高中数学经典的解题技巧和方法等差数列、等比数列

高中数学经典的解题技巧和方法（等差数列、等比数列）

跟踪训练题

一、选择题（本大题共6个小题，每小题6分，总分36分） 1.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=1，a 3=3，则S 4=( ) (A)12

(B)10

(C)8

(D)6

2.设数列{x n }满足log 2x n+1=1+log 2x n ,且x 1+x 2+x 3+…+x 10=10,则x 11+x 12+x 13+…+x 20的值为( ) (A)10×211 (B)10×210 (C)11×211

(D)11×210

3.已知正数组成的等差数列{a n }，前20项和为100，则a 7·a 14的最大值是( ) (A)25

(B)50

(C)100

(D)不存在

4.已知{}

n a 为等比数列，S n 是它的前n 项和。若2312a a a ⋅=， 且4a 与27a 的等差中项为5

4，则5S =( )

A ．35 B.33 C.31 D.29 5. 设

{}n a 是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为,,X Y Z ，则下列等式中恒成立

的是( ) A 、2X Z Y += B 、()()

Y Y X Z Z X -=-

C 、2

Y XZ =

D 、

()()

Y Y X X Z X -=-

6.（2010·潍坊模拟）已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，S n 是其前n 项和，且有S 9

不正确的是

（ ）

A ．S 9

B ．d<0

C ．S 7与S 8均为S n 的最大值

D ．a 8=0

二、填空题（本大题共3个小题，每小题6分，总分18分）

7.将正偶数划分为数组：（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20），…，则第n 组各数的和是 .（用含n 的式子表示）

8.已知数列{a n }满足:a 4n-3=1,a 4n-1=0,a 2n =a n ,n ∈N *,则a 2 009=_______;a 2 014=_______.

9.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4=15,S 5=55,则过点P(3,a 3),Q(10,a 10)的直线的斜率为_______.

三、解答题（10、11题每小题15分，12题16分，总分46分）

10.数列{}n a 的通项()()10111n

n a n n N *⎛⎫

=+∈ ⎪⎝⎭试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的

项数；若没有，说明理由

11.在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若S m ,S m+2,S m+1成等差数列，则a m ,a m+2,a m+1成等差数列. （1）写出这个命题的逆命题；

（2）判断逆命题是否为真？并给出证明. 12.已知数列

}{n a 中，前n 项和为

n

S ，51=a ，并且2122++++=n n n n a S S （+∈N n ），

（1）求2a ，

3

a 的值；

（2）设

n n n a b 2λ

+=

，若实数λ使得数列}{n b 为等差数列，求λ的值。

（3）在（2）的条件下，设数列}1{

1+⋅n n b b 的前n 项和为n T ，求证：

51

一、选择题

1. 【解析】选C.S 4=

=2×(1+3)=8.

2. 【解析】选B.∵log 2x n+1-log 2x n =1,∴{x n }为等比数列，其公比q=2,

又∵x 1+x 2+…+x 10=10,∴x 11+x 12+…+x 20=q 10(x 1+x 2+…+x 10)=210×10.

3. 【解析】选A.∵S 20=×20=100,∴a 1+a 20=10,

∵a 1+a 20=a 7+a 14,∴a 7+a 14=10. ∵a n >0,∴a 7·a 14≤()2=25.

4. 【解析】选 C

由

2311414222

a a a a a a a ⋅=⇒⋅=⇒=，又

475224a a +=⨯

得 71

4a =

所以，37411428a q a ===，∴ 12q =，41321618a a q ===， 5

5116[1()]231112S -==-

5. 【解析】选 D ，设等比数列

{}n a 的公比为q (0)q ≠，由题意，12n

X a a a =+++L

12122n n n n

Y a a a a a a ++=+++++++L L

1212221223n n n n n n n

Z a a a a a a a a a ++++=+++++++++++L L L

∴Y X q

X -=，Z X

q Y -=，所以()()Y Y X X Z X -=-，故D 正确。

6. 【解析】选A 由题意知d<0，a 8=0，所以10981091090..

a a a S S a S <<=∴=+<

二、填空题

7. 【解析】前1n -组共有偶数的个数为

(1)

123(1).2n n n -++++-=

L 故第n 组共有n 个偶数，且第一

个偶数是正偶数数列{}2n 的第2

(1)(1)12[1]222n n n n n n --+⨯+=-+项，即，

所以第n 组各数的和为

23(1)

(2)2.2n n n n n n n --++

⨯=+

答案：3

.n n +

8. 【解析】依题意，得a 2 009=a 4×503-3=1,a 2 014=a 2×1 007=a 1 007=a 4×252-1=0. 答案：1 0

9. 【解析】∵a 4=15,S 5=55. ∴55==5a 3,∴a 3=11. ∴公差d=a 4-a 3=15-11=4.

a 10=a 4+6d=15+24=39. ∴P(3,11),Q(10,39) k PQ ==4.答案：4

三、解答题

10. 【解析】方法1：

()()1

110101092111111111n n n

n n n

a a n n ++-⎛⎫

⎛⎫⎛⎫-=+-+=⋅

⎪

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Q

∴当n ＜9时，110n n n n

a a a a ++->∴>

当9n =时

110n n n n

a a a a ++-=∴=，

当n ＞9时，

110n n n n

a a a a ++-<∴≤

，