二次函数与四边形的动点问题

二次函数与四边形

一.二次函数与四边形的形状

例1.(浙江义乌市)如图，抛物线y x2 2x 3与x轴交A B两点(A点在B点左侧)，直线I与抛物线交于A、

C两点，其中C点的横坐标为2.

(1)求A B两点的坐标及直线AC的函数表达式；

(2) P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；

(3)点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F,使A C F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行

四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由.

练习1.(河南省实验区)23 •如图，对称轴为直线x 7的抛物线经过点

2

A (6, 0)和

B ( 0, 4).

(1) 求抛物线解析式及顶点坐标；

x

(2) 设点E ( x , y )是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形是以

OA为对角线的平行四边形•求平行四边形系式，并写出自变量x的取值范

围；

①当平行四边形OEAF勺面积为24时，请判

断平行四边形OEAF是否为菱

形？

②是否存在点E,使平行四边形OEAF为正方

形？若存在，求出点

E O 的坐标；若不存在，请说明理由. B(0,4)

A(6,0)

OEAF OEAF的面积S与x之间的函数关

练习2.(四川省德阳市) 25.如图，已知与x轴交于点A(1,0)和B(5,0)的抛物线11的顶点为

C(3,4)，抛物线12与l i关于x轴对称，顶点为C .

(1) 求抛物线12的函数关系式;

(2)已知原点0,定点D(0,4), 12上的点P与l i上的点P始终关于x轴对称，则当点P运动到

何处时，以点D, 0, P, P为顶点的四边形是平行四边形?

(3) 在12上是否存在点M，使△ ABM是以AB为斜边且一个角为30°的直角三角形？若存,

求出点M的坐标；若不存在，说明理由.

练习3.(山西卷)如图，已知抛物线C i与坐标轴的交点依次是A( 4,0) , B( 2,0) , E(0,8).

(1)求抛物线G关于原点对称的抛物线C2的解析式；

(2)设抛物线G的顶点为M，抛物线C2与x轴分别交于

C, D两点(点C在点D的左侧)，顶点为N，四边形MDNA的面积为S .若点A，点D同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M，点N同时以每秒2个单位

的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A与点D重合为

止•求出四边形MDNA的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出自变量t的取值范围；

(3)当t为何值时，四边形MDNA的面积S有最大值，并求出此最大值；

(4)在运动过程中，四边形MDNA能否形成矩形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由.

二.二次函数与四边形的面积

2

例1.（资阳市）25.如图10,已知抛物线P: y=ax+bx+c（a丰0）与x轴交于A B两点（点A在x 轴的正半轴上），与y轴交于点C,矩形DEFG勺一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC AC上，抛物线P 上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：

⑴求A、B C三点的坐标；

（2）若点D的坐标为（m, 0），矩形DEFG勺面积为S,求S与m的函数关系，并指出m的取值范围；

（3）当矩形DEFG勺面积S取最大值时，连接DF并延长至点M使FM=kDF, 若点M不在抛物线P 上，求k的取值范围.

图10

练习1.（辽宁省十二市2007年第26题）.如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH点H的坐标为（一8, 0）,点N的坐标为（一6,—4）.

（1）画出直角梯形OMN绕点O旋转180°的图形OABC并写出顶点A, B, C的坐标（点M的对应点为A,点N的对应点为B,点H的对应点为C）;

（2）求出过A B, C三点的抛物线的表达式；

（3）截取CE=OF=A（=m 且E, F, G分别在线段CQ OA AB上，求四边形BEFG勺面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；面积S是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；

（4）在（3）的情况下，四边形BEFG^否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时m的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由.

练习3.(吉林课改卷)如图，正方形ABCD 的边长为2cm ,在对称中心0处有一钉子.动点P ,

Q 同时从点A 出发，点P 沿A B C 方向以每秒2cm 的速度运动，到点C 停止，点Q 沿A D

方向以每秒1cm 的速度运动，到点D 停止.P , Q 两点用一条可伸缩的细橡皮 筋联结，设x 秒后橡皮筋扫过的面积为 ycm 2 .

(1) 当0 < x < 1时，求y 与x 之间的函数关系式； (2) 当橡皮筋刚好触及钉子时，求 x 值；

(3) 当1 < x < 2时，求y 与x 之间的函数关系式，并写出橡皮筋从触及 钉子到运动停止时 Z POQ 的变化范围；

(4) 当0< x < 2时，请在给出的直角坐标系中画

出 y 与x 之间的函数图

象.

练习4.(四川资阳卷)如图，已知抛物线 丨1： y =x 2-4的图象与x 轴相交于A 、C 两点，B 是抛物线 l 1上的动点(B 不与A C 重合)，抛物线丨2与l 1关于x 轴对称，以 AC 为对角线的平行四边形 ABC 啲 第四个顶点为

D

(1) 求12的解析式；

(2) 求证：点D 一定在1 2上;

(3)

□ ABC ［能否为矩形？如果能为矩形，求这些矩形公共部分的面积

(若只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积 )；如果不能为矩形，请说

明理由•注：计算结果不取近似值

B C

P

A

Q D B

P

C

O