在不平地面上把椅子放稳的充分必要条件

数学的实践与认识

MATHEMATICS IN PRACTICE AND THEORY

1999　Vol.29　No.3 P.62-65

在不平地面上把椅子放稳的

充分必要条件

赵彦晖

摘　要：把椅子放在不平的地面上，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只需稍挪动几次，就可以使四只脚同时着地、放稳.本文指出，当且仅当椅子的四脚共圆时，才能在一般不平的地面上放稳，并对此建立了数学模型，给出了理论上的证明.

关键词：椅子：不平地面；放稳；充分必要条件；数学模型

The Sufficient and Necessary Condition to

Make a Chair Steady on Uneven Ground

Zhao Yanhui

(Xi′an Univ. of Arch. & Tech., Xi′an　710055)

Abstract：Under normal conditions, it is impossible to make a chair Steady on uneven ground. In this paper, a mathematical model on this question is established, and it is proved that a sufficient and necessary conditon to make the chair Steady on uneven ground is four feet of the chair is on the common circle. Keywords：Chair, Uneven Ground, Stendy, Sufficient and Necessary Condition, Mathematical Model▲ 在不平的地面上能否把椅子放稳问题已在文［1］、［2］中作过介绍，但这些文献中都只就四脚连线呈正方形(或长方形)的椅子进行讨论.众所周知，我们日常生活中所遇到的椅子大都是四脚连线呈等腰梯形的椅子，那么，对这样的椅子甚至四脚连线为任意四边形的椅子是否也能在不平的地面上放稳?文［1］、［2］中并未讨论，也没有作出任何结论.对此，本文进行了全面的讨论，给出了完整的结论，使问题得到了圆满的解决.

1　模型假设

首先讨论四脚共圆的椅子，对此，我们作如下的必要假设：

假设1　椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一个点，椅子四脚连线为圆内接四边形　即椅子四个脚共面且共圆.

假设2　地面高度是连续变化的，即地面可视为数学上的连续曲面.

假设3　对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地.

上述假设显然是合理的［1］.

2　模型建立

将椅子放在地面上任一位置，并使至少三只脚同时着地.这时以椅子四脚共圆的圆心O为原点，四脚所在的平面为xoy坐标面，并使椅脚之一(如椅脚A)在x轴的正半轴上建立平面坐标系，如图1.

图1

由假设1，椅子四脚A、B、C、D共圆，设其圆的半径为R，则这四点必在圆周

x2+y2=R2 (1)

上，且各点的坐标分别为A(R，0)，B(Rcosθ1，Rsinθ1),C(Rcosθ2,Rsinθ2),D(Rcosθ3,Rsinθ3)，其中θ1,θ2,θ3分别为OB、OC、OD与OA的夹角.显然，这三个夹角应满足条件

0＜θ1＜θ2＜θ3＜2π (2)

如果让椅子绕O点转动，则A、B、C、D四点将同时绕O点转动，并且转过同样的角度.设转过的角度为θ(取逆时针方向为正)，则转动后A、B、C、D四点对应的坐标分别为

见图2.这样，参数θ就决定了椅子的位置.

图2

由假设2，地面可视为数学上的连续曲面，因此，如果取过原点O，垂直于上述xoy面向上的轴为oz轴，则在如此选取的oxyz空间直角坐标系下，地面的方程便可写成

z=f(x,y) (4)

其中f(x,y)是x,y的二元连续函数.特别地，在圆周(1)上，z必为极角θ的以2π为周期的单值连续函数

z=φ(θ) (5)

于是，在空间直角坐标系下，地面上与(3)中A′,B′,C′,D′对应的点分别为

由假设3，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地.这样，改变椅子位置(即让椅子绕O点转动)能否使四脚同时着地的问题就归结为求解是否存在θ∈[0,2π]使(6)中A"、B"、C"、D"四点共面.这就是我们对该问题建立的数学模型.

3　模型求解

上面所建立的数学模型即证明下面的定理

定理1　设φ(θ)是以2π为周期的连续函数，R＞0，θ1,θ2,θ3是满足不等式(2)的任意常数，则一定存在θ0∈[0,2π]，使当θ=θ0时(6)中A",B",C",D"四点共面.

证　A",B",C",D"四点共面的充要条件是

(7)

记，则直接计算可知

将F(θ)在[0,2π]上积分，注意到φ(θ)是以2π为周期的连续函数，R,θ1,θ2,θ3均为常数，则立可得出

于是，由积分中值定理知，存在θ0∈[0,2π]，使

这说明，当θ=θ0时(7)式成立.从而，当θ=θ0时(6)中A",B",C",D"四点共面.

定理1说明，对四脚共圆的椅子，在不平的地面上，总可以经适当旋转把椅子放稳.

4　放稳椅子的充要条件

前面，我们对四脚共圆的椅子进行了讨论，并建立了数学模型.那么，对四脚不共圆的椅子是否也能在一般不平的地面上放稳呢?回答是否定的，其反例如下：

例　设椅子的四脚共面但不共圆，地面为半径充分大的球面，则这样的椅子在相应的地面上总放不稳.

证　(用反证法)　假设在这样的球面上存在四点A、B、C、D使椅子的四脚在这四点同时着地，则这四点必共面，即在同一平面上.从而，这四点必在此平面与球面的交圆上，亦即，这四点必共圆.这就与椅子四脚不共圆矛盾，这个矛盾说明假设错而该例的结论真.

此例说明，当椅子四条腿一样长但四脚不共圆时，无论怎么放，也不可能在球面型的地面上放稳.而由前三部分所建立的数学模型及讨论说明，当椅子四条腿一样长且四脚共圆时，对任意的连续平坦地面，无论在何处，都可以经适当旋转把椅子放稳.这样，我们就证明了下面的结论：

定理2　在不平的地面上把椅子放稳的充分必要条件是椅子的四脚共圆.