概念为本的教学：评张齐华的“平均数”一课

概念为本的教学——评张齐华的“平均数〞一课学生如何学习平均数这一重要概念呢传统教学侧重于对所给数据(有时甚至是没有任何统计意义的抽象数)计算其平均数，即侧重于从算法的水平理解平均数，这简单将平均数的学习演变为一种简单的技能学习，忽略平均数的统计学意义。因此，新课程标准特别强调从统计学的角度来理解平均数。然而什么是“从统计学的角度〞理解平均数在教学中如何落实如何将算法水平的理解与统计学水平的理解整合起来如何将平均数作为一个概念来教下面以张齐华老师执教的“平均数〞一课为例研究教学实践中如何解决上述问题。

将平均数作为一个重要概念来教，重点是要解决三个问题：为什么学习平均数平均数这个概念的本质以及性质是什么现实生活、工作等方面是怎样运用平均数的张齐

华老师执教的“平均数〞一课正是从这三方面，并依据学生的认知特点和生活经验完成从概念的角度理解平均数。

一、“概念为本〞教学的核心：为什么学习平均数

1．凭直觉体验平均数的“代表性〞。

平均数的统计学意义是它能刻画、代表一组数据的整体水平。平均数不同于原始数据中的每一个数据(虽然碰巧可能等于某个原始数据)，但又与每一个原始数据相关，代表这组数据的平均水平。要对两组数据的总体水平进行比拟，就可以比拟这两组数据的平均数，因为平均数具有良好的代表性，不仅便于比拟，而且公平。

在张老师的课上，导人局部的问题——1分钟投篮挑战赛——虽然简单，但易于引发学生对平均数的“代表性〞的理解：是用一次投篮投中的个数来代表整体水平还是用几次投篮中的某一次投中个数来代表整体水平呢抑或是用几次投篮的总数来代表整体水平呢

由于教师所选择的几组数据经过精心设计，同时各组数据的呈现方法伴随

着教师的追问，使学生很好地理解了平均数的统计学意义。这些数据并不是一组一组地同时呈现，然后让学生分别计算其平均数，而是动态呈现，并伴随教师的追问，以落实研究每一组数据的教学目标。例如，先呈现小强第—次投中5个，然后追问：“小强对这一成绩似乎不太中意，觉得好似没有发挥出自己的真实水平，想再投两次。如果你是张老师，你会同意他的要求吗〞这样就使学生直觉体验到由于随机误差的原因仅用一次的数据很难代表整体的水平，因此再给他两次投篮的时机。而小强的投篮水平非常稳定，三次都是5个。三次数据都是“5〞，这是教师精心设计的，核心是让学生凭直觉体验平均数的代表性，防止了学生不会计算平均数的为难。同样道理，第二组数据的呈现方法仍旧先呈现一个，伴随教师的追问：“如果你是小林，会就这样结束吗〞这让学生体验一次数据，很难代表整体水平，但3、5、4到底哪个数据能代表小林的水平呢教师设计这些活动的核心是让学生体验平均数的代表性。

2．两种计算方法的背后仍加强概念理解。

虽然会计算一组数据的平均数是重要的技能，但过多的、单纯的练习简单变成纯粹的技能训练，阻碍学生体会平均数在数据处理过程中的价值。计算平均数有两种方法，每种方法的教育价值各有侧重点，其核心都是加强对平均数意义的理解，非仅仅计算出结果。

在张老师的课上，利用直观形象的象形统计图(条形统计图也可以)，通过动态的“割补〞来呈现“移多补少〞的过程，为理解平均数所表示的均匀水平提供感性支撑。首先两次在直观水平上通过“移多补少〞求得平均数，而不是先通过计算求平均数。这样做，加强平均数“匀乎、匀乎〞的产生过程，是对平均数能刻画一组数据的整体水平的进一步直观理解，防止学生原有思维定势的影响，即淡化学生对“平均分〞的认识，加强对平均数意义而非算法的理解。

如何让学生理解平均数代表的是一组数据的整体水平，而不是平均分后某个体所获得的结呆呢平均数与平均分既有联系更有区别，虽然二者的计算过程

相同，但不同于前面所学的“平均分〞，二者计算过程相同但各自的意义不同。从问题解决角度看，“平均分〞有两层含义：一是已知总数和份数，求每份数是多少；二是已知总数和每份数，求有这样的多少份，强调的是除法运算的意义，解决的是“单位量〞与“单位个数〞的问题。而平均数则反映全部数据的整体水平，目的是比拟两组数据的整体水平，加强统计学意义，数据的“个数〞不同于前面所说的“份数〞，是依据需要所选择的“样本〞的个数。

因此张老师的教学中没有单纯地求平均数的练习，而是将学习平均数放在完整的统计活动中，在描述数据、进行整体水平比照的过程中深化“平均数是一种统计量〞的本质，完成从统计学的角度学习平均数。例如，张老师在通过两种方法求出平均数之后，一再追问：“哪个数是哪几个数的平均数呢〞“这里的平均数4能代表小刚第—次投中的个数吗〞“能代表小刚第二次、第三次投中的个数吗〞“那它究竟代表的是哪一次的个数〞通过这样的追问，加强平均数的统计学意义。当然，如果在此现实问题中出现平均数是小数的情形更有助于学生理解平均数只刻画整体水平而不是真正的其中某一次投中的个数(投中的个数怎么会是小数呢不强调小数的意义，只出现简单小数，例如3．5个)，即有人所说的“平均数是一个虚幻的数〞。学生对此理解需要比拟长的“过程〞，不是一节课就能达成的。

二、“概念为本〞教学的深化：进一步理解平均数的本质及性质

初步认识了平均数的统计学意义后，张老师仍旧进一步设计活动让学生借助于具体问题、具体数据初步理解平均数的性质，丰富学生对平均数的理解，也为学生灵敏解决有关平均数的问题提供知识和方法上的支持。算术平均数有如下性质：

1．一组数据的平均数易受这组数据中每一个数据的影响，“稍有风吹草动〞就能带来平均数的变化〞，即敏感性。

2．一组数据的平均数介于这组数据的最小值与最大值之间。

3．一组数据中每一个数与算术平均数之差(称为离均差)的总和等于0，即：

其中xi总是原始数据，x是这组数据的算术平均数。

4．给一组数据中的每一个数加上一个常数C，则所得到的新数组的平均数为原来数组的平均数加上常数C。

5．一组数据中的每一个数乘上一个常数C，则所得到的新数组的平均数为原来数组的平均数乘常数C。

这些抽象的性质如何让小学生理解呢张老师仍旧是在巧妙的数据设计以及适时的把握本质的追问中让学生进一步深化对平均数性质的认识。数据设计的巧妙主要表达在：

首先，在统计张老师自己的投球水平常，张老师“搞特别〞，可以投四次。基于前面学生对平均数的初步感知，学生认可用老师四次投中个数的平均数来代表老师的整体水平，但张老师在第四次投中多少个球上大做文章：前三次的平均数是5，那么老师肯定是并列第—了一组数据中前三个数据大小不变，只是第四个数据发生变化，会导致平均数产生什么样的变化呢在疑问与困惑(当然有很多学生是“清醒〞的)中，教师首先出示了“极端数据二〞(1个球)，进一步深化学生对平均数代表性的理解，初步体验平均数的敏感性。

其次，假设张老师第四次投中5个、9个，张老师1分钟投球的平均数分别是多少依据统计图直观估量、计算或者依据平均数的意义进行推理都能求出平均数，多种方

法求解发挥了学生的聪慧才智，使学生的潜能得以发挥，体验成功感进而体验制造学习的乐趣。

再次，将张老师1分钟投球的三幅统计图同时呈现，让学生比照分析、独立思考再小组商量。由于三幅统计图中前三个数据相同，只有第四个数据不同，学生能够进一步