全国高考数学复习微专题：几何概型

全国高考数学复习微专题：几何概型

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

几何概型

一、基础知识：

1、几何概型：

每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型

2、对于一项试验，如果符合以下原则：

（1）基本事件的个数为无限多个

（2）基本事件发生的概率相同

则可通过建立几何模型，利用几何概型计算事件的概率

3、几何概型常见的类型，可分为三个层次：

（1）以几何图形为基础的题目：可直接寻找事件所表示的几何区域和总体的区域，从而求出比例即可得到概率。

（2）以数轴，坐标系为基础的题目：可将所求事件转化为数轴上的线段（或坐标平面的可行域），从而可通过计算长度（或面积）的比例求的概率（将问题转化为第（1）类问题）

（3）在题目叙述中，判断是否运用几何概型处理，并确定题目中所用变量个数。从而可依据变量个数确定几何模型：通常变量的个数与几何模型的维度相等：一个变量→数轴，两个变量→平面直角坐标系，三个变量→空间直角坐标系。从而将问题转化成为第（2）类问题求解

二、典型例题：

例1：已知函数()[]22,5,5f x x x x =--∈-，在定义域内任取一点0x ，使()00f x ≤的概率是（ ） A. 110 B. 23 C. 310 D. 45

思路：先解出()00f x ≤时0x 的取值范围：22012x x x --<⇒-<<，从而在数轴上()1,2-区间长度占[]5,5-区间长度的比例即为事件发生的概率，所以310P = 答案：C 例2：如图，矩形OABC 内的阴影部分是由曲线()()()sin 0,f x x x π=∈及直线()()0,x a a π=∈与x 轴围成，向矩形OABC 内随机投掷一

点，若落在阴影部分的概率为

14

，则a 的值是（ ） A. 712π B. 23π C. 34π D. 56π 思路：落在阴影部分的概率即为阴影部分面积与长方形面积

的比值

长方形的面积66S a a

=⋅=，阴影面积'00sin cos |1cos a a S xdx x a ==-=-⎰，所以有'1cos 164S a P S -===，可解得1cos 2a =-，从而23

a π= 答案：B

例3：已知正方形ABCD 的边长为2，H 是边DA 的中点，在正方形ABCD 内部随机取一点P ，则满足2PH <的概率为（ ）

A. 8π

B. 184π+

C. 4

π D. 144π+ 思路：2PH <可理解为以H 为圆心，2为半径的圆的

内部，通过作图可得概率为阴影部分面积所占正方形面积的

比例。可将阴影部分拆为一个扇形与两个直角三角形，可计

算其面积为'12S π=+，正方形面积2

24S ==，所以'184S P S π==+

答案：B

小炼有话说：到某定点的距离等于（或小于）定长的轨迹为圆（或圆的内部），所以从2PH <和H 为定点便可确定P 所在的圆内 例4：一个多面体的直观图和三视图所示，M 是AB 的中点，一只蝴蝶在几何体ADF BCE -内自由飞翔，由它飞入几何体F AMCD -内的概率为（

）

A. 34

B. 23

C. 13

D. 12

思路：所求概率为棱锥F AMCD -的体积与棱柱ADF BCE -体积的比值。由三视图可得AD DF CD a ===，且,,AD DF CD 两两垂直，可得

31122ADF BCE ADF V S DC AD DF DC a -=⋅=

⋅⋅=，棱锥体积13F AMCD ADMC V DF S -=⋅，而()21324ADCM S AD AM CD a =

⋅+=，所以214

F AMCD V a -=。从而12F AMCD ADF BCE V P V --== 答案：D 例5：如图，点P 等可能分布在菱形ABCD 内，则214

AP AC AC ⋅≤

的概率是（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18

思路：对AP AC ⋅联想到数量积的投影定义，即AC 乘以

AP 在AC 上的投影，不妨将投影设为l ，则

214AP AC l AC AC ⋅=⋅≤，即14l AC ≤即可，由菱形性质可得，取,AB AD 中点,M N ，有MN BD ∥，

所以MN AC ⊥ 且垂足四等分AC ，P 点位置应该A D P M

位于AMN 内。所以18AMN ABCD S P S ==菱形 答案：D 例6：某人睡午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，则他等待时间不多于15分钟的概率为（ ）

A. 14

B. 12

C. 23

D. 34

思路：所涉及到只是时间一个变量，所以考虑利用数轴辅助解决。在一个小时中，符合要求的线段长度所占的比例为

12，所以概率12P = 答案：B

例7：已知函数()22f x x ax b =+-，若,a b 都是区间[]0,4内的数，则使()10f >成立的概率是（ ）

A. 34

B. 14

C. 38

D. 58

思路：题目中涉及,a b 两个变量，所以考虑利用直角坐标系解决。设Ω为“,a b 在区间[]0,4内”，则Ω要满足的条件为：

0404a b ≤≤⎧⎨≤≤⎩

，设事件A 为“()10f >成立”，即210a b -+>，所以A 要满足的条件为：

0404

210a b a b ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪-+>⎩

，作出各自可行域即可得到()()

()S A P A S ==Ω38

答案：C

例8：在区间[]0,1上随机取两个数,x y ，记1P 为事件“12x y +≥

”的概率，2P 为事件“12x y -≤”的概率，3P 为事件“12

xy ≤”的概率，则（ ）