高等数学第21章第4节二重积分的变量变换

第二十一章 重 积 分§4 二重积分的变量变换一 二重积分的变量变换公式 复习在定积分的计算中，我们得到了如下结论：结论．．1．：．设．)(x f 在区间．．．[]b a ,上连续，．．．．)(t x ϕ=当．t 从．α到．β时，严格单调地从．．．．．．．．a 变到．．b ，且．．)(t ϕ连续可导，则．．．．．．⎰⎰=βαϕϕ.)('))(()(dt t t f dx x f b a（．1．）．讨论：1）当βα<（即0)('>t ϕ）时记[][],,,,βα==Y b a X 则).(),(1X Y Y X -==ϕϕ利用这些记号，公式（1）又可写成⎰⎰-=)(1.)('))(()(x Xdt t t f dx x f ϕϕϕ （2）2）当βα>（即0)('<t ϕ）时，（1）式可写成⎰⎰-=)(1.)('))(()(x Xdt t t f dx x f ϕϕϕ（3）结论．．2．：．当．)(t ϕ为严格单调且连续可微时，（．．．．．．．．．．．．．2．）式和（．．．．3．）式可统一写成如下的形式：．．．．．．．．．．．．．⎰⎰-=).(1)('))(()(x Xdt t t f dx x f ϕϕϕ （．4．）．☆ 下面我们把公式（4）推广到二重积分的场合。

为此，先给出下面的引理。

引理 设变换),(),,(:v u y y v u x x T ==将uv 平面上由按段光滑封闭曲线所围的闭区域∆，一对一地映成xy 平面上的闭区域D ，函数),(),,(v u y v u x 在∆内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式 ),(),(),(v u y x v u J ∂∂=,),(,0∆∈≠v u则区域D 的面积.),()(dudv v u J D ⎰⎰∆=μ （5）证明： 下面给出当),(v u y 在∆内具有二阶连续偏导数时的证明。

对),(v u y 具有一阶偏导数条件下的证明在本章§9中给出。

由于T 是一对一变换，且,0),(≠v u J 因而T 把∆的内点变为D 的内点，所以∆的按段光滑边界曲线∆L 变换到D 时，其边界曲线D L 也是按段光滑的。

设曲线∆L 的参数方程为).)((),(βα≤≤==t t v v t u u由于∆L 按段光滑，所以)('),('t v t u 在[]βα,上至多除去有限个第一类间断点外，在其他的点上都连续。

因为D L ),(∆=L T 所以D L 的参数方程为).()(),(()()),(),(()(βα≤≤====t t v t u y t y y t v t u x t x x若规定t 从α变到β时，对应与D L 的正向，则根据格林公式，取,),(,0),(x y x Q y x P ==有dt t v v y t u u y t v t u x dtt y t x xdy D DL ⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂===βαβαμ)(')('))(),(()(')()( （6）另一方面，在uv 平面上⎰∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂L dv v y du u y v u x ),( ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂±=βα,)(')('))(),((dt t v v y t u u y t v t u x （7） 其中正号及负号分别由t 从α变到β时，是对应与∆L 的正方向或负方向所决定。

由（6）式及（7）式得到⎰∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂±=L dv v y du uyv u x D ),()(μ⎰∆∂∂+∂∂±=L dv vy v u x du u y v u x .),(),( 令,),(),(,),(),(vyv u x v u Q u y v u x v u P ∂∂=∂∂=在uv 平面上对上式应用格林公式，得到 ⎰⎰∆⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂±=.)(dudv v P u Q D μ 由于函数),(v u y 具有二阶偏导数，即有,22uv yv u y ∂∂∂=∂∂∂因此),,(v u J v P u Q =∂∂-∂∂于是.),()(⎰⎰∆±=dudv v u J D μ又因为)(D μ总是非负的，而),(v u J 在∆上不为零且连续，故其函数值在∆上不变号，所以.),()(⎰⎰∆=dudv v u J D μ ▌定理21.13 设),(y x f 在有界闭区域D 上可积，变换),(),,(:v u y y v u x x T ==将uv 平面由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域∆一对一地映成xy 平面上的闭区域D ，函数),(),,(v u y v u x 在∆内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式,),(,0),(),(),(∆∈≠∂∂=v u v u y x v u J则.),()),(),,((),(⎰⎰⎰⎰∆=dudv v u J v u y v u x f dxdy y x f D证明：用曲线网把∆分成n 个小区域i ∆，在变换T 作用下，区域D 也相应 地被分成n 个小区域i D .记i ∆及i D 的面积为)(i ∆μ及)(i D μ).,,2,1(n i = 由引理及二重积分中值定理，有)(i ∆μ),(),(),(i i i v u J dudv v u J i∆==⎰⎰∆μ其中i i i v u ∆∈),().,,2,1(n i = 令=i ξ),(i i v u x ，),(i i i v u y =η，则).,,2,1(),(n i D i i i =∈ηξ作二重积分⎰⎰Ddxcdy y x f ),(的积分和∑==ni i i i D f 1)(),(μηξσ∑=∆=ni iiiiiiiv u J v u y v u x f 1)(),()),(),,((μ.上式右边的和式是∆上可积函数),()),(),,((v u J v u y v u x f 的积分和.又由变换T 的连续性可知，当区域∆的分割{}n T ∆∆∆∆,,,:21 的细度→∆T0时，区域D 相应的分割{}n D D D D T ,,,:21 的细度D T 也趋于零.因此得到.),()),(),,((),(⎰⎰⎰⎰∆=dudv v u J v u y v u x f dxdy y x f D▌例1 求⎰⎰+-Dyx y x dxdy e，其中D 是由1,0,0=+==y x y x 所围区域（图21-20）.解：为了简化被积函数，令.,y x v y x u +=-=为此作变换=x T :)(21),(21u v y v u -=+，则 .02121212121),(>=-=v u J 在变换T 得作用下，区域D 的原象∆如图21-21所示.所以 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-∆+-=⋅=v v v uvuDyx y x du dv dudv dxdy102121⎰--=101)(21dv e e v .41--= ▌例2 求抛物线nx y mx y ==22,和直线x y x y βα==,所围区域D 的面积).0,0)((βαμ<<<<n m D解： D 的面积.)(⎰⎰=Ddxdy D μ为了简化积分区域，作变换.,2v u y vu x ==它把xy 平面上的区域D （图21-22中的阴 影部分）对应到uv 平面上的矩形区域[][]βα,,⨯=∆n m .由于,),(,0121),(4232∆∈>=--=v u v u vu vv uv v u J所以⎰⎰⎰⎰∆==dudv v ud D D4)(σμ.6))((3333224βααββα--=⋅=⎰⎰m n udu v dv n m ▌ 二 用极坐标计算二重积分 分析：当积分区域是圆域与圆域的一部分，或者被积函数的形式为)(22y x f +时，采用极坐标变换⎩⎨⎧≤≤+∞<≤==)8(,20,0,sin ,cos :πθθθr r y r x T往往能达到简化积分区域或被积函数的目的.此时，变换T 的函数行列式为.cos sin sin cos ),(r r r r J =-=θθθθθ容易知道，极坐标变换T 把θr 平面上的矩形[][]π2,0,0⨯R 变换成xy 平面上的圆域{}.),(222R y x y x D ≤+=但对应不是一对一的.例如，xy 平面上原点)0,0(O 与θr 平面上直线0=r 相对应，x 轴上线段'AA 对应于θr 平面上两条线段CD 和EF （图21-23）.又当0=r 时，0),(=θr J ，因此不满足定理21.13的条件.但是，我们仍然有下面的结论.定理21.14设),(y x f 满足定理21.13的条件，且在极坐标变换（8）下，xy 平面上有界闭区域θr D 与平面上区域∆对应，则成立.)sin ,cos (),(⎰⎰⎰⎰∆=θθθrdrd r r f dxdy y x f D（9）证明： 若D 为圆域{}222),(R y x y x ≤+，则∆为θr 平面上矩形区域[][].2,0,0π⨯R 设εD 为在圆环{}22220),(R yx y x ≤+≤<ε中除去中心角为ε的扇形A A BB ''所得的区域（图21-23)(a ），则在变换(8)下,εD 对应于θr 平面上的矩形区域[][]επεε-⨯=∆2,0,R (图21-23)(b ).但极坐标变换(8)在εD 与ε∆之间是一对一变换,且在ε∆上函数行列式.0),(>θr J 于是由定理21.13,有.)sin ,cos (),(⎰⎰⎰⎰=εεθθθD D rdrd r r f dxdy y x f因为),(y x f 在有界闭域D 上有界,在上式中令ε0→,即得.)sin ,cos (),(⎰⎰⎰⎰∆=θθθrdrd r r f dxdy y x f D若D 是一般的有界闭区域,则取足够大的,0>R 使D 包含在圆域=R D {}222),(R y x y x ≤+内,并且在R D 上定义函数),(y x f =⎩⎨⎧∉∈.),(,0,),(),,(D y x D y x y x f函数),(y x F 在R D 内至多在有限条按段光滑曲线上间断,因此,对函数),(y x F ,由前述有⎰⎰⎰⎰∆=RRrdrd r r F dxdy y x F D ,)sin ,cos (),(θθθ其中R ∆为θr 平面上矩形区域[][].2,0,0π⨯R .由函数),(y x F 的定义,即得(9)式. ▌ 注．：1）由定理21.14看到,用极坐标变换计算二重积分,除变量作相应的替换外,还须把”面积微元”dxdy 换成.θrdrd☆ 下面介绍二重积分在极坐标系下如何化为累次积分计算.讨论)(i ：若原点D O ∉,且xy 平面上射线=θ常数与D 的边界至多交于两点 (图21-24),则∆必可表示成 ,),()(21βθαθθ≤≤≤≤r r r 于是有⎰⎰⎰⎰=)()(21.)sin ,cos (),(θθβαθθθr r Drdr r r f d dxdy y x f (10)类似地，若xy 平面上的圆=r 常数与D 的边界至多交与两点（图21-25），则∆必可表示成,2121),()(r r r r r ≤≤≤≤θθθ所以⎰⎰⎰⎰=)()(2121.)sin ,cos (),(r r r r Dd r r f rdr dxdy y x f θθθθθ （11）讨论)(ii ：若原点为D 的内点（图21-26），D 的边界的极坐标方程为),(θr r =则∆可表示成 .20),(0πθθ≤≤≤≤r r 所以⎰⎰⎰=)(0.)sin ,cos (),(θθθr Drdr r r f dxdy y x f （12）讨论)(iii ：若原点O 在D 的边界上（图21-27），则∆为,),(0βθαθ≤≤≤≤r r于是⎰⎰⎰⎰=)(0.)sin ,cos (),(θβαθθθr Drdr r r f d dxdy y x f (13)例3 计算⎰⎰--=Dyx d I ,122σ其中D 为圆域:.122≤+y x解： 由于原点为D 的内点,故由(12)式,有dr rr d yx d D⎰⎰⎰⎰-=--102202211πθσ[].201120202πθθππ==--=⎰⎰d d r例 4 求球面2222R z y x =++被圆柱面Rx y x =+22所割下部分的体积(称为维维安尼）（Viviani 体).解： 由所求立体的对称性(图21-28),我们只要求出在第一卦限内的部分体积后乘以4,即得所求立体的体积.在第一卦限内的立体是一个曲顶柱体,其底为xy 平面内由0≥y 和Rx y x ≤+22所确定的区域,曲顶的方程为.222y x R z --=所以,4222⎰⎰--=Dd y x R V σ其中{}Rx y x y y x D ≤+≥=22,0),((图21-29).用极坐标变换后,由(13)式,有⎰⎰-=θπθcos 022204R rdr r R d V).322(34)sin 1(3432033-=-=⎰πθθπR d R ▌例5 计算,)(22σd e I Dy x ⎰⎰+-=其中D 为圆域:.222R y x ≤+解： 利用极坐标变换,由公式(12),有 ).1(22020R Rr e dr re d I ---==⎰⎰πθπ▌注．：1）由例5可见,若不用极坐标变换计算,而用直角坐标系下化为累次积分计算,就会遇到计算⎰-dye R 2的问题,但我们不能把⎰-dye R2表示成初等函数.2）与极坐标相类似,我们也可以作下面的广义极坐标变换:⎩⎨⎧≤≤+∞≤≤==,20,0,sin ,cos :πθθθr br y ar x T并计算得..cos sin sin cos ),(abr br b ar a r J =-=θθθθθ3）对广义极坐标变换也有与定理21.14相应的定理,这里不再赘述了.例6 求椭球体1222222≤++cz b y a x 的体积.解： 由对称性,椭球体的体积V 是第一卦限部分体积的8倍,这一部分是以22221by a x c z --=为曲顶,⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤=a x a x b y y x D 0,10),(22为底的曲顶柱体,所以⎰⎰--=Ddxdy b y a x c V .182222应用广义极坐标变换,由于,12r c z -=因此⎰⎰-=1022018abrdr r c d V πθ⎰⎰=-=2012.3418θπθabc dr r r d abc 当R c b a ===时,得到球的体积为.343R π▌。