高次代数方程求根

高次代數方程求根

P n(x) = a0x n+a1x n+．．．+a n-1x+a n=0

上式的左邊為多項式的方程，稱為n次代數方程，或多項式方程。而當中n=1,2,．．．,a k是實系數或複系數，但a0不等於0。當n>1的時候，P n(x)則稱為高次代數方程，而它的次數就是n。以上的多項式中的零點就是對應代數方程的根。

人們很早以前就開始探索高次方程的數值求解法的問題。如巴比倫泥板中的平方表和立方表，它們可被用作解某些特殊的二次和三次方程。

在中國古代，人們已相當系統地解決了高次方程求解的問題：《九章算術》以算法形式給出求二次方程和正系數三次方程根的具體計算程序。7世紀，王孝通也找出了求三次方程正根數值解法。11世紀，賈憲《黃帝九章算法細草》創：「開方作法本源圖」，是以「立成釋鎖法」解三次或三次以上的高次方程式。同時，他亦提出了一種更簡便的「增乘開方法」。

13世紀，由秦九韶《數書九章》完成了「正負開方術」，更提供了一個用算籌布列解任何的數字方程的可行可計算的算法，可以求出任意次代數方程的正根。

除中國外，阿拉伯人對高次代數方程亦有所研究，在9世紀，花拉子米是第一個給出二次方程的一般解法，而在1100年，奧瑪‧海亞姆給出了些特殊的三次方程式解法。

1541年，塔爾塔利亞給出了三次方程的一般解法。1545年，卡爾達諾的名著《大術》一書中，把塔爾塔利亞的解法加以發展，並記載了費拉里的四次方程的一般解法。

1736年，在牛頓的《流數法》一書中，給出了著名的高次代數方程的一種數值解法。1690年，J.拉福生亦提出了類似的方法，而它們的結合就成為現代常用的方法──牛頓法，亦稱為切線法。這是一種廣泛用於高次代數方程和方程組求解的迭代法，一直為數學界所採用，並不斷創新，如修正牛頓法及擬牛頓法等。

1797年，高斯給出了「代數基本定理」，證實了高次代數方程根的存在性。

1819年，霍納給出了高次方程數值求根另一種方法──霍納法，它的思想和計算程序與秦九韶的算法相近，而類似的方法在1804年魯非尼也曾提出過。霍納法有廣泛的應用，而在現代改進形式稱為劈因子法。

此外，伯努利法和勞思表格法等亦是現在常用的高次代數方程數值解法。