九年级数学下册3_9弧长及扇形的面积学案无答案新版北师大版
九年级数学北师大版下册 第3章《9 弧长及扇形的面积》教学设计 教案
教学设计弧长及扇形的面积教学目标一、基本目标1．探索n °的圆心角所对的弧长l ＝nπR 180，扇形面积S ＝nπR 2360和S ＝12lR 的计算公式．2．掌握弧长和扇形面积的计算公式，并学会运用弧长和扇形面积公式解决一些实际问题．3．会求不规则图形的面积． 二、重难点目标 【教学重点】弧长和扇形面积计算公式． 【教学难点】 求不规则图形的面积．教学过程环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P100～P101的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．在半径为R 的圆中，1°的圆心角所对的弧长是πR 180，n °的圆心角所对的弧长是nπR180.2．在半径为R 的圆中，1°的圆心角所对应的扇形面积是πR 2360，n °的圆心角所对应的扇形面积是nπR 2360.3．半径为R ，弧长为l 的扇形面积S ＝12lR .4．已知⊙O 的半径OA ＝6，∠AOB ＝90°，则∠AOB 所对的弧长AB ︵的长是3π. 5．一个扇形所在圆的半径为3 cm ，扇形的圆心角为120°，则扇形的面积为3π cm 2. 6．在一个圆中，如果60°的圆心角所对的弧长是6π cm ，那么这个圆的半径r ＝18 cm. 环节2合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算如图所示的管道的展直长度，即AB ︵的长．(结果精确到0.1 mm)【互动探索】(引发学生思考)直接运用弧长公式求解． 【解答】因为R ＝40 mm ，n ＝110， 所以lAB＝n 180πR ＝110180×40π≈76.8(mm)． 因此，管道的展直长度约为76.8 mm.【互动总结】(学生总结，老师点评)运用弧长公式解决问题时，一定要找准弧所对的圆心角与半径．【例2】扇形AOB 的半径为12 cm ，∠AOB ＝120°，求AB ︵的长(结果精确到0.1 cm)和扇形AOB 的面积(结果精确到0.1 cm 2)．【互动探索】(引发学生思考)直接运用弧长公式求出AB ︵的长，再直接运用扇形公式求解．【解答】l AB＝120180π×12≈25.1(cm)， S 扇形＝120360π×122≈150. 8(cm 2)． 因此，AB ︵的长约为25.1 cm ，扇形AOB 的面积约为150.8 cm 2. 活动2 巩固练习(学生独学)1．已知半径为2的扇形，面积为43π，则它的圆心角的度数为120°.2．已知半径为2 cm 的扇形，其弧长为43π，则这个扇形的面积S 扇＝43π cm 2.3．已知半径为2的扇形，面积为43π，则这个扇形的弧长为43π.4．已知扇形的半径为5 cm ，面积为20 cm 2，则扇形的弧长为8 cm. 5．已知扇形的圆心角为210°，弧长是28π，则扇形的面积为336π. 活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】如图，秋千拉绳长AB 为3米，静止时踩板离地面0.5米，某小朋友荡该秋千时，秋千在最高处时踩板离地面2米(左右对称)，请计算该秋千所荡过的圆弧长．(精确到0.1米)【互动探索】要求弧长必须知道半径和圆心角，题目中已经给出了半径，即AB的长度，还给出了最低点和最高点离地面的距离，但根据这些条件并不能直接求出圆心角，所以本题还需要考虑作辅助线．【解答】由题意，得BE＝2米，AC＝3米，CD＝0.5米．过点B作BG⊥AC于点G，则AG＝AD－GD＝AC＋CD－BE＝1.5米．∵AB＝2AG，∴在Rt△ABG中，∠ABG＝30°，∠BAG＝60°.根据对称性，知∠BAF＝120°，∴秋千所荡过的圆弧长是120π×3＝2π≈6.3(米)．180【互动总结】(学生总结，老师点评)如果已知条件直接给出了半径和圆心角，弧长的计算只要直接代公式就可以解决；如果题目中没有直接给出半径和圆心角，需要结合已经学过的知识求出需要的条件．【例4】如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O、E 为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连结AD，求图中阴影部分面积．【互动探索】作DH⊥AE于点H，根据勾股定理求出AB，根据S阴影＝S△ADE＋S△EOF＋S－S扇形DEF求解．扇形AOF【解答】作DH⊥AE于点H.∵∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，∴AB＝OA2＋OB2＝13.由旋转的性质可知，OE ＝OB ＝2，DE ＝EF ＝AB ＝13，△DHE ≌△BOA ， ∴DH ＝OB ＝2，∴S 阴影＝S △ADE ＋S △EOF ＋S 扇形AOF －S 扇形DEF ＝12×5×2＋12×2×3＋90π×32360－90π×(13)2360 ＝8－π.【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质、全等三角形的性质，掌握扇形的面积公式S ＝nπR 2360和旋转的性质是解题的关键．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)弧长及扇形的面积⎩⎪⎨⎪⎧半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的弧长l ＝nπR180半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的扇形面积S ＝nπR 2360半径为R ，弧长为l 的扇形面积S＝12lR练习设计请完成本课时对应练习！。
北师大版九年级数学下册第三章3.9弧长和扇形的面积导学案(含答案)
九年级数学下册第三章3.9弧长和扇形的面积导学案班级：_____________姓名：_____________ 家长签字：_____________一、学习目标1．认识扇形，理解弧长和扇形面积公式，会准确计算弧长和扇形的面积。
2．通过弧长和扇形面积公式的发现与推导，培养探究新知的能力。
3、运用弧长和扇形的面积公式计算比较复杂图形的面积二、温故知新1、小学里学习过圆周长的计算公式、圆面积计算公式，那公式分别是什么？2、如图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做__________下图中扇形有几个？__________三、自主探究：阅读课本p100—101探究（一）弧长公式1、在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长3m的绳子，绳子的一端拴着一只狗.（1）这只狗的最大活动区域有多大？这个区域的边缘长是多少？（2）如果这只狗拴在夹角为120°的墙角，那么它的最大活动区域有多大？这个区域的边缘长是多少？2、在半径为R的圆中，圆周长C=______,圆的周长可以看作______度的圆心角所对的弧．1°的圆心角所对的弧长是_______。
2°的圆心角所对的弧长是_______。
……n°的圆心角所对的弧长是_______。
归纳：在半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长的计算公式为:_____________. 探究（二）扇形面积公式在半径为R的圆中，圆面积S=___________,圆的面积可以看作______度圆心角所对的扇形的面积；1°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______。
2°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______。
……n°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______。
归纳：在半径为R的圆中, 圆心角为n°的扇形面积的计算公式为:_____________ 比较扇形面积公式和弧长公式,如何用弧长表示扇形的面积?归纳：用弧长l与半径R表示扇形的面积S=___________例1. 如图，圆心角为60°的扇形的半径为10厘米，求这个扇形的周长和面积四、随堂练习1.已知圆弧的半径为50厘米，圆心角为60°，求此圆弧的长度。
北师大版九年级数学下册：第三章 3.9《弧长和扇形的面积》精品教学设计
北师大版九年级数学下册：第三章 3.9《弧长和扇形的面积》精品教学设计一. 教材分析北师大版九年级数学下册第三章 3.9《弧长和扇形的面积》是本章的重要内容。
此节内容通过引入实际问题，引导学生学习弧长和扇形面积的计算方法，使学生能够运用数学知识解决实际问题。
教材通过实例和练习，让学生理解和掌握弧长和扇形面积的计算公式，培养学生的数学思维和解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基础知识，对图形的性质和公理有了一定的了解。
但是，对于弧长和扇形面积的计算，学生可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要结合学生的已有知识，通过实例和练习，引导学生理解和掌握弧长和扇形面积的计算方法。
三. 教学目标1.让学生理解弧长和扇形面积的概念，掌握弧长和扇形面积的计算公式。
2.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.通过对弧长和扇形面积的学习，培养学生的数学思维和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.弧长和扇形面积的概念。
2.弧长和扇形面积的计算公式。
3.运用弧长和扇形面积解决实际问题。
五. 教学方法1.实例教学：通过实际问题，引导学生学习和理解弧长和扇形面积的概念和计算方法。
2.练习教学：通过练习题，让学生巩固和运用弧长和扇形面积的计算方法。
3.问题教学：引导学生运用弧长和扇形面积的知识解决实际问题，培养学生的数学思维和解决问题的能力。
六. 教学准备1.教材和教学参考书。
2.课件和教学素材。
3.练习题和答案。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引入弧长和扇形面积的概念。
例如：一个半径为5厘米的圆，其圆心角为90度，求这个扇形的弧长和面积。
2.呈现（15分钟）讲解弧长和扇形面积的计算公式，并通过动画和图形，让学生直观地理解公式的含义。
弧长公式：l = rθ（其中，r为半径，θ为圆心角的弧度数）扇形面积公式：S = 1/2 lr（其中，l为弧长，r为半径）3.操练（15分钟）让学生运用弧长和扇形面积的计算公式，解决实际问题。
北师大版九年级下册数学3.9《弧长及扇形的面积》教案
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与弧长和扇形面积相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用软尺和圆规测量并计算一个给定圆心角的弧长。
举例：
难点1：当给出一个圆和其上的一个圆心角时，学生需要理解如何计算这个圆心角所对的弧长。
难点2：在计算扇形面积时，学生需要理解如何的计算公式。
难点3：在解决实际问题，如计算一段河流的弯曲长度或计算不规则图形的面积时，学生需要学会如何将问题简化为弧长或扇形面积的求解问题，并正确运用相关公式。
其次，在讲授弧长和扇形面积的计算公式时，我尽量用简洁明了的语言进行解释，并通过举例来帮助学生理解。但实践证明，仍有部分学生在运用这些公式时出现错误。我意识到，除了讲解公式推导过程外，还需要加强学生的实际操作练习，让他们在实际问题中反复运用这些公式，从而提高他们的计算准确性和解题能力。
此外，在课堂讨论环节，我发现学生们对于弧长和扇形面积在实际生活中的应用表现出浓厚的兴趣。他们积极思考，提出了很多有创意的想法。这说明学生们对于数学知识的应用有着很高的热情。在今后的教学中，我应多设置一些与实际生活紧密相关的题目，激发学生的学习兴趣，提高他们的数学应用能力。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了弧长和扇形面积的基本概念、计算公式以及它们在实际中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对这些知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
九年级数学下册3.9弧长及扇形的面积课时教案北师大版
3.9 弧长及扇形的面积一、教学目标1.经历探索弧长计算公式和扇形面积计算公式的过程，培养学生的探索能力.2.了解弧长计算公式和扇形面积计算公式，并运用公式解决问题；训练学生的数学运用能力.二、课时安排1课时三、教学重点经历探索弧长计算公式和扇形面积计算公式的过程，培养学生的探索能力.四、教学难点了解弧长计算公式和扇形面积计算公式，并运用公式解决问题；训练学生的数学运用能力.五、教学过程（一）导入新课1.已知⊙O的半径为R，⊙O的周长是多少？⊙O的面积是多少？2.什么叫圆心角？（二）讲授新课探究1：我们上体育课掷铅球练习时，要在指定的圆圈内进行，这个圆的直径是2.135m.这个圆的周长与面积是多少呢？（结果精确到0.01）答案：周长约是6.71m，面积约是3.58㎡（1）已知⊙O的半径为R，1°的圆心角所对的弧长是多少？ 1°的圆心角所对的弧长是（）。
（2）n°的圆心角所对的弧长是多少？答案：（1）2360180R R ππ=；（2）n °的圆心角所对的弧长是2360180R n Rn ππ⋅= 探究2：在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上栓着一条长3m 的绳子，绳子的另一端拴着一只狗. （1）这只狗的最大活动区域有多大？（2）如果这只狗只能绕柱子转过n °角，那么它的最大活动区域有多大？揭示新知：如果扇形的半径为R ，圆心角为n °，那么扇形面积的计算公式为S 扇形= . 比较扇形面积公式与弧长公式，你能用弧长来表示扇形的面积吗？S 扇形= l , 明确：2360n R π；180n l R π= 活动2：探究归纳在进行弧长或扇形面积计算时要注意下列问题： （1）公式中n 表示1°的圆心角的倍数；（2）若圆心角的单位不全是度，则需先化为度后再计算. （3）题设没有标明精确度的，结果可以用π表示. （三）重难点精讲例1.制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料.试计算如图所示的管道的展直长度，即AB 的长(结果精确到0.1mm).解：R=40mm ， n=110， ∴ AB 的长=n R 180π11040180π=⨯≈76.8（mm ）因此，管道的展直长度约为76.8mm.例2.扇形AOB 的半径为12cm ，∠AOB= 120°，求AB 的长(结果精确到0.1cm)和扇形AOB 的面积(结果精确到0.1cm 2).解：AB 的长=12012180π⨯≈25.1（cm ）. S扇形=212012360π⨯≈150.8（cm 2）.因此，AB 的长约为25.1cm ，扇形AOB 的面积约为150.8cm 2. （四）归纳小结1.弧长计算公式是什么？180nl R π=2.扇形的面积计算公式是什么？2360n S R π=扇形；12S lR =扇形 3.较复杂的图形的面积的计算可把它分解成几个特殊图形的面积的和或差进行计算. （五）随堂检测1.（常德·中考）如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”. 则半径为2的“等边扇形”的面积为( )A ．πB ．1C ．2D ．23π2.（杭州·中考）如图，5个圆的圆心在同一条直线上, 且互相相切，若大圆直径是12，4个 小圆大小相等，则这5个圆的周长的和为（ ）A ．48πB ．24πC ．12πD ．6π3.如图，⊙O 及两个半径为1的⊙O 1和⊙O 2两两外切，切点分别为 A ，B ，C ，且∠O=90°，则AB BC CA ++的长为 （ ）2π B.22 C.2214π D.2π4．（聊城·中考）将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，重叠部分（阴影）的量角器圆弧（ ）对应的圆心角（∠AOB ）为120º，AO 的长为4cm ，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．16(2)3π+cm 2 B ．8(2)3π+ cm 2 C ．16(23)3π+ cm 2 D ．8(23)3π+ cm 25.（临沂·中考） 如图，直径AB 为6的半圆，绕A 点逆时针旋转60°，此时点B 到了点B ′，则图中阴影部分的面积是( )A ．6πB ．5πC ．4πD ．3π 【答案】 1. 答案：C 2. 答案：B 3. 答案：B 4. 答案：C 5. 答案：A 六．板书设计3.9 弧长及扇形的面积1.弧长计算公式是180nl R π=2.扇形的面积计算公式是2360n S R π=扇形；12S lR =扇形例题1：例题2：七、作业布置课本P101练习1、2练习册相关练习八、教学反思中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．已知2是关于x 的方程x 2-2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC 的两条边长，则三角形ABC 的周长为（ ） A ．10 B ．14C ．10或14D ．8或10【答案】B【解析】试题分析： ∵2是关于x 的方程x 2﹣2mx+3m=0的一个根， ∴22﹣4m+3m=0，m=4， ∴x 2﹣8x+12=0， 解得x 1=2，x 2=1．①当1是腰时，2是底边，此时周长=1+1+2=2； ②当1是底边时，2是腰，2+2＜1，不能构成三角形． 所以它的周长是2．考点：解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形的性质． 2．函数228y x x m =--+的图象上有两点()11,A x y ，()22,B x y ，若122x x <<-，则（ ） A ．12y y < B ．12y y > C ．12 y y = D ．1y 、2y 的大小不确定【答案】A【解析】根据x 1、x 1与对称轴的大小关系，判断y 1、y 1的大小关系． 【详解】解：∵y=-1x 1-8x+m ，∴此函数的对称轴为：x=-b2a =-()-82-2⨯=-1，∵x 1＜x 1＜-1，两点都在对称轴左侧，a ＜0， ∴对称轴左侧y 随x 的增大而增大， ∴y 1＜y 1． 故选A ． 【点睛】此题主要考查了函数的对称轴求法和函数的单调性，利用二次函数的增减性解题时，利用对称轴得出是解题关键．3．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（ ）A ．五丈B ．四丈五尺C ．一丈D ．五尺【答案】B【解析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论． 【详解】设竹竿的长度为x 尺，∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺， ∴1.5150.5x =， 解得x=45（尺）， 故选B ．【点睛】本题考查了相似三角形的应用举例，熟知同一时刻物髙与影长成正比是解答此题的关键．4．如图，C ，B 是线段AD 上的两点，若AB CD =，2BC AC =，则AC 与CD 的关系为（ ）A ．2CD AC =B ．3CD AC = C ．4CD AC = D ．不能确定【答案】B【解析】由AB=CD ，可得AC=BD ，又BC=2AC ，所以BC=2BD ，所以CD=3AC. 【详解】∵AB=CD ， ∴AC+BC=BC+BD ， 即AC=BD ， 又∵BC=2AC ， ∴BC=2BD ， ∴CD=3BD=3AC. 故选B ． 【点睛】本题考查了线段长短的比较，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍转化线段之间的数量关系是十分关键的一点．5．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方将明文加密后传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文，已知某种加密规则为，明文a ，b 对应的密文为a ＋2b ，2a －b ，例如：明文1，2对应的密文是5，0，当接收方收到的密文是1，7时，解密得到的明文是( ) A ．3，－1 B ．1，－3C ．－3，1D ．－1，3【答案】A【解析】根据题意可得方程组2127a b a b +=⎧⎨-=⎩，再解方程组即可．【详解】由题意得：2127a b a b +=⎧⎨-=⎩，解得：31a b =⎧⎨=-⎩，故选A ．6．A 、B 两地相距180km ，新修的高速公路开通后，在A 、B 两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%，而从A 地到B 地的时间缩短了1h ．若设原来的平均车速为xkm/h ，则根据题意可列方程为A ．1801801(150%)x x-=+ B ．1801801(150%)x x-=+ C ．1801801(150%)x x -=- D ．1801801(150%)x x-=-【答案】A【解析】直接利用在A ，B 两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%，而从A 地到B 地的时间缩短了1h ，利用时间差值得出等式即可．【详解】解：设原来的平均车速为xkm/h ，则根据题意可列方程为：180x ﹣180150%x+（）=1． 故选A ． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，根据题意得出正确等量关系是解题的关键． 7．下列各式中，互为相反数的是（ ） A ．2(3)-和23- B ．2(3)-和23 C ．3(2)-和32-D ．3|2|-和32-【答案】A【解析】根据乘方的法则进行计算，然后根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．【详解】解：A. 2(3)-=9，23-=-9，故2(3)-和23-互为相反数，故正确； B. 2(3)-=9，23=9，故2(3)-和23不是互为相反数，故错误； C. 3(2)-=-8，32-=-8，故3(2)-和32-不是互为相反数，故错误；D. 3|2|-=8，32-=8故3|2|-和32-不是互为相反数，故错误.故选A. 【点睛】本题考查了有理数的乘方和相反数的定义，关键是掌握有理数乘方的运算法则．8．如图是二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象，对于下列说法：①ac ＞0，②2a+b ＞0，③4ac ＜b 2，④a+b+c ＜0，⑤当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．③④⑤【答案】C【解析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案． 【详解】解：①由图象可知：a ＞0，c ＜0， ∴ac ＜0，故①错误； ②由于对称轴可知：b2a-＜1， ∴2a+b ＞0，故②正确；③由于抛物线与x 轴有两个交点， ∴△＝b 2﹣4ac ＞0，故③正确；④由图象可知：x ＝1时，y ＝a+b+c ＜0， 故④正确； ⑤当x ＞b2a-时，y 随着x 的增大而增大，故⑤错误； 故选：C ． 【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．9．已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2＋ax －2b ＝0的两个实数根，且x 1＋x 2＝－2，x 1·x 2＝1，则b a 的值是( ) A ．B ．－C ．4D ．－1【答案】A【解析】根据根与系数的关系和已知x 1+x 2和x 1•x 2的值，可求a 、b 的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵x 1，x 2是关于x 的方程x 2+ax ﹣2b=0的两实数根， ∴x 1+x 2=﹣a=﹣2，x 1•x 2=﹣2b=1， 解得a=2，b=，∴b a =（）2=．故选A ．10．二次函数y=x 2+bx –1的图象如图，对称轴为直线x=1，若关于x 的一元二次方程x 2–2x –1–t=0（t 为实数）在–1<x<4的范围内有实数解，则t 的取值范围是A ．t≥–2B ．–2≤t<7C ．–2≤t<2D ．2<t<7【答案】B【解析】利用对称性方程求出b 得到抛物线解析式为y=x 2﹣2x ﹣1，则顶点坐标为（1，﹣2），再计算当﹣1＜x ＜4时对应的函数值的范围为﹣2≤y ＜7，由于关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣1﹣t=0（t 为实数）在﹣1＜x ＜4的范围内有实数解可看作二次函数y=x 2﹣2x ﹣1与直线y=t 有交点，然后利用函数图象可得到t 的范围．【详解】抛物线的对称轴为直线x=﹣2b=1，解得b=﹣2， ∴抛物线解析式为y=x 2﹣2x ﹣1，则顶点坐标为（1，﹣2）， 当x=﹣1时，y=x 2﹣2x ﹣1=2；当x=4时，y=x 2﹣2x ﹣1=7， 当﹣1＜x ＜4时，﹣2≤y ＜7，而关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣1﹣t=0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数解可看作二次函数y=x2﹣2x﹣1与直线y=t有交点，∴﹣2≤t＜7，故选B．【点睛】本题考查了二次函数的性质、抛物线与x轴的交点、二次函数与一元二次方程，把求二次函数y=ax2+bx+c （a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解题的关键.二、填空题（本题包括8个小题）11．如图，已知圆柱底面周长为6cm，圆柱高为2cm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为_____cm．【答案】213【解析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可．【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度．∵圆柱底面的周长为6cm，圆柱高为2cm，∴AB＝2cm，BC＝BC′＝3cm，∴AC2＝22+32＝13，∴AC＝13cm，∴这圈金属丝的周长最小为2AC＝213cm．故答案为213．【点睛】本题考查了平面展开−最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．12．如图，在平行四边形ABCD中，E为边BC上一点，AC与DE相交于点F，若CE=2EB，S△AFD=9，则S△EFC等于_____．【答案】1【解析】由于四边形ABCD是平行四边形，所以得到BC∥AD、BC=AD，而CE=2EB，由此即可得到△AFD∽△CFE，它们的相似比为3：2，最后利用相似三角形的性质即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD、BC=AD，而CE=2EB，∴△AFD∽△CFE，且它们的相似比为3：2，∴S△AFD：S△EFC=（32）2，而S△AFD=9，∴S△EFC=1．故答案为1．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题首先利用平行四边形的构造相似三角形的相似条件，然后利用其性质即可求解．13．抛物线y=﹣x2+4x﹣1的顶点坐标为．【答案】（2，3）【解析】试题分析：利用配方法将抛物线的解析式y=﹣x2+4x﹣1转化为顶点式解析式y=﹣（x﹣2）2+3，然后求其顶点坐标为：（2，3）．考点：二次函数的性质14．如图，点A（m，2），B（5，n）在函数kyx（k＞0，x＞0）的图象上，将该函数图象向上平移2个单位长度得到一条新的曲线，点A、B的对应点分别为A′、B′．图中阴影部分的面积为8，则k的值为．【答案】2．【解析】试题分析：∵将该函数图象向上平移2个单位长度得到一条新的曲线，点A、B的对应点分别为A′、B′，图中阴影部分的面积为8，∴5﹣m=4，∴m=2，∴A（2，2），∴k=2×2=2．故答案为2．考点：2．反比例函数系数k的几何意义；2．平移的性质；3．综合题．15．如图所示，在四边形ABCD中，AD⊥AB，∠C=110°，它的一个外角∠ADE=60°，则∠B的大小是_____．【答案】40°【解析】根据外角的概念求出∠ADC的度数，再根据垂直的定义、四边形的内角和等于360°进行求解即可得.【详解】∵∠ADE=60°，∴∠ADC=120°，∵AD⊥AB，∴∠DAB=90°，∴∠B=360°﹣∠C﹣∠ADC﹣∠A=40°，故答案为40°．【点睛】本题考查了多边形的内角和外角，掌握四边形的内角和等于360°、外角的概念是解题的关键．16．已知m、n是一元二次方程x2+4x﹣1＝0的两实数根，则11m n+＝_____．【答案】1【解析】先由根与系数的关系求出m•n及m+n的值，再把11m n+化为m+nmn的形式代入进行计算即可．【详解】∵m、n是一元二次方程x2+1x﹣1＝0的两实数根，∴m+n＝﹣1，m•n＝﹣1，∴11m n+＝m+nmn＝-4-1＝1．故答案为1．【点睛】本题考查的是根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2＝﹣ba，x1•x2＝ca．17．如图，在平行四边形ABCD中，过对角线AC与BD的交点O作AC的垂线交于点E，连接CE，若AB=4，BC=6，则△CDE的周长是______．【答案】1【解析】由平行四边形ABCD的对角线相交于点O，OE⊥AC，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=CE，又由平行四边形ABCD的AB+BC=AD+CD=1，继而可得结论．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AB=CD，AD=BC．∵AB=4，BC=6，∴AD+CD=1．∵OE⊥AC，∴AE=CE，∴△CDE的周长为：CD+CE+DE=CD+CE+AE=AD+CD=1．故答案为1．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，线段的垂直平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．18．如图，数轴上点A表示的数为a，化简：a244a a+-+=_____．【答案】1．【解析】直接利用二次根式的性质以及结合数轴得出a的取值范围进而化简即可．【详解】由数轴可得：0＜a＜1，则2a4a4-+22a-（）（1﹣a）=1．故答案为1． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a 的取值范围是解题的关键． 三、解答题（本题包括8个小题）19．如图，在Rt △ABC 中，CD ，CE 分别是斜边AB 上的高，中线，BC ＝a ，AC ＝b ．若a ＝3，b ＝4，求DE 的长；直接写出：CD ＝ （用含a ，b 的代数式表示）；若b ＝3，tan ∠DCE=13，求a 的值．【答案】（1）710；（2）2222ab a b a b++；（3）101-. 【解析】（1）求出BE ，BD 即可解决问题． （2）利用勾股定理，面积法求高CD 即可． （3）根据CD ＝3DE ，构建方程即可解决问题．【详解】解：（1）在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝91°，a ＝3，b ＝4， ∴2235,cos 5BC AB a b B AC ∴=+===． ∵CD ，CE 是斜边AB 上的高，中线， ∴∠BDC ＝91°，15BE AB 22==． ∴在Rt △BCD 中，39cos 355BD BC B =⋅=⨯=5972510DE BE BD ∴=-=-=（2）在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝91°，BC ＝a ，AC ＝b ，2222AB BC AC a b ∴=+=+ABC11SAB CD AC BC 22=⋅=⋅ 2222AC BC ab a b CD AB a b⋅+∴===+22ab a b + （3）在Rt △BCD 中，22222cos BD BC B a a ba b=⋅==++∴222222222122a b aDE BE BD a ba b a b-=-=+-=++，又1 tan3DEDCECD∠==，∴CD＝3DE，即22222232ab b aa b a b-=⨯++．∵b＝3，∴2a＝9﹣a2，即a2+2a﹣9＝1．由求根公式得110a=-±（负值舍去），即所求a的值是101-．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．20．已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）两点是一次函数y=kx+b和反比例函数y=mx图象的两个交点．求一次函数和反比例函数的解析式；求△AOB的面积；观察图象，直接写出不等式kx+b﹣mx＞0的解集．【答案】（1）反比例函数解析式为y=﹣8x，一次函数的解析式为y=﹣x﹣1；（1）6；（3）x＜﹣4或0＜x＜1．【解析】试题分析：（1）先把点A的坐标代入反比例函数解析式，即可得到m=﹣8，再把点B的坐标代入反比例函数解析式，即可求出n=1，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式；（1）先求出直线y=﹣x﹣1与x轴交点C的坐标，然后利用S△AOB=S△AOC+S△BOC进行计算；（3）观察函数图象得到当x＜﹣4或0＜x＜1时，一次函数的图象在反比例函数图象上方，据此可得不等式的解集．试题解析：（1）把A（﹣4，1）代入，得m=1×（﹣4）=﹣8，所以反比例函数解析式为，把B（n，﹣4）代入，得﹣4n=﹣8，解得n=1，把A（﹣4，1）和B（1，﹣4）代入y=kx+b，得：，解得：，所以一次函数的解析式为y=﹣x﹣1；（1）y=﹣x﹣1中，令y=0，则x=﹣1，即直线y=﹣x﹣1与x轴交于点C（﹣1，0），∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×1×1+×1×4=6；（3）由图可得，不等式的解集为：x＜﹣4或0＜x＜1．考点：反比例函数与一次函数的交点问题；待定系数法求一次函数解析式．21．如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60°（A、B、D三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：≈1.414，≈1.732）【答案】这棵树CD的高度为8.7米【解析】试题分析：首先利用三角形的外角的性质求得∠ACB的度数，得到BC的长度，然后在直角△BDC 中，利用三角函数即可求解．试题解析：∵∠CBD=∠A+∠ACB，∴∠ACB=∠CBD﹣∠A=60°﹣30°=30°，∴∠A=∠ACB，∴BC=AB=10（米）．在直角△BCD中，CD=BCsin∠CBD=10×33（米）．答：这棵树CD的高度为8.7米．考点：解直角三角形的应用22．瑞安市曹村镇“八百年灯会”成为温州“申遗”的宝贵项目．某公司生产了一种纪念花灯，每件纪念花灯制造成本为18元．设销售单价x（元），每日销售量y（件）每日的利润w（元）．在试销过程中，每日销售量y（件）、每日的利润w（元）与销售单价x（元）之间存在一定的关系，其几组对应量如下表所示：（1）根据表中数据的规律，分别写出毎日销售量y（件），每日的利润w（元）关于销售单价x（元）之间的函数表达式．（利润＝（销售单价﹣成本单价）×销售件数）．当销售单价为多少元时，公司每日能够获得最大利润？最大利润是多少？根据物价局规定，这种纪念品的销售单价不得高于32元，如果公司要获得每日不低于350元的利润，那么制造这种纪念花灯每日的最低制造成本需要多少元？【答案】（1）y＝﹣2x+100，w＝﹣2x2+136x﹣1800；（2）当销售单价为34元时，每日能获得最大利润，最大利润是1元；（3）制造这种纪念花灯每日的最低制造成本需要648元．【解析】（1）观察表中数据，发现y与x之间存在一次函数关系，设y＝kx+b．列方程组得到y关于x的函数表达式y＝﹣2x+100，根据题意得到w＝﹣2x2+136x﹣1800；（2）把w＝﹣2x2+136x﹣1800配方得到w＝﹣2（x﹣34）2+1．根据二次函数的性质即可得到结论；（3）根据题意列方程即可得到即可．【详解】解：（1）观察表中数据，发现y与x之间存在一次函数关系，设y＝kx+b．则62196020k bk b=+⎧⎨=+⎩，解得k2b100=-⎧⎨=⎩，∴y＝﹣2x+100，∴y关于x的函数表达式y＝﹣2x+100，∴w＝（x﹣18）•y＝（x﹣18）（﹣2x+100）∴w＝﹣2x2+136x﹣1800；（2）∵w＝﹣2x2+136x﹣1800＝﹣2（x﹣34）2+1．∴当销售单价为34元时，∴每日能获得最大利润1元；（3）当w＝350时，350＝﹣2x2+136x﹣1800，解得x＝25或43，由题意可得25≤x≤32，则当x＝32时，18（﹣2x+100）＝648，∴制造这种纪念花灯每日的最低制造成本需要648元．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知得出函数关系式．23．如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a经过三个景点A、B、C，•景区管委会又开发了风景优美的景点D，经测量，景点D位于景点A的北偏东30′方向8km处，•位于景点B的正北方向，还位于景点C 的北偏西75°方向上，已知AB=5km.景区管委会准备由景点D向公路a修建一条距离最短的公路，不考试其他因素，求出这条公路的长．（结果精确到0.1km）．求景点C与景点D之间的距离．（结果精确到1km）．【答案】（1）景点D向公路a修建的这条公路的长约是3.1km；（2）景点C与景点D之间的距离约为4km．【解析】解：（1）如图，过点D作DE⊥AC于点E，过点A作AF⊥DB，交DB的延长线于点F，在Rt△DAF中，∠ADF=30°，∴AF=12AD=12×8=4，∴DF=22228443AD AF-=-=，在Rt△ABF中BF=2222AB AF54-=-=3，∴BD=DF﹣BF=43﹣3，sin∠ABF=45 AFAB=，在Rt△DBE中，sin∠DBE=DBBD，∵∠ABF=∠DBE，∴sin∠DBE=45，∴DE=BD•sin∠DBE=45×（43﹣3）=163125-≈3.1（km），∴景点D向公路a修建的这条公路的长约是3.1km；（2）由题意可知∠CDB=75°，由（1）可知sin∠DBE=45=0.8，所以∠DBE=53°，∴∠DCB=180°﹣75°﹣53°=52°，在Rt △DCE 中，sin ∠DCE=DB DC，∴DC= 3.1sin 520.79DE ︒=≈4（km ），∴景点C 与景点D 之间的距离约为4km ． 24．先化简代数式：222111a a a a a +⎛⎫-÷ ⎪---⎝⎭，再代入一个你喜欢的数求值. 【答案】13【解析】先根据分式的运算法则进行化简，再代入使分式有意义的值计算. 【详解】解：原式2211(1)(1)a a a a a a ⎡⎤+-=-⋅⎢⎥-+-⎣⎦2(1)21(1)(1)a a a a a a +---=⋅+-11a =+. 使原分式有意义的a 值可取2， 当2a =时，原式11213==+. 【点睛】考核知识点：分式的化简求值.掌握分式的运算法则是关键.252012sin 60(1)2-︒⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭解不等式组3(1)45513x x x x --⎧⎪-⎨->⎪⎩，并写出它的所有整数解． 【答案】（1）7-；（1）0，1，1. 【解析】（1）本题涉及零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数值，在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果（1）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后再找出整数解即可 【详解】解：（1）原式＝1﹣1×+1+42， ＝7（1）()3145{513x x x x -≥---①＞②， 解不等式①得：x≤1，解不等式②得：x＞﹣1，∴不等式组的解集是：﹣1＜x≤1．故不等式组的整数解是：0，1，1．【点睛】此题考查零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数值，一元一次不等式组的整数解，掌握运算法则是解题关键26．鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y（千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x=60时，y=80；x=50时，y=1．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．求该公司销售该原料日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式．当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？【答案】（1）y=－2x+200（30≤x≤60）（2）w=－2（x－65）2 +2000）;（3）当销售单价为60元时，该公司日获利最大，为1950元【解析】（1）设出一次函数解析式，把相应数值代入即可．（2）根据利润计算公式列式即可；（3）进行配方求值即可．【详解】（1）设y=kx+b，根据题意得806010050k bk b=+⎧⎨=+⎩解得：k2b200=-⎧⎨=⎩∴y=－2x+200（30≤x≤60）（2）W=（x－30）（－2x+200）－450=－2x2+260x－6450=－2（x－65）2 +2000）（3）W =－2（x－65）2 +2000∵30≤x≤60∴x=60时,w有最大值为1950元∴当销售单价为60元时，该公司日获利最大，为1950元考点：二次函数的应用．中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．把不等式组2010xx-⎧⎨+<⎩的解集表示在数轴上，正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】首先解出各个不等式的解集，然后求出这些解集的公共部分即可．【详解】解：由x﹣2≥0，得x≥2，由x+1＜0，得x＜﹣1，所以不等式组无解，故选B．【点睛】解不等式组时要注意解集的确定原则：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解了．2．下列计算正确的是（）A．（a2）3＝a6B．a2+a2＝a4C．（3a）•（2a）2＝6a D．3a﹣a＝3【答案】A【解析】根据同底数幂的乘法的性质，幂的乘方的性质，积的乘方的性质，合并同类项的法则，对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】A．（a2）3=a2×3=a6，故本选项正确；B．a2+a2=2a2，故本选项错误；C．（3a）•（2a）2=（3a）•（4a2）=12a1+2=12a3，故本选项错误；D．3a﹣a=2a，故本选项错误．故选A．【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方和单项式乘法，理清指数的变化是解题的关键．3．下列手机手势解锁图案中，是轴对称图形的是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义进行判断.【详解】A.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，所以A错误；B.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，所以B错误；C.是中心对称图形，不是轴对称图形，所以C错误；D.是轴对称图形，不是中心对称图形，所以D正确.【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握定义是本题解题的关键.4．运用图形变化的方法研究下列问题：如图，AB是⊙O的直径，CD，EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB=10，CD=6，EF=8.则图中阴影部分的面积是（）A．252πB．10πC．24+4πD．24+5π【答案】A【解析】作直径CG，连接OD、OE、OF、DG，则根据圆周角定理求得DG的长，证明DG=EF，则S扇形ODG=S扇形OEF，然后根据三角形的面积公式证明S△OCD=S△ACD，S△OEF=S△AEF，则S阴影=S扇形OCD+S扇形OEF=S 扇形OCD+S扇形ODG=S半圆，即可求解．【详解】作直径CG，连接OD、OE、OF、DG．∵CG是圆的直径，∴∠CDG=90°，则2222106CG CD--，又∵EF=8，∴DG=EF，∴DG EF=，∴S扇形ODG=S扇形OEF，∵AB∥CD∥EF，∴S△OCD=S△ACD，S△OEF=S△AEF，∴S阴影=S扇形OCD+S扇形OEF=S扇形OCD+S扇形ODG=S半圆=12π×52=252π，故选A．【点睛】本题考查扇形面积的计算，圆周角定理．本题中找出两个阴影部分面积之间的联系是解题的关键．5．如图，若数轴上的点A，B分别与实数﹣1，1对应，用圆规在数轴上画点C，则与点C对应的实数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】由数轴上的点A、B 分别与实数﹣1，1对应，即可求得AB=2，再根据半径相等得到BC=2，由此即求得点C对应的实数．【详解】∵数轴上的点A，B 分别与实数﹣1，1 对应，∴AB=|1﹣（﹣1）|=2，∴BC=AB=2，∴与点C 对应的实数是：1+2=3.故选B．【点睛】本题考查了实数与数轴，熟记实数与数轴上的点是一一对应的关系是解决本题的关键．6．小明和小张两人练习电脑打字，小明每分钟比小张少打6个字，小明打120个字所用的时间和小张打180个字所用的时间相等．设小明打字速度为x个/分钟，则列方程正确的是（）A．1201806x x=+B．1201806x x=-C．1201806x x=+D．1201806x x=-【答案】C【解析】解：因为设小明打字速度为x个/分钟，所以小张打字速度为（x+6）个/分钟，根据关系：小明打120个字所用的时间和小张打180个字所用的时间相等，可列方程得1201806x x =+， 故选C ．【点睛】 本题考查列分式方程解应用题，找准题目中的等量关系，难度不大．7．如图，平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 的边OA 在x 轴正半轴上，BC ∥x 轴，∠OAB ＝90°，点C （3，2），连接OC ．以OC 为对称轴将OA 翻折到OA′，反比例函数y ＝k x的图象恰好经过点A′、B ，则k 的值是（ ）A ．9B ．133C ．16915D ．33 【答案】C 【解析】设B （2k ，2），由翻折知OC 垂直平分AA′，A′G ＝2EF ，AG ＝2AF ，由勾股定理得OC ＝13，根据相似三角形或锐角三角函数可求得A′（526，613），根据反比例函数性质k ＝xy 建立方程求k ． 【详解】如图，过点C 作CD ⊥x 轴于D ，过点A′作A′G ⊥x 轴于G ，连接AA′交射线OC 于E ，过E 作EF ⊥x 轴于F ，设B （2k ，2）， 在Rt △OCD 中，OD ＝3，CD ＝2，∠ODC ＝90°，∴OC 222232OD CD ++13由翻折得，AA′⊥OC ，A′E ＝AE ，∴sin ∠COD ＝AE CD OA OC=， ∴AE ＝213213k CD OA OC ⨯⋅=，∵∠OAE+∠AOE＝90°，∠OCD+∠AOE＝90°，∴∠OAE＝∠OCD，∴sin∠OAE＝EF ODAE OC=＝sin∠OCD，∴EF＝3133131313OD AEk k OC⋅=⨯=，∵cos∠OAE＝AF CDAE OC=＝cos∠OCD，∴2132131313CDAF AE k k OC=⋅=⨯=，∵EF⊥x轴，A′G⊥x轴，∴EF∥A′G，∴12 EF AF AEA G AG AA===''，∴6213A G EF k'==，4213AG AF k==，∴14521326 OG OA AG k k k =-=-=，∴A′（526k，613k），∴562613k k k⋅=，∵k≠0，∴169 =15 k，故选C．【点睛】本题是反比例函数综合题，常作为考试题中选择题压轴题，考查了反比例函数点的坐标特征、相似三角形、翻折等，解题关键是通过设点B的坐标，表示出点A′的坐标．8．如图1，将三角板的直角顶点放在直角尺的一边上，Ð1=30°，Ð2=50°，则Ð3的度数为A．80°B．50°C．30°D．20°【答案】D【解析】试题分析：根据平行线的性质，得∠4=∠2=50°，再根据三角形的外角的性质∠3=∠4-∠1=50°-30°=20°．故答案选D ．考点：平行线的性质;三角形的外角的性质．9．在下列二次函数中，其图象的对称轴为2x =-的是A ．()22y x =+B ．222y x =-C ．222y x =--D ．()222y x =-【答案】A【解析】y=（x+2）2的对称轴为x=–2，A 正确；y=2x 2–2的对称轴为x=0，B 错误；y=–2x 2–2的对称轴为x=0，C 错误；y=2（x –2）2的对称轴为x=2，D 错误．故选A ．1．10．如图，在△ABC 中，点D 在BC 上，DE ∥AC ，DF ∥AB ，下列四个判断中不正确的是()A ．四边形AEDF 是平行四边形B ．若∠BAC ＝90°，则四边形AEDF 是矩形C ．若AD 平分∠BAC ，则四边形AEDF 是矩形D ．若AD ⊥BC 且AB ＝AC ，则四边形AEDF 是菱形【答案】C【解析】A 选项，∵在△ABC 中，点D 在BC 上，DE ∥AC ，DF ∥AB ，∴DE ∥AF ，DF ∥AE ，∴四边形AEDF 是平行四边形；即A 正确；B 选项，∵四边形AEDF 是平行四边形，∠BAC=90°，∴四边形AEDF 是矩形；即B 正确；。
北师大版九年级数学下册3.9弧长及扇形的面积教案
学以致用，当堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高.
【课堂小结】
同学们，竹子每生长一步，必做小结，所以它是世界上长得最快的植物，数学的学习也是如此．通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．
本活动的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流，对弧长计算公式从感性认识上升到理性认识．先从一般到特殊，再从特殊到一般，利用圆的周长公式推导出弧长的计算公式，在这一过程中让学生再次感受弧长与圆的周长公式的密切关系.
类比弧长计算公式的探索过程，引导学生探索扇形面积的计算公式，教会学生用类比的思想方法去模拟解决实际问题，锻炼学生的能力.
(2)已知扇形的弧长为20πcm，面积是240πcm2，则该扇形的圆心角为__150°__．
处理方式：让学生对比弧长及扇形面积公式进行探究、交流，通过整体代入的方法推导出扇形的第二个面积计算公式，并让学生类似于三角形的面积计算公式加以记忆．对于巩固训练可以让两名同学板演，其余学生在练习本上完成．完成后，让学生进行评价．对于出现的问题及时予以强调.
课题
9弧长及扇形的面积
授课人
教
学
目
标
知识技能
掌握弧长和扇形面积的计算公式，并学会运用弧长和扇形面积公式解决一些实际问题．
数学思考
经历弧长和扇形面积公式的推导过程，培养自主探索的能力．
问题解决
在利用弧长和扇形面积公式解题中，培养学生应用知识能力、空间想象能力和动手画图能力，体会由一般到特殊的数学思想．
情感态度
使学生了解计算公式的同时体会公式的变式，养成独立思考、合作交流的良好学习习惯.
北师大版九年级数学下册 3.9 弧长及扇形面积 导学案(无答案)
有一定的关系，∵180
n R
l π=
，2
=
360
n R S π，
∴
2
3602180
n R S R
n R l ππ==。
∴12S lR =】即12
S lR =
例1、制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算下图中管道的展直长度，即的长(结果精确到0.1mm)。
分析：要求管道的展直长度，即求
的长，
根根弧长公式l ＝
180
n R
π可求得的长，其中n 为圆心角，R 为半径。
解：R ＝40mm ，n ＝110。
∴
的长＝180
n πR ＝110180
×40π≈76.8mm 。
因此，管道的展直长度约为76.8mm 。
例2、 制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算下图所示的管道的展直长度L （结果取整数）。
解：由弧长公式，得的长 ＝500π≈1 570（mm ） 因此所要求的展直长度
L ＝2×700＋1 570＝2 970（mm ）
AOB=60°，求的长（•结果
例3、如图，已知扇形AOB 的半径为10，∠精确到0.1）和扇形AOB 的面积(结果精确到0.1）
分析：要求弧长和扇形面积，只要有圆心角， 半径的已知量便可求，本题已满足。
解：
的长=
5.103
101018060≈=⨯π
π 3.526
10010360602≈=⨯=ππ扇形
S。
九年级数学下册第三章 圆 课题 弧长及扇形的面积学案 (新版)北师大版
课题：弧长及扇形的面积【学习目标】1．了解扇形的概念，理解n °的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它们的应用． 2．经历扇形的弧长和面积的推导，让学生能够在理解中加强记忆，能够熟练解决扇形的弧长和面积的有关计算．【学习重点】弧长计算公式及扇形面积计算公式． 【学习难点】熟练应用公式解决问题．情景导入 生成问题旧知回顾：1．圆的周长公式是什么？圆的面积公式是什么？ 答：周长公式C ＝2πr ，面积公式S ＝πr 2.2．半径为2，圆心角为90°的扇形弧长是多少，面积是多少？ 解：弧长为π，面积为π.自学互研 生成能力知识模块一 弧长公式及应用阅读教材P 100～P 101，完成下面的内容： 扇形的弧长公式是什么？答：半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的弧长计算公式为l ＝n πR180.范例1：(巴中中考)圆心角为60°，半径为4cm 的扇形的弧长为43πcm .仿例1：(广西中考)已知一条圆弧所在圆的半径为9，弧长为52π，则这条弧所对的圆心角是50°．仿例2：(盐城中考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，以点A 为圆心，AB 长为半径画圆弧交边DC 于点E ，则BE ︵的长度为23π ,.),(仿例2题图)) ,(仿例3题图) )仿例3：如图，已知扇形OBC ，OAD 的半径之间的关系是OB ＝12OA ，则BC ︵的长是AD ︵长的( A )A .12倍B .13倍C .14倍D .16倍知识模块二 扇形面积公式及应用 阅读教材P 100～P 101，完成下面的内容：半径为R ，n °圆心角所在扇形的面积公式是什么？它的另一个公式是什么？答：S 扇形＝n πR 2360，S ＝12lR(l 表示扇形弧长)．范例2：(成都中考)在圆心角为120°的扇形AOB 中，半径OA ＝6cm ，则扇形OAB 的面积是( C )A ．6πcm 2B ．8πcm 2C ．12πcm 2D ．24πcm 2仿例1：如图，在正方形ABCD 中，对角线BD 的长为 2.若将BD 绕点B 旋转后，点D 落在BC 延长线上的点D′处，点D 经过的路径为DD ′，则图中阴影部分的面积是( C )A .π2－1 B .π2－12C .π4－12D ．π－2仿例2：(东莞中考)如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD 变形为以点A 为圆心，AB 为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得扇形DAB 的面积为( A )A ．9B ．9πC ．12D ．12π,(仿例1题图)),(仿例2题图)) ,(仿例3题图))仿例3：(遵义中考)如图，在圆心角为90°的扇形OAB 中，半径OA ＝2cm ，C 是AB ︵的中点，D ，E 分别是OA ，OB 的中点，则图中阴影部分的面积为 ⎛π2－12＋2 ,cm 2.)仿例4：如图所示，从一直径为4的圆形铁皮中剪下一个圆心角为90°的扇形，求这个扇形的面积． 解：连接BC.∵∠A＝90°，∴BC 为⊙O 直径，∴BC ＝4. 由勾股定理得AB ＝AC ＝22， ∴S ＝n πR 2360＝90π×（22）2360＝2π.交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 弧长公式及应用 知识模块二 扇形面积公式及应用检测反馈 达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思 查漏补缺1．收获：_____________________________________________________________2．存在困惑：___________________________________________________________。
3.9 弧长及扇形的面积(教案)-北师大版数学九下
第9节弧长及扇形的面积9弧长及扇形的面积1.经历探索弧长公式和扇形面积公式的过程.2.了解弧长公式和扇形面积公式,并运用公式解决问题.1.经历探索弧长公式和扇形面积公式的过程,培养学生的探索能力.2.了解弧长和扇形面积公式,并用公式解决问题,训练学生的数学运用能力.1.经历计算过程,让学生体验数学活动充满探索与创造,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.2.通过解决实际问题,让学生体验数学与人类生活的密切联系,激发学生学习数学的兴趣,提高他们学习的积极性.【重点】经历探索弧长及扇形面积公式的过程;了解弧长及扇形的面积公式;会利用公式解决问题.【难点】利用扇形面积公式解决问题.【教师准备】多媒体课件和圆规.【学生准备】1.复习圆的周长和面积公式.2.圆规、直尺.导入一:同学们,你参加过田径运动会吗?为什么在田径200米比赛中,每位运动员的起跑位置不相同呢?学生分析:因为每个运动员所跑的弯道的路线是一条弧,而他们各自的半径不相等,所以他们的起跑位置不相同.【问题】那么怎么才能求出弧的长度呢?[设计意图]从学生熟悉的200米跑运动员的起跑位置引入本课,让学生体会生活中处处有数学,数学来源于生活这一事实.导入二:如图所示,在一块五边形绿化园地的五个角都建有半径为2m的圆形喷水池,你能求出这五个喷水池占去的绿化园地的面积是多少吗?教师引导学生思考下面的问题并回答:1.五个阴影部分都是什么图形?2.五个图形的圆心角度数的和是多少?学生分析:五个阴影部分都是扇形,五个扇形的圆心角度数的和是540°.【问题】扇形的面积和圆的面积有什么关系?[设计意图]通过对扇形面积的探索,让学生初步感知扇形与圆的关系,为下面对其面积公式的探索打下了良好的基础.[过渡语]我们已经掌握了圆的周长和面积的计算方法,那么圆的一部分——扇形的周长和面积又该如何计算呢?课件出示:如图所示,某传送带的一个转动轮的半径为10cm.(1)转动轮转一周,传送带上的物品A被传送多少厘米?(2)转动轮转1°,传送带上的物品A被传送多少厘米?(3)转动轮转n°,传送带上的物品A被传送多少厘米?教师引导学生思考下面的问题,并回答:1.转动轮转一周,传送带上的物品应被传送的实际距离是的周长.2.转动轮转1°,可以表示成360°的圆心角的,所以,传送带上的物品A被传送的距离也应该是整个圆周长的.3.转动轮转n°,可以表示成360°的圆心角的,所以,传送带上的物品A被传送的距离也应该是整个圆周长的.【师生活动】学生独立思考,然后小组相互交流,教师巡视并参与到学生的讨论中去,代表发言师生共同订正.解:(1)传送带上的物品A被传送的距离是:2π×10=20π(cm).(2)传送带上的物品A被传送的距离是:=(cm).(3)传送带上的物品A被传送的距离是:n×=(cm).【问题】根据上面的计算,你能探讨出在半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长的计算公式吗?请大家互相交流.【学生活动】学生类比刚才的探索,积极思考后,与同伴交流,统一答案.学生分析:360°的圆心角对应圆周长为2πR,那么1°的圆心角对应的弧长为=,n°的圆心角对应的弧长应为1°的圆心角对应的弧长的n倍,即n×=.【教师点评】总结弧长的计算公式.在半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长的计算公式为:l=.【教师强调】弧长的计算公式l=中的n表示的是1°的圆心角的倍数,所以没有单位.[设计意图]承接创设的问题情境,让学生回顾圆的有关知识,并利用圆的性质探索推导弧长公式,能用得出的结论进行说理,实质上是圆的有关性质的运用.并掌握用公式解决实际问题的一般思制作弯形管道时,需要先按中心线计算“展直长度”再下料,试计算如图所示的管道的展直长度,即的长(结果精确到0.1mm).〔解析〕管道的展直长度即弧AB的长,已知R=40mm,n=110,根据弧长公式l=可求得的长解:∵R=40mm,n=110.∴的长=πR=×40π≈76.8(mm).因此,管道的展直长度约为76.8mm.[设计意图]让学生利用公式进行弧长的有关计算,明确弧长与所在圆的半径、圆心角的度数关系密切,熟练公式的应用.二、扇形的面积公式课件出示:在一块空旷的草地上有一根柱子,柱子上拴着一条长3m的绳子,绳子的另一端拴着一只狗.(1)这只狗的最大活动区域有多大?(2)如果这只狗只能绕柱子转过n°角,那么它的最大活动区域有多大?【教师活动】教师出示示意图供学生分析.【学生活动】学生首先独立思考两个最大区域的区别,然后与同伴交流,解:(1)这只狗的最大活动区域是圆,它的面积为:32π=9π(m2).(2)狗的活动区域是扇形(如图(2)所示),扇形是圆的一部分,360°的圆心角对应的圆面积是9π,1°的圆心角对应圆面积的,即×9π=,n°的圆心角对应的圆面积为n×=.【教师点评】如果圆的半径为R,那么圆的面积为πR2,1°的圆心角对应的扇形面积为,n°的圆心角对应的扇形面积为n·=.扇形的面积公式:S=πR2.【学生活动】学生观察后,尝试推导l和S之间的关系.=πR2,解:∵l=πR,S扇形∴πR2=R·πR.∴S=lR.扇形=lR.【师生总结】扇形的面积公式:S扇形【观察发现】你发现扇形面积公式S=lR类似于哪种图形的计算公式?扇形学生分析:与三角形的面积公式类似.=lR.【教师提示】我们可以类比三角形的面积公式记忆扇形的面积公式S扇形【教师点评】扇形面积的计算公式:1.S=πR2;=lR.2.S扇形[设计意图]引导学生自己根据已有的知识推导公式,由于少部分学生对扇形的第二个公式的掌握仍有些困难,因此引导他们采用类比的方法进行探究,这样可以让部分学生恢复解题的自信.[知识拓展]扇形面积公式的选择:=πR2.1.若已知圆心角和半径,选择S扇形=lR.2.若知道弧长和半径,选择S扇形扇形AOB的半径为12cm,∠AOB=120°,求的长(结果精确到0.1cm)和扇形AOB的面积(结果精确到0.1cm2).〔解析〕分别利用弧长公式l=πR和扇形的面积公式S=πR2,把已知数据代入即可求的长和扇形AOB的面积.等学生完成后,教师出示解题过程,规范他们的步骤.解:的长=π×12=8π≈25.1(cm).S=π×122≈150.7(cm2).扇形因此,的长约为25.1cm,扇形AOB的面积约为150.7cm2.[设计意图]通过例题的解答,使学生熟练运用弧长公式和扇形面积公式,提高学生解决问题的综合能力.1.弧长的计算公式及运用;2.扇形的面积公式及运用;3.弧长l及扇形的面积S之间的关系公式及运用.1.(2014·云南中考)已知扇形的圆心角为45°,半径长为12,则该扇形的弧长为()A.B.2π C.3π D.12π解析:根据弧长公式可得l==3π.故选C.2.如图所示,半径为1的圆中,圆心角为120°的扇形面积为()A.B. C.π D.π解析:由扇形面积公式得S==.故选C.3.(呼伦贝尔中考)150°的圆心角所对的弧长是5πcm,则此弧所在圆的半径是cm.解析:设圆的半径为x cm,由题意得=5π,解得x=6.故填6.4.如图所示,一个圆心角为90°的扇形,半径OA=2,那么图中阴影部分的面积为(结果保留π).解析:S扇形===π,S△AOB=×2×2=2,则S阴影=S扇形-S△AOB=π-2.故填π-2.5.如图(1)所示,AB是☉O的直径,且AB=4,AC是弦,∠CAB=40°,求劣弧BC和弦AC的长.(弧长计算结果保留π,弦长精确到0.01)解:连接OC,BC,如图(2)所示,∵∠CAB=40°,∴∠COB=80°,∴劣弧BC的长==,∵AB为直径,∴∠ACB=90°,在Rt△ACB中,cos40°==,∴AC=4cos40°≈4×0.766≈3.06.9弧长及扇形的面积1.弧长的计算公式:l=πR.=πR2.2.扇形的面积公式:S扇形=lR.3.弧长l及扇形的面积S之间的关系:S扇形一、教材作业【必做题】1.教材第101页随堂练习第1,2题.2.教材第102页习题3.11第1,2题.【选做题】教材第102页习题3.11第3,4题.二、课后作业【基础巩固】1.若扇形的半径为6,圆心角为120°,则此扇形的弧长是()A.3πB.4πC.5πD.6π2.(2014·莱芜中考)如图所示,AB为半圆的直径,且AB=4,半圆绕点B顺时针旋转45°,点A旋转到A'的位置,则图中阴影部分的面积为()A.πB.2πC.D.4π3.(2014·自贡中考)一个扇形的半径为8cm,弧长为πcm,则扇形的圆心角为.4.(2015·重庆中考)如图所示,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AB=4.以A为圆心,AC长为半径作弧,交AB于点D,则图中阴影部分的面积是.(结果保留π)【能力提升】5.(2014·南充中考)如图所示,矩形ABCD中,AB=5,AD=12,将矩形ABCD按如图所示的方式在直线l上进行两次旋转,则点B在两次旋转过程中经过的路径的长是()A.πB.13πC.25πD.256.(2014·重庆中考)如图所示,△OAB中,OA=OB=4,∠A=30°,AB与☉O相切于点C,则图中阴影部分的面积为.(结果保留π)7.如图所示,☉O的半径等于1,弦AB和半径OC互相平分于点M.求扇形OACB的面积.(结果保留π)8.如图所示,已知图中☉O的半径为1,∠AOB=120°,求阴影部分的面积.9.如图所示,线段AB与☉O相切于点C,连接OA,OB,OB交☉O于点D,已知OA=OB=6,AB=6.(1)求☉O的半径;(2)求图中阴影部分的面积.【拓展探究】10.如图所示,在矩形ABCD中,AB=2DA,以点A为圆心,AB为半径的圆弧交DC于点E,交AD的延长线于点F,若DA=2.(1)求线段EC的长;(2)求图中阴影部分的面积.【答案与解析】1.B (解析:∵扇形的半径为6,圆心角为120°,∴此扇形的弧长==4π.故选B .)2.B (解析:∵S 阴影=S 扇形ABA'+S 半圆-S 半圆=S 扇形ABA'==2π.故选B .)3.120°(解析:设扇形圆心角为n °,根据弧长公式可得=π,解得n =120.)4.8-2π(解析:∵在等腰直角三角形ABC 中,∠ACB =90°,∴∠A =∠B =45°,∵AB =4,∴AC =BC =AB ×sin 45°=4,∴S △ACB =×AC ×BC =×4×4=8,S 扇形ACD ==2π,∴图中阴影部分的面积是8-2π.)5.A (解析:点B 所经过的路径如图所示,连接BD ,B'D ,∵AB =5,AD =12,∴BD ==13,∴的长==,∵的长==6π,∴点B 在两次旋转过程中经过的路径的长是+6π=.故选A .)6.4-(解析:连接OC ,∵AB 与圆O 相切,∴OC ⊥AB ,∵OA =OB ,∴∠AOC =∠BOC ,∠A =∠B =30°,在Rt△AOC 中,∠A =30°,OA =4,∴OC =OA =2,∠AOC =60°,∴∠AOB =120°,AC ==2,∴AB =2AC =4,则S 阴影=S △AOB -S 扇形=×4×2-=4-.)7.解:∵弦AB 和半径OC 互相平分,∴OC ⊥AB ,OM =MC =OC =OA.在Rt△OAM 中,sin A ==,∴∠A =30°.又∵OA =OB ,∴∠B =∠A =30°,∴∠AOB =120°.∴S 扇形==.8.解:如图所示,过点O 作OC ⊥AB 于点C ,∵∠AOB =120°,OA =OB ,∴∠OAC =30°,在Rt△OAC 中,OC =OA =,AC =OC =,∴AB =2AC =,则S △AOB =AB ×OC =,S 扇形AOB ==,故S 阴影=S 扇形AOB -S △AOB =-.9.解:(1)连接OC ,则OC ⊥AB.∵OA =OB ,∴AC =BC =AB =×6=3.在Rt△AOC 中,OC ===3,∴☉O 的半径为3.(2)∵OC =OA ,∴∠A =30°,∠AOC =∠COD =60°.∴扇形OCD 的面积为S 扇形OCD ==π,∴阴影部分的面积为S 阴影=S Rt△OBC -S 扇形OCD =OC ·CB -π=-π.10.解:(1)∵在矩形ABCD 中,AB =2DA ,DA =2,∴AB =AE =4,∴DE ==2,∴EC =CD -DE =4-2.(2)∵sin∠DEA ==,∴∠DEA =30°,∴∠EAB =30°,∴图中阴影部分的面积为:S 扇形FAB -S △DAE -S 扇形EAB =-×2×2-=-2.本节课在教学中学生的“探究活动”贯穿整节课,探究过程教师引导学生自己根据已有的知识一步一步推导公式,这样既能使学生有成就感,又能培养他们的探索能力,还能使所学知识掌握得比较牢固,这样运用公式进行计算来解决问题就比较容易了.对于难度稍大的问题采取了小组合作方式,小组合作学习的实践活动让学生成了学习的主人,有效地提高了主动探索、解决问题的能力.本节课虽然应用直观形象的手段,让学生经历了知识的生成过程,但因学生水平的差异,在应用弧长和扇形面积公式时有部分人混淆方法.再教时,不再因为由于时间紧张而忽视对学生的积极表现给予评价,要多鼓励表扬,以提高学生学习的兴趣.随堂练习(教材第101页)1.解:如图所示,连接OA ,OB ,∵OD =12cm ,CD =6cm ,∴OC =OD -CD =12-6=6(cm ),∴cos∠AOC ===,∴∠AOC =60°,∴AC =OA ·sin∠AOC =12×=6,AB =2AC =12.∴∠AOB =2∠AOC =2×60°=120°,∴S 阴影=S 扇形OAB -S△OAB=-×6×12=(48π-36)cm 2.2.解:(1)设内圈半径为r m .由题意得200=2πr ,解得r ≈31.8.(2)设外圈半径为R.由题意得R =r +6=37.8.则一个外圈弯道的长=×2πR ≈118.7(m ),所以一个内圈弯道与一个外圈弯道的长相差118.7-100=18.7(m ).习题3.11(教材第102页)1.解:由弧长公式l =,可得4π=,解得R =7.2(cm ).2.解:设点P 旋转了n °,根据题意得10=,解得n ≈115.∴点P 大约旋转了115°.3.解:l ===2.5π≈7.85(cm ).故商标纸的长约为7.85cm .4.解:∵=,解得θ≈137.5°,∴S 纸=S 大扇形-S 小扇形≈(202-52)≈449.7(cm 2).故至少要用449.7×2=899.4cm 2的纸.复习题(教材第103页)1.解:图(4)既是轴对称图形又是中心对称图形.2.解:过O 作OC ⊥AB 于C ,则AC =BC =AB.∵∠AOB =120°,∴∠A =∠B =30°,∴OC =OA =×20=10(cm ).在Rt △AOC 中,AC ===10(cm ),∴AB =20cm .∴S △AOB =AB ·OC =×20×10=100(cm 2).3.解:如图所示,∵AB =0.72m ,∴BD =AB =0.36m .设圆的半径为R ,则OD =OC -CD =(R -0.25)m .在Rt△OBD 中,∵OD 2+DB 2=BO 2,∴(R -0.25)2+0.362=R 2,解得R ≈0.384.4.解:CD =CE.连接OC ,∵=,∴∠AOC =∠BOC.∵OA =OB ,D ,E 分别是OA ,OB 的中点,∴OD =OE.又∵OC =OC ,∴△OCD ≌△OCE ,∴CD =CE.5.解:OD∥AC.∵∠DAB =30°,∴∠DOB =60°.又∵∠COD =60°,∴∠AOC =60°.∵OA =OC ,∴∠ACO =60°.∴∠ACO =∠COD ,∴OD∥AC.6.解:∠ABE =∠ADE ,∠BAD =∠BED ,∠ACD =∠ABD ,∠CDA =∠CEA 等.7.解:∵=,∴+=+,即==180°,∴所对的圆周角等于90°.8.解:∵AB 是☉O 的直径,∴∠ACB =90°.又∵∠A +∠B =90°,∠B +∠BCD =90°,∴∠A =∠BCD ,∴△ACD ∽△CBD ,∴=,即=,解得AD =4cm 或AD =9cm .∵AD <BD ,∴AD =4cm .9.提示:由于三角形的外心是三角形三边中垂线的交点,可作△ABC 的任意两边的垂直平分线,它们的交点即为△ABC 的外接圆的圆心(设圆心为O ).以O 为圆心,OB 长为半径作圆,即可得出△ABC 的外接圆.图略.10.提示:分别作∠A ,∠B 的平分线交于O 点,以O 为圆心,O 到AB 的距离为半径作☉O ,则☉O 即为△ABC 的内切圆.图略.11.解:连接OC ,∵AB 切☉O 于C ,∴OC ⊥AB.∵OA =OB ,∴AC =BC =AB =5cm .∵☉O 的直径为8cm ,∴OC =4cm ,∴OA ===(cm ).12.解:从左往右依次填:第一行:120°2163第二行:90°90°284第三行:120°60°2212613.解:如图所示,过点O 作OH ⊥CD 交CD 于点H ,连接OC ,OD ,∴CH =CD ,∵☉O 的周长等于6πcm ,∴☉O 的半径为3cm ,∵正六边形的边长等于半径,∴△OCD 是等边三角形,∴CD =OC =3cm ,∴CH =cm ,∴OH ==(cm ),∴S 正六边形ABCDEF =6S △COD =6××3×=(cm 2).14.解:如图所示,连接OB ,∵六边形ABCDEF 是正六边形,∴∠AOB ==60°,∴∠ADB =∠AOB =×60°=30°.15.解:△ABC 为等边三角形.∵OD ⊥BC ,OE ⊥AC ,OD =OE ,∴AC =BC.又∵=,∴AB =BC ,∴AB =BC =AC ,即△ABC 为等边三角形.16.解:1×÷2+×3=.17.解:弓形的面积=扇形的面积-三角形的面积,利用垂径定理可知扇形所对的圆心角是120度,所以-×4×2=cm 2.18.解:(1)点P 在☉O 外.(2)点P 可能在☉O 外,也可能在☉O 内,还可能在☉O 上.19.提示:运动一圈,☉P 与△OBC 的边相切6次.☉P 与△OBC 的边相切时,点P 的位置分别是PO =2(点P 在OB 上或OC 上),PB =2(点P 在BC 上或OB 上),PC =2(点P 在BC 上或OC 上).20.提示:(1)分别以A ,C 为圆心,以AP 为半径作弧,两弧相交于点O ,再以点O 为圆心,以OA 为半径作弧.(2).21.解:(1)当直线l 与直线AB 不垂直时,只能作一个圆.(2)当直线l 与直线AB 垂直,但不经过AB 中点时,不能作圆.(3)当直线l 是线段AB 的垂直平分线时,可以作无数个圆.22.解:设AB ,BC ,AC 分别与☉O 切于点D ,E ,F ,连接OA ,OB ,OC ,OD ,OE ,OF.∵☉O 的半径是r ,∴OD =OE =OF =r ,∵☉O 是△ACB 的内切圆,∴OE ⊥BC ,OF ⊥AC ,OD ⊥AB ,∵△ABC 的周长为l ,∴AC +BC +AB =l ,∴S △ABC =S △ACO +S △BCO +S △ABO =×AC ×r +×BC ×r +×AB ×r =(AC +BC +AB )×r =lr ,即△ABC 的面积是lr.23.答案不唯一.如测量、将纸片对折等.24.解:连接BD 交AC 于O ,则OA =OC =AC =1m ,∴S ☉O =πr 2=πm 2.∵AD =1m ,AC =2m ,∴∠ACD =30°,∠BOC =∠AOD =60°,CD ===(m ),∴S 矩形ABCD =AD ·CD =(m 2),S 弓形BC =S 扇形BOC -S △OBC =-×=-(m 2),∴S 打掉=S ☉O -S 矩形ABCD -S 弓形BC=π--=-≈1.3(m 2).25.解:∵AB =30cm ,BD =20cm ,∴AD =10cm ,∴S 纸=2(S 大扇形-S 小扇形)=2×=(302-102)≈1674.7(cm 2).26.解:S 扇形=≈17.1(m 2).27.解:连接OA',OB',∵AA',BB'是☉O 的切线,∴∠AA'O =∠BB'O =90°.∵AB =40km ,O 是AB 的中点,∴AO =OB =AB =20km .又∵OA'=OB'=10km ,∴∠A =∠B =30°,∠AOA'=∠BOB'=60°,∴AA'=BB'===10(km ).易知∠A'OB'=60°,∴=×2π×10=π(km ).∴公路长=20+π≈45.1(km ).28.解:过点O作OC⊥AB于点C,则AC=BC=AB=×30=15(m).∵OA=20m,∴OC===5(m),∴S△=AB·OC=×30×5=75(m2).在Rt△AOC中,sin∠AOC====0.75.∴∠AOC≈48°35',∴∠AOB≈AOB≈=π(m2).∴S弓形(阴影)≈π-75≈140(m2).∴大约有140×3=420名观众在看马戏. 97°,∴S扇形AOB31.提示:圆的面积最大.理由如下:S≈173.2m2;S正方形=225m2;S正六边形≈259.8m2;S圆≈286.5m2.正三角形32.解:连接AD,BC,∵=,∴AD=BC.∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°,∴BC==,即AD=.33.解:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵∠ACB=∠ADB,∴∠ABC=∠ADB.又∵∠BAE=∠DAB,∴△ABE∽△ADB,∴=,∴AB2=AD·AE=6×2=12,∴AB=2.34.解:如图所示,过点A作AB⊥OM于点B,∵∠MON=53°,∴∠AOM=90°-53°=37°.在Rt△ABO中,∵sin∠AOB=,∴AB=AO·sin∠AOB=200×sin37°≈120(m).∴学校在该货车噪声污染范围内.BC==50(m),∴CD=100m.∴受噪音污染的时间为100÷5=20(秒).35.解:会穿过森林公园.因为=tan45°=1,所以BH=AH.又因为=tan30°=,所以HC=AH.所以BC=BH+HC=AH+AH=(+1)AH.又因为BC=500m,所以(+1)AH=500.所以AH=250(-1)m.而250(-1)<300,故此公路会穿过森林公园.1.本节课的难点是弧长和扇形面积的公式的推导,对于弧长公式的推导学生可以运用“由特殊到一般”的数学思想进行探究.2.运用类比弧长公式的探究方法探究扇形的面积公式;类比三角形面积公式记忆弧长l及扇形的面积S之间的关系:S=lR.扇形3.两个公式的应用是本节课的重点,要注意两个公式之间的区别与联系,达到熟练运用的程度.(2014·滨州中考)如图所示,点D在☉O的直径AB的延长线上,点C在☉O上,AC=CD,∠ACD=120°.(1)求证CD是☉O的切线;(2)若☉O的半径为2,求图中阴影部分的面积.〔解析〕(1)连接OC,只需证明∠OCD=90°.根据等腰三角形的性质即可证明;(2)阴影部分的面积即为直角三角形OCD的面积减去扇形COB的面积.证明:(1)如图所示,连接OC.∵AC=CD,∠ACD=120°,∴∠A=∠D=30°.∵OA=OC,∴∠2=∠A=30°.∴∠OCD=90°.∴CD是☉O的切线.解:(2)由(1)知∠A=30°,∴∠1=2∠A=60°.==.∴S扇形BOC在Rt△OCD中,∵=tan60°,∴CD=2.=OC×CD=×2×2=2.∴SRt△OCD∴图中阴影部分的面积为2-.[解题策略]此题综合考查了等腰三角形的性质、切线的判定方法、扇形的面积的计算.第10节本章复习教案。
北师大版九年级数学下册3.9弧长及扇形的面积学案
3.9弧长及扇形的面积目标导航1、 经历探究弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程， 认识弧长计算公式及扇形面积的计算公式，并会应用公式解决问题． 2、弧长计算公式及理解，弧长公式lnR，此中 R 为圆的半径， n 为圆弧所对的圆心角180的度数，不带单位．因为整个圆周可看作360°的弧，而 360°的圆心角所对的弧长为圆周长1R，可得半径为 R 的圆中， n °的圆C=2πR，因此 1°的圆心角所对的弧长是 360 ×2πR，即180心角所对的弧长n Rl．1803 、圆心角是1°的扇形的面积等于圆面积的1 n °的扇形面积是 S ，因此圆心角是扇形360n2R 带平方，= 360 πR．要注意扇形面积公式与弧长公式的差别与联系（扇形面积公式中半径 分母为 360；而弧长公式中半径R 不带平方，分母是 180）．已知 S 扇形 、l 、 n 、 R 四量中随意两个量，都能够求出此外两个量．扇形面积公式 S 1扇 = lR ，与三角形的面积公式有些近似．只需把扇形当作一个曲边三2 角形，把弧长看作底， R 看作高就比较简单记了．基础过关1．半径为 9cm 的圆中，长为 12 cm 的一条弧所对的圆心角的度数为______；60°的圆心角所对的弧的长为 ________．2．弯制管道时，先按中心线计算其 “展直长度 ”，再下料． 依据如下图的图形可算得管道 的展直长度为 _______．（单位： mm ，精准到 1mm ）．R120180100FECA 'CBAABC '2题图3题图5题图3．设计一个商标图形（如下图），在 △ ABC 中， AB=AC=2cm ，∠ B=30 °，以 A 为圆心，AB 为半径作 BEC ，以 BC 为直径作半圆BFC ，则商标图案面积等于________cm 2．4．扇形的弧长为 20cm ，半径为 5cm ，则其面积为 _____．5．如图，在 Rt △ ABC 中，∠ C=90 °，∠ A=60 °， AC=3 ，将 △ ABC 绕点 B 旋转至 △ A ′BC ′的地点，且使点 A ， B ，C ′三点在同向来线上，则点 A 经过的最短路线长是______cm ．6．如图，扇形 AOB 的圆心角为 60°，半径为 6cm ， C 、D 分别是 AB 的三平分点，则暗影部分的面积是 ________．ACA 滑CO轮DGD EF重OBA AA 2A 3B物16 题图8 题图9 题图7．秋千拉绳长 3 米，静止时踩板离地面 0.5 米，一小朋友荡该秋千时，秋千最高处踩板离地面 2 米（左，右对称） ，则该秋千所荡过的圆弧长为（）A ． 米B ．2 米C ．4米D ．3米328．如图的五个半圆， 周边的两半圆相切， 两只上虫同时出发， 以同样的速度从 A 点到 B 点， 甲虫沿 ADA 1 、 A 1 EA 2 、 A 2 FA 3 、 A 3GB 路线爬行，乙虫沿 ACB 路线爬行，则以下结论正确的选项是（ ）A ．甲先到B 点B ．乙先到 B 点C ．甲、乙同时到 B 点D ．没法确立9．一个滑轮起重装置如下图，滑轮的半径是10cm ，当重物上涨10cm 时， 滑轮的一条半径 OA 绕轴心 O 按逆时针方向旋转的角度约为 （假定绳子与滑轮之间没有滑动， 取 3.14，结果精准到 1°）（）A ． 115 °B ．60°C ．57°D ． 29°10．一个扇形的弧长是20 cm ，面积是 240cm 2，那么扇形的圆心角是（）A ． 120 °B ．150 °C ．210 °D ． 240 °11．如图，在平面直角坐标系中，已知⊙ D 经过原点 O ，与 x 轴、 y 轴分别交于 A 、B 两点，B 点坐标为（ 0，2 3 ），OC 与⊙D 订交于点 C ，∠ OCA=30 °，则图中暗影部分的面积为 （）A ．223B ． 43C ．423D ． 23CByCDODOAxAB11 题图12 题图12．如图， Rt △ ABC 中，∠ ABC=90 °， AB=BC=2 ，以 BC 为直径的圆交 AC 于点 D ， 则图中暗影部分的面积为（ ）A ． 2B ． 1C ．1D ． 24213．已知，一条弧长为 2 3 cm，它所对的圆心角为120 °，求这条弧所对的弦长．14．如图是一把绸扇，线段AD 、BC 所在的直线订交于点O，AB 与 CD 是以点 O 为圆心、半径分别为10cm， 20cm 的圆弧，且∠ AOB=150°，这把绸扇的绸布部分ADCB 的面积是多少 ?（不考虑绸布的折皱，结果用含的式子表示）D CABO能力提高15．如图，已知⊙O 半径为 8cm，点 A 为半径 OB 延伸线上一点，射线AC 切⊙ O 于点 C，BC 的长为20cm，求线段AB 的长（精准到0.01cm）．9ABCO16．如图是一管道的横截面表示图，某工厂想丈量管道横截面的面积，工人师傅使钢尺与管道内圆相切并与外圆交于 A、 B 两点，丈量结果为 AB=30cm ，求管道暗影部分的面积．A B 17．一服饰厂里有大批形状为等腰直角三角形的边角布料，如下图，现找出此中一种，测得∠ C=90°，AC=BC=4，今要从这类三角形中剪出一种扇形，做成形状不一样的玩具，使扇形的边沿半径恰巧都在△ ABC 的边上，且扇形的弧与△ABC 的其余边相切，请设计出全部可能切合题意的方案表示图，并直接写出扇形的半径．AC B聚沙成塔如图，正△ ABC 的边长为1cm，将线段 AC 绕点 A 顺时针旋转120 °至 AP1，形成扇形D 1；将线段 BP1绕点 B 顺时针旋转120°至 BP2，形成扇形D2；将线段 CP2绕点 C 顺时针旋转 120°至 CP3，形成扇形 D3；将线段 AP3绕点 A 顺时针旋转 120°至 AP4，形成扇形 D 4，设l n为扇形 D n的弧长（ n=1， 2， 3），回答以下问题：（ 1）按要求填表：n1234l n（ 2）依据上表所反应的规律，试预计n起码为什么值时，扉形D n的弧长能绕地球赤道一周 ?（设地球赤道半径为6400km）．P3D4C D1D3BP1P4AP2D2。
北师大版九年级数学下 3.9 弧长及扇形的面积 教案
3.9 弧长及扇形的面积1．了解扇形的概念，理解n °的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它们的应用；(重点)2．通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n °的圆心角所对的弧长l ＝n πR180和扇形面积S 扇＝n πR 2360的计算公式，并应用这些公式解决一些问题．(难点)一、情境导入如图是圆弧形状的铁轨示意图，其中铁轨的半径为100米，圆心角为90°.你能求出这段铁轨的长度吗(π 取3.14)?我们容易看出这段铁轨是圆周长的14，所以铁轨的长度l ≈2×3.14×1004＝157(米). 如果圆心角是任意的角度，如何计算它所对的弧长呢？二、合作探究探究点一：弧长公式 【类型一】 求弧长如图，某厂生产横截面直径为7cm 的圆柱形罐头盒，需将“蘑菇罐头”字样贴在罐头侧面．为了获得较佳视觉效果，字样在罐头盒侧面所形成的弧的度数为90°，则“蘑菇罐头”字样的长度为( )A.π4cmB.7π4cmC.7π2cm D ．7πcm 解析：∵字样在罐头侧面所形成的弧的度数为90°，∴此弧所对的圆心角为90°.由题意可得R ＝72cm ，则“蘑菇罐头”字样的长＝90π×72180 ＝7π4(cm)．故选B.方法总结：解答本题关键是根据题意得出圆心角及半径，代入弧长公式进行计算． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题【类型二】 利用弧长公式求半径或圆心角(1)已知扇形的圆心角为45°，弧长等于π2，则该扇形的半径是________；(2)如果一个扇形的半径是1，弧长是π3，那么此扇形的圆心角的大小为________．解析：(1)若设扇形的半径为R ，则根据题意，得45×π×R 180＝π2，解得R ＝2；(2)根据弧长公式得n ×π×1180＝π3，解得n ＝60，故扇形圆心角的大小为60°.故答案分别为2；60°.方法总结：逆用弧长的计算公式可求出相应扇形的圆心角和半径．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题与第4题 【类型三】 圆的切线与弧长公式的综合如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，点E 在⊙O 外，∠EAC ＝∠D .(1)求证：AE 是⊙O 的切线；(2)当BC ＝4，AB ＝8时，求劣弧AC 的长．解析：(1)连接BC ，由AB 是⊙O 的直径，根据半圆(或直径)所对的圆周角是直角，可得∠ACB ＝90°，又由∠EAC ＝∠D ，则可得AE 是⊙O 的切线；(2)首先连接OC ，易得∠ABC ＝60°，则可得∠AOC ＝120°，由弧长公式，即可求得劣弧AC 的长．(1)证明：如图，连接BC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠BAC ＋∠ABC ＝90°.又∵∠EAC ＝∠D ，∠B ＝∠D ，∴∠BAC ＋∠CAE ＝90°，即BA ⊥AE ，∴AE 是⊙O 的切线；(2)解：如图，连接OC ，∵△ABC 是直角三角形，∴sin ∠BAC ＝BC AB ＝48＝12，∴∠BAC＝30°，∴∠ABC ＝60°，∴∠AOC ＝120°.∴劣弧AC 的长＝120·π×4180＝8π3.方法总结：此题考查了切线的判定、圆周角定理以及弧长公式等知识．注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．探究点二：扇形的面积公式 【类型一】 求扇形面积一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为________(结果保留π)．解析：把圆心角和半径代入扇形面积公式S ＝n πr 2360＝120×32π360＝3π.故答案为3π.方法总结：公式中涉及三个字母，只要知道其中两个，就可以求出第三个．扇形面积还有另外一种求法S ＝12lr ，其中l 是弧长，r 是半径．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题 【类型二】 求阴影部分的面积如图，扇形AOB 中，半径OA ＝2，∠AOB ＝120°，C 是AB ︵的中点，连接AC 、BC ，则图中阴影部分的面积是( )A.4π3－2 3 B ．2π－2 3 C.4π3－ 3 D.2π3－ 3 解析：连接OC ，过O 作OM ⊥AC 于M ，∵∠AOB ＝120°，C 为AB ︵中点，∴∠AOC ＝∠BOC ＝60°.∵OA ＝OC ＝OB ＝2，∴△AOC 、△BOC 是等边三角形，∴AC ＝BC ＝OA ＝2，AM ＝1，∴△AOC 的边AC 上的高OM ＝22－12＝3，△BOC 边BC 上的高为3，∴阴影部分的面积是(60π×22360－12×2×3)×2＝4π3－2 3.故选A.方法总结：本题考查了扇形的面积、三角形的面积、等边三角形的判定和性质，解决此题要利用扇形的面积公式求出各部分的面积．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题 【类型三】 求不规则图形的面积如图，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为( )A ．4π－2B ．2π－2C ．4π－4D ．2π－4解析：连接AB ，由题意得阴影部分面积＝2(S 扇形AOB －S △AOB )＝2(90π×22360－12×2×2)＝2π－4.故选D.方法总结：关键是需要同学们仔细观察图形，将不规则图形的面积转化为规则图形的面积的和或差．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题 三、板书设计弧长及扇形的面积1．弧长公式：l ＝n πR1802．扇形的面积公式：S扇形＝nπR2360＝21错误！未找到引用源。
九年级数学下册 3.9 弧长及扇形的面积教案2 北师大版(2021年整理)
九年级数学下册3.9 弧长及扇形的面积教案2 （新版）北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（九年级数学下册3.9 弧长及扇形的面积教案2 （新版）北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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课题：3。
9 弧长及扇形的面积教学目标：1、经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程；掌握弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题．2、经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程,培养探索能力，训练数学运用能力。
3、通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题，体验数学与人类生活的密切联系，激发学习数学的兴趣，提高学习积极性，同时提高对知识的运用能力。
教学重点与难点：重点：弧长和扇形面积公式，准确计算弧长和扇形的面积。
难点：运用弧长和扇形的面积公式计算比较复杂图形的面积。
课前准备：直尺、圆规、多媒体课件.教学过程：一、创设情境,引入新课：师：同学们，还记得唐代诗人王之涣的《登鹳雀楼》这首诗吗？白日依山尽,黄河入海流。
欲穷千里目,更上一层楼.你能求出这幢楼至少该有多高吗？生活中有没有这样的楼？让我们拭目以待。
(板书课题:弧长及扇形的面积）【设计意图】通过诗情画意的展示,调动学生学习的积极性，激发起进一步学习的兴趣，吸引学生的注意力，为新课的学习做铺垫.二、自主先学, 合作探究：【自主先学一】【多媒体展示】：问题：（1）圆的圆心角（圆周角）是多少度？（2）圆的周长公式是什么？【合作探究一】弧长的计算公式：你能探讨出在半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的弧长的计算公式吗?请大家互相交流： 360°的圆心角对应圆周长为2πR ，那么1°的圆心角对应的弧长为______，n °的圆心角对应的弧长应为1°的圆心角对应的弧长的n 倍，即_________.师生归纳：在半径为R 的圆中,n °的圆心角所对的弧长的计算公式为： 180Rn l π=. 【活动方式】学生先独立思考,小组讨论,并派代表在全班交流,师解答释疑. 【友情提示】在应用弧长公式l=180Rn π进行计算时，要注意公式中n 的意义,n 表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的. 【学以致用】【多媒体展示】【活动方式】学生先独立思考，小组讨论，并派代表在全班交流,然后师生互动共同解析。
3 9弧长和面积导学案 北师大版数学九年级下册
第三章圆3.9 弧长及扇形的面积【学习目标】：1.让学生通过自主探索来认识扇形，掌握弧长和扇形面积的计算公式，并学会运用弧长和扇形面积公式解决一些实际问题.2.让学生经历弧长和扇形面积公式的推导过程，培养学生自主探索的能力.【学习重点】：掌握弧长和扇形面积的计算公式.【学习难点】：运用弧长和扇形面积公式解决一些实际问题.【学习过程】：一、预学：1、提出问题，创设情境问题（1）：半径为R的圆，周长是多少？面积是多少？2、目标导引，预学探究问题（2）：在半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长的计算公式为扇形面积的计算公式是：问题（X）：二、研学（合作发现，交流展示）探究一：弧长的计算1.如图,某传送带的一个转动轮的半径为10cm.(1)转动轮转一周,传送带上的物品A被传送多少厘米?（2）转动轮转1°,传送带上的物品A被传送多少厘米?（3）转动轮转n°,传送带上的物品A被传送多少厘米?2.归纳：在半径为R的圆中, n°的圆心角所对的弧长的计算公式为3. 制作弯形管道时,需要先按中心计算“展开长度”再下料.试计算图所示的管道的展直长度,即弧AB的长(结果用含π的式子表示).探究二：扇形面积的计算1.在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长3m 的绳子，绳子的一端拴着一只狗.（1）这只狗的最大活动区域有多大？(2)如果这只狗拴在夹角为1°的墙角 ，那么它的最大活动区域有多大？（3）如果这只狗拴在夹角为n °的墙角 ，那么它的最大活动区域有多大？2.归纳：如果扇形的半径为R , 圆心角为n °，那么扇形面积的计算公式为3.比较扇形面积与弧长公式, 你能用弧长表示扇形面积吗？4. 扇形AOB 的半径为12cm, ∠AOB=120°,求AB 的长(结果精确到0.1cm)和扇形AOB 的面积(结果精确到0.1cm 2)。
探究X ：总结归纳：1. 弧长和扇形面积公式是什么？ 2.分析用公式计算时需要知道的量。
北师大版九年级数学下册：3.9弧长和扇形的面积 学案
13.9弧长和扇形的面积一、探究新知探究1 弧长的计算1、写出半径为R 的圆的周长计算公式： ；2、圆的半径为3cm ，那么，1°的圆心角所对的弧长是3、若在半径为R 的圆中， 1°的圆心角所对的弧长是2°的圆心角所对的弧长是3°的圆心角所对的弧长是4、在半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的弧长的计算公式为：l= 。
5、新知应用（1）在半径为24的圆中，60°的圆心角所对的弧长l= ；（2）75°的圆心角所对的弧长是2.5π，则此弧所在圆的半径为 。
探究 2 扇形面积的计算1、认识概念： 是扇形。
2、写出半径为R 的圆的面积公式 。
3、如果扇形的半径为R ，圆心角为n °，那么扇形面积的计算公式为：S 扇= 。
4、新知应用（1）若扇形的圆心角n 为50°，半径为R=1，则这个扇形的面积，S 扇= ;（2）若扇形的圆心角n 为60°, 面积为π32,则这个扇形的半径R= ; （3）若扇形的半径R=3, S 扇形＝3π,则这个扇形的圆心角n 的度数 ;探究 3 扇形的面积与弧长的关系1、如果扇形的半径为R ，圆心角为n °。
那么，扇形的弧长是 ，扇形面积是 ；由此,得到扇形面积计算公式: S 扇形＝ 。
2、新知应用：若扇形的半径R=2㎝,弧长π34=l ㎝，则这个扇形的面积，S 扇= ； 二、拓展提升弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.弦AB 把圆面分成两部分，这两部分都是弓形．2 例题：如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是12cm ，其中水面高6cm ，求截面上有水部分的面积。
变式：如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是6cm ，其中水面高9cm ，求截面上有水部分的面积。
总结：（1）当弓形面积小于半圆时， （2）当弓形面积大于半圆时， （3）当弓形面积等于半圆时，三、课后作业1、半径为3cm ，圆心角为120°的扇形的面积为（ ）A ．6πcm 2B ．5πcm 2C ．4πcm 2D ．3πcm 22、已知扇形的圆心角为60°，半径为5，则扇形的周长为（ ）A ．35πB ．35π＋10C ．65πD ．65π＋10 3、弧长等于半径的圆弧所对应的圆心角是（ ）A ．π︒360B ．π︒180C ．π︒90D ．60°4、已知圆的周长是6π，那么60°的圆心角所对的弧长是（ ）A ．3B ．3πC ．6D ．π3 5、正三角形ABC 内接于半径为2cm 的圆，则AB 所对弧的长为（ ）A ．32πB ．34π C ．38π D ．34π或38π6、如图，在两个同心圆中，两圆半径分别为2，1，∠AOB=120°，则阴影部分面积是（ ）A ．4πB ．2πC ．34πD ．π7、如图1所示，⊙O 、⊙T 、⊙Q 半径均为1，则三个扇形的的面积之和为 。
北师大版数学九年级下册第三章 3.9 弧长及扇形的面积(导学案,无答案)
3.9弧长及扇形的面积一、教学目标1.让学生通过自主探索来认识扇形，掌握弧长和扇形面积的计算公式，并学会运用弧长和扇形面积公式解决一些实际问题.2.让学生经历弧长和扇形面积公式的推导过程，培养学生自主探索的能力；在利用弧长和扇形面积公式解题中，培养学生应用知识的能力，空间想象能力和动手画图能力，体会由一般到特殊的数学思想.二、教学重点和难点重点：弧长和扇形面积公式的推导及应用．难点：弧长和扇形面积公式的推导及应用三、教学过程（一）情境引入：在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长3m的绳子，绳子的一端拴着一只狗. （1）这只狗的最大活动区域有多大？这个区域的边缘长是多少？（2）如果这只狗拴在夹角为120°的墙角，那么它的最大活动区域有多大？这个区域的边缘长是多少？（二）探究新知：【探究一】弧长公式1.如图,某传送带的一个转动轮的半径为10cm.⑴转动轮转一周,传送带上的物品A被传送多少厘米?⑵转动轮转1°,传送带上的物品A被传送多少厘米?⑶转动轮转n°,传送带上的物品A被传送多少厘米?因此，在半径为R 的圆中，n ︒的圆心角所对的弧长的计算公式为l =__________________________2练习：已知圆弧的半径为50厘米，圆心角为60°，求此圆弧的长度。
【探究二】扇形面积公式1.如图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形2.问：右图中扇形有几个？要求扇形的面积，同求弧长的思维一样，应思考圆心角为1︒的扇形面积是圆面积的几分之几？进而求出圆心角n 的扇形面积。
如果设圆心角是n °的扇形面积为S ，圆的半径为R ，那么扇形的面积为S 扇形= ___ .3.比较扇形面积公式与弧长公式，你能用弧长来表示扇形的面积吗？S 扇形= ___4.因此扇形面积的计算公式为S 扇形= ___ 或 S 扇形= ___ 5练习:⑴已知扇形的半径为50厘米，圆心角为60°，求此扇形的面积。
2019九年级数学下册 3.9 弧长及扇形的面积导学案(无答案)(新版)北师大版
弧长及扇形的面积
第1课时导学提纲
班级：_________姓名：______________小组：_______________
学习目标：
经历探索弧 长计算公式及扇形面积计算公式的过程，了解弧长计算公式及扇形面积的计算公式，并会应用公式解决问题．
学习重点：弧长及扇形面积的应用
学习难点：弧长长计算公式及理解：弧长公式 ，其中R为圆的，n为 ．由于整个圆周可看作360°的弧，而360°的圆心角所对的弧长为圆周长C=2πR，所以1°的圆心角所对的弧 长是 ×2πR，即 ，可得半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长【 】．
2、半径为R的圆的面积是，圆心 角是1°的扇形的面积 等于圆面积的，所以圆心角是n°的扇形面积是【 】.
2．扇形的弧长为 20cm，半径为5cm，则其面积为_____．
3．秋千拉绳长3米，静止时踩板离地面0.5米，一小朋友荡该秋千时，秋千最高处踩板离地面2米（左，右对称），则该秋千所荡过 的圆弧长为（）
A． 米B．2 米C． 米D． 米
3.一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为______(结果保留π)．
4．已知，一条弧长为 cm，它所对的圆心角为120°，求这条弧所对的弦长．
5．如图是一把绸扇，线段AD、BC所在的 直线相交于点O， 与 是以点O为圆 心、半径分别为10cm，20cm的圆弧，且∠AOB=150°，这把绸扇的绸布部分ADCB的面积是多少?（不考虑绸布的折皱，结果用含 的式子表示）
6.如图，扇形AOB中，半径OA＝2，∠AOB＝120°，C是 的中点，连接AC、BC，求图中阴影部分的面积是.
二、探究未知
请写出你在第一部分“基础感知”中没弄明白的地方：
九年级下册数学(北师大)教案：弧长及扇形的面积学案
24.4.1 弧长及扇形的面积学习目标:掌握弧长计算公式及扇形面积的计算公式，并会应用公式解决问题。
学习重点:弧长及扇形面积计算公式。
学习难点:利用弧长公式时应注意的问题及扇形面积公式的灵活运用。
学习过程:预习课本110页—112页的内容，完成下列题目。
一、弧长计算公式。
1、半径为R的圆的周长计算公式为__________，圆的周长可以看作是______度的圆心角所对的弧长。
2、设圆的半径为R，1°的圆心角所对的弧长是_______；2°的圆心角所对的弧长是______；4°的圆心角所对的弧长是_______； n°的圆心角所对的弧长是_______。
由此可得，在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长为________。
跟踪练习：1．在半径为12的⊙O中，150°的圆心角所对的弧长等于（）A．24πcm B．12πcm C．10πcm D．5πcm2．如果一条弧长等于ι，它的半径等于R，这条弧所对的圆心角增加1°，则它的弧长增加（）A．B．C．D．二、扇形面积计算公式。
1、了解扇形的概念。
2、半径为R的圆的面积计算公式为__________，圆的面积可以看作是______度的圆心角所对的扇形的面积。
3、设圆的半径为R，1°的圆心角所对的扇形面积为_______； 2°的圆心角所对的扇形面积为_______；5°的圆心角所对的扇形面积为_______；n°的圆心角所对的扇形面积为_______．由此可得，在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的扇形面积为_________。
4、在半径是R的圆中，n°的圆心角所对的弧长L为，n°的圆心角所对的扇形面积为=×.R=LR。
由此可得，在半径是R的圆中，扇形面积S扇形=LR，其中L为扇形的弧长。
跟踪练习：1．若扇形面积为3，半径为3，则弧长为_______，圆心角是________．2．如图3所示，三个圆是同心圆，图中阴影部分的面积为______．三、当堂练习。
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3.9 弧长及扇形的面积
目标导航 1、 经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程，了解弧长计算公式及扇形面积的计算公式，并会应用公式解决问题． 2、弧长计算公式及理解，弧长公式180
n R
l π=
，其中R 为圆的半径，n 为圆弧所对的圆心角的度数，不带单位．由于整个圆周可看作360°的弧，而360°的圆心角所对的弧长为圆周
长C =2πR ，所以1°的圆心角所对的弧长是3601×2πR ，即180
R
π，可得半径为R 的圆中，n °
的圆心角所对的弧长180
n R
l π=．
3、圆心角是1°的扇形的面积等于圆面积的
3601
，所以圆心角是n °的扇形面积是S 扇形
=360
n πR 2．要注意扇形面积公式与弧长公式的区别与联系（扇形面积公式中半径R 带平方，分母为360；而弧长公式中半径R 不带平方，分母是180）．已知S 扇形、l 、n 、R 四量中任意两个量，都可以求出另外两个量．
扇形面积公式S 扇=1
2
lR ，与三角形的面积公式有些类似．只要把扇形看成一个曲边三角
形，把弧长看作底，R 看作高就比较容易记了． 基础过关
1．半径为9cm 的圆中，长为12πcm 的一条弧所对的圆心角的度数为______；60°的圆心角所对的弧的长为________．
2．弯制管道时，先按中心线计算其“展直长度”，再下料． 根据如图所示的图形可算得管道的展直长度为_______．（单位：mm ，精确到1mm ）．
100︒
R120
180
F
E
C
B
A
A 'C '
C
B
A
2题图 3题图 5题图 3．设计一个商标图形（如图所示），在△ABC 中，AB =AC =2cm ，∠B =30°，以A 为圆心，AB 为半径作BEC ，以BC 为直径作半圆BFC ，则商标图案面积等于________cm 2
． 4．扇形的弧长为20cm ，半径为5cm ，则其面积为_____．
5．如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =60°，AC =3，将△ABC 绕点B 旋转至△A ′BC ′的位置，且使点A ，B ，C ′三点在同一直线上，则点A 经过的最短路线长是______cm ． 6．如图，扇形AOB 的圆心角为60°，半径为6cm ，C 、D 分别是AB 的三等分点， 则阴影部分的面积是________．
O
C
D
B
A
G
A 3
A 2
A 1F E C
D B
A 滑轮
重物
O
A
6题图 8题图 9题图
7．秋千拉绳长3米，静止时踩板离地面0.5米，一小朋友荡该秋千时， 秋千最高处踩板离地面2米（左，右对称），则该秋千所荡过的圆弧长为（ ）
A ．π米
B ．2π米
C ．43π米
D ． 3
2
π米
8．如图的五个半圆，邻近的两半圆相切，两只上虫同时出发，以相同的速度从A 点到B 点，
甲虫沿1ADA 、12A EA 、23A FA 、3A GB 路线爬行，乙虫沿ACB 路线爬行， 则下列结论正确的是（ ）
A ．甲先到
B 点 B ．乙先到B 点
C ．甲、乙同时到B 点
D ．无法确定 9．一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是10cm ，当重物上升10cm 时， 滑轮的一条半径OA 绕轴心O 按逆时针方向旋转的角度约为（假设绳索与滑轮之间没有滑动，π取3.14，结果精确到1°）（ ）
A ．115°
B ．60°
C ．57°
D ．29°
10．一个扇形的弧长是20πcm ，面积是240πcm 2
，那么扇形的圆心角是（ ）
A ．120°
B ．150°
C ．210°
D ．240°
11．如图，在平面直角坐标系中，已知⊙D 经过原点O ，与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，
B 点坐标为（0，23），O
C 与⊙
D 相交于点C ，∠OCA =30°，则图中阴影部分的面积为（ ）
A ．223π-
B ．43π-
C ．423π-
D ．23π-
x
y O
C
D B
A
O
C
D
A
11题图 12题图
12．如图，Rt△ABC 中，∠ABC =90°，AB =BC =2，以BC 为直径的圆交AC 于点D ， 则图中阴影部分的面积为（ ）
A ．2
B ．12
π
+
C ．1
D ．24
π
-
13．已知，一条弧长为23πcm，它所对的圆心角为120°，求这条弧所对的弦长．
14．如图是一把绸扇，线段AD、BC所在的直线相交于点O，AB与CD是以点O为圆心、
半径分别为10cm，20cm的圆弧，且∠AOB=150°，这把绸扇的绸布部分ADCB的面积是多少?（不考虑绸布的折皱，结果用含π的式子表示）
O C
D
B
A
能力提升
15．如图，已知⊙O半径为8cm，点A为半径OB延长线上一点，射线AC切⊙O于点C，BC
的长为20
9
πcm，求线段AB的长（精确到0.01cm）．
O
C
B
A
16．如图是一管道的横截面示意图，某工厂想测量管道横截面的面积，工人师傅使钢尺与管道内圆相切并与外圆交于A、B两点，测量结果为AB=30cm，求管道阴影部分的面积．
B
A
17．一服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角布料，如图所示，现找出其中一种，测得∠C =90°，AC =BC =4，今要从这种三角形中剪出一种扇形，做成形状不同的玩具，使扇形的边缘半径恰好都在△ABC 的边上，且扇形的弧与△ABC 的其他边相切， 请设计出所有可能符合题意的方案示意图，并直接写出扇形的半径．
C B
A
聚沙成塔
如图，正△ABC 的边长为1cm ，将线段AC 绕点A 顺时针旋转120 °至AP 1， 形成扇形D 1；将线段BP 1绕点B 顺时针旋转120°至BP 2，形成扇形D 2；将线段CP 2绕点C 顺时针旋转120°至CP 3，形成扇形D 3；将线段AP 3绕点A 顺时针旋转120°至AP 4，形成扇形D 4，…… 设n l 为扇形n D 的弧长（n =1，2，3…），回答下列问题： （1）按要求填表：
n
1 2 3 4 n l
（2）根据上表所反映的规律，试估计n 至少为何值时，扉形n D 的弧长能绕地球赤道一周?（设地球赤道半径为6400km ）．
D 4
D 3
D 2
D 1P 4
P 3
P 2
P 1
C
B
A。