杨辉三角与二项式定理导学案

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《1.3.2 杨辉三角与二项式系数性质》导学案

高一数学必修2-3 1.3--02《1．3．2“杨辉三角”与二项式系数的性质》导学案编撰崔先湖姓名班级组名 .【学习目标】1. 1掌握二项式系数的性质2利用二项式定理求有关系数的和【学习重点】如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题【学习难点】如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题【学法指导】自主学习与合作学习相结合。

【导学学过程】一教材导读探究任务一：杨辉三角问题1：在n b a )(+展开式中，当n ＝1，2，3，…时，各项的二项式系数有何规律？()1b a +()2b a + ()3b a + ()4b a + ()5b a +()6b a +新知1：上述二项式系数表叫做“杨辉三角”，表中二项式系数关系是探究任务二二项式系数的性质问题2：设函数()rn C r f =，函数的定义域是，函数图象有何性质？（以n ＝6为例）新知2：二项式系数的性质⑴ 对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,图象的对称轴是2nr =.练习1① 在(a ＋b)6展开式中，与倒数第三项二项式系数相等是( ) A 第２项 B 第３项 C 第４项 D 第５项② 若()n b a +的展开式中，第三项的二项式系数与第五项的二项式系数相等，则n ＝ .反思：为什么二项式系数有对称性？⑵ 增减性与最大值：从图象得知，中间项的二项式系数最，左边二项式系数逐渐，右边二项式系数逐渐 .当n 是偶数时，中间项共有项，是第项，它的二项式系数是，取得最大值；当n 是奇数时，中间项共有项，分别是第项和第项，它的二项式系数分别是和，二项式系数都取得最大值.练习：n b a )(+的各二项式系数的最大值是⑶ 各二项式系数的和：在n b a )(+展开式中，若1==b a ，则可得到 =+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++nn r n n n C C C C 10即 =+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++nn r n n n C C C C 21二、题型导航题型一、单调性的应用【例1】求()1012x +的展开式中系数最大的项．变式1：在二项式(x-1)11的展开式中, ⑴ 求二项式系数最大的系数的项； ⑵ 求项系数最小的项和最大的项.解题总结题型二、二项式系数和的问题【例2】．在()n a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的变式2．已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++，求：（1）127a a a +++；（2）1357a a a a +++；（3）017||||||a a a +++.解题总结题型三对称性的应用【例3】设二项式()*33312N n x x∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+的展开式中第7项的系数与倒数第7项的系数之比为1:6.（1）求n（2）展开式中有多少项的系数是有理数，并求出。

高中数学132《杨辉三角与二项式系数的性质》导学案新人教A版选修

高中数学132《杨辉三角与二项式系数的性质》导学案新人教A版选修1、3、2《“杨辉三角”与二项式系数的性质》导学案姓名: 班级: 组别: 组名:【学习目标】1、知道“杨辉三角”的特征，并能记住二项式系数规律2、能够记住二项式系数的性质，并能用它计算和证明一些简单的问题【重点难点】重点：二项式系数的性质及其应用难点：杨辉三角的基本性质的探索和发现【学法指导】阅读教材、探究规律、分析例题、达标训练【知识链接】1、二项式定理2、二项展开式的特征【学习过程】阅读教材第32页至第33页的内容，回答下列问题知识点一：杨辉三角的来历及规律问题1：根据( a+b)n（n=1，2，3，4，5，6）展开式的二项式系数表，你能发现什么规律？问题2：杨辉三角揭示了二项展开式的二项式系数的变化情况，试根据杨辉三角的特点说说二项式系数有何性质？对于( a+b)n展开式的二项式系数____________________，从函数角度看，可阅读教材第33页至第35页的内容，回答下列问题知识点二：二项式系数的重要性质问题1:对称性：二项展开式中，与首末两端“_______”的两项的_____________；即=，=，……，=、问题2:增减性与最大值：二项式系数先增大后减小，中间取最大。

当时，二项式系数是逐渐________，由对称性可知它的后半部分是逐渐_______的，且在中间取到最大值；当n为偶数时，中间一项的二项式系数________取得最大值；当n为奇数时，中间两项的二项式系数_____________相等，且同时取得最大值、问题3:各项二项式系数的和：( a+b)n的展开式中的各个二项式系数的和为2n（1）的展开式为___________________________________；（2）在上式中令得___________________；（3）=____________________、【例题精析】例1、已知()n的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，求展开式中二项式系数最大的项的系数、例2、设(3x－1)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则(1)a1＋a2＋…＋a8＝________；(2)a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＋a8＝________；(3)a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝________、例3、求的展开式中系数最大的项、【基础达标】A1、已知=a，=b，那么=__________；A2、（a+b）n的各二项式系数的最大值是____________；B3、(1－2x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a6|的值为()A、1B、64C、243D、729B4、设(1＋x)8＝a0＋a1x＋…＋a8x8，则a0，a1，…，a8中奇数的个数为()A、2B、3C、4D、5C5、设(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值：(1)a0；(2)a1＋a2＋…＋a100；(3)a1＋a3＋a5＋…＋a99；(4)(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2、D6、若的展开式的二项式系数之和为64，求展开式中的常数项、【课堂小结】我收获的知识有：我积累的方法有：【当堂检测】A1、在（a+b）20的展开式中，与第五项二项式系数相同的项是（）（A）第15项 (B)第16项 (C)第17项 (D)第18项B2、已知（1—2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7则a1+a2+…+a7=___________a1+a3+ a5+a7=__________a0+a2+a4+a6=__________【学习反思】本节课我最大的收获是我还存在的疑惑是我对导学案的建议是。

高中数学《“杨辉三角”与二项式系数的性质》导学案

1．3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质知识点“杨辉三角”与二项式系数的性质(a＋b)n的展开式的二项式系数，当n取正整数时可以表示成如下形式：1．杨辉三角的特点(1)在同一行中每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数□01相等．(2)在相邻的两行中，除1外的每一个数都等于它“肩上”两个数的□02和，＝□03C r－1n＋C r n.即C r n＋12．二项式系数的性质在解决有关二项式系数的问题时，要注意以下几点：(1)要区分二项式系数与二项式项的系数的区别，二项式系数是指C0n，C1n，…，C n n是组合数，而二项式项的系数是指该项除字母以外的常数部分，与二项式系数有关，但不一定等于二项式系数．(2)在求二项式系数时常用赋值法．如－1,0,1等，赋值法体现了函数思想f(x)＝(ax＋b)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n，f(1)＝a0＋a1＋a2＋…＋a n.在解题时要注意审题，恰当赋值．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列．()(2)二项式展开式的二项式系数和为C1n＋C2n＋…＋C n n.()(3)二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同．( ) 答案 (1)× (2)× (3)× 2．做一做(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 11的展开式中二项式系数最大的项是第________项． (2)若(a ＋b )n 的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n ＝________. (3)已知(a －x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，若a 2＝80，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝________.答案 (1)6和7 (2)8 (3)1解析 (1)由n ＝11为奇数，则展开式中第11＋12项和第11＋12＋1项，即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大．(2)由二项式系数的性质可知，第5项为二项展开式的中间项，即二项展开式有9项，故n ＝8.(3)展开式的通项为T r ＋1＝(－1)r C r 5·a 5－r ·x r ，令r ＝2，则a 2＝(－1)2C 25·a 3＝80，所以a ＝2.则(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 5＝1.探究1 杨辉三角的有关问题例1 如图所示，在杨辉三角中，斜线AB 上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列的前n 项和为S n ，求S 19.[解] 由题图知，数列中的首项是C 22，第2项是C 12，第3项是C 23，第4项是C 13，…，第17项是C 210，第18项是C 110，第19项是C 211.∴S 19＝(C 12＋C 22)＋(C 13＋C 23)＋(C 14＋C 24)＋…＋(C 110＋C 210)＋C 211 ＝(C 12＋C 13＋C 14＋…＋C 110)＋(C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 211)＝(2＋10)×92＋C312＝274.拓展提升解决与杨辉三角有关的问题的一般思路[跟踪训练1](1)如图数表满足：①第n行首尾两数均为n；②图中的递推关系类似杨辉三角，则第n(n≥2)行的第2个数是________；(2)将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n次全行的数都为1的是第________行；第61行中1的个数是________．答案(1)n2－n＋22(2)2n－132解析(1)由图中数字规律可知，第n行的第2个数是[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋1＝n(n－1)2＋1.(2)观察可得第1行，第3行，第7行，第15行，全行都为1，故第n次全行的数都为1的是第2n－1行；∵n＝6⇒26－1＝63，故第63行共有64个1，递推知第62行共有32个1，第61行共有32个1.探究2二项展开式的系数和问题例2在(2x－3y)10的展开式中，求：(1)各项的二项式系数的和；(2)奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和；(3)各项系数之和；(4)奇数项系数的和与偶数项系数的和．[解]在(2x－3y)10的展开式中：(1)各项的二项式系数的和为C010＋C110＋…＋C1010＝210＝1024.(2)奇数项的二项式系数的和为C010＋C210＋…＋C1010＝29＝512，偶数项的二项式系数的和为C110＋C310＋…＋C910＝29＝512.(3)设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10(*)，各项系数之和即为a0＋a1＋a2＋…＋a10，由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求解．令(*)中x＝y＝1，得各项系数之和为(2－3)10＝(－1)10＝1.(4)奇数项系数的和为a0＋a2＋a4＋…＋a10，偶数项系数的和为a1＋a3＋a5＋…＋a9.由(3)知a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1.①令(*)中x＝1，y＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510.②①＋②得2(a0＋a2＋…＋a10)＝1＋510，故奇数项系数的和为12(1＋510)；①－②得2(a1＋a3＋…＋a9)＝1－510, 故偶数项系数的和为12(1－510)．拓展提升求展开式的各项系数之和常用赋值法．“赋值法”是求二项式系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同的值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x ＝0可得常数项，令x ＝1可得所有项系数之和，令x ＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差，而当二项展开式中含负值项时，令x ＝－1则可得各项系数绝对值之和．[跟踪训练2] 设(2－3x )100＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 100·x 100，求下列各式的值． (1)a 0；(2)a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 100； (3)a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99；(4)(a 0＋a 2＋…＋a 100)2－(a 1＋a 3＋…＋a 99)2； (5)|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 100|.解 (1)令x ＝0，则展开式为a 0＝2100. (2)令x ＝1，可得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100，(*) 所以a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100－2100.(3)令x ＝－1，可得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 100＝(2＋3)100.与(2)中(*)式联立相减得a 1＋a 3＋…＋a 99＝(2－3)100－(2＋3)1002.(4)原式＝[(a 0＋a 2＋…＋a 100)＋(a 1＋a 3＋…＋a 99)]·[(a 0＋a 2＋…＋a 100)－(a 1＋a 3＋…＋a 99)]＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100)·(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 98－a 99＋a 100) ＝[(2－3)(2＋3)]100＝1100＝1.(5)因为T r ＋1＝(－1)r C r 1002100－r ·(3)r x r ，所以a 2k －1<0(k ∈N *)．所以|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 100| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 100 ＝(2＋3)100.探究3 求二项展开式中的最大项问题例3 已知在的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为32.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．[解]令x＝1，则展开式中各项系数和为(1＋3)n＝22n.又展开式中二项式系数和为2n.＝2n＝32，n＝5.∴22n2n(1)∵n＝5，展开式共6项，∴二项式系数最大的项为第三、四两项，拓展提升1.二项式系数的最大项的求法求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论．(1)当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大．(2)当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．2．展开式中系数的最大项的求法求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为A 0，A 1，A 2，…，A n ，且第r ＋1 项最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧A r ≥A r －1，A r ≥A r ＋1，解得r ，即得出系数的最大项．[跟踪训练3] 已知二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x n .(1)若展开式中第5项，第6项，第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；(2)若展开式中前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．解 (1)由题意，得C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ，∴n 2－21n ＋98＝0， ∴n ＝7或n ＝14.当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5，T 4的系数为C 37×⎝ ⎛⎭⎪⎫124×23＝352，T 5的系数为C 47×⎝ ⎛⎭⎪⎫123×24＝70.故展开式中二项式系数最大项的系数分别为352，70. 当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T 8， ∵T 8的系数为C 714×⎝⎛⎭⎪⎫127×27＝3432. 故展开式中二项式系数最大项的系数为3432.(2)由题意知C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79，解得n ＝12或n ＝－13(舍去)．设展开式中第r ＋1项的系数最大，由于⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212·(1＋4x )12，则⎩⎪⎨⎪⎧C r 12·4r ≥C r －112·4r －1，C r 12·4r ≥C r ＋112·4r ＋1，∴9.4≤r ≤10.4.又r ∈{0,1,2，…，12}，∴r ＝10，∴系数最大的项为T 11，且T 11＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212·C 1012·(4x )10＝16896x 10.1．(2－x )8展开式中不含x 4项的系数的和为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 答案 B 解析∴展开式中x 4项的系数为C 88＝1.又∵(2－x )8展开式中各项系数和为(2－1)8＝1， ∴展开式中不含x 4项的系数的和为0. 2．在⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3x n(n ∈N *)的展开式中，所有的二项式系数之和为32，则所有系数之和为( )A ．32B ．－32C ．0D ．1 答案 D解析由题意得2n ＝32，得n ＝5.令x ＝1，得展开式所有项的系数之和为(2－1)5＝1.故选D.3．若(1－2x )2019＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2019x 2019(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 201922019的值为( )A ．2B ．0C ．－2D ．－1答案 D解析 (1－2x )2019＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2019x 2019，令x ＝12，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2×122019＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 201922019＝0，其中a 0＝1，所以a 12＋a 222＋…＋a 201922019＝－1.4．如图所示的数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，他们是由正整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为1n (n ≥2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，…，则第n (n ≥3)行第3个数字是________．答案2n (n －1)(n －2)(n ∈N *，n ≥3)解析杨辉三角形中的每一个数都换成分数，就得到一个如题图所示的分数三角形，即为莱布尼茨三角形．∵杨辉三角形中第n (n ≥3)行第3个数字是n C 2n －1，则“莱布尼茨调和三角形”第n (n ≥3)行第3个数字是1n C 2n －1＝2n (n －1)(n －2). 5．在二项式(2x －3y )9的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和； (4)系数绝对值的和．解设(2x －3y )9＝a 0x 9＋a 1x 8y ＋a 2x 7y 2＋…＋a 9y 9.(1)二项式系数之和为C 09＋C 19＋C 29＋…＋C 99＝29.(2)各项系数之和为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9，令x ＝1，y ＝1，∴a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2－3)9＝－1. (3)由(2)知a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝－1，令x ＝1，y ＝－1，可得： a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59，将两式相加除以2可得：a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝59－12，即为所有奇数项系数之和． (4)解法一：|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝a 0－a 1＋a 2－…－a 9，令x ＝1，y ＝－1，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59. 解法二：|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|即为(2x ＋3y )9展开式中各项系数和，令x ＝1，y ＝1得：|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝59.A 级：基础巩固练一、选择题1．在(x ＋y )n 的展开式中，第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是( )A ．第6项B ．第5项C ．第5,6项D ．第6,7项答案 A解析由题意，得第4项与第8项的系数相等，则其二项式系数也相等，∴C 3n ＝C 7n ，由组合数的性质，得n ＝10.∴展开式中二项式系数最大的项为第6项，它也是系数最大的项． 2．(1＋x )n (3－x )的展开式中各项系数的和为1024，则n 的值为( ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．11 答案 B解析由题意知(1＋1)n (3－1)＝1024，即2n ＋1＝1024，所以n ＝9.故选B.3．在⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 10的展开式中，系数最大的项为( )A ．第5项B ．第6项C ．第5项和第6项D ．第5项和第7项答案 D解析由二项式定理知，展开式中，二项式系数与对应的项的系数的绝对值相等．由于二项式系数的最大项为T 6，且T 6＝C 510x 5⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 5＝－C 510，二项式系数等于项的系数的相反数，此时T 6的系数最小．而T 5＝C 410x 6⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 4＝C 410x 2，T 7＝C 610x 4⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 6＝C 610x －2，且C 410＝C 610， ∴系数最大的项为第5项和第7项．4．若多项式x ＋x 10＝a 0＋a 1(x ＋1)＋…＋a 9(x ＋1)9＋a 10(x ＋1)10，则a 0＋a 2＋…＋a 8＝( )A ．509B ．510C ．511D ．1022 答案 B解析令x ＝0得0＝a 0＋a 1＋…＋a 9＋a 10.①令x ＝－2得－2＋(－2)10＝a 0－a 1＋a 2－…－a 9＋a 10.② ①＋②得210－2＝2a 0＋2a 2＋…＋2a 10， ∴a 0＋a 2＋…＋a 10＝29－1. 又由x 10的系数为1知，a 10＝1， ∴a 0＋a 2＋…＋a 8＝29－1－1＝510.5．已知(1＋2x )2n 的展开式中奇次项系数之和等于364，那么展开式中二项式系数最大的项是( )A ．第3项B ．第4项C ．第5项D ．第6项答案 B解析设(1＋2x )2n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a 2n －1x 2n －1＋a 2n x 2n ，则展开式中奇次项系数之和就是a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1.分别令x ＝1，x ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2n －1＋a 2n ＝32n ，a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 2n －1＋a 2n ＝1，两式相减，得a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1＝32n －12.由已知，得32n －12＝364，∴32n ＝729＝36，即n ＝3.(1＋2x )2n ＝(1＋2x )6的展开式共有7项，中间一项的二项式系数最大，即第4项的二项式系数最大，选B.二、填空题6．设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m ＝________.答案 6解析根据二项式系数的性质知：(x ＋y )2m 的二项式系数最大有一项，C m 2m ＝a ，(x ＋y )2m ＋1的二项式系数最大有两项，C m 2m ＋1＝C m ＋12m ＋1＝b .又13a ＝7b ，所以13C m 2m＝7C m 2m ＋1，解得m ＝6满足等式．7．在⎝⎛⎭⎪⎫1x ＋31x 3n 的展开式中，所有奇数项系数之和为1024，则中间项系数是________．答案 462解析 ∵二项式的展开式中所有项的二项式系数和为2n ，而所有偶数项的二项式系数和与所有奇数项的二项式系数和相等，故由题意得2n －1＝1024，∴n ＝11，∴展开式共12项，中间项为第6项、第7项，其系数为C 511＝C 611＝462.8．若(2－x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则(a 0＋a 2＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝________.答案 1解析令x ＝1，得：a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝(2－1)10，令x ＝－1得：a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10＝(2＋1)10，故(a 0＋a 2＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10) ＝(2－1)10(2＋1)10＝1. 三、解答题9．已知f n (x )＝(1＋x )n .(1)若f 2019(x )＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2019x 2019，求a 1＋a 3＋…＋a 2017＋a 2019的值； (2)若g (x )＝f 6(x )＋2f 7(x )＋3f 8(x )，求g (x )中含x 6项的系数．解 (1)因为f n (x )＝(1＋x )n ，所以f 2019(x )＝(1＋x )2019，又f 2019(x )＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2019x 2019，所以f 2019(1)＝a 0＋a 1＋…＋a 2019＝22019，① f 2019(－1)＝a 0－a 1＋…＋a 2018－a 2019＝0，② ①－②得：2(a 1＋a 3＋…＋a 2017＋a 2019)＝22019，所以a 1＋a 3＋…＋a 2017＋a 2019＝22018. (2)因为g (x )＝f 6(x )＋2f 7(x )＋3f 8(x )，所以g (x )＝(1＋x )6＋2(1＋x )7＋3(1＋x )8，g (x )中含x 6项的系数为1＋2×C 67＋3C 68＝99.B 级：能力提升练10．(1＋2x )n 的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．解 T 6＝C 5n (2x )5，T 7＝C 6n (2x )6，依题意有C 5n ·25＝C 6n ·26，得n ＝8.所以(1＋2x )8的展开式中，二项式系数最大的项为T 5＝C 48·(2x )4＝1120x 4. 设第r ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C r 8·2r ≥C r －18·2r －1，C r 8·2r ≥C r ＋18·2r ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧8！×2r ！(8－r )！≥8！(r －1)！(8－r ＋1)！，8！r ！(8－r )！≥8！×2(r ＋1)！(8－r －1)！.解之得5≤r ≤6，因为r ∈N ，所以r ＝5或r ＝6. 所以系数最大的项为T 6＝1792x 5，T 7＝1792x 6.。

高中三年级上学期数学《杨辉三角的性质》教学设计

杨辉三角的性质教学设计【学情分析】《“杨辉三角”与二项式系数的性质》是人教A版选修2-3第1章第3节第2课时的内容，其主要思想是如何灵活运用二项展开式、通项公式、二项式系数的性质解题。

通过前面二项式定理的学习，学生已初步了解了二项式系数的简单性质，发现二项式系数组成的数列就是一个离散函数，从而我们引导学生从函数的角度研究二项式系数的性质，这样便于建立知识的前后联系。

高三的学生对常见的数学思想方法，如数形结合、转化与化归、分类讨论、函数思想等也有所接触，这为本节课的学习奠定了基础.本节课的教学内容属于事实性知识，其特点是易懂却难于上升到理性的解释。

【教学目标】使学生通过“杨辉三角”观察并掌握二项式系数之间的规律；能运用函数观点分析处理二项式系数的性质，理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用；学生通过从函数的角度研究二项式系数的性质，建立知识的前后联系，体会用函数知识研究问题的方法，培养学生的观察能力和归纳推理能力.【教学重点】二项式系数的性质（对称性、增减性与最大值和各二项式系数的和）；【教学难点】理解增减性与最大值时，根据n的奇偶性确定相应的分界点；利用赋值法证明二项式系数的性质，数学思想方法的渗透.【教学方法】【教学情景设计】杨辉是中国南宋末年数学家、教育家。

“杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算法》一书中，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪。

在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的,他们把这个表叫做帕斯卡三角。

杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右。

1、杨辉三角具有对称性（对称美），与首末两端“等距离”的两个数相等。

2、第n行的数字个数为n-1个，n行数字和为：y=2^n3、数字等于上一行的左右两个数字之和。

4、杨辉三角的第2k行中第k+1个数最大；第2k＋1行中第是k个数与第k+1个数相等且最大。

5、每一行的第二个数，可以构成一个等差数列6、每一行的第三个数等于上一行的第三个加行数减一。

人教A版高中数学选修长春实验“杨辉三角”与二项式系数的性质导学案

【学习目标】通过对“杨辉三角”中的规律的探索，理解、掌握二项式系数的3条性质；会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.【重点难点】重点：二项式系数的性质的理解.难点：二项式系数性质的证明.知识链接：1. n b a )(+展开式的通项公是共有________项;2.组合数的两个性质是， .模块一：自主学习，明确目标自学教材第32页-----33页,并回答下列问题：问题1. 请写出n 从1到6时的“杨辉三角”;问题2. 观察“杨辉三角”,发现什么规律？模块二：问题探究探究1 ： nn k n n n C C C C ,...,,...,,10中, 证明:n 为奇数时,中间两项最大,n 为偶数时,中间一项最大?探究2:试证：在()n a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和模块三：巩固训练，整理提高练习:1.已知nx )1(+的展开式第4项与第8项的二项式系数相等,求这两项.2．求值(1)1111211111C C C +++(2) 1111511311111C C C C +++ (3) 11211101210+++++++++++++n n n n n n nn n n C C C C C C C C3. .⎝⎛⎭⎫x －1x 11的展开式中二项式系数最大的项是 ( ) A ．第3项 B ．第6项 C ．第5、6项 D ．第6、7项 ⎝⎛⎭⎫x －1x 11展开式中系数最大的项是哪一项? （实验班）三．课堂总结：1．知识：2．思想方法：【作业】1．教材37页习题1.3 B 组第2题2．已知：223(3)n x x +的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992．（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项。

高中数学-“杨辉三角”与二项式系数的性质导学案

“杨辉三角”与二项式系数的性质导学案一、【学习目标】知识目标1．利用二项式定理得出二项式系数的一些性质；2．能运用二项式系数的性质解决一些简单问题．能力目标1．熟知二项式系数的对称性、单调性、最大项及所有二项式系数之和等结论；2．熟练运用赋值法求一些代数式的值．情感、态度与价值观1．培养学生观察、归纳、发现的能力以及分析问题与解决问题的能力．2．通过学习“杨辉三角”的有关知识，了解我们国家悠久的文化传统，陶冶学生的爱国主情操，进一步提升学生学好数学用好数学的决心和勇气，提升学生学习数学的兴趣．二、【重点难点】重点：二项式系数的性质及其应用；难点：杨辉三角的基本性质的探索和发现。

三、【知识链接】1、二项式定理：________________________________________________；通项：；二项式系数：______________________________________________；2、( 1+x) n=________________________________________________；四、【合作探究】探究问题一杨辉三角的来历及规律问题1：把( a+b)n（n=1，2，3，4，5，6）展开式的二项式系数填入课本P32的表格。

通过填表，你发现了每一行的系数有什么规律？问题2：为了方便，可将上表改写成如下形式，表示形式的变化后你发现新的规律吗？(a+b)1 …………………………………………………1 1(a+b)2…………………………………………………1 2 1(a+b)3………………………………………………1 3 31(a+b)4……………………………………………1 4 6 41(a+b)5…………………………………………1 5 10 105 1(a+b)6………………………………………1 6 15 20 1 5 6 1……………………………归纳小结：杨辉三角揭示了二项展开式的二项式系数的变化情况，那么杨辉三角有何特点？蕴含规律：1、项数规律2、系数规律3、指数规律问题3：你能介绍杨辉三角的来历吗？探究问题二从函数角度分析二项式系数问题1：( a+b) n展开式的二项式系数C可看为，从函数角度看，r nC，定义域为成是以r为自变量的函数f(r)，令f(r)= r n问题2：当n=6时，作出函数f（r）的图象如下，其图象是七个孤立的点。

杨辉三角”与二项式系数的性质教案

第1页
学习必备
欢迎下载
7、教学设计前后呼应，使整个教学过程更加完整 8、不仅有作业本上的作业，更为学生准备了课下阅读材料，提高学生对数学的喜爱和认识
教
学环
教学内容
活动设活动目
计
标
信息技术运用及意图
节
通过教
师对图信息技术应用：使用【屏幕广
(一杨辉，南宋数学家，1261 年著教师边让片的解
讨论结果，一边在平板上书写
关键思路，这种表达形式更加
清晰，易理解
第3页
学习必备
欢迎下载
信息技术应用：使用【教师提
（3）对于(a+b)n 展开式的二项此处设计从函数问】
小组讨角度研
式系数 Cn0,Cn1,⋯Cnn, (四
论，将难究二项【学生示范】
令
)
, 如点进行层式系数设计意图：为了突破难点，设
规律
信息技术应用：使用【屏幕广播】设计意图：通过设计这个探究活动，学生可以从二项式系数表中获得二项式系数相关性质的直观感受，在 n 不大的情况下，可以通过这个表获得其他二项式展开的系数
从函数信息技术应用：使用【教师提
(四探究 2：（1）当 n=6 时，(a+b)6 此处设计角度研问】
教学设计亮点
1、以杨辉的人物简介和杨辉三角引入新课，这有以下三个方面的优势： (1)以杨辉三角中蕴含的小秘密为引入点，激发学生兴趣 (2)发现数学美 (3)体会中国古代数学的博大精深，对学生进行爱国主义教育，激发民族自豪感. 2、采用问题导学，将本节课的教学难点层层分解，从而达到学生自主解决重、难点的目的 3、生本思想贯穿其中，这主要体现在，学生能够自己解决的就让学生自己解决，自己解决有困难的可以尝试小组解决.通过设计各种探究活动，让学生在课堂上活动起来 4、充分考虑了信息技术应用，并尽可能为每个环节设计更加匹配的信息技术应用 5、加入数学史教育，让学生了解古代数学的伟大成就，将德育渗透其中 6、加入杨辉三角与弹球游戏的内容，让学生了解到古代数学知识与现代游戏项目的完美结合

二项式定理与杨辉三角教学设计

«“杨辉三角”与二项式系数的性质》教学设计
，C
,,C n
n 吗？它的定义域是什么？
探究四：二项式系数和三、巩固应用
（2）试证明在(a +b )n
的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
例2：
思考：
四、课堂小结
五、课后作业：探究与发现杨辉三角中的更多奥妙.
通过学生归纳猜想各二项式系数的和，引导学生验证猜想结论是否正确；同时为了突破利用赋值法证明二项式系数性质的难点，引导学生从模型化的角度出发，多角度的分析
问题、探究问题、解决问题，将学生思维推
向高潮，既加深学生对前后知识的内在联系的理解，又从深度和广度上让学生感受数学
知识的串联和呼应.
促进学生进一步掌握二项式系数的性质，学
会用赋值法解决问题，促进其有意识的运用．
通过课堂的整理、总结与反思，使学生更好的掌握主干知识，体会探究过程中渗透的数学思想方法，再次感受我国古代数学成就，激励自己努力学习.
“杨辉三角”还有很多有趣的规律，让学生带着问题走进课堂，带着疑问离开教室，培养学生自主研修的习惯，提高学生探究问题、解决问题的能力.
______1:4
32系数和是的展开式中奇次项
）（练习x x x +++726701267(12)x a a x a x a x a x -=+++++已知0)1(a 求：7321...)2(a a a a ++++1357(3)a a a a +++0246
(4)a a a a +++71237
(12)...x a a a a -++++展开式中求。

人教A版数学2-3选修1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质导学案设计

1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质课前预习学案一、预习目标借助“杨辉三角”数表，掌握二项式系数的对称性，增减性与最大值。

二、预习内容1、二项式定理：________________________________________________；二项式系数：______________________________________________；2、( 1+x) n =________________________________________________；练一练：把( a+b) n （n=1，2，3，4，5，6）展开式的二项式系数填入课本P 37的表格。

想一想：杨辉三角揭示了二项展开式的二项式系数的变化情况，那么杨辉三角有何特点？或者说二项式系数有何性质呢？画一画：当n=6时，作出函数f （r ）的图象，并结合图象分析二项式系数的性质。

课内探究学案一、学习目标①了解“杨辉三角”的特征，让学生偿试并发现二项式系数规律；②通过探究，掌握二项式系数的性质，并能用它计算和证明一些简单的问题；二、学习重难点：学习重点：二项式系数的性质及其应用；学习难点：杨辉三角的基本性质的探索和发现。

三、学习过程（一）、杨辉三角的来历及规律问题1：根据( a+b) n （n=1，2，3，4，5，6）展开式的二项式系数表，你能发现什么规律？问题2：杨辉三角揭示了二项展开式的二项式系数的变化情况，那么杨辉三角有何特点？或者说二项式系数有何性质呢？对于( a+b) n 展开式的二项式系数0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ，从函数角度看，r n C 可看成是以r 为自变量的函数f(r)，其定义域是{0，1，2，…，n}，令f(r)= r n C ，定义域为{0，1，2，…，n}问题3：当n=6时，作出函数f （r ）的图象，并结合图象分析二项式系数的性质。

（二）二项式系数的重要性质1、对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等。

《杨辉三角》导学案doc

数学实践课（2）----杨辉三角及其简单应用教学内容：杨辉三角的理解和应用教学目标：1.理解杨辉三角的数字规律，培养学生从特殊到一般的数学归纳、猜想能力.2.进一步巩固多项式乘多项式的运算，明确().n n n b a b a +≠+3.在小组讨论的过程中培养合作意识，在独立思考的过程中发展创造思维能力.4.通过课前的阅读，培养学生的自学能力.教学过程：一．课前准备1.阅读课本113页《杨辉三角》的内容；2.利用多项式×多项式法则计算3)(b a +和4)(b a +；二．杨辉三角及其特征的探究1.计算并观察 ()10=+b a()b a b a +=+12222)(b ab a b a ++=+3223333)(b ab b a a b a +++=+4322344464)(b ab b a b a a b a ++++=+展开式中共有几项？：问题n b a )(1+的次数有什么特点？母的次数有什么特点？字每项中，字母问题b a :2 问题3：展开式中各项的系数依次是什么？他们有什么特征？结论：1.nb a )(+展开式中共有项，每项的次数都是 .2.各项系数依次组成的图形就是杨辉三角，他们的主要特征是：（1）杨辉三角具有性；（2）每一行的首、末都是；（3）中间各数都等于它们两肩上的数的 .三．辨析：()?555吗b a b a +=+四．杨辉三角的简单应用1.观察下列各式及其展开式：2222)(b ab a b a ++=+3223333)(b ab b a a b a +++=+4322344464)(b ab b a b a a b a ++++=+…()66.55.45.36.10D C B A b a ）是（的展开式第三项的系数请你猜想+2.在(a ＋b)6展开式中，与倒数第3项二项式系数相等的是( )A 第２项B 第３项C 第４项D 第５项3.若n b a )+（的展开式中，第3项的二项式系数与第5项的二项式系数相等，则n=_________4.若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（）A ．10B ．20C ．30D ．1205. 若()929012912x a a x a x a x -=++++ ，则 129a a a +++ ＝．6.若7722107)21(x a x a x a a x ++++=- ,则=+++710a a a .。

人民教育A版选修2-3 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质导学案导学案

1.3.2《“杨辉三角”与二项式系数的性质》导学案制作朱春梅高二数学组 2016-05-23【学习目标】1.了解杨辉三角，并能有它解决简单的二项式系数问题.2.了解二项式系数的性质并能简单应用.3.掌握“赋值法”并会灵活应用.【重点难点】重点：二项式系数性质的应用.难点：杨辉三角的特点.【预习导航】1.计算展开式的二次项系数填入下表1.你能发现什么规律？2.通过查资料认识“杨辉三角”.3.复习二项式定理与二项式系数.探究活动一：“杨辉三角”1）．“杨辉三角”的来历.2）.你能从“杨辉三角”中发现什么规律吗？探究活动二：函数角度下的二项式系数探究活动三：二项式系数的性质1）.2）.3）.()nb a+【应用训练】例1 证明：在()nb a + 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．例2 已知nx x ⎪⎭⎫⎝⎛-23的展开式中，第4项的二项式系数是倒数第2项的二项式系数的7倍，求展开式中x 的一次项系数．变式：()nx 21+的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.【课堂巩固练习】1.n nn n n n C C C C 1321242-++++ 等于（） 2.()9b a +的展开式中，二项式系数的最大值为____________.3.若()n b a +的展开式中的第十项和第十一项的二项式系数最大，则n=_________.4.已知二项式 nx x ⎪⎭⎫⎝⎛+212的展开式中，前三项的二项式系数和是56.求：（1）n 的值；（2）求展开式中的常数项.【总结概括】本节课的收获：【课后作业】习题1.3 P37A 组第8题 B 组第 1题nA 3.13.-n B 213.-nC 123.-n D。

杨辉三角与二项式定理教学设计

1．3．2“杨辉三角”与二项式定理昌邑一中吴福顺一、复习引入：1．二项式定理及其特例：（1），（2） .2 ．二项展开式的通项公式：3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性二、讲解新课：（首先介绍杨辉本人，让学生了解杨辉）1 二项式系数表（杨辉三角）展开式的二项式系数，当依次取…时，二项式系数表，表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和2．二项式系数的性质：展开式的二项式系数是，，，…，．可以看成以为自变量的函数定义域是，例当时，其图象是个孤立的点（如图）（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵）．直线是图象的对称轴．（2）增减性与最大值．∵，∴相对于的增减情况由决定，，当时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项，取得最大值．（3）各二项式系数和：∵，令，则（讲解完成后，学生搜索有关二项式系数性质的网页，更加全面的了解二项式系数）三、讲解范例：例1．在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和证明：在展开式中，令，则，即，∴，即在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．（搜索赋值法，了解什么是赋值法）说明：由性质（3）及例1知 .例2．已知，求：（1）；（2）；（3） .解：（1）当时，，展开式右边为∴，当时，，∴，（2）令，①令，②①②得：，∴ .（3）由展开式知：均为负，均为正，∴由（2）中①+②得：，∴，∴例3.求 (1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x3的系数解：=，∴原式中实为这分子中的，则所求系数为四、拓展延伸：在(x2+3x+2)5的展开式中，求x的系数解：∵∴在(x+1)5展开式中，常数项为1，含x的项为，在(2+x)5展开式中，常数项为25=32，含x的项为∴展开式中含x的项为，∴此展开式中x的系数为240课堂小节：本节课学习了二项式系数的性质课堂练习：已知的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展开式的常数项作业：课后A组2、3。

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§1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
主讲：泉州中远学校高二数学组朱坤城
【三维目标】
1. 使学生建立“杨辉三角”与二项式系数之间的直觉，并探索其中的规律；
2．能运用函数观点分析处理二项式系数的性质；
3. 理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用。

4. 引导学生发现、欣赏数学中的美，弘扬民族文化。

【教学重难点】
教学重点：二项式系数的性质及其应用；
教学难点：杨辉三角的基本性质的探索和发现。

【教学过程】
【问题探究1】。

杨辉三角的来历及规律
早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和；指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它.这表明我国发现这个表不晚于11世纪；在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角.这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右.
认识杨辉三角：
1
1 1
12 1
133 1
1464 1
1510105 1
161520156 1
你能发现这个三角数阵的几个规律：
从以上的数阵，想想我们学过的哪些知识和它有联系？
【问题探究2】二项式定理与杨辉三角的联系。

问题1：二项式展开式是：
试把( a+b) n（n=0，1，2，3，4，5，6）展开式的二项式系数填入课本P32的表格。

问题2：为了方便，我们将上表改写成如下形式.
(a+b)0 (1)
(a+b)1 …………………………………………………1 1
(a+b)2…………………………………………………12 1
(a+b)3………………………………………………133 1
(a+b)4……………………………………………1464 1
(a+b)5…………………………………………1510105 1
(a+b)6………………………………………161520156 1
……………………………
【问题探究3】、从函数角度分析二项式系数：
问题1：( a+b) n 展开式的二项式系数为，从函数角
度看，r n C 可看成是以r 为自变量的函数f(r)，令f(r)= r n C ，定义域为
问题2：当n=6时，作出函数f （r ）的图象如下，其图象是七个孤立的点。

你能作当n=7时
函数f （r ）的图象吗？
问题3：当n=7时，函数f （r ）的图象是对称的吗？对称轴在哪儿？
【问题探究4】通过图象归纳二项式系数的重要性质
问题1：（对称性）与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等吗？由公式怎么表示？
知识对接考查1：
1，在6
()a b +展开式中，与倒数第三项二项式系数相等的是：（）
A.第2项 B ．第3项C ．第4项D ．第5项
2，若()n a b +的展开式中，第三项的二项式系数与第七项的二项式系数相等，则n=
问题2：（增减性与最大值） (1)由函数f （r ）的图象知，二项式系数的前半部分是逐渐
（增大，减小）的，由对称性知它的后半部分是逐渐的。

如何证明？
(2)二项式系数在中间处取得最大值，那么
①当n 是偶数时，中间最大的一项二项式系数是，是二项式展开式的第几项？
②当n 是奇数时，中间最大的两项二项式系数是和，是二项式展开式的第几项？
知识对接考查2：
1.在(1+x)10的展开式中，二项式系数最大为；在(1-x)11的展开式中，二项
式系数最大为
2.指出（a+2b ）15的展开式中哪些项的二项式系数最大？
问题3：各项二项式系数的和
①( 1+x) n =0n C +1n C x+2n C x 2+…+r n C x r +…+n n C x n , 那么
0n C +1n C +2n C +…+n n C =
②例1试证：在（a+b ）n 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的
和。

知识对接考查3：
12101010101._____;L C C C +++=
变式提升：已知7270127(12)....x a a x a x a x -=++++
求 (1) =++++++7654321a a a a a a a
(2) =+++7531a a a a
(3) =+++6420a a a a
【课堂小结】
1.二项式系数的性质:
2.数学思想：
3.数学方法：
【课后检测】
1、已知515C =a ，915C =b ，那么1016C =__________；
2、（a+b ）n 的各二项式系数的最大值是____________；
3、111C +311C +…+11
11C =________；
4、=+++++++++++++11211101210n n n n n n n n n n C C C C C C C C ΛΛ__________；
5、证明：0n C +2n C +4n C +…+
n n C =2n-1 (n 是偶数) ；
课后探究题：中世纪意大利数学家斐波那契的传世之作《算术之法》中提出了一个饶有趣味的问题：假定一对刚出生的兔子一个月就能长成大兔子，再过一个月就开始生下一对小兔子，并且以后每个月都生一对小兔子．设所生一对兔子均为一雄一雌，且均无死亡．问一对刚出生的小兔一年内可
以繁殖成多少对兔子？
你能在杨辉三角数阵中找到答案吗？试试看，相信你能！。