弹性力学第四章平面问题极坐标解答
弹性力学有限元第四章 平面问题的的极坐标解答
Fj 0
பைடு நூலகம்
r j ( y x ) sin j cosj xy (cos2 j sin 2 j)
第四章 平面问题的极坐标解答
§4-3 极坐标中的应力函数与相容方程
根据上式，得到拉普拉斯算子：
2Φ 2Φ 2Φ 1 Φ 1 2Φ 2 2 2 2 x y r r r r j 2
第四章 平面问题的极坐标解答
§4-3 极坐标中的应力函数与相容方程
坐标变换式
O
(5) 应力的变换
1已知x,y,xy,求r,j,rj。
切应变： g rj
y
B C B'
b
1 u r b r j
第四章 平面问题的极坐标解答
§4-2 极坐标中的几何方程和物理方程
极坐标中的几何方程
O
(1) 只有环向位移ur的情况 径向PAP”A” 环向PBP”B”
j r P dr A dj
P" B uj
x
径向PA的正应变 er 0
坐标变换式
O x
(5) 应力的变换
采用与前面类似的方法：
j
yx
y x
Fj 0
y
j
单位厚度
jr
xy
j x sin 2 j y cos2 j 2 xy sin j cosj
2已知r,j,rj,求x,y,xy。 采用相似的方法，直接给出结果：
x r cos2 j j sin 2 j 2 rj sin j cosj y r sin 2 j j cos2 j 2 rj sin j cosj xy ( r j ) sin j cosj rj (cos2 j sin 2 j )
弹性力学第四章平面问题的极坐标解答
圆环或圆筒受均布压力（1）
q2 q1
边界条件：
圆环或圆筒受均布压力（2）
q2
q1
两个方程三个未知数，不能求解A，B，
C。因此，需引入位移单值条件：
该项必须为零，否则在环上同一点有两 个不同的位移，故B=0
圆环或圆筒受均布压力（3）
பைடு நூலகம்q2
q1 因此，得到圆筒受均匀压力的拉梅 （ me,1795—1870 ，法国）解答：
小孔口问题的特点：
1.集中性，孔附近的应力远大于较远处的应力。
2.局部性，孔口附近的应力扰动主要发生在距孔 边1.5倍孔口尺寸的范围内。在此区域外，由于开 孔引起的应力扰动一般小于5%，可以忽略不计。
注：圆孔的应力集中程度较低，有凹尖角的孔口 应力集中程度较高，因此，在设计结构时应尽量 避免有凹尖角的孔口。
o
x 在仅有径向位移的情况下，段
P P’ A
PA没有转动，因此：
A’
B
C
y
B’
极坐标中的几何方程（5）
— 纯环向位移下的线应变
o
x
很小，导致P’’A’’与PA
P P’’
的差别可以忽略，因此：
A
B B’’
D
D’
A’’
y
极坐标中的几何方程（6）
— 纯环向位移下的切应变
o
x
P
P’’
A
B B’’
D
D’
A’’
阶，因此假定：
半面体在边界上受集中力（2）
F
ao
c
ρ
代入极坐标中的相容方程：
b
得到：
半面体在边界上受集中力（3）
代入：
F
ao
弹性力学第四章：平面问题的极坐标解答2
r
σr +P θ 3σr −σθ 2σcos θ
x3 σx =− π (x2 + y2)2 2P xy2 σy =− π (x2 + y2)2 2P x2 y τxy =− π (x2 + y2)2 2P
2. 位移分量
假定为平面应力情形。 假定为平面应力情形。其极坐标形式的物理方程为
P
O y
由楔形体受集中力的情形， 由楔形体受集中力的情形，可以得到 P
O y
(令 β =0 ,α =π) : 2P cosθ σr = − ( ) π r （4-26） ） σθ =0 —— 极坐标表示的应力分量 极坐标表示的应力分量 τrθ =τθr =0
利用极坐标与直角坐标的应力转换式（ ）， ），可求得 利用极坐标与直角坐标的应力转换式（4-7），可求得
∂r ϕ = f (r)sinθ
θ
ϕ = f (r) (M =常 ) 数
ϕ = f (r)sinθ ϕ = f (r)cosθ (M = P⋅rsinθ) (M =M+P⋅rcosθ)
附1：曲梁应力函数确定的基本方法 ：
思路： 思路： 与直梁确定应力函数的方法类似， 与直梁确定应力函数的方法类似，借且于 梁截面上应力与内力 弯矩、剪力） 应力与内力（ 梁截面上应力与内力（弯矩、剪力）的关 应力与应力函数间微分关系， 系、应力与应力函数间微分关系，来推断 应力函数的分离变量形式。 应力函数的分离变量形式。 梁截面上的应力内力的关系： 梁截面上的应力内力的关系：
θ
M = Py = P⋅rsinθ
由材料力学初等理论，可知截面上正应力 由材料力学初等理论， 由此假定： 由此假定：
σθ ∝M(= P⋅rsinθ)
弹性力学 第四章 平面问题的极坐标解答
s = sσ
(3) 多连体中的位移单值条件
§ 4-4 应力分量的坐标变换式
·问题的提出
工程中有些问题, 用极坐标计算方便, 但应力分量用直角坐 标表述更直观. 反之也存在.
由此需要对应力分量进行坐标变换.
§ 4-4 应力分量的坐标变换式
·坐标变换
已知 σx、σy、τxy , 求 σρ、συ、τρυ？
y
fρ τ + ∂τρυdρ ρυ ∂ρ ∂συ dυ συ+ ∂σρ ∂υ σρ+ dρ ∂τυρ C ∂ρ dυ τυρ+ ∂υ
B
fυ
§ 4-1 极坐标中的平衡微分方程
·平衡微分方程
x
υ dυ ρ
Σ Fρ = 0 :
συ
A
σρ τρυ P τυρ
∂σρ σρ+ dρ (ρ+dρ)dυ - σρ ρdυ ∂ρ ∂συ dυ - συ+ dυ dρ sin ∂υ 2 + τυρ+ - συ dρ sin
Σ Fυ = 0 :
συ = ?
§ 4-4 应力分量的坐标变换式
·坐标变换
συ = ?
将两坐标系下微元体组合
τyx σy σx συ
τυρ τxy
§ 4-4 应力分量的坐标变换式
·坐标变换
已知 σx、σy、τxy , 求 σρ、συ、τρυ？
O x
υ
τyx
σy σx
συ y
τυρ τxy
Σ Fυ = 0 :
O h/2 h/2 lqx源自(v)x=0, l = 0
应力边界条件： ( σy ) y=-h/2 = - q (τyx ) y=-h/2 = 0 ( σy ) y= h/2 = 0 (τyx ) y= h/2 = 0
弹性力学：第四章 平面问题的极坐标解答
从原点出发为正， 从 x 轴向 y 轴方向 转动为正。
微分体上的作用力有：
体力-- f ρ , fφ ， 以坐标正向为正。 应力-- ρ面， φ面分别表示应力及其 增量。
应力同样以正面正向，负面负向的应力为正，反 之为负 。
平衡条件：
(b)
u u sin v cos。
导数的变换：
将对 x, y 的导数，变换为对 , 的导数：
F (x, y) 可看成是 F (, )，而 , 又是 x, y
的函数，即 F 是通过中间变量 , 为 x, y
的复合函数。
有: F
Φ Φ ρ Φ φ , x ρ x φ x
Φ y
Φ ρ
ρ y
d
2
f ρ ρddρ
0
上式中一阶微量相互抵消，保留到二阶微量，得
1
f
0。
(a)
式( a )中 1、2、4 项与直角坐标的方向相似; 而
σρ
ρ -- 是由于 面ρ面积大于 面的ρ面
积而引起的，
σφ ρ
-- 是由于 面上的
在C点的
向有 投影。
Fφ 0 --通过形心C的 φ向合力为0，
故物理方程形式相似。
平面应力问题的物理方程：
1 E
(
),
1 E
(
),
2(1 E
)
。
对于平面应变问题，
只须作如下同样变换，
E
1
E
2
,
。 1
泰勒展开
Exercise : Chap 4
Today: 4-1， 4-2 End of Lecture 9
边界条件
弹性力学简明教程-第四章_平面问题的极坐标解答习题详解
第四章 平面问题的极坐标解答典型例题讲解例4-1 如图所示，矩形薄板在四边受纯剪切力作用，切应力大小为q 。
如果离板边较远处有一小圆孔， 试求孔边的最大和最小正应力。
例4-1图【解】（1）根据材料力学公式，求极值应力和量大正应力的方位角α0max min 2x y σσσσ+⎫=⎬⎭ 其中0,,x y x q σστ===得max min ,q q σσ==-。
最大正应力σmax 所在截面的方位角为α0max 0max 0tan 104yqq τασσπα=-=-=-→--=-qqx若在该纯剪切的矩形薄板中，沿与板边成π4方向截取矩形ABCD ，则在其边界上便承受集度为q 的拉力和压力，如图所示。
这样就把受纯剪切作用的板看作与一对边受拉，另一对边受压的板等效。
（2）取极坐标系如图。
由2222442222cos 2(1)(13),cos 2(13),(4-18)sin 2(1)(13).ρφρφr r σq φρρr σq φρr r τq φρρ⎫=--⎪⎪⎪⎪=-+⎬⎪⎪=--+⎪⎪⎭得矩形薄板ABCD 内的应力分量为()()()2222442222cos 2(1)(13)cos 2(13)sin 2(1)(13)ρφρφa a σq φa ρρa σq φb ρa a τq φc ρρ=--=-+=--+ 其中α为小孔的半径，而孔边最大与最小正应力由式（b ），在ρ=α处得到44cos 2(13)4cos 2,φa σq φaϕ=-+=-当φ=0，π时，孔边最小正应力为(σφ)min=−4q ，当φ=±π2时，孔边最大正应力为(σφ)max=4q 。
分析：矩形板ABCD 边界上各点的应力状态与板内无孔时的应力状态相同。
也可以应用叠加法，求解薄板的各种较复杂的平面应力（应变）问题。
习题全解4-1试比较极坐标和直角坐标中的平衡微分方程、几何方程和物理方程，指出哪些项是相似的，哪些项是极坐标中特有的？并说明产生这些项的原因。
弹性力学第4章-平面问题的极坐标解答
两面不平行, d 夹角为 φ; 两
ρ 面面积不等,分别为 ρdφ, ( ρ + d ρ) dφ. ρ从原点出发为正, 从 x 轴向 y 轴方向转动为正.
微分体上的作用力有: 微分体上的作用力有
体力-- f ρ , f φ , 以坐标正向为正. -应力---
作用力
±ρ
面, φ 面分别表示应力及其增量. ±
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
极坐标中的平衡微分方程 极坐标中的几何方程及物理方程 极坐标中的应力函数与相容方程 应力分量的坐标变换式 轴对称应力和相应的位移
第六节 第七节 第八节 第九节 第十节 例题
圆环或圆筒受均布压力 压力隧洞 圆孔的孔口应力集中 半平面体在边界上受集中力 半平面体在边界上受分布力
基本方程的区别. 对于圆形,弧形,扇形及由径向线和环向围成的物 体,宜用极坐标求解.用极坐标表示边界简单,使边界条 件简化.
在A内任一点(ρ, )取出一个微分体,考虑其平 衡条件. 微分体:由夹 角为d φ的两 径向线和距离 为d ρ的两环 向线围成.
§4-1 极坐标中的平衡微分方程
注意: 注意:
即 Φ是通过中间变量 ρ,φ ,为 x, y 的复合函数. 有: Φ = Φ ρ + Φ φ, Φ=Φρ +Φφ. 而
ρ x φ x y ρ y φ y sin cos ρ ρ = , = sin; = cos, . = ρ x y ρ y x x
代入,即得一阶导数的变换公式,
Φ sin Φ sinφ Φ=cosφ =(cosφ )Φ x ρ ρ φ ρ ρ φ
u = uρ cos u sin, v = uρ sin + u cos.
(c) (d)
弹性力学-平面问题的极坐标解答
l r
s
m
s
k
ur , u 为边界上已知位移， kr , k 为边界上已知的面力分量。
（位移单值条件）
r
r
r
0
r l
q0
r 0 0
0 r 0
r ra 0 r ra 0
r rb 0 r rb 0
b
a 0 dr 0
b
a r 0 dr 0
b
a 0 rdr M
d
r
P
ur
B
B
ur d
x
dr ur
A
P
A
1
(r ur )d
ur r
dr
径向线段PA的转角： 1 0
线段PB的相对伸长： 1
（b）
PB PB (r ur )d rd
PB
rd
ur （c） r
环向线段PB的转角：
tan 1 1
BB PP PB
(ur
ur
d )
ur
rd
1 ur
2
2 r 2
1 r
r
1 r2
2
2
极坐标下的相容方程为：
22
2 r 2
1 r
r
1 r2
2
2
2 r 2
1 r
r
1 r2
2
2
0
4
22
2 r 2
1 r
r
1 r2
2
2
2
0
说明： 方程（4－6）为常体力情形的相容方程。
（4－6）
结论： 弹性力学极坐标求解归结为
（1） 由问题的条件求出满足式（4－6）的应力函数 (r, )
弹性力学第四章 用极坐标解平面问题
第四章 用极坐标解平面问题4.1.极坐标中的平衡微分方程工程上常常可以遇到圆形、环形、楔形或扇形类的结构物。
在这些情况下，用直角坐标描述边界条件会变得相当复杂，由于极坐标使得结构的边界与坐标线一致，因而使边界条件的描述更加简单，使问题更易于求解。
首先我们定义极坐标中的应力分量和体积力分量。
用夹角为ϕd 的两条极径和两条半径相差为ρd 的同心圆弧截取一个微元体（图4.1）。
圆弧截面称为ρ面。
面的法向沿径向而且指向ρ增加方向，这一圆弧面称为正ρ面，反之称为负ρ面。
极径截面称为ϕ面。
面的法向沿环向而且指向ϕ增加方向，这一极径截面称为正ϕ面。
反之称为负ϕ面。
ρ面上的正应力用ρσ表示，剪应力用ρϕτ表示。
ϕ面上的正应力用ϕσ表示，剪应力用ϕρτ表示。
用ρf 表示体积力在径向的分量,用ϕf 表示体积力在环向的分量。
应力的符号规定与直角坐标下的规定完全相同：正面上指向正向（坐标增加的方向）的应力为正值应力，负面上指向负向（坐标减小的方向）的应力亦为正值应力，反之，为负值的应力。
体积力符号规定也与直角坐标下的规定相同，指向坐标轴正向（坐标增加的方向）的体积力为正值，反之，为负值。
直角坐标和极坐标之间具有严格的变换关系。
从理论上说，我们完全可以通过坐标变换的方法由直角坐标的基本方程导出极坐标下的相应方程。
但是，为了加深对极坐标下平衡方程物理意义的理解，我们仍然通过极坐标下的微分单元体的平衡导出极坐标下的平衡微分方程。
我们取一个微分单元体研究，各个面上的应力分量和体积力如图4.2所示。
负ρ面上的正应力为ρσ，剪应力为ρϕτ；正ρ面的坐标比负ρ面增加了ρd ，所以正ρ面的应力和负ρ面相比，应力产生了一个增量，分别为ρρσσρρd ∂∂+和ρρττρϕρϕd ∂∂+。
负ϕ面上的正应力为ϕσ，剪应力为ϕρτ；正ϕ面的坐标比负ϕ面增加了ϕd ，所以正ϕ面的应力和负ϕ面相比，应力产生了一个增量，分别为ϕϕσσϕϕd ∂∂+和ϕϕττϕρϕρd ∂∂+。
弹性力学 第4章_平面问题的极坐标解答
0，
略去三阶微量，保留到二阶微量，得
1 2
f 0。
目录
(b)
14
§4.1 极坐标中的平衡微分方程
式(b)中1、2、4项与直角坐标的方程相 似，而
τ ρυ
τ υρ ρ
--是由于 ρ面的面积大于 ρ 面引起的， --是由于 面上的切应力 τ υρ 在C点
而
cos , x
sin , x
sin ; y
cos 。 y
代入，即得一阶导数的变换公式,
Φ sin Φ sinυ Φ cosυ (cosυ )Φ ， x ρ ρ υ ρ ρ υ
Φ cos Φ cosυ Φ sinυ (sinυ )Φ。 y ρ ρ υ ρ ρ υ
(e)
34
§4.3 极坐标中的应力函数及相容方程
二阶导数的变换公式，可以从式(e) 导 出。例如
2 Φ ( Φ ) x x x 2 sinυ )(cos Φ sinυ Φ ). (cosυ υ ρ ρ υ ρ ρ υ
展开即得：
35
§4.3 极坐标中的应力函数及相容方程
Φ ( x, y ) 可看成是 Φ Φ(ρ,υ) ，而 ρ,υ 又
是 x, y的函数，即 Φ 是通过中间变量 ρ,υ， 为 x, y 的复合函数。 有:
Φ Φ ρ Φ υ , x ρ x υ x
Φ Φ ρ Φ υ. y ρ y υ y
33
§4.3 极坐标中的应力函数及相容方程
(3) 应用应力变换公式（下节）
σ ρ σ x cos 2 υ σ y sin 2 υ 2τ xy cosυsin υ Φ cos υ Φ sin υ 2 Φ cosυsin υ. 2 2 xy y x
弹性力学：第四章 平面问题的极坐标解答(2)
1. 分析： 与以前相比较，相当于两个轴对称问题：
(a) 受内外压力作用的厚壁圆筒； (b) 仅受内压作用的无限大弹性体。
确定外压 p 的两个条件：
u 径向变形连续： r rb ur rb
径向应力连续： r rb
r rb
2. 求解
E,
E, E,
E,
2. 求解
(1) 圆筒的应力与边界条件
)
A r
2(1 )Br (ln r 1) (1 3)Br
2(1 )Cr I cos K sin
u
4Br
E
Hr I sin
位移多值项
K cos
要使单值，须有：B = 0 ，由式（b）得
a2b2 A b2 a2 (qb qa ),
2C
(qa a 2 b2
qbb2 ) a2
将其代回应力分量式（4-12），有：
r
1 1
a2
r2 a2
b2
qb ( 0)
（压应力）
1 1
a2
r2 a2
qb ( 0)
b2（压应力）
（3）若：b (qa 0 , qb 0)
—— 具有圆形孔道的无限大弹性体。
r
a2 r2
qa
a2 r2
qa
边缘处的应力：
r
r qa
r
qa
2. 压力隧洞
问题：厚壁圆筒埋在无限大弹性体内，受内压 q 作 用，求圆筒的应力。
§4-6 圆环或圆筒受均布压力 压力隧洞
1. 圆环或圆筒受均布压力
已知： qa , qb , a, b 求：应力分布。
确定应力分量的表达式：
r
A r2
B(1
弹性力学 第4章 1-5 极坐标解答
(4 12)
u H
若适当给定约束条件，无刚体位移
u | 0 , u | / 2 0 F K I 0
A 1 C u (1 ) (1 ) E E u 0
R2
•五. 特例
1.只受内压
R ( )2 1
2
1 qr
A ln B 2 ln C 2 D (4 10)
2.应力分量的通解
A
2
B(1 2 ln ) 2C B(3 2 ln ) 2C (4 11)
0
A
2
3.位移分量的通解
I cos K sin
§4.5 轴对称应力和对应的位移
构件的几何形状，受力都关于通过Z轴对称。则为 轴对称应力问题，应力分量和应力函数均与无关。
( )
( )
( )
1.应力分量（不计体力，与无关）
1 d d d 2 2 d
0
2.相容方程：（采用应力函数，不计体力）
d2 d 2 ( 2 ) d d d2 d 2 ( 2 ) 0 d d
3.这是一个常微分方程，可以求得通解为：
A ln B 2 ln C 2 D
(4 10)
轴对称应力问题的求解
1.应力函数的通解：
(4)针孔问题（应力集中） 受外压qb内径a0时：
| r
2 q 2q2 r 2 2 1 ( ) R
孔虽然很小，但孔边应力却提高了近2倍， 这就是应力集中现象。如果外力为拉力， 则此处为2倍的拉力实际问题中,孔边发 生开裂，就是这个原因。
弹性力学简明教程(第四版)第四章课后习题答案
qr 1 2 E
2rR R2 r 2
圆环厚度的改变为
qr 1 2 R r u R ur E R r 1
。
4-15：设有一刚体，具有半径为 R 的圆柱形孔道，孔道内放置外半径为 R 而内 半径为 r 的圆筒，圆筒受内压力为 q，试求圆筒的应为。 解：本题为轴对称问题，故环向位移 件，有 （1）应力分量 引用轴对称应力解答，教材中式(4-11)。 A 2 B(1 2 ln ) 2C ，另外还要考虑位移的单值条
u 1 A [ (1 ) 2 B (1 ) (ln 1) B (1 3 ) 2C (1 ) ] I cos K sin , E 4 B 4 B u f ( ) d f1 ( ) H I sin K cos E E
qr 2 R2 u (1 1 ) (1 1 ) E 2 2 1 2 R r qr 2 1 2 2 2 (1 1 ) (1 1 ) R 2 2 E R r (1 q
1 1 2 E R 1 2 2 1 r
) 2 (1
)R2
此时内径改变为
(1 ur q
qr 1 2 (1 ) r 2 (1 ) R 2 E
1 1 2 Er R 1 2 2 1 r
r r
0, q,
R
0;
R
《弹性力学》第四章 平面问题的极坐标解答
可见剪应变为：
r
1 ur r
（2）假定只有环向位移，而无径向位移。如图4-3所示。 径向线段
PA 的正应变为：
r 0
o
d
r
P P
B
dr
环向线段 PB 的正应变为：
(u u d ) u 1 u rd r
o
r r
r
B
y yx
r
a
r c
x
A
y
图4-4
r
b
xy
x
根据三角板 A 的平衡条件 Fx 0 ，可得平衡方程：
x ds r ds cos2 ds sin 2 r ds cos sin r ds sin cos 0
（2）平面应变情况： 将上式中的 E 换为
E 1 2
，
换为 1
。
1 2 r ( r ) E 1 2 1 ( r ) E 1 2(1 ) r r E
§4-3 极坐标中的应力函数与相容方程
§4-2 极坐标中的几何方程及物理方程
一、几何方程—位移与形变间的微分关系
在极坐标中规定:
o
d
r ---径向正应变 ---环向正应变 r ---剪应变(径向与环向两线段
之间的直角的改变) ur ---径向位移 u ---环向位移
r
ur
dr
图4-2
用叠加法讨论极坐标中的形变与位移间的微分关系。 （1）假定只有径向位移，而无环向位移。如图4-2所示。
2 2 2 sin cos 2 sin 2 2 cos 2 2 x r r r r 2 2 2 sin cos 2 cos2 2 sin 2 2 y r r r r
弹性力学 第四章
(τ ρϕ ) ρ =R = 0 (σ ρ ) ρ = R = −q2
上面的两个边界条件是自然满足的。 上面的两个边界条件是自然满足的。 下面的两个边界条件只能确定两个常数。 下面的两个边界条件只能确定两个常数。 由多连体的位移单值条件，可以确定 。（P63) 由多连体的位移单值条件，可以确定B=0。（ 。（ 于是由下面的两个边界条件得： 于是由下面的两个边界条件得：
γ ρϕ
仅有切向位移时： 仅有切向位移时：
ερ = 0
α=
∂uϕ ∂ϕ
1 ∂uϕ εϕ = ρ ∂ϕ
β =−
∂uϕ ∂ρ
uϕ
ρ
uρ
γ ρϕ = α + β =
于是
−
ρ
ερ =
∂u ρ ∂ρ
1 ∂uϕ εϕ = + ρ ρ ∂ϕ uρ
γ ρϕ
1 ∂u ρ ∂uϕ u ρ − = + ρ ∂ϕ ∂ρ ρ
σρ =
ρ
1+
q
r2
1−
r R2
σϕ =
ρ2
2
R远大于 ，得 远大于r， 远大于
σ ρ = (1 −
r2
r 1− 2 R
q
ρ
2
)q
σ ϕ = (1 +
r2
ρ
2
)q
τ ρϕ = τ ϕρ = 0
应力分量： 应力分量：
σx = q
σ y = −q
τ xy = 0
外环边界条件： 外环边界条件：
(σ ρ ) ρ = R = q cos 2 ϕ − q sin 2 ϕ = q cos 2ϕ
A
ρ
2
+ B(1 + 2 ln ρ ) + 2C + B(3 + 2 ln ρ ) + 2C
弹性力学简明教程-第四章-平面问题的极坐标解答习题详解
第四章 平面问题的极坐标解答典型例题讲解例4-1 如图所示，矩形薄板在四边受纯剪切力作用，切应力大小为q 。
如果离板边较远处有一小圆孔， 试求孔边的最大和最小正应力。
例4-1图【解】（1）根据材料力学公式，求极值应力和量大正应力的方位角max min 2x y σσσσ+⎫=⎬⎭ 其中0,,x y x q σστ===得max min ,q q σσ==-。
最大正应力 所在截面的方位角为max 0max 0tan 104yqq τασσπα=-=-=-→--=-qqx若在该纯剪切的矩形薄板中，沿与板边成方向截取矩形ABCD ，则在其边界上便承受集度为q 的拉力和压力，如图所示。
这样就把受纯剪切作用的板看作与一对边受拉，另一对边受压的板等效。
（2）取极坐标系如图。
由2222442222cos 2(1)(13),cos 2(13),(4-18)sin 2(1)(13).ρφρφr r σq φρρr σq φρr r τq φρρ⎫=--⎪⎪⎪⎪=-+⎬⎪⎪=--+⎪⎪⎭得矩形薄板ABCD 内的应力分量为()()()2222442222cos 2(1)(13)cos 2(13)sin 2(1)(13)ρφρφa a σq φa ρρa σq φb ρa a τq φc ρρ=--=-+=--+ 其中 为小孔的半径，而孔边最大与最小正应力由式（b ），在 处得到44cos 2(13)4cos 2,φa σq φaϕ=-+=-当 ， 时，孔边最小正应力为，当时，孔边最大正应力为。
分析：矩形板ABCD 边界上各点的应力状态与板内无孔时的应力状态相同。
也可以应用叠加法，求解薄板的各种较复杂的平面应力（应变）问题。
习题全解4-1试比较极坐标和直角坐标中的平衡微分方程、几何方程和物理方程，指出哪些项是相似的，哪些项是极坐标中特有的？并说明产生这些项的原因。
【解】 （1）极坐标，直角坐标中的平衡微分方程10210f f ρρϕρϕρρϕϕρϕϕστσσρρϕρτστρρϕρ∂∂-⎧+++=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪+++=⎪∂∂⎩ 00yxx x y xy yf xy f y x τσστ∂⎧∂++=⎪∂∂⎪⎨∂⎪++=⎪∂∂⎩将极坐标中的平衡微分方程与直角坐标中的平衡微分方程相比较，第一式中，前两项与直角坐标相似；而项是由于正 面上的面积大于负 面上的面积而产生的，是由于正负 面上的正应力 在通过微分体中心的 方向有投影而引起的。
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边界条件
边界条件--应用极坐标时，弹性体的 边界面通常均为坐标面，即：
常数，或 常数,
故边界条件形式简单。
以下建立直角坐标系与极坐标系的变 换关系，用于：
1、 物理量的转换;
2、从直角坐标系中的方程导出极坐标 系中的方程。
坐标变换
1.从直角坐标系到极坐标系的变换 坐标变量的变换：
l11 l12 l13
l21
l22
l23
l31 l32 l33
对平面问题： ij
x yx
xy y
x
1 2
yx
1 2
xy
y
cos sin
sin
cos
T
在A内任一点（ ，）取出一个微分
体，考虑其平衡条件。
微分体--由夹角为 dφ的两径向线和距离 为 d ρ的两环向线围成。
注意：
两 面不平行，夹角为 dφ；
两面面积不等，分别为ρdφ ，ρd ρdφ 。
从原点出发为正， 从 x 轴向 y 轴方向
转动为正。
平衡条件
平衡条件：
考虑通过微分体形心 C 的 , 向及矩的平
lmj
,
T TT ,
T T T
ij yxx zx
xy y zy
xz yz z
x
1 2
yx
1 2
zx
1 2
xy
y
1 2
zy
1
2 1
2
xz yz
z
衡，列出3个平衡条件:
F 0, F 0, M c 0。
注意： cos d 1, sin d d .
2
2
2
MC 0 --通过形心C的力矩为0，当
考虑到二阶微量时，得
。
Fρ 0--通过形心C的 ρ 向合力为0，
(
或
u u cos vsin , u u sin v cos。 (d)
坐标变换
导数的变换：
将对 x, y的导数，变换为对 ρ,φ的导数： Φ(x, y) 可看成是 Φ Φ(ρ,φ) ，而ρ,φ又
是 x, y的函数，即 Φ是通过中间变量 ρ,φ，
f
0
4 1
几何方程--表示微分线段上形变和位移
之间的几何关系式 。
极坐标系中的几何方程可以通过微元变
形分析直接推得，也可以采用坐标变换的方
法得到。下面讨论后一种方法。根据直角坐
标与极坐标之间的关系，有
x cos, sin , sin , cos
)(
d )d
d
(
d )d
sin
d
2
d
sin
d
2
(
d)d cos
d
2
d
cos
d
2
f dd
0,
整理，略去三阶微量，得
1
f
0。
几何方程
由此可得 x cos2 sin 2 sin cos 比较可知
u
,
1
u
u
,
u
1
u
u
。
4 2
物理方程
极坐标中的物理方程
直角坐标中的物理方程是代数方程， 且 x 与 y 为正交，
极坐标中的物理方程也是代数方程,且
ρ 与 φ 为正交，
故物理方程形式相似。
物理方程
平面应力问题的物理方程：
1 E
(
),
1 E
(
),
2(1 E
)
。
对于平面应变问题，只须作如下同样变
换，
E
E
1
2
,
。 1
极坐标中, 坐标线（ =常数）和 坐标线（ =常数）在不同点有不同的方向;
应用
坐标线为直线, 坐标线为圆弧曲线; 的量纲为L, 的量纲为1。这些区别将引
起弹性力学基本方程的区别。
对于圆形，弧形，扇形及由径向线和 环向围成的物体，宜用极坐标求解。用极 坐标表示边界简单，使边界条件简化。
x
y
x
y
注意：u u cos u sin 可求得
x
Hale Waihona Puke u x cos2
u
sin 2
1
u
u
sin cos
1
u
u
u
根据张量的坐标变换公式
ij
l'
km ki
(a)
同理，由 Fφ 0 通过形心C的 φ向合力为0
可得：
f 1 2 0。 (b)
极坐标下的平衡微分方程：
1
f
0
1
2
x cos, ysin; (a)
反之
2 x2 y2, arctan y。 (b)
x
函数的变换：将式(a) 或(b) 代入，
Φ(x, y) Φ(ρ,φ).
坐标变换
矢量的变换：位移 d (u, v) (uρ ,uφ ),
u u cos u sin , v u sin u cos。 (c)
cos sin
sin
cos
x
1 2
yx
1 2
xy
y
cos sin
sin
cos
1 2
1 2
cos sin
sin
cos
第一节 极坐标中的平衡微分方程 第二节 极坐标中的几何方程及物理方程 第三节 极坐标中的应力函数与相容方程 第四节 应力分量的坐标变换式 第五节 轴对称应力和相应的位移
直角坐标(x,y)与极坐标 (,) 比较：
相同:两者都是正交坐标系。
区别:直角坐标中, x和y坐标线都是直线,有
固定的方向, x 和y 的量纲均为L。