系统稳态误差分析
稳态误差分析
令
K a = lim s 2G ( s ) H ( s )
s→0
K a 静态加速度误差系数
Static acceleration error constant
0 K a = K ∞
ν = 0,1 ν =2 ν ≥3
ν = 0,1 ∞ a 0 ν =2 ess = = const K ν ≥3 0
G2 ( s ) N ( s) 1 + G1 ( s )G2 ( s ) H ( s )
Cn ( s ) = Φ N ( s ) N ( s ) =
系统的理想输出为零 终值定理
扰动产生的输出端误差信号
(3-92)
G2 ( s ) En ( s) = 0 − C n ( s) = − N ( s) 1 + G1 ( s )G2 ( s ) H ( s )
• 位置误差系数
K p = lim G0 ( S )
s →0
• 速度误差系数
K v = lim sG0 ( S )
s →0
• 加速度误差系数
K a = lim s G0 ( S )
2 s →0
稳态误差、 稳态误差、静态误差系数与输入信号关系表
例3-10 一单位负反馈控制系统，若要求： 一单位负反馈控制系统，若要求： 跟踪单位斜坡输入时系统的稳态误差为2 ⑴跟踪单位斜坡输入时系统的稳态误差为2。 设该系统为三阶， ⑵设该系统为三阶，其中一对复数闭环极点为 − 1 ± j1。 求满足上述要求的开环传递函数。 求满足上述要求的开环传递函数。 根据⑴ 根据⑴和⑵的要求，可知系统是Ⅰ型三阶系统，因 的要求，可知系统是Ⅰ型三阶系统， 解： 而令其开环传递函数为 K G(s) =
2.静态误差系数法 静态误差系数法
第八节 采样系统稳态误差分析
输入为加速度函数时，对“ II ”型以下的系 统稳态误差为无穷大。
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第八节采样系统稳态误差分析
离散系统稳态误差小结
误差系数
K p lim D ( z )G ( z )
z 1
Kv
1 K a 2 lim( z 1) 2 D( z )G ( z ) z 1 T 稳态误差
2 1 T ( z 1) z 1 lim (1 z ) z 1 1 D( z )G ( z ) 2( z 1) 3
2( z 1)
1 1 2 l i m ( z 1 ) D( z )G ( z ) 2 z 1 T
1 Ka
其中
1 Ka 2 lim ( z 1) 2 D( z )G ( z ) 为加速度误差系数 T z 1
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第八节采样系统稳态误差分析
第 八节 采样系统稳态误差分析
一 采样系统稳态误差定义 二 采样时刻稳态误差的计算 三 A/D 变换器对稳态误差的影响
四 采样周期对稳态误差的影响
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e* (1 z 1 ) ss l i m
z 1
1 1 1 D( z )G ( z ) (1 z 1 )
1 1 lim z 1 1 D( z )G ( z ) 1 l i mD( z )G ( z )
z 1
1 1 K p
其中 K p lim D ( z )G ( z ) 为稳态位臵误差系数
第八节采样系统稳态误差分析
稳态误差的总结分析和例解
稳态误差的总结分析和例解控制系统稳态误差是系统控制准确度的一种度量，通常称为稳态性能。
只有当系统稳定时，研究稳态误差才有意义，对不能稳定的系统，根本不存在研究稳态误差的可能性。
一、 误差与稳态误差1、输入端的定义：对图一，比较输出得到：E(s)=R(s)-H(s)*Y(s)称E(s)为误差信号，简称误差图一2、输出端的定义：将图一转换为图二，便可定义输出端的稳态误差，并且与输入端的稳态误差有如下关系：E ’(s)=E(s)/H(s)输入端定义法可测量实现，输出端定义法常无法测量，因此只有数学意义，以后在不做特别说明时，系统误差总是指输入端定义误差。
图二再有误差的时域表达式：也有：e(t)= [E(S)]= [Φe (s)*R(S)]其中Φe (s)是误差传递函数，定义为：Φe (s)==根据拉氏变换终值定理，由上式求出稳态误差：(T j s+1)e ss (∞)= =二、 系统类型一般的，定义一个分子为m 阶次，分母为n 阶次的开环传递函数为：[]1()()()()ts ss e t L E s e t e t -==+G(S)H(S)=K为开环增益，ν表示系统类型数，ν=0，表示0型系统；ν=1表示Ⅰ型系统；当ν大于等于2时，除了符合系统外，想使得系统稳定相当困难。
四、阶跃输入下的ess(∞)与静态位置误差系数Kpr(t)=R*1(t),则有：ess (∞)=νν用Kp表示静态位置误差系数：ess(∞)==其中： Kp=且有一般式子：Kp=ν∞ν五、斜坡输入下的ess(∞)与静态速度误差系数Kvr(t)=Rt,则有：ess (∞)=ν用Kv表示静态速度误差系数：ess(∞)==其中： Kv=六、加速度输入下的ess(∞)与静态加速度误差系数Kar(t)=Rt2/2,则有： ess (∞)=ν、用Kv表示静态速度误差系数： ess(∞)==其中： Kv=且有： Ka=、七、扰动状况下的稳态误差系统的模型如图三所示对扰动状况下的稳态误差仍然有输入端与输出端的两种定义：图三1、输入端定义法：扰动状况下的系统的稳态误差传递函数：由拉氏变换终值定理，求得扰动状况下的稳态误差为：2、输出端定义法：212()'()0()()1()()()G s E s Y s N s G s G s H s =-=-+记Φe (s) =为误差传递函数，其中G(s)为：G(s)=G 1(s)*G 2(s)*H(s)八、减小或者消除稳态误差的措施： （1）保证系统中各个环节（或元件），特别是反馈回路中元件的参数具有一定的精度和恒定性；（2）对输入信号而言，增大开环放大系数（开环增益），以提高系统对给定输入的跟踪能力；（3）对干扰信号而言，增大输入和干扰作用点之间环节的放大系数（扰动点之前的前向通道增益），有利于减小稳态误差；（4）增加系统前向通道中积分环节数目，使系统型号提高，可以消除不同输入信号时的稳态误差。
控制系统的稳态误差分析
ess
s 右半
s(s +1)(2s +1) 1 1 = lims ess = lim sE (s) = s→ s(s +1)(2s +1) + K(0.5s +1) s2 0 s →0 k
计算结果表明， 计算结果表明，稳态误差 的大小， 的大小，与系统的开环增 有关。 益K有关。系统的开环增 益越大，稳态误差越小。 益越大，稳态误差越小。 由此看出， 由此看出，稳态精度与稳 定性对K的要求是矛盾的。 定性对K的要求是矛盾的。
t→ ∞
t→ ∞
2、有差系统:通常把阶跃输入信号作用下存在误差 有差系统:
的系统称为有差系统。 的系统称为有差系统。
3、无差系统:通常把阶跃输入信号作用下不存在误 无差系统:
差的系统称为无差系统。 差的系统称为无差系统。
注意:这里所讲的误差指 注意: 系统原理上的误差。 系统原理上的误差。
二、稳态误差的计算
第五节 控制系统的稳态误差分析
一、基本概念 1.偏差、 1.偏差、误差和稳态误差 偏差 的定义： 偏差 (t) 的定义：
R(s)
ε(t) = r(t) −b(t)
E(s) = R(s) − B(s)
的定义： 误差 e(t) 的定义：
(3(3-44a)
ε
−
E(s)
G(s)
C(s)
B(s)
H(s)
图3-24 系统结构图
R(s)
−
K(0.5s +1 ) s(s +1 s +1 )(2 )
C(s)
1 R(s) = 2 s
s ( s + 1)(2 s + 1) 1 E (s) = s ( s + 1)(2 s + 1) + K (0.5 s + 1) s 2
3.5 控制系统的稳态误差分析与计算终
2.系统的类型
K 1s 1 2 s 1 Gk s Gs H s v s T1s 1T2 s 1
K为开环增益 τ1、τ2……和T1、T2……为时间常数
n m
1、系统对单位阶跃输入的稳态偏差 K 1s 11 2 s 1 s lim G G sE H s n m s s lim X s k v s ss i s 0 s s0 T1 s G 1 T s 1 1 s2 H s
s s Gk s
K 1s 1 对0型系统 K a lim s 0 s 0 T1s 1 1s 1 2 K 对I型系统 K a lim s 0 s 0 sT1s 1 1s 1 2 K
2
稳态加速度偏差系数 令：K
a
ss s 0 s 0 i s 0 k
2
K 1s 1 对0型系统 K v lim s 0 ss s 0 T1s 1 K 1s 1 1 对I型系统 K v lim s K ss s 0 sT1s 1 K K 1s 1 对II型系统 K v lim s 0 ss 2 s 0 s T1s 1
lim s Gs H s lim s Gk s
2 2 s 0 s 0
ss
ss
1 ss K
对II型系统 K a lim s s 0
s T1s 1
2
K
1t
t
1 ss Kv
Kv 0
K p lim Gk s K v lim sGk s K a lim s 2Gk s s 0 s 0 s 0
2 i
s H s s 1 Gs H s 1 G s T s 1T s1
自动控制系统的稳定性和稳态误差分析
实验三 自动控制系统的稳定性和稳态误差分析一、实验目的1、研究高阶系统的稳定性，验证稳定判据的正确性；2、了解系统增益变化对系统稳定性的影响；3、观察系统结构和稳态误差之间的关系。
二、实验任务1、稳定性分析欲判断系统的稳定性，只要求出系统的闭环极点即可，而系统的闭环极点就是闭环传递函数的分母多项式的根，可以利用MATLAB 中的tf2zp 函数求出系统的零极点，或者利用root 函数求分母多项式的根来确定系统的闭环极点，从而判断系统的稳定性。
（1）已知单位负反馈控制系统的开环传递函数为0.2( 2.5)()(0.5)(0.7)(3)s G s s s s s +=+++，用MATLAB 编写程序来判断闭环系统的稳定性，并绘制闭环系统的零极点图。
在MATLAB 命令窗口写入程序代码如下： z=-2.5p=[0,-0.5,-0.7,-3] k=0.2 Go=zpk(z,p,k) Gc=feedback(Go,1) Gctf=tf(Gc) 运行结果如下： Transfer function: 0.2 s + 0.5 --------------------------------------- s^4 + 4.2 s^3 + 3.95 s^2 + 1.25 s + 0.5s^4 + 4.2 s^3 + 3.95 s^2 + 1.25 s + 0.5是系统的特征多项式，接着输入如下MATLAB程序代码：den=[1,4.2,3.95,1.25,0.5]p=roots(den)运行结果如下：p =-3.0058-1.0000-0.0971 + 0.3961i-0.0971 - 0.3961ip为特征多项式dens的根，即为系统的闭环极点，所有闭环极点都是负的实部，因此闭环系统是稳定的。
下面绘制系统的零极点图，MATLAB程序代码如下：z=-2.5p=[0,-0.5,-0.7,-3]k=0.2Go=zpk(z,p,k)Gc=feedback(Go,1)Gctf=tf(Gc)[z,p,k]=zpkdata(Gctf,'v')pzmap(Gctf)grid运行结果如下：z =-2.5000p =-3.0058-1.0000-0.0971 + 0.3961i-0.0971 - 0.3961ik =0.2000输出零极点分布图如图3-1所示。
§3-5稳态误差的分析与计算
G 2 (s) E n (s) Cn (s) N(s) 1 G1 (s)G 2 (s)H(s)
s 0
s 0
给定输入下的稳态误差与稳态误差系数
1 e ssr 阶跃输入下: 1 KP 斜坡输入下: essr 1 Kv 1 e ssr 抛物线输入下: Ka
K (TjS 1) G (s) S (TiS 1)
i 1 j1 n
K G( s) v s
i 1
n
系统开环传递函数中 不含积分环节
KP lim G (s) K
s 0
e ss 1 1 K
阶跃输入时，误差系数=K
输出始终不会等于输入，存在稳态误差
K lim SG (s) 0 斜坡输入时，误差系数=0 s 0
ess
2
稳态误差无穷大（输出不能跟随输入）
Ka lim S G (s) 0抛物线输入时，误差系数=0 s 0 ess 输出不能跟随输入，
KP lim G(s)
K lim SG(s)
s 0
s 0
Ka lim S G(s)
s 0
m2
2
m
( s 1) (
i i 1 n1 k 1 n2 j j 1 l 1
m1
2 2 k
s 2 k k s 1) s 2 l l s 1)
(T s 1) (T
2 2
l
稳态误差系数仅与系统参数K、(积分环节个数—系统 型号)有关，对应＝0、1、2 称 0、I、Ⅱ型系统
0、I、Ⅱ型三种系统 分别三种典型输入 稳态误差有九种情况
第3章 系统分析稳定性与稳态误差
2
3.1.1 S平面到Z平面之间映射关系
s平面与z平面映射关系： z esT s j z e( j )T eT e jT eT / T
R | z | eT
z T
1. s平面虚轴映射为z平面单位圆，左半平面映射在z平面单位圆内
系统稳定必要条件 (z) a0 zn a1zn1 an1z an 0 或者
判断系统稳定性步骤： 1. 判断必要条件是否成立，若不成立则系统不稳定 2. 若必要条件成立，构造朱利表
17
二阶系统稳定性条件
(z) z2 a1z a2 0
必要条件： (1) 0 (1) 0
在z平面
z e e e sT
T cos jT sin z esT e e Tn cos jTn sin
n
n
R eTn cos ,z Tn sin
等自然频率轨迹
图3-10 等 自然频率轨 迹映射
11
12
图形对横轴是对称的：
z平面
j
2 3
5
n ,
cos( ) n
| z | eT enT cos z T
8
9
10
6. 等自然频率轨迹的映射
ωn =常数
在s平面 s j ne j n cos jn sin cot1( /)
lim(1
z 1
z 1 ) 1
1 D(z)G(z)
R(z)
es*s 与输入信号R(z)及系统 D(z)G(z) 结构特性均有关
29
1．输入信号为单位阶跃函数 r(t) 1(t)
R(z) 1/(1 z1)
稳态误差总结分析与例解
稳态误差的总结分析和例解控制系统稳态误差是系统控制准确度的一种度量，通常称为稳态性能。
只有当系统稳定时，研究稳态误差才有意义，对不能稳定的系统，根本不存在研究稳态误差的可能性。
一、 误差与稳态误差1、输入端的定义：对图一，比较输出得到：E(s)=R(s)-H(s)*Y(s)称E(s)为误差信号，简称误差图一2、输出端的定义：将图一转换为图二，便可定义输出端的稳态误差，并且与输入端的稳态误差有如下关系：E ’(s)=E(s)/H(s)输入端定义法可测量实现，输出端定义法常无法测量，因此只有数学意义，以后在不做特别说明时，系统误差总是指输入端定义误差。
图二再有误差的时域表达式：也有：e(t)=L −1[E(S)]=L −1[Φe (s)*R(S)]其中Φe (s)是误差传递函数，定义为：Φe (s)=E sR (S )=11+G s ∗H s根据拉氏变换终值定理，由上式求出稳态误差：(T j s+1)e ss (∞)=lim s →0s ∗E (s )=lim s →0s∗R (S )1+G s ∗H s二、 系统类型一般的，定义一个分子为m 阶次，分母为n 阶次的开环传递函数为：[]1()()()()ts ss e t L E s e t e t -==+G(S)H(S)=K (Tis +1)m i =1s ^v (Tjs +1)n −vj =1K 为开环增益，ν表示系统类型数，ν=0，表示0型系统；ν=1表示Ⅰ型系统；当ν大于等于2时，除了符合系统外，想使得系统稳定相当困难。
四、阶跃输入下的e ss (∞)与静态位置误差系数Kpr(t)=R*1(t),则有：e ss (∞)= R1+K ,ν=00 ,ν≥1用Kp 表示静态位置误差系数：e ss (∞)=R 1+lim s →0G s ∗H s =R1+Kp其中： Kp=lim s →0G s ∗H s且有一般式子：Kp=K ,ν=0∞ ,ν>=1五、斜坡输入下的e ss (∞)与静态速度误差系数Kvr(t)=Rt,则有：e ss (∞)= ∞ ,ν=0RK ,v =10,v ≥2用Kv 表示静态速度误差系数：e ss (∞)=R lim s →0G s ∗H s =RKv其中：Kv=lim s →0s ∗G s ∗H s六、加速度输入下的e ss (∞)与静态加速度误差系数Kar(t)=Rt 2/2,则有：e ss (∞)= ∞ ,ν=0、1R/K,v =20 ,v ≥3用Kv 表示静态速度误差系数：e ss (∞)=R lim s →0G s ∗H s =RKa其中：Kv=lim s →0s ^2∗G s ∗H s且有：Ka= 0, v =0、1K , v =2∞, v ≥3七、扰动状况下的稳态误差系统的模型如图三所示对扰动状况下的稳态误差仍然有输入端与输出端的两种定义：图三1、输入端定义法：扰动状况下的系统的稳态误差传递函数：由拉氏变换终值定理，求得扰动状况下的稳态误差为：2、输出端定义法：212()'()0()()1()()()G s E s Y s N s G s G s H s =-=-+记Φe (s) =−G 2 s1+G s 为误差传递函数，其中G(s)为：G(s)=G 1(s)*G 2(s)*H(s)八、减小或者消除稳态误差的措施： （1）保证系统中各个环节（或元件），特别是反馈回路中元件的参数具有一定的精度和恒定性；（2）对输入信号而言，增大开环放大系数（开环增益），以提高系统对给定输入的跟踪能力；（3）对干扰信号而言，增大输入和干扰作用点之间环节的放大系数（扰动点之前的前向通道增益），有利于减小稳态误差；（4）增加系统前向通道中积分环节数目，使系统型号提高，可以消除不同输入信号时的稳态误差。
基于Simulink控制系统的稳态误差分析
基于Simulink 控制系统的稳态误差分析一、实验目的1.掌握使用Simulink 仿真环境进行控制系统稳态误差分析的方法。
2.了解稳态误差分析的前提条件是系统处于稳定状态。
3.研究系统在不同典型输入信号作用下，稳态误差的变化。
4.分析系统在扰动输入作用下的稳态误差。
5.分析系统型次及开环增益对稳态误差的影响。
二、实验设备和仪器1．计算机2. MATLAB 软件三、实验原理1.误差的意义： a) 给定信号作用下的稳态误差表征系统输出跟随输入信号的能力。
b) 系统经常处于各种扰动作用下。
如：负载力矩的变化，电源电压和频率的波动，环境温度的变化等。
因此系统在扰动作用下的稳态误差数值，反映了系统的抗干扰能力。
注意：系统只有在稳定的前提下，才能对稳态误差进行分析。
定义式法求稳态误差：[]lim ()lim ()lim ()()lim ()lim ()ss r d t s s r d s s ssr ssde e t sE s s E s E s sE s sE s e e →∞→→→→===+=+=+2. 给定信号作用下的误差E )()1R s =+扰动信号作用下的误差()d E s )()1(G D s G -=+R(s)是给定输入信号（简称给定信号）；D(s)是扰动输入信号（简称扰动信号）；()()G s H s 是开环传递函数。
3. 静态误差系数法（只能用于求给定信号作用下误差）这种简便的求解给定信号稳态误差ssr e 的方法叫做静态误差系数法，首先给出系统在不同输入信号下的误差系数的定义：当()0RR s s=时，定义静态位置误差系数为：0lim ()()p s K G s H s →=R当()02v R s s=时，定义静态速度误差系数为：0lim ()()v s K s G s H s →=当()03a R s s=时，定义静态加速度误差系数为：20lim ()()a s K s G s H s →=表5-1 给定信号作用下系统稳态误差ssr e系统型号 阶跃信号输入()0R R s s = 速度信号输入()02v R s s = 加速度信号输入()03a R s s = 0 01pR K + ∞ ∞ Ⅰ 0 0vv K ∞Ⅱaa K 四、实验内容1.对比“给定信号作用下系统稳态误差ssr e 表”分析发现，影响系统稳态误差ssr e 有以下2个方面：a) 系统的结构参数 b) 输入信号2.分析系统在给定输入作用下的稳态误差，验证上面的结论。
自动控制系统稳态误差分析
3.6 稳态误差分析
单位阶跃函数输入时的稳态误差
当输入为 R(s) 1 时（单位阶跃函数） s
式中：Kp e lsss irm 0 Glsik m (0 s1 )G s 称k(为s) 位1 s置 误1 差lsi 系m 0 1 数G k；(s)1 1 K p
当 0 时 ， K p l s i 0 K m 0 ( s ) G K , e s s1 r 1 K
由稳定的条件知：
e ss
1不能满足 6
es的s 要0求.1
9
3.6 稳态误差分析
给定输入时的稳态误差
三、给定输入作用下系统的误差分析
这时，不考虑扰动的影响。可
R(s)
E(s)
以写出系统的误差 ：
-
E(s) 1 R(s) 1 R(s) 1G 1G 2H 1G k
H G2 G1
es s rtl i m e(t)ls i0m s(E s)ls i0m 1 sG (R k s()s)
这里 R(s)H(s)C 0(s) 是基于控制系统在理想工作情况下
E(s)0 得到的。
C0 (s)
(s)
N (s)
R(s) 1 R1(s) H (s) C0
E1(s)
-
E(s) H (s)
G1 ( s)
+
G2 (s)
C(s)
我们将用偏差 E(s)代替误差进行研究。除非特别说明，以后所说的误差
就是指偏差；稳态误差就是指稳态偏差。
j1开环传递函数 l1 可见给定作用下的稳态误差与外作
K
去掉积分和比 例环节；
用有关；与时间常数形式的开环增
益有关；与积分环节的个数有关。
G0 (s)
实验七 控制系统的稳态误差分析
实验七 控制系统的稳态误差分析一、 实验目的1、 研究系统在单位阶跃输入下的稳态误差变化。
2、 掌握系统型次及开环增益对稳态误差的影响。
3、 在Multisim 仿真平台上建立二阶电路，通过示波器观测控制系统稳态误差变化情况。
二、实验原理及内容构成下述环节的模拟线路，分析该实验系统的型次和不同增益时对稳态误差的影响。
图1 稳态误差分析电路图该电路图中选取信号为直流电压源，电阻和电容选用现实原件，运放和电位器选用虚拟原件。
系统的开环传递函数为：)103.0)(102.0(600)()(7++=s s R s H s G其中：R 7为电位器从系统的开环传递函数知，本系统属于0型系统，并且开环增益7600R K =，则系统的稳态误差K Ro e ss +=1。
三、实验步骤1、将开关J2断开，电位器R 7调到100K Ω进行实验，观察示波器中响应曲线稳态误差的情况（见图2）。
2、将开关J2闭合，调节电位器的数值（利用A 键），观测稳态误差的大小变化以及收敛的速度。
（1）当电位器R 7为200K Ω时，输出波形见图3（2）当电位器R 7为100K Ω时，输出波形见图4（3）当电位器R 7为50K Ω时，输出波形见图5图2 J2断开时的稳态误差分析曲线图3 R7＝200KΩ时误差分析曲线图4 R7＝100KΩ时误差分析曲线实验八 一阶系统频率特性测量一、实验目的1、加深了解系统及元件频率特性的物理概念。
2、掌握系统及元件频率特性的测量方法，根据所测得的频率特性做出波特图。
二、实验内容构成下述环节的模拟线路,使用仿真软件中的波特图一加深对惯性环节的频率特性的理解，通过测量值的变化规律得到系统的幅频特性和相频特性。
1、 测量原理若输入信号11()sin m u t U t ω=，则在稳态时，其输出信号为22()sin()m u t U t ωϕ=+，改变输入信号的角频率值ω，便可以测得两组随ω变化的值----12m mu u 和ϕ，进而可以通过测量值的变化规律得到系统的幅频特性和相频特性。
控制系统的稳态误差分析
第六节 控制系统的稳态误差分析
例 位置随动系统的稳态误差分析。
解： (1) 典型随动系统 开环传递函数为 K G(s)= s(T s+1) m
θ (s) r
c K θ (s) s(Tms+1)
1 当输入信号 θr(s)= s
Kp=∞
essr=0 1 essr= K
1 当输入信号 θr(s)=s2
K =K υ
1 a t2 设静态加速度误差系数 设 r(t)= 2 0 Ka=lim s2G(s)H(s) a0 s→0 R(s)= s3 a 0 =lim sK-2 s→0 υ s3 essr=lim s· s→0 1+G(s)H(s) 可得： a0 a0 = lim s2G(s)H(s)= K υ≤1 Ka=0 essr=∞ a s→0 a0 m Ka=K essr= K KΠ(τ is+1) υ=2 G(s)H(s)= υ i=υ n1 s Π(Tjs+1) υ≥ 3 Ka=∞ essr=0 j=1
2 R(s)= s2 0.5 D(s)= s
2 2 2 essr= K = K = 20 =0.1 υ essd= lim s -G2(s)H(s)D(s) s→0 1+G1(s)G2(s)H(s)
第六节 控制系统的稳态误差分析
三、改善系统稳态精度的方法
增加积分环节可提高系统精度等级， 增加放大系数可减小有限误差。采用补偿 的方法，则可在保证系统稳定的前提下减 小稳态误差。
第三章 时域分析法
第六节 控制系统的稳态误差分析
一、给定信号作用下的稳态误差 二、扰动信号作用下的稳态误差
三、改善系统稳态精度的方法
第六节 控制系统的稳态误差分析
控制系统的稳定性分析实验报告
控制系统的稳定性分析实验报告一、实验目的1.了解控制系统的稳定性分析方法。
2.通过实验，掌握系统稳态误差、系统阻尼比、系统根轨迹等稳态分析方法。
3.掌握控制系统的稳定性分析实验步骤。
二、实验原理1.系统稳态误差分析系统稳态误差是指系统在达到稳态时，输出与输入之间的偏差。
对于稳态误差的分析，可以采用开环传递函数和闭环传递函数进行分析。
开环传递函数：G(s)闭环传递函数：G(s)/(1+G(s)H(s))其中，H(s)为系统的反馈环节，G(s)为系统的前向传递函数。
稳态误差可以分为静态误差和动态误差。
静态误差是指系统在达到稳态时，输出与输入之间的偏差；动态误差是指系统在达到稳态时，输出与输入之间的波动。
2.系统阻尼比分析系统阻尼比是指系统在达到稳态时，振荡的阻尼程度。
阻尼比越大，系统越稳定；阻尼比越小，系统越不稳定。
系统阻尼比的计算公式为：ζ=1/(2ξ)其中，ξ为系统的阻尼比，ζ为系统的阻尼比。
3.系统根轨迹分析系统根轨迹是指系统的极点随着控制参数变化而在复平面上的轨迹。
根轨迹分析可以用来判断系统的稳定性和性能。
系统的根轨迹可以通过以下步骤进行绘制：（1）确定系统的传递函数G(s)（2）将G(s)写成标准形式（3）计算系统的极点和零点（4）绘制系统的根轨迹三、实验步骤1.系统稳态误差分析实验（1）将系统的开环传递函数和闭环传递函数写出。
（2）通过实验，测量系统的静态误差和动态误差。
（3）根据静态误差和动态误差的测量结果，计算系统的稳态误差。
2.系统阻尼比分析实验（1）通过实验，测量系统的振荡频率和衰减周期。
（2）根据振荡频率和衰减周期的测量结果，计算系统的阻尼比。
3.系统根轨迹分析实验（1）将系统的传递函数写成标准形式。
（2）计算系统的极点和零点。
（3）绘制系统的根轨迹，并根据根轨迹的形状，判断系统的稳定性和性能。
四、实验结果分析通过实验，我们可以得到系统的稳态误差、阻尼比和根轨迹等数据。
根据这些数据，我们可以分析系统的稳定性和性能，并对系统进行优化。
控制系统稳态误差
控制系统稳态误差控制系统是现代工业中的重要组成部分，其主要目的是使被控对象按照预定要求进行运动或保持特定状态。
然而，实际控制过程中常常会存在稳态误差的问题。
稳态误差是指系统在稳定运行后无法达到预期输出的差异量。
稳态误差的存在会影响系统的性能和准确性，因此需要采取相应措施进行控制和修正。
一、稳态误差的定义和分类稳态误差可以通过系统输出与输入之间的差异进行量化和描述。
一般来说，系统的稳态误差可以分为以下几类：1. 零稳态误差：当输入信号为一阶单位阶跃函数时，系统输出在稳定后能够达到一个常数值，此时的误差被称为零稳态误差。
2. 常数稳态误差：当输入信号为常数信号时，系统的输出也会趋向于一个常数值。
此时的差异量即为常数稳态误差。
3. 平方和稳态误差：当输入信号为二阶单位阶跃函数时，系统输出的平方和稳态误差是指系统输出平方作为误差的衡量指标。
二、稳态误差的产生原因稳态误差的产生主要源于控制系统中的各种不完善因素，包括但不限于：1. 模型误差：系统的模型与实际物理模型存在差异，在控制过程中产生误差。
2. 传感器误差：由于传感器自身的精度限制或者环境因素，传感器所测量的信号存在一定的误差。
3. 操作限制：控制系统中的操作限制，例如执行器的响应速度、运动范围等，会对系统的性能产生影响。
4. 外部扰动：外部干扰、环境变化等因素会对控制系统的输出产生干扰，导致误差的产生。
三、降低稳态误差的方法针对不同类型的稳态误差，可以采用不同的方法进行修正和控制。
1. Proportional-Integral-Derivative（PID）控制器PID控制器是目前应用广泛的一种控制方法，通过调节比例、积分、微分三个参数，可以实现对系统的稳态误差进行校正。
2. 前馈控制前馈控制是在实际控制过程中，将预测的扰动信号提前引入到系统中，通过预先补偿的方式减小稳态误差。
3. 系统参数调整调整系统参数也是降低稳态误差的一种常用方法。
通过修改控制器参数、传感器灵敏度等，使系统的输出更加接近预期。
第六章 系统稳态误差及稳定性分析(1)
K为系统的开环总增益 A1(s) 和 B1(s) 分别为常数项为1的s的多项式
g 为开环传递函数所含积分环节 1/ 的个数 1/s
的值来划分系统的型号。 根据 g 的值来划分系统的型号。 ① 当g=0时，开环传递函数不含积分环节，系统称为 时 开环传递函数不含积分环节， 0型系统 ② 当g=1时，开环传递函数系统含有一个积分环节， 时 开环传递函数系统含有一个积分环节， 对应的闭环系统称为I型系统 对应的闭环系统称为 型系统 G(s)H(s) = KA1 ( s)
sB1 ( s )
③ 当g=2时，开环传递函数系统含有二个积分环节， 时 开环传递函数系统含有二个积分环节， 系统称为II型系统 系统称为 型系统 G(s)H(s) = KA1 ( s ) 2
其余依此类推
s B1 ( s )
一般来说，系统的型号愈高，系统愈不容易稳定，实际中一般 只用到Ⅱ型。
例1 二阶振荡系统的框图如下图所示。判别该系统 二阶振荡系统的框图如下图所示。 的阶次和型号
= lim
10 0.5s 10 1 1 − = lim = 5°C ° s →0 s 0.5s + 1 s→0 s 0.5s + 1
例6 系统如下图所示，其反馈通道传递函数为一积分环节。
试求其在单位恒速信号作用下的稳态误差，并分析这种 积分环节的设置是否合理。 Xi(s) + -
εss= lim ε (t ) = lim sε ( s)
t →∞
s →0
Xi(s) +
-
ε(s) G(s) H(s)
Xo(s)
ε ( s) = X i ( s) − F ( s)
= X i ( s ) − G ( s ) H ( s )ε ( s )
系统的稳态误差分析
2^-1T rjn?fer FenT rjn?fer FenMux ScopeScope实验三系统的稳态误差分析一.实验目的:1.了解系统开环增益和系统型别对稳态误差的影响。
2.了解输入信号的形式和幅值对系统稳态误差的影响。
3.分析扰动作用下对系统稳态误差的影响。
4.研究减小或消除稳态误差的措施。
二.实验内容:1 •分别观测输入信号为阶跃信号、斜坡信号、加速度信号时，不同系统型别稳态误差的变化情况。
2.对有差系统，增大或减小系统的开环增益，观察系统稳态误差的变化。
3•改变输入信号的幅值，观察系统稳态误差的变化。
4.观测有扰动作用时，系统稳态误差的变化。
5.采取一种措施消除阶跃扰动对系统的影响。
二实验原理:阶跃输入信号作用于0型系统，如图（3-1 ）所示：图（3-1 ）Step斜坡输入信号作用于I型系统，如图（3-2 ）所示:图（3-2）加速度输入信号作用于U 型系统，如图（3-3）所示:图（3-3） 图（3-4）四.实验步骤：利用MATLAB 中的Simulink 仿真软件。
1. 参照实验一的步骤，建立如图（3-1）所示的实验方块图进行仿真；2. 单击工具栏中的 卜图标，开始仿真，观测在阶跃输入信号作用下，0 型系统的输出曲线和误差曲线，记录此时的稳态误差值，并与理论计算值 相比较；3. 有误差时，调整“ Gain ”模块的增益，观察稳态误差的变化，分析系统开 环增益对稳态性能的影响；4. 有误差时，调整输入信号的幅值，观察稳态误差的变化，分析输入信号的 大小对稳态误差的影响；5•将对象分别更换为I 型和U 型系统，观察在阶跃输入信号作用下，I型和U 型系统的输出曲线和误差曲线，记录此时的稳态误差值。
6. 更换输入信号的形式为斜坡信号，参考图（3-2）所示的实验方块图，重复步 骤2~4,分别观测0型、I 型和U 型系统的稳态误差。
扰动信号作用下的系统，如图（3-4）所示:7.再将输入信号的形式更换为加速度信号，参考图（3-3）所示的实验方块图，重复步骤2~4,分别观测0型、I型和U型系统的稳态误差。
第三章(4)系统的稳态误差
K2 H G2H s K 2H s NE ( S ) 1 K 1K 2 1 G1G 2 H s K 1K 2 H 1 1 H s
干扰作用下的稳态误差
K 2 e ssn lim s NE ( s) N ( s) lim s N (s) s 0 s 0 s G K 1 2 s K 2 H lim s 1 N ( s) s 0 s K 1K 2 H
1
ess () ess lim e(t ) lim sE ( s)
t s 0
N (S )
R(S )
E (S )
G1（S）
G2(S）
C (S )
H（S）
3、系统的稳态误差：
1）设N（S）=0， 以R为输入，E为输出
1 RE ( S ) 1 G1G 2 H
2）设R（S）=0，以N为输入，E为输出
系统稳态误差计算通式则可表示为：
ess
lim[ S 1 R( s)]
s 0
K lim S
s 0
(3 64)
稳态误差与哪些因素有关？
系统型别 e ss 与 K 开环增益有关 R ( s ) 输入信号
1、阶跃信号输入 令
R0 r (t ) R0 , R0 常量。R(s) . S
二、稳态误差的计算
e(t ), lim sE ( s ) 存在，可利用终值定理 如果 lim t s 0 输入形 求稳态误差。
式
sR( s) ess () ess lim sE ( s) lim s 0 s 0 1 H ( s )G ( s )
结构形式
公式条件： sE (s) 的极点均位于S左半平面.
线性系统的稳定性和稳态误差分析
实验五 自动控制系统的稳定性和稳态误差分析一、实验目的1、研究高阶系统的稳定性，验证稳定判据的正确性；2、了解系统增益变化对系统稳定性的影响；3、观察系统结构和稳态误差之间的关系。
二、实验任务1、稳定性分析欲判断系统的稳定性，只要求出系统的闭环极点即可，而系统的闭环极点就是闭环传递函数的分母多项式的根，可以利用MATLAB 中的tf2zp 函数求出系统的零极点，或者利用root 函数求分母多项式的根来确定系统的闭环极点，从而判断系统的稳定性。
（1）已知单位负反馈控制系统的开环传递函数为0.2( 2.5)()(0.5)(0.7)(3)s G s s s s s +=+++，用MATLAB 编写程序来判断闭环系统的稳定性，并绘制闭环系统的零极点图。
在MATLAB 命令窗口写入程序代码如下：z=-2.5p=[0,-0.5,-0.7,-3]k=0.2Go=zpk(z,p,k)Gc=feedback(Go,1)Gctf=tf(Gc)dc=Gctf.dendens=poly2str(dc{1},'s')运行结果如下：dens=s^4 + 4.2 s^3 + 3.95 s^2 + 1.25 s + 0.5dens 是系统的特征多项式，接着输入如下MATLAB 程序代码：den=[1,4.2,3.95,1.25,0.5]p=roots(den)运行结果如下：p =-3.0058-1.0000-0.0971 + 0.3961i-0.0971 - 0.3961ip为特征多项式dens的根，即为系统的闭环极点，所有闭环极点都是负的实部，因此闭环系统是稳定的。
下面绘制系统的零极点图，MATLAB程序代码如下：z=-2.5p=[0,-0.5,-0.7,-3]k=0.2Go=zpk(z,p,k)Gc=feedback(Go,1)Gctf=tf(Gc)[z,p,k]=zpkdata(Gctf,'v')pzmap(Gctf)grid运行结果如下：z =-2.5000p =-3.0058-1.0000-0.0971 + 0.3961i-0.0971 - 0.3961ik =0.2000输出零极点分布图如图3-1所示。
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苏州市职业大学实训报告 院系 电子信息工程学院 班级 姓名 学号 实训名称 系统稳态误差分析 实训日期
一、实训目的
1、掌握终值定理求稳态误差的方法；
2、在不同输入信号作用下,观察稳态误差与系统结构参数、型别的关系；
3、比较干扰在不同的作用点所引起的稳态误差。
二、实训内容
1、给定信号输入作用下，系统的稳态误差分析。
已知控制系统的动态结构图如下所示，其中112()21G s K s =⋅+，24()0.41
G s s =+，反馈通道传递函数()1H s =。
（1)建立上述控制系统的仿真动态结构图；令开环增益为K1=1,分别对系统输入阶跃信号和斜坡信号，用示波器观察系统的响应曲线和误差响应曲线；并分别计算不同输入信号下的稳态误差值 ；
（2)改变系统增益K1（自行选取增益值，如K1=10），用示波器观察系统的稳态误差曲线，计算稳态值，分析开环增益变化对稳态误差的影响。
如果前向通道中再串联一个积分环节，（增益值K1值同第三步），用示波器观察系统的响应曲线和误差响应曲线，计算稳态值，分析开环增益变化对稳态误差的影响。
建立如下图1所示的仿真结构图，令开环增益K1=1，输入单位阶跃信号，运行得到单位阶跃响应曲线和单位阶跃误差响应曲线（图2）：
图1 单位阶跃信号作用下，K1=1的系统结构图
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实训名称系统稳态误差分析实训日期
图2 单位阶跃信号作用下，K1=1的仿真曲线
建立如下图3所示的仿真结构图，令开环增益K1=1，输入单位斜坡信号，运行得到单位斜坡响应曲线和单位斜坡误差响应曲线（图4）：
图3 单位斜坡信号作用下，K1=1的系统结构图
图4 单位斜坡信号作用下，K1=1的仿真曲线
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通过计算，在阶跃信号作用下，K1=1的系统稳态误差值
e为0.11；在斜坡信号作用下，K1=1的系统稳
ss
态误差值
e无穷大，这也刚好验证了图2和图4。
ss
建立如下图5所示的仿真结构图，令开环增益K1=10，输入单位阶跃信号，运行得到单位阶跃响应曲线和单位阶跃误差响应曲线（图6）：
图5 单位阶跃信号作用下，K1=10的系统结构图
图6单位阶跃信号作用下，K1=10的仿真曲线
建立如下图7所示的仿真结构图，令开环增益K1=10，输入单位斜坡信号，运行得到单位斜坡响应曲线
和单位斜坡误差响应曲线（图8）：
图7 单位斜坡信号作用下，K1=10的系统结构图
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图8 单位斜坡信号作用下，K1=10的仿真曲线
通过计算，在阶跃信号作用下，K1=10的系统稳态误差值ss e 为0.0123；在斜坡信号作用下，K1=10的
系统稳态误差值ss e 无穷大，这也刚好验证了图6和图8。
通过对比图2和图6可知，开环增益K 对系统的稳态误差有影响，K 越大，稳态误差越小；K 越小，稳态误差越大。
因此，适当提高开环增益K 可减小系统的稳态误差，但不利于提高系统的稳定性。
2、干扰信号输入作用下，系统的稳态误差分析。
已知控制系统的动态结构图如下所示，其中11()G s s =，25()0.51
G s s =+反馈通道传递函数()1H s =。
1） 建立上述控制系统的仿真动态结构图；
2） 干扰信号加在N1和N2的位置时，用示波器观察系统的稳态误差曲线；并分别计算干扰信号为阶
跃信号时系统稳态误差值1ssn e 、2ssn e ；
建立如下图9所示的仿真结构图，无输入，在N1处施加阶跃干扰信号，运行得到仿真曲线（图10）：
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图9 在N1处施加阶跃干扰信号的系统结构图
图10 在N1处施加阶跃干扰信号的仿真曲线
利用MATLAB编程命令计算得：
e=1.4877e-014≈0。
1
ssn
建立如下图11所示的仿真结构图，无输入，在N2处施加阶跃干扰信号，运行得到仿真曲线（图12）：
图11 在N2处施加阶跃干扰信号的系统结构图
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图12 在N2处施加阶跃干扰信号的仿真曲线
利用MATLAB编程命令计算得：
e=1。
2
ssn
3、根据图2-2观察阶跃干扰作用于不同位置时系统的稳态误差大小。
阶跃干扰作用越靠前，系统的稳态误差小；阶跃干扰作用越靠后，系统的稳态误差大。
但系统几乎同时到达稳态。
4、同时施加输入信号R和干扰信号N（均为阶跃信号）。
建立如下图13所示的仿真结构图，输入阶跃信号，在N1处施加阶跃干扰信号，运行得到仿真曲线（图14）：
图13 阶跃输入，在N1处施加阶跃干扰信号的系统结构图
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图14 阶跃输入，在N1处施加阶跃干扰信号的仿真曲线
建立如下图15所示的仿真结构图，输入阶跃信号，在N1处施加阶跃干扰信号，运行得到仿真曲线（图16）：
图15 阶跃输入，在N2处施加阶跃干扰信号的系统结构图
图16 阶跃输入，在N1处施加阶跃干扰信号的仿真曲线
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三、思考题
1、根据实验结果，分析稳态误差与系统开环增益和输入信号类型的关系；
开环增益越大，稳态误差越小；开环增益越小，稳态误差越大。
因此，适当提高开环增益可以减小系统的稳态误差，但不利于提高系统的稳定性。
同一控制系统在不同形式的输入信号的作用下有不同的稳态误差，具体如下表所示：
2、根据实验数据，分析稳态误差与干扰作用点的关系。
在同一控制系统中，干扰信号也一样的情况下，干扰作用点越靠前，稳态误差越小；反之，越大。