二次函数与四边形的动点问题
(教学反思)二次函数综合(动点)问题平行四边形存在问题
《二次函数综合（动点）问题——平行四边形存在性问题》
教学反思
本节课是在学习二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质及平行四边形性质的基础上来探究二次函数中动点问题与平行四边形模型的一节复习课；通过教学，让熟练掌握二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质；熟练掌握平行四边形的性质；并会对平行四边形模型进行探究，分类讨论不同的情况；在整个教学中，我首先在学生掌握二次函数
y=ax2+bx+c的图像和性质的基础上，先脱离二次函数，再回到二次函数的情景中研究；先从简单入手探究平面直角坐标系中动点情况下平行四边形的存在问题，然后回到二次函数前提下的平行四边形存在问题。
利用几何画板，充分运用数形结合、转化、方程等数学思想来帮助解题。
在整个教学过程中培养了学生的处理图像综合运用的能力；让学生养成从特殊到一般，从简单到复杂的学习方法；形成对图形的处理能力，形成解题技巧，树立对解决此类问题的信心。
二次函数动点问题的解题技巧
二次函数动点问题的解题技巧
以下是 8 条关于二次函数动点问题的解题技巧：
1. 大胆设未知数呀！比如在一个直角坐标系里，有个二次函数图像上有个动点 P，那咱就大大方方设它的坐标为(x,y)，这样不就能更好地分析啦！就像给这个动点取了个名字，好指挥它呀！
2. 把条件都用上呀！可别漏了，像找到某个线段长度与动点坐标的关系，哎呀呀，这可是关键呢！比如已知一个线段的长度是 5，和动点 P 的横坐标有关，那可不能放过这个线索，得好好挖掘挖掘！
3. 找等量关系呀！这就好比寻宝，到处去找那些能关联起来的等量哦。
比如说一个三角形面积和另一个图形面积相等，这不就找到宝贝线索啦！
4. 注意特殊位置呀！嘿，动点有时候会跑到一些特殊的点呢，那可有意思啦。
比如它跑到对称轴上时，那说不定会有惊喜发现呢！像突然发现一些对称关系，多神奇呀！
5. 画画图呀！通过图形能更直观地看到动点的运动呀，这就像给你一双眼睛看着它怎么跑。
看看它跑到不同地方时整个图形发生的变化，多好玩呀！
6. 多试试分类讨论呀！有时候动点的情况不唯一呢，那咱就别怕麻烦，一种一种来。
难道还能被它难住不成？像动点在不同区间时可能有不同的结果，咱就一个个算清楚嘛！
7. 利用函数解析式呀！这可是个好宝贝，通过它能知道很多信息呢。
比如知道了二次函数的解析式，那动点在上面的一些性质不就清楚啦？
8. 要敢想敢做呀！别犹豫，大胆去尝试各种方法。
不试试看怎么知道行不行呢？就像冒险一样，多刺激呀！
总之，面对二次函数动点问题，别怕！勇敢地去探索，一定能找到答案的！。
二次函数动点问题解答方法技巧含例解答案
函数解题思路方法总结：⑴ 求二次函数的图象及x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大〔小〕值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax ²+bx+c=0中a,b,c 的符号，或由二次函数中a,b,c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和一点对称的点坐标，或及x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 及二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax ²+bx+c ﹙a ≠0﹚本身就是所含字母x 的二次函数；下面以a ＞0时为例，提醒二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：动点问题题型方法归纳总结动态几何特点----问题背景是特殊图形，考察问题也是特殊图形，所以要把握好一般及特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性〔特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
〕 动点问题一直是中考热点，近几年考察探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。
下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。
二、 抛物线上动点5、〔湖北十堰市〕如图①， 抛物线32++=bx ax y 〔a ≠0〕及x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，及y 轴交于点C ．(1) 求抛物线的解析式；(2) 设抛物线的对称轴及x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？假设存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；假设不存在，请说明理由．(3) 如图②，假设点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．注意：第〔2〕问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为顶点时，以C为圆心CM 为半径画弧，及对称轴交点即为所求点P，②M为顶点时，以M为圆心MC为半径画弧，及对称轴交点即为所求点P，③P为顶点时，线段MC的垂直平分线及对称轴交点即为所求点P。
二次函数与几何的动点及最值、存在性问题(解析版)
二次函数与几何的动点及最值、存在性问题目录题型01平行y轴动线段最大值与最小值问题题型02抛物线上的点到某一直线的距离问题题型03已知点关于直线对称点问题题型04特殊角度存在性问题题型05将军饮马模型解决存在性问题题型06二次函数中面积存在性问题题型07二次函数中等腰三角形存在性问题题型08二次函数中直角三角形存在性问题题型09二次函数中全等三角形存在性问题题型10二次函数中相似三角形存在性问题题型11二次函数中平行四边形存在性问题题型12二次函数中矩形存在性问题题型13二次函数中菱形存在性问题题型14二次函数中正方形存在性问题二次函数常见存在性问题：(1)等线段问题：将动点坐标用函数解析式以“一母式”的结构表示出来，再利用点到点或点到直线的距离公式列出方程或方程组，然后解出参数的值，即可以将线段表示出来.【说明】在平面直角坐标系中该点在某一函数图像上，设该点的横坐标为m，则可用含m字母的函数解析式来表示该点的纵坐标，简称“设横表纵”或“一母式”.(2)平行y轴动线段最大值与最小值问题：将动点坐标用函数解析式以“一母式”的结构表示出来，再用纵坐标的较大值减去较小值，再利用二次函数的性质求出动线段的最大值或最小值.(3)求已知点关于直线对称点问题：先求出直线解析式，再利用两直线垂直的性质(两直线垂直，斜率之积等于-1)求出已知点所在直线的斜率及解析式，最后用中点坐标公式即可求出对称点的坐标.(4)“抛物线上是否存在一点，使其到某一直线的距离为最值”的问题：常常利用直线方程与二次函数解析式联立方程组，求出切点坐标，运用点到直线的距离公式进行求解.(5)二次函数与一次函数、特殊图形、旋转及特殊角度综合：图形或一次函数与x 轴的角度特殊化，利用与角度有关知识点求解函数图像上的点，结合动点的活动范围，求已知点与动点是否构成新的特殊图形.2.二次函数与三角形综合(1)将军饮马问题:本考点主要分为两类：①在定直线上是否存在点到两定点的距离之和最小;②三角形周长最小或最大的问题，主要运用的就是二次函数具有对称性.(2)不规则三角形面积最大或最小值问题:利用割补法将不规则三角形分割成两个或以上的三角形或四边形，在利用“一母式”将动点坐标表示出来，作线段差，用线段差来表示三角形的底或高，用面积公式求出各部分面积，各部分面积之和就是所求三角形的面积.将三角形的面积用二次函数的结构表示出来，再利用二次函数的性质求出面积的最值及动点坐标.(3)与等腰三角形、直角三角形的综合问题:对于此类问题，我们可以利用两圆一线或两线一圆的基本模型来进行计算.问题分情况找点画图解法等腰三角形已知点A ，B 和直线l ，在l 上求点P ，使△PAB 为等腰三角形以AB为腰分别以点A ，B 为圆心，以AB 长为半径画圆，与已知直线的交点P 1，P 2，P 4，P 5即为所求分别表示出点A ，B ，P 的坐标，再表示出线段AB ，BP ，AP 的长度，由①AB =AP ；②AB =BP ；③BP =AP 列方程解出坐标以AB 为底作线段AB 的垂直平分线，与已知直线的交点P 3即为所求分别表示出点A ，B ，P 的坐标，再表示出线段AB ，BP ，AP 的长度，由①AB =AP ；②AB =BP ；③BP =AP 列方程解出坐标问题分情况找点画图解法直角三角形已知点A ，B 和直线l ，在l 上求点P ，使△PAB 为直角三角形以AB为直角边分别过点A ，B 作AB 的垂线，与已知直线的交点P 1，P 4即为所求分别表示出点A ，B ，P 的坐标，再表示出线段AB ，BP ，AP 的长度，由①AB 2=BP 2+AP 2；②BP 2=AB 2+AP 2；③AP 2=AB 2+BP 2列方程解出坐标以AB 为斜边以AB 的中点Q 为圆心，QA 为半径作圆，与已知直线的交点P 2，P 3即为所求注：其他常见解题思路有：①作垂直，构造“三垂直”模型，利用相似列比例关系得方程求解；②平移垂线法：若以AB 为直角边，且AB 的一条垂线的解析式易求(通常为过原点O 与AB 垂直的直线)，可将这条直线分别平移至过点A 或点B 得到相应解析式，再联立方程求解．(4)与全等三角形、相似三角形的综合问题:在没有指定对应点的情况下，理论上有六种情况需要讨论，但在实际情况中，通常不会超过四种，要注意边角关系，积极分类讨论来进行计算.情况一探究三角形相似的存在性问题的一般思路：解答三角形相似的存在性问题时，要具备分类讨论思想及数形结合思想，要先找出三角形相似的分类标准，一般涉及动态问题要以静制动，动中求静，具体如下：①假设结论成立，分情况讨论．探究三角形相似时，往往没有明确指出两个三角形的对应点(尤其是以文字形式出现求证两个三角形相似的题目)，或者涉及动点问题，因动点问题中点的位置的不确定，此时应考虑不同的对应关系，分情况讨论；②确定分类标准．在分类时，先要找出分类的标准，看两个相似三角形是否有对应相等的角，若有，找出对应相等的角后，再根据其他角进行分类讨论来确定相似三角形成立的条件；若没有，则分别按三种角对应来分类讨论；③建立关系式，并计算．由相似三角形列出相应的比例式，将比例式中的线段用所设点的坐标表示出来(其长度多借助勾股定理运算)，整理可得一元一次方程或者一元二次方程，解方程可得字母的值，再通过计算得出相应的点的坐标．情况二探究全等三角形的存在性问题的思路与探究相似三角形的存在性问题类似，但是除了要找角相等外，还至少要找一组对应边相等．3.二次函数与四边形的综合问题特殊四边形的探究问题解题步骤如下：①先假设结论成立；②设出点坐标，求边长；③建立关系式，并计算．若四边形的四个顶点位置已确定，则直接利用四边形边的性质进行计算；若四边形的四个顶点位置不确定，需分情况讨论：a.探究平行四边形：①以已知边为平行四边形的某条边，画出所有的符合条件的图形后，利用平行四边形的对边相等进行计算；②以已知边为平行四边形的对角线，画出所有的符合条件的图形后，利用平行四边形对角线互相平分的性质进行计算；③若平行四边形的各顶点位置不确定，需分情况讨论，常以已知的一边作为一边或对角线分情况讨论．b.探究菱形：①已知三个定点去求未知点坐标；②已知两个定点去求未知点坐标，一般会用到菱形的对角线互相垂直平分、四边相等的性质列关系式．c.探究正方形：利用正方形对角线互相垂直平分且相等的性质进行计算，一般是分别计算出两条对角线的长度，令其相等，得到方程再求解．d.探究矩形：利用矩形对边相等、对角线相等列等量关系式求解；或根据邻边垂直，利用勾股定理列关系式求解.题型01平行y轴动线段最大值与最小值问题1(2023·广东东莞·一模)如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC =3，顶点为D．(1)求此函数的关系式；(2)在AC 下方的抛物线上有一点N ，过点N 作直线l ∥y 轴，交AC 与点M ，当点N 坐标为多少时，线段MN 的长度最大？最大是多少？(3)在对称轴上有一点K ，在抛物线上有一点L ，若使A ，B ，K ，L 为顶点形成平行四边形，求出K ，L 点的坐标．(4)在y 轴上是否存在一点E ，使△ADE 为直角三角形，若存在，直接写出点E 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)y =x 2+2x -3(2)当N 的坐标为-32,-154 ，MN 有最大值94(3)K -1，4 ，L -1，-4 或K -1，12 ，L -5，12 或K -1，12 ，L 3，12(4)存在，点E 的坐标为0,32 或0,-72或0,-1 或0,-3【分析】(1)由OA =OC =3求得A -3,0 ,C 0，-3 ,再分别代入抛物线解析式y =x 2+bx +c ，得到以b ，c 为未知数的二元一次方程组，求出b ，c 的值即可；(2)求出直线AC 的解析式，再设出M 、N 的坐标，把MN 表示成二次函数，配方即可；(3)根据平行四边形的性质，以AB 为边，以AB 为对角线，分类讨论即可；(4)设出E 的坐标，分别表示出△ADE 的平分，再分每一条都可能为斜边，分类讨论即可．【详解】(1)∵抛物线y =x 2+bx +c 经过点A ，点C ，且OA =OC =3,∴A -3,0 ,C 0，-3 ,∴将其分别代入抛物线解析式，得c =-39-3b +c =0，解得b =2c =-3 ．故此抛物线的函数表达式为：y =x 2+2x -3；(2)设直线AC 的解析式为y =kx +t ，将A -3,0 ,C 0，-3 代入，得t =-3-3k +t =0 ，解得k =-1t =-3 ，∴直线AC 的解析式为y =-x -3，设N 的坐标为n ，n 2+2n -3 ，则M n ，-n -3 ，∴MN =-n -3-n 2+2n -3 =-n 2-3n =-n +32 +94，∵-1<0，∴当n =-32时，MN 有最大值，为94，把n =-32代入抛物线得，N 的坐标为-32,-154，当N 的坐标为-32,-154 ，MN 有最大值94；(3)①当以AB 为对角线时，根据平行四边形对角线互相平分，∴KL 必过-1,0 ，∴L 必在抛物线上的顶点D 处，∵y =x 2+2x -3=x +1 2-4，∴K -1，4 ，L -1，-4②当以AB 为边时，AB =KL =4，∵K 在对称轴上x =-1，∴L 的横坐标为3或-5，代入抛物线得L -5,12 或L 3,12 ，此时K 都为-1，12 ，综上，K -1，4 ，L -1，-4 或K -1，12 ，L -5，12 或K -1，12 ，L 3，12 ；(4)存在，由y =x 2+2x -3=x +1 2-4，得抛物线顶点坐标为D -1,-4 ∵A -3，0 ，∴AD 2=-3+1 2+0+4 2=20，设E 0，m ，则AE 2=-3-0 2+0-m 2=9+m 2，DE 2=-1-0 2+-4-m 2=17+m 2+8m ，①AE 为斜边，由AE 2=AD 2+DE 2得：9+m 2=20+17+m 2+8m ，解得：m =-72，②DE 为斜边，由DE 2=AD 2+AE 2得：9+m 2+20=17+m 2+8m ，解得：m =32，③AD 为斜边，由AD 2=ED 2+AE 2得：20=17+m 2+8m +9+m 2，解得：m =-1或-3，∴点E 的坐标为0,32 或0,-72或0,-1 或0,-3 ．【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象与性质，平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，会运用待定系数法列方程组，两点间距离公式求MN 的长，由平行四边形的性质判定边相等，运用勾股定理列方程．2(2023·河南南阳·统考一模)如图，抛物线与x 轴相交于点A 、B (点A 在点B 的左侧)，与y 轴的交于点C 0，-4 ，点P 是第三象限内抛物线上的一个动点，设点P 的横坐标为m ，过点P 作直线PD ⊥x 轴于点D ，作直线AC 交PD 于点E ．已知抛物线的顶点P 坐标为-3，-254．(1)求抛物线的解析式；(2)求点A 、B 的坐标和直线AC 的解析式；(3)求当线段CP =CE 时m 的值；(4)连接BC ，过点P 作直线l ∥BC 交y 轴于点F ，试探究：在点P 运动过程中是否存在m ，使得CE =DF ，若存在直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =14x 2+32x -4(2)A -8，0 ，B 2，0 ，y =-12x -4(3)-4(4)存在，m =2-25或m =-4【分析】(1)运用待定系数法即可求得抛物线的解析式；(2)令y =0，解方程即可求得点A 、B 的坐标，再运用待定系数法即可求得直线AC 的解析式；(3)过点C 作CF ⊥PE 于点F ，根据等腰三角形的性质可得点F 是PE 的中点，设P m ,14m 2+32m -4 ，则E m ，-12m -4 ，可得F m ，18m 2+12m -4 ，再由点F 与点C 的纵坐标相同建立方程求解即可；(4)过C 作CH ⊥PD 于H ，设P m ,14m 2+32m -4 ，由PF ∥BC ，可得直线PF 解析式为y =2x +14m 2-12m -4，进而可得OF =14m 2-12m -4 ，再证得Rt △CHE ≅Rt △DOF HL ，得出∠HCE =∠FDO ，进而推出∠FDO =∠CAO ，即tan ∠FDO =tan ∠CAO ，据此建立方程求解即可．【详解】(1)解：∵抛物线的顶点坐标为-3，-254∴设抛物线的解析式为y =a x +3 2-254，把点C 0，-4 代入，得：-4=9a -254，解得：a =14，∴y =14x +3 2-254=14x 2+32x -4，∴该抛物线的解析式为y =14x 2+32x -4．(2)解：令y =0，得14x 2+32x -4=0，解得：x 1=-8，x 2=2，∴A -8，0 ，B 2，0 ，，设直线AC 的解析式为y =kx +b ，则-8k +b =0b =-4 ，解得：k =-12b =-4 ，∴直线AC 的解析式为y =-12x -4．(3)解：如图，过点C 作CF ⊥PE 于点F ，∵CP =CE ，∴EF =PF ，即点F 是PE 的中点，设P m ,14m 2+32m -4 ，则E m ，-12m -4 ，∴F m ，18m 2+12m -4 ，∵PE ∥y 轴，CF ⊥PE ，∴CF ∥x 轴，∴18m 2+12m -4=-4，解得：m =-4或m =0(不符合题意，舍去)，∴m =-4．(4)解：存在m ，使得CE =DF ，理由如下：如图：过C 作CH ⊥PD 于H ，设P m,14m2+32m-4，由B2，0，C0，-4，由待定系数法可得直线BC解析式为y=2x-4，根据PF∥BC，设直线PF解析式为y=2x+c，将P m,14m2+32m-4代入得：1 4m2+32m-4=2m+c，∴c=14m2-12m-4，∴直线PF解析式为y=2x+14m2-12m-4，令x=0得y=14m2-12m-4，∴F0,14m2-12m-4，∴OF=14m2-12m-4，∵∠CHD=∠PDO=∠COD=90°，∴四边形CODH是矩形，∴CH=OD，∵CE=DF，∴Rt△CHE≅Rt△DOF HL，∴∠HCE=∠FDO，∵∠HCE=∠CAO，∴∠FDO=∠CAO，∴tan∠FDO=tan∠CAO，∴OF OD =OCOA，即14m2-12m-4-m=48=12，∴1 4m2-12m-4=-12m或14m2-12m-4=12m，解得：m=-4或m=4或m=2-25或m=2+25，∵P在第三象限，∴m=2-25或m=-4．【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、二次函数综合应用、等腰三角形性质、矩形判定及性质、相似三角形判定及性质、解直角三角形等知识点，解题的关键是用含m的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．3(2023·山东聊城·统考三模)抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A3,0，与y轴交于点C0,3，点P 为抛物线上的动点．(2)若P 为直线AC 上方抛物线上的动点，作PH ∥x 轴交直线AC 于点H ，求PH 的最大值；(3)点N 为抛物线对称轴上的动点，是否存在点N ，使直线AC 垂直平分线段PN ？若存在，请直接写出点N 的纵坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)b =2，c =3(2)PH 取得最大值为94(3)存在，2-2或2+2【分析】(1)将坐标代入解析式，构建方程求解；(2)设PH 交y 轴于点M ，P m ,-m 2+2m +3 ，则PM =m ；待定系数法确定直线AC 的解析式为y =-x +3，从而确定PH =m -m 2-2m =-m 2+3m =-m -32 2+94，解得PH 最大值为94；(3)如图，设PN 与AC 交于点G ，可设直线PN 的解析式为y =x +p ，设点N (1,n )，求得y =x +(n -1)；联立y =-x +3y =x +(n -1) ，解得x =-n 2+2y =n 2+1，所以点P 的横坐标为2×-n 2+2 -1=-n +3，纵坐标为2×n2+1 -n =2，由二次函数解析式构建方程-(-n +3)2+2(-n +3)+3=2，解得n =2±2；【详解】(1)∵抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴交于点A 3,0 ，与y 轴交于点C 0,3 ，∴-9+3b +c =0c =3，解得：b =2c =3 ，∴b =2，c =3；(2)设PH 交y 轴于点M ，P m ,-m 2+2m +3 ，∴PM =m ，∵PH ∥x 轴，∴点H 的纵坐标为-m 2+2m +3，设直线AC 的解析式为y =kx +n ，∴3k +n =0n =3 ，解得：k =-1n =3 ，∴直线AC 的解析式为y =-x +3．∴-m 2+2m +3=-x +3，∴x =m 2-2m ，∴H m 2-2m ,-m 2+2m +3 ，∴PH =m -m 2-2m =-m 2+3m =-m -322+94，∴当m =32时，PH 取得最大值为94(3)存在点N ，使直线AC 垂直平分线段PN ，点N 的纵坐标为2-2或2+2如图，设PN 与AC 交于点G ，∵AC 垂直平分PN ，直线AC 的解析式为y =-x +3∴可设直线PN 的解析式为y =x +p 设点N (1,n )，则n =1+p ∴p =n -1，∴y =x +(n -1)联立y =-x +3y =x +(n -1) ，解得x =-n 2+2y =n 2+1∴点P 的横坐标为2×-n 2+2 -1=-n +3，纵坐标为2×n 2+1 -n =2∴-(-n +3)2+2(-n +3)+3=2，解得n =2±2∴点N 的纵坐标为2-2或2+2．【点睛】本题考查利用二次函数解析式及点坐标求待定参数、待定系数法确定函数解析式、二次函数极值及其它二次函数综合问题，利用直线间的位置关系、点线间的位置关系，融合方程的知识求解坐标是解题的关键．题型02抛物线上的点到某一直线的距离问题1(2023·广东梅州·统考二模)探究求新：已知抛物线G 1:y =14x 2+3x -2，将抛物线G 1平移可得到抛物线G 2:y =14x 2．(1)求抛物线G 1平移得到抛物线G 2的平移路径；(2)设T 0,t ，直线l ：y =-t ，是否存在这样的t ，使得抛物线G 2上任意一点到T 的距离等于到直线l 的距离？若存在，求出t 的值；若不存在，试说明理由；(3)设H 0,1 ，Q 1,8 ，M 为抛物线G 2上一动点，试求QM +MH 的最小值．参考公式：若点M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 为平面上两点，则有MN =x 1-x 22+y 1-y 2 2．【答案】(1)将G 1向左平移-6个单位，向上平移11个单位(2)存在，1(3)9【分析】(1)设G 1向左平移a 个单位，向上平移b 个单位得到函数G 2，列方程组即可求解；(2)设P x 0,x 204为抛物线G 2上的一点，根据题意列方程即可；(3)点H 坐标与(2)中t =1时的T 点重合，过点M 作MA ⊥l ，垂足为A ，如图所示，则有MH =MA ，当且仅当Q ,M ,A 三点共线时QM +MA 取得最小值．【详解】(1).解：设G 1向左平移a 个单位，向上平移b 个单位得到函数G 2，由平移法则可知14(x +a )2+3(x +a )-2+b =14x 2，整理可得14x 2+3+12a x +14a 2+3a -2+b =14x 2，可得方程组3+12a =014a 2+3a -2+b =0，解得a =-6b =11 ；∴平移路径为将G 1向左平移-6个单位，向上平移11个单位；(2)解：存在这样的t ，且t =1时满足条件，设P x 0,x 204为抛物线G 2上的一点，则点P 到直线l 的距离为x 204+t ，点P 到点T 距离为(x 0-0)2+x 204-t2，联立可得：x 204+t =(x 0-0)2+x 204-t2，两边同时平方合并同类项后可得x 20-x 20t =0解得：t =1；(3)解：点H 坐标与(2)中t =1时的T 点重合，作直线l ：y =-1，过点M 作MA ⊥直线l ，垂足为A ，如图所示，则有MH =MA ，此时QM +MH =QM +MA ，当且仅当Q ,M ,A 三点共线时QM +MA 取得最小值即QM +MA =QA =8-(-1)=9∴QM +MH 的最小值为9；【点睛】本题考查二次函数综合题，涉及到线段最小值、平移性质等，灵活运用所学知识是关键．2(2023·湖北宜昌·统考一模)如图，已知：点P 是直线l ：y =x -2上的一动点，其横坐标为m (m 是常数)，点M 是抛物线C ：y =x 2+2mx -2m +2的顶点．(1)求点M 的坐标；(用含m 的式子表示)(2)当点P 在直线l 运动时，抛物线C 始终经过一个定点N ，求点N 的坐标，并判断点N 是否是点M 的最高位置？(3)当点P 在直线l 运动时，点M 也随之运动，此时直线l 与抛物线C 有两个交点A ，B (A ，B 可以重合)，A ，B 两点到y 轴的距离之和为d ．①求m 的取值范围；②求d 的最小值．【答案】(1)M -m ,-m 2-2m +2(2)N (1,3)，点N 是点M 的最高位置(3)①m ≤-52或m ≥32；②d 取得最小值为2【分析】(1)将抛物线解析式写成顶点式即可求解；(2)根据解析式含有m 项的系数为0，得出当x =1时，y =3，即N (1,3)，根据二次函数的性质得出-m 2-2m +2=-m +1 2+3的最大值为3，即可得出点N 是点M 的最高位置；(3)①根据直线与抛物线有交点，联立方程，根据一元二次方程根的判别式大于等于0，求得m 的范围，即可求解；②设A ,B 的坐标分别为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ，其中x 1<x 2，由①可知x 1,x 2是方程x 2+2mx -x -2m +4=0的两根，根据x 1+x 2=-2m +1，分情况讨论，求得d 是m 的一次函数，进而根据一次函数的性质即可求解．【详解】(1)解：y =x 2+2mx -2m +2=x +m 2-m 2-2m +2，∴顶点M -m ,-m 2-2m +2 ，(2)解：∵y =x 2+2mx -2m +2=x 2+2+2m x -1 ，∴当x =1时，y =3，抛物线C 始终经过一个定点1,3 ，即N (1,3)；∵M -m ,-m 2-2m +2 ，-m 2-2m +2=-m +1 2+3，∴M 的纵坐标最大值为3，∴点N 是点M 的最高位置；(3)解：①联立y =x -2y =x 2+2mx -2m +2 ，得x 2+2mx -x -2m +4=0，∵直线l 与抛物线C 有两个交点A ，B (A ，B 可以重合)，∴Δ=b 2-4ac =2m -1 2-4-2m +4 ，=4m 2+4m -15≥0，∵4m 2+4m -15=0，解得m 1=-52,m 2=32，∴当4m 2+4m -15≥0时，m ≤-52或m ≥32，②设A ,B 的坐标分别为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ，其中x 1<x 2，由①可知x 1,x 2是方程x 2+2mx -x -2m +4=0的两根，∴x1+x 2=-2m +1，当m =-3时，如图所示，y A =0，当-3≤m ≤-52时，y 1≥0,y 2≥0，则d =x 1+x 2 =-2m +1 ，∵-2<0，∴当m =-52时，d 取得最小值为-2×-52 +1=5+1=6，当m ≥32时，d =-x 1+x 2 =--2m +1 =2m -1，∴当m =32时，d 取得最小值为2×32-1=2，综上所述，d 取得最小值为2．【点睛】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程与二次函数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．3(2023·云南楚雄·统考一模)抛物线y =x 2-2x -3交x 轴于A ，B 两点(A 在B 的左边)，C 是第一象限抛物线上一点，直线AC 交y 轴于点P ．(1)直接写出A ，B 两点的坐标；(2)如图①，当OP =OA 时，在抛物线上存在点D (异于点B )，使B ，D 两点到AC 的距离相等，求出所有满足条件的点D 的横坐标；(3)如图②，直线BP 交抛物线于另一点E ，连接CE 交y 轴于点F ，点C 的横坐标为m ，求FP OP 的值(用含m 的式子表示)．【答案】(1)A (-1,0)，B (3,0)(2)0或3-41或3+41(3)13m 【分析】(1)令y =0，解方程可得结论；(2)分两种情形：①若点D 在AC 的下方时，过点B 作AC 的平行线与抛物线交点即为D 1．②若点D 在AC 的上方时，点D 1关于点P 的对称点G (0,5)，过点G 作AC 的平行线交抛物线于点D 2，D 3，D 2，D 3符合条件．构建方程组分别求解即可；(3)设E 点的横坐标为n ，过点P 的直线的解析式为y =kx +b ，由y =kx +b y =x 2-2x -3 ，可得x 2-(2+k )x -3-b =0，设x 1，x 2是方程x 2-(2+k )x -3-b =0的两根，则x 1x 2=-3-b ，推出x A ⋅x C =x B ⋅x E =-3-b 可得n =-1-b 3，设直线CE 的解析式为y =px +q ，同法可得mn =-3-q 推出q =-mn -3，推出q =-(3+b )-1-b 3 -3=13b 2+2b ，推出OF =13b 2+b ，可得结论．【详解】(1)解：令y =0，得x 2-2x -3=0，解得：x =3或-1，∴A (-1,0)，B (3,0)；(2)∵OP =OA =1，∴P (0,1)，∴直线AC 的解析式为y =x +1．①若点D 在AC 的下方时，过点B 作AC 的平行线与抛物线交点即为D 1．∵B (3,0)，BD 1∥AC ，∴直线BD 1的解析式为y =x -3，由y =x -3y =x 2-2x -3，解得x =3y =0 或x =0y =-3 ，∴D 1(0,-3)，∴D 1的横坐标为0．②若点D 在AC 的上方时，点D 1关于点P 的对称点G (0,5)，过点G 作AC 的平行线l 交抛物线于点D 2，D 3，D 2，D 3符合条件．直线l 的解析式为y =x +5，由y =x +5y =x 2-2x -3 ，可得x 2-3x -8=0，解得：x =3-412或3+412，∴D 2，D 3的横坐标为3-412，3+412，综上所述，满足条件的点D 的横坐标为0，3-412，3+412．(3)设E 点的横坐标为n ，过点P 的直线的解析式为y =kx +b ，由y =kx +b y =x 2-2x -3，可得x 2-(2+k )x -3-b =0，设x 1，x 2是方程x 2-(2+k )x -3-b =0的两根，则x 1x 2=-3-b ，∴x A ⋅x C =x B ⋅x E =-3-b∵x A =-1，∴x C =3+b ，∴m =3+b ，∵x B =3，∴x E =-1-b 3，∴n =-1-b 3，设直线CE 的解析式为y =px +q ，同法可得mn =-3-q∴q =-mn -3，∴q =-(3+b )-1-b 3 -3=13b 2+2b ，∴OF =13b 2+2b ，∴FP OP=13b +1=13(m -3)+1=13m ．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是学会构建一次函数，构建方程组确定交点坐标，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．题型03已知点关于直线对称点问题1(2023·辽宁阜新·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =-x 2+bx -c 的图象与x 轴交于点A (-3,0)和点B (1,0)，与y 轴交于点C ．(1)求这个二次函数的表达式．(2)如图1，二次函数图象的对称轴与直线AC :y =x +3交于点D ，若点M 是直线AC 上方抛物线上的一个动点，求△MCD 面积的最大值．(3)如图2，点P 是直线AC 上的一个动点，过点P 的直线l 与BC 平行，则在直线l 上是否存在点Q ，使点B 与点P 关于直线CQ 对称？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =-x 2-2x +3；(2)S △MCD 最大=98；(3)Q 1-5，-5 或1+5，5 ．【分析】(1)根据抛物线的交点式直接得出结果；(2)作MQ ⊥AC 于Q ，作ME ⊥AB 于F ，交AC 于E ，先求出抛物线的对称轴，进而求得C ，D 坐标及CD 的长，从而得出过M 的直线y =x +m 与抛物线相切时，△MCD 的面积最大，根据x +m =-x 2-2x +3的△=0求得m 的值，进而求得M 的坐标，进一步求得CD 上的高MQ 的值，进一步得出结果；(3)分两种情形：当点P 在线段AC 上时，连接BP ，交CQ 于R ，设P (t ，t +3)，根据CP =CB 求得t 的值，可推出四边形BCPQ 是平行四边形，进而求得Q 点坐标；当点P 在AC 的延长线上时，同样方法得出结果．【详解】(1)解：由题意得，y =-(x +3)(x -1)=-x 2-2x +3；(2)解：如图1，作MQ ⊥AC 于Q ，作ME ⊥AB 于F ，交AC 于E ，∵OA =OC =3，∠AOC =90°，∴∠CAO =∠ACO =45°，∴∠MEQ =∠AEF =90°-∠CAO =45°，抛物线的对称轴是直线：x =-3+12=-1，∴y =x +3=-1+3=2，∴D (1,2)，∵C (0,3)，∴CD =2，故只需△MCD 的边CD 上的高最大时，△MCD 的面积最大，设过点M 与AC 平行的直线的解析式为：y =x +m ，当直线y =x +m 与抛物线相切时，△MCD 的面积最大，由x +m =-x 2-2x +3得，x 2+3x +(m -3)=0，由△=0得，32-4(m -3)=0得，m -3=94，∴x 2+3x +94=0，∴x 1=x 2=-32，∴y =--32 2-2×-32 +3=154，y =x +3=-32+3=32，∴ME =154-32=94，∴MQ =ME ⋅sin ∠MEQ =ME ⋅sin45°=94×22=928，∴S △MCD 最大=12×2×928=98；(3)解：如图2，当点P 在线段AC 上时，连接BP ，交CQ 于R ，∵点B 和点Q 关于CQ 对称，∴CP =CB ，设P (t ，t +3)，由CP 2=CB 2得，2t 2=10，∴t 1=-5，t 2=5(舍去)，∴P -5，3-5 ，∵PQ ∥BC ，∴CR =BR =1，∴CR =QR ，∴四边形BCPQ 是平行四边形，∵1+(-5)-0=1-5，0+(3-5)-3=-5，∴Q 1-5，-5 ；如图3，当点P 在AC 的延长线上时，由上可知：P 5，3+5 ，同理可得：Q 1+5，5 ，综上所述：Q 1-5，-5 或1+5，5 ．【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，一元二次方程的解法，平行四边形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是分类讨论．2(2023·四川甘孜·统考中考真题)已知抛物线y =x 2+bx +c 与x 轴相交于A -1，0 ，B 两点，与y 轴相交于点C 0，-3 ．(1)求b ，c 的值；(2)P 为第一象限抛物线上一点，△PBC 的面积与△ABC 的面积相等，求直线AP 的解析式；(3)在(2)的条件下，设E 是直线BC 上一点，点P 关于AE 的对称点为点P ，试探究，是否存在满足条件的点E ，使得点P 恰好落在直线BC 上，如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)b =-2,c =-3.(2)y =x +1(3)存在，点P 的坐标为1+21,-2+21 或1-21,-2-21【分析】(1)由待定系数法即可求解；(2)S △PBC =S △ABC 得到AP ∥BC ，即可求解；(3)由题意的：∠AEP =∠AEP ,P E =PE ，即可求解．【详解】(1)由题意，得1-b +c =0,c =-3.∴b =-2,c =-3.(2)由(1)得抛物线的解析式为y =x 2-2x -3．令y =0，则x 2-2x -3=0，得x 1=-1，x 2=3．∴B 点的坐标为3，0 ．∵S △PBC =S △ABC ，∴AP ∥BC ．∵B 3，0，C 0，-3 ，∵AP∥BC，∴可设直线AP的解析式为y=x+m．∵A(-1，0)在直线AP上，∴0=-1+m．∴m=1．∴直线AP的解析式为y=x+1．(3)设P点坐标为m，n．∵点P在直线y=x+1和抛物线y=x2-2x-3上，∴n=m+1，n=m2-2m-3．∴m+1=m2-2m-3．解得m1=4，m2=-1(舍去)．∴点P的坐标为4，5．由翻折，得∠AEP=∠AEP ,P E=PE．∵AP∥BC，∴∠PAE=∠AEP '．∴∠PAE=∠PEA．∴PE=PA=4+12=52．2+5-0设点E的坐标为t，t-3，则PE2=t-42．2+t-3-52=52∴t=6±21．当t=6+21时，点E的坐标为6+21,3+21．设P (s,s-3),由P E=AP，P E=PE=52得：s-6-212，2=522+s-3-3-21解得：s=1+21，则点P 的坐标为1+21,-2+21．当t=6-21时，同理可得，点P 的坐标为1-21,-2-21．综上所述，点P 的坐标为1+21,-2+21．或1-21,-2-21【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，二次函数的性质，此题题型较好，综合性比较强，用的数学思想是分类讨论和数形结合的思想．3(2023·江苏连云港·连云港市新海实验中学校考二模)如图，“爱心”图案是由抛物线y=-x2+m的一部分及其关于直线y=-x的对称图形组成，点E、F是“爱心”图案与其对称轴的两个交点，点A、B、C、D是该图案与坐标轴的交点，且点D的坐标为6,0．(1)求m 的值及AC 的长；(2)求EF 的长；(3)若点P 是该图案上的一动点，点P 、点Q 关于直线y =-x 对称，连接PQ ，求PQ 的最大值及此时Q 点的坐标．【答案】(1)m =6，AC =6+6(2)52(3)2542，Q -234,-12【分析】(1)用待定系数法求得m 与抛物线的解析式，再求出抛物线与坐标轴的交点坐标，进而求得A 的坐标，根据对称性质求得B ，C 的坐标，即可求得结果；(2)将抛物线的解析式与直线EF 的解析式联立方程组进行求解，得到E ，F 的坐标，即可求得结果；(3)设P (m ,-m 2+6)，则Q (m 2-6,-m )，可得PQ =2×m -12 2-252 ，即求m -12 2-252的最值，根据二次函数的最值，即可得到m 的值，即可求得．【详解】(1)把D 6,0 代入y =-x 2+m 得0=-6+m解得m =6∴抛物线的解析式为：y =-x 2+6∴A 0,6根据对称性可得B -6,0 ，C 0,-6∴AC =AO +OC =6+6(2)联立y =-x y =-x 2+6解得x =3y =-3 或x =-2y =2 ∴E -2,2 ，F 3,-3∴EF =-2-3 2+2+3 2=52(3)设P (m ,-m 2+6)，则Q (m 2-6,-m )∴PQ =m -m 2-6 2+-m 2+6--m 2整理得PQ =2×m -12 2-254 ∵m -12 2≥0∴当m -12 2=0时，即m =12时，m -12 2-254 有最大值为254∴PQ 的最大值为2542∴12 2-6=-234故Q -234,-12【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，两点间的距离公式，求抛物线与一次函数的交点坐标，二次函数的最值等知识，解题的关键是掌握关于直线y =-x 对称的点坐标的关系．题型04特殊角度存在性问题1(2023·山西忻州·统考模拟预测)如图，抛物线y =18x 2+34x -2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．P 是直线AC 下方抛物线上一个动点，过点P 作直线l ∥BC ，交AC 于点D ，过点P 作PE ⊥x 轴，垂足为E ，PE 交AC 于点F ．(1)直接写出A ，B ，C 三点的坐标，并求出直线AC 的函数表达式；(2)当线段PF 取最大值时，求△DPF 的面积；(3)试探究在拋物线的对称轴上是否存在点Q ，使得∠CAQ =45°？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)A -8,0 ，B 2,0 ，C 0,-2 ．y =-14x -2(2)85(3)存在，-3,3 或-3,-253【分析】(1)对于直线y =18x 2+34x -2，当x =0时，y =-2，即点C 0,-2 ，令18x 2+34x -2=0，则x =2或-8，则点A ，B 的坐标分别为-8,0 ，2,0 即求出三个点的坐标，设直线AC 的表达式为y =kx +b ，利用待定系数法求解即可；(2)设点P 的横坐标为m ，则P m ,18m 2+34m -2 ，F m ,-14m -2 ，表示出PF =-18m 2-m ，求出PF max =2，再表示出点D 到直线PF 的距离d =85，利用S △DPF =12⋅PF ⋅d 进行求解即可；(3)由抛物线的表达式知，其对称轴为x =-3，当点Q 在x 轴上方时，设抛物线的对称轴交x 轴于点N ，交AC 于H ，故点Q 作QT ⊥AC 于点T ，在△AQH 中,∠CAQ =45°，tan ∠QHA =4，用解直角三角形的方法求出QH =174，即可求出Q 点坐标，当点Q Q 在x 轴上方时，直线AQ 的表达式为y =35x +8 ，当∠CAQ =45°时，AQ ⊥AQ ，即可求解．【详解】(1)解：对于抛物线y =18x 2+34x -2，当x =0时，y =-2，即点C 0,-2 ，令18x 2+34x -2=0，则x =2或-8，则点A ，B 的坐标分别为-8,0 ，2,0 ，即点A ，B ，C 三点的坐标分别为-8,0 ，2,0 ，0,-2 ，设直线AC 的表达式为y =kx +b ，则-8k +b =0b =-2 ，解得k =-14b =-2 ，∴直线AC 的函数表达式为y =-14x -2；(2)设点P 的横坐标为m ，则P m ,18m 2+34m -2 ，F m ,-14m -2 ，PF =-14m -2 -18m 2+34m -2 =-18m 2-m ，当m =--12×-18 =-4时，PF 最大，PF max =-18×(-4)2--4 =2，此时，P -4,-3 ，由B 2,0 ，C 0,-2 ，可得直线BC 的函数表达式为y =x -2，设直线l 的函数表达式为y =x +p ，将P -4,-3 代入可得p =1，∴直线l 的函数表达式为y =x +1，由y =-14x -2y =x +1 ，解得x =-125y =-75，∴D -125,-75 ，点D 到直线PF 的距离d =-125--4 =85，∴S △DPF =12⋅PF ⋅d =12×2×85=85．(3)存在，理由：由抛物线的表达式知，其对称轴为x =-3，当点Q 在x 轴上方时，如下图：设抛物线的对称轴交x 轴于点N ，交AC 于H ，故点Q 作QT ⊥AC 于点T ，则∠ACO =∠QHA ，则tan ∠ACO =tan ∠QHA =4，当x =3时，y =-14x -2=-54，则点H -3,-54 ，由点A ，H 的坐标得，AH =5174，在△AQH 中，∠CAQ =45°，tan ∠QHA =4，设TH =x ，则QT =4x ，则QH =17x ，则AH =AT +TH =5x =5174，则x =174，则QH =17x =174，则174-54=3，则点Q -3,3 ；当点Q Q 在x 轴上方时，直线AQ 的表达式为y =35x +8 ，当∠CAQ =45°时，AQ ⊥AQ ，则直线AQ 的表达式为y =-53x +8 ，当x =-3时，y =-5x +8 =-25，。
二次函数动点问题解答方法技巧(含例解答案)
函数解题思路方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标.需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax ²+bx+c=0中a,b,c 的符号.或由二次函数中a,b,c 的符号判断图象的位置.要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称.可利用这一性质.求和已知一点对称的点坐标.或已知与x 轴的一个交点坐标.可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式.二次三项式ax ²+bx+c ﹙a ≠0﹚本身就是所含字母x 的二次函数；下面以a ＞0时为例.揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：动点问题题型方法归纳总结动态几何特点----问题背景是特殊图形.考查问题也是特殊图形.所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中.特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
）动点问题一直是中考热点.近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。
下面就此问题的常见题型作简单介绍.解题方法、关键给以点拨。
二、 抛物线上动点5、（湖北十堰市）如图①. 已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1.0)和点B (－3.0).与y 轴交于点C ．(1) 求抛物线的解析式；(2) 设抛物线的对称轴与x轴交于点M .问在对称轴上是否存在点P.使△CMP为等腰三角形？若存在.请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在.请说明理由．(3) 如图②.若点E为第二象限抛物线上一动点.连接BE、CE.求四边形BOCE面积的最大值.并求此时E点的坐标．注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为顶点时.以C为圆心CM为半径画弧.与对称轴交点即为所求点P.②M为顶点时.以M为圆心MC为半径画弧.与对称轴交点即为所求点P.③P为顶点时.线段MC的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P。
专题：二次函数中的动点问题(平行四边形存在性问题)
二次函数中的动点问题（二）平行四边形的存在性问题一.技巧提炼如图1,点人（召,开）、3（忑,儿）、C（X3Os）是坐标平面内不在同一直线上的三点。
平面直角坐标系中是否存在点D,使得以A、B、C、D四点为顶点的四边形为平行四边形，如果存在，请求出点D的坐标。
如图2,过A、B、C分别作BC、AC、AB的平行线，则以不在同一直线上的三点为顶点的平行四边形有三个。
由已知的三点坐标可根据图形平移的坐标性质，直接写出第四个顶点的坐标。
3、平面直角坐标系中直线和直线12:当h时k尸k2；当h丄I2时ki-k2=-14、二次函数中平行四边形的存在性问题：解题思路：（1）先分类（2）再画图（3）后计算二、精讲精练1、已知抛物线y=ax-+bx+c与x轴相交于A、E两点（A、B分别在原点的左右两侧），与y轴正半轴相交于C点，且OA：OB：OC=1：3：3,AABC的面积为6,（如图1）（1）求抛物线的解析式：（2）坐标平面内是否存在点M,使得以点M、A、B、C为顶点四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2,在直线BC±方的抛物线上是否存在一动点P,ABCP面枳最大？如果存在，求出最人面积,2、如图，己知抛物线经过A(-2,0),B(・3,3)及原点6顶点为C(1)求抛物线的函数解析式：(2)设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以AO为边的四边形AODE是平行四边形，求点D的坐标。
【变式练习】7如图，对称轴为直线x二一的抛物线经过点A(6,0)和B(0,4)・2(1)求抛物线解析式及顶点坐标；(2)设点E(x,y)是抛物线上一动点，且位于第四彖限，四边形0EAF是以0A为对角线的平行四边形, 求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；①当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形0EAF是否为菱形？②是否存在点E,使平行四边形0EAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.、方法规律1、平行四边形模型探究如图1，点&（內,开）、3（七,儿）、C（X3，”）是坐标平面内不在同一直线上的三点。
二次函数与四边形的动点问题(含问题详解)
72x =B(0,4) A(6,0)E FxyO二次函数与四边形一．二次函数与四边形的形状例1.(浙江义乌市) 如图，抛物线223y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2．（1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式； （2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平 行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值；（3）点G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由．练习1.(河南省实验区) 23．如图，对称轴为直线72x =的抛物线经过点 A （6，0）和 B （0，4）． （1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点E （x ，y ）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA 为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；①当平行四边形OEAF 的面积为24时，请判断平行四边形OEAF 是否为菱形？②是否存在点E ，使平行四边形OEAF 为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．A练习 2.（四川省德阳市）25.如图，已知与x 轴交于点(10)A ，和(50)B ，的抛物线1l 的顶点为(34)C ，，抛物线2l 与1l 关于x 轴对称，顶点为C '．（1）求抛物线2l 的函数关系式；（2）已知原点O ，定点(04)D ，，2l 上的点P 与1l 上的点P '始终关于x 轴对称，则当点P 运动到何处时，以点D O P P '，，，为顶点的四边形是平行四边形？（3）在2l 上是否存在点M ，使ABM △是以AB 为斜边且一个角为30o的直角三角形？若存，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．练习3.（山西卷）如图，已知抛物线1C 与坐标轴的交点依次是(40)A -，，(20)B -，，(08)E ，．（1）求抛物线1C 关于原点对称的抛物线2C 的解析式； （2）设抛物线1C 的顶点为M ，抛物线2C 与x 轴分别交于C D ，两点（点C 在点D 的左侧），顶点为N ，四边形MDNA 的面积为S ．若点A ，点D 同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M ，点N 同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A 与点D 重合为止．求出四边形MDNA 的面积S 与运动时间t 之间的关系式，并写出自变量t 的取值范围；（3）当t 为何值时，四边形MDNA 的面积S 有最大值，并求出此最大值；（4）在运动过程中，四边形MDNA 能否形成矩形？若能，求出此时t 的值；若不能，请说明理由．5-4- 3-2-1- 1 2 3 455 4 3 2 1 A EBC '1- O 2l 1lx y二．二次函数与四边形的面积例1.（资阳市）25.如图10，已知抛物线P：y=ax2+bx+c(a≠0) 与x轴交于A、B两点(点A在x 轴的正半轴上)，与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线Px …-3 -2 1 2 …y …-52-4 -520 …(1) 求A、B、C三点的坐标；(2) 若点D的坐标为(m，0)，矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围；(3) 当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接DF并延长至点M，使FM=k·DF，若点M不在抛物线P上，求k的取值范围.练习1.（辽宁省十二市2007年第26题）．如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH，点H的坐标为（－8，0），点N的坐标为（－6，－4）．（1）画出直角梯形OMNH绕点O旋转180°的图形OABC，并写出顶点A，B，C的坐标（点M的对应点为A，点N的对应点为B，点H的对应点为C）；（2）求出过A，B，C三点的抛物线的表达式；（3）截取CE=OF=AG=m，且E，F，G分别在线段CO，OA，AB上，求四边形BEFG的面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；面积S是否存在最小值?若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；（4）在（3）的情况下，四边形BEFG是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时m的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由．图10练习3.（吉林课改卷）如图，正方形ABCD 的边长为2cm ，在对称中心O 处有一钉子．动点P ，Q 同时从点A 出发，点P 沿A B C →→方向以每秒2cm 的速度运动，到点C 停止，点Q 沿A D →方向以每秒1cm 的速度运动，到点D 停止．P ，Q 两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结，设x 秒后橡皮筋扫过的面积为2cm y ．（1）当01x ≤≤时，求y 与x 之间的函数关系式； （2）当橡皮筋刚好触及钉子时，求x 值；（3）当12x ≤≤时，求y 与x 之间的函数关系式，并写出橡皮筋从触及钉子到运动停止时POQ ∠的变化范围；（4）当02x ≤≤时，请在给出的直角坐标系中画出y 与x 之间的函数图象．练习4.（四川资阳卷）如图，已知抛物线l 1：y =x 2-4的图象与x 轴相交于A 、C 两点，B 是抛物线l 1上的动点(B 不与A 、C 重合)，抛物线l 2与l 1关于x 轴对称，以AC 为对角线的平行四边形ABCD 的第四个顶点为D .(1) 求l 2的解析式；(2) 求证：点D 一定在l 2上；(3) □ABCD 能否为矩形？如果能为矩形，求这些矩形公共部分的面积(若只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积)；如果不能为矩形，请说明理由. 注：计算结果不取近似值.B CPO D QA BPCO DQ Ay321 O1 2 x三．二次函数与四边形的动态探究例1.(荆门市)28. 如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC ，已知O (0，0)，A (4，0)，C (0，3)，点P 是OA 边上的动点(与点O 、A 不重合)．现将△PAB 沿PB 翻折，得到△PDB ；再在OC 边上选取适当的点E ，将△POE 沿PE 翻折，得到△PFE ，并使直线PD 、PF 重合．(1)设P (x ，0)，E (0，y )，求y 关于x 的函数关系式，并求y 的最大值；(2)如图2，若翻折后点D 落在BC 边上，求过点P 、B 、E 的抛物线的函数关系式；(3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q ，使△PEQ 是以PE 为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q 的坐标．例2.（2010年沈阳市第26题）、已知抛物线y ＝ax2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB <OC ）是方程x 2－10x ＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x ＝－2．（1）求A 、B 、C 三点的坐标； （2）求此抛物线的表达式；（3）连接AC 、BC ，若点E 是线段AB 上的一个动点（与点A 、点B 不重合），过点E 作EF ∥AC 交BC 于点F ，连接CE ，设AE 的长为m ，△CEF 的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（4）在（3）的基础上试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E 的坐标，判断此时△BCE 的形状；若不存在，请说明理由．图2OC A Bxy DPE F 图1FE P D y xBA C O例3..(湖南省郴州) 27．如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，将矩形ABCD 沿对角线A 平移，平移后的矩形为EFGH （A 、E 、C 、G 始终在同一条直线上），当点E 与C 重时停止移动．平移中EF 与BC 交于点N ，GH 与BC 的延长线交于点M ，EH 与DC 交于点P ，FG 与DC 的延长线交于点Q ．设S 表示矩形PCMH 的面积，S '表示矩形NFQC 的面积．（1） S 与S '相等吗？请说明理由．（2）设AE ＝x ，写出S 和x 之间的函数关系式，并求出x 取何值时S 有最大值，最大值是多少？ （3）如图11，连结BE ，当AE 为何值时，ABE ∆是等腰三角形．练习1.（07年河池市）如图12， 四边形OABC 为直角梯形，A （4，0），B （3，4），C （0，4）． 点M 从O 出发以每秒2个单位长度的速度向A 运动；点N 从B 同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C 运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N 作NP 垂直x 轴于点P ，连结AC 交NP 于Q ，连结MQ ．（1）点 （填M 或N ）能到达终点；（2）求△AQM 的面积S 与运动时间t 的函数关系式，并写出自 变量t 的取值范围，当t 为何值时，S 的值最大；（3）是否存在点M ，使得△AQM 为直角三角形？若存在，求出点M 的坐标，若不存在，说明理由．x NM QP H G FE D C B A 图11 Q P N M H GF E D C B A 图10练习2..(江西省) 25．实验与探究（1）在图1，2，3中，给出平行四边形ABCD 的顶点A B D ，，的坐标（如图所示），写出图1，2，3中的顶点C 的坐标，它们分别是(52)，， ， ；（2）在图4中，给出平行四边形ABCD 的顶点A B D ，，的坐标（如图所示），求出顶点C 的坐标（C 点坐标用含a b c d e f ，，，，，的代数式表示）；归纳与发现（3）通过对图1，2，3，4的观察和顶点C 的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形ABCD 处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为()()()()A a b B c d C m n D e f ，，，，，，，（如图4）时，则四个顶点的横坐标a c m e ，，，之间的等量关系为 ；纵坐标b d n f ，，，之间的等量关系为 （不必证明）；运用与推广（4）在同一直角坐标系中有抛物线2(53)y x c x c =---和三个点15192222G c c S c c ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，(20)H c ，（其中0c >）．问当c 为何值时，该抛物线上存在点P ，使得以G S H P ，，，为顶点的四边形是平行四边形？并求出所有符合条件的P 点坐标．x图1x图2x图3)x图4答案：一．二次函数与四边形的形状例1.解：（1）令y=0，解得11x =-或23x =∴A （-1，0）B （3，0）；将C 点的横坐标x=2代入223y x x =--得y=-3，∴C （2，-3）∴直线AC 的函数解析式是y=-x-1 （2）设P 点的横坐标为x （-1≤x ≤2）则P 、E 的坐标分别为：P （x ，-x-1）， E （2(,23)x x x --∵P 点在E 点的上方，PE=22(1)(23)2x x x x x -----=-++ ∴当12x =时，PE 的最大值=94（3）存在4个这样的点F，分别是1234(1,0),(3,0),(4(4F F F F - 练习 1.解：（1）由抛物线的对称轴是72x =，可设解析式27(2y a x k =-+．把A 、B 两点坐标代入上式，得227(6)0,27(0) 4.2a k a k ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ 解之，得225,.36a k ==- 故抛物线解析式为22725(326y x =--，顶点为725(,).26- （2）∵点(,)E x y 在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合22725(326y x =--，∴y<0，即 －y>0,－y 表示点E 到OA 的距离．∵OA 是OEAF Y 的对角线， ∴2172264()2522OAE S S OA y y ==⨯⨯⋅=-=--+V ．因为抛物线与x 轴的两个交点是（1，0）的（6，0），所以，自变量x 的 取值范围是1＜x ＜6．5-4-3-2-1-12 3D554 32 1 ACEM BC '1-O 2l 1l xy①根据题意，当S = 24时，即274()25242x --+=．化简，得271().24x -=解之，得123, 4.x x == 故所求的点E 有两个，分别为E 1（3，－4），E 2（4，－4）． 点E 1（3，－4）满足OE = AE ，所以OEAF Y 是菱形； 点E 2（4，－4）不满足OE = AE ，所以OEAF Y 不是菱形． ② 当OA ⊥EF ，且OA = EF 时，OEAF Y 是正方形，此时点E 的 坐标只能是（3，－3）．而坐标为（3，－3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点E ， 使OEAF Y 为正方形．练习2.解：（1）由题意知点C '的坐标为(34)-，．设2l 的函数关系式为2(3)4y a x =--．又Q 点(10)A ，在抛物线2(3)4y a x =--上，2(13)40a ∴--=，解得1a =．∴抛物线2l 的函数关系式为2(3)4y x =--（或265y x x =-+）． （2）P Q 与P '始终关于x 轴对称， PP '∴与y 轴平行．设点P 的横坐标为m ，则其纵坐标为265m m -+，4OD =Q ，22654m m ∴-+=，即2652m m -+=±．当2652m m -+=时，解得36m =±．当2652m m -+=-时，解得32m =±．∴当点P 运动到(362)-，或(362)+，或(322)--，或(322)+-，时， P P OD ' ∥，以点D O P P '，，，为顶点的四边形是平行四边形．（3）满足条件的点M 不存在．理由如下：若存在满足条件的点M 在2l 上，则90AMB ∠=o ，30BAM ∠=o Q （或30ABM ∠=o ），114222BM AB ∴==⨯=．过点M 作ME AB ⊥于点E ，可得30BME BAM ∠=∠=o．112122EB BM ∴==⨯=，3EM =，4OE =．∴点M 的坐标为(43)-，． 但是，当4x =时，246451624533y =-⨯+=-+=-≠-．∴不存在这样的点M 构成满足条件的直角三角形．练习3. [解] （1）点(40)A -，，点(20)B -，，点(08)E ，关于原点的5-4-3-2- 1-1 2 3 4554 3 2 1 AEBC '1- O 2l1lxy对称点分别为(40)D ，，(20)C ，，(08)F -，． 设抛物线2C 的解析式是2(0)y ax bx c a =++≠，则16404208a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，，．解得168a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，，．所以所求抛物线的解析式是268y x x =-+-． （2）由（1）可计算得点(31)(31)M N --，，，．过点N 作NH AD ⊥，垂足为H ．当运动到时刻t 时，282AD OD t ==-，12NH t =+． 根据中心对称的性质OA OD OM ON ==，，所以四边形MDNA 是平行四边形．所以2ADN S S =△．所以，四边形MDNA 的面积2(82)(12)4148S t t t t =-+=-++． 因为运动至点A 与点D 重合为止，据题意可知04t <≤．所以，所求关系式是24148S t t =-++，t 的取值范围是04t <≤． （3）781444S t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，（04t <≤）． 所以74t =时，S 有最大值814． 提示：也可用顶点坐标公式来求．（4）在运动过程中四边形MDNA 能形成矩形．由（2）知四边形MDNA 是平行四边形，对角线是AD MN ，，所以当AD MN =时四边形MDNA 是矩形．所以OD ON =．所以2222OD ON OH NH ==+．所以22420t t +-=．解之得1222t t ==，（舍）． 所以在运动过程中四边形MDNA可以形成矩形，此时2t =．[点评]本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压轴题，能力要求较高。
运用二次函数求解动点问题
２０２３年１２月下半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀运用二次函数求解动点问题◉甘肃省定西市临洮县洮阳初级中学㊀潘彩辉㊀㊀摘要:动点问题因抽象性强㊁对学生想象力要求高的特点,成为初中数学各类测试中失分较为严重的一类问题．根据设问背景,动点问题可被分为几何图形类动点问题㊁抛物线类动点问题㊁实际情境类动点问题这三类．本文中结合案例,展示二次函数在解决动点问题中的具体运用过程,引导学习者关注解题思路㊁把握解题细节,促进解题能力的有效提升．关键词:初中数学;动点问题;二次函数㊀㊀点是几何图形的基本构成要素．点的运动会引起线段㊁角度甚至图形形状的改变[１]．运用二次函数解决初中数学中的动点问题,既要厘清点与线段㊁角度㊁图形的逻辑关系,又要注重二次函数性质的活用以及所求问题的灵活转化,实现动点问题的巧妙突破．１几何图形类动点问题图１例１㊀如图１,已知直角三角形A B C 中øC ＝９０ʎ,B C ＝６,A C ＝１０．D 为A C 的中点,P 是B C 上的一动点．将点P 绕着点D 逆时针旋转９０ʎ得到点P ᶄ,则A P ᶄ的取值范围为．分析:深刻理解题意,确定点P 运动过程中 变 与 不变 的量,构建 变 与 不变 量之间的内在联系是解题的关键．需要注意的是构建参数关系时应结合实际情况,以避免不必要的计算[２]．该题中借助әD C PɸәP ᶄE D 实现变量 的转化,创设勾股定理应用情境,借助二次函数性质作答,尤其为避免分类讨论,需注重绝对值的巧妙应用．图２解:过点P ᶄ向A C 作垂线,垂足为E ,如图２所示．由题设可知,C D ＝D A ＝５,D P ＝D P ᶄ,øP D P ᶄ＝９０ʎ．由øC D P ＋øE D P ᶄ＝９０ʎ,øE D P ᶄ＋øE P ᶄD ＝９０ʎ,得øC D P ＝øE P ᶄD ,于是әD C P ɸәP ᶄE D (A A S),则P C ＝D E ,C D ＝E P ᶄ＝５．令P C ＝D E ＝x (０ɤx ɤ６),则A E ＝D A －D E ＝|５－x |．在R t әA E P ᶄ中,由勾股定理可得A P ᶄ２＝A E ２＋E P ᶄ２＝(５－x )２＋２５(０ɤx ɤ６)．由二次函数性质可得,当x ＝０时,A P ᶄ２＝５０,A P ᶄ＝５２,此时,点P 和点C 重合,点D 和点E 重合;当x ＝５时,A P ᶄ２＝２５,A P ᶄ＝５．需要注意的是,当x ＝６时,点E 在线段C A 的延长线上．综上,A P ᶄ的取值范围是５ɤA P ᶄɤ５２．２抛物线类动点问题图３例２㊀如图３,已知抛物线过A (－２,０),B (８,０),C (０,４)三点,点D 和点C 关于x 轴对称,点P (m ,０)为x 轴上的一个动点,过点P 作x 轴的垂线l 和抛物线㊁直线B D 分别交于点Q ,M ．(１)求该抛物线的表达式．(２)若点F (０,１),当点P 在x 轴上运动,使得四边形DM Q F 为平行四边形,求m 的值．(３)点P 在线段A B 上运动期间,是否存在点Q ,使得以点B ,Q ,M 为顶点的三角形与әB O D 相似?若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由．分析:该题由三个小问构成,难度依次增加．对于问题(１),采用待定系数法即可求解;问题(２)需灵活应用平行四边形的判定定理,借助坐标运算建立线段F D 和线段Q M 的相等关系,求出参数m ;问题(３)因әB Q M 中的直角不确定,需分类讨论,讨论过程中应注意二次函数对应方程根的情况,将根代入题设情境进行合理取舍,保证最终结果的正确性．解:(１)根据题意,设抛物线表达式为y ＝a (x ＋２)(x －８),将C (０,４)代入解得a ＝－１４,则抛物线的表达式为y ＝－１４(x ＋２)(x －８)＝－１４x ２＋３２x ＋４．(２)由点D 和点C 关于x 轴对称,得D (０,－４)．设直线B D 的方程为y ＝k x ＋b ,将点D ㊁点B 的坐标分别代入得b ＝－４,８k ＋b ＝０,{解得b ＝－４,k ＝１２．{１８解法探究２０２３年１２月下半月㊀㊀㊀因此B D 的方程为y ＝１２x －４．此时M (m ,１２m －４),Q (m ,－１４m ２＋３２m ＋４)．根据题意,得F D ʊQ M ,若四边形DM Q F 为平行四边形,则只需F D ＝Q M ．由F (０,１),得F D ＝５,即－１４m ２＋３２m ＋４－(１２m －４)＝５,整理得m ２－４m －１２＝０．解得m １＝－２,m ２＝６．(３)由F D ʊQ M ,得øO D B ＝øQ M B ,接下来需要分类讨论．图４①如图４所示,当øB Q M ＝９０ʎ时,点Q 和点A 重合,点M 为M ᶄ满足әB Q M ʐәB O D ,此时点Q (－２,０)．②如图４,当øM B Q ＝９０ʎ时,由әQ B M ʐәB O D ,可得M B B Q ＝D O O B ＝１２．由øM B Q ＝øB P Q ＝９０ʎ,øM Q B ＝øB Q P ,可得到әM B Q ʐәB P Q ,则M B B Q ＝B P P Q ＝１２．又因为B P ＝８－m ,P Q ＝－１４m ２＋３２m ＋４,所以８－m －１４m ２＋３２m ＋４＝１２,解得m １＝６,m ２＝８．当m ＝８时,点M ㊁点Q 和点B 重合,构不成三角形,舍去,因此m ＝６,此时点Q 的坐标为(６,４)．综上,点P 在线段A B 上运动期间,存在点Q 使得以B ,Q ,M 为顶点的三角形与әB O D 相似,对应的点Q 的坐标为(－２,０)或(６,４)．３实际情境类动点问题图５例３㊀选取公园里过山车某一部分轨道,可将其近似看成抛物线,F 为出发点,构建如图５所示的平面直角坐标系,其中x 轴表示地面,E ,H 两点均在x 轴上,测得O E ＝３m ,O F ＝９m ,忽略轨道厚度．(１)求抛物线F E G 的函数关系式．(２)测得轨道上P ,G 两点与地面的距离均为２５４m ．轨道G K 段是水平的,该段轨道长１m ．其中轨道KH Q 部分和P E G 部分完全相同．过山车(可看成一个点)从点G 运动至点Q 的过程中,当与地面的距离为４m 时,求过山车距离出发点F 的水平距离．分析:该题是实际问题的抽象,考查的知识既有点的运动,又有抛物线的平移,对理解能力的要求较高．其中问题(１)难度不大,结合构建的平面直角坐标系,根据给出的点的坐标不难求出抛物线的函数关系式;解答问题(２)需通过计算明确抛物线F E G ㊁抛物线KH Q 的位置关系,结合抛物线的平移规律求出抛物线KH Q 的表达式,构建一元二次方程得出结果．解:(１)根据题意可知F (０,９),E (３,０)．设抛物线F E G 的函数关系式为y ＝a (x －３)２,将点F 坐标代入得９＝a (０－３)２,解得a ＝１,则抛物线F E G 的函数关系式为y ＝(x －３)２．(２)由题设令２５４＝(x －３)２,解得x １＝１２,x ２＝１１２,则P (１２,２５４),G (１１２,２５４)．所以P ,E 两点的水平距离为３－１２＝５２,则G ,H 两点的水平距离为５２＋１＝７２,于是点H 的横坐标为１１２＋７２＝９,因此抛物线P E G 向右平移６个单位长度得到抛物线KH Q ．由抛物线的平移规律可得,抛物线KH Q 的表达式为y ＝(x －３－６)２,即y ＝(x －９)２．令(x －９)２＝４,解得x １＝７,x ２＝１１．当过山车与地面相距为４m 时,距离出发点分别为７m 或１１m ．综上所述,二次函数既是初中数学中的重要知识,又是解决动点问题的重要工具[３]．为提高学习者运用二次函数解答动点问题的能力,应注重引导学习者夯实二次函数基础,掌握二次函数不同表达式的特点,实现不同表达式之间的灵活转化．同时,做好不同动点问题情境的解题展示,使学习者把握相关解题细节,能基于对题设情境的深刻理解正确画出图形,根据需要作出对应的辅助线,构建参数之间的等量关系,尤其是根据实际情况进行分类讨论,确保问题得以顺利㊁高效解决．参考文献:[１]王微．初中数学二次函数动点问题教学模式分析[J ]．数理天地(初中版),２０２３(９):４６Ｇ４８．[２]单小燕．二次函数动点问题的解法及教学策略探究[J ]．数学之友,２０２２,３６(２２):４Ｇ６．[３]付蓉．如何求解二次函数中的动点存在性问题[J ]．语数外学习(初中版),２０１９(９):２４Ｇ２６．Z ２８。
二次函数中的动点问题
详细描述
当二次函数的开口向上时，动点在顶点上会 随着时间的推移逐渐远离原点；当二次函数 的开口向下时，动点在顶点上会随着时间的 推移逐渐接近原点。
实例四：动点在二次函数图像的切线上
总结词
当动点位于二次函数图像的切线上时，其运动轨迹与二次函数的开口方向和大小有关。
详细描述
当二次函数的开口向上时，动点在切线上会随着时间的推移逐渐远离原点；当二次函数的开口向下时 ，动点在切线上会随着时间的推移逐渐接近原点。
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02
二次函数的基本概念
二次函数的定义
总结词
二次函数是形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的函数，其中$a neq 0$。
详细描述
二次函数的一般形式是$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中$a$、 $b$和$c$是常数，且$a neq 0$。$a$决定了抛物线的开口方 向和宽度，$b$决定了抛物线的对称轴位置，而$c$决定了抛物 线与y轴的交点。
二次函数中的动点问
• 引言 • 二次函数的基本概念 • 动点问题概述 • 二次函数中的动点问题解析 • 解决二次函数中的动点问题的方法与
技巧 • 实例分析
01
引言
主题简介
01
二次函数中的动点问题主要是探 讨在给定二次函数图像中，动点 在运动过程中所满足的条件或产 生的结果。
02
动点可以是任意一点在二次函数 图像上运动，其运动轨迹和行为 受到函数表达式和参数的影响。
动点在二次函数图像的对称轴上
总结词
二次函数的图像具有对称性，当动点 位于对称轴上时，其运动状态将发生 特殊变化。
详细描述
当动点位于二次函数图像的对称轴上 时，其运动状态将发生奇偶对称的变 化。这种变化与二次函数的开口方向 、顶点和对称轴的位置有关。
二次函数中的动点问题之平行四边形 教学设计
广东省中考数学疑难问题教学设计：二次函数中的动点问题之平行四边形一、教学内容的确定及前期思考：二次函数中的动点问题无疑会成为压轴题三位主角中的一个，而动点产生平行四边形的问题也经常出现，本人发现：无论是各种复习资料对这类题给出的解答方法，还是我听公开课时发现很多老师给出的解决方式都将简单问题复杂化了，而我们数学老师的任务应该是化繁为简，找出各个知识点之间的联系，充分利用我们熟悉的数学方法和数学思想去解决压轴题中的疑难问题，由此产生了将此类问题形成一篇教学设计的想法，并已长达两年之久。
二、教学目标分析：（一）通性通法：1、通过知识转化、类比、迁移的方式学会观察分析并找出线段的平移和点的坐标之间的关系，再利用形成平行四边形的动点的位置的特殊性（在抛物线上或在抛物线的对称轴上等），求出动点的坐标。
2、熟练掌握和应用函数模型、数形结合、分类讨论与整合、化归与转化等数学思想和方法。
（二）情感教育：能通过本节课化繁为简、化难为易的学习过程克服对压轴题的恐惧心理，增强学生解决压轴题的信心和勇气。
三、教学重点与难点分析：重点：掌握根据平移与点的坐标之间的关系规律来解决二次函数中动点产生平行四边形的问题。
1难点：首先是能利用平移画出大致图形，其次是能充分利用隐含的条件（如点在对称轴上就意味着已知横坐标等）来求出动点的坐标。
四、教学过程设计总流程如下：具体教学过程如下：（一）观看旧解，提出问题：环节一：展示疑难题图，引出课题设计意图：展示三道平行四边形和二次函数结合的题图，冲击学生的视觉，让学生的注意力一下子就集中到本节课要学习的题目类型上。
开场白设计：在压轴题中，我们经常会见到平行四边形和二次函数相依相伴的身影，这节课我们就一起来研究二次函数和平行四边形的那些事儿。
环节二：探讨平行四边形中暗含的平移知识（聊天引入）让我们先把平行四边形请过来做客吧！下面，给你们展示一道题以及这道题的解题过程，你知道答案是怎么做的吗？辅例 1、（选自练习册中的练习题）在直角坐标系中,已知: A（-1，0），B（3，0），C（0，2）．以A、B、C、D 为顶点的四边形是平行四边形,求 D 点的坐标。
二次函数动点问题解答方法技巧(含例解标准答案)
下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。
二、抛物线上动点
5、（湖北十堰市）如图①，已知抛物线 （a≠0）与 轴交于点A(1，0)和点B(－3，0)，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设抛物线的对称轴与 轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当 为何值时，四边形 的面积 有最大值，并求出此最大值；
（4）在运动过程中，四边形 能否形成矩形？若能，求出此时 的值；若不能，请说明理由．
[解]（1）点 ，点 ，点 关于原点的对称点分别为 ， ， ．
设抛物线 的解析式是
，
则
解得
所以所求抛物线的解析式是 ．
（2）由（1）可计算得点 ．
过点 作 ，垂足为 ．
⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax²+bx+c=0中a,b,c的符号，或由二次函数中a,b,c的符号判断图象的位置，要数形结合；
⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.
⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax²+bx+c﹙a≠0﹚本身就是所含字母x的二次函数；下面以a＞0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：
当运动到时刻 时， ， ．
根据中心对称的性质 ，所以四边形 是平行四边形．
所以 ．
所以，四边形 的面积 ．
因为运动至点 与点 重合为止，据题意可知 ．
所以，所求关系式是 ， 的取值范围是 ．
（3） ，（ ）．
专题二次函数与四边形(动点问题)专题(教学设计)
专题：二次函数与代几综合题专题（二次函数与四边形）首都师范大学附属丽泽中学张庆云教学目标：1.学生经历课上对简单动点问题的君朋讲习，理解特殊四边形的性质和判定，对简单动点问题的解题方法有初步的理解；2.经历较复杂背景下，动点问题的求解方法解题策略的归纳提升；3.在自主解题、君朋讲习和师生探究的学习过程中体会数形结合、分类讨论、方程思想等主要数学思想方法在解题中的应用，体会探索数学的乐趣。
教学重点：经历应用四边形的性质和判定定理解决二次函数与四边形形状问题教学难点：运用图形的性质和判定寻找运动中的特殊位置，利用方程思想解决问题教学过程：一、教师导学：教师将25题代几综合题的常见考点带着学生梳理，提炼解题策略。
本节课目标导学：点动、线动、面动构成的问题称为动态题．近几年来北京中考25题多是二次函数与几何图形相结合的代几综合题。
（一）常见考点:（1）确定二次函数解析式（2）与动点有关的存在性问题（直角、等角、等腰三角形、直角三角形、等腰三角形全等三角形、相似三角形、特殊四边形等）（3）函数类最值问题（4）运动问题中特殊位置的数量和位置关系（大胆猜想）本节课主要解决与动点有关的存在性问题的研究方法和策略（二）解题策略：动点（线、面）→画出符合条件的静态图形→设出关键点坐标→由点坐标表示线段长→建立模型（方程）→解方程求解符合条件的点坐标→验证符合题意二、君朋讲习问题串的（1）——（3）背景问题：如图，抛物线与x轴交A(-1,0)、B（3,0）两点，与y轴交于点C,顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上有一动点M，在抛物线的对称轴上是否存在一点N，使以A,B,M,N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在直接写出M点的坐标.解：(2) ,说明：（1）（2）学生基本能在学生层面解决，教师针对学生问题进行归纳提升，分类问题，分类的标准，借助手中的尺子，动中取静。
（3）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m①求直线BC的解析式②用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF是平行四边形？提示工具：平面内任意两点P（a，b），Q（c，d）的距离公式说明：学生君朋讲习，体会解题策略，个别学生梳理，讲解分析，教师归纳动点问题的研究策略：关键点坐标——线段长——构建方程——解方程——验证（学生完成板书）解答略三、一题多变，提升能力提升1：问在刚在的背景下，四边形PEDF可能是菱形吗？如果可能，求m的值；如果不可能，请说明理由。
(完整版)九年级--二次函数中的动点问题
第九讲-—二次函数动点问题的学习归纳模式1：平行四边形例题1：在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A （-4，0），B （0，-4），C （2，0)三点.(1）求抛物线的解析式；(2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S 。
求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值；(3）若点P 是抛物线上的动点,点Q 是直线y=－x 上的动点，判断有几个位置能使以点P 、Q 、B 、0为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标。
练习:如图，抛物线322++-=x x y 与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C,顶点为D ．（1）直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴;（2）连结BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点，过点P 作PF//DE 交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为m ．①用含m 的代数式表示线段PF 的长,并求出当m 为何值时,四边形PEDF 为平行四边形？ ②设△BCF 的面积为S ，求S 与m 的函数关系．模式2:直角三角形例题2：如图，已知一次函数y=0。
5x+2的图象与x轴交于点A，与二次函数y=ax2+bx+c的图象交于y轴上的一点B，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2．(1）求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；(2）设一次函数y=0。
5x+2的图象与二次函数y=ax2+bx+c的图象的另一交点为D,已知P为x轴上的一个动点,且△PBD为直角三角形,求点P的坐标．练习：如图1，直线434+-=xy和x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是（-2,0）．（1）试说明△ABC是等腰三角形；（2）动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M运动t秒时,△MON的面积为S．①求S与t的函数关系式;②设点M在线段OB上运动时，是否存在S＝4的情形？若存在，求出对应的t值；若不存在请说明理由；③在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值．模式3:等腰三角形例题3:如图，抛物线y=ax2—5ax+4经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC．(1）求抛物线的对称轴；（2)写出A，B，C三点的坐标并求抛物线的解析式;（3）探究:若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在△PAB是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由．练习：已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)经过点B （12,0)和C （0,－6)，对称轴x ＝2．（1）求该抛物线的解析式．（2)点D 在线段AB 上且AD ＝AC ，若动点P 从A 出发沿线段AB 以每秒1个单位长度的速度匀速运动,同时另一个动点Q 以某一速度从C 出发沿线段CB 匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ 被直线CD 垂直平分?若存在,请求出此时的时间t(秒）和点Q 的运动速度；若存在，请说明理由．（3）在（2）的结论下,直线x ＝1上是否存在点M ，使△MPQ 为等腰三角形?若存在,请求出所有点M 的坐标;若不存在,请说明理由．模式4：相似三角形例题4：已知：在平面直角坐标系中，抛物线32+-=x ax y （0≠a )交x 轴于 A 、B 两点,交y 轴于点C,且对称轴为直线2x =-．（1）求该抛物线的解析式及顶点D 的坐标；(2）若点P （0，t ）是y 轴上的一个动点，请进行如下探究：探究一：如图1，设△PAD 的面积为S,令W ＝t·S，当0＜t ＜4时，W 是否有最大值？如果有，求出W 的最大值和此时t 的值；如果没有，说明理由；探究二：如图2，是否存在以P 、A 、D 为顶点的三角形与Rt △AOC相似？如果存在，求点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．练习：如图，已知抛物线经过A （﹣2,0），B （﹣3，3）及原点O ，顶点为C（1）求抛物线的函数解析式．（2）设点D 在抛物线上，点E 在抛物线的对称轴上，且以AO 为边的四边形AODE 是平行四边形，求点D 的坐标．(3）P 是抛物线上第一象限内的动点,过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为M,是否存在点P,使得以P ，M,A 为顶点的三角形与△BOC 相似？若存在,求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．yx O CBA D。
二次函数中动点问题——平行四边形
2018年04月28日187****6232 的初中数学组卷一•解答题(共5小题)1 •如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A (- 1, 0),点B (3, 0)和点C (0, 3).(1)求抛物线的解析式和顶点E的坐标；(2)点C是否在以BE为直径的圆上请说明理由；(3)点Q是抛物线对称轴上一动点，点R是抛物线上一动点，是否存在点Q、R,使以Q、R、C、B为顶点的四边形是平行四边形若存在，直接写出点Q、R2•如图，已知抛物线y=af+bx+c过点A (- 3, 0)，B (-2, 3)，C (0, 3)，其顶点为D.(1)求抛物线的解析式；(2)设点M (1, m),当MB+MD的值最小时，求m的值；(3)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△ APC的面积的最大值；(4)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点N, E为直线AC上任意一点，过点E 作EF// ND交抛物线于点F,以N, D, E, F为顶点的四边形能否为平行四边形若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由.3•如图，抛物线y=X2 - 2x- 3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），直线I与抛物线交于A, C两点，其中点C的横坐标为2 .（1）求A，B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点（P与A，C不重合），过P点作y轴的平行线交抛物线于点丘，求厶ACE H积的最大值；（3）若直线PE为抛物线的对称轴，抛物线与y轴交于点D,直线AC与y轴交于点Q,点M为直线PE上一动点，则在x轴上是否存在一点N,使四边形DMNQ 的周长最小若存在，求出这个最小值及点M ,N的坐标；若不存在，请说明理由.（4）点H是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F,使A、C、F、H四个点为顶点的四边形是平行四边形如果存在，请直接写出所有满足条件的F点坐标；如4. 如图，在平面直角坐标系中，直线y=-3x-3与x轴交于点A,与y轴交于点C.抛物线y=x2+bx+c经过A, C两点，且与x轴交于另一点B （点B在点A右侧）. （1）求抛物线的解析式及点B坐标；(2)若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F,交抛物线于点E.求ME长的最大值；(3)试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P,使以M， F，B，P为顶点的四边形是平行四边形若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由.5. 如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴，点C在y轴正半轴，OA=4, OC=3抛物线经过O，A两点且顶点在BC边上，与直线AC交于点D.(1)求抛物线的解析式；(2)求点D的坐标；(3)若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以A，D，M，N为顶点的2018年04月28日187****6232 的初中数学组卷参考答案与试题解析一•解答题(共5小题)1 •如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A (- 1, 0),点B (3, 0)和点C (0, 3).(1)求抛物线的解析式和顶点E的坐标；(2)点C是否在以BE为直径的圆上请说明理由；(3)点Q是抛物线对称轴上一动点，点R是抛物线上一动点，是否存在点Q、R,使以Q、R、C、B为顶点的四边形是平行四边形若存在，直接写出点Q、R【分析】(1)将A(- 1, 0)、B(3, 0)、C(0, 3)三点坐标代入抛物线y=af+bx+c 中，列方程组求a、b、c的值即可；(2) 根据勾股定理的逆定理可得：/ BCE=90,可得结论；(3) 分两种情况：①以BC为边时，如图1, R在对称轴的右侧时，BC// RQ四边形CQRB是平行四边形，根据平移规律先得R的横坐标为4,代入抛物线的解析式可得R (4,- 5),由平移规律可得Q (1,- 2)；如图2, R在对称轴的左侧，RC// BQ,四边形CRQB是平行四边形，同理可得点Q、R的坐标.②以BC为对角线时，如图3,同理根据平移规律可得结论.r a-b>+e=O【解答】解：(1)由题意，得：二0,c=3 kTt解得：，22 ,3i匸二故这个抛物线的解析式为y= - X2+2X+3,y= -X2+2X+3=-(X- 1) 2+4,•••顶点 E (1, 4);(2) 点C在以BE为直径的圆上，理由是：•- C( 0, 3), B (3, 0), E( 1 , 4),••• BG=32+32=18, C底=12+12=2, B民(3- 1) 2+42=20,••• B G+C E=B W,•••/ BCE=90,•••点C在以BE为直径的圆上；(3) 存在，分两种情况：①以BC为边时，如图1, R在对称轴的右侧时，BC// RQ,四边形CQRB是平行四边形, 由C到B的平移规律可知：Q的横坐标为1,则R的横坐标为4,当X=4时，y=-X2+2X+3=- 42+2X 4+3= - 16+8+3=- 5,•- R( 4 , - 5),•- Q (1 , - 2);如图2, R在对称轴的左侧,RC// BQ ,四边形CRQB是平行四边形, 由C到B的平移规律可知：Q的横坐标为1,则R的横坐标为-2 ,当X=- 2 时，y=-X2+2X+3=- 4+2X( - 2) +3=-5 ,•- R(-2, - 5),•- Q (1, - 8);②以BC为对角线时，如图3 ,由C和Q的平移规律可得：R的横坐标为2 ,当X=2时，y=- 4+4+3=3,•- R( 2 , 3),根据R到B的平移规律可得：Q (1, 0);综上所述，R (4,- 5), Q (1,- 2)或R (-2, - 5), Q (1,- 8)或R (2, 3), Q (1, 0).【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，圆周角定理, 勾股定理的应用，平行四边形的判定等，分类讨论的思想是( 3)的关键.2•如图，已知抛物线y=af+bx+c过点A (- 3, 0), B (-2, 3), C (0, 3),其顶点为D.(1)求抛物线的解析式；(2)设点M (1, m),当MB+MD的值最小时，求m的值；(3)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△ APC的面积的最大值；(4)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点N, E为直线AC上任意一点，过点E 作EF// ND交抛物线于点F,以N, D, E, F为顶点的四边形能否为平行四边形若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由.【分析】(1)根据待定系数法，可得答案;(2)利用轴对称求最短路径的知识，找到 B 点关于直线x=1的对称点B',连接 B'D, B'D 与直线x=1的交点即是点M 的位置，继而求出m 的值.(3) 根据平行于y 轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减去较小的纵坐标， 可得PE 的长，根据三角形的面积，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得 答案；(4) 设出点E 的，分情况讨论，①当点E 在线段AC 上时，点F 在点E 上方，② 当点E 在线段AC (或CA )延长线上时，点F 在点E 下方，根据平行四边形的性 质，可得关于x 的方程，继而求出点E 的坐标.【解答】解：(1)将A ，B, C 点的坐标代入解析式，得9a-3b+c — 0I ■- ■ - ■ 1， c=3解得心-2，t c=3抛物线的解析式为y=- x 2 - 2x+3(2) 配方，得y=-(x+1) 2+4,顶点D 的坐标为(-1, 4)作B 点关于直线x=1的对称点B',则 B' (4, 3)，由(1)得 D (- 1 可求出直线DB 的函数关系式为y 当M (1, m )在直线DB 上时，MN+MD 的值最小, 贝U m=-£x 1 + 严=¥ .5 5 5(圍1(3)作PE±x轴交AC于E点，如图2AC的解析式为y=x+3,设P (m, - m2- 2m+3), E (m, m+3),PE=- m2- 2m+3-( m+3) =- m2- 3m& APC^PE|X A|=—(-m2- 3m) x 3=-当口=-3时，厶APC的面积的最大值是2(4)由(1)、(2)得 D (- 1, 4), N(-1, 2)点E在直线AC上，设E (x, x+3),①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F(x，- x2-2x+3)，•••EF=DN•••- x2- 2x+3-( x+3) =4 - 2=2,解得，x=- 2或x=- 1 (舍去)，则点E的坐标为：(-2, 1).②当点E在线段AC(或CA)延长线上时，点F在点E下方，则F(x，- x2- 2x+3), •••EF=DN• ( x+3)- (- x2- 2x+3) =2,解得x= 或x=~2即点E的坐标为：(2 2综上可得满足条件的点E为E (-2, 1)或：(I", ；)或(2 ).【点评】本题考查了二次函数的综合题，解(1)的关键是待定系数法，解(2) 利用轴对称求最短路径；解(3)的关键是利用三角形的面积得出二次函数；解(4) 的关键是平行四边形的性质得出关于x的方程，要分类讨论，以防遗漏.3•如图，抛物线y=x2- 2x-3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，直线I 与抛物线交于A，C两点，其中点C的横坐标为2 .(1)求A，B两点的坐标及直线AC的函数表达式；(2)P是线段AC上的一个动点(P与A，C不重合)，过P点作y轴的平行线交抛物线于点丘，求厶ACE H积的最大值；(3)若直线PE为抛物线的对称轴，抛物线与y轴交于点D,直线AC与y轴交于点Q,点M为直线PE上一动点，则在x轴上是否存在一点N,使四边形DMNQ 的周长最小若存在，求出这个最小值及点M ,N的坐标；若不存在，请说明理由.(4)点H是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F,使A、C、F、H四个点为顶点的四边形是平行四边形如果存在，请直接写出所有满足条件的F点坐标；如【分析】(1)令抛物线y=x2- 2x- 3=0，求出x的值，即可求A，B两点的坐标，根据两点式求出直线AC的函数表达式；(2)设P点的横坐标为x (- Kx<2)，求出P、E的坐标，用x表示出线段PE 的长，求出PE的最大值，进而求出△ ACE的面积最大值；(3)根据D点关于PE的对称点为点C (2，- 3)，点Q (0，- 1)点关于x轴的对称点为M (0，1)，则四边形DMNQ的周长最小，求出直线CM的解析式为y=-2x+1,进而求出最小值和点M， N的坐标；(4)结合图形，分两类进行讨论，① CF平行x轴，如图1,此时可以求出F点两个坐标；②CF不平行x轴，如题中的图2，此时可以求出F点的两个坐标. 【解答】解：(1)令y=0，解得x i = - 1或X2=3,••• A (- 1, 0), B (3, 0);将C点的横坐标x=2代入y=x2- 2x- 3得y=- 3,•-C( 2,- 3),•••直线AC的函数解析式是y=-x- 1,(2)设P点的横坐标为x (- Kx<2),则P、E 的坐标分别为：P (x,- x- 1), E (x, x2-2x- 3),I P 点在E点的上方，PE= (- x- 1)-( x2-2x- 3) =- X2+X+2,.••当x丄时，PE 的最大值」,2 4△ ACE的面积最大值丄PE[2-( - 1) ]—PE」,2 2 8(3) D点关于PE的对称点为点C( 2, - 3),点Q (0, - 1)点关于x轴的对称点为K (0 , 1),连接CK交直线PE于M点,交x轴于N点,可求直线CK的解析式为y=- 2x+1 , 此时四边形DMNQ的周长最小,最小值=|CM|+QD=2 !,+2,求得M (1, - 1) , N (订,0).(4) 存在如图1,若AF// CH,此时的D和H点重合,CD=2,则AF=2,再根据 |HA|=|CF| ,求出 F 4 （4—衙，0）, Q ）.综上所述，满足条件的F 点坐标为F i (1, 0), F 2 (- 3, 0) , F3如护,°), F 4 (4-一 , 0).【点评】本题主要考查二次函数的综合题的知识点，解答本题的关键是熟练掌握 对称的知识和分类讨论解决问题的思路，此题难度较大.4. 如图，在平面直角坐标系中，直线 y=-3x -3与x 轴交于点A ,与y 轴交于 点C .抛物线y=x 2+bx+c 经过A , C 两点，且与x 轴交于另一点B (点B 在点A 右 侧).(1) 求抛物线的解析式及点B 坐标；(2) 若点M 是线段BC 上一动点，过点M 的直线EF 平行y 轴交x 轴于点F ,交抛物如图2,根据点A 和F 的坐标中点和点 C 和点H 的坐标中点相同,线于点E.求ME长的最大值；(3)试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P,使以M， F，B，P为顶点的四边形是平行四边形若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由.【分析】(1)先根据直线的解析式求出A、C两点的坐标，然后将A、C的坐标代入抛物线中即可求出二次函数的解析式.进而可根据抛物线的解析式求出B 点的坐标.(2)ME的长实际是直线BC的函数值与抛物线的函数值的差，据此可得出一个关于ME的长和F点横坐标的函数关系式，可根据函数的性质来求出ME的最大值.(3)根据(2)的结果可确定出F，M的坐标，要使以M， F，B，P为顶点的四边形是平行四边形，必须满足的条件是MP// =BF,那么只需将M点的坐标向左或向右平移BF长个单位即可得出P点的坐标，然后将得出的P点坐标代入抛物线的解析式中，即可判断出是否存在符合条件的P点.【解答】解：(1)当y=0时，-3x- 3=0, x=- 1•-A (- 1, 0)当x=0 时，y=- 3,•-C( 0,- 3),抛物线的解析式是：y=f - 2x- 3.当y=0 时，x2- 2x- 3=0,解得：X1=— 1 , x2=3••• B (3, 0).(2)由(1)知 B (3, 0), C (0,- 3)直线 BC 的解析式是：y=x -3, 设 M (x , x -3) (0<x < 3),贝U E (x , x 2- 2x - 3)••• ME= (x - 3)-( x 2- 2x - 3) =- x 2+3x=-( x -丄)2丄；.••当x 』时，ME 的最大值为—. 2 4(3)答：不存在.•皿亡，BF =O B- OFj 设在抛物线x 轴下方存在点P ,使以P 、M 、F 、B 为顶点的四边形是平行四边形, 贝U BP// MF , BF// PM .• P i (0,- 一)或 P 2 (3,• P 2不在抛物线上.综上所述：在x 轴下方抛物线上不存在点P ,使以P 、M 、F 、B 为顶点的四边形 是平行四边形.【点评】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、平行四边形的判定和性 质等知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法. (2)中弄清线段ME 长度的函数意义是解题的关键. 5. 如图，矩形OABC 在平面直角坐标系中，点 A 在x 轴正半轴，点C 在y 轴正 半轴，OA=4, OC=3抛物线经过O , A 两点且顶点在BC 边上，与直线AC 交于 点D .(1) 求抛物线的解析式；由(2)知ME 取最大值时ME J , E4 15T 当 P i (0, 2 • P i 不在抛物线上. )时，由(1)知 y=“ - 2x - 3=- 3工-当 P 2 (3, )时，由(1)知 y=« - 2x - 3=0工-(2) 求点D的坐标；(3) 若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以A, D, M , N为顶点的-2)2+3,将A(4, 0)坐标代入q求出a即可解决问题；(2)求出直线AC的解析式，利用方程组确定交点坐标即可;(3) 分两种情况考虑：①当点M在x轴上方时，如答图1所示；②当点M在x轴下方时，如答图2所示；分别利用待定系数法即可解决问题；【解答】解：(1)设抛物线顶点为E,根据题意OA=4, OC=3得：E (2，3)，设抛物线解析式为y=a (x- 2) 2+3,将A (4, 0)坐标代入得：0=4a+3,即a=-二，4则抛物线解析式为y=-[ (x-2) 2+3二-二/+3x;(2)设直线AC解析式为y=kx+b (〜0), 将A (4, 0)与C (0, 3)代入得: f 4Hb=0仏犬，解得：4,故直线AC解析式为y=-[x+3,与抛物线解析式联立得:3y=〒+3y=a (x（3）存在，分两种情况考虑：①当点M 在x 轴上方时，如答图1所示: B/ o M 3 —h四边形ADMN 为平行四边形，DM // AN, DM=AN,由对称性得到 M （3,号），即DM=2，故AN=2,•-N i （2，0），N 2 （6，0）;②当点M 在x 轴下方时，如答图2所示:/o\「 ■ 1 迟A 、\过点D 作DQ 丄x 轴于点Q ,过点M 作MP 丄x 轴于点P ,可得△ ADQ ^^ NMP ， ••• MP=DQ 卑,NP=AQ=34将y M =-寸代入抛物线解析式得：-亍=-亍x 2+3x ,解得：X M =2 -.厂或 X M =2+：：厂 i ,X N =X M - 3=-F F - 1 或曲 i — 1, K=1则点D 坐标为（二N3 (-屮1, o), N4( -1, o).综上所述，满足条件的点N有四个：N i (2, 0), N2 (6, 0), N3 (-W - 1, 0), N4 (衙-1, 0).【点评】此题考查了二次函数综合题、待定系数法确定抛物线解析式，一次函数与二次函数的交点，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题.。
二次函数中四边形的存在性问题doc
二次函数之四边形存在性问题【揭秘课堂】模块一平行四边形存在性问题模块二特殊平行四边形存在性问题【走进课堂】模块一平行四边形存在性问题【知识梳理】三定一动、两定两动：平移法，常规联立法，中点坐标法等．【经典例题】1．如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx +4与x 轴交于A （﹣3，0），B 两点，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线解析式及B ，C 两点坐标；（2）以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是平行四边形，求点D 坐标；2.如图，已知抛物线2y x bx c =-++与直线AB 交于点()30A -，，点()14B ，．（1）求抛物线的解析式；（2）点M 是x 轴上方抛物线上一点，点N 是直线AB 上一点，若以A 、O 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形，求点M 的坐标．模块二特殊平行四边形存在性【知识梳理】菱形、矩形、正方形的存在性问题，通常借助转化思想来分析，将复杂、陌生问题转化为简单、熟悉问题解决．①菱形存在性问题转化为等腰三角形存在性问题；②矩形存在性问题：转化为直角三角形存在性问题；③正方形存在性问题转化为等腰直角三角形存在性问题；【经典例题】1．如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，点B的坐标为（1，0），对称轴是直线x＝﹣1，点P是x轴上一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．（1）求这个二次函数的解析式；（2）若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图甲，在y轴上找一点D，使△ACD为等腰三角形，请直接写出点D的坐标；（3）如图乙，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在P、Q两点使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出P、Q两点的坐标，若不存在，请说明理由3.已知：如图一次函数112y x =+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，二次函数212y x bx c =++的图象与一次函数112y x =+的图象交于B 、C 两点，与x 轴交于D 、E 两点且D 点坐标为（1，0）（1）求二次函数的解析式；（2）求抛物线上存在点P ，使S △BDC =S △PBC ，求出P 点坐标（不与已知点重合）；（3）在x 轴上存在点N ，平面内存在点M ，使得B 、N 、C 、M 为顶点构成矩形时，求M 点坐标4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的交点分别为A和B（1，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，3），点P是直线AC上方抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，设点M为抛物线对称轴上一动点，当点P，点M运动时，在坐标轴上确定点N，使四边形PMCN为矩形，求出所有符合条件的点N的坐标．5．如图，抛物线y1＝ax2+bx+c的图象经过A（﹣6，0），B（﹣2，0），C（0，6）三点，且一次函数y＝kx+6的图象经过点B．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）点E，F为平面内两点，若以E、F、B、C为顶点的四边形是正方形，且点E在点F的左侧．这样的E，F两点是否存在？如果存在，请求出所有满足条件的点E的坐标；如果不存在，请说明理由；【能力训练】1.如图，二次函数22133y x x =--的图像经过AOB △的三个顶点，其中()1A m ，，()2B n -，．（1）求点A ，B 的坐标；（2）在第三象限存在点C ，使以A ，O ，B ，C 为顶点的四边形是平行四边形，求满足条件的点C 的坐标；2．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．（1）求该抛物线的表达式；（2）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2.如图，抛物线2(0)=++≠与x轴、y轴分别交于A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三y ax bx c a点．（1）试求抛物线的解析式；（2）设点M是x轴上的动点，在平面直角坐标系中，是否存在点N，使得以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，求出所有符合条件的点N坐标；若不存在，说明理由．3．如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A，B（3，0）两点，交y轴于点C（0，﹣3）．点P是抛物线上一个动点．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）当动点P在直线BC上方时，在平面直角坐标系内是否存在点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；114．已知二次函数213y x bx c =-++的图像L 经过原点，与x 轴的另一个交点为()80，．（1）求该二次函数的解析式；（2）作x 轴的平行线，交L 于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），过A ，B 两点作x 轴的垂线，垂足分别为点D 、C ．当以ABCD 为顶点的四边形是正方形时，求点A 的坐标．。
二次函数动点平行四边形问题方法
二次函数动点平行四边形问题方法
解决二次函数中的动点平行四边形问题，可以按照以下步骤进行：
1. 确定二次函数的表达式：首先需要确定二次函数的表达式，可以根据已知的顶点坐标或一般式来求解。
2. 确定动点的坐标：根据平行四边形的性质，动点的坐标可以通过平移来得到。
可以先确定平行四边形的一个顶点坐标，然后通过平移得到其他顶点的坐标。
3. 求解平行四边形的面积：根据平行四边形的性质，可以计算出每个三角形的面积，然后将它们相加得到平行四边形的面积。
4. 求解平行四边形的周长：可以根据平行四边形的性质，通过计算相邻两边之和来得到平行四边形的周长。
例如，如果二次函数的表达式为y=x^2-2x+1，动点A的坐标为(0,1)，B点的坐标为(2,1)，C点的坐标为(1,0)，求平行四边形ABCD的面积和周长。
首先，可以画出函数的图像和三个点的位置，然后根据平行四边形的性质，得到D点的坐标为(3,1)。
然后，可以计算出三角形ABC的面积为1/2，三角形ABD的面积为1/2，所以平行四边形ABCD的面积为1。
最后，可以计算出平行四边形ABCD的周长为4。
通过这种方法，可以解决二次函数中动点平行四边形的问题。
二次函数应用之动点问题
动线问题
• 4、已知：如图平行四边形ABCD，AB=4cm,BC=6cm,∠ ＡＢＣ=30°.平行四边形的边BC沿着ＢＡ方向以1cm/s的 速度向ＡＤ平移，平移过程中与ＡＢ、ＢＤ、ＣＤ分别交 于Ｍ、Ｑ、Ｎ，动点P从A出发沿着ＡＤ向点Ｄ移动，边 ＢＣ和点P同时出发，运动时间为t(s)(0≤t≤4) • （1）求平行四边形ABCD的面积. • （2）设Ｓ△PQN=y，请求出y与t的函数关系式. • （3）是否存在某一时刻t，使Ｓ△PQN ︰Ｓ四边形ＡＢ ＣＤ＝1︰4.若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理 由. • （4）连接ＰＭ，若把△PMＱ沿着PM折叠后，能够与 △PMA重合，求此时点P移动的距离.
和等边△ （3）假设 △DEF和等边△ABC重合部分 ）假设Rt△ 和等边 重合部分 的面积是y，请你写出y与x之间的函数关系 的面积是 ，请你写出 与 之间的函数关系 式； （4）重合部分的面积与 △DEF的面积的比 ）重合部分的面积与Rt△ 的面积的比 有可能是7： 吗 如果有可能， 有可能是 ：24吗？如果有可能，请求出此 的值； 时x的值；如果没有可能，请说明理由。 的值 如果没有可能，请说明理由。
在梯形 ABCD中，AD ∥ BC，AD = 3，DC = 5，AB = 4 2，∠B = 45°． 点出发沿线段BC以每秒 点M从B点出发沿线段 以每秒 个单位长度的速度向终 从 点出发沿线段 以每秒2个单位长度的速度向终 C点运动；动点 同时从 点出发沿线段 以每秒 个 点运动； 同时从C点出发沿线段 以每秒1个 点运动 动点N同时从 点出发沿线段CD以每秒 单位长度的速度向终点D运动 设运动的时间为t秒 运动． 单位长度的速度向终点 运动．设运动的时间为 秒．
二次函数的应用
------之动点、动线、动面问题 之动点、动线、 之动点
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二次函数与四边形一.二次函数与四边形的形状例1.(浙江义乌市)如图，抛物线y x2 2x 3与x轴交A B两点(A点在B点左侧)，直线I与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2.(1)求A B两点的坐标及直线AC的函数表达式；(2) P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；(3)点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F,使A C F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由.练习1.(河南省实验区)23 •如图，对称轴为直线x 7的抛物线经过点2A (6, 0)和B ( 0, 4).(1) 求抛物线解析式及顶点坐标；x(2) 设点E ( x , y )是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形是以OA为对角线的平行四边形•求平行四边形系式，并写出自变量x的取值范围；①当平行四边形OEAF勺面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？②是否存在点E,使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E O 的坐标；若不存在，请说明理由. B(0,4)A(6,0)OEAF OEAF的面积S与x之间的函数关练习2.(四川省德阳市) 25.如图，已知与x轴交于点A(1,0)和B(5,0)的抛物线11的顶点为C(3,4)，抛物线12与l i关于x轴对称，顶点为C .(1) 求抛物线12的函数关系式;(2)已知原点0,定点D(0,4), 12上的点P与l i上的点P始终关于x轴对称，则当点P运动到何处时，以点D, 0, P, P为顶点的四边形是平行四边形?(3) 在12上是否存在点M，使△ ABM是以AB为斜边且一个角为30°的直角三角形？若存,求出点M的坐标；若不存在，说明理由.练习3.(山西卷)如图，已知抛物线C i与坐标轴的交点依次是A( 4,0) , B( 2,0) , E(0,8).(1)求抛物线G关于原点对称的抛物线C2的解析式；(2)设抛物线G的顶点为M，抛物线C2与x轴分别交于C, D两点(点C在点D的左侧)，顶点为N，四边形MDNA的面积为S .若点A，点D同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M，点N同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A与点D重合为止•求出四边形MDNA的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出自变量t的取值范围；(3)当t为何值时，四边形MDNA的面积S有最大值，并求出此最大值；(4)在运动过程中，四边形MDNA能否形成矩形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由.二.二次函数与四边形的面积2例1.（资阳市）25.如图10,已知抛物线P: y=ax+bx+c（a丰0）与x轴交于A B两点（点A在x 轴的正半轴上），与y轴交于点C,矩形DEFG勺一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC AC上，抛物线P 上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：⑴求A、B C三点的坐标；（2）若点D的坐标为（m, 0），矩形DEFG勺面积为S,求S与m的函数关系，并指出m的取值范围；（3）当矩形DEFG勺面积S取最大值时，连接DF并延长至点M使FM=kDF, 若点M不在抛物线P 上，求k的取值范围.图10练习1.（辽宁省十二市2007年第26题）.如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH点H的坐标为（一8, 0）,点N的坐标为（一6,—4）.（1）画出直角梯形OMN绕点O旋转180°的图形OABC并写出顶点A, B, C的坐标（点M的对应点为A,点N的对应点为B,点H的对应点为C）;（2）求出过A B, C三点的抛物线的表达式；（3）截取CE=OF=A（=m 且E, F, G分别在线段CQ OA AB上，求四边形BEFG勺面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；面积S是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；（4）在（3）的情况下，四边形BEFG^否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时m的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由.练习3.(吉林课改卷)如图，正方形ABCD 的边长为2cm ,在对称中心0处有一钉子.动点P ,Q 同时从点A 出发，点P 沿A B C 方向以每秒2cm 的速度运动，到点C 停止，点Q 沿A D方向以每秒1cm 的速度运动，到点D 停止.P , Q 两点用一条可伸缩的细橡皮 筋联结，设x 秒后橡皮筋扫过的面积为 ycm 2 .(1) 当0 < x < 1时，求y 与x 之间的函数关系式； (2) 当橡皮筋刚好触及钉子时，求 x 值；(3) 当1 < x < 2时，求y 与x 之间的函数关系式，并写出橡皮筋从触及 钉子到运动停止时 Z POQ 的变化范围；(4) 当0< x < 2时，请在给出的直角坐标系中画出 y 与x 之间的函数图象.练习4.(四川资阳卷)如图，已知抛物线 丨1： y =x 2-4的图象与x 轴相交于A 、C 两点，B 是抛物线 l 1上的动点(B 不与A C 重合)，抛物线丨2与l 1关于x 轴对称，以 AC 为对角线的平行四边形 ABC 啲 第四个顶点为D(1) 求12的解析式；(2) 求证：点D 一定在1 2上;(3)□ ABC ［能否为矩形？如果能为矩形，求这些矩形公共部分的面积(若只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积 )；如果不能为矩形，请说明理由•注：计算结果不取近似值B CPAQ D BPCO三．二次函数与四边形的动态探究例1.(荆门市)28.如图1 ,在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC已知0(0 , 0) , A(4 ,0), C(0 , 3)，点P是OA边上的动点(与点O A不重合).现将△ PAB沿PB翻折，得到△ PDB再在OC边上选取适当的点巳将厶POE沿PE翻折，得到△ PFE并使直线PD PF重合.(1) 设P(x, 0), E(0 , y) ,求y 关于x 的函数关系式,并求y 的最大值；(2) 如图2,若翻折后点D落在BC边上，求过点P、B、E的抛物线的函数关系式；(3) 在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q使厶PEC是以PE为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标.图 1 图 2例2. (2010年沈阳市第26题)、已知抛物线y = ax2 + bx+ c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB OC的长(O^OC是方程x2 —10x+ 16= 0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x = —2.(1) 求A B、C三点的坐标；( 2)求此抛物线的表达式；(3)连接AG BC若点E是线段AB上的一个动点(与点A、点B不重合)，过点E作EF// AC交BC于点F,连接CE设AE的长为m △ CEF的面积为S,求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；(4)在(3)的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E 的坐标，判断此时△ BCE勺形状；若不存在，请说明理由.例3..(湖南省郴州)27 .如图，矩形ABCDK AB= 3, BC= 4，将矩形ABCD&对角线A平移，平移后的矩形为EFG(A、E C、G始终在同一条直线上)，当点E与C重时停止移动•平移中EF与BC交于点N, GH与BC的延长线交于点M EH与D C交于点P, FG与DC的延长线交于点Q.设S表示矩形PCM的面积，S表示矩形NFQC勺面积.(1)S与S相等吗？请说明理由.(2)设AE= x,写出S和x之间的函数关系式，并求出x取何值时S有最大值，最大值是多少？3)如图11,连结BE,当AE为何值时，ABE是等腰三角形.图10图11练习1. (07年河池市)如图12,四边形OAB(为直角梯形，A(4, 0) , B(3, 4) , C(0,4).点M从0出发以每秒2个单位长度的速度向A运动；点N从B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C运动•其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动•过点N作NP垂直x轴于点P , 连结AC交NP于Q连结MQ(1)点 ______ (填M或N)能到达终点；(2)求厶AQM的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自〜变量t的取值范围，当t为何值时，S的值最大；(3)是否存在点M使得△ AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由.—►图12练习2..(江西省)25 •实验与探究(1)在图1, 2, 3中，给出平行四边形ABCD的顶点A B, D的坐标(如图所示)，写出图1,2, 3中的顶点C 的坐标，它们分别是 (5,2),ABCD 的顶点A, B , D 的坐标(如图所示)，求出顶点 C 的坐标(C 点坐标用含a ， b, c, d ，e,归纳与发现(3)通过对图1, 2, 3, 4的观察和顶点 C 的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形 ABCD 处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为A(a, b), B(c , d), C(m, n), D(e, f)(如图4)时,则四个顶点的横坐标 a, c, m, e 之间的等量关系为 _________________；纵坐标b , d , n , f 之间的等量关 系为 ___________ (不必证明)；运用与推广一215 19(4)在同一直角坐标系中有抛物线y X (5c 3)x c 和三个点 Gc,— c , S - c,— c , 2 2 2 2H(2c,0)(其中c 0) •问当c 为何值时，该抛物线上存在点P ，使得以G, S, H , P 为顶点的四边形是平行四边形？并求出所有符合条件的P 点坐标.(2)在图4中，给出平行四边形f 的代数式表示)；2, 3中的顶点C的坐标，它们分别是(5,2),答案：一.二次函数与四边形的形状例1.解：（1 ）令y=0,解得x i1 或 x23 ••• A (-1 , 0) B (3, 0);• y<0,即一y>0, - y 表示点E 到0A 的距离OA 是 YOEAF 的对角线，17• S 2S/OAE 2 2 OA y 6y 4（ ^）2 25.因为抛物线与x 轴的两个交点是（1，0）的（6，0），所以，自变量 x 的 取值范围是1 v x v 6.根据题意，当S = 24时，即4（x2）2257 21化简，得（x ）.解之，得x 1 3,x 2 4.2 4故所求的点E 有两个，分别为 E （ 3，- 4），E 2 （4，- 4）. 点E 1 （3，- 4）满足OE = AE ，所以YOEAF 是菱形；将C 点的横坐标x=2代入y2x 2 2x 3 得 y=-3，• C( 2，-3 ) •••直线AC 的函数解析式是y=-x-1（2）设P 点的横坐标为x （-1 w X W 2）贝9 P 、E 的坐标分别为：P （x , -x-1 ),2 2E ( (x, x 2x 3) •/ P 点在 E 点的上方，PE=( x 1) (x 2x 3)x 2 x1 9•••当x —时，PE 的最大值=-2 4(3) 存在 4 个这样的点 F ,分别是 F 1(1,0), F 2( 3,0),F 3(4 、、7,0), F 4(4此时点 E的点E2 （4，- 4）不满足OE = AE，所以YOEAF不是菱形.②当OAL EF，且OA = EF时，YOEAF是正方形,抛物线12的函数关系式为y (x 3)2 4 (或y x 2 6x 5)设点P 的横坐标为 m ，则其纵坐标为 m 2 6m 5, Q ODP PxOD ，以点D , O, P, P 为顶点的四边形是平行四边形.(3) 满足条件的点 M 不存在.理由如下：若存在满足条件的点F (0, 8).设抛物线C 2的解析式是16a 4b c 0,a 1,2y ax bx c(a 0),则 4a 2b c 0,解得 b 6,c8.c 8.所以所求抛物线的解析式是y x ：2 6x 8 .(2)由(1)可计算得点 M ( 3, 1), N(3,1).过点N 作NH AD ，垂足为H .当运动到时刻t 时，AD 2OD 8 2t , NH 1 2t .根据中心对称的性质 OA OD , OM ON ，所以四边形 MDNA 是平行四边形. 所以S 2S A ADN .所以，四边形 MDNA 的面积S (8 2t)(1 2t) 4t 2 14t 8.因为运动至点 A 与点D 重合为 止，据题意可知0< t 4.所以，所求关系式是 S 4t 2 14t 8 , t 的取值范围是0 < t 4.7 81AMB 90°, Q BAM 30° (或 ABM 30°),BM -AB2过点M 作MEAB 于点E ，可得BME BAM 30°.EB -BM23 , OE点M 的坐标为 (4, ■, 3) 但是，当x 4时，y 426 45 16 24不存在这样的点 M 构成满足条件的直角三角形.xD(4,0) ,C(2,0),练习3.［解］(1)点A( 4,0)，点B( 2,0)，点E(0,8)关于原点的对称点分别为(2) Q P 与P 始终关于x 轴对称,PP 与y 轴平行.2 m 2 6m 54，即m 2 6m 5 2 .当 m 2 6m 5 2 时，解得 m 36当m 26m 5 2时，解得m 3.2 . 当点 P 运动到(3、、6,2)或(3 •、一 .. 2,2)或(32, 2)时,M 在12上，则（3）S 4 t - 81, （0 < t 4）.4 47 8i所以t -时，S有最大值—.4 4提示：也可用顶点坐标公式来求.（4）在运动过程中四边形MDNA能形成矩形.由（2）知四边形MDNA是平行四边形，对角线是AD, MN，所以当AD MN时四边形MDNA 是矩形.所以OD ON .所以OD2 ON2 OH 2 NH 2.所以t2 4t2 2 0 .解之得匕6 2, t2.6 2 （舍）.所以在运动过程中四边形MDNA可以形成矩形，此时t 、6 2 .［点评］本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压轴题，能力要求较高。