第六章 定积分的应用 例题

1.求原点与区间[-4,3]上所有点的平均距离。

2.设有一个正椭圆柱体，其底面的长短轴为a，b。用过此柱体的底面的短轴且与底面成α角

（0<α<π/2）的平面截此柱体，得一楔形体，求此楔形体的体积。

3.一立体底面由y2=2x与x=2围成，用垂直于x轴的平面截该立体，截面为等边三角形，

求该立体的体积。

4.求A(1,0,0)，B(0,1,1)的连线绕Z轴旋转一周，所得旋转曲面与z=0，z=1围成立体的体积。

5. 求摆线{y =a(1−cos t)x =a(1−sin t)

(0≤t ≤2π,a >0)与x 轴围成图形的面积，并求该圆形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积。

6. 为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底抓起污泥后提出井口，已知井深30m ，抓斗

自身重量400N ，缆绳每米重50N ，抓斗抓起的污泥重为2000N ，提升速度3m/s ，在此过程中，污泥以20N/S 的速率从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起的污泥的抓斗提升至井口。问克服重力需作多少功？（不计抓斗高度及位于井口以上的缆绳）

7. 半径为R 的半球形容器内盛满水，问将水全部吸出需要作多少功？当所作功为总功的一

半时问水面下降多少？

8.将半径为R的密度为常数ρ(ρ≥1)的球沉入水中，顶点与水面相接，假设水面不下降，

求将球从水中取出需作多少功？

9.一椭圆形薄板，其长短半轴分别为a,b将其一半铅直地浸入水中，其短轴与水面相齐，

求水对薄板每面的压力？

10.线密度为常数ρ的细线，其中垂线距离为a处有一质量为m的质点，细线长为2l，求细

线对质点的引力。