出通过这两点的直线方程呢？
截距确定,所以叫做直线方程的截 距式方程;
(3)截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线.
例2、三角形的顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2)，
求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直 线的方程.
y
.C
.
A
. O
M
x
.
B
补充练习
下列四个命题中的真题命是( )
A.经过定点0(Px0,y0 )的直线都可以用
•
8．能够由具体的阅读材料进行拓展和 迁移， 联系相 关的文 学名著 展开分 析，提 出自己 的认识 和看法 ，说出 自己阅 读文学 名著的 感受和 体验。
•
9巧妙结合故事情节，在尖锐的矛盾冲 突中， 充分深 刻显示 人物复 杂内心 世界， 突出了 对人物 性格的 刻画， 使其有 血有肉 ，栩栩 如生。
•
10保尔身上的人格特征或完美的精神 操守： 自我献 身的精 神、坚 定不移 的信念 、顽强 坚韧的 意志
•
11把记叙、描写、抒情和议论有机地 融合为 一体， 充满诗 情画意 。如描 写百草 园的景 致，绘 声绘色 ，令人 神往。
•
12简·爱人生追求有两个基本旋律：富 有激情 、幻想 、反抗 和坚持 不懈的 精神； 对人间 自由幸 福的渴 望和对 更高精 神境界 的追求 。
2.2.2直线的两点式方程(教学课件)--高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册
解：(2)如图所示，直线|与两坐标轴围成的图形是Rt△A0B,
且0A⊥0B,|0A|=4,|0B|=8,
Ay
l
B
故直线|与两坐标轴围成的图形面积为16. 0 A X
课堂达标
1.过点(2,5),(2,-6)两点的直线方程是( A )
A.x=2
B.y=2
C.x+y=5 D.x+y=-6
解析：过这两点的直线与x轴垂直，所以直线方程是x=2.
2.已知点A(1,2),B(3,1),
是( B )
A.4x+2y=5 B.4x-2y=5
C.x+2y=5 D.x-2y=5
则线段AB的垂直平分线的方程
解析：因为A(1,2),B(3,1), 所以线段AB 的中点坐标为 ●
故线段AB 的垂直平分线方程为
4x-2y=5.
3. (多选题)过点P(1,3) 的直线与x轴 、y 轴正半轴分别交
×3×2=3.
备用例题
[例1] 经过M(3,2)与N(6,2)两点的直线方程为( )
A.x=2
B.y=2
C.x=3
D.x=6
解析：由M,N两点的坐标可知，直线MN与x轴平行，所以直 线MN的方程为y=2.故选B.
[例2]过点(-2,0),且在两坐标轴上的截距之差为3的直线方程是
()
口
解析：因为直线过点(-2,0),所以直线在x 轴上的截距为-2.又 直线在两坐标轴上的截距之差为3,所以直线在y 轴上的截距
P₁P₂没有两点式方程.当x₁=x₂ 时，直线P₁P₂垂直于x轴，直 线方程为 x-x₁=0 ,即 x=x₁ ;当y₁=y₂时，直线P₁P₂垂
直 于y轴，直线方程为 y-y₁=0 , 即 y=y₁
直线方程的两点式
直线方程的两点式直线方程的两点式是高中数学中常见的一种求解直线方程的方法，它通过两点来求解直线方程的斜率和截距，是高中数学解决实际问题的简便方法。
本文就来介绍这一重要的数学概念，具体内容分别有以下几点：一、什么是直线方程的两点式？直线方程的两点式即过两点求解直线方程的斜率和截距的方法。
它的具体形式为：y=kx+b即：直线的斜率k为两点的纵坐标之差除以横坐标之差，截距b 为(0,b)是直线和y轴的交点，即纵坐标b等于：纵坐标加斜率乘以相应横坐标。
二、求解直线方程的两点式步骤在求解直线方程的两点式时，首先要弄清楚问题所涉及的两个点的坐标，一般给定的两个点的坐标形式是：A(x1,y1)，B(x2,y2)。
（1）先求斜率：将两点的纵坐标之差除以横坐标之差，即可求得斜率k：k=（y2-y1）/（x2-x1）（2）再求截距：将斜率k带入直线方程：y=kx+b可有：y=（y2-y1）/（x2-x1）x+b将(x1,y1)代入上式，即可求得截距b：b=y1-（y2-y1）/（x2-x1）x1三、直线方程的两点式的应用直线方程的两点式可以帮助我们更好的去解决实际问题，可以用它来求解图形问题，坐标轴问题，几何问题，解决日常生活中的实际问题等等。
比如：在一个游乐园里，有一堆沙子，人们想用算法来知道一共有多少沙子，此时可以使用两点式来解决，具体步骤如下：（1）首先在沙子的一端画一个点P，然后在另一端画另一个点Q，这两个点就是我们计算两点式的两个点；（2）求出这两点的纵坐标和横坐标，即：P(x1,y1)，Q(x2,y2)，然后求出两点式的斜率和截距，即k和b；（3）最后用求出的斜率和截距来算出沙子的数量，即：横坐标乘以斜率加上截距等于纵坐标，然后分段求和即可得出沙子的总数量。
四、总结通过上面我们可以了解到，直线方程的两点式是一种通过两点求解直线方程的斜率和截距的简便方法，它可以帮助我们更好的解决实际问题，如求图形面积，求坐标轴问题，几何问题等等。
直线两点式
例3: (1,2)并且在两个坐标轴上的截距相 ⑴ 过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距相 等的直线有几条? 等的直线有几条? 解: ⑴ 两条 设 直线的方程为:
x y + =1 a a
1 2 代入得： 把(1,2)代入得： + =1 代入得 a a
已知直线经过P 两点， 例1.已知直线经过 1(1,3)和P2(2,4)两点，求直线的方 已知直线经过 和 两点 程． 一般做法： 一般做法： 解：设直线方程为：y=kx+b. 设直线方程为： 由已知得： 由已知得： 解方程组得： 解方程组得：
{
3=k+b k+ 4=2k+b
k=1 b=2
{
所以，直线方程为 所以，直线方程为: y=x+2
直线与x轴的交点(o,a)的横坐标a叫做直 直线与x轴的交点(o,a)的横坐标a (o,a)的横坐标 线在x 线在x轴上的截距 直线与y轴的交点(b,0)的纵坐标b 直线与y轴的交点(b,0)的纵坐标b叫做直 (b,0)的纵坐标 线在y 线在y轴上的截距 是不是任意一条直线都有其截距式方程呢？ 是不是任意一条直线都有其截距式方程呢？
3 + 0 −3 + 2 , 2 2
3 1 ,− 2 2
即
过A(-5,0),M
3 1 ,− 2 2
的直线方程
整理得：x+13y+5=0 这就是BC边上中线所在的直线的方程。
y −0 x +5 = 1 3 − −0 +5 2 2
中点坐标公式： 中点坐标公式：
y −2 x −0 = −3 − 2 3− 0
高一数学直线的两点式方程
§3.2 直线的方程（2）
2、直线方程的截距式
若直线L与x轴交点为 (a, 0)，与y轴交
点为 (0, b), 其中a≠0，b≠0，由两点式 ，
得 y0 xa
b0 0a
即 x y 1 ab
a 叫做直线在x轴上的截距；
b 叫做直线在y轴上的截距.
§3.2 直线的方程（2）
注：截距式适用于与两坐标轴不垂直 且不过原点的直线。
一、复习 1、什么是直线的点斜式方程？ 2、求分别过以下两点直线的方程 (1)A(8, -1) B (-2 , 4) (2) C (x1, y1) D (x2 ,y2) (x1≠x2, y1≠y2)
§3.2 直线的方程（2）
二、新课
1、直线方程的两点式
若直线L经过点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，
新课标人教版课件系列《Fra bibliotek中数学》必修2
3.2.2《直线的两点式方程》
教学目标
• 使学生掌握两点式方程及其应用，直 线的截距式方程，中点坐标公式，并 通过与斜截式方程、斜截式方程的对 比，让学生掌握类比思想。
• 教学重点：两点式方程、截距式方程、 中点坐标公式。
• 教学难点：截距式方程的理解。
§3.2 直线的方程（2）
别交于A、B两点，且P分有向线段 AB
的比是2，求L的方程。
§3.2 直线的方程（2）
例4、求过点P(2, 3)，并且在两坐标轴 上的截距相等的直线的方程。
变题1：上题中改为求截距的绝对值相 等的直线方程，结果如何？ 变题2：求过点P(2, 3)，并且在x轴上 的截距是在y轴上的截距2倍的直线的 方程。
§3.2 直线的方程（2）
例5、求过点P( 2, 1)的直线与两坐标轴 正半轴所围成的三角形的面积最小时的 直线方程
【优秀课件】人教版高中数学必修二第三章3.2.2 直线的两点式方程
直线 方程 名称 点 斜 式 斜 截 式
直线的方程
已知 条件 直线方程 使用范围
点P 0 ( x0 , y0 ) 和斜率k
y y0 k ( x x0 )
直线斜率存在
斜率k和直 线在y轴上率存在
巩固练习
1.已知直线l的方程是 x 3 y 2 0,
l
●
y
B(0，b)
A(a， 0)
O
●
x
二、直线的截距式方程
x y 我们把方程: 1(a 0, b 0) a b 叫做直线的“截距式方程”.简称“截距式” .
说明： （1）a , b 表示截距； （2）适用范围：
不能表示过原点以及与坐标轴平 行或重合的直线.
知识理解
下列四个命题中的真命题是(
方程为x y 3 0; x y 1 0
(2)当a b 0时, 直线过原点，所以直线方程为y 2 x 所以，满足条件的直线方程有三条.
课堂小结
形式
点斜式 斜截式 两点式
条件
过点( x0,y0), 斜率为k 在y轴上的截距为b, 斜率为k 过P1（x1, y1), P2（x2, y2)
B
)
A.经过定点P ( x0 , y0 )的直线, 都可用方程y y0 k ( x x0 )来表示； B.经过任意两个不同点P 1 ( x1 , y1 )，P 2 ( x2 , y2 )的直线都可以用方程 ( y y1 )( x2 x1 ) ( x x1 )( y2 y1 )来表示； x y C.不经过原点的直线都可以用方程 1来表示； a b D.经过定点的直线都可以用方程y kx b来表示.
第三章
【精品课件】高中数学必修2 直线的方程(两点式、一般式)
x C A
所以任意一个关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同 时为零)都表示一条直线.
问题探究
结论一： 平面直角坐标系中的每一条直线都可以用
一个关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0 (其 中A,B不同时为0)表示.
结论二： 任意一个关于x，y的二元一次方程
Ax+By+C=0 (其中A,B不同时为0)都表示一条直 线.
y 4 x. 5
x y 1,
把P(-5，4)代入上式得 a 1. a a
直线方程为 x y 1,
即 x y 1 0. 综上：直线方程为 y 或54 x
截距为零不 容忽视
x y 1 0.
练习：
1.根据下列条件写出直线方程，并画出简图。
（1）在x轴上的截距是2，在y轴上的截距是3；
⑤过原点
C=0
课堂练习
4.设直线L的方程为（m2-2m-3）x+（2m2+m-1)y=2m-6 根据下列条件确定m的值
(1)L在x轴上的截距为-3；(2)L的斜率为1.
小结
1.本节课都学了哪些知识点？
①二元一次方程与直线的一一对应关系； ②直线的一般式方程的概念； ③ 直线方程的一般式Ax+By+C=0系数A、B、C的几何意义； ④直线方程的各种特殊形式和一般式之间在一定条件下可以互 相转化。
直线的方程 ①过点P1(x1, y1)，垂直于x轴的直线的方程：
x= x1 ②过点P1(x1, y1)，垂直于y轴的直线的方程：
y= y1 ③x轴： y= 0
④y轴： x= 0
问题探究
问题一： 平面直角坐标系中的每一条直线都可以用
高中数学(新人教A版)选择性必修一：直线的两点式方程【精品课件】
思
新知讲解
问题3 当 = 或 = ，直线 的方程分别是？
如果 =
= ，则直线 没有两点式方程.
当 = 时，直线
垂直于轴，直线方程为
− = ，即 = ;
当 = 时，直线
+ = 叫做直线的截距式方程，简称截距式.
课堂练习
1.求经过下列两点的直线的两点式方程:
(2) A(0，5)，B(5，0).
思
思
新知探究
探究三 中点坐标公式与中线方程
思
课堂练习
例2 已知△ABC的三个顶点(−，)，(， − )，(，)，求
边BC所在直线的方程，以及这条边上的中线 AM所在直线的方程.
(2)在轴、y轴上的截距分别是− 5，6.
思
小结
两点式：
截距式：
−
−
=
− −
+ =
决对应的问题。
思
新知探究
探究一：直线的两点式方程
小组合作
思
问题2 已知直线经过两点 , ， , (其中 ≠ ，
≠ )，因为两点确定一条直线，所以直线是唯一确定的．
也就是说，对于直线上的任意一点 , ，它的坐标与点 ，
的坐标之间具有唯一确定的关系，这一关系是什么呢？
当斜率不存在时，直线方程＝
导
新课导入
直线位置几何要素
点斜式：－＝(－)
？
点 , +斜率k
点 , +点 ,
教学目标
教学
目标
一
掌握直线方程两点式（直线方程截距式）
人教版高中数学必修2第三章第2节《直线的两点式方程》ppt参考课件2
整理得：5x+3y-6=0
中点坐标公式：
若P1 ，P2坐标分别为( x1 ，y1 ), (x2 ，y2) 且中点M的坐标为(x,y).
x x1 x2
则
2
y y1 y2 2
∵B(3,-3),C(0,2)
∴
M
30, 2
3 2
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
y2 y1 x2 x1
不是!当x1 ＝x2或y1= y2时，直线P1 P2没有两点
式方程.( 因为x1 ＝x2或y1= y2时，两点式的分母为 零，没有意义)
那么两点式不能用来表示哪些直线的 方程呢？
注意： 两点式不能表示平行于坐标轴
或与坐标轴重合的直线．
若点P1 （ x1 , y1 ），P2（ x2 , y2） 中有x1 ＝x2 ,或y1= y2,此时过这两点 的直线方程是什么？
2
思考题：
已知直线l 2x+y+3=0,求关于点A(1,2)对称的 直线l 1的方程。
解：当x=0时，y=3.
(0,-3)在直线l上，关于(1,2)的对称点为(2,7). 当x=-2时，y=1.
(-2,1)在直线l上，关于(1,2)的对称点为(4,3).
高中数学第三章直线与方程3.2.2直线的两点式方程课件【新人教A版】
(A)1
(B)-1
(C)7
(D)-7
4.(中点坐标公式)若已知A(1,2)及AB中点(2,3),则B点的坐标是 答案:(3,4) 5.(直线两点式方程)经过点A(3,2),B(4,3)的直线方程是 答案:x-y-1=0 .
.
课堂探究
题型一 直线的两点式方程
【教师备用】
1.直线的两点式方程运用条件是什么?
综上,直线 l 的方程为 y=
1 x 或 x+y=6 或 x-y=2. 2
题型三 直线方程的应用
【例 3】 直线过点 P（
4 ,2）且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A、B 两点,O 为坐 3
标原点,是否存在这样的直线分别满足下列条件: (1)△AOB 的周长为 12; (2)△AOB 的面积为 6. 若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
三边所在直线的方程.
解:由两点式,直线 AB 方程为
0 1
y 1
=
x3 ,即 x+4y+1=0. 1 3
同理,直线 BC 方程为 即 2x+y-5=0. 直线 AC 方程为 即 3x-2y+3=0.
y 3 x 1 = , 1 3 3 1
y 3 x 1 = , 0 3 1 1
由直线方程的截距式得直线 l 的方程为
x y + =1,即 x+4y-8=0. 8 2
【思维激活】 (2015日照一中月考)过A(1,4)且在两坐标轴上的截距的绝对值相等 的直线共有 条.
解析:一条是截距为0,一条是截距相等(不为0),一条是截距互为相反 数(不为0)共三条. 答案:3
【备用例1】 (2015青岛一中联考)已知直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1, 且过定点(6,-2),求直线l的方程.
高中数学人教A版必修二 3.2.2 直线的两点式方程 课件(42张)
(2)求过点 M(m，0)和点 N(2，1)的直线方程．
【解析】 ①当 m＝2 时，过点 M(m，0)和点 N(2，1)的直线斜 率不存在，其方程为 x＝2.
②当 m≠2 时， 方法一：直线的斜率为 k＝m0－－12＝－m－1 2， 又∵直线过点 N(2，1)， ∴直线方程的点斜式为 y－1＝－m－1 2(x－2)． 即 x＋(m－2)y－m＝0.
D．4
3.直线 3x－2y＝4 的截距式方程是( )
A.34x－y2＝1
B.x1－y1＝4 32
C.34x－－y2＝1 答案 D
D.x4＋－y2＝1 3
4．已知△ABC 的顶点 A(0，5)，B(1，－2)，C(－6，4)，则 BC 边上的中线所在直线方程为________．
答案 8x－5y＋25＝0 解析 设 BC 的中点为 D(x，y)，则x＝－52，
则可设 l 的方程为xa＋ya＝1， 由已知 l 过点 A(4，1)，∴4a＋1a＝1，得 a＝5. l 的方程为x5＋y5＝1，即 x＋y－5＝0.
(2)若直线 l 在两坐标轴上的截距为 0(或者说直线 l 过原点)， 则可设 l 的方程为 y＝kx.
代入点 A 的坐标，得 k＝14. l 的方程为 y＝14x，即 x－4y＝0. ∴所求直线 l 的方程为 x＋y－5＝0 或 x－4y＝0.
y＝1. ∴D(－52，1)，∴kAD＝45＝85，∴y＝85x＋5.
2 即 8x－5y＋25＝0.
请做：课时作业（二十）
思考题 1 (1)求满足下列条件的直线方程：
①经过点 A(－3，－3)，斜率是 4； ②斜率是 3，在 y 轴上的截距是－3； ③斜率是－3＝4(x＋3)，得 4x－y＋9＝0. ②由斜截式，得 y＝3x－3，即 3x－y－3＝0. ③在 x 轴上的截距是 3，即过点(3，0)，由点斜式，得 y－0 ＝－3(x－3)，即 3x＋y－9＝0.
222 直线的两点式方程(基础知识+基本题型)(含解析)2022高二数学(选择性必修第一册)
2.2.2直线的两点式方程（基础知识+基本题型）知识点一直线的两点式方程1.直线的两点式方程的定义212y y y y --=121x x x x --就是经过两点111222(,),(,)p x y p x y (其中1212,x x y y ≠≠)的直线方程，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式.2.当直线的斜率不存在（12x x =）或斜率为0（12y y =）时，不能用两点式方程，若12x x =，12y y ≠,则直线方程为10x x -=若12y y =、12x x ≠，则直线方程为10y y -=.提示：(1)直线的两点式方程不能表示与坐标轴平行（或重合）或垂直的直线.(2)对于两点式中的两点，只要是直线上的两个点即可，两点式方程与这两个点的顺序无关.(3)将两点式化成整式：211211()()()()x x y y y y x x --=--.用该式可求出过平面内的任意两个已知点的直线的方程.3.若点12,p p 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，是线段12p p 的中点M 的坐标为(,),x y 则有中点坐标公式：121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩.知识点二直线的截距式方程直线与x 轴的交点(,0)a 的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距，若此时直线在y 轴上的截距为b ，则直线的方程为1(0),x y a b+=≠此方程由直线在两个坐标轴上的截距a 与b 确定，所以叫做直线的截距式方程.拓展（1）到x 轴和y 轴上的截距，反之，若已知直线在x 轴和y 轴上的截距（都不为0），也可直接由截距式写出方程.（2）由截距式的方程可知，截距式的方程只能表示在x 轴、y 轴上的截距都存在，且不为0的直线，因此，截距式不能表示过原点的直线、与x 轴垂直的直线、与y 轴垂直的直线.过原点的直线可以表示y kx =；与x 轴垂直的直线可以表示0x x =；与y 轴垂直的直线可以表示0y y =.（3）直线与两坐标轴都相交（非原点）时，直线与两坐标轴围成直角三角形，围绕三角形的面积考查时要注意截距式与“距离”的关系.（4）求截距的方法在直线l 的方程中，令0x =，解出y 的直线，即得直线l 在y 轴上的截距.令y 0=，解出x 的值，即得出直线l 在x 轴上的截距.考点一直线的两点式方程例1.（1）已知直线l 经过点(2,1),(2,7)A B -，求直线l 的方程；（2）已知点(3,)P m 在过点(2,1),(3,4)A B --的直线上，求m 的值；（3）三角形的三个顶点分别是(1,0),(3,1),(1,3)A B C --，求三角形三边所在直线的方程.解：（1）因为点A 与点B 的横坐标相等，所以直线l 没有两点式方程，故所求直线方程为2x =.（2）由两点式方程，得过A ，B 两点的直线方程为(1)24(1)32y x ---=----，即10x y +-=.又因为点(3,)P m 在直线AB 上，所以310m +-=，得2m =-.（3）由两点式，得边AB 所在直线的方程为(1)30(1)13y x ---=----，即410x y ++=.同理，边BC 所在直线的方程为311331y x --=---，即250x y +-=.边AC 所在直线的方程为310311y x --=---，即3230x y -+=.总结：1.利用两点的坐标写直线的两点式方程时，一定要注意2121,y y x x ≠≠.2.若点P 在直线AB 上，则点P 的坐标满足直线AB 方程.求直线的两点式方程的策略及注意点（1）当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑两点式求方程.（2）用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序弄错而导致错误.在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系.考点二利用截距式求直线方程例2.（1）求在,x y 轴上的截距分别是3,4-的直线方程；（2）求过点(3,4)A ，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l 的方程.解：（1）根据直线方程的截距式，得直线方程为134x y +=-，化简得43120x y -+=.（2）当直线l 在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，可设直线l 的方程为1x y a a +=-.又因为l 过点(3,4)A ，所以341a a =，解得1a =-.所以直线l 的方程为111x y +=-，即10x y -+=.当直线l 在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，直线的方程为43y x =，即430x y -=.综上，直线l 的方程为10x y -+=或430x y -=.总结：用截距式求直线方程的步骤（1）由已知条件确定直线在轴和y 轴上的截距.（2）若截距为0，则直线过原点，直接写出方程即可；若两截距不为0，则代入公式1x y a b +=中，可得所求直线方程.考点三：直线方程的综合应用例3．已知△ABC 的三个顶点坐标分别是A （－5，0），B （3，－3），C （0，2），分别求BC 边上的高和中线所在的直线方程．【答案】3x －5y+15=0x+13y+5=0【解析】BC 边上的高与边BC 垂直，由此求得BC 边上的高所在直线的斜率，由点斜式得方程；利用中点坐标公式得BC 的中点坐标，由两点式得BC 边上的中线所在的直线方程．设BC 边上的高为AD ，则BC ⊥AD ，∴1BC AD k k ⋅=-，∴23103AD k +⋅=--，解得35AD k =，∴BC 边上的高所在的直线方程是30(5)5y x -=+，即3x －5y+15=0．设BC 的中点是M ，则31,22M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴BC 边上的中线所在直线方程是05130522y x -+=--+，即x+13y+5=0．∴BC 边上的高所在的直线方程是3x －5y+15=0，BC 边上的中线所在的直线方程为x+13y+5=0．总结：求直线的方程的关键是选择适当的直线方程的形式．本题根据已知求BC 边上的高所在的直线方程时，依据相互垂直直线的斜率关系，选择了直线方程的点斜式；求BC 边上的中线所在的直线方程时，依据中点坐标公式，选择了直线方程的两点式．。
高中数学人必修二课件直线的两点式方程
自由落体运动： 通过直线方程描 述体下落的速
度和时间关系
抛体运动：通过 直线方程描述物 体抛出后的轨迹
和落地时间
直线运动：通过 直线方程描述物 体在平面上的直
线运动规律
光线传播：通过 直线方程描述光 线在空间中的传 播路径和折射规
斜率和截距。
添加标题
点斜式方程与一 般式方程的转换：
可以通过解方程 组将点斜式方程 转换为一般式方 程，也可以通过 代入法将一般式 方程转换为点斜
式方程。
添加标题
公式：y = kx + b，其中k 是斜率，b是截距
定义：斜截式方程是直线方 程的一种形式，表示直线在 y轴上的截距和斜率
特点：斜截式方程可以表示 任何一条直线，但需要知道
点斜式方程：y-y1=k(xx1)
斜截式方程：y=kx+b
一般式方程： Ax+By+C=0
截距式方程：x/a+y/b=1
两点式方程：(y-y1)/(xx1)=(y2-y1)/(x2-x1)
物理问题：解 决力学、光学、 电磁学等问题
代数问题：解决 代数方程、不等
式等问题
几何问题：解决 平面几何、立体
特点：一般式方程可以表示任意一条直线，包括垂直于坐标轴的直线
应用：一般式方程在解决实际问题中，如求直线的交点、距离等问题时， 具有重要作用 与其他形式方程的关系：一般式方程可以转化为其他形式方程，如点斜式、 斜截式等，反之亦然
05
直线方程在解析几何中的应用：求解直线的斜率、截距等参数
直线方程在解析几何中的应用：求解直线与直线、直线与圆、直线与椭圆等几何图形的 位置关系 直线方程在解析几何中的应用：求解直线与平面、直线与球等几何图形的位置关系
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3.2.2直线的两点式方程
点斜式方程
y
l
①倾斜角α≠90°
x y
y0
l
x
y
l
O x0
x
y y0 k(x x0 )
②倾斜角α=0°
y y0 0或y y0
③倾斜角α=90°
x x0 0或x x0
复习
1.点斜式方程
y y0 k(x x0 )
当知道斜率和一点坐标时用点斜式 2.斜截式方程
y kx b
当知道斜率k和截距b时用斜截式 3.特殊情况
①直线和x轴平行时，倾斜角α=0°
y y0 0或y y0
②直线与x轴垂直时，倾斜角α=90°
x x0 0或x x0
例程1．.已知直线经过P1(1,3)和P2(2,4)两点，求直线的方 一般做法：
解：设直线方程为：y=kx+b.
【当堂训练】
１、P97 1.
２、P97 2.
3.
【排忧解惑】
中点坐标公式
y
A(x1，y1)
B(x2，y2)
中点
x
x
x1
2
x2
y
y1
y2 2
已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B(3, －3)，C(0,2)，求 BC边所在直线方程，以及该边上中线所在直线的方程。
A(-5,0)
y
C(0,2)
y 3 2(x 3)
求过点P(1,2)，并且在两轴上的截距 相等的直线方程
解: ⑴ 两条
设 直线的方程为:
x y 1 aa
把(1,2)代入得： 1 2 1
aa
a=3
所以直线方程为：x+y-3=0
那还有一条呢？ y=2x (与x轴和y轴的截距都为0)
斜率和一点坐标 斜率k和截距b
两点坐标 两个截距
y2 y1 x2 x1
不是!当x1 ＝x2或y1= y2时，直线P1 P2没
有两点式方程.( 因为x1 ＝x2或y1= y2时， 两点式的分母为零，没有意义)
那么两点式不能用来表示哪些直 线的方程呢？
注意： 两点式不能表示平行于坐标轴或
与坐标轴重合的直线．
小节
已知两点坐标，求直线方程的方法： ❖ ①用两点式 ❖ ②先求出斜率k，再用斜截式。
小结
点斜式 斜截式
两点式 点斜式
截距式
y y0 k(x x0 )
y kx b
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1 y y0 k(x x0 )
x y 1 ab
中点坐标：
x x1 x2 2
y y1 y2 2
作业: P97练习：1，2.（做书上） P100习题3.2A组:3,4,9,11.
l
P1(x1，y1)
【排忧解惑】
k y2 y1 x2 x1
代入y y0 k(x x0 )得
P2(x2，y2)
x
y
y1
y2 x2
y1 x1
(x x1)
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
三、两点式方程的适应范围 是不是已知任一直线中的两点就
能用两点式 y y1 x x1 写出直线方程呢？
解：设点P(x,y)是直线上不同于P1 ， P2的 点． ∵ kPP1= kP1P2
∴ y y1 y2 y1
x x1 x2 x1
可得直线的两点式方程：
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
记忆特点： 左边全为y，右边全为x
两边的分母全为常数
分子，分母中的减数相同
两点式方程
y
截距
y
B(0，b)
斜截式
y kx b
l
A(a，0)
斜率
截距
xa为直线在ຫໍສະໝຸດ 轴上的截距 b为直线在y轴上的截距
y
B(0，b)
l
截距式
代入两点式方程得
A(a，0)
x
y0 xa b0 0a
化简得 x y 1 ab
截距式
横截距
纵截距
注意：①不能表示过原点或与坐标轴平行或重合的直线
②截距可是正数,负数和零
xM
xB
xC 2
3 2
x
M(xM，yM)
yM
yB
yC 2
1 2
中点
B(3,-3)
M
3 2
,
1 2
垂直平分线的方程
求线段AB垂直平分线的方程
A(-1,5)
y
l
第一步：求中点坐标
C(3，3)
第二步：求斜率
C(xC，yC)
k AB
1 2
B(7, 1)
k kAB 1
中点
x
k 2
第三步：点斜式求方程
由已知得：
3k b 42 k b
解方程组得：
k 1 b2
所以，直线方程为: y=x+2
还有其他做法吗？
y3
简单的做法x：1
4 2
3 1
化简得： x-y+2=0
为什么可以这样做，这样做 的根据是什么？
推广
已知两点P1 ( x1 , y1 )，P2(x2 , y2)，求通过这 两点的直线方程．