工程力学(静力学和材料力学)第2版课后习题答案 范钦珊主编 第7章 弯曲强度

A
B
W
a百度文库+ Δa
W + ΔW
B
A
a图
b图
整理后得
Δa =
ΔW (l − a ) (W + ΔW )
此即为相邻跳水者跳水时，可动点 B的调节距离 Δa 与他们体重间的关系。 7－ 14 利用弯曲内力的知识，说明为何将标准双杠的尺寸设计成 a=l/4。
9
习题 7－14 图
解：双杠使用时，可视为外伸梁。 其使用时受力点应考虑两种引起最大弯矩的情况。如图a、b所示。
2．确定最大正应力： 平放：
σ max =
M max 2.25 ×103 N ⋅ m × 6 = hb 2 240 ×10−3 m × 120 × 10−3 m 6
(
)
2
= 3.91× 106 Pa=3.91 MPa
5
竖放： σ max =
M max 2.25 ×103 N ⋅ m × 6 = bh 2 120 × 10−3 m × 240 × 10−3 m 6
σ max =
M max ≤ [σ ] , W
FP l 4 = 1.30 [σ ] W M σ max = max ≤ [σ ] , W FP l ( 3 − 2a ) 2 = [σ ] W FP l FP l ( 3 − 2a ) 2 4 = = [σ ] W 1.30 × W 1.30 × ( 3 − 2a ) = 3
(
)
12
B 点：
⎛ 0.150m ⎞ 1300 N ⋅ m × ⎜ − 0.04m ⎟ M y ⎝ 2 ⎠ = 1.62 × 10 6 Pa = 1.62MPa(压应力) σB = z = 3 Iz 0.1m × (0.15m ) 12
7－5 简支梁如图所示。试求I-I截面上 A、B两点处的正应力，并画出该截面上的正应力 分布图。
D 截面
+ = σ max － σ max
所以，梁的强度不安全。 7－10 由 No.10 号工字钢制成的 ABD 梁，左端 A 处为固定铰链支座，B 点处用铰链与钢 制圆截面杆 BC 连接，BC 杆在 C 处用铰链悬挂。已知圆截面杆直径 d＝20 mm，梁和杆的许用 应力均为 σ ＝160 MPa，试求:结构的许用均布载荷集度 q 。
[ ]＋
[σ ]－ ＝120 MPa。试校核梁的强度是否安全。
6
30 x 10 M(kN.m) C 截面
+ = σ max － σ max
40
习题 7－9 图
30 ×103 N ⋅ m × 96.4 ×10−3 m = 28.35 × 106 Pa=28.35 MPa 1.02 ×108 ×10−12 m 4 30 ×103 N ⋅ m ×153.6 ×10−3 m = = 45.17 ×106 Pa=45.17 MPa 1.02 ×108 × 10−12 m 4 40 ×103 N ⋅ m ×153.6 ×10−3 m = 60.24 ×106 Pa=60.24 MPa> [σ ] 8 −12 4 1.02 ×10 × 10 m 40 ×103 N ⋅ m × 96.4 × 10−3 m = = 37.8 × 106 Pa=37.8 MPa 8 −12 4 1.02 × 10 × 10 m
正确答案是 C _。 7－3 长度相同、承受同样的均布载荷 q 作用的梁，有图中所示的 4 种支承方式，如果从 梁的强度考虑，请判断哪一种支承方式最合理。
l 5
习题 7－3 图
正确答案是 d 。 7－4 悬臂梁受力及截面尺寸如图所示。图中的尺寸单位为 mm。求：梁的 1－1 截面上 A、
2
B 两点的正应力。
M I-I y A Iz
bh 3 75 × 150 3 = = 21.1× 10 6 mm 4 12 12 y A = (75 − 40) = 35mm
∴σ A = −
3.64 × 10 6 × 35 = −6.04MPa 21.1×10 6 3.64 ×10 6 × 75 σB = = 12.94MPa 21.1× 10 6
l/2
FP
l/2
A
C
B
a图
FP
a a
FP
A
C
B
b图
若将a的长度设计能达到下述情况为最经济、省工：
+ − M max = M max ，
即正负弯矩的绝对值相等，杠为等值杆。 当 a=l/4时，
+ M max = FP l / 4 （如图a，在中间面 C） ；
− 。 M max = FP l / 4 （发生在图b所示受力情况下的 A面或B面）
习题 7－5 图
3
(a )
A
C
B
FRA
(b)
3.64 kN ⋅ m
FRB
M max ⊕
习题 7－5 解图
解： （1）求支座约束力
FRA = 3.64kN,
FRB = 4.36kN
（2）求I－I截面的弯矩值（见习题7－5解图b）
M I− I = 3.64kN ⋅ m
（3）求所求点正应力
σA =
Iz =
习题 7－4 图
解：1. 计算梁的 1－1 截面上的弯矩：
1m ⎞ ⎛ M = − ⎜1× 103 N × 1m+600N/m × 1m × = −1300 N ⋅ m 2 ⎟ ⎝ ⎠
2. 确定梁的 1－1 截面上 A、B 两点的正应力： A 点：
⎛ 150 ×10−3 m ⎞ − 20 × 10−3 m ⎟ 1300 N ⋅ m × ⎜ 2 M y ⎝ ⎠ ＝2.54 × 106 Pa = 2.54 MPa (拉应力) σA = z = 3 -3 -3 Iz 100 × 10 m × 150 × 10 m
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工程力学
（静力学与材料力学）
习题详细解答
（教师用书） (第 7 章) 范钦珊 唐静静
2006-12-18
1
第 7 章 弯曲强度
7－1 直径为 d 的圆截面梁，两端在对称面内承受力偶矩为 M 的力偶作用，如图所示。若 已知变形后中性层的曲率半径为 ρ ；材料的弹性模量为 E。根据 d、 ρ 、E 可以求得梁所承受 的力偶矩 M。现在有 4 种答案，请判断哪一种是正确的。
a = 1.384 m
7－ 13 一跳板左端铰接，中间为可移动支承。为使体重不同的跳水者站在跳板前端在 跳板中所产生的最大弯矩 Mzmax均相同，问距离 a 应怎样变化?
习题 7－13 图
解： 最大弯矩发生在可移动简支点 B处。 （见图a、b） 设不同体重分别为 W， W + ΔW ,则有，
W (l − a ) = (W + ΔW )(l − a − Δa )
2． 确定最大正应力：
σ max =
σ max
M max 66mm α= = 0.611 , 3 πD 108mm 4 2× 1−α 32 M 5.268 N ⋅ m = max = = 24.71× 106 Pa=24.71 MPa 3 −3 2W π 108 ×10 m 2× 1 − 0.6114 32
[ ]
[]
0.5 x 0.4125
M(kN.m)
7
习题 7－10 图
解：画弯矩图如图所示： 对于梁：
M max = 0.5q M 0.5q σ max = max ≤ [σ ] , ≤ [σ ] W W [σ ]W = 160 ×106 × 49 ×10−6 = 15.68 ×103 N/m=15.68kN/m q≤ 0.5 0.5
7－ 15 图示二悬臂梁的截面均为矩形(b×h)，但 (a)梁为钢质，(b)梁为木质。试写出危 险截面上的最大拉应力与最大压应力的表达式，并注明其位置。二梁的弹性模量分别为 E钢 、 E木 。
FP
FP
习题 7－15 图
解： （1）两悬臂梁均为静定梁，故应力与材料弹性常数无关。 （2）两悬臂梁均发生平面弯曲，危险面均在固定端处。
加热炉炉前机械操作装置如图所示，图中的尺寸单位为 mm。其操作臂由两根无缝
7－6
钢管所组成。外伸端装有夹具，夹具与所夹持钢料的总重 FP＝2200 N，平均分配到两根钢管上。 求：梁内最大正应力（不考虑钢管自重） 。
4
习题 7－6 图
解： 1． 计算最大弯矩：
M max = −2200N × 2395 × 10−3 m= −5.269 × 103 N ⋅ m
[ q ] = 15.68kN/m
7－11 图示外伸梁承受集中载荷 FP 作用， 尺寸如图所示。 已知 FP＝20 kN， 许用应力 160 MPa，试选择工字钢的号码。
[σ ] ＝
习题 7－11 图
解：
M max = FP ×1m=20 × 103 N × 1m=20 × 103 N ⋅ m M σ max = max ≤ [σ ] , W F ×1m 20 ×103 ×1m W≥ P = = 0.125 × 10－3 m3＝125cm3 6 [σ ] 160 ×10 Pa
[ ]
20 x
M(kN.m)
30.65
习题 7－8 图
解：画弯矩图如图所示：
M max1 32 × 30.65 ×103 N ⋅ m σ max ( 实 )＝ = = 113.8 ×106 Pa=113.8MPa< [σ ] 3 -3 W1 π 140 × 10 m
(
)
σ max (空 )＝
M max2 = W2
10
（3）钢梁：
+ σ max =
− σ max
6 FP l bh 2 6F l = P bh 2
（在固定端处顶边诸点） （在固定端处底边诸点）
（4）木梁：
+ σ max = − σ max
6 FP l hb 2 6F l = P2 hb
（在固定端处后侧边诸点） （在固定端处前侧边诸点）
−6 4
7－ 16
对于杆：
σ max =
q≤
FN 4 FB 4 × 2.25q ≤ [σ ] , = ≤ [σ ] A πd 2 πd 2 = π × 20 × 10-3 ×160 × 106 4 × 2.25
πd 2 × [σ ] 4 × 2.25
(
)
2
= 22.34 × 103 N/m=22.34 kN/m
所以结构的许可载荷为
T 形截面铸铁梁受力如图所示，其截面的 I z = 2.59 × 10 m 。试作该梁的内力
图，求出梁内的最大拉应力和最大压应力，并指出它们的位置。画出危险截面上的正应力分 布图。
(
)
2
= 1.95 × 106 Pa=1.95 MPa
3．比较平放与竖放时的最大正应力：
σ max ( 平放 ) 3.91 ＝ ≈ 2.0 σ max ( 竖放 ) 1.95
7－8 圆截面外伸梁，其外伸部分是空心的，梁的受力与尺寸如图所示。图中尺寸单位 为 mm。已知 FP＝10kN，q＝5kN/m，许用应力 σ ＝140 MPa，试校核梁的强度。
所以，选择 No.16 工字钢。 7－12 图示之 AB 为简支梁，当载荷 FP 直接作用在梁的跨度中点时，梁内最大弯曲正应 力超过许用应力 30％。为减小 AB 梁内的最大正应力，在 AB 梁配置一辅助梁 CD，CD 也可以
8 习题 7－12 图
看作是简支梁。试求辅助梁的长度 a。 解： 1．没有辅助梁时
习题 7－1 图
(A)
Eπ d 64 ρ 64 ρ (B) M＝ Eπ d 4 Eπ d 3 (C) M＝ 32 ρ 32 ρ (D) M＝ Eπ d 3 M＝
4
正确答案是 7－2
A
。
关于平面弯曲正应力公式的应用条件，有以下 4 种答案，请判断哪一种是正确的。 (A) 细长梁、弹性范围内加载； (B) 弹性范围内加载、载荷加在对称面或主轴平面内； (C) 细长梁、弹性范围内加载、载荷加在对称面或主轴平面内； (D) 细长梁、载荷加在对称面或主轴平面内。
M max = 2W
(
)
(
)
(
)
7－7 图示矩形截面简支梁，承受均布载荷 q 作用。若已知 q＝2 kN/m，l＝3 m，h＝2b ＝240 mm。试求：截面竖放(图 c)和横放(图 b)时梁内的最大正应力，并加以比较。
习题 7－7 图
解：1．计算最大弯矩：
M max
3 ql 2 2 ×10 N/m × ( 3m ) = = = 2.25 × 103 N ⋅ m 8 8 2
32 × 20 ×103 N ⋅ m = 100.3 ×106 Pa=100.3MPa< [σ ] 4 ⎤ 3⎡ ⎛ 100 ⎞ π 140 × 10-3 m ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ ⎢ ⎝ 140 ⎠ ⎦ ⎥ ⎣
(
)
所以，梁的强度是安全的。 7－9 悬臂梁 AB 受力如图所示，其中 FP＝10 kN，M＝70 kN·m，a＝3 m。梁横截面的 形状及尺寸均示于图中(单位为 mm)， C 为截面形心， 截面对中性轴的惯性矩 Iz＝1.02×108 mm4， 拉伸许用应力 σ ＝40 MPa， 压缩许用应力 解：画弯矩图如图所示：