备战中考数学二轮专题归纳提升真题二次函数存在性问题(1)—与三角形相关(解析版)

专题04 二次函数存在性问题（1）—与三角形相关
【典例分析】
【例1——最值存在性问题】
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），连接AC，点P为第二象限抛物线上的动点．
（1）求a、b、c的值；
（2）连接PA、PC、AC，求△PAC面积的最大值；
【答案】（1）a＝﹣1，b＝﹣2，c＝3；
（2）当m时，S△PAC最大.
【解析】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点∴，
解得：
∴a＝﹣1，b＝﹣2，c＝3；
（2）如图，过点P作PE∥y轴，交AC于E，
∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴直线AC的解析式为y＝x+3，
由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，
设点P（m，﹣m2﹣2m+3），则E（m，m+3），
∴S△ACP PE•（x C﹣x A）[﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）]×（0+3）（m2﹣3m）（m ）2，
∴当m时，S△PAC最大.
【练1】如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且点B 与点C的坐标分别为B（3，0）．C（0，3），点M是抛物线的顶点．点P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，若OD＝m．
（1）求二次函数解析式；
（2）设△PCD的面积为S，试判断S有最大值或最小值？若有，求出其最值，若没有，请说明理由；
【答案】（1）二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）当m时，S最大.
【解析】解：（1）把B（3，0）、C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，
得，解得，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）S有最大值．
如图1，设直线BM的解析式为y＝kx+a，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴该抛物的顶点坐标为M（1，4），
把M（1，4）、B（3，0）代入y＝kx+a，得，解得，
∴y＝﹣2x+6，
∵D（m，0），
∴P（m，﹣2m+6）；
由S△PCD PD•OD，
得S m（﹣2m+6）＝﹣m2+3m；
∵当点P与点B重合时，不存在以P、C、D为顶点的三角形，
∴1≤m＜3，
∴S不存在最小值；
∵S＝﹣m2+3m＝﹣（m）2，
∴当m时，S最大，
∴S的最大值为．
【练2】如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为直线x．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当x为多少时，线段PQ长度有最值。

【答案】（1）y＝x2﹣5x+4
（2）当x＝2时，PQ的最大值为4
【解析】解：（1）由题意得：，解得，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣5x+4；
（2）对于y＝x2﹣5x+4，令y＝x2﹣5x+4＝0，解得x＝1或4，令x＝0，则y＝4，
故点B的坐标为（4,0），点C（0,4），
设直线BC的表达式为y＝kx+t，则，解得，
故直线BC的表达式为y＝﹣x+4，
设点P的坐标为（x，﹣x+4），则点Q的坐标为（x，x2﹣5x+4），
则PQ＝（﹣x+4）﹣（x2﹣5x+4）＝﹣x2+4x，
∵﹣1＜0，
故PQ有最大值，当x＝2时，PQ的最大值为4
【练3】如图，直线y x+c与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点C，抛物线y x2+bx+c 经过点A，C，与x轴的另一个交点为B（1，0），连接BC．
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）M为x轴的下方的抛物线上一动点，求△ABM的面积的最大值．
【答案】（1）
（2）△ABM的面积的最大值；
【解析】解：（1）将A（﹣3，0），B（1，0）代入抛物线，
∴
解得，
∴抛物线的函数解析式为：；
（2）∵M是x轴的下方的抛物线上一动点，且△ABM的面积最大，
∴点M为抛物线的顶点，
∴M（﹣1，﹣2），
∴△ABM的面积的最大值；
【例2——二次函数中等腰三角形存在性问题】
如图，抛物线y＝ax2+4x+c经过A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）两点，点P是y轴左侧且位于x轴下方抛物线上一动点，设其横坐标为m．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）过点P作PM⊥x轴交直线BD于点M，试探究是否存在点P，使△PBM是等腰三角形？
若存在，求出点m的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）y＝x2+4x﹣1；
（2）m的值为﹣3，﹣4，﹣5
【解析】解：（1）把点A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）带入解析式y＝ax2+4x+c，
得，
解得，
∴y＝x2+4x﹣1；
（2）存在点P，
∵D（﹣3，2），B（0，﹣1），
∴直线BD的解析式为y＝﹣x﹣1，
设P（m，m2+4m﹣1），则M（m，﹣m﹣1），
∵∠BMP＝45°，
当△PBM是等腰三角形，且45°为底角时，
有∠MBP＝90°或∠MPB＝90°，
若∠MBP＝90°，则P与A重合，即m＝﹣3，
若∠MPB＝90°，则PB∥x轴，即P的纵坐标为﹣1，
∴m2+4m﹣1＝﹣1，
解得m＝0（舍）或m＝﹣4，
∴m＝﹣4，
若45°为顶角，
即MP＝MB，
∵MP＝﹣m﹣1﹣m2﹣4m+1＝﹣m2﹣5m，MB，
∴﹣m2﹣5m m，
解得m＝﹣5（舍）或m＝﹣5，
∴m的值为﹣3，﹣4，﹣5．
【练1】如图，抛物线y＝ax2与直线y＝2x在第一象限内交于点A(2，t)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在x轴上是否存在一点P，使△OAP是以OA为腰的等腰三角形？若存在，请你求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；
【答案】（1）y＝x2
（2）P点坐标为(－25，0)(25，0)或(4，0)；
【解析】解：(1)把A(2，t)代入y＝2x中，得t＝4，
∴A(2，4)，
把A(2，4)代入y＝ax2中，得a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2；
(2)设P点的坐标为(m，0)，
当OA＝OP时，有m2＝22＋42，
解得，m＝25，或m＝－25，
∴此时P点的坐标为P(－25，0)，(25，0)；
当OA＝PA时，有(m－2)2＋42＝22＋42，
解得，m＝0(舍)，或m＝4，
∴此时P点坐标为(4，0)，
综上，在x轴上存在一点P，使△OAP是以OA为腰的等腰三角形，其P点坐标为(－25，
0)(25，0)或(4，0)；
【练2】如图，直线y x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B，C和点A（﹣1，0）．
（1）求B，C两点的坐标．
（2）求该二次函数的解析式．
（3）若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，则在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）B（4，0），C（0，2）．
（2）y（x﹣4）（x+1）x2x+2．
（3）存在P1（），P2（），P3（，4），使△PCD是以CD为腰的等腰三角形．【解析】解：（1）对直线y x+2，当x＝0时，y＝2，y＝0时，x＝4，
∴B（4，0），C（0，2）．
（2）设二次函数为y＝a（x﹣m）（x﹣n）（a≠0），
∵二次函数图象经过B（4，0），A（﹣1，0），
∴y＝a（x﹣4）（x+1），
把点C（0，2）代入y＝a（x﹣4）（x+1）得：
a（0﹣4）（0+1）＝2，
解得：a，
∴y（x﹣4）（x+1）x2x+2．
（3）∵二次函数图象经过B（4，0），A（﹣1，0），
∴对称轴为x，
∴D（，0），
∵C（0，2），
∴CD，
①如图1，当CD＝PD时，
PD，
∴P1（），P2（），
②如图2，当CD＝CP3时，过点C作CH⊥DP3于点H，
∵CD＝CP3，CH⊥DP3，
∴DH＝P3H，
∵C（0，2），
∴DH＝2，
∴P3H＝2，
∴P3D＝4，
∴P3（，4），
综上所述：存在P1（），P2（），P3（，4），使△PCD是以CD为腰的等腰三角形．
【练3】如图，抛物线y＝ax2+4x+c经过A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）两点，点P是y轴左侧且位于x轴下方抛物线上一动点，设其横坐标为m．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）将线段AB绕点B顺时针旋转90°得线段BD（点D是点A的对应点），求点D的坐标，并判断点D是否在抛物线上；
（3）过点P作PM⊥x轴交直线BD于点M，试探究是否存在点P，使△PBM是等腰三角形？若存在，求出点m的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）y＝x2+4x﹣1；
（2）点D不在抛物线上；
（3）m的值为﹣3，﹣4，﹣5．
【解析】解：（1）把点A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）带入解析式y＝ax2+4x+c，
得，
解得，
∴y＝x2+4x﹣1；
（2）如图，作AC⊥y轴于点C，作DH⊥y轴于点H，
∵∠CAB+∠ABC＝90°，∠HBD+∠ABC＝90°，
∴∠CAB＝∠HBD，
在△ABC和△DBH中，
，
∴△ABC≌△DBH（AAS），
∴HB＝AC＝3，DH＝BC＝3，
∴OH＝2，
∴D（﹣3，2），
把D（﹣3，2）代入y＝x2+4x﹣1中，
得（﹣3）2+4×（﹣3）﹣1＝﹣4≠2，
∴点D不在抛物线上；
（3）存在点P，
∵D（﹣3，2），B（0，﹣1），
∴直线BD的解析式为y＝﹣x﹣1，
设P（m，m2+4m﹣1），则M（m，﹣m﹣1），
由（2）知：∠BMP＝45°，
当△PBM是等腰三角形，且45°为底角时，
有∠MBP＝90°或∠MPB＝90°，
若∠MBP＝90°，则P与A重合，即m＝﹣3，
若∠MPB＝90°，则PB∥x轴，即P的纵坐标为﹣1，
∴m2+4m﹣1＝﹣1，
解得m＝0（舍）或m＝﹣4，
∴m＝﹣4，
若45°为顶角，
即MP＝MB，
∵MP＝﹣m﹣1﹣m2﹣4m+1＝﹣m2﹣5m，MB，
∴﹣m2﹣5m m，
解得m＝﹣5（舍）或m＝﹣5，
∴m的值为﹣3，﹣4，﹣5．
【例3——二次函数中直角三角形存在性问题】
如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，连接PB，PC．
（1）点A的坐标为，点B的坐标为；
（2）抛物线上存在一点P，使△PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标．【答案】（1）A（﹣1，0），B（3，0）；
（2）点P的坐标为（1，4）或（﹣2，﹣5）．
【解析】解：（1）令抛物线y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0）；
故答案为：（﹣1，0），（3，0）；
（2）∵△PBC是以BC为直角边的直角三角形，
∴有两种情况：
①点C为直角顶点，如图，过点C作直线P1C⊥BC，交抛物线于点P1，连接P1B，交x轴于点D，
∵B（3，0），C（0，3），
∴OB＝OC＝3，
∴∠BCO＝∠OBC＝45°．
∵P1C⊥BC，
∴∠DCB＝90°，
∴∠DCO＝45°，
又∵∠DOC＝90°，
∴∠ODC＝45°＝∠DCO，
∴OD＝OC＝3，
∴D（﹣3，0），
∴直线P1C的解析式为y＝x+3，
联立，
解得或（舍）；
∴P1（1，4）；
②点B为直角顶点，
如图，过点B作直线BP2⊥BC，交抛物线于点P2，交y轴于点E，连接P2C，
∵P1C⊥BC，BP2⊥BC，
∴P1C∥BP2，
∴设直线BP2的解析式为y＝x+b，
将B（3，0）代入，得0＝3+b，
∴b＝﹣3，
∴直线BP2的解析式为y＝x﹣3，
联立，
解得或（舍），
∴P2（﹣2，﹣5）．
综上，点P的坐标为（1，4）或（﹣2，﹣5）．
【练1】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），连接AC，点P为第二象限抛物线上的动点．（1）求a、b、c的值；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得△QAC为直角三角形，若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）a＝﹣1，b＝﹣2，c＝3；
（2）点Q的坐标为：（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，）．【解析】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点∴，
解得：
∴a＝﹣1，b＝﹣2，c＝3；
（2）存在，点Q的坐标为：（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，）．如图，
∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴OA＝OC＝3，
∴AC2＝OA2+OC2＝32+32＝18，
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线对称轴为x＝﹣1，
设点Q（﹣1，n），
则AQ2＝[﹣1﹣（﹣3）]2+n2＝n2+4，CQ2＝[0﹣（﹣1）]2+（n﹣3）2＝n2﹣6n+10，
∵△QAC为直角三角形，
∴∠CAQ＝90°或∠ACQ＝90°或∠AQC＝90°，
①当∠CAQ＝90°时，根据勾股定理，得：AQ2+AC2＝CQ2，
∴n2+4+18＝n2﹣6n+10，
解得：n＝﹣2，
∴Q1（﹣1，﹣2）；
②当∠ACQ ＝90°时，根据勾股定理，得：CQ 2+AC 2＝AQ 2
， ∴n 2
﹣6n +10+18＝n 2
+4， 解得：n ＝4， ∴Q 2（﹣1，4）；
③当∠AQC ＝90°时，根据勾股定理，得：CQ 2
+AQ 2
＝AC 2
， ∴n 2
﹣6n +10+n 2
+4＝18， 解得：n 1
，n 2
，
∴Q 3（﹣1，），Q 4（﹣1，）；
综上所述，点Q 的坐标为：（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，）．
【练2】已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于A(－2，0)、B(6，0)两点，与y 轴交于点C(0，－3)．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，点P 在直线BC 下方的抛物线上，点P 的坐标为P ⎝⎛⎭⎫3，－15
4作x 轴的垂线l ，在l 上是否存在点D ，使△BCD 是直角三角形，若存在，请直接写出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y ＝1
4
x 2－x －3；
（2）当△BCD 是直角三角形时，D 点坐标为(3，6)或(3，－9)或⎝⎛⎭⎫3，－352－32或⎝⎛⎭⎫
3，352－32.
【解析】解：(1)将点A(－2，0)、B(6，0)、C(0，－3)代入y ＝ax 1＋bx ＋c ， 得{4a －2b ＋c ＝0，36a ＋6b ＋c ＝0，c ＝－3，解得⎩
⎨⎧
a ＝14，
b ＝－1，
c ＝－3，
∴y ＝1
4
x 2－x －3；
(2)∵P ⎝⎛⎭⎫3，－15
4，D 点在l 上， 如图2，当∠CBD ＝90°时，
过点B 作BH ⊥x 轴，过点D 作DGH ⊥y 轴，DG 与GH 交于点G ，过点C 作DG ⊥y 轴，CH 与GH 交于点H ，
∴∠DBG ＋∠GDB ＝90°，∠DBG ＋∠CBH ＝90°， ∴∠GDB ＝∠CBH ， ∴△DBG ∽△BCH ， ∴DG BH ＝BG CH ，即33＝BG
6， ∴BG ＝6，∴D(3，6)； 如图3，当∠BCD ＝90°， 过点D 作DK ⊥y 轴交于点K ，
∵∠KCD ＋∠OCB ＝90°，∠KCD ＋∠CDK ＝90°， ∴∠CDK ＝∠OCB ， ∴△OBC ∽△KCD ， ∴OB KC ＝OC KD ，即6KC ＝33， ∴KC ＝6，∴D(3，－9)； 如图4，当∠BDC ＝90°时，
线段BC 的中点T ⎝⎛⎭⎫3，－3
2，BC ＝35， 设D(3，m)，∵DT ＝1
2BC ，
∴|m ＋32|＝352，
∴m ＝
352－32或m ＝－352－3
2
， ∴D ⎝⎛⎭⎫3，352－32或D ⎝
⎛⎭⎫3，－352－32； 综上所述：当△BCD 是直角三角形时，D 点坐标为(3，6)或(3，－9)或⎝
⎛⎭⎫
3，－352－32或
⎝
⎛⎭⎫3，352－32.
【练3】如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，且点B 与点C 的坐标分别为B （3，0）．C （0，3），点M 是抛物线的顶点．点P 为线段MB 上一个动点，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，若OD ＝m ． （1）求二次函数解析式；
（2）在MB 上是否存在点P ，使△PCD 为直角三角形？若存在，请写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y ＝﹣x 2+2x +3． （2）点P 的坐标为（，3）或（
，
）．
【解析】解：（1）把B （3，0）、C （0，3）代入y ＝﹣x 2+bx +c ，
得，解得，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）存在．
若∠DPC＝90°，如图2，则PC∥x轴，
∴P（m，3），且在直线y＝﹣2x+6上，
∴﹣2m+6＝3，
解得m，
∴P（，3）；
若∠PCD＝90°，如图3，则PC2+CD2＝PD2，
∴m2+（﹣2m+6﹣3）2+m2+32＝（﹣2m+6）2，
整理得m2+6m﹣9＝0，
解得m1＝（，m2（不符合题意，舍去）；
∴P（，）；
若∠PDC＝90°，则CD2+PD2＝PC2，
∴m2+32+（﹣2m+6）2＝m2+（﹣2m+6﹣3）2，
整理得12m＝36，解得m＝3，此时不存在以P，C，D为顶点的三角形，∴m＝3舍去．
综上所述，点P 的坐标为（，3）或（，）．
【例4——二次函数中全等或相似三角形存在性问题】
如图，抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋3(a ≠0)x 轴交于点A(1，0)和点B(－3，0)，与y 轴交于点C ，连接BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，顶点为点D. (1)求抛物线的解析式；
(2)点P 是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点Q 在射线ED 上，若以点P 、Q 、E 为顶点的三角形与△BOC 相似，请直接写出点P 的坐标．
【答案】（1）y ＝－x 2
－2x ＋3；
（2）点P 的坐标为(－1－2，2)，(－2，3).
【解析】解：(1)∵抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋3过点A(1，0)，B(－3，0)， ∴{a ＋b ＋3＝0，9a －3b ＋3＝0， 解得{a ＝－1，b ＝－2，
∴抛物线的解析式为：y ＝－x 2
－2x ＋3； (2)令x ＝0，y ＝3，
∴OC＝OB ＝3，即△OBC 是等腰直角三角形， ∵抛物线的解析式为：y ＝－x 2－2x ＋3， ∴抛物线对称轴为：x ＝－1， ∵EN∥y 轴， ∴△BEN∽△BCO， ∴BN BO ＝EN
CO ， ∴23＝BN 3， ∴EN＝2，
①若△PQE∽△OBC，如图所示，
∴∠PEH＝45°，
过点P作PH⊥ED垂足为H，
∴∠PHE＝90°，∴∠HPE＝∠PEH＝45°，
∴PH＝HE，∴设点P坐标(x，－x－1＋2)，
∴代入关系式得，－x－1＋2＝－x2－2x＋3，
整理得，x2＋x－2＝0，
解得，x1＝－2，x2＝1(舍)，∴点P坐标为(－2，3)，
②若△PEQ∽△CBO，如图所示，
设P(x，2)，
代入关系式得，2＝－x2－2x＋3，
整理得，x2＋2x－1＝0，
解得，x1＝－1－2，x2＝－1＋3(舍)，
∴点P的坐标为(－1－2，2)
综上所述点P的坐标为(－1－2，2)，(－2，3).
【练1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)，B(4，0)，C(0，4)三点．
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
(2)点P为线段BC上一动点(点P不与点B，C重合)，过点P作x轴的垂线交(1)中的抛物线于点Q，当△PQC与△ABC相似时，求△PQC的面积．
【答案】（1）解析式：y ＝－x 2
＋3x ＋4；D 点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，254.
（2）当△PQC 与△ABC 相似时，△PQC 的面积576125或605
128
.
【解析】解：(1)解析式：y ＝－x 2
＋3x ＋4；D 点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，254.
(2)由B 、C 两点坐标易求直线BC 解析式：y ＝－x ＋4，
不难得出∠CPQ＝∠BCO＝∠OBC，即在△CPQ 和△ABC 中，∠CPQ＝∠ABC. 接下来求角两边对应成比例：
表示点：设P 点坐标为(0<m<4)，则Q 点坐标为(m ，－m 2
＋3m ＋4)， 表示线段：PC ＝2m ，PQ ＝－m 2
＋4m. 如图所示，分类讨论
情况一：当△CPQ∽△ABC 时，则CP AB ＝PQ
BC
，
代入得：2m 5＝－m 2
＋4m 42
，解得：m 1＝125，m 2＝0(舍)，对应P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫125，85，PQ ＝9625， S △PCQ ＝12×125×9625＝576
125
情况二：当△CPQ∽△CBA 时，则CP CB ＝PQ
BA
，
代入得：2m
42＝－m 2
＋4m 5，解得：m 3＝11
4，m 4＝0(舍)，
对应P 点坐标为⎝
⎛⎭
⎪⎫114，54，PQ ＝5516，
S △PCQ ＝12×114×5516＝605128
. 综上所述，当△PQC 与△ABC 相似时，△PQC 的面积576125或605128
.
【练2】如图，抛物线y ＝3＋36
x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A ，B 两点，点A ，B 分别位于原点的左、右两侧，BO ＝3AO ＝3，过点B 的直线与y 轴正半轴和抛物线的交点分别为C ，D ，BC ＝3CD.
(1)求b ，C 的值；
(2)求直线BD 的函数解析式；
(3)点P 在抛物线的对称轴上且在x 轴下方，点Q 在射线BA 上．当△ABD 与△BPQ 相似时，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标．
【答案】（1）b ＝－3＋33，c （2）y ＝－
33
＋ 3 （3）
【解析】解：(1)∵OB＝3OA ＝3，
∴B(3，0)，A(－1，0)．
∴{ 3＋36−b ＋c =03＋36
×9＋3b ＋c =0 解得：b ＝－3＋33，c ＝－3＋32
(2)如图，过点D 作DE⊥y 轴于E ，
∵∠ECD＝∠BCO，∠DEC＝∠BOC＝90°
∴△CDE∽△CBO∴CD BC ＝DE OB ∴13＝DE 3
，DE ＝ 3 即D 点横坐标为－3，
其坐标为D(－3，3＋1)
由B(3，0)得直线BD 解析式为：y ＝－33
＋ 3 (3)由A(－1，0)，B(3，0)，D(－3，3＋1)，知 S △ABD ＝2(3＋1)，BD ＝2(3＋1)，AD ＝2 2
如图，过点A 作AH⊥BD 于H ，
∴AH＝2，DH ＝2，
∴tan∠ADB＝1，tan∠ABD＝33
， tan∠DAM＝2＋ 3 设Q(x ，0)，P(1，m)，其中m<0，x<3，
①当△ABD ∽△BPQ 时，∠DAB ＝∠QBP(由题意知∠QBP<90°，∠DAB>90°，不存在)
②当△ABD ∽△BQP 时，同理，此种情况不存在；
③当△ABD∽△QBP 时，
tan∠ADB＝tan∠QPB＝1，tan∠ABD＝ tan∠QBP＝33
， tan∠PQO＝tan∠DAM＝2＋3， ∴－m 2＝33，即m ＝233，－m x －1＝2＋3，x ＝43－33
即Q ⎝ ⎛⎭
⎪⎫43－33，0 ④当△ABD∽△QPB 时，同理，
∴－m 2＝1，即m ＝－2，－m x －1
＝2＋3， x ＝5－23即Q(5－23，0)
⑤当△ABD∽△PQB 时，同理，
∴－m 2＝1，即m ＝－2，－m x －1，＝33
， x ＝1－2 3
即Q(5－23，0) ⑥当△ABD∽△PBQ 时，同理，
∴－m 2＝33，即m ＝233，－m 1－x ＝1，x ＝1－233即Q ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－233，0. 综上所述：当△ABD 与△BPQ 相似时，点Q 的坐标为：Q ⎝ ⎛⎭
⎪⎫43－33，0、Q(5－23，0)或Q ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－233，0.
【练3】如图，抛物线y ＝－x 2
＋bx ＋c 轴交于点A(－1，0)，B(3，0)，与y 轴交于点C ，点D 是直线BC 上方抛物线上一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，连接BD 、CD ，设点D 的横坐标为m ，△BCD 的面积为s.试求出s 与m 的最大值；
(3)如图2，设AB 的中点为E ，作DF⊥BC，垂足为F ，连接CD 、CE ，是否存在点D ，使得以C ，D ，F 三点为顶点的三角形与△CEO 相似？若存在，请直接写出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y ＝－x 2
＋2x ＋3.
（2）S 与m 的函数关系式为S ＝－32m 2＋92m ，s 的最大值为278
. （3）点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫52，74或⎝⎛⎭⎫32，154.
【解析】解：(1)∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A(－1，0)，B(3，0)， ∴y ＝－(x ＋1)(x －3)＝－x 2＋2x ＋3.
∴抛物线解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3.
(2)如图，过点D 作DM ∥y 轴，交BC 于点M.
∵当x ＝0时，y ＝－x 2＋2x ＋3＝3，
∴c(0，3)．
∴直线BC 解析式为y ＝－x ＋3.
∴D(m ，－m 2＋2m ＋3)，M(m ，－m ＋3)．
∴DM ＝－m 2＋2m ＋3－(－m ＋3)＝－m 2＋3m.
∴S ＝S △DMB ＋S △DMC ＝12×MD(x B －x D )＋12(x M －x C )＝12OB·DM ＝32m 2＋92m ＝－32⎝⎛⎭⎫m －322＋278
(0＜m ＜3)，
∴S 与m 的函数关系式为S ＝－32m 2＋92m ，s 的最大值为278
. (3)存在点D ，使得以C ，D ，F 三点为顶点的三角形与△CEO 相似
如图，连接BD
设点D 的横坐标为m ，
∵点EAB 中点，A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)
∴E(1，0)，OE ＝1，OC ＝3，CD 2＝m 2＋(－m 2＋2m ＋3－3)2
∴CE ＝OE 2＋OC 2＝12＋32＝10.
∴sin ∠OCE ＝OE CE ＝110＝1010，cos ∠OCE ＝OC CE ＝310＝31010. ∴BC ＝OB 2＋OC 2＝32，DF ⊥BC.
∴由(2)知，面积S ＝12BC·DF ＝－32m 2＋92m. ∴DF ＝2S BC ＝－3m 2＋9m 32＝－m 2＋m32
∵以C 、D ，F 三点为顶点的三角形与△CEO 相似，∠CFD ＝∠COE ＝90° ∴△CFD ∽△COE 或△CFD ∽△EOC
①若△CFD ∽△COE ，则∠FCD ＝∠OCE
∴sin ∠FCD ＝DF CD ＝1010
∴10DF 2＝CD 2
∴10⎝ ⎛⎭
⎪⎫－m 2＋3m 22＝m 2＋(－m 2＋2m)2. 解得：m 1＝4(舍去)，m 2＝52
. ∴－m 2＋2m ＋3＝－254＋5＋3＝74
. ∴D ⎝⎛⎭⎫52，74.
②若△CFD ∽△EOC ，则∠FDC ＝∠OCE ， ∴cos ∠FDC ＝DF CD ＝31010
. ∴10DF 2＝9CD 2.
∴10⎝ ⎛⎭
⎪⎫－m 2＋3m 2＝9[m 2＋(－m 2＋2m)2]
解得：m 1＝0(舍去)，m 2＝32
. ∴－m 2＋2m ＋3＝－94＋3＋3＝154
. ∴D ⎝⎛⎭⎫32，154.
∴综上所述：点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫52，74或⎝⎛⎭⎫32，154.。