必修四 平面向量 综合测试题
人教版高一数学必修4第二章平面向量测试题(含答案)
必修4 第二章平面向量检测参考答案一、选择题：1C、2C、3A、4C、5D、6B、7C、8B、9D、10A、11C、12C、二. 填空题6 5 3 5 6 5 3 513 （1，3）．14 28 15 （，）或（，）5 5 5 516 （5，3）17 2 35三. 解答题:18、（1）∵AB ＝（0－1，1－0）＝（－1，1），AC ＝（2－1，5－0）＝（1，5）．∴ 2 AB ＋AC ＝2（－1，1）＋（1，5）＝（－1，7）∴|2 AB ＋AC | ＝ 2 7 2( 1) ＝50 ．（2）∵| AB| ＝( 1)2 12 ＝ 2 ．| AC | ＝12 52 ＝26，AB·AC ＝（－1）×1＋1×5＝4．∴cos ＝AB AC| AB | | AC | ＝42＝2 261313．（3）设所求向量为m ＝（x，y），则x2＋y2＝1．①又BC ＝（2－0，5－1）＝（2，4），由BC⊥m ，得2 x ＋4 y ＝0．②2 5 2 5x x－5 5 由①、②，得或∴（5 55 5y．y．255，－52）或（－555，55）即为所求．19．由题设, 设b= , 则由, 得. ∴,解得sin α=1 或当sin α=1 时，cosα=0；当时，。
故所求的向量或。
2 b ka t b20．解：（1）, 0. [( 3) ] ( ) 0.x y x y 即 a t2 22a b 0,a 4,b 1,4k t(t 3) 0,即k 142t(t 3).（2）由f(t)>0, 得1 2t(t 3) 0,即t(t 3) (t 3)0,则 3 t 0或4t 3.必修4 第二章平面向量检测参考答案一、选择题：1C、2C、3A、4C、5D、6B、7C、8B、9D、10A、11C、12C、二. 填空题6 5 3 5 6 5 3 513 （1，3）．14 28 15 （，）或（，）5 5 5 516 （5，3）17 2 35三. 解答题:18、（1）∵AB ＝（0－1，1－0）＝（－1，1），AC ＝（2－1，5－0）＝（1，5）．∴ 2 AB ＋AC ＝2（－1，1）＋（1，5）＝（－1，7）∴|2 AB ＋AC | ＝ 2 7 2( 1) ＝50 ．（2）∵| AB| ＝( 1)2 12 ＝ 2 ．| AC | ＝12 52 ＝26，AB·AC ＝（－1）×1＋1×5＝4．∴cos ＝AB AC| AB | | AC | ＝42＝2 261313．（3）设所求向量为m ＝（x，y），则x2＋y2＝1．①又BC ＝（2－0，5－1）＝（2，4），由BC⊥m ，得2 x ＋4 y ＝0．②2 5 2 5x x－5 5 由①、②，得或∴（5 55 5y．y．255，－52）或（－555，55）即为所求．19．由题设, 设b= , 则由, 得. ∴,解得sin α=1 或当sin α=1 时，cosα=0；当时，。
(word完整版)高中数学必修4平面向量综合练习题
数学必修 4 平面向量综合练习题一、选择题【共 12 道小题】1、以下说法中正确的选项是 ()A. 两个单位向量的数量积为1B. 假设 a·b=a·c且 a≠0, 那么 b=cC.D. 假设 b⊥c, 那么(a+c) ·b=a·b参考答案与解析 : 解析： A 中两向量的夹角不确定 ;B 中假设 a⊥b,a ⊥c,b与 c 反方向那么不成立 ;C 中应为;D 中 b⊥c b·c=0, 所以 (a+c) ·b=a·b+c·b=a·b.答案： D主要考察知识点 : 向量、向量的运算2、设 e 是单位向量 ,=2e,=-2e,||=2, 那么四边形 ABCD是()A. 梯形B. 菱形C. 矩形D. 正方形参考答案与解析 : 解析：, 所以 ||=||,且 AB∥CD,所以四边形ABCD是平行四边形 .又因为 ||=||=2,所以四边形 ABCD是菱形 .答案： B主要考察知识点 : 向量、向量的运算3、 |a|=|b|=1，a 与 b 的夹角为90°, 且 c=2a+3b ，d=ka-4b, 假设 c⊥d, 那么实数 k 的值为 ()参考答案与解析 : 解析：∵ c⊥d, ∴c·d=(2a+3b) ·(ka-4b)=0, 即 2k- 12=0, ∴k=6.答案： A主要考察知识点 : 向量、向量的运算4、设 0≤θ＜ 2π, 两个向量=(cos θ， sin θ),=(2+sin θ， 2- cosθ) ，那么向量长度的最大值是 ()A. B. C.D.参考答案与解析 : 解析：=(2+sin θ - cosθ,2 - cosθ - sin θ),所以 ||=≤=.答案： C主要考察知识点 : 向量与向量运算的坐标表示5、设向量 a=(1,-3) ， b=(-2,4)， c=(-1,-2)，假设表示向量4a、 4b-2c 、 2(a-c)、d 的有向线段首尾相接能构成四边形，那么向量 d 为 ()A.(2,6)B.(-2,6)C.(2,-6)D.(-2,-6)参考答案与解析: 解析：依题意,4a+4b-2c+2(a-c)+d=0,答案： D主要考察知识点: 向量与向量运算的坐标表示6、向量a=(3 ， 4) ， b=(-3 ，1) ， a 与 b 的夹角为所以θ, 那么d=-6a+4b-4c=(-2 tan θ等于 (， -6).)A.参考答案与解析: 解析：由得a·b=3×(- 3)+4 ×1= -5 ， |a|=5 ， |b|=，所以 cosθ=.由于θ∈［ 0，π］ ,所以 sin θ=.所以 tan θ==-3.答案： D主要考察知识点: 向量与向量运算的坐标表示7、向量 a 与b 不共线,=a+kb,=la+b(k、l ∈R),且与共线 , 那么k、l 应满足() A.k+l=0 B.k-l=0 C.kl+1=0D.kl-1=0参考答案与解析:解析：因为与共线,所以设=λ( λ∈ R) ,即la+b= λ(a+kb)= λa+λkb, 所以(l- λ)a+(1 - λk)b=0.因为 a 与 b 不共线 , 所以 l- λ=0 且 1- λk=0, 消去λ得 1-lk=0,即kl-1=0.答案： D主要考察知识点: 向量、向量的运算8、平面内三点A(-1,0),B(5,6),P(3,4),且AP=λPB,那么λ 的值为()C. D.参考答案与解析: 解析：因为=λ, 所以 (4 ，4)= λ(2 ，2).所以λ=.答案： C主要考察知识点: 向量与向量运算的坐标表示9、设平面向量a1，a2，a3 的和 a1+a2+a3=0，如果平面向量时针旋转30°后与bi 同向，其中i=1 ， 2， 3，那么 ()b1，b2，b3满足 |bi|=2|ai|，且ai顺A.-b1+b2+b3=0 B.b1-b2+b3=0C.b1+b2-b3=0D.b1+b2+b3=0参考答案与解析: 解析：根据题意, 由向量的物理意义, 共点的向量模伸长为原来的 2 倍, 三个向量都顺时针旋转30°后合力为原来的 2 倍 , 原来的合力为零, 所以由 a1+a2+a3=0, 可得 b1+b2+b3=0.答案： D主要考察知识点: 向量、向量的运算10、设过点P(x ， y) 的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A、 B两点，点Q与点 P 关于y 轴对称，O为坐标原点，假设, 且·=1, 那么P 点的轨迹方程是()A.3x2+y2=1(x ＞ 0,y ＞0)y2=1(x ＞ 0,y ＞ 0)C. x2-3y2=1(x ＞ 0,y ＞0)参考答案与解析 : 解析：设P(x,y),那么Q(-x,y).D.设x2+3y2=1(x ＞0,yA(xA),xA,B(0,yByB0,＞ 0)=(x,y-yB)=(xAx,-y).∵=2PA,∴x=2(xA,x),y -yB=2y,xA=x,yB=3y(x ＞0,y ＞ 0).又∵·=1,(- x,y) ·(-xA,yB)=1,∴(- x,y) ·(x,3y)=1,即x2+3y2=1(x ＞ 0,y ＞0).答案： D主要考察知识点: 向量、向量的运算11、△ ABC 中，点 D 在 BC边上，且，假设, 那么 r+s 的值是 ()A. C.D .-3参考答案与解析: 解析：△ ABC 中，== ()=-，故r+s=0.答案： B主要考察知识点: 向量、向量的运算12、定义 a※b=|a||b|sinθ，θ 是向量 a 和b 的夹角， |a|、|b|分别为a、b 的模，点A(-3,2)、B(2,3),O是坐标原点，那么※等于 ()参考答案与解析 : 解析：由题意可知=(-3,2),=(2,3),计算得·=- 3×2+2×3=0，另一方面·=||||cos θ，∴c osθ=0,又θ∈ (0,π) ，从而sin θ=1，∴※=||||sinθ=13.答案： D主要考察知识点: 向量与向量运算的坐标表示二、填空题【共 4 道小题】1、 a+b+c=0, 且 |a|=3,|b|=5,|c|=7,那么向量a 与参考答案与解析: 解析：由得a+b=-c, 两边平方得b 的夹角是 ____________.a2+2a·b+b2=c2,所以2a·b=72 -32-52=15.设a 与b 的夹角为θ,那么cosθ===,所以θ=60°.答案： 60°主要考察知识点: 向量、向量的运算2、假设=2e1+e2,=e1-3e2,=5e1+λe2, 且 B、 C、 D 三点共线 , 那么实数λ=___________.参考答案与解析: 解析：由可得=(e1-3e2)-(2e1+e2)=-e1-4e2,=(5e1+λe2) -(e1-3e2)=4e1+(λ+3)e2.由于 B、 C、 D 三点共线 , 所以存在实数m使得,即-e1-4e2=m ［4e1+(λ+3)e2］ . 所以 -1=4m 且 - 4=m(λ+3), 消去 m得λ=13.答案： 13主要考察知识点: 向量、向量的运算3、 e1、 e2 是夹角为60°的两个单位向量, 那么 a=2e1+e2 和 b=2e2-3e1 的夹角是 __________.参考答案与解析: 解析：运用夹角公式cosθ=，代入数据即可得到结果.答案： 120°。
最新新人教A版高中数学必修四 《平面向量》综合测试题(含答案解析)
《平面向量》综合测试题班级___________姓名____________学号____________得分____________一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出地四个选项中，只有一项是符合题目要求地)1. 若A（2，-1），B（-1，3），则地坐标是( )A.（1，2）B.（-3，4）C. （3，-4）D. 以上都不对2.与a=（4，5）垂直地向量是( )A.（-5k，4k）B. (-10，2）C.(54,k k-) D.（5k ， -4k ） 3. △ABC 中，=a ， =b ，则等于( )A.a+bB.-(a+b )C.a-bD.b-a4.化简52(a －b )－31(2a +4b )+152(2a +13b)地结果是 ( ) A.51a ±51b B.0 C. 51a +51b D. 51a －51b 5.已知|p |=22，|q |=3， p 与q 地夹角为4π，则以a =5p +2q ，b =p －3q 为邻边地平行四边形地一条对角线长为( )A.15B.15C. 16D.14 6.已知A (2，-2)，B (4，3)，向量p 地坐标为(2k -1，7)且p ∥，则k 地值为 ( ) A.109- B.109 C.1019- D.1019 7. 已知△ABC 地三个顶点，A 、B 、C 及平面内一点P 满足PA PB PC AB ++=u u u r u u u v u u u v u u u v ，则点P 与△ABC地关系是 ( )A. P 在△ABC 地内部B. P 在△ABC 地外部C. P 是AB 边上地一个三等分点D. P 是AC 边上地一个三等分点8.已知△ABC 地三个顶点，A (1，5)，B (-2，4)，C (-6，-4)，M 是BC 边上一点，且△ABM 地面积是△ABC 面积地41，则线段AM 地长度是 ( )A.5B.C.259.设e 1，e 2是夹角为450地两个单位向量，且a =e 1+2e 2，b =2e 1+e 2，，则|a +b |地值( ) A.23 B.9 C.2918+ D.223+10.若|a |=1，|b(a -b )⊥a ，则a 与b地夹角为( )A.300B.450C.600D.75011.把一个函数地图象按向量a=(π，-2)平3移后，得到地图象对应地函数解析式为y=sin(x+π)-2，则原函数地解析式为6( )A.y=sin xB.y=cos xC.y=sin x+2D.y= -cos x12.在△ABC中，=c，BC u u u r= a，CA u u u r=b，则下列推导中错误地是( )A.若a·b<0，则△ABC为钝角三角形B. 若a ·b =0，则△ABC 为直角三角形C. 若a ·b =b ·c ，则△ABC 为等腰三角形D. 若c ·( a +b +c )=0，则△ABC 为等腰三角形二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中地横线上)13.在△ABC,4=且,8=⋅AC AB 则这个三角形地形状是 .14.一艘船从A 点出发以h km /32地速度向垂直于对岸地方向行驶，同时河水地流速为h km /2，则船实际航行地速度地大小和方向是 .15. 若向量)4,7(),1,2(),2,3(-=-=-=c b a ，现用a 、b 表示c ，则c= .16.给出下列命题:①若a 2+b 2=0，则a =b =0;②已知A ),,(11y x B ),(22y x ，则);2,2(212121y y x x ++=③已知a ，b ，c 是三个非零向量，若a +b =0，则|a ·c |=|b ·c |④已知0,021>>λλ，e 1，e 2是一组基底，a =λ1e 1+λ2e 2则a 与e 1不共线，a 与e 2也不共线;⑤若a 与b 共线，则a ·b =|a |·|b |.其中正确命题地序号是 .三、解答题(本大题共6小题，17-21题每小题12分，22题14分，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.如图，ABCD是一个梯形，//=， M 、N 分别是,地中点，已知=AB a ，=AD b ，试用a 、b 表示,DC BC u u u r u u u r 和.MN u u u u r 18.设两个非零向量e 1、e 2不共线.如果A BN M DC=e1+e2，=2e1+8e2，=3(e1-e2)⑴求证:A、B、D共线;⑵试确定实数k，使ke1+e2和e1+ke2共线.19.已知△ABC中，A(2，4)，B(-1，-2)，C(4，3)，BC边上地高为AD.⑴求证:AB⊥AC;⑵求点D与向量地坐标.20.已知△ABC地三个顶点为A(1，2)，B(4，1)，C(3，4).⑴求AB边上地中线CM地长;⑵在AB上取一点P，使过P且平行与BC地直线PQ把ABC∆地面积分成4:5两部分，求P点地坐标.21.已知a、b是两个非零向量，证明：当b 与a+λb(λ∈R)垂直时，a+λb地模取得最小值.22.已知二次函数f(x) 对任意x∈R，都有f(1-x )=f (1+x )成立，设向量a =(sin x ，2)， b =(2sin x ，21)， c =(cos2x ，1)，d =(1，2)。
北师大版必修四第二章平面向量综合检测题及答案解析
综合检测（二）（时间120分钟，满分150分）、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的）a ，b ，c 满足 a / b ，且 a 丄c ，贝U c (a + 2b )=( )C. 2•.a 丄c ，-'a c = 0.又•••a//b ，二可设b = a 则 c (a + 2b ) = c(1 + 2 ?)a2.已知向量a = （1,0）与向量b = （—1,^/3）,则向量a 与b 的夹角是（ ）nA -6C.2n【答案】A. 2C-6'•'1= (1 + x,3)， u= (1 — x,1)， 1/u•••(1+ X)x 1-3X (1 — X) — 0,.・.x=2第二章平面向量1.若向量【解析】【答案】 D x k B1 . c o mn B.3【解析】cos〈a ，b 〉=器=T^•••0，b 〉 2n=3 .3.已知 a = (1,2)， b —(X ，1)，11= a + b, u= a — b,且1/ u 则x 的值为（）【解析】【答案】A4.已知|a| = 2|b|, |b|M 0,且关于x的方程x2+ |a|x + ab= 0有实根，则a与b的夹角的取值范围是()n A. [0,6】n , B. [3, n> 0. C. [5,劭n ,D. [6, n【解析】|a|2— 4a b=a f — 4|a||b|cos〈a, b〉= 4|b|2— 8|b|2 cos〈a,b〉-cos a, b〉1W2，〈a, b〉€ [0, n .a,b〉【答案】5.已知|a| = 1, |b| = 6, a (b—a) = 2,则向量a与b的夹角是( )nA.6nB.4nC.nnD-22 2【解析】--a (b—a) = a b— a = 2,.・.|a||b|cos B—|a| = 2,1 n•••1x 6x cos — 1 = 2,.・.cos = 2，又0W 0W n 二=3,故选 C.【答案】 C6.已知OA= (2,2), 5B= (4,1)，在x轴上一点P使A P B P有最小值，则P点的坐标是( )A. (—3,0)B. (3,0)C. (2,0)D. (4,0)【解析】设P(x,0),.・.AP= (x—2,—2), BP= (x —4,— 1),A AP BP= (x—2)(x —4)+ 22 2=x —6x+ 10= (x—3) +1,当x= 3时，AP BP取最小值，此时P(3,0).【答案】 B7•若a,b是非零向量，且a丄b,|a|M |b|,则函数f(x)= (x a+ b) (x b—a)是( )A .一次函数且是奇函数B.一次函数但不是奇函数C•二次函数且是偶函数D.二次函数但不是偶函数【解析】..a丄b,.・.a b= 0,•••f(x) = (x a + b) (x b—a) = x2(a b)+ (|b|2—|a|2)x—a b= (|bf—a|2)x,又|a|M|b|.•••f(x )是一次函数且为奇函数，故选A.【答案】 A> —> AB AC —> AB AC 18 已知非零向量AB与AC满足(=+=) BC = 0且===2则^ ABC |AB| AC| |AB| |AC|A .等边三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.三边均不相等的三角形【解析】AB和钥分别是与AB, AC同向的两个单位向量.|AB| AC|AB AC AB AC f兰+号是/BAC角平分线上的一个向量，由+弋)BC = 0知该向|AB| |AC| |AB| |AC|AB AC 1量与边BC垂直，.・.ZABC是等腰三角形.由 f f = 2知/BAC= 60 : •••ZABC是|AB|| AC|等边三角形.【答案】 A9. (2013 湖北高考)已知点 A(— 1,1), B(1,2), C(-2,— 1), D(3,4),则向量 AB 在CD 方向上的投影为()A鉅C .-寥【解析】 由已知得AB = (2,1), CD = (5,5),因此AB 在CD 方向上的投影为AB CD _ _鉅|CD| 5©2【答案】 A10•在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点'则-()D. 10【解析】--PA ^ CA — CP ,7 2 7 2 7 7 7 2 IPAl = CA — 2CP CA+CP .—7 —7 —7 —7 少 7 少 —7 —7 —7 Q •.•PB _ CB — CP ,・.|PB| _ CB — 2CP CB +CP .—7 2 —7 2 —7 2 —7 2 —7 —7 —7 —7 2 —7 2 —7 —7 —7 •••|PAr + |PBr_ (CA + CB ) — 2CP (CA + CB) + 2CP _ AB — 2CP 2CD + 2CP又AB 2= 16CP 2, CD = 2CP ,代入上式整理得 |FA|2+ |PB|2= 10|CPf ,故所求 值为10.【答案】 D二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在题中的横 线上)C. 5 ,211.已知向量a= (2,1), ab= 10, l a + b| = 5 迄，则|b| 等于【解析】••l a+ b|a5 72,A(a + b)2a50,即a2+ b2+ 2a b a50, 又a|=V5, a b= 10,••5+|bf+ 2X 10a 50.解得|b| = 5.【答案】 5」「4si n a— 2cos a12•已知a a g), b a(sin a, cos a，且a// b•则5^5 + 3前 a【解析】••a//b,.・.3cos aa sin a,4sin a— 2cos a 4tan a— 2 4 X 3— 2 55cos a+ 3sin a 5+ 3tan a 5+ 3X 3 75【答案】513.(2013课标全国卷n )已知正方形ABCD的边长为2, E为CD的中点,贝UAE BDa【解析】如图，以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A(0,0), B(2,0), D(0,2), E(1,2),••AE= (1,2), BDa (-2,2),••AE BD a 1X (-2) + 2X 2a2.【答案】 22 n14.已知e1, e2是夹角为~的两个单位向量，a a& —2e2, b a k e1 + e2,若a b a 0,则实数k的值为【解析】 由题意a b = 0,即有(81 — 2e 2) (*01 + e 2)= 0•••k e 1+ (1 — 2k) 81 82— 2e 2= 0.又•••|e i |= |e 2|= 1,〈e i ,e 2>2 n•'•k— 2+ (1 — 2k) cos -3 = 0, 1 — 2k 5 • k — 2= ~2~，•-k =4.【答案】515. (2012 安徽高考)设向量 a = (1,2m), b = (m + 1,1), c = (2, m).若(a + c ) 丄 b,则 a i = .【解析】 a + c = (1,2m) + (2, m) = (3,3m).••(a + c)丄 b,•••(a + c ) b = (3,3m) (m + 1,1)= 6m + 3= 0,••a = (1,— 1), la , 12 + (-1丫【答案】迈三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤）16.(本小题满分12分)(2013江苏高考)已知a = (cos a, sin a, b = (cos B, sin 9, 0< 3<a<n.(1)若 |a — b | = 72，求证：a 丄 b ；⑵设c = (0,1)，若a + b = c ,求a 9的值. 【解】（1）证明由题意得a — b l 2 = 2, 即(a — b )2= a 2 — 2a b + b 2 = 2. 又因为 a 2= b 2= laj |b |2 = 1,2n ~3所以 2-2a b = 2, 即卩 a b = 0,故 a 丄b.⑵因为 a + b = (cos a+ cos B, sin 计 sin f) = (0,1),Icos a+ cos 3= 0, 所以1 Isin a+ sin 3= 1,由此得，cos a= cos( — 3)，由 0v 3< n 得 0v n — 3^ n. a= n — 3代入 sin a+ sin 3= 1, 得 sin a= sin十“ 5 n n 所以 a=E, 3=6.【解】AC = OC — OA = (7,— 1 — m),BC = OC - 0B = (5- n ,— 2). ••A 、B 、C 三点共线，••• AC//BC ,•••—14+ (m + 1)(5 — n) = 0. 又OA 丄OB.--—■2n + m = 0.3由①②解得 m = 6, n = 3或m = 3, n =q.18.(本小题满分12分)已知a , b 是两个非零向量，当a +t b (t € R )的模取最 小值时.(1)求t 的值; ⑵求证：b 丄(a + t b ).【解】 (1)(a + t b )2= a + kb |2+ 2a t b,|a + t b |最小，即 |a |2+ |t b |2+ 2a t b 最小,又0V a< n 故 17.(本小题满分 12分)平面内三点A 、B 、C 在一条直线上,0A =(— 2, m),0B = (n,1), 0C = (5, —1),且OA 丄OB ,求实数m 、n 的值.即 t 2|b |2 + [af + 2t|a ||b |cos 〈a , b 〉最小.|a |cos 〈 a , b 〉故当t =— 石 时, |b||a +t b | 最小.2|a |cos 〈 a , b 〉 2(2)证明：b (a +1b ) = ab + t|b | ------------------ = ------ |a ||b |cos 〈 a,b 〉— |b|b | = |a ||b |cos |b|a ,b 〉一 |a ||b |cos 〈a , b 〉= 0,故 b 丄(a +1b ).19.（本小题满分13分）△ ABC 内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且3OA +4OB + 5OC = 0. (1)求数量积 O A O B , O B OC , OC OA ； (2)求^ ABC 的面积.xKb 1. Com【解】 (1)V3OA + 4OB + 5OC = 0,••3OA + 4OB = 0-5OC , -— -—2 -— 2 即(3OA + 4OB) = (0- 5OC).—7 2 —7 —z —z 2 —7 2可得 9OA + 24OA OB + 16OB = 25OC . 又•••|OA|=|OB|=|OC| = 1,•••OA OB = 0.同理 OB OC =-5,OCOA =- 5.1 —— —— 1 —— —— (2)S Z ABC = S A OAB + Sz oBc + S ZOAC = 2|OA| | OB|sin ZAOB + 2|OB| |OC|sin /BOC + 2|OC| |OA|sin HOC. 又 |O A|= |OB|= |OC|=1.•'S^ABC^ 2(sin ZAOB+sin /BOC + sin ZAOC).由(1)OAOB= |0A| |OB|cos /AOB= cos ZAOB= 0得sin ZAOB= 1.T T T T 4OB OC= |OB| |OC| cos /BOC = cos /BOC=- 5,./ 3-sin /BOC=5,同理sin /AOC=5.5-S/yxBC = 5.20.(本小题满分13分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(- 1,-2),B(2,3), C( - 2,- 1).(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长;(2)设实数t满足(AB-tOC) 0C= 0,求t的值.【解】(1 )由题设知AB= (3,5), AC= (—1,1),则AB + AC= (2,6), AB- AC= (4,4).所以AB+ AC| = 2^10, AB-AC匸4寸2.故所求的两条对角线长分别为4迈，2>/10.X K b心m⑵由题设知OC= (-2,- 1), AB-tOC = (3+ 2t,5 +1).由(AB-tOC) OC= 0,得(3 + 2t,5 +1) (—2,- 1)= 0,从而5t=—11,所以t115.图121.(本小题满分13分)如图1,平面内有三个向量OA, OB, OC,其中O A与OB的夹角为120°, OA与OC的夹角为30°且|5A|=|OB匸1,|oC| = 2 羽若oC = QA+ QB（入空R）,求H卩的值.【解】法一：作CD //OB交直线OA于点D，作CE //OA交直线OB于点E,贝U OC = OD+ OE,由已知/OCD = /COE= 120 —30 = 90 ° 在Rt△)CD 中，OD = ^3。
(典型题)高中数学必修四第二章《平面向量》检测卷(答案解析)
一、选择题1．已知向量a 、b 满足||||2a b a b ==⋅=，若,,1x y R x y ∈+=，则1|(1)|2x a xb ya y b ⎛⎫-+++- ⎪⎝⎭的最小值为（ ） A ．1 B ．3 C ．7 D ．32．如图，在ABC 中，AD AB ⊥，2AD =，3DC BD =，则AC AD ⋅的值为（ ）A ．3B ．8C ．12D ．16 3．已知ABC 中，2AB AC ==，120CAB ∠=，若P 是其内一点，则AP AB ⋅的取值范围是（ ）A ．(4,2)--B ．(2,0)-C ．(2,4)-D ．(0,2)4．若向量a ，b 满足|a 10 ，b =（﹣2，1），a •b =5，则a 与b 的夹角为（ ） A ．90° B ．60° C ．45° D ．30°5．已知正方形ABCD 的边长为2，EF 为该正方形内切圆的直径，P 在ABCD 的四边上运动，则PE PF ⋅的最大值为（ ）A 2B ．1C ．2D ．226．已知ABC ，若对任意m R ∈，BC mBA CA -≥恒成立，则ABC 为（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．不确定 7．已知向量()a 1,2=，()b x,2=-，且a b ⊥，则a b +等于（ ）．A 5B ．5C ．42D 31 8．ABC 是边长为1的等边三角形，CD 为边AB 的高，点P 在射线CD 上，则AP CP ⋅的最小值为（ ）A ．18- B ．116- C ．316- D ．09．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若2FP QF =，则||QF =（ ）A ．8B ．4C ．6D ．310．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量(,)m a b b c =++，(,)n c b a =-，若//m n ，则C =（ ）A ．56πB ．23πC ．3πD ．6π 11．如图所示，在ABC 中，点D 在线段BC 上，且3BD DC =，若AD AB AC λμ=+，则λμ=（ ）A ．12B ．13C ．2D ．23 12．已知平面上的非零．．向量a ，b ，c ，下列说法中正确的是（ ） ①若//a b ，//b c ，则//a c ；②若2a b =，则2a b =±；③若23x y a b a b +=+，则2x =，3y =；④若//a b ，则一定存在唯一的实数λ，使得a b λ=.A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④二、填空题13．已知ABC ，点P 是平面上任意一点，且AP AB AC λμ=+（,λμ∈R ），给出以下命题：①若1AB λ=，1AC μ=，则P 为ABC 的内心；②若1λμ==，则直线AP 经过ABC 的重心；③若1λμ+=，且0μ>，则点P 在线段BC 上；④若1λμ+>，则点P 在ABC 外； ⑤若01λμ<+<，则点P 在ABC 内．其中真命题为______14．已知平面向量,,a b c 满足()()||2,||2||a c b c a b a b -⋅-=-==.则c 的最大值是________.15．圆O 为△ABC 的外接圆，半径为2，若2AB AC AO +=，且OA AC =，则向量BA 在向量BC 方向上的投影为_____.16．已知正方形ABCD 的边长为4，若3BP PD =，则PA PB ⋅的值为_________________. 17．已知腰长为2的等腰直角△ABC 中，M 为斜边AB 的中点，点P 为该平面内一动点，若2PC =，则()()4PA PB PC PM ⋅+⋅⋅的最小值 ________．18．已知平面向量2a =，3b =，4c =，4d =，0a b c d +++=，则()()a b b c +⋅+=______. 19．在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，动点P 满足||1AP =，设向量AP AB AD λμ=+，则λμ+的取值范围为____________.20．在ABC △中，已知4CA =，3CP =，23ACB π∠=，点P 是边AB 的中点，则CP CA ⋅的值为_____.三、解答题21．已知ABC 中C ∠是直角，CA CB =，点D 是CB 的中点，E 为AB 上一点．（1）设CA a =，CD b =，当12AE AB =，请用a ，b 来表示AB ，CE . （2）当2AE EB =时，求证：AD CE ⊥.22．已知a ，b ，c 在同一平面内，且()1,2a =.（1）若35c =，且//a c ，求c ；（2）若2b =，且()()2a b a b +⊥-，求a 与b 的夹角的余弦值. 23．已知()()1,,3,2a m b ==-．(1)若()a b b +⊥，求m 的值；(2)若·1a b =-，求向量b 在向量a 方向上的投影．24．已知单位向量1e ，2e 的夹角为60︒，向量12a e e =+，21b e te =-，t R ∈. （1）若//a b ，求t 的值；（2）若2t =，求向量a ，b 的夹角.25．已知单位向量1e ，2e ，的夹角为23π，向量12a e e λ=-，向量1223b e e =+. （1）若//a b ，求λ的值；（2）若a b ⊥，求||a .26．已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边为a ，b ，c ，向量m (2cos sin )2C C =-，， n =(cos2sin )2C C ，，且m n ⊥． （1）求角C ； （2）若22212a b c =+，试求sin()A B -的值【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】利用已知条件求出向量a 、b 的夹角，建立直角坐标系把所求问题转化为解析几何问题.【详解】设a 、b 所成角为θ，由||||2==a b ，2a b， 则1cos 2θ=，因为0θπ≤≤ 所以3πθ=， 记a OA =，b OB =,以OA 所在的直线为x 轴，以过O 点垂直于OA 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则()2,0A ，(B ，所以()2,0a OA ==，(1,b OB ==，()(1)2x a xb x -+=-，所以((1)2x a xb x -+=-=，表示点()P x 与点()2,0A 两点间的距离，由,,1x y R x y ∈+=113222ya y b y x ⎛⎫⎛⎛⎫+-=+=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以1322ya y b x ⎛⎫⎛+-=- ⎪ ⎝⎭，表示点()P x 与点3,22Q ⎛ ⎝⎭两点间的距离， ∴1|(1)|2x a xb ya y b ⎛⎫-+++- ⎪⎝⎭的最小值转化为 P 到,A Q 两点的距离和最小，()P x 在直线y =上， ()2,0A 关于直线y =的对称点为(R -，PQ PA ∴+的最小值为QR == 故选：C【点睛】关键点点睛：本题考查了向量模的坐标运算以及模转化为两点之间距离的转化思想，解题的关键是将向量的模转化为点()P x 到()2,0A 、32Q ⎛ ⎝⎭两点间的距离，考查了运算求解能力. 2．D解析：D【分析】利用AB 、AD 表示向量AC ，再利用平面向量数量积的运算性质可求得AC AD ⋅的值.【详解】()3343AC AD DC AD BD AD AD AB AD AB =+=+=+-=-， AD AB ⊥，则0⋅=AD AB ，所以，()224344216AC AD AD AB AD AD ⋅=-⋅==⨯=.【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：（1）利用定义：（2）利用向量的坐标运算；（3）利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．3．C解析：C【分析】以A 为坐标原点，以过点A 垂直于BC 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，求出()3,1B --，()3,1C -，设(),P x y ，因为点P 是其内一点，所以3x 3-<<，10y -<<，计算3AP AB x y ⋅=--得最值，即可求解.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系：则()0,0A ，因为120CAB ∠=，所以30ABC ACB ∠=∠=，可得2cos303= ，2sin301，所以()3,1B -- ，()3,1C -, 设(),P x y ，因为点P 是其内一点，所以33,10x y <<-<<，()(),3,13AP AB x y x y ⋅=⋅--=--， 当3x =1y =-时AP AB ⋅最大为((()3314-⨯--=，当3,1x y ==-时AP AB ⋅最小为(()3312--=-， 所以AP AB ⋅的取值范围是(2,4)-，故选：C【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是建立直角坐标系，将数量积利用坐标表示，根据点(),P x y 是其内一点，可求出,x y 的范围，可求最值.4．C【详解】 由题意可得22(2)15b =-+=,所以2cos ,52a b a b a b ⋅===⋅,又因为,[0,180]<>∈a b ,所以,45<>=a b ,选C.5．B解析：B【分析】作出图形，利用平面向量的线性运算以及数量积的运算性质可得出21P OP E PF =⋅-，求得OP 的最大值，由此可求得PE PF ⋅的最大值.【详解】如下图所示：由题可知正方形ABCD 的内切圆的半径为1，设该内切圆的圆心为O ，()()()()2221PE PF OE OP OF OP OP OE OP OE OP OE OP ⋅=-⋅-=-+⋅--=-=-，由图象可知，当点P 为ABCD 的顶点时，2OP 取得最大值2，所以PE PF ⋅的最大值为1.故选：B.【点睛】本题考查平面向量数量积最值的计算，考查计算能力，属于中等题.6．C解析：C【分析】在直线AB 上取一点D ，根据向量减法运算可得到DC CA ≥，由垂线段最短可确定结论.【详解】在直线AB 上取一点D ，使得mBA BD =，则BC mBA BC BD DC -=-=，DC CA ∴≥.对于任意m R ∈，都有不等式成立，由垂线段最短可知：AC AD ⊥，即AC AB ⊥， ABC ∴为直角三角形.故选：C .【点睛】本题考查与平面向量结合的三角形形状的判断，关键是能够利用平面向量数乘运算和减法运算的几何意义准确化简不等式.7．B解析：B【分析】由向量垂直可得0a b ⋅=，求得x ，及向量b 的坐标表示，再利用向量加法的坐标运算和向量模的坐标运算可求得模.【详解】 由a b ⊥，可得0a b ⋅=，代入坐标运算可得x-4=0，解得x=4,所以a b + ()5,0=，得a b +=5，选B. 【点睛】求向量的模的方法：一是利用坐标()22,a x y a x y =⇒=+，二是利用性质2a a =，结合向量数量积求解.8．C解析：C【分析】建立平面直角坐标系，()0,P t ，t ≤，则 223(2416⋅=-=--AP CP t t ，进而可求最小值.【详解】以D 点为坐标原点，DC 所在直线为y 轴，DA 所在直线为x 轴建立直角坐标系，1(,0)2A ，1(,0)2B -，(0,2C ，设()0,P t ，其中2t ≤1(,)2AP t =-，(0,CP t ==，223(16⋅==-AP CP t t ，当t =时取最小值为316-，所以AP CP ⋅的最小值为316-． 故选：C【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，用坐标法求最值问题，考查了运算求解能力，属于一般题目.9．D解析：D【分析】设点()1,P t -、(),Q x y ，由2FP QF =，可计算出点Q 的横坐标x 的值，再利用抛物线的定义可求出QF .【详解】设点()1,P t -、(),Q x y ，易知点()1,0F ，()2,FP t =-，()1,QF x y =--，()212x ∴-=-，解得2x =，因此，13QF x =+=，故选D.【点睛】本题考查抛物线的定义，解题的关键在于利用向量共线求出相应点的坐标，考查计算能力，属于中等题．10．B解析：B【分析】由//m n ，可得()()()0a b a c b b c +⨯--⨯+=.结合余弦定理，可求角C .【详解】(,),(,)m a b b c n c b a =++=-，且//m n ，()()()0a b a c b b c ∴+⨯--⨯+=，整理得222c a b ab =++. 又22212cos ,cos 2c a b ab C C =+-∴=-. ()20,,3C C ππ∈∴=. 故选：B.【点睛】本题考查向量共线的坐标表示和余弦定理，属于基础题.11．B解析：B【分析】 由向量的运算法则，化简得1344AD AB AC =+,再由AD AB AC λμ=+，即可求得,λμ 的值，即可求解.【详解】由向量的运算法则，可得34=+=+AD AB BD AB BC 313()444AB AC AB AB AC =+-=+, 因为AD AB AC λμ=+，所以13,44λμ==，从而求得13λμ=， 故选:B ．【点睛】该题考查的是有关向量的基本定理，在解题的过程中，需要利用向量直角的关系，结合三角形法则，即可求得结果，属于基础题. 12．B解析：B 【分析】根据向量共线定理判断①④，由模长关系只能说明向量a ，b 的长度关系判断②，举反例判断③.【详解】对于①，由向量共线定理可知，//a b ，则存在唯一的实数1λ，使得1λa b ，//b c ，则存在唯一的实数2λ，使得2λb c ，由此得出存在唯一的实数12λλ⋅，使得12a c λλ=⋅，即//a c ，则①正确；对于②，模长关系只能说明向量a ，b 的长度关系，与方向无关，则②错误； 对于③，当a b =时，由题意可得()5x y a a +=，则5x y +=，不能说明2x =，3y =，则③错误；由向量共线定理可知，④正确；故选：B.【点睛】本题主要考查了向量共线定理以及向量的定义，属于中档题.二、填空题13．②④【分析】①可得在的角平分线上但不一定是内心；②可得在BC 边中线的延长线上；③利用向量线性运算得出可判断；④得出根据向量加法的平行四边形法则可判断；⑤令可判断【详解】①若则因为是和同向的单位向量则解析：②④【分析】①可得P 在BAC ∠的角平分线上，但不一定是内心；②可得P 在BC 边中线的延长线上；③利用向量线性运算得出=BP BC μ可判断；④得出()1CP CB AC λλμ=++-，根据向量加法的平行四边形法则可判断；⑤令1132=λμ=-，可判断.【详解】 ①若1ABλ=，1ACμ=，则AB AC AP ABAC=+，因为,AB AC ABAC是和,AB AC 同向的单位向量，则P 在BAC ∠的角平分线上，但不一定是内心，故①错误；②若1λμ==，则AP AB AC =+，则根据平行四边形法则可得，P 在BC 边中线的延长线上，故直线AP 经过ABC 的重心，故②正确；③若1λμ+=，且0μ>，则()1=AP AB AC AB AB AC μμμμ=-+-+，即()==AP AB AB AC AC AB μμμ--+-，即=BP BC μ，则点P 在线段BC 上或BC 的延长线上，故③错误；④若1λμ+>，()()11AP AB AC AC λλλμ=+-++-，整理可得()1CP CB AC λλμ=++-，10λμ+->，根据向量加法的平行四边形法则可判断点P 在ABC 外，故④正确；⑤若01λμ<+<，则令1132=λμ=-，，则1132AP AB AC =-+，则根据向量加法的平行四边形法则可判断点P 在ABC 外，故⑤错误. 故答案为：②④. 【点睛】本题考查向量基本定理的应用，解题的关键是正确利用向量的线性运算进行判断，合理的进行转化，清楚向量加法的平行四边形法则.14．【分析】设根据得到取中点为D 又由中点坐标得到再由得到的范围然后由求解【详解】设如图所示：因为所以取中点为D 因为所以解得所以所以点C 是以D 为圆心半径为的圆上运动又因为所以当AOB 共线时取等号所以所以【解析：3【分析】设,,OA a OB b OC c ===，根据||2,||2||a b a b -==，得到||2,||2||AB OA OB ==，取AB 中点为D ，又()()2a c b c CA CB -⋅-=⋅=，由中点坐标得到CD ==⎭2OA OB AB -≤=，得到||OA OD ⎛= 范围，然后由||||||||3c OC OD DC OD =≤+≤+.【详解】设,,OA a OB b OC c ===， 如图所示：因为||2,||2||a b a b -==， 所以||2,||2||AB OA OB ==， 取AB 中点为D ，因为()()2a c b c CA CB -⋅-=⋅=，所以2222||||24AB CB CA CB CA CB CA =-=+-⋅=， 解得228CB CA +=，所以22212322CB CA CD CB CA CB CA ⎛⎫+==++⋅= ⎪⎝⎭所以点C 是以D 3的圆上运动， 又因为2OA OB AB -≤=，所以2OB ≤，当A ，O ，B 共线时，取等号，所以2221||222OA OB OD OB OA OB OA ⎛⎫+==++⋅ ⎪⎝⎭， ()222112104322OB OA AB OB =+-=-≤， 所以||||||||333c OC OD DC OD =≤+≤+≤. 【点睛】关键点点睛：平面向量的中点坐标公式的两次应用：一是22CB CA CD ⎛⎫+= ⎪⎝⎭||2,||2||AB OA OB ==求得定值，得到点C 是以D 为圆心的圆上，实现数形结合；二是||2OA OD ⎛= ⎝⎭2OA OB AB -≤=确定范围，然后由||||||c OC OD DC =≤+求解.15．3【分析】根据向量关系即可确定的形状再根据向量投影的计算公式即可求得结果【详解】因为圆O 为△ABC 的外接圆半径为2若故可得是以角为直角的直角三角形又因为且外接圆半径是故可得则故向量在向量方向上的投影解析：3 【分析】根据向量关系，即可确定ABC 的形状，再根据向量投影的计算公式，即可求得结果.【详解】因为圆O 为△ABC 的外接圆，半径为2，若2AB AC AO +=， 故可得ABC 是以角A 为直角的直角三角形.又因为OA AC =，且外接圆半径是2， 故可得224BC OA AC ===，则AB =，AB cos ABC BC ∠==，故向量BA 在向量BC 方向上的投影为32AB cos ABC ⨯∠==. 故答案为：3. 【点睛】本题考查向量数量积的几何意义，属中档题.16．6【分析】建立平面直角坐标系求得点P 的坐标进而得到的坐标再利用数量积的坐标运算求解【详解】如图所示建立平面直角坐标系：则设因为解得所以所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的坐标表示和数量积解析：6 【分析】建立平面直角坐标系，求得点P 的坐标，进而得到,PA PB 的坐标，再利用数量积的坐标运算求解. 【详解】如图所示建立平面直角坐标系：则()()()()04,00,40,44A B C D ，，，，，设(),P x y ，()(),,4,4BP x y PD x y ==--， 因为3BP PD =，()()3434x x y y ⎧=⨯-⎪⎨=⨯-⎪⎩，解得33x y =⎧⎨=⎩，所以()3,3P ，所以()()3,1,3,3PA PB =-=--， 所以()()()33136PA PB ⋅=-⨯-+⨯-=， 故答案为：6. 【点睛】本题主要考查平面向量的坐标表示和数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.17．【详解】如图建立平面直角坐标系∴当sin 时得到最小值为故选 解析：48322-【详解】如图建立平面直角坐标系，()((P 2cos θ2sin θA 22B22M 02-，，，，，，，∴()()((42cos θ2θ22cos θ2θ24PA PB PC PM ⎡⎤⋅+⋅=+⋅-++⎣⎦，，()(22cos θ2sin θ2cos θ2sin θ216sin θ322sin θ32⎡⎤⋅+=++⎣⎦，，， 当sin θ1=-时，得到最小值为48322-48322-18．【分析】根据得到然后两边平方结合求得再由求解即可【详解】因为所以所以所以因为所以故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算还考查了运算求解的能力属于中档题解析：52【分析】根据0a b c d +++=，得到++=-a b c d ，然后两边平方结合2a =，3b =，4c =，4d =，求得⋅+⋅+⋅a b a c b c ，再由()()a b b c +⋅+=2⋅+⋅+⋅+a b a c b c b 求解即可. 【详解】因为0a b c d +++=， 所以++=-a b c d ，所以()()22++=-a b cd ，所以()()()()2222222+++⋅+⋅+⋅=-a b c a b a c b c d ，因为2a =，3b =，4c =，4d =， 所以132⋅+⋅+⋅=-a b a c b c ， ()()a b b c +⋅+=252⋅+⋅+⋅+=a b a c b c b . 故答案为：52【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19．【分析】由已知得应用向量的运算律求出关系利用三角换元结合正弦函数的有界性即可求解【详解】在矩形中令其中最小值最大值分别为的取值范围为故答案为:【点睛】本题考查向量的模长以及向量的数量积运算解题的关键解析：⎡⎢⎣⎦. 【分析】由已知得2||1AP =，应用向量的运算律，求出,λμ关系，利用三角换元结合正弦函数的有界性，即可求解. 【详解】在矩形ABCD 中，,0AB AD AB AD ⊥∴⋅=22222222||()41AP AB AD AB AD λμλμλμ=+=+=+=,令12cos ,sin ,cos sin sin()22λθμθλμθθθϕ==+=+=+，其中1tan 2ϕ=，λμ+最小值、最大值分别为22-,λμ+的取值范围为55,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故答案为:55,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查向量的模长以及向量的数量积运算，解题的关键用换元法将问题转化为求三角函数的最值，属于中档题.20．6【分析】根据平方处理求得即可得解【详解】在中已知点是边的中点解得则故答案为：6【点睛】此题考查平面向量的基本运算关键在于根据向量的运算法则求出模长根据数量积的运算律计算求解解析：6 【分析】 根据()12CP CA CB =+，平方处理求得2CB =，()12CP CA CA CB CA ⋅=+⋅即可得解. 【详解】在ABC △中，已知4CA =，3CP 23ACB π∠=，点P 是边AB 的中点， ()12CP CA CB =+ ()222124CP CA CB CA CB =++⋅ 211316842CB CB ⎛⎫⎛⎫=++⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2CB = 则()()21111162462222CP CA CA CB CA CA CB CA ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅=+⋅=+⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：6 【点睛】此题考查平面向量的基本运算，关键在于根据向量的运算法则求出模长，根据数量积的运算律计算求解.三、解答题21．（1）2AB b a =-，12CE a b =+；（2）证明见解析. 【分析】（1）求出2CB b =，利用AB CB CA =-与12CE CA AB =+化简可得答案； （2）以C 点为坐标原点，以CB ，CA 为x ，y 轴，建立如图所示平面直角坐标系，设()0,A a ， 求出,2a AD a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2,33a a CE ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 可得0AD CE ⋅=，进而可得答案.【详解】（1）∵CA a =，CD b =，点D 是CB 的中点， ∴2CB b =，∴2AB CB CA b a =-=-，∵()1112222CE CA AE a AB a b a a b =+=+=+-=+. （2）以C 点为坐标原点，以CB ，CA 为x ，y 轴，建立如图所示平面直角坐标系，设()0,A a ，∴B 点坐标为(),0a ，另设点E 坐标为(),x y ，∵点D 是CB 的中点， ∴点D 坐标为,02a ⎛⎫⎪⎝⎭， 又∵2AE EB =，∴()(),2,x y a a x y -=--，∴23a x =，3a y =， 所以,2a AD a ⎛⎫=-⎪⎝⎭，2,33a a CE ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以()20233a a aAD CE a ⋅=⨯+-⨯=， ∴AD CE ⊥.【点睛】方法点睛：平面向量数量积的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用．22．（1）()3,6c =或()3,6c =--；（2）10-. 【分析】（1）设(),c x y =，由平面向量平行的坐标表示及模的坐标表示可得2y x=⎧=即可得解；（2）由平面向量垂直可得()()20a b a b +⋅-=，再由平面向量数量积的运算可得1a b ⋅=-，最后由cos ,a ba b a b⋅=⋅即可得解. 【详解】（1）设(),c x y =，因为()1,2a =，//a c ，35c =，所以235y x x y =⎧+=⎪⎩36x y =⎧⎨=⎩或36x y =-⎧⎨=-⎩， 所以()3,6c =或()3,6c =--；（2）因为()1,2a =，所以14a =+又()()2a b a b +⊥-，2b =，所以()()22225220a b a b aa b ba b +⋅-=+⋅-=+⋅-⨯=，所以1a b ⋅=-， 所以cos ,5a b a b a b⋅===⨯⋅【点睛】本题考查了平面向量共线及模的坐标表示，考查了平面向量数量积的应用及运算求解能力，属于中档题. 23．（1）8m =（2）【分析】（1）先得到()4,2a b m +=-，根据()a b b +⊥可得()0a b b +⋅=,即可求出m ；（2）根据·1a b =-求出m=2,再根据cos ,a b b a b b a b⋅=⋅求b 在向量a 方向上的投影.【详解】()()14,2a b m +=-；()a b b +⊥；()34220m ∴⋅--=；8m ∴=；()2321a b m ⋅=-=-；2m ∴=；()1,2a ∴=；b ∴在向量a 方向上的投影为cos ,55a b b a b b a b⋅=⋅==-．【点睛】本题主要考查了向量坐标的加法和数量积的运算，向量垂直的充要条件及向量投影的计算公式，属于中档题. 24．（1）1t =-；（2）23π. 【分析】（1）根据题意，设a kb =，则有122112()()e e k e te kte ke +=-=-+，分析可得11ktk=-⎧⎨=⎩，解可得t 的值；（2）根据题意，设向量a ，b 的夹角为θ；由数量积的计算公式可得a 、||b 以及a b ， 由cos a b a bθ⋅=计算可得答案．【详解】（1）∵根据题意，向量12a e e =+，21b e te =-，若//a b ，则设a kb =， 则有122112()()e e k e te kte ke +=-=-+，则有11kt k =-⎧⎨=⎩，解可得1t =-；（2）根据题意，设向量a ，b 的夹角为θ；若2t =，则212b e e =-，则2221||(2)3b e e =-=，则||3b =， 又由12a e e =+，则2212||()3a e e =+=，则||3a =， 又由12213()(2)2a b e e e e =+-=-，则312cos 2||||3a b a b θ-===-⨯，又由0θπ，则23πθ=； 故向量a ，b 的夹角为23π． 【点睛】本题考查向量数量积的计算，涉及向量模的计算公式，属于基础题．25．（1）23-；（2 【分析】（1）由//a b ，所以存在唯一实数ｔ，使得b ta =，建立方程组可得答案；（2）由已知求得12e e ⋅，再由a b ⊥得()()1212230e e e e λ-⋅+=，可解得λ，再利用向量的模的计算方法可求得答案. 【详解】（1）因为//a b ，所以存在唯一实数ｔ，使得b ta =，即()121223e e t e e λ+=-， 所以23t tλ=⎧⎨=-⎩，解得23λ=-；（2）由已知得122111cos32e e π⋅=⨯⨯=-，由a b ⊥得()()1212230e e e e λ-⋅+=，即()12+32302λλ⎛⎫-⨯--= ⎪⎝⎭，解得4λ=，所以124a e e =-，所以22121212||416821a e e e e e e =-=+-⋅=||21a =．【点睛】本题考查向量平行的条件和向量垂直的条件，以及向量的模的计算，属于中档题.26．（1）60C =︒；（2. 【分析】（1）利用两个向量垂直的性质，两个向量数量积公式以及二倍角公式，求得cos C 的值，可得C 的值．（2）利用两角差的正弦公式，正弦定理和余弦定理化简，可得结果． 【详解】（1）由题意知，0m n =，即222cos2sin 02CC -=，21cos 2(1cos )0C C +--=， 22cos cos 10C C +-=，即cos 1C =-，或1cos 2C =， 因为0C π<<，所以60C =︒． （2）2222221122a b c a b c =+⇒-=，222222sin()sin cos sin cos 2222a a c b b b c a A B A B B A R ac R bc+-+--=-=- ()222214442a b c c sinC cR cR R -=====． 【点睛】本题主要考查两个向量数量积公式，两角差的正弦公式，正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．。
(典型题)高中数学必修四第二章《平面向量》测试题(有答案解析)
一、选择题1．如图，B 是AC 的中点，2BE OB =，P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，且(),OP xOA yOB x y R =+∈，则下列结论正确的个数为（ ）①当0x =时，[]2,3y ∈②当P 是线段CE 的中点时，12x =-，52y =③若x y +为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段 ④x y -的最大值为1- A ．1 B ．2C ．3D ．42．若平面向量与的夹角为，，，则向量的模为（ ） A ．B ．C ．D ．3．若12,e e 是夹角为60︒的两个单位向量，则向量1212,2a e e b e e =+=-+的夹角为（ ） A ．30B ．60︒C ．90︒D ．120︒4．在AOB ∆中，0,5,25,OA OB OA OB AB ⋅===边上的高为,OD D 在AB 上，点E 位于线段OD 上，若34OE EA ⋅=，则向量EA 在向量OD 上的投影为（ ） A ．12或32B ．1C ．1或12D ．325．已知1a ，2a ，1b ，2b ，()*k b k ⋅⋅⋅∈N是平面内两两互不相等的向量，121a a-=，且对任意的1,2i = 及1,2,,j k =⋅⋅⋅，{}1,2i j a b -∈，则k 最大值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．66．在矩形ABCD 中，|AB |＝6，|AD |＝3.若点M 是CD 的中点，点N 是BC 的三等分点，且BN ＝13BC ，则AM ·MN ＝（ ） A ．6B ．4C ．3D ．27．已知正方形ABCD 的边长为2，EF 为该正方形内切圆的直径，P 在ABCD 的四边上运动，则PE PF ⋅的最大值为（ ）A B ．1C ．2D ．8．已知向量,a b 满足2(1,2),(1,)+==a b m b m ，且a 在b ，则实数m =（ ）A ．2±B ．2C ．5±D 9．已知两个非零向量a ，b 的夹角为23π，且=2a b -，则·ab 的取值范围是（ ） A ．2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．[)2,0-C ．2,03⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．[)1,0-10．在直角梯形ABCD 中，0AD AB ⋅=，30B ∠=︒，AB =，2BC =，13BE BC =，则（ ）A ．1163AE AB AD =+ B ．1263AE AB AD =+ C ．5163AE AB AD =+ D ．5166AE AB AD =+ 11．已知向量a 、b 、c 满足0a b c ++=，且a b c <<，则a b ⋅、b c ⋅、a c ⋅中最小的值是（ ） A ．a b ⋅B ．a c ⋅C ．b c ⋅D ．不能确定12．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量(,)m a b b c =++，(,)n c b a =-，若//m n ，则C =（ ）A ．56πB ．23π C ．3π D ．6π 二、填空题13．已知平面向量a ，b ，c ，d 满足1a b ==，2c =，0a b ⋅=，1c d -=，则2a b d ++的取值范围为______.14．已知向量1e ，2e 是平面α内的一组基向量，O 为α内的定点，对于α内任意一点P ，当12OP xe ye =+时，则称有序实数对(),x y 为点P 的广义坐标，若点A 、B 的广义坐标分别为()11,x y 、()22,x y ，对于下列命题： ① 线段A 、B 的中点的广义坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭；② A 、B③ 向量OA 平行于向量OB 的充要条件是1221x y x y =； ④ 向量OA 垂直于向量OB 的充要条件是12120x x y y +=. 其中的真命题是________（请写出所有真命题的序号）15．如图，在Rt ABC ∆中，2,60,90AB BAC B =∠=︒∠=︒，G 是ABC ∆的重心，则GB GC ⋅=__________．16．在平面内,定点,,A B C 满足DA DB DC ==，2DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅=-，动点,P M 满足1AP PM MC ==，则2BM 的最大值为________.17．如图，设圆M 的半径为2，点C 是圆M 上的定点，A ，B 是圆M 上的两个动点，则CA CB ⋅的最小值是________.18．如图，在等腰三角形ABC 中，已知1AB AC ==，120A ∠=︒，E F 、分别是边AB AC 、上的点，且,AE AB AF AC λμ==,其中(),0,1λμ∈且41λμ+=，若线段EF BC 、的中点分别为M N 、，则MN 的最小值是_____.19．已知O 为ABC 内一点，且满足305OA OB OC =++，延长AO 交BC 于点D .若BD DC λ=，则λ=_____.20．已知平面向量a ，b 满足3a b +=，3a b -=，则向量a 与b 夹角的取值范围是______.三、解答题21．平面内给定三个向量(3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-=. （1）求32a b c +-；（2）求满足a mb nc =+的实数m 和n ； （3）若()(2)a kc b a +⊥-，求实数k . 22．已知向量a 与b 的夹角为3π，且1a =，2b =. （1）求a b +；（2）求向量a b +与向量a 的夹角的余弦值. 23．已知向量,a b 满足：16,()2a b a b a ==⋅-=,. （1）求向量a 与b 的夹角； （2）求2a b -.24．如图，正六边形ABCDEF 的边长为1．M ，N 分别是BC ，DE 上的动点，且满足BM DN =．（1）若M ，N 分别是BC ，DE 的中点，求AM AN ⋅的值； （2）求AM AN ⋅的取值范围．25．已知向量()1,1,3,(0)2u sin x v sin x cos x ωωωω⎛⎫=-=+> ⎪⎝⎭且函数()f x u v =⋅,若函数f (x )的图象上两个相邻的对称轴距离为2π. (1)求函数f (x )的解析式; (2)将函数y =f (x )的图象向左平移12π个单位后,得到函数y =g (x )的图象,求函数g (x )的表达式并其对称轴;(3)若方程f (x )=m (m >0)在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,有两个不同实数根x 1,x 2,求实数m 的取值范围,并求出x 1+x 2的值.26．在ABC 中，D 是线段AB 上靠近B 的一个三等分点，E 是线段AC 上靠近A 的一个四等分点，4DF FE =，设AB m =，BC n =. （1）用m ，n 表示AF ；（2）设G 是线段BC 上一点，且使//EG AF ，求CG CB的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】利用向量共线的充要条件判断出①错，③正确；利用向量的运算法则求出OP ，求出x ，y 判断出②正确,利用三点共线解得④正确 【详解】当0x =时，OP yOB =，则P 在线段BE 上，故13y ≤≤，故①错 当P 是线段CE 的中点时，13()2OP OE EP OB EB BC =+=++ ()11153(2)32222OB OB AB OB OB OB OA OA OB =+-+=-+-=-+，故②对x y +为定值1时，A ，B ，P 三点共线，又P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，故P 的轨迹是线段，故③对如图，过P 作//PM AO ，交OE 于M ，作//PN OE ，交AO 的延长线于N ， 则：OP ON OM =+；又OP xOA yOB =+；0x ∴≤，1y ≥；由图形看出，当P 与B 重合时：01OP OA OB =⋅+⋅；此时x 取最大值0，y 取最小值1；所以x y -取最大值1-，故④正确 所以选项②③④正确. 故选：C 【点睛】结论点睛：若OC xOA yOB =+，则,,A B C 三点共线1x y ⇔+=.2．C解析：C 【解析】，，又，，则，故选3．B解析：B 【分析】首先分别求出12a e e =+与122b e e =-+的数量积以及各自的模，利用数量积公式求之． 【详解】 由已知，1212e e ⋅=，所以(()1212)2e e e e +-+=32，|12e e +3，|122e e -+3, 设向量1212,2a e e b e e =+=-+的夹角为α，则312cos ,2333παα==∴=⋅.故答案为B 【点睛】(1)本题主要考查向量的夹角的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 求两个向量的夹角一般有两种方法,方法一：·cos ,ab a b a b=,方法二：设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，θ为向量a 与b 的夹角，则121222221122cos x y x yθ=+⋅+.4．A解析：A 【解析】Rt AOB 中，0OA OB ⋅=，∴2AOB π∠=，∵5OA =，25OB =，∴225AB OA OB += ， ∵AB 边上的高线为OD ，点E 位于线段OD 上，建立平面直角坐标系，如图所示； 则)5,0A、(025B ，、设(),D m n ，则OAD BAO ∽，∴OA ADAB OA=， ∴1AD =，∴15AD AB =， 即()(155,255m n =-，，求得45m =， ∴4525D ⎝⎭；则45254525OE OD λλ⎫===⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 45255,EA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎭；∵34OE EA ⋅=， ∴2454525354⎫⎫⋅-=⎪⎪⎪⎪⎭⎝⎭， 解得34λ=或14λ=；∴向量EA 在向量OD 上的投影为))452511ED OD OE λλ⎛⎫=-=-- ⎪⎪⎝⎭， 当34λ=时，5512ED ⎛== ⎝⎭；当14λ=时，353532ED ==⎝⎭． 即向量EA 在向量OD 上的投影为12或32，故选A.5．D解析：D 【分析】根据向量的几何意义把抽象问题具体化，转化到圆与圆的位置关系问题. 【详解】如图所示，设11OA a =，22OA a =，此时121A A =，由题意可知：对于任意的1,2i = 及1,2,,j k =⋅⋅⋅，{}1,2i j a b -∈， 作j j OB b =则有1j A B 等于1或2，且2j A B 等于1或2， 所以点(1,2,,)j B j k =同时在以(1,2)i A i =为圆心，半径为1或2的圆上，由图可知共有6个交点满足条件，故k 的最大值为6.故选：D. 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算和平面向量的应用.6．C解析：C 【分析】根据向量的运算法则，求得12AM AD AB =+，2132MN AD AB =-+，再结合向量的数量积的运算公式，即可求解. 【详解】由题意，作出图形，如图所示：由图及题意，根据向量的运算法则，可得12AM AD DM AD AB =+=+， 2132MN CN CM CB CD =-=-21213232BC DC AD AB =-+=-+，所以2212121||||23234AM MN AD AB AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=-⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21936334=-⨯+⨯=.故选C ．【点睛】本题主要考查了向量的运算法则，以及平面向量的数量积的运算，其中解答中熟练应用向量的运算法则和向量的数量积的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.7．B解析：B 【分析】作出图形，利用平面向量的线性运算以及数量积的运算性质可得出21P OP E PF =⋅-，求得OP 的最大值，由此可求得PE PF ⋅的最大值. 【详解】 如下图所示：由题可知正方形ABCD 的内切圆的半径为1，设该内切圆的圆心为O ，()()()()2221PE PF OE OP OF OP OP OE OP OE OP OE OP ⋅=-⋅-=-+⋅--=-=-，由图象可知，当点P 为ABCD 的顶点时，2OP 取得最大值2，所以PE PF ⋅的最大值为1.故选：B. 【点睛】本题考查平面向量数量积最值的计算，考查计算能力，属于中等题.8．A解析：A 【分析】根据2(1,2),(1,)+==a b m b m 可得0,2m a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，结合||cos a θ=，列出等式，即可解出答案. 【详解】因为向量,a b 满足2(1,2),(1,)a b m b m +==，22(0,)a a b b m =+-=，所以20,,22m m a a b ⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭，若向量,a b 的夹角为θ，则2225||(||cos )152m b a m a b θ=+⋅=⋅=， 所以42516160m m --=，即()()225440m m +-=，解得2m =±. 故选：A ． 【点睛】本题主要考查向量的投影及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是||||cos a b a b θ⋅=，二是1212a b x x y y ⋅=+，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，cos ||||a ba b θ⋅=⋅（此时a b ⋅往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a 在b 上的投影是||a bb ⋅；（3）,a b 向量垂直则0a b ⋅=;（4）求向量ma nb +的模（平方后需求a b ⋅）. 9．C解析：C 【分析】对=2a b -两边平方后，结合2·cos 3a b a b π=⋅进行化简可得：224a b b +⋅+=；由基本不等式可得222a b a b +⋅，于是推出403a b<⋅，再结合平面向量数量积即可得解． 【详解】因为2a b -=，所以 2224a a b b -⋅+=，所以2222cos 43b b a a π-⋅+=，即224a a b b +⋅+=， 由基本不等式的性质可知，222a ba b +⋅，403a b∴<⋅， 所以212·cos ,0323a b a b a b π⎡⎫=⋅⋅=-⋅∈-⎪⎢⎣⎭． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查平面向量数量积运算，考查利用基本不等式求最值，难度一般.对于平面向量的模长问题，一般采用平方处理，然后结合平面向量数量积的运算公式求解即可．10．C解析：C 【分析】先根据题意得1AD =，CD =2AB DC =，再结合已知和向量的加减法运算求解即可得的答案. 【详解】由题意可求得1AD =，CD =所以2AB DC =， 又13BE BC =， 则()1133AE AB BE AB BC AB BA AD DC =+=+=+++ 1111333AB AD DC ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭1111336AB AD AB ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭115116363AB AD AB AD ⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭.故选：C. 【点睛】本题考查用基底表示向量，考查运算能力，是基础题.11．C解析：C 【分析】由0a b c ++=，可得2222222().2()a b c a b b c a b c =-+=-+、2222()a c b a c =-+，利用||||||a b c <<，即可比较． 【详解】解：由0a b c ++=，可得()c a b =-+，平方可得2222()a b c a b =-+． 同理可得2222()b c a b c =-+、2222()a c b a c =-+，||||||a b c <<，∴222a b c <<则a b 、b c 、a c 中最小的值是b c ． 故选：C ． 【点睛】本题考查了向量的数量积运算，属于中档题．12．B解析：B 【分析】由//m n ，可得()()()0a b a c b b c +⨯--⨯+=.结合余弦定理，可求角C . 【详解】(,),(,)m a b b c n c b a =++=-，且//m n ，()()()0a b a c b b c ∴+⨯--⨯+=，整理得222c a b ab =++. 又22212cos ,cos 2c a b ab C C =+-∴=-.()20,,3C C ππ∈∴=.故选：B. 【点睛】本题考查向量共线的坐标表示和余弦定理，属于基础题.二、填空题13．【分析】用几何意义求解不妨设则在圆心在原点半径为2的圆上设则在以为圆心半径为1的圆上运动后形成的轨迹是圆心在原点大圆半径为3小圆半径为1的圆环表示圆环内的点与定点的距离由图形可得最大值和最小值【详解解析：3⎡⎤⎣⎦【分析】用几何意义求解．不妨设()1,0a =，()0,1b =，(),c x y =，则(,)C x y 在圆心在原点，半径为2的圆上，设(),d x y '='，则(,)D x y ''在以C 为圆心半径为1的圆上，C 运动后，D 形成的轨迹是圆心在原点，大圆半径为3，小圆半径为1的圆环，2a b d ++表示圆环内的点D 与定点()2,1P --的距离，由图形可得最大值和最小值．【详解】令()1,0a =，()0,1b =，(),c x y =，设C 的坐标为(),x y ，C 的轨迹为圆心在原点，半径为2的圆上.设(),d x y '='，D 的坐标为(),x y ''，D 的轨迹为圆心在原点，大圆半径为3，小圆半径为1的圆环上.()22,1a b d d ++=---表示D 与点()2,1P --的距离，由图可知，故2a b d ++的取值范围为0,53⎡⎤+⎣⎦. 故答案为：0,53⎡⎤+⎣⎦【点睛】本题考查向量模的几何意义，考查模的最值，解题关键是设()1,0a =，()0,1b =，(),c x y =，(),d x y '='，固定,a b 后得出了,C D 的轨迹，然后由模2a b d ++的几何意义得出最值．14．①③【分析】根据点的广义坐标分别为利用向量的运算公式分别计算①②③④得出结论【详解】点的广义坐标分别为对于①线段的中点设为M 根据=（）=中点的广义坐标为故①正确对于②∵（x2﹣x1）A 两点间的距离为解析：①③ 【分析】根据点A 、B 的广义坐标分别为()11,x y 、()22,x y ，1112OA x e y e ∴=+，2122OB x e y e =+，利用向量的运算公式分别计算①②③④，得出结论.【详解】点A 、B 的广义坐标分别为()11,x y 、()22,x y ，1112OA x e y e ∴=+，2122OB x e y e =+，对于①，线段A 、B 的中点设为M ，根据OM =12（OA OB +）=12112211()()22x x e y y e +++∴中点的广义坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭,故①正确. 对于②，∵AB =（x 2﹣x 1）()1212e y y e +-，∴A 、B 12e ，故②不一定正确.对于③，向量OA 平行于向量OB ，则t OA OB =，即（11,x y ）=t ()22,x y ,1221x y x y ∴=，故③正确.对于④，向量OA 垂直于向量OB ，则OA OB =0，221211221121220x x e x y x y e e y y e ∴+++=（），故④不一定正确.故答案为①③. 【点睛】本题在新情境下考查了数量积运算性质、数量积定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．【解析】分析：建立平面直角坐标系结合平面向量数量积的坐标运算整理计算即可求得最终结果详解：建立如图所示的平面直角坐标系则：由中心坐标公式可得：即据此有：结合平面向量数量积的坐标运算法则可得：点睛：求 解析：209-【解析】分析：建立平面直角坐标系，结合平面向量数量积的坐标运算整理计算即可求得最终结果.详解：建立如图所示的平面直角坐标系，则：()0,2A ，()0,0B ，()C ，由中心坐标公式可得：2003G ⎫++⎪⎪⎝⎭，即23G ⎫⎪⎭， 据此有：233GB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，4233GC ⎛⎫=-⎪⎭， 结合平面向量数量积的坐标运算法则可得：222203339GB GC ⎛⎛⎫⎛⎫⋅=--⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎝⎭.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．16．【分析】由可得为的外心又可得为的垂心则为的中心即为正三角形运用向量的数量积定义可得的边长以为坐标原点所在直线为轴建立直角坐标系求得的坐标再设由中点坐标公式可得的坐标运用两点的距离公式可得的长运用三角 解析：494【分析】由DA DB DC ==，可得D 为ABC ∆的外心，又DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅，可得D 为ABC ∆的垂心，则D 为ABC ∆的中心，即ABC ∆为正三角形．运用向量的数量积定义可得ABC ∆的边长，以A 为坐标原点，AD 所在直线为x 轴建立直角坐标系xOy ，求得,B C 的坐标，再设(cos ,sin ),(02)P θθθπ≤<，由中点坐标公式可得M 的坐标，运用两点的距离公式可得BM 的长，运用三角函数的恒等变换公式，结合正弦函数的值域，即可得到最大值． 【详解】解: 由DA DB DC ==，可得D 为ABC ∆的外心， 又DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅，可得()0,(DB DA DC DC DB ⋅-=⋅ )0DA -=，即0DB AC DC AB ⋅=⋅=， 即有,DB AC DC AB ⊥⊥，可得D 为ABC ∆的垂心， 则D 为ABC ∆的中心，即ABC ∆为正三角形， 由2DA DB ⋅=-，即有||||cos1202DA DB ︒⋅=-， 解得||2DA =，ABC ∆的边长为4cos3023︒=以A 为坐标原点，AD 所在直线为x 轴建立直角坐标系xOy ， 可得B(3,3),C(3,3),D(2,0)-， 由||1AP =，可设(cos ,sin ),(02)P θθθπ≤<，由PM MC =，可得M 为PC 中点，即有3cos 3sin (2M θθ++，则2223cos3sin||3=3+2BMθθ⎛⎫++⎛⎫-+⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝22(3cos)(33sin)376cos63sin4θθθθ-+-+=+=3712sin64πθ⎛⎫+-⎪⎝⎭=，当sin16πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，即23πθ=时，取得最大值，且为494．故答案为：494．【点睛】本题考查向量的定义和性质，以及模的最值的求法，注意运用坐标法，转化为三角函数的最值的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．17．【分析】延长BC作圆M的切线设切点为A1切线与BD的交点D结合数量积的几何意义可得点A运动到A1时在上的投影最小设将结果表示为关于的二次函数求出最值即可【详解】如图延长BC作圆M的切线设切点为A1切解析：2-【分析】延长BC，作圆M的切线，设切点为A1，切线与BD的交点D，结合数量积的几何意义可得点A运动到A1时，CA在CB上的投影最小，设CP x=，将结果表示为关于x的二次函数，求出最值即可.【详解】如图，延长BC，作圆M的切线，设切点为A1，切线与BD的交点D，由数量积的几何意义，CA CB⋅等于CA在CB上的投影与CB之积，当点A运动到A1时，CA在CB上的投影最小；设BC中点P，连MP，MA1，则四边形MPDA1为矩形；设CP=x，则CD=2-x，CB=2x，CA CB⋅=()()222224212x x x x x--⋅=-=--，[]02x∈，，所以当1x =时，CA CB ⋅最小，最小值为2-， 故答案为：2-. 【点睛】本题考查平面向量数量积的几何意义，考查了学生的作图能力以及分析问题解决问题的能力，属于中档题.18．【分析】根据条件及向量数量积运算求得连接由三角形中线的性质表示出根据向量的线性运算及数量积公式表示出结合二次函数性质即可求得最小值【详解】根据题意连接如下图所示:在等腰三角形中已知则由向量数量积运算 解析：77【分析】根据条件及向量数量积运算求得AB AC ⋅,连接,AM AN ,由三角形中线的性质表示出,AM AN .根据向量的线性运算及数量积公式表示出2MN ,结合二次函数性质即可求得最小值. 【详解】根据题意,连接,AM AN ,如下图所示:在等腰三角形ABC 中,已知1AB AC ==,120A ∠=︒则由向量数量积运算可知1cos 11cos1202AB AC AB AC A ⋅=⋅=⨯⨯=- 线段EF BC 、的中点分别为M N 、则()()1122AM AE AF AB AC λμ=+=+ ()12AN AB AC =+ 由向量减法的线性运算可得11112222MN AN AM AB AC λμ⎛⎫⎛⎫=-=-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以2211112222MN AB AC λμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦222211111111222222222AB AC AB AC λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⨯-⨯-⨯⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭221111111112222222222λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⨯-⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为41λμ+=,代入化简可得22221312111424477MN μμμ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭因为(),0,1λμ∈且41λμ+=10,4μ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭所以当17μ=时, 2MN 取得最小值17因而minMN==故答案为: 7【点睛】本题考查了平面向量数量积的综合应用,向量的线性运算及模的求法,二次函数最值的应用,属于中档题.19．【分析】将已知条件转化为结合得到设列出关于的方程组由此求得【详解】由于所以所以即因为即化简得设所以解得故答案为：【点睛】本小题主要考查平面向量的基本定理考查平面向量的线性运算考查化归与转化的数学思想解析：53【分析】将已知条件转化为1539AO AB AC =+，结合BD DC λ=，得到111AD AB AC λλλ=+++，设AO k AD =，列出关于,k λ的方程组，由此求得λ. 【详解】 由于305OA OB OC =++，所以()()350OA AB AO AC AO +-+-=，所以935AO AB AC =+，即1539AO AB AC =+. 因为BD DC λ=，即()AD AB AC AD λ-=-, 化简得111AD AB AC λλλ=+++， 设11k k AO k AD AB AC λλλ==+++，所以1 13519kkλλλ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，解得53λ=.故答案为：53【点睛】本小题主要考查平面向量的基本定理，考查平面向量的线性运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.20．【分析】由已知得由得由不等式可知再由得最后由可得解【详解】由得即由得即由得由得所以故答案为：【点睛】本题考查了向量及其模的运算考查了向量的夹角公式和基本不等式考查了计算能力属于中档题解析：0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】由已知，得22222923a ab ba ab b+⋅⎧⎪⎨⎪+=-⋅+=⎩②①，由+①②，得226a b+=，由不等式可知3a b ≤，再由-①②，得32a b⋅=，最后由cos,a ba ba b⋅=可得解.【详解】由3a b+=，3a b-=，得()()2239baab⎧⎪⎨⎪-==+⎩，即22222923a ab ba ab b+⋅⎧⎪⎨⎪+=-⋅+=⎩②①由+①②，得226a b+=，即226a b+=由-①②，得32a b⋅=由222a b a b +≥，得3a b ≤1cos ,2a b a b a b⋅=≥所以，0,3a b π≤≤.故答案为：0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查了向量及其模的运算，考查了向量的夹角公式和基本不等式，考查了计算能力，属于中档题.三、解答题21．（1）6；（2）58,99m n ==；（3）1118k =-.【分析】（1）利用向量加法的坐标运算得到()320,6a b c +-=，再求模长即可；（2）先写mb nc +的坐标，再根据a mb nc =+使对应横纵坐标相等列方程组，解方程组即得结果；（3）利用向量垂直则数量积为零，再利用数量积的坐标运算列关系求出参数即可. 【详解】解：（1）由(3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-=，得3(9,6),(1,2),2(8,2)a b c ==-=∴()()32918,6220,6a b c +-=--+-=，∴23206a b c +-=+=；（2）()(),2,4,mb m m nc n n =-=， ∴()4,2mb nc n m m n +=-+，a mb nc =+，∴()4,2(3,2)a n m m n ==-+，故4322n m m n -=⎧⎨+=⎩，解得58,99m n ==；（3）(3,2),(4,)a kc k k ==，∴()34,2a kc k k +=++，(3,2),2(2,4)a b ==-，∴()25,2b a -=-，()()2a kc b a +⊥-，∴()()20a kc b a +⋅-=，即()()534220k k -+++=，解得1118k =-. 【点睛】 结论点睛：若()()1122,,,a x y b x y == ，则//a b 等价于12210x y x y -=；a b ⊥等价于12120x x y y +=.22．（1；（2. 【分析】（1）由已知利用平面向量数量积公式可得1a b ⋅=，平方后根据向量数量积的运算可求||a b +的值．（2）结合（1），根据已知条件，由向量夹角的余弦公式即可求解．【详解】（1）向量a 与b 的夹角为3π，且||1a =，||2b =， ∴||||cos a b a b a ⋅=<，112cos12132b π>=⨯⨯=⨯⨯=．222||()2142a b a b a b a b ∴+=+=++⋅=++=．（2）设向量a b +与向量a 的夹角θ，22()||27cos ||||||||||||71a b a a a b a a b a b a a b a a b a θ+⋅+⋅+⋅∴=====+⋅+⋅+⋅⨯． 【点睛】本题主要考查了向量数量积的运算及计算公式，向量夹角的余弦公式，属于中档题．23．（1）π3；（2） 【分析】（1）设向量a 与b 的夹角θ，利用向量的数量积公式计算()2a b a ⋅-=，可得向量的夹角；（2）利用向量的模长公式：2a a =，代入计算可得. 【详解】 （1）设向量a 与b 的夹角θ， ()16cos 12a b a a b θ⋅-=⋅-=-=，解得1cos 2θ=， 又[]0πθ∈，，π3θ∴= （2）由向量的模长公式可得：()222a b a b -=-==. 【点睛】 本题主要考查向量数量积公式的应用，向量模长的计算，求向量的模长需要熟记公式2a a =，考查学生的逻辑推理与计算能力，属于基础题.24．（1）118；（2）31.2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【分析】 （1）首先以点A 为坐标原点建立平面直角坐标系．求AM ，AN 的坐标，再求数量积；（2）首先利用BM DN =，设BM DN t ==，表示向量AM ，AN ，利用数量积的坐标表示转化为二次函数求取值范围. 【详解】 （1）如图，以AB 所在直线为x 轴，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系．因为ABCDEF 是边长为1的正六边形，且M ，N 分别是BC ，DE 的中点， 所以53,44M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，132N ⎛ ⎝， 所以5311848AM AN ⋅=+=． （2）设BM DN t ==，则[]0,1t ∈．所以31,22t M ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，(13N t -． 所以()()223113*********t AM AN t t t t t ⎛⎫⋅=+⋅-+=-++=--+ ⎪⎝⎭． 当0t =时，AM AN ⋅取得最小值1；当1t =时，AM AN ⋅取得最大值32． 所以AM AN ⋅的取值范围为31.2⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题考查数量积的坐标表示，重点考查计算能力，属于基础题型.25．(1)()26f x sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭;(2)()2g x sin x =, 对称轴为,42k x k Z ππ=+∈;(3)112m ≤<,,1223x x π+=. 【分析】 (1) 根据向量()1,1,3,(0)2u sin x v sin x cos x ωωωω⎛⎫=-=+> ⎪⎝⎭和函数()f x u v =⋅，利用数量积结合倍角公式和辅助角法得到，()26πω⎛⎫=-⎪⎝⎭f x sin x ，再根据函数f (x )的图象上两个相邻的对称轴距离为2π求解. (2)依据左加右减，将函数y =f (x )的图象向左平移12π个单位后，得到函数()22126g x sin x sin x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，令2,2ππ=+∈x k k Z 求其对称轴. (3)作出函数f (x )在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上图象，根据函数y =f (x )与直线y =m 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个交点求解.再令2,62x k k Z πππ-=+∈，求对称轴. 【详解】(1)()()21122ωωωωωω=-=-f x sin x sin x x sin x xcos x ，1222226πωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭sin x cos x sin x ∵函数f (x )的图象上两个相邻的对称轴距离为2π， ∴22T π=， ∴2(0)2ππωω=>， ∴ω=1， 故函数f (x )的解析式为()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭; (2)依题意，()22126g x sin x sin x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 令2,2ππ=+∈x k k Z ，则,42ππ=+∈k x k Z ， ∴函数g (x )的对称轴为,42ππ=+∈k x k Z ;(3)∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ∴52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， ∴12,162sin x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 函数f (x )在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的草图如下，依题意，函数y =f (x )与直线y =m 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个交点，则112m ≤<， 令2,62x k k Z πππ-=+∈，则,32k x k Z ππ=+∈， ∴函数f (x )在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的对称轴为3x π=，则1223x x π+=. 【点睛】 本题主要考查了平面向量和三角函数，三角函数的图象和性质及其应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.26．（1）1135AF m n =+（2）310CG CB = 【分析】（1）依题意可得23AD AB =、14AE AC =，再根据DE AE AD =-，AF AD DF =+计算可得；（2）设存在实数λ，使得(01)CG CB λλ=<<，由因为//EG AF ，所以存在实数μ， 使AF EG μ=，再根据向量相等的充要条件得到方程组，解得即可；【详解】解：（1）因为D 是线段AB 上靠近B 的一个三等分点，所以23AD AB =.因为E 是线段AC 上靠近A 的一个四等分点，所以14AE AC =， 所以1243DE AE AD AC AB =-=-. 因为4DF FE =，所以4185515DF DE AC AB ==-， 则2183515AF AD DF AB AC AB =+=+- 2111()15535AB AB BC AB BC =++=+. 又AB m =，BC n =. 所以11113535AF AB BC m n =+=+. （2）因为G 是线段BC 上一点，所以存在实数λ，使得(01)CG CB λλ=<<， 则33()44EG EC CG AC CB AB BC BC λλ=+=+=+- 3333()()4444AB BC m n λλ=+-=+- 因为//EG AF ，所以存在实数μ，使AF EG μ=，即1133[()]3544m n m n μλ+=+-， 整理得31,4331(),45μμλ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得310λ=， 故310CGCB =. 【点睛】本题考查平面向量的线性运算及平面向量共线定理的应用，属于中档题.。
(完整)高一数学必修四平面向量测试题及答案,推荐文档
7. ・一> r亠，则点O 是厶ABC W （ 、外心 4个命题：O 是厶ABC 所且满足条件C、内心 设八、b 、 均为平面内任意非零向量且互不共线, （1）（ ” • b ）2= ” 2 • b 2（2）|“ +b | > | “ -b |（4）（ b 厂）“ -（—a ） b 与『不A 8. D则下列（3）| 訂 +b | 2=（和 +b ）2定垂直。
其中真命题的个数是（ C9. 在厶ABC 中, A=60°, b=1,:;匸一 1 : L. _ : _ 等于(26^3~3~10.设订、b 不共线，则关于A 至少有一个实数解C 至多有两个实数解 二、填空题：（本大题共4小题，每小题 的方程 打x 2+b x+ T=0的解的情况是（11.在等腰直角三角形ABC 中，斜边 AC=2£2，贝U AB CA = ________12.已知ABCDE 为正六边形，且 AC =a , AD =b ,则用a , b 表示AB 为 ____________ . 13 .有一两岸平行的河流，水速为1，速度为*的小船要从河的一边驶向对岸，为使所行路程最短，小船应朝第二章平面向量测试题、选择题：（本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 设点 P (3, -6 ), Q (-5 , 2), R 的纵坐标为-9，且P 、Q R 三点共线，则R 点的横坐标为（ ）A -9 B、-6 C 、9 D 、6 2.已知卫=（2,3）, b =(-4,7)，贝U N 在b 上的投影为（ ）。
•-佢AV13B、 ： C 、 1D. 十—>3.设点A (1 , 2), B （ 3, 5）,将向量毘E 按向量d =（ -1 , -1 ）平移后得向量三丄为（）。
A (2, 3) B、(1, 2) C 、(3, 4) D 、(4, 7)4.若（a+b+c ）（b+c-a ）=3bc ，且 sinA=sinBcosC ，那么△ ABC >（）。
必修四平面向量综合测试题
、选择题1. 已知 ABC 的边BC 的垂直平分线交 BC 于Q,交AC 于P,若AB AC 2,则AP BC 的值为(B. 3 2为()8. 已知向量a, b 满足|a| = 1, (a+ b) (a-2b)= 0,则| b|的取值范围为()1 11 A. [1,2]B. [2,4]C. —D. — ,14 22平面向量综合测试题A. 3C. 32. 已知向量a= (1,0)与向量b=(-nA -61,nB3⑶，则向量a 与b 的夹角是(2 n5 n C._3 D."63. 设P 是厶ABC 所在平面内的一占八、、7BC+ BA= 2BP,贝U (B.PC A PA= 0 A.PA+ PB = 0 D.PAAPB+PC= 04. CPB+Pfc = 0已知向量 a= (2,3), b = (- 1,2),若ma+ nb 与a- 2b 共线， 则马=UUV 5. 在ABC 屮， D 为BC 边上点，且AD BC ,向量ABUUV 线, uuiv .uu UJV AB 若AC 应,v BCUJIV UUV-GB GCCG1 D 1 UUVAC 与向量人出共"6. A. 3B. 5C. 2D..To 2已知点A(- 1,1),B(1,2), C(-2,- 1), D(3,4),则向量AB 在CD 方向上的投影3 15 3,2 3 15 3,2 3 , 15 A. 2B_2C. — 2D. — _2_已知|a| = 2|b| , |b|工0且关于x 的方程x 2 + |a|x+ a b = 0有实根，则a 与b 的 夹角的取值范围是()n n ,A . [0, &B . [3, nC [3，亍 7. n ,D . $, n B. 2C.A. — 2UJIV 1 uuv 1 UUV UUV 9. 已知在ABC中，0是ABC的垂心，点P满足：3OP OA OB 2OC ,2 2C . 3 D.-45 210.已知向量a= (x+ 1,1), b= (1, y — 2), a 丄b,贝U x 2+ y 2的最小值为()1 2 1A.3B.3C2D. 111.若向量 a, b 满足：|a| = 1, (a+ b)丄 a, (2a + b)丄 b,则| b| =()A. 2B.『2C. 1D#12.设a,b 是两个非零向量，下列结论一定成立的是()A. 若|a+ b| = |a| — |b|，则 a 丄 bB. 若 a 丄 b,则 |a+ b| = | a| — | b|C?若| a + b= |a| — |b|，则存在实数 人使得a= Xb D. 若存在实数 X 使得a =Xb 则|a+ b| = |a| — | b|二、填空题13. 已知向量 a = (2,1), ab= 10, |a+ b| = 5 迄，贝U |b| 等于 ________________ . 14. 已知向量 a= (2, — 1),b= (— 1,m),c= (—1,2),若(a + b)〃 c,则 m = ____________ 15. 已知向量 a, b 满足 |a j = 1, b= (2,1),且 入 a+ b= 0(疋 R),贝U | X = ____________ 16. 已知向量a (6,2)与b ( 3,k)的夹角是钝角,则k 的取值范围是 ______________________1 '计算题17.( 10分)已知0A 1 , |OB V3，向量0A , OB 的夹角为，点C 在AB 上,且 AOC —.设 OC mOA nOB m,n R ，求 m 的值.6nB. 3 A.18. (10分)设a, b是不共线的两个非零向量.(1) 若OA= 2a —b, OB= 3a + b, O t>a —3b,求证：A, B, C 三点共线.⑵若AB= a+ b, BC= 2a —3b, CD= 2a —kb,且A, C, D 三点共线，求k 的19. ( 10分)已知向量a= (3,2), b= (—1,2), c= (4,1).(1) 求3a＋b－2c；(2) 求满足a= m b+ n c 的实数m, n；(3) 若(a+ kc)〃(2b —a),求实数k.3, —1), AD 为 BC 边20. (10 分)已知在△ ABC 中，A(2, —1), B(3,2), 上的高，求点D的坐标与|AD| .21. (10分)已知|a| = 2|b| = 2,且向量a在向量b的方向上的投影为一1,求⑴a与b的夹角9；(2)(a —2b) b.22. (10分)已知a= ( 3, —1), b=八-3，且存在实数k和t,使得x= a + (t2—3)b, k +12 y—-ka+ tb，且x丄y,试求上的最小值.。
高一数学必修4《平面向量》测试卷(含答案)
《平面向量》测试卷考试时间：120分钟满分：150分一.选择题.(本大题共1２小题,每小题5分,共6０分) 1.对于任意向量a b 和，下列命题中正确的是（)A.若,a b 满足a b >,且a b 与同向,则a b >B.a b a b +≤+ C ．a b a b ⋅≥ D.a b a b -≤-2.已知平面向量(1,1),(1,1)a b ==-，则向量1322a b -等于（)A ．(2,1)--ﻩ B.(2,1)- Ｃ.(1,0)- D.(1,2)- 3．下列各组向量中，可以作为基底的是（） A ．12(0,0),(1,2)e e ==-B ．12(1,2),(5,7)e e =-=C ．12(3,5),(6,10)e e ==D .1213(2,3),(,)24e e =-=-4.已知5,28,3()AB a b BC a b CD a b =+=-+=-,则（ ) A.A B D 、、三点共线B.A B C 、、三点共线 C.B C D 、、三点共线Ｄ.A C D 、、三点共线５.已知正方形ABCD 的边长为1,,,,AB a BC b AC c ===则a b c ++等于（) A.0Ｂ.32Ｄ.226.已知,,,,OA a OB b OC c OD d ====且四边形ABCD 为平行四边形，则() A.0a b c d +++=Ｂ.0a b c d -+-= C.0a b c d +--=D ．0a b c d --+=7.若(2,3),(4,7)a b ==-,则b a 在方向上的投影为()36513565８.在三角形ABC 中,,AB c AC b ==，若点D 满足2BD DC =，则AD =（ )Ａ.2133b c + Ｂ．5233b c - C.2133b c - D.1233b c + ９.如图，正六边形ABCDEF 中,BA CD EF ++=（) A.0B.BE Ｃ.AD D ．CF10.已知点O N P 、、在三角形ABC 所在平面内，且OA OB OC ==,0NA NB NC ++=,PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅,则点O N P 、、依次是三角形ABC 的（ )A.重心、外心、垂心B.重心、外心、内心C.外心、重心、垂心D ．外心、重心、内心 11.如图，三角形OAB 中,3,2ON NA OM MB ==,AM 和BN 交于点G ,OG mOA nOB =+,则（）AA.11,23m n ==B.11,32m n ==C.11,63m n ==D.11,26m n ==１２.定义平面向量之间的一种运算“⊗”如下:对任意的(,),(,)a m n b p q ==，令a b mq np ⊗=-．下列说法错误的是（ ）Ａ.若a b 与共线，则0a b ⊗= B.a b b a ⊗=⊗C.,R λ∈∀都有()()a b a b λλ⊗=⊗D.2222()()a b a b a b ⊗+⋅= 二.填空题．（本大题共４小题，每小题5分,共20分）１3.已知向量(2,1),(1,),(1,2)a b m c =-=-=-,若a b +平行于c ，则m =.14.已知三角形ABC 的三个顶点坐标分别为(1,1)A ，(4,1)B ，(4,5)C ,则tan A 的值为. １5.我们知道，(1,0),(0,1)a b ==是一组单位正交基底.请再任意写出一组单位正交基底.１6.已知正方形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的动点,则DE CB ⋅的值为，DE DC ⋅的最大值为．三.解答题．（本大题共6小题，其中17题１0分，其余5个小题每题１2分,共70分)17.平面向量的数量积a b ⋅是一个非常重要的概念，利用它可以容易地证明平面几何的许多命题，例如勾股定理、菱形的对角线相互垂直、长方形对角线相等、正方形的对角线垂直平分等、三角形的三条中线交于一点、三角形的三条垂线交于一点、三角形的三条角平分线交于一点等．请选择其中一个命题,给出具体证明.18．已知平面直角坐标系中，点O 为原点,(3,4),(5,12)A B ---. (1)求AB 的坐标及AB ;（2）若,OC OA OB OD OA OB =+=-,求OC 及OD 的坐标; (3）求OA OB ⋅．１9.在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,2),(2,3),(2,1)A B C ----. (1)求以线段,AB AC (２）设实数t 满足()0AB tOC OC -⋅=,求实数t 的值 20.如图，在矩形ABCD 中，2AB BC ==, 点E 为BC 的中点,点F 在边CD 上, 若2AB AF ⋅=AE BF ⋅的值．21．已知,m n 为单位向量，夹角为3π． (1）求cos 35,2m n m n 〈+-〉；（2)若22,3m n km n π〈-+〉=,求实数k 的值．2２.已知(2,1),(3,2),(1,4)A B D -.(１）求证：AB AD ⊥；(２）若四边形ABCD 是矩形，试确定C 点的坐标;(3)若点M 为直线OD 上的一个动点，当MA MB ⋅取最小值时，求OM 的坐标.《平面向量》答案解析一.选择题．(本大题共12小题,每小题5分,共６０分)BDBAD BAADC AB二.填空题.(本大题共4小题,每小题5分,共20分）13．1- 14．43１5.(cos ,sin ),(sin ,cos )a b θθθθ==-(答案不唯一) １６.1,1三.解答题.（本大题共6小题,其中17题１0分，其余5个小题每题12分,共70分)22222222=,2=+==(+)2ABC C AB AC CBAB AC CBAB AB AC CB AC CB AC CB AC CBAC π=+∴=++⋅⊥∴17.解:勾股定理：三角形中，不妨设则有 证明： 又2220CB AB AC CB⋅=∴=+18.(1)(8,8),82(2)(3,4)(5,12)(2,16)(3,4)(5,12)(8,8)(3)(3,4)(5,12)33AB AB OC OD OAOB =-==--+-=-=----=-⋅=--⋅-=解:19.(1)(3,5),(1,1),(2,6),(4,4)210,42(2)(2,1)AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC OC AB tOC ==-+=-=∴+=-=∴=--∴-=解：由题意知则 所求的两条对角线长分别为 (3,5)(2,)(23,5)()(23,5)(2,1)511()05110115t t t t AB tOC OC t t t AB tOC OC t t ---=++∴-⋅=++⋅--=---⋅=∴--=∴=-220.,(1)()()222(1)2DF xAB CF x ABAB AF AB AD DF AB AD xAB xAB xxBF BC CF BC ABAE==-⋅=⋅+=⋅+==∴=∴=+=+-∴解:方法一：设则222()(1)212()(1)2211)2211)2422BF AB BE BC ABAB BC BCABAB BC⎡⎤⋅=+⋅+-⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+⋅+-⎢⎥⎣⎦=-+=-⨯+⨯=方法二：以(0,0),(2,0),(2,1),(,2)(2,0),(,2),(2,1),(2)2(,2)1(2A AB x AD yA B E F xAB AF x AE BF xAB AFxxAE BF∴====-⋅=∴⋅=∴=∴⋅=为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，则(12)⋅-=121.(1)29(35)(2),357,232(35)(2)33cos35,2143523(2)(2)(),223,a bm n m n m n m nm n m nm n m nm n m nm n km n km n km⋅=∴+⋅-=+=-=+⋅-∴〈+-〉==+--⋅+=-=解:由题意知232cos31,1()2n k kkk kπ+=+∴=∴=-=或舍(1)(1,1),(3,3),0(2)(,),(3,3)(3,2)0,5(0,5)(3)(,),(,),(AB AD AB AD AB ADC x y AD BC x y x y C M a b OM a b OD ==-∴⋅=∴⊥=-=--∴==∴==-22.解:由题意得 设则由得 设则21,4),,144(2,1)(3,2)(2,14)(3,24)1778714,3417O M D a bb aMA MB a b a b a a a a a a a MA MB b ∴=-∴=-∴⋅=--⋅--=-+⋅-+=++∴=-⋅=三点共线 当,时可取得最小值，此时 714(,)3417OM ∴=-。
高中数学必修四平面向量测试题及答案
高中数学必修四平面向量测试题一、选择题: (本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1．设点P（3，-6），Q（-5，2），R的纵坐标为-9，且P、Q、R三点共线，则R点的横坐标为（）。
A、-9B、-6C、9D、62．已知=(2,3), b=(-4,7)，则在b上的投影为（）。
A、 B、C、D、3．设点A（1，2），B（3，5），将向量按向量=（-1，-1）平移后得向量为（）。
A、（2，3）B、（1，2）C、（3，4）D、（4，7）4．若(a+b+c)(b+c-a)=3bc，且sinA=sinBcosC，那么ΔABC是（）。
A、直角三角形B、等边三角形C、等腰三角形D、等腰直角三角形5．已知| |=4, |b|=3, 与b的夹角为60°，则| +b|等于（）。
A、 B、 C、 D、6．已知O、A、B为平面上三点，点C分有向线段所成的比为2，则（）。
A、 B、C、 D、7．O是ΔABC所在平面上一点，且满足条件，则点O是ΔABC的（）。
A、重心B、垂心C、内心D、外心8．设、b、均为平面内任意非零向量且互不共线，则下列4个命题：(1)( ·b)2= 2·b2(2)| +b|≥| -b| (3)| +b|2=( +b)2(4)(b) -(a)b与不一定垂直。
其中真命题的个数是（）。
A、1B、2C、3D、49．在ΔABC 中，A=60°，b=1， ，则 等于（ ）。
A 、B 、C 、D 、10．设 、b 不共线，则关于x 的方程 x 2+b x+ =0的解的情况是（ ）。
A 、至少有一个实数解 B 、至多只有一个实数解 C 、至多有两个实数解 D 、可能有无数个实数解 二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，满分16分.）.11．在等腰直角三角形ABC 中，斜边AC=22，则CA AB =_________12．已知ABCDEF 为正六边形，且AC =a ，AD =b ，则用a ，b 表示AB 为______.13．有一两岸平行的河流，水速为1，速度为的小船要从河的一边驶向对岸，为使所行路程最短，小船应朝________方向行驶。
(完整word)高中数学必修4平面向量测试试卷典型例题(含详细答案)
高中数学平面向量组卷一．选择题（共 18 小题）1．已知向量与的夹角为θ，定义× 为与的“向量积”，且×是一个向量，它的长度 | × |=| || |sinθ，若=（ 2， 0），﹣ =（ 1，﹣），则 | ×（ + ）|=（）A． 4 B ．C．6D． 22．已知，为单位向量，其夹角为60°，则（ 2﹣） ?=（）A．﹣ 1 B ． 0C．1D． 23．已知向量=（ 1，）， =（ 3，m），若向量，的夹角为，则实数 m=（）A． 2 B ．C．0D．﹣4．向量，，且∥ ，则=（）A． B ．C．D．5．如图，在△ ABC 中， BD=2DC ．若，，则=（）A． B ．C．D．6．若向量=（2cosα，﹣ 1）， =（， tanα），且∥，则 sin α=（）A． B ．C．D．7．已知点 A （ 3， 0）， B（ 0，3），C（cosα， sinα），O（ 0， 0），若，则的夹角为（）A． B ．C．D．8．设向量= ， =不共线，且 |+ |=1，| ﹣|=3，则△ OAB 的形状是（）A．等边三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形9．已知点 G 是△ABC的重心，若 A=， ?=3，则 ||的最小值为（）10．如图，各棱长都为 2 的四周体ABCD 中，=，=2，则向量? =（）A．﹣ B ．C．﹣D．11．已知函数 f（ x） =sin（ 2πx+ φ）的部分图象如下图，点B， C 是该图象与 x 轴的交点，过点 C 的直线与该图象交于 D ，E 两点，则（） ?的值为（）A． B ．C．1D． 212．已知 P 为三角形 ABC 内部任一点（不包含界限），且知足 (﹣） ?（+ ﹣ 2 ） =0，则△ABC 的形状一定为（）A．等边三角形B．直角三角形C．钝三角形D．等腰三角形13．如下图，设 P 为△ABC 所在平面内的一点，而且=+，则△ABP与△ ABC的面积之比等于（）A． B ．C．D．14．在△ ABC 中， |AB|=3 ， |AC|=2 ， =，则直线 AD 经过△ ABC 的（）A．垂心B．外心C．重心D．心里15．在△ ABC 中，∠ BAC=60 °，AB=2 ， AC=1 ， E，F 为边 BC 的三均分点，则=（）A． B ．C．D．16．已知空间向量知足，且的夹角为，O 为空间直角坐标系的原点，点A、B 知足，，则△ OAB 的面积为（）A． B ．C．D．17．已知点 P 为△ABC 内一点，且++3= ，则△APB ，△ APC，△ BPC 的面积之比等于（）A．9：4：1B．1：4：9C．3： 2： 1D． 1： 2：318．在直角三角形ABC 中，点 D 是斜边 AB 的中点，点 P 为线段 CD 的中点，则=（）A． 2 B ． 4C．5D． 10二．解答题（共 6 小题）19．如图示，在△ ABC 中，若 A ，B 两点坐标分别为（2，0），（﹣ 3， 4）点 C 在 AB 上，且 OC 均分∠BOA ．（1）求∠ AOB 的余弦值；（2）求点 C 的坐标．20．已知向量=（ cosθ， sinθ）和．（ 1）若∥，求角θ的会合；（2）若，且|﹣|=，求的值．21．如下图，若 D 是△ABC 内的一点，且AB 2﹣ AC 2=DB 2﹣DC 2．求证： AD ⊥ BC．22．已知向量，，此中A、B是△ ABC 的内角，．（1）求 tanA?tanB 的值；（ 2）若 a、b、 c 分别是角 A 、 B 、C 的对边，当 C 最大时，求的值．23．已知向量且，函数f（x）=2（ I）求函数f（ x）的最小正周期及单一递加区间；（ II ）若，分别求tanx 及的值．24．已知，函数f（x）=．（1）求函数 f（ x）的最小正周期；（2）求函数 f（ x）的单一减区间；（ 3）当时，求函数 f （x）的值域．高中数学平面向量组卷（2014 年 09 月 24 日）参照答案与试题分析一．选择题（共18 小题）1．已知向量与的夹角为θ，定义× 为与的“向量积”，且× 是一个向量，它的长度| × |=| || |sinθ，若=（ 2， 0），﹣=（ 1，﹣），则 | ×（+）|=（）A． 4 B ．C．6D． 2考点：平面向量数目积的运算．专题：平面向量及应用．剖析：=利用数目积运算和向量的夹角公式可得．再利用平方关系可得，利用新定义即可得出．解答：解：由题意，则，∴=6 ，==2，=2 ．∴=== ．即，得，由定义知，应选： D．评论：此题考察了数目积运算、向量的夹角公式、三角函数的平方关系、新定义，考察了计算能力，属于基础题．2．已知，为单位向量，其夹角为60°，则（ 2﹣）?=（）A．﹣ 1B．0C．1D．2考点：平面向量数目积的运算．专题：平面向量及应用．剖析：由条件利用两个向量的数目积的定义，求得、的值，可得（2﹣）?的值．解答：3．已知向量=（ 1，），=（ 3，m），若向量，的夹角为，则实数m=（）A．2B．C．0D．﹣考点：数目积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．剖析：由条件利用两个向量的夹角公式、两个向量的数目积公式，求得m 的值．解答：解：由题意可得cos ===，解得m=，应选：B．评论：此题主要考察两个向量的夹角公式、两个向量的数目积公式的应用，属于基础题．4．向量，，且∥，则=（）A．B．C．D．考点：平行向量与共线向量；同角三角函数间的基本关系；引诱公式的作用．专题：计算题；三角函数的求值．剖析：依据向量平行的条件成立对于α的等式，利用同角三角函数的基本关系与引诱公式，化简即可获得的值．解答：解：∵，，且∥ ，∴，即，得 sin α=，由此可得=﹣ sinα=．应选： B评论：此题给出向量含有三角函数的坐标式，在向量相互平行的状况下求的值．侧重考察了同角三角函数的基本关系、引诱公式和向量平行的条件等知识，属于基础题．5．如图，在△ ABC 中， BD=2DC ．若，，则=（）A．B．C．D．考点：向量的加法及其几何意义．专题：平面向量及应用．剖析：由题意可得=，而，，代入化简可得答案．解答：解：由题意可得=====应选C评论：此题考察平面向量的加法及其几何意义，波及向量的数乘，属基础题．6．若向量=（2cosα，﹣ 1）， =（，tanα），且∥，则sinα=（）A．B．C．D．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．剖析：直接由向量共线的坐标表示列式计算．解答：解：∵向量=（ 2cosα，﹣ 1）， =（， tanα），且∥，则 2cosα?tanα﹣（﹣ 1）×=0，即 2sinα=．∴．应选： B ．评论：共线问题是一个重要的知识点，在高考题中经常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一同，要特别注意垂直与平行的差别．若=（ a1，a2）， =（ b1，b2），则⊥? a1a2+b1b2 =0，∥? a1b2﹣ a2 b1=0．是基础题．7．已知点 A （ 3， 0）， B（ 0，3），C（cosα， sinα），O（ 0， 0），若，则的夹角为（）A．B．C．D．考点：平面向量数目积的坐标表示、模、夹角．专题：计算题．剖析：依据题意求出的坐标，再由它的模求出角α，从而求出点 C 的坐标，利用数目积的坐标表示求出和夹角的余弦值，再求出夹角的度数．∵， ∴ （3+cos α） 2+sin 2α=13 ，解得， cos α= ，则 α= ，即C （， ），∴ 和 夹角的余弦值是 = = ，∴ 和 的夹角是 ．应选： D ．评论： 此题考察向量线性运算的坐标运算，以及数目积坐标表示的应用，利用向量坐标形式进行运算求出对应向量的模，以及它们的夹角的余弦值，从而联合夹角的范围求出夹角的大小．8．设向量= ，= 不共线，且 | + |=1， | ﹣ |=3，则 △ OAB的形状是（）A ．等 边三角形B ．直角三角形C ． 锐角三角形D ． 钝角三角形考点： 平面向量数目积的运算．专题： 计算题；平面向量及应用．剖析： 对| + |=1， | ﹣ |=3 分别平方并作差可得，由其符号可判断 ∠ AOB 为钝角，获得答案．解答：+ |=1，得=1 ，即① ，解：由 |由 | ﹣ |=3，得，即② ，① ﹣② 得，4=﹣8，解得＜0， ∴ ∠ AOB 为钝角， △ OAB 为钝角三角形，应选：D ．评论： 此题考察平面向量数目积运算，属基础题．9．已知点 G 是 △ABC 的重心，若 A= ，? =3，则 | |的最小值为（）A ．B ．C ．D ． 2考点： 平面向量数目积的运算．专题： 不等式的解法及应用；平面向量及应用．剖析： 由 A=， ? =3 ，可求得=6，由点 G 是 △ ABC 的重心， 得 =，利用不等式则 ||2 == （+6）≥，代入数值可得．解答：解： ∵A=， ? =3，∴=3，即=6 ，∵ 点 G 是△ABC 的重心， ∴ =，∴| |2== （ +6）≥==2，∴ | |≥，当且仅当 =时取等号， ∴ | |的最小值为，应选 B ．评论： 此题考察平面向量数目积的运算、不等式求最值，注意不等式求最值时合用的条件．A．﹣B．C．﹣D．考点：平面向量数目积的运算．专题：平面向量及应用．剖析：由向量的运算可得=（），=，由数目积的定义可得．解答：解：∵=，=2，∴=（），=，∴=====，∴? =（）?（）===应选：B评论：此题考察向量数目积的运算，用已知向量表示未知向量是解决问题的重点，属中档题．11．已知函数f（ x） =sin（ 2πx+ φ）的部分图象如下图，点B， C 是该图象与x 轴的交点，过点 C 的直线与该图象交于 D ，E 两点，则（）?的值为（）A．B．C．1D．2考点：平面向量数目积的运算；正弦函数的图象；正弦函数的定义域和值域．专题：平面向量及应用．剖析：依据三角函数的图象和性质，求出函数的周期，利用向量的基本运算和向量的数目积定义即可获得结论．解答：解：∵函数f（x）=sin（2πx+φ）的周期T=，则BC=，则C点是一个对称中心，则依据向量的平行四边形法例可知：=2 ?∴（）?==2×=．评论：此题主要考察向量的数目积运算，利用三角函数的图象和性质是解决此题的重点．A．等边三角形 B ．直角三角形C．钝三角形D．等腰三角形考点：平面向量数目积的运算．专题：平面向量及应用．剖析：利用向量的三角形法例和平行四边形法例、向量垂直于数目积的关系即可得出．解答：解：∵，=，（﹣）?（+﹣2）=0，∴=0．而必定经过边AB 的中点，∴垂直均分边AB ，即△ ABC 的形状必定为等腰三角形．评论：此题考察了向量的三角形法例和平行四边形法例、向量垂直于数目积的关系、等腰三角形的定义，考察了推理能力，属于难题．13．如下图，设P 为△ABC 所在平面内的一点，而且=+，则△ABP与△ ABC的面积之比等于（）A．B．C．D．考点：向量在几何中的应用．专题：计算题；压轴题．剖析：此题考察的知识点是向量在几何中的应用，及三角形面积的性质，由△ABP 与△ ABC 为同底不等高的三角形，故高之比即为两个三角面积之间，连结CP 并延伸后，我们易获得CP 与 CD 长度的关系，进行获得△ ABP的面积与△ ABC 面积之比．解答：解：连结 CP 并延伸交 AB于 D，∵ P、C、D 三点共线，∴=λ+μ，且λ+μ=1设=k ，联合=+，得=+由平面向量基本定理解之，得λ=， k=3 且μ=，∴ =+，可得=，∵ △ ABP 的面积与△ ABC 有同样的底边AB高的比等于 | |与 | |之比∴ △ ABP的面积与△ ABC面积之比为，应选：C评论：三角形面积性质：同（等）底同（等）高的三角形面积相等；同（等）底三角形面积这比等于高之比；同（等）高三角形面积之比等于底之比．14．在△ ABC 中， |AB|=3 ， |AC|=2 ，=，则直线AD 经过△ ABC 的（）考点：向量在几何中的应用．专题：综合题；平面向量及应用．剖析：第一依据已知条件可知||=||=，又因为=，设=，=，由向量加法的平行四边形法例可知四边形AEDF 为菱形，从而可确立直线AD 经过△ ABC 的心里．解答：解：∵ |AB|=3，|AC|=2∴ ||=||=．设=，=，则||=| |，∴== +．由向量加法的平行四边形法例可知，四边形AEDF 为菱形．∴ AD 为菱形的对角线，∴AD 均分∠ EAF ．∴直线 AD 经过△ABC 的心里．应选： D ．评论：此题考察向量加法的平行四边形法例及其几何意义，属于中档题．15．在△ ABC 中，∠ BAC=60 °，AB=2 ， AC=1 ， E，F 为边 BC 的三均分点，则=（）A．B．C．D．考点：向量在几何中的应用；平面向量数目积的运算．专题：计算题．剖析：先判断三角形形状，而后成立直角坐标系，分别求出，向量的坐标，代入向量数目积的运算公式，即可求出答案．解答：解：∵在△ ABC中，∠ BAC=60°，AB=2，AC=1，∴ 依据余弦定理可知BC=由 AB=2 ，AC=1 ， BC= 知足勾股定理可知∠ BCA=90 °以 C 为坐标原点， CA 、 CB 方向为 x，y 轴正方向成立坐标系∵ AC=1 ， BC=，则C（0，0），A（1，0），B（0，）又∵ E， F 分别是 Rt△ ABC 中 BC 上的两个三均分点，则E（ 0，），F（0，）则=（﹣ 1，），=（﹣ 1，）∴=1+ =应选A．评论：此题考察的知识点是平面向量数目积的运算，此中成立坐标系，将向量数目积的运算坐标化能够简化此题的解答过程．16．已知空间向量知足，且的夹角为，O为空间直角坐标系的原点，点 A 、B 知足，，则△ OAB 的面积为（）考点：平面向量数目积的运算；三角形的面积公式．专题：平面向量及应用．剖析：由向量的运算可得，，以及，代入夹角公式可得cos∠ BOA ，由平方关系可得sin∠ BOA ，代入三角形的面积公式S=，计算可得．解答：解：由题意可得====，同理可得====，而=（） ?（）==6×12﹣12= ，故 cos∠ BOA===，可得 sin∠ BOA==，所以△OAB 的面积 S===．应选 B评论：此题考察平面向量的数目积和三角形面积的求解，娴熟掌握公式是解决问题的重点，属中档题．17．已知点 P 为△ABC 内一点，且++3=，则△APB，△ APC，△ BPC的面积之比等于（）A．9：4：1B．1：4：9C．3：2：1D．1： 2：3考点：向量在几何中的应用．专题：计算题；压轴题．剖析：先将已知向量式化为两个向量共线的形式，再利用平行四边形法例及向量数乘运算的几何意义，三角形面积公式确立面积之比解答：解：∵++3=，∴+ =﹣+），如图：∵，∴∴ F、 P、 G 三点共线，且PF=2PG， GF 为三角形ABC 的中位线∴====2而 S△APB= S△ABC∴△ APB ，△ APC ，△ BPC 的面积之比等于3： 2：1 应选C评论： 此题考察了向量式的化简，向量加法的平行四边形法例，向量数乘运算的几何意义等向量知识，充足利用向量共线是解决此题的重点18．在直角三角形 ABC 中，点 D 是斜边 AB 的中点，点P 为线段 CD 的中点，则 =（ ）A ．2B ．4C ．5D ．10考点： 向量在几何中的应用．专题： 计算题；综合题．剖析： 以 D 为原点， AB 所在直线为 x 轴，成立坐标系，由题意得以AB 为直径的圆必然经过 C 点，所以设 AB=2r ，∠ CDB= α，获得 A 、 B 、 C 和 P 各点的坐标，运用两点的距离公式求出|PA|2+|PB|2 和 |PC|2的值，即可求出的值．解答： 解：以 D 为原点， AB 所在直线为 x 轴，成立如图坐标系，∵ AB 是 Rt △ ABC 的斜边， ∴ 以 AB 为直径的圆必然经过C 点设 AB=2r ， ∠CDB= α，则 A （﹣ r ， 0）， B （ r ， 0）， C （rcos α，rsin α） ∵ 点 P 为线段 CD 的中点， ∴ P （ rcos α， rsin α）∴ |PA|2=+ = +r 2cos α，|PB|2=+=﹣ r 2cos α，222又 ∵ 点 P 为线段 CD 的中点， CD=r可得 |PA| +|PB| = r∴ |PC|2== r 2所以：= =10 应选 D评论： 此题给出直角三角形ABC 斜边 AB 上中线 AD 的中点 P ，求 P 到 A 、B 距离的平方和与 PC 平方的比值，侧重考察了用分析法解决平面几何问题的知识点，属于中档题．二．解答题（共 6 小题）（1）求∠ AOB 的余弦值；（2）求点 C 的坐标．考点：向量在几何中的应用．专题：综合题．剖析：（ 1）由题意可得，把已知代入可求（ 2）设点 C（ x，y），由 OC 均分∠BOA 可得 cos∠ AOC=cos ∠ BOC 即=；再由点C 在 AB 即共线，成立对于x，y 的关系，可求解答：解：（1）由题意可得，，∴==（2）设点 C（x， y），由 OC 均分∠ BOA 可得 cos∠ AOC=cos ∠ BOC∵，∴=∴，∴ y=2x①又点 C在 AB 即共线，∴ 4x+5y ﹣ 8=0②由①②解得，∴ 点C的坐标为评论：此题注意考察了向量的夹角公式的坐标表示的应用，向量共线的坐标表示在三角形中的应用，解题的重点是借助于已知图象中的条件，灵巧的应用向量的基本知识．20．已知向量=（ cosθ， sinθ）和．（2）若，且|﹣|=，求的值．考点：平面向量的坐标运算．专题：计算题．剖析：（1）由题意和共线向量的等价条件，列出对于角θ的方程，求出θ的一个三角函数值，再依据三角函数求出角θ的会合．（ 2）由题意先求出﹣的坐标，依据此向量的长度和向量长度的坐标表示，列出方程求出cos（θ﹣），由余弦的二倍角公式和θ的范围求出的值．解答：解：（1）由题意知∥，则cosθ×cosθ﹣sinθ×（﹣sinθ）=0，∴sinθ=1， sinθ=，∴角θ的会合 ={ θ|θ= +2kπ或θ=+2kπ， k∈Z} ；（ 2）由题意得，﹣=（ cosθ﹣+sinθ， sinθ﹣ cosθ），∴|﹣|===2=，即 cos（θ﹣）=，由余弦的二倍角公式得，=① ，∵，∴＜＜，∴＜﹣＜，即cos（﹣）＜0，∴由①得 cos（﹣）=﹣．评论：此题考察了共线向量的坐标表示和向量长度的坐标表示，利用两角正弦（余弦）和差公式和二倍角公式进行变形求解，注意由已知条件求出所求角的范围，来确立所求三角函数值的符号．21．如下图，若 D 是△ABC 内的一点，且AB 2﹣ AC 2=DB 2﹣DC 2．求证： AD ⊥ BC．15考点：向量在几何中的应用．专题：计算题；证明题；平面向量及应用．剖析：设=，=，=，=，=，将=+、=+代入2﹣2的式子，化简整理2﹣22?=+2﹣ 2?﹣2，联合题意2﹣2=2﹣2化简，可得?（﹣）=0，再联合向量的加减法法例获得?=0，由此联合数目积的性质即可获得AD ⊥ BC．解答：解：设=， = ，= ，=，= ，则=+，=+．∴2﹣2=（+）2﹣（+）2=2+2?﹣2?﹣2．∵由已知 AB 2﹣ AC2=DB2﹣ DC2，得2﹣2=2﹣2，∴2+2?﹣ 2? ﹣2=2﹣2，即 ?（﹣）=0．∵=+=﹣，∴?=?（﹣） =0，所以，可得⊥，即 AD ⊥BC．评论：此题给出三角形 ABC 内知足平方关系的点 D ，求证 AD ⊥BC ．侧重考察了平面向量的加减法例、向量的数目积及其运算性质等知识，属于中档题．22．已知向量，，此中A、B是△ ABC 的内角，．（ 1）求 tanA?tanB 的值；（ 2）若 a、b、 c 分别是角 A 、 B 、C 的对边，当 C 最大时，求的值．考点：平面向量的综合题．专题：计算题．剖析：（ 1）依据推测出=0，利用向量的数目积运算联合二倍角公式求得tanA ?tanB；（ 2）因为 tanA ?tanB=＞ 0，利用基本不等式得出当且仅当时， c 获得最大值，再利用同角公式求出 sinC， sinA ，最后由正弦定理求的值．解答：解：（Ⅰ）由题意得=0即，﹣5cos（ A+B ） +4cos（ A ﹣ B）=0 cosAcosB=9sinAsinB∴ tanA ?tanB=．（2）因为 tanA ?tanB= ＞ 0，且 A 、 B 是△ABC 的内角，∴tanA ＞0， tanB＞ 0∴=﹣当且仅当取等号．∴ c 为最大边时，有，tanC=﹣，∴ sinC=，sinA=由正弦定理得：=．评论：此题是中档题，考察三角函数的化简与求值，正弦定理的应用，基本不等式的知识，是一道综合题，考察学生剖析问题解决问题的能力，公式的娴熟程度决定学生的能力的高低．23．已知向量且，函数f（x）=2（ I）求函数f（ x）的最小正周期及单一递加区间；（ II ）若，分别求tanx 及的值．考点：平面向量数目积的坐标表示、模、夹角；复合三角函数的单一性．专题：平面向量及应用．剖析：（I）化简函数f（x） =2=2sin （ 2x+），可得函数的周期，令2k π﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得 x 的范围，即可获得函数的单一递加区间．（ II ）由，求得tanx=，再由==，运算求得结果．解答：（I）解：函数f（ x）=2=2sinxcosx+2cos 2x﹣ 1=sin2x+cos2x=2sin （ 2x+），故函数的周期为=π，令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得kπ﹣≤x≤kπ+，故函数的单一递加区间为[k π﹣，kπ+]， k∈z．（ II ）解：若，则sinx=cosx，即tanx=．∴====﹣．评论：此题主要考察两个向量的数目积的定义，三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的增区间，三角函数的周期性和求法，属于中档题．24．已知，函数f（x）=．（1）求函数 f（ x）的最小正周期；（2）求函数 f（ x）的单一减区间；（ 3）当时，求函数 f （x）的值域．考点：平面向量的综合题；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；复合三角函数的单一性．专题：综合题．最小正周期；（ 2）由 2kπ+≤2x+≤2kπ+得kπ+≤x≤kπ+，从而可得f（ x）的单一减区间；（ 3）由，可得，从而可求函数f（ x）的值域．解答：解：（1）∵，，∴函数 f （ x） ==5sinxcosx+sin 2x+6cos2x===5sin （ 2x+）+∴ f（x）的最小正周期；（ 2）由 2k π+≤2x+≤2kπ+得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z∴ （f x）的单一减区间为[k π+，kπ+ ]（k∈Z）（ 3）∵∴∴∴ 1≤f（x）≤即 f（ x）的值域为 [1，] ．评论：此题考察向量知识的运用，考察三角函数的化简，考察函数的单一性与值域，化简函数是重点．。
(完整版)高一数学必修4平面向量测试题(含答案)
一 .选择题1．以下说法错误的选项是（）A ．零向量与任一非零向量平行 B.零向量与单位向量的模不相等C.平行向量方向同样D.平行向量必定是共线向量2．以下四式不可以化简为AD的是（）A ．（AB＋CD）＋BC；B ．（AD＋MB）＋（BC＋CM）；C．MB＋AD－BM； D ．OC－OA＋CD；3．已知a =（ 3， 4），b =（ 5， 12），a与b则夹角的余弦为（）A．63B．65C．13D．13 6554．已知 a、 b 均为单位向量 ,它们的夹角为60°,那么 |a+ 3b| =（）A．7B．10C．13D．45．已知 ABCDEF 是正六边形，且AB ＝ a ， AE ＝ b ，则BC＝（）（ A ）12( a b) （B）12(b a ) （C） a ＋12b（D）12(a b)6．设a，b为不共线向量，AB＝a+2b,BC＝－4a－b,CD＝－5 a－ 3 b , 则以下关系式中正确的选项是（）（A）AD＝BC（B）AD＝2BC（C）AD＝－BC（D）AD＝－2BC7．设e1与e2是不共线的非零向量，且k e1＋e2与e1＋ k e2共线，则 k 的值是（）（ A） 1（B）－1（C）1（D）随意不为零的实数8．在四边形ABCD中，AB＝DC，且AC·BD＝ 0，则四边形ABCD是（）（ A）矩形（B）菱形（C）直角梯形（D）等腰梯形9．已知 M （－ 2， 7）、 N（ 10，－ 2），点 P 是线段 MN 上的点，且PN ＝－2PM，则P点的坐标为（）（ A ）（－14，16）（B）（22，－11）（C）（6，1）（D）（2，4）10．已知a＝（ 1，2），b＝（－ 2，3），且 k a + b与a－ k b垂直，则k＝（）（A）1 2 （B） 2 1（C） 2 3（D）3211、若平面向量r r(2 x3, x) 相互平行，此中r r）a (1, x) 和 b x R .则a b （A.2或0；B.25；C. 2或2 5；D. 2或10.12、下边给出的关系式中正确的个数是（）① 0 a0 ② a b b a ③a2 a 2④(a b )c a (b c)⑤a b a b(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3二. 填空题 :13．若AB(3,4), Ａ点的坐标为（－２，－１），则Ｂ点的坐标为．14．已知a(3,4), b(2,3)，则 2 | a | 3a b．15、已知向量a3, b(1,2) ，且a b ，则a的坐标是_________________。
必修四平面向量综合测试题
平面向量综合测试题一、选择题1 .ABC的边BC的垂直平分线交BC于，交AC于，假设AB1，Q PAC2，那么APBC的值为〔〕A .3B.3C.3D.3 22．向量a＝(1,0)与向量b＝－，3)，那么向量a与b的夹角是()2(1→→→3 .设P是△ABC所在平面内的一点，BC＋BA＝BP，那么()2→＋PB＝0→＋PC＝04．向量a＝(2,3)A．－2B→＋PA＝0→→＋PB＋PC＝0m，b＝－，假设ma＋nb与a－1,2)b共线，那么＝() (2n ．2C1．－25．在ABC中，D为BC边上一点，且ADuuuvuuuvuuuv BC，向量ABAC与向量AD共u uuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuv10，AB线，假设ACBC2 ，GAG BGC0，那么uuuv〔 〕CGA.3B.5C.2D .12．点A－，B ，C －，－ ，D→→1,1) 1)，那么向量AB 在CD 方向上的((1,2)(2 (3,4)投影为()3 2D．－15．－ 22|a|＝2|b|，|b|≠0，且关于x 的方程x 2＋|a|x ＋a·b＝0有实根，那么a与b 的夹角的取值范围是() π2ππππA ．[0，6]B．[3，π]C ．[3，3]b D ．[6，π]8.向量 a ，b 满足a ＝，a ＋b·(a－＝，那么 的取值范围为 ()|1( ) 20| |A ．[1,2]B ．[2,4]C .1 D .，，219.在ABC中，O 是A BC的垂心，点P满足： u1uu 1uu uABC 的面积之比是〔〕uuv uv uv uuv3 OPOAOB2OC，那么ABP的面积与22A.2B.3C.D.1345210．向量a ＝(x ＋1,1)，b ＝(1，y －2)，a⊥b，那么x 2＋y 2的最小值为()．假设向量a ，b 满足：a ＋b⊥a ， ．1＝11(2 a ＋b ⊥b，那么( )||＝1，() )||A．2C．112．设ab 是两个非零向量，以下结论一定成立的是(,A ．假设|a ＋b|＝|a|－|b|，那么a⊥bB ．假设a⊥b，那么a ＋b＝a －ba ＋b＝||．假设 a－，那么存在实数λ，使得a ＝λbC ||a ＋b＝ab．假设存在实数λ，使得a ＝λb，那么D|－|二、填空题，a·b＝， a ＋b ＝，那么b 等于．．向量a ＝ (2,1)5|1310 | |2 | ________．向量a ＝ (2 ，－ 1) ，b ＝ －，m ，c ＝ ( － 1,2)，假设 (a ＋b∥c，那么m ＝14( 1))________.15．向量a ，b 满足|a|＝1，b ＝(2,1)，且λa＋b ＝0(λ∈R)，那么|λ|＝________.rr(3,k)的夹角是钝角,那么k 的取值范围是16．向量a(6,2)与b三、计算题17.〔10分〕OA1，OB3，向量OA，OB的夹角为2,点C在AB上，R，求m的值.且AOC.设OC mOA nOBm,n6n18．〔10分〕设a，b是不共线的两个非零向量．→→→b，求证：A，B，C三点共线．(1)假设OA＝a－b，OB＝a＋b，OC＝a－233(2)→→→假设AB＝a＋b，BC＝2a－3b，CD＝2a－kb，且A，C，D三点共线，求k的值．19．〔10分〕向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．求3a＋b－2c；求满足a＝mb＋nc的实数m，n；假设(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.20．〔10分〕在△ABC中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，AD为BC边→上的高，求点D的坐标与|AD|．21．〔10分〕|a|＝2|b|＝2，且向量a在向量b的方向上的投影为－1，求a与b的夹角θ；(2)(a－2b)·b.22.〔10分〕a b1,3，且存在实数k和t，使得x＝a ＝(3，－1)，＝22＋(t2－3)b，y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求k＋t2t的最小值．。
(典型题)高中数学必修四第二章《平面向量》测试卷(包含答案解析)
一、选择题1．已知ABC 为等边三角形，2AB =，ABC 所在平面内的点P 满足1AP AB AC --=，AP 的最小值为（ ）A 1B ．221-C ．231-D 12．已知1a =，2b =，则a b a b ++-的最大值等于（ ）A ．4B C ．D ．53．ABC 中，AD DC =，点M 在BD 上，且满足37AM AB t AC =+，则实数t 的值为（ ） A ．67B ．47C ．27D ．594．已知ABC ，若对任意m R ∈，BC mBA CA -≥恒成立，则ABC 为（ ） A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．不确定5．已知向量(3,0)a =，(0,1)b =-，(,3)c k =，若(2)a b c -⊥，则k =（ ） A ．2B ．2-C ．32D ．32-6．已知两个非零向量a ，b 的夹角为23π，且=2a b -，则·ab 的取值范围是（ ） A ．2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．[)2,0-C ．2,03⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．[)1,0-7．已知a ，b 为单位向量，2a b a b +=-，则a 在a b +上的投影为（ ）A ．13B ．3-C D ．38．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若2FP QF =，则||QF =（ ） A ．8B ．4C ．6D ．39．在ABC 中，||:||:||3:4:5AB AC BC =，圆O 是ABC 的内切圆，且与BC 切于D 点，设AB a =，AC b =，则AD =（ ）A ．2355a b +B ．3255a b + C ．2133a b +D ．1233a b +10．在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC 和DC 的中点，则AE AF ⋅=（ ）A ．52B ．52-C ．4D ．4-11．设O 为ABC 所在平面内一点，满足2730OA OB OC ++=，则ABC 的面积与BOC 的面积的比值为（ ）A ．6B ．83C ．127D ．412．设非零向量a 与b 的夹角是23π，且a a b =+，则22a tb b+的最小值为（ ）A 3B 3C ．12D ．1二、填空题13．记集合{|X x b a xc ==+且||||4}a b a b ++-=中所有元素的绝对值之和为(,)S a c ，其中平面向量a ，b ，c 不共线，且||||1a c ==，则(,)S a c 的取值范围是______________．14．已知ABC ，AB AC ⊥，2AB =，12AC =，如果P 点是ABC 所在平面内一点，且4AB AC AP ABAC=+，那么PB PC ⋅的值等于________.15．已知||1,||3,0OA OB OA OB ==⋅=|，点C 在AOB ∠内，且30AOC ∠=︒，设(,)OC mOA nOB m n R =+∈，则mn等于 ． 16．设向量a ，b ，c ，满足1a b ==，12a b ⋅=-，a c -与b c -的夹角为60︒，则c 的最大值等于________17．在ABC 中，22AB =26AC =G 为ABC 的重心，则AG BC ⋅=________．18．已知夹角为θ的两个单位向量,a b ，向量c 满足()()0a c b c -⋅-=，则c 的最大值为______.19．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O .已知AC BC =，AC BC ⊥，AD BD ⊥，且O 是AC 的中点，若2AD AB CD CB ⋅-⋅=，则AC BD ⋅的值为__________.20．已知向量(1,3)a =，1(2,)2b =-，若单位向量c 与2a b -平行，则c =___________.三、解答题21．已知()3,2a =-，()2,1b =，O 为坐标原点.（1）若ma b +与2a b -的夹角为钝角，求实数m 的取值范围； （2）设OA a =，OB b =，求OAB 的面积.22．对于任意实数a ，b ，c ，d ，表达式ad bc -称为二阶行列式（determinant ），记作a b c d，（1）求下列行列式的值： ①1001；②1326；③251025--；（2）求证：向量(),p a b =与向量(),q c d =共线的充要条件是0a b c d=；（3）讨论关于x ，y 的二元一次方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩（12120a a b b ≠）有唯一解的条件，并求出解.（结果用二阶行列式的记号表示）. 23．已知向量()1,2a =，(),1b x =. （1）若|2|||a b a b -=+，求实数x 的值； （2）若2x =，求2a b -与a b +的夹角.24．如图一，在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，()11,A x y ，()22,B x y ，请根据以下信息，处理问题（1）和（2）.信息一：O 为坐标原点，()22,OB x y =，若将OB 顺时针旋转90︒得到向量'OB ，则()22',OB y x =-，且'OB OB =；信息二：()22,OB x y =与()11,OA x y =的夹角记为θ，()22',OB y x =-与()11,OA x y =的夹角记为α，则sin cos θα=；信息三：1sin 2OAB S OA OB θ=⋅⋅△；信息四：11122122x y x y x y x y =-，叫二阶行列式.（1）求证：112212OAB x y S x y =△，（外层“”表示取绝对值）；（2）如图二，已知三点()2,1M ，()3,4N ，()1,6Q ，试用（1）中的结论求MNQ △的面积.25．在ABCD 中，2AB =，23AC =AB 与AD 的夹角为3π． （Ⅰ）求AD ；（Ⅱ）求AC 和BD 夹角的余弦值．26．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量(1,2)a =-，(1,)b k =． （1）若()a a b ⊥+，求实数k 的值；（2）若对于平面xOy 内任意向量c ，都存在实数λ、μ，使得c a b λμ=+，求实数k 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】计算出AB AC +的值，利用向量模的三角不等式可求得AP 的最小值. 【详解】2222222cos123AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC π+=++⋅=++⋅=，所以，23AB AC +=由平面向量模的三角不等式可得()()231AP AP AB AC AB AC AP AB AC AB AC =--++≥---+=.当且仅当AP AB AC --与AB AC +方向相反时，等号成立. 因此，AP 的最小值为1. 故选：C. 【点睛】结论点睛：在求解向量模的最值时，可利用向量模的三角不等式来求解：a b a b a b -≤±≤+. 2．C解析：C 【分析】利用基本不等式得到222a b a b a b a b ++-++-≤，然后利用平面向量数量积运算求解. 【详解】因为1a =，2b =，所以222222252a b a ba b a b a b ++-++-≤=+=，当且仅当a b a b +=-，即a b ⊥时取等号， 故选：C 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算以及基本不等式的应用，属于中档题.3．C解析：C 【分析】由题意，可设DM k DB =，结合条件整理可得11(1)22AM AC DM k AC k AB =+=-+，得到关于k 与t 的方程组，解出t 即可． 【详解】 如图，因为AD DC =，所以12AD AC = 则12AM AD DM AC DM =+=+，因为M在BD上，不妨设1()()2 DM kDB k AB AD k AB AC==-=-，则1111()(1)2222AM AC DM AC k AB AC k AC k AB=+=+-=-+，因为37AM AB t AC=+，所以37{1(1)2kk t=-=，解得27t=，故选：C【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．4．C解析：C【分析】在直线AB上取一点D，根据向量减法运算可得到DC CA≥，由垂线段最短可确定结论.【详解】在直线AB上取一点D，使得mBA BD=，则BC mBA BC BD DC-=-=，DC CA∴≥.对于任意m R∈，都有不等式成立，由垂线段最短可知：AC AD⊥，即AC AB⊥，ABC∴为直角三角形.故选：C.【点睛】本题考查与平面向量结合的三角形形状的判断，关键是能够利用平面向量数乘运算和减法运算的几何意义准确化简不等式.5．B解析：B【分析】求出2a b-)3,2=，利用向量垂直数量积为零列方程求解即可.【详解】由(3,0)a =，(0,1)b =-，得2a b -)2=，若(2)c a b -⊥，则(2)?0a b c -=，0,2k +=∴=-.故选B. 【点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用12210x y x y -=解答；（2）两向量垂直，利用12120x x y y +=解答.6．C解析：C 【分析】对=2a b -两边平方后，结合2·cos 3a b a b π=⋅进行化简可得：224a b b +⋅+=；由基本不等式可得222a b a b +⋅，于是推出403a b<⋅，再结合平面向量数量积即可得解． 【详解】因为2a b -=，所以 2224a a b b -⋅+=，所以2222cos43b b a a π-⋅+=，即224a a b b +⋅+=， 由基本不等式的性质可知，222a b a b +⋅，403a b∴<⋅， 所以212·cos ,0323a b a b a b π⎡⎫=⋅⋅=-⋅∈-⎪⎢⎣⎭． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查平面向量数量积运算，考查利用基本不等式求最值，难度一般.对于平面向量的模长问题，一般采用平方处理，然后结合平面向量数量积的运算公式求解即可．7．C解析：C 【分析】由题意结合平面向量数量积的运算可得13a b ⋅=，进而可得()b a a +⋅、a b +，代入投影表达式即可得解. 【详解】因为a ，b 为单位向量，所以1==a b ， 又2a b a b +=-，所以()()222a ba b +=-所以22222242a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，即121242a b a b +⋅+=-⋅+， 所以13a b ⋅=，则()2263a b a b +=+=，()243a a b a a b ⋅+=+⋅=，所以a 在a b +上的投影为()4326a a ba b⋅+==+ 故选：C. 【点睛】本题考查了平面向量数量积的应用，考查了一个向量在另一个向量上投影的求解，属于中档题.8．D解析：D 【分析】设点()1,P t -、(),Q x y ，由2FP QF =，可计算出点Q 的横坐标x 的值，再利用抛物线的定义可求出QF . 【详解】设点()1,P t -、(),Q x y ，易知点()1,0F ，()2,FP t =-，()1,QF x y =--，()212x ∴-=-，解得2x =，因此，13QF x =+=，故选D. 【点睛】本题考查抛物线的定义，解题的关键在于利用向量共线求出相应点的坐标，考查计算能力，属于中等题．9．B解析：B 【分析】由题得三角形是直角三角形，设3,4,5AB AC BC ===，设,=,,DB BF x AD AE y EC CF z =====求出,,x y z ，再利用平面向量的线性运算求解.【详解】因为||:||:||3:4:5AB AC BC =，所以ABC 是直角三角形，设3,4, 5.AB AC BC ===如图，设,=,,DB BF x AD AE y EC CF z =====由题得34,2,1,35x y y z x y z x z +=⎧⎪+=∴===⎨⎪+=⎩，所以2232()5555AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+3255a b =+. 故选：B 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10．C解析：C 【分析】建立直角坐标系，利用向量的坐标运算求解即可. 【详解】以点A 为坐标原点，建立如下图所示的直角坐标系(0,0),(2,1),(1,2)A E F(2,1),(1,2)AE AF ∴==21124AE AF ∴⋅=⨯+⨯=故选：C【点睛】本题主要考查了求平面向量的数量积，属于中档题.11．A解析：A 【分析】作2OA OA '=，7OB OB '=，3OC OC '=，由已知可得O 是'''A B C 的重心，由重心性质可得所求面积比． 【详解】作2OA OA '=，7OB OB '=，3OC OC '=，如图，∵2730OA OB OC ++=，∴O 是'''A B C 的重心，则''''''OA B OB C OC A S S S ==△△△，设''''''OA B OB C OC A S S S t ===△△△，设,,OAB OAC y OBC S x S S z ===△△△， ∵2OA OA '=，7OB OB '=，3OC OC '=，∴''1''sin ''2141sin 2OAB OABOA OB A OB S S OA OB AOB ⋅∠==⋅∠△△，即114x t =，同理16y t =，121z t =， 11161462121ABC S x y z t t t t =++=++=△， ∴6216121ABC OBCtS S t ==△△． 故选：A ．【点睛】本题考查三角形面积的计算，考查向量的加法与数乘法则，体现了向量在解决平面图形问题中的优越性．12．B解析：B 【分析】利用向量a与b 的夹角是23π，且a ab=+，得出a b a b==+，进而将22a tbb+化成只含有t为自变量的二次函数形态，然后利用二次函数的特性来求出最值.【详解】对于a，b和a b+的关系，根据平行四边形法则，如图a BA CD==，b BC=，a b BD+=,23ABCπ∠=，3DCBπ∴∠=，a a b=+，CD BD BC∴==，a b a b∴==+，2222222==222a tba tb a tbb bb+++，a b=，22222222244cos223=224a t ab t ba tba tbb b bπ++++=，222222222244cos42312444a t ab t b a t a a t a t tb aπ++-+==-+当且仅当1t=时，22a tbb+的最小值为3故选：B.【点睛】本题考查平面向量的综合运用，解题的关键点在于把22a tbb+化成只含有t为自变量的二次函数形态，进而求最值.二、填空题13．【分析】由条件有两边平方可得当时当时可得答案【详解】解：因为所以所以两边平方得化简得设向量的夹角为则当时当时所以集合中所有元素的绝对值之和为因为所以所以所以所以的取值范围为【点睛】关键点点睛：此题考 解析：[3,4)【分析】由条件有|2||||2|||4a xc xc a xc x ++=++=，两边平方可得3xa c x ⋅=-，当0x ≥时，32cos x θ=+，当0x <时，3cos 2x θ=-，可得答案【详解】解：因为||||4a b a b ++-=，b a xc =+，||||1a c == 所以|2||||2|||4a xc xc a xc x ++=++=， 所以|2|4||a xc x +=-，两边平方得，2244168xa c x x x +⋅+=-+， 化简得，3xa c x ⋅=-，设向量,a c 的夹角为θ，(0,)θπ∈，则cos 32x x θ=-， 当0x ≥时，32cos x θ=+，当0x <时，3cos 2x θ=-，所以集合X 中所有元素的绝对值之和为233122cos 2cos 4cos θθθ+=+--， 因为(0,)θπ∈，所以20cos 1θ≤<， 所以234cos 4θ<-≤，所以212344cos θ≤<-， 所以(,)S a c 的取值范围为[3,4)【点睛】关键点点睛：此题考查向量数量积的性质的运用，解题的关键是由已知条件得到3xa c x ⋅=-，然后设出向量,a c 的夹角为θ，则当0x ≥时，32cos x θ=+，当0x <时，3cos 2x θ=-，从而可得集合X 中所有元素的绝对值之和为233122cos 2cos 4cos θθθ+=+--，再利用三角函数的有界性可求得结果，考查数学转化思想14．13【分析】由条件可得可得由可得出答案【详解】又故答案为：13【点睛】本题主要考查了平面向量线性运算和数量积的运算性质的应用属于中档题解析：13 【分析】由条件可得0AB AC ⋅=，182AP AB AC =+，可得217AP =，由()()PB PC PA AB PA AC ⋅=+⋅+，可得出答案.【详解】AB AC ⊥，2AB =，12AC =，4AB AC AP AB AC =+， 0AB AC ∴⋅=，182AP AB AC =+， 2222118641724AP AB AC AB AC ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，PB PA AB =+，PC PA AC =+，()()2PB PC PA AB PA AC PA PA AC PA AB ∴⋅=+⋅+=+⋅+⋅又42PA AC AC ⋅=-=-，2PA AB AB ⋅=-=-172213PB PC ∴⋅=--=.故答案为：13. 【点睛】本题主要考查了平面向量线性运算和数量积的运算性质的应用，属于中档题.15．【详解】方法一：①又②③将②③代入①得：所以点在内所以方法二：以直线OAOB 分别为轴建立直角坐标系则设又得即解得故答案为：3解析：【详解】 方法一：3cos OA OC AOC OA OC⋅∠==⋅, ① 又()2OA OC OA mOA nOB m OA m ⋅=⋅+==, ②22222222||()||||23OC mOA nOB m OA n OB mnOA OB m n =+=++⋅=+, ③将②③代入①=，所以229m n =，点C 在AOB ∠内， 所以3mn=. 方法二：以直线OA ,OB 分别为,x y 轴建立直角坐标系，则()()10,03A B ，， , 设()31cos30,sin 30=,22OC λλλ⎛⎫=︒︒ ⎪ ⎪⎝⎭，又()()()1,00,3,3OC mOA nOB m n m n =+=+=，得()31,=,322m n λλ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，即 3=2132m nλλ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 解得3mn=. 故答案为：3.16．【分析】作向量根据已知条件可得出与的夹角为四点共圆再结合正余弦定理可得出结果【详解】解：如下图作向量与的夹角为即又与的夹角为即与夹角为四点共圆当为直径时最大在中由余弦定理得：的外接圆的直径为四点共圆 解析：2【分析】作向量OA a =，OB b =，OC c =，根据已知条件可得出a 与b 的夹角为120︒，A ，O ，B ，C 四点共圆，再结合正余弦定理可得出结果. 【详解】解：如下图，作向量OA a =，OB b =，OC c =，∴CA a c =-，CB b c =-，1a b ==，1cos ,2a b a b a b ⋅=⋅⋅=-，∴a 与b 的夹角为120︒，即120AOB ∠=︒. ∴120AOB ∠=︒.又a c -与bc -的夹角为60︒，即CA 与CB 夹角为60︒，∴A ，O ，B ，C 四点共圆. ∴当OC 为直径时c 最大，在AOB 中，由余弦定理得：2222cos1203AB OA OB OA OB =+-⋅︒=， ∴3AB =.∴AOB 的外接圆的直径为2sin120AB=︒.∴A ，O ，B ，C 四点共圆的圆的直径为2. ∴c 的最大值为2.故答案为：2. 【点睛】本题主要考查向量在几何图形中的应用，考查正余弦定理，考查数形结合的能力，分析问题能力，属于中档题.17．6【分析】根据三角形重心的性质转化为以及再求数量积【详解】如图点是的中点为的重心所以故答案为：6【点睛】本题考查向量数量积重心重点考查转化与化归思想计算能力属于基础题型解析：6 【分析】根据三角形重心的性质转化为()13AG AB AC =+，以及BC AC AB =-，再求数量积. 【详解】如图，点D 是BC 的中点，G 为ABC 的重心，∴()()22113323AG AD AB AC AB AC ==⨯+=+，BC AC AB =-，所以()()()221133AG BC AB AC AC AB AC AB ⋅=+⋅-=- ()126863=-=故答案为：6 【点睛】本题考查向量数量积，重心，重点考查转化与化归思想，计算能力，属于基础题型.18．【分析】建立平面直角坐标系设出向量的坐标得出向量的终点的轨迹方程再运用点与圆的位置关系可以得到的最大值【详解】由已知建立平面直角坐标系设又所以所以点在以为圆心以为半径的圆上所以的最大值为所以的最大值 解析：cossin22θθ+【分析】建立平面直角坐标系，设出向量a b c ，，的坐标，得出向量c 的终点C 的轨迹方程，再运用点与圆的位置关系可以得到||c 的最大值. 【详解】由已知建立平面直角坐标系，设()()()10cos ,sin ,,OA a OB b OC c x y θθ======，，，又()()0a c b c -⋅-=，所以()22+1+cos sin +cos 0x x y y θθθ-⋅-⋅=，所以点C 在以1+cos sin ,22P θθ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，以sin 2R θ=为半径的圆上， 所以c 的最大值为221+cos sin +cos +sin 22222OP R θθθθθ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以c 的最大值为cos sin22θθ+，故答案为：cos sin22θθ+.【点睛】本题考查求向量的模的最值，建立平面直角坐标系，设出向量坐标，得出向量的终点的轨迹方程是解决本题的关键，属于中档题.19．【分析】如图设先求出再根据得到再求的值得解【详解】如图四点共圆为圆的直径设所以由相交弦定理得在直角△中由勾股定理得在△中由余弦定理得因为所以又所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的 解析：3-【分析】如图，设12OA OC BC t ===，先求出,,OD AD CD ,再根据2AD AB CD CB ⋅-⋅=得到5t =，再求AC BD ⋅的值得解. 【详解】如图，,,,A B C D 四点共圆，AB 为圆的直径.设12OA OC BC t ===，所以225AB t OB t ==，由相交弦定理得5OD =，在直角△AOD 中，由勾股定理得5AD =， 在△COD 中，由余弦定理得225tCD =. 因为2AD AB CD CB ⋅-⋅=， 2222cos 2cos(180)255t t DAB t DAB ∠--∠=， 又cos 10AD DAB AB ∠==,所以5t =.所以212125=(2)(5)cos(180)35545AC BD t t t α⋅+-=-=-=-.故答案为：3- 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的计算，考查平面几何圆的知识，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20．或【分析】由向量的坐标运算求出并求出它的模用除以它的模得一向量再加上它的相反向量可得结论【详解】由题意∴又∴或故答案为：或【点睛】易错点睛：本题考查求单位向量一般与平行的单位向量有两个它们是相反向量解析：34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【分析】由向量的坐标运算求出2a b -，并求出它的模，用2a b -除以它的模，得一向量，再加上它的相反向量可得结论． 【详解】由题意2(1,3)(4,1)(3,4)a b -=--=-，∴22(3)5a b -=-=，又234,552a ba b -⎛⎫=- ⎪⎝⎭-， ∴c =34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭．故答案为：34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点睛】易错点睛：本题考查求单位向量，一般与a 平行的单位向量有两个，它们是相反向量：a a±．只写出一个向量a a是错误的．三、解答题21．（1）116,,225⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）72S =.【分析】（1）由题意，求得,2ma b a b +-的坐标，令()()20ma b a b +⋅-<，解得65m <，再由当12m =-时，得到2a b -与ma b +方向相反，求得12m ≠-，即可求解； （2）设AOB θ∠=，OAB 面积为S ，则1sin 2S a b θ=⋅，结合向量的夹角公式和向量的坐标运算，即可求解. 【详解】（1）由题意，向量()3,2a =-，()2,1b =，可得()32,21ma b m m +=+-+，()21,4a b -=--， 令()()20ma b a b +⋅-<，即32840m m --+-<，解得65m <，当12m =-时，12ma b a b +=-+， 此时2a b -与ma b +方向相反，夹角为π，不合题意，∴12m ≠-， 综上可得，实数m 的取值范围为116,,225⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）设AOB θ∠=，OAB 面积为S ，则1sin 2S a b θ=⋅， 因为222sin 1cos 1a ba b θθ⎛⎫⋅⎪=-=- ⎪⋅⎝⎭， 又由()3,2a =-，()2,1b =，可得()22222224sin 651649S a b a b a b θ=⋅=-⋅=-=，解得72S =， 即OAB 的面积为72OABS =. 【点睛】本题主要考查了向量的角公式，向量的数量积的坐标运算的综合应用，其中解答中熟记向量的基本概念，以及向量的数量积和夹角公式的坐标运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.22．（1）1，0，0；（2）证明见解析；（3）当11220a b a b ≠时，有唯一解，11221122c b c b x a b a b =，11221122a c a c y ab a b =. 【分析】（1）利用行列式的定义可以直接求出行列式的值.（2）若向量(),p a b =与向量(),q c d =共线，由0q ≠和0q =时，分别推导出0a b c d=；反之，若0a b c d=，即0ad bc -=，当c ，d 不全为0时，不妨设0c ≠，则ad b c =，,ab p a c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，推导出a p q c =⋅，//p q ，当0c 且0d =时，0q =，(),p a b =与0q =共线，由此能证明向量(),p a b =与向量(),q c d =共线的充要条件是0a b c d=.（3）求出()12211221a b a b x c b c b -=-，()12211221a b a b x a c a c -=-，由此能求出当11220a b a b ≠时，关于x ，y 的二元一次方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩（12120a a b b ≠）有唯一解，并能求出解. 【详解】 解：（1）解：①10101=②131623026=⨯-⨯=； ③()()2522551001025-=-⨯--⨯=-.（2）证明：若向量(),p a b =与向量(),q c d =共线，则： 当0q ≠时，有0ad bc -=，即0a b c d=，当0q =时，有0c d ==，即0a b ad bc c d=-=，∴必要性得证. 反之，若0a b c d=，即0ad bc -=，当c ，d 不全为0时，即0q ≠时， 不妨设0c ≠，则ad b c =，∴,ab p a c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∵(),q c d =，∴ap q c=⋅，∴//p q ，∴(),p a b =与(),q c d =共线， 当0c且0d =时，0q =，∴(),p a b =与0q =共线，充分性得证.综上，向量(),p a b =与向量(),q c d =共线的充要条件是0a b c d=.（3）用2b 和1b 分别乘上面两个方程的两端，然后两个方程相减，消去y 得：()12211221a b a b x c b c b -=-，①同理，消去x ，得：()12211221a b a b x a c a c -=-，②∴当12210a b a b -≠时，即11220a b a b ≠时，由①②得：1122121*********c b c b x a b a b a b c b c b a b -==-，1122122111122122a c a c a c a c y a b a b a b a b -==-， ∴当11220a b a b ≠时，关于x ，y 的二元一次方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩（12120a a b b ≠）有唯一解， 且11221122c b c b x a b a b =，11221122a c a c y a b a b =. 【点睛】此题考查行列式求值，考查向量共线的充要条件的证明，考查二元一次方程有解的条件及解的求法，考查运算求解能力，属于中档题23．（1）12；（2）4π． 【分析】（1）求出向量2a b -与a b +的坐标，然后由模的坐标运算列出方程可求得x ； （2）求出向量2a b -与a b +的坐标，由向量夹角的坐标运算计算．【详解】（1）因为()1,2a =，(),1b x =，所以()22,3a b x -=-，()1,3a b x +=+.因为|2|||a b a b -=+，= 解得12x =. （2）当2x =时，()20,3a b -=，()3,3a b +=，所以()()203339a b a b -⋅+=⨯+⨯=， 23a b -=，32a b +=.设2a b -与a b +的夹角为θ. 则(2)()cos 2|2|||332a b a b a b a b θ-⋅+===-⋅+⋅. 又[]0,θπ∈，所以4πθ=，即2a b -与a b +的夹角为4π.本题考查向量模的坐标运算，考查向量夹角的坐标运算，掌握向量的坐标运算是解题基础．24．（1）证明见解析；（2）4.【分析】（1）由1sin 2OAB S OA OB θ=⋅⋅△，再根据'OB OB =，sin cos θα=，转化OAB S =△1'2OA OB =⋅，利用平面向量的数量积运算结合行列式证明. （2）由（1）的结论，由MNQ OMN ONQ OMQ S S S S =+-△△△△求解.【详解】 （1）如图所示.∵1sin 2OAB S OA OB θ=⋅⋅△， 又因为'OB OB =，sin cos θα=， ∴1'cos 2OAB S OA OB α=⋅⋅△ 1'2OA OB =⋅ ()()11221,,2x y y x =⋅- ()121212x y y x =+- 122112x y x y =-， 又∵11122122x y x y x y x y =-， ∴112212OAB x y S x y =△. （2）∵MNQ OMN ONQ OMQ S S S S =+-△△△△∴213421111341616222MNQ S =+-△ 111(2431)(3614)(2611)222=⨯-⨯+⨯-⨯-⨯-⨯ 511722=+- 4=本题主要考查平面向量的数量积运算，行列式以及面积公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.25．（Ⅰ）2AD =；（Ⅱ）0.【分析】（Ⅰ）设AB a =，AD b =，利用平面向量加法的平行四边形法则可得AC a b =+，由23AC =b 的方程，即可解得AD b =；（Ⅱ）计算得出0AC BD ⋅=，可得出AC BD ⊥，进而可得出结果.【详解】（Ⅰ）设AB a =，AD b =，则AC a b =+，BD AD AB b a =-=-．向量AB 与AD 的夹角为3π，cos 3a b a b b π∴⋅=⋅=. ()22222242AC a b a b a a b b b b ∴=+=+=+⋅+=++= 整理得2280b b +-=，0b ≥，解得2b =，即2AD =；（Ⅱ）()()220AC BD a b b a b a ⋅=+⋅-=-=，则AC BD ⊥，因此，AC 和BD 夹角的余弦值为0.【点睛】本题考查利用平面向量的数量积求向量的模，同时也考查了平面向量夹角余弦值的计算，考查计算能力，属于中等题．26．（1）2k =-；（2）2k ≠-．【分析】（1）根据向量垂直，其数量积等于0，利用向量数量积公式得到对应的等量关系式，求得结果；（2）平面xOy 内任意向量c ，都存在实数λ、μ，使得c a b λμ=+，其等价结果为向量(1,2)a =-和向量(1,)b k =是两个不共线向量，根据坐标关系得到结果.【详解】（1）若()a a b ⊥+，则有()0a a b ⋅+=，即20a a b +⋅=，又因为(1,2)a =-，(1,)b k =，所以222[(1)2](1)120a a b k +⋅=-++-⋅+=，即5120k -+=，解得2k =-；（2）对于平面xOy 内任意向量c ，都存在实数λ、μ，使得c a b λμ=+，所以向量(1,2)a =-和向量(1,)b k =是两个不共线向量，所以121k -⋅≠⋅，即2k ≠-，所以实数k 的取值范围是2k ≠-.【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示，平面向量基本定理，一组向量可以作为基底的条件，属于基础题目.。
(完整版)高中数学必修4平面向量单元测试题
必修4平面向量单元测试一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a +3b |= （ ）A ．7B ．10C ．13D ．42、已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b) ⊥a ，(b －2a ) ⊥b ，则a 与b 的夹角是（ ） A ．6π B ．3π C ．32π D ．65π 3、若向量r r a 与b 的夹角为60o ，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=-r r r r r ,则向量a r 的模为 （） A ．2 B ．4 C ．6 D ．124、已知平面上直线l 的方向向量e =(-53,54)，点O(0,0)和点A(1,-2)在l 上的射影分别为'O 和'A ，则=''O λe ，其中λ=（） A 511 B -511 C 2 D -2 5、在ABC ∆中，有命题①BC AC AB =-；②0=++CA BC AB ；③若0)()(=-⋅+AC AB AC AB ，则ABC ∆为等腰三角形；④若0>⋅，则ABC ∆为锐角三角形.上述命题正确的是（ ）（A ）①② （B ）①④ （C ）②③（D ）②③④ 6、若平面向量b 与向量)2,1(-=a 的夹角是o 180，且53||=b ，则=b ()(A) )6,3(- (B) )6,3(- (C) )3,6(- (D) )3,6(-7、已知向量与则若,25)(,5||),4,2(),2,1(=⋅+=--=（） A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°8、已知向量a r ≠e r ，|e r |＝1，对任意t ∈R ，恒有|a r －t e r |≥|a r －e r |，则（）(A) a r ⊥e r (B) a r ⊥(a r －e r ) (C) e r ⊥(a r －e r ) (D) (a r ＋e r )⊥(a r －e r )9、点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足⋅=⋅=⋅，则点O 是ABC ∆的（）（A ）三个内角的角平分线的交点（B ）三条边的垂直平分线的交点（C ）三条中线的交点（D ）三条高的交点10、P 是△ABC 所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心11、已知点A （3，1），B （0，0）C （3，0）.设∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有λλ其中,=等于 （ ）A ．2B ．21C ．－3D ．－31 12、点P 在平面上作匀速直线运动，速度向量v =（4，－3）（即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为|v |个单位.设开始时点P 的坐标为（－10，10），则5秒后点P 的坐标为（ ）A ．（－2，4）B ．（－30，25）C ．（10，－5）D ．（5，－10）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。
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平面向量 综合测试题
一、选择题
1.已知ABC ∆的边BC 的垂直平分线交BC 于Q ，交AC 于P ，若1=AB ，2=AC ，则BC AP ⋅的值为（ ） A. 3 B.23 C.3D.23 2．已知向量a ＝(1,0)与向量b ＝(－1，3)，则向量a 与b 的夹角是( )
A.π6
B.π3
C.2π3
D.5π6
3. 设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC
→＋BA →＝2BP →，则( ) A.P A →＋PB →＝0 B.PC →＋P A →＝0
C.PB →＋PC →＝0
D.P A →＋PB
→＋PC →＝0 4．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若ma ＋nb 与a －2b 共线，则m n ＝( )
A ．－2
B ．2
C ．－12D.12
5．在ABC ∆中， D 为BC 边上一点，且AD BC ⊥，向量AB AC +与向量AD 共线，若10AC =， 2BC =， 0GA GB GC ++=，则
AB CG =（ ） A. 3 B. 5 C. 2 D.
10
2 6．已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB
→在CD →方向上的投影为( )
A.322
B.3152 C ．－322D ．－3152
7. 已知|a |＝2|b |，|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是()
A ．[0，π6]
B ．[π3，π]
C ．[π3，2π3]
D ．[π6，π]
8. 已知向量a ，b 满足|a |＝1，(a ＋b )·(a －2b )＝0，则|b |的取值范围为( )
A ．[1,2]
B ．[2,4]C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡2141， D.⎥⎦
⎤⎢⎣⎡121， 9. 已知在ABC ∆中， O 是ABC ∆的垂心，点P 满足： 113222
OP OA OB OC =++，则ABP ∆的面积与ABC ∆的面积之比是（ ）
A. 23
B. 34
C. 35
D. 12
10．已知向量a ＝(x ＋1,1)，b ＝(1，y －2)，a ⊥b ，则x 2＋y 2的最小值为( ) A.13B.23C.12D ．1
11．若向量a ，b 满足：|a |＝1，(a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，则|b |＝( )
A ．2 B. 2 C ．1 D.22
12．设a ,b 是两个非零向量，下列结论一定成立的是( )
A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥b
B ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |
C ．若|a ＋b ＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得a ＝λb
D ．若存在实数λ，使得a ＝λb ，则|a ＋b |＝|a |－|b |
二、填空题
13．已知向量a ＝(2,1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝5 2，则|b |等于________．
14．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________.
15．已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2,1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R)，则|λ|＝________.
16．已知向量(6,2)a =与(3,)b k =-的夹角是钝角,则k 的取值范围是
三、计算题
17.（10分）已知1=OA ，3=OB ，向量OA ，OB 的夹角为2
π,点C 在AB 上，且6π=∠AOC .设()R n m nOB mOA OC ∈+=,，求n
m 的值.
18．（10分）设a ，b 是不共线的两个非零向量．
(1)若OA →＝2a －b ，OB →＝3a ＋b ，OC →＝a －3b ，求证：A ，B ，C 三点共线．
(2)若AB
→＝a ＋b ，BC →＝2a －3b ，CD →＝2a －kb ，且A ，C ，D 三点共线，求k 的值．
19．（10分）已知向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)．
(1)求3a ＋b －2c ；
(2)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ；
(3)若(a ＋kc )∥(2b －a )，求实数k .
20．（10分）已知在△ABC 中，A (2，－1)，B (3,2)，C (－3，－
1)，AD 为BC 边上的高，求点D 的坐标与|AD →
|．
21．（10分）已知|a |＝2|b |＝2，且向量a 在向量b 的方向上的投影为－1，求
(1)a 与b 的夹角θ；
(2)(a －2b )·b .
22.（10分）已知a ＝( 3，－1)，b ＝12⎛ ⎝⎭，且存在实数k 和t ，使得x ＝a ＋(t 2－3)b ，y ＝－ka ＋tb ，且x ⊥y ，试求k ＋t 2t 的最小值．。