单调性习题课

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《函数单调性习题》课件

解答题2
证明函数$f(x) = frac{1}{x}$在区间 $(0, +infty)$上是减函数。
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单调性的数学表达
设$f(x)$在区间$I$上可导，若$f'(x) > 0$（或$f'(x) < 0$），则函数$f(x)$在区间$I$上单调递增（或递减）。
函数单调性的性质
1 2
3
函数的单调性与导数的关系
如果函数在某区间上单调递增（或递减），则其导数在此区间上非负（或非正）。
单调性的传递性
若函数$f(x)$在区间$I$上单调递增，且$g(x)$在区间$J$上单调递增，且$I subseteq J$，则复合函数$f(g(x))$在区间 $I$上也单调递增。
定义法是通过比较函数在某区间内的任意两点之间的函数值来判定函数的单调性，虽然较为繁琐，但基础且常用。
复合函数单调性判断
需细心分析
复合函数的单调性判断需要仔细分析函数的内外层函数，根据内外层函数的增减性来判断复合函数的单调性。
03
函数单调性习题解析
单调性判断题解析
总结词
掌握判断函数单调性的基本方法
单调性与经济问题
总结词：经济问题
详细描述：在经济领域中，单调性也有着重要的应用。例如，股票价格的涨跌、供需关系的变化等，都可以通过单调性来分析和预测。
单调性与物理问题
01
总结词：物理问题
02
详细描述：在物理学中，单调性被广泛应用于各种现象的解释和预测，如物体的运动轨迹、声音的传播等。
05
单调性在图像上的识别
通过观察函数图像的走势，可以大致判断出函数的单调性。如果在某个区间内，图像始终上升或始终下降，则说明函数在此区间上单调递增或递减。

高中数学《导数与单调性》习题课课件

★状元笔记单调区间的求法
(1)求函数的单调区间注意先求定义域． (2)使 f′(x)>0 的区间为 f(x)的单调递增区间，使 f′(x)<0 的区间为 f(x)的单调递减区间．
思考题 1 求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝xl1nx； (2)f(x)＝xx2-+11； (3)f(x)＝x+2 1-x.
所以当 f(x)在[1，2]上为单调函数时 a 的取值范围是(-∞， 0)∪(0，52]∪[1，+∞)．
【答案】 a≤0 时，增区间为(0，+∞)； a>0 时，增区间为(0，1a)，减区间为(1a，+∞)．
题型三求参数的取值范围
已知函数 f(x)＝x3+ax2+1，a∈R. (1)讨论函数 f(x)的单调区间； (2)若函数 f(x)在区间(-23，0)内是减函数，求 a 的取值范围； (3)若函数 f(x)的单调减区间是(-23，0)，求 a 的值．
(4)f′(x)＝（2+cosx（）2c+ocsxo-ssxi）nx2（-sinx）＝（22c+ocsoxs+x1）2. 当 2kπ-23π<x<2kπ+23π(k∈Z)时，cosx>-12，即 f′(x)>0；当 2kπ+23π<x<2kπ+43π(k∈Z)时，cosx<-12，即 f′(x)<0. 因此 f(x)在区间(2kπ-23π，2kπ+23π)(k∈Z)上是增函数， f(x)在区间(2kπ+23π，2kπ+43π)(k∈Z)上是减函数．
f(x)在(2，3)上不单调，则有223a<≠23a0<，3，可得

函数单调性习题课

自然科学中的应用
气候变化研究
气候变化是一个复杂的过程，但单调性在气候变化研究中仍然有所应用。例如，气温随时间呈现出单调递增或递减的趋势，这有助于我们预测未来的气候变化趋势。
生物种群数量变化
在生态学中，生物种群的数量变化往往呈现出单调性。例如，某些物种的数量随着时间的推移呈现出单调递增或递减的趋势。了解这些单调性有助于我们预测物种的未来发展趋势，制定相应的保护措施。
单调性与导数的关系
如果函数$f(x)$在区间$I$上可导，且导数大于零（或小于零），则函数$f(x)$ 在区间$I$上单调递增（或单调递减）。
单调性在函数图像上的表现
单调递增函数的图像
在平面直角坐标系中，单调递增函数的图像从左到右上升，即随着自变量 $x$的增大，函数值$y$也相应增大。
单调递减函数的图像
感谢您的观看
定义法
总结词
通过函数定义判断单调性
详细描述
在定义域内任取两个数$x_{1}$、$x_{2}$，通过比较$f(x_{1})$和$f(x_{2})$的大小来判断函数的单调性。如果$f(x_{1}) < f(x_{2})$，则函数在该区间内单调递增；如果$f(x_{1}) > f(x_{2})$，则函数在该区间内单调递减。
增，那么对于任意的$x_1, x_2$（$x_1 < x_2$）都有$f(x_1) < f(x_2)$，从而证明了相
应的不等式。
利用单调性解方程
总结词
利用函数的单调性，可以求解一些方程。
详细描述
通过分析函数的单调性，可以确定方程的解的范围或唯一解。例如，对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，如果$a > 0$，则函数$f(x) = ax^2 + bx + c$在区间$(-infty, -frac{b}{2a})$上单调递增，在区间$(-frac{b}{2a}, +infty)$上单调递减，从而可以确定

新教材高中数学3函数的单调性和最值第1课时函数的单调性课后习题北师大版必修第一册

§3 函数的单调性和最值第1课时函数的单调性A 级必备知识基础练1.(多选题)下列函数在区间(0,+∞)上单调递增的是( ) A.y=2x+1 B.y=x 2+7 C.y=3-xD.y=x 2+2x+12.函数f (x )=-x 2+2x+3的单调递减区间是( ) A.(-∞,1) B.(1,+∞) C.(-∞,2)D.(2,+∞)3.已知函数f (x )在区间(-∞,+∞)上是减函数,若a ∈R ,则( ) A .f (a )>f (2a ) B .f (a 2)<f (a ) C .f (a 2+a )<f (a )D .f (a 2+1)<f (a )4.已知函数y=f (x )在定义域(-1,1)上是减函数,且f (2a-1)<f (1-a ),则实数a 的取值范围是( ) A.23,+∞ B.23,1C.(0,2)D.(0,+∞)5.函数y=f (x )(x ∈[-4,4])的图象如图所示,则函数f (x )的单调递增区间为( )A.[-4,-2]B.[-2,1]C.[1,4]D.[-4,-2]∪[1,4]6.(多选题)下列命题是假命题的有( )A.定义在区间(a ,b )上的函数f (x ),如果有无数个x 1,x 2∈(a ,b ),当x 1<x 2时,有f (x 1)<f (x 2),那么f (x )在区间(a ,b )上为增函数B.如果函数f (x )在区间I 1上单调递减,在区间I 2上也单调递减,那么f (x )在区间I 1∪I 2上单调递减<0时,函数f(x)在区间(a,b)上单调递减C.任取x1,x2∈(a,b),且x1≠x2,当f(x1)-f(x2)x1-x2D.任取x1,x2∈(a,b),且x1≠x2,当(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]>0时,函数f(x)在区间(a,b)上单调递增在区间(0,+∞)上都单调递减,则函数y=ax2+bx在区间(0,+∞)上() 7.若函数y=ax与y=-bxA.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增8.已知函数f(x)=2x2-mx+3,当x∈[-2,+∞)时,f(x)单调递增,当x∈(-∞,-2]时,f(x)单调递减,则m= .9.(2022福建福州高一期末)已知函数f(x)=√x2-(a-1)x+2a,且f(1)=√3.(1)求实数a的值;(2)判断f(x)在区间(-∞,0]上的单调性并用定义证明.B级关键能力提升练在区间[1,2]上都单调递减,则实数a的取值范围是() 10.若函数f(x)=-x2+2ax与g(x)=ax+1A.(-1,0)∪(0,1)B.(-1,0)∪(0,1]C.(0,1)D.(0,1]11.下列有关函数单调性的说法不正确的是( ) A.若f (x )为增函数,g (x )为增函数,则f (x )+g (x )为增函数 B.若f (x )为减函数,g (x )为减函数,则f (x )+g (x )为减函数 C.若f (x )为增函数,g (x )为减函数,则f (x )+g (x )为增函数 D.若f (x )为减函数,g (x )为增函数,则f (x )-g (x )为减函数12.若函数f (x )在(-∞,+∞)上是减函数,a ,b ∈R 且a+b ≤0,则下列选项正确的是( ) A.f (a )+f (b )≤-[f (a )+f (b )] B.f (a )+f (b )≤f (-a )+f (-b ) C.f (a )+f (b )≥-[f (a )+f (b )] D.f (a )+f (b )≥f (-a )+f (-b )13.若函数f (x )={x 2+2ax +3,x ≤1,ax +1,x >1是定义域上的减函数,则实数a 的取值范围为 .14.已知函数f (x )=ax+1x+2,若x 1>x 2>-2,则f (x 1)>f (x 2),则实数a 的取值范围是 . 15.已知函数f (x )=mx+1nx +12(m ,n 是常数),且f (1)=2,f (2)=114. (1)求m ,n 的值;(2)当x ∈[1,+∞)时,判断f (x )的单调性并证明;(3)若不等式f (1+2x 2)>f (x 2-2x+4)成立,求实数x 的取值范围.C级学科素养创新练(x≠0,a∈R),若函数f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,则a的取值范围16.已知函数f(x)=x2+ax为.17.设f(x)是定义在R上的函数,对任意m,n∈R,恒有f(m+n)=f(m)·f(n)(f(m)≠0,f(n)≠0),且当x>0时,0<f(x)<1.(1)求证:f(0)=1;(2)求证:当x∈R时,恒有f(x)>0;(3)求证:f(x)在R上是减函数.§3 函数的单调性和最值第1课时函数的单调性1.ABD 函数y=3-x 在区间(0,+∞)上单调递减.2.B 易知函数f (x )=-x 2+2x+3是图象开口向下的二次函数,其对称轴为直线x=1,所以其单调递减区间是(1,+∞).3.D 选项D 中,因为a 2+1>a ,f (x )在区间(-∞,+∞)上是减函数,所以f (a 2+1)<f (a ).而在其他选项中,当a=0时,自变量均是0,应取等号.故选D .4.B 因为函数y=f (x )在定义域(-1,1)上是减函数,且f (2a-1)<f (1-a ),所以{2a -1>1-a,-1<2a -1<1,-1<1-a <1,解得23<a<1,所以实数a 的取值范围是23,1.故选B .5.B6.AB A 是假命题,“无数个”不能代表“所有”“任意”; 以f (x )=1x 为例,知B 是假命题; ∵f(x 1)-f(x 2)x 1-x 2<0(x 1≠x 2)等价于[f (x 1)-f (x 2)]·(x 1-x 2)<0,而此式又等价于{f(x 1)-f(x 2)>0,x 1-x 2<0或{f(x 1)-f(x 2)<0,x 1-x 2>0,即{f(x 1)>f(x 2),x 1<x 2或{f(x 1)<f(x 2),x 1>x 2,∴f (x )在区间(a ,b )上单调递减,C 是真命题,同理可得D 也是真命题.7.B 由于函数y=ax 与y=-bx 在区间(0,+∞)上都单调递减,所以a<0,-b>0,即a<0,b<0.因为抛物线y=ax 2+bx 的对称轴为直线x=-b2a <0,且抛物线开口向下,所以函数y=ax 2+bx 在区间(0,+∞)上单调递减.8.-8 ∵函数f (x )在区间(-∞,-2]上单调递减,在区间[-2,+∞)上单调递增,∴对称轴x=-b 2a =m4=-2,∴m=-8,即f (x )=2x 2+8x+3.9.解(1)由f (1)=√3,得1-(a-1)+2a=3,解得a=1.(2)由(1)知f (x )=√x 2+2,其定义域为R ,f (x )在区间(-∞,0]上单调递减. 证明如下:任取x 1,x 2∈(-∞,0],且x 1<x 2,f (x 1)-f (x 2)=√x 12+2−√x 22+2=(√x 12+2-√x 22+2)(√x 12+2+√x 22+2)√x 1+2+√x 2+2=1222√x 1+2+√x 2+2 =1222√x 1+2+√x 2+2=1212√x 1+2+√x 2+2.因为x 1≤0,x 2≤0,且x 1<x 2,所以x 1+x 2<0,x 1-x 2<0,√x 12+2+√x 22+2>0,则f (x 1)-f (x 2)>0,所以f (x 1)>f (x 2), 故f (x )在区间(-∞,0]上单调递减. 10.D f (x )=-x 2+2ax=-(x-a )2+a 2, ∵f (x )在区间[1,2]上单调递减,∴a ≤1. ∵g (x )=ax+1在区间[1,2]上单调递减, ∴a>0,∴0<a ≤1.11.C 根据增函数、减函数的定义,知两个相同单调性的函数相加单调性不变,选项A,B 正确;对于D,g (x )为增函数,则-g (x )为减函数,f (x )为减函数,f (x )+(-g (x ))为减函数,选项D 正确;对于C,若f (x )为增函数,g (x )为减函数,则f (x )+g (x )的单调性不确定.例如f (x )=x+2为R 上的增函数,当g (x )=-12x 时,f (x )+g (x )=x2+2在R 上为增函数;当g (x )=-3x 时,f (x )+g (x )=-2x+2在R 上为减函数,故不能确定f (x )+g (x )的单调性.故选C . 12.D 因为a+b ≤0,所以a ≤-b ,b ≤-a , 又函数f (x )在区间(-∞,+∞)上是减函数,所以f (a )≥f (-b ),f (b )≥f (-a ), 所以f (a )+f (b )≥f (-a )+f (-b ).13.[-3,-1] 由题意可得{-a ≥1,a <0,12+2a ×1+3≥a ×1+1,解得-3≤a ≤-1,则实数a 的取值范围是[-3,-1].14.(12,+∞) 由“若x 1>x 2>-2,则f (x 1)>f (x 2)”可知函数f (x )在区间(-2,+∞)上单调递增.而f (x )=ax+1x+2=a+1-2a x+2,故有1-2a<0,解得a>12,即a 的取值范围为(12,+∞).15.解(1)∵f (1)=m+1n +12=2,f (2)=2m+12n +12=114,∴{m =1,n =2.(2)f (x )在区间[1,+∞)上单调递增.证明如下, 由(1)得f (x )=x+12x +12.设1≤x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=x 1+12x 1+12−(x 2+12x 2+12)=(x 1-x 2)(1-12x1x 2)=(x 1-x 2)·(2x 1x 2-12x 1x 2).∵1≤x 1<x 2,∴x 1-x 2<0,x 1x 2>1,∴2x 1x 2-1>1, ∴f (x 1)-f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2). ∴f (x )在区间[1,+∞)上单调递增. (3)∵1+2x 2≥1,x 2-2x+4=(x-1)2+3≥3, ∴只需1+2x 2>x 2-2x+4, ∴x 2+2x-3>0,解得x<-3或x>1.即实数x 的取值范围为(-∞,-3)∪(1,+∞).16.(-∞,16] 任取x 1,x 2∈[2,+∞),且x 1<x 2,则x 2-x 1>0,f (x 2)-f (x 1)=x 22+a x 2−x 12−a x 1=x 2-x 1x 1x 2·[x 1x 2(x 1+x 2)-a ].要使函数f (x )在区间[2,+∞)上单调递增,需满足f (x 2)-f (x 1)>0在[2,+∞)上恒成立. ∵x 2-x 1>0,x 1x 2>4>0, ∴a<x 1x 2(x 1+x 2)恒成立.又x 1+x 2>4,∴x 1x 2(x 1+x 2)>16,∴a ≤16,即a的取值范围是(-∞,16].17.证明(1)根据题意,令m=0,可得f(0+n)=f(0)·f(n),∵f(n)≠0,∴f(0)=1.(2)由题意知,当x>0时,0<f(x)<1;当x=0时,f(0)=1>0;当x<0时,-x>0,∴0<f(-x)<1.∵f(0)=f(x+(-x))=f(x)·f(-x)=1,>0.∴f(x)=1f(-x)故x∈R时,恒有f(x)>0.(3)设任意的x1,x2∈R,且x1>x2,则f(x1)=f(x2+(x1-x2)).∴f(x1)-f(x2)=f(x2+(x1-x2))-f(x2)=f(x2)f(x1-x2)-f(x2)=f(x2)[f(x1-x2)-1].由(2)知,f(x2)>0.∵x1-x2>0,∴0<f(x1-x2)<1,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),故f(x)在R上是减函数.。

单调性与奇偶性习题课

函数的单调性与奇偶性学习目标1.理解函数的单调性与奇偶性的概念，会判断一些简单函数的单调性与奇偶性。

2.能利用函数的单调性与奇偶性解决相关问题。

3.进一步强化数形结合思想。

学习过程课后作业1：已知2()3f x ax bx a b =+++是偶函数，定义域为[1,2]a a -.则a = ，b = 2.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A. R x x y ∈-=,3B. R x x y ∈=,sinC. R x x y ∈=,D. Rx xy ∈=,)21(3.函数()y f x =是R 上的偶函数，且在(,0]-∞上是增函数，若()(2)f a f ≤,则实数a 的取值范围是（） A.2a ≤ B.2a ≥- C.22a -≤≤ D.2a ≤-或2a ≥4.设函数(1)()()x x a f x x++=为奇函数，则a = ．5已知函数()y f x =为奇函数，若(3)(2)1f f -=，则(2)(3)f f ---= ． 6．下列函数为偶函数的是（）A ．y=3xB ．y=xC ．y=312+x D ．y=x3 7.已知定义域为(－1，1)的奇函数y =f (x )又是减函数，且f (a －3)+f (9－a 2)<0, 则a 的取值范围是( )A.(22，3)B.(3，10)C.(22，4)D.(－2，3)8.若f (x )为奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，又f (－3)=0,则xf (x )<0的解集为_________.9．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f (13)的x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫13，23 B.⎣⎡⎭⎫13，23 C.⎝⎛⎫12，23 D.⎣⎡⎫12，23 10.定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则( )A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2) 11．(2010·温州一模)设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，当x ∈[0，5]时，函数y ＝f (x )的图象如图所示，则使函数值y <0的x 的取值集合为________．12. 函数()y f x =是R 上的偶函数，且在(,0]-∞上是增函数，若()(2)f a f ≤,则实数a 的取值范围是（） A.2a ≤ B.2a ≥- C.22a -≤≤ D.2a ≤-或2a ≥13.函数1()f x x x=-的图像关于（） A ．y 轴对称 B ．直线x y -=对称 C ．坐标原点对称 D ．直线x y =对称。

函数的单调性、奇偶性习题课

思考题 10、若对于一切实数 x, y都有
f ( x y) f ( x) f ( y),
（1）求 f (0),并证明f ( x)为奇函数
（2）若 f (1) 3, 求f (3)
3、 y
1 A、a 2
2、下列函数中，在 (0,2)上为增函数的是（
1 B、a 2
1 C、a 2
1 D、a 2
f ( x)( x R) 是奇函数，则它的图象必
）
经过点（
A、 a, f (a)) ( C、 , f (a)) (a
B、 , f (a)) (a D、 a, f (a)) (
B、f ( x) f ( x) 0 D、f ( x) f ( x) 0
0 , 6、定义域R的偶函数 f (x)在（，）上是增函数则（） A、f (3) 、f (3) f ( ) f (4) D、f (4) f ( ) f (3)
4、下列判断正确的是（
）
A、f ( x) ( x )2 是偶函数
C、f ( x) x 1在 5，上是偶函数 3
2
B、f ( x) ( x )3 是奇函数
D、f ( x) 3 x 2 是偶函数
5、对于定义域是R的任何奇函数 f (x) 都有（）
A、f ( x) f ( x) 0 C、f ( x) f ( x) 0
7、若 y (m 1) x 2 2mx 3是偶函数则 m 选做题 2 2 8、函数 y x 2ax a 1在（ ,1 ）上是减函数 ,
则实数 a的取值范围是
9、判断下列函数的奇偶性
(1) f ( x) x 1
3
1 (2) f ( x) x x

函数单调性的判断和证明

（1）解：令 b 0, a 1则f (1 0) f (1) f (0) f (0) 1 （2）令 a 1, b 1 则f (0) f (1 1) f (1) f (1), 则f (1) 1
2 令a x,b x则f (0) f（x) f（ x) f (x) 1
f (x)
当x 0时，有 f (x) 1
0 f (- x) 1当x R时， f (x) 0
设x1 x2则
f (x2 ) f (x1)
f ( x1 ( x2 - x1)) f (x)
f (x1) f (x2 - x1) f (x)
f (x2 - x1) 1
f (x)是R上的增函数。
例 7：函 f(x数 )对任a意 ,bR 的 ,都有 f(ab)f(a)f(b)1,并且 x当 0,f(x)1 求证 f(x： )是 R上的增函数。
例8：定义在 R上的函数 y f (x), 对任意的 a, b R, 满足 f (a b) f (a) f (b), 当x 0时有f (x) 1, 且f (1) 2 （1）求 f (0)的值 (2)求f (1)的值并判断该函数的单调性。
故函数 y x 2 4 x 3 的单调递减区间为 2 , 3 。
(问：函y数 x2 4x3的单调递增区间？是）什么

三.复合函数单调性
对于复y合 f[函 g(x)数的 ] 单调性， y必 f(u)须与考 ug(x)的单调性， y从 f[g(而 x)的 ]得单出调性。
yf(x)
增函数增函数减函数减函数
ug(x)
增函数减函数增函数减函数
yf[g(x)]
增函数减函数减函数增函数
小结：同增异减。研究函数的单调性，首先考虑函数的定义域，要注意函数的单调区间是函数定义域的某个区间。

对数函数单调性的习题课

《对数函数单调性的习题课》教学设计牡丹江一中数学组王玉刚教学目标：会用对数函数的单调性解决问题，培养学生数形结合的能力;培养学生大胆尝试、团结合作的精神和严谨的态度，以及喜欢数学的兴趣与情感，帮助学生树立学好数学的自信心。

教学重点：对数函数单调性的应用教学难点：底数a 对对数函数的影响（Ⅰ）设置情景复习回顾师：前面我们学习了对数函数的单调性，请同学们回忆一下对数函数的单调性是如何描述的？生1：当1>a 时，对数函数x y a log =在),0(+∞内是增函数；当10<<a 时，对数函数x y a log =在),0(+∞内是减函数师：今天我们就利用对数函数的单调性来解决一些问题。

（Ⅱ）探求与研究问题1：（幻灯片1）mn p D p n m C n p m B n m p A b p b n b m ab b a b a a <<<<<<<<===>><<....)(1log 1log log ,11,10则下列各式中成立的是，，若且已知师：给大家一分钟的讨论时间，然后告诉我结果。

生2：首先观察p n m 、、三个式子，可以判断出01,0,0<-=><p n m ，然后再判断p m 与的大小。

p 可以写成a p a 1log =，此时p m 与同底，然后比较ab 1与的大小，因为1,0,0>>>ab b a ，所以a b 1>，因此p m <，答案应为B 。

全体同学异口同声说：好！师：回答得非常好！那我们看，比较大小的实质就是“求同”，利用对数函数的单调性来比较。

我们来看第二题问题2：（幻灯片2）的单调区间求函数)54(log 22.0++-=x x y 生3：这是一个复合函数，首先要求定义域，我们可令542++-=x x u ，则u y 2.0log =在),0(+∞内是减函数，现在我们来求函数542++-=x x u 的单调区间，易得u 在)2,1(-是增函数，u 在)5,2(是减函数，所以，函数)54(log 22.0++-=x x y 在]2,1(-是减函数，在)5,2[是增函数。

三角函数的单调性(习题课)

正弦、余弦函数的单调性
佛山一中何历程
正弦、余弦函数的单调性
例1 不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0；
①
18 10 23 17 ② cos( ) cos( ) 5 4
练习：比较
sin(

) sin(

)
sin( 3)、 2)、 1 sin( sin
大小
在
[

, ] 2 2
2 2 上是增函数。
sin

，求证
作业：《优化》P40 强化7、9
结束
sin( 答案：
3) sin1 sin( 2)
正弦、余弦函数的单调性
例 2 求函数
y 2 sin(3x

4
)
的单调递增区间；
例 3 求函数
y loLeabharlann 1 cos x的单调增区间；2
正弦、余弦函数的单调性
例 4 作出函数周期性、单调性。
y sin x 的图象，指出它的奇偶性、

小结：通过例题与练习培养数形结合、以形观数分析问题和解决问题的能力；学习中应重视换元法的思想方法在解决问题的作用。作业：《优化》P40 强化7、9
结束
正弦、余弦函数的单调性
练习1 《优化》P40 随堂5，强化2
练习2 利用公式 sin sin 2 cos

f ( x) sin x

8函数的单调性、奇偶性(习题课)

函数的单调性、奇偶性〔习题课〕教学目标：理解函数的单调性与奇偶性的概念，会判断一些简单函数的单调性与奇偶性。

能利用函数的单调性与奇偶性解决相关问题。

进一步强化数形结合思想。

教学重点：函数单调性与奇偶性的灵活应用教学难点：函数单调性与奇偶性的灵活应用教学过程：一、基础训练：1、f〔x〕=ax5+bx3+cx+2，且f〔2〕=3，那么f〔-2〕=_______________.2、设f〔x〕是定义在R上的偶函数，当x>0时，f〔x〕=x2+1，那么f〔-2〕=______________3、〔1〕f〔x〕=x2+mx+2在[ 1，+∞]上单调递增，那么m∈__________.〔2〕f〔x〕=ax，g〔x〕=bx-在〔-∞，0〕上都是减函数，那么h〔x〕= ax2+bx在〔0，+∞〕上是________函数〔增或减〕.4、设奇函数f〔x〕的定义域为[-5，5 ]，假设x∈[ 0，5 ] 时，f〔x〕的图象如图所示，那么不等式f〔x〕<0的解集是_______________________________.二、例题讲解：例1、f〔x〕为〔-∞，+∞〕上单调增函数，且f〔m+1〕-f〔2m-1〕>0，求m的范围。

小结：例2、函数f〔x〕=x2+mx+1是偶函数，求实数m的值。

小结：*例3、f〔x〕为定义在R上的偶函数，且在[0，+∞〕上为单调增函数，试判断f〔x〕在〔-∞，0〕上的单调性，并证明。

小结：三、练习巩固：1、假设函数f〔x〕是定义在R上的偶函数，在〔-∞，0]上是减函数，且f 〔2〕=0，那么使得f〔x〕< 0 的x的取值范围是________________________.2、〔1〕f〔x〕、g〔x〕都为R上的奇函数，那么f〔x〕+g〔x〕为________函数。

〔2〕f〔x〕、g〔x〕都为R上的增函数，那么f〔x〕+g〔x〕为________函数，f [ g〔x〕]为_________函数。

07班函数单调性和奇偶性习题课

3 已知 f ( x ) 是[-1,1]上的奇函数，且在上的奇函数上的奇函数，且在[0,1] 上先增后减，且在[-1,0]上是上先增后减，则且在上（） A 先减后增 B 先增后减 C 单调递增 D 单调递减
4．1） 4． 1）（若函数，b = 则a =
f ( x ) = x3 + a ( −1 < x < b ) 是奇函数，是奇函数，
a < 0 时， f ( x ) 在 −∞， b 上递增， − b ， ∞ 上 − 上递增，当在 2a + 2a 2a 2a

递减．递减．
（2））已知二次函数的定义域，已知二次函数的定义域，求值域步骤：求值域步骤：首先，求对称轴方程；首先，求对称轴方程；其次，画出函数的草图；其次，画出函数的草图；最后，结合定义域、单调性来求值域．最后，结合定义域、单调性来求值域．而不是简单地将区间端点值代入）（而不是简单地将区间端点值代入）
1．判断下列函数的奇偶性：．判断下列函数的奇偶性：
1 （1） f ( x) = x + ） x | x| （3） f ( x) = 2 ） x +1
2 4
1 （2） f ( x) = x + 2 ） x
4
（4） f ( x) = x x −1 ）
2
（5） f ( x) = x +2x (−2 ≤ x < 2) ）
2 A
f ( x) 为一偶函数，且当 x>0 时， f ( x) ≥ 2，则当 x< 0时, （） f ( x) ≤ 2
B f ( x) ≥ 2 C f ( x) ≤−2 D f ( x) ∈R

单调性练习题

1.3.1 单调性与最大（小）值1.若函数y=ax 与y=-xb 在(0,+∞)上都是减函数，则函数y=ax 2+bx 在(0,+∞)上是单调递增函数还是单调递减函数？思路解析：确定a 、b 符号，求出y=ax 2+bx 的单调区间.由已知得a<0,b<0,∴-a b 2<0. ∵y=ax 2+bx 在［-ab 2,+∞］上单调递减， ∴y=ax 2+bx 在(0,+∞)上是单调递减函数.2.如果函数f(x)在［a ，b ］上是增函数，对于任意的x 1、x 2∈［a ，b ］(x 1≠x 2)，下列结论中不正确的是( ) A.2121)()(x x x f x f -->0 B.(x 1-x 2)［f(x 1)-f(x 2)］＞0 C.f(a)＜f(x 1)＜f(x 2)＜f(b) D.)()(2121x f x f x x -->0 思路解析：2121)()(x x x f x f -->0 ⇔⎩⎨⎧>>⎩⎨⎧<<)()(,)()(,21212121x f x f x x x f x f x x 或 ⇔f(x)在［a ，b ］上为增函数. 又2121)()(x x x f x f -->0⇔ (x 1-x 2)［f(x 1)-f(x 2)］＞0⇔)()(2121x f x f x x --＞0, ∴A 、B 、D 正确，C 不正确.答案：C3.函数y=1-+x x 的值域为_________.思路解析：考查函数的单调性和值域的求法.由x ≥1和函数是增函数，可知y ≥1，所以函数的值域是［1，+∞］.答案：［1，+∞］4.已知函数y=f(x)在(-∞，＋∞)上是减函数，则y=f(|x ＋2|)的单调递减区间是( )A.(-∞，＋∞)B.［-2，＋∞］C.［2，＋∞］D.(-∞，-2)思路解析：∵u=|x ＋2|≥0，且u=|x ＋2|在［-2，＋∞)上为增函数，在(-∞，-2］上为减函数.又y=f(x)在(-∞，＋∞)上是减函数,∴y=f(u)在［0，＋∞)上也是减函数.∴y=f(|x ＋2|)在［-2，＋∞)上为减函数，在(-∞，-2］上为增函数.答案：B5.若函数f(x)=x 2＋2(a-1)x ＋2在区间(-∞，4)上是减函数，则实数a 的取值范围是…( )A.a ≤-3B.a ≥-3C.a ≤5D.a ≥3思路解析：因为函数f(x)=x 2＋2(a-1)x ＋2有两个单调区间，它在(-∞，-(a-1)］上是减函数，又因为f(x)在区间(-∞，4)上是减函数，因此必有4≤-(a-1)，解得a ≤-3.答案：A6.设f(x)是定义在A 上的减函数，且f(x)＞0，则下列函数中为增函数的个数是( ) ①y=3-f(x) ②y=1＋)(2x f ③y=［f(x)］2 ④y=1-)(x fA.1B.2C.3D.4思路解析：∵f(x)是定义在A 上的减函数，且f(x)＞0,设x 1、x 2∈A ，且x 1＜x 2，则f(x 1)＞f(x 2)＞0,∴3-f(x 1)＜3-f(x 2)，即y=3-f(x)在A 上为增函数.)(11x f < )(12x f ,1+)(21x f <1+)(22x f ,即y=1＋)(2x f 在A 上为增函数.f 2(x 1)＞f 2(x 2)，即y=f 2(x)在A 上是减函数. )()(21x f x f ,1-)(1x f <1-)(2x f ，即y=1-)(x f 在A 上为增函数.答案：C7.若函数f(x)在区间［m ，n ］上是增函数，在区间［n ，k ］上也是增函数，则函数f(x)在区间(m ，k)上( )A.必是减函数B.是增函数或减函数C.必是增函数D.未必是增函数或减函数思路解析：任取x 1、x 2∈(m ，k)，且x 1＜x 2,若x 1、x 2∈(m ，n ］，则f(x 1)＜f(x 2).若x 1、x 2∈［n ，k)，则f(x 1)＜f(x 2).若x 1∈(m ，n ］，x 2∈(n ，k)，则x 1≤n ＜x 2.∴f(x 1)≤f(n)＜f(x 2). ∴f(x)在(m ，k)上必为增函数.答案：C8、若函数y=（2k+1）x+b 在R 上是减函数，则( )A.k ＞21 B.k ＜21 C.k ＞-21 D.k ＜-21 思路解析：利用一次函数的单调性解决此题.由已知，2k+1＜0，解得k ＜-21，选D. 答案：D6.求函数y=x 2-2x+3在x ∈［-1，2］上的最大值、最小值.思路解析：函数f （x ）为二次函数，在区间［-1，2］上的图象已确定，可结合图象求函数最值.解：原函数变形为y=（x-1）2+2，x ∈［-1，2］，对称轴方程为x=1.作出函数y=（x-1）2+2在x ∈［-1，2］上的图象，如上图实线部分，可以看出y 的最小值在x=1时取到，为2，y 的最大值在x=-1时取到，为6.7.借助计算机作出函数y=-x 2＋2|x|＋3的图象并指出它的单调区间.思路解析：计算机中有好多程序可以画图，但要注意的是，选用最常用的比较方便，如选用《几何画板》.解：用《几何画板》画的函数图象如下图，由图象可知，函数的单增区间为（-∞，-1）、（0，1）；函数的单调减区间为（-1，0）、（1，＋∞）.30分钟训练 (巩固类训练，可用于课后)1.已知f(x)是R 上的增函数，若令F(x)=f(1-x)-f(1+x),则F(x)是R 上的( )A.增函数B.减函数C.先减后增的函数D.先增后减的函数思路解析：因为已知f(x)是R 上的增函数.采用特殊函数法变换.取f(x)=x,则F(x)=(1-x)-(1+x)=-2x 为减函数.答案：B2.函数f(x)在区间(-4，7)上是增函数，则y=f(x-3)的递增区间是( )A.(-2，3)B.(-1，10)C.(-1，7)D.(-4，10)思路解析：∵f(x)在(-4，7)上是增函数,由-4＜x-3＜7，得-1＜x ＜10.且u=x-3，在(-1，10)上也为增函数，∴f(x-3)在(-1，10)上为增函数.答案：B3.在（0，2）上为增函数的是( )A.y=-x+1B.y=xC.y=x 2-4x+5D.y=x2 答案：B4.f （x ）=x 2+2（a-1）x+2在（-∞，4）上是减函数，则a 的范围是_________.思路解析：只需对称轴1-a ≥4便可，∴a ≤-3.答案：a ≤-35.函数y=62+--x x 单调递增区间是_________，单调递减区间是_________.思路解析：由-x 2-x ＋6≥0，即x 2＋x-6≤0，解得-3≤x ≤2.∴y=62+--x x 的定义域是［-3，2］.又u=-x 2-x ＋6的对称轴是x=-21, ∴u 在x ∈［-3，-21］上递增，在x ∈［-21，2］上递减.又y=u 是［0，＋∞］上的增函数,∴y=62+--x x 的递增区间是［-3，-21］，递减区间是［-21，2］. 答案：［-3，-21］［-21，2］ 6.函数y=f(x)是定义在R 上的减函数，则y=f(|x ＋2|)的单调减区间是_________.思路解析：∵y=f(u)在R 上递减,u=|x ＋2|在［-2，＋∞)上递增，在(-∞，-2］上递减,∴y=f(|x ＋2|)在［-2，＋∞］上递减.答案：［-2，＋∞］7.已知f(x)=x 3＋x(x ∈R )，(1)判断f(x)在(-∞，＋∞)上的单调性，并证明；(2)求证：满足f(x)=a(a 为常数)的实数x 至多只有一个.思路解析：证明二次函数在给定区间上的单调性时，变形的主要手段是配方，通过配方达到判断符号的目的.(1)解：设x 1＜x 2，即x 1-x 2＜0,∴f(x 1)-f(x 2)=(x 13+x 1)-(x 23+x 2)=(x 13-x 23)+(x 1-x 2)=(x 1-x 2)(x 12+x 1x 2+x 22+1)=(x 1-x 2)［(x 1+22x )2+43x 23+1］＜0. ∴f(x 1)-f(x 2)＜0,即f(x 1)＜f(x 2).因此f(x)=x 3+x 在R 上是增函数.(2)证明：假设x 1＜x 2且f(x 1)=f(x 2)=a,由f(x)在R 上递增,∴f(x 1)＜f(x 2)，此与f(x 1)=f(x 2)矛盾.∴原命题正确.8.已知f （x ）是定义在R 上的函数，其图象关于y 轴对称，且在［a ，b ］（a 、b ＞0）上是增函数，证明f （x ）在［-b ，-a ］上是减函数.思路解析：考查函数的性质及推理能力.判断或证明函数的单调性，最基本的方法是用定义，即函数f （x ）在区间［-b ，-a ］上，若对任意x 1、x 2，且-b ≤x 1＜x 2≤-a ，如果f （x 1）＜f （x 2），则函数f （x ）为增函数；如果f （x 1）＞f （x 2），则函数f （x ）为减函数.有时会结合函数的奇偶性来解决.证明：设-b ≤x 1＜x 2≤-a ，则a ≤-x 2＜-x 1≤b.∵f （x ）在［a ，b ］（a 、b ＞0）上是增函数，∴f （-x 2）＜f （-x 1）.又f （x ）的图象关于y 轴对称，∴f （x ）是偶函数，即f （-x ）=f （x ）. ∴f （x 2）＜f （x 1）.∴f （x ）在［-b ，-a ］上是减函数.9.函数f （x ）=4x 2-4ax+a 2-2a+2在区间［0，2］上有最小值3，求a 的值.解：∵f （x ）=4（x-2a ）2-2a+2， ①当2a ≤0，即a ≤0时，函数f （x ）在［0，2］上是增函数.∴f （x ）min =f （0）=a 2-2a+2.由a 2-2a+2=3，得a=1±2.∵a<0，∴a=1-2.②当0<2a <2，即0<a<4时，f （x ）min =f （2a ）=-2a+2.由-2a+2=3，得 a=-21∉（0，4），舍去. ③当2a ≥2，即a ≥4时，函数f （x ）在［0，2］上是减函数，f （x ）min =f （2）=a 2-10a+18. 由a 2-10a+18=3，得a=5±10.∵a ≥4，∴a=5+10.综上所述，a=1-2或a=5+10.11.已知函数f （x ）=xa x x ++22，x ∈[1，+∞). (1)a=21时，求函数的最小值；（2）若对任意x ∈∈[1，+∞],f(x)>0恒成立，试求实数a 的取值范围. 思路解析：先来解决第（1）问，当a 的值给定时，函数变为f （x ）=x+x 21+2，它类似于函数f （x ）=x+x1，所以可以利用函数的单调性来判断最值. 解：（1）当a=21时，f （x ）=x+x21+2.f （x ）在[1,+∞)上为增函数，所以f （x ）在[1,+∞)上的最小值为f （1）=27. （2）f （x ）=x+xa +2，x ∈[1,+∞). 当a ≥0时，函数f （x ）在值恒为正.当a<0时,函数f(x)在[1,+∞)上为增函数,故当x=1时,f(x)有最小值3+a,于是当3+a>0时,函数f(x)>0恒成立,故0>a>-3.综上,可知当a>-3时,f(x)>0恒成立.。

高考数学专题《函数的单调性与最值》习题含答案解析

专题3.2 函数的单调性与最值1．（2021·全国高一课时练习）函数f(x)=1,01,0x xx x+≥⎧⎨-<⎩在R上（）A．是减函数B．是增函数C．先减后增D．先增后减【答案】B【解析】画出函数图像即可得解.【详解】选B.画出该分段函数的图象，由图象知，该函数在R上是增函数.故选：B.2．（2021·全国高一课时练习）若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有()-()-f a f ba b>0成立，则必有（）A．f(x)在R上是增函数B．f(x)在R上是减函数C．函数f(x)先增后减D．函数f(x)先减后增【答案】A【解析】根据条件可得当a<b时，f(a)<f(b)，或当a>b时，f(a)>f(b)，从而可判断.【详解】练基础由()-()-f a f b a b>0知f (a )-f (b )与a -b 同号，即当a <b 时，f (a )<f (b )，或当a >b 时，f (a )>f (b )，所以f (x )在R 上是增函数. 故选：A.3．（2021·全国高一课时练习）设函数f (x )是(-∞，+∞)上的减函数，则（） A ．f (a )>f (2a ) B ．f (a 2)<f (a ) C ．f (a 2+a )<f (a ) D ．f (a 2+1)<f (a )【答案】D 【解析】利用0a =排除ABC ，作差可知21a a +>，根据单调性可知D 正确. 【详解】当0a =时，选项A 、B 、C 都不正确；因为22131()024a a a +-=-+>，所以21a a +>，因为()f x 在(,)-∞+∞上为减函数，所以2(1)()f a f a +<，故D 正确.故选：D4．（2021·西藏高三二模（理））已知函数()332f x x x =--，若()()320f m f m -+-<，则实数m 的取值范围为（） A ．(),3-∞ B ．()3,+∞C ．(),3-∞-D ．()3,-+∞【答案】C 【解析】根据函数为奇函数且在R 上单调递减可得()()32f m f m -<求解. 【详解】易知()f x 为R 上的奇函数，且在R 上单调递减，由()()320f m f m -+-<，得()()()322f m f m f m -<--=，于是得32m m ->，解得3m <-．故选：C ．5．（2021·广西来宾市·高三其他模拟（理））已知定义在R 上的偶函数()f x 满足在[0,)+∞上单调递增，(3)0f =，则关于x 的不等式(2)(2)0f x f x x++-->的解集为（）A ．(5,2)(0,)--+∞ B ．(,5)(0,1)-∞- C ．(3,0)(3,)-⋃+∞ D ．(5,0)(1,)-+∞【答案】D 【解析】根据题意作出函数()f x 的草图，将(2)(2)0f x f x x++-->，转化为2(2)0f x x +>，利用数形结合法求解. 【详解】因为定义在R 上的偶函数()f x 满足在(0,)+∞内单调递增，所以()f x 满足在(,0)-∞内单调递减，又(3)0f =，所以(3)(3)0f f -==．作出函数()f x 的草图如下：由(2)(2)0f x f x x ++-->，得(2)[(2)]0f x f x x++-+>，得2(2)0f x x+>，所以0,(2)0,x f x >⎧⎨+>⎩或0,(2)0,x f x <⎧⎨+<⎩所以0,23,x x >⎧⎨+>⎩或0,323,x x <⎧⎨-<+<⎩ 解得1x >或5x 0-<<，即不等式(2)(2)0f x f x x++-->的解集为(5,0)(1,)-+∞．故选：D6．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中高三三模（文））已知函数()22f x x x -=-（）A ．是奇函数，0,单调递增B ．是奇函数，0,单调递减C ．是偶函数，0,单调递减D ．是偶函数，0,单调递增【答案】D 【解析】利用奇偶性和单调性的定义判断即可【详解】解：定义域为{}0x x ≠，因为2222()()()()f x x x x x f x ---=---=-=，所以()f x 为偶函数，任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <，则2222212211()()f x f x x x x x ---=--+212122121()()(1)x x x x x x =-++，因为12x x <，12,(0,)x x ∈+∞，所以212122121()()(1)0x x x x x x -++>，所以21()()f x f x >，所以()f x 在0,单调递增，故选：D7．（2021·全国高三月考（理））若()f x 是奇函数，且在(,0)-∞上是减函数，又(4)0f -=，则(2)(2)0f x f x x+--->的解集是（）A ．(4,0)(4,)-⋃+∞B ．(6,2)(0,2)--⋃C ．(6,2)(2,)--⋃+∞D ．(,4)(0,4)-∞-⋃【答案】B 【解析】根据函数()f x 为奇函数，(4)0f -=得到(4)0f =，再由函数在(,0)-∞上是减函数，作出函数()f x 的图象，再由(2)(2)0f x f x x +--->，等价于2(2)0f x x+>，利用数形结合法求解.【详解】因为函数()f x 为奇函数，所以(4)(4)0f f -=-=，所以(4)0f =，因为函数()f x 在(,0)-∞上是减函数，所以函数()f x 在(0,) +∞上是减函数．作出函数()f x 的大致图象如图所示，而(2)(2)0f x f x x +--->，等价于(2)[(2)]0f x f x x +--+>，即2(2)0f x x+>，则0(2)0x f x <⎧⎨+<⎩或0(2)0x f x >⎧⎨+>⎩，所以0420x x <⎧⎨-<+<⎩或0024x x >⎧⎨<+<⎩，解得62x -<<-或02x <<．综上，(2)(2)0f x f x x+--->的解集是(6,2)(0,2)--⋃．故选：B8．（2021·全国高三专题练习（文））已知函数()||2f x x x x =⋅-，则下列结论正确的是（）A ．()f x 是偶函数，递增区间是()0-∞，B ．()f x 是偶函数，递减区间是()1-∞，C ．()f x 是奇函数，递减区间是(11)-， D ．()f x 是奇函数，递增区间是(0)+∞，【答案】C 【解析】将函数解析式化为分段函数型，画出函数图象，数形结合即可判断；【详解】解：将函数()||2f x x x x =⋅-去掉绝对值得2220()20x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩，，，画出函数()f x 的图象，如图，观察图象可知，函数()f x 的图象关于原点对称，故函数()f x 为奇函数，且在(11)-，上单调递减，故选：C9．（2021·宁夏银川市·高三二模（文））设函数()21f x x x=-，则()f x （）A ．是偶函数，且在(),0-∞单调递增B ．是偶函数，且在(),0-∞单调递减C ．是奇函数，且在(),0-∞单调递增D ．是奇函数，且在(),0-∞单调递减【答案】B 【解析】利用定义可判断函数()f x 的奇偶性，化简函数()f x 在(),0-∞上的解析式，利用函数单调性的性质可判断函数()f x 在(),0-∞上的单调性. 【详解】函数()21f x x x =-的定义域为{}0x x ≠，()()()2211f x x x f x x x-=--=-=-，所以，函数()f x 为偶函数，当0x <时，()21f x x x=+，由于函数2y x 、1y x=在(),0-∞上均为减函数，所以，函数()f x 在(),0-∞上单调递减，故选：B.10．（2021·全国高一课时练习）已知y =f (x )是定义在区间(-2，2)上单调递减的函数，若f (m -1)>f (1-2m )，则m 的取值范围是_______. 【答案】1223⎛⎫- ⎪⎝⎭，【解析】结合函数定义域和函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】由题意得：-2-12-21-22-11-2m m m m <<⎧⎪<<⎨⎪<⎩，，，解得12-<m <23.故答案为：1223⎛⎫- ⎪⎝⎭，1．（2021·黑龙江大庆市·大庆实验中学高二月考（文））定义在*N 上的函数()22,3,3x ax a x f x ax x ⎧-+<=⎨≥⎩为递增函数，则头数a 的取值范围是（） A ．()1,2 B ．33,42⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．()1,3【答案】D 【解析】练提升根据定义域和单调性可知()()12f f <，再根据3x ≥时()f x 的单调性判断出()()32f f >，由此求解出a 的取值范围..【详解】因为*x ∈N ，所以3x <时，即{}1,2x ∈，由单调性可知()()21f f >，所以22142a a a a -+<-+，解得3a <；当3x ≥时，y ax =为增函数，若()f x 单调递增，则只需()()32f f >，所以2342a a a >-+，解得14a <<，综上可知a 的取值范围是：()1,3，故选：D.2．（2021·上海高三二模）已知函数()(),y f x y g x ==满足：对任意12,x x R ∈，都有()()()()1212f x f x g x g x -≥-．命题p ：若()y f x =是增函数，则()()y f x g x =-不是减函数；命题q ：若()y f x =有最大值和最小值，则()y g x =也有最大值和最小值．则下列判断正确的是（） A ．p 和q 都是真命题 B ．p 和q 都是假命题 C ．p 是真命题，q 是假命题 D ．p 是假命题，q 是真命题【答案】A 【解析】利用函数单调性定义结合已知判断命题p 的真假，再利用函数最大、最小值的意义借助不等式性质判断命题q 的真假而得解. 【详解】对于命题p ：设12x x <，因为()y f x =是R 上的增函数，所以()()12f x f x <，所以()()()()1221f x f x f x f x -=-，因为()()()()1212f x f x g x g x -≥-，所以()()()()211221()()f x f x g x g x f x f x -+≤-≤-所以()()1122()()f x g x f x g x -≤- 故函数()()y f x g x =-不是减函数，故命题p 为真命题；对于命题():q y f x =在R 上有最大值M ，此时x a =，有最小值m ，此时x b =，因为()()()()()()()()f x f a g x g a f x M g x g a M f x -≥-⇔-≤-≤-，()()()()()()()()f x f b g x g b m f x g x g b f x m -≥-⇔-≤-≤-所以()()()()2()()()()22m M g a g b M m g a g b m M g x g a g b M m g x -++-++-≤--≤-⇔≤≤，所以()y g x =也有最大值和最小值，故命题q 为真命题．故选：A3．（2021·全国高三二模（理））已知实数a ，b ，c ，d 满足a b c >>，且0a b c ++=，220ad bd b +-=，则d 的取值范围是（） A ．(][),10,-∞-+∞B ．()1,1-C ．(D ．(11--+【答案】D 【解析】先求解出方程的解1,2d ，然后利用换元法（bt a=）将d 表示为关于t 的函数，根据条件分析t 的取值范围，然后分析出d 关于t 的函数的单调性，由此求解出d 的取值范围. 【详解】因为220ad bd b +-=，所以1,2b b d a a -==-±2440b ab ∆=+≥，令bt a=，则1,2d t =-±20t t +≥，所以(][),10,t ∈-∞-+∞，又因为0a b c ++=且a b c >>，所以0a >且c a b b a =--<<，所以2,a b b a -<<，所以112bt a-<=<，所以[)0,1t ∈，当[)0,1t ∈时，())10,1d t t =-==∈，因为1y t=在()0,1上单调递减，所以y t =-()0,1上单调递增，当0t =时，10d =，当1t =时，11d =，所以)11d ⎡∈⎣；当[)0,1t ∈时，2d t =-，因为y t =、2y t t =+在[)0,1上单调递增，所以y t =-[)0,1上单调递减，当0t =时，20d =，当1t =时，21d =-(21d ⎤∈-⎦，综上可知：(11d ∈---，故选：D.4．【多选题】（2021·湖南高三三模）关于函数()111f x x x =++的结论正确的是（） A ．()f x 在定义域内单调递减 B ．()f x 的值域为R C ．()f x 在定义城内有两个零点 D ．12y f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭是奇函数【答案】BD 【解析】根据所给函数结合函数性质，对各项逐个分析判断，即可得解. 【详解】()111f x x x =++的定义域为(,1)(1,0)(0,)-∞--+∞，而1x和11x +在各段定义域内均为减函数，故()f x 在各段上为减函数，但不能说在定义域内单调递减，故A 错误；当(1,0)x ∈- ，1x →-时，有()111f x x x =+→+∞+，当0x →时，有()111f x x x =+→-∞+，所以()f x 的值域为R ，故B 正确；令()2112101x f x x x x x+=+==++，可得12x =-，所以()f x 在定义城内有一个零点，故C 错误；2211128111241224x x y f x x x x x ⎛⎫=-=+== ⎪-⎝⎭-+-，令28()41x g x x =-，易知12x ≠±，此时定义域关于原点对称，且28()()41xg x g x x --==--，故()g x 为奇函数，所以12y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭是奇函数，故D 正确，故选：BD.5．【多选题】（2021·全国高三专题练习）(多选题)已知函数f (x )的定义域为R ，对任意实数x ，y 满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋12，且f 1()2＝0，当x >12时，f (x )>0，则以下结论正确的是（） A ．f (0)＝－12，f (－1)＝－32B ．f (x )为R 上的减函数C ．f (x )＋12为奇函数 D ．f (x )＋1为偶函数【答案】AC 【解析】取0x y ==，11,22x y ==-，12x y ==-得出(0)f ，12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(1)f -的值进而判断A ；由(1)(0)f f -<判断B ；令y x =-结合奇偶性的定义判断C ；令1()()2=+g x f x ，结合g (x )为奇函数，得出()1()f x f x -+=-，从而判断D.【详解】由已知，令0x y ==，得1(0)(0)(0)2f f f =++，1(0)2f ∴=-，令11,22x y ==-，得1111122222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，112f ⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭，再令12x y ==-，得1111122222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，3(1)2f ∴-=-，A 正确；(1)(0)f f -<，()f x ∴不是R 上的减函数，B 错误；令y x =-，得1()()()2f x x f x f x -=+-+，11()()022f x f x ⎡⎤⎡⎤∴++-+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故C正确；令1()()2=+g x f x ，由C 可知g (x )为奇函数，11()()22g x g x ∴-+=-+，即1111()()2222f x f x ⎡⎤⎡⎤-++=-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，()1()f x f x ∴-+=-，故D 错误. 故选：AC6．【多选题】（2021·全国高一单元测试）如果函数()f x 在[,]a b 上是增函数，对于任意的1212,[,]()x x a b x x ∈≠，则下列结论中正确的是（）A ．1212()()0f x f x x x ->-B ．1212()[()()]0x x f x f x -->C ．12()()()()f a f x f x f b ≤<≤D ．12()()f x f x >E.1212()()0f x f x x x -<-【答案】AB 【解析】利用函数单调性的定义：12x x -与12()()f x f x -同号，判断A 、B 、E 的正误；而对于C 、D 选项，由于12,x x 的大小不定，1()f x 与2()f x 的大小关系不能确定. 【详解】由函数单调性的定义知，若函数()y f x =在给定的区间上是增函数，则12x x -与12()()f x f x -同号，由此可知，选项A ，B 正确，E 错误；对于选项C 、D ，因为12,x x 的大小关系无法判断，则1()f x 与2()f x 的大小关系确定也无法判断，故C ，D 不正确．故选：AB.7．【多选题】（2021·全国高一课时练习）（多选题）已知函数()f x 的定义域为D ，若存在区间[,]m n D ⊆使得()f x ：（1）()f x 在[,]m n 上是单调函数；（2）()f x 在[,]m n 上的值域是[2,2]m n ，则称区间[,]m n 为函数()f x 的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有（） A ．2()f x x =； B ．1()f x x=； C ．1()f x x x=+； D ．23()1x f x x =+．【答案】ABD 【解析】函数中存在“倍值区间”，则()f x 在[],m n 内是单调函数,()()22f m m f n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩或()()22f m nf n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，对四个函数的单调性分别研究，从而确定是否存在“倍值区间”．【详解】函数中存在“倍值区间”，则（1）()f x 在[,]m n 内是单调函数，（2）()2()2f m m f n n =⎧⎨=⎩或()2()2f m nf n m=⎧⎨=⎩，对于A ，2()f x x =，若存在“倍值区间”[,]m n ，则()2()2f m m f n n =⎧⎨=⎩⇒2222m m n n⎧=⎨=⎩⇒02m n =⎧⎨=⎩，2()f x x ∴=，存在“倍值区间”[0,2]；对于B ，1()()f x x R x =∈，若存在“倍值区间”[,]m n ，当0x >时，1212n m mn⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩⇒12mn =，故只需12mn =即可，故存在；对于C ，1()f x x x=+；当0x >时，在区间[0,1]上单调递减，在区间[1,)+∞上单调递增，若存在“倍值区间”1[],1][0,2n m n m m ⊆⇒+=，212210n m m mn n+=⇒-+=，222210n mn m n -+=⇒=不符题意；若存在“倍值区间”1[,][1,)2m n m m m ⊆+∞⇒+=，22121n n m n n+=⇒==不符题意，故此函数不存在“倍值区间“；对于D ，233()11x f x x x x==++，所以()f x 在区间[0,1]上单调递增，在区间[1,)+∞上单调递减，若存在“倍值区间”[,][0,1]m n ⊆，2321m m m =+，2321n n n =+，0m ∴=，2n =，即存在“倍值区间”[0,2；故选：ABD ．8．（2021·全国高三专题练习（理））已知1a >，b R ∈，当0x >时，[]24(1)102x a x b x ⎛⎫---⋅-≥ ⎪⎝⎭恒成立，则3b a +的最小值是_____．3 【解析】根据题中条件，先讨论10,1x a ⎛⎤∈ ⎥-⎝⎦，根据不等式恒成立求出114(1)21b a a ⎡⎤≥--⎢⎥-⎣⎦；再讨论1,1x a ⎡⎫∈+∞⎪⎢-⎣⎭，求出114(1)21b a a ⎡⎤≤--⎢⎥-⎣⎦得到b ，再由基本不等式即可求出结果.【详解】当10,1x a ⎛⎤∈ ⎥-⎝⎦时，(1)10a x --<，即2402x b x--≤恒成立， 24222x x y x x-==-是10,1x a ⎛⎤∈ ⎥-⎝⎦上的增函数， ∴114(1)21b a a ⎡⎤≥--⎢⎥-⎣⎦，当1,1x a ⎡⎫∈+∞⎪⎢-⎣⎭时，(1)10a x -->，即2402x b x--≥恒成立，24222x x y x x-==-是1,1x a ⎡⎫∈+∞⎪⎢-⎣⎭上的增函数， ∴114(1)21b a a ⎡⎤≤--⎢⎥-⎣⎦， ∴114(1)21b a a ⎡⎤=--⎢⎥-⎣⎦，∴13(1)332(1)b a a a +=+-+≥-，当12a =+时等号成立．3.9．（2021·全国高三专题练习）对于满足2p ≤的所有实数p ，则使不等式212x px p x ++>+恒成立的x的取值范围为______．【答案】()()13+-∞-⋃∞，，．【解析】将不等式转化为在[-2，2]内关于p 的一次函数函数值大于0恒成立求参变量x 的范围的问题．【详解】解：原不等式可化为2(1)210x p x x -+-+>，令2()(1)21f p x p x x =-+-+，则原问题等价于()0f p >在[2,2]p ∈-上恒成立，则(2)0(2)0f f ->⎧⎨>⎩，即2243010x x x ⎧-+>⎨->⎩解得：1311x x x x ⎧⎪⎨-⎪⎩或或∴1x <-或3x >．即x 的取值范围为()()13+-∞-⋃∞，，. 故答案为：()()13+-∞-⋃∞，，. 10．（2021·上海高三二模）已知a R ∈，函数()22,011,02x a x x f x x ax a x ⎧++-≥⎪=⎨-++<⎪⎩的最小值为2a ，则由满足条件的a 的值组成的集合是_______________.【答案】{3- 【解析】讨论a -与0、2的大小关系，判断函数()f x 在[)0,+∞、(),0-∞上的单调性与最小值，根据函数()f x 的最小值列方程解出实数a 的值.【详解】分以下三种情况讨论：①若0a -≤时，即当0a ≥时，()222,22,0211,02x a x f x a x x ax a x ⎧⎪+->⎪=+≤≤⎨⎪⎪-++<⎩，所以，函数()f x 在(),0-∞上单调递减，且()112f x a >+，当0x ≥时，()min 1212f x a a =+>+，此时，函数()f x 无最小值；②若02a <-≤时，即当20a -≤<时，()222,22,222,011,02x a x a a x f x x a x a x ax a x +->⎧⎪+-≤≤⎪⎪=⎨--+≤<-⎪⎪-++<⎪⎩，当0x <时，()211242a a f x f a ⎛⎫≥=-++ ⎪⎝⎭，当0x ≥时，()2f x a ≥+.22a a +>，所以，21242a aa -++=，整理可得2640a a +-=，20a -≤<，解得3a =-±； ③当2a ->时，即当2a <-时，()222,2,222,0211,02x a x a a x a f x x a x x ax a x +->-⎧⎪--≤≤-⎪⎪=⎨--+≤<⎪⎪-++<⎪⎩，当0x <时，()211242a a f x f a ⎛⎫≥=-++ ⎪⎝⎭，当0x ≥时，()2f x a ≥--.因为202a a -->>，所以，21242a aa -++=，整理可得2640a a +-=，2a <-，解得3a =-3a =-+.综上所述，实数a的取值集合为{3-.故答案为：{3-.1．（2020·全国高考真题（文））设函数331()f x x x =-,则()f x （） A ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减【答案】A 【解析】根据函数的解析式可知函数的定义域为{}0x x ≠，利用定义可得出函数()f x 为奇函数，再根据函数的单调性法则，即可解出．【详解】因为函数()331f x x x =-定义域为{}0x x ≠，其关于原点对称，而()()f x f x -=-，所以函数()f x 为奇函数．又因为函数3y x =在0,上单调递增，在,0上单调递增，而331y x x-==在0,上单调递减，在,0上单调递减，所以函数()331f x x x=-在0,上单调递增，在,0上单调递增．故选：A ．2.（2019·北京高考真题（文））下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（） A ．12y x = B ．y =2x -C ．12log y x =D ．1y x=【答案】A 【解析】函数122,log xy y x -==，练真题1y x=在区间(0,)+∞ 上单调递减，函数12y x = 在区间(0,)+∞上单调递增，故选A .3．（2018·全国高考真题（文））设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（）A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，【答案】D 【解析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有()()12f x f x +<成立，一定会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，从而求得结果.详解：将函数()f x 的图像画出来，观察图像可知会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是()0-∞，，故选D .4.(2017课标II)函数2()ln(28)f x x x =-- 的单调递增区间是（） A.(,2)-∞- B. (,1)-∞- C. (1,)+∞ D. (4,)+∞ 【答案】D【解析】函数有意义，则：2280x x --> ，解得：2x <- 或4x > ，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调增区间为()4,+∞ . 故选D.5.(2017天津)已知奇函数()f x 在R 上是增函数.若0.8221(log ),(log 4.1),(2)5a fb fc f =-==，则,,a b c 的大小关系为（）（A ）a b c <<（B ）b a c <<（C ）c b a <<（D ）c a b << 【答案】C【解析】由题意：()221log log 55a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，且：0.822log 5log 4.12,122>><<，据此：0.822log 5log 4.12>>，结合函数的单调性有：()()()0.822log 5log 4.12f f f >>，即,a b c c b a >><<，本题选择C 选项.6．（2020·北京高考真题）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为()W f t =，用()()f b f a b a---的大小评价在[,]a b 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论： ①在[]12,t t 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在2t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，在[]10,t 的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是____________________．【答案】①②③ 【解析】根据定义逐一判断，即可得到结果【详解】()()f b f a b a---表示区间端点连线斜率的负数，在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，甲企业在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[]12,t t 的污水治理能力最强．④错误；在2t 时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；故答案为：①②③。

(完整版)函数的单调性课后练习题

函数的单调性课后练习题1.下列函数中，在(－∞，0)上为减函数的是( ) A ．y ＝1x 2B ．y ＝x 3C ．y ＝x 0D ．y ＝x 2答案：D2．如果函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，对于任意的x 1、x 2∈[a ，b ](x 1≠x 2)，下列结论中不正确的是( )A.f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0B ．(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0C ．f (a )<f (x 1)<f (x 2)<f (b ) D.x 1－x 2f (x 1)－f (x 2)>0 解析：由增函数的定义易知A 、B 、D 正确，故选C. 答案：C3．若区间(0，＋∞)是函数y ＝(a －1)x 2＋1与y ＝ax 的递减区间，则a 的取值范围是( )A ．a >0B ．a >1C ．0≤a ≤1D ．0<a <1 解析：由二次函数及反比例函数的性质可得⎩⎪⎨⎪⎧a －1<0，a >0，∴0<a <1. 答案：D4．若二次函数y ＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在区间(－∞，1)上为减函数，那么( ) A ．a ＝－2 B ．a ＝2 C ．a ≤－2D ．a ≥2解析：函数的对称轴x ＝1－a 3，由题意得1－a3≥1时，函数y ＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在区间(－∞，1)上为减函数，故得a ≤－2.答案：C5．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上具有单调性，且f (a )·f (b )<0，则方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上( )A ．至少有一个实根B ．至多有一个实根C ．没有实根D ．有唯一的实根解析：∵f (x )是单调函数，且图象是连续不断的，又f (a )f (b )<0，则f (x )的图象必与x 轴相交，因此f (x )在[a ，b ]上必存在一点x 0，使f (x 0)＝0成立，故答案D 正确．答案：D6．已知函数f (x )在区间[0，＋∞)上为减函数，那么f (a 2－a ＋1)与f ⎝⎛⎭⎫34的大小关系是__________．解析：∵a 2－a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34≥34，又f (x )在[0，＋∞)上为减函数，∴f (a 2－a ＋1)≤f ⎝⎛⎭⎫34. 答案：f (a 2－a ＋1)≤f ⎝⎛⎭⎫347．(2011·潍坊模拟)函数y ＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2,2]时，是增函数，则m 的取值范围是________．解析：∵函数y ＝2x 2－mx ＋3是开口向上的抛物线，要使x ∈[－2,2]时为增函数，只要对称轴x ＝－－m 2×2≤－2，即m ≤－8.答案：m ≤－88．函数y ＝|3x －5|的递减区间是________．解析：y ＝|3x －5|＝⎩⎨⎧3x －5，x ≥53，－3x ＋5，x <53.作出y ＝|3x －5|的图象，如图所示，函数的单调减区间为⎝⎛⎦⎤－∞，53. 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，53 9．判断函数f (x )＝x ＋1x －1在(－∞，0)上的单调性，并用定义证明．解：f (x )＝x ＋1x －1＝x －1＋2x －1＝1＋2x －1，函数f (x )＝x ＋1x －1在(－∞，0)上是单调减函数．证明：设x 1，x 2是区间(－∞，0)上任意两个值，且x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝1＋2x 2－1－⎝⎛⎭⎫1＋2x 1－1＝2(x 1－x 2)(x 1－1)(x 2－1)， ∵x 1<x 2<0，∴x 1－x 2<0，x 1－1<0，x 2－1<0， ∴2(x 1－x 2)(x 1－1)(x 2－1)<0.∴f (x 2)－f (x 1)<0，即f (x 2)<f (x 1)．∴函数f (x )＝x ＋1x －1在(－∞，0)上是单调减函数．10．已知f (x )是定义在[－1,1]上的增函数，且f (x －2)>f (1－x )，求x 的取值范围．解：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x －2≤1，－1≤1－x ≤1，解得1≤x ≤2.∵f (x )在[－1,1]上是增函数，且f (x －2)>f (1－x )， ∴x －2>1－x ，∴x >32.由⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤2，x >32，得32<x ≤2.故满足条件的x 的取值范围是32<x ≤2.品位高考1.(全国卷)设f (x )，g (x )都是单调函数，下列四个命题，正确的是( )①若f (x )单调递增，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )单调递增；②若f (x )单调递增，g (x )单调递减，则f (x )－g (x )单调递增；③若f (x )单调递减，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )单调递减；④若f (x )单调递减，g (x )单调递减，则f (x )－g (x )单调递减A ．①②B ．①④C ．②③D ．②④答案：C2．(湖南高考)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]解析：f (x )＝－x 2＋2ax ＝－(x －a )2＋a 2，当a ≤1时，f (x )在[1,2]上是减函数；g (x )＝a x ＋1，当a >0时，g (x )在[1,2]上是减函数，则a 的取值范围是0<a ≤1.答案：D备课资源1.下列说法中正确的有( )①若x 1，x 2∈I ，当x 1<x 2时，f (x 1)<f (x 2)，则y ＝f (x )在I 上是增函数； ②函数y ＝x 2在R 上不是单调函数； ③函数y ＝－1x 在定义域内是增函数；④y ＝1x 的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：函数的单调性定义是指定义在I 上任意两个值x 1，x 2，强调的是任意性，从而①不对；y ＝x 2在(－∞，0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数，从而y ＝x 2在整个定义域上不具有单调性，故②正确．y ＝－1x 在整个定义域内不是单调递增函数，如－3<5，而f (－3)>f (5)，从而③不对；y ＝1x 的单调区间为(－∞，0)和(0，＋∞)，而不是(－∞，0)∪(0，＋∞)，从而④不对．答案：B2．(2007·福建)已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：依题意得⎪⎪⎪⎪1x >1，∴|x |<1，且x ≠0， ∴－1<x <1且x ≠0，因此答案C 正确．答案：C3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，(x ≥1)，5－x ，(x <1)，则f (x )的递减区间是________．答案：(－∞，1)4．已知函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的减函数，且f (x )<f (2x －3)，求x 的取值范围．解：由题意知⎩⎨⎧x >2x －3x >02x －3>0⇒32<x <3. 5．已知f (x )＝x 3＋x ，x ∈R ，判断f (x )的单调性并证明．解：任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 13＋x 1－(x 23＋x 2)＝(x 1－x 2)(x 12＋x 1x 2＋x 22＋1) ＝(x 1－x 2)[(x 1＋x 22)2＋34x 22＋1]<0∴f (x 1)－f (x 2)<0，f (x 1)<f (x 2)．因此f (x )＝x 3＋x 在R 上是增函数．。

函数的单调性(习题课)课件

应用实例
1
例题分析
分析一些典型的应用实例，如何用单
求最值
2
调性解题。
通过函数的单调性，可以求函数的极
值和最值。
3
优化算法
讨论单调性在一些优化算法中的应用，如二分查找法。
总结
单调性的重要性和应用价值
总结单调性的重要性，对数学和实际问题的研究有何帮助。
学习方法和技巧
分享一些学习函数单调性的方法和技巧，如何更快地掌握这个概念。
函数的单调性(习题课)ppt 课件
本次课程将教你们如何判断函数的单调性。单调性是数学中一个重要的概念，它与函数的性质有关。学习这个概念将有助于我们更好地理解函数。
概述
单调性是指函数在定义域内自变量增大，函数值增大或减小的现象。函数的单调性是函数的一种性质。掌握函数的单调性可以帮助我们更好地研究函数的性质，对于解题和建模都有一定的帮助。
2
导数
通过函数的导数，可以更精确地判断函数的单调性。
3
高中数学常见函数的单调性
复习一些常见的函数的单调性。
求解单调区间
定义
若函数f(x)在区间I上单调递增或单调递减，则称I为f(x)的单调区间。
求解方法
讨论f(x)的导数正负号和零点，确定单调区间的端点。
例题答案解析
说明如何利用导数确定单调递增或单调递减的区间。
牢记注意事项
总结一些学习单调性时需要注意的点，如何避免常见的错误。
单调递增函数
定义
如果x1 < x2，那么有f(x1) <= f(x2)，则称函数f(x)在区间[a, b]上是递增函数。
判断方法
如果函数f(x)在定义域内单调递增，则它的导数f'(x)大于等于0。

函数单调性与极值习题课.doc

y顼（x）的图象大致是（A. ( —, +8)B. (0, —)C. (0, +3) a aD. (0, a)A4. y = x2 - e~x（x > 0）的单调递增区间为B5.A6.1 0如果函数y = -x2+\nx-ax在定义域上为增函数，则a的取值范围是求函数y =上亍一m工的单调区间。

【学习目标】1、明确利用导函数研究原函数性质（如单调性、极值、最值）的方法；2、总结恒成立问题的求解思路：（1）转化为最值问题（2）分离参数。

［学法指导】运用导数研究函数的性质，题型丰富多样，在处理问题中应抓住以下几点：（1）抓住基本思路：即导函数的正负决定原函数的增减；要求函数在某段闭区间上的最值，先求极值和端点函数值再比较。

（2）对于复杂问题，要善于转化，将所给问题转化为研究某个函数的某个性质，再借助导函数模拟原函数的图像，数形结合分析、处理问题（3）以三次函数为载体，熟悉借助导数研究函数性质的方法。

考点一、导函数与单调性A1.已知函数y = VV）的图象如图［其中广⑴是函数f（x）的导函数1，下面四个图象中)函数f(x)=lnx-ax(a>0)的单调递增区间为( )2 gC7.已知函数f(x) = -x-(x2-3ax一一)(♦ c R),若函数f(x)在(1, 2)内是增函数，求3 2a的取值范围。

小结:(1)求函数/(X)的单调区间即解不等式,对于定义域不是R的函数在求单调区间时要先注意；(2)己知可导函数了0)在区间(",/?)单调递增，则Pxgb),都有r(i)Oo考点二、函数的极值和最值7A1.设函数/(x) = - + ln%,则( )xA. x=L为f(x)的极大值点B. x=L为f(x)的极小值点2 2C. x=2为f(x)的极大值点D. x=2为f(x)的极小值点A2.已知函数f(x)=2x3-6x2+a在［.2, 2］上有最小值.37,求a的值，并求f(x)在［.2, 2］上的最大值。

单调性4

2
y
-1 1
o
x
-3
点评:用对称法作图时 ,先作出 x≥0的图象,由函数是偶函数,再用对称法作出另一半的图象.
[例2] 判断函数f ( x ) x 2x 的单调性，并加以证明。
2
y
单调递减区间： f (x) x 2 2x ( , 1] 单调递增区间：
1
o
2
f(x)在（0，+ ）上是减函数，
求f(a2-a+1)
3 与f( 4 )的大小
解：因为f(x)在（0，+
）
3 3 ) 4
是减函数
3 >0 4
因为a2-a+1=（a- 1 )2 + ≥ 4 2 所以f(a2-a+1) ≤ f(
2）已知二次函数f(x)图象的对称轴为x=2, 又知f(3)< f(4)，求f(-3)与f(3)的大小

小结
（1）函数的单调性的应用
（2）比较大小
(3)求参数范围
(4)解不等式
思考：求参数的范围 f(x)=x2_2(a-1)x+2在区间（- ，4 ）上是减函数，那么a的取值范围是什么
• 解：函数f(x)图象的对称轴为x=a-1, 当x a-1时，函数单调递减，已知函数 4 上是减函数，在，所以4 a-1,即a 5
解：已知函数的对称轴是x=2，因为f(3)< f(4)，所以函数的开口向上，即x ， 2 是单调递减函数，x 2，是单调递增函数，则有f(-3) > f(1)，由f(1)= f(3) 得f(-3) > f(3)
例4：解不等式
已知f(x)在其定义域 (0,∞)内为增函数，试解不等式 f(x)- f(2-x) >0 • 解: f(x)- f(2-x) >0,即 f(x) > f(2-x) 因为函数f(x)在定义域上是增函数， x>2-x，且x>0,2-x>0, x>2-x 即 x>0 所以不等式的解集为 x | 1 x 2 2-x>0