决胜2021年中考数学压轴题全揭秘精品(上海专版) 专题01 创新题型(教师版含解析)

专题01创新题型
模块一：定义应用
例1.定义[x ]为不超过x 的最大整数，如[3.6] = 3，[ 3.6-] = 4-．对于任意实数x ，下列式子错误的是( ) A ．[x ] = x (x 为整数)
B ．0[]1x x ≤-<
C ．[][][]x y x y +≤+
D ．[][]n x n x +=+(n 为整数)
【难度】★★ 【答案】C ．
【解析】由反例[][3.8 2.7] 6.56+==，[3.8][2.7]325+=+=可知C 错误． 【总结】本题考查取整函数[x ]的定义及应用．
例 2.在平面直角坐标系xOy 中，对于点P (x ，y )和Q (x ，'y )，给出如下定义：若()()0'0y x y y x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩
，则称点Q 为点P 的“可控变点”．如果点(1-，2-)为点M 的可控变点，则点M 的坐标为___________． 【难度】★★ 【答案】(-1，2)
【解析】由题意得，当0<x 时，'=-y y ，且x 不变，所以当1x =-，时'2=y ， 即点M 坐标为(1-，2)．
【总结】把握好“可控变点”的定义，找出'y 与y 两者之间存在的关系．
例3.定义一种新运算：2x y x y x +*=，如221
2122
+⨯*==，则()()421**-=______． 【难度】★★ 【答案】0．
【解析】先计算()422
4224
+⨯*=
=，再计算()()2122102+-⨯*-=
=． 【总结】根据运算法则进行运算，注意运算顺序．
例4.已知1m x =+，2n x =-+，若规定()()
11m n m n y m n m n ⎧+-≥⎪=⎨-+<⎪⎩，则y 的最小值为( )
A ．0
B ．1
C ．1-
D ．2
【难度】★★ 【答案】B ．
【解析】把1m x =+，2n x =-+代入，得到1221222⎧⎛⎫≥ ⎪⎪⎪⎝
⎭=⎨⎛⎫
⎪-+< ⎪⎪⎝⎭⎩
x x y x x ，当12≥x 时，1≥y ；
当1
2
<
x 时，1>y ．所以y 的最小值是1，故选B ． 【总结】考查分段函数求最值的问题．
例5.定义运算“*”：规定x y ax by *=+(其中a 、 b 为常数)，若113*=，()111*-=，
12*=______．
【难度】★★ 【答案】4．
【解析】把113*=，()111*-=代入运算法则，得31+=⎧⎨-=⎩a b a b ，解得：2
1
=⎧⎨=⎩a b ，
所以12*=2×1+1×2=4．
【总结】根据新运算，求出a 、b 的值是解答本题的关键．
例 6.对于实数m 、n ，定义一种运算“*”为：m n mn n *=+．如果关于x 的方程
()1
4x a x **=-有两个相等的实数根，那么满足条件的实数a 的值是______．
【难度】★★ 【答案】0．
【解析】根据运算法则，()*=+a x ax x ，()()*+=+++x ax x x ax x ax x ， 整理得()()21
1104
++++
=a x a x ，此方程有两个相等的实数根， 则()()2
10110+≠⎧⎪
⎨=+-+=⎪⎩
a a a ，解得：1201a a ==-，(舍)，所以a=0． 【总结】由运算法则整理得一元二次方程的一般形式，再结合一元二次方程根的判别式进行 求解，注意二次项系数不能为零．
例7.(2020黄浦区一模)定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线，在四边形ABCD 中，对角线BD 是它的相似对角线，∠ABC =70°，BD 平分∠ABC ，那么∠ADC =____________度 【答案】145
【分析】先画出示意图，由相似三角形的判定可知，在△ABD 和△DBC 中，已知∠ABD=∠CBD ，所以需另一组对应角相等，若∠A=∠C ，则△ABD 与△DBC 全等不符合题意，所以必定有∠A=∠BDC,再根据四边形的内角和为360°列式求解. 【详解】解：根据题意画出示意图，已知∠ABD=∠CBD ， △ABD 与△DBC 相似，但不全等， ∴∠A=∠BDC ，∠ADB=∠C.
又∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°， ∴2∠ADB+2∠BDC+∠ABC=360°， ∴∠ADB+∠BDC=145°， 即∠ADC=145°.
【点睛】对于新定义问题，读懂题意是关键
.
例8.(2020杨浦区一模).在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．如图，请在边长为1个单位的2×3的方格纸中，找出一个格点三角形DEF ．如果△DEF 与△ABC 相似(相似比不为1)，那么△DEF 的面积为______．
【答案】1；
【分析】根据小正方形的边长，分别求出ABC 和DEF 三边的长，然后判断它们是否对应成比例，再用三角形面积公式求解即可. 【详解】如图，
∵1AB BC ==，，AC
∴:?:?AB BC AC =
∵DE =2EF =，DF =
∴::DE EF DF ==∴:?
:?::AB BC AC DE EF DF = ∴~ABC DEF ∴1
2112
DEF
S
=
⨯⨯= 故答案为：1
【点睛】
本题考查了在网格中画与已知三角形相似的三角形、三角形全等的判定以及三角形面积公式，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键.
例9.我们把两个三角形的外心之间的距离叫做外心距．如图，在Rt ABC ∆和Rt ACD ∆中，
90ACB ACD ∠=∠=︒，点D 在边BC 的延长线上，如果BC = DC = 3，那么ABC ∆和ACD ∆的
外心距是______．
【难度】★★ 【答案】3．
【解析】直角三角形的外心为斜边的中点，所以ABC ∆和ACD ∆ 的外心分别为AB 和AD 的
中点，这两个三角形的外心距 即∆ABD 的中位线，长度是1
32=BD ．
【总结】本题考查的知识点有直角三角形的外心、三角形的中位线．
例10.定义[a ，b ，c ]为函数2y ax bx c =++的“特征数”．如：函数232y x x =+-的“特征数”是[1，3，2-]，函数4y x =-+的“特征数”是[0，1-，4]．如果将“特征数”是[2，0，4]的函数图像向下平移3个单位，得到一个新函数图像，那么这个新函数的解析式是__________________． 【难度】★★ 【答案】221=+y x ．
【解析】由题意得“特征数”是[2，0，4]的函数解析式为224=+y x ，向下平移3个单位可 得新函数的解析式为：221=+y x ．
【总结】特征数[a ，b ，c ]即为二次函数的三个系数，已知特征数则可求得二次函数的解析 式，再根据抛物线的平移法则“上加下减、左加右减”进行解题．
例11.在平面直角坐标系xOy 中，C 的半径为r ，点P 是与圆心C 不重合的点，给出如下定义：若点'P 为射线CP 上一点，满足2'CP CP r =，则称点'P 为点P 关于C 的反演
点．如图为点P 及其关于C 的反演点'P 的示意图．请写出点M (1
2，0)关于以原点O 为圆
心，以1为半径的O 的反演点'M 的坐标 ．
A
B D
【难度】★★★
【答案】(2，0)．
【解析】由反演点的定义可得2'=OM OM r ，
即21
'12=OM ，
解得：'2=OM ，又点'M 在x 轴上， 所以点'M 的坐标为(2，0)．
【总结】掌握“反演点”的定义中，两点之间存在的关系．
例12.如图1，对于平面上不大于90°的MON ∠，我们给出如下定义：如果点P 在MON ∠的内部，作PE OM ⊥，PF ON ⊥，垂足分别为点E 、F ，那么称PE + PF 的值为点P 相对于MON ∠的“点角距离”，记为d (P ，MON ∠)．如图2，在平面直角坐标系xOy 中，点P 在第一象限内，且点P 的横坐标比纵坐标大1，对于xOy ∠，满足d (P ，xOy ∠)= 5，点P 的坐标是__________．
【难度】★★★ 【答案】(3，2)．
x y
P' C
P
O E
N
F O
P
M 图1
y
x
-1
1
-11O
图2
【解析】过点P 分别作PA ⊥x 轴，PB ⊥y 轴， ∵点P 在第一象限内且横坐标比纵坐标大1， ∴设PA =a ，则PB =a +1， ∵d (P ，xOy ∠)= 5，
可得：PA +PB =5，即a +a +1=5，解得：a =2， 所以点P 的坐标为(3,2)．
【总结】本次考查“点角距离”的定义，利用定义求解相关点的坐标．
模块二：阅读理解
例1.一组数1，1，2，x ，5，y ，…，满足“从第三个数起，每个数都等于它前面的两个数之和”，那么这组数中y 表示的数为______． 【难度】★ 【答案】8．
【解析】由题得，x =1+2=3，y =3+5=8． 【总结】本题难度不大，运算也比较简单．
例2.四个数a 、b 、c 、d 排列成a b c d
，我们称之为二阶行列式．规定它的运算法则为：
a b ad bc c d
=-．若331233
x x x x +-=-+，则x =______．
【难度】★★ 【答案】1．
【解析】由运算法则得
()()2
2
333333
+-=+---+x x x x x x ，整理得：1212=x ，解得：x =1．
【总结】由运算法则整理，再解关于x 的方程即可．
例3.对于两个不相等的实数a 、b ，我们规定符号{max a ，}b 表示a 、b 中的较大值，如：{max 2，}44=，按照这个规定，方程{max x ，}21
x x x
+-=的解为( )
A ．1
B ．2-
C ．11
D ．11-
【难度】★★ 【答案】D ．
【解析】当x >0时，{}max x x x -=，
，解方程21
+=x x x
，
得：1=±x
所以1=+x 当x <0时，{}max x x x -=-，
，解方程21
x x x
+-=，得：121==-x x ，所以1=-x ；
综上，1=x 1-，故选D ．
【总结】本题注意分类讨论，根据定义进行取值，再解关于x 的方程．
例4.我们把三角形中最大内角与最小内角的度数差称为该三角形的“内角正度值”．如果等腰三角形的腰长为2，“内角正度值”为45°，那么该三角形的面积等于______． 【难度】★★ 【答案】1或2．
45x +，
45，则180x =，解得：45x =，此三角形为等腰直角三角形， ∴此三角形的面积=1
2
当顶角为x 时，则4545180x x x ++++=，解得：30x =． 如图，2
==AB AC ，30A ∠=，作CD ⊥AB ，
在Rt ADC ，∵30A ∠=，∴1
12
==CD AC ， 211⨯=．
综上所述，该三角形的面积等于1或2．
【总结】本题注意分类讨论．根据“内角正度值”的定义求出三角形各内角的度数，再进行 面积的求解．
例 5.如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“有趣三
D C
B
A
角形”，这条中线称为“有趣中线”．已知Rt ABC ∆，90C ∠=︒，较短的一条直角边边长为1，如果Rt ABC ∆是“有趣三角形”，那么这个三角形“有趣中线”长等于 ． 【难度】★★
【解析】“有趣中线”有三种情况：
若“有趣中线”为斜边AB 上的中线，直角三角形的斜边中点到三顶点距离相等，不合 题意；若“有趣中线”为BC 边上的中线，根据斜边大于直角边，矛盾，不成立；
若“有趣中线”为另一直角边AC 上的中线， 如图所示，BC =1，设2BD x =，则CD x =． 在Rt BCD 中，勾股定理得1+()2
22=x x ， 解得：x
BD =2x
． 【总结】本题考查“有趣中线”的定义，注意分类讨论．
例6.如果一个平行四边形一个内角的平分线分它的一边为1 : 2的两部分，那么称这样的平行四边形为“协调平行四边形”，称该边为“协调边”．当“协调边”为3时，它的周长为______． 【难度】★★ 【答案】8或10．
【解析】由题意可知，存在两种情况：(1)一组邻边长分别为3和1，周长=8； (2)一组邻边长分别为3和2，周长=10．
【总结】本题考查“协调平行四边形”的定义及平行四边形的性质．
例7.设正n 边形的半径为R ，边心距为r ，如果我们将R
r
的值称为正n 边形的“接近度”，那么正六边形的“接近度”是______(结果保留根号)．
D
C
B
A
【难度】★★
【解析】设正六边形的边长为a ，则半径为R=a ，边心距为，所以R r
． 【总结】本题考查“接近度”的定义及正六边形的性质．
例8.将关于x 的一元二次方程20x px q ++=变形为2x px q =--，就可将2x 表示为关于x 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”．已知210x x --=，可用“降次法”求得431x x --的值是____________． 【难度】★★ 【答案】1．
【解析】由210x x --=，得21=+x x ，代入431x x --=()2
21311+--=-=x x x x ． 【总结】本题运用“降次”及“整体代入”的思想进行解题．
例9.在平面直角坐标系中，我们把半径相等且外切、连心线与直线y = x 平行的两个圆，
称之为“孪生圆”；已知圆A 的圆心为(2-，3)A 的所有“孪生圆”的圆心坐标为_________． 【难度】★★
【答案】(0，5)或(-4，1)．
【解析】由题意得，连心线所在直线为5=+y x ，因为两圆外切，设另一圆心为圆B ，所以
圆心距=AB ，设(),5+B x x ，所以AB 解得：10=x ，24=-x ，所以圆心B 的坐标为(0,5)或(-4,1)．
【总结】本题考查了“孪生圆”的定义、一次函数的图像以及圆与圆的位置关系．
例10.当两个圆有两个公共点，且其中一个圆的圆心在另一圆的圆内时，我们称此两圆的位置关系为“内相交”．如果1O 、2O 半径分别3和1，且两圆“内相交”，那么两圆的圆心距d 的取值范围是___________． 【难度】★★ 【答案】23<<d ．
【解析】两个圆有两个公共点即两圆相交，可得24<<d ，当小圆的圆心恰好在大圆上时，
3=d ，所以内相交的圆心距d 取值范围是23<<d ．
【总结】本题考查圆与圆的位置关系及“内相交”的定义．
模块三：规律探究
例1.观察下列各数：1，43，97，16
15
，…，按你发现的规律计算这列数的第6个数为( )
A ．
2531
B ．
3635
C ．
47
D ．
6263
【难度】★★ 【答案】C ．
【解析】根据题意，可知规律为221
n n -，故第6个数为：3663，化简为4
7，故选C ．
【总结】本题考查针对给定的一列数字找规律．
例2.按一定规律排列的一列数：12，22，32，52，82，132，…．若x 、y 、z 表示这列数中的连续三个数，猜测x 、y 、z 满足的解析式是____________． 【难度】★★ 【答案】=xy z ．
【解析】由给出的这一列数字，可得出规律：从第三个数字开始，每个数等于它两个数的乘
积，所以=xy z ．
【总结】本题考查针对给定的一列数字找规律．
例3.在平面直角坐标系中，有三个点A (1，1-)、B (1-，1-)、C (0，1)，点P (0，2)关于点A 的对称点为1P ，1P 关于点B 的对称点为2P ，2P 关于点C 的对称点为3P ，按此规律，继续以点A 、B 、C 为对称中心重复前面的操作，依次得到点4P ，5P ，6P ，…，则点2017P 的坐标为( ) A ．(0，0) B ．(0，2)
C ．(2，4-)
D ．(4-，2)
【难度】★★ 【答案】C ．
【解析】由题意得1P (2，-4)、2P (-4，2)、3P (4，0)、4P (-2，-2)、
5P (0，0)，6P (0，2)，每6个数形成一个周期，2017÷6=336……1，所以2017P 的坐 标和1P 的坐标相同，故选C ．
【总结】本题考查了点的对称问题及周期问题的处理．
例4.如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为1S ，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为2S ，…，按照此规律继续下去，则2017S 的值为_____________．
【难度】★★★
【答案】20141
()2
．
【解析】由题意得1S =2×2=4=22，2S 12=，3S =111⨯==20，…… 由以上规律，可知2017S =2-201420141
()2
=．
【总结】本题考查了找规律在几何图形中的应用．
1.(2020松江二模)如果一个三角形中有一个内角的度数是另外两个内角度数差的2倍，我们就称这个三角形为“奇巧三角形”.已知一个直角三角形是“奇巧三角形”，那么该三角形的最小内角等于 度.
【分析】设直角三角形的最小内角为x ，另一个内角为y ，根据三角形的内角和列方程组即可得到结论．
【解答】解：设直角三角形的最小内角为x ，另一个内角为y ， 由题意得，，
解得：
，
答：该三角形的最小内角等于22.5°， 故答案为：22.5．
2．(2020静安二模)如果一条直线把一个四边形分成两部分，这两部分图形的周长相等，那么这条直线称为这个四边形的“等分周长线”．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，DC＝AD，∠B是锐角，cot B＝，AB＝17．如果点E在梯形的边上，CE是梯形ABCD的“等分周长线”，那么△BCE的周长为．
【分析】作CH⊥AB于H，设BH＝5a，证明四边形ADCH为矩形，得到AD＝CH＝12a，根据题意求出a，根据勾股定理求出BC，根据“等分周长线”计算，得到答案．
【解答】解：作CH⊥AB于H，
设BH＝5a，
∵cot B＝，
∴＝，
∴CH＝12a，
∵AB∥CD，
∴∠D＝∠A＝90°，又CH⊥AB，
∴四边形ADCH为矩形，
∴AD＝CH＝12a，CD＝AH，
∵DC＝AD，
∴AH＝CD＝12a，
由题意得，12a+5a＝17，
解得，a＝1，
∴AD＝CD＝AH＝12，BH＝5，
在Rt△CHB中，BC＝＝13，
∴四边形ABCD的周长＝12+12+17+13＝54，
∵CE是梯形ABCD的“等分周长线”，
∴点E在AB上，
∴AE＝17+13﹣27＝3，
∴EH＝12﹣3＝9，
由勾股定理得，EC＝＝15，
∴△BCE 的周长＝14+13+15＝42， 故答案为：42．
3.(2020嘉定二模)定义：如果三角形的两个内角∠α与∠β满足∠α=2∠β,那么，我们将这样的三角形称为“倍角三角形”，如果一个等腰三角形是“倍角三角形”，那么这个
【考查内容】新定义题型，黄金三角形 【评析】中等
为底角时，用内角和公式求得∠β= 36，此时为黄金三角形，腰长与底边用内角和公式求得∠β= 45，此时为等腰直角三角 【答案】
22或215+
4.(2020长宁二模)如果一个四边形有且只有三个顶点在圆上，那么称这个四边形是该圆的“联络四边形”，已知圆的半径长为5，这个圆的一个联络四边形是边长为2的菱形，
那么这个菱形不在圆上的顶点与圆心的距离是 ．
【分析】先根据题意画出图形，连接BD 、OD ，设AM ＝x ，根据AD 2﹣AM 2＝OD 2﹣OM 2，列出方程，求出x ，再根据OC ＝OA ﹣AM ﹣CM 计算即可． 【解答】解：根据题意画图如下：
连接BD ，与AC 交与点M ， ∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠AMD ＝∠DMC ＝90°，
∠ACD ＝∠ACB ，CD ＝CD ，AM ＝CM ， ∴DM 2＝AD 2﹣AM 2，
设AM＝x，
则DM2＝(2)2﹣x2，
连接OD、OB，
在△OCD和△OCB中，
，
∴△OCD≌OCB(SSS)，
∴∠OCD＝∠OCB，
∴∠ACD+∠OCD＝∠ACB+∠OCB＝180°，
∴OC与AC在一条直线上，
∴△OMD是一个直角三角形，
OM＝OA﹣AM＝5﹣x，
∴DM2＝OD2﹣OM2，
＝52﹣(5﹣x)2，
∴(2)2﹣x2＝52﹣(5﹣x)2，
x＝2，
∴AM＝CM＝2，
∴OC＝OA﹣AM﹣CM＝5﹣2﹣2＝1．
故答案为：1．
5.(2020青浦二模)小明学习完《相似三角形》一章后，发现了一个有趣的结论：在两个不相似的直角三角形中，分别存在经过直角顶点的一条直线，把直角三角形分成两个小三角形后，如果第一个直角三角形分割出来的一个小三角形与第二个直角三角形分割出来的一个小三角形相似，那么分割出来的另外两个小三角形也相似．他把这样的两条直线称为这两个直角三角形的相似分割线．
如图1、图2，直线CG、DH分别是两个不相似的Rt△ABC和Rt△DEF的相似分割线，CG、DH 分别与斜边AB、EF交于点G、H，如果△BCG与△DFH相似，AC＝3，AB＝5，DE＝4，DF＝8，那么AG＝．
【分析】先由勾股定理得出BC的值，再由△BCG∽△DFH列出比例式，设AG＝x，用含x 的式子表示出DH；按照相似分割线可知，△AGC∽DHE，但要先得出两个相似三角形的边或角是如何对应的，再根据相似三角形的性质列出比例式，解得x值即可．
解：∵Rt△ABC，AC＝3，AB＝5，
∴由勾股定理得：BC＝4，
∵△BCG∽△DFH，
∴＝，
已知DF＝8，设AG＝x，则BG＝5﹣x，
∴＝，
∴DH＝10﹣2x，
∵△BCG∽△DFH，
∴∠B＝∠FDH，∠BGC＝∠CHF，
∴∠AGC＝∠DHE，
∵∠A+∠B＝90°，∠EDH+∠FDH＝90°，
∴∠A＝∠EDH，
∴△AGC∽DHE，
∴＝，
又DE＝4，
∴＝，
解得：x＝3，
经检验，x＝3是原方程的解，且符合题意．
∴AG＝3．
故答案为：3．
6.(2020杨浦二模) 定义：对于函数y ＝f (x )，如果当a ≤x ≤b 时，m ≤y ≤n ，且满足n ﹣m ＝k (b ﹣a )(k 是常数)，那么称此函数为“k 级函数”．如：正比例函数y ＝﹣3x ，当1≤x ≤3时，﹣9≤y ≤﹣3，则﹣3﹣(﹣9)＝k (3﹣1)，求得k ＝3，所以函数y ＝﹣3x 为“3级函数”．如果一次函数y ＝2x ﹣1(1≤x ≤5)为“k 级函数”，那么k 的值是 ． 【分析】根据一次函数y ＝2x ﹣1(1≤x ≤5)为“k 级函数”解答即可． 【解答】解：因为一次函数y ＝2x ﹣1(1≤x ≤5)为“k 级函数”， 可得：k ＝2， 故答案为：2．
7.定义：如果二次函数2111y a x b x c =++(10a ≠，1a 、1b 、1c 是常数)与2222
y a x b x c =++(20a ≠，2a 、2b 、2c 是常数)满足120a a +=，12b b =，120c c +=，那么称这两个函数互为“旋转函数”．若函数2423
y x mx =-+-与22y x nx n =-+互为“旋转函数”，则()2017m n +=
________． 【难度】★★ 【答案】-1．
【解析】由“旋转函数”的定义得4
2320
⎧=-⎪⎨⎪-+=⎩m n
n ，解得：32=-⎧⎨=⎩m n ，
所以()
2017
m n +=(-1)2017=-1．
【总结】本题考查“旋转函数”的定义．
8.如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，若Rt ABC ∆是“好玩三角形”，则tan A =_______． 【难度】★★
【解析】由于直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，因此斜边上的中线不满足； 故只能是直角边上的中线等于此直角边的长， 如图所示，设BD =2x ，CD =x ，
则=BC ，在Rt ABC 中，AC =2x
，=BC ． 当∠A
为较小锐角时，tan A =
当∠A
为较大锐角时，tan A =
． 【总结】本题考查“好玩三角形”的定义，注意分类讨论．
9.我们把四边形两条对角线中点的连线段称为“奇异中位线”．现有两个全等三角形，边长分别为3cm 、4cm 、5cm ．将这两个三角形相等的边重合拼成凸四边形，如果凸四边形的“奇异中位线”的长不为0，那么“奇异中位线”的长是______cm ． 【难度】★★
【答案】7
10
．
【解析】如图，将两个全等的直角ABC 与DEF 的斜边AC 与DF 重合，拼成凸四边形
ABCE ，AC 与BE 交于点O ，M 为AC 的中点．
∵△ABC ≌△DEF ，易证AO ⊥BE ．
在Rt AOB 中，AO =AB •cos ∠BAO =9
5，
因为1522=
=AM AC ，所以5972510
=-=-=OM AM OA ． 即奇异中位线的长是
7
10
． 【总结】本题考查了“奇异中位线”的定义，注意根据题目要求画出合适的图形．
10.如果一个二次函数的二次项系数为1，那么这个函数可以表示为2y x px q =++，我们将[p ，q ]称为这个函数的特征数．例如二次函数242y x x =-+的特征数是[4-，2]．请根据以上的信息探究下面的问题：如果一个二次函数的特征数是[2，3]，将这个函数的图像先
D
C
B
A
向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么此时得到的图像所对应的函数的特征数为______． 【难度】★★ 【答案】[6，8]．
【解析】特征数是[2，3]的二次函数为223=++y x x ，即2(1)2=++y x ，将其向左平移2
个单位，再向下平移3个单位后得到的二次函数为2(3)1=+-y x ，即268=++y x x ， 所以特征数为[6，8]．
【总结】本题考查了“特征数”的定义及二次函数图像的平移．
11.如图1，点P 是以r 为半径的圆O 外一点，点'P 在线段OP 上，若满足2'OP OP r =，则称点'P 是点P 关于圆O 的反演点．如图2，在Rt ABO ∆中，90B ∠=︒，AB = 2，BO = 4，圆O 的半径为2，如果点'A 、'B 分别是点A 、B 关于圆O 的反演点，那么''A B 的长是______．
【难度】★★★
【答案】5
．
【解析】由反演点的定义，可知：
2'=OA OA r ，2'=OB OB r ，
则'=OA OA 'OB OB ，即''
=
OA OB OB OA ，又∠=∠O O ，可证''OA B ∽OBA ， ∴
'''
=
OB A B OA AB ，即225
''=A B ，解得：''A B =5． 【总结】本题考查了“反演点”的定义，以及相似三角形的判定与性质．
12.正方形111A B C O ，2221A B C C ，3332A B C C ，…，按如图所示的方式放置．点1A ，2A ，3A ，…和点1C ，2C ，3C ，…，分别在直线y kx b =+(0k >)和x 轴上，已知点1B (1，1)，2B (3，2)，
O
P
P'B
O
A
图1 图2
则点6B 的坐标是__________，点n B 的坐标是__________．
【难度】★★★
【答案】(63，32)，1
(212
)n
n
--，
．
【解析】由1A (0，1)、2A (1，2)， 可求得直线解析式为1=+y x ． 可求得3A (3，4)、3B (7，4)，4A (7，8)、 4B (15，8)，5A (15，16)、5B (31，16)， 6A (31，32)、6B (63，32)， ……，
按照此规律可得n B 1(212)n n --，
． 【总结】本题考查了一次函数与几何图形背景下找出点坐标的规律．
13.对于平面直角坐标系 xOy 中的点P (a ，b )，若点'P 的坐标为(b
a k
+
，ka b +)(其中k 为常数，且0k ≠)，则称点'P 为点P 的“k 属派生点”．例如：P (1，4)的“2属派生点”为'
P (4
12+，214⨯+)，即'P (3，6)．若点P 的“k 属派生点”'P 的坐标为(3，3)，请写出一个
符合条件的点P 的坐标：____________． 【难度】★★★ 【答案】(2，1)．
【解析】由题意得33
⎧
+
⎪=⎨⎪+=⎩b a k ka b ，整理得：33+=⎧⎨
+=⎩ka b k ka b ，所以1=k ， 只要满足3+=a b 即可，可取点P (2，1)．
x y
O
【总结】本题考查了“派生点”的定义，关键是求出k 的值，答案不唯一．
14.如图，正方形ABCD 的边长为1，以对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，…，如此下去，第n 个正方形的边长为__________．
【难度】★★★ 【答案】12-n ． 【解析】第一个正方形的边长为1，第二个正方形的边长为2，
第三个正方形的边长为2，依次规律，第n 个正方形的边长为12
-n ． 【总结】本题考查了几何图形背景下线段长度上存在的规律．
A B
C D E F
G
H。