(完整word)三角函数最全知识点总结,推荐文档
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②标注：从 x 轴正半轴开始，按照逆时针方向顺次循环标上 1,2,3,4，直至 回到 x 轴正半轴．
α ③选答：出现数字 m 的区域，即为k所在的象限．
α 如2判断象限问题可采用等分象限法．
二、同角三角函数的基本关系式与诱导公式
1．同角三角函数的基本关系式
sinx (1)平方关系：__sin2x＋cos2x＝1__. (2)商数关系：__cosx＝tanx__.
(4)若扇形的半径为 r，圆心角的弧度数为 α，则此扇形的弧长
1
1
l＝__|α|·r__，面积 S＝__2|α|r2__＝__2lr__.
3．任意角的三角函数定义
(1)设 α 是一个任意角，α 的终边上任意一点(非顶点)P 的坐标是(x，y)，它
y
x
y
与原点的距离为 r，则 sinα＝__r__，cosα＝__r__，tanα＝__x__.
(2)三角函数在各象限的符号是：
sinα
cosα
tanα
Ⅰ
__＋__
__＋__
__＋__
Ⅱ
__＋__
__－__
__－__
Ⅲ
__－__
__－__
__＋__
Ⅳ
__－__
__＋__
__－__
记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
(3)三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在 x 轴上， 余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段
轴线角
2．弧度制 (1)1 度的角：__把圆周分成 360 份，每一份所对的圆心角叫 1°的角__.
(2)1 弧度的角：__弧长等于半径的圆弧所对的圆心角叫 1 弧度的角__.
(3)角度与弧度的换算：
π
180
360°＝__2π__rad,1°＝__180__rad,1rad＝(__ π __)≈57°18′.
2tanα
kπ π
π
(3)tan2α＝__1－tan2α__(α≠ 2 ＋4且 α≠kπ＋2，k∈Z)．
3．半角公式(不要求记忆)
α 1－cosα (1)sin2＝± 2 ；
α 1＋cosα (2)cos2＝± 2 ；
α 1－cosα sinα 1－cosα (3)tan2＝± 1＋cosα＝1＋cosα＝ sinα .
MP，OM，AT 分别叫做角 α 的__正弦__线、__余弦__线和__正切__线．
4．终边相同的角的三角函数 sin(α＋k·2π)＝__sinα__， cos(α＋k·2π)＝__cosα__， tan(α＋k·2π)＝__tanα__(其中 k∈Z)， 即终边相同的角的同一三角函数的值相等．
因此已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值，便可求其余两个代数式的值．
三、两角和与差的三角函数 二倍角公式
1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin2α＝__2sinαcosα__；
(2)cos2α＝__cos2α－sin2α__＝__2cos2α__－1＝1－__2sin2α__；
三角函数、解三角形 一、任意角和弧度制及任意角的三角函数
1.任意角的概念 (1)我们把角的概念推广到任意角，任意角包括正角、负角、零角． ①正角：按__逆时针__方向旋转形成的角． ②负角：按__顺时针__方向旋转形成的角． ③零角：如果一条射线__没有作任何旋转__，我们称它形成了一个零角． (2)终边相同角：与 α 终边相同的角可表示为：{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}，或 {β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． (3)象限角：角 α 的终边落在__第几象限__就称 α 为第几象限的角，终边落 在坐标轴上的角不属于任何象限. 象限角
π
π
π
π
2π
5π
3π
角 α 的弧度数 0
π
6
4
3
2
3
6
2
1百度文库
2
3
3
1
sinα
0
1
0
－1
2
2
2
2
2
3
2
1
1
3
cosα
1
0
－1
0
2
2
2
－2 － 2
3
tanα
0
1
3
3
－3
3 0
－3
3.诱导公式的记忆口诀
π “奇变偶不变，符号看象限”．“奇”与“偶”指的是诱导公式 k·2＋α 中的整数 k 是奇数还 是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若 k 是奇数，则正、余弦互变；若 k 为
2．三角函数的诱导公式
组数
一
二
三
四
五
六
π
π
角 2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
2－α
2＋α
正弦
sinα
__－sinα__ __－sinα__ __sinα__ __cosα__ __cosα__
余弦
cosα
__－cosα__ __cosα__ __－cosα__ __sinα__ __－sinα__
π
π
偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是在 k·2＋α 中，将 α 看成锐角时 k·2＋α 所在
的象限．
4.sinx＋cosx、sinx－cosx、sinxcosx 之间的关系
sinx＋cosx、sinx－cosx、sinxcosx 之间的关系为(sinx＋cosx)2＝1＋2sinxcosx，(sinx－cosx) 2＝1－2sinxcosx，(sinx＋cosx)2＋(sinx－cosx)2＝2.
重要结论
1＋cos2α
1－cos2α
1．降幂公式：cos2α＝ 2 ，sin2α＝ 2 .
2．升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.
3．公式变形：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanα·tanβ)．
1－tanα π
1＋tanα π
1＋tanα＝tan(4－α)；1－tanα＝tan(4＋α)
正切
tanα
__tanα__ __－tanα__ __－tanα__
重要结论
1．同角三角函数基本关系式的变形应用：如 1
sinx＝tanx·cosx，tan2x＋1＝cos2x，(sinx＋cosx)2＝1＋2sinxcosx 等．
2．特殊角的三角函数值表
角α
0° 30° 45° 60° 90° 120° 150° 180° 270°
重要结论 1．终边相同的角不一定相等，相等角的终边一定相同，在书写与角 α 终边 相同的角时，单位必须一致．
α 2．确定k(k∈N*)的终边位置的方法 (1)讨论法： ①用终边相同角的形式表示出角 α 的范围．
α ②写出k的范围．
α ③根据 k 的可能取值讨论确定k的终边所在位置．
α (2)等分象限角的方法：已知角 α 是第 m(m＝1,2,3,4)象限角，求k是第几象 限角． ①等分：将每个象限分成 k 等份．
α ③选答：出现数字 m 的区域，即为k所在的象限．
α 如2判断象限问题可采用等分象限法．
二、同角三角函数的基本关系式与诱导公式
1．同角三角函数的基本关系式
sinx (1)平方关系：__sin2x＋cos2x＝1__. (2)商数关系：__cosx＝tanx__.
(4)若扇形的半径为 r，圆心角的弧度数为 α，则此扇形的弧长
1
1
l＝__|α|·r__，面积 S＝__2|α|r2__＝__2lr__.
3．任意角的三角函数定义
(1)设 α 是一个任意角，α 的终边上任意一点(非顶点)P 的坐标是(x，y)，它
y
x
y
与原点的距离为 r，则 sinα＝__r__，cosα＝__r__，tanα＝__x__.
(2)三角函数在各象限的符号是：
sinα
cosα
tanα
Ⅰ
__＋__
__＋__
__＋__
Ⅱ
__＋__
__－__
__－__
Ⅲ
__－__
__－__
__＋__
Ⅳ
__－__
__＋__
__－__
记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
(3)三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在 x 轴上， 余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段
轴线角
2．弧度制 (1)1 度的角：__把圆周分成 360 份，每一份所对的圆心角叫 1°的角__.
(2)1 弧度的角：__弧长等于半径的圆弧所对的圆心角叫 1 弧度的角__.
(3)角度与弧度的换算：
π
180
360°＝__2π__rad,1°＝__180__rad,1rad＝(__ π __)≈57°18′.
2tanα
kπ π
π
(3)tan2α＝__1－tan2α__(α≠ 2 ＋4且 α≠kπ＋2，k∈Z)．
3．半角公式(不要求记忆)
α 1－cosα (1)sin2＝± 2 ；
α 1＋cosα (2)cos2＝± 2 ；
α 1－cosα sinα 1－cosα (3)tan2＝± 1＋cosα＝1＋cosα＝ sinα .
MP，OM，AT 分别叫做角 α 的__正弦__线、__余弦__线和__正切__线．
4．终边相同的角的三角函数 sin(α＋k·2π)＝__sinα__， cos(α＋k·2π)＝__cosα__， tan(α＋k·2π)＝__tanα__(其中 k∈Z)， 即终边相同的角的同一三角函数的值相等．
因此已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值，便可求其余两个代数式的值．
三、两角和与差的三角函数 二倍角公式
1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin2α＝__2sinαcosα__；
(2)cos2α＝__cos2α－sin2α__＝__2cos2α__－1＝1－__2sin2α__；
三角函数、解三角形 一、任意角和弧度制及任意角的三角函数
1.任意角的概念 (1)我们把角的概念推广到任意角，任意角包括正角、负角、零角． ①正角：按__逆时针__方向旋转形成的角． ②负角：按__顺时针__方向旋转形成的角． ③零角：如果一条射线__没有作任何旋转__，我们称它形成了一个零角． (2)终边相同角：与 α 终边相同的角可表示为：{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}，或 {β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． (3)象限角：角 α 的终边落在__第几象限__就称 α 为第几象限的角，终边落 在坐标轴上的角不属于任何象限. 象限角
π
π
π
π
2π
5π
3π
角 α 的弧度数 0
π
6
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1百度文库
2
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3.诱导公式的记忆口诀
π “奇变偶不变，符号看象限”．“奇”与“偶”指的是诱导公式 k·2＋α 中的整数 k 是奇数还 是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若 k 是奇数，则正、余弦互变；若 k 为
2．三角函数的诱导公式
组数
一
二
三
四
五
六
π
π
角 2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
2－α
2＋α
正弦
sinα
__－sinα__ __－sinα__ __sinα__ __cosα__ __cosα__
余弦
cosα
__－cosα__ __cosα__ __－cosα__ __sinα__ __－sinα__
π
π
偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是在 k·2＋α 中，将 α 看成锐角时 k·2＋α 所在
的象限．
4.sinx＋cosx、sinx－cosx、sinxcosx 之间的关系
sinx＋cosx、sinx－cosx、sinxcosx 之间的关系为(sinx＋cosx)2＝1＋2sinxcosx，(sinx－cosx) 2＝1－2sinxcosx，(sinx＋cosx)2＋(sinx－cosx)2＝2.
重要结论
1＋cos2α
1－cos2α
1．降幂公式：cos2α＝ 2 ，sin2α＝ 2 .
2．升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.
3．公式变形：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanα·tanβ)．
1－tanα π
1＋tanα π
1＋tanα＝tan(4－α)；1－tanα＝tan(4＋α)
正切
tanα
__tanα__ __－tanα__ __－tanα__
重要结论
1．同角三角函数基本关系式的变形应用：如 1
sinx＝tanx·cosx，tan2x＋1＝cos2x，(sinx＋cosx)2＝1＋2sinxcosx 等．
2．特殊角的三角函数值表
角α
0° 30° 45° 60° 90° 120° 150° 180° 270°
重要结论 1．终边相同的角不一定相等，相等角的终边一定相同，在书写与角 α 终边 相同的角时，单位必须一致．
α 2．确定k(k∈N*)的终边位置的方法 (1)讨论法： ①用终边相同角的形式表示出角 α 的范围．
α ②写出k的范围．
α ③根据 k 的可能取值讨论确定k的终边所在位置．
α (2)等分象限角的方法：已知角 α 是第 m(m＝1,2,3,4)象限角，求k是第几象 限角． ①等分：将每个象限分成 k 等份．