夏德钤《自动控制原理》(第4版)章节题库-第9章 平稳随机信号作用下线性系统的分析【圣才出品】

第9章　平稳随机信号作用下线性系统的分析
1．设随机过程
，其中
a 和ω是常数，是服
从[0，2π]上均匀分布的随机变量，求
的数字特征。

解：
由于的概率密度函数为随机过程
的均值函数、相关函数、协方差函数、方差函数和
均方值函数可分别求得如下：２．设{X n ，n=1，2，…}是互不相关的随机变量序列，且
，
k=1，2，…，试讨论{X n ，n=1，2，…}的平稳性。

所以，{X n，n=1，2，…}具有平稳性，称{X n，n=1，2，…}为平稳随机序列。

３．设s（t）是周期为T的可积函数，令－∞＜t＜＋∞，其中，称{X（t），－∞＜t＜＋∞}为随机相位周期过程，试讨论它的平稳性。

解：由故的概率密度函数为
于是
所以随机相位周期过程{X（t），－∞＜t＜＋∞}是平稳过程。

4．设{X n，n=1，2，…}是随机变量序列，
是两两不相等的实数序列，试研究的平稳性。

所以{Y（t），－∞＜t＜＋∞}具有平稳性。

5．设{X（t），t≥0}是只取±1两个值的过程，其符号的改变次数是一参数为λ的Poisson过程{N（t），t≥0}，且，试讨论{X（t），t≥0}的平稳性。

解：
所以{X（t），t≥0}是平稳过程。

6．设系统的输入为实平稳过程{X（t），t≥0}，其均值函数m X=0，相关函数为
为输出，且输入与输出满足线性微分方程
试求输出{Y（t），t≥0}的均值函数与相关函数。

解：由于该系统是线性定常系统，由得
m Y（t）=0，t≥0
如取有
因此频率响应为
又{X（t），－∞＜t＜＋∞}的相关函数，故其谱密度为
由知识点10知，{Y（t），t≥0}的谱密度为
于是
7．设X（t）=sinUt，t=1，2，…，其中U服从区间[0，2π]上的均匀分布，试讨论{X（t），t=1，2，…}的平稳性。

解：由于U 服从区间[0，2π]上的均匀分布，因此U 的概率密度函数为
从而
所以{X （t
），t=1，2，…}具有平稳性。

8．设，－∞＜t ＜＋∞。

，其中ω0是常数，A 与是相互独立的随机变量，且
服从[0，2π]上均匀分布，A 服从参数为σ的Rayleigh 分布，即概率密
度函数为试证明{X （t ），－∞＜t ＜＋∞}是平稳过程。

证明：由于
因此
所以{X （t ），－∞＜t ＜＋∞}是平稳过程。

9．设，其中A k ，k=1，2，…，n 是n 个实随机变量；ωk ，k=1，2，…，n 是n 个实数。

试问A k 之间应满足怎样的条件才能使{Z （t ），－∞＜t ＜＋∞}是一平稳过程。

解：由平稳过程的定义，A k 间应满足A
1，A 2，…，A n 是两两互不相关的随机变量且
（常数），
是一平稳过。