杨辉三角与二项式定理导学案

§1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质

主讲：泉州中远学校高二数学组朱坤城

【三维目标】

1. 使学生建立“杨辉三角”与二项式系数之间的直觉，并探索其中的规律；

2．能运用函数观点分析处理二项式系数的性质；

3. 理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用。

4. 引导学生发现、欣赏数学中的美，弘扬民族文化。

【教学重难点】

教学重点：二项式系数的性质及其应用；

教学难点：杨辉三角的基本性质的探索和发现。

【教学过程】

【问题探究1】。杨辉三角的来历及规律

早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和；指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它.这表明我国发现这个表不晚于11世纪；在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角.这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右.

认识杨辉三角：

1

1 1

12 1

133 1

1464 1

1510105 1

161520156 1

你能发现这个三角数阵的几个规律：

从以上的数阵，想想我们学过的哪些知识和它有联系？

【问题探究2】二项式定理与杨辉三角的联系。

问题1：二项式展开式是：

试把( a+b) n（n=0，1，2，3，4，5，6）展开式的二项式系数填入课本P32的表格。问题2：为了方便，我们将上表改写成如下形式.

(a+b)0 (1)

(a+b)1 …………………………………………………1 1

(a+b)2…………………………………………………12 1

(a+b)3………………………………………………133 1

(a+b)4……………………………………………1464 1

(a+b)5…………………………………………1510105 1

(a+b)6………………………………………161520156 1

……………………………

【问题探究3】、从函数角度分析二项式系数：

问题1：( a+b) n 展开式的二项式系数为 ，从函数角

度看，r n C 可看成是以r 为自变量的函数f(r)，令f(r)= r n C ，定义域为

问题2：当n=6时，作出函数f （r ）的图象如下，其图象是七个孤立的点。你能作当n=7时

函数f （r ）的图象吗？

问题3：当n=7时，函数f （r ）的图象是对称的吗？对称轴在哪儿？

【问题探究4】通过图象归纳二项式系数的重要性质

问题1：（对称性）与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等吗？由公式怎么表示？

知识对接考查1：

1，在6

()a b +展开式中，与倒数第三项二项式系数相等的是：（ ）

A.第2项 B ．第3项C ．第4项D ．第5项

2，若()n a b +的展开式中，第三项的二项式系数与第七项的二项式系数相等，则n=

问题2： （增减性与最大值） (1)由函数f （r ）的图象知，二项式系数的前半部分是逐渐

（增大，减小）的，由对称性知它的后半部分是逐渐 的。如何证明？

(2)二项式系数在中间处取得最大值，那么

①当n 是偶数时，中间最大的一项二项式系数是 ，是二项式展开式的第几项？

②当n 是奇数时，中间最大的两项二项式系数是 和 ，是二项式展开式的第几项？

知识对接考查2：

1.在(1+x)10的展开式中，二项式系数最大为 ； 在(1-x)11的展开式中，二项

式系数最大为

2.指出（a+2b ）15的展开式中哪些项的二项式系数最大？

问题3：各项二项式系数的和

①( 1+x) n =0n C +1n C x+2n C x 2+…+r n C x r +…+n n C x n , 那么

0n C +1n C +2n C +…+n n C =

②例1试证：在（a+b ）n 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的

和。

知识对接考查3：

12101010101._____;L C C C +++=

变式提升： 已知7270127(12)....x a a x a x a x -=++++

求 (1) =++++++7654321a a a a a a a

(2) =+++7531a a a a

(3) =+++6420a a a a

【课堂小结】

1.二项式系数的性质:

2.数学思想：

3.数学方法 ：

【课后检测】

1、已知515C =a ，915C =b ，那么1016C =__________；

2、（a+b ）n 的各二项式系数的最大值是____________；

3、111C +311C +…+11

11C =________；

4、=+++++++++++++11211101210n n n n n n n n n n C C C C C C C C ΛΛ__________；

5、证明：0n C +2n C +4n C +…+

n n C =2n-1 (n 是偶数) ；

课后探究题： 中世纪意大利数学家斐波那契的传世之作《算术之法》中提出了一个饶有趣味的问题：假定一对刚出生的兔子一个月就能长成大兔子，再过一个月就开始生下一对小兔子，并且以后每个月都生一对小兔子．设所生一对兔子均为一雄一雌，且均无死亡．问一对刚出生的小兔一年内可