全国高考数学复习微专题：几何概型

全国高考数学复习微专题：几何概型
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
几何概型
一、基础知识：
1、几何概型：
每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型
2、对于一项试验，如果符合以下原则：
（1）基本事件的个数为无限多个
（2）基本事件发生的概率相同
则可通过建立几何模型，利用几何概型计算事件的概率
3、几何概型常见的类型，可分为三个层次：
（1）以几何图形为基础的题目：可直接寻找事件所表示的几何区域和总体的区域，从而求出比例即可得到概率。

（2）以数轴，坐标系为基础的题目：可将所求事件转化为数轴上的线段（或坐标平面的可行域），从而可通过计算长度（或面积）的比例求的概率（将问题转化为第（1）类问题）
（3）在题目叙述中，判断是否运用几何概型处理，并确定题目中所用变量个数。

从而可依据变量个数确定几何模型：通常变量的个数与几何模型的维度相等：一个变量→数轴，两个变量→平面直角坐标系，三个变量→空间直角坐标系。

从而将问题转化成为第（2）类问题求解
二、典型例题：
例1：已知函数()[]22,5,5f x x x x =--∈-，在定义域内任取一点0x ，使()00f x ≤的概率是（ ） A. 110 B. 23 C. 310 D. 45
思路：先解出()00f x ≤时0x 的取值范围：22012x x x --<⇒-<<，从而在数轴上()1,2-区间长度占[]5,5-区间长度的比例即为事件发生的概率，所以310P = 答案：C 例2：如图，矩形OABC 内的阴影部分是由曲线()()()sin 0,f x x x π=∈及直线()()0,x a a π=∈与x 轴围成，向矩形OABC 内随机投掷一
点，若落在阴影部分的概率为
14
，则a 的值是（ ） A. 712π B. 23π C. 34π D. 56π 思路：落在阴影部分的概率即为阴影部分面积与长方形面积
的比值
长方形的面积66S a a
=⋅=，阴影面积'00sin cos |1cos a a S xdx x a ==-=-⎰，所以有'1cos 164S a P S -===，可解得1cos 2a =-，从而23
a π= 答案：B
例3：已知正方形ABCD 的边长为2，H 是边DA 的中点，在正方形ABCD 内部随机取一点P ，则满足2PH <的概率为（ ）
A. 8π
B. 184π+
C. 4
π D. 144π+ 思路：2PH <可理解为以H 为圆心，2为半径的圆的
内部，通过作图可得概率为阴影部分面积所占正方形面积的
比例。

可将阴影部分拆为一个扇形与两个直角三角形，可计
算其面积为'12S π=+，正方形面积2
24S ==，所以'184S P S π==+
答案：B
小炼有话说：到某定点的距离等于（或小于）定长的轨迹为圆（或圆的内部），所以从2PH <和H 为定点便可确定P 所在的圆内 例4：一个多面体的直观图和三视图所示，M 是AB 的中点，一只蝴蝶在几何体ADF BCE -内自由飞翔，由它飞入几何体F AMCD -内的概率为（
）
A. 34
B. 23
C. 13
D. 12
思路：所求概率为棱锥F AMCD -的体积与棱柱ADF BCE -体积的比值。

由三视图可得AD DF CD a ===，且,,AD DF CD 两两垂直，可得
31122ADF BCE ADF V S DC AD DF DC a -=⋅=
⋅⋅=，棱锥体积13F AMCD ADMC V DF S -=⋅，而()21324ADCM S AD AM CD a =
⋅+=，所以214
F AMCD V a -=。

从而12F AMCD ADF BCE V P V --== 答案：D 例5：如图，点P 等可能分布在菱形ABCD 内，则214
AP AC AC ⋅≤
的概率是（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18
思路：对AP AC ⋅联想到数量积的投影定义，即AC 乘以
AP 在AC 上的投影，不妨将投影设为l ，则
214AP AC l AC AC ⋅=⋅≤，即14l AC ≤即可，由菱形性质可得，取,AB AD 中点,M N ，有MN BD ∥，
所以MN AC ⊥ 且垂足四等分AC ，P 点位置应该A D P M
位于AMN 内。

所以18AMN ABCD S P S ==菱形 答案：D 例6：某人睡午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，则他等待时间不多于15分钟的概率为（ ）
A. 14
B. 12
C. 23
D. 34
思路：所涉及到只是时间一个变量，所以考虑利用数轴辅助解决。

在一个小时中，符合要求的线段长度所占的比例为
12，所以概率12P = 答案：B
例7：已知函数()22f x x ax b =+-，若,a b 都是区间[]0,4内的数，则使()10f >成立的概率是（ ）
A. 34
B. 14
C. 38
D. 58
思路：题目中涉及,a b 两个变量，所以考虑利用直角坐标系解决。

设Ω为“,a b 在区间[]0,4内”，则Ω要满足的条件为：
0404a b ≤≤⎧⎨≤≤⎩
，设事件A 为“()10f >成立”，即210a b -+>，所以A 要满足的条件为：
0404
210a b a b ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪-+>⎩
，作出各自可行域即可得到()()
()S A P A S ==Ω38
答案：C
例8：在区间[]0,1上随机取两个数,x y ，记1P 为事件“12x y +≥
”的概率，2P 为事件“12x y -≤”的概率，3P 为事件“12
xy ≤”的概率，则（ ）
A. 123P P P <<
B. 231P P P <<
C. 312P P P <<
D. 321P P P << 思路：分别在坐标系中作出“12x y +≥”，“12x y -≤”，“12xy ≤”的区域，并观察或计算其面积所占单位长度正方形的比例，即可得到123,,P P P 的大小：
231P P P <<
答案：B
例9：小王参加网购后，快递员电话通知于本周五早上7:30-8:30送货到家，如果小王这一天离开家的时间为早上8:00-9:00，那么在他走之前拿到邮件的概率为（ ）
A. 18
B. 12
C. 23
D. 78
思路：本题中涉及两个变量，一个是快递员到达的时
刻，记为x ，一个是小王离开家的时刻，记为y ，由
于双变量所以考虑建立平面坐标系，利用可行域的比
值求得概率。

必然事件Ω所要满足的条件为：
7.58.589
x y <<⎧⎨<<⎩ ，设“小王走之前拿到邮件”为事件A ，则A 要满足的条件为：7.58.589x y x y <<⎧⎪<<⎨⎪<⎩
，作出Ω和A 的可行域，可得
()()
()S A P A S ==Ω78
答案：D
例10：已知一根绳子长度为1m ，随机剪成三段，则三段刚好围成三角形的概率为______
思路：随机剪成三段，如果引入3个变量,,x y z ，则需建立空间坐标系，不易于求解。

考虑减少变量个数，由于三段的和为1，设其中两段为,x y ，则第三段为1x y --。

只用两个变量，所以就可以建立平面直角坐标系进行解决。

设Ω为“一根绳子随机剪三段”，则Ω
要满足的条件为：0101011x y x y <<⎧⎪<<⎨⎪<--<⎩
，设事件A 为“三段围成三角形”，则,,1x y x y --任意两边之和大于第三边，所以A 满足的条件为
()()01010101011011211
12112
x y x x y y x y x y x y x y x x y y y y x y x x <<⎧⎪<<<<⎧⎪⎪<+<⎪<<⎪⎪<--<⎪⎪⎪+>⇒⎨⎨+>--⎪⎪⎪⎪+--><⎪⎪+-->⎪⎪⎩<⎪⎩，在同一坐标系作出,A Ω的可行域。

则
()()
()14
S A P A S ==Ω 答案：14。