函数的平均变化率

A．f(x0+△x)
C．f(x0 ) · △x
B． f(x0)+△x
D．f(x0+△x) －f(x0)
2. 一质点运动的方程为s=1－2t2，则在一 段时间[1，2]内的平均速度为（ C ）
A．－4
C． －6
B．－8
D． 6
3. 将半径为R的球加热，若球的半径增加
△R，则球的表面积增加△S等于（ B ） A． 8RR B． 8RR 4 R
x2 x1 x
例1．求函数y=x2在区间[x0，x0+△x] (或 [x0+△x，x0])的平均变化率。 解：函数y=x2在区间[x0， x0+△x] (或[x0+△x，x0]) 的平均变化率为
f ( x0 x) f ( x0 ) ( x0 x) x x x
2 2 0
由此我们引出函数平均变化率的概念。
函数平均变化率的概念： 一般地，已知函数y=f(x)，x0，x1是其定 义域内不同的两点，记△x=x1－x0， △y=y1－y0=f(x1)－f(x0)=f(x0+△x)－f(x0).
则当△x≠0时，商
f ( x0 x) f ( x0 ) y x x
称作函数y=f(x)在区间[x0，x0+△x](或 [x0+△x，x0])的平均变化率。
进一步理解： 1.式子中△x 、△y的值可正、可负，但 的△x值不能为0， △y 的值可以为0； 2.若函数f (x)为常函数时， △y=0； 3. 变式: f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x1 x) f ( x1 )
第一章 导数及其应用
1.1 导数
1.1.1 函数的平均变化率
学习目标
1、函数的平均变化率的概念
2、会求函数在指定区间的变化率。
导言： 微积分主要与四类问题的处理相关:
一、已知物体运动的路程作为时间的函数, 求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究 函数增减、变化快慢、最大（小）值等问 题最一般、最有效的工具。
(或[x0+△x，x0])的平均变化率(x0≠0，且
x0+△x≠Leabharlann Baidu).
1 解：函数 y x 的平均变化率为
1 1 f ( x0 x) f ( x0 ) x0 x x0 1 x x ( x0 x) x0
练习题 1.设函数y=f(x)，当自变量x由x0改变到 x0+△x时，函数的改变量为（ D ）
则当△x≠0时，商
f ( x0 x) f ( x0 ) y x x
称作函数y=f(x)在区间[x0，x0+△x](或 [x0+△x，x0])的平均变化率。
课后练习
P77 练习A 1、2、3 练习B 1、2
2 x0 x
思考 由上式可以看出，当x0取定值时，△x 取不同的值，函数的平均变化率不同，当 △x取定值，x0取不同的值时，该函数的平 均变化率也不一样。
例如，x0取正值，并不断增大时，该函 数的平均变化率也不断地增大，曲线变得 越来越陡峭。
1 例2．求函数 y x 在区间[x0，x0+△x]
于是此人从点A爬到点B的位移可以用 向量 AB (x, y) 来表示， 假设向量 AB 对x轴的倾斜角为θ，直线 AB的斜率为k，容易看出
y1 y0 y k tan x1 x0 x
显然，“线段”所在直线的斜率的绝
对值越大，山坡越陡。这就是说，竖直位
x
5．已知函数f(x)=－x2+x的图象上的一点 A(－1, －2)及临近一点B(－1+△x, － 2+△y), 则 y
x
3－△x
．
课堂总结
函数平均变化率的概念：
一般地，已知函数y=f(x)，x0，x1是其定 义域内不同的两点，记△x=x1－x0， △y=y1－y0=f(x1)－f(x0)=f(x0+△x)－f(x0).
y f ( xk 1 ) f ( xk ) x xk 1 xk
管是哪一小段山坡，高度的平均变化都可
y f ( xk 1 ) f ( xk ) 差的比值 来度量。 x xk 1 xk
y 注意各小段的 是不尽相同的。但不 x
以用起点、终点的纵坐标之差与横坐标之
2
2
2 4 R R 4 R C． D．4 R
4. 在曲线y=x2+1的图象上取一点(1, 2)及附 近一点(1+△x ,
y 2+△y)，则 x
为（ C ）
1 1 2 B． x 2 A． x x x
C． x 2
D． 2 x 1
1、例子引入 : 假设下图是一座山的剖面示意图，并在 上面建立平面直角坐标系。A是出发点，H 是山顶。爬山路线用函数y=f(x)表示。
H
自变量x表示某旅游者的水平位置，函 数值y=f(x)表示此时旅游者所在的高度。 想想看，如何用数量表示此旅游者登山路 线的平缓及陡峭程度呢？
某旅游者从A点爬到B点，假设这段山路 是平直的。设点A的坐标为(x0，y0)，点B的 坐标为(x1，y1)，自变量x的改变量为x1－x0， 记作△x，函数值的改变量为y1－y0，记作 △y，即△x=x1－x0，△y=y1－y0，
移与水平位移之比
y 的绝对值越大，山 x
坡越陡；反之，山坡越平缓。 现在摆在我们面前的问题是：山路是 弯曲的，怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭 程度呢？
一个很自然的想法是将弯曲的山路分 成许多小段，每一小段的山坡可视为平直 的。例如，山坡DE可近似的看作线段DE， 再用对平直山坡AB分析的方法，得到此段 山路的陡峭程度可以用比值近似地刻画。