高中数学必修一单调性与最大(小)值

合集下载

新人教A版高中数学必修第一册3.2.1 单调性与最大(小)值课件(2)

定 D 上的_任__意__两个自变量的值 x1,x2,当 x1<x2 时,都有
义
f(x1) __<___f(x2)
那么就说函数 f(x)在区间 D 上
f(x1) __>___f(x2)
那么就说函数 f(x)在区间 D
是增函数
上是减函数
图
象函数 f(x)在区间 D 上的图象是函数 f(x)在区间 D 上的图象
0，即 f(x1)＞f(x2)．所以函数 f(x)＝x－2 1是区间[2,6]上的减函数．
因此，函数 f(x)＝x－2 1在区间[2,6]的两个端点处分别取得最大值与最小
值，即在 x＝2 时取得最大值，最大值是 2，在 x＝6 时取得最小值，最
小值是 0.4.
题型五函数单调性的应用
例5 已知函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数,试比较f(a2-a+1)
[跟踪训练四]
解：设 x1，x2 是区间[2,6]上的任意两个实数，且 x1＜x2，则 f(x1)－f(x2)
＝ x
1－2 1－x
2－2 1＝2[xx21－－11－x2x－1－11]＝x
12－x12－xx2－1 1.
由 2≤x1＜x2≤6，得 x2－x1＞0，(x1－1)(x2－1)＞0，于是 f(x1)－f(x2) ＞
特 _上__升__的
是下__降___的
征
图示
2．单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么
就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)__单__调_性___，区间D叫做y＝f(x)的_单__调_区__间__．
[点睛] 一个函数出现两个或者两个以上的单调1 区间时，不能用 “＋∪∞” )上连单接调，递而减应，该却用不“能,表”述连为接：．函如数函y数＝y＝1x 在x (在－(∞－，∞0，)∪0)(,0(，0，＋∞)上单调递减．

高中数学人教A版必修1《3.2.1函数的单调性与最大（小）值》教案 Word

四、教学过程
教学
环节
教学内容设计意图
情境引入
课堂探究通过观察生活中熟悉的事物，引入本节新课。

提高学生概括、推理的能力。

通过思考，观察函数的图象，从特殊到一般，归纳总结最值的定义，提高学生的解决问题、分析问题的能力。

得出定义
类比定义类比得出最小值定义
函数最值的几何意义
常见题型
通过实际问题让学生明白怎样求二次函数在整个定义域上的最值以及利用函数的单调性求函数的最值，提高学生解决问题的能力，进一步掌握单调性与最值的关系。

课堂
小结
通过总结，
让学生进
一步巩固
本节所学
内容，提高
概括能力,
板书设计
课后练习
、
课后提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。

通过练习。

高中数学-单调性与最大（小）值说课稿

⾼中数学-单调性与最⼤（⼩）值说课稿《单调性与最⼤（⼩）值》说课稿说课⼈：张燕各位评委：⼤家好！今天我说课的内容是⼈教版⾼中数学必修1第⼀章第三节单调性与最⼤（⼩）值第⼀课时。

我将从教材分析、教学⽬标、重点难点、教学过程设计及教学评价等⽅⾯来对本节课的教学进⾏说明。

⼀、教材分析——教材的特点、地位与作⽤函数单调性是⾼中数学中相当重要的⼀个基础知识点，是研究和讨论初等函数有关性质的基础。

掌握本届内容不仅为今后的函数学习打下理论基础，还有利于培养学⽣的抽象思维能⼒及分析问题和解决问题的能⼒。

⼆、教学⽬标（1）知识与技能使学⽣理解函数单调性的概念，并能判断⼀些简单函数在给定区间上的单调性。

（2）过程与⽅法从⽣活实际和已有旧知出发，引导学⽣探索函数的单调性的概念，应⽤图象和单调性的定义解决函数单调性问题，使学⽣领会数形结合的数学⽅法，培养学⽣发现问题、分析问题、解决问题的能⼒．(3）情感、态度与价值观使学⽣体验数学的严谨性，培养学⽣细⼼观察、归纳、分析的良好习惯和不断探求新知识的精神．三、教学的重点和难点（1）重点：①函数单调性的概念；②运⽤函数单调性的定义判断⼀些函数的单调性．（2）难点：①函数单调性的知识形成；②利⽤函数图象、单调性的定义判断和证明函数的单调性．四、教学过程设计为了完成教学⽬标，突出教学重点，突破教学难点，我将我的教学过程设计为由“创设情境、引⼊新课”、“发现问题、探求新知”、“知识总结、及时体验”、“归纳总结、知识整合”、“课后延续、作业布置”五个环节。

（1）创设情境、引⼊新课利⽤课件展⽰⼏个函数图像，观察各个函数的图像，你能说说他们分别反映了相应函数的哪些变化特征码？由教师引导，借助对⼏个函数图像的观察，对所观察到得特征进⾏归类，引⼊函数的单调性研究。

设计意图：通过⼏何直观，引导学⽣关注图像所反映出的特征。

（2）发现问题、探求新知问题1：观察⼀次函数和⼆次函数的图像，说说随着⾃变量的增⼤，图像的升降情况。

高中数学人教A版必修第一册3.2.1单调性与最大(小)值课件

8.函数 f (x) x2 3| x | 2 的单调递减区间是__-_∞__,_-__23__∪____0_,_23____.
解析：
f
(x)
x2
3
|
x
|
2
x2
x2
3x 3x
2 ，x 2 ，x
0 0
，
f
(x)
x x
3 2
3 2
2
2
1 4
1 4
，x ，x
0 0
，
结合二次函数的图象可得，
所以函数
f
(x)
2 x 1
在区间 [2, 6]
上单调递减.
因此函数
f
(x)
2 x 1
在区间 [2, 6]
的两个端点上分别取得最大值与最小值.
在 x 2 时取得最大值，最大值是 2；在 x 6 时取得最小值，最小值是 0.4.
课堂小测
C 1.函数 y 2x2 2x 1 在区间[ 1,1] 上的最小值为( )
f
(x2 )
2
x1 1
2 x2 1
=
2(x2 1) (x1 1)
(x1 1)(x2 1)
= 2(x2 x1) (x1 1)(x2 1)
.
由 2 x1 x2 6 ，得 x2 x1 0 ， (x1 1)(x2 1) 0 ，
于是 f (x1) f (x2 ) 0 ，即 f (x1) f (x2 ) .
C.
4.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销售 x 辆该品牌车的利润（单位：
万元）分别为 L1 x2 21x 和 L2 2x .若该公司在两地共销售 15 辆该品牌车，
C 则能获得的最大利润为( )

2020年高中数学新教材同步必修第一册第3章 3.2.1 第1课时函数的单调性

思考 (1)所有的函数在定义域上都具有单调性吗？答案不是 (2)在增函数和减函数定义中，能否把“任意x1，x2∈D”改为“存在x1，x2∈D”？答案不能.
知识点二函数的单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的) 单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间 . 特别提醒：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开. (2)单调区间D⊆定义域I. (3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大.
性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围.
(2)若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的

任意子集上也是单调的.
跟踪训练3 已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上具有单调性，求实数a的取值范围.
解函数f(x)＝x2－2ax－3的图象开口向上，对称轴为直线x＝a，画出草图如图所示. 由图象可知函数在(－∞，a]和[a，＋∞)上都具有单调性，因此要使函数f(x)在区间[1,2]上具有单调性，只需a≤1或a≥2，从而a∈(－∞，1]∪[2，＋∞).
解析因为函数f(x)在R上是减函数，3<5，所以f(3)>f(5).
12345
3.函数y＝|x＋2|在区间[－3,0]上
A.递减
√C.先减后增
B.递增 D.先增后减
解析因为 y＝|x＋2|＝x－＋x2－，2x，≥x－<－2，2. 作出y＝|x＋2|的图象，如图所示，
易知函数在[－3，－2)上为减函数，在[－2，0]上为增函数.

新教材人教版高中数学必修第一册 3-2-1-1 单调性与最大(小)值——函数的单调性教学课件

第五页，共四十一页。
2．单调性与单调区间如果函数 y＝f(x)在区间 D 上单调递增或单调递减，那么就说函数 y ＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间 D 叫做 y＝f(x)的_单__调__区__间__． [ 思考] 若函数 f(x)是其定义域上的增函数且 f(a)＞f(b)，则 a，b 满足什么关系，如果函数 f(x)是减函数呢？提示：若函数 f(x)是其定义域上的增函数，那么当 f(a)＞f(b)时，a＞ b；若函数 f(x)是其定义域上的减函数，那么当 f(a)＞f(b)时，a＜b.
第二十八页，共四十一页。
(3)由题知－－11<<12－a－a<1<1，1， 1－a>2a－1，
解得 0<a<23，即所求 a 的取值范围是
0，23.
[答案] (1)①(－∞，－4] ②－4
(2)(－4，－2) (3)0，23
第二十九页，共四十一页。
[方法技巧] (1)区间 D 是函数 f(x)的定义域的子集，x1，x2 是区间 D 中的任意两个自变量，且 x1＜x2， ①f(x)在区间 D 上单调递增，则 x1＜x2⇔f(x1)＜f(x2)． ②f(x)在区间 D 上单调递减，则 x1＜x2⇔f(x1)＞f(x2)．
第十八页，共四十一页。
题型二求函数的单调区间 [学透用活]
(1)如果函数 f(x)在其定义域内的两个区间 A，B 上都是增(减)函数，则两个区间用“，”或“和”连接，不能用“∪”连接．
(2)书写单调区间时，若函数在区间的端点处有定义，则写成闭区间、开区间均可，但若函数在区间的端点处无定义，则必须写成开区间．
C．a＋b＞0
D．a＞0，b＞0
第三十二页，共四十一页。

函数的单调性与最大(小)值高中数学获奖教案

、3.2.1单调性与最大（小）值（第一课时）(人教A 版普通高中教科书数学必修第一册第三章)一、教学目标1.借助函数图像，会用符号语言表达函数的单调性、最大（小）值，理解它们的作用与实际意义；2.会用定义简单证明函数的单调性；3.通过函数的单调性可以画出函数图像;4.在探究抽象函数单调性的过程中感受数学概念的抽象过程及符号表示的作用.二、教学重难点1.函数的单调性精确定义;2.利用函数定义判断函数单调性.三、教学过程1.研究函数单调性的过程1.1创设情境，引发思考【实际情境】前面我们学习了函数的定义、表示方法，知道函数是描述客观世界中变量之间的一种对应关系，这样可以通过研究函数性质来把握世界的一般规律.什么是函数性质呢?比如随着自变量的增大函数值是增大还是减小的,或者有没有最大值?总的来说函数的性质就是”变化中的规律,变化中的不变性”.今天我们来研究一下函数的一个很重要的性质—函数的单调性.2019新型冠状病毒爆发（2019-nCoV ，世卫组织2020年1月命名；SARS-CoV-2，国际病毒分类委员会2020年2月11日命名）.面对疫情政府采取了积极、高效、公开、透明的举措，不仅全力维护人民群众生命安全和身体健康，也为维护全球和地区公共卫生安全做出重大贡献，给世界带来信心.我们要为我们生在中国而自豪.要为我们是中国人而自豪!下面函数图像是截取4月16日-6月10日的数据,图1是全国现有确诊趋势;图2本土新增确诊趋势,从这两幅函数图像中我们可以直观的感受疫情的变化.全国现有确诊趋势本土新增确诊趋势问题1：（1）请看这两幅函数图像,从中你发现了图像的哪些特征?你觉得他们反映了函数哪方面的性质?【预设的答案】第一幅函数图像是上升的趋势,也就是函数值随自变量的增大而增大,但是第二幅图有上升有下降.总的来说这两幅图体现函数变化趋势比如上升下降,我们把这种性质叫做函数的单调性.【设计意图】让学生从直观的图像上感知函数的单调性.问题2：下面我们进一步用符号语言刻画函数的单调性.我们先来看一个简单的例子：f(x) =x2,在初中的时候我们就学习了这函数图像，你能现在画出这个图像吗？请在草稿纸上画出来.我们一般都用的是五点作图,在(0,+∞]上我们取的两个点满足随自变量的增大而增大，你能能否证明在(0,+∞]上所有点变化趋势也是这样的吗?也就是说明我们还有必要用代数的方法证明一下.请大家思考一下如何证明.【活动预设】我们不可能把所有的点取一遍,因为区间上的点是有无穷多个,那我们怎么把”无限”的问题转化为一种”有限”的问题?(让学是感受数学符号语言的作用)那我们可以用x1, x2来表示,请大家看一下几何画板我们发现只要x1<x2时,都有f(x1)<f(x2).（这里可以让学生用之前学习的不等式的性质证明一下f(x1)<f(x2)）【设计意图】主要是引导学生如何定量的刻画函数的单调性，这个过程要让学知道定量刻画函数单调性的必要性.体会形少数时难入微.同时感受符号语言巨大的作用.1.2探究典例，形成概念活动1：通过以上活动,请同学们用符号语言总结一下上面函数的性质.【活动预设】∀x1,x2∈(0,+∞),当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),这时我们就说函数在区间(0,∞)上是单调递增的.【设计意图】让学生更加熟悉符号语言的表示方法.问题3：通过上述例子给出函数f(x)在区间D上单调性的符号表述.【活动预设】一般的,设函数f(x)的定义域为I,区间D⊆I:如果∀x1,x2∈D,当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2),那么就称函数f(x)在区间D上单调递增.如果∀x1,x2∈D,当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2),那么就称函数f(x)在区间D上单调递减. 活动2：请同学们判断下列命题知否正确(1) 设A是区间D上某些自变量的值组成的集合，而且∀x1,x2∈A,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),我们能说函数f(x)在区间D上单调递增吗？你能说明理由吗？(2) 如果∀x1,x2∈D,当x1<x2时，都有f(x1)≤f(x2),那么就称函数f(x)在区间D上单调递增.这种说法正确吗？(3) 如果∀x,x+1∈D, 都有f(x)<f(x+1),那么就称函数f(x)在区间D上单调递增.这种说法正确吗？(4) 函数的单调性是对定义域的某个区间而言，您能举出在整个定义域内单调递增的函数例子吗？你能举出在定义域内的某些区间上单调递增但在另一些区间上单调递减的例子吗？【活动预设】（1）第一问构造了函数f(x)=xsinx+2x,取整函数就可以说明(2)和(3)不正确.(4)让学进一步感知“增函数”、“单调递增”的概念，以及在不同区间上单调递增时，它们的并集不一定保证单调递增，递减同理.【设计意图】（1）引导学生辨析概念中“任意”两个字；（2）在不同区间上单调递增时，它们的并集不一定保证单调递增，递减同理.2.初步应用，理解概念例1 根据定义证明函数y=1在区间(0，+∞)上是单调递减的.x【预设的答案】略【设计意图】（1）进一步的熟悉定义，通过定义画出图像（2）单调区间不能并.练1 根据定义证明函数y=x+1在区间(1，+∞)上单调递增.x【预设的答案】略【设计意图】（1）让学生自己动手练习；（2）进一步熟悉定义.例2 根据定义,研究f(x)=kx+b(k≠0)的单调性.【预设的答案】略【设计意图】体会如何求解含参函数的单调性.3.归纳小结，文化渗透1. 什么叫函数的单调性？你能举出一些具体例子吗？2. 你认为在理解函数单调性的时候应把握好哪些关键问题？3. 结合本节课学习过程你对函数性质的研究内容和方法有什么体会？【设计意图】（1）进一步让学生强化对单调性定义的准确把握；（2）进行数学文化渗透，鼓励学生积极攀登知识高峰，进一步体会函数性质的研究方法,体会数学语言的强大,体会数形结合的重要.四、课外作业。

高中数学必修一之知识讲解-单调性与最大(小)值

单调性与最大（小）值【学习目标】1.理解函数的单调性定义；2.会判断函数的单调区间、证明函数在给定区间上的单调性．【要点梳理】要点一、函数的单调性1．增函数、减函数的概念一般地，设函数f(x)的定义域为A ，区间D A ⊆：如果对于D 内的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上是增函数；如果对于D 内的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)>f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上是减函数.要点诠释：(1)属于定义域A 内某个区间上；(2)任意两个自变量12,x x 且12x x <； (3)都有1212()()(()())f x f x f x f x <>或；(4)图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的. 2．单调性与单调区间（1）单调区间的定义如果函数f(x)在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在区间D 上具有单调性，D 称为函数f(x)的单调区间.函数的单调性是函数在某个区间上的性质. 要点诠释：①单调区间与定义域的关系----单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集； ②单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的； ③不能随意合并两个单调区间； ④有的函数不具有单调性.(2)已知解析式，如何判断一个函数在所给区间上的单调性？ 3．函数的最大（小）值一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足： ①对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤（或()f x M ≥）；②存在0x I ∈，使得0()f x M =，那么，我们称M 是函数()y f x =的最大值（或最小值）. 要点诠释：①最值首先是一个函数值，即存在一个自变量0x ，使0()f x 等于最值；②对于定义域内的任意元素x ，都有0()()f x f x ≤（或0()()f x f x ≥），“任意”两字不可省； ③使函数()f x 取得最值的自变量的值有时可能不止一个；④函数()f x 在其定义域（某个区间）内的最大值的几何意义是图象上最高点的纵坐标；最小值的几何意义是图象上最低点的纵坐标.4.证明函数单调性的步骤(1)取值.设12x x ，是()f x 定义域内一个区间上的任意两个量，且12x x <； (2)变形.作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； (3)定号.判断差的正负或商与1的大小关系； (4)得出结论.5.函数单调性的判断方法 (1)定义法； (2)图象法；(3)对于复合函数()y f g x =⎡⎤⎣⎦，若()t g x =在区间()a b ，上是单调函数，则()y f t =在区间()()()g a g b ，或者()()()g b g a ，上是单调函数；若()t g x =与()y f t =单调性相同（同时为增或同时为减），则()y f g x =⎡⎤⎣⎦为增函数；若()t g x =与()y f t =单调性相反，则()y f g x =⎡⎤⎣⎦为减函数.要点二、基本初等函数的单调性 1．正比例函数(0)y kx k =≠当k>0时，函数y kx =在定义域R 是增函数；当k<0时，函数y kx =在定义域R 是减函数. 2．一次函数(0)y kx b k =+≠当k>0时，函数y kx b =+在定义域R 是增函数；当k<0时，函数y kx b =+在定义域R 是减函数.3．反比例函数(0)ky k x =≠ 当0k >时，函数ky x =的单调递减区间是()(),0,0,-∞+∞，不存在单调增区间；当0k <时，函数ky x=的单调递增区间是()(),0,0,-∞+∞，不存在单调减区间.4．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠若a>0，在区间(]2b a -∞-，，函数是减函数；在区间[)2ba -∞，+，函数是增函数；若a<0，在区间(]2b a -∞-，，函数是增函数；在区间[)2ba -∞，+，函数是减函数．要点三、一些常见结论(1)若()f x 是增函数，则()f x -为减函数；若()f x 是减函数，则()f x -为增函数；(2)若()f x 和()g x 均为增（或减）函数，则在()f x 和()g x 的公共定义域上()()f x g x +为增（或减)函数；(3)若()0f x >且()f x 为增函数，为增函数，1()f x 为减函数；若()0f x >且()f x 为1()f x 为增函数. 【典型例题】类型一、函数的单调性的证明【高清课堂：函数的单调性 356705 例1】例1．已知：函数1()f x x x=+ （1）讨论()f x 的单调性. （2）试作出()f x 的图像.【思路点拨】本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径. 【解析】（1）设x 1，x 2是定义域上的任意实数，且x 1<x 2，则12121211f (x )f (x )x (x )x x -=+-+ 121211()(x -x +-)x x = 211212x x (x x )x x -=-+12121212121(x x )(1)x x x x 1(x x )()x x =---=-①当121x x <<-时，x 1-x 2<0，1<x 1x 21212x x 10x x -∴>，故121212x x (x x )()0x x -1-⋅<，即f(x 1)-f(x 2)<0∴x 1<x 2时有f(x 1)<f(x 2)()1f (x)x x∴=+∞在区间-,-1上是增函数. ②当-1<x 1<x 2<0 ∴x 1-x 2<0，0<x 1x 2<1 ∵0<x 1x 2<1 1212x x 10x x -∴<故121212x x (x x )()0x x -1-⋅>，即f(x 1)-f(x 2)>0 ∴x 1<x 2时有f(x 1)>f(x 2)()1f (x)x x∴=+在区间-1,0上是减函数. 同理：函数()1f (x)x x =+在区间0,1是减函数, 函数()1f (x)x x =+∞在区间1,+是增函数.（2）函数1()f x x x =+的图象如下【总结升华】（1）证明函数单调性要求使用定义；（2）如何比较两个量的大小？(作差)（3）如何判断一个式子的符号？(对差适当变形) ■举一反三：【变式1】讨论函数()(0)af x x a x=+>的单调性，并证明你的结论.【解析】设120x x <<120x x -<，1212120,0,0x x x x a x x a ><<∴-<.121212121212()()()()0x x x x a a a f x f x x x x x x x --∴-=+--=>，即12()()f x f x >. ()f x ∴在(上单调递减.同理可得()f x在)+∞上单调递增；在(,-∞上单调递增；在)⎡⎣上单调递减.故函数()f x在(,-∞和)+∞上单调递增；在)⎡⎣和(上单调递减.类型二、求函数的单调区间例2. 判断下列函数的单调区间；(1)y=x 2-3|x|+2；(2)|1|y x =-【思路点拨】对x 进行讨论，把绝对值和根号去掉，画出函数图象。

人教版(2019)高中数学必修上册：3.2.1.2 单调性与最大(小)值—函数的最大(小)值

由于2<x1<x2<6,得x2- x1>0,(x1-1)(利x2用-1函)>数0,的于单是调性来求函数的
f (x1) f (x2 ) 0,即f (x1) f (x2 ) 最大值与最小值是一种十分常
所以，函数 y 2
用的方法，要注意掌握。
是区间[2,6]上的减函数.
x 1
因此,函数 y 2 在区间[2,6]上的两个端点上分别 x 1
思考 2：函数的最值与函数的值域有什么关系？
函数值域是指函数值的集合，函数最大(小)值一定是值域的元素．如果值域是一个闭区间，那么函数的最大(小)值就是闭区间两端点的值．
思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)
（1）因为 f(x)＝x2＋1≥0 恒成立，所以 f(x)的最小值为 0.( × ) （2）任何函数都有最大(小)值.(× ) （3）函数 f(x)取最大值时，对应的 x 可能有无限多个．( √ )
()
(4)函数的最大值一定比最小值大．
()
(5)若函数 f(x)在区间[－1,2]上是减函数，则函数 f(x)在区间[－1,2]上的
最大值为 f(－1)．
()
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√
2.函数 y＝f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的
最小值、最大值分别是
()
题型二利用单调性求函数最值 [学透用活]
利用单调性求最值的常用结论 (1)如果函数 f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则 f(x)在区间[a，b] 的左、右端点处分别取得最小(大)值和最大(小)值． (2)如果函数 f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间[b，c)上是减函数，则函数 f(x)在区间(a，c)上有最大值 f(b)． (3)如果函数 f(x)在区间(a，b]上是减函数，在区间[b，c)上是增函数，则函数 f(x)在区间(a，c)上有最小值 f(b)．

高中数学《单调性与最大（小）值》说课稿

高中数学《单调性与最大（小）值》说课稿高中数学《单调性与最大(小)值》说课稿以下是小编整理的高中数学《单调性与最大(小)值》(数学必修一)》说课稿，希望对大家有帮助!一、教材分析1.教学内容本节课内容教材共分两课时进行，这是第一课时，该课时主要学习函数的单调性的的概念，依据函数图象判断函数的单调性和应用定义证明函数的单调性，。

2. 教材的地位和作用函数单调性是高中数学中相当重要的一个基础知识点，是研究和讨论初等函数有关性质的基础。

掌握本节内容不仅为今后的函数学习打下理论基础，还有利于培养学生的抽象思维能力，及分析问题和解决问题的能力。

3.教材的重点﹑难点﹑关键教学重点：函数单调性的概念和判断某些函数单调性的方法。

明确单调性是一个局部概念.教学难点：领会函数单调性的实质与应用，明确单调性是一个局部的概念。

教学关键：从学生的学习心理和认知结构出发，讲清楚概念的形成过程.4.学情分析高一学生正处于以感性思维为主的年龄阶段，而且思维逐步地从感性思维过渡到理性思维，并由此向逻辑思维发展，但学生思维不成熟、不严密、意志力薄弱，故而整个教学环节总是创设恰当的问题情境，引导学生积极思考，培养他们的逻辑思维能力。

从学生的认知结构来看，他们只能根据函数的图象观察出“随着自变量的增大函数值增大”等变化趋势，所以在教学中要充分利用好函数图象的直观性，发挥好多媒体教学的优势;由于学生在概念的掌握上缺少系统性、严谨性，在教学中注意加强.二、目标分析(一)知识目标：1.知识目标：理解函数单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法;了解函数单调区间的概念，并能根据函数图象说出函数的单调区间。

2.能力目标：通过证明函数的单调性的学习，使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式，培养学生的观察能力，分析归纳能力，领会数学的归纳转化的思想方法，增加学生的知识联系，增强学生对知识的主动构建的能力。

3.情感目标：让学生积极参与观察、分析、探索等课堂教学的双边活动，在掌握知识的过程中体会成功的喜悦，以此激发求知欲望。

高中数学必修1《单调性与最大(小)值》必备知识点讲解

高中数学必修1《单调性与最大(小)值》必备知识点讲解一、情景问题如图为2008年北京奥运会奥林匹克公园场馆自动气象站某日一天24小时内的气温变化图（24时与0时气温相同为32C），观察这张气温变化图：问：该图形是否为函数图像？定义域是什么？问：如何用数学语言来刻画温度随时间变化而变化的趋势呢？画出函数f(x)=x和f(x)=x2的图像可观察到的图像特征：（1）函数f(x)=x 的图像由左至右是上升的；（2）函数f(x)=x2的图像在y 轴左侧是下降的，在y 轴右侧是上升的；也就是图像在区间(-∞,0]上，随x 着的增大，相应的f(x) 随着减小，在区间(0,+∞)上，随着x的增大，相应的f(x)也随着增大.归纳：从上面的观察分析可以看出：不同的函数，其图像的变化趋势不同，同一函数在不同区间上的变化趋势也不同.函数图像的这种变化规律就是函数性质的反映.思考：1．如何用函数解析式f(x)=x2描述“随着x的增大，相应的f(x)随着减小”，“随着x的增大，相应的f(x)也随着增大”？2.在区间(0,+∞)上任取x1,x2，函数值的大小变化与自变量的大小变化有何关系？如何用数学符号语言来描述这种关系呢？对于函数f(x)=x2 ，在区间(0,+∞)上，任取两个x1,x2，当x1 x2时，有f(x1) f(x2).这时，我们就说函数f(x)=x2在区间(0,+∞)上是增函数.请你仿照刚才的描述，说明函数f(x)=x2在区间(-∞,0)上是减函数.对于函数f(x)=x2 ，在区间(0,+∞)上，任取两个x1,x2，当x1x2时，有f(x1)f(x2).这时，我们就说函数在区间(0,+∞)上是增函数.一、函数的单调性1.增函数的定义设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间d上是增函数（increasing function）.<="" span=""></x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间d上是增函数（increasing>2.减函数的定义设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数（decreasing function）.3．对定义要点分析1）函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的;2）应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数）.3）如果函数y=f(x)在某一区间D上是增(减)函数，就说f(x)在这个区间D上具有单调函数，这一区间D叫做f(x)的单调区间.说明：(1)函数的单调区间D是其定义域I的子集；(2)判断函数的单调性的方法：比较法（要注意变形的程度）(3)证明函数的单调性的步骤：（1）增减函数的图像有什么特点？增函数的图像从左自右是上升的，减函数的图像从左自右是下降的.（2）用定义证明函数的单调性，需要抓住要点“在给定区间任意取两个自变量”去比较它们的函数值的大小.（3）如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.。

人教A版必修一1.3.1单调性与最大(小)值课件(1)

大，f(x)的值随着 __减__小____ ．
3．f(x) = x2
①在区间 _______, 0_____ 上，f(x)的值随
着x的增大而 __减_少_____ ．
② 在区间 ___0_,________ 上，f(x)的值随
着x的增大而 __增__大____ ．
（一）函数单调性定义二.新课教学
四.作业布置书面作业：课本P32 练习：2、3
（书上完成）
P39习题1．3（A组）第3 1- 2题．
1 x1
1 x2
x2 x1 , x1 x2
注意变形程度
由
x ,x 12
(0,
),
得x x 12
0,
由x 1
x ,得 x -x
2
12
0
,
于是
f(x )-f(x )
1
2
0
(定号)
即 f(x ) 1
f(x ) 2
f(x)
1 x
在(0,
)上是减函数。
（判断结论）
三.归纳小结 1、函数的单调性的判定、证明和单调区间的确定：函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取值 → 作差 → 变形 → 定号 → 下结论 2、直接利用初等函数的单调区间。
画出下列函数的图象，视察其变化规律：
1．f(x) = 2x+1 ① 从左至右图象上升还是降落__上__升__?
②在区间 ______,______ 上，随着x的增大，
f(x)的值随着 __增_大_____ ．
2．f(x) = -2x+1 ① 从左至右图象上升还是降落 _降__落___?

新教材高中数学第三章函数概念与性质单调性与最大小值课件新人教A版必修第一册

(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0 或fxx11－－fx2x2>0.对减函数的判断，对任意 x1<x2，都有 f(x1)>f(x2)，相应地也可用一个不等式来替代：(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0 或 fxx11－－fx2x2<0.
3.函数的最值与值域、单调性之间的联系 (1)对一个函数来说,其值域是确定的,但它不一定有最值,如函数y＝ .如果有最值, 则最值一定是值域中的一个元素. (2)若函数f(x)在闭区间[a,b]上单调,则f(x)的最值必在区间端点处取得.即最大值是 f(a)或f(b),最小值是f(b)或f(a). 4.二次函数在闭区间上的最值探求二次函数在给定区间上的最值问题,一般要先作出y＝f(x)的草图,然后根据图象的增减性进行研究.特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系,它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据,并且最大(小)值不一定在顶点处取得.
（3）区间A一定是连续的,如果中间有断裂,则无法称作单调递增或者单调递减.如图示的函数.
单调性的定义
函数单调性定义的等价形式(对于任意的
)：
【1】
在D上为增函数；
【2】
在D上为减函数；
【3】
在D上为增函数；
【4】
在D上为减函数.
即自变量之差与函数值之差的乘积同号,函数为增函数；自变量之差与函数值之差的乘积同号,函数为减函数；
反之,函数在区间端点处无定义时,书写单调区间时就不能包括端点.
单调性的应用【例题1】根据定义,研究函数
的单调性.
【解】函数 ,
的定义域是R,对于任意的
且
由
知
,所以：
①当
时,

3-2-1函数的单调性与最大(小)值(第一课时)(课件)——高中数学人教A版(2019)必修第一册

(3)由图象可知单调递增区间为(－2，0)，[2，＋∞)，单调递减区间为 (－∞，－2)，[0，2].
例题巩固
探究点三函数单调性的简单应用角度 1 利用单调性比较大小 [例 3－1] 若函数 f(x)在(－∞，－1]上是增函数，则下列关系式中成立的是( )
A．f －32 <f(－1)<f(－2)
例题巩固
探究点二求函数的单调区间 [例 2] 已知函数 f(x)＝x2－4|x|＋3，x∈R. (1)将函数写成分段函数的形式； (2)画出函数的图象； (3)根据图象写出它的单调区间．
[解] (1)f(x)＝x2－4|x|＋3 x2－4x＋3，x≥0，
＝ x2＋4x＋3，x<0. (2)如图．
如果函数y=f(x)在间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这区间具有(严格的)单调性，区 D叫做y=f(x)的单调区间.
函数的单调性
例题巩固
例1 根据定义，研究函数f(x)=kx+b(k≠0)的单调性. 分类讨论
例题巩固
例2 物理学中的玻意耳定律力= p k (k为正常数)告诉我们，对于一定量的
二次函数 f(x)=x2的单调性
图象在 y 轴右侧部分从左到右是上升的. 当x>0时，y随x的增大而增大用符号语言描述，就是任意取x1，x2∈[0，+∞)，得到 f(x1)=x12，f(x2)=x22,那么当x1<x2时，有 f(x1)<f(x2). 这时我们就说函数f(x)=x2在区间(-∞，0]上是单调递增的.
函数的单调性
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D∈I: 如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D 上单调递减(图3.2-3(2)). 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 (decreasing function).

人教A版高中数学必修一1.3.1+函数的单调性和最大小值+教案

函数单调性与最大(小)值（第一课时）一、二、教材分析:《函数单调性》是高中数学新教材必修一第二章第三节的内容。

在此之前，学生已经学习了函数的概念、定义域、值域、表示法以及在初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数等常见函数，也了解了一些函数的增减性，只是当时的研究较为粗略，未明确给出有关函数单调性的定义，对于函数单调性的判断也主要根据图像观察得到，而本小节内容，正是对初中有关内容的一个深化和提高，给出了具体的函数在某个区间上是增函数还是减函数的定义，并明确指出函数的单调性是相对于那个区间的，还介绍了判断函数单调性的两种方法，做到将图像与定义证明结合在一起的思想。

函数的单调性是体现了函数研究的一般方法。

这就是加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象；由特殊到一般。

首先借助对函数图像的观察、分析和归纳，发现函数的增、减变化的直观特征，进一步量化，发现增、减变化数学特征，从而进一步用数学语言刻画。

这对研究函数的其他性质，如奇偶性等有借鉴作用。

二、学情分析:学生已经学习了函数的概念、定义域和值域，因此他们具有了一定的抽象概括、类比归纳，符号表达的能力，在此基础上进一步研究函数的性质，对于他们来说不是太难。

但由于函数的图像是发现函数性质的直观载体，因此，在本次教学时，要充分使用信息技术创设教学情境，这样有利于学生更好地观察和探究函数的单调性、最值等性质，同时还要特别注意让学生经历这些概念形成的过程。

三、教学目标:1、知识与技能：理解增减函数、单调性、单调区间四个概念：能用自己的语言说出定义，并认识它们是如何得出来的。

掌握函数增减性的证明：掌握判断简单函数的单调区间及证明简单函数在给定区间上的单调性的方法和步骤。

2、过程与方法：能从具体实例中得出增函数、减函数的定义，培养观察能力和抽象概括能力。

通过知识的获得提高和发展学生自我学习和自我学习和自我发展能力。

3、情感态度与价值观：借助开放探究的教学方式，张扬学生个性，培养学生科学严谨乐于研究的作风。

【同步课堂】人教A版高中数学必修1第一章1.3.1 单调性与最大(小)值—函数的最大(小)值课件(共12张PPT)

2．最小值一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果
存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M; （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M 那么，称M是函数y=f(x)的最小值
注意：
1、函数最大（小）值首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0) = M；
2、函数最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M （f(x)≥M）．
最小值．
x 1
例3：画出函数y | x 1| | 2x 4 |的图像，写出它们的单调区间和最值。
例4：求函数f (x) x2 2ax 1在区间[1, 2]内的最值。
（二）利用函数单调性判断函数的最大(小)值的方法
1.利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大(小)值 2. 利用图象求函数的最大(小)值
1、函数f(x)=x2+4ax+2在区间(-∞，6]内递减，
则a的取值范围是( ) D
A、a≥3
B、a≤3
C、a≥-3
D、a≤-3
2、在已知函数f(x)=4x2-mx+1,在(-∞，-2]上递减，在[-2,+∞)上递增，则f(x)在[1,2]上的值域__[2_1_,_3_9_] _____.
3、常用初等函数的最值求法.
例1、“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂. 如果在距地面高度h m与时间t s之间的关系为:h(t)= -4.9t2+14.7t+18 ，那么烟花冲出后什么时候是
它的爆裂的最佳时刻？这时
距地面的高度是多少（精确
到1m）
解：作出函数h(t)= -4.9t2+14.7t+18的图象(如图).显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.

高中数学必修一单调性与最大(小)值

新人教A版高中数学必修第一册3.2.1 单调性与最大(小)值 课件(2)

高中数学人教A版 必修1《3.2.1函数的单调性与最大（小）值》教案 Word