二次函数代数推理综合问题解析
中考数学专题复习《二次函数综合题》知识点梳理及典例讲解课件
时，S有最大值，最大值为 ，此时点P的坐标为（3; ＝－ m2＋9m＝－ （m2－6m）＝－ （m－3）2＋ .
∵－ ＜0，∴ 当m＝3
类型二面积问题
典例2 （2023·
湘潭）如图，二次函数y＝x2＋bx＋c 的图象与x轴交于点
∴ 设M（t，－t2＋2t＋3）（0＜t＜3），则Q（t，－t＋3）.∴ MQ
＝－t2＋3t.过点Q作QD⊥OC，垂足为D，则易得△CDQ是等腰直
角三角形.∴ CQ＝ t.
∴ MQ＋ CQ＝－t2＋3t＋2t＝－t2＋5t＝－
−
＋ .∴
时，MQ＋ CQ 有最大值，此时点M的坐标为
式，当x＝1时求出y的值，从而求出点P的坐标，此时PA＋PC的最
小值就是BC的长，利用勾股定理求解即可；（3） 由抛物线与直线
BC对应的函数解析式，分别设出点M，Q的坐标，过点Q作
QD⊥OC，垂足为D，将MQ＋ 2CQ用含参数的代数式表示出来，
再结合二次函数的性质求解问题.
解：（1） ∵ 抛物线y＝ax2＋bx＋3（a≠0）的对称轴是直线x＝1，点A的坐标为（－
1，0），∴ 由抛物线的对称性，可知点B的坐标为（3，0）.
（2） 由题意，可知抛物线对应的函数解析式为y＝a（x＋1）（x－
3）＝a（x2－2x－3）.∵ 抛物线y＝ax2＋bx＋3（a≠0）与y轴交于点
C，
∴ 易得C（0，3）.将C（0，3）代入y＝a（x2－2x－3），得－3a＝
3，解得a＝－1.∴ 抛物线对应的函数解析式为y＝－x2＋2x＋3.如图
2023年中考数学压轴题专题23 二次函数推理计算与证明综合问题【含答案】
专题23二次函数推理计算与证明综合问题【例1】（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c （a＞0）上，设抛物线的对称轴为直线x＝t．（1）当c＝2，m＝n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；（2）点（x0，m）（x0≠1）在抛物线上．若m＜n＜c，求t的取值范围及x0的取值范围．【例2】（2022•绍兴）已知函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．（1）求b，c的值．（2）当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．（3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．【例3】（2022•青岛）已知二次函数y＝x2+mx+m2﹣3（m为常数，m＞0）的图象经过点P （2，4）．（1）求m的值；（2）判断二次函数y＝x2+mx+m2﹣3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．【例4】（2022•杭州）设二次函数y1＝2x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点．（1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），求函数y1的表达式及其图象的对称轴．（2）若函数y1的表达式可以写成y1＝2（x﹣h）2﹣2（h是常数）的形式，求b+c的最小值．（3）设一次函数y2＝x﹣m（m是常数），若函数y1的表达式还可以写成y1＝2（x﹣m）（x ﹣m﹣2）的形式，当函数y＝y1﹣y2的图象经过点（x0，0）时，求x0﹣m的值．【例5】（2022•安顺）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如：点（1，1），（，），（﹣，﹣），……都是和谐点．（1）判断函数y＝2x+1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；（2）若二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（，）．①求a，c的值；②若1≤x≤m时，函数y＝ax2+6x+c+（a≠0）的最小值为﹣1，最大值为3，求实数m 的取值范围．一．解答题（共20题）1．（2022•瑞安市校级三模）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣2+a2（a≠0）．（1）求这条抛物线的对称轴；若该抛物线的顶点在x轴上，求a的值；（2）设点P（m，y1），Q（4，y2）在抛物线上，若y1＜y2，求m的取值范围．2．（2022•西城区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1）、点B（x2，y2）为抛物线y＝ax2﹣2ax+a（a≠0）上的两点．（1）求抛物线的对称轴；（2）当﹣2＜x1＜﹣1且1＜x2＜2时，试判断y1与y2的大小关系并说明理由；（3）若当t＜x1＜t+1且t+2＜x2＜t+3时，存在y1＝y2，求t的取值范围．3．（2022•新野县三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣4ax+2．（1）抛物线的对称轴为直线，抛物线与y轴的交点坐标为；（2）若当x满足1≤x≤5时，y的最小值为﹣6，求此时y的最大值．4．（2022•萧山区二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+（a﹣1）x﹣1．（1）若该函数的图象经过点（1，2），求该二次函数图象的顶点坐标．（2）若（x1，y1），（x1，y2）为此函数图象上两个不同点，当x1+x2＝﹣2时，恒有y1＝y2，试求此函数的最值．（3）当a＜0且a≠﹣1时，判断该二次函数图象的顶点所在象限，并说明理由．5．（2022•盈江县模拟）抛物线C1：y＝x2+bx+c的对称轴为x＝1，且与y轴交点的纵坐标为﹣3．（1）求b，c的值；（2）抛物线C2：y＝﹣x2+mx+n经过抛物线C1的顶点P．①求证：抛物线C2的顶点Q也在抛物线C1上；②若m＝8，点E是在点P和点Q之间抛物线C1上的一点，过点E作x轴的垂线交抛物线C2于点F，求EF长度的最大值．6．（2022•沂水县二模）抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣4，0），B（1，5）；点P（2，c），Q （x0，y0）是抛物线上的点．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）若x0＞﹣6，比较c、y0的大小；（3）若直线y＝m与抛物线交于M、N两点，（M、N两点不重合），当MN≤5时，求m的取值范围．7．（2022•姜堰区二模）设一次函数y1＝2x+m+n和二次函数y2＝x（2x+m）+n．（1）求证：y1，y2的图象必有交点；（2）若m＞0，y1，y2的图象交于点A（x1，a）、B（x2，b），其中x1＜x2，设C（x3，b）为y2图象上一点，且x3≠x2，求x3﹣x1的值；（3）在（2）的条件下，如果存在点D（x1+2，c）在y2的图象上，且a＞c，求m的取值范围．8．（2022•西城区校级模拟）已知抛物线y＝x2﹣4mx+4m2﹣1．（1）求此抛物线的顶点的坐标；（2）若直线y＝n与该抛物线交于点A、B，且AB＝4，求n的值；（3）若这条抛物线经过点P（2m+1，y1），Q（2m﹣t，y2），且y1＜y2，求t的取值范围．9．（2022•黄岩区一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y1＝ax2+bx+3与直线y2＝x+1．（1）当抛物线y1＝ax2+bx+3与直线y2＝x+1两个交点的横坐标分别为﹣1和2时．①求抛物线解析式；②直接写出当y1＞y2，时x的取值范围；（2）设y＝y1﹣y2，当x＝m时y＝M，x＝n时y＝N，当m+n＝1（m≠n）时，M＝N．求证：a+b＝1．10．（2022•路桥区一模）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝x2﹣（m+2）x+m（m是常数）．（1）求证：不论m取何值，该二次函数的图象与x轴总有两个交点；（2）若点A（2m+1，7）在该二次函数的图象上，求该二次函数的解析式；（3）在（2）的条件下，若抛物线y＝x2﹣（m+2）x+m与直线y＝x+t（t是常数）在第四象限内有两个交点，请直接写出t的取值范围．11．（2022•安徽模拟）已知：抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣2与直线x＝﹣2交于点P．（1）若抛物线经过（﹣1，﹣2）时，求抛物线解析式；（2）设P点的纵坐标为y p，当y p取最小值时，抛物线上有两点（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2≤﹣2，比较y1与y2的大小；（3）若线段AB两端点坐标分别是A（0，2），B（2，2），当抛物线与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围．12．（2022•富阳区一模）已知抛物线y＝a（x﹣1）（x﹣）．（1）若抛物线过点（2，1），求抛物线的解析式；（2）若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1）、N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，试判断点（2，﹣9）在不在此抛物线上；（3）抛物线上有两点E（0，n）、F（b，m），当b≤﹣2时，m≤n恒成立，试求a的取值范围．13．（2022•河东区二模）已知抛物线y＝a（x+3）（x﹣4）与y轴交于点A（0，﹣2）．（Ⅰ）求抛物线y＝a（x+3）（x﹣4）的解析式及顶点坐标；（Ⅱ）设抛物线与x轴的正半轴的交点为点B，点P为x轴上一动点，点D满足∠DPA＝90°，PD＝PA．（i）若点D在抛物线上，求点D的坐标；（ii）点E（2，﹣）在抛物线上，连接PE，当PE平分∠APD时，求出点P的坐标．14．（2022•长春模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c（b、c是常数）经过点（0，﹣1）和（2，7），点A在这个抛物线上，设点A的横坐标为m．（1）求此抛物线对应的函数表达式并写出顶点C的坐标．（2）点B在这个抛物线上（点B在点A的左侧），点B的横坐标为﹣1﹣2m．①当△ABC是以AB为底的等腰三角形时，求OABC的面积．②将此抛物线A、B两点之间的部分（包括A、B两点）记为图象G，当顶点C在图象G 上，记图象G最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为h，求h与m之间的函数关系式．（3）设点D的坐标为（m，2﹣m），点E的坐标为（1﹣m，2﹣m），点F在坐标平面内，以A、D、E、F为顶点构造矩形，当此抛物线与矩形有3个交点时，直接写出m的取值范围．15．（2022•长春二模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2与y轴的交点为A，过点A作直线l垂直于y轴．（1）求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；（2）将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点M（x1，y1），N（x2，y2）为图形G上任意两点．①当m＝0时，若x1＜x2，判断y1与y2的大小关系，并说明理由；②若对于x1＝m﹣1，x2＝m+1，都有y1＞y2，求m的取值范围；（3）当图象G与直线y＝m+2恰好有3个公共点时，直接写出m的取值范围．16．（2022•开福区校级一模）已知：抛物线C1：y＝ax2+bx+c（a＞0）．（1）若顶点坐标为（1，1），求b和c的值（用含a的代数式表示）；（2）当c＜0时，求函数y＝﹣2022|ax2+bx+c|﹣1的最大值；（3）若不论m为任何实数，直线与抛物线C1有且只有一个公共点，求a，b，c的值；此时，若k≤x≤k+1时，抛物线的最小值为k，求k的值．17．（2022•安徽模拟）已知二次函数y＝ax2﹣x+c的图象经过点A（﹣2，2），该图象与直线x＝2相交于点B．（1）求点B的坐标；（2）当c＞0时，求该函数的图象顶点纵坐标的最小值；（3）点M（m，0）、N（n，0）是该函数图象与x轴的两个交点．当m＞﹣2，n＜3时，结合函数图象分析a的取值范围．18．（2022•江都区一模）对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足y≤M，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数y＝﹣（x﹣3）2+2是有上界函数，其上确界是2．（1）函数①y＝x2+2x+1和②y＝2x﹣3（x≤5）中是有上界函数的为（只填序号即可），其上确界为；（2）若反比例函数y＝（a≤x≤b，a＞0）的上确界是b+1，且该函数的最小值为2，求a、b的值；（3）如果函数y＝﹣x2+2ax+2（﹣1≤x≤3）是以6为上确界的有上界函数，求实数a的值．19．（2022•亭湖区校级一模）已知抛物线y＝ax2﹣（3a﹣1）x﹣2（a为常数且a≠0）与y 轴交于点A．（1）点A的坐标为；对称轴为（用含a的代数式表示）；（2）无论a取何值，抛物线都过定点B（与点A不重合），则点B的坐标为；（3）若a＜0，且自变量x满足﹣1≤x≤3时，图象最高点的纵坐标为2，求抛物线的表达式；（4）将点A与点B之间的函数图象记作图象M（包含点A、B），若将M在直线y＝﹣2下方的部分保持不变，上方的部分沿直线y＝﹣2进行翻折，可以得到新的函数图象M1，若图象M1上仅存在两个点到直线y＝﹣6的距离为2，求a的值．20．（2022•义安区模拟）已知抛物线的图象经过坐标原点O．（1）求抛物线解析式．（2）若B，C是抛物线上两动点，直线BC：y＝kx+b恒过点（0，1），设直线OB为y＝k1x，直线OC为y＝k2x．①若B、C两点关于y轴对称，求k1k2的值．②求证：无论k为何值，k1k2为定值．【例1】（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c （a＞0）上，设抛物线的对称轴为直线x＝t．（1）当c＝2，m＝n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；（2）点（x0，m）（x0≠1）在抛物线上．若m＜n＜c，求t的取值范围及x0的取值范围．【分析】（1）将点（1，m），（3，n）代入抛物线解析式，再根据m＝n得出b＝﹣4a，再求对称轴即可；（2）再根据m＜n＜c，可确定出对称轴的取值范围，进而可确定x0的取值范围．【解答】解：（1）将点（1，m），（3，n）代入抛物线解析式，∴，∵m＝n，∴a+b+c＝9a+3b+c，整理得，b＝﹣4a，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝2；∴t＝2，∵c＝2，∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，2）．（2）∵m＜n＜c，∴a+b+c＜9a+3b+c＜c，解得﹣4a＜b＜﹣3a，∴3a＜﹣b＜4a，∴＜﹣＜，即＜t＜2．当t＝时，x0＝2；当t＝2时，x0＝3．∴x0的取值范围2＜x0＜3．【例2】（2022•绍兴）已知函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．（1）求b，c的值．（2）当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．（3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．【分析】（1）将图象经过的两个点的坐标代入二次函数解析式解答即可；（2）根据x的取值范围，二次函数图象的开口方向和对称轴，结合二次函数的性质判定y 的最大值即可；（3）根据对称轴为x＝﹣3，结合二次函数图象的性质，分类讨论得出m的取值范围即可．【解答】解：（1）把（0，﹣3），（﹣6，﹣3）代入y＝﹣x2+bx+c，得b＝﹣6，c＝﹣3．（2）∵y＝﹣x2﹣6x﹣3＝﹣（x+3）2+6，又∵﹣4≤x≤0，∴当x＝﹣3时，y有最大值为6．（3）①当﹣3＜m≤0时，当x＝0时，y有最小值为﹣3，当x＝m时，y有最大值为﹣m2﹣6m﹣3，∴﹣m2﹣6m﹣3+（﹣3）＝2，∴m＝﹣2或m＝﹣4（舍去）．②当m≤﹣3时，当x＝﹣3时y有最大值为6，∵y的最大值与最小值之和为2，∴y最小值为﹣4，∴﹣（m+3）2+6＝﹣4，∴m＝或m＝（舍去）．综上所述，m＝﹣2或．【例3】（2022•青岛）已知二次函数y＝x2+mx+m2﹣3（m为常数，m＞0）的图象经过点P （2，4）．（1）求m的值；（2）判断二次函数y＝x2+mx+m2﹣3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．【分析】（1）将（2，4）代入解析式求解．（2）由判别式Δ的符号可判断抛物线与x轴交点个数．【解答】解：（1）将（2，4）代入y＝x2+mx+m2﹣3得4＝4+2m+m2﹣3，解得m1＝1，m2＝﹣3，又∵m＞0，∴m＝1．（2）∵m＝1，∴y＝x2+x﹣2，∵Δ＝b2﹣4ac＝12+8＝9＞0，∴二次函数图象与x轴有2个交点．【例4】（2022•杭州）设二次函数y1＝2x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点．（1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），求函数y1的表达式及其图象的对称轴．（2）若函数y1的表达式可以写成y1＝2（x﹣h）2﹣2（h是常数）的形式，求b+c的最小值．（3）设一次函数y2＝x﹣m（m是常数），若函数y1的表达式还可以写成y1＝2（x﹣m）（x ﹣m﹣2）的形式，当函数y＝y1﹣y2的图象经过点（x0，0）时，求x0﹣m的值．【分析】（1）根据A、B两点的坐标特征，可设函数y1的表达式为y1＝2（x﹣x1）（x﹣x2），其中x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标；（2）把函数y1＝2（x﹣h）2﹣2，化成一般式，求出对应的b、c的值，再根据b+c式子的特点求出其最小值；（3）把y1，y2代入y＝y1﹣y2求出y关于x的函数表达式，再根据其图象过点（x0，0），把（x0，0）代入其表达式，形成关于x0的一元二次方程，解方程即可．【解答】解：（1）∵二次函数y1＝2x2+bx+c过点A（1，0）、B（2，0），∴y1＝2（x﹣1）（x﹣2），即y1＝2x2﹣6x+4．∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝．（2）把y1＝2（x﹣h）2﹣2化成一般式得，y1＝2x2﹣4hx+2h2﹣2．∴b＝﹣4h，c＝2h2﹣2．∴b+c＝2h2﹣4h﹣2＝2（h﹣1）2﹣4．把b+c的值看作是h的二次函数，则该二次函数开口向上，有最小值，∴当h＝1时，b+c的最小值是﹣4．（3）由题意得，y＝y1﹣y2＝2（x﹣m）（x﹣m﹣2）﹣（x﹣m）＝（x﹣m）[2（x﹣m）﹣5]．∵函数y的图象经过点（x0，0），∴（x0﹣m）[2（x0﹣m）﹣5]＝0．∴x0﹣m＝0，或2（x0﹣m）﹣5＝0．即x0﹣m＝0或x0﹣m＝．【例5】（2022•安顺）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如：点（1，1），（，），（﹣，﹣），……都是和谐点．（1）判断函数y＝2x+1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；（2）若二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（，）．①求a，c的值；②若1≤x≤m时，函数y＝ax2+6x+c+（a≠0）的最小值为﹣1，最大值为3，求实数m 的取值范围．【分析】（1）设函数y＝2x+1的和谐点为（x，x），可得2x+1＝x，求解即可；（2）将点（，）代入y＝ax2+6x+c，再由ax2+6x+c＝x有且只有一个根，Δ＝25﹣4ac ＝0，两个方程联立即可求a、c的值；②由①可知y＝﹣x2+6x﹣6＝﹣（x﹣3）2+3，当x＝1时，y＝﹣1，当x＝3时，y＝3，当x＝5时，y＝﹣1，则3≤m≤5时满足题意．【解答】解：（1）存在和谐点，理由如下，设函数y＝2x+1的和谐点为（x，x），∴2x+1＝x，解得x＝﹣1，∴和谐点为（﹣1，﹣1）；（2）①∵点（，）是二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的和谐点，∴＝a+15+c，∴c＝﹣a﹣，∵二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点，∴ax2+6x+c＝x有且只有一个根，∴Δ＝25﹣4ac＝0，∴a＝﹣1，c＝﹣；②由①可知y＝﹣x2+6x﹣6＝﹣（x﹣3）2+3，∴抛物线的对称轴为直线x＝3，当x＝1时，y＝﹣1，当x＝3时，y＝3，当x＝5时，y＝﹣1，∵函数的最大值为3，最小值为﹣1；当3≤m≤5时，函数的最大值为3，最小值为﹣1．一．解答题（共20题）1．（2022•瑞安市校级三模）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣2+a2（a≠0）．（1）求这条抛物线的对称轴；若该抛物线的顶点在x轴上，求a的值；（2）设点P（m，y1），Q（4，y2）在抛物线上，若y1＜y2，求m的取值范围．【分析】（1）把解析式化成顶点式，根据顶点式求得对称轴和顶点坐标，根据顶点在x轴上得到关于a的方程，解方程求得a的值；（2）根据二次函数的性质，分两种情况即可求出m的范围．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣2+a2＝a（x﹣1）2+a2﹣a﹣2，∴抛物线的对称轴为直线x＝1．若抛物线的顶点在x轴上，则a2﹣a﹣2＝0，∴a＝2或﹣1．（2）∵抛物线的对称轴为直线x＝1，则Q（4，y2）关于直线x＝1对称点的坐标为（﹣2，y2），∴当a＞0时，若y1＜y2，m的取值范围为：﹣2＜m＜4；当a＜0时，若y1＜y2，m的取值范围为：m＜﹣2或m＞4．2．（2022•西城区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1）、点B（x2，y2）为抛物线y＝ax2﹣2ax+a（a≠0）上的两点．（1）求抛物线的对称轴；（2）当﹣2＜x1＜﹣1且1＜x2＜2时，试判断y1与y2的大小关系并说明理由；（3）若当t＜x1＜t+1且t+2＜x2＜t+3时，存在y1＝y2，求t的取值范围．【分析】（1）先化抛物线的表达式为y＝a（x﹣1）2+1，依此可求抛物线的对称轴；（2）利用二次函数性质即可求得答案；（3）利用二次函数性质存在A到对称轴的距离与B到对称轴的距离相等即可解答．【解答】解：（1）y＝ax2﹣2ax+a＝a（x﹣1）2，∴抛物线的对称轴为x＝1；（2）∵﹣2＜x1＜﹣1，1＜x2＜2，∴1﹣x1＞1﹣x2，∴A离对称轴越远，若a＞0，开口向上，则y1＞y2，若a＜0，开口向下，则y1＜y2，（3）∵t＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+3，存在y1＝y2，则t+1＜1且t+2＞1，∴t＜0且t＞1，∴存在1﹣x1＝x2﹣1，即存在A到对称轴的距离与B到对称轴的距离相等，∴1﹣t＞t+2﹣1且1﹣（t+1）＜t+3﹣1，∴﹣1＜t＜0．3．（2022•新野县三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣4ax+2．（1）抛物线的对称轴为直线x＝2，抛物线与y轴的交点坐标为（0，2）；（2）若当x满足1≤x≤5时，y的最小值为﹣6，求此时y的最大值．【分析】（1）由对称轴方程，将对应系数代入可得，令抛物线解析式中的x＝0，求得y，答案可得；（2）利用当x满足1≤x≤5时，y的最小值为﹣6，可求得a的值，再利用二次函数图象的特点可确定y的最大值．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣4ax+2的对称轴为直线x＝﹣＝2．令x＝0，则y＝2．∴抛物线y＝ax2﹣4ax+2与y轴的交点为（0，2）．故答案为：x＝2；（0，2）．（2）∵抛物线y＝ax2﹣4ax+2的对称轴为直线x＝2，∴顶点在1≤x≤5范围内，∵当x满足1≤x≤5时，y的最小值为﹣6，∴当a＜0时，抛物线开口向下，x＝5时y有最小值﹣6，∴25a﹣20a+2＝﹣6，解得a＝﹣，∴抛物线为y＝﹣x2+x+2当x＝2时，y＝﹣×22+×2+2＝，∴此时y的最大值为．当a＞0，抛物线开口向上，x＝2时y有最小值﹣6，∴4a﹣8a+2＝﹣6，解得a＝2，∴抛物线为y＝2x2﹣8x+2，当x＝5时，y＝2×25﹣8×5+2＝12，∴此时y的最大值12．综上，y的最大值为12．4．（2022•萧山区二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+（a﹣1）x﹣1．（1）若该函数的图象经过点（1，2），求该二次函数图象的顶点坐标．（2）若（x1，y1），（x1，y2）为此函数图象上两个不同点，当x1+x2＝﹣2时，恒有y1＝y2，试求此函数的最值．（3）当a＜0且a≠﹣1时，判断该二次函数图象的顶点所在象限，并说明理由．【分析】（1）直接将点（1，2）代入即可求得a的值，然后根据顶点公式求得即可；（2）利用题意，﹣＝＝＝﹣1求解a，然后把解析式化成顶点式，根据二次函数的性质即可得到结论；（3）利用顶点公式求得x＝﹣＝﹣+，y＝＝﹣，由a＜0且a≠﹣1即可判断x＜0，y＞0，即可得到该二次函数图象的顶点在第二象限．【解答】解：（1）∵函数图象过点（1，2），∴将点代入y＝ax2+（a﹣1）x﹣1，解得a＝2，∴二次函数的解析式为y＝2x2+x﹣1，∴x＝﹣＝﹣，∴y＝2×﹣﹣1＝﹣，∴该二次函数的顶点坐标为（﹣，﹣）；（2）函数y＝ax2+（a﹣1）x﹣1的对称轴是直线x＝﹣，∵（x1，y1），（x2，y2）为此二次函数图象上的两个不同点，且x1+x2＝﹣2，则y1＝y2，∴﹣＝＝＝﹣1，∴a＝﹣1，∴y＝﹣x2﹣2x﹣1＝﹣（x+1）2≤0，∴当x＝﹣1时，函数有最大值0；（3）∵y＝ax2+（a﹣1）x﹣1，∴由顶点公式得：x＝﹣＝﹣+，y＝＝﹣，∵a＜0且a≠﹣1，∴x＜0，y＞0，∴该二次函数图象的顶点在第二象限．5．（2022•盈江县模拟）抛物线C1：y＝x2+bx+c的对称轴为x＝1，且与y轴交点的纵坐标为﹣3．（1）求b，c的值；（2）抛物线C2：y＝﹣x2+mx+n经过抛物线C1的顶点P．①求证：抛物线C2的顶点Q也在抛物线C1上；②若m＝8，点E是在点P和点Q之间抛物线C1上的一点，过点E作x轴的垂线交抛物线C2于点F，求EF长度的最大值．【分析】（1）根据对称轴公式x＝﹣，即可求出b的值，由抛物线与y轴交点的纵坐标为﹣3即可求得c的值；（2）①由（1）可得抛物线C1的解析式，从而可得抛物线C1的顶点P的坐标，由抛物线C2经过抛物线C1的顶点可得n＝﹣m﹣3，从而可得抛物线C2为：y＝﹣x2+mx﹣m﹣3，根据对称轴公式x＝﹣，即可求出顶点Q的坐标，再将点Q的横坐标代入抛物线C1的解析式中，即可证明；②先分别求出点P和点Q的横坐标，由①可得n＝﹣11，设点E横坐标为x，由点E在抛物线C1上可表示出纵坐标，由题可知点F与点E横坐标相同，代入抛物线C2的解析式中可得点F纵坐标，即可求解．【解答】（1）解：∵抛物线C1：y＝x2+bx+c对称轴为x＝1，且与y轴交点的纵坐标为﹣3，∴x＝﹣＝1，c＝﹣3，∴b＝﹣2；（2）①证明：∵抛物线C1的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3，∴顶点P的坐标为：（1，﹣4），∵抛物线C2经过抛物线C1的顶点，∴﹣4＝﹣12+m+n，∴n＝﹣m﹣3，∴抛物线C2为：y＝﹣x2+mx﹣m﹣3，∴对称轴为：直线x＝﹣＝，将x＝代入y＝﹣x2+mx﹣m﹣3，得：y＝﹣m﹣3，∴点Q坐标为：（，﹣m﹣3），将x＝代入y＝x2﹣2x﹣3，得：y＝﹣m﹣3，∴点Q也在抛物线C1上；②解：由①知n＝﹣m﹣3，∵m＝8，∴n＝﹣11，∴抛物线C2的解析式为：y＝﹣x2+8x﹣11，对称轴为：直线x＝＝4，设点E横坐标为x，∵点E是在点P和点Q之间抛物线C1上的一点，∴点E坐标为（x，x2﹣2x﹣3），1＜x＜4，∵过点E作x轴的垂线交抛物线C2于点F，∴点F横坐标为x，∴点F坐标为（x，﹣x2+8x﹣11），∴EF＝﹣x2+8x﹣11﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+8x﹣11﹣x2+2x+3＝﹣2x2+10x﹣8＝﹣2（x2﹣5x+4）＝﹣2（x2﹣5x+）+＝﹣2（x﹣）2+，∴当x＝时，EF取得最大值，最大值为，∴EF长度的最大值为．6．（2022•沂水县二模）抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣4，0），B（1，5）；点P（2，c），Q （x0，y0）是抛物线上的点．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）若x0＞﹣6，比较c、y0的大小；（3）若直线y＝m与抛物线交于M、N两点，（M、N两点不重合），当MN≤5时，求m的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法即可求得抛物线解析式，化成顶点式即可求得顶点坐标；（2）根据二次函数的性质判断即可；（3）设M、N的横坐标分别为x1、x2，则x1、x2是方程x2+4x＝m的两个根，根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣4，x1x2＝﹣m，由MN≤5，则（x1﹣x2）2≤25，所以（x1+x2）2﹣4x1x2≤25，即16+4m≤25，解得即可．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣4，0），B（1，5），∴，解得，∴抛物线为y＝x2+4x，∵y＝x2+4x＝（x+2）2﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣4）；（2）∵抛物线为y＝x2+4x的对称轴为直线x＝﹣2，且开口向上，∴当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，∵点P（2，c）关于对称轴的对称点为（﹣6，c），∵x0＞﹣6，∴当﹣6＜x0＜2时，则c＞y0；当x0≥2时，则c≤y0；（3）设M、N的横坐标分别为x1、x2，∵直线y＝m与抛物线交于M、N两点，（M、N两点不重合），∴x1、x2是方程x2+4x＝m的两个根，∴x1+x2＝﹣4，x1x2＝﹣m，∵MN≤5，∴（x1﹣x2）2≤25，∴（x1+x2）2﹣4x1x2≤25，即16+4m≤25，解得m≤，∵抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣4），∴函数的最小值为﹣4，∴﹣4＜m≤．7．（2022•姜堰区二模）设一次函数y1＝2x+m+n和二次函数y2＝x（2x+m）+n．（1）求证：y1，y2的图象必有交点；（2）若m＞0，y1，y2的图象交于点A（x1，a）、B（x2，b），其中x1＜x2，设C（x3，b）为y2图象上一点，且x3≠x2，求x3﹣x1的值；（3）在（2）的条件下，如果存在点D（x1+2，c）在y2的图象上，且a＞c，求m的取值范围．【分析】（1）证明y1＝y2时，方程2x+m+n＝x（2x+m）+n有解，进而转化证明一元二次方程的根的判别式非负便可；（2）由y1＝y2，求出x1与x2，进而求得b，由b的值，求得x3的值，进而得x3﹣x1的值；（3）把点A（x1，a）、点D（x1+2，c）代入y2＝x（2x+m）+n，根据a＞c得x1（2x1+m）+n﹣2（x1+2）2﹣m（x1+2）﹣n＞0，化简得4x1+4+m＜0，由（2）得x1＝﹣，代入求解即可．【解答】（1）证明：当y1＝y2时，得2x+m+n＝x（2x+m）+n，化简为：2x2+（m﹣2）x﹣m＝0，△＝（m﹣2）2+8m＝（m+2）2≥0，∴方程2x+m+n＝x（2x+m）+n有解，∴y1，y2的图象必有交点；（2）解：当y1＝y2时，2x+m+n＝x（2x+m）+n，化简为：2x2+（m﹣2）x﹣m＝0，（2x+m）（x﹣1）＝0，∵m＞0，x1＜x2，∴x1＝﹣，x2＝1，∴b＝2+m+n，当y＝2+m+n时，y2＝x（2x+m）+n＝2+m+n，化简为：2x2+mx﹣m﹣2＝0，2x2﹣2+mx﹣m＝0，2（x+1）（x﹣1）+m（x﹣1）＝0，（2x+m+2）（x﹣1）＝0，解得，x＝1（等于x2），或x＝，∴x3＝，∴x3﹣x1＝﹣（﹣）＝﹣1；（3）解：∵点D（x1+2，c）在y2的图象上，∴c＝（x1+2）[2（x1+2）+m]+n＝2（x1+2）2+m（x1+2）+n．∵点A（x1，a）在y2的图象上，∴a＝x1（2x1+m）+n．∵a＞c，∴a﹣c＞0，∴x1（2x1+m）+n﹣2（x1+2）2﹣m（x1+2）﹣n＞0，化简得4x1+4+m＜0，由（2）得x1＝﹣，∴4×（﹣）+4+m＜0，﹣2m+4+m＜0，﹣m+4＜0，m＞4，∴m的取值范围为m＞4．8．（2022•西城区校级模拟）已知抛物线y＝x2﹣4mx+4m2﹣1．（1）求此抛物线的顶点的坐标；（2）若直线y＝n与该抛物线交于点A、B，且AB＝4，求n的值；（3）若这条抛物线经过点P（2m+1，y1），Q（2m﹣t，y2），且y1＜y2，求t的取值范围．【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式求解．（2）由二次函数的对称性及AB＝4可得点A，B坐标，进而求解．（3）由点P坐标及抛物线对称轴可得点P关于对称轴的对称点P'坐标，由抛物线开口向下可求解．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣4mx+4m2﹣1＝（x﹣2m）2﹣1，∴抛物线顶点坐标为（2m，﹣1）．（2）∵点A，B关于抛物线对称轴对称，AB＝4，对称轴为直线x＝2m，∴抛物线经过（2m+2，n），（2m﹣2，n），将（2m+2，n）代入y＝（x﹣2m）2﹣1得n＝22﹣1＝3．（3）点P（2m+1，y1）关于抛物线对称轴的对称点P'坐标为（2m﹣1，y1），∵抛物线开口向上，∴当2m﹣t＞2m+1或2m﹣t＜2m﹣1时，且y1＜y2，解得t＜﹣1或t＞1．9．（2022•黄岩区一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y1＝ax2+bx+3与直线y2＝x+1．（1）当抛物线y1＝ax2+bx+3与直线y2＝x+1两个交点的横坐标分别为﹣1和2时．①求抛物线解析式；②直接写出当y1＞y2，时x的取值范围；（2）设y＝y1﹣y2，当x＝m时y＝M，x＝n时y＝N，当m+n＝1（m≠n）时，M＝N．求证：a+b＝1．【分析】（1）①由交点横坐标及直线解析式可得交点坐标，然后通过待定系数法求解．②由抛物线开口方向及交点横坐标求解．（2）由y＝y1﹣y2，M＝N可得m，n为方程ax2+（b﹣1）x+2＝0的两个根，由一元二次方程根与系数的关系进行证明．【解答】解：（1）①将x＝﹣1和x＝2分别代入y2＝x+1得y2＝0，y2＝3，∴抛物线经过（﹣1，0），（2，3），∴，解得，∴y1＝﹣x2+2x+3．②∵抛物线y1＝﹣x2+2x+3开口向下，抛物线与直线交点坐标为（﹣1，0），（2，3），∴﹣1＜x＜2时，y1＞y2．（2）∵y＝y1﹣y2＝ax2+bx+3﹣（x+1）＝ax2+（b﹣1）x+2，∴x＝m时，M＝am2+（b﹣1）m+2，x＝n时，N＝an2+（b﹣1）n+2，∴m，n为方程ax2+（b﹣1）x+2＝0的两个根，由一元二次方程根与系数的关系可得m+n＝﹣＝1，∴b﹣1＝﹣a，∴a+b＝1．10．（2022•路桥区一模）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝x2﹣（m+2）x+m（m是常数）．（1）求证：不论m取何值，该二次函数的图象与x轴总有两个交点；（2）若点A（2m+1，7）在该二次函数的图象上，求该二次函数的解析式；（3）在（2）的条件下，若抛物线y＝x2﹣（m+2）x+m与直线y＝x+t（t是常数）在第四象限内有两个交点，请直接写出t的取值范围．【分析】（1）由Δ＝b2﹣4ac＞0证明．（2）将点A坐标代入解析式求解．（3）分类讨论，通过数形结合求解．【解答】解：（1）令x2﹣（m+2）x+m＝0，则Δ＝（m+2）2﹣4m＝m2+4＞0，∴方程x2﹣（m+2）x+m＝0有两个不相等实数根，∴二次函数的图象与x轴总有两个交点．（2）将（2m+1，7）代入y＝x2﹣（m+2）x+m得7＝（2m+1）2﹣（m+2）（2m+1）+m，解得m＝2或m＝﹣2，当m＝2时，y＝x2﹣4x+2，当m＝﹣2时，y＝x2﹣2．（3）①当m＝2时，y＝x2﹣4x+2，令x2﹣4x+2＝0，解得x1＝2+，x2＝2﹣，∴抛物线与x轴交点坐标为（2+，0），（2﹣，0），如图，当直线y＝x+t经过（2+，0）时，2++t＝0，解得t＝﹣2﹣，当直线y＝x+t与抛物线y＝x2﹣4x+2只有1个公共点时，令x2﹣4x+2＝x+t，整理得x2﹣5x+2﹣t＝0，则Δ＝52﹣4（2﹣t）＝17+4t＝0，解得t＝﹣，∴﹣＜t＜﹣2﹣满足题意．②同理，当m＝﹣2时，y＝x2﹣2，将x＝0代入y＝x2﹣2得y＝﹣2，∴抛物线经过（0，﹣2），将（0，﹣2）代入y＝x+t得t＝﹣2，令x2﹣2＝x+t，由Δ＝1﹣4（﹣2﹣t）＝0可得t＝﹣，∴﹣＜t＜﹣2满足题意．综上所述，﹣＜t＜﹣2﹣或﹣＜t＜﹣2．11．（2022•安徽模拟）已知：抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣2与直线x＝﹣2交于点P．（1）若抛物线经过（﹣1，﹣2）时，求抛物线解析式；（2）设P点的纵坐标为y p，当y p取最小值时，抛物线上有两点（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2≤﹣2，比较y1与y2的大小；（3）若线段AB两端点坐标分别是A（0，2），B（2，2），当抛物线与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围．【分析】（1）将（﹣1，﹣2）代入解析式求解．（2）将x＝﹣2代入解析式求出点P纵坐标，通过配方可得y p取最小值时m的值，再将二次函数解析式化为顶点式求解．（3）分别将点A，B坐标代入解析式求解．【解答】解：（1）将（﹣1，﹣2）代入y＝x2﹣2mx+m2﹣2得﹣2＝1+2m+m2﹣2，解得m＝﹣1，∴y＝x2+2x﹣1．（2）将x＝﹣2代入y＝x2﹣2mx+m2﹣2得y P＝m2+4m+2＝（m+2）2﹣2，∴m＝﹣2时，y p取最小值，∴y＝x2+4x+2＝（x+2）2﹣2，∴x＜﹣2时，y随x增大而减小，∵x1＜x2≤﹣2，∴y1＞y2．（3）∵y＝x2﹣2mx+m2﹣2＝（x﹣m）2﹣2，∴抛物线顶点坐标为（m，﹣2），∴抛物线随m值的变化而左右平移，将（0，2）代入y＝x2﹣2mx+m2﹣2得m2﹣2＝2，解得m＝2或m＝﹣2，将（2，2）代入y＝x2﹣2mx+m2﹣2得2＝4﹣4m+m2﹣2，解得m＝0或m＝4，∴﹣2≤m≤0时，抛物线对称轴在点A左侧，抛物线与线段AB有交点，2≤m≤4时，抛物线对称轴在点A右侧，抛物线与线段AB有交点．∴﹣2≤m≤0或2≤m≤4．12．（2022•富阳区一模）已知抛物线y＝a（x﹣1）（x﹣）．（1）若抛物线过点（2，1），求抛物线的解析式；（2）若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1）、N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，试判断点（2，﹣9）在不在此抛物线上；（3）抛物线上有两点E（0，n）、F（b，m），当b≤﹣2时，m≤n恒成立，试求a的取值范围．【分析】（1）将（2，1）代入函数解析式求解．（2）由当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，可得抛物线对称轴为y轴，从而可得a的值，然后将x＝2代入解析式判断．（3）由b≤﹣2时，m≤n恒成立，可得抛物线开口向下，求出点E关于对称轴对称的点坐标，列不等式求解．【解答】解：（1）将（2，1）代入y＝a（x﹣1）（x﹣）得1＝a（2﹣），解得a＝2，∴y＝2（x﹣1）（x﹣）．（2）∵y＝a（x﹣1）（x﹣），∴抛物线与x轴交点坐标为（1，0），（，0），∴抛物线对称轴为直线x＝，∵x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0，0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，∴抛物线对称轴为值x＝0，即1+＝0，解得a＝﹣3，∴y＝﹣3（x﹣1）（x+1），将x＝2代入y＝﹣3（x﹣1）（x+1）得y＝﹣9，∴点（2，﹣9）在抛物线上．（3）∵抛物线对称轴为直线x＝，∴点E（0，n）关于对称轴对称的点E'（1+，n），∵当b≤﹣2时，m≤n恒成立，∴抛物线开口向下，即a＜0，且﹣2≤1+，解得a≤﹣1．13．（2022•河东区二模）已知抛物线y＝a（x+3）（x﹣4）与y轴交于点A（0，﹣2）．（Ⅰ）求抛物线y＝a（x+3）（x﹣4）的解析式及顶点坐标；（Ⅱ）设抛物线与x轴的正半轴的交点为点B，点P为x轴上一动点，点D满足∠DPA＝90°，PD＝PA．（i）若点D在抛物线上，求点D的坐标；（ii）点E（2，﹣）在抛物线上，连接PE，当PE平分∠APD时，求出点P的坐标．【分析】（Ⅰ）将点A（0，﹣2）代入y＝a（x+3）（x﹣4），即可求解；（Ⅱ）（i）设P（t，0），分两种情况讨论：当D点在点P右侧时，过点D作DN⊥x轴交于点N，通过证明△PND≌△AOP（AAS），可得D（t+2，﹣t），再将D点代入二次函数解析式求出t的值，从而求出D的坐标；当点D在点P的左侧时，同理可得D（t﹣2，t），再将D点代入二次函数解析式求出t的值，即可求解；（ii）分两种情况讨论：当D点在x轴下方时，当PE∥y轴时，∠OAP＝45°，P（2，0）；当D点在x轴上方时，过A点作AG⊥PA交PE于点G，过G点作FG⊥x轴，交于点F，可证明△GAF≌△APO（AAS），从而得到GF＝2，则E点与G点重合，OP＝AF＝OA﹣OF＝2﹣＝，求出P（﹣，0）．【解答】解：（Ⅰ）将点A（0，﹣2）代入y＝a（x+3）（x﹣4），得﹣12a＝﹣2，∴a＝，∴y＝（x+3）（x﹣4）＝x2﹣x﹣2，∵y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣）2﹣，∴顶点为（，﹣）；（Ⅱ）（i）令a（x+3）（x﹣4）＝0，解得x＝4或x＝﹣3，∴B（4，0），设P（t，0），如图1，当D点在点P右侧时，过点D作DN⊥x轴交于点N，∵∠APD＝90°，∴∠OPA+∠NPD＝90°，∠OPA+∠OAP＝90°，∴∠NPD＝∠OAP，∴△PND≌△AOP（AAS），∴OP＝ND，AO＝PN，∴D（t+2，﹣t），∴（t+5）（t﹣2）＝﹣t，解得t＝1或t＝﹣10，∴D（3，﹣1）或（﹣8，10）；当点D在点P的左侧时，同理可得D（t﹣2，t），∴t＝（t﹣2+3）（t﹣2﹣4），解得t＝，∴D（，）或（，）；综上所述：D点坐标为（3，﹣1）或（﹣8，10）或（，）或（，）；（ii）如图2，当D点在x轴下方时，∵PE平分∠APD，∴∠APE＝∠EPD，∵∠APD＝90°，∴∠APE＝45°，当PE∥y轴时，∠OAP＝45°，∴P（2，0）；如图3，当D点在x轴上方时，过A点作AG⊥PA交PE于点G，过G点作FG⊥x轴，交于点F，∵∠PAF+∠FAG＝90°，∠FAG+∠FGA＝90°，∴∠PAF＝∠FGA，∵PE平分∠APD，∠APD＝90°，∴∠APE＝∠EPD＝45°＝∠AGP，∵AP＝AG，∴△GAF≌△APO（AAS），∴AF＝OP，FG＝OA，∵OA＝2，∴GF＝2，∵E（2，﹣），∴E点与G点重合，∴OP＝AF＝OA﹣OF＝2﹣＝，∴P（﹣，0）；综上所述：P点坐标为（2，0）或（﹣，0）．14．（2022•长春模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c（b、c是常数）经过点（0，﹣1）和（2，7），点A在这个抛物线上，设点A的横坐标为m．（1）求此抛物线对应的函数表达式并写出顶点C的坐标．（2）点B在这个抛物线上（点B在点A的左侧），点B的横坐标为﹣1﹣2m．①当△ABC是以AB为底的等腰三角形时，求OABC的面积．②将此抛物线A、B两点之间的部分（包括A、B两点）记为图象G，当顶点C在图象G 上，记图象G最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为h，求h与m之间的函数关系式．（3）设点D的坐标为（m，2﹣m），点E的坐标为（1﹣m，2﹣m），点F在坐标平面内，以A、D、E、F为顶点构造矩形，当此抛物线与矩形有3个交点时，直接写出m的取值范围．【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式，再将抛物线的解析式化成顶点式，即可求解；（2）①先根据等腰三角形的性质求出A、B、C三点坐标，再根据三角形面积公式求解即可；②按第一种情况：当点A是最高点，可得m＞1或m＜﹣，第二种情况：当点B是最高点，得m的取值范围，再计算纵坐标的差h即可解答；（3）分情况讨论：①当m＜﹣1时，②当﹣1≤m≤1时时，③当1＜m＜2时，④当2＜m＜3时，⑤当m＝3，⑥当3≤m＜4时，⑦当m＝4时，⑧当m＞4时，分别画出图形求解即可．【解答】解：（1）把（0，﹣1）和（2，7）代入y＝x2+bx+c，得：，解得：，∴抛物线对应的函数表达式为：y＝x2+2x﹣1，∵y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2，∴顶点C的坐标为（﹣1，﹣2）；（2）①当x＝﹣1﹣2m时，y＝（﹣1﹣2m+1）2﹣2＝4m2﹣2，∴B（﹣1﹣2m，4m2﹣2）．当△ABC是以AB为底的等腰三角形时，则AC＝BC，又∵点C在抛物线对称轴x＝﹣1上，∴点A、点B关于直线x＝﹣1对称，∴A（2m﹣1，4m2﹣2），∵点A的横坐标为m，∴2m﹣1＝m，解得：m＝1，∴A（1，2），B（﹣3，2），∵由（1）得，C（﹣1，﹣2），＝[1﹣（﹣3）]×[2﹣（﹣2）]＝8；∴S△ABC②∵A（m，（m+1）2﹣2），B（﹣1﹣2m，4m2﹣2）．∴当点A是最高点，即m＞1或m＜﹣时，则h＝（m+1）2﹣2﹣（﹣2）＝（m+1）2；当点B是最高点，即0≤m＜1时，则h＝4m2﹣2﹣（﹣2）＝4m2，综上，h与m之间的函数关系式为：h＝（m+1）2（m＞1或m＜﹣）或h＝4m2（0≤m＜1）；（3）①当m＜﹣1时，则2﹣m＞3，1﹣m＞2，如图：。
求二次函数解析式-综合题-练习+答案
求二次函数解析式：综合题例1 已知抛物线与x轴交于A(-1，0)、B(1，0)，并经过M(0，1)，求抛物线的解析式．分析：本题可以利用抛物线的一般式来求解，但因A(-1，0)、B(1，0)是抛物线与x轴的交点，因此有更简捷的解法．如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴(即y=0)有交点(x1，0)，(x2，0)．那么显然有∴x1、x2是一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两个根．因此，有ax2+bx＋c=a(x-x1)(x-x2)∴抛物线的解析式为y=a(x-x1)(x-x2) (*)(其中x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标)我们将(*)称为抛物线的两根式．对于本例利用两根式来解则更为方便．解：∵抛物线与x轴交于A(-1，0)、B(1，0)∴设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x-1)又∵抛物线过M(0，1)，将x=0，y=1代入上式，解得a=-1∴函数解析式为y=-x2＋1．说明：一般地，对于求二次函数解析式的问题，可以小结如下：①三项条件确定二次函数；②求二次函数解析式的一般方法是待定系数法；③二次函数的解析式有三种形式：究竟选用哪种形式，要根据具体条件来决定．例2 由右边图象写出二次函数的解析式．分析：看图时要注意特殊点．例如顶点，图象与坐标轴的交点．解：由图象知抛物线对称轴x=-1，顶点坐标(-1，2)，过原点(0，0)或过点(-2，0)．设解析式为y=a(x＋1)2+2∵过原点(0，0)，∴a＋2=0，a=-2．故解析式为y=-2(x+1)2+2，即y=-2x2-4x．说明：已知顶点坐标可以设顶点式．本题也可设成一般式y=ax2+bx＋c，∵过顶点(-1，2)和过原点(0，0)，本题还可以用过点(0，0)，(-2，0)而设解析式为y=a(x+2)·x再将顶点坐标(1，2)代入求出a．例3 根据下列条件求二次函数解析式．(1)若函数有最小值-8，且a∶b∶c=1∶2∶(-3)．(2)若函数有最大值2，且过点A(-1，0)、B(3，0)．(3)若函数当x＞-2时y随x增大而增大(x＜-2时，y随x增大而减小)，且图象过点(2，4)在y轴上截距为-2．分析：(1)由a∶b∶c=1∶2∶(-3)可将三个待定系数转化为求一个k．即设a=k，b=2k，c=-3k(2)由抛物线的对称性可得顶点是(1，2)(3)由函数性质知对称轴是x=-2 解：(1)设y=ax2＋bx+c ∵a∶b∶c=1∶2∶(-3)∴设a=k，b=2k，c=-3k ∵有最小值-8∴解析式y=2x2+4x-6(2)∵图象过点A(-1，0)、B(3，0)，A、B两点均在x 轴上，由对称性得对称轴为x=1．又函数有最大值2，∴顶点坐标为(1，2)，∴设解析式为y=a(x-1)2＋2．(3)∵函数当x＞-2时y随x增大而增大，当x＜-2时y 随x增大而减小∴对称轴为x=-2设y=a(x+2)2+n∵过点(2，4)在y轴上截距为-2，即过点(0，-2)说明：题(3)也可设成y=ax2＋bx＋c，得：题(2)充分利用对称性可简化计算．例4 已知抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴相交于点A(-3，0)，对称轴为x=-1，顶点M到x轴的距离为2，求此抛物线的解析式．分析：此例题给出了三个条件，但实际上要看到此题还有隐含条件，如利用A点关于对称轴x=-1对称的对称点A′(1，0)，因此可以把问题的条件又充实了，又如已知顶点M到x轴的距离为2，对称轴为x=-1，因此又可以找顶点坐标为(-1，±2)，故可利用顶点坐标式求出函数的解析式，此题的解法不唯一，下面分别介绍几种解法．解法(一)：∵抛物线的对称轴是x=-1，顶点M到x轴距离为2，∴顶点的坐标为M(-1，2)或M′(-1，-2)．故设二次函数式y=a(x＋1)2＋2或y=a(x+1)2-2又∵抛物线经过点A(-3，0)∴0=a(-3＋1)2＋2或0=a(-3＋1)2-2所求函数式是解法(二)：根据题意：设函数解析式为y=ax2＋bx＋c ∵点A(-3，0)在抛物线上∴0=9a-3b＋c ①又∵对称轴是x=-1∵顶点M到x轴的距离为2解由①，②，③组成的方程组：∴所求函数的解析式是：解法(三)：∵抛物线的对称轴是x=-1又∵图象经过点A(-3，0)∴点A(-3，0)关于对称轴x=-1对称的对称点A′(1，0)∴设函数式为y=a(x+3)(x-1)把抛物线的顶点M的坐标(-1，2)或(-1，-2)分别代入函数式，得2=a(-1＋3)(-1-1)或-2=a(-1＋3)(-1-1)解关于a的方程，得∴所求函数式为：说明：比较以上三种解法，可以看出解法(一)和解法(三)比解法(二)简便．M点到x轴的距离为2，纵坐标可以是2，也可以是-2，不要漏掉一解．例5 已知抛物线y=x2-6x＋m与x轴有两个不同的交点A 和B，以AB为直径作⊙C，(1)求圆心C的坐标．(2)是否存在实数m，使抛物线的顶点在⊙C上，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．分析：(1)根据抛物线的对称性，由已知条件AB是直径圆心应是抛物线的对称轴与x轴的交点．(2)依据圆与抛物线的对称性知，抛物线的顶点是否在⊙C上，需要看顶点的纵坐标的绝对值是否等于⊙C的半径长，依据这个条件，列出关于m的方程，求出m值后再由已知条件做出判断．解：(1)∵y=x2-6x＋m=(x-3)2+m-9∴抛物线的对称轴为直线x=3∵抛物线与x轴交于A和B两点，且AB是⊙C的直径，由抛物线的对称性∴圆心C的坐标为(3，0)(2)∵抛物线与x轴有两个不同交点∴△=(-b)2-4m＞0，∴m＜9设A(x1，0)，B(x2，0)∵抛物线的顶点为P(3，m-9)解得：m=8或m=9∵m＜9，∴m=9舍去∴m＝8∴当m=8时，抛物线的顶点在⊙C上．说明“存在性”问题是探索性问题的主要形式．解答这类问题的基本思路是：假设“存在”—→演绎推理—→得出结论(合理或矛盾)．例6 已知抛物线y=ax2＋bx＋c，其顶点在x轴的上方，它与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于点A及点B(6，0)．又知方程：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)两根平方和等于40．(1)求抛物线的解析式；(2)试问：在此抛物线上是否存在一点P，在x轴上方且使S△PAB=2S△CAB．如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，说明理由．分析：求解析式的三个条件中有一个是由方程的根来得到系数的关系式，通过解方程组求出系数也就得到解析式．第(2)问中问是否存在那么假设存在进行推理，从而判断存在或不存在．解：(1)由题设条件得∴抛物线顶点为(2，4)．又A点坐标为(-2，0)，而△ABC与△PAB同底，且当P点位于抛物线顶点时，△PAB面积最大．显然，S△PAB=16＜2S△ABC=2×12=24．故在x轴上方的抛物线上不存在点P使S△PAB=2S△CAB．例7 在一块底边长为a，高为h的三角形的铁板ABC上，要截出一块矩形铁板EFGH，使它的一边FG在BC边上，矩形的边EF等于多长时，矩形铁板的面积最大．分析：问题问“矩形的边EF等于多长时，矩形铁板的面积最大”，所以题目的目标是矩形面积(S)而自变量就是EF的长(x)，因此问题的关键就是用EF(x)表示矩形面积S，这就要用EF表示出EH．解：设内接矩形EFGH中，AM⊥BC，∵EH∥BC，设EF=x(0＜x＜h)则AN=h-x设矩形EFGH的面积为S说明：解决联系实际的问题，又与几何图形有关就应综合应用几何、代数知识，利用相似成比例列出函数式再求最值．例8 二次函数y=ax2＋bx-5的图象的对称轴为直线x=3，图象与y轴相交于点B，(1)求二次函数的解析式；(2)求原点O到直线AB的距离．分析：为直线x=3，来求系数a，b．注意根与系数关系定理的充分应用．为求原点O到直线AB的距离要充分利用三角形特征和勾股定理．解： (1)如图，由已知，有∴(x1+x2)2-2x1x2=26，∴a=-1．∴解析式为y=-x2＋6x-5=-(x-3)2＋4．(2)∵OB=5，OC=4，AC=3，∴△AOB为等腰三角形，作OD⊥AB于D，说明：有部分学生把二次函数的顶点坐标记错，也有的学生不会用“根与系数的关系”，得不出解析式．有不少学生没有发现△AOB是等腰三角形，若发现为等腰三角形，OD 是底边AB的高，利用勾股定理就迎刃而解了．发生错误的原因，没记熟抛物线的顶点坐标公式，有的学生记下来了，但与两个根如何综合使用发生了问题，有些学生求点O到直线AB的距离，没有分析出图形与数量关系，其实△AOB是等腰三角形，知道这一性质求OD的数据就方便多了．纠正错误的办法，加强抛物线顶点坐标的学习、顶点坐标与巧用“根与系数的关系”的学习；另外，也要加强寻找特殊点的学习．一般说，无论多难的题目，总是有解题规律的．在几何图形中，经过认真分析，有的题目总含等边三角形、等腰三角形、直角三角形．例9 设A，B为抛物线y=-3x2-2x＋k与x轴的两个相异交点，M为抛物线的顶点，当△MAB为等腰直角三角形时，求k的值．分析：首先按题意画出图形，再运用抛物线的对称性挖掘题中的隐含条件，来解答本题，得出解后要分析解的合理性进行取舍．解：∵抛物线与x轴有两个相异交点，故△＞0，即(-2)2-4·(-3)k＞0，解关于k的不等式，得根据题意，作出图象，如图设N为对称轴与x轴的交点，由抛物线的对称性知，N 为AB中点．∵∠AMB＝Rt∠，且MN的长即为M点的纵坐标，又设A点坐标(x1，0)，B点坐标(x2，0)，则有解关于k的方程，得∴k＝0．说明：本题有一个重要的隐含条件，即要使抛物线与x 轴有两个相异交点，应首先满足△＞0．(2)本题要求学生会运用抛物线的对称性观察图形，联想直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这个重要定理，找到等量关系，列出关于k的方程，如果没有这种灵活运用定理的能力，将得不到关于k的方程，难以求解．例10 某商场将进货单价为18元的商品，按每件20元销售时，每日可销售100件，如果每提价1元(每件)，日销售量就要减少10件，那么把商品的售出价定为多少时，才能使每天获得的利润最大？每天的最大利润是多少？分析：此题主要涉及两个量，即售出价和每天获得的利润．而每天获得的利润是随着售出价的改变而改变的，所以要找到二者的函数关系式，应把售出价设为自变量，把每天获得的利润看作是售出价的函数．这样，再根据已知条件，就可列出二者的函数关系式．解：设该商品的售出价定为x元／件时，每天可获得y 元的利润．即每件提价(x-20)(元)，每天销售量减少10(x-20)(件)，也就是每天销售量为[100-10(x-20)](件)，每件利润(x-18)(元)根据题意，得：y＝(x-18)[100-(x-20)×10]=-10x2+480x-5400=-10(x-24)2+360．(20≤x≤30)y是x的二次函数∵a=-10＜0，20≤24≤30∴当x=24时，y有最大值为360．答：每件售出价为24元时，才能使每天获得的利润最大，每天的最大利润是360元．例11 改革开放后，不少农村用上了自动喷灌设备，如图所示，设水管AB高出地面1.5米，在B处有一个自动旋转的喷水头，一瞬间，喷出的水流呈抛物线状，喷头B与水流最高点C的连线与水平面成45°角，水流的最高点C比喷头B高出2米，在所建的坐标系中，求水流的落地点F到A 点的距离是多少？分析：要求点F到A点的距离，也就是求A、F两点横坐标的差．又A点横坐标为0，所以只需求出F点横坐标．F 点在抛物线上是抛物线与x轴的交点，所以要根据已知条件，求出抛物线的解析式．解：过C点作CD⊥Ox于D，BE⊥CD于E，则有CE=BE ＝2，AB=DE=1.5，则B(0，1.5)，C(2，3.5)．∵C为抛物线的最高点，例12 如图，这是某空防部队进行射击训练时在平面直角坐标系中的示意图．地导弹运行达到距地面最大高度3千米时，相应的水平距离为4千米(即图中E点)．(1)若导弹运行轨道为一抛物线，求抛物线的解析式；(2)说明按(1)中轨道运行的导弹能否击中目标C的理由．分析：题中的实际条件转化成数学意义就是已知抛物线的顶点E，而且过点D求抛物线的解析式以及判断C是否在曲线上．解：(1)设抛物线的解析式为y=a(x-4)2+3(2)设C(x0，y0)，过C点作CB⊥Ox，垂足为B．在Rt△OBC 和Rt△ABC中，OA=1，例13 已知函数y1=-x2+b1x+c1与x轴相交于原点O(0，0)和点A(4，0)，若函数y2=-x2+b2x+c2，(b1≠b2)也经过点A，且y1与y2的顶点所在直线平行于x轴．(1)求两个函数的解析式．(2)当x为何值时，y1＜y2．分析：解答第(1)题的关键是求y2的解析式，由题意可知a1=a2=-1，因此可以判断两条抛物线的形状和开口方向都相同，再利用y1与y2的顶点所在直线平行于x轴，可判断出y1和y2在x轴上截得的线段长相等，从而求出y2与x轴另一个交点B(8，0)，由A，B点都是抛物线与x轴交点，可设解析式为y=a(x-x1)(x-x2)形式解：(1)∵y1=-x2+b1x+c1过点O(0，0)，A(4，0)∴0=0＋0＋c1 ∴c1=00=-16+4b1+0 ∴b1=4∴函数y1=-x2+4x∵a1=a2=-1∴两条抛物线的形状，开口方向相同．又∵y1与y2的顶点所在直线平行于x轴∴y1与y2的顶点纵坐标相等∵b1≠b2，y1与y2都经过A(4，0)点∴y2与x轴的另一个交点是点B(8，0)y2=-(x-4)(x-8)=-x2＋12x-32注：以上求y2的解析式是采用数、形结合的方法，进行推理得到的，此外，也可用计算方法求到b2和c2，然后写出y2的解析式，具体解法如下：∵y1的顶点是(2，4)y1与y2的顶点所在直线平行于x轴∴y1与y2的顶点纵坐标相等，y2又过点A(4，0)∵b1=4，而b1≠b2 ∴b′2=4(舍去)∴y2=-x2+12x-32解：(2)若要使y1＜y2只要使-x2+4x＜-x2+12x-32即可解不等式，得x＞4∴当x＞4时，y1＜y2例14 m是怎样的数值时，二次函数y＝(m-2)x2-4mx+2m-6的图象与x轴的负方向交于两个不同点．分析：二次函数的图象与x轴的负方向交于两个不同点的条件是二次项系数不为零，判别式大于零，两根之和小于零，两根之积大于0．(所谓两根是这个函数对应的一元二次方程的两根)解：设二次函数与x轴两交点的横坐标为x1，x2．要使它的图象与x轴两交点都在x轴的负方向上，应满足不等式组：解得1＜m＜2．答：当1＜m＜2时，二次函数y=(m-2)x2-4mx+2m-6的图象与x轴的负方向交于两个不同点．对二次函数式中的m不知代表什么，也无从下手求m．当抛物线与x轴相交时，y=0，两个交点的横标即为方程的两个根，两个根在原点的左方，列不出算式，不知道列出这种算式与“根与系数的关系”有关．总之有不少学生没有掌握二次函数与一元二次方程的内在联系而解题失败．发生错误的原因，不知道在一元二次函数式中的m其实质是参数．一元二次方程的根在直角坐标系x轴上的分布理论如何表达，许多学生不清楚．解不等式功底不深厚也会发生错误．纠正错误的办法，加强一元二次函数式的学习，m属于实数，任给m一个数值，就存在一条具体数值的抛物线，给出m的数值是无穷的，随着m值的不同也产生了不同的抛物线，可用“抛物线族”这个名词去表达本题的一元二次函数表达式所勾勒的抛物线是无穷无尽的．另外也要加强方程理论、根与系数关系、根的判别式的学习．例15 已知抛物线l：y=x2-(k-2)x+(k+1)2．(1)证明：不论k取何值，抛物线l的顶点总在抛物线y=3x2＋12x＋9上；(2)要使抛物线y=x2-(k-2)x＋(k＋1)2和x轴有两个不同的交点A，B，求k的取值范围；(3)当(2)中的A，B间距离取得最大值时，设这条抛物线顶点为C，求此时的k值和∠ACB的度数．分析：把l的顶点坐标用k的代数式表示分别代入y=3x2+12x+9的左、右后能使两边相等说明顶点在抛物线y=3x2+12x+9上．抛物线与x轴交点的情况就是相应一元二次方程有无实根的情况．AB间距离又可列出反的二次函数．解：∴左边=右边，所以不论k取何值，抛物线l的顶点总在抛物线y＝3x2+12x+9上．(2)欲使抛物线l与x轴有两个交点，则△＞0，即△=[-(k-2)]2-4(k+1)2=-3k2-12k＞0，解之，-4＜k＜0．(3)当-4＜k＜0时，抛物线l与x轴有两个不同的交点A，B，设A(x1，0)，B(x2，0)，且x1＞x2，x1＋x2＝k-2，x1x2＝(k＋1)2，说明：不明白“不论k取何值，抛物线l的顶点总在抛物线y=3x2+12x+9”上这句话的意思，实质上就是方程与曲线的关系，点在曲线上，即点的坐标满足曲线的方程；将抛物线顶点坐标的表达式代入抛物线函数式左右相等，即达到(1)提问；不知道抛物线与x轴相交，是△＞0，无法运算而失败；不知道用“根与系数的关系”以及截距公式，不会巧用“根与系数的关系”，求不出最大值，因而求不出y=ax2＋bx＋c(a≠0)的a，b，c，使该题后面的提问无法进行；在x轴与抛物线顶点所构造出的三角形中，求边长时没有绝对值的概念、正切函数值不熟悉而求不出∠ACB=60°．发生错误的原因，本题是综合题，而且是中考的考题，要顺利而正确地回答出本题所有答案，从初一至初三所学的数学知识应该牢固掌握，第一问求出抛物线顶点坐标表达式，将表达式代入(1)的函数式，若相等，即满足了函数式的要求，按初中阶段属于验根的手段，按高中就是曲线与方程的关系了．这个不难的问题为什么学生束手无策呢？只是用文字表示了顶点坐标，很抽象，不易理解．本题的难度之一是出现了“k”，这个“k”其本质起到了参数作用．有些精品文档。
专题 代数推理之二次函数
专题 代数推理之二次函数【专题解读】本专题是以含参二次函数为主线，考查二次函数的图像与性质，与一元二次方程、一元二次不等式的关系，用待定系数法求二次函数表达式等基本知识点，着重呈现了反映二次函数的解析性质和二次函数与几何图形相结合的问题，深度剖析了参数在试题中的作用，从解析性质和图形特征两个视角分析了确定参数的思路，其中用代数式表达线段，结合图形性质确定参数的值是不变的思考，转化、分类、数形结合仍是最主要的数学思想方法．【思维索引】例1．如图是二次函数（，，是常数，）图象的一部分，与轴的交点在点和之间，对称轴是．对于下列说法：①；②；③；④（为实数）；⑤当时，，其中正确的是（ ）A ．①②④B ．①②⑤C ．②③④ D ．③④⑤例2．已知二次函数的图象是，求关于成中心对称的的函数表达式．例3．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，与轴交于，两点（点在点左侧），与轴负半轴交于点．在上述条件下，连接并延长交轴于，若，求二次函数的表达式．例4．已知抛物线．（1）证明：该抛物线与轴总有两个不同的交点；（2）设该抛物线与轴的两个交点分别为，（点在点的右侧），与轴交于点，，，三点都在上．①试判断：不论取任何正数，是否经过轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由；②若点关于直线的对称点为点，点，连接，，，的周长记为，的半径记为，求的值．2y ax bx c =++a b c 0a ≠x A ()2,0()3,01x =0ab <20a b +=30a c +>()a b m am b +≥+m 13x -<<0y>2441y ax ax a =++-1c 1c ()1,0P 2c xOy ()2220y mx mx m m =-+-≠A x B C B C y D AD x E :4:5AD DE =()2240y x mx m m =+-->x x A BA B y C A B C P e m P e y C 2mx =-E ()0,1D BE BD DE BDE △l P e r 1r【素养提升】1．若二次函数的图象经过点，则关于的方程的实数根为（ ） A ．， B ．， C ．，D ．，2．如图是二次函数的图象，则下列结论错误的是 （ ） A ．它的图象与轴有两个交点 B ．方程的两根之积为 C ．它的图象的对称轴在轴的右侧D ．时，随的增大而减小3．已知二次函数开口向上，对称轴是平行于轴且经过点的直线，与轴的一个交点是，则不等式的解为( ) A ． B ． C ．且 D ．或 4．二次函数的图象如图所示，若一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数的最小值为 ( )A ．B ．C ．D ．2（第2题图） （第4题图）5．二次函数的顶点为，其图象与轴有两个交点，，交轴于点，以下说法：①；②当时，；③当时，抛物线上存在点（与不重合），使得是顶角为的等腰三角形；④抛物线上存在点，当为直角三角形时，有．正确的是 （ ） A ．①② B ．③④ C ．①②③D ．①②③④6．若二次函数的图象的顶点在第一象限，则的取值范围是__ ____． 7．若点P 坐标为，点P 随着m 的变化在某一个函数图象上运动，则该函数的表达式为___ _．8．当取任意实数时，抛物线都经过一个定点，则该点的坐标为______．9．已知二次函数的图象与轴于A 、B 两点，与轴交于点C ，并且△ABC 的面积为2，则m 的值为______．10．已知点为坐标原点，抛物线的顶点为，与轴的两个交点为，，其中点在点的右侧，若为等腰直角三角形，则的值为______． 11．如图，以为圆心的交轴于、两点（其中在的左侧），交轴于、两点，且 （1）求、两点的坐标；（2）已知为轴负半轴上一动点，为上一动点，当与相切时，若恰好为等腰直角三角形，试求过点、、三点的抛物线的函数表达式．21y ax =+()2,0-x ()2210a x -+=10x =24x =12x =-26x =132x =252x =14x =-20x =223y x mx =--x 223x mx -=3-y x m <y x 2y ax bx c =++y ()2,0x ()5,020ax bx c ++>15x -<<5x >1x <-5x >1x <-5x >2y ax bx =+20ax bx m ++=m 3-2-1-()20y ax bx c a =++>p x (),0A m -()1,0B y ()0,36C am a -+3m =120APB ∠=︒6a =120APB ∠=︒M M P ABM △120︒N ABN △12a ≥()()21y x m m =-+-m 212,44m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭p 2241y x px p =-++()()2121y m x m x =-+--x y O 2222y x mx m =-+-+P x A B B A OPB △m ()1,0M -M e x A B A B y C D CD =A B P y Q M e PQ M e MPQ △A O Q 2y ax bx c =++12．如图，以原点为圆心、3为半径的圆与轴分别交于、两点（点在点的右边），是半径上一点，过且垂直于的直线与分别交于、两点（点在点的上方），直线、交于点，若． （1）求点的坐标；（2）求过点和点，且顶点在直线上的抛物线的函数表达式．13．已知：如图，一次函数的图像经过点，与轴交于点．点在线段上，且．过点作轴的垂线，垂足为点．若． （1）求这个一次函数的表达式；（2）已知以开口向下、以直线为对称轴的抛物线经过点，它的顶点为．若过点且垂直于的直线与轴的交点为，求这条抛物线的函数表达式．14．正方形，，，，，抛物线（为常数），顶点为． （1）抛物线经过定点坐标是__ ____，顶点的坐标（用的代数式表示）是___ ___；（2）若抛物线（为常数）与正方形的边有交点，求的取值范围；（3）若时，求的值．15．如图，抛物线的顶点为，与轴的正半轴交于点．（1）将抛物线上的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍，求变换后得到的抛物线的解析式；（2）将抛物线上的点变为，变换后得到的抛物线记作，抛物线的顶点为，点在抛物线上，满足，且．①当时，求的值；②当时，请你直接写出的值，不必说明理由．O x A B B A P OB P AB O e C D C D AC DB E :1:2AC CE =P A ECD 1y kx =-()()0A m m >y B C AB 2BC AC =C x D AC CD =CD A P P APx Q ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ABCD ()0,4A -()1,4B -()1,5C -()0,5D -224y x mx m =+--m M M m 224y x mx m =+--m ABCD m 45ABM ∠=︒m 21:C y =+A x B 1C 1C (),x y ()(),1kx ky k >2C 2C C P 2C PAC ABC S S =△△90ACP ∠=︒1k >k 1k <-k。
2018北京二次函数代数综合题例讲(解析版)
二次函数的图象和性质重点落实什么能力？2019北京中考26题重点题型------------ 必须会!!!!!!例1 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2443(0)y ax ax a a =-+-≠的顶点为A ．（1）求顶点A 的坐标；（2）过点(0,5)且平行于x 轴的直线l ，与抛物线2443(0)y ax ax a a =-+-≠交于B ，C 两点．①当2a =时，求线段BC 的长；②当线段BC 的长不小于6时，直接写出a 的取值范围．代数变形能力：2443(0)y ax ax a a =-+-≠通过配方转化为2(2)(0)3y a x a =-≠- 几何作图能力：考点： 二次函数的性质 分析：（1）配方得到y=ax2-4ax+4a-3=a （x-2）2-3，于是得到结论；（2）①当a=2时，抛物线为y=2x2-8x+5，如图．令y=5得到2x2-8x+5=5，解方程即可得到结论；②令y=5得到ax2-4ax+4a-3=5，解方程即可得到结论． 解答：(1)∵y =ax 2−4ax +4a −3=a (x −2)2−3， ∴顶点A 的坐标为(2,−3)；(2)①当a =2时,抛物线为y =2x 2−8x +5，如图。
令y =5，得 2x 2−8x +5=5，解得,x 1=0,x 2=4， ∴a2a4线段BC 的长为4， ②令y =5,得ax 2−4ax +4a −3=5， 解得,x 1=a a a 222 ,x 2=aaa 22-2∴线段BC 的长为a2a4 ∵线段BC 的长不小于6，∴a2a4≥6，∴0<a ≤8/9. 例2 已知：二次函数1422-++=m x x y ，与x 轴的公共点为A ，B .（1）如果A 与B 重合，求m 的值； （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点； ①当1=m 时，求线段AB 上整点的个数； ②若设抛物线在点A ，B 之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）整点的个数为n ，当1<<8n 时，结合函数的图象，求m 的取值范围.代数变形能力：1422-++=m x x y 通过配方转化为22(1)3y x m =++-*考点：抛物线与x 轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征 分析：（1）当A 、B 重合时，抛物线与x 轴只有一个交点，此时△=0，从可求出m 的值． （2）①m=1代入抛物线解析式，然后求出该抛物线与x 轴的两个交点的坐标，从而可求出线段AB 上的整点；②根据二次函数表达式可以用带m 表达出两根之差，根据1<两根之差<8，即可解题． 解答：(1)∵A 与B 重合，∴二次函数y =2x 2+4x +m −1的图象与x 轴只有一个公共点， ∴方程2x 2+4x +m −1=0有两个相等的实数根， ∴△=42−4×2(m −1)=24−8m =0， 解得：m =3.∴如果A 与B 重合，m 的值为3.(2)①当m =1时,原二次函数为y =2x 2+4x +m −1=2x 2+4x ， 令y =2x 2+4x =0,则x 1=0,x 2=−2， ∴线段AB 上的整点有(−2,0)、(−1,0)和(0,0). 故当m =1时，线段AB 上整点的个数有3个。
中考数学：二次函数的推理计算与证明综合问题真题+模拟(原卷版北京专用)
中考数学二次函数的推理计算与证明综合问题【方法归纳】据北京历年中考题型来推测，二次函数的压轴题目多数会以参数的形式出现的，难度之大，可想而知。
在解决含参数二次函数的题目时，通常先观察解析式，看能否求出对称轴，图像与坐标轴交点能否用参数来表示？根据设出点的坐标可求出相应的线段，然后观察题意，再考虑我们所学过的知识点（勾股，相似等）能否用上.常用的二次函数的基础知识有：1．几种特殊的二次函数的图象特征如下：2．用待定系数法求二次函数的解析式：(1)一般式：（a≠0）．已知图象上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式．(2)顶点式：（a≠0）．已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式． (可以看成的图象平移后所对应的函数．)(3)交点式：已知图象与x 轴的交点坐标x 1、x 2，通常选用交点式：（a≠0）．(由此得根与系数的关系：,)． 3. 二次函数图象和一元二次方程的关系：【典例剖析】【例1】（2021·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，点(1,m )和点(3,n )在抛物线y=2y ax bx c =++()2y a x h k =-+2y ax =()()12y a x x x x =--12b x x a +=-12c x x a⋅=ax2+bx(a>0)上．（1）若m=3,n=15，求该抛物线的对称轴；（2）已知点(−1,y1),(2,y2),(4,y3)在该抛物线上．若mn<0，比较y1,y2,y3的大小，并说明理由．【例2】（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，点(1,m),(3,n)在抛物线y=ax2+ bx+c(a>0)上，设抛物线的对称轴为x=t.(1)当c=2,m=n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；(2)点(x0,m)(x0≠1)在抛物线上，若m<n<c,求t的取值范围及x0的取值范围．【真题再现】1．（2013·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-2mx-2(m≠0)）与轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．（1）求点A，B的坐标；（2）设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的解析式；（3）若该抛物线在-2<x<-1这一段位于直线l的上方，并且在2<x<3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式．2．（2014·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0，−2），B（3，4）．（1）求抛物线的表达式及对称轴；（2）设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）CD与图象G有公共点，结合函数图像，求点D纵坐标t的取值范围．3．（2015·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，过点（0，2）且平行于x轴的直线，与直线y＝x－1交于点A，点A关于直线x＝1的对称点为B，抛物线C1：y＝x2＋bx＋c经过点A，B．（1）求点A，B的坐标；（2）求抛物线C1的表达式及顶点坐标；（3）若拋物线C2：y＝ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围.4．（2016·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2－2mx＋m－1（m＞0）与x轴的交点为A，B．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．①当m=1时，求线段AB上整点的个数；②若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m的取值范围．5．（2017·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2-4x+3与x轴交于点A 、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求直线BC的表达式；（2）垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P(x1,y1),Q(x2,y2)，与直线BC交于点N(x3,y3)，若x1<x2<x3，结合函数的图象，求x1+x2+x3的取值范围.6．（2018·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A，B，抛物线y=ax2+bx−3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C．（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．7．（2019·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx−1a与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点P(12,−1a)，Q(2,2)．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．8．（2020·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，M(x1,y1),N(x2,y2)为抛物线y=ax2+ bx+c(a>0)上任意两点，其中x1<x2．（1）若抛物线的对称轴为x=1，当x1,x2为何值时，y1=y2=c;（2）设抛物线的对称轴为x=t．若对于x1+x2>3，都有y1<y2，求t的取值范围．【模拟精练】一、解答题(共30题)1．（2022·北京市广渠门中学模拟预测）已知抛物线y=ax2+2ax+3a2−4(a≠0)(1)该抛物线的对称轴为_____________；(2)若该抛物线的顶点在x轴上，求a的值；(3)设点M(m,y1),N(2,y2)该抛物线上，若y1>y2，求m的取值范围．2．（2022·北京·二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2−2mx．(1)当抛物线过点（2，0）时，求抛物线的表达式；(2)求这个二次函数的顶点坐标（用含m的式子表示）；(3)若抛物线上存在两点A(m−1,y1)和B(m+2,y2)，其中m>0．当y1⋅y2>0时，求m的取值范围．3．（2022·北京昌平·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx−1(a>0)．(1)若抛物线过点(4,−1)．①求抛物线的对称轴；②当−1<x<0时，图像在x轴的下方，当5<x<6时，图像在x轴的上方，在平面直角坐标系中画出符合条件的图像，求出这个抛物线的表达式；(2)若(−4,y1)，(−2,y2)，(1,y3)为抛物线上的三点且y3>y1>y2，设抛物线的对称轴为直线x=t，直接写出t的取值范围．4．（2022·北京房山·二模）在平面直角坐标系xOy中，点A(2,−1)在二次函数y=x2−(2m+ 1)x+m的图象上．(1)直接写出这个二次函数的解析式；(2)当n≤x≤1时，函数值的取值范围是−1≤y≤4−n，求n的值；(3)将此二次函数图象平移，使平移后的图象经过原点O．设平移后的图象对应的函数表达式为y=a(x−ℎ)2+k，当x<2时，y随x的增大而减小，求k的取值范围．5．（2022·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2+(a+2)x+2a．(1)求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；(2)若点（－1，y1），（a，y2），（1，y3）在抛物线上，且y1<y2<y3，求a的取值范围．6．（2022·北京东城·二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+1(a≠0)的对称轴是直线x=3．(1)直接写出抛物线与y轴的交点坐标；(2)求抛物线的顶点坐标（用含a的式子表示）；(3)若抛物线与x轴相交于A,B两点，且AB≤4，求a的取值范围．7．（2022·北京平谷·二模）在平面直角坐标系xOy中，点(−1,y1)、(1,y2)、(3,y3)是抛物线y=x2+bx+1上三个点．(1)直接写出抛物线与y轴的交点坐标；(2)当y1=y3时，求b的值；(3)当y3>y1>1>y2时，求b的取值范围．8．（2022·北京四中模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2−2tx+t2−t．(1)求抛物线的顶点坐标（用含t的代数式表示）；(2)点P(x1,y1),Q(x2,y2)在抛物线上，其中t−1≤x1≤t+2,x2=1−t．①若y1的最小值是−2，求y1的最大值；②若对于x1,x2，都有y1<y2，直接写出t的取值范围．9．（2022·北京丰台·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2−2ax−3．(1)求该抛物线的对称轴（用含a的式子表示）(2)A(x1，y1)，B(x2，y2)为该抛物线上的两点，若x1=1−2a，x2=a+1，且y1>y2，求a的取值范围．10．（2022·北京密云·二模）已知二次函数y=ax2+bx+2的图象经过点(1,2)．(1)用含a的代数式表示b；(2)若该函数的图象与x轴的一个交点为(−1,0)，求二次函数的解析式；(3)当a<0时，该函数图象上的任意两点P(x1,y1)、Q(x2,y2)，若满足x1=−2，y1>y2，求x2的取值范围．11．（2022·北京大兴·二模）关于x的二次函数y1=x2+mx的图象过点(−2,0)．(1)求二次函数y1=x2+mx的表达式；(2)已知关于x的二次函数y2=−x2+2x，一次函数y3=kx+b(k≠0)，在实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y1≥y3≥y2均成立．①求b的值；②直接写出k的值．12．（2022·北京顺义·xOy中，已知抛物线y=x2+mx+n．(1)当m=−3时，①求抛物线的对称轴；②若点A(1,y1)，B(x2,y2)都在抛物线上，且y2<y1，求x2的取值范围；(2)已知点P(−1,1)，将点P向右平移3个单位长度，得到点Q．当n=2时，若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求m的取值范围．13．（2022·北京市十一学校模拟预测）已知二次函数y=ax2−4ax−3的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为D．(1)直接写出函数图象的对称轴：_____；(2)若△ABD是等腰直角三角形，求a的值；(3)当−1≤x≤k(2≤k≤6)时，y的最大值m减去y的最小值n的结果不大于3，求a的取值范围．14．（2022·北京房山·二模）已知二次函数y=ax2−4ax．(1)二次函数图象的对称轴是直线x=__________；(2)当0≤x≤5时，y的最大值与最小值的差为9，求该二次函数的表达式；(3)若a<0，对于二次函数图象上的两点P(x1,y1),Q(x2,y2)，当t−1≤x1≤t+1,x2≥5时，均满足y1≥y2，请结合函数图象，直接写出t的取值范围．15．（2022·北京海淀·二模）在平面直角坐标系xOy中，点（m – 2, y1），（m, y2），（2- m, y3）在抛物线y = x2－2ax + 1上，其中m≠1且m≠2．(1)直接写出该抛物线的对称轴的表达式（用含a的式子表示）；(2)当m = 0时，若y1= y3，比较y1与y2的大小关系，并说明理由；(3)若存在大于1的实数m，使y1＞y2＞y3，求a的取值范围．16．（2022·北京西城·二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c经过点(0,−2)，(2,−2)．(1)直接写出c的值和此抛物线的对称轴；(2)若此抛物线与直线y=−6没有公共点，求a的取值范围；(3)点(t,y1)，(t+1,y2)在此抛物线上，且当−2≤t≤4时，都有|y2−y1|<7．直接写出a2的取值范围．17．（2022·北京东城·一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2−2mx+m2+1与y 轴交于点A．点B(x1,y1)是抛物线上的任意一点，且不与点A重合，直线y=kx+b(k≠0)经过A，B两点．(1)求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；(2)若点C(m−2,a)，D(m+2,b)在抛物线上，则a_______b（用“<”，“=”或“>”填空）；(3)若对于x1<−3时，总有k<0，求m的取值范围．18．（2022·北京市十一学校二模）在平面直角坐标系xOy中，点A（t，2）（t≠0）在二次函数y=ax2+bx+2(a≠0)的图象上．(1)当t=4时，求抛物线对称轴的表达式；(2)若点B(5−t,0)也在这个二次函数的图象上．①当这个函数的最小值为0时，求t的值；②若在0≤x≤1时，y随x的增大而增大，求t的取值范围．19．（2022·北京石景山·一模）在平面直角坐标xOy中，点(4,2)在抛物线y=ax2+bx+2(a>0)上．(1)求抛物线的对称轴；(2)抛物线上两点P(x1,y1)，Q(x2,y2)，且t<x1<t+1，4−t<x2<5−t．①当t=3时，比较y1，y2的大小关系，并说明理由；2②若对于x1，x2，都有y1≠y2，直接写出t的取值范围．20．（2022·北京大兴·一模）在平面直角坐标系xOy中，已知关于x的二次函数y=x2−2ax+ 6．(1)若此二次函数图象的对称轴为x=1．①求此二次函数的解析式；②当x≠1时，函数值y______5（填“>”，“<”，或“≥”或“≤”）；(2)若a<−2，当−2≤x≤2时，函数值都大于a，求a的取值范围．21．（2022·北京·东直门中学模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2−(a+ 4)x+3经过点(2,m)．(1)若m=−3，①求此抛物线的对称轴；②当1<x<5时，直接写出y的取值范围；(2)已知点(x1,y1)，(x2,y2)在此抛物线上，其中x1<x2．若m>0，且5x1+5x2≥14，比较y1，y2的大小，并说明理由．22．（2022·北京市燕山教研中心一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3a(a≠0)与x轴的交点为点A(1,0)和点B．(1)用含a的式子表示b；(2)求抛物线的对称轴和点B的坐标；(3)分别过点P(t,0)和点Q(t+2,0)作x轴的垂线，交抛物线于点M和点N，记抛物线在M，N之间的部分为图象G（包括M，N两点）．记图形G上任意一点的纵坐标的最大值是m，最小值为n．①当a=1时，求m−n的最小值；②若存在实数t，使得m−n=1，直接写出a的取值范围．23．（2022·北京平谷·一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2bx．(1)当抛物线过点（2，0）时，求抛物线的表达式；(2)求这个二次函数的对称轴（用含b的式子表示）；(3)若抛物线上存在两点A（b﹣1，y1）和B（b+2，y2），当y1•y2＜0时，求b的取值范围．24．（2022·北京门头沟·一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=−x2+2mx−m2+ m−2（m是常数）．(1)求该抛物线的顶点坐标（用含m代数式表示）；(2)如果该抛物线上有且只有两个点到直线y=1的距离为1，直接写出m的取值范围；(3)如果点A(a,y1)，B(a+2,y2)都在该抛物线上，当它的顶点在第四象限运动时，总有y1>y2，求a的取值范围．25．（2022·北京房山·一模）已知二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（1，0）与点C（0，-3），其顶点为P．(1)求二次函数的解析式及P点坐标；(2)当m≤x≤m+1时，y的取值范围是-4≤y≤2m，求m的值．26．（2022·北京朝阳·一模）在平面直角坐标系xOy中，点(−2,0),(−1,y1),(1,y2),(2,y3)在抛物线y=x2+bx+c上．(1)若y1=y2，求y3的值；(2)若y2<y1<y3，求y3值的取值范围．27．（2022·北京市第一六一中学分校一模）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝﹣2x+6与y轴交于点A，与x轴交于点B，二次函数的图象过A，B两点，且与x轴的另一交点为点C，BC＝2；(1)求点C的坐标；(2)对于该二次函数图象上的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2＞2时，总有y1＞y2．①求二次函数的表达式；②设点A在抛物线上的对称点为点D，记抛物线在C，D之间的部分为图象G（包含C，D 两点）．若一次函数y＝kx﹣2（k≠0）的图象与图象G有公共点，结合函数图象，求k的取值范围．28．（2022·北京顺义·一模）在平面直角坐标系xOy中，点(2,−2)在抛物线y=ax2+bx−2(a<0)上．(1)求该抛物线的对称轴；(2)已知点(n−2,y1)，(n−1,y2)，(n+1,y3)在抛物线y=ax2+bx−2(a<0)上．若0<n< 1，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．29．（2022·北京海淀·一模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2−2ax(a≠0)的图象经过点A(−1,3)．(1)求该二次函数的解析式以及图象顶点的坐标；(2)一次函数y=2x+b的图象经过点A，点(m,y1)在一次函数y=2x+b的图象上，点(m+4,y2)在二次函数y=ax2−2ax的图象上．若y1>y2，求m的取值范围．30．（2022·北京市第七中学一模）在平面直角坐标系xOy中，点A(x1,y1)，B(x2,y2)在抛物线y=−x2+(2a−2)x−a2+2a上，其中x1<x2．(1)求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；(2)①当x=a时，求y的值；②若y1=y2=0，求x1的值（用含a；(3)若对于x1+x2<−5，都有y1<y2，求a的取值范围．。
2023中考数学重难点练习 专题03 二次函数含参解析式问题(学生版+解析版)
专题03二次函数含参解析式问题一、E知识回顾】(1）二次函数的一般形式：丘且主且正怡，b,c是常数，a手。
）注：未知数的最高次数是2,a,;c:0,b, c是任意实数。
(2）二次函数的国i象与性质二次函数y=ax2+b x+c(a,b, c为常数，a学0)图象开口方向对称输顶点坐标增减。
｜全故值y＼ ：／x(a>O)开口向七b直线x＝－一2a（」4a c一2a’4a当x<-2a时，y随x的增大而减尘：当x＞一丢.：a时，y｜施x的瞅而增大2ba’＿：4ac-b2当x＝一' y有最尘直4a(3）二次函数阁像与系数的关系Y,队。
＼x(a<O)开口向下b直线x＝－一2a(-!. 4a c-b引2a’4ab当x<-2a时，y随x的增大而盟主：b当x>-2a时，d罐x的增大而温尘当x＝一一时，y有最本值4a…c-b22a 4a某1比特别t形式代数式的决定抛物线的当a>O时，抛物线开口向上；a开口方向及开口大小当a<O时，抛物线开口向下．符号．a±b+c即为x=+l时一，y 当a,b问号，二＜O，对称轴在泱定对称轴的值：②4a±2b+c1111为x=±2时，y的值a、y轴左边：(x＝一一〉的位2a2a吨的符号，需判置当时时，斗o，对称轴为y b对称轴τ..；；与1tt飞！大小．轴：b当a,b异号，τ.；aγ＞O，对称输布，y轴�边．当c>O时，抛物线与y轴的交点决定抛物线与在夜半轴上．c y轴的交点的当c=O时，抛物线经过原点：位置当c<O时，抛物线与y轴的交点在1这半轴上．b2-4ac>O时，抛物线与且铀有2个交点；决定抛物线与b2-4ac=O时，抛物线与x轴有l b2-4ac x轴的交点个个交点；数b2-4a c<O时，抛物线与x轴i立主交点(4）利用二次函数的对称轴判断函数值大小关系〈福建常考i在择题10)方法技巧g 若对称粉1在直线x=l的b左边，贝tl2a>l，再根据a的符号即可得出络果．④2a-b的符号，需步I]断对称轴与－1的大小．①已知点A Ca. b）为二次函数图像上一点，对称轴已失U x=c，则A点对称点B(2c-a b)②己知点A(a, c）、B( b, c）为二次函数图像上一点，则根据网点纵坐标相等，可知A、B为对称点，那么对称轴x干③不等式解读：la-cl斗b-c卜a到对称轴c的距离＞b到对称输的距离l a-cJ=lb-cj a到对称轴c的距离＝b到对称轴的距离la-cl斗b-c卜a到对称轴c的距离＜b到对称铀的距离二、E考点类型】考点1：二次函数函数图像与系数的关系典例1:( 2022福建商｜到校考一模〉二次函数y=a).-2＋你＋c（α，b, c是常数，但0）的图象如阁所示，对称轴为直线x=-1.有以下结论：①abc>O；①a(/!+2) 2+b （仇2)<a (k2+1) 2+b （的1)(k为实数〉：①m (am+b) �，。
专题：二次函数与代数综合题(解析版)
专题:二次函数与代数综合题【典例1】（2019•自贡）如图，已知直线AB与抛物线C：y＝ax2+2x+c相交于点A（﹣1，0）和点B（2，3）两点．（1）求抛物线C函数表达式；（2）若点M是位于直线AB上方抛物线上的一动点，以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB的面积最大时，求此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标；（3）在抛物线C的对称轴上是否存在定点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y=17 4的距离？若存在，求出定点F的坐标；若不存在，请说明理由．【点拨】（1）利用待定系数法，将A，B的坐标代入y＝ax2+2x+c即可求得二次函数的解析式；（2）过点M作MH⊥x轴于H，交直线AB于K，求出直线AB的解析式，设点M（a，﹣a2+2a+3），则K（a，a+1），利用函数思想求出MK的最大值，再求出△AMB面积的最大值，可推出此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标；（3）如图2，分别过点B，C作直线y＝的垂线，垂足为N，H，设抛物线对称轴上存在点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y＝的距离，其中F（1，a），连接BF，CF，则可根据BF＝BN，CF＝CN两组等量关系列出关于a的方程组，解方程组即可．【解答】解：（1）由题意把点（﹣1，0）、（2，3）代入y＝ax2+2x+c，得，，解得a＝﹣1，c＝3，∴此抛物线C函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）如图1，过点M作MH⊥x轴于H，交直线AB于K，将点（﹣1，0）、（2，3）代入y＝kx+b中，得，，解得，k＝1，b＝1，∴y AB＝x+1，设点M（a，﹣a2+2a+3），则K（a，a+1），则MK＝﹣a2+2a+3﹣（a+1）＝﹣（a﹣）2+，根据二次函数的性质可知，当a＝时，MK有最大长度，∴S△AMB最大＝S△AMK+S△BMK＝MK•AH+MK•（x B﹣x H）＝MK•（x B﹣x A）＝××3＝，∴以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB的面积最大时，S最大＝2S△AMB最大＝2×＝，M（，）；（3）存在点F，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴对称轴为直线x＝1，当y＝0时，x1＝﹣1，x2＝3，∴抛物线与点x轴正半轴交于点C（3，0），如图2，分别过点B，C作直线y＝的垂线，垂足为N，H，抛物线对称轴上存在点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y＝的距离，设F（1，a），连接BF，CF，则BF＝BN＝﹣3＝，CF＝CH＝，由题意可列：，解得，a＝，∴F（1，）．【点睛】此题考查了待定系数法求解析式，还考查了用函数思想求极值等，解题关键是能够判断出当平行四边形MANB的面积最大时，△ABM的面积最大，且此时线段MK的长度也最大．【精练1】（2019•贵阳）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线x＝1对称，点A的坐标为（﹣1，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）连接BC，若点P在y轴上时，BP和BC的夹角为15°，求线段CP的长度；（3）当a≤x≤a+1时，二次函数y＝x2+bx+c的最小值为2a，求a的值．【点拨】（1）先根据题意得出点B 的坐标，再利用待定系数法求解可得；（2）分点P 在点C 上方和下方两种情况，先求出∠OBP 的度数，再利用三角函数求出OP 的长，从而得出答案；（3）分对称轴x ＝1在a 到a +1范围的右侧、中间和左侧三种情况，结合二次函数的性质求解可得． 【解答】解：（1）∵点A （﹣1，0）与点B 关于直线x ＝1对称， ∴点B 的坐标为（3，0）， 代入y ＝x 2+bx +c ，得： {1−b +c =09+3b +c =0， 解得{b =−2c =−3，所以二次函数的表达式为y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）如图所示：由抛物线解析式知C （0，﹣3）， 则OB ＝OC ＝3， ∴∠OBC ＝45°，若点P在点C上方，则∠OBP＝∠OBC﹣∠PBC＝30°，∴OP＝OB tan∠OBP＝3×√33=√3，∴CP＝3−√3；若点P在点C下方，则∠OBP′＝∠OBC+∠P′BC＝60°，∴OP′＝OB tan∠OBP′＝3×√3=3√3，∴CP＝3√3−3；综上，CP的长为3−√3或3√3−3；（3）若a+1＜1，即a＜0，则函数的最小值为（a+1）2﹣2（a+1）﹣3＝2a，解得a＝1−√5（正值舍去）；若a＜1＜a+1，即0＜a＜1，则函数的最小值为1﹣2﹣3＝2a，解得：a＝﹣2（舍去）；若a＞1，则函数的最小值为a2﹣2a﹣3＝2a，解得a＝2+√7（负值舍去）；综上，a的值为1−√5或2+√7．【点睛】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、三角函数的运用、二次函数的图象与性质及分类讨论思想的运用．【精练2】（2019•长春）已知函数y={−x2+nx+n，(x≥n)，−12x2+n2x+n2，(x＜n)（n为常数）（1）当n＝5，①点P（4，b）在此函数图象上，求b的值；②求此函数的最大值．（2）已知线段AB的两个端点坐标分别为A（2，2）、B（4，2），当此函数的图象与线段AB只有一个交点时，直接写出n的取值范围．（3）当此函数图象上有4个点到x轴的距离等于4，求n的取值范围．【点拨】（1）①将P （4，b ）代入y =−12x 2+52x +52；②当x ≥5时，当x ＝5时有最大值为5；当x ＜5时，当x =52时有最大值为458；故函数的最大值为458；（2）将点（4，2）代入y ＝﹣x 2+nx +n 中，得到n =185，所以185＜n ＜4时，图象与线段AB 只有一个交点；将点（2，2）代入y ＝﹣x 2+nx +n 和y =−12x 2+n2x +n2中，得到n ＝2，n =83，所以2≤n ＜83时图象与线段AB 只有一个交点；（3）利用数形结合的思想，分别画出图象解决问题即可：n ＞0时，n ＞n2，①如图1中，当点A 的纵坐标为4时，构建方程解决问题即可．②如图2中，观察图象可知，当n ≥8时，恰好有四个点满足条件，分别是图中A ，B ，C ，D ． ③如图3中，当点A 的纵坐标为4时，恰好有四个点满足条件，分别是图中A ，B ，C ，D ．构建方程即可解决问题．④如图4中，当n ≤﹣8时，观察图象可知，恰好有四个点满足条件，分别是图中A ，B ，C ，D ． 【解答】解：（1）当n ＝5时， y ={−x 2+5x +5(x ≥5)−12x 2+52x +52(x ＜5)， ①将P （4，b ）代入y =−12x 2+52x +52， ∴b =92；②当x ≥5时，当x ＝5时有最大值为5； 当x ＜5时，当x =52时有最大值为458；∴函数的最大值为458；（2）将点（4，2）代入y ＝﹣x 2+nx +n 中， ∴n =185， ∴185＜n ＜4时，图象与线段AB 只有一个交点；将点（2，2）代入y ＝﹣x 2+nx +n 中， ∴n ＝2，将点（2，2）代入y =−12x 2+n 2x +n 2中， ∴n =83，∴2≤n ＜83时图象与线段AB 只有一个交点； 综上所述：185＜n ＜4，2≤n ＜83时，图象与线段AB 只有一个交点；（3）n ＞0时，n ＞n2，函数图象如图实线所示． ①如图1中，当点A 的纵坐标为4时，则有−n 28+n 24+n 2=n 28+n2=4时，解得n ＝4或n ＝﹣8（舍去）， 观察图象可知：n ＝4时，满足条件的点恰好有四个，分别是A ，B ，C ，D ．②如图2中，观察图象可知，当n ≥8时，恰好有四个点满足条件，分别是图中A ，B ，C ，D ．n＜0时，n＜n2，函数图象如图中实线．③如图3中，当点A的纵坐标为4时，恰好有四个点满足条件，分别是图中A，B，C，D．则有：−n24+n22+n＝4时，解得n＝﹣2﹣2√5或n＝﹣2+2√5（舍弃）④如图4中，当n≤﹣8时，观察图象可知，恰好有四个点满足条件，分别是图中A，B，C，D．综上所述，函数图象上有4个点到x轴的距离等于4时，n≤﹣8或n＝﹣2﹣2√5或n＝4或n≥8．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查二次函数的图象及性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会正确画出函数图象，利用图象法解决问题，属于中考压轴题．【精练3】（2019•绥化）已知抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴为直线x=12，交x轴于点A、B，交y轴于点C，且点A坐标为A（﹣2，0）．直线y＝﹣mx﹣n（m＞0）与抛物线交于点P、Q（点P在点Q的右边），交y轴于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）若n＝﹣5，且△CPQ的面积为3，求m的值；（3）当m≠1时，若n＝﹣3m，直线AQ交y轴于点K．设△PQK的面积为S，求S与m之间的函数解析式．【点拨】（1）将点A（﹣2，0）代入解析式，对称轴为x=−b2a=12，联立即可求a与b的值；（2）设点Q横坐标x1，点P的横坐标x2，则有x1＜x2，联立y＝﹣mx+5，y=−12x2+12x+3根据韦达定理可得x1+x2＝2m+1，x1x2＝4，由面积之间的关系：S△CPQ＝S△CHP﹣S△CHQ，可求m的值；（3）当n＝﹣3m时，PQ解析式为y＝﹣mx+3m，联立有：﹣mx+3m=−12x2+12x+3，解得x＝3或x＝2m﹣2；由条件可得P（3，0），Q（2m﹣2，﹣2m2+5m），K（0，5﹣2m），所以有HK＝|5m﹣5|＝5|m﹣1|；①当0＜m＜1时，HK＝5﹣5m，S△PQK＝S△PHK+S△QHK=12×HK（x P﹣x Q）=12×（5﹣5m）（5﹣2m）＝5m2−352m+252，②当1＜m＜52时，HK＝5m﹣5，S△PQK＝﹣5m2+352m−252，③当2m﹣2＞3时，如图③，有m＞52，S△PQK=12×KQ|y P|=32（2m2﹣5m）＝3m2−152m，【解答】解：（1）将点A（﹣2，0）代入解析式，得4a﹣2b+3＝0，∵x=−b2a=12，∴a=−12，b=12；∴y=−12x2+12x+3；（2）设点Q横坐标x1，点P的横坐标x2，则有x1＜x2，把n＝﹣5代入y＝﹣mx﹣n，∴y＝﹣mx+5，联立y ＝﹣mx +5，y =−12x 2+12x +3得：﹣mx +5=−12x 2+12x +3，∴x 2﹣（2m +1）x +4＝0，∴x 1+x 2＝2m +1，x 1x 2＝4，∵△CPQ 的面积为3；∴S △CPQ ＝S △CHP ﹣S △CHQ ，即12HC （x 2﹣x 1）＝3， ∴x 2﹣x 1＝3，∴(x 1+x 2)2−4x 1x 2＝9，∴（2m +1）2＝25，∴m ＝2或m ＝﹣3，∵m ＞0，∴m ＝2；（3）当n ＝﹣3m 时，PQ 解析式为y ＝﹣mx +3m ，∴H （0，3m ），∵y ＝﹣mx +3m 与y =−12x 2+12x +3相交于点P 与Q ，∴﹣mx +3m =−12x 2+12x +3，∴x ＝3或x ＝2m ﹣2，当2m ﹣2＜3时，有0＜m ＜52，∵点P 在点Q 的右边，∴P （3，0），Q （2m ﹣2，﹣2m 2+5m ），∴AQ 的直线解析式为y =5−2m 2x +5﹣2m ， ∴K （0，5﹣2m ），∴HK ＝|5m ﹣5|＝5|m ﹣1|，①当0＜m ＜1时，如图①，HK ＝5﹣5m ，∴S △PQK ＝S △PHK +S △QHK =12×HK （x P ﹣x Q ）=12×（5﹣5m ）（5﹣2m ）＝5m 2−352m +252，②当1＜m ＜52时，如图②，HK ＝5m ﹣5，∴S △PQK ＝﹣5m 2+352m −252， ③当2m ﹣2＞3时，如图③，有m ＞52，∴P （2m ﹣2，﹣2m 2+5m ），Q （3，0），K （0，0），∴S △PQK =12×KQ |y P |=32（2m 2﹣5m ）＝3m 2−152m ， 综上所述，S ={ 5m 2−352m +252(0＜m ＜1)−5m 2+352m −252(1＜m ＜52)3m 2−152m(m ＞52)；【点睛】本题是二次函数的综合题；熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合，分类讨论是解题的主要思想．【精练4】（2019•大庆）如图，抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝2，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣1，0）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）将抛物线y＝x2+bx+c图象x轴下方部分沿x轴向上翻折，保留抛物线在x轴上的点和x轴上方图象，得到的新图象与直线y＝t恒有四个交点，从左到右四个交点依次记为D，E，F，G．当以EF为直径的圆过点Q（2，1）时，求t的值；（3）在抛物线y＝x2+bx+c上，当m≤x≤n时，y的取值范围是m≤y≤7，请直接写出x的取值范围．【点拨】（1）抛物线的对称轴是x＝2，且过点A（﹣1，0）点，∴{−b2=21−b+c=0，即可求解；（2）翻折后得到的部分函数解析式为：y ＝﹣（x ﹣2）2+9＝﹣x 2+4x +5，（﹣1＜x ＜5），新图象与直线y＝t 恒有四个交点，则0＜t ＜9，由{y =t y =−x 2+4x +5解得：x ＝2±√9−t ，即可求解； （3）分m 、n 在函数对称轴左侧、m 、n 在对称轴两侧、m 、n 在对称轴右侧时，三种情况分别求解即可．【解答】解：（1）抛物线的对称轴是x ＝2，且过点A （﹣1，0）点，∴{−b 2=21−b +c =0，解得：{b =−4c =−5， ∴抛物线的函数表达式为：y ＝x 2﹣4x ﹣5；（2）y ＝x 2﹣4x ﹣5＝（x ﹣2）2﹣9，则x 轴下方图象翻折后得到的部分函数解析式为：y ＝﹣（x ﹣2）2+9＝﹣x 2+4x +5，（﹣1＜x ＜5），其顶点为（2，9）．∵新图象与直线y ＝t 恒有四个交点，∴0＜t ＜9，设E （x 1，y 1），F （x 2，y 2）．由{y =t y =−x 2+4x +5解得：x ＝2±√9−t ， ∵以EF 为直径的圆过点Q （2，1），∴EF ＝2|t ﹣1|＝x 2﹣x 1，即2√9−t =2|t ﹣1|，解得t =1±√332， 又∵0＜t ＜9，∴t 的值为1+√332；（3）①当m 、n 在函数对称轴左侧时，m ≤n ≤2，由题意得：x ＝m 时，y ＝7，x ＝n 时，y ＝m ，即：m 2﹣4m ﹣5＝7，解得m ＝﹣2或m ＝6（舍），n 2﹣4n ﹣5＝m ，解得n ＝2−√7或m ＝2+√7（舍），解得：﹣2≤x ≤2−√7；②当m 、n 在对称轴两侧时，x ＝2时，y 的最小值为﹣9，不合题意；③当m 、n 在对称轴右侧时，同理可得：5+3√52≤x ≤6； 故x 的取值范围是：﹣2≤x ≤2−√7或5+3√52≤x ≤6． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、圆的基本性质性质、图形的翻折等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．【精练5】（2019•玉林）已知二次函数：y ＝ax 2+（2a +1）x +2（a ＜0）．（1）求证：二次函数的图象与x 轴有两个交点；（2）当二次函数的图象与x 轴的两个交点的横坐标均为整数，且a 为负整数时，求a 的值及二次函数的解析式并画出二次函数的图象（不用列表，只要求用其与x 轴的两个交点A ，B （A 在B 的左侧），与y 轴的交点C 及其顶点D 这四点画出二次函数的大致图象，同时标出A ，B ，C ，D 的位置）；（3）在（2）的条件下，二次函数的图象上是否存在一点P 使∠PCA ＝75°？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．【点拨】（1）将解析式右边因式分解得抛物线与x 轴的交点为（﹣2，0）、（−1a ，0），结合a ＜0即可得证；（2）结合（1）中一个交点坐标（−1a ，0）及横坐标均为整数，且a 为负整数可得a 的值，从而得出抛物线解析式，继而求出点C 、D 坐标，从而画出函数图象；（3）分点P在AC上方和下方两种情况，结合∠ACO＝45°得出直线PC与x轴所夹锐角度数，从而求出直线PC解析式，继而联立方程组，解之可得答案．【解答】解：（1）∵y＝ax2+（2a+1）x+2＝（x+2）（ax+1），且a＜0，∴抛物线与x轴的交点为（﹣2，0）、（−1a，0），则二次函数的图象与x轴有两个交点；（2）∵两个交点的横坐标均为整数，且a为负整数，∴a＝﹣1，则抛物线与x轴的交点A的坐标为（﹣2，0）、B的坐标为（1，0），∴抛物线解析式为y＝（x+2）（﹣x+1）＝﹣x2﹣x+2＝﹣（x+12）2+94，当x＝0时，y＝2，即C（0，2），函数图象如图1所示：（3）存在这样的点P，∵OA＝OC＝2，∴∠ACO＝45°，如图2，当点P在直线AC上方时，记直线PC与x轴的交点为E，∵∠PCA ＝75°，∴∠PCO ＝120°，∠OCB ＝60°，则∠OEC ＝30°，∴OE =OC tan∠OEC =33=2√3， 则E （2√3，0），求得直线CE 解析式为y =−√33x +2， 联立{y =−√33x +2y =−x 2−x +2，解得{x =0y =2或{x =√3−33y =√3+53， ∴P （√3−33，√3+53）； 如图3，当点P 在直线AC 下方时，记直线PC 与x 轴的交点为F ，∵∠ACP ＝75°，∠ACO ＝45°，∴∠OCF ＝30°，则OF ＝OC tan ∠OCF ＝2×√33=2√33， ∴F （2√33，0）， 求得直线PC 解析式为y =−√3x +2，联立{y =−√3x +2y =−x 2−x +2， 解得：{x =0y =2或{x =√3−1y =√3−1， ∴P （√3−1，√3−1），综上，点P 的坐标为（√3−33，√3+53）或（√3−1，√3−1）． 【点睛】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的图象和性质、直线与抛物线相交的问题等．【精练6】（2019•河北）如图，若b 是正数，直线l ：y ＝b 与y 轴交于点A ；直线a ：y ＝x ﹣b 与y 轴交于点B ；抛物线L ：y ＝﹣x 2+bx 的顶点为C ，且L 与x 轴右交点为D ．（1）若AB ＝8，求b 的值，并求此时L 的对称轴与a 的交点坐标；（2）当点C 在l 下方时，求点C 与l 距离的最大值；（3）设x 0≠0，点（x 0，y 1），（x 0，y 2），（x 0，y 3）分别在l ，a 和L 上，且y 3是y 1，y 2的平均数，求点（x 0，0）与点D 间的距离；（4）在L 和a 所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b ＝2019和b ＝2019.5时“美点”的个数．【点拨】（1）当x ＝0时，y ＝x ﹣b ＝﹣b ，所以B （0，﹣b ），而AB ＝8，而A （0，b ），则b ﹣（﹣b ）＝8，b ＝4．所以L ：y ＝﹣x 2+4x ，对称轴x ＝2，当x ＝2吋，y ＝x ﹣4＝﹣2，于是L 的对称轴与a 的交点为（2，﹣2 ）；（2）y ＝﹣（x −b 2）2+b 24，顶点C （b 2，b 24）因为点C 在l 下方，则C 与l 的距离b −b 24=−14（b ﹣2）2+1≤1，所以点C 与1距离的最大值为1；（3）由題意得y 3=y 1+y 22，即y 1+y 2＝2y 3，得b +x 0﹣b ＝2（﹣x 02+bx 0）解得x 0＝0或x 0＝b −12．但x 0≠0，取x 0＝b −12，对于L ，当y ＝0吋，0＝﹣x 2+bx ，即0＝﹣x （x ﹣b ），解得x 1＝0，x 2＝b ，右交点D（b ，0）．因此点（x 0，0）与点D 间的距离b ﹣（b −12）=12（4）①当b ＝2019时，抛物线解析式L ：y ＝﹣x 2+2019x 直线解析式a ：y ＝x ﹣2019，美点”总计4040个点，②当b ＝2019.5时，抛物线解析式L ：y ＝﹣x 2+2019.5x ，直线解析式a ：y ＝x ﹣2019.5，“美点”共有1010个．【解答】解：（1）当x ＝0时，y ＝x ﹣b ＝﹣b ，∴B （0，﹣b ），∵AB ＝8，而A （0，b ），∴b ﹣（﹣b ）＝8，∴b ＝4．∴L ：y ＝﹣x 2+4x ，∴L 的对称轴x ＝2，当x ＝2吋，y ＝x ﹣4＝﹣2，∴L 的对称轴与a 的交点为（2，﹣2 ）；（2）y ＝﹣（x −b 2）2+b 24， ∴L 的顶点C （b 2，b 24）∵点C 在l 下方，∴C 与l 的距离b −b 24=−14（b ﹣2）2+1≤1， ∴点C 与1距离的最大值为1；（3）由题意得y 3=y 1+y 22，即y 1+y 2＝2y 3， 得b +x 0﹣b ＝2（﹣x 02+bx 0）解得x 0＝0或x 0＝b −12．但x 0≠0，取x 0＝b −12，对于L，当y＝0吋，0＝﹣x2+bx，即0＝﹣x（x﹣b），解得x1＝0，x2＝b，∵b＞0，∴右交点D（b，0）．∴点（x0，0）与点D间的距离b﹣（b−12）=12（4）①当b＝2019时，抛物线解析式L：y＝﹣x2+2019x直线解析式a：y＝x﹣2019联立上述两个解析式可得：x1＝﹣1，x2＝2019，∴可知每一个整数x的值都对应的一个整数y值，且﹣1和2019之间（包括﹣1和﹣2019）共有2021个整数；∵另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，∴线段和抛物线上各有2021个整数点∴总计4042个点，∵这两段图象交点有2个点重复，∴美点”的个数：4042﹣2＝4040（个）；②当b＝2019.5时，抛物线解析式L：y＝﹣x2+2019.5x，直线解析式a：y＝x﹣2019.5，联立上述两个解析式可得：x1＝﹣1，x2＝2019.5，∴当x取整数时，在一次函数y＝x﹣2019.5上，y取不到整数值，因此在该图象上“美点”为0，在二次函数y＝x2+2019.5x图象上，当x为偶数时，函数值y可取整数，可知﹣1到2019.5之间有1010个偶数，因此“美点”共有1010个．故b＝2019时“美点”的个数为4040个，b＝2019.5时“美点”的个数为1010个．【点睛】本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的性质以及待定系数法求函数解析式是解题的关键．。
九年级数学中考复习二次函数压轴题代数推理题中考真题含答案解析
代数推理题11.B(2019·温州改编)已知抛物线y＝－x2＋2x＋6与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)．把点B向上2平移m(m＞0)个单位得点B1，若点B1向左平移n(n＞0)个单位，将与该抛物线上的点B2重合；若点B1向左平移(n＋6)个单位，将与该二次函数上的点B3重合．求m，n的值．2.B（2019·如皋）已知二次函数y＝－x2＋bx－c的图象与x轴的交点坐标为（m－2，0）和（2m＋1，0）．（1）若x＜0时，y随x的增大而增大，求m的取值范围；（2）若y＝1时，自变量x有唯一的值，求二次函数的解析式．3.B（2018·南通）在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝x2－2(k－1)x＋k2－5k(k为常数)向右平移12个单位长度得到新抛物线，当1≤x≤2时，新抛物线对应的函数有最小值3，求k的值．2-3)和B(3，0)．4.B（2019·海淀一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)经过点A(0，（1）若抛物线在A，B两点间，从左到右上升，求a的取值范围；（2）结合函数图象判断：抛物线能否同时经过点M(-1+m，n)，N(4-m，n)？若能，写出一个符合要求的抛物线的表达式和n的值；若不能，请说明理由．5.B（2019·南通）已知在同一直角坐标系中，若该二次函数＝x2－4x＋3a＋2（a为常数）的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x－1的图象有两个交点，求a的取值范围．6.B如图，平面直角坐标系xOy中，横坐标为a的点A在反比例函数y1═关于点O对称，一次函数y2=k(x＞0)的图象上，点A′与点Ax1x+n的图象经过点A′．过点A作AD⊥x轴，与函数y2的图象相交于点D，2以AD为一边向右侧作正方形ADEF，试说明函数y2的图象与线段EF的交点P一定在函数y1的图象上．7.B（2020·顺义区期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=1x2+nx-m与y轴交于点A，将点A向左m平移3个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．（1）求抛物线的对称轴；（2）已知点P(-1，-m)，Q(-3，1)．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求m的取值范围．8.C（2019·通州区期中）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＜0）的图象经过（m＋1，a），（m，b）两点.（1）求证：am＋b＝0；（2）若该二次函数的最大值为-1，当x＝1时，y≥3a，求a的取值范围.4。
中考数学题中二次函数综合题的解答方法
／ —、 Ｄ（Ｐ
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‘ ｎ）、
是 顶 点 、则
ＢＣＤ ．
ＰＧ＝ＰＣ则 （ｆ一
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故 △Ａ肋 △肋 Ｃ
（Ａ ），Ａ
ｌ，
１） ＋２。＝（３一￡） ＋２ 解 得 ｔ＝
尸 Ｇ Ｈ Ｃ ｊ
（２）将 Ｚ＿ＥＤＣ绕点 Ｄ按顺 时针方 向旋 ． · ．Ｅ（Ｏ，１ ｏ由三点式 ｙ＝ａｘ ＋ｂｘ＋ｃ，（口≠０）将
分析 ：（１）求 二次 函数 的解析式 的方 法
设 ＤＭ 的解析式 为 ｙ＝ｋｘ＋ｂｔ（ｋ≠Ｏ），将 １ ， 一 ２（舍去 ） ．Ｑ（ ， ）。
Ｄ（２，２），Ｍ（争，孚）的坐标分别代入： 综上所述 ，存在三个满足条件 的点 ｑ
② 顶 点式 ：ｙ＝ａ（ｘ一＾）： （ａ≠０），其 中
二
求 二次 函数 的表达式 ；满 足条 件的等腰 三 ④对称轴方程 ： 一 ｌ＿ ，顶点纵坐标 ： ＤＫ 上ＯＣ 于 点 ， 贝ｑ ＤＡ ＝ＤＫ’．’ ＡＤＫ：
角形的点的坐标等 ；解答 这些 题型往往要
加
４ａ ｃ－
把 代数 、几何的知识综 合考查进去 ，现列举 — 一
ｂ￣
， ａ≠０）， 由 已 知
转后 ，角的一边与 Ｙ轴 的正半轴交 于点 Ｆ， 三点 坐标 ｃ（３，０）、Ｄ（２，２），Ｅ（Ｏ，１）代人 ２ ．此 时 点
Ｑ与 Ｐ点重合 ，．．．Ｑ（２，２）；
） 一 中的抛物线线交于另～点 肘，点 肘 的横坐 ｆｏ：９口＋３６”
②若 Ｇ为 顶点 ，则 ，ＧＰ＝ＧＣ则 （ｚ一１）！＋
＋１ 标为１，点Ｑ的纵坐标为｝Ｊ ’．．．Ｑ（１，｝Ｊ ）；
该抛物线上是否存在点 Ｑ，使得直线 ｐＧ与
中考数学综合题专题【二次函数压轴题解析】专题解析一
中考数学综合题专题【二次函数压轴题解析】专题解析一(总40页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除中考数学综合题专题【二次函数压轴题解析】专题解析一1.已知抛物线y ＝ax 2－2ax －3a （a ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点．（1）求A 、B 的坐标；（2）过点D 作DH 丄y 轴于点H ，若DH ＝HC ，求a 的值和直线CD 的解析式；（3）在第（2）小题的条件下，直线CD 与x 轴交于点E ，过线段OB 的中点N 作NF 丄x 轴，并交直线CD 于点F ，则直线NF 上是否存在点M ，使得点M 到直线CD 的距离等于点M 到原点O 的距离？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题专题：压轴题分析：（1）令y ＝0，求得x 的值，从而得出点A 、B 的坐标．（2）令x ＝0，则y ＝－3a ，求得点C 、D 的坐标，设直线CD 的解析式为y ＝kx ＋b ，把C 、D 两点的坐标代入，求出直线CD 的解析式．（3）设存在，作MQ ⊥CD 于Q ，由Rt △FQM ∽Rt △FNE ，得EF FM EN MQ ，及可得出关于m 的一元二次方程，求出方程的解，即可得出点M 的坐标． 解答：（1）由y ＝0得，ax 2－2ax －3a ＝0．∵a≠0，∴x 2－2x －3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴A （－1，0），B （3，0）．（2）由y ＝ax 2－2ax －3a ，令x ＝0，得y ＝－3a∴C （0，－3a ）∵y ＝ax 2－2ax －3a ＝a (x －1)2－4a∴D （1，－4a ）∵DH ＝HC∴DH ＝1，CH ＝－4a －（－3a ）＝－a∴－a ＝1∴a ＝－1∴C （0，3），D （1，4）设直线CD 的解析式为y ＝kx ＋3，则k ＋3＝4，解得k ＝1∴直线CD 的解析式为y ＝x ＋3．（3）存在，如下图，作MQ ⊥CD 于Q ，由（2）得，E （－3，0），N （23，0） ∴F （23，29），EN ＝29 设存在满足条件的点M （23，m ），则FM ＝29－m ，EF ＝292，MQ ＝OM ＝492+m ∵∠QFM ＝∠NFE ，∠FQM ＝∠FNE ＝90°∴Rt △FQM ∽Rt △FNE ∴EFFM EN MQ =即2292929492m m -=+ 整理得4m 2＋36m －63＝0，(2m －3)(2m ＋21)＝0∴m 1＝23，m 2＝－221 ∴点M 的坐标为M 1（23，23），M 2（23，－221）．Q M A B O C D E FN Hxy点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及的知识点有一元二次方程的解法．在求有关存在不存在问题时要注意先假设存在，再讨论结果．2.已知二次函数21342y x x =-+的图象如图. （1）求它的对称轴与x 轴交点D 的坐标；（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与x 轴，y 轴的交点分别为A 、B 、C 三点，若∠ACB =90°，求此时抛物线的解析式；（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M ，以AB 为直径，D 为圆心作⊙D ，试判断直线CM 与⊙D 的位置关系，并说明理由.考点：二次函数综合题．分析：（1）根据对称轴公式求出x=- ，求出即可；（2）假设出平移后的解析式即可得出图象与x轴的交点坐标，再利用勾股定理求出即可；（3）由抛物线的解析式 可得，A ，B ，C ，M 各点的坐标，再利用勾股定理逆定理求出CD ⊥CM ，即可证明．答案：解: （1）由21342y x x =-+得 32b x a =-= ∴Ｄ（３，０）（2）方法一:如图1, 设平移后的抛物线的解析式为21342y x x k =-++ 则C (0,)k OC =k令0y = 即 213042x x k -++= 得 1349x k =++ 2349x k =-+∴A (349,0)k -+，B (349,0)k ++∴22(493349)1636AB k k k =++-++=+222222(349)(349)AC BC k k k k +=+-+++++22836k k =++∵222AC BC AB +=即: 228361636k k k ++=+得 14k = 20k =(舍去)∴抛物线的解析式为213442y x x =-++方法二:∵ 21342y x x =-+ ∴顶点坐标93,4⎛⎫ ⎪⎝⎭设抛物线向上平移h 个单位,则得到()0,C h ,顶点坐标93,4M h ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ∴平移后的抛物线: ()219344y x h =--++ 当0y =时, ()2193044x h --++=, 得 1349x h =-+ 1349x h =++∴ A (349,0)h -+ B (349,0)h ++∵∠ACB =90° ∴△AOC ∽△COB∴2OC =OA ·OB()()2493493h h h =+-++ 得 14h =,()20h =舍去∴平移后的抛物线: ()()22191253434444y x x =--++=--+（3）方法一:如图2, 由抛物线的解析式213442y x x =-++可得 A (-2 ，0)，B (8，0) ，C (４，0) ，M 25(3,)4过C 、M 作直线，连结CD ，过M 作MH 垂直y 轴于H ,则3MH =∴2225625()416DM == 22222252253(4)416CM MH CH =+=+-= 在Rt △COD 中,CD =22345+==AD∴点C 在⊙D 上∵2225625()416DM == 2222225256255()16416CD CM +=+== ∴222DM CM CD =+∴△CDM 是直角三角形，∴CD ⊥CM∴直线CM 与⊙D 相切方法二:如图3, 由抛物线的解析式可得A (-2 ，0)，B (8，0) ，C (４，0) ，M 25(3,)4 作直线CM ,过D 作DE ⊥CM 于E , 过M 作MH 垂直y 轴于H ,则3MH =, 254DM =, 由勾股定理得154CM = ∵DM ∥OC∴∠MCH=∠EMD∴Rt △CMH ∽Rt △DME∴DE MD MH CM= 得 5DE = 由(2)知10AB = ∴⊙D 的半径为5∴直线CM 与⊙D 相切点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及勾股定理以及逆定理的应用，利用数形结合得出是解决问题的关键．3.如图，半径为1的⊙M 经过直角坐标系的原点O ，且与x 的正半轴，y 的正半轴交于点A 、B ，∠OMA=60°,过点B 的切线交x 轴负半轴于点C ，抛物线过点A 、B 、C.（1）求点A 、B 的坐标.（2）求抛物线的解析式.（3）若点D 为抛物线对称轴上的一个动点，问是否存在这样的点D ，使得△BCD 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点D 的坐标.若不存在，请说明理由.考点：二次函数综合题。
与二次函数有关的代数推理问题
与二次函数有关的代数推理问题
当讨论二次函数时，往往会想到代数推理。
代数推理是利用一系列的数学工具和算法，以
求解复杂的数学问题的一种方法。
二次函数是一个定义为“y = ax^2 +bx + c”的一元多项式，其中a、b、c是可以取任意值的常数。
曲线上的每一点都可以用坐标 (x,y)来表示，上述函数表示的曲线就是二次函数曲线。
针对二次函数，使用代数推理，可以就其特定的函数，
推导求得其一般解的形式：
一般形式：y = ax^2 +bx + c
求根公式：x = -b±√(b^2 - 4ac)/2a
代数推理是有规律可循的，它能够让人们在解决复杂的问题时，运用固定的算法来发现问题的解。
因此，二次函数的一般解也可以使用代数推理来求得。
期望通过本文能够更加清楚地理解代数推理，也希望看完了文章后，你能够在解决复杂数学问题时运用此方法。
二次函数综合题的解法探究与启示——以2023_年南充市中考数学二次函数题型为例
二次函数综合题的解法探究与启示以２０２３年南充市中考数学二次函数题型为例相晨晨(合肥师范学院数学与统计学院ꎬ安徽合肥２３００７１)摘㊀要:二次函数综合题一直是各地中考的热点ꎬ也是教学的难点.文章以南充市２０２３年中考数学试题中的一道二次函数压轴题为例ꎬ通过探求多种解法ꎬ立足核心素养ꎬ明晰思维路径ꎬ培养学生利用数学知识解决问题的能力及提高学生的思维能力.关键词:二次函数ꎻ综合题ꎻ解法探究ꎻ启示中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２４)０８－０００２－０４收稿日期:２０２３－１２－１５作者简介:相晨晨(１９９４ )ꎬ女ꎬ安徽省亳州人ꎬ硕士ꎬ从事数学教学论研究.基金项目:合肥师范学院研究生创新基金项目 基于网络画板培养初中生几何直观能力的教学实验研究 (项目编号:２０２３ｙｊｓ０３９).㊀㊀二次函数是初中数学的重要内容ꎬ也是中考数学的重要考点.由于其涉及的知识面广ꎬ思维难度大ꎬ通常以中考压轴题的形式呈现ꎬ对学生而言具有一定的难度.解决这类问题需要学生具备较高的数学素养和思维能力.２０２３年南充市中考数学第２５题是一道以二次函数为背景的压轴题ꎬ具有一定的选拔功能.本文立足核心素养ꎬ明晰思维路径ꎬ探究多种解法ꎬ培养学生利用数学知识分析问题和解决问题的能力ꎬ提升学生的数学核心素养.１试题呈现如图１ꎬ抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋３(ａʂ０)与ｘ轴交于Ａ(－１ꎬ０)ꎬＢ(３ꎬ０)两点ꎬ与ｙ轴交于点Ｃ.(１)求抛物线的解析式.(２)点Ｐ在抛物线上ꎬ点Ｑ在ｘ轴上ꎬ以ＢꎬＣꎬＰꎬＱ为顶点的四边形为平行四边形ꎬ求点Ｐ的坐标.(３)如图２ꎬ抛物线的顶点Ｄꎬ对称轴与ｘ轴交于点Ｅꎬ过点Ｋ(１ꎬ３)的直线(直线ＫＤ除外)与抛物线交于ＧꎬＨ两点ꎬ直线ＤＧꎬＤＨ分别交ｘ轴于点ＭꎬＮꎬ试探究ＥＭ ＥＮ是否为定值ꎬ若是ꎬ求出该定值ꎻ若不是ꎬ说明理由.图１㊀抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋３(ａʂ０)㊀㊀图２㊀问题(３)示意图２试题分析不论是从知识的综合性还是思维的层次性来看ꎬ二次函数都当之无愧地占据着初中数学代数领域的 制高点 ꎬ是中考压轴题的命题热点[１].本题是一道二次函数的综合题ꎬ以二次函数为背景并结合图形与几何进行命题ꎬ不仅能考查学生对二次函数和图形与几何相关知识的掌握情况ꎬ还能考查学生综合应用知识的能力及灵活处理问题的心态.问题的难度层层递进ꎬ符合学生的心理特征及由易到难的解题模式.本题以核心素养为导向ꎬ集中体现了数学课程的育人价值ꎬ符合«义务教育数学课程标准(２０２２年版)»所提出的命题原则ꎬ即实现对核心素养导向的义务教育数学课程学业质量的全面考查[２].本题主要考查的核心概念有二次函数㊁平行四边形的性质㊁一次函数㊁线段定值等ꎬ蕴含丰富的数学思想和方法ꎬ主要有方程思想㊁函数思想㊁数形结合思想㊁分类讨论思想和模型思想等.综合考查了学生的运算能力㊁几何直观㊁空间观念㊁推理能力和创新意识等核心素养.问题(１)难度较小ꎬ考查二次函数的解析式ꎬ学生只要熟知二次函数相关知识及求解方法ꎬ就能很容易解出正确答案.此问题主要考查学生的运算能力ꎬ培养学生会用数学的眼光观察现实世界.问题(２)难度上升ꎬ从学生的认知规律来看ꎬ只要学生认真审清题目ꎬ提取有关信息ꎬ采用 爬山法 ꎬ一步一步分析题目ꎬ也能很快解决问题.而本题是从平行四边形的性质出发ꎬ最终落脚到点的坐标ꎬ解题最关键的一点是学生能够考虑到分类讨论的思想ꎬ想到固定点ＢꎬＣ组成的线段ꎬ而点Ｐ在抛物线上ꎬ通过抛物线的图象来看ꎬ点Ｐ有可能在ｘ轴的上方ꎬ也有可能在ｘ轴的下方ꎬ然后采用数形结合的方法解决问题.此问题主要考查学生的运算能力㊁几何直观㊁推理能力等ꎬ培养学生会用数学的眼光观察现实世界和用数学的思维思考现实世界.问题(３)难度要比前两个问题高ꎬ学生要根据题目的信息先提出猜想ꎬ再进行证明ꎬ最后得出结论ꎬ并借助尺规将数学语言转化为实际图形ꎬ促进学生理解和思维的转变.此问题需要学生解出三个一次函数的解析式ꎬ并通过方程思想ꎬ解出两根之间的关系ꎬ再通过射影定理模型得出结论ꎬ对学生运算能力和逻辑思维能力的要求相对较高ꎬ知识的综合性更强ꎬ这不仅考查学生的 四基 和 四能 ꎬ更考查学生是否具有稳定的心态ꎬ培养学生会用数学的语言表达现实世界.３试题解答３.１问题(１)的解法解法１㊀(代入法)将Ａ(－１ꎬ０)ꎬＢ(３ꎬ０)两点代入抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋３(ａʂ０)当中ꎬ得出ａ－ｂ＋３＝０ꎬ９ａ＋３ｂ＋３＝０ꎬ{解得ａ＝－１ꎬｂ＝２.{所以抛物线的解析式为ｙ＝－ｘ２＋２ｘ＋３.解法２㊀(对称法)因为抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋３(ａʂ０)与ｘ轴交于Ａ(－１ꎬ０)ꎬＢ(３ꎬ０)两点ꎬ从而得出抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋３(ａʂ０)的对称轴为ｘ＝１ꎬ所以ｂ＝２ａ.将Ａ(－１ꎬ０)代入抛物线中ａ－ｂ＋３＝０ꎬ从而得出ａ＝－１ꎬｂ＝２ꎬ所以抛物线的解析式为ｙ＝－ｘ２＋２ｘ＋３.解法３㊀(两点式)根据题意ꎬ可设抛物线的解析式为ｙ＝ａ(ｘ＋１)(ｘ－３)＝ａｘ２－２ａｘ－３ａꎬ从而得出－３ａ＝３ꎬ解得ａ＝－１ꎬ进而得出抛物线的解析式为ｙ＝－ｘ２＋２ｘ＋３(ａʂ０).３.２问题(２)的解法根据已知条件ꎬ以ＢꎬＣꎬＰꎬＱ为顶点的四边形为平行四边形ꎬ但并没有明确说明Ｐ的位置ꎬ所以要对点Ｐ的位置进行分类讨论ꎬ分为两种情况ꎬ第一种是Ｐ在ｘ轴的上方ꎬ第二种是Ｐ在ｘ轴的下方.第一种情况:Ｐ在ｘ轴的上方.解法１㊀(平行四边形的性质)如图３ꎬ过点Ｃ作ＣＰʊＢＱꎬ过点Ｐ作ＰＮʅＯＱꎬ设点Ｐ的坐标为(ｔꎬ－ｔ２＋２ｔ＋３)ꎬ因为四边形ＢＣＰＱ为平行四边形ꎬ所以ＢＣ＝ＰＱꎬＣＰ＝ＢＱ进而得出Ｑ(ｔꎬ０)ꎬＯＱ＝３＋ｔꎬＯＮ＝ｔꎬＮＱ＝３ꎬ所以ＰＱ２＝ＰＮ２＋ＮＱ２ꎬ即(－ｔ２＋２ｔ＋３)２＋９＝１８ꎬ当－ｔ２＋２ｔ＋３＝３ꎬ解得ｔ＝０(舍去)或ｔ＝２ꎻ当－ｔ２＋２ｔ＋３＝－３ꎬ因为Ｐ在ｘ轴的上方ꎬ所以－ｔ２＋２ｔ＋３＝－３舍去ꎬ从而只有ｔ＝２符合题意ꎬ进而求出点Ｐ的坐标为(２ꎬ３).图３㊀Ｐ在ｘ轴的上方示意图解法２㊀直线ＣＢ的斜率为ｋＣＢ＝－１ꎬ又因为ＣＢʊＰＱꎬ所以ｋＰＱ＝－１ꎬ－ｔ２＋２ｔ＋３＝３ꎬ解得ｔ＝０(舍去)或ｔ＝２ꎬ只有ｔ＝２是符合题意ꎬ从而求出点Ｐ的坐标为(２ꎬ３).第二种情况:Ｐ在ｘ轴的下方.解法１如图４ꎬ以ＢꎬＣꎬＰꎬＱ为顶点的四边形为平行四边形ꎬ所以四边形ＢＣＱＰ为平行四边形ꎬ即ＢＣ＝ＱＰꎬＢＣʊＱＰꎬøＣＢＯ＝øＢＱＰ＝４５ʎꎬ过点Ｐ作ＰＦʅＯＱꎬ设点Ｐ的坐标为(ｔꎬ－ｔ２＋２ｔ＋３)ꎬøＣＯＢ＝øＰＦＱ＝９０ʎꎬøＱＰＦ＝øＯＣＢ＝４５ʎꎬ所以ꎬ因此ＣＯ＝ＰＦꎬ－ｔ２＋２ｔ＋３＝－３ꎬ解得ｔ１＝１＋７ꎬｔ２＝１－７ꎬ点Ｐ的坐标为(１＋７ꎬ－３)和(１－７ꎬ－３).图４㊀Ｐ在ｘ轴的下方示意图解法２㊀直线ＣＢ的斜率为ｋＣＢ＝－１ꎬ又因为ＣＢʊＰＱꎬ所以ｋＰＱ＝－１ꎬ点Ｐ的坐标为(ｔꎬ－ｔ２＋２ｔ＋３)ꎬ点Ｑ的坐标为(ｔ－３ꎬ０)ꎬｋＰＱ＝－ｔ２＋２ｔ＋３３＝－１ꎬ解得ｔ１＝１＋７ꎬｔ１＝１＋７ꎬ点Ｐ的坐标为(１＋７ꎬ－３)和(１－７ꎬ－３).评析㊀分类讨论是二次函数综合题常用的方法之一ꎬ是学生在学习过程中必须掌握的解题思想.解决本题的关键是对点Ｐ的位置进行分类讨论ꎬ从已知条件出发ꎬ可以把点Ｐ分为在ｘ轴的上方和在ｘ轴的下方.３.３问题(３)的解法解法１㊀如图５所示ꎬ因为ｙ＝－ｘ２＋２ｘ＋３＝－(ｘ－１)２＋４ꎬ所以Ｄ(１ꎬ４).设过点Ｄ的直线解析式为ｙ＝ｋｘ＋ｂꎬ将Ｄ(１ꎬ４)代入直线解析式ꎬ得出ｙ＝ｋｘ＋３－ｋ.因为ＧꎬＨ在抛物线上ꎬ可设Ｇ(ｘ１ꎬ－ｘ２１＋２ｘ１＋３)ꎬＨ(ｘ２ꎬ－ｘ２２＋２ｘ２＋３)ꎬ所以ｋ(ｘ－１)＋３＝－ｘ２＋２ｘ＋３ꎬ整理得出ｘ２＋(ｋ－２)ｘ－ｋ＝０ꎬ所以ｘ１＋ｘ２＝２－ｋꎬｘ１ｘ２＝－ｋ.设ＤＧ的解析式为ｙ＝ｋ１ｘ＋ｂ１ꎬ将Ｄ(１ꎬ４)ꎬＧ(ｘ１ꎬ－ｘ２１＋２ｘ１＋３)代入解析中ꎬ进而求出解析式为ｙ＝－(ｘ１－１)ｘ＋ｘ１＋３.当ｙ＝０时ꎬ解得ｘ＝ｘ１＋３ｘ１－１ꎬ所以点Ｍｘ１＋３ｘ１－１ꎬ０æèçöø÷.同理可得Ｎｘ２＋３ｘ２－１ꎬ０æèçöø÷ꎬ所以ＥＭ＝１－ｘ１＋３ｘ１－１＝－４ｘ１－１ꎬ同理可求得ＥＮ＝４ｘ２－１ꎬ所以ＥＭ ＥＮ＝－１６ｘ１－１()ｘ２－１()＝－１６ｘ１ｘ２－ｘ１＋ｘ１()＋１＝－１６－ｋ－２＋ｋ＋１＝１６.从而可知ꎬＥＭ ＥＮ是定值ꎬ且定值为１６.图５㊀问题(３)解法１示意图评析㊀这类解法思路很明确ꎬ求出点的坐标ꎬ然后根据点的坐标求相关线段的长度ꎬ进而计算ＥＭ ＭＮ的值.虽然运算量较大ꎬ需要明确三条直线的解析式ꎬ但是解题的思路比较清晰.解法２㊀根据解法１ꎬ得出点Ｄ(１ꎬ４)ꎬ点Ｍｘ１＋３ｘ１－１ꎬ０æèçöø÷ꎬ点Ｎｘ２＋３ｘ２－１ꎬ０æèçöø÷ꎬ由此可知ＭＮ＝ｘ２＋３ｘ２－１－ｘ１＋３ｘ１－１＝４ｘ１－ｘ２()ｘ２－１()ｘ１－１()ꎬ由此可知ＭＮ２＝１６ｘ１＋ｘ２()２－６４ｘ１ｘ２ｘ２－１()２ｘ１－１()２＝１６ｋ２＋６４ｘ２－１()２ｘ１－１()２.由两点间的距离公式可得ＤＭ２＋ＤＮ２＝１６ｘ１－１()２＋１６ｘ２－１()２＋３２＝１６ｋ２＋６４ｘ１－１()２ｘ２－１()２ꎬ所以ＭＮ２＝ＤＭ２＋ＤＮ２ꎬ从而得出øＭＤＮ＝９０ʎꎬ所以øＭＤＥ＋øＥＤＮ＝９０ʎꎬ又因为ＤＥʅＭＮꎬ所以øＤＥＮ＋øＥＤＮ＝９０ʎꎬ所以øＭＤＥ＝øＤＥＮꎬ又øＤＥＭ＝øＤＥＮ＝９０ʎꎬ所以әＥＭＤʐәＥＤＮꎬ从而得出ＥＤ２＝ＥＭ ＥＮ＝１６.因此ꎬＥＭ ＥＮ是定值ꎬ且定值为１６.评析㊀根据点的坐标ꎬ利用两点间的距离公式可求得相关线段的长度ꎬ然后利用勾股定理的逆定理即可判定әＭＤＮ是直角三角形ꎬ最终利用直角三角形和相似三角形的性质解决问题.解法３㊀如图６所示ꎬ设过点Ｄ的直线解析式为ｙ＝ｋｘ＋ｂꎬ将Ｄ(１ꎬ４)代入直线解析式ꎬ得出ｙ＝ｋｘ＋３－ｋꎬ因为ＧꎬＨ在抛物线上ꎬ可设Ｇ(ｘ１ꎬｋｘ１＋３－ｋ)ꎬＨ(ｘ２ꎬｋｘ２＋３－ｋ)ꎬ从上面可知ｘ１＋ｘ２＝２－ｋꎬｘ１ｘ２＝－ｋꎬ过点Ｇ作ＧＦʅＤＥ于点Ｆꎬ过点Ｈ作ＨＪʅＤＥ于点Ｊꎬ则ＤＦ＝－ｋｘ１＋ｋ＋１ꎬＧＦ＝－ｘ１＋１ꎬＤＪ＝－ｋｘ２＋ｋ＋１ꎬＨＪ＝－ｘ２＋１ꎬ从而得出ＤＦ ＤＪ＝(－ｋｘ１＋ｋ＋１)(－ｋｘ１＋ｋ＋１)＝１ꎬＧＦ ＨＪ＝(－ｘ１＋１)(－ｘ２＋１)＝１ꎬ所以ＤＦ ＤＪ＝ＧＦ ＨＪꎬＤＦＧＦ＝ＨＪＤＪꎬ又因为øＤＦＧ＝øＨＪＤ＝９０ʎꎬ所以әＧＦＤәＤＪＨꎬ所以øＧＤＦ＝øＤＨＪꎬ所以øＧＤＨ＝øＧＤＦ＋øＪＤＨ＝øＤＨＪ＋øＪＤＨ＝９０ʎꎬＤＥʅｘ轴ꎬ所以øＤＥＭ＝øＮＥＤ＝９０ʎꎬ所以øＥＤＮ＋øＥＮＤ＝９０ʎꎬ所以øＭＤＥ＝øＤＮＥꎬ所以әＥＭＤәＥＤＮꎬ从而得出ＥＤ２＝ＥＭ ＥＮ＝１６.因此ꎬＥＭ ＥＮ是定值ꎬ且定值为１６.图６㊀问题(３)解法３示意图评析㊀根据图形特征ꎬ一条线段上有垂直线ꎬ并求ＥＭ ＥＮꎬ要能够想到射影定理ꎬ利用三角形相似ꎬ证明两个三角形相似要从角或者线段成比例角度考虑ꎬ同时解题的关键是要证明出øＭＤＮ＝９０ʎ.解法４㊀在上面的解法中已经求出了直线ＤＧ解析式为ｙ＝－(ｘ１－１)ｘ＋ｘ１＋３ꎬ同理可求出直线ＤＮ的解析式为ｙ＝－(ｘ２－１)ｘ＋ｘ２＋３ꎬ从而可以得出ｋＤＧ＝－(ｘ１－１)ꎬｋＤＮ＝－(ｘ２－１)ꎬ又因为ｘ１＋ｘ２＝２－ｋꎬｘ１ｘ２＝－ｋꎬ所以ｋＤＧ ｋＤＮ＝(ｘ１－１)ˑ(ｘ２－１)＝－１ꎬ则直线ＤＧ与直线ＤＮ互相垂直ꎬ进而øＭＤＮ＝９０ʎꎬ所以øＭＤＥ＋øＥＤＮ＝９０ʎꎬ所以øＭＤＥ＝øＤＮＥꎬ所以әＥＭＤәＥＤＮꎬ从而得出ＥＤ２＝ＥＭ ＥＮ＝１６.因此ꎬＥＭ ＥＮ是定值.评析㊀通过对图形的观察ꎬ发现解题的关键是要证明øＭＤＮ＝９０ʎꎬ两直线的夹角为直角ꎬ说明两直线互相垂直ꎬ则可以通过斜率关系进行证明ꎬ最后能求出ＥＭ ＥＮ的值.４解题反思４.１重视变式训练ꎬ发展思维能力题目不在于多ꎬ而在于精.一道题目不仅是一个知识点ꎬ它还可以是多个知识点的结合.在教学中教师可以围绕着一个问题向多个方向发散ꎬ把一道题变成一类题.就如本题中的二次函数ꎬ在方法上ꎬ对于点Ｐ的位置进行分类讨论ꎬ通过变式的形式可以从ＢꎬＣ所组成的线段是边还是对角线进行分类讨论ꎬ打破学生的常规思维.在内容上ꎬ除了可以考查线段乘积的定值和点的存在性ꎬ还可以与中点问题㊁线段的最值问题㊁面积定值㊁一次函数特殊角等问题进行结合.基于此ꎬ在教学中要不仅要培养学生能够灵活选择数学方法解决问题的习惯ꎬ还要通过 一题多解 培养学生思考问题和灵活变通的意识ꎬ而 一题多解 不仅有利于学生发散思维的培养ꎬ更有利于学生问题解决策略的形成㊁关键问题解决能力的培养[３].所以ꎬ在教学中教师可以通过变式进行教学ꎬ发展学生的思维能力ꎬ培养学生的发散思维ꎬ打破学生的思维定式ꎬ培养学生创新意识和实践能力.４.２构建知识网络ꎬ提高运算能力综合题往往不是一个数学知识点ꎬ而是多个数学知识的结合ꎬ所以在复习的过程中ꎬ要提高学生搭建知识网络的能力ꎬ形成知识框架ꎬ在教学中可以通过主题式学习ꎬ将知识进行整合.知识是解决问题的前提ꎬ而解决问题的成败关键在于学生的运算能力ꎬ它不仅是一种数学的操作能力ꎬ更是一种数学的思维能力[４]ꎬ教师在教学中可以通过日常的运算训练来发展学生的运算能力ꎬ有利于培养学生的思考问题的品质和养成科学的学习态度.参考文献:[１]石树伟.中考二次函数模型试题的源与流[Ｊ].中学数学月刊ꎬ２０２２(５):６０－６３.[２]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准(２０２２年版)[Ｍ].北京:北京师范大学出版社ꎬ２０２２.[３]高岩.二次函数背景下三角形面积最值问题的解法探究:由一道九年级期末压轴题引发的思考[Ｊ].初中数学教与学ꎬ２０２２(９):２０－２２.[４]金小亚.借助几何直观培养运算能力[Ｊ].教育实践与研究(Ａ)ꎬ２０１９(１):２５－２８.[责任编辑:李㊀璟]。
专题15纯函数的计算推理综合问题-挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘(解析版)
专题15纯函数的计算推理综合问题【例1】（2021·北京·中考真题）已知二次函数2(0)y ax bx a =+≠，其对称轴为直线x=t ． （1）当a =1，b =4时，t =________；（2）当a <0时，若点A (1，m )，B (5，n )在此二次函数图象上，且m <n ，则t 的取值范围是________；（3）已知点C (0，a )，D (2，3a &#ξΦ02∆;2b )，若此二次函数图象与线段CD 有且仅有一个公共点，求t 的取值范围．【答案】（1）-2；（2）t ＞3；（3）t ≤18【解析】【分析】（1）利用对称轴公式，即可求解；（2）根据二次函数的图像开口向下，点A (1，m )，B (5，n )在此二次函数图象上，且m <n ，可得点B 离对称轴更近，进而即可求解；（3）分两种情况①当a ＞0时，得到22232y a b a b =⨯+≥-，②当a ＜0时，得到22232y a b a b =⨯+≤-，进而即可求解．【详解】解：（1）∵当a =1，b =4时，二次函数24y x x =+，∴对称轴为直线x=-2，即：t =-2，故答案是：-2；（2）∵当a <0时，二次函数2(0)y ax bx a =+≠的图像开口向下，又∵点A (1，m )，B (5，n )在此二次函数图象上，且m <n ，∴点B 离对称轴更近，即：|5-t |＜|t -1|，∴t ＞3，故答案是：t ＞3；（3）①当a ＞0时，∵C (0，a )在y 轴的正半轴，2(0)y ax bx a =+≠的图像过原点，开口向上，此二次函数图象与线段CD 有且仅有一个公共点，∴只要22232y a b a b =⨯+≥-即可，即：4a +2b≥3a -2b ，解得：a ≥-4b ，∴2b a -≤18，即：t =2b a -≤18， ②当a ＜0时，同理可得：只要22232y a b a b =⨯+≤-，即：4a +2b ≤3a -2b ，解得：a ≤-4b ， ∴2b a -≤18，即：t =2b a -≤18， 综上所述：t ≤18． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的对称轴方程，二次函数图像的对称性，是解题的关键．【例2】（2021·江苏泰州·中考真题）二次函数y ＝﹣x 2+（a ﹣1）x +a （a 为常数）图象的顶点在y 轴右侧．（1）写出该二次函数图象的顶点横坐标（用含a 的代数式表示）；（2）该二次函数表达式可变形为y ＝﹣（x ﹣p ）（x ﹣a ）的形式，求p 的值；（3）若点A （m ，n ）在该二次函数图象上，且n ＞0，过点（m +3，0）作y 轴的平行线，与二次函数图象的交点在x 轴下方，求a 的范围．【答案】（1）12a -；（2）p =-1；（3）1＜a ≤2． 【解析】【分析】（1）根据顶点坐标公式即可得答案；（2）利用十字相乘法分解因式即可得答案；（3）利用（2）的结果可得抛物线与x 轴的交点坐标，根据顶点在y 轴右侧，过点（m +3，0）作y 轴的平行线，与二次函数图象的交点在x 轴下方可得关于a 的不等式，解不等式即可得答案．【详解】（1）∵二次函数解析式y ＝﹣x 2+（a ﹣1）x +a ， ∴顶点横坐标为12(1)a --⨯-=12a -． （2）∵y ＝﹣x 2+（a ﹣1）x +a =(1)()x x a -+-=﹣（x ﹣p ）（x ﹣a ），∴p =-1．（3）∵y ＝﹣x 2+（a ﹣1）x +a =(1)()x x a -+-，∴抛物线与x 轴的交点坐标为（-1，0），（a ，0），∵-1＜0，∴该二次函数的图象开口向下，∵图象的顶点在y 轴右侧， ∴12a -＞0， ∴1a >，∵点A （m ，n ）在该二次函数图象上，且n ＞0，∴-1＜m ＜a ，∵过点（m +3，0）作y 轴的平行线，与二次函数图象的交点在x 轴下方，∴(1)a --≤3，解得：2a <，∴a 的范围为1＜a ≤2．【点睛】本题考查二次函数、因式分解及解一元一次不等式，熟练掌握二次函数顶点坐标公式是解题关键．【例3】（2021·山东威海·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线2222y x mx m m =++-的顶点为A ．（1）求顶点A 的坐标（用含有字母m 的代数式表示）；（2）若点()2,B B y ，()5,C C y 在抛物线上，且B C y y >，则m 的取值范围是 ；（直接写出结果即可）（3）当13x ≤≤时，函数y 的最小值等于6，求m 的值．【答案】(1)顶点A 的坐标为2(,)m m m ；(2)72m <-；(3)m =或2- 【解析】【分析】(1)将抛物线解析式化成22()y x m m m =++-的形式，即可求得顶点A 的坐标；(2)将()2,B B y ，()5,C C y 代入抛物线中求得B y 和C y 的值，然后再解不等式即可求解；(3)分类讨论，分对称轴在1的左侧、对称轴在3的右侧、对称轴在1,3之间共三种情况分别求出函数的最小值，进而求出m 的值．【详解】解：(1)由题意可知：抛物线222222()y x mx m m x m m m =++-=++-，∴顶点A 的坐标为2(,)m m m ；(2)将()2,B B y 代入2222y x mx m m =++-中，得到2222222234B y m m m m m =+⨯+-=++，将()5,C C y 代入2222y x mx m m =++-中，得到22252522925C y m m m m m =+⨯+-=++，由已知条件知：B C y y >，∴222925234m m m m ++<++，整理得到：621m <-， 解得：72m <-， 故m 的取值范围是：72m <-； (3)二次函数的开口向上，故自变量离对称轴越远，其对应的函数值越大，二次函数的对称轴为x m =-，分类讨论：①当1m -<，即1m >-时，1x =时二次函数取得最小值为22212221y m m m m m =++-=++，又已知二次函数最小值为6，∴2216m m ++=，解得m =m =又1m >-，故14m -=符合题意； ②当3m ->，即3m <-时，3x =时二次函数取得最小值为2223232259y m m m m m =+⨯+-=++，又已知二次函数最小值为6，∴22596m m ++=，解得32m =-或1m =-， 又3m <-，故32m =-或1m =-都不符合题意； ③当13m ，即31m -≤≤-时，x m =-时二次函数取得最小值为222222y m m m m m m =++-=-，又已知二次函数最小值为6，∴26m m -=，解得3m =或2m =-，又31m -≤≤-，故2m =-符合题意；综上所述，14m -+=或2-． 【点睛】本题考查待定系数求二次函数的解析式，二次函数的最值问题，不等式的解法等，计算过程中细心，熟练掌握二次函数的图形及性质是解决本题的关键．【例4】（2021·江苏南京·中考真题）已知二次函数2y ax bx c =++的图像经过()()2,1,2,3--两点．（1）求b 的值．（2）当1c >-时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是________．（3）设()0m ,是该函数的图像与x 轴的一个公共点，当13m -<<时，结合函数的图像，直接写出a 的取值范围．【答案】（1）1b =-；（2）1；（3）0a <或45a >． 【解析】【分析】（1）将点()()2,1,2,3--代入求解即可得；（2）先求出二次函数的顶点的纵坐标，再利用完全平方公式、不等式的性质求解即可得； （3）分0a <和0a >两种情况，再画出函数图象，结合图象建立不等式组，解不等式组即可得．【详解】解：（1）将点()()2,1,2,3--代入2y ax bx c =++得：421423a b c a b c -+=⎧⎨++=-⎩， 两式相减得：44b -=，解得1b =-；（2）由题意得：0a ≠，由（1）得：2211()24y ax x c a x c a a=-+=-+-， 则此函数的顶点的纵坐标为14c a-， 将点()2,3-代入2y ax x c =-+得：423a c -+=-，解得41a c -=+， 则1141c c a c -=++，下面证明对于任意的两个正数00,x y ，都有00x y +≥2000(0x x y -=+-，00x y ∴+≥00x y =时，等号成立），当1c >-时，10c +>，则11111111c c c c +=++-≥=++（当且仅当111c c +=+，即0c 时，等号成立）， 即114c a-≥， 故当1c >-时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是1；（3）由423a c -+=-得：41c a =--，则二次函数的解析式为241(0)y ax x a a =---≠，由题意，分以下两种情况：①如图，当0a <时，则当1x =-时，0y >；当3x =时，0y <，即141093410a a a a +-->⎧⎨---<⎩， 解得0a <；②如图，当0a >时，当1x =-时，14130y a a a =+--=-<，∴当3x =时，93410y a a =--->， 解得45a >， 综上，a 的取值范围为0a <或45a >．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质等知识点，较难的是题（3），熟练掌握函数图象法是解题关键．【例5】（2021·浙江杭州·中考真题）在直角坐标系中，设函数21y ax bx =++（a ，b 是常数，0a ≠）．（1）若该函数的图象经过()1,0和()2,1两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标． （2）写出一组a ，b 的值，使函数21y ax bx =++的图象与x 轴有两个不同的交点，并说明理由．（3）已知1a b ==，当,x p q =（p ，q 是实数，p q ≠）时，该函数对应的函数值分别为P ，Q ．若2p q +=，求证6P Q +>．【答案】（1）221y x x =-+，顶点坐标是()1,0；（2）1a =，3b =，理由见解析；（3）见解析．【解析】【分析】（1）把点()1,0和()2,1代入二次函数解析式进行求解，然后把一般式化为顶点式即可求解顶点坐标；（2）根据二次函数的图象与系数的关系可直接进行求解；（3）由题意，得21P p p =++，21Q q q =++，则有()2216P Q q +=-+，进而问题可求解．【详解】解：（1）把点()1,0和()2,1代入得：104211a b a b ++=⎧⎨++=⎩， 解得12a b =⎧⎨=-⎩， ∴221y x x =-+，则化为顶点式为()21y x =-， ∴该函数图象的顶点坐标是()1,0；（2）例如1a =，3b =，此时231y x x =++；因为2450b ac -=>，所以函数231y x x =++图象与x 轴有两个不同的交点；（3）由题意，得21P p p =++，21Q q q =++，∵2p q +=，∴2211P Q p p q q +=+++++224p q =++()2224q q =-++()22166q =-+≥， 由题意，知1q ≠，所以6P Q +>．【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．【例6】（2021·天津·中考真题）已知抛物线22y ax ax c =-+（a ，c 为常数，0a ≠）经过点()0,1C -，顶点为D ．（Ⅰ）当1a =时，求该抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）当0a >时，点()0,1E a +，若DE =，求该抛物线的解析式；（Ⅲ）当1a <-时，点()0,1F a -，过点C 作直线l 平行于x 轴，(),0M m 是x 轴上的动点，()3,1N m +-是直线l 上的动点．当a 为何值时，FM DN +的最小值为M ，N 的坐标．【答案】（Ⅰ）抛物线的顶点坐标为(1,2)-；（Ⅱ）2112y x x =--或23312y x x =--；（Ⅲ）点M 的坐标为7,06⎛⎫- ⎪⎝⎭，点N 的坐标为11,16⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】（Ⅰ）结合题意，通过列一元一次方程并求解，即可得到抛物线的解析式，将解析式化为顶点式，即可得到答案（Ⅱ）根据题意，得抛物线的解析式为221y ax ax =--；根据抛物线对称轴的性质，计算得点D 的坐标为(1,1)a --；过点D 作DG y ⊥轴于点G ，根据勾股定理和一元二次方程的性质，得112a =，232a =，从而得到答案； （Ⅲ）当1a <-时，将点(1,1)D a --向左平移3个单位长度，向上平移1个单位长度得(2,)D a '--；作点F 关于x 轴的对称点F '，当满足条件的点M 落在线段F D ''上时，根据两点之间线段最短的性质，得FM DN +最小，结合题意，根据勾股定理和一元二次方程性质，得152=-a ，从而得直线F D ''的解析式，通过计算即可得到答案． 【详解】（Ⅰ）当1a =时，抛物线的解析式为22y x x c =-+．∵抛物线经过点(0,1)C -∴001c -+=-解得：1c =-∴抛物线的解析式为221y x x =--∵2221(1)2y x x x =--=--∴抛物线的顶点坐标为(1,2)-；（Ⅱ）当0a >时，由抛物线22y ax ax c =-+经过点(0,1)C -，可知1c =-∴抛物线的解析式为221y ax ax =--∴抛物线的对称轴为：1x =当1x =时，1y a =--∴抛物线的顶点D 的坐标为(1,1)a --；过点D 作DG y ⊥轴于点G在Rt DEG △中，1DG =，1(1)22EG a a a =+---=+，∴22221(22)DE DG EG a =+=++在Rt DCG 中，1DG =，1(1)CG a a =----=，∴22221DC DG CG a =+=+．∵DE =，即228DE DC =，∴()221(22)81a a ++=+ 解得：112a =，232a = ∴抛物线的解析式为2112y x x =--或23312y x x =--．（Ⅲ）当1a <-时，将点(1,1)D a --向左平移3个单位长度，向上平移1个单位长度得(2,)D a '--．作点F 关于x 轴的对称点F '，得点F '的坐标为(0,1)a -当满足条件的点M 落在线段F D ''上时，FM DN +最小，此时，FM DN F D '='+=过点D 作D H y '⊥轴于点H在Rt FD H '中，2D H '=，(1)12F H a a a '=---=-，∴22222(12)4F D F H D H a '-''=+=+．又240F D ''=，即2(12)440a -+=． 解得：152=-a ，272a =（舍） ∴点F '的坐标为70,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，点D 的坐标为52,2⎛⎫- ⎪⎝⎭． ∴直线F D ''的解析式为732y x =--． 当0y =时，76x =-． ∴76m =-，1136m += ∴点M 的坐标为7,06⎛⎫- ⎪⎝⎭，点N 的坐标为11,16⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了二次函数、一元一次方程、勾股定理、一元二次方程、平移、两点之间线段最短的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、勾股定理、一元二次方程、平移的性质，从而完成求解．【例7】（2021·浙江嘉兴·中考真题）已知二次函数265y x x =-+-． （1）求二次函数图象的顶点坐标；（2）当14x ≤≤时，函数的最大值和最小值分别为多少？（3）当3t x t +≤≤时，函数的最大值为m ，最小值为n ，m -n=3求t 的值．【答案】（1）()3,4；（2）函数的最大值为4，最小值为0；（3）3t = 【解析】 【分析】（1）把二次函数265y x x =-+-配成顶点式即可得出结论； （2）利用二次函数的图象和性质确定函数的最大值和最小值．（3）分t ＜0；03t ≤<；3t ≥三种情况，根据二次函数的性质和m -n=3列出关于t 的方程，解之即可． 【详解】（1）∵()226534y x x x =-+-=--+，∴顶点坐标为()3,4．（2）∵顶点坐标为()3,4，∴当3x =时，4y =最大值，∵当13x ≤≤时，y 随着x 的增大而增大，∴当1x =时，0y =最小值． ∵当34x <≤时，y 随着x 的增大而减小，∴当4x =时，3y =最小值． ∴当14x ≤≤时，函数的最大值为4，最小值为0． （3）当3t x t +≤≤时，对t 进行分类讨论． ①当33t +<时，即，0t <，y 随着x 的增大而增大． 当x t =时，265n t t =-+-．∴()2246569m n t t t t -=-+--+-=-+．∴693t -+=，解得1t =（不合题意，舍去）．②当03t ≤<时，顶点的横坐标在取值范围内，∴4m =． i ）当302t ≤≤时，在x t =时，265n t t =-+-， ∴()2246569m n t t t t -=--+-=-+．∴2693t t -+=，解得13t =，23t =． ii ）当332t <<时在3x t =+时，24n t =-+， ∴()2244m n t t -=--+=．∴23t =，解得，1t =2t =． ③当3t ≥时，y 随着x 的增大而减小，当x t =时，265m t t =-+-，当3x t =+时，()()2236354n t t t =-+++-=-+，∴()2265469m n t t t t -=-+---+=-∴693t -=，解得2t =（不合题意，舍去）．综上所述，3t = 【点睛】本题是二次函数综合题，考查抛物线的性质以及最值问题，有难度，并学会利用参数解决问题是解题的关键，属于中考常考题型．【例8】（2021·安徽·中考真题）已知抛物线221(0)y ax x a =-+≠的对称轴为直线1x =． （1）求a 的值；（2）若点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）都在此抛物线上，且110x -<<，212x <<．比较y 1与y 2的大小，并说明理由；（3）设直线(0)y m m =>与抛物线221y ax x =-+交于点A 、B ，与抛物线23(1)y x =-交于点C ，D ，求线段AB 与线段CD 的长度之比．【答案】（1）1a =；（2）12y y >，见解析；（3【解析】 【分析】（1）根据对称轴2bx a=-，代值计算即可 （2）根据二次函数的增减性分析即可得出结果（3）先根据求根公式计算出1x =|1(1)|AB =-，12CD x x =-==【详解】解：（1）由题意得：212x a-=-= 1a（2）抛物线对称轴为直线1x =，且10a =>∴当1x <时，y 随x 的增大而减小，当1x >时，y 随x 的增大而增大．∴当111x -<<时，y 1随x 1的增大而减小，1x =-时，4y =，0x =时，1y =114y ∴<<同理：212x <<时，y 2随x 2的增大而增大1x =时，0y =． 2x =时，1y =201y ∴<<12y y ∴>（3）令221x x m -+=22(1)0x x m -+-=2(2)41(1)m ∆=--⋅⋅-4m =1x ∴==11x ∴=21x =1(1)|AB ∴=-=令23(1)x m -= 2(1)3m x ∴-=11x ∴=21x =+ 12CD x x ∴=-=AB CD ∴=∴AB 与CD 【点睛】本题考查二次函数的图像性质、二次函数的解析式、对称轴、函数的交点、正确理解二次函数的性质是关键，利用交点的特点解题是重点一、解答题 1．（2021·广东·广州市番禺执信中学二模）设抛物线G 1：y ＝ax 2+bx +c （a ＞0，c ＞1），当x ＝c 时，y ＝0；当0＜x ＜c 时，y ＞0． (1)试用含a ，c 的式子表示b ；(2)请比较ac 和1的大小，并说明理由；(3)若c ＝2，点A （x ，y 1）在抛物线G 1上，点B （x ，y 2）在另一条抛物线G 2上，点C （x ，x ）为平面内一点，若对于任意实数x 点A 、B 到点C 的距离都相等，设抛物线G 2的顶点为点D ，抛物线G 1的对称轴与抛物线G 2的交点为F ，直线DF 解析式为y ＝mx +n ，请求出m 的值．【答案】(1)b ＝﹣1﹣ac (2)ac ≤1，理由见解析 (3)1 【解析】 【分析】（1）将x c =，0y =代入解析式可求解；（2）由0x c <<时，0y >可确定对称轴和c 之间关系，即可确定ac 和1的大小； （3）先求出抛物线2G 的解析式，再求出点D ，点F 的坐标代入直线解析式可求解． (1)解：当x c =时，0y =，20ac bc c ∴++=，1>c ，10ac b ∴++=， 1b ac ∴=--；(2) 解：1ac ，理由如下：当0x c <<时，0y >，当x c =时，0y =，∴二次函数2y ax bx c =++的对称轴为直线2bx c a=-，即2b ac -12b ac ac ∴=---， 1ac ∴；(3)解：当2c =，则抛物线1G 的解析式为2(12)2y ax a x =+--+， 点A 、B 到点C 的距离都相等，12y x x y ∴-=-，2212(32)2y x y ax a x ∴=-=-++-，∴抛物线2G 的解析式为2(32)2y ax a x =-++-， ∴点32(2a D a +，2449)4a a a++， 抛物线1G 的对称轴为直线122ax a+=， ∴点12(2a F a +，2445)4a a a++， 直线DF 解析式为y mx n =+，∴2244932424451242a a am na aa a am na a⎧+++=⨯+⎪⎪⎨+++⎪=⨯+⎪⎩，解得：1m =， m ∴的值为1．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，解题的关键是求出抛物线2G 的解析式．2．（2022·福建三明·一模）抛物线y = ax 2 + bx + c （a ≠0）经过点A （ - 4，0）和点B （5，94）（1）求证:a + b =14； （2）若抛物线经过点C （4，0）①点D 在抛物线上，且点D 在第二象限，并满足∠ABD = 2∠BAC ，求点D 的坐标； ②直线y = kx - 2（k ≠0）与抛物线交于M ，N 两点（点M 在点N 的左侧），点P 是直线MN 下方的抛物线上的一点，点Q 在y 轴上，且四边形MPNQ 是平行四边形，求点Q 的坐标 【答案】（1）证明见解析；（2）①（-6,5）；②（0，0） 【解析】 【分析】（1）把A （ - 4，0）和点B （5，94）代入函数解析式计算即可；（2）先求出抛物线和直线AB 的解析式，求出直线AB 关于x 轴的对称直线AE ，则∠BAE = 2∠BAC ，再过B 作AE 的平行线与抛物线的交点即为D 点； （3）根据四边形对角线互相平分结合中点公式计算即可． 【详解】（1）把A （ - 4，0）和点B （5，94）代入函数解析式得： 164092554a b c a b c -+=⎧⎪⎨++=⎪⎩两个方程相减得：9994a b +=， 即a + b =14（2）∵抛物线经过点C （4，0）∴1640164092554a b c a b c a b c ⎧⎪-+=⎪++=⎨⎪⎪++=⎩ 解得：1,0,44a b c ===-∴抛物线解析式为2144y x =-①∵A （ - 4，0）和点B （5，94） ∴直线AB 的解析式为114y x =+ ∴直线AB 与y 轴的交点F 坐标为（0,1） ∴点F 关于x 轴的对称点E 坐标为（0，-1） ∴∠EAC = ∠BAC ，直线AE 的解析式为114y x =--∴∠BAE = 2∠BACB 作AE 的平行线与抛物线的交点为D 点 ∴∠ABD = ∠BAE = 2∠BAC ∵直线AE 的解析式为114y x =--∴设BD 解析式为114y x b =-+代入B （5，94）得BD 解析式为1742y x =-+ 联立BD 与抛物线解析式得：21742144y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得594x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或65x y =-⎧⎨=⎩ ∴D 点坐标为（-6,5）②∵M 、N 、P 三个点在抛物线上，点Q 在y 轴上 ∴设222111(,4),(,4),(,4),(0,)444M m m N n n P p p Q q ---，∴MN 中点坐标为22(,4)28m n m n ++- PQ 中点坐标为211(,2)282p p q +-∵直线y = kx - 2（k ≠0）与抛物线交于设M ，N 两点∴22144y kx y x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，整理得21204x kx --= ∴4,8m n k mn +==-∴222214()242288m n m n mn k +⎡⎤-=+--=-⎣⎦ ∴MN 中点坐标为2(2,22)k k -∵四边形MPNQ 是平行四边形∴MN 和PQ 互相平分，即MN 、PQ 的中点是同一个点 ∴221221122282k p k p q ⎧=⎪⎪⎨⎪-=+-⎪⎩整理得221122(4)282k k q -=+-，解得0q =∴Q 点坐标为（0，0）． 【点睛】本题考查二次函数与几何的综合题，涉及到直线的对称与平行、平行四边形的性质等知识点，与到两倍角问题通过对称构造倍角是解题的关键．3．（2020·北京通州·三模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2440y ax ax a =-+≠与y 轴交于点A ．（1）求点A 的坐标和抛物线的对称轴；（2）过点()0,3B 作y 轴的垂线l ，若抛物线()2440y ax ax a =-+≠与直线l 有两个交点，设其中靠近y 轴的交点的横坐标为m ，且1m <，结合函数的图象，求a 得取值范围． 【答案】（1）A 的坐标为（0，4），抛物线的对称轴为直线x =2；（2）a ＜−15或a ＞13．【解析】 【分析】（1）由抛物线解析式可求出A 的坐标和抛物线的对称轴；（2）分a ＞0和a ＜0画出图形，求出a 的值，由图象可得a 的取值范围． 【详解】解：（1）y =ax 2-4ax +4=a （x -2）2+4-4a ．∴点A 的坐标为（0，4），抛物线的对称轴为直线x =2． （2）当a ＞0时，临界位置如图所示：∵靠近y 轴的交点的横坐标为m ，且|m |＜1，∴将点（1，3）代入抛物线解析式得：2410ax ax -+=，2x =1()4a >,∵|m |＜1，∴21， ∴a >13．当a ＜0时，临界位置如图所示：将点（-1，3）代入抛物线解析式得2443ax ax -+=，2x = ∵|m |＜1，∴-1<20<，∴a ＜−15．∴a 的取值范围为a ＜−15或a ＞13．【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及抛物线与y 轴的交点． 4．（2021·福建·重庆实验外国语学校模拟预测）已知抛物线22y ax bx =++与x 轴交于(1,0)A -和B 两点，与y 轴交于C 点，且5AB =．对于该抛物线上的任意两点11(P x ，1)y ，22(P x ，2)y ，当121x x <-时，总有12y y <． （1）求抛物线的解析式；（2）若过点A 的直线1:l y kx b =+与该抛物线交于另一点E ，与线段BC 交于点F ．作//EG AC ，EG 与BC 交于G 点，求EG 的最大值，并求此时E 点的坐标；（3）若直线1143y k x k =--与抛物线交于P ，Q 两点(P ，Q 不与A ，B 重合），直线AP ，AQ 分别与y 轴交于点M ，N ，设M ，N 两点的纵坐标分别为m ，n ，试探究m 、n 之间的数量关系．【答案】（1）213222y x x =-++；（2）EG (2,3)E ；（3）32mn =-【解析】 【分析】（1）求得B 点坐标，代入抛物线解析式，求解即可；（2）求得直线l 和BC 的解析式，分别联立直线l 和BC ，直线l 和抛物线，求得E F 、两点，再根据相似三角形表示出EG ，即可求解；（3）分别联立直线AP 与抛物线，直线AQ 与抛物线，求得P Q 、两点，再根据P Q 、两点和点(4,3)-共线，斜率相等，即可求解． 【详解】 解：（1）(1,0)A -，5AB =，(4,0)B ∴或0()6,B -，当(4,0)B 时，220ax bx ++=的两个根为4x =或1x =-，∴24a =-，3ba-=， 12a ∴=-，32b =，213222y x x ∴=-++，∴函数的对称轴为直线32x =，∴当121x x <-时，总有12y y <， ∴函数的解析式为213222y x x =-++； 当0()6,B -时，220ax bx ++=的两个根为6x =-或1x =-，∴26a =，7ba-=-， 13a ∴=，73b =-，217233y x x ∴=-+，∴函数的对称轴为直线72x =-， ∴当12712x x -<-时，总有12y y >， 217233y x x ∴=-+不符合题意；综上所述：函数的解析式为213222y x x =-++；（2）分别过点E F 、作EN AB ⊥，FM AB ⊥，如下图：则//EN FM ，∴AFM AEN △∽△， ∴AF AMAE AN =， ∴AF AMEF MN= 由题意可得，10k b -+=， ∴1b k =，∴直线l 解析式为y kx k =+， ∵(0,2)C ，设直线BC 的解析式为22y k x b =+，∴222240b k b =⎧⎨+=⎩，解得22122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，即122y x =-+， 联立直线l 和BC 得：解得4221521k x k k y k -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，解得425()2121k kF k k -++， 联立直线l 和抛物线得： 213222y x x y kx k⎧=-++⎪⎨⎪=+⎩， 化简得：2(23)240x k x k +-+-=， ∴32A E x x k +=-， ∴42E x k =-，//EG AC ，EGF ACF ∴∆∆∽，∴EG EF MNAC AF MA ==， 5AC =42422142121k k k k k ---+=-++，21)EG k ∴=-， 抛物线开口向下，对称轴为1k =，∴当1k =时，EG(2,3)E ；（3）直线AP 经过点(1,0)A -，(0,)M m ，∴直线AP 的解析式为y mx m =+，联立213222y x x y mx m⎧=-++⎪⎨⎪=+⎩， 解得24225x m y m m =-⎧⎨=-+⎩， 2(42,25)P m m m ∴--+，直线AQ 经过(1,0)A -，(0,)Q n ，直线AQ 的解析式为y nx n =+， 联立213222y x x y nx n⎧=-++⎪⎨⎪=+⎩， 解得24225x n y n n=-⎧⎨=-+⎩， 2(42,25)Q n n n ∴--+，直线1143y k x k =--经过定点(4,3)K ，P 、Q 在直线上，KQ PK k k ∴=，∴2225325322m m n n m n-++-++=--，化简得：(23)()0mn m n +-=∵M ，N 两点不重合，∴m n ≠ ∴32mn =- 【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了二次函数的性质，待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质，一次函数的性质等，熟练掌握相关基本性质是解题的关键． 5．（2021·浙江·绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学二模）已知，二次函数y ＝ax 2＋2ax ＋1(a ≠0) （1）当a 为何值时，该函数图象的顶点在x 轴上，并写出顶点的坐标；（2）已知点(132-，-)，(1，0)，(2，－3)，该函数图象过其中的两点，求此函数的解析式；（3）已知a ＞0，若点A （b ，m )，B (b ＋3，n )是该函数图象上的两点，且m ＞n ，求b 的取值范围．【答案】（1）a ＝1时，顶点坐标为（-1，0）；（2）2112y x x =--+；（3） 52b <-【解析】 【分析】（1）根据一般式顶点坐标的公式求解即可．（2）根据解析式特征，结合二次函数的对称性来判断求解． （3）根据函数的增减性，结合图像判断求解． 【详解】（1）∵函数顶点在x 轴上∴2404ac b a -= 即241(2)04a a a⨯-= 解得：1210a a ==，（舍去）当1a = 时，2122b a a a-=-=- ∴a ＝1时，顶点在x 轴上，坐标为（-1，0） （2）∵221y ax ax =++ ∴对称轴为：2122b ax a a=-=-=- ∵如果函数过点（1，0），其对称点为（-3，0），与(132-，-)冲突∴函数图象必过（2，-3） ∴4413a a ++=- 解得：12a =-∴函数的解析式为：2112y x x =--+（3）当a ＞0时，二次函数开口向上，距离对称轴越远的点，纵坐标值越大 ∵m ＞n ，对称轴为：1x =-∴(1)3(1)b b -->+-- ，即14b b +>+ ①当4b ≤- 时，14b b -->-- 成立②当41b -<≤- 时， 14b b -->+ 解得：52b <-③当1b >- 时，14b b +>+ 不成立 ∴b 的取值范围为：52b <- ．【点睛】本题主要考察二次函数的顶点、求解析式、函数增减性等知识，熟记公式、灵活运用二次函数的对称性、增减性等性质是解题的关键．6．（2021·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）二模）已知二次函数()214ay ax a x =+-+． （1）若二次函数图象的对称轴为直线1x =，求a 的值； （2）当2x ≥时，y 随x 的增大而减小，求a 的取值范围；（3）已知()1,0A -，()2,0B ，若二次函数的图象与线段AB 只有一个交点，求a 的取值范围． 【答案】（1）1a =-；（2）13a ≤-；（3）8499a -<<且0a ≠，12a =【解析】 【分析】（1）直接根据二次函数对称轴公式可得答案； （2）根据二次函数的性质可得问题的答案；（3）分两种情况，结合根的判别式可得答案． 【详解】（1）由题意得，112ax a-=-=， 解得1a =-；（2）由题意得，2x ≥时，y 随x 的增大而减小，∴二次函数开口向下，且对称轴位于x =2的左侧或对称轴为直线x =2,12,02aa a-∴-≤<， 解得13a ≤-；（3）当=0∆时，二次函数与AB 只有一个交点，()()1,0,2,0A B -，∴AB 在x 轴上，∴①()22=4141204ab ac a a a ∆-=--⨯=-=， 12a ∴=②当1x =-时，914y a =-；当2x =时，924y a =+，()2914049912044a a a a a ⎧∆=--⨯>⎪⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪-+< ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩， 8499a ∴-<<且0a ≠ 综上，8499a -<<且0a ≠，12a =．【点睛】考查的是二次函数的图象与系数的关系，掌握对称轴的概念、二次函数的图象的性质及判别式是解决此题关键．7．（2021·吉林省第二实验学校二模）已知，点A 是平面直角坐标系内的一点，将点A 绕坐标原点O 逆时针旋转90︒得到点B ，经过A 、O 、B 三点的二次函数的图象记为G ． （1）若点A 的坐标为()1,2． ①点B 的坐标为___________． ②求图象G 所对应的函数表达式．（2）若点A 的坐标为()(),20m m m ≠，图象G 所对应的函数表达式为2y ax bx =+（a 、b 为常数，0a ≠）．写出b 的值，并用含m 的代数式表示a ．（直接写出即可）（3）在（2）的条件下，直线2x =-与图象G 交于点P ，直线1x =与图象G 交于点Q ．图象G 在P 、Q 之间的部分（包含P 、Q 两点）记为1G ．①当图象G 在21x -≤≤上的函数值y 随自变量x 的增大而增大时，设图象1G 的最高点的纵坐标为1h ，最低点的纵坐标为2h ，记12h h h =-，求h 的取值范围．②连结PQ ，当PQ 与图象1G 围成的封闭图形与x 轴交于点D （点D 不与坐标原点重合）．当12OD ≥时，直接写出m 的取值范围． 【答案】（1）①（-2，1）；②25766y x x =+；（2）5676a mb ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（3）①21782h ≤<或72124h <≤；②1507m -≤<或507m <<或52577m <≤ 【解析】 【分析】（1）①根据关于绕原点逆时针旋转90°点的坐标特征求解即可；②设二次函数的解析式为2y ax bx c =++，然后利用待定系数法求解即可； （2）点A 的坐标为(),2m m ，则()2,B m m -，然后用待定系数法求解即可；（3）①先求出抛物线的对称轴为77652103b x m a m =-=-=-，然后根据图象G 在21x -≤≤上的函数值y 随自变量x 的增大而增大，即可求出15766h m =+，()()2257107226633h m m =⨯-+⨯-=-则125710775663322h h h m m m=-=+-+=-，然后利用二次函数对称轴求出m 的范围即可求解h 的范围；②设直线PQ 的解析式为y kx b =+，由①可知1072,3m P m -⎛⎫- ⎪⎝⎭，571,6m Q m +⎛⎫⎪⎝⎭，然后求出直线PQ 的解析式，从而得到10,057D m ⎛⎫⎪-⎝⎭则1057OD m =-，再根据12OD ≥，即101572m ≥-，求解即可． 【详解】解：（1）①∵B 是A （1，2）绕坐标原点O 逆时针旋转90︒得到的点， ∴B （-2，1）， 故答案为：（-2，1）；②设二次函数的解析式为2y ax bx c =++，∴24210a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩， 解得5676a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴二次函数的解析式为25766y x x =+； （2）∵点A 的坐标为()(),20m m m ≠， ∴()()2,0B m m m -≠，∴22242am bm mam bm m ⎧+=⎨-=⎩， 解得5676a m b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（3）①由（2）得二次函数的解析式为25766y x x m =+， ∴抛物线的对称轴为77652103b x m a m=-=-=-， ∵图象G 在21x -≤≤上的函数值y 随自变量x 的增大而增大， ∴当2x =-时，图像G 1在最低点，即()()2257107226633h m m =⨯-+⨯-=- ∴当1x =时，图像G 1在最高点，即15766h m =+， ∴125710775663322h h h m m m=-=+-+=-， ∵图象G 在21x -≤≤上的函数值y 随自变量x 的增大而增大， ∴当0m >时，7210m -≤-， 解得207m ≥， ∴57028m <≤， ∴217578222m ≤-<，即21782h ≤<；当0m <时，7110m -≥， 解得107m ≤-， ∴75042m-≤<， ∴775212224m <-<，即72124h <≤； 综上所述，21782h ≤<或72124h <≤； ②设直线PQ 的解析式为y kx b =+， 由①可知1072,3m P m -⎛⎫- ⎪⎝⎭，571,6m Q m +⎛⎫⎪⎝⎭，∴10723576m k b m m k b m -⎧-+=⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩，解得75653m k m b m -⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线PQ 的解析式为75563m y x m m-=+， 令0y =则755063m x m m-+=， 解得1057x m=-， ∴10,057D m ⎛⎫⎪-⎝⎭， ∴1057OD m=-，∵12OD ≥， ∴101572m ≥-，解得20157m ≥-或20157m≤--， ∴05720m <-≤或20570m -≤-<， 解得15577m -≤<或52577m <≤，又∵0m ≠， ∴综上所述1507m -≤<或507m <<或52577m <≤． 【点睛】本题主要考查了绕原点旋转90°点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，二次函数图像的性质，求一次函数解析式等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 8．（2021·广东实验中学三模）已知抛物线2(21)46y x m x m =--+-． （1）试说明：不论m 取任何实数，该抛物线都经过x 轴上的定点A ；（2）设该抛物线与x 轴的另一个交点为B （A 与B 不重合），顶点为C ，当ABC 为直角三角形时，求m 的值；（3）在（2）的条件下，若点B 在A 的右侧，点(0,3)D ，点E 是抛物线上的一点．问：在x 轴上是否存在一点F ，使得以D ，E ，F 为顶点的三角形是等腰直角三角形，且90EDF ∠=︒，若存在，求F 点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)不论m 取任何实数，该抛物线都经过x 轴上的定点A (2,0)；(2)32m =或72m =；(3) F 点存在，其坐标为(-4,0)． 【解析】 【分析】(1)对2(21)460x m x m --+-=因式分解为(2)(23)0x x m 即可求解；(2)根据抛物线的对称性且△ABC 为直角三角形，可得△ABC 为等腰直角三角形且∠ACB =90°，过顶点C 作CP ⊥AB 于P ，则CP ＝12AB ，其中CP 为抛物线顶点C 的纵坐标的绝对值，AB 为抛物线与x 轴两个交点横坐标之差的绝对值，代入即可求出m ； (3)由点B 在A 的右侧,得到72m =，此时二次函数为：268y x x =-+，过E 作EM ⊥y 轴，证明△FDO ≌△DEM ，进而EM=DO =3，FO=DM ，再根据E 点在抛物线上即可求出E 点坐标进而求出F 点坐标． 【详解】解：(1)令2(21)46y x m x m =--+-中0y =， 即2(21)460x m x m --+-=，对该式进行因式分解， 得到：(2)(23)0x x m ， ∴12x =，223x m∴不论m 取任何实数，该抛物线都经过x 轴上的定点A (2,0)；(2)由抛物线的对称性且△ABC 为直角三角形可得△ABC 为等腰直角三角形且∠ACB =90°， 过顶点C 作CP ⊥AB 于P ，如下图所示：2222142025(21)46()24m m m y x m x m x --+-=--+-=-+，故顶点C 的坐标为22142025(,)24m m m --+-， ∴2420254m m CP -+-=，且1125232222m AB m ， ∵△ABC 为等腰直角三角形且∠ACB =90°，CP ⊥AB ， ∴12CP AB =， ∴2420252542m m m -+--=，当2420252542m m m -+--=时，整理得到2416150m m ，解得13,2m 25,2m 当24202525042m m m -+--+=时， 整理得到2424350m m ，解得35,2m 47,2m 又抛物线与x 轴有两个不同的交点， ∴222(21)41(46)420250m m m m ，当2352m m 时，代入：2554()2025022，故舍去， 当13,2m 472m =时，代入0∆>，综上所述，32m =或72m =； (3)∵点B 在A 的右侧,∴72m =，此时二次函数变为：268y x x =-+， 假如存在符合题意的E 和F 点，过E 作EM ⊥y 轴，如下图所示：∵△DEF 为等腰直角三角形，且DE=DF ，∠EDF =90°，∴∠FDO +∠EDO =90°，又∠FDO +∠DFO =90°，∴∠EDO =∠DFO ，在△FDO 和△EDM 中，FOD DME DFO EDO DF DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△FDO ≌△DEM (AAS )，∴EM=DO =3，FO=DM ，即E 点的横坐标的绝对值为3，当E 点在y 轴右侧时，且在抛物线268y x x =-+上，故E (3，-1)，此时DM =3-(-1)=4，∴FO =DM =4，此时F 点坐标存在，为(-4,0)；当E 点在y 轴左侧时，由于要保证∠EDF =90°，∴此时F 点必位于第一象限内，而不在x 轴上，故此时F 点不存在， 当32m =时，B 在A 的左侧，不合题意，舍去， 综上所述，F 点存在，其坐标为(-4,0) ．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，等腰直角三角形的存在性问题，二次函数与坐标轴的交点问题，本题难度较大，熟练掌握二次函数及各图形的性质是解决本题的关键．9．（2021·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）三模）已知二次函数y ＝mx 2﹣10mx ﹣2m 2+26．（1）求此二次函数图象的顶点坐标（可用含m 的代数式表示）；（2）若二次函数的图象与x 轴的一个交点为(﹣2，0)，试求m 的值；（3）当m ＜0时，若点(n ，y 1)、(n +2，y 2)都在二次函数图象上，且y 1＜y 2．试求n 的取值范围．【答案】（1）顶点坐标为(5，﹣2m 2﹣25m +26)；（2）m 1＝﹣1，m 2＝13；（3）n ＜4【解析】【分析】（1）根据顶点坐标公式得（﹣2b a ，244ac b a -），则有﹣102m m -＝5，()()224226104m m m m-+--＝﹣2m 2﹣25m +26，进而问题可求解；（2）由题意可把（﹣2，0）代入二次函数y ＝mx 2﹣10mx ﹣2m 2+26，然后问题可求解； （3）由题意得y 1﹣y 2＝4mn ﹣16m ，然后问题可求解．【详解】解：（1）根据顶点坐标公式得（﹣2b a ，244ac b a -）， 横坐标为﹣102m m-＝5， 顶点纵坐标为：()()224226104m m m m -+--＝﹣2m 2﹣25m +26，即顶点坐标为（5，﹣2m 2﹣25m +26）；（2）∵二次函数与x 轴的一个交点为（﹣2，0），∴把（﹣2，0）代入二次函数y ＝mx 2﹣10mx ﹣2m 2+26得，0＝4m ﹣20m ﹣2m 2+26，解得121,13m m =-=；（3）∵()()12,,2,n y n y +在二次函数图象上，∴y 2﹣y 1＝m （n +2）2﹣10m （n +2）﹣2m 2+26﹣（mn 2﹣10mn ﹣2m 2+26），化简得y2﹣y 1＝4mn ﹣16m ，∵y 1＜y 2，m ＜0，∴4mn ﹣16m ＞0，4n ﹣16＜0，∴n ＜4．【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 10．（2021·吉林·长春市解放大路学校模拟预测）在平面直角坐标系中，已知函数222y x ax a =-+（a 为常数）．（1）若1a =，①当03x ≤≤时，y 的取值范围是______；②若2x b -≤≤时，110y ≤≤，则b 的取值范围是______；（2）当02x a ≤≤+时，此函数的最大值与最小值的差是4，求a 的值．（3）设此函数图象与y 轴交点为点M ，过点M 作y 轴的垂线l ，将函数图象在直线l 上方部分沿直线l 翻折后的图象记为1G ，原函数图象未翻折部分记为2G ，1G 与2G 组成的图象记为G ，当G 在直线312x a =+与直线1x 2a 2=+之间所夹的图象y 随x 增大而减小时，直接写出a 的取值范围．【答案】（1）①15y ≤≤；②14b ≤≤；（2）a 的值为0或83-或2；（3）2a ≤-或114a -≤<或12a <≤【解析】【分析】（1）①根据题意可得()2222=11y x x x =-+-+根据自变量的范围求解即可；②根据()2222=11y x x x =-+-+，2x b -≤≤时，110y ≤≤，此时抛物线的顶点横坐标在自变量的取值范围内，即1b ≥，再根据在1x >时，y 随x 增大而增大，当x ＜1时，y 随x 增大而减小，得到当x b =时，10y ≤，再利用二次函数的对称性求解即可；（2）分40a -≤≤，403a <≤和443a <≤三种情况求解即可； （3）画出对应的函数图像，分当0a ≥时和当0a <时，利用数形结合的思想求解即可.【详解】解：（1）①由题意得，()2222=11y x x x =-+-+，∵03x ≤≤，当x =1时，y 有最小值为1，∴15y ≤≤，②∵()2222=11y x x x =-+-+，2x b -≤≤时，110y ≤≤， ∴此时抛物线的顶点横坐标在自变量的取值范围内，即1b ≥，又∵在1x >时，y 随x 增大而增大，当x ＜1时，y 随x 增大而减小，∴当x b =时，10y ≤，又∵2x =-时，()221110y =--+=，∴由对称性可知4x =时，10y =，∴4b ≤∴14b ≤≤；。
压轴题12关于二次函数性质与最值的推理计算综合问题-2023年中考数学压轴题专项训练(全国
2023年中考数学压轴题专项训练压轴题12关于二次函数性质与最值的推理计算综合问题例1．（2023•海曙区一模）对于抛物线y＝ax2﹣4x+3（a＞0）．（1）若抛物线过点（4，3）．①求顶点坐标；②当0≤x≤6时，直接写出y的取值范围为；（2）已知当0≤x≤m时，1≤y≤9，求a和m的值．例2．（2023春•上城区校级月考）设二次函数y＝ax2+4ax+4a+1，a为常数，且a＜0．（1）写出该函数的对称轴和顶点坐标．（2）若该函数图象经过点P（n，y1），Q（n+1，y2），当n≥1时，试比较y1和y2的大小关系．（3）若该函数图象经过点P（x1，y1），Q（x2，y2），设n≤x1≤n+1，当x2≥3时均有y1≥y2，请求出实数n的取值范围．例3．（2023春•顺义区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1）、点B（x2，y2）为抛物线y＝ax2﹣2ax+a（a≠0）上的两点．（1）求抛物线的对称轴；（2）当﹣2＜x1＜﹣1且1＜x2＜2时，试判断y1与y2的大小关系并说明理由；（3）若当t﹣1＜x1＜t且t+1＜x2＜t+2时，存在y1＝y2，求t的取值范围．例4．（2023春•柯桥区月考）如图，已知二次函数y＝x2+ax+a+1的图象经过点P（﹣2，3）．（1）求a的值和图象的顶点坐标．（2）点Q（m，n）在该二次函数图象上．①当m＝2时，求n的值．②当m≤x≤m+3时，该二次函数有最小值11，请根据图象直接写出m的值．1．（2023•深圳模拟）对于“已知x+y＝1，求xy的最大值”这个问题，小明是这样求解的：∵x+y＝1，∴y＝1﹣x，∴xy=x(1−x)=x−x2=−(x−12)2+14；∴xy≤14，所以xy的最大值为14．请你按照这种方法计算：当2n+m＝4（m＞0，n＞0）时，2m +1n的最小值．2．（2022秋•诸暨市期末）已知函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，3），（6，3）．（1）求b，c的值；（2）当0≤x≤4时，求y的最大值与最小值之差；（3）当k﹣4≤x≤k时，若y的最大值与最小值之差为8，求k的值．3．（2022秋•漳州期末）已知二次函数y＝x2+bx+c（b、c为常数）的图象经过点（0，3）、（1，﹣2）．（1）求b、c的值；（2）当3≤x≤m时，若y的最大值与最小值之和为1，求m的值．4．（2023•来安县一模）已知关于x的二次函数y1＝（x+2a）（x﹣2b）（其中a，b为常数）．（1）若a＝1，该二次函数的图象经过点（﹣1，3），求b；（2）若a＝b﹣2．①若（﹣1，m）和（3，n）是该二次函数图象上的点，比较m和n的大小；②设一次函数y2＝﹣x+2b，当函数y＝y1+y2的图象经过点（c，0）时，探索b与c之间的数量关系，并加以推理．5．（2023•北仑区一模）抛物线y＝（x+1）（x﹣t）（t为常数）经过点A（4，5），B（m，n）．（1）求t的值；（2）若n＜5，求m的取值范围．6．（2023•秦皇岛一模）已知y ＝ax 2+bx +c 过点A （2，0），B （3n ﹣4，y 1），C （5n +6，y 2）三点，对称轴是直线x ＝1，关于x 的方程ax 2+bx +c ＝x 有两个相等的实数根．（1）求抛物线的解析式；（2）若B 点在直线x ＝1的左侧，C 点在直线x ＝1的右侧，且y 1＞y 2，求n 的取值范围；（3）若n ＜﹣5，试比较y 1与y 2的大小．7．（2022•无为市三模）已知抛物线y ＝a （x ﹣h ）2+k 经过点A （1，y 1），B （2，y 2），C （3，y 3），连接AB 、BC ，令AB BC =λ．（1）若a ＞0，h ＝2，求λ的值；（2）若h ＝1，λ=√55，求a 的值．8．（2022•平谷区二模）在平面直角坐标系xOy 中，点（﹣1，y 1）、（1，y 2）、（3，y 3）是抛物线y ＝x 2+bx +1上三个点．（1）直接写出抛物线与y 轴的交点坐标；（2）当y 1＝y 3时，求b 的值；（3）当y 3＞y 1＞1＞y 2时，求b 的取值范围．9．（2023•西城区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2ax﹣3．（1）求该抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；（2）A（x1，y1），B（x2，y2）为该抛物线上的两点，若x1＝1﹣2a，x2＝a+1，且y1＞y2，求a的取值范围．10．（2022•海淀区校级模拟）二次函数y＝ax2﹣2atx+c（a≠0）的图象经过A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C （1，y3），D（3，y4）四点．（1）求二次函数的对称轴（用含的代数式表示）；（2）已知t＝﹣1，若y2y3＜0，请直接判断y1y4的正负性，即y1y40（填“＞”或“＜”）；（3）若y3＞y2＞y4，求t的取值范围并判断y1，y2的大小关系．11．（2021•西湖区校级二模）已知：二次函数y＝x2+bx﹣3的图象经过点P（﹣2，5）．（1）求b的值；（2）设P1（m，y1）、P2（m+1，y2）、P3（m+2，y3）均在该函数图象上，①当m＝4时，y1、y2、y3能否作为同一个三角形三边的长？请说明理由；②当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由．12．（2021•安徽二模）二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C．（1）求a，b的值；（2）点P为二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象上一动点，且位于第一象限，设△ABP的面积为S1，△CBP的面积为S2，记w＝S1﹣2S2+1，求w的最小值．13．（2023•龙湾区一模）如图，已知点C为二次函数y＝x2﹣4x+1的顶点，点P（0，n）为y轴正半轴上一点，过点P作y轴的垂线交函数图象于点A，B（点A在点B的左侧）．点M在射线PB上，且满足PM ＝1+n．过点M作MN⊥AB交抛物线于点N，记点N的纵坐标为y N．（1）求顶点C的坐标．（2）①若n＝3，求MB的值．②当0＜n≤4时，求y N的取值范围．14．（2022•香洲区校级三模）直线y=−12x+1与x，y轴分别交于点A，B，抛物线的解析式为y＝2x2﹣4ax+2a2+a．（1）求出点A，B的坐标，用a表示抛物线的对称轴；（2）若函数y＝2x2﹣4ax+2a2+a在3≤x≤4时有最大值为a+2，求a的值；（3）取a＝﹣1，将线段AB平移得到线段A'B'，若抛物线y＝2x2﹣4ax+2a2+a与线段A'B'有两个交点，求直线A'B'与y轴交点的纵坐标的取值范围．＜0）上．（1）若m＝4，n＝﹣12，求抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）已知点A（1，y1），B（4，y2）在该抛物线上，且mn＝0．①比较y1，y2，0的大小，并说明理由；②将线段AB沿水平方向平移得到线段A'B'，若线段A'B'与抛物线有交点，直接写出点A'的横坐标x的取值范围．16．（2022•博望区校级一模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3的图象经过点A（﹣1，0）．（1）求a的值；（2）若点B（m，n）与点C（m+1，n+1）都在抛物线y＝x2﹣2ax﹣3上，求m+n的值；（3）若一次函数y＝（k+1）x+k+1的图象与二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3的图象的交点坐标是（x1，y1），（x2，y2）且x1＜0＜x2时，求函数w＝y1+y2的最小值．17．（2022•海淀区校级模拟）在平面直角坐标系中，设二次函数y＝（x+a）（x﹣a﹣1）（a＞0），（1）求二次函数对称轴；（2）若当﹣1≤x≤3时，函数的最大值为4，求此二次函数的顶点坐标．（3）抛物线上两点M（x1，y1），N（x2，y2）若对于t＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+3都有y1≠y2，求t的取值范围．﹣2ax+a（a≠0）上的两点．（1）求抛物线的对称轴；（2）当﹣2＜x1＜﹣1且1＜x2＜2时，试判断y1与y2的大小关系并说明理由；（3）若当t＜x1＜t+1且t+2＜x2＜t+3时，存在y1＝y2，求t的取值范围．19．（2022•萧山区二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+（a﹣1）x﹣1．（1）若该函数的图象经过点（1，2），求该二次函数图象的顶点坐标．（2）若（x1，y1），（x2，y2）为此函数图象上两个不同点，当x1+x2＝﹣2时，恒有y1＝y2，试求此函数的最值．（3）当a＜0且a≠﹣1时，判断该二次函数图象的顶点所在象限，并说明理由．20．（2022•盈江县模拟）抛物线C1：y＝x2+bx+c的对称轴为x＝1，且与y轴交点的纵坐标为﹣3．（1）求b，c的值；（2）抛物线C2：y＝﹣x2+mx+n经过抛物线C1的顶点P．①求证：抛物线C2的顶点Q也在抛物线C1上；②若m＝8，点E是在点P和点Q之间抛物线C1上的一点，过点E作x轴的垂线交抛物线C2于点F，求EF长度的最大值．。
代数推理题怎么解
代数推理题怎么解数学是“教会年轻人思考”的科学, 针对代数推理型问题, 我们不但要寻求它的解法是什么, 还要思考有没有其它的解法, 更要反思为什么要这样解, 不这样解行吗?我们通过典型的问题, 解析代数推理题的解题思路, 方法和技巧. 在解题思维的过程中, 既重视通性通法的演练, 又注意特殊技巧的作用, 同时将函数与方程, 数形结合, 分类与讨论, 等价与化归等数学思想方法贯穿于整个的解题训练过程当中. 例1设函数134)(,4)(2+=--+=x x g x x a x f ，已知]0,4[-∈x ，时恒有)()(x g x f ≤，求a 的取值X 围.讲解:由得实施移项技巧,)()(x g x f ≤,134:,4:,134422a x y L x x y C a x x x -+=--=-+≤--令, 从而只要求直线L 不在半圆C 下方时,直线L 的y 截距的最小值.当直线与半圆相切时，易求得35(5=-=a a 舍去）. 故)()(,5x g x f a ≤-≤时.本例的求解在于实施移项技巧，关键在于构造新的函数, 进而通过解几模型进行推理解题, 当中, 渗透着数形结合的数学思想方法, 显示了解题思维转换的灵活性和流畅性.还须指出的是: 数形结合未必一定要画出图形, 但图形早已在你的心中了, 这也许是解题能力的提升, 还请三思而后行.例2已知不等式32)1(log 121212111+-≥+++++a n n n a 对于大于1的正整数n 恒成立，试确定a 的取值X 围. 讲解: 构造函数nn n n f 212111)(+++++=，易证(请思考:用什么方法证明呢?))(n f 为增函数.∵n 是大于1的正整数，.127)2()(=≥∴f n f 32)1(log 121212111+-≥+++++a n n n a 要使对一切大于1的正整数恒成立， 必须12732)1(log 121≤+-a a ,即.2511,1)1(log +≤<-≤-a a a 解得这里的构造函数和例1属于同类型, 学习解题就应当在解题活动的过程中不断的逐类旁通, 举一反三, 总结一些解题的小结论. 针对恒成立的问题, 函数最值解法似乎是一种非常有效的同法, 请提炼你的小结论.例3已知函数)0(49433)(22>++--=b b x x x f 在区间[－b ，1－b]上的最大值为25，求b 的值.讲解:由已知二次函数配方, 得.34)21(3)(22+++-=b x x f2321,121)1(≤≤-≤-≤-b b b 即当时，)(x f 的最大值为4b 2+3=25. ;23214252矛盾与≤≤=∴b b ]1,[)(,210,21)2(b b x f b b --<<-<-在时即当上递增， ;25)23()(2<+=-∴b b f ]1,[)(23,121)3(b b x f b b -->->-在时，即当上递增，∴25,2541596)1(2==-+=-b b b f 解得. 关于二次函数问题是历年高考的热门话题, 值得读者在复课时重点强化训练. 针对抛物线顶点横坐标21在不在区间[－b ，1－b], 自然引出解题形态的三种情况, 这显示了分类讨论的数学思想在解题当中的充分运用. 该分就分, 该合就合, 这种辨证的统一完全依具体的数学问题而定, 需要在解题时灵活把握.例4已知).1(1)(-≠+=x x xx f)()1(x f 求的单调区间；（2）若.43)()(:,)(1,0>+-=>>c f a f b b a c b a 求证讲解: （1） 对 已 知 函 数 进 行 降 次 分 项 变 形 , 得111)(+-=x x f ,.),1()1,()(上分别单调递增和在区间+∞---∞∴x f（2）首先证明任意).()()(,0y f x f y x f y x +<+>>有事实上,)(1111)()(y x xy f y x xy y x xy y x xy y x xy xy y y x x y f x f ++=+++++>++++++=+++=+而()),()1(,y x f y x xy f y x y x xy +>+++>++知由)()()(y x f y f x f +>+∴,04)2(1)(122>=+-≥-=a b b a b b a c.34222≥++≥+∴a a a c a 43)3()()()(=≥+>+∴f c a f c f a f .函 数 与 不 等 式 证 明 的 综 合 题 在 高 考 中 常 考 常 新 , 是 既 考 知 识 又 考 能 力 的 好 题 型 , 在 高 考 备 考 中 有 较 高 的 训 练 价 值.. 针对本例的求解, 你能够想到证明任意).()()(,0y f x f y x f y x +<+>>有采用逆向分析法, 给出你的想法!例5 已知函数f(x)=a a a xx+（ａ＞０，ａ≠１）．(1) 证明函数f(x)的图象关于点P(21,21)对称．(2) 令an ＝)1()(n f n f a -，对一切自然数n ，先猜想使an ＞ｎ２成立的最小自然数a,并证明之．(3) 求证：nn n n )(!(lg 3lg )1(41>+∈Ｎ).讲解: (1)关于函数的图象关于定点P 对称, 可采用解几中的坐标证法.设M(x,y)是f(x)图象上任一点，则M 关于P(21,21)的对称点为M ’（１－ｘ，１－ｙ）， yx f aa aaa a y a a a a a a a aa a x x xxxx x -=-∴+=+-=-+=⋅+=+--1)1(1111∴Ｍ′(1-x,1-y)亦在f(x)的图象上，故函数f(x)的图象关于点P(21,21)对称.(2)将f(n)、f(1-n)的表达式代入an 的表达式，化简可得an ＝ａｎ猜a=3, 即3ｎ＞ｎ２．下面用数学归纳法证明．设n=k(k ≥２)时，3ｋ＞ｋ２．那么n=k+1，3ｋ＋１＞３·３ｋ＞３ｋ２又3k ２－（ｋ＋１）２＝２（ｋ－21）２－23≥０（ｋ≥２，ｋ∈Ｎ）∴３ｎ＞ｎ２. (3)∵３ｋ＞ｋ２∴ｋｌｇ３＞２ｌｇｋ令k=1,2,…，n ，得n 个同向不等式，并相加得：).!lg(3lg )1(4),21lg(23lg 2)1(n n nn n n >-⨯>+故函数与数列综合型问题在高考中频频出现,是历年高考试题中的一道亮丽的风景线.针对本例,你能够猜想出最小自然数a=3吗? 试试你的数学猜想能力.例6 已知二次函数)0,,(1)(2>∈++=a R b a bx ax x f ，设方程x x f =)(的两个实根为x1和x2.（1）如果4221<<<x x ，若函数)(x f 的对称轴为x=x0，求证：x0＞－1； （2）如果2||,2||121=-<x x x ，求b 的取值X 围.讲解:（1）设01)1()()(2>+-+=-=a x b ax x x f x g 且，由4221<<<x x 得0)4(,0)2(><g g 且, 即,81,221443.221443034160124>-<--<<-∴⎩⎨⎧>-+<-+a a a a b a b a b a 得由 a a b a 4112832->->-∴， 故18141120-=⋅->-=ab x ；（2）由,01,01)1()(212>==+-+=ax x x b ax x g 可知21,x x ∴同号. ①若0124)2(,22,2,2012121<-+=∴>+=∴=-<<b a g x x x x x 则.又0(1)1(1244)1(||222212>+-=+=--=-a b a a a b x x 得，负根舍去）代入上式得b b 231)1(22-<+-，解得41<b ；②若,0)2(,22,02121<-∴-<+-=<<-g x x x 则 即4a －2b+3＜0.同理可求得47>b .故当.47,02,41,2011><<-<<<b x b x 时当时对你而言, 本例解题思维的障碍点在哪里, 找找看, 如何排除? 下一次遇到同类问题,你会很顺利的克服吗? 我们力求做到学一题会一类, 不断提高逻辑推理能力.例7 对于函数)(x f ，若存在000)(,x x f R x =∈使成立，则称)(0x f x 为的不动点。
二次函数中常见的几种综合题型(含解析) ——适合中上
二次函数中常见的几类综合题型一求线段最大值及根据面积求点坐标问题1.如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）．（1）求直线BC与抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标．分析：（1）设直线BC的解析式为y=mx+n，将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入，运用待定系数法即可求出直线BC的解析式；同理，将B（5，0），C（0，5）两点∑的坐标代入y=x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）MN的长是直线BC的函数值与抛物线的函数值的差，据此可得出一个关于MN的长和M点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出MN的最大值；（3）先求出△ABN的面积S2=5，则S1=6S2=30．再设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD，根据平行四边形的面积公式得出BD=3，过点D作直线BC的平行线，交抛物线与点P，交x轴于点E，在直线DE上截取PQ=BC，则四边形CBPQ为平行四边形．证明△EBD为等腰直角三角形，则BE=BD=6，求出E的坐标为（﹣1，0），运用待定系数法求出直线PQ的解析式为y=﹣x﹣1，然后解方程组，即可求出点P的坐标．解答：解：（1）设直线BC的解析式为y=mx+n，将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入，得，解得，所以直线BC的解析式为y=﹣x+5；将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入y=x2+bx+c，得，解得，所以抛物线的解析式为y=x2﹣6x+5；（2）设M（x，x2﹣6x+5）（1＜x＜5），则N（x，﹣x+5），∵MN=（﹣x+5）﹣（x2﹣6x+5）=﹣x2+5x=﹣（x﹣）2+，∴当x=时，MN有最大值；（3）∵MN取得最大值时，x=2.5，∴﹣x+5=﹣2.5+5=2.5，即N（2.5，2.5）．解方程x2﹣6x+5=0，得x=1或5，∴A（1，0），B（5，0），∴AB=5﹣1=4，∴△ABN的面积S2=×4×2.5=5，∴平行四边形CBPQ的面积S1=6S2=30．设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD，则BC⊥BD．∵BC=5，∴BC•BD=30，∴BD=3．过点D作直线BC的平行线，交抛物线与点P，交x轴于点E，在直线DE上截取PQ=BC，则四边形CBPQ为平行四边形．∵BC⊥BD，∠OBC=45°，∴∠EBD=45°，∴△EBD为等腰直角三角形，BE=BD=6，∵B（5，0），∴E（﹣1，0），设直线PQ的解析式为y=﹣x+t，将E（﹣1，0）代入，得1+t=0，解得t=﹣1∴直线PQ的解析式为y=﹣x﹣1．解方程组，得，，∴点P的坐标为P1（2，﹣3）（与点D重合）或P2（3，﹣4）．2.如图，对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）．（1）求点B的坐标；（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．①若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC．求点P的坐标；②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值分析：（1）由抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1，交x轴于A、B两点，其中A点的坐标为（﹣3，0），根据二次函数的对称性，即可求得B点的坐标；（2）①a=1时，先由对称轴为直线x=﹣1，求出b的值，再将B（1，0）代入，求出二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3，得到C点坐标，然后设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），根据S△POC=4S△BOC列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标；②先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y=﹣x﹣3，再设Q点坐标为（x，﹣x﹣3），则D点坐标为（x，x2+2x﹣3），然后用含x的代数式表示QD，根据二次函数的性质即可求出线段QD长度的最大值．解答：解：（1）∵对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，∴A、B两点关于直线x=﹣1对称，∵点A的坐标为（﹣3，0），∴点B的坐标为（1，0）；（2）①a=1时，∵抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1，∴=﹣1，解得b=2．将B（1，0）代入y=x2+2x+c，得1+2+c=0，解得c=﹣3．则二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3，∴抛物线与y轴的交点C的坐标为（0，﹣3），OC=3．设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），∵S△POC=4S△BOC，∴×3×|x|=4××3×1，∴|x|=4，x=±4．当x=4时，x2+2x﹣3=16+8﹣3=21；当x=﹣4时，x2+2x﹣3=16﹣8﹣3=5．所以点P的坐标为（4，21）或（﹣4，5）；②设直线AC的解析式为y=kx+t，将A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入，得，解得，即直线AC的解析式为y=﹣x﹣3．设Q点坐标为（x，﹣x﹣3）（﹣3≤x≤0），则D点坐标为（x，x2+2x﹣3），QD=（﹣x﹣3）﹣（x2+2x﹣3）=﹣x2﹣3x=﹣（x+）2+，∴当x=﹣时，QD有最大值．二求三角形周长及面积的最值问题3.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；（3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（ E与A、D不重合），过E点作平行于y 轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．①求S与m的函数关系式；②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．分析：（1）根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可；（2）根据BC是定值，得到当PB+PC最小时，△PBC的周长最小，根据点的坐标求得相应线段的长即可；（3）设点E的横坐标为m，表示出E（m，2m+6），F（m，﹣m2﹣2m+3），最后表示出EF的长，从而表示出S于m的函数关系，然后求二次函数的最值即可．解答：解：（1）由题意可知：解得：∴抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；（2）∵△PBC的周长为：PB+PC+BC∵BC是定值，∴当PB+PC最小时，△PBC的周长最小，∵点A、点B关于对称轴I对称，∴连接AC交l于点P，即点P为所求的点∵AP=BP∴△PBC的周长最小是：PB+PC+BC=AC+BC∵A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3），∴AC=3，BC=；故△PBC周长的最小值为3+．（3）①∵抛物线y=﹣x2﹣2x+3顶点D的坐标为（﹣1，4）∵A（﹣3，0）∴直线AD的解析式为y=2x+6∵点E的横坐标为m，∴E（m，2m+6），F（m，﹣m2﹣2m+3）∴EF=﹣m2﹣2m+3﹣（2m+6）=﹣m2﹣4m﹣3∴S=S△DEF+S△AEF=EF•GH+EF•AG=EF•AH=（﹣m2﹣4m﹣3）×2=﹣m2﹣4m﹣3；②S=﹣m2﹣4m﹣3=﹣（m+2）2+1；∴当m=﹣2时，S最大，最大值为1此时点E的坐标为（﹣2，2）．4. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．分析：（1）利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；（2）利用待定系数法求出直线AC的解析式，然后根据轴对称确定最短路线问题，直线AC与对称轴的交点即为所求点D；（3）根据直线AC的解析式，设出过点E与AC平行的直线，然后与抛物线解析式联立消掉y得到关于x 的一元二次方程，利用根的判别式△=0时，△ACE的面积最大，然后求出此时与AC平行的直线，然后求出点E的坐标，并求出该直线与x轴的交点F的坐标，再求出AF，再根据直线l与x轴的夹角为45°求出两直线间的距离，再求出AC间的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0），点C（4，3），∴，解得，所以，抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3；（2）∵点A、B关于对称轴对称，∴点D为AC与对称轴的交点时△BCD的周长最小，设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），则，解得，所以，直线AC的解析式为y=x﹣1，∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x=2，当x=2时，y=2﹣1=1，∴抛物线对称轴上存在点D（2，1），使△BCD的周长最小；（3）如图，设过点E与直线AC平行线的直线为y=x+m，联立，消掉y得，x2﹣5x+3﹣m=0，△=（﹣5）2﹣4×1×（3﹣m）=0，即m=﹣时，点E到AC的距离最大，△ACE的面积最大，此时x=，y=﹣=﹣，∴点E的坐标为（，﹣），设过点E的直线与x轴交点为F，则F（，0），∴AF=﹣1=，∵直线AC的解析式为y=x﹣1，∴∠CAB=45°，∴点F到AC的距离为×=，又∵AC==3，∴△ACE的最大面积=×3×=，此时E点坐标为（，﹣）．三为等腰或直角三角形是求点坐标问题5.如图，已知直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）求△ABC的面积；（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标．分析：（1）根据直线解析式求出点A及点B的坐标，然后将点A及点B的坐标代入抛物线解析式，可得出b、c的值，求出抛物线解析式；（2）由（1）求得的抛物线解析式，可求出点C的坐标，继而求出AC的长度，代入三角形的面积公式即可计算；（3）根据点M在抛物线对称轴上，可设点M的坐标为（﹣1，m），分三种情况讨论，①MA=BA，②MB=BA，③MB=MA，求出m的值后即可得出答案．解答：解：（1）∵直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，∴可得A（1，0），B（0，﹣3），把A、B两点的坐标分别代入y=x2+bx+c得：，解得：．∴抛物线解析式为：y=x2+2x﹣3．（2）令y=0得：0=x2+2x﹣3，解得：x1=1，x2=﹣3，则C点坐标为：（﹣3，0），AC=4，故可得S△ABC=AC×OB=×4×3=6．（3）抛物线的对称轴为：x=﹣1，假设存在M（﹣1，m）满足题意：讨论：①当MA=AB时，，解得：，∴M1（﹣1，），M2（﹣1，﹣）；②当MB=BA时，，解得：M3=0，M4=﹣6，∴M3（﹣1，0），M4（﹣1，﹣6）（不合题意舍去），③当MB=MA时，，解得：m=﹣1，∴M5（﹣1，﹣1），答：共存在4个点M1（﹣1，），M2（﹣1，﹣），M3（﹣1，0），M4（﹣1，﹣1）使△ABM为等腰三角形．6.如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）（1）求该抛物线的解析式．（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）首先求出△PCE面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值；（3）△OMD为等腰三角形，可能有三种情形，需要分类讨论．解答：解：（1）把点C（0，﹣4），B（2，0）分别代入y=x2+bx+c中，得，解得∴该抛物线的解析式为y=x2+x﹣4．（2）令y=0，即x2+x﹣4=0，解得x1=﹣4，x2=2，∴A（﹣4，0），S△ABC=AB•OC=12．设P点坐标为（x，0），则PB=2﹣x．∵PE∥AC，∴∠BPE=∠BAC，∠BEP=∠BCA，∴△PBE∽△ABC，∴，即，化简得：S△PBE=（2﹣x）2．S△PCE=S△PCB﹣S△PBE=PB•OC﹣S△PBE=×（2﹣x）×4﹣（2﹣x）2=x2﹣x+=（x+1）2+3∴当x=﹣1时，S△PCE的最大值为3．（3）△OMD为等腰三角形，可能有三种情形：（I）当DM=DO时，如答图①所示．DO=DM=DA=2，∴∠OAC=∠AMD=45°，∴∠ADM=90°，∴M点的坐标为（﹣2，﹣2）；（II）当MD=MO时，如答图②所示．过点M作MN⊥OD于点N，则点N为OD的中点，∴DN=ON=1，AN=AD+DN=3，又△AMN为等腰直角三角形，∴MN=AN=3，∴M点的坐标为（﹣1，﹣3）；（III）当OD=OM时，∵△OAC为等腰直角三角形，∴点O到AC的距离为×4=，即AC上的点与点O之间的最小距离为．∵＞2，∴OD=OM的情况不存在．综上所述，点M的坐标为（﹣2，﹣2）或（﹣1，﹣3）．7.如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（1.0），C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．分析：（1）已知抛物线上的三点坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的解析式；（2）过点P作x轴的垂线，交AC于点N，先运用待定系数法求出直线AC的解析式，设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），根据AC的解析式表示出点N的坐标，再根据S△PAC=S△PAN+S△PCN就可以表示出△PAC的面积，运用顶点式就可以求出结论；（3）分三种情况进行讨论：①以A为直角顶点；②以D为直角顶点；③以M为直角顶点；设点M的坐标为（0，t），根据勾股定理列出方程，求出t的值即可．解答：解：（1）由于抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），可设抛物线的解析式为：y=a（x+3）（x﹣1），将C点坐标（0，﹣3）代入，得：a（0+3）（0﹣1）=﹣3，解得 a=1，则y=（x+3）（x﹣1）=x2+2x﹣3，所以抛物线的解析式为：y=x2+2x﹣3；（2）过点P作x轴的垂线，交AC于点N．设直线AC的解析式为y=kx+m，由题意，得，解得，∴直线AC的解析式为：y=﹣x﹣3．设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），则点N的坐标为（x，﹣x﹣3），∴PN=PE﹣NE=﹣（x2+2x﹣3）+（﹣x﹣3）=﹣x2﹣3x．∵S△PAC=S△PAN+S△PCN，∴S=PN•OA=×3（﹣x2﹣3x）=﹣（x+）2+，∴当x=﹣时，S有最大值，此时点P的坐标为（﹣，﹣）；（3）在y轴上是存在点M，能够使得△ADM是直角三角形．理由如下：∵y=x2+2x﹣3=y=（x+1）2﹣4，∴顶点D的坐标为（﹣1，﹣4），∵A（﹣3，0），∴AD2=（﹣1+3）2+（﹣4﹣0）2=20．设点M的坐标为（0，t），分三种情况进行讨论：①当A为直角顶点时，如图3①，由勾股定理，得AM2+AD2=DM2，即（0+3）2+（t﹣0）2+20=（0+1）2+（t+4）2，解得t=，所以点M的坐标为（0，）；②当D为直角顶点时，如图3②，由勾股定理，得DM2+AD2=AM2，即（0+1）2+（t+4）2+20=（0+3）2+（t﹣0）2，解得t=﹣，所以点M的坐标为（0，﹣）；③当M为直角顶点时，如图3③，由勾股定理，得AM2+DM2=AD2，即（0+3）2+（t﹣0）2+（0+1）2+（t+4）2=20，解得t=﹣1或﹣3，所以点M的坐标为（0，﹣1）或（0，﹣3）；综上可知，在y轴上存在点M，能够使得△ADM是直角三角形，此时点M的坐标为（0，）或（0，﹣）或（0，﹣ 1）或（0，﹣3）．四四边形与二次函数问题8、如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．分析：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），再把A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点代入求出a、b、c的值即可；（2）因为点A关于对称轴对称的点A的坐标为（5，0），连接BC交对称轴直线于点P，求出P点坐标即可；（3）分点N在x轴下方或上方两种情况进行讨论．解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点在抛物线上，∴，解得．∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣；（2）∵抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣，∴其对称轴为直线x=﹣=﹣=2，连接BC，如图1所示，∵B（5，0），C（0，﹣），∴设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），∴，解得，∴直线BC的解析式为y=x﹣，当x=2时，y=1﹣=﹣，∴P（2，﹣）；（3）存在．如图2所示，①当点N在x轴下方时，∵抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，﹣），∴N1（4，﹣）；②当点N在x轴上方时，如图，过点N2作ND⊥x轴于点D，在△AN2D与△M2CO中，∴△AN2D≌△M2CO（ASA），∴N2D=OC=，即N2点的纵坐标为．∴x2﹣2x﹣=，解得x=2+或x=2﹣，∴N2（2+，），N3（2﹣，）．综上所述，符合条件的点N的坐标为（4，﹣），（2+，）或（2﹣，）．9.如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（2，0），交y轴于点B（0，）．直线y=kx过点A与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点是D．（1）求抛物线y=x2+bx+c与直线y=kx的解析式；（2）设点P是直线AD上方的抛物线上一动点（不与点A、D重合），过点P作 y轴的平行线，交直线AD于点M，作DE⊥y轴于点E．探究：是否存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形？若存在请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，作PN⊥AD于点N，设△PMN的周长为l，点P的横坐标为x，求l与x的函数关系式，并求出l的最大值．分析：（1）将A，B两点分别代入y=x2+bx+c进而求出解析式即可；（2）首先假设出P，M点的坐标，进而得出PM的长，将两函数联立得出D点坐标，进而得出CE的长，利用平行四边形的性质得出PM=CE，得出等式方程求出即可；（3）利用勾股定理得出DC的长，进而根据△PMN∽△CDE，得出两三角形周长之比，求出l与x的函数关系，再利用配方法求出二次函数最值即可．解答：解：（1）∵y=x2+bx+c经过点A（2，0）和B（0，）∴由此得，解得．∴抛物线的解析式是y=x2﹣x+，∵直线y=kx﹣经过点A（2，0）∴2k﹣=0，解得：k=，∴直线的解析式是 y=x﹣，（2）设P的坐标是（x，x2﹣x+），则M的坐标是（x，x﹣）∴PM=（x2﹣x+）﹣（x﹣）=﹣x2﹣x+4，解方程得：，，∵点D在第三象限，则点D的坐标是（﹣8，﹣7），由y=x﹣得点C的坐标是（0，﹣），∴CE=﹣﹣（﹣7）=6，由于PM∥y轴，要使四边形PMEC是平行四边形，必有PM=CE，即﹣x2﹣x+4=6解这个方程得：x1=﹣2，x2=﹣4，符合﹣8＜x＜2，当x=﹣2时，y=﹣×（﹣2）2﹣×（﹣2）+=3，当x=﹣4时，y=﹣×（﹣4）2﹣×（﹣4）+=，因此，直线AD上方的抛物线上存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形，点P的坐标是（﹣2，3）和（﹣4，）；（3）在Rt△CDE中，DE=8，CE=6 由勾股定理得：DC=∴△CDE的周长是24，∵PM∥y轴，∵∠PMN=∠DCE，∵∠PNM=∠DEC，∴△PMN∽△CDE，∴=，即=，化简整理得：l与x的函数关系式是：l=﹣x2﹣x+，l=﹣x2﹣x+=﹣（x+3）2+15，∵﹣＜0，∴l有最大值，当x=﹣3时，l的最大值是15．10.如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．分析：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），再把A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点代入求出a、b、c的值即可；（2）因为点A关于对称轴对称的点A的坐标为（5，0），连接BC交对称轴直线于点P，求出P点坐标即可；（3）分点N在x轴下方或上方两种情况进行讨论．解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点在抛物线上，∴，解得．∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣；（2）∵抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣，∴其对称轴为直线x=﹣=﹣=2，连接BC，如图1所示，∵B（5，0），C（0，﹣），∴设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），∴，解得，∴直线BC的解析式为y=x﹣，当x=2时，y=1﹣=﹣，∴P（2，﹣）；（3）存在．如图2所示，①当点N在x轴下方时，∵抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，﹣），∴N1（4，﹣）；②当点N在x轴上方时，如图，过点N2作ND⊥x轴于点D，在△AN2D与△M2CO中，∴△AN2D≌△M2CO（ASA），∴N2D=OC=，即N2点的纵坐标为．∴x2﹣2x﹣=，解得x=2+或x=2﹣，∴N2（2+，），N3（2﹣，）．综上所述，符合条件的点N的坐标为（4，﹣），（2+，）或（2﹣，）．。
二次函数代数推理综合问题解析
二次函数代数推理综合问题解析
二次函数（Quadratic Functions）最基础水平的代数推理问题之一，可以
用来解决各种给定一些参数的情况下，求出另一个参数或参数值之类的问题。
这类函数由俩参数组成，称为x、y，x为自变量，y为因变量。
在一般的情况下，这两
个参数可以满足以下数学关系：y=ax^2+bx+c。
总而言之，可以用二次函数来描述
在x和y两个参数间二次关系的简单函数。
比如说，假如我们知道了x以及y的值，就可以通过反推，求出这个函数的系
数a、b、c，至于求解的过程，可以使用高等数学中的一些解决方法，比如求根公式、全局最小值法等等。
然后，在得出了三个系数之后，就可以计算出当x变化之后y的大致变化情况了。
二次函数的应用不仅仅限于数学中，实际上，和复杂事物的表达和分析有着极
大的关联，比如弹道运动、地理范围等等，都可以使用这类数学关系很好地建模。
不仅如此，在许多工程之中，也都被广泛使用，比如电路的阻抗计算，金融市场的投资估算，航空机动控制等等。
二次函数的应该特别强调的是，首先，我们要有一定的解析技能去解决复杂问题，而这类问题居然还是可以用简单的二次方程来解决，这就引发了一种我们可以解决更大更复杂性问题的想法。
其次，这类函数本身具有极大的可编程性，根据需求改变，可以随意地变化它的特性，解决各种任务。
总之，二次函数的实用性是极为强大的，可以说无所不能。
而它的数学表现力，则可以为不同的问题提供最准确的解决方案，可以说把许多场景中的复杂系统，转换成简单的二次方程，才让解决问题变得简单。
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二次函数代数推理综合问题解析
二次函数是一种常见的二次曲线，其一般形式为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
在代数推理的综合问题中，有一些与二次函数相关的问题需要解析。
下面将介绍几个常见的二次函数代数推理综合问题，并给出解析。
问题一：已知二次函数y = ax^2 + bx + c的顶点坐标为(2,3)，且过点(-1,0)，求该函数的表达式。
解析：
由题可知，二次函数的顶点坐标为(2,3)，则顶点坐标中的x坐标为2，代入函数表达式可以得到：
3=a*2^2+b*2+c
另外，已知过点(-1,0)，把该点的坐标代入函数表达式可以得到：0=a*(-1)^2+b*(-1)+c
将上述两个方程组成一个方程组：
4a+2b+c=3----(1)
a-b+c=0----(2)
解决方程组(1)和(2)，可以采用消元法或代入法：
将公式(2)的c解出来得到c=-a+b，代入公式(1)可以得到：
4a+2b+(-a+b)=3，整理得到3a+3b=3，整理为a+b=1
由公式a+b=1可以得到a=1-b，代入公式(2)可以得到(1-b)-b+c=0，
整理得到c=2b-1
综上所述，函数表达式为：y = (1 - b)x^2 + bx + (2b - 1)。
问题二：已知二次函数y = ax^2 + bx + c的两个零点为-2和5，求
该函数的表达式。
解析：
已知二次函数的两个零点为-2和5，可得到两个方程：
a*(-2)^2+b*(-2)+c=0
a*5^2+b*5+c=0
整理得到：
4a-2b+c=0----(3)
25a+5b+c=0----(4)
解决方程组(3)和(4)，可以采用消元法或代入法：
将公式(3)的c解出来得到c=2b-4a，代入公式(4)可以得到：
25a+5b+(2b-4a)=0，整理得到-21a+7b=0，整理为-3a+b=0。
由公式-3a+b=0可以得到b=3a，代入公式(3)可以得到4a-2(3a)+c=0，整理得到c=2a。
综上所述，函数表达式为：y = ax^2 + 3ax + 2a。
问题三：已知二次函数y = ax^2 + bx + c的图像关于y轴对称，且
与x轴交于点(1,0)，求该函数的表达式。
解析：
由题可知，二次函数的图像关于y轴对称，即函数表达式中没有x的
一次项（b=0），则函数表达式为：y = ax^2 + c。
另外，已知二次函数与x轴交于点(1,0)，则把该点的坐标代入函数
表达式可以得到：
0=a*1^2+c
即：a+c=0----(5)
综上所述，函数表达式为：y = ax^2 - a。
通过以上三个问题的解析，我们可以看到，在二次函数代数推理的综
合问题中，我们需要根据已知条件列方程，然后解方程，最终得到函数的
表达式。
这也是二次函数所具有的特性和灵活性在解析问题中的重要应用。