二次曲线的化简性质及应用1

目录

摘要 (1)

0引言 (1)

1二次曲线的化简 (1)

1.1通过移轴化简二次曲线 (2)

1.2利用不变量化简二次曲线 (3)

1.3利用正交变换来化简二次曲线 (4)

2二次曲线的性质 (7)

2.1二次曲线的曲率 (7)

2.1.1椭圆的曲率及性质 (7)

2.1.2抛物线的曲率及性质 (8)

2.1.3双曲线的曲率及性质 (8)

2.2二次曲线的重要性质 (9)

2.2.1椭圆中的定值 (9)

2.2.2双曲线的定值 (9)

2.2.3抛物线的定值 (10)

3二次曲线的应用 (10)

3.1二次曲线的光学性质 (10)

3.1.1抛物线的光学性质 (10)

3.1.2椭圆,双曲线的光学性质 (12)

参考文献 (13)

Abstract (13)

二次曲线的化简、性质及应用

作者:——

指导老师:——

摘要:本文将化简二次曲线的几种常用方法进行归总结,并着重强调强调用正交合同变换来化简二次曲线.实现解析几何与高等代数的结合.并进一步总结出二次曲线的一些性质和应用.

关键词:正交变换;曲率;光学性质

0 引言

二次曲线与我们的生活密切相关,它们的某些性质在生产、生活中被广泛应用.一般二次曲线的化简、性质及应用是平面解析几何的中心研究课题, 如何将二次曲线方程进行化简, 是二次曲线一般理论的主要问题之一.参考文献[1]中讲述了两种方法,一是利用移轴与转轴来化简二次曲线, 这种方法的实质是把坐标轴变换到与二次曲线的主直径重合的位置,它的优点在于不需要用高等代数知识.缺点是不能一步到位,且化简过程较为复杂.二是利用不变量与半不变量方法.先计算出二次曲线的不变量和半不变量,然后可判断已知曲线为何种曲线,同时也可直接求出它的简化方程.此法的优点是快捷,但无法画出二次曲线的图形.

针对以上两种方法的优缺点,利用参考文献[2]中二次曲线与二次型的关系,应用高等代数有关理论化简欧式平面上二次曲线方程为标准方程,通过举例说明化简二次曲线方程为标准方程的方法过程及应用的有关高等代数知识,阐述了高等代数指导学习其他几何学的意义.

对于二次曲线的性质,通过查看各种资料将二次曲线的一些重要性质进行了系统的归纳总结.

1 二次曲线的化简

我们知道二次型理论源于化二次曲线和二次曲面为标准形式的

问题,其理论在数学和物理学中都有重要的应用.任一个实对称矩阵都可化为对角形,则任一条二次曲线可通过坐标变换化为标准形式.化二次型为标准型通常有合同变换和特征根两种方法.相应的二次曲线就可通过合同变换和正交变换来化简. 1.1 通过移轴化简二次曲线

我们知道如果平面内一点的旧坐标与新坐标分别为(),x y 与

(),x y '',那么移轴公式为0

0x x x y y y '=+⎧⎨'=+⎩

,式中()00,x y 为新坐标系原点在旧坐

标系里的坐标.转轴公式为cos sin sin cos x x y y x y αα

αα

''=-⎧⎨''=+⎩,式中的α为坐标轴的

旋转角.

例1 化简二次曲线方程

2244y 12y 10x xy x +++-+=

解 因为二次曲线的方程含有xy 项,因此我们可以先通过转轴消去

xy 项.设旋转角为α,那么由

1122

12

cot 22a a a α-=

得3cot 24α=- 即

21tan 3

2tan 4

αα-=- 所以 22tan 3tan 20αα--=,从而得tan α=-2

1或2.取tan α=2,

那么 αsin =52,cos α=51

,所以得转轴公式为()

()

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

'+'=

'-'=y x y y x x 25

125

1

代入原方程化简整理得转轴后的新方程为

5x '2+25x '-55y '+1=0.

利用配方是上式化为,

05552

='-⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+'y x

再作移轴⎪⎩

⎪⎨⎧''='-

''='y y x x 55 ,曲线方程化为最简形式:

x '

'2

-5y ''=0.

因此,上面介绍的通过转轴与移轴来化简二次曲线的方法,实际上是把坐标轴变换与二次曲线的主直径（即对称轴）重合的位置.如果是中心曲线,坐标原点与曲线的中心重合；如果是线心二次曲线,坐标原点可以与曲线的任何一个中心重合.因此,二次曲线方程的化简,只要先求出曲线的主直径,然后以它作为新的坐标轴,作坐标变换即可[]1. 1.2 利用不变量化简二次曲线

二次曲线在任意给定的直角坐标系中的方程为

()22111222132333,2220F x y a x a xy a y a x a y a ≡+++++=

由参考文献[1]我们知道,二次曲线在直角坐标变换下,有三个不变 量123,,I I I ,与一个半不变量1K ：

11122I a a =+,11

12

212

22

a a I a a =

,11

121331222231323

33

a a a I a a a a a a =,11132223113

33

23

33

a a a a K a a a a =

+

例2 求二次曲线

2256540x xy y -+-+-=

的简化方程.

解 因为I 1=10 I 2=16 I 3=-128.所以

2

3I I =16128-=-8, 而特征方程2λ-10λ+16=0的两根为1λ=2,2λ=8, 所以曲线的简化方程为:2x 2+8y 2-8=0,