2020年高考圆锥曲线部分大题解析
2020高考数学圆锥曲线试题(含答案)
2020高考虽然延期，但是每天练习一定要跟上，加油！圆锥曲线一． 选择题：1.（福建卷11)又曲线22221x y a b==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为BA.(1,3)B.(]1,3C.(3,+∞)D.[)3,+∞2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ）A. （41，－1） B. （41，1）C. （1，2）D. （1，－2）3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a ＜22c a . 其中正确式子的序号是BA. ①③B. ②③C. ①④D. ②④4.（湖南卷8）若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2)B.(2,+∞)C.(1,5)D. (5,+∞)5.（江西卷7）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是C A ．(0,1) B ．1(0,]2C．(0,2 D．,1)26.（辽宁卷10）已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ） AB ．3 CD ．927.（全国二9）设1a >，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是（ B ）A． B． C ．(25)， D．(28.（山东卷(10)设椭圆C 1的离心率为135，焦点在X 轴上且长轴长为ABCD-26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为A（A ）1342222=-y x (B)15132222=-y x(C)1432222=-y x (D)112132222=-y x9.（陕西卷8）双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ B ）ABC D10.（四川卷12）已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且AK AF =，则AFK ∆的面积为( B )（Ａ）4 （Ｂ）8 （Ｃ）16 （Ｄ）3211.（天津卷（7）设椭圆22221x y m n+=（0m >，0n >）的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为B（A ）2211216x y += （B ）2211612x y += （C ）2214864x y += （D ）2216448x y += 12.（浙江卷7）若双曲线12222=-by a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是D（A ）3 （B ）5 （C ）3 （D ）5 13.（浙江卷10）如图，AB 是平面a 的斜线段，A 为斜足，若点P 在平面a 内运动，使得△ABP 的面积为定值，则动点P 的轨迹是B（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）一条直线 （D ）两条平行直线14.（重庆卷(8)已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的一条渐近线为y =kx (k ＞0),离心率e 5k ,则双曲线方程为C（A ）22x a －224y a =1(B)222215x y a a -= (C)222214x y b b-=(D)222215x y b b-=二． 填空题：1.（海南卷14）过双曲线221916x y -=的右顶点为A ，右焦点为F 。
2020高考—圆锥曲线(解答+答案)
2020年高考——圆锥曲线1.(20全国Ⅰ文21)（12分）已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程； （2）证明：直线CD 过定点.2.(20全国Ⅰ理20)（12分）已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程； （2）证明：直线CD 过定点.3.（20全国Ⅱ文19）(12 分)已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴重直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |．（1）求C 1的离心率；（2）若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程．4.（20全国Ⅱ理19）（12分）已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |． （1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程．5.（20全国Ⅲ文21）（12分）已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<，A ，B 分别为C 的左、右顶点． （1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ △的面积．6.（20全国Ⅲ理20）（12分）已知椭圆222:1(05)25x y C m m+=<<，A ，B 分别为C 的左、右顶点． （1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ △的面积．7.（20新高考Ⅰ22）（12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点A （2，1）．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．8.(20天津18)（本小题满分15分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．9.(20浙江21)（本题满分15分）如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于点M （B ，M 不同于A ）． （Ⅰ）若116p =，求抛物线2C 的焦点坐标； （Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．10.（20江苏18）（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求12AF F △的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记OAB △与MAB △的面积分别为S 1，S 2，若213S S =，求点M 的坐标．11.(20北京20)（本小题15分）已知椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,1)A --，且2a b =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程：（Ⅱ）过点(4,0)B -的直线l 交椭圆C 于点,M N ,直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ．求||||PB BQ 的值．参考答案：1．解：（1）由题设得(,0),(,0),(0,1)A a B a G -．则(,1)AG a =，(,1)GB a =-．由8AG GB ⋅=得218a -=，即3a =．所以E 的方程为2219x y +=．（2）设1122(,),(,),(6,)C x y D x y P t ．若0t ≠，设直线CD 的方程为x my n =+，由题意可知33n -<<． 由于直线PA 的方程为(3)9t y x =+，所以11(3)9ty x =+．直线PB 的方程为(3)3t y x =-，所以22(3)3ty x =-．可得12213(3)(3)y x y x -=+．由于222219x y +=，故2222(3)(3)9x x y +-=-，可得121227(3)(3)y y x x =-++， 即221212(27)(3)()(3)0m y y m n y y n ++++++=．①将x my n =+代入2219xy +=得222(9)290m y mny n +++-=．所以212122229,99mn n y y y y m m -+=-=-++． 代入①式得2222(27)(9)2(3)(3)(9)0m n m n mn n m +--++++=． 解得3n =-（舍去），32n =． 故直线CD 的方程为32x my =+，即直线CD 过定点3(,0)2． 若0t =，则直线CD 的方程为0y =，过点3(,0)2．综上，直线CD 过定点3(,0)2．2．解：（1）由题设得A （–a ，0），B （a ，0），G （0，1）.则(,1)AG a =，GB =（a ，–1）.由AG GB ⋅=8得a 2–1=8，即a =3.所以E 的方程为29x +y 2=1．（2）设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），P （6，t ）.若t ≠0，设直线CD 的方程为x =my +n ，由题意可知–3<n <3. 由于直线PA 的方程为y =9t （x +3），所以y 1=9t （x 1+3）.直线PB 的方程为y =3t （x –3），所以y 2=3t（x 2–3）.可得3y 1（x 2–3）=y 2（x 1+3）.由于222219x y +=，故2222(3)(3)9x x y +-=-，可得121227(3)(3)y y x x =-++， 即221212(27)(3)()(3)0.m y y m n y y n ++++++=①将x my n =+代入2219xy +=得222(9)290.m y mny n +++-=所以12229mn y y m +=-+，212299n y y m -=+．代入①式得2222(27)(9)2(3)(3)(9)0.m n m n mn n m +--++++= 解得n =–3（含去），n =32.故直线CD 的方程为3=2x my +，即直线CD 过定点（32，0）． 若t =0，则直线CD 的方程为y =0，过点（32，0）.综上，直线CD 过定点（32，0）.3．解：（1）由已知可设2C 的方程为24y cx =，其中c =不妨设,A C 在第一象限，由题设得,A B 的纵坐标分别为2b a ，2b a -；,C D 的纵坐标分别为2c ，2c -，故22||b AB a=，||4CD c =.由4||||3CD AB =得2843b c a=，即2322()c c a a ⨯=-，解得2c a =-（舍去），12c a =.所以1C 的离心率为12.（2）由（1）知2a c =，b =，故22122:143x y C c c+=，所以1C 的四个顶点坐标分别为(2,0)c ，(2,0)c -，)，(0,)，2C 的准线为x c =-. 由已知得312c c c c +++=，即2c =.所以1C 的标准方程为2211612x y +=，2C 的标准方程为28y x =.4．解：（1）由已知可设2C 的方程为24y cx =，其中c =不妨设,A C 在第一象限，由题设得,A B 的纵坐标分别为2b a ，2b a -；,C D 的纵坐标分别为2c ，2c -，故22||b AB a=，||4CD c =.由4||||3CD AB =得2843b c a=，即2322()c c a a ⨯=-，解得2c a =-（舍去），12c a =.所以1C 的离心率为12.（2）由（1）知2a c =，b =，故22122:143x y C c c+=，设00(,)M x y ，则220022143x y c c +=，2004y cx =，故20024143x x c c+=.①由于2C 的准线为x c =-，所以0||MF x c =+，而||5MF =，故05x c =-，代入①得22(5)4(5)143c c c c --+=，即2230c c --=，解得1c =-（舍去），3c =. 所以1C 的标准方程为2213627x y +=，2C 的标准方程为212y x =.5．解：（1）由题设可得54=，得22516m =，所以C 的方程为221252516x y +=. （2）设(,),(6,)P P Q P x y Q y ，根据对称性可设0Q y >，由题意知0P y >， 由已知可得(5,0)B ，直线BP 的方程为1(5)Qy x y =--，所以||BP y =，||BQ =， 因为||||BP BQ =，所以1P y =，将1P y =代入C 的方程，解得3P x =或3-. 由直线BP 的方程得2Q y =或8.所以点,P Q 的坐标分别为1122(3,1),(6,2);(3,1),(6,8)P Q P Q -.11||PQ 11PQ 的方程为13y x =，点(5,0)A -到直线11PQ，故11APQ △的面积为1522=. 22||PQ =22P Q 的方程为71093y x =+，点A 到直线22P Q的距离为26，故22AP Q △的面积为152262⨯=. 综上，APQ △的面积为52.6．解：（1）由题设可得54=，得22516m =， 所以C 的方程为221252516x y +=. （2）设(,),(6,)P P Q P x y Q y ，根据对称性可设0Q y >，由题意知0P y >，由已知可得(5,0)B ，直线BP 的方程为1(5)Qy x y =--，所以||BP y =，||BQ =， 因为||||BP BQ =，所以1P y =，将1P y =代入C 的方程，解得3P x =或3-. 由直线BP 的方程得2Q y =或8.所以点,P Q 的坐标分别为1122(3,1),(6,2);(3,1),(6,8)P Q P Q -.11||PQ 11PQ 的方程为13y x =，点(5,0)A -到直线11PQ 的距离为2，故11APQ △的面积为1522=.22||PQ =22P Q 的方程为71093y x =+，点A 到直线22P Q故22AP Q △的面积为1522=. 综上，APQ △的面积为52.7．解：（1）由题设得22411a b +=，22212a b a -=，解得26a =，23b =． 所以C 的方程为22163x y +=． （2）设11(,)M x y ，22(,)N x y ．若直线MN 与x 轴不垂直，设直线MN 的方程为y kx m =+，代入22163x y +=得222(12)4260k x kmx m +++-=． 于是2121222426,1212km m x x x x k k -+=-=++．①由AM AN ⊥知0AM AN ⋅=，故1212(2)(2)(1)(1)0x x y y --+--=， 可得221212(1)(2)()(1)40k x x km k x x m ++--++-+=．将①代入上式可得22222264(1)(2)(1)401212m kmk km k m k k-+---+-+=++．整理得(231)(21)0k m k m +++-=．因为(2,1)A 不在直线MN 上，所以210k m +-≠，故2310k m ++=，1k ≠．于是MN 的方程为21()(1)33y k x k =--≠. 所以直线MN 过点21(,)33P -. 若直线MN 与x 轴垂直，可得11(,)N x y -.由0AM AN ⋅=得1111(2)(2)(1)(1)0x x y y --+---=. 又2211163x y +=，可得2113840x x -+=.解得12x =（舍去），123x =. 此时直线MN 过点21(,)33P -. 令Q 为AP 的中点，即41(,)33Q . 若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt ADP △的斜边，故1||||2DQ AP ==. 若D 与P 重合，则1||||2DQ AP =. 综上，存在点41(,)33Q ，使得||DQ 为定值.8．（Ⅰ）解：由已知可得3b =．记半焦距为c ，由||||OF OA =可得3c b ==．又由222a b c =+，可得218a =．所以，椭圆的方程为221189x y +=． （Ⅱ）解：因为直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以AB CP ⊥．依题意，直线AB 和直线CP 的斜率均存在．设直线AB 的方程为3y kx =-．由方程组223,1,189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，可得()2221120k x kx +-=，解得0x =，或21221k x k =+.依题意，可得点B 的坐标为2221263,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为(0,3)-，所以点P 的坐标为2263,2121k k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭．由3OC OF =，得点C 的坐标为(1,0)，故直线CP 的斜率为2230216121k k k --+-+，即23261k k -+．又因为AB CP ⊥，所以231261k k k ⋅=--+，整理得22310k k -+=，解得12k =，或1k =． 所以，直线AB 的方程为132y x =-，或3y x =-．9.（Ⅰ）由116p =得2C 的焦点坐标是1(,0)32． （Ⅱ）由题意可设直线:(0,0)l x my t m t =+≠≠，点00(,)A x y ．将直线l 的方程代入椭圆221:12x C y +=得222(2)220m y mty t +++-=， 所以点M 的纵坐标22M mt y m =-+． 将直线l 的方程代入抛物线22:2C y px =得2220y pmy pt --=，所以02M y y pt =-，解得202(2)p m y m+=， 因此22022(2)p m x m+=． 由220012x y +=得2421224()2()160m m p m m =+++≥，所以当m，t =时，p．10.解：（1）椭圆22:143x y E +=的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ， 则2224,3,1a b c ===.所以12AF F △的周长为226a c +=.（2）椭圆E 的右准线为4x =.设(,0),(4,)P x Q y ，则(,0),(4,)OP x QP x y ==--，2(4)(2)44,OP QP x x x ⋅=-=--≥-在2x =时取等号.所以OP QP ⋅的最小值为4-.（3）因为椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为12,F F ，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，212AF F F ⊥， 则123(1,0),(1,0),(1,)2F F A -. 所以直线:3430.AB x y -+= 设(,)M x y ，因为213S S =，所以点M 到直线AB 距离等于点O 到直线AB 距离的3倍. 由此得|343||30403|355x y -+⨯-⨯+=⨯， 则34120x y -+=或3460x y --=. 由2234120,143x y x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得2724320x x ++=，此方程无解； 由223460,143x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩得271240x x --=，所以2x =或27x =-. 代入直线:3460l x y --=，对应分别得0y =或127y =-. 因此点M 的坐标为(2,0)或212(,)77--.11.。
【高考复习】2020年高考数学(文数) 圆锥曲线 大题练(含答案解析)
【高考复习】2020年高考数学(文数)圆锥曲线 大题练1.已知抛物线E ：y 2=2px(p ＞0)的焦点F ，E 上一点(3，m)到焦点的距离为4.(1)求抛物线E 的方程；(2)过F 作直线l ，交抛物线E 于A ，B 两点，若直线AB 中点的纵坐标为－1，求直线l 的方程．2.已知椭圆12222=+b y a x (a>b>0)的离心率为21,且经过点P （1,1.5）,过它的两个焦点F 1,F 2分别作直线l 1与l 2,l 1交椭圆于A,B 两点,l 2交椭圆于C,D 两点,且l 1⊥l 2.(1)求椭圆的标准方程;(2)求四边形ACBD 的面积S 的取值范围.3.已知椭圆C:12222=+by a x (a>b>0)的离心率为22,点(2,2)在C 上.(1)求C 的方程;(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A,B,线段AB 的中点为M,证明:直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.4.已知椭圆的中心是坐标原点O,焦点在x 轴上,短轴长为2,且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点.过右焦点F 与x 轴不垂直的直线l 交椭圆于P,Q 两点. (1)求椭圆的方程;(2)在线段OF 上是否存在点M(m,0),使得|MP|=|MQ|?若存在,求出m 的取值范围;若不存在,请说明理由.5.在平面直角坐标系中，直线2x －y ＋m=0不过原点，且与椭圆y 24＋x22=1有两个不同的公共点A ，B.(1)求实数m 的取值所组成的集合M ；(2)是否存在定点P 使得任意的m ∈M ，都有直线PA ，PB 的倾斜角互补？若存在，求出所有定点P 的坐标；若不存在，请说明理由．6.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2=1(a>b>0)的焦距为4，P ⎝⎛⎭⎪⎫2，55是椭圆C 上的点．(1)求椭圆C 的方程；(2)O 为坐标原点，A ，B 是椭圆C 上不关于坐标轴对称的两点，设OD ―→=OA ―→＋OB ―→， 证明：直线AB 的斜率与OD 的斜率的乘积为定值．7.如图，椭圆C ：x 2a 2＋y2b2=1(a>b>0)的左顶点与上顶点分别为A ，B ，右焦点为F ，点P 在椭圆C上，且PF ⊥x 轴，若AB ∥OP ，且|AB|=2 3. (1)求椭圆C 的方程；(2)已知Q 是C 上不同于长轴端点的任意一点，在x 轴上是否存在一点D ，使得直线QA 与QD 的斜率乘积恒为－12，若存在，求出点D 的坐标，若不存在，说明理由．8.设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k(k>0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB|=8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．答案解析1.解：(1)抛物线E ：y 2=2px(p ＞0)的准线方程为x=－p 2，由抛物线的定义可知3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2 =4， 解得p=2，∴抛物线E 的方程为y 2=4x.(2)法一：由(1)得抛物线E 的方程为y 2=4x ，焦点F(1,0)， 设A ，B 两点的坐标分别为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，两式相减，整理得y 2－y 1x 2－x 1 =4y 2＋y 1(x 1≠x 2)．∵线段AB 中点的纵坐标为－1，∴直线l 的斜率k AB =4y 2＋y 1=4－12=－2，∴直线l 的方程为y －0=－2(x －1)，即2x ＋y －2=0.法二：由(1)得抛物线E 的方程为y 2=4x ，焦点F(1,0)， 设直线l 的方程为x=my ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1消去x ，得y 2－4my －4=0.设A ，B 两点的坐标分别为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， ∵线段AB 中点的纵坐标为－1， ∴y 1＋y 22 =4m 2=－1，解得m=－12，∴直线l 的方程为x=－12y ＋1，即2x ＋y －2=0.2.解:3.解：4.解:5.解：(1)因为直线2x －y ＋m=0不过原点，所以m≠0.将2x －y ＋m=0与y 24＋x22=1联立，消去y ，得4x 2＋22mx ＋m 2－4=0.因为直线与椭圆有两个不同的公共点A ，B ，所以Δ=8m 2－16(m 2－4)>0， 所以－22<m<2 2.故实数m 的取值所组成的集合M 为(－22，0)∪(0,22)．(2)假设存在定点P(x 0，y 0)使得任意的m ∈M ，都有直线PA ，PB 的倾斜角互补， 即k PA ＋k PB =0.令A(x 1，2x 1＋m)，B(x 2，2x 2＋m)，则2x 1＋m －y 0x 1－x 0＋2x 2＋m －y 0x 2－x 0=0，整理得22x 1x 2＋(m －2x 0－y 0)(x 1＋x 2)＋2x 0(y 0－m)=0.(*)由(1)知x 1＋x 2=－2m 2，x 1x 2=m 2－44，代入(*)式化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫22y 0－x 0m ＋2(x 0y 0－2)=0，则⎩⎪⎨⎪⎧22y 0－x 0＝0，x 0y 0－2＝0，解得⎩⎨⎧x 0＝1，y 0＝2或⎩⎨⎧x 0＝－1，y 0＝－2，所以定点P 的坐标为(1，2)或(－1，－2)．经检验，此两点均满足题意． 故存在定点P 使得任意的m ∈M ，都有直线PA ，PB 的倾斜角互补， 且定点P 的坐标为(1，2)或(－1，－2)． 6.解：(1)由题意知2c=4，即c=2，则椭圆C 的方程为x 2a 2＋y2a 2－4=1，因为点P ⎝⎛⎭⎪⎫2，55在椭圆C 上，所以4a 2＋12－=1， 解得a 2=5或a 2=165(舍去)，所以椭圆C 的方程为x 25＋y 2=1.(2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，x 1≠x 2且x 1＋x 2≠0，由OA ―→＋OB ―→=OD ―→， 得D(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，所以直线AB 的斜率k AB =y 1－y 2x 1－x 2，直线OD 的斜率k OD =y 1＋y 2x 1＋x 2，由⎩⎪⎨⎪⎧x 215＋y 21＝1，x 225＋y 22＝1，得15(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)=0， 即y 1＋y 2x 1＋x 2·y 1－y 2x 1－x 2=－15，所以k AB ·k OD =－15. 故直线AB 的斜率与OD 的斜率的乘积为定值－15.7.解：(1)由题意得A(－a,0)，B(0，b)，可设P(c ，t)(t>0)，∴c 2a 2＋t 2b 2=1，得t=b 2a ，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，由AB ∥OP 得b a =b 2a c，即b=c ，∴a 2=b 2＋c 2=2b 2，①又|AB|=23，∴a 2＋b 2=12，②由①②得a 2=8，b 2=4，∴椭圆C 的方程为x 28＋y24=1.(2)假设存在D(m,0)，使得直线QA 与QD 的斜率乘积恒为－12，设Q(x 0，y 0)(y 0≠0)，则x 208＋y 204=1，③∵k QA ·k QD =－12，A(－22，0)，∴y 0x 0＋22·y 0x 0－m =－12(x 0≠m)，④由③④得(m －22)x 0＋22m －8=0，即⎩⎨⎧m －22＝0，22m －8＝0，解得m=22，∴存在点D(22，0)，使得k QA ·k QD =－12.8.解：(1)由题意得F(1,0)，l 的方程为y=k(x －1)(k>0)． 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－，y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2=0. Δ=16k 2＋16>0，故x 1＋x 2=2k 2＋4k2.所以|AB|=|AF|＋|BF|=(x 1＋1)＋(x 2＋1)=4k 2＋4k2.由题设知4k 2＋4k2=8，解得k=1或k=－1(舍去)．因此l 的方程为y=x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2=－(x －3)， 即y=－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5，0＋2＝0－x 0＋22＋16.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2=16或(x －11)2＋(y ＋6)2=144.。
2020年高考数学真题汇编10 圆锥曲线 理( 解析版)
2020高考真题分类汇编：圆锥曲线一、选择题1.【2020高考真题浙江理8】如图，F 1,F 2分别是双曲线C ：22221x y a b-=（a,b ＞0）的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P,Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交与点M ，若|MF 2|=|F 1F 2|,则C 的离心率是A.33 B 。
6223【答案】B【解析】由题意知直线B F 1的方程为：b x c b y +=，联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=0,b y a x b x cb y 得点Q ),(a c bc a c ac --，联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=0,b y a x b x cb y 得点P ),(ac bc a c ac ++-，所以PQ 的中点坐标为),(222b c b c a ，所以PQ 的垂直平分线方程为：)(222bca xbc b c y --=-，令0=y ，得)1(22b a c x +=，所以c ba c 3)1(22=+，所以2222222a cb a -==，即2223c a =，所以26=e 。
故选B2.【2020高考真题新课标理8】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，43AB =；则C 的实轴长为（ ）()A 2 ()B 22()C 4 ()D 8【答案】C【解析】设等轴双曲线方程为)0(22>=-m m y x ，抛物线的准线为4-=x ，由34=AB ,则32=A y ,把坐标)32,4(-代入双曲线方程得4121622=-=-=y x m ，所以双曲线方程为422=-y x ，即14422=-y x ，所以2,42==a a ，所以实轴长42=a ，选C. 3.【2020高考真题新课标理4】设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，12PF F ∆是底角为30o 的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12 ()B 23 ()C 34 ()D 45【答案】C【解析】因为12PF F ∆是底角为30o 的等腰三角形，则有PF F F 212=,，因为2130=∠F PF ，所以0260=∠D PF ,0230=∠DPF ，所以21222121F F PF D F ==，即c c c a =⨯=-22123，所以c a 223=，即43=a c ，所以椭圆的离心率为43=e ，选C.4.【2020高考真题四川理8】已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y 。
2020年高考数学精选专题(含答案详解)12 圆锥曲线的综合问题
2020年高考数学精选专题（含答案详解）一、解答题（共15题；共145分）1.已知直线l1:3x−y−6=0与x轴，y轴分别交于A，B，线段AB的中垂线l2与抛物线E:y2=2px(p>0)有两个不同的交点C、D．（1）求p的取值范围；（2）是否存在p，使得A，B，C，D四点共圆，若存在，请求出p的值，若不存在，请说明理由．2.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1,F2，离心率为√32，过F1的直线l与椭圆C交于M,N两点，且ΔMNF2的周长为16（1）求椭圆C的方程；（2）若直线y=kx+m与椭圆C分别交于A,B两点，且OA⊥OB，试问点O到直线AB的距离是否为定值，证明你的结论．3.已知点A,B的坐标为(−√2,0)，(√2,0)，直线AE，BE相交于点E，且它们的斜率之积是−12．（1）求点E的轨迹方程；（2）设O为坐标原点，过点F(−1,0)的直线l与点E的轨迹交于M,N两点，求△MON的面积的最大值．4.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1,0），且点P(1,32)在椭圆C上，O为坐标原点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设过定点T（0,2）的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．5.已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为（0,1）（1）求抛物线C的方程；（2）设直线l2：y＝kx+m与抛物线C有唯一公共点P，且与直线l1：y＝﹣1相交于点Q，试问，在坐标平面内是否存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N？若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由．6.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，右焦点F到右准线的距离为3．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设过F的直线l与椭圆C相交于P，Q两点．已知l被圆O：x2+y2＝a2截得的弦长为√14，求△OPQ 的面积．7.如图，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的上顶点为A(0,1)，离心率为√22.（1）求椭圆C的方程；（2）若过点A作圆M:(x+1)2+y2=r2（圆M在椭圆C内）的两条切线分别与椭圆C相交于B，D 两点(B，D不同于点A)，当r变化时，试问直线BD是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.8.已知椭圆x22+y2=1上两个不同的点A，B关于直线y=mx+12对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求ΔAOB面积的最大值（O为坐标原点）．9.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，点(2,√2)在C上（1）求C的方程（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A,B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.10.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴顶点分别为A,B,且短轴长为2,T为椭圆上异于A,B的任意-一点,直线TA,TB的斜率之积为−13（1）求椭圆C的方程;（2）设O为坐标原点,圆O:x2+y2=34的切线l与椭圆C相交于P,Q两点,求△POQ面积的最大值.11.椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点是F1(−1,0)，F2(1,0)，且过点A(1,√22)．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过左焦点F1的直线l与椭圆C相交于B、D两点，O为坐标原点．问椭圆C上是否存在点P，使线段BD和线段OP相互平分？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．12.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点相同,F1,F2为C的左､右焦点,M为C上任意一点, SΔMF1F2最大值为1.（1）求椭圆C的方程;（2）不过点F2的直线l:y=kx+m(m≠0)交椭圆C于A,B两点.①若k2=12,且S△AOB=√22,求m的值.②若x轴上任意一点到直线AF2与BF2距离相等,求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.13.已知点M(−1,0),N(1,0)，若点P(x,y)满足|PM|+|PN|=4.（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）过点Q(−√3,0)的直线l与（Ⅰ）中曲线相交于A,B两点，O为坐标原点，求△AOB面积的最大值及此时直线l的方程.14.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 (a>b>0)的右顶点A(2,0)，且离心率为√32．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设O为原点，过点O的直线l与椭圆C交于两点P、Q，直线AP和AQ分别与直线x=4交于点M、N，求ΔAPQ与ΔAMN面积之和的最小值.15.已知抛物线Γ的准线方程为x+y+2=0.焦点为F(1,1).（1）求证：抛物线Γ上任意一点P的坐标(x,y)都满足方程：x2−2xy+y2−8x−8y=0;（2）请求出抛物线Γ的对称性和范围，并运用以上方程证明你的结论；（3）设垂直于x轴的直线与抛物线交于A、B两点，求线段AB的中点M的轨迹方程.一、解答题1.【答案】 （1）解：因为直线 l 1:3x −y −6=0 与 x 轴， y 轴分别交于 A ， B . 所以 A(2,0) ， B(0,−6) ，所以线段 AB 的中点为 (1,−3) ， k AB =3 ，所以线段 AB 的中垂线 l 2 的方程为 y +3=−13(x −1) ，即 x +3y +8=0 . 将 x =−3y −8 代入 E:y 2=2px(p >0) ， 得 y 2+6py +16p =0 ，因为 l 2 与 E 有两个不同的交点 C ， D . 所以 Δ=36p 2−4×16p >0 ， 又 p >0 ，所以 p >169，即 p 的取值范围为 (169,+∞) .（2）解：若 A ， B ， C ， D 四点共圆，由对称性可知，圆心应为线段 CD 的中点， 设 C(x 1,y 1) ， D(x 2,y 2) ，线段 CD 的中点为 M(x 0,y 0) ， 则 {y 1+y 2=−6py 1y 2=16p ， 所以 y 0=y 1+y 22=−3p ， x 0=−3y 0−8=9p −8 ，|CD|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√1+(−3)2⋅√(y 1+y 2)2−4y 1y 2 =√10⋅√36p 2−4×16p =2√10⋅√9p 2−16p若 A ， B ，C ， D 四点共圆，则 |MA|=12|CD| ，即 |MA|2=14|CD|2 ，所以 (x 0−2)2+y 02=14×40(9p 2−16p) . 所以 (9p −10)2+9p 2=90p 2−160p ，解得 p =5 ， 又 p =5 满足 p >169，所以存在 p =5 ，使得 A ， B ，C ， D 四点共圆.【解析】【分析】（1）求出 A,B 两点坐标，得出其中垂线方程为 x +3y +8=0 ，与抛物线方程联立根据 Δ>0 即可得结果；（2）设 C(x 1,y 1) ， D(x 2,y 2) ，线段 CD 的中点为 M(x 0,y 0) ，将（1）和韦达定理可得 M(9p −8,−3p) ， |CD|=2√10⋅√9p 2−16p ，结合四点共圆的特征得 |MA|2=14|CD|2 ，代入两点间距离公式可解得 p 的值. 2.【答案】 （1）解：由椭圆定义知： ΔMNF 2 的周长为： 4a =16 ⇒a =4 由椭圆离心率： e =ca=√32 ⇒c =2√3 ， b 2=c 2−a 2=4 ∴ 椭圆 C 的方程：x 216+y 24=1（2）解：由题意，直线 AB 斜率存在，直线 AB 的方程为： y =kx +m设 A(x 1,y 1) ， B(x 2,y 2)联立方程 {y =kx +mx 216+y 24=1 ，消去 y 得： (1+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−16=0 由已知 Δ>0 ，且 x 1+x 2=−8km4k 2+1 ， x 1x 2=4m 2−164k 2+1由 OA ⊥OB ，即 OA⇀⋅OB ⇀=0 得： x 1x 2+y 1y 2=0 即： x 1x 2+(kx 1+m)(kx 2+m)=x 1x 2+k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=0 ∴(k 2+1)4m 2−164k 2+1+km ⋅−8km 4k 2+1+m 2=0 ，整理得： 5m 2=16(1+k 2) ，满足 Δ>0∴ 点 O 到直线 AB 的距离： d =√1+k2=4√55为定值【解析】【分析】（1）由 ΔMNF 2 周长可求得 a =4 ，利用离心率求得 c =2√3 ，从而 b 2=c 2−a 2=4 ，从而得到椭圆方程；（2）直线 AB 方程与椭圆方程联立，可得韦达定理的形式；利用垂直关系可构造方程 x 1x 2+y 1y 2=0 ，代入韦达定理整理可得 5m 2=16(1+k 2) ；利用点到直线距离公式表示出所求距离 d ，化简可得结果.3.【答案】 （1）解：设 E(x,y) ，因为 A(−√2,0) ，所以直线 AE 的斜率 k AE =x+√2≠−√2) ， 同理直线 BE 的斜率 k BE =x−√2≠√2) ， 由已知有 x+√2×x−√2−12(x ≠±√2) ， 化简得 E 的轨迹方程为 x 22+y 2=1 (x ≠±√2) .（2）解：设过 F(−1,0) 的直线方程为 x =my −1 ，设 M(x 1,y 1) ， N(x 2,y 2) 联立直线与椭圆的方程，化简得 (m 2+2)y 2−2my −1=0 ，显然 Δ>0 ． y 1+y 2=2mm 2+2 ， y 1y 2=−1m 2+2 ，从而， |y 1−y 2|=√(2mm 2+2)2+4m 2+2=2√2(m 2+1)(m 2+2)2.所以 S △MON =12|OF|·|y 1−y 2|=√2√(m 2+2)−1(m 2+2)2，令 t =m 2+2≥2 ，则 S =√2·√−1t 2+1t =√2·√−(1t −12)2+14≤√22，当 t =2 ，即 m =0 时取等号.所以 △MON 面积的最大值为 √22.【解析】【分析】（1）设 E(x,y) ，根据斜率关系列方程化简即可；（2）设直线方程，并与曲线方程联立，求出两根之和两根之积，把面积用其表示出来，再借助于二次函数在区间上的最值求解方法即可得到结论．4.【答案】 （1）解：由题意得c ＝1，所以a 2＝b 2＋1，① 又点P (1,32) 在椭圆C 上，所以 1a 2 ＋ 94b 2 ＝1，② 由①②可解得a 2＝4，b 2＝3， 所以椭圆C 的标准方程为 x 24＋y 23＝1.（2）解：设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，A （x 1 ， y 1），B （x 2 ， y 2），由 {y =kx +2x 24+y 23=1 得（4k 2＋3）x 2＋16kx ＋4＝0，因为Δ＝16（12k 2－3）＞0，所以k 2＞ 14 ，则x 1＋x 2＝ −16k4k +3 ，x 1x 2＝ 44k 2+3 .因为∠AOB 为锐角，所以 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＞0，即x 1x 2＋y 1y 2＞0，所以x 1x 2＋（kx 1＋2）（kx 2＋2）＞0， 所以（1＋k 2）x 1x 2＋2k （x 1＋x 2）＋4＞0，即（1＋k 2）· 44k 2+3 ＋2k · −16k4k 2+3 ＋4＞0， 解得k 2＜ 43 .又k 2＞ 14 ，所以 14 ＜k 2＜ 43 ，解得－ 2√33＜k ＜－ 12 或 12 ＜k ＜2√33.所以直线l 的斜率k 的取值范围为 (−2√33,−12) ∪ (12,2√33)【解析】【分析】（1）由c ＝1得a 2＝b 2＋1，再代入P 点坐标可求得a ,b ；（2）设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，A （x 1 ， y 1），B （x 2 ， y 2），直线方程与椭圆方程联立消元得 x 的一元二次方程，其判别式需大于0，由韦达定理得 x 1+x 2,x 1x 2 ，条件∠AOB 为锐角对应 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ >0 ，代入 x 1+x 2,x 1x 2 后可求得 k 的范围．5.【答案】 （1）解：由题意， p2=1 ， 所以p ＝2，∴抛物线C 的方程为：x 2＝4y（2）解：由 {x 2=4yy =kx +m得x 2﹣4kx ﹣4m ＝0（*），由直线y ＝kx +m 与抛物线C 只有一个公共点，可得 Δ=0 ，解得m ＝﹣k 2 ， 代入到（*）式得x ＝2k ， ∴P （2k ,k 2），当y ＝﹣1时，代入到y ＝kx ﹣k 2 得Q （ k −1k ，−1 ）， ∴以PQ 为直径的圆的方程为：(x −2k)[x −(k −1k )]+(y −k 2)(y +1)=0 ，整理得： (1−y)k 2−3x ⋅k +x ⋅1k +(x 2+y 2+y −2)=0 ， 若圆恒过定点，则 {1−y =0−3x =0x =0x 2+y 2+y −2=0 ， 解得 {x =0y =1， ∴存在点N （0,1），使得以PQ 为直径的圆恒过点N ．【解析】【分析】（1）根据抛物线的交点坐标，即可得到 p ，从而求得抛物线方程；（2）根据抛物线与直线相切，求得切点的坐标，以及 k,m 之间的等量关系，再求出点 Q 的坐标，从而写出圆的方程，再求圆恒过的定点即可.6.【答案】 （1）解：由题意知 c a =12 , a 2c−c =3 ,因为 b 2=a 2−c 2 ,解得a 2＝4,b 2＝3, 所以椭圆的方程为: x 24+y 23= 1（2）解：由题意知直线l 的斜率不为0,由（1）知F （1,0）, 设直线l 的方程为x ＝my+1,P （x,y ）,Q （x',y'）,联立直线l 与椭圆的方程整理得（4+3m 2）y 2+6my ﹣9＝0, 所以y+y' =−6m 4+3m 2 ,yy' =−94+3m 2 ,所以|PQ| =√1+m 2√(y +y ′)2−4yy ′=√1+m 2√36m 2(3+4m 2)2+363+4m2=12(1+m 2)3+4m 2,因为圆O:x 2+y 2＝4到l 的距离d =√1+m 2 ,被圆O:x 2+y 2＝4截得的弦长为 √14 , 所以得14＝4（4 −11+m 2 ）,解得m 2＝1,所以d =√22,|PQ| =247 ,所以S △OPQ =12⋅|PQ|⋅d =12⋅√22⋅247=6√27.【解析】【分析】（1）由题可得 ca =12 ,a 2c−c =3 ,再由 b 2=a 2−c 2 可求得 a 2,b 2 ,即可得到椭圆方程；（2）显然直线 l 的斜率不为0,设直线l 的方程为x ＝my+1,与椭圆方程联立,则利用韦达定理可得 P,Q 的纵坐标的关系,再根据弦长公式求得 |PQ| ,由直线截圆的弦长求得 m ,进而求解即可.7.【答案】 （1）解：依题意可得： {b =1ca =√22a 2=b 2+c2,a =√2，b =1，c =1椭圆C ：x 22+y 2=1 ）（2）解：圆M 过A 的切线方程可设为l ： y =kx +1 ，代入椭圆C 的方程得： x 2+2(kx +1)2=2,x =−4k1+2k 2 ，可得 B(−4k 11+2k 12，1−2k 121+2k 12) ；同理可得 D(−4k 21+2k 22，1−2k 221+2k 22)由圆M 与l 相切得：√1+k 2=r,(1−r 2)k 2−2k +1−r 2=0由韦达定理得： k 1+k 2=21−r 2，k 1k 2=1 所以直线BD 的斜率 k =y 2−y 1x 2−x1=1−2k 221+2k 22−1−2k 121+2k 12−4k 21+2k 22+4k 11+2k 12=4k 12−4k 224(k2−k 1)(2k 1k 2−1)=−(k 1+k 2)=2r 2−1…… 直线BD 的方程为： y −1−2k 121+2k 22=2r 2−1(x +4k11+2k 12)化简为： y =2r 2−1x −1+k 12k 1×4k11+2k 12+1−2k 121+2k 12=2r 2−1x −3 ，即 y =2r 2−1x −3所以，当 r(0<r <√2−1) 变化时，直线BD 总过定点 R(0，−3)【解析】【分析】（1）根据椭圆的顶点和离心率建立方程组求解椭圆方程；（2）圆M 过A 的切线方程可设为l ： y =kx +1 ，代入椭圆，解出B ， D 坐标，根据直线与圆相切结合韦达定理得斜率 k 1，k 2 的关系，表示出直线BD 的方程即可求得过定点.8.【答案】 （1）解：由题意知 m ≠0 ，可设直线AB 的方程为 y =−1m x +b ，由 {x 22+y 2=1y =−1m x +b ， 消去 y ，得 (12+1m 2)x 2−2bm x +b 2−1=0 ，∵直线 y =−1m x +b 与椭圆 x 22+y 2=1 有两个不同的交点，∴ Δ=−2b 2+2+4m 2>0 ，①，将AB 中点 M(2mb m +2,m 2bm +2) 代入直线方程 y =mx +12 解得b =−m 2+22m 2，②。
2020高考数学分类汇编--解析几何圆锥曲线
2020年普通高等学校招生全国统一考试一卷理科数学4．已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p = A ．2B ．3C ．6D ．911．已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为 A ．210x y --= B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ++=15．已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为 . 20.（12分）已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.4．C11．D15．220．解：（1）由题设得A （–a ，0），B （a ，0），G （0，1）.则(,1)AG a =，GB =（a ，–1）.由AG GB ⋅=8得a 2–1=8，即a =3.所以E 的方程为29x +y 2=1．（2）设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），P （6，t ）.若t ≠0，设直线CD 的方程为x =my +n ，由题意可知–3<n <3.由于直线P A 的方程为y =9t （x +3），所以y 1=9t（x 1+3）.直线PB 的方程为y =3t （x –3），所以y 2=3t（x 2–3）.可得3y 1（x 2–3）=y 2（x 1+3）.由于222219x y +=，故2222(3)(3)9x x y +-=-，可得221227(3)(3)y y x x =-++， 即221212(27)(3)()(3)0.m y y m n y y n ++++++=①将x my n =+代入2219xy +=得222(9)290.m y mny n +++-=所以12229mn y y m +=-+，212299n y y m -=+．代入①式得2222(27)(9)2(3)(3)(9)0.m n m n mn n m +--++++= 解得n =–3（含去），n =32.故直线CD 的方程为3=2x my +，即直线CD 过定点（32，0）． 若t =0，则直线CD 的方程为y =0，过点（32，0）.综上，直线CD 过定点（32，0）.2020年普通高等学校招生全国统一考试二卷理科数学5．若过点)1,2(的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线032=--y x 的距离为A ．55B ．552C ．553D ．554 8．设O 为坐标原点，直线a x =与双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的两条渐近线分别交于E D 、ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为A ．4B ．8C ．16D ．3219．（12分）已知椭圆1C :()012222>>=+b a b y a x 的右焦点F 与抛物线2C 的焦点重合，1C 的中心与的2C 的顶点重合． 过F 且与x 轴垂直的直线交1C 于A ，B 两点，交2C 于C ，D 两点，且AB CD 34=． （1）求1C 的离心率；设M 是1C 与2C 的公共点，若5=MF ，求1C 与2C 的标准方程．2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学5．设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为A ．1(,0)4B ．1(,0)2C ．(1,0)D ．(2,0)11．设双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2．P是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a = A ．1 B ．2 C ．4 D ．820．（12分）已知椭圆222:1(05)25x y C m m+=<<，A ，B 分别为C 的左、右顶点． （1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ △的面积． 5．B11．A20．解：（1）由题设可得54=，得22516m =， 所以C 的方程为221252516x y +=. （2）设(,),(6,)P P Q P x y Q y ，根据对称性可设0Q y >，由题意知0P y >， 由已知可得(5,0)B ，直线BP 的方程为1(5)Qy x y =--，所以||BP y =，||BQ =， 因为||||BP BQ =，所以1P y =，将1P y =代入C 的方程，解得3P x =或3-. 由直线BP 的方程得2Q y =或8.所以点,P Q 的坐标分别为1122(3,1),(6,2);(3,1),(6,8)P Q P Q -.11||PQ 11PQ 的方程为13y x =，点(5,0)A -到直线11PQ的距离为2，故11APQ △的面积为1522=.22||PQ =直线22P Q 的方程为71093y x =+，点A 到直线22P Q故22AP Q △的面积为1522=. 综上，APQ △的面积为52. 2020年普通高等学校招生全国统一考试一卷文科数学6．已知圆2260x y x +-=，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为 A ．1B ．2C ．3D ．411．设12,F F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且||2OP =，则12PF F △的面积为 A ．72B ．3C ．52D ．221．已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点. 6．B11．B21．解：（1）由题设得(,0),(,0),(0,1)A a B a G -．则(,1)AG a =，(,1)GB a =-．由8AG GB ⋅=得218a -=，即3a =．所以E 的方程为2219x y +=．（2）设1122(,),(,),(6,)C x y D x y G t ．若0t ≠，设直线CD 的方程为x my n =+，由题意可知33n -<<． 由于直线PA 的方程为(3)9t y x =+，所以11(3)9ty x =+．直线PB 的方程为(3)3t y x =-，所以22(3)3ty x =-．可得12213(3)(3)y x y x -=+．由于222219x y +=，故2222(3)(3)9x x y +-=-，可得121227(3)(3)y y x x =-++， 即221212(27)(3)()(3)0m y y m n y y n ++++++=．①将x my n =+代入2219xy +=得222(9)290m y mny n +++-=．所以212122229,99mn n y y y y m m -+=-=-++． 代入①式得2222(27)(9)2(3)(3)(9)0m n m n mn n m +--++++=． 解得3n =-（舍去），32n =． 故直线CD 的方程为32x my =+，即直线CD 过定点3(,0)2． 若0t =，则直线CD 的方程为0y =，过点3(,0)2．综上，直线CD 过定点3(,0)2．2020年普通高等学校招生全国统一考试二卷文科数学8．若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x -y -3=0的距离为A B C D 9．设O 为坐标原点，直线x =a 与双曲线C ：2222-x y a b=l(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于D ，E 两点．若△ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为 A ．4B ．8C ．16D ．3219．(12 分)已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴重直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |． （1）求C 1的离心率；（2）若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程． 8．B9．B19．解：（1）由已知可设2C 的方程为24y cx =，其中c不妨设,A C 在第一象限，由题设得,A B 的纵坐标分别为2b a ，2b a-；,C D 的纵坐标分别为2c ，2c -，故22||b AB a=，||4CD c =.由4||||3CD AB =得2843b c a=，即2322()c c a a ⨯=-，解得2c a =-（舍去），12c a =.所以1C 的离心率为12.（2）由（1）知2a c =，b =，故22122:143x y C c c+=，所以1C 的四个顶点坐标分别为(2,0)c ，(2,0)c -，)，(0,)，2C 的准线为x c =-. 由已知得312c c c c +++=，即2c =.所以1C 的标准方程为2211612x y +=，2C 的标准方程为28y x =.2020年普通高等学校招生全国统一考试三卷文科数学6．在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若=1AC BC ⋅，则点C 的轨迹为 A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线7．设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C ：()220y px p =>交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为 A ．（14，0） B ．（12，0） C ．（1，0） D ．（2，0）14．设双曲线C :22221x y a b-= (a >0,b >0)的一条渐近线为y x ，则C 的离心率为_________．21．（12分）已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<，A ，B 分别为C 的左、右顶点． （1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ △的面积． 6．A7．B1421．解：（1=22516m =，所以C 的方程为1252516+=. （2）设(,),(6,)P P Q P x y Q y ，根据对称性可设0Q y >，由题意知0P y >， 由已知可得(5,0)B ，直线BP 的方程为1(5)Qy x y =--，所以||BP y =，||BQ =， 因为||||BP BQ =，所以1P y =，将1P y =代入C 的方程，解得3P x =或3-. 由直线BP 的方程得2Q y =或8.所以点,P Q 的坐标分别为1122(3,1),(6,2);(3,1),(6,8)P Q P Q -.11||PQ 11PQ 的方程为13y x =，点(5,0)A -到直线11PQ，故11APQ △的面积为1522=.22||PQ =直线22P Q 的方程为71093y x =+，点A 到直线22P Q的距离为26，故22AP Q △的面积为152262⨯=. 综上，APQ △的面积为52. 2020年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）（5）已知半径为1的圆经过点)4,3(，则其圆心到原点的距离的最小值为（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7（7）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ；P 是抛物线异己O 的一点，过P 做PQ ⊥l 于Q ，则线段FQ 的垂直平分线 （A ）经过点O （B ）经过点P（C ）平行于直线OP （D ）垂直于直线OP（12）已知双曲线:163C -=，则C 的右焦点的坐标为________；C 的焦点到其渐近线的距离是________． （20）（本小题15分）已知椭圆22221x y C a b+=：过点()21A --，，且2a b =（I ）求椭圆C 的方程：（II ）过点4,0B -（）的直线l 交椭圆C 于点,M N ,直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q 求PBBQ的值 2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）6．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线222105()x y a a -=>的一条渐近线方程为y =，则该双曲线的离心率是 ▲ ． 18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求12AF F △的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记OAB △与MAB △的面积分别为S 1，S 2，若213S S =，求点M 的坐标． 6．3218．满分16分.解：（1）椭圆22:143x y E +=的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ，则2224,3,1a b c ===.所以12AF F △的周长为226a c +=. （2）椭圆E 的右准线为4x =. 设(,0),(4,)P x Q y ，则(,0),(4,)OP x QP x y ==--， 2(4)(2)44,OP QP x x x ⋅=-=--≥-在2x =时取等号.所以OP QP ⋅的最小值为4-.（3）因为椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为12,F F ，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，212AF F F ⊥，则123(1,0),(1,0),(1,)2F F A -.所以直线:3430.AB x y -+=设(,)M x y ，因为213S S =，所以点M 到直线AB 距离等于点O 到直线AB 距离的3倍. 由此得|343||30403|355x y -+⨯-⨯+=⨯， 则34120x y -+=或3460x y --=.由2234120,143x y x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得2724320x x ++=，此方程无解；由223460,143x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩得271240x x --=，所以2x =或27x =-.代入直线:3460l x y --=，对应分别得0y =或127y =-. 因此点M 的坐标为(2,0)或212(,)77--.2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）7．设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为A ．22144x y -=B ．2214y x -= C ．2214x y -= D ．221x y -= 12．已知直线80x +=和圆222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点．若||6AB =，则r的值为_________． 18．（本小题满分15分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程． 7．D12．518．满分15分．（Ⅰ）解：由已知可得3b =．记半焦距为c ，由||||OF OA =可得3c b ==．又由222a b c =+，可得218a =．所以，椭圆的方程为221189x y +=．（Ⅱ）解：因为直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以AB CP ⊥．依题意，直线AB 和直线CP 的斜率均存在．设直线AB 的方程为3y kx =-．由方程组223,1,189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，可得()2221120k x kx +-=，解得0x =，或21221k x k =+.依题意，可得点B 的坐标为2221263,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为(0,3)-，所以点P 的坐标为2263,2121k k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭．由3OC OF =，得点C 的坐标为(1,0)，故直线CP 的斜率为2230216121k k k --+-+，即23261k k -+．又因为AB CP ⊥，所以231261k k k ⋅=--+，整理得22310k k -+=，解得12k =，或1k =． 所以，直线AB 的方程为132y x =-，或3y x =-． 2020年普通高等学校招生全国统一考试新高考9．已知曲线22:1C mx ny +=.A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若m =n >0，则CC ．若mn <0，则C是双曲线，其渐近线方程为y = D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线 13．C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________． 22．（12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点A （2，1）． （1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．9．ACD13．16322．解：（1）由题设得22411a b +=，22212a b a -=，解得26a =，23b =． 所以C 的方程为22163x y +=． （2）设11(,)M x y ，22(,)N x y ．若直线MN 与x 轴不垂直，设直线MN 的方程为y kx m =+， 代入22163x y +=得222(12)4260k x kmx m +++-=． 于是2121222426,1212km m x x x x k k -+=-=++．① 由AM AN ⊥知0AM AN ⋅=，故1212(2)(2)(1)(1)0x x y y --+--=， 可得221212(1)(2)()(1)40k x x km k x x m ++--++-+=． 将①代入上式可得22222264(1)(2)(1)401212m km k km k m k k -+---+-+=++． 整理得(231)(21)0k m k m +++-=．因为(2,1)A 不在直线MN 上，所以210k m +-≠，故2310k m ++=，1k ≠．于是MN 的方程为21()(1)33y k x k =--≠. 所以直线MN 过点21(,)33P -. 若直线MN 与x 轴垂直，可得11(,)N x y -.由0AM AN ⋅=得1111(2)(2)(1)(1)0x x y y --+---=. 又2211163x y +=，可得2113840x x -+=.解得12x =（舍去），123x =. 此时直线MN 过点21(,)33P -. 令Q 为AP 的中点，即41(,)33Q .若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt ADP △的斜边，故1||||2DQ AP ==. 若D 与P 重合，则1||||2DQ AP =. 综上，存在点41(,)33Q ，使得||DQ 为定值.2020年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）8．已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y =图象上的点，则|OP |=A ．2BCD 15．已知直线(0)y kx b k =+>与圆221x y +=和圆22(4)1x y -+=均相切，则k =_______，b =_______．21．（本题满分15分）如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于点M （B ，M 不同于A ）． （Ⅰ）若116p =，求抛物线2C 的焦点坐标； （Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．8．D1521．满分15分。
(完整版)2020年高考理科数学《圆锥曲线》题型归纳与训练,推荐文档
2y0
2y0
令 x＝0，得 yM＝－x0－2，从而|BM|＝1－yM＝1＋x0－2.
y0－1 直线 PB 的方程为 y＝ x0 x＋1.
x0
x0
令 y＝0，得 xN＝－y0－1，从而|AN|＝2－xN＝2＋y0－1.
1 所以四边形 ABNM 的面积 S＝2|AN|·|BM|
1 ＝2
( )2y0 x20＋4y20＋4x0y0－4x0－8y0＋4 2x0y0－2x0－4y0＋4
2020 年高考理科数学《圆锥曲线》题型归纳与训练 【题型归纳】
题型一 求曲线的方程
例 1 已知 F1(2, 0) ， F2 (2, 0) ，点 P 满足| PF1 | | PF2 | 2 ，记点 P 的轨迹为 E ．求轨迹 E 的方程． 【答案】 x2 y2 1
3
【解析】由| PF1 | | PF2 | 2 4 | F1F2 | 可知：点 P 的轨迹 E 是以 F1, F2 为焦点的双曲 线的右支，
x2 y2 例 2 已知椭圆 C：a2＋b2＝1 过 A(2,0)，B(0,1)两点． (1)求椭圆 C 的方程及离心率；
1
(2)设 P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点 N，求证：四边形 ABNM 的面积为定值．
x2
3
【答案】(1) 4 ＋y2＝1，e＝ 2 (2)2.
1＋
＝2.
x0－2 ＝ 2x0y0－x0－2y0＋2 ＝ x0y0－x0－2y0＋2
2
从而四边形 ABNM 的面积为定值.
【易错点】(1)．想不到设出 P(x0，y0)后，利用点斜式写出直线 PA，PB 的方 程．不会由直线 PA，PB 的方程求解|BM|，|AN|；
人教A版 高中数学2020届 高考复习专题--圆锥曲线(含解析)
第 1 页 共 65 页圆锥曲线一、知识结构 1.方程的曲线在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫 做方程的曲线.点与曲线的关系 若曲线C 的方程是f(x,y)=0，则点P 0(x 0,y 0)在曲线C 上⇔f(x 0,y 0)=0；点P 0(x 0,y 0)不在曲线C 上⇔f(x 0,y 0)≠0两条曲线的交点 若曲线C 1，C 2的方程分别为f 1(x,y)=0,f 2(x,y)=0,则 f 1(x 0,y 0)=0 点P 0(x 0,y 0)是C 1，C 2的交点⇔f 2(x 0,y 0) =0方程组有n 个不同的实数解，两条曲线就有n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有 交点.2.圆 圆的定义 点集：｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径. 圆的方程 (1)标准方程圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r 2圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是x 2+y 2=r 2(2)一般方程当D 2+E 2-4F ＞0时，一元二次方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为(-2D ,-2E，半径是24F-E D 22+.配方，将方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0化为(x+2D )2+(y+2E )2=44F -E D 22+当D 2+E 2-4F=0时，方程表示一个点(-2D ,-2E); 当D 2+E 2-4F ＜0时，方程不表示任何图形.点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0)，则｜MC ｜＜r ⇔点M 在圆C 内，第 2 页 共 65 页｜MC ｜=r ⇔点M 在圆C 上， ｜MC ｜＞r ⇔点M 在圆C 内，其中｜MC ｜=2020b)-(y a)-(x +.(3)直线和圆的位置关系①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系 直线与圆相交⇔有两个公共点 直线与圆相切⇔有一个公共点 直线与圆相离⇔没有公共点 ②直线和圆的位置关系的判定 (i)判别式法(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d=22C Bb Aa BA +++与半径r 的大小关系来判定.3.椭圆、双曲线和抛物线椭 圆 双曲线抛物线轨迹条件 点集：({M ｜｜MF 1+｜MF 2｜=2a,｜F 1F 2｜＜2a ＝ 点集：{M ｜｜MF 1｜-｜MF 2｜.=±2a,｜F 2F 2｜＞2a}. 点集{M ｜ ｜MF ｜=点M 到直线l 的距离}. 圆 形标准方程 22a x +22b y =1(a ＞b ＞0)22a x -22by =1(a ＞0,b ＞0)y 2=2px(p ＞0)顶 点 A 1(-a,0),A 2(a,0); B 1(0,-b),B 2(0,b)A 1(0,-a),A 2(0,a) O(0,0) 轴对称轴x=0,y=0 长轴长：2a 短轴长：2b 对称轴x=0,y=0 实轴长：2a 虚轴长：2b 对称轴y= 焦 点F 1(-c,0),F 2(c,0) 焦点在长轴上 F 1(-c,0),F 2(c,0) 焦点在实轴上 F(2P，0) 焦点对称轴上焦 距｜F 1F 2｜=2c ， c=b2-a2｜F 1F 2｜=2c, c=b2a2+准 线x=±c a 2x=±ca 2x=-2p 准线与焦点位于顶点曲 线 性 质第 3 页 共 65 页准线垂直于长轴，且在椭圆外.准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧.两侧，且到顶点的距离相等.离心率e=a c,0＜e ＜1 e=ac,e ＞1 e=14.圆锥曲线的统一定义平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l 的距离之 比是一个常数e(e ＞0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线.其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l 称为准线，正常数e 称为离心率. 当0＜e ＜1时，轨迹为椭圆 当e=1时，轨迹为抛物线 当e ＞1时，轨迹为双曲线 5.坐标变换坐标变换 在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做 坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点 的坐标与曲线的方程.坐标轴的平移 坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫 做坐标轴的平移，简称移轴.坐标轴的平移公式 设平面内任意一点M ，它在原坐标系xOy 中的坐标是9x,y)，在新坐标系x ′O ′y ′中的坐标是(x ′,y ′).设新坐标系的原点O ′在原坐标系xOy 中的坐标是(h,k)，则x=x ′+h x ′=x-h (1) 或(2)y=y ′+k y ′=y-k 公式(1)或(2)叫做平移(或移轴)公式. 中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表.方 程 焦 点 焦 线 对称轴椭圆22h)-(x a +22k)-(y b =1 (±c+h,k)x=±c a 2+hx=h y=k 22h)-(x b +22k)-(y a =1 (h,±c+k) y=±c a 2+kx=h y=k 双曲线22h)-(x a -22k)-(y b =1 (±c+h,k) =±c a 2+kx=h y=k 22k)-(y a -22h)-(x b =1(h,±c+h)y=±c a 2+kx=h y=k 抛物线 (y-k)2=2p(x-h)(2p+h,k) x=-2p +hy=k (y-k)2=-2p(x-h)(-2p+h,k) x=2p +h y=k (x-h)2=2p(y-k)(h, 2p+k)y=-2p +kx=h二、知识点、能力点提示(一)曲线和方程，由已知条件列出曲线的方程，曲线的交点说明在求曲线方程之前必须建立坐标系，然后根据条件列出等式进行化简 .特别是在求出方程后要考虑化简的过程是否是同解变形，是否满足已知条件，只有这样求出的曲线方程才能准确无误.另外，要求会判断曲线间有无交点，会求曲线的交点坐标.三、考纲中对圆锥曲线的要求：考试内容：. 椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程；. 双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质；. 抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质；考试要求：. (1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程；. (2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质；. (3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质；. (4)了解圆锥曲线的初步应用。
2020高考复习圆锥曲线答案
1．【答案】A【解析】抛物线28x y =的焦点为()0,2，∴椭圆的焦点在y 轴上，∴2c =， 由离心率12e =，可得4a =，∴2223b a c =-=，故234m n -=-．故选A ． 2．【答案】D【解析】双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的离心率2ce a ==，224c a =，2222213b b a a =+⇒=，3ba=，故渐近线方程为3by x x a =±=±，故答案为D ．3．【答案】C【解析】Q 1F 、2F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，12·0PF PF =u u r ru u u u u 可得12PF PF ⊥u u u r u u u u r ， 122PF PF a ∴+=，222124PF PF c +=，12192PF PF =， ()2221212424PF PF c PF PF a ∴+=+=，()2223644a c b ∴=-=，3b ∴=，故选C ．方法二：利用椭圆性质可得12222πtan tan924PF F S b b b θ====△，3b ∴=． 4．【答案】C【解析】设A 、B 在准线上的射影分别为为M 、N ，准线与横轴交于点H ，则FH p =，由于点F 是AC 的中点，4AF =，∴42AM p ==，∴2p =， 设BF BN x ==，则BN BC FH CF =，即424x x -=，解得43x =， 答案与解析一、选择题416433AB AF BF ∴=+=+=，故答案为C ． 5．【答案】B【解析】∵双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的两条渐近线互相垂直，∴渐近线方程为y x =±，∴a b =．∵顶点到一条渐近线的距离为1，∴12=，∴a b ==， ∴双曲线C 的方程为22122x y -=，焦点坐标为()2,0-，()2,0，∴双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为d ==B ．6．【答案】D【解析】因为()2220x ay a a +=≠，所以222+1x y a a=，所以当20a a >>时，表示A ；当2a a <时，表示B ；当20a a >>时，表示C ； 故选D ． 7．【答案】D【解析】如图，已知24y x =，可知焦点()1,0F ，准线：1x =-，过点A 作准线的垂线，与抛物线交于点M ，作根据抛物线的定义，可知BM MF =，MF MA MB MA +=+取最小值，已知()3,2A ，可知M 的纵坐标为2，代入22y x =中，得M 的横坐标为2， 即()2,2M ，故选D ． 8．【答案】B【解析】抛物线2:8C y x =的焦点()2,0F ，M 是C 上一点FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，可知M 的横坐标为1，则M 的纵坐标为±26FN FM ===，故选B ．9．【答案】B【解析】因为直线210x y -+=与双曲线()222210,0x y a b a b -=>>交于A ，B 两点，且线段AB 的中点M 的横坐标为1，所以1OM k =，设()11,A x y ，()22,B x y ，则有122x x +=，122y y +=，121212y y x x -=-，12121OM y y k x x +==+， 22112222222211x y a b x y ab ⎧⎪⎪⎨-=-=⎪⎪⎩，两式相减可化为，1212221212110y y y y a b x x x x -+-⋅⋅=-+， 可得2212b a =，2a b ∴=，3c b =，双曲线的离心率为3622c a ==，故选B ． 10．【答案】C【解析】如图，设左焦点为1F ，设圆与x 轴的另一个交点为B ，∵APQ △的一个内角为60︒，∴30PAF ∠=︒，1603PBF PF AF a c PF a c ∠=︒⇒==+⇒=+， 在1PFF △中，由余弦定理可得，22243403403c ac a e e e ⇒-=⇒-=⇒=--， 故答案为C ． 11．【答案】A【解析】因为OPMN 是平行四边形，因此MN OP ∥且MN OP =， 故2N ay =，代入椭圆方程可得32N b x =，所以3tan 3ON a k b α==．因ππ,64α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以33133a b <<，即33133a b <<，所以3a b <，即()2223a a c <-，解得603c a <<，故选A ． 12．【答案】C【解析】设M 为椭圆短轴一端点，则由题意得120AMB APB ∠≥∠=︒，即60AMO ∠≥︒， 因为tan a OMA b ∠=，所以tan603ab≥︒=，3a b ∴≥，()2223a a c ≥-， 2223a c ∴≤，223e ≥，63e ≥，故选C ．13．【答案】221189x y -=【解析】设双曲线方程为222x y λ-=，双曲线过点()6,3M -，二、填空题则222362918x y λ=-=-⨯=，故双曲线方程为22218x y -=，即221189x y -=．14．【答案】22186x y +=【解析】∵个椭圆中心在原点，焦点1F ，2F 在x 轴上，∴设椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>，∵(P 是椭圆上一点，且1PF ，12F F ，2PF 成等差数列， ∴2243124a b a c+==⎧⎪⎨⎪⎩，且222a b c =+，解得a =，b，c = ∴椭圆方程为22186x y +=，故答案为22186x y +=．15．【答案】2【解析】设()1,0F c -，()()2,00F c c >， 1F 关于直线y x =-的对称点P 坐标为()0,c ，点P 在椭圆上，则2201c a+=， 则1c b ==，2222a b c =+=，则a =故12PF F △的周长为1212222PF PF F F a c ++=+=． 16．【答案】2【解析】由抛物线定义可得MF MN ='l 倾斜角为π3，MN l ⊥， 所以π3NMF ∠=，即三角形MNF 为正三角形，因此NF 倾斜角为2π3，由22 2y pxp y x =⎫=-⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎭， 解得6p x =或32p x =（舍），即6Q p x =，62226P P NQ P P QF ⎛⎫-- ⎪⎝⎭==-．。
2020年高考数学全国1卷圆锥曲线
9 ⋅ 9y21
9y22
(x1 + 3)2 = (x2 − 3)2
因为 C, D 在椭圆 E 上，则
9y21 = 9 − x21 , 9y22 = 9 − x22
代入 (2) 式，得
9 ⋅ (9 − x21) 9 − x22 (x1 + 3)2 = (x2 − 3)2
化简得
4x1x2 − 15(x1 + x2) + 36 = 0
3
3
( ) 情形二 当直线 CD 的斜率不存在时，设为 x = m ，则此时 x1 = x2 = m, y1 = − y2 ，代入 (1) 式求得 m = 2 ，过点 2 , 0
3Hale Waihona Puke ( ) 综上，直线 CD 过定点 2 , 0 . Processing math: 100%
3y2
x1 + 3 = x2 − 3
情形一 当直线 CD 斜率存在时，设直线 CD 的方程为 y = kx + m ，联立
{y = kx + m x2 + 9y2 = 9
⟹
(1 + 9k2)x2 + 18kmx
+ 9m2 − 9
=
0
18km
9m2 − 9
则 x1 + x2 = − 1 + 9k2 , x1x2 = 1 + 9k2 ，将 (1) 式两边平方得
2020年高考数学全国 1卷圆锥曲线
x2
→→
已知 A, B 分别为椭圆 E: a2 + y2 = 1(a > 0) 的左、右顶点，G 为 E 的上顶点，AG ⋅ GB = 8 ，P 为直线 x = 6 上的动点，PA 与 E 的另一交点
2020年高考全国ⅰ、ⅱ、ⅲ卷数学(理)圆锥曲线解答题对比
1．（2020•新课标Ⅰ）已知A ，B 分别为椭圆222:1(1)x E y a a+=>的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB =．P 为直线6x =上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点．2．（2020•新课标Ⅱ）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点F 与抛物线2C 的焦点重合，1C 的中心与2C 的顶点重合，过F 且与x 轴垂直的直线交1C 于A ，B 两点，交2C 于C ，D两点，且4||||3CD AB =． （1）求1C 的离心率；（2）设M 是1C 与2C 的公共点．若||5MF =，求1C 与2C 的标准方程．3．（2020•新课标Ⅲ）已知椭圆222:1(05)25x y C m m+=<<，A ，B 分别为C的左、右顶点． （1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ ∆的面积．参考答案与试题解析1．（2020•新课标Ⅰ）已知A，B分别为椭圆222:1(1)xE y aa+=>的左、右顶点，G为E的上顶点，8AG GB=．P 为直线6x=上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点．【解答】解：如图示：（1）由题意(,0)A a-，(,0)B a，(0,1)G，∴(,1)AG a=，(,1)GB a=-，218AG GB a=-=，解得：3a=，故椭圆E的方程是2219xy+=；（2）由（1）知(3,0)A-，(3,0)B，设(6,)P m，则直线PA的方程是(3)9my x=+，联立22222219(9)69810(3)9xym x m x mmy x⎧+=⎪⎪⇒+++-=⎨⎪=+⎪⎩，由韦达定理2222981327399c cm mx xm m--+-=⇒=++，代入直线PA的方程为(3)9my x=+得：269cmym=+，即22327(9mCm-++，26)9mm+，直线PB的方程是(3)3my x=-，联立方程22222219(1)6990(3)3x y m x m x m m y x ⎧+=⎪⎪⇒+-+-=⎨⎪=-⎪⎩，由韦达定理22229933311D D m m x x m m --=⇒=++， 代入直线PB 的方程为(3)3m y x =-得221D my m -=+，即2233(1m D m -+，22)1mm -+，∴直线CD 的斜率243(3)C D CD C D y y mK x x m -==--， ∴直线CD 的方程是22222433()13(3)1m m m y x m m m ---=-+-+，整理得：243()3(3)2m y x m =--， 故直线CD 过定点3(2，0)．【点评】本题考查了求椭圆的方程问题，考查直线和椭圆的关系以及直线方程问题，是一道综合题．2．（2020•新课标Ⅱ）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点F 与抛物线2C 的焦点重合，1C 的中心与2C 的顶点重合，过F 且与x 轴垂直的直线交1C 于A ，B 两点，交2C 于C ，D两点，且4||||3CD AB =． （1）求1C 的离心率；（2）设M 是1C 与2C 的公共点．若||5MF =，求1C 与2C 的标准方程． 【解答】解：（1）因为F 为1C 的焦点且AB x ⊥轴，可得(,0)F c ，22||b AB a=，设2C 的标准方程为22(0)y px p =>， 因为F 为2C 的焦点且CD x ⊥轴，所以(2pF ，0)，||2CD p =， 因为4||||3CD AB =，1C ，2C 的焦点重合，所以224223p c bp a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消去p ，可得2843b c a=，所以232ac b =，所以22322ac a c =-， 设1C 的离心率为e ，由ce a=，则22320e e +-=， 解得1(22e =-舍去），故1C 的离心率为12；（2）由（1）可得2a c =，3b c =，2p c =，所以22122:143x y C c c+=，22:4C y cx =，联立两曲线方程，消去y ，可得22316120x cx c +-=，所以(32)(6)0x c x c -+=，解得23x c =或6x c =-（舍去），从而25||5233p MF x c c c =+=+==， 解得3c =，所以1C 和2C 的标准方程分别为2213627x y +=，212y x =．【点评】本题考查抛物线和椭圆的定义、方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．3．（2020•新课标Ⅲ）已知椭圆222:1(05)25x y C m m+=<<15，A ，B 分别为C的左、右顶点． （1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ ∆的面积．【解答】解：（1）由c e a =得2221b e a =-，即21511625m =-，22516m ∴=，故C 的方程是：221612525x y +=；（2）由（1）(5,0)A -，设(,)P s t ，点(6,)Q n ， 根据对称性，只需考虑0n >的情况， 此时55s -<<，504t<， ||||BP BQ =，∴有222(5)1s t n -+=+①，又BP BQ ⊥，50s nt ∴-+=②，又221612525s t +=③， 联立①②③得312s t n =⎧⎪=⎨⎪=⎩或318s t n =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，当312s t n =⎧⎪=⎨⎪=⎩时，则(3,1)P ，(6,2)Q ，而(5,0)A -， 则(8,1)AP =，(11,2)AQ =，15|82111|22APQ S ∆∴=⨯-⨯=， 同理可得当318s t n =-⎧⎪=⎨⎪=⎩时，52APQ S ∆=，综上，APQ ∆的面积是52． 【点评】本题考查求椭圆方程以及了直线和椭圆的关系，考查转化思想，是一道综合题．。
2020年高考文科数学一轮复习大题篇—圆锥曲线综合问题
2020年高考文科数学一轮复习大题篇—圆锥曲线综合问题【归类解析】题型一 范围问题【解题指导】 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围.(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围.(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围.(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.【例】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 23－y 2＝1的离心率互为倒数，且直线x －y －2＝0经过椭圆的右顶点.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设不过原点O 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，且直线OM ，MN ，ON 的斜率依次成等比数列，求△OMN 面积的取值范围.【解】 (1)∵双曲线的离心率为233， ∴椭圆的离心率e ＝c a ＝32. 又∵直线x －y －2＝0经过椭圆的右顶点，∴右顶点为点(2,0)，即a ＝2，c ＝3，b ＝1，∴椭圆方程为x 24＋y 2＝1. (2)由题意可设直线的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1， 消去y ，并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0，则x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－11＋4k 2， 于是y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2.又直线OM ，MN ，ON 的斜率依次成等比数列，故y 1x 1·y 2x 2＝k 2x 1x 2＋km x 1＋x 2＋m 2x 1x 2＝k 2， 则－8k 2m 21＋4k2＋m 2＝0. 由m ≠0得k 2＝14，解得k ＝±12. 又由Δ＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1)＝16(4k 2－m 2＋1)>0，得0<m 2<2，显然m 2≠1(否则x 1x 2＝0，x 1，x 2中至少有一个为0，直线OM ，ON 中至少有一个斜率不存在，与已知矛盾).设原点O 到直线的距离为d ，则S △OMN ＝12|MN |d ＝12·1＋k 2·|x 1－x 2|·|m |1＋k 2故由m 的取值范围可得△OMN 面积的取值范围为(0,1).【训练】如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2＝4x 上存在不同的两点A ，B 满足P A ，PB 的中点均在C 上.(1)设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；(2)若P 是半椭圆x 2＋y 24＝1(x <0)上的动点，求△P AB 面积的取值范围. (1)【证明】 设P (x 0，y 0)，A ⎝⎛⎭⎫14y 21，y 1，B ⎝⎛⎭⎫14y 22，y 2. 因为P A ，PB 的中点在抛物线上，所以y 1，y 2为方程⎝⎛⎭⎫y ＋y 022＝4·14y 2＋x 02，即y 2－2y 0y ＋8x 0－y 20＝0的两个不同的实根.所以y 1＋y 2＝2y 0，所以PM 垂直于y 轴.(2)【解】 由(1)可知⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝2y 0，y 1y 2＝8x 0－y 20，所以|PM |＝18(y 21＋y 22)－x 0＝34y 20－3x 0， |y 1－y 2|＝22y 20－4x 0. 所以△P AB 的面积S △P AB ＝12|PM |·|y 1－y 2|＝()322003244y x -.因为x 20＋y 204＝1(－1≤x 0<0)， 所以y 20－4x 0＝－4x 20－4x 0＋4∈[4,5]，所以△P AB 面积的取值范围是⎣⎡⎦⎤62，15104. 题型二 最值问题1 利用三角函数有界性求最值【解题指导】 处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.【例】过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 是坐标原点，则|AF |·|BF |的最小值是【解】 设直线AB 的倾斜角为θ，可得|AF |＝21－cos θ，|BF |＝21＋cos θ， 则|AF |·|BF |＝21－cos θ×21＋cos θ＝4sin 2θ≥4. 2 数形结合利用几何性质求最值【例】在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点.若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，求实数c 的最大值为。
高考数学母题解密专题07 圆锥曲线附答案及解析(北京专版)
专题07 圆锥曲线【母题原题1】【2020年北京高考】设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l．P是抛物线上异于O的⊥于Q，则线段FQ的垂直平分线（）．一点，过P作PQ lA．经过点O B．经过点PC．平行于直线OP D．垂直于直线OP【答案】B【解析】【分析】依据题意不妨作出焦点在x轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段FQ的垂直平分线经过点P，即求解.【详解】如图所示：．=，因为线段FQ的垂直平分线上的点到,F Q的距离相等，又点P在抛物线上，根据定义可知，PQ PF所以线段FQ的垂直平分线经过点P.故选：B.【名师点评】本题主要考查抛物线的定义的应用，属于基础题.【母题原题2】【2019年北京高考（文）】已知双曲线2221x y a-=（a ＞0则a =A B ．4C ．2D ．12【答案】D 【解析】 【分析】本题根据根据双曲线的离心率的定义，列关于a 的方程求解. 【详解】∵双曲线的离心率ce a==，c =，∴a=，解得12a = ， 故选D.【名师点评】本题主要考查双曲线的离心率的定义，双曲线中a,b,c 的关系，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.【母题原题3】【2019年北京高考（理）】已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则A ．a 2=2b 2B ．3a 2=4b 2C ．a =2bD ．3a =4b【答案】B 【解析】 【分析】由题意利用离心率的定义和,,a b c 的关系可得满足题意的等式. 【详解】 椭圆的离心率2221,2c e c a b a ===-,化简得2234a b =, 故选B.【名师点评】本题考查椭圆的标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识､基本运算能力的考查.【命题意图】1．了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． 2．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质． 3．了解椭圆的简单应用．4．了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 5．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质. 6．了解双曲线的简单应用. 7．理解数形结合的思想.8．了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． 9．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质． 【命题规律】1．椭圆问题一般以选择题或填空题的形式考查，主要以椭圆的标准方程和离心率为主，注意椭圆的定义和解三角形知识的结合，利用数形结合思想以及题中隐含的相等关系或不等关系列方程或者不等式，进而求离心率的取值或取值范围．2．双曲线问题一般以选择题或填空题的形式考查，主要以双曲线的标准方程、渐近线、离心率为主，注意双曲线的定义和解三角形知识的结合，利用数形结合思想以及题中隐含的相等关系或不等关系列方程或者不等式，进而求离心率的取值或取值范围．3．抛物线问题一般以选择题或填空题的形式考查，主要以抛物线的定义、标准方程和焦点弦问题为主，考查数形结合的思想． 【答题模板】1．求椭圆的方程有两种方法：（1）定义法．根据椭圆的定义，确定a 2,b 2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程． （2）待定系数法．这种方法是求椭圆的方程的常用方法，其一般步骤是：第一步，做判断．根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能（这时需要分类讨论）．第二步，设方程．根据上述判断设方程为22221(0)x y a b a b +=>>或22221(0)y x a b a b+=>>．第三步，找关系．根据已知条件，建立关于,,a b c 的方程组（注意椭圆中固有的等式关系222c a b =－）． 第四步，得椭圆方程．解方程组，将解代入所设方程，即为所求．注意：用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为22100()mx ny m n m n >>+≠＝，且． 2．椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围）有两种方法： （1）求出a ,c ，代入公式ce a=． （2）只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，结合222b a c =－转化为a ,c 的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a 或a 2转化为关于e 或e 2的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e （e 的取值范围）．3．在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用．求双曲线方程时，一是注意判断标准形式；二是注意a 、b 、c 的关系易错易混. 4．求解双曲线的标准方程时，先确定双曲线的类型，也就是确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴，从而设出相应的标准方程的形式，然后利用待定系数法求出方程中的22,a b 的值，最后写出双曲线的标准方程.在求双曲线的方程时，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或可直接设双曲线的方程为221(0)Ax By AB +=<.5．对于双曲线的渐近线，有下面两种考查方式： （1）已知双曲线的方程求其渐近线方程;（2）给出双曲线的渐近线方程求双曲线方程，由渐近线方程可确定a ,b 的关系，结合已知条件可解. 6．求双曲线的离心率一般有两种方法：（1）由条件寻找,a c 满足的等式或不等式，一般利用双曲线中a b c ，，的关系222c a b =+将双曲线的离心率公式变形，即c e a ===，注意区分双曲线中a b c ，，的关系与椭圆中a b c，，的关系，在椭圆中222a b c =+，而在双曲线中222c a b =+. （2）根据条件列含,a c 的齐次方程，利用双曲线的离心率公式ce a=转化为含e 或2e 的方程，求解可得，注意根据双曲线离心率的范围1()e ∈+∞,对解进行取舍.7．求解双曲线的离心率的范围，一般是根据条件，结合222c a b =+和ce a=，得到关于e 的不等式，求解即得.注意区分双曲线离心率的范围1()e ∈+∞,，椭圆离心率的范围)1(0e ∈，.另外，在建立关于e 的不等式时，注意双曲线上的点到焦点的距离的最值的应用.4．抛物线的离心率e ＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦的问题，可以优先考虑利用抛物线的定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离，即2PF p x =+或2PF py =+，使问题简化． 8．与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解．解题时，需依据抛物线的标准方程，确定弦长公式是由交点横坐标定还是由交点纵坐标定，是p 与交点横（纵）坐标的和还是与交点横（纵）坐标的差，这是正确解题的关键．9．用待定系数法求抛物线标准方程的步骤：若无法确定抛物线的位置，则需分类讨论．特别地，已知抛物线上一点的坐标，一般有两种标准方程． 【方法总结】1．椭圆定义的集合语言:1212{|||2,2||}P M MF MF a a F F =+=>往往是解决计算问题的关键，椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理．以椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点00(),P x y 0(0)y ≠和焦点F 1 (－c ，0)，F 2 (c ，0)为顶点的12PF F △中，若12F PF θ∠=，注意以下公式的灵活运用：（1）12||2PF PF a +=；（2）222121242||||cos ||||c PF PF PF PF θ⋅=+－；（3）12121·sin 2||||PF F S PF PF θ=△． 2．解决已知椭圆的焦点位置求方程中的参数问题，应注意结合焦点位置与椭圆方程形式的对应关系求解． 3．与几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形．理解顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量之间的关系，深挖出它们之间的联系，求解自然就不难了．4．求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点的位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．5．确定及应用抛物线性质的关键与技巧：（1）关键：利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程．（2）技巧：要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解．6．抛物线中经常根据定义把点到焦点的距离和点到准线的距离进行互相转化，从而求解．7．有关抛物线上一点M到抛物线焦点F和到已知点E（E在抛物线内）的距离之和的最小值问题，可依据抛物线的图形，过点E作准线l的垂线，其与抛物线的交点到抛物线焦点F和到已知点E的距离之和是最小值．8．双曲线的标准方程双曲线的标准方程有两种形式：（1）焦点在x轴上的双曲线的标准方程为22221x ya b-=(a＞0，b＞0)，焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，焦距为2c，且222c a b=+，如图1所示；（2）焦点在y轴上的双曲线的标准方程为22221y xa b-=(a＞0，b＞0)，焦点分别为F1(0，－c)，F2(0，c)，焦距为2c，且222c a b=+，如图2所示．图1 图2 注：双曲线方程中a，b的大小关系是不确定的，但必有c＞a＞0，c＞b＞0．9．必记结论（1）焦点到渐近线的距离为b.（2）与双曲线22221x y a b -=(a ＞0，b ＞0)有共同渐近线的双曲线方程可设为2222(0,0,0)x y a b a bλλ-=>>≠． （3）若双曲线的渐近线方程为ny x m=±，则双曲线方程可设为2222(0,0,0)x y m n m n λλ-=>>≠或2222(0,0,0)m n x m y n λλ-=>>≠．（4）与双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)共焦点的双曲线方程可设为22221(0,0,x y a b a k b k -=>>-+22)b k a <-<．（5）过两个已知点的双曲线的标准方程可设为()2210mx ny mn +=<．（6）与椭圆22221x y a b +=(a >b >0)有共同焦点的双曲线方程可设为22221(0,x y a b a b λλ+=>>--22)b a λ<<． 10．双曲线的几何性质标准方程22221x y a b -=(a ＞0，b ＞0) 22221y x a b-=(a ＞0，b ＞0) 图形范围||x a ≥，y ∈R ||y a ≥，x ∈R对称性 对称轴：x 轴、y 轴；对称中心：原点焦点 左焦点F 1(－c ，0)，右焦点F 2(c ，0) 下焦点F 1(0，－c )，上焦点F 2(0，c )顶点12(,0),(,0)A a A a - 12(0,),(0,)A a A a -轴线段A 1A 2是双曲线的实轴，线段B 1B 2是双曲线的虚轴；实轴长|A 1A 2|＝2a ，虚轴长|B 1B 2|＝2b渐近线b y x a=±a y x b=±离心率e22c ce a a==(1)e >1．（2020·北京顺义·高三一模）抛物线()220y px p =>的焦点是双曲线22x y p -=的一个焦点，则p =（ ） A ．2B ．8C ．4D ．12．（2020·北京市八一中学高三月考）已知抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 到抛物线焦点的距离为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．53．（2020·北京东城·高三一模）若双曲线()222:10y C x b b-=>的一条渐近线与直线21y x =+平行，则b 的值为( )A ．1BCD ．24．（2020·北京市建华实验学校高三月考）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率为0.5，则下列关系正确的是（ ）A ．2a =B ．b =C ．2232a b =D ．2234a b =5．（2020·北京西城·高三二模）抛物线24x y =的准线方程是（ ）．A ．1y =B ．1y =-C ．1x =-D ．1x =6．（2020·北京东城·高三一模）已知点()2,A a 为抛物线24y x =图象上一点，点F 为抛物线的焦点，则AF等于（ ）A ．3B ．C ．2D7．（2020·北京八中高三月考）已知双曲线221x y m-=m =（ ）A ．14B ．12C D ．28．（2020·北京八中高三月考）双曲线2241x y -=的离心率为（ ）A B CD 9．（2020·北京东城·高三月考）抛物线24x y =的准线与y 轴的交点的坐标为（ ）A ．1(0,)2-B ．(0,1)-C ．(0,2)-D ．(0,4)-10．（2020·北京海淀·首都师大二附高三零模）双曲线22194x y -=的渐近线方程是（ ）A ．23y x =±B ．49y x =±C ．32y x =±D ．94y x =±11．（2020·北京平谷·高三二模）若抛物线y 2＝2px （p ＞0）上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p 的取值范围是（ ） A ．p ＜1B ．p ＞1C ．p ＜2D ．p ＞212．（2020·北京海淀·人大附中高三开学考试）点P 在曲线24y x =上，过P 分别作直线1x =-及3yx 的垂线，垂足分别为G ，H ，则PG PH +的最小值为（ ）A ．2B ．C ．12+ D 2+13．（2020·北京朝阳·高三月考）已知双曲线2212y x -=的渐近线与抛物线2:2(0)M y px p =>交于点(2,?)A a ，直线AB 过抛物线M 的焦点，交抛物线M 于另一点B ，则||AB 等于（ ）A ．3.5B ．4C ．4.5D ．514．（2020·北京101中学高三）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为e ，过点1F 的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，若20AB BF ⋅=，且12150F AF ∠=，则2e =( )A ．7-B ．7C ．7D ．7+15．（2020·北京东城·高三二模）双曲线C ：x 222y b-=1的渐近线与直线x =1交于A ，B 两点，且|AB |=4，那么双曲线C 的离心率为( )A B C ．2D16．（2020·北京海淀·高三一模）已知双曲线2221(0)y x b b-=>则b 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．417．（2020·北京市第十一中学高三一模）已知双曲线221x y a+=的一条渐近线倾斜角为56π，则a =（ ）A ．3B ．C ．-D ．3-18．（2020·北京海淀·高三二模）若抛物线212y x =的焦点为F ，点P 在此抛物线上且横坐标为3，则||PF 等于（ ） A ．4B ．6C ．8D ．1019．（2020·北京人大附中高三月考）已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=20．（2020·北京顺义·牛栏山一中高三月考）设2F 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点，O 为坐标原点，过2F 的直线交双曲线的右支于点P ，N ，直线PO 交双曲线C 于另一点M ，若223MF PF =，且260MF N ∠=︒，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．3B ．2CD 解析附后专题07 圆锥曲线【母题原题1】【2020年北京高考】设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l．P是抛物线上异于O的⊥于Q，则线段FQ的垂直平分线（）．一点，过P作PQ lA．经过点O B．经过点PC．平行于直线OP D．垂直于直线OP【答案】B【解析】【分析】依据题意不妨作出焦点在x轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段FQ的垂直平分线经过点P，即求解.【详解】如图所示：．=，因为线段FQ的垂直平分线上的点到,F Q的距离相等，又点P在抛物线上，根据定义可知，PQ PF所以线段FQ的垂直平分线经过点P.故选：B.【名师点评】本题主要考查抛物线的定义的应用，属于基础题.【母题原题2】【2019年北京高考（文）】已知双曲线2221x y a-=（a ＞0则a =A B ．4C ．2D ．12【答案】D 【解析】 【分析】本题根据根据双曲线的离心率的定义，列关于a 的方程求解. 【详解】∵双曲线的离心率ce a==，c =，∴a=，解得12a = ， 故选D.【名师点评】本题主要考查双曲线的离心率的定义，双曲线中a,b,c 的关系，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.【母题原题3】【2019年北京高考（理）】已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则A ．a 2=2b 2B ．3a 2=4b 2C ．a =2bD ．3a =4b【答案】B 【解析】 【分析】由题意利用离心率的定义和,,a b c 的关系可得满足题意的等式. 【详解】 椭圆的离心率2221,2c e c a b a ===-,化简得2234a b =, 故选B.【名师点评】本题考查椭圆的标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识､基本运算能力的考查.【命题意图】1．了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． 2．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质． 3．了解椭圆的简单应用．4．了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 5．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质. 6．了解双曲线的简单应用. 7．理解数形结合的思想.8．了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． 9．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质． 【命题规律】1．椭圆问题一般以选择题或填空题的形式考查，主要以椭圆的标准方程和离心率为主，注意椭圆的定义和解三角形知识的结合，利用数形结合思想以及题中隐含的相等关系或不等关系列方程或者不等式，进而求离心率的取值或取值范围．2．双曲线问题一般以选择题或填空题的形式考查，主要以双曲线的标准方程、渐近线、离心率为主，注意双曲线的定义和解三角形知识的结合，利用数形结合思想以及题中隐含的相等关系或不等关系列方程或者不等式，进而求离心率的取值或取值范围．3．抛物线问题一般以选择题或填空题的形式考查，主要以抛物线的定义、标准方程和焦点弦问题为主，考查数形结合的思想． 【答题模板】1．求椭圆的方程有两种方法：（1）定义法．根据椭圆的定义，确定a 2,b 2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程． （2）待定系数法．这种方法是求椭圆的方程的常用方法，其一般步骤是：第一步，做判断．根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能（这时需要分类讨论）．第二步，设方程．根据上述判断设方程为22221(0)x y a b a b +=>>或22221(0)y x a b a b+=>>．第三步，找关系．根据已知条件，建立关于,,a b c 的方程组（注意椭圆中固有的等式关系222c a b =－）． 第四步，得椭圆方程．解方程组，将解代入所设方程，即为所求．注意：用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为22100()mx ny m n m n >>+≠＝，且． 2．椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围）有两种方法： （1）求出a ,c ，代入公式ce a=． （2）只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，结合222b a c =－转化为a ,c 的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a 或a 2转化为关于e 或e 2的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e （e 的取值范围）．3．在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用．求双曲线方程时，一是注意判断标准形式；二是注意a 、b 、c 的关系易错易混. 4．求解双曲线的标准方程时，先确定双曲线的类型，也就是确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴，从而设出相应的标准方程的形式，然后利用待定系数法求出方程中的22,a b 的值，最后写出双曲线的标准方程.在求双曲线的方程时，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或可直接设双曲线的方程为221(0)Ax By AB +=<.5．对于双曲线的渐近线，有下面两种考查方式： （1）已知双曲线的方程求其渐近线方程;（2）给出双曲线的渐近线方程求双曲线方程，由渐近线方程可确定a ,b 的关系，结合已知条件可解. 6．求双曲线的离心率一般有两种方法：（1）由条件寻找,a c 满足的等式或不等式，一般利用双曲线中a b c ，，的关系222c a b =+将双曲线的离心率公式变形，即c e a ===，注意区分双曲线中a b c ，，的关系与椭圆中a b c，，的关系，在椭圆中222a b c =+，而在双曲线中222c a b =+. （2）根据条件列含,a c 的齐次方程，利用双曲线的离心率公式ce a=转化为含e 或2e 的方程，求解可得，注意根据双曲线离心率的范围1()e ∈+∞,对解进行取舍.7．求解双曲线的离心率的范围，一般是根据条件，结合222c a b =+和ce a=，得到关于e 的不等式，求解即得.注意区分双曲线离心率的范围1()e ∈+∞,，椭圆离心率的范围)1(0e ∈，.另外，在建立关于e 的不等式时，注意双曲线上的点到焦点的距离的最值的应用.4．抛物线的离心率e ＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦的问题，可以优先考虑利用抛物线的定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离，即2PF p x =+或2PF py =+，使问题简化． 8．与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解．解题时，需依据抛物线的标准方程，确定弦长公式是由交点横坐标定还是由交点纵坐标定，是p 与交点横（纵）坐标的和还是与交点横（纵）坐标的差，这是正确解题的关键．9．用待定系数法求抛物线标准方程的步骤：若无法确定抛物线的位置，则需分类讨论．特别地，已知抛物线上一点的坐标，一般有两种标准方程． 【方法总结】1．椭圆定义的集合语言:1212{|||2,2||}P M MF MF a a F F =+=>往往是解决计算问题的关键，椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理．以椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点00(),P x y 0(0)y ≠和焦点F 1 (－c ，0)，F 2 (c ，0)为顶点的12PF F △中，若12F PF θ∠=，注意以下公式的灵活运用：（1）12||2PF PF a +=；（2）222121242||||cos ||||c PF PF PF PF θ⋅=+－；（3）12121·sin 2||||PF F S PF PF θ=△． 2．解决已知椭圆的焦点位置求方程中的参数问题，应注意结合焦点位置与椭圆方程形式的对应关系求解． 3．与几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形．理解顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量之间的关系，深挖出它们之间的联系，求解自然就不难了．4．求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点的位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．5．确定及应用抛物线性质的关键与技巧：（1）关键：利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程．（2）技巧：要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解．6．抛物线中经常根据定义把点到焦点的距离和点到准线的距离进行互相转化，从而求解．7．有关抛物线上一点M到抛物线焦点F和到已知点E（E在抛物线内）的距离之和的最小值问题，可依据抛物线的图形，过点E作准线l的垂线，其与抛物线的交点到抛物线焦点F和到已知点E的距离之和是最小值．8．双曲线的标准方程双曲线的标准方程有两种形式：（1）焦点在x轴上的双曲线的标准方程为22221x ya b-=(a＞0，b＞0)，焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，焦距为2c，且222c a b=+，如图1所示；（2）焦点在y轴上的双曲线的标准方程为22221y xa b-=(a＞0，b＞0)，焦点分别为F1(0，－c)，F2(0，c)，焦距为2c，且222c a b=+，如图2所示．图1 图2 注：双曲线方程中a，b的大小关系是不确定的，但必有c＞a＞0，c＞b＞0．9．必记结论（1）焦点到渐近线的距离为b .（2）与双曲线22221x y a b -=(a ＞0，b ＞0)有共同渐近线的双曲线方程可设为2222(0,0,0)x y a b a bλλ-=>>≠． （3）若双曲线的渐近线方程为ny x m=±，则双曲线方程可设为2222(0,0,0)x y m n m n λλ-=>>≠或2222(0,0,0)m n x m y n λλ-=>>≠．（4）与双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)共焦点的双曲线方程可设为22221(0,0,x y a b a k b k -=>>-+22)b k a <-<．（5）过两个已知点的双曲线的标准方程可设为()2210mx ny mn +=<．（6）与椭圆22221x y a b +=(a >b >0)有共同焦点的双曲线方程可设为22221(0,x y a b a b λλ+=>>--22)b a λ<<． 10．双曲线的几何性质图形范围||x a ≥，y ∈R ||y a ≥，x ∈R对称性 对称轴：x 轴、y 轴；对称中心：原点焦点 左焦点F 1(－c ，0)，右焦点F 2(c ，0) 下焦点F 1(0，－c )，上焦点F 2(0，c )顶点12(,0),(,0)A a A a - 12(0,),(0,)A a A a -轴线段A 1A 2是双曲线的实轴，线段B 1B 2是双曲线的虚轴；实轴长|A 1A 2|＝2a ，虚轴长|B 1B 2|＝2b渐近线b y x a=±a y x b=±离心率e22c ce a a==(1)e >1．（2020·北京顺义·高三一模）抛物线()220y px p =>的焦点是双曲线22x y p -=的一个焦点，则p =（ ） A ．2B ．8 C ．4 D ．1【答案】B【解析】解：抛物线()220y px p =>的焦点为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭, 双曲线22x y p -=,为221x y p p-=,则22c p =,c =焦点为：)或(),所以有2p=,解得0p =或8p =,又因为0p >, 所以8p =.2．（2020·北京市八一中学高三月考）已知抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 到抛物线焦点的距离为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D【解析】抛物线24x y =焦点在y 轴上，开口向上，所以焦点坐标为(0,1)，准线方程为1y =-，因为点A的纵坐标为4，所以点A 到抛物线准线的距离为415+=，因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以点A 与抛物线焦点的距离为5.3．（2020·北京东城·高三一模）若双曲线()222:10y C x b b-=>的一条渐近线与直线21y x =+平行，则b 的值为( )A ．1 BCD ．2【答案】D【解析】双曲线()222:10y C x b b-=>的一条渐近线y bx =与直线21y x =+平行，可得2b =.4．（2020·北京市建华实验学校高三月考）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率为0.5，则下列关系正确的是（ ） A ．23a b = B ．3b a =C ．2232a b =D ．2234a b =【答案】D 【解析】由题得2222221,2,44(),34.2c e a c a c a b a b a ==∴=∴==-∴= 5．（2020·北京西城·高三二模）抛物线24x y =的准线方程是（ ）．A ．1y =B ．1y =-C ．1x =-D ．1x =【答案】B【解析】抛物线24x y =是焦点在y 轴，开口向上的抛物线，，且24p =12p∴= ∴准线方程为1y =-6．（2020·北京东城·高三一模）已知点()2,A a 为抛物线24y x =图象上一点，点F 为抛物线的焦点，则AF等于（ ） A ．3 B ．22C ．2D 2【答案】A【解析】由抛物线方程知：()1,0F ，213AF ∴=+=.7．（2020·北京八中高三月考）已知双曲线221x y m-=3m =（ ）A ．14B ．12C ．22D ．2【答案】B 【解析】a m =，1c m =+因为双曲线221x y m-=的离心率为3，所以13m m += 解得：12m =8．（2020·北京八中高三月考）双曲线2241x y -=的离心率为（ ）A ．5B ．52C ．3D ．32【答案】A【解析】双曲线2241x y -=的标准方程为：221114x y -=， 故实半轴长为12a =，虚半轴长为1b =，故半焦距1514c =+=， 故离心率为5e =，9．（2020·北京东城·高三月考）抛物线24x y =的准线与y 轴的交点的坐标为（ ）A ．1(0,)2- B ．(0,1)- C ．(0,2)- D ．(0,4)-【答案】B【解析】准线方程为：，与y 轴的交点为(0,1)-，故选B.10．（2020·北京海淀·首都师大二附高三零模）双曲线22194x y -=的渐近线方程是（ ）A ．23y x =±B ．49y x =±C ．32y x =±D ．94y x =±【答案】A【解析】因为双曲线的方程为22194x y -=所以其渐近线方程为：22094x y -=即23y x =±11．（2020·北京平谷·高三二模）若抛物线y 2＝2px （p ＞0）上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p 的取值范围是（ ） A ．p ＜1 B ．p ＞1C ．p ＜2D ．p ＞2【答案】D【解析】∵设P 为抛物线的任意一点，则P 到焦点的距离等于到准线：x 2p=-的距离， 显然当P 为抛物线的顶点时，P 到准线的距离取得最小值2p ． ∴12p＞，即p ＞2． 12．（2020·北京海淀·人大附中高三开学考试）点P 在曲线24y x =上，过P 分别作直线1x =-及3yx的垂线，垂足分别为G ，H ，则PG PH +的最小值为（ ）A ．322B ．22C ．3212+ D ．22+【答案】B【解析】由题可知1x =-是抛物线的准线，交点()1,0F ，由抛物线的性质可知PG PF ,PG PH PF PH ∴+=+，如图，当,,F P H 在一条直线上时，PF PH +取得最小值为FH ，利用点到直线距离公式可以求出103222FH，所以PG PH +的最小值为2213．（2020·北京朝阳·高三月考）已知双曲线2212y x -=的渐近线与抛物线2:2(0)M y px p =>交于点(2,?)A a ，直线AB 过抛物线M 的焦点，交抛物线M 于另一点B ，则||AB 等于（ ）。
2020高考圆锥曲线试题带答案
1. 如果方程 x2 y2 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m 的取值范围是 （ 4m m3
A． 3 m 4
B． m 7 2
C． 3 m 7 2
D． 7 m 4 2
2．如图，F1，F2 是双曲线
C：
x2 a2
y2 b2
1(a＞0，b＞0)的左、右焦
4
2
4
1
A.
B.
C.
D.
5
3
7
2
7.若直线 y kx 2 与双曲线 x2 y2 6 的右支交于不同的两点, 则实数 k 的取值范围是
（ D）
A.( 15 , 15 ) 33
B.(0, 15 ) 3
C.( 15 , 0) 3
D.( 15 , 1) 3
8. 已知直线 l1, l2 是经过椭圆
F2
'( 0 , 6 )
,
设所求双曲线的标准方程为 y 2 a2
x2 b2
1(a
0, b
0) ,
由题意知半焦距 c =6,
2a 4 5 a 2 5 ∴ b 4 ,
故所求双曲线的标准方程为 y 2 x 2 1 . 20 16
考点: （1）椭圆的标准方程; （2）双曲线的标准方程.
则点 P 的轨迹方程为___ y 4(x 2) _____.
三 解答题 1. (12 分)已知椭圆的两个焦点分别是 (2, 0), (2, 0) , 并且经过点 ( 5 , 3) , 求它的标准方程.
22
16.由椭圆定义知 2a
5 2
2
2
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1.【2018浙江21】如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，抛物线2:4C y x =上存在不同的两点,A B 满足,PA PB 的中点均在C 上。
（1） 设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（2） 若P 是半椭圆221(0)4y x x +=<上的动点，求PAB ∆面积的取值范围。
解析：（1）设2200112211(,),(,),(,)44P x y A y y B y yAP 中点满足：22102014()4()22y x y y ++= BP 中点满足：22202024:()4()22y x y y BP ++= 所以12,y y 是方程220204()4()22y x y y ++=即22000280y y y x y -+-=的两个根，所以1202y y y +=，故PM 垂直于y 轴。
（2）由（1）可知212012002,8y y y y y x y +=⋅=-所以2221200013||()384PM y y x y x =+-=-,12||y y -=因此，32212001||||4)24PABS PM y y y x ∆=⋅-=- 因为220001(0)4y x x +=<，所以2200004444[4,5]y x x x -=--+∈ 因此，PAB ∆面积的取值范围是1. 距离型问题2.【2018全国3 理20】已知斜率为k 的直线l 与椭圆22:143x y C +=交于,A B 两点，线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >（1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点且0FP FA FB ++=，证明：,,FP FA FB 为等差数列，并求出该数列的公差。
解析：（1）由中点弦公式22OMb k k a ⋅=-，解得34k m=-又因为点M 在椭圆内，故302m <<，故12k <- （2）由题意知2,2FA FB FM FP FM +==-，故(1,2)P m -因为点P 在椭圆上，代入可得3,14m k ==-，即3||2FP = 根据第二定义可知，1211||2,||222FA x FB x =-=- 联立22212121114371402,42874x y x x x x x x y x ⎧+=⎪⎪⇒-+=⇒+==⎨⎪=-+⎪⎩ 即121||||4()32FA FB x x +=-+= 故满足2||||||FP FA FB =+，所以,,FP FA FB 为等差数列 设其公差为d ，因为,A B 的位置不确定，则有代入得2,1428d d =±=± 3.【2018全国3 文20】已知斜率为k 的直线l 与椭圆22:143x y C +=交于,A B 两点，线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >（1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点且0FP FA FB ++=，证明2||||||FP FA FB =+。
解析：（1）设1122(,),(,)A x y B x y ，则222211221,14343x y x y +=+=，因为2121y y k x x -=- 两式相减可得：1212043x x y y k +++= 又因为12121,22x x y y m ++==即12122,2x x y y m +=+=代入上式得 34k m =-，又因为点M 在椭圆内，故302m <<，故12k <- （2）(1,0)F ，设33(,)P x y ，3311220(1,)(1,)(1,)0FP FA FB x y x y x y ++=⇒-+-+-=即3123123()1,()2x x x y y y m =-+==-+=- 因为点P 在椭圆上，代入得34m =，所以33(1,),||22P FP -=因为1||(22x FA x ==-，同理得2||22xFB =- 故121||||4()32FA FB x x +=-+=所以2||||||FP FA FB =+注意：文理科题目相同，但是给出的解题思路是不同的。
4.【2018天津 理19】设椭圆22221x y a b+=的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的离心A 的坐标为(,0)b，且||||FB AB ⋅= （1）求椭圆的方程；（2）设直线:(0)l y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q ，若||||4AQ AOQ PQ =∠（O 为原点），求k 的值。
解析：（1）由题意知：22222259c a b e a a -===，解得23a b =，又因为||,||FB a AB ==由||||FB AB ⋅=知6ab =，解得3,2a b ==故椭圆方程为22194x y += （2）设1122(,),(,)P x y P x y，则122||,||sin y y PQ AQ AOQ-==∠（得到一个等量关系，然后用k 分别表示出12,y y ）联立22212,21194y kxy kx k y y x y y x k =⎧=⎧⎪⇒=⇒=⎨⎨=-+++=⎩⎪⎩分别代入上式得181k k =+，解得12k =或1128k = 5.【2018江苏 18】如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆C过点1)2，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F 。
（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P（i ）设直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； （ii ）直线l 与椭圆C 交于,A B 两点.若OAB ∆，求直线l 的方程。
解析：（1）设椭圆方程为22221x y a b +=，其中c =1)2在椭圆上，故2222223114413a a bb a b ⎧⎧+==⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎩⎪-=⎩，所以椭圆C 的方程为2214x y += 又因为圆O 的直径为12F F ，故圆的方程为223x y += （2）（i ）本题有两种解法：法一：椭圆和圆有公切线时求点P 的坐标，可先设公切线方程为y kx b =+ 然后根据直线分别与圆和椭圆相切求出,k b 的值，再求出点P 的坐标，这个方法很容易想到，但是需要两次计算相切时的条件。
法二：题目中让求点P 的坐标，不如一开始就设出点P 的坐标，利用点P 的坐标表示出切线方程，然后直线与椭圆联立，0∆=即可求出点P 的坐标。
这里我们选用第二种方法：设直线与圆的切点00(,)P x y ，则满足22003x y +=，故直线l 的方程为： 0000()x y y x x y -=--即0003x y x y y =-+联立022*********23(4)24364014x y x y y x y x x x y x y ⎧=-+⎪⎪⇒+-+-=⎨⎪+=⎪⎩ （1）因为直线l 与椭圆有且只有一个交点，故0∆=，即因为点P 位于第一象限，即000,0x y >>，故001x y == 所以点P的坐标为（ii ）分析：第二问由于OAB ∆的高即为圆的半径，故由面积可以得出弦长AB 的值，根据弦长再求出直线方程，最容易想到的就是设出直线方程y kx b =+，根据直线与圆相切可得2233b k =+，然后直线与椭圆联立，根据韦达定理写出弦长公式，将k 或b 转化成一个，求出即可，但是计算过程很麻烦，下面给出同一个方法的两种不同解法：解析：设直线方程为y kx b =+，1122(,),(,)A x y B x y ，根据直线与圆相切得2233b k =+将2233b k =+7= 注意此处，根据韦达定理得出的两根和与积的形式本来很复杂，如果利用上式还需要进行平方，再将b 转化为k 的形式计算起来相当复杂，因此我们要想办法避开平方，因此不如直接根据直线与椭圆联立的方程解出两根，再利用弦长公式，就可以避开平方的出现，解法也会简单一些。
12|||AB x x =-==解得225,18k b ==所以k b ==y =+ 5.定值问题6.【2018全国1 理】设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0)（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠分析：第二问两角度相等如何证明？解析几何中常出现的量无非是距离长度，斜率，面积，周长，如果你想到了证明两个角余弦值相等，那么恭喜你，你想到了长度，但是长度不容易求得，本题目M 点在x 轴上且角度均从O 点出发，,A B 两点一个在x 轴上方一个在下方，因此可以考虑两条直线关于x 轴对称，而对称又反应了斜率互为相反数的关系，因此本题目虽是证明题的形式出现，但本质上是求定值问题，即120k k +=解析：（1）由题意知(1,0)F ，当l 与x 轴垂直时，:1l x =，此时(1,2A ±，所以直线AM 的方程为2)y x =- （2）设直线,AM BM 的斜率分别为12,k k当直线l 斜率不存在时，此时直线,AM BM 的倾斜角互补，则OMA OMB ∠=∠当直线l 斜率存在时，设1122:(1),(,),(,)l y k x A x y B x y =-联立2222221(21)42202(1)x y k x k x k y k x ⎧+=⎪⇒+-+-=⎨⎪=-⎩所以1212121212121212(1)(1)[23()4]2222(2)(2)y y k x k x k x x x x k k x x x x x x ---+++=+=+=------ （注意，此处为什么不需要整理分母部分，因为证明分式为零，只需要证明分子为零即可）所以222212122(22)12[4]21210(2)(2)k k k k k k k x x --++++==-- 所以直线,AM BM 的倾斜角互补，则OMA OMB ∠=∠7.【2018全国1 文20】设抛物线2:2C y x =，点(2,0),(2,0)A B -，过点A 的直线l 与C 交于,M N 两点（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：ABM ABN ∠=∠解析：（1）当l 与x 轴垂直时，:2l x =，此时(2,2)B ±，直线BM 的方程为1(2)2y x =±+（2）具体过程可以参考32题，在上题中是分情况讨论直线斜率不存在与存在的情况，其实无需讨论斜率是否存在，可以直接将直线方程设为2x my =+ 设:2l x my =+，直线,BM BN 的斜率分别为12,k k联立21212222402,42x my y my y y m y y y x=+⎧⇒--=⇒+==-⎨=⎩ 所以12121212121224()022(4)(4)y y my y y y k k x x my my +++=+==++++ 所以直线,AM BM 的倾斜角互补，则OMA OMB ∠=∠8.【2018全国3 理16】已知点(1,1)M -和抛物线2:4C y x =，过C 的焦点且斜率为k 的直线与抛物线交于,A B 两点，若90ABM ︒∠=，则k =________.解析：用到结论：在抛物线中以焦点弦为直径的圆与准线相切 所以1N M y y ==，设0(,1)N x ，根据焦点弦斜率公式可得000122AB ON AB AB p k k k k x x x ⋅=⇒⋅=⇒= 9.【2018北京 理 19】已知抛物线2:2C y px =经过点(1,2)P ，过点(0,1)Q 的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点,A B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N .（1）求直线l 的斜率的取值范围；（2）设O 为原点，,QM QO QN QO λμ==，求证：11λμ+为定值。