2024成都中考数学第一轮专题复习之第三章 第三节 函数的表达式(含平移) 知识精练(含答案)
2024成都中考数学一轮复习 二次函数(含答案)
2024成都中考数学一轮复习二次函数（学生版）目标层级图课中讲解1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2.二次函数2y ax bx c =++的结构特征：（1）等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是（2）a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．例1.下列函数中，是二次函数的是()A ．21y x =--B ．22y x=C ．4y x=D ．2y ax bx c=++过关检测1.下列y 关于x 函数中，一定是二次函数的有()①2y ax bx c =++②21y x =③212x y x +=-④22(1)y x x =+-⑤210025y x =-A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二.根据定义确定参数值例1.函数()()2223ay a x a x a -=++-+．当______a =，它为二次函数；当____a =，它为一次函数．例2.若抛物线2(1)mmy m x -=-开口向下，则______m =过关检测1.若函数232(1)mm y m x --=+是二次函数，则______m =2.若2(1)1mmy m x -=++是x 的二次函数，则m =．例1.二次函数223y x x =-+图象的对称轴是()A ．直线1x =B ．直线1x =-C ．直线2x =D ．直线2x =-例2.二次函数(1)(3)y x x =+-的图象的对称轴是()A ．直线1x =B ．直线2x =C ．直线3x =D ．直线1x =-例3.已知二次函数2y ax bx c =++的函数值y 与自变量x 的部分对应值如表：x⋯2-1-0123⋯y⋯831-03⋯则这个二次函数图象的对称轴是直线．过关检测1.二次函数2243y x x =+-的图象的对称轴为()A ．直线2x =B ．直线4x =C ．直线3x =-D ．直线1x =-2.若抛物线2(2)3y x m x =+-+的对称轴是y 轴，则m =．四.二次函数顶点坐标及最值例1.二次函数2(1)2y x =--的顶点坐标是()A ．(1,2)--B ．(1,2)-C ．(1,2)-D ．(1,2)例2.抛物线25y x ax =-+-的顶点在坐标轴上，则系数a 的值是．例3.二次函数221213y x x =-+的最小值是．例4.已知二次函数的图象2(03)y ax bx c x =++ 如图．关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是()A ．有最小值0，有最大值3B ．有最小值1-，有最大值0C ．有最小值1-，有最大值3D ．有最小值1-，无最大值过关检测1.抛物线21()22y x =-+的顶点坐标是()A ．1(,2)2B ．1(,2)2-C ．1(,2)2--D ．1(,2)2-2.下列抛物线中，与抛物线231y x =-+的形状、开口方向完全相同，且顶点坐标为(1,2)-的是()A ．23(1)2y x =-++B ．23(1)2y x =--+C ．2(31)2y x =--+D ．2(31)2y x =--+3.已知二次函数28y x x m =-+的最小值为1，那么m 的值等于．4.如果对于任意两个实数a 、b ，“*”为一种运算，定义为*2a b a b =+，则函数2*(2)2*4(33)y x x x =+- 的最大值与最小值的和为．五.二次函数增减性例1.由二次函数23(4)2y x =--可知()A ．其图象的开口向下B ．其图象的对称轴为直线4x =C ．其顶点坐标为(4,2)D ．当3x >时，y 随x 的增大而增大例2.已知二次函数228y x x =--+，下列结论：①图象的开口向下；②图象的对称轴是直线1x =；③y 的最大值是9；④图象与y 轴的交点坐标为(0,8)-；⑤当1x >-时，y 的值随x 值的增大而减小．其中正确的是()A ．①②③B ．①③⑤C ．②④⑤D ．①④⑤例3.若24(2)kk y k x +-=+是二次函数，且当0x >时，y 随的增大而增大．则(k =)A ．3-B ．2C ．3-或2D ．3例4.若二次函数24y x x m =-+的图象经过1(1,)A y -，2(2,)B y ，3(4,)C y 三点，则1y 、2y 、3y 的关系是()A ．123y y y <<B ．321y y y <<C ．312y y y <<D ．231y y y <<过关检测1.对于二次函数2(1)(3)y x x =+-，下列说法正确的是()A ．图象开口向下B ．当1x >时，y 随x 的增大而减小C ．图象的对称轴是直线1x =-D ．当1x <时，y 随x 的增大而减小2.对于抛物线22(1)3y x =-++，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线1x =：③顶点坐标为(1,3)-；④1x >-时，y 随x 的增大而减小，其中正确结论的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．43.点11(2,)P y -、2P (2，2y )、3P (5，3y )均在函数221y x =-+的图象上，则1y 、2y 、3y 的大小关系是()A ．321y y y >>B ．312y y y >>C ．312y y y >=D ．123y y y =>六.二次函数的图象与性质综合例1.二次函数2y ax bx =+的图象如图所示，则一次函数y a x b =+的图象大致是()A ．B ．C ．D ．例2.二次函数2()y a x m n =--的图象如图，则一次函数y mx n =+的图象经过()A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第二、三、四象限D ．第一、三、四象限例3.如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，对于下列说法：①0ac >；②0a b c -+<；③24ac b <；④20a b +>；⑤当0x >时，y 随x 的增大而减小，其中正确的说法个数有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例4.在平面直角坐标系中，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，现给出以下结论：①0abc >；②20b a +=；③930a b c -+=；④2(a b c am bm c m -+++ 为实数）．其中结论正确的有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例5.已知二次函数2(y ax bx c a =++，b ，c 是常数，且0)a ≠的图象如图所示，则一次函数2b y cx a =+与反比例函数ab y x=在同一坐标系内的大致图象是()A ．B ．C ．D ．例6.在同一坐标系中，二次函数2y ax bx =+与一次函数y b x a =-的图象可能是()A ．B ．C ．D ．例7.函数2y ax c =+和(0,0)ay a c x=≠≠在同一坐标系里的图象大致是()A ．B ．C ．D ．过关检测1.已知抛物线2y ax bx c =++的图象如图所示，下列说法正确的是()A ．0abc >B ．2a b c -+=C ．240a cb -<D ．当1x >-时，y 随x 增大而增大2.二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴为直线1x =，下列结论：①0abc <；②24b a c >；③420a b c ++<；④20a b +=．其中正确的有()A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个3.在同一平面直角坐标系中，一次函数2y kx k =-和二次函数224(y kx x k =-+-是常数且0)k ≠的图象可能是()A ．B ．C ．D ．4.在同一坐标系中，函数2y ax bx =+与by x=的图象大致为下图中的()A ．B ．C ．D ．5.在同一直角坐标系中，函数2y ax b =-与(0)y ax b ab =+≠的图象大致如图()A ．B ．C ．D ．七.二次函数图象的平移、翻折、旋转（1）平移方法总结：抛物线的平移只改变它的位置，不改变其形状和开口方向，即a的值不变。
第12课时 反比例函数 课件 2025年中考数学一轮总复习
（3）（2024·济宁）已知点A（－2，y1），B（－1，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝ （k＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ C ）
A. y1＜y2＜y3
B. y2＜y1＜y3
C. y3＜y1＜y2
D. y3＜y2＜y1
C
（4）已知点A（a，y1），B（a＋1，y2）在反比例函数y＝ （m是常数）的图象上，且y1＞y2，则a的取值范围是 .
（4－2）＝6.
而
在每个象限内，
y随x的增大
而
双曲线的两支关于直线
成轴对称；双曲线的两支关于 成中心对称
k＞0
k＜0
双曲线
所
在象
限
第 象
限（x，y同号）
第 象
限（x，y异号）
一、三
二、四
性
质
在每个象限内，
y随x的增大
2. 利用函数图象确定不等式的解集的
方法
图示
作图方法
过两函数图象的交点A，B分别
作x轴的垂线，连同y轴把平面分
成①②③④四部分
不等
式
ax＋b＞
ax＋b＜
结论
由图可知，在
②④部分，直
线位于双曲线
的上方，故不
等式ax＋b＞
的解集为xB＜
x＜0或x＞xA
由图可知，在①
③部分，直线位
于双曲线的下
方，故不等式ax
y轴的负半轴上，tan∠ABO＝3，以AB
为边向上作正方形ABCD. 若图象经过点
C的反比例函数的解析式是y＝ ，则图
象经过点D的反比例函数的解析式
是 ；
y＝－
（4）（2024·牡丹江）矩形OBAC在平
2024年中考数学一轮复习考点精讲课件—一次函数的应用
．
【详解】解：如图， = = 6，∵ ∠ = 60°，∴ 4，3 3 ，
∵点在边上且横坐标为8，∴ 8, 3 ， 10，3 3 ，
∵直线过定点，∴ ⊥ 时，点到所在直线的距离取得最大值．
∵ 0, −
5 3
3
∴ 3 = 8 −
， 8, 3 ，设解析式为 = −
考点一 一次函数的实际应用
【变式】（2021·河南平顶山·统考二模）小明和小亮相约从学校前往博物馆，其中学校距离博物馆900米.小明因有
事，比小亮晚一些出发，图中1 = 1 、2 = 2 + 分别是小明、小亮行驶的路程与小明追赶时间之间的关系．
（1）观察图象可知，小亮比小明先走了_______米．
2
20
故答案为：5；3； 3
20
km；
3
考点一 一次函数的实际应用
题型03 行程问题
【例3】（2022·浙江绍兴·统考一模）绍兴首条智慧快速路于今年3月19日正式通车．该快速路上，两站相距
20km，甲、乙两名杭州亚运会会务工作志愿者从站出发前往站附近的比赛场馆开展服务．甲乘坐无人驾驶小
巴，乙乘坐无人驾驶汽车．图中，分别表示甲、乙离开站的路程 km 与时间 min 的函数关系的图象．
（2）求1 、2 的值，并解释2 的实际意义．
（3）通过计算说明，谁先到博物馆．
【详解】
（1）根据图像可以看出小明走的时候，小亮已经走了 100 米．故答案为：100.
（2）将 = 20， = 60代入1 = 1 ，得60 = 201 ，∴1 = 3；
分别将 = 0时， = 100； = 20时， = 140代入2 = 2 + 得
∴A种物品购买7个，B种物品购买13个最省钱．
2024年中考数学一轮复习考点精讲课件—一次函数的图象与性质
的．由此可知直线y=kx+b（k≠0，b≠0）与直线y=kx（k≠0）平行．
4）一次函数与正比例函数有着共同的性质：
①当k>0时，y的值随x值的增大而增大；②当k<0时，y的值随x值的增大而减小．
考点二 一次函数的图象与性质
1. 正比例函数y= kx中，|k|越大，直线y= kx越靠近y轴；反之，|y|越小，直线y= kx越靠近x轴.
C．3
D．−3或3
∴9 = 2 ，∴ = ±3，又∵正比例函数 = 的图象经过第二、
∴ < 0，∴ = −3，故选：B．
【对点训练1】（2023·浙江杭州·统考一模）已知 − 与 − 1成正比例，且当 = −2时， = 3．若关
于的函数图象经过二、三、四象限，则m的取值范围为（
用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤：
1）设出函数的一般形式y=kx(k≠0)或y=kx+b(k≠0)；
2）根据已知条件(自变量与函数的对应值)代入表达式得到关于待定系数的方程或方程组；
3）解方程或方程组求出k，b的值；
4）将所求得的k，b的值代入到函数的一般形式中，从而得到一次函数解析式.
考点二 一次函数的图象与性质
两点即可，
图象确定
b
k
1）画一次函数的图象，只需过图象上两点作直线即可，一般取(0，b)，(− ，0)两点；
2）画正比例函数的图象，只要取一个不同于原点的点即可.
考点二 一次函数的图象与性质
三、k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系
在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=− ，即直线y=kx+b与x轴交于(− ,0)
综上所述，0 > 1 > 2
2024成都中考数学第一轮专题复习之第三章 微专题 二次函数图象与系数a,b,c的关系 (含答案)
2024成都中考数学第一轮专题复习之第三章 微专题 二次函数图象与系数a ，b ，c 的关系1. (2023贵州)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则点P (a ，b )所在的象限是( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限第1题图2. 如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴相交于A (－1，0)，B 两点，对称轴是直线x ＝1，下列说法正确的是( )第2题图A. a >0B. b >0C. 点B 的坐标为(4，0)D. 当x >－1时，y 的值随x 值的增大而增大 3. (2023日照)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx (a ≠0)满足⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b >0a ＋b <0，已知点(－3，m )，(2，n )，(4，t )在该抛物线上，则m ，n ，t 的大小关系为( )A. t <n <mB. m <t <nC. n <t <mD. n <m <t4. (2023凉山州)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是( )第4题图A. abc <0B. 4a －2b ＋c <0C. 3a ＋c ＝0D. am 2＋bm ＋a ≤0(m 为实数)5. (2023恩施州改编)如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴为x ＝1，与x 轴的交点为(x 1，0)，(x 2，0)，其中一个交点为位于(2，0)，(3，0)两点之间．下列结论正确的是( )A. 2a ＋b >0B. bc <0C. a >－13c D. －3<x 1·x 2<0第5题图6. 如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象关于直线x ＝1对称，与x 轴交于A (x 1，0)，B (x 2，0)两点，若－2<x 1<－1，则下列结论正确的是( )第6题图A. 3a ＋2b >0B. b 2<a ＋c ＋4acC. a >b >cD. a(m＋1)(m－1)<b(1－m)7. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示．下列结论正确的是()第7题图A. 10a＋3b＋c>0B. a＋b>am2＋bmC. 3a＋c<0D. 若ax21＋bx1＝ax22＋bx2且x1≠x2，则x1＋x2＝4参考答案与解析1. D 【解析】由二次函数的图象开口方向向上，对称轴在y 轴的右侧，知a ＞0，x ＝－b 2a＞0，∴b ＜0，∴P (a ，b )在第四象限．2. B 【解析】A.由图可知：抛物线开口向下，a ＜0，故选项A 错误，不符合题意；B.∵抛物线开口向下，∴a ＜0.∵抛物线的对称轴是直线x ＝－b 2a＝1，∴b ＝－2a ＞0，故选项B 正确，符合题意；C.由A (－1，0)，抛物线的对称轴是直线x ＝1可知，点B 的坐标为(3，0)，故选项C 错误，不符合题意；D.∵抛物线的对称轴是直线x ＝1，开口向下，∴当x ＞1时，y 随x 的增大而减小，x ＜1时，y 随x 的增大而增大，故选项D 错误，不符合题意，故选B.3. C 【解析】∵当x ＝0时，y ＝ax 2＋bx ＝0，∴抛物线恒过(0，0)点．∵⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b >0a ＋b <0 ，∴9a＋3b >0，∴当x ＝3时，y ＝ax 2＋bx ＝9a ＋3b >0，当x ＝1时，y ＝ax 2＋bx ＝a ＋b <0，∴抛物线开口向上，∴抛物线的对称轴在直线x ＝12 与x ＝32之间．∵点(－3，m )到对称轴的距离在72 到92 之间，点(2，n )到对称轴的距离在12 到32 之间，点(4，t )到对称轴距离在52 到72 之间，∴n ＜t ＜m .4. C 【解析】∵抛物线开口向上，与y 轴交于负半轴，∴a ＞0，c ＜0.∵抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴－b 2a＝1，∴b ＝－2a ＜0，∴abc ＞0，故A 选项错误，不符合题意；∵当x ＝4时，y ＞0，抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴当x ＝－2时，y ＞0，∴4a －2b ＋c ＞0，故B 选项错误，不符合题意；∵当x ＝3时，y ＝0，抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴当x ＝－1时，y ＝0，∴a －b ＋c ＝0，又∵b ＝－2a ，∴3a ＋c ＝0，故C 选项正确，符合题意；∵抛物线的对称轴为直线x ＝1，且抛物线开口向上，∴抛物线的最小值为a ＋b ＋c ＝a －2a ＋c ＝－a ＋c ，∴am 2＋bm ＋c ≥－a ＋c ，∴am 2＋bm ＋a ≥0，故D 选项错误，不符合题意．5. D 【解析】∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴为直线x ＝1，∴－b 2a＝1，∴b ＝－2a ，∴2a ＋b ＝0，故A 错误；∵抛物线开口向下，与y 轴交于正半轴，∴a ＜0，b ＝－2a ＞0，c ＞0，∴bc ＞0，故B 错误；∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴为直线x ＝1，x ＝3时y ＜0，∴x ＝－1时，y ＜0，即a －b ＋c ＜0，∴a －(－2a )＋c ＜0，∴a ＜－13c ，故C 错误；∵抛物线与x 轴的交点为(x 1，0)，(x 2，0)，∴x 1，x 2为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，由函数图象与x 轴交点可知－1＜x 1＜0，2＜x 2＜3，∴－3＜x 1·x 2＜0，故D 正确．6. C 【解析】∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象关于直线x ＝1对称，∴其对称轴为直线x＝1，即－b 2a＝1，∴b ＝－2a ，∴3a ＋2b ＝3a －4a ＝－a .由图象可知该抛物线开口向上，∴a ＞0，∴3a ＋2b ＝－a ＜0，故A 错误；∵抛物线与x 轴有两个交点，∴Δ＝b 2－4ac ＞0.由图象结合题意可知当x ＝－1时，y ＜0，∴a －b ＋c ＜0，∴a ＋c ＜b .∵a ＞0，∴b ＝－2a ＜0，∴a ＋c ＜0，∴b 2－4ac ＞a ＋c ，即b 2＞a ＋c ＋4ac ，故B 错误；∵抛物线开口向上，与y 轴的交点在x 轴下方，∴a ＞0，c ＜0，∴a ＞c ，由②可知a －b ＋c ＜0，b ＝－2a ，∴3a ＋c ＜0，∴c ＜－3a ，∴b ＞c ，∴a ＞b ＞c ，故C 正确；由图象可知当x ＝1时，y 有最小值，且为a ＋b ＋c .∵a (m ＋1)·(m －1)－b (1－m )＝am 2＋bm －a －b ＝am 2＋bm ＋c －(a ＋b ＋c )，又∵对于任意实数m ，都有y m ≥y ＝a ＋b ＋c ，∴am 2＋bm ＋c －(a ＋b ＋c )≥0，即a (m ＋1)(m －1)－b (1－m )≥0，∴a (m ＋1)(m －1)≥b (1－m )，故D 错误．7. C 【解析】∵对称轴是直线x ＝1，与x 轴交点在(3，0)左边，∴9a ＋3b ＋c ＜0，∵图象开口向下，∴a ＜0，∴10a ＋3b ＋c ＜0，故A 错误；∵对称轴是直线x ＝1，图象开口向下，∴x ＝1时，函数最大值是a ＋b ＋c ，∴m 为任意实数时a ＋b ＋c ≥am 2＋bm ＋c ，∴a ＋b ≥am 2＋bm ，故B 错误；∵对称轴是直线x ＝1，∴－b 2a＝1，b ＝－2a .由图可知抛物线与x 轴交点在(3，0)左边，∴由对称得另一个交点在(－1，0)右边，得a －b ＋c ＜0，∴3a ＋c ＜0，故C 正确；∵ax 21 ＋bx 1＝ax 22 ＋bx 2，∴ax 21 ＋bx 1－ax 22 －bx 2＝0，∴a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b (x 1－x 2)＝0，∴(x 1－x 2)[a (x 1＋x 2)＋b ]＝0.∵x 1≠x 2，∴a (x 1＋x 2)＋b ＝0，∴x 1＋x 2＝－b a.∵b ＝－2a ，∴x 1＋x 2＝2，故D 错误．。
2024年中考第一轮复习 二次函数的图象与性质 课件
∴|-m+1|=|m-(m- - + 1)|,解得 m=0 或 1,
∴存在 m=0 或 1,使得函数图象的顶点与 x 轴的两个交点构成等腰直角三角形,故结
论②正确;
∵x1+x2>2m,
1 + 2
∴
>m.
2
∵二次函数 y=-(x-m)2-m+1(m 为常数)的图象的对称轴为直线 x=m,
数y=ax2+bx+c(a≠0)在-3≤x≤3内既有最大值又有最小值,∴结论④正确.
2.[2020·温州]已知(-3,y1),(-2,y2),(1,y3)是 [答案]B
抛物线y=-3x2-12x+m上的点,则
(
[解析] 由对称轴
-12
x=- ==-2,知
2 2×(-3)
)
(-3,y1)和(-1,y1)关于对称轴对称.因为
②b-2a<0;③b2-4ac<0;④a-b+c<0.正确的是(
A.①②
B.①④
C.②③
D.②④
)
图13-2
[答案]A
[解析] ∵抛物线开口向下,且与 y 轴的正半轴相交,
∴a<0,c>0,∴ac<0,故①正确;
∵对称轴与
x 轴交点的横坐标在-1 至-2 之间,∴-2<-2 <-1,
∴4a<b<2a,∴b-2a<0,故②正确;
若已知二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标(x1,0),(x2,0),设所求二次函数表达
式为y=a(x-x1)(x-x2),将第三个点(m,n)的坐标(其中m,n为常数)或其他已知条件代
2024成都中考数学第一轮专题复习之第三章 第四节 函数与方程(组)、不等式(组)的关系 练习课件
3. 一次函数y1＝kx＋b与y2＝x＋a的图象如图，甲、乙两位同学给出下列 结论：
甲说：方程kx＋b＝x＋a的解是x＝3；
乙说：当x<3时，y1<y2. 其中正确的结论有( A )
A. 甲正确，乙错误
B. 乙正确，甲错误
C. 甲、乙都正确
D. 甲、乙都错误
第3题图
第四节 函数与方程(组)、不等式(组)的关系
第四节 函数与方程(组)、不等式(组)的关系 (2)判断二次函数y＝x2＋mx＋m2－3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．
(2)该二次函数的图象与x轴有两个交点． 理由如下：由(1)可知，二次函数的解析式为y＝x2＋x－2， ∵b2－4ac＝12－4×1×(－2)＝9>0， ∴该二次函数的图象与x轴有两个交点．
Hale Waihona Puke 第四节 函数与方程(组)、不等式(组)的关系
8. (2022大庆)已知函数y＝mx2＋3mx＋m－1的图象与坐标轴恰有两个公共
4
点，则实数m的值为_1_或____5__．
9.
如图，直线y＝k1x＋b1与直线y＝k2x＋b2相交于点A，则关
于a的一元一次方程(k1－k2)a＋(b1－b2)＝0的解为__a_＝__1___．
第9题图
第四节 函数与方程(组)、不等式(组)的关系 10. 二次函数y＝－x2＋bx＋c的部分图象如图所示，由图象可知，不等式 －x2＋bx＋c<0的解集为_x_＜__－__1_或__x_＞__5_．
第10题图
11. [新考法—结论开放](2022济宁)已知直线y1＝x－1与y2＝kx＋b相交于 点(2，1)．请写出一个b值：_0_(_答__案__不__唯__一__)(写出一个即可)，使x>2时， y1>y2.
2024成都中考数学一轮复习 一次函数与反比例函数综合问题(课件)
四、求面积
面积“补”
方法3： 底边转移到x轴上
面积“割” 将底边转移到平行于坐标轴的直线上
方法4：左右分割
方法5：上下分割
平行线换底
方法6： 底边转移到y轴上
两个常用结论：
1.l1 l2 k1 k2且b1 b2 ; 2.l1 l2 k1 k2 =-1.
平行线驾到，可“割”可“补”
√
√
最值问题
√
新定义
√
分类讨论
√
√
√
√
√
√
数形结合（作图） √
√
√
√
√
√
√
√系数法
如图，一次函数 y=﹣x+4 的图象与反比例函数 y k （k 为常数，且 k≠0）的图 x
象交于 A（1，a），B 两点． （1）求反比例函数的表达式；
二、求交点坐标
如图，一次函数 y=﹣x+4 的图象与反比例函数 y k （k 为常数，且 k≠0）的图 x
【2022】
【2019】
【2016】
研究真题，寻求共性
年份/考点
求表达式
2023 2022 2021 2020 2019 2018 2017 2016 2015 2014
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
交点问题
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
面积问题
√
√
√
√
√
√
比较函数值大小
全等、相似、平移 √
√
√
特殊图形存在性问题 √
S k(k a)(k b)(k c)(其中k = a b c） 2
2024年中考数学一轮复习课件---一次函数的图象与性质
. ＋ =
得
，解之，得
，
=
. ＋ =
∴y＝25x＋15；
（2）当这种树的胸径为0.3 m时，其树高是多少？
解：（2）当x＝0.3 m时，y＝25×0.3＋15＝22.5（m）.
∴当这种树的胸径为0.3 m时，其树高为22.5 m.
类型二 一次函数的图象及性质
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
4.（2023·鄂州）象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久.如图
所示是某次对弈的残图，如果建立平面直角坐标系，使棋子
“帅”位于点（－2，－1）的位置，则在同一坐标系下，经过
棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为（ A ）
A.y＝x＋1
B.y＝x－1
过第二、四象限，
直线与 y 轴交点在原
点，正比例函数
名称
一次函数
k＜0，y
当b＜0时，图象经过
图象 随 着 x 的
第二、三、四象限，
性质 增
直线与y轴交点在负
大
而 减小 .
半轴.
注意点
（1）一次函数图象与x轴夹角（锐角）与比例系数k之间的
关系：
k＝tan
1 −2
α＝
；k＝－tan
1 − 2
位同学的对话得出的结论，错误的是（ C ）
A.k＞0
C.k＋b＞0
第10题图
B.kb＜0
1
D.k＝－ b
2
11.（2023·安徽月考）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝
ax＋a2与y＝a2x＋a的图象可能是（ D ）
A.
B.
C.
D.
2024成都中考数学一轮复习专题 一次函数及其应用 (含解析)
2024成都中考数学一轮复习专题一次函数及其应用一、单选题．．．．（2023·新疆·统考中考真题）一次函数的图象不经过．．．（）．第一象限．第三象限（2023·甘肃武威·统考中考真题）若直线（k是常数，0k≠）A．8:28B．8:309．（2023·湖北荆州·统考中考真题）如图，直线，则点点A顺时针旋转90 得到CADA．()2,5B．()3,510．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点A ．1M B ．M 二、填空题11．（2023·山东·统考中考真题）一个函数过点()1,3，且y 随x 增大而增大，请写出一个符合上述条件的函数解析式_________．12．（2023·江苏苏州·统考中考真题）已知一次函数y kx b =+的图象经过点()1,3和()1,2-，则22k b -=________________．13．（2023·天津·统考中考真题）若直线y x =向上平移3个单位长度后经过点()2,m ，则m 的值为________．14．（2023·湖南郴州·统考中考真题）在一次函数()23y k x =-+中，y 随x 的增大而增大，则k 的值可以是___________（任写一个符合条件的数．．．．．．．．即可）．15．（2023·广西·统考中考真题）函数3y kx =+的图象经过点()2,5，则k =______．16．（2023·浙江杭州·统考中考真题）在““探索一次函数y kx b =+的系数,k b 与图像的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：()()()0,2,2,3,3,1A B C ．同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图像，并得到对应的函数表达式111222333,,y k x b y k x b y k x b =+=+=+．分别计算11k b +，2233,k b k b ++的值，其中最大的值等于_________．三、解答题(1)求m的值和直线(2)若点()1,P t y在线段(1)A，B两地之间的距离是______千米，(2)求线段FG所在直线的函数解析式；(3)货车出发多少小时两车相距15千米？（直接写出答案即可）(1)甲组比乙组多挖掘了__________天．(2)求乙组停工后y关于x的函数解析式，并写出自变量(3)当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组己停工的天数．21．（2023·四川泸州·统考中考真题）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克．根据以上信息，解答下列问题：(1)该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？(2)如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？22．（2023·四川成都·统考中考真题）2023年7月28日至8月8日，第31届世界大学生运动会将在成都举行．“当好东道主，热情迎嘉宾”，成都某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃．已知购买1千克A种食材和1千克B种食材共需68元，购买5千克A种食材和3千克B种食材共需280元．(1)求A，B两种食材的单价；(2)该小吃店计划购买两种食材共36千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的2倍，当A，B 两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用．23．（2023·浙江·统考中考真题）我市“共富工坊”问海借力，某公司产品销售量得到大幅提升．为促进生产，公司提供了两种付给员工月报酬的方案，如图所示，员工可以任选一种方案与公司签订合同．看图解答下列问题：(1)直接写出员工生产多少件产品时，两种方案付给的报酬一样多；(2)求方案二y关于x的函数表达式；(3)如果你是劳务服务部门的工作人员，你如何指导员工根据自己的生产能力选择方案．24．（2023·浙江金华·统考中考真题）兄妹俩放学后沿图1中的马路从学校出发，到书吧看书后回家，哥哥步行先出发，途中速度保持不变；妺妺骑车，到书吧前的速度为200米/分．图2中的图象分别表示两人离学校的路程s（米）与哥哥离开学校的时间t（分）的函数关系．(1)求哥哥步行的速度．(2)已知妺妺比哥哥迟2分钟到书吧．①求图中a的值；数表达式；(3)甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为5人，某年甲户、乙户缴纳的燃气费用均为3855元，求该年乙户1m）比甲户多用多少立方米的燃气？（结果精确到327．（2023·浙江宁波·统考中考真题）某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午7：00，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴从学校出发，沿公路（如图1）到爱国主义教育基地进行研学，上午8：00，军车在离营地60km的地方追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地，军车和大巴离营地的路程s（km）与所用时间t（h）的函数关系如图2所示．(1)求大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式及a的值，(2)求部队官兵在仓库领取物资所用的时间．28．（2023·云南·统考中考真题）蓝天白云下，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意．某景区为响应文化和旅游部《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》精神，、两种型号的帐篷．若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷4顶，则需5200元；若购买A种需要购买A B型号帐篷3顶和B种型号帐篷1顶，则需2800元．(1)求每顶A种型号帐篷和每顶B种型号帐篷的价格；(2)若该景区需要购买A B、两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），购买A种型号帐篷数量不(1)求OA所在直线的表达式．(2)出发后甲机器人行走多少时间，与乙机器人相遇？(3)甲机器人到P地后，再经过1分钟乙机器人也到请根据相关信息，回答下列问题：(1)①填表：张强离开宿舍的时间/min1102060张强离宿舍的距离/km 1.2(1)小聪在直角坐标系中描出了表中数据对应的点．︒）与加热的时间位：C选填“正比例”“一次”“二次(2)根据以上判断，求(3)当加热110s时，油沸腾了，请推算沸点的温度．36．（2023·河北·统考中考真题）在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点(,)x y 移动到点(2,1)x y ++称为一次甲方式：从点(,)x y 移动到点(1,2)x y ++称为一次乙方式．例、点P 从原点O 出发连续移动2次；若都按甲方式，最终移动到点(4,2)M ；若都按乙方式，最终移动到点(2,4)N ；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点(3,3)E ．(1)设直线1l 经过上例中的点,M N ，求1l 的解析式；并直接．．写出将1l 向上平移9个单位长度得到的直线2l 的解析式；(2)点P 从原点O 出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点(,)Q x y ．其中，按甲方式移动了m 次．①用含m 的式子分别表示,x y ；②请说明：无论m 怎样变化，点Q 都在一条确定的直线上．设这条直线为3l ，在图中直接画出3l 的图象；(3)在（1）和（2）中的直线123,,l l l 上分别有一个动点,,A B C ，横坐标依次为,,a b c ，若A ，B ，C 三点始终在一条直线上，直接写出此时a ，b ，c 之间的关系式．37．（2023·广西·统考中考真题）【综合与实践】有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤.小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务．【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：()0()m m l M a y +⋅=⋅+.其中秤盘质量0m 克，重物质量m 克，秤砣质量M 克，秤纽与秤盘的水平距离为l 厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a 厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y 厘米．【方案设计】目标：设计简易杆秤．设定010m =，50M =，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米．任务一：确定l 和a 的值．(1)当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l ，a 的方程；(2)当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l ，a 的方程；(3)根据（1）和（2）所列方程，求出l 和a 的值．任务二：确定刻线的位置．(4)根据任务一，求y 关于m 的函数解析式；(5)从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离．38．（2023·辽宁大连·统考中考真题）为了增强学生身体素质，学校要求男女同学练习跑步．开始时男生跑了50m，女生跑了80m，然后男生女生都开始匀速跑步．已知男生的跑步速度为4.5m/s，当到达终点时男、女均停止跑步，男生从开始匀速跑步到停止跑步共用时120s．已知x轴表示从开始匀速跑步到停止跑步的时间，y轴代表跑过的路程，则：(1)男女跑步的总路程为_______________．(2)当男、女相遇时，求此时男、女同学距离终点的距离．39．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）1号探测气球从海拔10m处出发，以1m/min的速度竖直上升．与此同a的速度竖直上升．两个气球都上升了1h．1号、2号气球时，2号探测气球从海拔20m处出发，以m/min所在位置的海拔1y，2y（单位：m）与上升时间x（单位：min）的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题：(1)=a___________，b=___________；(2)请分别求出1y，2y与x的函数关系式；(3)当上升多长时间时，两个气球的海拔竖直高度差为5m？40．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）某校组织师生参加夏令营活动，现准备租用A、B两型客车（每种型号的客车至少租用一辆）．A型车每辆租金500元，B型车每辆租金600元．若5辆A型和2辆B型车坐满后共载客310人；3辆A型和4辆B型车坐满后共载客340人．(1)每辆A型车、B型车坐满后各载客多少人？(2)若该校计划租用A型和B型两种客车共10辆，总租金不高于5500元，并将全校420人载至目的地．该校有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？(3)在这次活动中，学校除租用A、B两型客车外，又派出甲、乙两辆器材运输车．已知从学校到夏令营目的地的路程为300千米，甲车从学校出发0.5小时后，乙车才从学校出发，却比甲车早0.5小时到达目的地．下图是两车离开学校的路程s（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数图象．根据图象信息，求甲乙两车第一次相遇后，t为何值时两车相距25千米．(1)图中a的值是__________；(2)求货车装完货物后驶往甲地的过程中，距其出发地的距离(3)直接写出在出租车返回的行驶过程中，货车出发多长时间与出租车相距参考答案一、单选题【分析】根据10,10k b =>=>即可求解．【详解】解：∵一次函数1y x =+中10,10k b =>=>，∴一次函数1y x =+的图象不经过第四象限，故选：D ．【点拨】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．5．【答案】D 【分析】通过经过的象限判断比例系数k 的取值范围，进而得出答案．【详解】∵直线y kx =（k 是常数，0k ≠）经过第一、第三象限，∴0k >，∴k 的值可为2，故选：D ．【点拨】本题考查正比例函数的图象与性质，熟记比例系数与图象经过的象限之间的关系是解题的关键．6．【答案】D 【分析】根据一次函数的增减性可得k 的取值范围，再把2x =代入函数1y kx =-，从而判断函数值y 的取值．【详解】∵一次函数1y kx =-的函数值y 随x 的增大而减小∴0k <∴当2x =时，211y k =-<-故选：D.【点拨】本题考查一次函数的性质，不等式的性质，熟悉一次函数的性质是解题的关键．7．【答案】C 【分析】首先根据一次函数的性质确定k ，b 的符号，再确定一次函数(0)y kx b k =+≠系数的符号，判断出函数图象所经过的象限．【详解】解：∵一次函数y kx b =+的图象不经过第二象限，∴00k b ><，，故选项A 正确，不符合题意；∴0kb <，故选项B 正确，不符合题意；∵一次函数y kx b =+的图象经过点()20，，∴20k b +=，则2b k =-，∴20k b k k k +=-=-<，故选项C 错误，符合题意；故选：C．【点拨】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，旋转的性质，坐标与图形，掌握旋转的性质是解题的关键．10．【答案】B∴PA y ⊥轴，4PA =，由旋转得：60APB AP ∠=︒=，如图，过点B 作BC y ⊥轴于C ∴30BPC ∠=︒，∴223BC PC ==，，∴()2123B +，），设直线PB 的解析式为：y kx =+则21231k b b ⎧+=+⎪⎨=⎪⎩，∴31k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴直线PB 的解析式为：3y x =当=1x -时，31y =-+，∴点()11,3M --不在直线PB 当33x =-时，333y ⎛=⨯- ⎝二、填空题11．【答案】3y x =（答案不唯一）【分析】根据题意及函数的性质可进行求解．【详解】解：由一个函数过点()1,3，且y 随x 增大而增大，可知该函数可以为3y x =（答案不唯一）；故答案为3y x =（答案不唯一）．【点拨】本题主要考查正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键．12．【答案】6-【分析】把点()1,3和()1,2-代入y kx b =+，可得32k b k b +=⎧⎨-=-⎩，再整体代入求值即可．【详解】解：∵一次函数y kx b =+的图象经过点()1,3和()1,2-，∴32k b k b +=⎧⎨-+=⎩，即32k b k b +=⎧⎨-=-⎩，∴()()()22326k b k b k b -=+-=⨯-=-；故答案为：6-【点拨】本题考查的是一次函数的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，利用平方差公式分解因式，熟练的利用平方差公式求解代数式的值是解本题的关键．13．【答案】5【分析】根据平移的规律求出平移后的解析式，再将点()2,m 代入即可求得m 的值．【详解】解： 直线y x =向上平移3个单位长度，∴平移后的直线解析式为：3y x =+．平移后经过()2,m ，235m ∴=+=．三、解答题解得：3830a b =⎧⎨=⎩，答：A 种食材的单价为38元，B 种食材的单价为30元；（2）解：设A 种食材购买x 千克，则B 种食材购买()36x -千克，根据题意，()236x x ≥-解得：24x ≥，设总费用为y 元，根据题意，()38303681080y x x x =+-=+∵80>，y 随x 的增大而增大，∴当24x =时，y 最小，∴最少总费用为82410801272⨯+=（元）【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意列出方程组，不等式以及一次函数关系式是解题的关键．23．【答案】(1)30件；(2)20600y x =+；(3)若每月生产产品件数不足30件，则选择方案二；若每月生产产品件数就是30件，两种方案报酬相同，可以任选一种；若每月生产产品件数超过30件，则选择方案一【分析】（1）由图象的交点坐标即可得到解答；（2）由图象可得点()()0,600,30,1200，设方案二的函数表达式为y kx b =+，利用待定系数法即可得到方案二y 关于x 的函数表达式；（3）利用图象的位置关系，结合交点的横坐标即可得到结论．【详解】（1）解：由图象可知交点坐标为()30,1200，即员工生产30件产品时，两种方案付给的报酬一样多；（2）由图象可得点()()0,600,30,1200，设方案二的函数表达式为y kx b =+，把()()0,600,30,1200代入上式，得600,301200.b k b =⎧⎨+=⎩解得20,600.k b =⎧⎨=⎩∴方案二的函数表达式为20600y x =+．（3）若每月生产产品件数不足30件，则选择方案二；若每月生产产品件数就是30件，两种方案报酬相同，可以任选一种；若每月生产产品件数超过30件，则选择方案一．【点拨】本题考查了一次函数的实际应用（行程问题）25．【答案】(1)甲粽子每个的进价为10元，则乙粽子每个的进价为(2)①w 与m 的函数关系式为600133w m m ⎛=-+≥ ⎝润，最大利润为466元【分析】（1）设甲粽子每个的进价为x 元，则乙粽子每个的进价为式为30y x =-+，图象见解析；(3)538a c b+=【分析】（1）根据待定系数法即可求出1l 的解析式，然后根据直线平移的规律：上加下减即可求出直线2l 的解析式；（2）①根据题意可得：点P 按照甲方式移动m 次后得到的点的坐标为()2,m m ，再得出点()2,m m 按照乙方式移动()10m -次后得到的点的横坐标和纵坐标，即得结果；②由①的结果可得直线3l 的解析式，进而可画出函数图象；（3）先根据题意得出点A ，B ，C 的坐标，然后利用待定系数法求出直线AB 的解析式，再把点C 的坐标代入整理即可得出结果．【详解】（1）设1l 的解析式为y kx b =+，把(4,2)M 、(2,4)N 代入，得4224k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：16k b =-⎧⎨=⎩，∴1l 的解析式为6y x =-+；将1l 向上平移9个单位长度得到的直线2l 的解析式为15y x =-+；（2）①∵点P 按照甲方式移动了m 次，点P 从原点O 出发连续移动10次，∴点P 按照乙方式移动了()10m -次，∴点P 按照甲方式移动m 次后得到的点的坐标为()2,m m ；∴点()2,m m 按照乙方式移动()10m -次后得到的点的横坐标为21010m m m +-=+，纵坐标为()21020m m m +-=-，∴10,20x m y m =+=-；②由于102030x y m m +=++-=，∴直线3l 的解析式为30y x =-+；函数图象如图所示：（3）∵点,,A B C 的横坐标依次为,,a b c ，且分别在直线∴()()(),6,,15,,30A a a B b b C c c -+-+-+，设直线AB 的解析式为y mx n =+，把A.B 两点坐标代入，得615ma n a mb n b +=-+⎧⎨+=-+⎩，解得：9196m b a a n b a ⎧=-+⎪⎪-⎨⎪=-⎪-⎩，∴直线AB 的解析式为916y x b a ⎛⎫=-++- ⎪-⎝⎭∵A ，B ，C 三点始终在一条直线上，∴991630a c c b a b a ⎛⎫-++-=-+ ⎪--⎝⎭，整理得：538a c b +=；即a ，b ，c 之间的关系式为：538a c b +=．【点拨】本题是一次函数和平移综合题，主要考查了平移的性质和一次函数的相关知识，正确理解题意、熟练掌握平移的性质和待定系数法求一次函数的解析式是解题关键．37．【答案】(1)5l a =；(2)1015250l a -=；【分析】（1）根据题意可直接进行求解；（2）根据题意可直接代值求解；（3）由（1）（2）可建立二元一次方程组进行求解；（4）根据（3）可进行求解；（5）分别把0m =，100m =，200m =，m =【点拨】本题考查了从函数图象获取信息，用待定系数法求一次函数，一次函数的实际应用，能准确地理解题意，根据题中信息求得所需数据是解题的关键．。
2024成都中考数学第一轮专题复习之第三章 微专题 函数的实际应用 教学课件
绿道化身成为这座城市的一个超大型“体育场”，绿道骑行成为市民的
一种低碳生活新风尚．甲、乙两人相约同时从绿道
某地出发同向骑行，甲骑行的速度是18 km/h，乙
骑行的路程s(km)与骑行的时间t(h)之间的关系如图
所示．
(1)直接写出当0≤t≤0.2和t＞0.2时，s与t之间的函
6. (2023成都B卷24题8分)2023年7月28日至8月8日，第31届世界大学生运
动会将在成都举行．“当好东道主，热情迎嘉宾”，成都某知名小吃店
计划购买A，B两种食材制作小吃．已知购买1千克A种食材和1千克B种食
材共需68元，购买5千克A种食材和3千克B种食材共需280元．
(1)求A，B两种食材的
2022 24
8
图象型 2019 26
8
2018 26 解答题 8
2020 26
8
表格型
2017 26
8
考情分析
试题情境
考查设问
成都绕城绿道 (1)求一次函数表达式(分段)；(2)求乙骑行在 甲前面的时间
销售5G产品
(1)求一次函数关系式；(2)求利润最值及此 时售价
第一轮专题复习之第三章 微专题 函数的实际应用
成都8年高频点考情及趋势分析
课标要求 1.结合具体情境体会一次函数的意义，能用一次函数解决简单实际问题； 2.结合具体情境体会反比例函数的意义，能用反比例函数解决简单实际 问题； 3.通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义； 4.会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值(2022年版 课标新增)，能解决相应的实际问题．
第1题图
2024年中考数学总复习考点培优训练第三章第三节一次函数的实际应用
第三节 一次函数的实际应用
(1)甲组比乙组多挖掘了__3_0__天； 【解法提示】由图象可知，前30天，甲、乙合作挖掘隧道，30 天后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成剩下的任务用了 30天，∴60－30＝30(天)， ∴甲组比乙组多挖掘了30天．
第4题图
第三节 一次函数的实际应用
(2)求乙组停工后y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值
关t)键＝点12：0，根据解甲得组t＝挖1掘0，总长故度乙与组乙已组停挖工掘的总长天度数相为等1结0天．
合图象列出等量关系．
第三节 一次函数的实际应用
新考法推荐 5. 跨学科整合 (2023宜昌)某食用油的沸点温度远高于水的沸点 温度，小聪想用刻度不超过100 ℃的温度计测算出这种食用油沸 点的温度．在老师的指导下，他在锅中倒入一些这种食用油均 匀加热，并每隔10 s测量一次锅中油温，得到的数据记录如下：
范围； (2)设乙组停工后y关于x的函数解析式为y＝kx＋b，
将点(30，210)，(60，300)代入y＝kx＋b中(k≠0)，
得
30k 60k
b 210 ,
b 300
解得
k b
3 120
,
∴y关于x的函数解析式为y＝3x＋120(30≤x≤60)；
第4题图
第三节 一次函数的实际应用
(3)当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出 乙组已停工的天数．
解：(1)设A型玩具的进价为x元/个，则B型玩具的进价为1.5x元/个，
由题意可列方程1200 20 15来自0 ，x1.5 x
解得x＝10，经检验，x＝10是分式方程的解且符合实际，
∴1.5x＝15.
答：A型玩具的进价为10元/个，B型玩具的进价为15元/个；
2024年成都中考数学第一轮专题复习之第三章++微专题++二次函数综合题++类型三~四+教学课件
∴△BEN1≌△N321GD1，∴BE＝N1G，N521E＝D1G.∵B(4，0)，E( ，0)，
∴BE＝32N1G＝ .设N1( ，m32 )，则D152(－m＋ ，m－ )，∵D是对称轴
右侧抛物线上的点，∴－m＋ ＞0，m＜0，32 将D1(－m＋ ，例m题－解图③)代
入y＝x2－3x－32 4，解得52m1＝－ ，m2＝ (舍去)，∴D1(3，－4)；
y2＝－x＋m，将点C(0，－4)代入，解得m＝－4，∴直线P2C的表达式为
y2＝－x－4，联立
y x2 3x 4, y2 x 4,
解 综得 上x所＝述0，(舍△去P)B或Cx是＝以2，BC当为x＝直2角时边，的－直x－角4三＝角－形6，时∴，P点2(P2的，坐－标6).为 (－2，6)或(2，－6)；
＝32，解得t3＝－2＋
－ 3)或( ， )或3 (
2
2
31
2
( ，－2－ ).
3
31
2
2
，t4＝－2－ .综上所述，点N的坐标为( ，
，－2＋ )或
31
2
3
11
35
3
2
2
22
2
例题图③
31 2
(4)若点N是对称轴上一点，在对称轴右侧的抛物线上存在点D，使得
△BDN是以N为直角顶点的等腰直角三角形，求点D的坐标．
例题图③
解得n3＝
11 2
；③当BD＝CB时，BD2＝CB2，即42＋n2＝180，
解得n4＝2 41，n5＝－2 41.综上所述，当△CDB是等腰三角形时，
点D的坐标为(2，12＋4 11 )，(2，12－4 11)， (2，11)，(2，2 41)或(2，－2 41)；
2024成都中考数学第一轮专题复习之第三章 微专题 反比例函数与一次函数综合题 知识精练(含答案)
2024成都中考数学第一轮专题复习之第三章微专题反比例函数与一次函数综合题1.(2023营口)如图，点A 在反比例函数y ＝k x (x >0)的图象上，AB ⊥y 轴于点B ，tan ∠AOB ＝12，AB ＝2.(1)求反比例函数的解析式；(2)点C 在这个反比例函数图象上，连接AC 并延长交x 轴于点D ，且∠ADO ＝45°，求点C 的坐标．第1题图2.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点A ，B 在x 轴的正半轴上，顶点D 在直线y ＝32x 位于第一象限的图象上，反比例函数y ＝k x(x >0)的图象经过点D ，交BC 于点E ，AB ＝4.(1)若BC ＝6，求点E 的坐标；第2题图(2)连接DE ，当DE ⊥OD 时，求点D 的坐标．3.如图，在平面直角坐标系中，等腰直角△ABC 的顶点A ，B 分别在x 轴，y 轴上，点C 在反比例函数y ＝k x(x >0)的图象上，AC 的中点D 也在该反比例函数的图象上，已知A (3，0)．(1)求k 的值；(2)若点P 是反比例函数图象上的一点，当△POD 的面积是△ABC 面积的12时，求点P 的坐标．第3题图4.如图，已知一次函数y ＝kx ＋b 与反比例函数y ＝m x的图象交于A (－3，2)，B (1，n )两点，一次函数图象与y 轴交于点C.(1)求n 的值及一次函数与反比例函数的表达式；(2)点P 是反比例函数图象上一点，且△POC 是以OC 为底边的等腰三角形，求点P 的坐标；(3)若P 是直线AB 上的一点，且BP ＝2AP ，求点P 的坐标．第4题图5.(2022徐州)如图，一次函数y＝kx＋b(k>0)的图象与反比例函数y＝8(x>0)的图象交于点A，x与x轴交于点B，与y轴交于点C，AD⊥x轴于点D，CB＝CD，点C关于直线AD的对称点为点E.(1)点E是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由．(2)连接AE，DE，若四边形ACDE为正方形．①求k，b的值；②若点P在y轴上，当|PE－PB|最大时，求点P的坐标．第5题图备用图参考答案与解析1.解：(1)∵AB ⊥y 轴于点B ，∴∠OBA ＝90°，在Rt △OBA 中，AB ＝2，tan ∠AOB ＝A B OB ＝12，∴OB ＝4，∴A (2，4).∵点A 在反比例函数y ＝k x(x ＞0)的图象上，∴k ＝4×2＝8，∴反比例函数的解析式为y ＝8x；(2)如解图，过点A 作AF ⊥x 轴于点F ，∴∠AFD ＝90°.∵∠ADO ＝45°，∴∠FAD ＝90°－∠CDF ＝45°，∴AF ＝DF ＝OB ＝4.∵OF ＝AB ＝2，∴OD ＝6，∴D (6，0).设直线AC 的解析式为y ＝ax ＋b .∵点A (2，4)，D (6，0)在直线AC 上，a ＋b ＝4，a ＋b ＝0，＝－1，＝6，∴直线AC 的解析式为y ＝－x ＋6.＝－x ＋6，＝8x ，＝2，＝4(舍去)＝4，＝2，∴C (4，2).第1题解图2.解：(1)∵BC ＝6，∴AD ＝BC ＝6.∵把y ＝6代入y ＝32x 中，解得x ＝4，∴点D (4，6).将点D 的坐标代入反比例函数表达式得k ＝4×6＝24，故反比例函数的表达式为y ＝24x.∵OB ＝OA ＋AB ＝8，即点E 的横坐标为8，则y ＝248＝3，∴点E 的坐标为(8，3)；(2)设点D (2a ，3a )(a ≠0)，∵四边形ABCD 为矩形，∴∠DAO ＝∠ADC ＝90°.∵DE ⊥OD ，∴∠ODE ＝90°.∴∠ODA ＝∠EDC .∵∠OAD ＝∠ECD ＝90°，∴△OAD ∽△ECD ，∴CE OA ＝CD AD ，即CE 2a ＝43a，解得CE ＝83，∴点E (2a ＋4，3a －83).∵点D ，E 都在反比例函数的图象上，∴2a ·3a ＝(2a ＋4)(3a －83)，解得a ＝85，∴点D 的坐标为(165，245).3.解：(1)设点C (a ，k a ).∵D 是AC 的中点，A (3，0)，∴D (a ＋32，k 2a ).∵D 在反比例函数y ＝k x的图象上，∴a ＋32·k 2a ＝k ，解得a ＝1.如解图①，过点C 作CE ⊥y 轴交y 轴于点E ，则CE ＝1，∠BEC ＝∠AOB ＝90°.∵△ABC 为等腰直角三角形，∴AB ＝BC ，∠ABC ＝90°，∴∠ABO ＋∠BAO ＝∠ABO ＋∠CBE ＝90°，∴∠BAO ＝∠CBE .∴△ABO ≌△BCE ，∴OB ＝CE ＝1，BE ＝AO ＝3，∴OE ＝4，∴C (1，4)，∴k ＝4；第3题解图①(2)设P (m ，4m)，由题意可知m ＞0.由(1)可知，B (0，1)，C (1，4)，D (2，2)，∴BC ＝12＋32＝10，∴S △ABC ＝12×(10)2＝5，∴S △ODP ＝52.∵点D (2，2)，∴OD 所在的直线的函数表达式为y ＝x .如解图②，过点P 作PQ ∥y 轴交OD 所在的直线于点Q ，则Q (m ，m )，∴PQ ＝|m －4m |，∴S △ODP ＝12×2·PQ ＝|m －4m |＝52.若m －4m ＝52，解得m ＝5＋894或m ＝5－894(舍去)，若4m －m ＝52，解得m ＝－5＋894或m ＝－5－894(舍去)，∴P (5＋894，89－54)或(－5＋894，89＋54).第3题解图②4.解：(1)∵反比例函数y ＝m x的图象经过点A (－3，2)，∴m ＝－6.∵点B (1，n )在反比例函数图象上，∴n ＝－6，∴B (1，－6).把点A ，B 的坐标代入y ＝kx ＋b 3k ＋b ＝2，＋b ＝－6，＝－2，＝－4，∴一次函数的表达式为y ＝－2x －4，反比例函数的表达式为y ＝－6x；(2)如解图，∵△POC 是以OC 为底边的等腰三角形，∴OP ＝CP .令x ＝0，则y ＝－2x －4＝－4，∴点C 的坐标为(0，－4)，∴OC ＝4，∴点P 的纵坐标为－2.∵点P 在反比例函数图象上，∴当y ＝－2时，x ＝3，∴点P 的坐标为(3，－2)；第4题解图(3)由(1)知直线AB 的表达式为y ＝－2x －4.∵A (－3，2)，B (1，－6)，P 是直线AB 上一点，设点P 的坐标为(t ，－2t －4)，∴BP ＝（t －1）2＋（－2t －4＋6）2＝（t －1）2＋（－2t ＋2）2，AP ＝（t ＋3）2＋（－2t －4－2）2＝（t ＋3）2＋（－2t －6）2.∵BP ＝2AP ，∴BP 2＝4AP 2，即(t －1)2＋(－2t ＋2)2＝4[(t ＋3)2＋(－2t －6)2]，整理得15t 2＋130t ＋175＝0，解得t ＝－53或t ＝－7，将t ＝－53代入直线AB 的表达式中，得y ＝－23；将t ＝－7代入直线AB 的表达式中，得y ＝10，∴点P 的坐标为(－53，－23)或(－7，10).5.解：(1)在，理由如下：如解图①，过点A 作y 轴的垂线，交y 轴于点F ，设点A 的坐标为(a ，2b )，∵AD ⊥x 轴于点D ，∴D (a ，0).∵CB ＝CD ，∠COB ＝∠COD ＝90°，CO ＝CO ，∴△COB ≌△COD ，∴OB ＝OD ，∠BCO ＝∠DCO .∵AF ＝DO ，∠BCO ＝∠ACF ，∴∠DCO ＝∠ACF ，∴△ACF ≌△DCO ，∴OC ＝CF ，∴C (0，b ).∵点C 关于直线AD 的对称点为点E ，∴E (2a ，b ).∵点A 在反比例函数的图象上，∴2ab ＝8，∴点E 在反比例函数的图象上．第5题解图①(2)①∵四边形ACDE 为正方形，∴∠ACD ＝90°，由(1)得△ACF ≌△DCO ，2ab ＝8，∴∠ACF ＝∠DCO ，∴∠DCO ＝45°，△COD 为等腰直角三角形，∴a ＝b ，∴a 2＝4.∵a ＞0，∴a ＝2，∴B (－2，0)，C (0，2)，2k ＋b ＝0，2，＝1，＝2；②如解图②，连接ED 并延长交y 轴于点P 1，∵点B 和点D 关于y 轴对称，∴PB ＝PD ，∴|PE －PB |＝|PE －PD |≤DE ，当点P 位于点P 1时，|PE －PB |最大，设直线DE 的表达式为y ＝k 1x ＋b 1，将D (2，0)，E (4，2)代入，得k1＋b1＝0，k1＋b1＝2，1＝1，1＝－2，∴直线DE的表达式为y＝x－2，∴P1(0，－2).∴当|PE－PB|最大时，点P的坐标为(0，－2).第5题解图②。
2024成都中考数学第一轮专题复习之第三部分 重难题型分类练 题型七 二次函数与几何图形综合题
题型七 二次函数与几何图形综合题类型一 与线段有关的问题1. (2022武汉)抛物线y ＝x 2－2x －3交x 轴于A ，B 两点(A 在B 的左边)，C 是第一象限抛物线上一点，直线AC 交y 轴于点P .(1)直接写出A ，B 两点的坐标；(2)如图①，当OP ＝OA 时，在抛物线上存在点D (异于点B )，使B ，D 两点到AC 的距离相等，求出所有满足条件的点D 的横坐标；(3)如图②，直线BP 交抛物线于另一点E ，连接CE 交y 轴于点F ，点C 的横坐标为m .求FPOP 的值(用含m的式子表示).第1题图2. (2022山西)综合与探究如图，二次函数y ＝－14 x 2＋32 x ＋4的图象与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C.点P 是第一象限内．．．．．二次函数图象上的一个动点，设点P 的横坐标为m .过点P 作直线PD ⊥x 轴于点D ，作直线BC 交PD 于点E .(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；(2)当△CEP是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；(3)连接AC，过点P作直线l∥AC，交y轴于点F，连接DF.试探究：在点P运动的过程中，是否存在点P，使得CE＝FD，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．第2题图3. (2022包头)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋c(a≠0)与x轴交于A，B两点，点B的坐标是(2，0)，顶点C的坐标是(0，4)，M是抛物线上一动点，且位于第一象限，直线AM与y轴交于点G.(1)求该抛物线的解析式；(2)如图①，N是抛物线上一点，且位于第二象限，连接OM，记△AOG，△MOG的面积分别为S1，S2.当S1＝2S2，且直线CN∥AM时，求证：点N与点M关于y轴对称；(3)如图②，直线BM与y轴交于点H，是否存在点M，使得2OH－OG＝7.若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．第3题图类型二与图形面积有关的问题4. (2022贺州)如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c过点A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)点P为抛物线对称轴上一动点，当△PCB是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；(3)在(2)条件下，是否存在点M为抛物线第一象限上的点，使得S△BCM＝S△BCP？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．第4题图5. (2022内江)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A(－4，0)，B(2，0)，与y轴交于点C(0，2).(1)求这条抛物线所对应的函数的表达式；(2)若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，求点D到直线AC的距离的最大值及此时点D的坐标；(3)点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBP A的面积分为1∶5两部分，求点P的坐标．6. (2022福建)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋bx经过A(4，0)，B(1，4)两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．(1)求抛物线的解析式；(2)若△OAB面积是△P AB面积的2倍，求点P的坐标；(3)如图，OP交AB于点C，PD∥BO交AB于点D.记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为S1，S2，S3.判断S 1S 2 ＋S 2S 3是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．第6题图类型三 角度问题7. (2022无锡)已知二次函数y ＝－14 x 2＋bx ＋c 图象的对称轴与x 轴交于点A (1，0)，图象与y 轴交于点B (0，3)，C ，D 为该二次函数图象上的两个动点(点C 在点D 的左侧)，且∠CAD ＝90°. (1)求该二次函数的表达式；(2)若点C 与点B 重合，求tan ∠CDA 的值；(3)点C 是否存在其他的位置，使得tan ∠CDA 的值与(2)中所求的值相等？若存在，请求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．第7题图8. (2022呼和浩特)如图，抛物线y ＝－12 x 2＋bx ＋c 经过点B (4，0)和点C (0，2)，与x 轴的另一个交点为A ，连接AC ，B C.(1)求抛物线的解析式及点A 的坐标；(2)如图①，若点D 是线段AC 的中点，连接BD ，在y 轴上是否存在点E ，使得△BDE 是以BD 为斜边的直角三角形？若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图②，点P 是第一象限内抛物线上的动点，过点P 作PQ ∥y 轴，分别交BC ，x 轴于点M ，N ，当△PMC 中有某个角的度数等于∠OBC 度数的2倍时，请求出满足条件的点P 的横坐标．第8题图类型四与特殊三角形判定有关的问题考向1等腰三角形判定问题9. (2022百色)已知抛物线经过A(－1，0)，B(0，3)，C(3，0)三点，O为坐标原点，抛物线交正方形OBDC 的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM，交BC于点F.(1)求抛物线的表达式；(2)求证：∠BOF＝∠BDF；(3)是否存在点M，使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长．10. (2022遂宁)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为(－1，0)，点C的坐标为(0，－3).(1)求抛物线的解析式；(2)如图①，E为△ABC边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为(0，－2)，求△DEF周长的最小值；(3)如图②，N为射线CB上的一点，M是抛物线上的一点，M，N均在第一象限内，B，N位于直线AM的同侧，若M到x轴的距离为d，△AMN面积为2d，当△AMN为等腰三角形时，求点N的坐标．第10题图考向2 直角三角形判定问题11. (2022抚顺本溪辽阳)如图，抛物线y ＝ax 2－3x ＋c 与x 轴交于A (－4，0)，B 两点，与y 轴交于点C (0，4)，点D 为x 轴上方抛物线上的动点，射线OD 交直线AC 于点E ，将射线OD 绕点O 逆时针旋转45°得到射线OP ，OP 交直线AC 于点F ，连接DF . (1)求抛物线的解析式；(2)当点D 在第二象限且DE EO ＝34时，求点D 的坐标；(3)当△ODF为直角三角形时，请直接写出点D的坐标．12. (2022柳州)已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(m，0)两点，与y轴交于点C(0，5).(1)求b，c，m的值；(2)如图①，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，当四边形DEFG的周长最大时，求点D的坐标；(3)如图②，点M是抛物线的顶点，将△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得△PQB是以QB为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．第12题图考向3等腰直角三角形判定问题13. (2022吉林省卷)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c(b，c是常数)经过点A(1，0)，点B(0，3).点P在此抛物线上，其横坐标为m.(1)求此抛物线的解析式；(2)当点P在x轴上方时，结合图象，直接写出m的取值范围；(3)若此抛物线在点P左侧部分(包括点P)的最低点的纵坐标为2－m.①求m的值；②以P A为边作等腰直角三角形P AQ，当点Q在此抛物线的对称轴上时，直接写出点Q的坐标．第13题图考向4等边三角形判定问题14. (2021朝阳)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴分别交于点A(－1，0)和点B，与y轴交于点C(0，3).(1)求抛物线的解析式及对称轴；(2)如图，点D与点C关于对称轴对称，点P在对称轴上，若∠BPD＝90°，求点P的坐标；(3)点M是抛物线上位于对称轴右侧的点，点N在抛物线的对称轴上，当△BMN为等边三角形时，请直接写出点M的横坐标．类型五 与特殊四边形判定有关的问题考向1 平行四边形判定问题15. (2022重庆A 卷)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝12 x 2＋bx ＋c 与直线AB 交于点A (0，－4)，B (4，0).(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点P 是直线AB 下方抛物线上的一动点，过点P 作x 轴的平行线交AB 于点C ，过点P 作y 轴的平行线交x 轴于点D ，求PC ＋PD 的最大值及此时点P 的坐标；(3)在(2)中PC ＋PD 取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点E 为点P 的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，M为平移后的抛物线的对称轴的一点，在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N 的坐标的其中一种情况的过程．考向2矩形判定问题16. (2022黔东南州)如图，抛物线y＝ax2＋2x＋c的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A，B(3，0)，与y轴交于点C，连接A C.(1)求此抛物线的解析式；(2)已知点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DM⊥x轴，垂足为点M，DM交直线BC于点N，是否存在这样的点N，使得以A，C，N为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由；(3)已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为顶点四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．考向3 菱形判定问题17. (2022烟台)如图，已知直线y ＝43 x ＋4与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A ，C 两点，且与x 轴的另一个交点为B ，对称轴为直线x ＝－1. (1)求抛物线的表达式；(2)D 是第二象限内抛物线上的动点，设点D 的横坐标为m ，求四边形ABCD 面积S 的最大值及此时D 点的坐标；(3)若点P 在抛物线对称轴上，是否存在点P ，Q ，使以点A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是以AC 为对角线的菱形？若存在，请求出P ，Q 两点的坐标；若不存在，请说明理由．第17题图考向4 正方形判定问题18. (2022海南)如图①，抛物线y ＝ax 2＋2x ＋c 经过点A (－1，0)，C (0，3)，并交x 轴于另一点B ，点P (x ，y )在第一象限的抛物线上，AP 交直线BC 于点D. (1)求该抛物线的函数表达式；(2)当点P 的坐标为(1，4)时，求四边形BOCP 的面积；(3)点Q 在抛物线上，当PDAD的值最大且△APQ 是直角三角形时，求点Q 的横坐标；(4)如图②，作CG ⊥CP ，CG 交x 轴于点G (n ，0)，点H 在射线CP 上，且CH ＝CG ，过GH 的中点K 作KI ∥y 轴，交抛物线于点I ，连接IH ，以IH 为边作出如图所示正方形HIMN ，当顶点M 恰好落在y 轴上时，请直．接写出．．．点G的坐标．第18题图类型六与三角形全等、相似有关的问题考向1全等三角形判定19. (2020陕西)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(3，12)和(－2，－3)，与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l.(1)求该抛物线的表达式；(2)点P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为点D，点E是l上的点．要使以点P，D，E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标．第19题图考向2相似三角形判定20. (2022衡阳)如图，已知抛物线y＝x2－x－2交x轴于A，B两点，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”，图象W交y轴于点C.(1)写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式；(2)若直线y＝－x＋b与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出b的值；(3)P为x轴正半轴上一动点，过点P作PM∥y轴交直线BC于点M，交图象W于点N，是否存在这样的点P，使△CMN与△OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．第20题图类型七与圆有关的问题21. (2021张家界)如图，已如二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点C(2，－3).且与x轴交于原点及点B(8，0).(1)求二次函数的表达式；(2)求顶点A的坐标及直线AB的表达式；(3)判断△ABO的形状，试说明理由；(4)若点P为⊙O上的动点，且⊙O的半径为22，一动点E从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AP匀速运动到点P，再以每秒1个单位长度的速度沿线段PB匀速运动到点B后停止运动，求动点E 的运动时间t的最小值．第21题图。
2024成都中考数学第一轮专题复习之第三部分 重难题型分类练8.题型八 阅读理解题
题型八阅读理解题类型一定义新运算1. (2022赤峰)阅读下列材料定义运算：min|a，b|，当a≥b时，min|a，b|＝b；当a＜b时，min|a，b|＝a. 例如：min|－1，3|＝－1；min|－1，－2|＝－2.第1题图完成下列任务(1)① min|(－3)0，2|＝________；② min|－14，－4|＝________；(2)如图，已知反比例函数y1＝kx和一次函数y2＝－2x＋b的图象交于A、B两点，当－2＜x＜0时，min|kx，－2x＋b|＝(x＋1)(x－3)－x2.求这两个函数的解析式．2. (2022重庆B卷)对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”．例如：∵247÷(2＋4＋7)＝247÷13＝19，∴247是13的“和倍数”．又如：∵214÷(2＋1＋4)＝214÷7＝30……4， ∴214不是“和倍数”．(1)判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；(2)三位数A 是12的“和倍数”，a ，b ，c 分别是数A 其中一个数位上的数字，且a ＞b ＞c .在a ，b ，c 中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F (A )，最小的两位数记为G (A ).若F （A ）＋G （A ）16 为整数，求出满足条件的所有数A .类型二 新概念的理解与应用3. (2022北京)在平面直角坐标系xOy 中，已知点M (a ，b )，N .对于点P 给出如下定义：将点P 向右(a ≥0)或向左(a <0)平移|a |个单位长度，再向上(b ≥0)或向下(b <0)平移|b |个单位长度，得到点P ′，点P ′关于点N 的对称点为Q ，称点Q 为点P 的“对应点”．(1)如图，点M (1，1)，点N 在线段OM 的延长线上．若点P (－2，0)，点Q 为点P 的“对应点”，第3题图①在图中画出点Q ；②连接PQ ，交线段ON 于点T .求证：NT ＝12OM ；(2)⊙O 的半径为1，M 是⊙O 上一点，点N 在线段OM 上，且ON ＝t (12 <t <1).若P 为⊙O 外一点，点Q 为点P 的“对应点”，连接PQ .当点M 在⊙O 上运动时直接写出PQ 长的最大值与最小值的差(用含t 的式子表示).4. (2022嘉兴)小东在做九上课本123习题：“1∶2 也是一个很有趣的比．已知线段AB (如图①)，用直尺和圆规作AB 上的一点P ，使AP ∶AB ＝1∶2 .”小东的作法是：如图②，以AB 为斜边作等腰直角三角形ABC ，再以点A 为圆心，AC 长为半径作弧，交线段AB 于点P ，点P 即为所求作的点，小东称点P 为线段AB 的“趣点”．(1)你赞同他的作法吗？请说明理由；(2)小东在此基础上进行了如下操作和探究：连接CP ，点D 为线段AC 上的动点，点E 在AB 的上方，构造△DPE ，使得△DPE ∽△CP B.①如图③，当点D 运动到点A 时，求∠CPE 的度数；②如图④，DE 分别交CP ，CB 于点M ，N ，当点D 为线段AC 的“趣点”时(CD ＜AD )，猜想：点N 是否为线段ME 的“趣点”？并说明理由．第4题图5. (2022长沙)若关于x 的函数y ，当t －12 ≤x ≤t ＋12 时，函数y 的最大值为M ，最小值为N ，令函数h ＝M －N 2 ，我们不妨把函数h 称之为函数y 的“共同体函数”．(1)①若函数y ＝4044x ，当t ＝1时，求函数y 的“共同体函数”h 的值； ②若函数y ＝kx ＋b (k ≠0，k ，b 为常数)，求函数y 的“共同体函数”h 的解析式；(2)若函数y ＝2x(x ≥1)，求函数y 的“共同体函数”h 的最大值；(3)若函数y ＝－x 2＋4x ＋k ，是否存在实数k ，使得函数y 的最大值等于函数y 的“共同体函数”h 的最小值．若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．6. (2022常州)在四边形ABCD 中，O 是边BC 上的一点．若△OAB ≌△OCD ，则点O 叫做该四边形的“等形点”．(1)正方形________“等形点”(填“存在”或“不存在”)；(2)如图，在四边形ABCD 中，边BC 上的点O 是四边形ABCD 的“等形点”．已知CD ＝42 ，OA ＝5，BC ＝12，连接AC ，求AC 的长；第6题图(3)在四边形EFGH 中，EH ∥FG .若边FG 上的点O 是四边形EFGH 的“等形点”，求OFOG 的值．类型三 解题方法型7. (2022山西)阅读与思考下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务．用函数观点认识一元二次方程根的情况我们知道，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根就是相应的二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象(称为抛物线)与x 轴交点的横坐标．抛物线与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、无交点．与此相对应，一元二次方程的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根．因此可用抛物线与x 轴的交点个数确定一元二次方程根的情况．下面根据抛物线的顶点坐标(－b2a ，4ac －b 24a )和一元二次方程根的判别式Δ＝b 2－4ac ，分别从a >0和a <0两种情况进行分析： (1)a >0时，抛物线开口向上． ①当Δ＝b 2－4ac >0时，有4ac －b 2<0. ∵a >0，∴顶点纵坐标4ac －b 24a<0.∴顶点在x 轴的下方，抛物线与x 轴有两个交点(如图①). ∴一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实数根． ②当Δ＝b 2－4ac ＝0时，有4ac －b 2＝0. ∵a >0，∴顶点纵坐标4ac －b 24a＝0.∴顶点在x 轴上，抛物线与x 轴有一个交点(如图②). ∴一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个相等的实数根． ③当Δ＝b 2－4ac <0时， …(2)a <0时，抛物线开口向下． …图①图② 第7题图任务：(1)上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是_____________(从下面选项中选出两个即可)；A. 数形结合B. 统计思想C. 分类讨论D. 转化思想(2)请参照小论文中当a>0时①②的分析过程，写出③中当a>0，Δ<0时，一元二次方程根的情况的分析过程，并画出相应的示意图；(3)实际上，除一元二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识．例如：可用函数观点来认识一元一次方程的解．请你再举出一例为_____________________________________．源自北师九下P52议一议8. (2022张家界)阅读下列材料：在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，求证：asin A＝bsin B.第8题图①证明：如图①，过点C作CD⊥AB于点D，则：在Rt△BCD中，CD＝a sin B，在Rt△ACD中，CD＝b sin A，∴a sin B＝b sin A，∴asin A＝bsin B.根据上面的材料解决下列问题：(1)如图②，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，求证：bsin B＝csin C；(2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图③，规划中的一片三角形区域需美化，已知∠A＝67°，∠B＝53°，AC＝80米，求这片区域的面积．(结果保留根号．参考数据：sin 53°≈0.8，sin 67°≈0.9)第8题图9. (2022随州)《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中．(1)我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式，(下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号)第9题图公式①：(a ＋b ＋c )d ＝ad ＋bd ＋cd 公式②：(a ＋b )(c ＋d )＝ac ＋ad ＋bc ＋bd 公式③：(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2 公式④：(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2图①对应公式____，图②对应公式______，图③对应公式____，图④对应公式______；(2)《几何原本》中记载了一种利用几何图形证明平方差公式(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2的方法，如图⑤，请写出证明过程；(已知图中各四边形均为矩形)(3)如图⑥，在等腰直角三角形ABC 中，∠BAC ＝90°，D 为BC 的中点，E 为边AC 上任意一点(不与端点重合)，过点E 作EG ⊥BC 于点G ，作EH ⊥AD 于点H ，过点B 作BF ∥AC 交EG 的延长线于点F .记△BFG 与△CEG 的面积之和为S 1，△ABD 与△AEH 的面积之和为S 2. ①若E 为边AC 的中点，则S 1S 2的值为________；②若E 不为边AC 的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由．图⑤ 图⑥第9题图10. (2021广西北部湾经济区)【阅读理解】如图①，l 1∥l 2，△ABC 的面积与△DBC 的面积相等吗？为什么？ 解：相等，在△ABC 和△DBC 中，分别作AE ⊥l 2，DF ⊥l 2，垂足分别为点E ，F . ∴∠AEF ＝∠DFC ＝90°，∴AE ∥DF . ∵l 1∥l 2，∴四边形AEFD 是平行四边形， ∴AE ＝DF .又S △ABC ＝12 BC ·AE ，S △DBC ＝12 BC ·DF ，∴S △ABC ＝S △DB C .【类比探究】如图②，在正方形ABCD 的右侧作等腰△CDE ，CE ＝DE ，AD ＝4，连接AE ，求△ADE 的面积．解：过点E 作EF ⊥CD 于点F ，连接AF . 请将余下的求解步骤补充完整．【拓展应用】如图③，在正方形ABCD 的右侧作正方形CEFG ，点B ，C ，E 在同一直线上，AD ＝4，连接BD ，BF ，DF ，直接写出△BDF 的面积．第10题图。
2024年中考第一轮复习 一次函数的图象与性质 课件
画图可知当 x>3 时,一次函数 y=3x 的
图象在 y=kx+b 的图象上方,即 kx+b
图10-6
1
3
< x.
考向三
两条直线的位置关系
4
3
4
3
例 3 一次函数 y= x-b 与 y= x-1 的图象之间的距离等于 3,则 b 的值为 (
A.-2 或 4
B.2 或-4
C.4 或-6
D.-4 或 6
1.[2020·天门]对于一次函数y=x+2,下列说法不正确的是( D )
A.图象经过点(1,3)
B.图象与x轴交于点(-2,0)
C.图象不经过第四象限
右移n个单位
注:直线y=kx+b可由直线y=kx平移|b|个单位得到
考点二
一次函数的性质
3.[2018·绍兴]如图10-3,一个函数的图象由射线BA、线段BC、射线CD组成,其中
点A(-1,2),B(1,3),C(2,1),D(6,5),则此函数
A
(
)
A.当x<1时,y随x的增大而增大
B.当x<1时,y随x的增大而减小
点 P,并分别与 x 轴相交于点 A,B.
(1)求交点 P 的坐标;
(2)求△ PAB 的面积;
(3)请把图象中直线 y=-2x+2 在直线
1
y=- x-1 上方的部分
2
描黑加粗,并写出此时自变量 x 的取值范围.
1
- -1,
2
= 2,
解:(1)解
得
∴P(2,-2).
= -2 + 2, = -2,
(2)图象经过点(2,-1)且与直线
2024成都中考数学第一轮专题复习之第三章 微专题 二次函数综合题 练习课件
2ME？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．
(2)存在，理由如下：
∵点A是抛物线y＝－x2＋3x＋4与x轴的另一个交点，
∴点A(－1，0).
①当－1＜m＜ 3 时，点P在x轴的上方，
2
∵MN＝2ME，
∴点E为线段MN的中点，
∴点E的横坐标为xE＝
3
m 2
m
3 2
，
第2题图
微专题 二次函数综合题
∵－ 1 <0，
2
∴当m＝2时，PE有最大值，最大值为2，
∴△PDE周长的最大值为DE＋PD＋PE＝ 5 PE
5
＋ 2 5 PE＋PE＝6 5 ＋2.
5
5
此时点P的坐标为(2，3).
第1题图
微专题 二次函数综合题
2. (2023济宁节选)如图，直线y＝－x＋4交x轴于点B，交y轴于点C，对称
轴为x＝ 3 的抛物线经过B，C两点，交x轴负半轴于点A. P为抛物线上一
2
0，则y1＝3，∴M(0，3).∵抛物
第5题图
备用图
微专题 二次函数综合题
线y的对称轴为直线x＝1，点P在抛物线对称轴上，∴设P(1，m)，∴PN2
＝(1＋3)2＋(m＋ 3 )2，MN2＝ 117 ，PM2＝12＋(m－3)2.∵△PMN为直角三
2
4
角形，∴需要分以下三种情况：①当∠MNP＝90°时，MN2＋PN2＝PM2，
得
a a
b b
2 2
3, 0,
解得
a b
1 2
3, 2
∴该抛物线的表达式为y＝－
, 1
x2＋
3
x＋2；
2
2
第1题图
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2024成都中考数学第一轮专题复习之
第三章 第三节 函数的表达式(含平移) 知识精练 基础题
1. (2023云南)若点A (1，3)是反比例函数y ＝k x
(k ≠0)图象上一点，则常数k 的值为( ) A. 3 B. －3 C. 32 D. －32
2. (2022益阳)已知一个函数的因变量y 与自变量x 的几组对应值如下表，则这个函数的表达式可以是( )
A. y ＝2x
B. y ＝x －1
C. y ＝2x
D. y ＝x 2 3. 若二次函数的图象的顶点坐标为(2，－1)，且该函数图象过点(0，3)，则二次函数的表达式是( )
A. y ＝－(x －2)2－1
B. y ＝－12
(x －2)2－1 C. y ＝(x －2)2－1 D. y ＝12
(x －2)2－1 4. (北师九下P41习题第2题改编)若抛物线y ＝－x 2－2x ＋3经过平移后得到的新抛物线的顶点坐标为(2，5)，则平移方式为( )
A. 先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
B. 先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C. 先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D. 先向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
5. 已知点A (－3，a )，B (5，a )，C (－8，a ＋b )(b <0)在同一个函数的图象上，则这个函数可能是( )
A. y ＝2x
B. y ＝－3x
C. y ＝(x －1)2
D. y ＝－12
x 2＋x ＋2 6. [新考法—结论开放](2023上海)一个二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点在y 轴正半轴上，且
其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是________．
7. 若直线y ＝x 向下平移3个单位长度后经过点(2，m )，则m 的值为________．
8. 若将抛物线平移，有一个点既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，则称这个点为“平衡点”．现将抛物线C 1：y ＝(x －2)2－4向右平移m (m >0)个单位长度后得到新的抛物线C 2，若(4，n )为“平衡点”，则m 的值为________．
拔高题
9. 已知在平面直角坐标系中，O 为原点，等边△AOB 的边AO 在x 轴上，点A (4，0)，点B 在第一象限，则经过等边△AOB 三个顶点的抛物线的函数表达式为________________．
10. 如图所示，直线y 1＝－43x 与双曲线y ＝k x
交于A ，B 两点，点C 在x 轴上，连接AC ，B C.当AC ⊥BC ，S △ABC ＝15时，k 的值为________．
第10题图
参考答案与解析
1. A 【解析】∵点A (1，3)在反比例函数y ＝k x
(k ≠0)图象上，∴k ＝1×3＝3. 2. A 【解析】根据表中数据可以看出：y 的值是x 值的2倍，∴y ＝2x .
3. C 【解析】设这个二次函数的表达式为y ＝a (x －h )2＋k ，∵二次函数的图象的顶点坐标为(2，－1)，∴二次函数的表达式为y ＝a ·(x －2)2－1，把(0，3)代入得a ＝1，∴y ＝(x －2)2－1.
4. B 【解析】∵y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，∴平移前抛物线的顶点坐标为(－1，4).∵平移后新抛物线的顶点坐标为(2，5)，∴平移方式为先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度．
5. D 【解析】∵A (－3，a )，B (5，a )，∴点A 与点B 关于直线x ＝1对称．∵函数y ＝2x ，y ＝－3x
的图象不关于直线x ＝1对称，∴A ，B 选项均不符合题意；∵b <0，∴a ＋b <a .由A (－3，a )，C (－8，a ＋b )可知，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，∴C 选项不符合题意，D 选项符合题意．
6. y ＝－x 2＋1(答案不唯一) 【解析】由题意得b ＝0，a ＜0，c ＞0，∴这个二次函数的解析式可以是y ＝－x 2＋1.
7. －1 【解析】将直线y ＝x 向下平移3个单位，得到直线y ＝x －3，把点(2，m )代入，即m ＝2－3，∴m ＝－1.
8. 4 【解析】根据题意，将(4，n )代入抛物线C 1：y ＝(x －2)2－4，得到：n ＝(4－2)2－4＝0，所以“平衡点”为(4，0).将抛物线C 1：y ＝(x －2)2－4向右平移m (m ＞0)个单位得到新抛物线C 2：y ＝(x －2－m )2－4.将(4，0)代入新抛物线C 2：y ＝(x －2－m )2－4，得0＝(4－2－m )2－4，解得m ＝4(负值已舍去).
9. y ＝－32
x 2＋23 x 【解析】根据题意，可设该抛物线的函数表达式为y ＝ax ·(x －4)，由题知，点B 的坐标为(2，23 )，∴将点B 坐标代入，得23 ＝a ×2×(2－4)，解得a ＝－32 ，∴该抛物线的函数表达式为y ＝－32
x 2＋23 x . 10. －9 【解析】∵直线y 1＝－43 x 与双曲线y ＝k x
交于A ，B 两点，∴点A 与点B 关于原点对称，OA ＝OB .∵AC ⊥BC ，∴∠ACB ＝90°，∴OA ＝OB ＝OC .设A (t ，－43
t )，则B (－t ，
43 t )，OA ＝t 2＋（－43t ）2 ＝－53 t ，∴OC ＝－ 53 t .∵S △ABC ＝15，∴12 ×(－ 53 t )·(－43 t －43 t )＝15，解得t ＝±332 ，∴A (－332 ，23 ).把A (－332 ，23 )代入y ＝k x 中，得k ＝－332
×23 ＝－9.。