模态分析与综合技术第二章 简单振动系统
ANSYS-模态分析 介绍
模态分析总论
• 运动学基本方程: }+ [C]{u }+ [K ]{u} = {F(t )} [M ]{ u • 假定自由振动并忽略阻尼:
}+ [K ]{u} = {0} [M ]{ u
2
Training Manual
DYNAMICS 11.0
• 假定谐波形式响应 (u = U sin( ωt ) )
其它分析选项
• 集中质量矩阵：
– –
Training Manual
DYNAMICS 11.0
主要用于细长梁或薄壳，或者波传播问题； 对 PowerDynamics 法，自动选择集中质量矩阵。 用于计算具有预应力结构的模态（以后讨论）。 阻尼仅在选用阻尼模态提取法时使用； 可以使用阻尼比α阻尼和β阻尼； 对BEAM4 和 PIPE16 单元，允许使用陀螺阻尼。
Training Manual
第二章 模态分析
模态分析总论
Training Manual
DYNAMICS 11.0
• 模态分析用来确定结构的振动特性的一种技术:
– 固有频率 – 振型 – 模态参与因子（结构振型在给定方向的参与程度)
• 是其他动力学分析的起点和基础.
模态分析总论
• 模态分析工程应用
DYNAMICS 11.0
子空间法
Training Manual
DYNAMICS 11.0
• 子空间法 ：比较适合于提取类似中型到大型 模型的较少的振型 （<40）
– 需要相对较少的内存； – 实体单元和壳单元应当具有较好的单元形状，要对 任何关于单元形状的警告信息予以注意； – 在具有刚体振型时可能会出现收敛问题； – 建议在具有约束方程时不要用此方法。
第二章单自由度系统自由振动)
三、单自由度系统在简谐激励作用下的受迫振动 1、简谐激励下的受迫振动响应及频谱分析 2、受迫振动的复数求解法－－单位谐函数法 3、支座简谐激励（位移激励）引起的振动与被动隔振 4、偏心质量（力激励）引起的振动与主动隔振 5、测振传感器的原理
正弦型激励 周期激励 任意激励
k
kx m x
m
F(t)
mx kx F0 sin t
p2 k m
x p2x F0 sin t
第一章 概论
一、振动及其研究的问题 1、振动 2、振动研究的问题 振动隔离 在线控制 工具开发 动态性能分析 模态分析
第一章 概论
二、振动分类及研究振动的一般方法 1、振动分类：振动分析、振动环境预测、系统识别 2、研究振动的一般方法 （1）理论分析方法
建立系统的力学模型、建立运动方程、求解方程得到响应 （2）实验研究方法 （3）理论与实验相结合的方法
②旋转矢量表示法
③复数表示法
z Acos(t ) iAsin(t )
z Aei(t )
eit cost i sin t eit cost i sin t
x Im( Aei(t) ) Asin(t )
x
iAei(t )
振幅
A
x02
x0 p
2
初相位
arctan px0
x0
固有圆频率 p k m
(rad/s)
固有频率 f p 1 k
2 2 m
(HZ)
固有周期 T 1 2 m (s)
f
k
例题2.7 某仪器中一元件为等截面悬臂梁，梁的质 量可忽略。在梁的自由端由磁铁吸住两个集中质量 m1、m2。梁在静止时，断电使m2突然释放，求随 后m1的振动。
机械振动学基础知识振动系统的阻尼模态分析
机械振动学基础知识振动系统的阻尼模态分析机械振动学是研究物体在受到外力作用下产生的振动现象的学科，涉及到机械工程、土木工程、航空航天工程等领域。
振动系统的阻尼模态分析是机械振动学中一个重要的研究方向，通过对振动系统的阻尼特性和模态特性进行分析，可以更好地理解系统的振动行为，为系统的设计和优化提供理论支持。
阻尼是振动系统中的一种能量损耗机制，它通过阻尼器将系统振动能量转化为热能或其他形式的能量耗散出去。
振动系统的阻尼可以分为线性阻尼和非线性阻尼两种。
线性阻尼是指振动系统的阻尼力与速度成正比，常见于摩擦力和液体阻尼等。
非线性阻尼则是指振动系统的阻尼力与速度的平方或更高次幂相关，常见于气体阻尼和某些复杂系统中的耗能机制。
在振动系统的阻尼模态分析中，首先需要确定系统的动力学方程。
这通常是通过应用运动方程和力学平衡原理得到的，其中考虑了系统的质量、刚度、阻尼等因素。
然后可以通过对系统的特征值问题进行求解，得到系统的固有频率和模态形式。
在实际工程中，通常会采用数值模拟或实验测试的方法来确定系统的振动特性。
阻尼模态分析的结果可以帮助工程师深入了解系统的振动特性，包括固有频率、模态形式、阻尼比等参数。
通过分析这些参数，可以评估系统的稳定性、安全性和性能表现，为系统的设计和改进提供依据。
此外，阻尼模态分析还可以指导系统的故障诊断和故障分析，帮助工程师解决振动问题和改善系统的运行效果。
总的来说，机械振动学基础知识中的振动系统阻尼模态分析是一个复杂而重要的内容，它深刻影响着工程领域的发展和进步。
通过对振动系统阻尼特性和模态特性的研究，可以更好地理解系统的振动行为，提高系统的性能和可靠性，从而推动机械工程领域的发展。
机械系统模态振动分析与改进
机械系统模态振动分析与改进引言机械系统的运行稳定性和性能优化对于各个行业的发展至关重要。
在设计和制造机械系统时，我们需要考虑它们的模态振动。
本文将讨论机械系统模态振动的分析方法以及如何通过改进来提高系统的振动特性。
一、模态振动的概念与意义模态振动是指机械系统在受到外力激励后，以一定的频率和振幅自由振动的现象。
通常情况下，机械系统的模态主要由系统的质量、刚度和阻尼决定。
了解机械系统的模态振动能够帮助我们预测系统的振动特性，并在设计和制造阶段进行改进，从而提高系统的性能。
二、模态振动分析方法1. 经典分析方法经典分析方法是通过对机械系统的运动方程进行求解，得到系统的模态特征值和振型。
其中，特征值表示系统的模态频率，而振型则描述了系统在不同模态下的振动形态。
这种方法通常适用于简单的机械系统，如单自由度系统。
然而，对于复杂的多自由度系统，经典分析方法的求解过程会变得非常复杂。
2. 有限元分析方法有限元分析方法是一种常用的模态振动分析方法。
它将机械系统离散化为有限个小单元，在每个小单元上建立运动学和力学方程，再通过求解整个系统的特征值和振型来得到系统的模态特性。
这种方法可以应用于复杂的多自由度系统，并且与实际情况较好地吻合。
3. 实验测量方法实验测量方法是通过对机械系统进行实际测试，获取系统的模态特征值和振型。
常用的实验测量方法包括模态分析法、频响函数法和阻尼测试法等。
实验测量方法通常能够提供更加准确的结果，但需要进行相应的测试和数据处理，成本较高。
三、改进机械系统的振动特性1. 调整系统结构要改进机械系统的振动特性，我们可以从调整系统的结构入手。
可以通过增大系统的刚度来提高系统的自然频率，减小系统的质量来减小振动响应。
此外，还可以采用减振措施，如增加阻尼材料来减小振动幅值。
通过结构调整，可以有效地改善机械系统的振动性能。
2. 优化系统参数优化系统参数也是改进机械系统振动特性的一种方法。
通过对系统的质量、刚度和阻尼进行优化设计，可以使系统的模态频率和振动幅值达到最佳状态。
振动系统的模态分析与优化设计
振动系统的模态分析与优化设计振动系统是一类具有固有频率和振动模态的物理系统，它们广泛应用于各个领域，包括工程、航空航天、汽车等。
对振动系统的模态分析与优化设计的研究是提高系统性能和减少振动噪声的重要手段。
本文将从振动系统的模态分析方法入手，介绍振动系统的优化设计思路和方法。
1. 模态分析方法模态分析是研究振动系统特征频率和振动模态的重要手段。
常见的模态分析方法包括频率域分析和时域分析。
1.1 频率域分析频率域分析是通过对振动信号的频谱进行分析，得到系统的特征频率和振动模态。
其中，最常用的方法是傅里叶变换。
通过对振动信号进行傅里叶变换，可以将信号从时域转换到频域，并得到频谱图。
在频谱图中，峰值对应系统的特征频率，而频谱的形状则反映了振动模态的特征。
1.2 时域分析时域分析是对振动信号的波形进行分析，探究系统的特征波形和响应特性。
常用的时域分析方法包括峰值检测、相关分析和小波变换等。
通过时域分析，可以直观地观察到系统的振动特征，如幅值、相位、周期等。
2. 优化设计思路振动系统的优化设计旨在改善系统的振动性能，减少振动噪声和损耗。
优化设计思路常包括以下几个方面：2.1 结构优化结构优化是通过改变系统的结构参数，如材料、形状和尺寸等，来改善系统的振动性能。
例如，在汽车设计中，通过优化车身的结构布局和刚度分布，可以减少车身的共振现象，降低噪声和疲劳损耗。
2.2 材料优化材料优化是通过选择合适的材料，来提高系统的振动特性。
不同材料具有不同的弹性模量和阻尼特性，因此选择适当的材料可以改变系统的固有频率和振动模态。
2.3 控制优化控制优化是通过对振动系统施加控制力或应用控制策略，来减小系统的振幅和振动噪声。
常见的控制优化方法包括主动控制和被动控制，如主动振动控制器和振动吸振器等。
3. 优化设计方法优化设计方法是指通过数学模型和计算工具，对振动系统进行优化设计的技术手段。
常见的优化设计方法包括参数优化和拓扑优化。
第二章单自由度系统自由振动)
（1）等效刚度
通常用能量法求复杂系统的等效刚度，即按实际系统要转化的弹簧 的弹性势能与等效系统弹簧势能相等的原则来求系统的等效刚度。
1、单自由度系统及其振动微分方程建立 （1）单自由度振动系统
（2）单自由度系统振动方程的建立方法 ①牛顿第二定律或达朗贝尔原理
f m&x& f m&x& 0 M J&& M J&& 0
例题2-1 （教材例题2.10） 建立如图所示振动系统的振动微分方程。
ml&x&
若动能达到最大Tm ax时取势能为0，则动能为0时，势能必取得最大值U m ax
Tm
ax＝U
m
，可由此得到固有频率
ax
例题：求圆轴圆盘扭振系统的振动固有频率
T 1 m(l)2
2
U 1 k(a)2
2
d [1 m(l)2 1 k(a)2 ] 0
dt 2
2
可得 ＋ k ( a )2 0
例题2-3
meq J m1r 2 m2 R2 keq (k1 k3 )r 2 (k2 k4 )R2
例题2-4 （教材例题2.4）
例题2-5 （教材例题2.5）
me
m
L
3
mA
J
mvb2 a2
1 3
msb2
例题2-6 （教材例题2.3、2.6） 求轴向轴转化的单轴系的等效刚度和等效旋转质量
机械系统的模态分析与振动控制
机械系统的模态分析与振动控制引言：机械系统的振动是指系统固有结构或外部激励下的周期性运动。
振动控制是研究如何减小或消除机械系统振动的一门学科。
而模态分析作为振动控制中的重要手段，可以帮助工程师了解机械系统的振动模态，从而制定相应的控制策略。
本文将介绍机械系统的模态分析和振动控制的基本概念和方法。
第一部分：机械系统的振动模态1.1 自由振动与强迫振动机械系统的振动可以分为自由振动和强迫振动两种情况。
自由振动是指系统在没有外力作用下，由初始位移或初始速度引起的振动。
强迫振动则是指系统受到外力激励而发生的振动。
1.2 模态与固有频率机械系统的模态是指系统在不同振动状态下的振型和固有频率。
振型是指系统在某个频率下的振动形式，而固有频率则是系统在该振型下的特征频率。
1.3 模态分析方法模态分析是研究机械系统振动模态的重要手段。
常用的模态分析方法包括频率域分析和时域分析。
频率域分析通过对信号进行傅里叶变换，可以得到系统的频域特性。
时域分析则是通过观察系统的振动信号，来确定系统在不同振动状态下的振型和固有频率。
第二部分：机械系统的振动控制2.1 振动控制策略机械系统的振动控制策略一般可以分为被动控制和主动控制两种。
被动控制是指通过改变系统结构或材料的刚度、减振装置等 passively 来减小振动。
主动控制则是通过采用力学、电子或机电一体化的方法 actively 来实现振动控制。
2.2 控制器设计与实施振动控制的关键在于控制器的设计和实施。
控制器设计需要考虑系统的模态特性、控制目标以及输入和输出的信息，常见的控制方法有PID控制和自适应控制等。
控制器实施则是将设计好的控制算法应用于实际系统中，并根据实际反馈进行调整和优化。
2.3 振动控制的应用振动控制在机械系统中有着广泛的应用。
例如，在汽车工业中，振动控制可以减少车辆的振动和噪音，提高车辆的乘坐舒适性；在航空航天领域中，振动控制可以提高飞机的飞行性能和结构的安全性。
多自由度振动系统的特征值问题与模态分析
多自由度振动系统的特征值问题与模态分析自由度是描述物体运动状态的重要概念，而多自由度振动系统则是指由多个物体组成的振动系统。
在工程领域中，多自由度振动系统的特征值问题与模态分析是非常重要的研究内容。
特征值问题是指在多自由度振动系统中，寻找系统的固有振动频率和振动模态的问题。
对于一个n自由度振动系统，其特征值问题可以表示为：[K] {x} + [M] {x} = \lambda [M] {x}其中[K]是系统的刚度矩阵，[M]是系统的质量矩阵，{x}是系统的振动位移向量，\lambda是特征值。
解特征值问题可以得到系统的特征值和特征向量，从而确定系统的固有振动频率和振动模态。
在解特征值问题时，常常采用模态分析的方法。
模态分析是一种将多自由度振动系统的特征值问题转化为一组独立振动模态的方法。
通过模态分析，可以得到系统的振动模态和相应的特征值。
振动模态是指系统在不同频率下的振动形态，而特征值则代表了系统的固有振动频率。
在进行模态分析时，通常需要进行模态求解和模态分解两个步骤。
模态求解是指求解特征值问题，得到系统的特征值和特征向量。
而模态分解则是将系统的振动模态表示为一组独立的振动模态，通常采用线性组合的形式表示。
在实际工程中，多自由度振动系统的特征值问题和模态分析具有广泛的应用。
例如，在建筑结构设计中，通过模态分析可以确定结构的固有振动频率，从而避免共振现象的发生。
在机械系统中，通过模态分析可以评估系统的动态性能和稳定性。
在航天器设计中，模态分析可以帮助设计师优化结构，提高航天器的抗振能力。
总之，多自由度振动系统的特征值问题与模态分析是工程领域中重要的研究内容。
通过解特征值问题和进行模态分析，可以得到系统的固有振动频率和振动模态，从而对系统的振动特性进行分析和优化。
在实际应用中，特征值问题和模态分析对于工程设计和结构分析具有重要的意义。
《模态分析与综合技术》02-模态分析理论基础-01振动系统概论
第1章 振动系统概论
1.3 振动问题分类
4. 振动综合 同时包含前面几方面的振动问题。 5. 振动问题的解决 通常将实际问题抽象为力学模型（运动 方程），实质上是系统识别问题。针对系统 模型列式求解过程，实质上是振动分析的过 程。分析并非问题的终结，分析的结果还必 须用于改进设计或排除故障（已有和潜在）， 这就是振动设计问题。
保守系统： 机械能守恒的系统，或总能量不随时 间变化的系统。在保守力和理想定常完整 约束作用下的系统。 如无阻尼的单摆等。 非保守系统（耗散） 对于耗散系统，在经过很长时间以后， 状态的归宿称为耗散系统的吸引子。 有阻尼的单摆等。
第1章 振动系统概论
1.2 振动系统分类
自伴随系统： 系统微分方程组的系数矩阵全部是对 称的振动系统。 非自伴随系统
非亏损振动系统： n自由度系统，具有n个特征值和n个特 征向量。 亏损振动系统
第1章 振动系统概论
1.2 振动系统分类
可以根据系统的输入（激励）和输出 （响应）的类型进行以下分类： 自由振动 受初始扰动后不再受外界激励时所作的 振动。 受迫振动 系统受随时间变化的激励作用下产生的 振动。 自激振动 由非振动性激励引起的振动。锣、鼓等
f (u , v , ) u f (u , v , ) v 1
第1章 振动系统概论
1.2 振动系统分类
确定性系统： 系统特性可以由时间的确定性函数给 出的系统。定则系统 随机系统 天气、人脑的脑电图、图卫七的混沌 自转…
第1章 振动系统概论
1.2 振动系统分类
第1章 振动系统概论
1.2 振动系统分类
参数共振 由于系统的参数随时间周期变化而引起 的大幅度振动 固有振动
简谐振动
机械系统的振动模态展示与分析
机械系统的振动模态展示与分析随着工程技术的不断发展，机械系统的振动模态展示与分析成为研究和应用的热点之一。
通过分析机械系统的振动模态，可以提高其工作效率和寿命，减少机械故障和事故的发生。
本文将讨论机械系统的振动模态的展示与分析方法，并提供一些实例加深理解。
首先，了解机械系统振动模态的展示方法是十分重要的。
常见的展示方法包括模态形态图、振动频率图和振动模态图。
模态形态图能够直观地显示机械系统振动的形态，其中每个振动模态由一个特定的振动频率和对应的振幅和相位组成。
振动频率图显示了机械系统各振动模态的频率分布情况，以便进一步分析振动的特征和原因。
振动模态图能够将机械系统的振动模态在三维空间中展示出来，直观地观察振动模态的分布情况和相互影响。
其次，分析机械系统的振动模态能够帮助工程师深入了解系统的运动规律和问题所在。
通过振动模态分析，可以准确识别机械系统中的故障，如松动、疲劳、共振等问题。
在实际的振动模态分析中，可以采用频谱分析、模态识别、阻尼分析等多种方法。
频谱分析能够将多个频率的振动信号分解为不同频率成分，用以诊断振动信号的来源。
模态识别则是通过分析振动模态的频率和振幅，确定其对应的物理特性。
阻尼分析则是研究振动模态的阻尼特性，以了解机械系统能量损耗的情况。
为了更好地展示和分析机械系统的振动模态，下面我们将以汽车发动机的振动模态分析为例。
汽车发动机作为机械系统中最重要的组成部分之一，其振动模态对整个车辆的性能和安全性都有着重要影响。
为了评估发动机的振动模态，一种常见的方法是使用模态测试台进行实验。
利用模态测试台可以模拟车辆正常运行时的振动情况，并记录发动机各个振动模态的频率和振幅。
通过分析发动机振动模态的频率和振幅，可以推断出可能的故障和问题。
例如，如果某一振动模态的频率显著偏离正常范围，可能表明某个传动系统存在共振或松动的问题。
另外，如果某一振动模态的振幅过大，可能表示存在疲劳、损坏或失衡等问题。
机械振动学基础知识振动系统的模态参数灵敏度分析
机械振动学基础知识振动系统的模态参数灵敏度分析机械振动学是研究物体在受到外力作用下振动运动规律的科学。
在振动系统中，模态参数是描述系统振动特性的重要指标之一，而模态参数的灵敏度分析则是研究模态参数对系统性能影响程度的关键内容之一。
## 振动系统的模态参数在振动系统中，模态参数通常包括自然频率、阻尼比和振型等内容。
自然频率是系统在无外力作用下自由振动的频率，是描述系统弹性属性的重要指标；阻尼比则是描述系统阻尼特性的指标，阻尼比的大小直接影响系统振动的衰减速度；振型则是描述系统振动形态的重要参数，不同振型对应不同的振动模式。
## 模态参数的灵敏度分析模态参数的灵敏度分析是指研究系统模态参数随着系统参数变化而变化的程度。
在振动系统设计和优化过程中，通过进行模态参数的灵敏度分析，可以帮助工程师深入了解系统的振动特性，找到系统设计中存在的问题并进行改进优化。
在进行模态参数的灵敏度分析时，通常会采用有限元分析、模态试验等方法。
通过对系统进行数值模拟或试验测试，可以得到系统的模态参数，并进一步对模态参数的灵敏度进行分析。
通过对系统参数的微小变化引起的模态参数变化程度的研究，可以评估系统参数对系统振动特性的影响程度，指导系统设计和优化工作。
## 案例分析举个例子来说明模态参数的灵敏度分析在工程实践中的重要性。
假设某机械振动系统中的某一零部件的质量参数发生了微小变化，工程师希望通过模态参数的灵敏度分析来评估这一变化对系统的影响。
通过有限元分析和试验测试，工程师得到了系统在不同质量参数下的模态参数，并进一步对模态参数的灵敏度进行了研究。
经过分析发现，当零部件的质量参数发生微小变化时，系统的自然频率发生了较大的变化，说明零部件的质量参数对系统的自然频率有较大的影响；同时，阻尼比和振型也发生了一定程度的变化，表明零部件的质量参数对系统的阻尼特性和振动形态也有一定影响。
通过模态参数的灵敏度分析，工程师可以深入了解系统各个参数对系统振动特性的影响程度，为系统设计和优化提供重要依据。
机械振动系统中的模态分析与控制技术
机械振动系统中的模态分析与控制技术引言：机械振动是指机械系统在运行过程中产生的固有振动。
机械振动对于机械设备的正常运行有着重要的影响。
过大的振动会导致机械设备的损耗增加、噪声增加、寿命缩短等问题，甚至引发设备故障。
因此，在机械系统中进行模态分析与控制是非常必要的。
一、机械振动系统的基本概念机械振动系统由弹性元件和质量块组成，弹性元件可以是弹簧、刚度杆或者机械结构，质量块可以是机械设备本身或者装配在机械设备上的附加物。
机械振动系统的振动特性受到弹性元件的刚度和质量块的质量以及外界激励的影响。
二、模态分析的原理与方法模态分析是指通过实验或者数值计算的方法，确定机械振动系统的模态频率、振型和阻尼比的过程。
常用的模态分析方法有频率法、系统辨识法和有限元法等。
频率法是一种通过实验测定机械振动系统的固有频率和振型的方法。
通过在机械设备上施加激励，观察振动情况，并通过傅立叶变换等数学方法，得到系统的模态频率和振型。
这种方法适用于系统的结构比较简单的情况。
系统辨识法是一种通过信号处理与系统辨识的方法，将实验测得的系统响应与已知的数学模型进行比较，从而确定系统的模态参数。
这种方法适用于系统结构复杂，无法通过频率法进行模态分析的情况。
有限元法则是一种通过数值计算的方法，将机械振动系统离散成多个小单元，在每个单元上建立数学模型，通过求解数学模型得到系统的模态频率、振型和阻尼比。
这种方法适用于系统结构复杂，难以通过实验方法进行模态分析的情况。
三、模态控制的原理与方法模态控制是指通过改变机械振动系统的振型和模态频率，来减小系统的振动幅值和能量耗散。
常用的模态控制方法有反馈控制法、前馈控制法和主动控制法等。
反馈控制是指根据系统振动的反馈信号，通过调整控制器的输出信号，改变系统的动力学性能。
这种方法可以通过降低系统阻尼、改变系统的固有频率等方式，来减小系统的振动幅值。
前馈控制是指通过测量激励信号，提前向系统输入控制信号，来减小系统的振动幅值。
第2章振动分析基础第1节
Harbin Institute of Technology
哈尔滨工业大学机电工程学院
机械动力学
若系统有阻尼，振动位移与激振 力之间的相位差随频率比的增加 而逐渐增大，不会发生突然的变 化，但在共振点前后变化较大。 系统阻尼越小，共振点附近相位 差随频率的变化越大。 振动测试中，常应用共振点前 后响应与激振力之间的相 位差发生较大变化这个事实作为 确定共振点的一个指标。
哈尔滨工业大学机电工程学院
机械动力学
Harbin Institute of Technology
哈尔滨工业大学机电工程学院
机械动力学
由于阻尼耗散的能量与振幅的平方成正比， 故P点常称为半功率点，半功率点公式提供了一 种确定系统阻尼比的实用方法， 由以上分析可见，当阻尼大时，带宽△。就 宽，过共振时振辐变化平缓，振幅较小，反之 ，阻尼小时，带宽就窄，过共振时振幅变化较 陡，振幅就大。所以，品质因数Q反映了系统阻 尼的强弱性质和共振峰的陡峭程度。在机床系 统中，为了过共振时比较平稳，希望Q值小些。
2
固有频率 有阻尼固有角频率 Harbin Institute of Technology
哈尔滨工业大学机电工程学院
机械动力学
Harbin Institute of Technology
哈尔滨工业大学机电工程学院
机械动力学
1、临界阻尼振动系统
临界阻尼
阻尼比
Harbin Institute of Technology
机械动力学
例： 实验观察到一有阻尼单自由度系统的振动幅值在5个完整 的周期后衰减了50%，设系统阻尼为粘性阻尼，试计算系统的 阻尼。
Harbin Institute of Technology
机械系统的模态分析与振动模态提取
机械系统的模态分析与振动模态提取机械系统的模态分析是一项重要的工程技术，它可以帮助工程师找出机械系统的固有特性和振动响应。
通过模态分析，我们可以了解机械系统的模态频率、振型形态以及相应的振动模态。
本文将探讨机械系统模态分析的原理和振动模态提取的方法，并且探讨模态分析在实际工程中的应用。
机械系统是由多个部件组成的复杂结构，其中每个部件都有自己的固有频率和振动特性。
模态分析的目标是通过对机械系统的振动响应进行测量和分析，找出系统的固有频率和相应的振动模态。
这个过程中，我们需要采集系统的振动数据，并利用信号处理和数学算法进行分析。
在进行模态分析时，我们通常会使用加速度传感器、力传感器或者位移传感器等工具来测量机械系统的振动数据。
然后，通过傅里叶变换等信号处理方法，将时域的振动信号转换为频域的频谱。
在频谱中，我们可以发现系统的固有频率和振动模态。
振动模态是描述机械系统振动状态的重要特性，它可以告诉我们系统振动的形态和分布。
通过振动模态提取，我们可以将系统的振动模态可视化，并从中获得更多有关系统结构和性能的信息。
一种常用的方法是使用主成分分析（PCA）和奇异值分解（SVD）等技术来提取振动模态。
模态分析在实际工程中有着广泛的应用。
一方面，通过模态分析，我们可以评估机械系统的结构强度和稳定性。
例如，在飞机设计中，通过模态分析，可以确定飞机机身的固有频率，以防止共振现象的发生。
另一方面，模态分析还可以用于故障检测和诊断。
通过比较实际振动数据和模拟数据，可以鉴定机械系统中的故障和异常。
除了模态分析，还有其他方法可以用于机械系统的振动分析和优化。
例如，有限元分析是一种常用的方法，它可以通过将机械系统建模为有限元模型，进行虚拟振动实验和结构优化。
同时，频域分析和时域分析也是常用的分析方法，可以用于检测振动源、判别振动源类型、估算振动传播路径等。
总之，机械系统的模态分析和振动模态提取是一项复杂而有挑战性的任务。
通过适当的数据采集、信号处理和数学分析方法，我们可以获得机械系统的振动特性和振动模态。
机械设计基础振动系统设计与分析
机械设计基础振动系统设计与分析一、引言振动在机械系统中是一个重要的问题，因为振动可能导致机械系统的破坏和性能下降。
因此，合理地设计和分析振动系统对于机械工程师来说至关重要。
本文将介绍机械设计基础振动系统的设计原理和分析方法。
二、振动系统的设计原理振动系统是由质量、弹性元件和阻尼器组成的。
在设计振动系统时，需要考虑以下几个因素：1. 质量分布：合理地分配质量可以减少振动的影响。
通常情况下，将质量集中在结构的主动部件上有助于减小振动的幅值。
2. 弹性元件：弹性元件可以吸收振动能量并减小振动的幅值。
选择合适的弹性元件对于振动系统的设计至关重要。
3. 阻尼器：阻尼器可以减小振动系统的振幅，提高系统的稳定性。
常见的阻尼器有液压阻尼器和摩擦阻尼器等。
三、振动系统的分析方法在设计完振动系统后，需要进行振动分析以评估系统的性能。
以下是常用的振动系统分析方法：1. 动力学分析：通过分析系统的质量、刚度和阻尼等参数，可以得到系统的固有频率和振型。
这对于确定系统的可靠性和稳定性非常重要。
2. 模态分析：模态分析可以确定系统在不同的振动模态下的响应。
通过模态分析，可以找到系统的主要振动模态并优化系统的设计。
3. 振幅分析：振幅分析可以评估系统在不同激励条件下的振动幅值。
这对于确定系统的安全性和可靠性至关重要。
四、实例分析为了更好地理解机械设计基础振动系统的设计与分析过程，我们以一个简单的弹簧振子为例进行实例分析。
在设计振动系统时，我们需要确定质量、弹性元件和阻尼器等参数。
然后，通过动力学分析和模态分析，我们可以得到振动系统的固有频率和振型。
最后，我们进行振幅分析以评估系统的性能。
通过改变激励条件，我们可以得到不同激励下系统的振动幅值，并判断系统的安全性和可靠性。
五、结论机械设计基础振动系统的设计与分析是机械工程师必备的技能之一。
合理地设计和分析振动系统可以减小机械系统的振幅，提高系统的可靠性和稳定性。
通过动力学分析、模态分析和振幅分析等方法，我们可以评估系统的性能并进行系统的优化设计。
第二章 振动结构模态分析
2.2 单自由度系统自由振动 ——有阻尼
m x(t) c x(t) k x(t) f (t)
mx cx kx 0
x Aet
m2 c k 0
2 2 2 0
1,2 2 1
2 k
m
c 2
m
2.2 单自由度系统自由振动——有阻尼
n
x(t) qi (t)i q(t) i1 T M q(t) T Cq(t) T Kq(t) T f (t)
miqi (t) ciqi (t) kiqi (t) iT f (t)
2.6 多自由度系统振动响应
频响函数：
Mx(t) Cx(t) K x(t) f (t)
x(t) Xeit
m x(t) c x(t) k x(t) f (t)
t
x(t) 0 f (t )h( )d
2.3 单自由度系统强迫振动——频响函数与单位脉冲函数
m x(t) c x(t) k x(t) f (t)
定义：
(1)简谐激励时，稳态输出相量与输入相量之比。
(2)瞬态激励时，输出的傅里叶变换与输入的傅里叶变换之比。
表示体系可能存在的n个振型
对应的频率。具有最低频率的阵型称之为第一阶振型，第二低频率
对应的振型为第二阶振型。
2.5 多自由度无阻尼系统自由振动
振型分析：Mx(t) K x(t) 0
x(t) Xsin( t )
1
(K 2M)X 0 1.特征向量，或振型，
一般用i来表示；
(K i2M)Xi 0
/
2.3 单自由度系统强迫振动——简谐激励
x(t) 2 x(t) 2 x(t) F0 sin t
m
通解： xc (t) A1 cosdt A2 sin dtexp(t)
模态分析与综合技术第二章 简单振动系统[精]
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第2章 简单振动系统
2.2 单自由度系统的振动分析
设系统的初始条件为：
x(0) x0 x(0) x0
则粘性阻尼系统的自由响应为：
x A ts eid tn )(
其中： A x02(x0d x0)2 arctandx0 x0x0
第2章 简单振动系统
第2章 简单振动系统
2.1 单自由度系统建模
只需要一个坐标就可以完全确定其几何 位置的系统称为单自由度系统。
工程中许多振动问题可以化简为单自由 系统来研究 。质量－弹簧系统是最简单也是 最典型的振动力学模型。
第2章 简单振动系统
2.1 单自由度系统建模
单自由度系统的建模方法可以利用： 1 牛顿第二定律
第2章 简单振动系统
2.2 单自由度系统的振动分析
1 i 12 id 2 i 12 id
有阻尼系统自由振动的特性取决于上面的特 征方程的根的特性，对于欠阻尼情形，系统的两 个特征值为一对共轭复数，具有频率量纲，故称 为复频率。
它的实部是一个负数，表示了振幅衰减的 状态(衰减率)，虚部总是共轭成对地出现，表示 了系统振动的频率，因此特征根反映了全部振 动特性。
k
L/3
2L/3
第2章 简单振动系统
2.1 单自由度系统建模
解：广义坐标为, 则系统任意瞬时的动能为：
T
1 2
J c 2
1 m ( L ) 2 26
1 ( 1 mL 2 ) 2 1 m ( L ) 2
2 12
26
1 ( 1 mL 2 ) 2 29
meq
1mL2 9
第2章 简单振动系统
2.1 单自由度系统建模
因重力引起的势能与静变形引起的势能相 抵消，则系统任意瞬时的势能为：
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2 12
26
1 ( 1 mL 2 ) 2 29
meq
1mL2 9
第2章 简单振动系统
2.1 单自由度系统建模
因重力引起的势能与静变形引起的势能相 抵消，则系统任意瞬时的势能为：
V 1k(L)2 1k(2L)2
23 2 3
1(5kL2)2
29
keq
5kL2 9
第2章 简单振动系统
2.2 单自由度系统的振动分析
F=ma 2 拉格朗日方程
d d t( q T j) q T j q U j Q j 0(j 1 ,,n )
n为自由度数，qj为第j个广义坐标， U为系统势能，T为系统动能，Qj为与qj对 应的广义力。 3 等效法
第2章 简单振动系统
2.1 单自由度系统建模
所有单自由度的粘性阻尼系统（粘性阻 尼：阻尼力与质点速度成正比且反向的阻尼 模型）都可简化为如图所示的质量-弹簧-阻尼 系统。
第2章 简单振动系统
2.2 单自由度系统的振动分析
设系统的初始条件为：
x(0) x0 x(0) x0
则粘性阻尼系统的自由响应为：
x A ts eid tn ) (
其中：
A
x02
(x0
x0)2 d
arctxa0ndx0x0
第2章 简单振动系统
2.2 单自由度系统的振动分析
2 强迫振动
系统在经常性激励作用下的振动称为强 迫振动。
Acos('t)
第2章 简单振动系统
2.2 单自由度系统的振动分析
2 强迫振动
xet(x0
d
x0sindtx0cosdt)
Aet(cosd sinsindtcoscosdt)
Acos('t)
上式第一部分代表由初始扰动引起的自由 振动，第二部分代表扰力引起的自由振动，第 三部分代表与扰力同形式的定常强迫振动。
x 2x 2 x X 02 co 't s
设系统的初始条件为：
x(0) x0 x(0) x0
第2章 简单振动系统
2.2 单自由度系统的振动分析
2 强迫振动
x 2x 2 x X 02 co 't s
方程的解为：
xe
t(x0
d
x0sindt
x0cosdt)
Aet(cosd sinsindtcoscosdt)
1 自由振动 由自由振动方程，引入记号：
k m
c 2m
为无阻尼时系统的固有频率(rad/s)。 工程中通常用f/Hz。为无量刚阻尼率。
自由振动方程可改写为：
x 2 x 2x0
第2章 简单振动系统
2.2 单自由度系统的振动分析
设方程的解为：
xAet
代入上述方程，有：
22 2 0
此方程为系统的特征方程。它的两个根 为：
tan 122
'
第2章 简单振动系统
2.2 单自由度系统的振动分析
2 强迫振动
A
A0
(12)2(2)2
tan 122
可见，振幅A与静位移、阻尼率与频率比 都有关，而初相位则仅与阻尼率与频率比有 关。
定义放大率b为：
b A A0
第2章 简单振动系统
2.2 单自由度系统的振动分析
2 强迫振动 则，有：
模态分析与综合技术第二章 简单振 动系统
第2章 简单振动系统
2.1 单自由度系统建模
只需要一个坐标就可以完全确定其几何 位置的系统称为单自由度系统。
工程中许多振动问题可以化简为单自由 系统来研究 。质量－弹簧系统是最简单也是 最典型的振动力学模型。
第2章 简单振动系统
2.1 单自由度系统建模
单自由度系统的建模方法可以利用： 1 牛顿第二定律
第2章 简单振动系统
2.1 单自由度系统建模
例1 试求如图所示杆的纵向刚度。 x
A, E m
L
解：当杆一端作用沿x方向的力F时，其长度变
化为：
L FL
EA
第2章 简单振动系统
2.1 单自由度系统建模
x A, E
m
L
由上式，得：
F EA
L
keq
EA L
第2章 简单振动系统
2.1 单自由度系统建模
当频率比~1时，放大率相对地放大。即振幅
（响应）达到极大值，这种现象称为共振。
第2章 简单振动系统
2.2 单自由度系统的振动分析
2 强迫振动
当频率比~1时的区域时系统发生剧烈振动，
称为共振区。 在共振区内，阻尼率对于振幅的影响非常
显著。
严格说来，共振并不出现在1处，共振频
率为：
r 122
第2章 简单振动系统
第2章 简单振动系统
2.1 单自由度系统建模
令x为广义坐标，系统的动能为：
T
1 2
meqx2
meq为等效质量。
第2章 简单振动系统
2.1 单自由度系统建模
系统的势能为：
V
1 2
keqx2
ห้องสมุดไป่ตู้
keq为等效刚度。
粘性阻力在任意两点x1和x2间所作的功为：
x2
W ceqxdx
x1
ceq为等效粘性阻尼系数。
令x为广义坐标，线性刚度具有如下形 式的力-位移关系： Fkx
线性阻尼力具有如下的力-速度关系： F c x cv
第2章 简单振动系统
2.1 单自由度系统建模
串、并联弹簧的刚性系数的等效：
m
m
k1
m
k1
k2
k1 k2
k2 k3
1 11 keq k1 k2
keqk1k2
1 1 1 keq k1 k2 k3
线性系统的一个最重要的特点是叠加原 理适用于它。
叠加原理：系统对于多个激励的总响应， 就等于系统对各个激励单独作用下的响应之 和。如系统对激励f1和f2的响应分别为x1和x2, 则系统对于c1 f1 +c2 f2的总响应就等于c1 x1 +c2 x2
第2章 简单振动系统
2.2 单自由度系统的振动分析
2.2 单自由度系统的振动分析
2 强迫振动
上图称为相频特性曲线。
第2章 简单振动系统
2.2 单自由度系统的振动分析
2 强迫振动
从图中可以看出来：不论阻尼率多大，当1 时，都有/2。利用这一现象可以用来测定系
统的固有频率。 利用相位来判断共振的方法称为共振相位法。
通过前面一节对于一线性单自由系统， 总可以将其简化为质量－弹簧-粘性阻尼系统， 得到系统的等效惯性、刚性和粘性参数。并 进一步用牛顿定律得到系统的动力学微分方 程：
m x c x k 0 x
自由振动微分方程。
m x c x k x f( t)
强迫振动微分方程。
第2章 简单振动系统
2.2 单自由度系统的振动分析
b
1
(12)2(2)2
可见，放大率仅仅依赖于阻尼率与频率 比。
第2章 简单振动系统
2.2 单自由度系统的振动分析
2 强迫振动
为了便于分析，给出b曲线：
第2章 简单振动系统
2.2 单自由度系统的振动分析
2 强迫振动
上图称为幅频特性曲线（幅频响应），从图中
可以看到，当频率比<<1时，放大率十分接近于1。 当频率比>>1时，放大率十分接近于0。
例2 试求如图所示转动轴的扭转刚度。转轴
的剪切模量为G,轴的内外径分别为r,R。
L
解：如果在轴的末端施加一个力矩M,则由材料
力学知识知，轴端的扭转角为： ML GJ
第2章 简单振动系统
2.1 单自由度系统建模
其中J为轴的截面极惯性矩：
J (R4 r4)
2
keq
GJ L
第2章 简单振动系统
2.1 单自由度系统建模
例3 计算如图所示匀质杆系统的等效参数。
广义坐标为, 从系统的平衡位置测起， 假
定很小。
k 杆的质量m
k
L/3
2L/3
第2章 简单振动系统
2.1 单自由度系统建模
解：广义坐标为, 则系统任意瞬时的动能为：
T
1 2
J c 2
1 m ( L ) 2 26
1 ( 1 mL 2 ) 2 1 m ( L ) 2
1,2 21
第2章 简单振动系统
2.2 单自由度系统的振动分析
1,2 21
=1为临界阻尼情形。临界——联想到物 理中的相变，水的沸点。 >1（超阻尼）:不振
动。 下面重点讨论亚阻尼（欠阻尼）情形：
0<<1。这时，系统的两个特征值为一对共轭
复数，即：
1 i 12 id 2 i 12 id
第2章 简单振动系统
前两部分成为系统的瞬态响应；后一部分 称为系统的稳态响应（定常响应）。
第2章 简单振动系统
2.2 单自由度系统的振动分析
2 强迫振动
系统的瞬态响应将随时间的推移而消逝， 最后剩下的就只有定常强迫振动，即稳态响 应。
下面详细讨论定常响应：
xA co 'ts ()
其中： A
A0
(12)2(2)2
2.2 单自由度系统的振动分析
1 i 12 id 2 i 12 id
有阻尼系统自由振动的特性取决于上面的特 征方程的根的特性，对于欠阻尼情形，系统的两 个特征值为一对共轭复数，具有频率量纲，故称 为复频率。
它的实部是一个负数，表示了振幅衰减的 状态(衰减率)，虚部总是共轭成对地出现，表示 了系统振动的频率，因此特征根反映了全部振 动特性。
2 强迫振动 下面如图介绍弹性-线性阻尼系统对于谐和 激励的响应。