高中数学必修一单调性与最大(小)值

2．函数的单调性定义
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是 减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严 格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：
3．判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单 调性的一般步骤： ①任取x1，x2∈D，且 x1 x2 ； ②作差 f ( x1 ) f ( x2 ) ；
小
结
1、单调函数的图象特征；
2、函数单调性的定义； 3、证明函数单调性的步骤； 4、函数的最值： 最大值
最小值

解：（1）设烟花在t s时距地面的高度为h m，则由 物体运动原理可知： h(t ) 4.9t 2 14.7t 18. （2）作出函数 h(t ) 4.9t 2 14.7t 18. 的图象， 显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶 点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是 这时距地面的高度。
因为 2 x1 x2 6
所以 x1 x2 0,( x1 1)( x2 1) 0, 于是
f ( x1 ) f ( x2 ) 0
即
f ( x1 ) f ( x2 )
端点上分别取得最大值与最小值，即在 x=2 时取 得最大值，最大值是2，在x=6时取得最小值，最
2 所以函数 y 是区间 [ 2, 6 ] 上的减函数。 x 1 2 因此，函数 y 在区间 [ 2, 6 ] 的两个 x 1
解：设 x1 , x2 是区间 [ 2, 6 ] 上的任意两个实数，
且 x1 x2 ，则
2 2 f ( x1 ) f ( x2 ) x1 1 x2 1 2[( x2 1) ( x1 1)] ( x1 1)( x2 1) 2( x2 x1 ) ( x1 1)( x2 1)
小值0.4。
函数的最值
（1）利用二次函数的性质（配方法）求函数的最值;
（2）利用图象求函数的最值;
（3）利用函数单调性求函数的最值 .
例3.“菊花”烟花是最壮观得烟花之一，制造时一般是 期望在它达到最高点（大约是在距离地面高度25m到 30m处）时爆裂。如果在距离地面高度18m的地方点 火，并且烟花冲出的速度是14.7/s。 （1）写出烟花距离地面的高 度与时间之间的关系。 （2）烟花冲出后什么时候是 它暴裂的的最佳时刻？ 这时 距地面的高度是多少 （精确 到1m）？
解：函数 y f ( x) 的单调区间有[ -5,-2 ),[ -2,1 ),
[ 1,3 ),[ 3,5 ].其中 y f ( x) 在区间[ -5,-2 ), [ 1,3 )
上是减函数，在区间[ -2,1 ),[ 3,5 ]上是增函数。
和最小值。
2 例2.求函数 y 在区间 [ 2, 6 ] 上的最大值 x 1
右侧是上升的。
函数图象的“上升”“下降”反映了函数的一个基
本性质——单调性。
y = kx + b（k 0）
函数
k y = (k 0) x
k >0
k <0
k >0

k <0

单调区间 (-, + ) 单调性 增函数 减函数
x2 (2) f(x) = ① 在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x 的增大而 ________ ． ② 在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x 的增大而 ________ ．
一次函数
二次函数
函数 f ( x) x 的图象由左至右是上升的；
函数 f ( x) x2 的图象在y轴左侧是下降的，在y轴
由二次函数的知识，对于函数
h(t ) 4.9t 2 14.7t 18.
我们有：
14.7 当t 1.5 时，函数有最大值 2 (4.9)
4 (4.9) 18 14.72 h 29. 4 (4.9)
于是，烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻， 这时距地面的高度约为29m。
③变形（通常是因式分解和配方）；
④定号（即判断差 f ( x1 ) f ( x2 ) 的正负）；
⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的
单调性）．
例1.如图是定义在区间[ -5, 5 ]上的函数 y f ( x) ， 根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区 间上，它是增函数还是减函数？
减函数
增函数
1．增函数 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，
如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个
自变量 x1 , x2 ，当 x1 x2 时，都有 f ( x1 ) f ( x2 ) ， 那么就说f(x)在区间D上是增函数 2. 减函数 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个
1.观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映 了相应函数的哪些变化规律：
y y y
1 -1 -1 1 x -1
1 1 -1 x -1
1 1 x -1
①随x的增大，y的值有什么变化？ ②能否看出函数的最大、最小值？ ③函数图象是否具有某种对称性？
2.画出下列函数的图象，观察其变化规律： (1) f(x) = x ① 从左至右图象上升还是下降 ______? ② 在区间 ____________ 上，随着x的增 大，f(x)的值随着 ________ ．
自变量 x1 , x2 ，当 x1 x2 时，都有 f ( x1 ) f ( x2 ) ，
那么就说f(xHale Waihona Puke Baidu在区间D上是减函数
1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的
性质，是函数的局部性质.
2 、必须是对于区间D内的任意两个自变量x1， x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2) 或f(x1)>f(x2) 分别是 增函数和减函数.