数值分析习题课-文档资料
数值分析课后习题及答案
第一章 绪论（12） 第二章 插值法（40-42）2、当2,1,1-=x 时，4,3,0)(-=x f ，求)(x f 的二次插值多项式。
[解]372365)1(34)23(21)12)(12()1)(1(4)21)(11()2)(1()3()21)(11()2)(1(0))(())(())(())(())(())(()(2221202102210120120102102-+=-++--=+-+-⨯+------⨯-+-+-+⨯=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L 。
3、给出x x f ln )(=的数值表用线性插值及二次插值计算54.0ln 的近似值。
X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 x ln -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144[解]若取5.00=x ，6.01=x ，则693147.0)5.0()(00-===f x f y ，510826.0)6.0()(11-===f x f y ，则604752.182321.1)5.0(10826.5)6.0(93147.65.06.05.0510826.06.05.06.0693147.0)(010110101-=---=--⨯---⨯-=--+--=x x x x x x x x x y x x x x y x L ，从而6202186.0604752.19845334.0604752.154.082321.1)54.0(1-=-=-⨯=L 。
若取4.00=x ，5.01=x ，6.02=x ，则916291.0)4.0()(00-===f x f y ，693147.0)5.0()(11-===f x f y ，510826.0)6.0()(22-===f x f y ，则 217097.2068475.404115.2)2.09.0(5413.25)24.0(3147.69)3.01.1(81455.45)5.06.0)(4.06.0()5.0)(4.0()510826.0()6.05.0)(4.05.0()6.0)(4.0()693147.0()6.04.0)(5.04.0()6.0)(5.0(916291.0))(())(())(())(())(())(()(22221202102210120120102102-+-=+--+-⨯++-⨯-=----⨯-+----⨯-+----⨯-=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L ，从而61531984.0217097.21969765.259519934.0217097.254.0068475.454.004115.2)54.0(22-=-+-=-⨯+⨯-=L补充题：1、令00=x ，11=x ，写出x e x y -=)(的一次插值多项式)(1x L ，并估计插值余项。
数值分析习题集及答案
数值分析习题集及答案数值分析习题集适合课程《数值⽅法 A 》和《数值⽅法B》)长沙理⼯⼤学第⼀章绪论1. 设 x>0, x 的相对误差为δ, 求的误差.2. 设 x 的相对误差为2％, 求的相对误差.3. 下列各数都是经过四舍五⼊得到的近似数, 即误差限不超过最后⼀位的半个单位, 试指出它们是⼏位有效数字:4. 利⽤公式求下列各近似值的误差限:其中均为第 3 题所给的数.5. 计算球体积要使相对误差限为1％, 问度量半径 R时允许的相对误差限是多少?6. 设按递推公式( n=1,2, ?)计算到. 若取≈( 五位有效数字), 试问计算将有多⼤误差?7. 求⽅程的两个根, 使它⾄少具有四位有效数字( ≈.8. 当 N 充分⼤时, 怎样求?9. 正⽅形的边长⼤约为100 ㎝, 应怎样测量才能使其⾯积误差不超过 1 ㎝?10. 设假定 g 是准确的,⽽对 t 的测量有±秒的误差, 证明当 t 增加时 S的绝对误差增加,⽽相对误差却减⼩.11. 序列满⾜递推关系(n=1,2, ?), 若(三位有效数字), 计算到时误差有多⼤?这个计算过程稳定吗?12. 计算,取, 利⽤下列等式计算, 哪⼀个得到的结果最好?13. ,求f (30) 的值.若开平⽅⽤六位函数表,问求对数时误差有多⼤?若改⽤另⼀等价公式计算, 求对数时误差有多⼤?14. 试⽤消元法解⽅程组假定只⽤三位数计算, 问结果是否可靠?15. 已知三⾓形⾯积其中 c 为弧度,, 且测量 a , b , c 的误差分别为证明⾯积的误差满⾜第⼆章插值法1. 根据定义的范德蒙⾏列式, 令证明是 n次多项式,它的根是,且2. 当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 , 求 f ( x)的⼆次插值多项式3. 给出 f ( x)=ln x 的数值表⽤线性插值及⼆次插值计算ln 的近似值.4. 给出cos x,0°≤x ≤90°的函数表,步长 h =1′ =(1/60) °,若函数表具有 5 位有效数字, 研究⽤线性插值求cos x 近似值时的总误差界.5. 设, k=0,1,2,3, 求.6. 设为互异节点(j =0,1, ?, n), 求证:i)ii)7. 设且, 求证8. 在上给出的等距节点函数表, 若⽤⼆次插值求的近似值, 要使截断误差不超过, 问使⽤函数表的步长应取多少?9. 若, 求及.10. 如果是次多项式, 记,证明的阶差分是次多项式, 并且为正整数).11. 证明.12. 证明13. 证明14. 若有个不同实根, 证明15. 证明阶均差有下列性质:i) 若, 则;ii) 若, 则.16. , 求及.17. 证明两点三次埃尔⽶特插值余项是并由此求出分段三次埃尔⽶特插值的误差限.18. 求⼀个次数不⾼于4次的多项式, 使它满⾜并由此求出分段三次埃尔⽶特插值的误差限19. 试求出⼀个最⾼次数不⾼于 4 次的函数多项式, 以便使它能够满⾜以下边界条件,,.20. 设, 把分为等分, 试构造⼀个台阶形的零次分段插值函数并证明当时, 在上⼀致收敛到.21. 设,在上取,按等距节点求分段线性插值函数,计算各节点间中点处的与的值,并估计误差.22. 求在上的分段线性插值函数, 并估计误差.23. 求在上的分段埃尔⽶特插值, 并估计误差.24. 给定数据表如下:试求三次样条插值并满⾜条件i)ii)25. 若, 是三次样条函数, 证明i) ;ii) 若,式中为插值节点, 且,则.26. 编出计算三次样条函数系数及其在插值节点中点的值的程序框图( 可⽤式的表达式).第三章函数逼近与计算1. (a) 利⽤区间变换推出区间为的伯恩斯坦多项式.(b) 对在上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形, 并与相应的马克劳林级数部分和误差做⽐较.2. 求证:（a）当时,. （b）当时,.3. 在次数不超过 6 的多项式中, 求在的最佳⼀致逼近多项式.4. 假设在上连续, 求的零次最佳⼀致逼近多项式.5. 选取常数,使达到极⼩, ⼜问这个解是否唯⼀?6. 求在上的最佳⼀次逼近多项式, 并估计误差.7. 求在上的最佳⼀次逼近多项式.8. 如何选取, 使在上与零偏差最⼩?是否唯⼀?9. 设, 在上求三次最佳逼近多项式.10. 令, 求.11. 试证是在上带权的正交多项式.12. 在上利⽤插值极⼩化求 1 的三次近似最佳逼近多项式.13. 设在上的插值极⼩化近似最佳逼近多项式为, 若有界, 证明对任何, 存在常数、, 使14. 设在上,试将降低到 3 次多项式并估计误差.15. 在上利⽤幂级数项数求的 3 次逼近多项式, 使误差不超过.16. 是上的连续奇（偶）函数,证明不管是奇数或偶数,的最佳逼近多项式也是奇（偶）函数.17. 求、使为最⼩. 并与 1 题及 6 题的⼀次逼近多项式误差作⽐较.18. 、, 定义问它们是否构成内积?19. ⽤许⽡兹不等式估计的上界, 并⽤积分中值定理估计同⼀积分的上下界, 并⽐较其结果20. 选择,使下列积分取得最⼩值:.21. 设空间,分别在、上求出⼀个元素,使得其为的最佳平⽅逼近, 并⽐较其结果.22. 在上,求在上的最佳平⽅逼近.23. 是第⼆类切⽐雪夫多项式, 证明它有递推关系24. 将在上按勒让德多项式及切⽐雪夫多项式展开, 求三次最佳平⽅逼近多项式并画出误差图形,再计算均⽅误差.25. 把在上展成切⽐雪夫级数.26.27. ,..29. 编出⽤正交多项式做最⼩⼆乘拟合的程序框图.30. 编出改进FFT 算法的程序框图.31. 现给出⼀张记录, 试⽤改进FFT 算法求出序列的离散频谱第四章数值积分与数值微分1. 确定下列求积公式中的待定参数, 使其代数精度尽量⾼, 并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度:(1) ;(2) ;(3) ;(4) .2. 分别⽤梯形公式和⾟普森公式计算下列积分:(1) ; (2);(3); (4).3. 直接验证柯特斯公式具有 5 次代数精度.4. ⽤⾟普森公式求积分并计算误差.5. 推导下列三种矩形求积公式:(1) ;(2) ;(3) .6. 证明梯形公式和⾟普森公式当时收敛到积分.7. ⽤复化梯形公式求积分,问要将积分区间分成多少等分, 才能保证误差不超过(设不计舍⼊误差)?8. ⽤龙贝格⽅法计算积分, 要求误差不超过.9. 卫星轨道是⼀个椭圆, 椭圆周长的计算公式是, 这⾥是椭圆的半长轴, 是地球中⼼与轨道中⼼( 椭圆中⼼) 的距离, 记为近地点距离, 为远地点距离, 公⾥为地球半径, 则.我国第⼀颗⼈造卫星近地点距离公⾥, 远地点距离公⾥, 试求卫星轨道的周长.10. 证明等式试依据的值, ⽤外推算法求的近似值.11. ⽤下列⽅法计算积分并⽐较结果.(1) 龙贝格⽅法;(2) 三点及五点⾼斯公式;(3) 将积分区间分为四等分, ⽤复化两点⾼斯公式.12. ⽤三点公式和五点公式分别求在,和处的导数值,并估计误差. 的值由下表给出第五章常微分⽅程数值解法1. 就初值问题分别导出尤拉⽅法和改进的尤拉⽅法的近似解的表达式，并与准确解相⽐较。
数值分析习题课PPT资料43页
历年考题
1、设，取x0=4,x1=9,x2=6.25,则差商 -0.0080808 。 （结果保留5位有效数字）
2、给定如下数据： xi 1 2 3 4
f xi 0 5 6 3
试列出三阶差商表，求出f(x)的三次牛顿插值多项式， 并利用该多项式计算f(0)的值。（保留三位有效数字）
0.9456909
由复合辛卜生公式可得如下计算公式
S4
1f(0)f(1)2(f(0.25 )f(0.5)f(0.75 ))
24
4(f(0.12)5 f(0.37)5 f(0.62)5 f(0.87)5)
0.9460832
（积分准确值I=0.9460831）
这两种方法都需要提供9个点上的函数值，计
将区间逐次分半,令区间长度
hba (k0,1,2, ) 2k
计算
T2n
Tn 2
hn1
2k0
f(xk1 2
)
(n 2k )
③ 按加速公式求加速值
梯形加速公式：
Sn
T2n
T2n Tn 3
辛卜生加速公式：
Cn
S2n
S2n Sn 15
龙贝格求积公式：
Rn
C2n
C2n Cn 63
熟练掌握本课程重点方法计算过程） （注3：考试需携带计算器）
1、引论
误差与有效数字（重）p6：例1,2 数值运算的误差估计 算法稳定性与病态条件数 p11：例6-8
作业 1、课本（清华版）p19，习题3、4. 2、知近似值x1=1.42，x2=-0.0184，x3=184*10-4
历年考题
1、已知 f( 1 )2 , f(1 ) 1 , f(2 ) 1 ，求f(x)的二次拉 格朗日插值多项式，并利用该多项式计算的值 。（保留三位有效数字）
数值分析习题（含答案）
数值分析习题（含答案）第一章绪论姓名学号班级习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。
1 若误差限为5105.0-?,那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算）解：2*103400.0-?=x ，325*10211021---?=?≤-x x 故具有3位有效数字。
2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算）解：10314159.0?= π，欲使其近似值*π具有4位有效数字，必需41*1021-?≤-ππ，3*310211021--?+≤≤?-πππ，即14209.314109.3*≤≤π即取（3.14109 , 3.14209）之间的任意数，都具有4位有效数字。
3 已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +，b a ?有几位有效数字？（有效数字的计算）解：3*1021-?≤-aa ，2*1021-?≤-b b ，而1811.2=+b a ，1766.1=?b a 2123****102110211021)()(---?≤?+?≤-+-≤+-+b b a a b a b a故b a +至少具有2位有效数字。
2123*****10210065.01022031.1102978.0)()(---?≤=?+?≤-+-≤-b b a a a b ba ab 故b a ?至少具有2位有效数字。
4 设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差？（误差的计算）解：已知δ=-**xx x ，则误差为δ=-=-***ln ln xx x x x则相对误差为******ln ln 1ln ln ln xxx x xxx x δ=-=-5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5*=，已知cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v2π=的绝对误差限与相对误差限。
数值分析练习题附答案
1
2-3 对矩阵 A 进行 LDLT 分解和 GGT 分解，求解方程组 Ax=b,其中
16 4 8
1
A=( 4 5 −4) ， b＝(2)
8 −4 22
3
解：（注：课本 P26 P27 根平方法）
设 L=(l i j )，D=diag(di)，对 k=1,2,…,n,
其中������������=������������������－∑������������=−11 ���������2��������� ������������
������31=(������31 − ∑0������=1 ������3������������1������ ������������)/ ������1=186=12
������32=(������32
−
∑1������=1
������3������������2������
������������ )/
6.6667
，得 ������3 ＝ 1.78570
−1 209
������4
0
������4
0.47847
(
56
−1
780 (������5) 209)
(200)
(������5) ( 53.718 )
1 −1
4
1 −4
15
������1
25
������2
6.6667再由1源自− 15561
− 56
209
x (k1) 1
1 5
(12
2 x2( k )
x (k) 3
)
2 5
x (k) 2
数值分析(课后习题答案详解).ppt
x x 41 2 0 . 25 0 . 5451 1 1 再解 3 x 0 . 875 ，得 x 1 . 2916 2 2 2 0 3 1 . 7083 . 5694 x x 3 3
4 41 2 T 故得 GG 分解： A 1 2 3 2 2 3 3 3 1 1 16 11 4 2 T 3 1 LDL 分解为： A 1 4 4 1 2 3 1 1 9 1 2 2
一.习题1（第10页）
1-1.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值 ,试分 别指出它们的绝对误差限,相对误差限和有效数字的位数.
x1=5.420,x2=0.5420,x3=0.00542,x4=6000,x5=0.6105.
解 绝对误差限分别为: 1=0.510-3,2=0.510-4, 3=0.510-5,4=0.5,5=0.5104 . 相对误差限分别为: r1=0.510-3/5.420=0.00923%, r2=0.00923%,r3=0.0923%,4=0.0083%,5=8.3%. 有效数位分别为: 4位,4位,3位,4位,1位. 1-2.下列近似值的绝对误差限都是0.005,试问它们有
2 11 2 1 2 故得 Crout 分解： A 4 3 13 6 12 1 1
1 2 11 2 1 2 LDM 分解为： A 21 13 3 3 4 1 1 1
几位有效数字. a=-1.00031,b=0.042,c=-0.00032
数值分析习题集及答案
数值分析习题集及答案数值分析习题集（适合课程《数值⽅法A 》和《数值⽅法B 》）长沙理⼯⼤学第⼀章绪论1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差.2. 设x 的相对误差为2％,求nx 的相对误差.3. 下列各数都是经过四舍五⼊得到的近似数,即误差限不超过最后⼀位的半个单位,试指出它们是⼏位有效数字:*****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====?4. 利⽤公式求下列各近似值的误差限:********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数.5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少6. 设028,Y =按递推公式1n n Y Y -=…)计算到100Y .(五位有效数字),试问计算100Y 将有多⼤误差7. 求⽅程25610x x -+=的两个根,使它⾄少具有四位有效数字.8. 当N 充分⼤时,怎样求211Ndx x +∞+?9. 正⽅形的边长⼤约为100㎝,应怎样测量才能使其⾯积误差不超过1㎝210. 设212S gt =假定g 是准确的,⽽对t 的测量有±秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,⽽相对误差却减⼩.11. 序列{}n y 满⾜递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10y 时误差有多⼤这个计算过程稳定吗12.计算61)f =,1.4≈,利⽤下列等式计算,哪⼀个得到的结果最好3-- 13.()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平⽅⽤六位函数表,问求对数时误差有多⼤若改⽤另⼀等价公式ln(ln(x x =-计算,求对数时误差有多⼤14. 试⽤消元法解⽅程组{101012121010;2.x x x x +=+=假定只⽤三位数计算,问结果是否可靠15. 已知三⾓形⾯积1sin ,2s ab c =其中c 为弧度,02c π<<,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c 证明⾯积的误差s ?满⾜.s a b cs a b c ≤++第⼆章插值法1. 根据定义的范德蒙⾏列式,令2000011211121()(,,,,)11n n n n n n n n n x x x V x V x x x x x x x xxx ----==证明()n V x 是n 次多项式,它的根是01,,n x x -,且101101()(,,,)()()n n n n V x V x x x x x x x ---=--.2. 当x = 1 , -1 , 2 时, f (x)= 0 , -3 , 4 ,求f (x )的⼆次插值多项式.3. 给出f(x )=ln x 的数值表⽤线性插值及⼆次插值计算ln 的近似值.4. 给出cos x ,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,研究⽤线性插值求cos x 近似值时的总误差界.5. 设0k x x kh =+,k =0,1,2,3,求032max ()x x x l x ≤≤.6. 设jx 为互异节点(j =0,1,…,n ),求证:i) 0()(0,1,,);nkkj j j x l x xk n =≡=∑ii)()()1,2,,).nk jj j xx l x k n =-≡0(=∑7. 设[]2(),f x C a b ∈且()()0f a f b ==,求证21()()().8max max a x b a x b f x b a f x ≤≤≤≤≤-"8. 在44x -≤≤上给出()xf x e =的等距节点函数表,若⽤⼆次插值求xe 的近似值,要使截断误差不超过610-,问使⽤函数表的步长h 应取多少9. 若2nn y =,求4n y ?及4n y δ.10. 如果()f x 是m 次多项式,记()()()f x f x h f x ?=+-,证明()f x 的k 阶差分()(0)k f x k m ?≤≤是m k -次多项式,并且()0(m l f x l +?=为正整数).11. 证明1()k k k k k k f g f g g f +?=?+?.12. 证明110010.n n kkn n k k k k f gf g f g g f --+==?=--?∑∑13. 证明1200.n j n j y y y -=?=?-?∑14. 若1011()n n n n f x a a x a x a x --=++++有n 个不同实根12,,,n x x x ,证明{10,02;, 1.1()n k njk n a k n j jx f x -≤≤-=-=='∑15. 证明n 阶均差有下列性质: i) 若()()F x cf x =,则[][]0101,,,,,,n n F x x x cf x x x =;ii) 若()()()F x f x g x =+,则[][][]010101,,,,,,,,,n n n F x x x f x x x g x x x =+.16. 74()31f x x x x =+++,求0172,2,,2f及0182,2,,2f.17. 证明两点三次埃尔⽶特插值余项是(4)22311()()()()/4!,(,)k k k k R x f x x x x x x ++=ξ--ξ∈并由此求出分段三次埃尔⽶特插值的误差限.18. 求⼀个次数不⾼于4次的多项式()P x ,使它满⾜(0)(1)P P k =-+并由此求出分段三次埃尔⽶特插值的误差限.19. 试求出⼀个最⾼次数不⾼于4次的函数多项式()P x ,以便使它能够满⾜以下边界条件(0)(0)0P P ='=,(1)(1)1P P ='=,(2)1P =.20. 设[](),f x C a b ∈,把[],a b 分为n 等分,试构造⼀个台阶形的零次分段插值函数()n x ?并证明当n →∞时,()n x ?在[],a b 上⼀致收敛到()f x .21. 设2()1/(1)f x x =+,在55x -≤≤上取10n =,按等距节点求分段线性插值函数()h I x ,计算各节点间中点处的()h I x 与()f x 的值,并估计误差.22. 求2()f x x =在[],a b 上的分段线性插值函数()h I x ,并估计误差. 23. 求4()f x x =在[],a b 上的分段埃尔⽶特插值,并估计误差. 24. 给定数据表如下:试求三次样条插值并满⾜条件 i)(0.25) 1.0000,(0.53)0.6868;S S '='= ii)(0.25)(0.53)0.S S "="=25. 若[]2(),f x C a b ∈,()S x 是三次样条函数,证明 i)[][][][]222()()()()2()()()bbbbaaaaf x dx S x dx f x S x dx S x f x S x dx"-"="-"+""-";ii) 若()()(0,1,,)i i f x S x i n ==,式中i x 为插值节点,且01n a x x x b =<<<=,则[][][]()()()()()()()()()baS x f x S x dx S b f b S b S a f a S a ""-"="'-'-"'-'?.26. 编出计算三次样条函数()S x 系数及其在插值节点中点的值的程序框图(()S x 可⽤式的表达式).第三章函数逼近与计算1. (a)利⽤区间变换推出区间为[],a b 的伯恩斯坦多项式.(b)对()sin f x x =在[]0,/2π上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做⽐较. 2. 求证:(a)当()m f x M ≤≤时,(,)n m B f x M ≤≤. (b)当()f x x =时,(,)n B f x x =.3. 在次数不超过6的多项式中,求()sin 4f x x =在[]0,2π的最佳⼀致逼近多项式.4. 假设()f x 在[],a b 上连续,求()f x 的零次最佳⼀致逼近多项式.5. 选取常数a ,使301max x x ax≤≤-达到极⼩,⼜问这个解是否唯⼀6. 求()sin f x x =在[]0,/2π上的最佳⼀次逼近多项式,并估计误差.7. 求()xf x e =在[]0,1上的最佳⼀次逼近多项式.8. 如何选取r ,使2()p x x r =+在[]1,1-上与零偏差最⼩r 是否唯⼀ 9. 设43()31f x x x =+-,在[]0,1上求三次最佳逼近多项式. 10. 令[]()(21),0,1n n T x T x x =-∈,求***0123(),(),(),()T x T x T x T x .11. 试证{}*()nT x 是在[]0,1上带权ρ=的正交多项式.12. 在[]1,1-上利⽤插值极⼩化求11()f x tg x -=的三次近似最佳逼近多项式.13. 设()xf x e =在[]1,1-上的插值极⼩化近似最佳逼近多项式为()n L x ,若nf L ∞-有界,证明对任何1n ≥,存在常数n α、n β,使11()()()()(11).n n n n n T x f x L x T x x ++α≤-≤β-≤≤14. 设在[]1,1-上234511315165()128243843840x x x x x x ?=-----,试将()x ?降低到3次多项式并估计误差. 15. 在[]1,1-上利⽤幂级数项数求()sin f x x =的3次逼近多项式,使误差不超过.16. ()f x 是[],a a -上的连续奇(偶)函数,证明不管n 是奇数或偶数,()f x 的最佳逼近多项式*()n n F x H ∈也是奇(偶)函数.17. 求a 、b 使[]22sin ax b x dxπ+-?为最⼩.并与1题及6题的⼀次逼近多项式误差作⽐较.18. ()f x 、[]1(),g x C a b ∈,定义 ()(,)()();()(,)()()()();b baaa f g f x g x dxb f g f x g x dx f a g a =''=''+??问它们是否构成内积19. ⽤许⽡兹不等式估计601x dx x +?的上界,并⽤积分中值定理估计同⼀积分的上下界,并⽐较其结果.20. 选择a ,使下列积分取得最⼩值:1122211(),x ax dx x ax dx----?.21. 设空间{}{}10010121,,,span x span x x 1?=?=,分别在1?、2?上求出⼀个元素,使得其为[]20,1x C ∈的最佳平⽅逼近,并⽐较其结果. 22. ()f x x =在[]1,1-上,求在{}2411,,span x x ?=上的最佳平⽅逼近. 23.sin (1)arccos ()n n x u x +=是第⼆类切⽐雪夫多项式,证明它有递推关系()()()112n n n u x xu x u x +-=-.24. 将1()sin 2f x x=在[]1,1-上按勒让德多项式及切⽐雪夫多项式展开,求三次最佳平⽅逼近多项式并画出误差图形,再计算均⽅误差.25. 把()arccos f x x =在[]1,1-上展成切⽐雪夫级数.26. ⽤最⼩⼆乘法求⼀个形如2y a bx =+的经验公式,使它与下列数据拟合,并求均⽅误差.28. 在某化学反应⾥,根据实验所得分解物的浓度与时间关系如下:⽤最⼩⼆乘拟合求.29. 编出⽤正交多项式做最⼩⼆乘拟合的程序框图. 30. 编出改进FFT 算法的程序框图. 31. 现给出⼀张记录{}{}4,3,2,1,0,1,2,3k x =,试⽤改进FFT 算法求出序列{}k x 的离散频谱{}k C (0,1,,7).k =第四章数值积分与数值微分1. 确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量⾼,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度:101()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++?;(2)21012()()(0)()hhf x dx A f h A f A f h --≈-++?;(3)[]1121()(1)2()3()/3f x dx f f x f x -≈-++?;(4)[][]20()(0)()/1(0)()hf x dx h f f h ah f f h ≈++'-'?.2. 分别⽤梯形公式和⾟普森公式计算下列积分: (1)120,84xdx n x =+?; (2)1210(1),10x e dx n x --=?;(3)1,4n =?; (4),6n =.3. 直接验证柯特斯公式具有5次代数精度.4. ⽤⾟普森公式求积分1xedx-?并计算误差.5. 推导下列三种矩形求积公式:(1)2()()()()()2baf f x dx b a f a b a 'η=-+()()()()2baf f x dx b a f b b a 'η=---?;(3)3()()()()()224baa b f f x dx b a f b a +"η=-+-?.6. 证明梯形公式和⾟普森公式当n →∞时收敛到积分()baf x dx.7. ⽤复化梯形公式求积分()baf x dx,问要将积分区间[],a b 分成多少等分,才能保证误差不超过ε(设不计舍⼊误差)8.1x e dx-,要求误差不超过510-.9. 卫星轨道是⼀个椭圆,椭圆周长的计算公式是S a =θ,这⾥a 是椭圆的半长轴,c 是地球中⼼与轨道中⼼(椭圆中⼼)的距离,记h 为近地点距离,H 为远地点距离,6371R =公⾥为地球半径,则(2)/2,()/2a R H h c H h =++=-.我国第⼀颗⼈造卫星近地点距离439h =公⾥,远地点距离2384H =公⾥,试求卫星轨道的周长.10. 证明等式3524sin3!5!n nn n π-试依据sin(/)(3,6,12)n n n π=的值,⽤外推算法求π的近似值.11. ⽤下列⽅法计算积分31dyy ?并⽐较结果.(1) 龙贝格⽅法; (2) 三点及五点⾼斯公式;(3) 将积分区间分为四等分,⽤复化两点⾼斯公式.12. ⽤三点公式和五点公式分别求21()(1)f x x =+在x =,和处的导数值,并估计误差.()f x 的值由下表给出:第五章常微分⽅程数值解法1. 就初值问题0)0(,=+='y b ax y 分别导出尤拉⽅法和改进的尤拉⽅法的近似解的表达式，并与准确解bx ax y +=221相⽐较。
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第一章绪论习题一1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。
解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1.2.4)有已知x*的相对误差满足，而，故即2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。
解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得有5位有效数字，其误差限，相对误差限有2位有效数字，有5位有效数字，3.下列公式如何才比较准确？（1）（2）解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。
（1）（2）4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。
5.计算取，利用：式计算误差最小。
四个选项：第二、三章插值与函数逼近习题二、三1. 给定的数值表用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。
线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值误差限，因，故二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值误差限，故2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h应取多少?解：用误差估计式（5.8），令因得3. 若，求和.解：由均差与导数关系于是4. 若互异，求的值，这里p≤n+1.解：，由均差对称性可知当有而当P＝n＋1时于是得5. 求证. 解：解：只要按差分定义直接展开得6. 已知的函数表求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.解：根据给定函数表构造均差表由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3) 由此可得f(0.23) N3(0.23)=0.23203由余项表达式(5.15)可得由于7. 给定f(x)=cosx的函数表用Newton等距插值公式计算cos 0.048及cos 0.566的近似值并估计误差解：先构造差分表计算，用n=4得Newton前插公式误差估计由公式（5.17）得其中计算时用Newton后插公式（5.18)误差估计由公式（5.19）得这里仍为0.5658．求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。
数值分析第三版课本习题及答案
第一章 绪 论1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差.2. 设x 的相对误差为2％,求nx 的相对误差.3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字:*****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====⨯4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限:********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数.5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少?6. 设028,Y =按递推公式11783100n n Y Y -=-( n=1,2,…)计算到100Y .若取783≈27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差?7. 求方程25610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字(783≈27.982).8. 当N 充分大时,怎样求211Ndx x +∞+⎰?9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2?10. 设212S gt =假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若02 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗?12. 计算6(21)f =-,取2 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?36311,(322),,9970 2.(21)(322)--++13. 2()ln(1)f x x x =--,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式22ln(1)ln(1)x x x x --=-++计算,求对数时误差有多大?14. 试用消元法解方程组{101012121010;2.x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠?15. 已知三角形面积1sin ,2s ab c =其中c 为弧度,02c π<<,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ∆∆∆证明面积的误差s ∆满足.s a b cs a b c ∆∆∆∆≤++第二章 插值法1. 根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令200011211121()(,,,,)11n n n n n n n n n x x x V x V x x x x x x x xx x ----==证明()n V x 是n 次多项式,它的根是01,,n x x - ,且101101()(,,,)()()n n n n V x V x x x x x x x ---=-- .2. 当x = 1 , -1 , 2 时, f (x)= 0 , -3 , 4 ,求f (x )的二次插值多项式.3. 给出f (x )=ln x 的数值表用线性插值及二次插值计算ln 0.54 的近似值.x 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 ln x -0.916291-0.693147-0.510826-0.357765-0.2231444. 给出cos x ,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界.5. 设0k x x kh =+,k =0,1,2,3,求032max ()x x x l x ≤≤.6. 设jx 为互异节点(j =0,1,…,n ),求证:i) 0()(0,1,,);nk kj j j x l x x k n =≡=∑ii)()()1,2,,).nk jj j xx l x k n =-≡0(=∑7. 设[]2(),f x C a b ∈且()()0f a f b ==,求证21()()().8max max a x ba xb f x b a f x ≤≤≤≤≤-"8. 在44x -≤≤上给出()xf x e =的等距节点函数表,若用二次插值求xe 的近似值,要使截断误差不超过610-,问使用函数表的步长h 应取多少?9. 若2n n y =,求4n y ∆及4n y δ.10. 如果()f x 是m 次多项式,记()()()f x f x h f x ∆=+-,证明()f x 的k 阶差分()(0)kf x k m ∆≤≤是m k -次多项式,并且()0(m lf x l +∆=为正整数).11. 证明1()k k k k k k f g f g g f +∆=∆+∆.12. 证明110010.n n kkn n k k k k f gf g f g g f --+==∆=--∆∑∑13. 证明1200.n j n j y y y -=∆=∆-∆∑14. 若1011()n nn n f x a a x a x a x --=++++ 有n 个不同实根12,,,n x x x ,证明{10,02;, 1.1()n k njk n a k n j jx f x -≤≤-=-=='∑15. 证明n 阶均差有下列性质: i)若()()F x cf x =,则[][]0101,,,,,,n n F x x x cf x x x = ;ii) 若()()()F x f x g x =+,则[][][]010101,,,,,,,,,n n n F x x x f x x x g x x x =+ .16. 74()31f x x x x =+++,求0172,2,,2f ⎡⎤⎣⎦ 及0182,2,,2f ⎡⎤⎣⎦ . 17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是(4)22311()()()()/4!,(,)k k k k R x f x x x x x x ++=ξ--ξ∈并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.18. 求一个次数不高于4次的多项式()P x ,使它满足(0)(1)P P k =-+并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.19. 试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式()P x ,以便使它能够满足以下边界条件(0)(0)0P P ='=,(1)(1)1P P ='=,(2)1P =.20. 设[](),f x C a b ∈,把[],a b 分为n 等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数()n x ϕ并证明当n →∞时,()n x ϕ在[],a b 上一致收敛到()f x .21. 设2()1/(1)f x x =+,在55x -≤≤上取10n =,按等距节点求分段线性插值函数()h I x ,计算各节点间中点处的()h I x 与()f x 的值,并估计误差.22. 求2()f x x =在[],a b 上的分段线性插值函数()h I x ,并估计误差.23. 求4()f x x =在[],a b 上的分段埃尔米特插值,并估计误差. 24. 给定数据表如下:j x 0.25 0.30 0.39 0.45 0.53 j y0.50000.54770.62450.67080.7280试求三次样条插值()S x 并满足条件i) (0.25) 1.0000,(0.53)0.6868;S S '='= ii)(0.25)(0.53)0.S S "="=25. 若[]2(),f x C a b ∈,()S x 是三次样条函数,证明 i)[][][][]222()()()()2()()()bbbbaaaaf x dx S x dx f x S x dx S x f x S x dx"-"="-"+""-"⎰⎰⎰⎰;ii) 若()()(0,1,,)i i f x S x i n == ,式中i x 为插值节点,且01n a x x x b =<<<= ,则[][][]()()()()()()()()()baS x f x S x dx S b f b S b S a f a S a ""-"="'-'-"'-'⎰.26. 编出计算三次样条函数()S x 系数及其在插值节点中点的值的程序框图(()S x 可用(8.7)式的表达式).第三章 函数逼近与计算1. (a)利用区间变换推出区间为[],a b 的伯恩斯坦多项式.(b)对()sin f x x =在[]0,/2π上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做比较. 2. 求证:(a)当()m f x M ≤≤时,(,)n m B f x M ≤≤. (b)当()f x x =时,(,)n B f x x =.3. 在次数不超过6的多项式中,求()sin 4f x x =在[]0,2π的最佳一致逼近多项式.4. 假设()f x 在[],a b 上连续,求()f x 的零次最佳一致逼近多项式.5. 选取常数a ,使301max x x ax≤≤-达到极小,又问这个解是否唯一?6. 求()sin f x x =在[]0,/2π上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.7. 求()xf x e =在[]0,1上的最佳一次逼近多项式.8. 如何选取r ,使2()p x x r =+在[]1,1-上与零偏差最小?r 是否唯一? 9. 设43()31f x x x =+-,在[]0,1上求三次最佳逼近多项式.10. 令[]()(21),0,1n n T x T x x =-∈,求***0123(),(),(),()T x T x T x T x .11. 试证{}*()nTx 是在[]0,1上带权21x x ρ=-的正交多项式.12. 在[]1,1-上利用插值极小化求11()f x tg x -=的三次近似最佳逼近多项式.13. 设()x f x e =在[]1,1-上的插值极小化近似最佳逼近多项式为()n L x ,若nf L ∞-有界,证明对任何1n ≥,存在常数n α、n β,使11()()()()(11).n n n n n T x f x L x T x x ++α≤-≤β-≤≤14. 设在[]1,1-上234511315165()128243843840x x x x x x ϕ=-----,试将()x ϕ降低到3次多项式并估计误差. 15. 在[]1,1-上利用幂级数项数求()sin f x x =的3次逼近多项式,使误差不超过0.005.16. ()f x 是[],a a -上的连续奇(偶)函数,证明不管n 是奇数或偶数,()f x 的最佳逼近多项式*()n nF x H ∈也是奇(偶)函数.17. 求a 、b 使[]220sin ax b x dx π+-⎰为最小.并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较.18. ()f x 、[]1(),g x C a b ∈,定义 ()(,)()();()(,)()()()();b baaa f g f x g x dxb f g f x g x dx f a g a =''=''+⎰⎰问它们是否构成内积?19. 用许瓦兹不等式(4.5)估计6101x dx x +⎰的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界,并比较其结果.20. 选择a ,使下列积分取得最小值:1122211(),x ax dx x ax dx----⎰⎰.21. 设空间{}{}10010121,,,span x span x x 1ϕ=ϕ=,分别在1ϕ、2ϕ上求出一个元素,使得其为[]20,1x C ∈的最佳平方逼近,并比较其结果.22. ()f x x =在[]1,1-上,求在{}2411,,span x x ϕ=上的最佳平方逼近.23.[]2sin (1)arccos ()1n n x u x x +=-是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系()()()112n n n u x xu x u x +-=-.24. 将1()sin2f x x =在[]1,1-上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼近多项式并画出误差图形,再计算均方误差.25. 把()arccos f x x =在[]1,1-上展成切比雪夫级数.26. 用最小二乘法求一个形如2y a bx =+的经验公式,使它与下列数据拟合,并求均方误差.i x 19 25 31 38 44 i y19.032.349.073.397.827. 观测物体的直线运动,得出以下数据:时间t (秒) 0 0.9 1.9 3.0 3.9 5.0 距离s (米) 010305080110求运动方程.28. 在某化学反应里,根据实验所得分解物的浓度与时间关系如下:时间 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 浓度0 1.272.162.863.443.874.154.374.514.584.624.64用最小二乘拟合求()y f t =.29. 编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图. 30. 编出改进FFT 算法的程序框图. 31. 现给出一张记录{}{}4,3,2,1,0,1,2,3k x =,试用改进FFT 算法求出序列{}k x 的离散频谱{}k C (0,1,,7).k =第四章 数值积分与数值微分1. 确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度: (1)101()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰; (2)21012()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰;(3)[]1121()(1)2()3()/3f x dx f f x f x -≈-++⎰;(4)[][]20()(0)()/1(0)()hf x dx h f f h ah f f h ≈++'-'⎰.2. 分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分:(1)120,84xdx n x =+⎰; (2)1210(1),10x e dx n x --=⎰;(3)91,4xdx n =⎰; (4)260sin ,6dx n π-ϕ=⎰.3. 直接验证柯特斯公式(2.4)具有5次代数精度.4. 用辛普森公式求积分1x e dx-⎰并计算误差.5. 推导下列三种矩形求积公式:(1)2()()()()()2ba f f x dxb a f a b a 'η=-+-⎰; (2)2()()()()()2baf f x dx b a f b b a 'η=---⎰;(3)3()()()()()224baa b f f x dx b a f b a +"η=-+-⎰.6. 证明梯形公式(2.9)和辛普森公式(2.11)当n →∞时收敛到积分()baf x dx⎰.7. 用复化梯形公式求积分()baf x dx⎰,问要将积分区间[],a b 分成多少等分,才能保证误差不超过ε(设不计舍入误差)?8. 用龙贝格方法计算积分12x e dxπ-⎰,要求误差不超过510-.9. 卫星轨道是一个椭圆,椭圆周长的计算公式是22201()sin cS a d a π=-θθ⎰,这里a 是椭圆的半长轴,c是地球中心与轨道中心(椭圆中心)的距离,记h 为近地点距离,H 为远地点距离,6371R =公里为地球半径,则(2)/2,()/2a R H h c H h =++=-.我国第一颗人造卫星近地点距离439h =公里,远地点距离2384H =公里,试求卫星轨道的周长.10. 证明等式3524sin3!5!n nn n ππππ=-+-试依据sin(/)(3,6,12)n n n π=的值,用外推算法求π的近似值.11. 用下列方法计算积分31dyy ⎰并比较结果.(1) 龙贝格方法;(2) 三点及五点高斯公式;(3) 将积分区间分为四等分,用复化两点高斯公式.12. 用三点公式和五点公式分别求21()(1)f x x =+在x =1.0,1.1和1.2处的导数值,并估计误差.()f x 的值由下表给出:x1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 ()f x0.25000.22680.20660.18900.1736第五章 常微分方程数值解法1. 就初值问题0)0(,=+='y b ax y 分别导出尤拉方法和改进的尤拉方法的近似解的表达式，并与准确解bx ax y +=221相比较。
数值分析第三版课本习题及答案
数值分析第三版课本习题及答案第⼀章绪论1.设x>0,x得相对误差为δ,求得误差、2.设x得相对误差为2％,求得相对误差、3.下列各数都就是经过四舍五⼊得到得近似数,即误差限不超过最后⼀位得半个单位,试指出它们就是⼏位有效数字:4.利⽤公式(3、3)求下列各近似值得误差限:其中均为第3题所给得数、5.计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许得相对误差限就是多少?6.设按递推公式( n=1,2,…)计算到、若取≈27、982(五位有效数字),试问计算将有多⼤误差?7.求⽅程得两个根,使它⾄少具有四位有效数字(≈27、982)、8.当N充分⼤时,怎样求?9.正⽅形得边长⼤约为100㎝,应怎样测量才能使其⾯积误差不超过1㎝?10.设假定g就是准确得,⽽对t得测量有±0、1秒得误差,证明当t增加时S得绝对误差增加,⽽相对误差却减⼩、11.序列满⾜递推关系(n=1,2,…),若(三位有效数字),计算到时误差有多⼤?这个计算过程稳定吗?12.计算,取,利⽤下列等式计算,哪⼀个得到得结果最好?13.,求f(30)得值、若开平⽅⽤六位函数表,问求对数时误差有多⼤?若改⽤另⼀等价公式计算,求对数时误差有多⼤?14.试⽤消元法解⽅程组假定只⽤三位数计算,问结果就是否可靠?15.已知三⾓形⾯积其中c为弧度,,且测量a ,b ,c得误差分别为证明⾯积得误差满⾜第⼆章插值法1.根据(2、2)定义得范德蒙⾏列式,令证明就是n次多项式,它得根就是,且、2.当x= 1 , 1 , 2 时, f(x)= 0 , 3 , 4 ,求f(x)得⼆次插值多项式、3.给出f(x)=ln x得数值表⽤线性插值及⼆次插值计算ln 0、54 得近似值、4.,研究⽤线性插值求cos x 近似值时得总误差界、5.设,k=0,1,2,3,求、6.设为互异节点(j=0,1,…,n),求证:i)ii)7.设且,求证8.在上给出得等距节点函数表,若⽤⼆次插值求得近似值,要使截断误差不超过,问使⽤函数表得步长应取多少?9.若,求及、10.如果就是次多项式,记,证明得阶差分就是次多项式,并且为正整数)、11.证明、12.证明13.证明14.若有个不同实根,证明15.证明阶均差有下列性质:i)若,则;ii)若,则、16.,求及、17.证明两点三次埃尔⽶特插值余项就是并由此求出分段三次埃尔⽶特插值得误差限、18.求⼀个次数不⾼于4次得多项式,使它满⾜并由此求出分段三次埃尔⽶特插值得误差限、19.试求出⼀个最⾼次数不⾼于4次得函数多项式,以便使它能够满⾜以下边界条件,,、20.设,把分为等分,试构造⼀个台阶形得零次分段插值函数并证明当时,在上⼀致收敛到、21.设,在上取,按等距节点求分段线性插值函数,计算各节点间中点处得与得值,并估计误差、22.求在上得分段线性插值函数,并估计误差、23.求在上得分段埃尔⽶特插值,并估计误差、24.给定数据表如下:i)ii)25.若,就是三次样条函数,证明i)[][][][] 222()()()()2()()()b b b ba a a af x dx S x dx f x S x dx S x f x S x dx"-"="-"+""-";ii) 若,式中为插值节点,且,则[][][]()()()()()()()()()baS x f x S x dx S b f b S b S a f a S a ""-"="'-'-"'-'?、26. 编出计算三次样条函数系数及其在插值节点中点得值得程序框图(可⽤(8、7)式得表达式)、第三章函数逼近与计算1. (a)利⽤区间变换推出区间为得伯恩斯坦多项式、(b)对在上求1次与三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应得马克劳林级数部分与误差做⽐较、 2. 求证:(a)当时,、 (b)当时,、3. 在次数不超过6得多项式中,求在得最佳⼀致逼近多项式、4. 假设在上连续,求得零次最佳⼀致逼近多项式、5. 选取常数,使达到极⼩,⼜问这个解就是否唯⼀?6. 求在上得最佳⼀次逼近多项式,并估计误差、7. 求在上得最佳⼀次逼近多项式、8. 如何选取,使在上与零偏差最⼩?就是否唯⼀? 9. 设,在上求三次最佳逼近多项式、 10. 令,求、11. 试证就是在上带权得正交多项式、12. 在上利⽤插值极⼩化求1得三次近似最佳逼近多项式、13. 设在上得插值极⼩化近似最佳逼近多项式为,若有界,证明对任何,存在常数、,使14. 设在上,试将降低到3次多项式并估计误差、15. 在上利⽤幂级数项数求得3次逼近多项式,使误差不超过0、005、16. 就是上得连续奇(偶)函数,证明不管就是奇数或偶数,得最佳逼近多项式也就是奇(偶)函数、 17. 求、使为最⼩、并与1题及6题得⼀次逼近多项式误差作⽐较、 18. 、,定义()(,)()();()(,)()()()();b baaa f g f x g x dxb f g f x g x dx f a g a =''=''+??问它们就是否构成内积?19. ⽤许⽡兹不等式(4、5)估计得上界,并⽤积分中值定理估计同⼀积分得上下界,并⽐较其结果、 20. 选择,使下列积分取得最⼩值:、21. 设空间,分别在、上求出⼀个元素,使得其为得最佳平⽅逼近,并⽐较其结果、 22. 在上,求在上得最佳平⽅逼近、23. 就是第⼆类切⽐雪夫多项式,证明它有递推关系、24. 将在上按勒让德多项式及切⽐雪夫多项式展开,求三次最佳平⽅逼近多项式并画出误差图形,再计算均⽅误差、25.把在上展成切⽐雪夫级数、26.⽤最⼩⼆乘法求⼀个形如得经验公式,使它与下列数据拟合,并求均⽅误差、27.28.在某化学反应⾥,根据实验所得分解物得浓度与时间关系如下:29.编出⽤正交多项式做最⼩⼆乘拟合得程序框图、30.编出改进FFT算法得程序框图、31.现给出⼀张记录,试⽤改进FFT算法求出序列得离散频谱第四章数值积分与数值微分1.确定下列求积公式中得待定参数,使其代数精度尽量⾼,并指明所构造出得求积公式所具有得代数精度:(1);(2);(3);(4)、2.分别⽤梯形公式与⾟普森公式计算下列积分:(1); (2);(3); (4)、3.直接验证柯特斯公式(2、4)具有5次代数精度、4.⽤⾟普森公式求积分并计算误差、5.推导下列三种矩形求积公式:(1);(2);(3)、6.证明梯形公式(2、9)与⾟普森公式(2、11)当时收敛到积分、7.⽤复化梯形公式求积分,问要将积分区间分成多少等分,才能保证误差不超过(设不计舍⼊误差)?8.⽤龙贝格⽅法计算积分,要求误差不超过、9.卫星轨道就是⼀个椭圆,椭圆周长得计算公式就是,这⾥就是椭圆得半长轴,就是地球中⼼与轨道中⼼(椭圆中⼼)得距离,记为近地点距离,为远地点距离,公⾥为地球半径,则、我国第⼀颗⼈造卫星近地点距离公⾥,远地点距离公⾥,试求卫星轨道得周长、10.证明等式试依据得值,⽤外推算法求得近似值、11.⽤下列⽅法计算积分并⽐较结果、(1)龙贝格⽅法;(2)三点及五点⾼斯公式;(3)将积分区间分为四等分,⽤复化两点⾼斯公式、12.⽤三点公式与五点公式分别求在1、0,1、1与1、2处得导数值,并估计误差、得值由下表给出:第五章常微分⽅程数值解法1、就初值问题分别导出尤拉⽅法与改进得尤拉⽅法得近似解得表达式,并与准确解相⽐较。
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2009-2010数值分析第一章绪论 (1)第二章函数插值 (2)第三章函数逼近 (5)第四章数值积分与数值微分 (10)第五章解线性方程组的直接解法 (12)第六章解线性方程组的迭代解法 (16)第七章非线性方程求根 (19)第九章常微分方程初值问题的数值解法 (21)第一章绪论1.1要使胸的相对误差不超过0.1%,应取几位有效数字？解：面的首位数字％=4。
设/有n位有效数字，由定理知相对误差限k(.r*)|<—xlO1^ =-xl0^1 r 1 2x4 84-xio1-" <0.1%, 8解得〃Z3.097,即需取四位有效数字.1.2 序列｛/｝满足关系式y,,=10y,_]-l(n = l,2,...),若y0=V2«1.41,计算到M。
，误差有多大？这个算法稳定吗？解：y0 = V2,y* =1.41,|y0 -y*| <^-xl0-2=5 ,于是|/i 一川=|1。
》0 —IT。
〉；+1| = 1。
|光 - 司 < 1。
5卜2-》；| = |10》1一1一10》；+1| = 10卜1一酣〈10逆, 一般地|儿一司<103 因此计算到Mo其误差限为1010^，可见这个计算过程是不稳定的。
1. 3计算球的体积，要使相对误差限为1%,问测量半径R时允许的相对误差限是多少?解:5,、九兀K ~-7tK R_R* R2+R*R + R*2R_R* 37?2R_R*。
，“ ,(v)= _2 ---------- 2 «■«.____________ = _____ 3 = 1% ' 4 f RR- R R 2 R-7lR 3》=一' ,即测量半径R 时允许的相对误差限是一、。
R 300300第二章函数插值2.1、利用如下函数值表构造差商表，并写出牛顿插值多项式。
进而得牛顿多项式为 地⑴=f (.%) + /■氏次』吼⑴+ /[.r (p x 1,.r 2]<»2(.r) + /[.r (p x 1,.r 2,.r 3]<»3(.r)1 1 33A^3 (x) = 3 + — (x -1) + — (x -1)(尤)-2(x- l)(x )x2. 2、已知f(-2) = 2, f(-1) = 1, f (0) = 2, f (0.5) = 3试选用合适的插值节点利用Lagrange 二次插值多项式计算f (-o.5)的近似值，使之精度 尽可能高。
数值分析第四版习题及答案
第四版数值分析习题第一章绪论设x>O,x 的相对误差为S ，求In x 的误差. 设x 的相对误差为2%,求x n 的相对误差. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位 ，试指出它们是几位有效数字： x = 1.1021, x^ = 0.031, x^ = 385.6, x^ = 56.430, x^ = 7 1.0.利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限：(i)x *+x ；+x 4,(ii)x *x ；x ；,(iii )x ；/x ；,其中 x ；,x ；,x 3,x ；均为第 3题所给的数.计算球体积要使相对误差限为 1%，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少 ？设\)=28,按递推公式AY n =Y n d- _ .783100( n=1,2,…)计算到Y 00.若取7783衣27.982(五位有效数字)，试问计算^00将有多大误差？ 求方程X 2 -56X • 1 =0的两个根，使它至少具有四位有效数字 (■ 783沁27.982).\ ------ d x 当N 充分大时，怎样求N 1 x? 正方形的边长大约为 100 cm ,应怎样测量才能使其面积误差不超过 s *2设 2 假定g 是准确的，而对t 的测量有土 0.1秒的误差，证明当t 增加时s 的绝对 误差增加，而相对误差却减小. 序列｛yn｝满足递推关系y n _ 10y n _ 1(n=1,2,…)，若y0 _ X 2 1.41 (三位有效数字),计算到y 10时误差有多大？这个计算过程稳定吗？计算f = c- 2 一1)6,取' 2 : 1.4,利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好？f (x) =1 n (x X -1)，求 f(30)的值.若开平方用六位函数表，问求对数时误差有多大改用另一等价公式ln(x_ Jx 2 T) = -ln(x +Jx 2 +1)计算,求对数时误差有多大？1. 2. 3. 4.5. 6.7.8.9.10.11.12.13.21 cm1 (、2 1)61 (32 . 2)3,99 -70、2.?若根据(2.2)定义的范德蒙行列式，令证明V n (x)是n 次多项式,它的根是X 0^L ，X nJ ,且当x= 1 , -1 , 2时，f(x)= 0 , -3,4 ,求f(x)的二次插值多项式.给出cos x,0 ° < x 90。
数值分析 第一次习题课
第一次习题课
1、 已知函数)(x f y =的数据如下表
试作一个三次插值多项式P 3(x ),利用P 3(x )计算3。
2、已知由数据（0，0），（0.5，y ），（1，3）和（2，2）构造出的三次插值多项式(x)的x 3的系数是6，试确定数据y 。
3、求一个次数不高于4次的多项式()p x ,使它满足: (0)0p =，'(0)0p =，
(1)1p =，'(1)1p =，(2)1p =，并写出其余项表达式。
4、 已知
010()n
i
i i x x l x x x =-=-∏
，i
x 互异，证明：
1
00
1
1
()1k
n j k j j x x l x x
x -==+-=+-∑
∏。
5、 求区间[]0,1 上，带权函数(x)lnx ρ=-的正交多项式序列的前三项。
6、 求函数432()251f x x x x =+++在[]1,1-上的3次最佳一致逼近多项式。
7、 求函数()f x =[]0,1上的一次最佳平方逼近多项式。
8、已知(),(i 1,2,3,4)i i x y =的观测值为
用最小二乘法求这些数据拟合的二次曲线2012()b f x
b x b x =++ 9、用最小二乘法求一个形如 y A e B x =的经验公式，使与下列数据相拟合
值。
数值分析习题课
? ?
4
7
7
? ?
??x2
? ?
?
? ?
1
? ?
???2 4 5?? ??x3 ?? ???7??
? 试分别用（ 1）选列主元高斯消去法 （保留3 位有效数字）（ 7分）
?
（2）采用 Doolittle （杜利特尔）法进
行LU分解，（保留 3位有效数字）（ 7分）
? 求解该方程组。
5、解线性方程组迭代法
? ? ? ? ? ? ? ? xk f xk f xk, xk?1 f xk, xk?1, xk?2 f xk, xk?1, xk?2, xk?3
10
2 ?5
?5
3 ?6
?1
2
43
9
5
1
N3 ?x?? ?5?x ? 1?+2 ?x ? 1?(x ? 2) ? ?x ? 1??x ? 2??x ? 3?
? 0.9456909
由复合辛卜生公式可得如下计算公式
S4
?
1 ?f (0) ?
24
f (1) ? 2( f (0.25 ) ?
f (0.5) ?
f (0.75 ))
? 4( f (0.125 ) ? f (0.375 ) ? f (0.625 ) ? f (0.875 )) ?
? 0.9460832
为初始向量迭代一步.(保留三位有效数字)（8分）
6、非线性方程组数值解法
? 二分法 ? 不动点迭代（重：p215，例3） ? 不动点迭代收敛性（阶数，重：p218，例4） ? 迭代加速法 ? 牛顿迭代法（重：p223，例7） ? 牛顿下山法 ? 弦截法（重：p229，例10）
1、求方程f(x)=ex+10x-2=0在区间[0,1]内的根，要求误差 不超过0.005，同时写出Matlab算法程序和结果。(二分法)
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数值分析习题集及答案：篇一：数值分析习题集及答案[1]数值分析习题集（适合课程《数值方法A》和《数值方法B》）长沙理工大学第一章绪论1. 设x 0,x的相对误差为δ,求lnx的误差.2. 设x的相对误差为2％,求x的相对误差.3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字: 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: *****x1?1.1021,x2?0.031,x3?385.6,x4?56.430,x5?7?1.0.n************(i)x1?x2?x4,(ii)x1x2x3,(iii)x2/x4,其中x1,x2,x3,x4均为第3题所给的数.5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许的相对误差限是多少?6. 设Y0?28,按递推公式( n=1,2,…)Y计算到Y100.27.982(五位有效数字),试问计算100将有多大误差?Yn?Yn?127. 求方程x?56x?1?0的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982).8. 当N充分大时,怎样求???N1dx1?x2?29. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝? 10. 设误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列S?12gt2假定g是准确的,而对t的测量有±0.1秒的误差,证明当t增加时S的绝对{yn}满足递推关系yn?10yn?1?1(n=1,2,…),若y0??1.41(三位有效数字),y10时误差有多大?这个计算过程稳定吗?计算到612.计算f?1),?1.4,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?3?? 13.f(x)?ln(x,求f(30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式计算,求对数时误差有多大?ln(x???ln(x14. 试用消元法解方程组?x1?1010x2?1010;x1?x2?2.假定只用三位数计算,问结果是否可靠?1?absinc,0?c?22,且测量a ,b ,c 的误差分别为15. 已知三角形面积其中c为弧度,?a,?b,?c.证明面积的误差?s满足s??s?a?b?c???.sabc第二章插值法1. 根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令1Vn(x)?Vn(x0,x1,?,xn?1,x)?11证明Vn(x)是n次多项式,它的根是x0,?,xn?1,且x0?xn?1x2x0???nx0?x2?xn2nxn?xn?1?1Vn(x)?Vn?1(x0,x1,?,xn?1)(x?x0)?(x?xn?1).2. 当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)的二次插值多项式.3.4. 给出cos x,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界.maxl2(x)x?x?khx0?x?x3k05. 设,k=0,1,2,3,求.xj6. 设为互异节点(j=0,1,…,n),求证:i) ii) 7. 设?xl(x)?xkjjj?0nnk(k?0,1,?,n);?(xj?0j?x)klj(x)???k?1,2,?,n).2f(x)?C?a,b?且f(a)?f(b)?0,求证maxa?x?bx?61f(x)?(b?a)2maxf?(x8a?x?bx8. 在?4?x?4上给出f(x)?e的等距节点函数表,若用二次插值求e的近似值,要使截断误差不超过10,问使用函数表的步长h应取多少? 9. 若yn?2,求?yn及?yn.10. 如果f(x)是m次多项式,记?f(x)?f(x?h)?f(x),证明f(x)的k 阶差分n44?kf(x)(0?k?m)是m?k次多项式,并且?m?lf(x)?0(l为正整数).11. 证明?(fkgk)?fk?gk?gk?1?fk. 12. 证明k?0n?1n?1n?1?f?gkk?fngn?f0g0??gk?1?fk.k?013. 证明??j?02yj??yn??y0.n?1n14. 若f(x)?a0?a1x???an?1x?anx有n个不同实根x1,x2,?,xn,证明?f?(x)j?1jnxkj??0,0?k?n?2;?1an,k?n?1.15. 证明n阶均差有下列性质: i)若F(x)?cf(x),则F?x0,x1,?,xn??cf?x0,x1,?,xn?;Fx,x,?,xn??f?x0,x1,?,xn??g?x0,x1,?,xn?.ii) 若F(x)?f(x)?g(x),则?0174f?20,21,?,27?f?20,21,?,28?f(x)?x?x?3x?1????. 16. ,求及17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.R3(x)?f(4)(?)(x?xk)2(x?xk?1)2/4!,??(xk,xk?1)18. 求一个次数不高于4次的多项式P(x),使它满足P(0)?P(?k?1)并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 19. 试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式P(x),以便使它能够满足以下边界条件P(0)?P?(0)?0,P(1)?P?(1)?1,P(2)?1.20. 设f(x)?C?a,b?,把?a,b?分为n等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数?n(x)并证明当n??时,?n(x)在?a,b?上一致收敛到f(x).2f(x)?1/(1?x),在?5?x?5上取n?10,按等距节点求分段线性插值函数Ih(x),21. 设计算各节点间中点处的Ih(x)与f(x)的值,并估计误差.a,b?上的分段线性插值函数Ih(x),并估计误差.22. 求f(x)?x在?2423. 求f(x)?x在?a,b?上的分段埃尔米特插值,并估计误差.试求三次样条插值并满足条件 i) ii)2f(x)?C?a,b?,S(x)是三次样条函数,证明 25. 若S?(0.25)?1.0000,S?(0.53)?0.6868; S?(0.25)?S?(0.53)?0.i)??f?(x)?dx???S?(x)?dx???f?(x)?S?(x)?dx?2?aaab2b2b2baS?(x)?f?(x)?S?(x)?dx;ii) 若f(xi)?S(xi)(i?0,1,?,n),式中xi为插值节点,且a?x0?x1???xn?b,则?baS?(x)?f?(x)?S?(x)?dx?S?(b)?f?(b)?S?(b)??S?(a)?f?(a)?S?(a)?.26. 编出计算三次样条函数S(x)系数及其在插值节点中点的值的程序框图(S(x)可用(8.7)式的表达式).第三章函数逼近与计算1. (a)利用区间变换推出区间为?a,b?的伯恩斯坦多项式.?上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的(b)对f(x)?sinx在?马克劳林级数部分和误差做比较. 2. 求证:0,?/2(a)当m?f(x)?M时,m?Bn(f,x)?M. (b)当f(x)?x时,Bn(f,x)?x.0,2??的最佳一致逼近多项式.3. 在次数不超过6的多项式中,求f(x)?sin4x在?a,b?上连续,求f(x)的零次最佳一致逼近多项式.4. 假设f(x)在?5. 选取常数a,使0?x?1maxx3?ax达到极小,又问这个解是否唯一?0,?/2?上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.6. 求f(x)?sinx在?0,17. 求f(x)?e在??上的最佳一次逼近多项式.x?1,1?上与零偏差最小?r是否唯一?8. 如何选取r,使p(x)?x?r在?20,19. 设f(x)?x?3x?1,在??上求三次最佳逼近多项式.43***T(x)?T(2x?1),x?0,1??T(x),T(x),T(x),T3(x). nn01210. 令,求11. 试证12. 在??T*n(x)?是在?0,1?上带权??的正交多项式.?1,1?上利用插值极小化求1f(x)?tg?1x的三次近似最佳逼近多项式.?x?1,1?上的插值极小化近似最佳逼近多项式为Ln(x),若f?Ln13. 设f(x)?e在?有界,证明对任何n?1,存在常数?n、?n,使?nTn?1(x)?f(x)?Ln(x)??nTn?1(x)(?1?x?1).112331541655?(x)?1?x?x?x?x?x?1,1??28243843840,试将?(x)降低到3次多14. 设在上项式并估计误差. 15. 在??1,1?上利用幂级数项数求f(x)?sinx的3次逼近多项式,使误差不超过0.005.?a,a?上的连续奇(偶)函数,证明不管n是奇数或偶数,f(x)的最佳逼近多项式16. f(x)是?Fn*(x)?Hn也是奇(偶)函数.?ax?b?sinx?dx为最小.并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较.17. 求a、b使?1g(x)?C?a,b?,定义 f(x)18. 、2?2(a)(f,g)??f?(x)g?(x)dx;(b)(f,g)??f?(x)g?(x)dx?f(a)g(a);aabb问它们是否构成内积?1x6?01?x19. 用许瓦兹不等式(4.5)估计的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界,并比较其结果.20. 选择a,使下列积分取得最小值:21. 设空间?1?1(x?ax2)2dx,?x?ax2dx?11.???span?1,x?,?2?span?x100,x101?,分别在?1、?2上求出一个元素,使得其为x2?C?0,1?的最佳平方逼近,并比较其结果.?1?span?1,x2,x4?f(x)?x?1,1??22. 在上,求在上的最佳平方逼近.sin(n?1)arccosxun(x)?23.是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系un?1?x??2xun?x??un?1?x?.24. 将近多项式并画出误差图形,再计算均方误差.f(x)?sin1x??1,1?2在上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼?1,1?上展成切比雪夫级数.25. 把f(x)?arccosx在?26.y?a?bx.227.用最小二乘拟合求.29. 编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图. 30. 编出改进FFT算法的程序框图. 31. 现给出一张记录?xk???4,3,2,1,0,1,2,3?,试用改进FFT算法求出序列?xk?的离散频谱?Ck?(k?0,1,?,7).第四章数值积分与数值微分篇二：数值分析习题解答1第一章引论（习题）2．证明：x的相对误差约等于x的相对误差的1/2.证明记 f(x)?Er(f)?x ，则 ?x?x*x(x?x)*x?x*x?x?x*1??Er(x).□ *x2x?xx3．设实数a的t位?进制浮点机器数表示为fl(a). 试证明fl(a?b)?(a?b)/(1??),|?|?其中的记号*表示+、-、?、/ 中一种运算.证明：令： ??11?t?， 2(a?b)?fl(a?b) fl(a?b)c?1可估计： |fl(a?b)|??故： |?|? （c为a?b阶码）， 1c?tc?111?t???? 22于是：fl(a?b)?(a?b)(1??). □4．改变下列表达式使计算结果比较精确：（1）（2）（3） 11?x?,1?2x1?xx?1?xx?1,x对|x|??1; 对x??1; 1?cosx,x 2对x?0,|x|??1. 解 (1) 2x(2) (1?x)(1?2x). . x(x?x?x?x)1?cosxsin2xsinx?? (3) . □ xx(1?cosx)1?cosx6．设a?0.937关于精确数x有3位有效数字，估计a的相对误差. 对于f(x)??x，估计f(a)对于f(x)的误差和相对误差.解 a的相对误差：由于|E(x)|?x?a?1x?a, ?10?3. Er(x)?2x11Er(x)?10?2??10?2.（Th1） 2?918f(a)对于f(x)的误差和相对误差. |E(f)|?|?x??a|=a?x?x??a??3???1022?0.25=10?3 |Er(f)|?10?3?a?4?10?3.□9．序列{yn}满足递推关系：yn?1?100.01yn?yn?1. 取y0?1,y1?0.01及y0?1?10?5,定的. y1?0.01，试分别计算y5，从而说明该递推公式对于计算是不稳解递推关系： yn?1?100.01yn?yn?1(1) 取初值 y0?1， y1?0.01 计算可得： y2?100.01?10?6?2?1?1.0001?1?10?4 ?8y3?10 ， y4?10(2) 取初值 0?1?10记： ?n?yn?n, ?5 ， y5?10?2?10 ，…， 1?10,序列 ??n? ，满足递推关系，且?0??10?5 ， ?1?0?n?1?100.01?n??n?1, 于是： ?2?10?5,?3?100.01?10?5, ?4?(100.01)2?10?5?10?5,?5?(100.01)?103?5?200.02?10?5,n?2 可见随着 ?n 的主项 (100.01)?10?5 的增长，说明该递推关系式是不稳定的.篇三：《数值分析》习题1习题11．以下各表示的近似数，问具有几位有效数字？并将它舍入成有效数。
数值分析习题
第一章 绪论习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。
1 若误差限为5105.0-⨯,那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算） 214159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算）3 已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +，b a ⨯有几位有效数字？（有效数字的计算）4 设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差？（误差的计算）5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5*=，已知cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v2π=的绝对误差限与相对误差限。
（误差限的计算）6 设x 的相对误差为%a ,求nx y =的相对误差。
（函数误差的计算）7计算球的体积，为了使体积的相对误差限为%1，问度量半径r 时允许的相对误差限为多大？（函数误差的计算）8 设⎰-=11dx e xeI x nn ，求证：（1）)2,1,0(11 =-=-n nI I n n（2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差逐步增大；反向递推计算时误差逐步减小。
（计算方法的比较选择）第二章 插值法习题主要考察点：拉格朗日插值法的构造，均差的计算，牛顿插值和埃尔米特插值构造，插值余项的计算和应用。
1 已知1)2(,1)1(,2)1(===-f f f ，求)(x f 的拉氏插值多项式。
（拉格朗日插值）2 已知9,4,10===x x x y ，用线性插值求7的近似值。
（拉格朗日线性插值）3 若),...1,0(n j x j =为互异节点，且有)())(())(()())(())(()(11101110n j j j j j j j n j j j x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l ----------=+-+-试证明),...1,0()(0n k x x l xnj k jk j =≡∑=。
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1、引论
误差与有效数字（重）p6：例1,2 数值运算的误差估计 算法稳定性与病态条件数 p11：例6-8
作业 1、课本（清华版）p19，习题3、4. 2、知近似值x1=1.42，x2=-0.0184，x3=184*10-4
辛卜生公式计算定积分
I
1sinx dx 0x
解:首先计算出所需各节点的函数值,n=8时，
h 1 0.125 8
由复合梯形公式可得如下计算公式：
T8116f(0)2f(0.12)52f(0.2)52f(0.37)52f(0.5) 2f(0.62)52f(0.7)52f(0.87)5f(1)
算量基本相同，然而精度却差别较大，同积分的准
确值（是指每一位数字都是有效数字的积分值）比
ห้องสมุดไป่ตู้
较，复合梯形法只有两位有效数字
(T8=0.9456909),而复合辛卜生法却有六位有效数 字。
龙贝格求积计算步骤
① 解决用梯形公式计算积分近似值 T1b 2af(a)f(b)
② 按变步长梯形公式计算积分近似值
④ 精度控制；直到相邻两次积分值
R2n Rn
（其中ε 为允许的误差限）则终止计算并取Rn
请参见P112教材说明，加深理解！
例
用龙贝格算法计算定积分
1
I
4
dx
01x2
要求相邻两次龙贝格值的偏差不超过 10 5
解:由题意 a0,b1,f(x) 4
1x2
课件例4 已知的函数值如下： x1 2 4 5
f (x) 1 3 4 2 在区间1,5上求三次样条插值函数S(x),使它满足边 界条件 S(1 )0 ,S(5 )0
作业题9、构造适合系列数据的三次样条S(x)。
x
-1
0
1
3
y
-1
1
3
5
y'
6
3、数值积分
数值积分基本思想 代数精度（重）p100：例1 插值型求积公式 牛顿-科特斯公式（重：辛普森公式。p104） 复合求积公式（重：复合辛普森。p108：例3） 龙贝格求积公式（重：p110，例5-p112，例6） 高斯求积公式（重：p120，例9）
xk f xk f xk,xk1 f xk,xk1,xk2 f xk,xk1,xk2,xk3
10
2 5
5
3 6
1
2
43
9
5
1
N 3x5x1+2x1(x2)x1x2x3
x34x2+3
N 303
复习题
历年考题
1、已知 f( 1 )2 , f(1 ) 1 , f(2 ) 1 ，求f(x)的二次拉 格朗日插值多项式，并利用该多项式计算的值 。（保留三位有效数字）
2、已知函数的观测数据为如下表： x1 2 3 y 0 -5 3 求Lagrange插值多项式为：
复习题
2.给定函数f(x)=x3-4x，试建立关于xi=i+1（i=1...5）的差 商表,并列出关于x0,x1,x2,x3的插值多项式p(x)。
0.9456909
由复合辛卜生公式可得如下计算公式
S4
1f(0)f(1)2(f(0.25 )f(0.5)f(0.75 ))
24
4(f(0.12)5 f(0.37)5 f(0.62)5 f(0.87)5)
0.9460832
（积分准确值I=0.9460831）
这两种方法都需要提供9个点上的函数值，计
的绝对误差限均为0.5*10-2，问他们各有几位有效 数字。
（参见书后答案和课件例题！自己对照！） 记住：准确到某位-误差限是该位的半个单位！
历年试题分析
是圆周率真实值的近似值 3.14159 26，5
其有 3 位有效数字。
根据误差稳定性原则 y x1 x ，在计算等
y 1
式时应转变成
历年考题
1、求积公式 为 3 次。
-1 1f(x)d x1 3f(-)1 4f(0)f(1 )的代数精度
1
2、使用梯形公式
2
e x dx
计算积分时截断误差为
1
0.6796 。（结果保留4位有效数字）
3、所有牛顿—柯特斯求积公式的系数和均为1。 （√）
例 依次用n=8的复合梯形公式、n=4的复合
历年考题
1、设，取x0=4,x1=9,x2=6.25,则差商 -0.0080808 。 （结果保留5位有效数字）
2、给定如下数据： xi 1 2 3 4
f xi 0 5 6 3
试列出三阶差商表，求出f(x)的三次牛顿插值多项式， 并利用该多项式计算f(0)的值。（保留三位有效数字）
将区间逐次分半,令区间长度
hba (k0,1,2, ) 2k
计算
T2n
Tn 2
hn1
2k0
f(xk1 2
)
(n 2k )
③ 按加速公式求加速值
梯形加速公式：
Sn
T2n
T2n Tn 3
辛卜生加速公式：
Cn
S2n
S2n Sn 15
龙贝格求积公式：
Rn
C2n
C2n Cn 63
x1 x 计算。
2、插值法
线性插值（重）p28：例2 抛物线插值 拉格朗日插值多项式 均差（重）p31：均差表，p32：例题4 均差与牛顿插值（重） 诶尔米特插值 分段线性插值 三次样条插值（重）p44：例7与课件中例题的区别
复习题
1.构造拉格朗日多项式p(x)逼近f(x)=x3，要求： （1）节点x为-1,1，做线性插值。 （2）节点x为-1,0,1，做抛物插值。 （3）节点x为-1,0,1,2，做三次插值。
数值计算方法 （数值分析）
课程复习与习题讲解
课程考察范围
1、引论 2、插值法 3、数值积分 4、解线性方程组直接法 5、解线性方程组迭代法 6、非线性方程组数值解法 7、常微分方程初值问题数值解法 （注：每个章节均有重点内容）
试题构成
填空题5小题，共计10分。 计算题6小题，每题15分，共计90分。 各章均占15%左右权重。 各章重点方法和公式要求掌握。 （注1：试题总体难度等级——简单） （注2：试题有一定的计算量，希望复习作业