典型例题：常用逻辑用语主要题型及解题指导

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第02讲-常用逻辑用语(解析版)

第02讲常用逻辑用语一、考情分析1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系；理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系；理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系；2.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义；3.能正确使用存在量词对全称命题进行否定；能正确使用全称量词对存在性命题进行否定.二、知识梳理1.充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q pp是q的必要不充分条件p q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p q且q p2.全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示.(2)存在量词：短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.3.全称命题和存在性命题(命题p的否定记为⌝p，读作“非p”)名称全称命题存在性命题形式结构对M中的所有x，有p(x)成立存在M中的一个x0，使p(x0)成立简记∀x∈M，p(x)∃x0∈M，p(x0)否定∃x0∈M，⌝p(x0)∀x∈M，⌝p(x)[方法技巧]1.区别A 是B 的充分不必要条件(A ⇒B 且B A )，与A 的充分不必要条件是B (B ⇒A 且A B )两者的不同.2.A 是B 的充分不必要条件⇔綈B 是綈A 的充分不必要条件.3.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.三、经典例题考点一充分条件与必要条件的判断A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】余弦函数cos y x =在区间()0,π上单调递减，且0A π<<，0B π<<，由cos cos A B <，可得A B >，a b ∴>，由正弦定理可得sin sin A B >. 因此，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充分必要条件. 故选：C.A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】函数()f x 为R 上的增函数⇒不等式()(0.001)f x f x <+恒成立，反之不成立，∴“()f x 是增函数”是“不等式()(0.001)f x f x <+恒成立”的充分不必要条件.故选：AA ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】必要性显然成立；下面来证明充分性，若()12n n n a a S +=，所以当2n 时，()111(1)2n n n a a S ---+=，所以()()1112(1)n n n a n a a n a a -=+--+，化简得11(1)(2)n n n a a n a --=+-①，所以当3n 时，211(2)(3)n n n a a n a ---=+-②，①-②得()122(2)(2)n n n n a n a a ---=-+，所以122n n n a a a --=+，即数列{}n a 是等差数列，充分性得证，所以“()12n n n a a S +=”是“数列{}n a 是等差数列”的充要条件.故选：C.规律方法充要条件的两种判断方法 (1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断.(2)集合法：根据使p ，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断. 考点二全称量词与存在量词A ．[]01,3x ∃∈-，200320x x -+> B ．[]1,3x ∀∉-，2320x x -+> C ．[]1,3x ∀∈-，2320x x -+> D ．[]01,3x ∃∉-，200320x x -+>【答案】A【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“[]1,3x ∀∈-，2320x x -+≤”的否定为“[]01,3x ∃∈-，200320x x -+>”．故选A ．A ．x R ∀∈， 22x x >B ．x R ∃∈，22x x <C ．x R ∀∈，22x x ≤D ．x R ∃∈，22x x ≤【答案】C【解析】命题是特称命题，则命题的否定是全称命题，即x R ∀∈，22x x ≤.规律方法 1.全称命题与存在性命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和存在性命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论.2.含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数的最值解决. 考点三充分条件、必要条件的应用【答案】充分不必要【解析】若p 为真命题：当1k =时，对于任意x ∈R ，则有20>恒成立；当1k ≠时，根据题意，有()()2101810k k k ->⎧⎪⎨∆=---<⎪⎩，解得19k <<. 所以19k ≤<；若q ⌝为真命题：2x ∀>，2272x k x -≥-．()()()2222821271228228222x x x x x x x -+-+-==-++≥+---，当且仅当222x =+时，等号成立，所以822k ≤+. {}19k k ≤< {}822k k ≤+，所以，“p 为真命题”是“q ⌝为真命题”的充分不必要条件.（Ⅰ）求实数m 的取值集合M ；（Ⅱ）设不等式()(2)0x a x a -+-<的解集为N ，若x ∈N 是x M ∈的必要条件，求a 的取值范围．【答案】（1）（2）或.【解析】（1）方程在有解，转化为函数在上的值域，实数m 的取值集合M 可求；（2）x N ∈是x M ∈的必要条件，分、、三种情况讨论即可求a 的取值范围．(1) 由题意知，方程20x x m --=在上有解，即m 的取值范围就为函数在上的值域，易得1|24M m m ⎧⎫=-≤<⎨⎬⎩⎭7分 (2) 因为x N ∈是x M ∈的必要条件，所以8分当时，解集为空集，不满足题意 9分当时，，此时集合则，解得12分当时，，此时集合则11 {,4422aaa<-⇒<--≥15分综上9144a a><-或16分规律方法充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.(2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.(3)数学定义都是充要条件.[思维升华]1.充分条件、必要条件、充要条件的判断方法(1)定义法(2)利用集合间的包含关系判断：设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}；①若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；②若BA⊂≠，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；③若A＝B，则p是q的充要条件.2.要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是存在性命题，再对照否定结构去写，否定的规律是“改量词，否结论”.[易错防范]1.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p 的一个充分而不必要条件是q ”等语言.2.注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定.四、课时作业A ．充分条件，但不是必要条件B ．必要条件，但不是充分条件C ．充要条件D ．既不是充分也不是必要条件【答案】A【解析】由“复数()a bi a b +∈R ，为纯虚数”，一定可以得出0a =，但反之，不一定，因为，纯虚数要求b 不为0.故选A ．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当1a >时，440a ∆=-<，由221y ax x =++开口向上，则2210ax x ++>恒成立；当2210ax x ++>恒成立时，若0a =，则210x +> 不恒成立，不符合题意，若0a ≠ 时，要使得2210ax x ++>恒成立，则0440a a >⎧⎨∆=-<⎩ ，即1a > .所以“1a >”是“2210ax x ++>恒成立”的充要条件. 故选:C.A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】∵直线()12:110,:20l ax a y l x ay +++=++=，当“2a =-”时，直线12:210,:220l x y l x y --+=-+=，满足121k k ⋅=-，∴12l l ⊥.如果12l l ⊥，∴()110a a a ⋅++=，解得2a =-或0a =，∴直线()12:110,:20l ax a y l x ay +++=++=，则“2a =-”是“12l l ⊥”充分不必要条件.A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若1x y +=得1y x =-，则由OA xOB yOC =+得()1OA xOB x OC xOB OC xOC =+-=+- ，即()=OA OC x OB OC --，则CA xCB =，即CA xCB =，即A ，B ，C 共线，即充分性成立反之若A ，B ，C 共线，则存在一个实数x ，满足CA xCB =，即()=OA OC x OB OC --，则()()1OA OC x OB OC xOB x OC ++-=+-，令1y x =-，则1x y +=，即必要性成立，则“1x y +=”是“A ，B ，C 共线”的充要条件，故选C ．A ．30m -<-≤ B ．32,80x x ∀>-≤ C ．3002,80x x ∃≤-≤ D ．32,80x x ∀≤-≤【答案】B【解析】已知命题0:2p x ∃>，380x ->，那么p ⌝是32,80x x ∀>-≤. 故选：B ．A ．p ⌝：x R ∃∈，2210x x ++<B ．p ⌝：x R ∃∈，2210x x ++≤C ．p ⌝：x R ∀∈，2210x x ++<D ．p ⌝：x R ∀∈，2210x x ++≤【答案】A【解析】由命题p ：x R ∀∈，2210x x ++≥ 所以命题p 的否定是：x R ∃∈，2210x x ++< 故选：A【答案】存在2,20x R x x ∈-<【解析】由全称命题的否定是特称命题，可得命题“任意2,20x R x x ∈-≥”的否定是“存在2,20x R x x ∈-<”，故答案为：存在2,20x R x x ∈-<.【答案】5m ≤-【解析】∵命题“()20001,2,+m 40x x x ∃∈+≥满足不等式”是假命题，∴()x 1,2∀∈，不等式240x mx ++<恒成立．设()2()4,1,2f x x mx x =++∈，则有(1)50()280f m f x m =+≤⎧⎨=+≤⎩，解得5m ≤-，∴实数m 的取值范围为(,5]-∞-．【答案】充分不必要【解析】“3x >”则“29x >”，但是“29x >”可得“3x >或3x <-”，所以“3x >”是“29x >”的充分不必要条件．【答案】充分不必要【解析】“||||||x y x y +=+” ||0xy xy xy ⇔=⇔ 若“0xy >”成立，则“0xy ”成立，则“||||||x y x y +=+” 反之，若“||||||x y x y +=+”成立，不一定有“0xy >” 所以“0xy >”是“||||||x y x y +=+”的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．（1）若p 是q 的必要条件，求m 的取值范围；（2）若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求m 的取值范围．【答案】（Ⅰ）⎡⎣;（Ⅱ）(,3][3,)-∞-+∞.【解析】由x 2﹣8x ﹣20≤0得﹣2≤x ≤10，即P ：﹣2≤x ≤10，又q ：1﹣m 2≤x ≤1+m 2．（1）若p 是q 的必要条件，则2212110m m ⎧-≥-⎨+≤⎩，即2239m m ⎧≤⎨≤⎩，即m 2≤3，解得m ≤≤，即m 的取值范围是⎡⎣．（2）∵¬p 是¬q 的必要不充分条件， ∴q 是p 的必要不充分条件．即2212110m m ⎧-≤-⎨+≥⎩，即m 2≥9，解得m ≥3或 m ≤﹣3 即m 的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）．（1）当1a =时，求AB ；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）(1,0]-；（2）(,0]-∞．【解析】（1）1a =时，2()lg(1)f x x =-，由210x ->得11x -<<，即(1,1)A =-，由2011x <-≤得(,0]B =-∞，∴(1,0]A B =-；（2）“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，则B 是A 的真子集，若0a >，则由210ax ->得x <<(A =，与（1）类似得(,0]B =-∞，不合题意，若0a =，则()lg10f x ==，即,{0}A R B ==，满足题意，若0a <，则211ax -≥，A R =，[0,)B =+∞，满足题意．综上a 的取值范围是(,0]-∞．（1）若P 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若()p q -∧为真命题，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1,12⎛⎫⎪⎝⎭；（2）1,[1,2]2⎛⎤-∞⋃ ⎥⎝⎦【解析】（1）由命题P为真命题，即()(12122222220a aa a a ++--+=--<，22a <<，可得112a <<，即实数a 的取值范围是1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）若命题q 为真命题，由(0,)x ∀∈+∞，不等式210x ax -+≥恒成立，即21x ax +在(0,)x ∈+∞上恒成立，即1a x x≤+对(0,)x ∈+∞恒成立，当(0,)x ∈+∞时，12x x +≥=，当且仅当1x x =，即1x =时等号成立，所以q 为真命题时，可得2a ≤，又因为()p q ⌝∧为真命题，则p 为假命题且q 为真命题，所以1122a a a ⎧≤≥⎪⎨⎪≤⎩或，解得12a 或12a . 所以实数a 的取值范围是1,[1,2]2⎛⎤-∞⋃ ⎥⎝⎦.。

高一数学常用逻辑用语试题答案及解析

高一数学常用逻辑用语试题答案及解析1.给出以下命题①若则；②已知直线与函数，的图象分别交于两点，则的最大值为；③若是△的两内角，如果，则；④若是锐角△的两内角，则。

其中正确的有（）个A．1B．2C．3D． 4【答案】D【解析】根据题意，对于①若则；可知角，因此成立。

对于②已知直线与函数，=-cosx的图象分别交于两点，则的最大值为；利用交点之间的距离可知为sinm+cosm，可知成立。

对于③若是△的两内角，如果，则；成立。

对于④若是锐角△的两内角，由于，则可知则，成立，故答案为D.【考点】命题的真假点评：主要是考查了命题的真假的判定，属于基础题。

2.“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由“”可以推出“”，但是由“”推不出“”，所以“”是“”的充分不必要条件.【考点】本小题主要考查不等式的性质和充分条件、必要条件的判断.点评：要判断充分条件、必要条件，需要分清谁是条件谁是结论，由谁能推出谁.3.已知a，b是实数，则“| a＋b |＝| a |＋| b |”是“ab＞0”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由“| a＋b |＝| a |＋| b |”可以得出a,b同号，但是a=b=0也可以，所以是必要不充分条件.【考点】本小题主要考查充分条件和必要条件的定义.点评：判断此类问题，要分清谁是条件，谁是结论，是由谁推出谁.4.下列五个命题：①方程y=kx+2可表示经过点(0，2)的所有直线；②经过点(x0, y)且与直线:Ax+By+C=0(A B0)垂直的直线方程为: B(x－x)－A(y－y)=0;③经过点(x0, y)且与直线:Ax+By+C=0(A B0)平行的直线方程为: A(x－x)+B(y－y)=0;④存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点;⑤存在无穷多直线只经过一个整点.其中真命题是_____________(把你认为正确的命题序号都填上)【答案】②③④⑤【解析】①方程y=kx+2可表示经过点(0，2)的所有直线；不正确，不包括y轴。

常用逻辑用语知识例题梳理

常用逻辑用语一、知识要点梳理知识点一：命题1. 定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题.（1）命题由题设和结论两部分构成. 命题通常用小写英文字母表示，如p,q,r,m,n等.（2）命题有真假之分，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题. 数学中的定义、公理、定理等都是真命题（3）命题“”的真假判定方式：①若要判断命题“”是一个真命题，需要严格的逻辑推理；有时在推导时加上语气词“一定”能帮助判断。

如：一定推出.②若要判断命题“”是一个假命题，只需要找到一个反例即可.注意：“不一定等于3”不能判定真假，它不是命题.2. 逻辑联结词：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词.（1）不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫复合命题.（2）复合命题的构成形式：①p或q；②p且q；③非p（即命题p的否定）.（3）复合命题的真假判断：①当p、q同时为假时，“p或q”为假，其它情况时为真，可简称为“一真必真”；②当p、q同时为真时，“p且q”为真，其它情况时为假，可简称为“一假必假”。

③“非p”与p的真假相反.注意：（1）逻辑连结词“或”的理解是难点，“或”有三层含义，以“p或q”为例：一是p成立且q不成立，二是p不成立但q成立，三是p成立且q也成立。

可以类比于集合中“或”. （2）“或”、“且”联结的命题的否定形式：“p或q”的否定是“p且q”；“p且q”的否定是“p或q”.（3）对命题的否定只是否定命题的结论；否命题，既否定题设，又否定结论。

知识点二：四种命题1. 四种命题的形式：用p和q分别表示原命题的条件和结论，用p和q分别表示p和q的否定，则四种命题的形式为：原命题：若p则q；逆命题：若q则p；否命题：若p则q；逆否命题：若q则p.2. 四种命题的关系①原命题逆否命题.它们具有相同的真假性，是命题转化的依据和途径之一.②逆命题否命题，它们之间互为逆否关系，具有相同的真假性，是命题转化的另一依据和途径.除①、②之外，四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系.命题与集合之间可以建立对应关系，在这样的对应下，逻辑联结词和集合的运算具有一致性，命题的“且”、“或”、“非”恰好分别对应集合的“交”、“并”、“补”，因此，我们就可以从集合的角度进一步认识有关这些逻辑联结词的规定。

常用逻辑用语试题及答案

第一章常用逻辑用语一、选择题1．下列语句中是命题的是（）A ．周期函数的和是周期函数吗？B ．0sin 451=C ．2210x x +-> D ．梯形是不是平面图形呢？2．在命题“若抛物线2y ax bx c =++的开口向下，则{}2|0x ax bx c φ++<≠”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是（）A ．都真B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真 3．有下述说法：①0a b >>是22a b >的充要条件. ②0a b >>是ba 11<的充要条件. ③0a b >>是33a b >的充要条件.则其中正确的说法有（） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．下列说法中正确的是（）A ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B ．“a b >”与“ a c b c +>+”不等价C ．“220a b +=,则,a b 全为0”的逆否命题是“若,a b 全不为0, 则220a b +≠” D ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真5．若:,1A a R a ∈<, :B x 的二次方程2(1)20x a x a +++-=的一个根大于零, 另一根小于零,则A 是B 的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知条件:12p x +>，条件2:56q x x ->，则p ⌝是q ⌝的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题1．命题：“若a b ⋅不为零，则,a b 都不为零”的逆否命题是。

2．12:,A x x 是方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实数根；12:b B x x a+=-,则A 是B 的条件。

3．用“充分、必要、充要”填空：①p q ∨为真命题是p q ∧为真命题的_____________________条件； ②p ⌝为假命题是p q ∨为真命题的_____________________条件； ③:23A x -<, 2:4150B x x --<, 则A 是B 的___________条件。

高中数学必修一常用逻辑用语题型总结及解题方法

(每日一练)高中数学必修一常用逻辑用语题型总结及解题方法单选题1、已知函数f(x)=(x2−a)e x，则“a≥−1”是“f(x)有极值”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：B解析：求导函数，判断导函数的符号，确定有极值时a的范围即可.f′(x)=(x2+2x−a)e x=0，x2+2x−a=0，Δ=4+4a．若Δ=4+4a≤0，a≤−1则f′(x)=(x2+2x−a)e x≥0恒成立，f(x)为增函数，无极值；若Δ=4+4a>0，即a>−1，则f(x)有两个极值．所以“a≥−1”是“f(x)有极值”的必要不充分条件．故选:B2、若a>0,b>0，则“a+b≤4”是“ab≤4”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：A本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取a,b的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.当a>0,b>0时，a+b≥2√ab，则当a+b≤4时，有2√ab≤a+b≤4，解得ab≤4，充分性成立；当a=1,b=4时，满足ab≤4，但此时a+b=5>4，必要性不成立，综上所述，“a+b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件.小提示：易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取a,b的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.3、已知直线l的方向向量为m⃑⃑ ,平面α的法向量为n⃑,则“m⃑⃑ ⋅n⃑=0”是“l∥α”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：B解析：根据线面平行的定义结合充分必要条件的定义判断,即可求得答案.∵m⃑⃑ ⋅n⃑=0∴m⃑⃑ ⊥n⃑∵m⃑⃑ ⋅n⃑=0,即m⃑⃑ ⊥n⃑,不一定有l∥α,也可能l⊂α∴“m⃑⃑ ⋅n⃑=0”是“l∥α”的不充分条件∵l∥α,可以推出m⃑⃑ ⊥n⃑,∴“m⃑⃑ ⋅n⃑=0”是“l∥α”是必要条件,综上所述, “m⃑⃑ ⋅n⃑=0”是“l∥α”必要不充分条件.小提示：本题主要考查了判断必要不充分条件,解题关键是掌握充分条件和必要条件的定义,属于中档题.4、已知命题p:“∀x∈R，ax2+bx+c>0”，则¬p为（）A．∀x∈R，ax2+bx+c≤0B．∃x0∈R，ax2+bx+c≥0C．∃x0∈R，ax2+bx+c≤0D．∀x∈R，ax2+bx+c<0答案：C解析：由全称命题的否定可得出结论.命题p为全称命题，该命题的否定为¬p:∃x0∈R，ax2+bx+c≤0.故选：C.5、设函数f（x）=cos x+b sin x（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：C解析：根据定义域为R的函数f(x)为偶函数等价于f(−x)=f(x)进行判断.b=0时，f(x)=cosx+bsinx=cosx, f(x)为偶函数；f(x)为偶函数时，f(−x)=f(x)对任意的x恒成立，f(−x)=cos(−x)+bsin(−x)=cosx−bsinxcosx+bsinx=cosx−bsinx，得bsinx=0对任意的x恒成立，从而b=0.从而“b=0”是“f(x)为偶函数”的充分必要条件，故选C.小提示：本题较易，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.。

专题02 常用逻辑用语(学生版)高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇

【考点预测】一、充分条件、必要条件、充要条件1高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇专题02常用逻辑用语．定义如果命题“若p ，则q ”为真(记作p q ⇒)，则p 是q 的充分条件；同时q 是p 的必要条件.2．从逻辑推理关系上看（1）若p q ⇒且q p ，则p 是q 的充分不必要条件；（2）若p q 且q p ⇒，则p 是q 的必要不充分条件；（3）若p q ⇒且q p ⇒，则p 是q 的的充要条件(也说p 和q 等价)；（4）若p q 且q p ，则p 不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件.对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：p q ⇒，则p 是q 的充分条件，同时q 是p 的必要条件.所谓“充分”是指只要p 成立，q 就成立；所谓“必要”是指要使得p 成立，必须要q 成立(即如果q 不成立，则p 肯定不成立).二．全称量词与存在童词（1）全称量词与全称量词命题.短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示.含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对M 中的任意一个x ，有()p x 成立”可用符号简记为“,()x M p x ∀∈”，读作“对任意x 属于M ，有()p x 成立”.（2）存在量词与存在量词命题.短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题“存在M 中的一个0x ，使0()p x 成立”可用符号简记为“00,()x M P x ∃∈”，读作“存在M 中元素0x ，使0()p x 成立”（存在量词命题也叫存在性命题）.三．含有一个量词的命题的否定（1）全称量词命题:,()p x M p x ∀∈的否定p ⌝为0x M ∃∈，0()p x ⌝.（2）存在量词命题00:,()p x M p x ∃∈的否定p ⌝为,()x M p x ∀∈⌝.注：全称、存在量词命题的否定是高考常见考点之一.【方法技巧与总结】1．从集合与集合之间的关系上看设{}{}|(),|()A x p x B x q x ==.（1）若A B ⊆，则p 是q 的充分条件(p q ⇒)，q 是p 的必要条件；若A B ，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件，即p q ⇒且q p ；注：关于数集间的充分必要条件满足：“小⇒大”.（2）若B A ⊆，则p 是q 的必要条件，q 是p 的充分条件；（3）若A B =，则p 与q 互为充要条件.2.常见的一些词语和它的否定词如下表原词语等于)(=大于)(>小于)(<是都是任意（所有）至多有一个至多有一个否定词语不等于)(≠小于等于)(≤大于等于)(≥不是不都是某个至少有两个一个都没有(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M 中的每一个元素x 证明其成立，要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合M 中的一个0x ，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例.(2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M 中能找到一个0x 使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题.【题型归纳目录】题型一：充分条件与必要条件的判断题型二：根据充分必要条件求参数的取值范围题型三：全称量词命题与存在量词命题的真假题型四：全称量词命题与存在量词命题的否定题型五：根据命题的真假求参数的取值范围【典例例题】题型一：充分条件与必要条件的判断例1．（2022·河北·模拟预测）“11a <”是“2,20x x x a ∃∈-+<R ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件例2．（2022·重庆·三模）已知0a >且1a ≠，“函数()x f x a =为增函数”是“函数()1a g x x -=在()0,∞+上单调递增”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件例3．（2022·湖北·模拟预测）在等比数列{}n a 中，已知20200a >，则“20212024a a >”是“20222023a a >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件例4．（2022·山东·德州市教育科学研究院二模）已知m ，n 是两条不重合的直线，α是一个平面，n ⊂α，则“m α⊥”是“m n ⊥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件例5．（2022·四川·宜宾市教科所三模（理））已知两条直线m ，n 和平面α，则m n ⊥的一个充分条件是（）A ．m α⊥且n α⊥B ．m α∥且n ⊂αC ．m α⊥且n ⊂αD ．m α∥且n α∥（多选题）例6．（2022·山东临沂·二模）已知a ，b ∈R ，则使“1a b +>”成立的一个必要不充分条件是（）A ．221a b +>B ．||||1a b +>C ．221a b +>D ．4110b a b++>【方法技巧与总结】1.要明确推出的含义，是p 成立q 一定成立才能叫推出而不是有可能成立.2.充分必要条件在面对集合问题时，一定是小集合推出大集合，而大集合推不出小集合.3.充分必要条件考察范围广，失分率高，一定要注意各个知识面的培养.题型二：根据充分必要条件求参数的取值范围例7．（2022·湖南怀化·一模）已知,a R ∈，且“x a >”是“22x x >”的充分不必要条件，则a 的取值范围是___________.例8．（2022·浙江·高三专题练习）若2()4x a -<成立的一个充分不必要条件是1102x+≤-，则实数a 的取值范围为（）A ．(,4]-∞B ．[1,4]C ．(1,4)D ．(1,4]例9．（2022·山西晋中·二模（理））已知条件p ：11x -<<，q ：x m >，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是（）A ．[)1,-+∞B ．(),1-∞-C ．()1,0-D ．(],1-∞-例10．（2022·河南平顶山·高三期末（文））若1102x+≤-是()24x a -<成立的一个充分不必要条件，则实数a 的取值范围为（）A ．(],4 -B ．[]1,4C ．()1,4D ．(]1,4例11．（2022·全国·高三专题练习（文））若关于x 的不等式1x a -<成立的充分条件是04x <<，则实数a 的取值范围是（）A ．(－∞，1]B ．(－∞，1)C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)例12．（2022·湖南怀化·一模）已知,a R ∈，且“x a >”是“22x x >”的充分不必要条件，则a 的取值范围是___________.例13．（2022·重庆·高三阶段练习）若不等式x a <的一个充分条件为20x -<<，则实数a 的取值范围是___________.例14．（2022·全国·高三专题练习（文））已知集合233|1,,224A y y x x x ⎧⎫⎡⎤==-+∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，{}2|1B x x m =+≥．若“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，则实数m 的取值范围为________．例15．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x A ，关于x 的不等式2()(21)0x m x m --+≤的解集为B ．(1)当m ＝2时，求()A B R ；(2)若x ∈A 是x ∈B 的充分条件，求实数m 的取值范围.例16．（2022·天津·汉沽一中高三阶段练习）不等式5212xx ->+的解集是A ，关于x 的不等式22450x mx m --≤的解集是B .(1)若1m =，求A B ；(2)若A B B ⋃=，求实数m 的取值范围.(3)设:p 实数x 满足22430x ax a -+<，其中>0a ，命题:q 实数x 满足2260280x x x x ⎧--≤⎨+->⎩.若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.例17．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））已知条件{}22:4410p A x x ax a =-+-≤∣，条件{}2:20q B xx x =--≤∣．U =R ．(1)若1a =，求()U A B ⋂ ．(2)若q 是p 的必要不充分条件，求a 的取值范围．【方法技巧与总结】1.集合中推出一定是小集合推大集合，注意包含关系.2.在充分必要条件求解参数取值范围时，要注意端点是否能取到问题，容易出错.题型三：全称量词命题与存在量词命题的真假例18.（2022·黑龙江齐齐哈尔·三模（理））已知01b a <<<，下列四个命题：①(0,)∀∈+∞x ，x x a b >，②(0,1)x ∀∈，log log a b x x >，③(0,1)x ∃∈，a b x x >，④(0,)x b ∃∈，log x a a x >．其中是真命题的有（）A ．①③B ．②④C ．①②D ．③④例19．（2022·江西·二模（理））已知命题1p ：存在00x >，使得0044+≤x x ，命题2p ：对任意的x ∈R ，都有tan 2x =22tan 1tan xx-，命题3p ：存在0x ∈R ，使得003sin 4cos 6+=x x ，其中正确命题的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3例20．（2022·河南·新乡县高中模拟预测（理））已知函数()f x 和()g x 的定义域均为[],a b ，记()f x 的最大值为1M ，()g x 的最大值为2M ，则使得“12M M >”成立的充要条件为（）A ．[]1,x a b ∀∈，[]2,x a b ∀∈，()()12f x g x >B ．[]1,x a b ∀∈，[]2,x a b ∃∈，()()12f x g x >C ．[]1,x a b ∃∈，[]2,x a b ∀∈，()()12f x g x >D ．[],x a b ∀∈，()()f xg x >例21．（2022·浙江·高三专题练习）下列命题中，真命题为（）A ．存在0x R ∈，使得00x e ≤B ．直线a b ⊥，a ⊂平面α，平面b αβ= ，则平面αβ⊥C ．224sin (,)sin y x x k k Z xπ=+≠∈最小值为4D ．1a >，1b >是1ab >成立的充分不必要条件（多选题）例22．（2022·全国·高三专题练习）下列命题中的真命题是（）A ．∀x ∈R ，2x －1>0B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0C ．∃x ∈R ，lg x <1D ．∃x ∈R ，tan x ＝2例23．（2022·全国·高三专题练习）下列命题中正确的是_____（写出正确命题的序号）（1）[]0,x a b ∃∈，使()()00f x g x >，只需()()max min f x g x >；（2）[],x a b ∀∈，()()f x g x >恒成立，只需()()min 0f x g x ->⎡⎤⎣⎦；（3）[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∈，()()12f x g x >成立，只需()()min max f x g x >；（4）[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∈，()()12f x g x >，只需()()min min f x g x >．【方法技巧与总结】1.全称量词命题与存在量词命题的真假判断既要通过汉字意思，又要通过数学结论.2.全称量词命题和存在量词命题的真假性判断较为简单，注意细节即可.题型四：全称量词命题与存在量词命题的否定例24．（2022·四川成都·三模（理））命题“x ∀∈R ，e 20x +>”的否定是（）．A ．0x ∃∈R ，0e 20x +≤B ．x ∀∈R ，e 20x +≤C ．0x ∃∈R ，0e 20x +>D ．0x ∀∈R ，0e 20x +<例25．（2022·云南昆明·模拟预测（文））已知命题p ：*N n ∀∈，22n n +≥，则p ⌝为（）A ．*N n ∀∉，22n n +<B ．*N n ∀∈，22n n +<C ．*0N n ∃∉，2002n n +<D ．*0N n ∃∈，2002n n +<例26．（2022·江西赣州·二模（文））已知命题p ：x ∀∈R ，sin cos x x +≥p ⌝为（）A ．x ∀∈R ，sin cos x x +<B ．x ∃∉R ，sin cos x x +<C ．x ∀∉R ，sin cos x x +<D ．x ∃∈R ，sin cos x x +<例27．（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）命题“()00,x ∃∈+∞，00ln 1x x ≥-”的否定是（）A ．()00,x ∃∈+∞，00ln 1x x <-B ．()00,x ∃∉+∞，00ln 1x x ≥-C ．()0,x ∀∈+∞，ln 1x x <-D ．()0,x ∀∉+∞，ln 1x x ≥-例28．（2022·山东潍坊·二模）十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数2n >，关于x ，y ，z 的方程n n n x y z +=没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则费马大定理的否定为（）A ．对任意正整数n ，关于x ，y ，z 的方程n n n x y z +=都没有正整数解B ．对任意正整数2n >，关于x ，y ，z 的方程n n n x y z +=至少存在一组正整数解C ．存在正整数2n ≤，关于x ，y ，z 的方程n n n x y z +=至少存在一组正整数解D ．存在正整数2n >，关于x ，y ，z 的方程n n n x y z +=至少存在一组正整数解例29．（2022·全国·高三专题练习（文））已知命题p ：存在一个无理数，它的平方是有理数，则p ⌝为（）A ．任意一个无理数，它的平方不是有理数B ．存在一个无理数，它的平方不是有理数C ．任意一个无理数，它的平方是有理数D ．存在一个无理数，它的平方是无理数例30．（2022·山西晋中·模拟预测（理））命题p ：0x ∀≥，222e 3x x -+≤，则¬p 为___________.【方法技巧与总结】1.全称量词命题与存在量词命题的否定是将条件中的全称量词和存在量词互换，结论变否定.1.全称量词命题和存在量词命题的否定要注意否定是全否，而不是半否.题型五：根据命题的真假求参数的取值范围例31．（2022·山东青岛·一模）若命题“R x ∀∈，210ax +≥”为真命题，则实数a 的取值范围为（）A ．0a >B ．0a ≥C ．0a ≤D ．1a ≤例32．（2022·浙江·高三专题练习）若命题“存在R x ∈，使220x x m ++≤”是假命题，则实数m 的取值范围是（）A ．(],1-∞B ．(),1-∞C ．()1,+∞D ．[)1,+∞例33．（2022·江苏·南京市宁海中学模拟预测）若命题“[]1,4x ∀∈时，2x m >”是假命题，则m 的取值范围（）A ．16m ≥B ．m 1≥C ．16m <D ．1m <例34．（2022·黑龙江齐齐哈尔·二模（文））若命题“[]()21,3,2130a ax a x a ∃∈---+-<”为假命题，则实数x 的取值范围为（）A ．[]1,4-B ．50,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]51,0,43⎡⎤⎢⎥⎣-⎦ D ．[)51,0,43⎛⎤- ⎥⎝⎦例35．（2022·全国·高三专题练习）若“[,34x ππ∀∈-，tan x m ≥”是真命题，则实数m 的最大值为___________.例36．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数()h x 满足'2()()0h x h x +>且21(1)e h =，其中2x1()e h x >的解集为A .函数21()1x x f x x -+=-，()()1xg x a a =>，若1x A ∀∈，2x A ∃∈使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围是___________.例37．（2022·湖北·荆门市龙泉中学二模）若命题“0,,63x ππ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦0tan x m >”是假命题，则实数m 的取值范围是__________．例38．（2022·全国·高三专题练习）若“[]01,1x ∃∈-，020x a +->”为假命题，则实数a 的最小值为______．例39．（2022·全国·高三专题练习）在①x ∃∈R ，2220x ax a ++-=，②a ∃∈R ，使得区间()2,4A =，(),3B a a =满足A B =∅ 这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．已知命题p :[]1,2x ∀∈，20x a -≥，命题q ：______，p ，q 都是真命题，求实数a 的取值范围．例40．（2022·全国·高三专题练习）若f （x ）＝x 2－2x ，g （x ）＝ax ＋2(a >0)，∀x 1∈[－1，2]，∃x 0∈[－1，2]，使g (x 1)＝f (x 0)，求实数a 的取值范围．【方法技巧与总结】1.在解决求参数的取值范围问题上，可以先令两个命题都为真命题，如果哪个是假命题，去求真命题的补级即可.2.全称量词命题和存在量词命题的求参数问题相对较难，要注重端点出点是否可以取到.【过关测试】一、单选题1．（2022·河北·模拟预测）已知2:10p x ax -+=无解，()2:()4q f x a x =-为增函数，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2022·北京房山·二模）已知,αβ是两个不同的平面，直线l α⊄，且αβ⊥，那么“//l α”是“l β⊥”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2022·江苏·华罗庚中学高三阶段练习）若1z ，2z 为复数，则“12z z -是纯虚数”是“1z ，2z 互为共轭复数”的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．（2022·全国·高三专题练习）命题“12x ∀≤≤，220x a -≤”是真命题的一个必要不充分条件是（）A ．1a ≥B ．3a ≥C ．2a ≥D ．4a ≤5．（2022·全国·高三专题练习）已知下列四个命题：正确的是（）1p ：00x ∃>，使得00ln 1x x >-；2p ：R x ∀∈，都有210x x -+>；3p ：00x ∃>，使得001ln1x x >-+；4p ：()0,x ∀∈+∞，使得121log 2xx ⎛⎫> ⎪⎝⎭．A ．2p ，4pB ．1p ，4pC ．2p ，3pD ．1p ，3p 6．（2022·重庆南开中学模拟预测）命题“2x ∀≥，24x ≥”的否定为（）A ．02x ∃≥，204x >，且关于x 的不等式|()|f x m <的解集恰为（0，1），则该命题成立的必要非充分条件为（）A ．m a ≥B ．m a ≤C ．2m a ≥D ．2m a ≤8．（2022·全国·高三专题练习）定义{|,}A B x x A x B -=∈∉，设A 、B 、C 是某集合的三个子集，且满足()()A B B A C -⋃-⊆，则()()A C B B C ⊆-⋃-是A B C =∅ 的（）A ．充要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．既非充分也非必要条件二、多选题9．（2022·广东茂名·模拟预测）下列四个命题中为真命题的是（）A ．“a b <”是“22ac bc <”的必要不充分条件B ．设,A B 是两个集合，则“A B A = ”是“A B ⊆”的充要条件C ．“0,0x x e ∀>>”的否定是“0,0x x e ∃≤≤”D ．8名同学的数学竞赛成绩分别为：80,68,90,70,88,96,89,98，则该数学成绩的15%分位数为70（注：一般地，一组数据的第P 百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有%P 的数据小于或者等于这个值，且至少有()100%P -的数据大于或者等于这个值．)10．（2022·全国·高三专题练习）设0a >，0b >，且a b ，则“2a b +>”的一个必要条件可以是（）A ．332a b +>B ．222a b +>C ．1ab >D ．112a b+>11．（2022·辽宁实验中学模拟预测）已知x ，y 均为正实数，则下列各式可成为“x y <”的充要条件是（）A ．11x y>B ．sin sin x y x y ->-C ．cos cos x y x y -<-D ．22e e x y x y -<-12．（2022·湖北·武汉市武钢三中高三阶段练习）下列命题正确的是（）A ．“关于x 的不等式20mx x m ++>在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是14m >B ．设,x y ∈R ，则“2x 且2y ”是“224x y + ”的必要不充分条件C ．“1a >”是“11a<”的充分不必要条件D ．命题“[]0,1,0x x a ∃∈+ ”是假命题的实数a 的取值范围为{0}aa >∣三、填空题13．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（文））若命题“20001,30x x ax a ∃>-++<”是假命题，则a 的取值范围是_______.14．（2022·浙江·高三学业考试）已知函数2()23=-+f x x x ，2()log g x x m =+，若对[]12,4x ∀∈，[]28,16x ∃∈，使得12()()f x g x ≥，则实数m 的取值范围为______.15．（2022·全国·模拟预测（理））已知函数()()2221f x x ax a a =-+-∈R ，则“方程()0f x =在区间(),0 -和()1,+∞上各有一个解”的一个充分不必要条件是a ＝______．（写出满足条件的一个值即可）16．（2022·全国·高三专题练习）已知():ln p f x x a x =-在[)2+∞，上单调递增，:q a m <.若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为____________.四、解答题17．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x =的定义域为集合A ，函数()g x =B ，(1)当0a =时，求A B ；(2)设命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，p q 是的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．18．（2022·全国·高三专题练习）已知集合11122x A x ⎧⎫-=-<⎨⎬⎩⎭，{}227100B x x ax a =-+<，a ∈R .(1)当0a >时，x A ∈是x B ∈的充分条件，求实数a 的取值范围；(2)若R B A ⊆ ，求实数a 的取值范围.19．（2022·全国·高三专题练习）已知p ：22114x y m m+=+-表示焦点在x 轴上的椭圆，q ：2,10x R x mx ∃∈-+<，(1)若p 是真命题，求m 的取值范围；(2)若p ，q 都是真命题，求m 的取值范围．20．（2022·全国·高三专题练习）设:24p x ≤<，q ：实数x 满足()222300x ax a a --<>.(1)若1a =，且,p q 都为真命题，求x 的取值范围；(2)若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.21．（2022·全国·高三专题练习）已知集合{}2,1x A y y x ==≤，{}21,R B x a x a a =+≤≤-∈.求：（1）若A B =∅ ，求实数a 的取值范围.（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围22．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数2242()(1)m m f x m x -+=-在(0,)+∞上单调递增，函数()2g x x k =-．（1）求m 的值；（2）当[1,2)x ∈时，记(),()f x g x 的值域分别为集合A ，B ，设:,:p x A q x B ∈∈，若p 是q 成立的必要条件，求实数k 的取值范围．（3）设2()()1F x f x kx k =-+-，且|()|F x 在[0,1]上单调递增，求实数k 的取值范围．。

常用逻辑用语(解析版)

常用逻辑用语【考纲要求】1．理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.2．理解全称量词与存在量词的意义．3．能正确地对含有一个量词的命题进行否一、充分条件与必要条件【思维导图】【考点总结】一、充分条件与必要条件一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件.(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，只是说法不同.p是q的充分条件只反映了p⇒q，与q能否推出p没有任何关系.(2)注意以下等价的表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.(3)“若p，则q”为假命题时，记作“p q”，则p不是q的充分条件，q不是p的必要条件.充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系p⇒q p⇒q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件二、全称量词与存在量词【思维导图】【考点总结】一、全称量词与全称量词命题1.短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“∀”表示.2.含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.3.全称量词命题的表述形式:对M中任意一个x,有p(x)成立,可简记为:∀x∈M,p(x),读作“对任意x属于M,有p(x)成立”.4.全称量词命题的真假判断:要判断一个全称量词命题量词是真命题,必须对限定集合M 中的每一个元素x ,验证p (x )成立;但要判断一个全称量词命题是假命题,只需列举出一个0x ∈M ,使得p (0x )不成立即可. 二、存在量词与存在量词命题(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“∃”表示. (2)含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.(3)存在量词命题的表述形式:存在M 中的一个0x ,使p (0x )成立,可简记为:∃0x ∈M ,p (0x ),读作“存在M 中的元素0x ,使p(0x )成立”.(4)存在量词命题的真假判断:要判断一个存在量词命题是真命题,只要在限定集合M 中,能找到一个0x ,使得命题p (0x )成立即可;否则这一命题就是假命题. 三、全称量词命题与存在量词命题的否定（1）全称量词命题:,()p x M p x ∀∈的否定p ⌝为0x M ∃∈，0()p x ⌝. （2）存在量词命题00:,()p x M p x ∃∈的否定p ⌝为,()x M p x ∀∈⌝. 【常用结论】从集合的角度理解充分条件与必要条件若p 以集合A 的形式出现，q 以集合B 的形式出现，即A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，则关于充分条件，必要条件又可以叙述为：(1)若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件； (2)若A ⊇B ，则p 是q 的必要条件； (3)若A ＝B ，则p 是q 的充要条件；【易错总结】(1)命题的条件与结论不明确；(2)含有大前提的命题的否命题易出现否定大前提的情况； (3)对充分必要条件判断错误．【题型汇编】题型一：充分条件与必要条件题型二：全称量词与存在量词【题型讲解】题型一：充分条件与必要条件一、单选题1．（2022·浙江·高考真题）设x ∈R ，则“sin 1x =”是“cos 0x =”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解. 【详解】因为22sin cos 1x x +=可得：当sin 1x =时，cos 0x =，充分性成立；当cos 0x =时，sin 1x =±，必要性不成立；所以当x ∈R ，sin 1x =是cos 0x =的充分不必要条件. 故选：A.2．（2022·北京·高考真题）设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，记[]x 为不超过x 的最大整数. 若{}n a 为单调递增数列，则0d >，若10a ≥，则当2n ≥时，10n a a >≥；若10a <，则()11n a a n d +-=，由()110n a a n d =+->可得11a n d >-，取1011a N d ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，则当0n N >时，0n a >，所以，“{}n a 是递增数列”⇒“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”；若存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >，取N k *∈且0k N >，0k a >，假设0d <，令()0n k a a n k d =+-<可得k a n k d >-，且k ak k d->，当1k a n k d ⎡⎤>-+⎢⎥⎣⎦时，0n a <，与题设矛盾，假设不成立，则0d >，即数列{}n a 是递增数列.所以，“{}n a 是递增数列”⇐“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”.所以，“{}n a 是递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的充分必要条件. 故选：C.3．（2022·全国·一模（理））设,,l m n 表示直线，,αβ表示平面，使“l α⊥”成立的充分条件是（） A ．αβ⊥，//l β B ．αβ⊥，l β⊂C ．//l n ，n α⊥D ．m α⊂，n ⊂α，l m ⊥，l n ⊥【答案】C 【解析】【分析】根据面面垂直、线面垂直、线面平行的判定与性质依次判断各个选项即可. 【详解】对于A ，当αβ⊥，//l β时，可能l α⊂、//l α或l 与α相交，充分性不成立，A 错误；对于B ，当αβ⊥，l β⊂时，可能//l α或l 与α相交，充分性不成立，B 错误；对于C ，若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面，充分性成立，C 正确；对于D ，若//m n ，则m α⊂，n ⊂α，l m ⊥，l n ⊥无法得到l α⊥，充分性不成立，D 错误. 故选：C.4．（2022·全国·模拟预测（文））已知向量(1,),(2,4)a k b ==，则“12k =-”是“222a b a b +=+”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】由222a b a b +=+，得22222a a b b a b +⋅+=+，得0a b ⋅=，得(1，k )·(2，4)＝0，解得12k =-，反之，当12k =-时，0a b ⋅=，所以22222a a b b a b +⋅+=+，所以222a b a b +=+，所以“12k =-”是“222a b a b +=+”的充要条件.故选：C. 【点睛】此题考查充分条件和必要条件的判断，考查向量的运算，属于基础题 5．（2022·全国·模拟预测（理））设a >0，b >0，则“94a b +≤”是“49ab ≤”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由均值不等式得到充分性成立，举出反例得到必要性不成立. 【详解】因为a >0，b >0，所以4929=6a b a b ab ≥+≥⋅则49ab ≤，当且仅当9=2a b =时，等号成立，所以94a b +≤可以推出49ab ≤，所以充分性成立. 当1=981a b =，，满足49ab ≤，但19=9+9481a b +⨯>，所以49ab ≤推不出94a b +≤，所以必要性不成立.故选：A.6．（2022·全国·模拟预测）已知,R a b ∈，则“ln ln a b >”是“sin sin a b b a +>+”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由ln ln a b >及对数函数的单调性可得0a b >>；将sin sin a b b a +>+变形化同构，进而构造函数，利用导数讨论函数的单调性可得a b >，即可得解．【详解】由ln ln a b >，得0a b >>．由sin sin a b b a +>+，得sin sin a a b b ->-．记函数()sin ()x x f x x R =-∈，则()1cos 0f x x '=-≥，所以函数()f x 在R 上单调递增，又sin sin a a b b ->-，则()()f a f b >，所以a b >．因此“ln ln a b >”是“sin sin a b b a +>+”的充分不必要条件．故选：A ．7．（2022·全国·模拟预测）已知向量(),2m k =-，()1,3n =，则“k 6<”是“m 与n 的夹角为钝角”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】先求出m 与n 的夹角为钝角时k 的范围，即可判断. 【详解】当m 与n 的夹角为钝角时，0m n ⋅<，且m 与n 不共线，即6032k k -<⎧⎨≠-⎩所以k 6<且23k ≠-.故“k 6<”是“m 与n的夹角为钝角”的必要不充分条件. 故选B.8．（2022·全国·模拟预测（文））在ABC 中，“cos cos A B >”是“sin sin A B <”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】利用余弦函数的单调性、大边对大角定理以及正弦定理判断可得出结论. 【详解】因为A 、()0,B π∈，且余弦函数cos y x =在()0,π上为减函数，在ABC 中，cos cos sin sin A B A B a b A B >⇔<⇔<⇔<. 因此，“cos cos A B >”是“sin sin A B <”的充要条件. 故选：C.9．（2022·全国·模拟预测）“1a b +>”是“2221a b b -+>”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】先对“条件”和“结论”变形，再看由“条件”能否推出“结论”，及由“结论”能否“推出”条件，从而确定充分性和必要性．【详解】若2221a b b -+>成立，则2212a b b >-+成立，即()221a b >-，即1a b >-，由1a b +>可得1a b >-，但不一定得到1a b >-，相反由1a b >-也不一定能得出1a b >-，故选:D ．10．（2022·全国·模拟预测）2+=n n a a c （n N *∀∈，c 为非零常数）是数列{}n a 满足：4n n a a +=()*∀∈N n 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件【答案】A 【解析】由2+=n n a a c 可得4n n a a +=()*∀∈N n 成立，反之举反例2,,1,,n n a n ⎧=⎨-⎩为奇数为偶数可得必要性不成立；【详解】∵2+=n n a a c （n N *∀∈，c 为非零常数），∴24++=n n a a c ()*∀∈N n ，∴224+++=n n n n a a a a ()*∀∈N n ， ∴4n n a a +=()*∀∈N n ，∴2+=n n a a c 是4n n a a +=的充分条件．若2,,1,,n n a n ⎧=⎨-⎩为奇数为偶数则4n n a a +=()*∀∈N n ，但2+=n n a a c （n N *∀∈，c 为非零常数）不成立，所以不是必要的．故选：A. 【点睛】本题考查数列与简易逻辑知识的交会，求解时证明结论不成立，可举反例说明.11．（2022·全国·模拟预测（理））设甲：实数0a <；乙：方程2230x y x y a +-++=是圆，则甲是乙的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由方程表示圆可构造不等式求得a 的范围，根据推出关系可得结论. 【详解】若方程2230x y x y a +-++=表示圆，则()221341040a a -+-=->，解得：52a <； 502a a <⇒<，502a a <<，∴甲是乙的充分不必要条件.故选：A.12．（2022·全国·江西师大附中模拟预测（文））已知a ，b ∈R ，则“ab ＝0”是“20a b +=”成立的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分性和必要性的定义来判断即可．【详解】当0ab =时，若1,0a b ==，不能推出20a b +=，不满足充分性；当20a b +=，则0a b ，有0ab =，满足必要性；所以“0ab =”是“20a b +=”的必要不充分条件．故选：B ．13．（2022·全国·模拟预测）设R x ∈，则“215x -≤”的必要不充分条件是（） A ．[)2,3- B ．(),3-∞C ．[]2,4-D ．[)3,+∞【答案】C 【解析】【分析】根据必要不充分条件的含义可知所选集合应该能真包含集合[]2,3-，由此可判断答案. 【详解】由215x -≤，得5215x -≤-≤，即23x -≤≤，则选项是“23x -≤≤”的必要不充分条件，即[]2,3-是选项中集合的真子集，结合选项，A,B 中集合都不含3，不符合题意，D 中集合[)3,+∞不能包含[]2,3-，不符合题意，而C 集合满足[][]2,32,4--，故选：C.14．（2022·全国·模拟预测）已知m ，n ，p 是不同的直线，α，β是不重合的平面，则下列说法正确的是（） A ．“m α∥”是“m 平行于平面α内的任意一条直线”的充分不必要条件 B ．“m α∥，//n α”是“//m n ”的必要不充分条件C ．“p m ⊥，p n ⊥”是“m α⊂，n ⊂α，p α⊥”的必要不充分条件D ．已知αβ∥，则“m α⊂”是“m β∥”的充要条件【答案】C 【解析】【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系，结合充分条件与必要条件的概念依次判断各选项即可得答案.解：对于A 选项；“m 平行于平面α内的任意一条直线”这句话本身的表达就是错的；对于B 选项：“//m α，//n α”是“m n ∥”的既不充分也不必要条件；对于C 选项：“m α⊂，n ⊂α，p α⊥”可以证明“p m ⊥，p n ⊥”，由“p m ⊥，p n ⊥”要证明“p α⊥”，还需添加条件“m α⊂，n ⊂α，且m 和n 相交”，所以C 正确；对于D 选项：已知αβ∥，则“m α⊂”是“m β∥”的充分不必要条件. 故选：C15．（2022·全国·模拟预测（文））已知0,0m n >>，条件:53p m n mn +=，条件:3564q m n +≥，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用基本不等式证明充分性，利用特殊值证明必要性不成立，即可判断；【详解】解：因0,0m n >>，由53m n mn +=，得：531n m +=，则()531515353464m n m n n m n m ⎛⎫+⋅+=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当8m n ==时取等号，因此p 推得出q ，即充分性成立，取2,12m n ==，满足3564m n +≥，但53m n mn +≠，即q 推不出p ，即必要性不成立，所以p 是q 的充分不必要条件，故选：A16．（2022·全国·模拟预测（理））“2m =-”是“直线1:420l mx y ++=与直线2:10++=l x my 平行”的（） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据两直线平行求得m 的值，由此确定充分、必要条件.“直线1:420l mx y ++=与直线2:10++=l x my 平行”因为2m =-，所以直线1:210l x y --=，直线2:210l x y -+=，1l 与2l 平行，故充分条件成立；当直线1:420l mx y ++=与直线2:10++=l x my 平行时，24m =，解得2m =或2m =-，当2m =时，直线1:210l x y ++=与直线2:210l x y ++=重合，当2m =-时，直线1:210l x y --=，直线2:210l x y -+=平行，故充要条件成立．故选：A ．17．（2022·上海奉贤·二模）在ABC 中，三个内角A 、B 、C 所对应的边分别是a 、b 、c ．已知α：sin sin A B >，β：a b >，则α是β的（）．A ．充分非必要条件；B ．必要非充分条件；C ．充要条件；D ．既非充分又非必要条件．【答案】C 【解析】【分析】利用定义法直接判断. 【详解】充分性：由正弦定理sin sin a bA B=.因为sin sin A B >，可得a b >.故充分性满足；必要性：由正弦定理sin sin a bA B=.因为a b >，可得sin sin A B >.故必有性满足. 故α是β的充要条件. 故选：C18．（2022·上海普陀·二模）“0x y >>”是“11x y x y->-”的（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件【答案】A 【解析】【分析】应用作差法，结合充分、必要性定义判断条件间的推出关系即可. 【详解】由221111(1)()()x y xy x y x y x y x y xy--+----=-=，又0x y >>，所以11()0x y x y --->，即11x y x y->-，充分性成立；当11x y x y ->-时，即(1)()0xy x y xy+->，显然2,1x y ==-时成立，必要性不成立. 故“0x y >>”是“11x y x y->-”的充分非必要条件. 故选：A19．（2022·江西·新余市第一中学三模（理））若0,0a b >>，则“222a b +≥”是“2a b +≥”的（）条件. A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ．既非充分也非必要【答案】B 【解析】【分析】利用充分条件，必要条件的定义直接判断作答. 【详解】依题意，取12,2a b ==，满足222a b +≥，而2a b +<，当2a b +≥时，()()()22222122a b a b a ba b ++-+=≥+，当且仅当a b =时取“=”，则222a b +≥， “222a b +≥”是“2a b +≥”的必要不充分条件. 故选：B20．（2022·北京·北大附中三模）已知ABC ，则“sin cos 1A A +<”是“ABC 是钝角三角形”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】在三角形中，由sin cos 1A A +<先利用辅助角公式结合正弦函数性质求得角A 为钝角成立，反之举反例得出必要性不成立，从而得出结论.【详解】解：ABC 中，0A π<<，sin cos 2)14A A A π++<，2sin()4A π∴+<444A ππππ<+<+，344A ππ∴+>，2A π∴>，所以ABC 是钝角三角形，充分性成立；若ABC 是钝角三角形，角A 不一定是钝角，反例：6A π=,此时sin cos =sincos166A A ππ++>，必要性不成立；故选：A.21．（2022·海南海口·二模）已知x ，R y ∈且0x ≠，则“x y >”是“21yx x>”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】因为0x ≠，所以20x >，则“x y >”两边同除以2x 即可得到“21yx x>”，反过来同乘以2x 即可，故“x y >”是“21yx x >”的充要条件．故选：C.22．（2022·北京四中三模）已知数列{n a }的通项为22n a n n λ=-，则“0λ<”是“*n ∀∈N ，1n n a a +>”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据1n n a a +>，求得21122n n λ+<=+，对n *∀∈N 恒成立，进而得到32λ<，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由题意，数列{}n a 的通项为22n a n n λ=-，则221(1)2(1)22120n n a a n n n n n λλλ+=+-+-+=+->-，即21122n n λ+<=+，对n *∀∈N 恒成立，当1n =时，1n 2+取得最小值32，所以32λ<，所以“0λ<”是“*n ∀∈N ，1n n a a +>”的充分不必要条件. 故选：A.23．（2022·天津·耀华中学二模）已知下列命题：①命题：“(0,2)x ∀∈，33x x >”的否定是：“(0,2)x ∃∈，33x x ≤”； ②抛物线216y x =的焦点坐标为(0,4)；③已知x ∈R ，则|1|3x +>是24x >的必要不充分条件； ④在ABC 中，A B >是sin sin A B >的充要条件. 其中真命题的个数为（）个 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B 【解析】【分析】根据全称量词命题的否定性质、抛物线焦点坐标公式，结合必要不充分条件、充要条件的定义逐一判断即可. 【详解】①；因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以“(0,2)x ∀∈，33x x >”的否定是：“(0,2)x ∃∈，33x x ≤”，因此本说法正确；②：2211616y x x y =⇒=，因此该抛物线的焦点坐标为：1(0,)64，所以本说法不正确； ③：由|1|32x x +>⇒>，或4x <-，由242x x >⇒>，或2x <-，因此由|1|3x +>能推出24x >，但是由24x >不一定能推出|1|3x +>，所以|1|3x +>是24x >的充分不必要条件，因此本说法不正确；④：在ABC 中，一方面，因为A B >，所以a b >，由正弦定理可知：sin sin A B >；另一方面，由sin sin A B a b A B >⇒>⇒>，所以在ABC 中，A B >是sin sin A B >的充要条件，因此本说法正确，所以真命题的个数为2个，24．（2022·山东烟台·三模）若a 和α分别为空间中的直线和平面，则“a α⊥”是“a 垂直α内无数条直线”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用充分条件、必要条件的定义结合线面垂直的意义判断作答. 【详解】若a α⊥，则a 垂直α内所有直线，因此，命题“若a α⊥，则a 垂直α内无数条直线”正确，a 垂直α内无数条直线，若这无数条直线中无任何两条直线相交，此时直线a 可以在平面α内，即不能推出a α⊥，所以“a α⊥”是“a 垂直α内无数条直线”的充分不必要条件. 故选：A25．（2022·山东淄博·三模）已知条件:p 直线210x y +-=与直线()2110a x a y ++-=平行，条件:q 1a =，则p 是q 的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合两直线平行的条件分析判断【详解】当直线210x y +-=与直线()2110a x a y ++-=平行时，21112a a +=≠，解得12a =-，当1a =时，直线210x y +-=与直线()2110a x a y ++-=重合，所以p 是q 的既不充分也不必要条件，二、多选题1．（2022·辽宁·抚顺市第二中学三模）下列命题正确的是（） A ．“1a >”是“11a<”的必要不充分条件 B ．命题“()0000,,ln 1x x x ∃∈+∞=-”的否定是“()0,,ln 1x x x ∀∈+∞≠-” C ．若0MN >，则log log log a a a MN M N =+ D ．若22ac bc >，则a b > 【答案】BD 【解析】【分析】对于A ：求出不等式11a<的解集，即可判断出两个命题的关系；对于B ：根据命题的否定规则即可判断；对于C ：根据对数定义域的限制条件即可判断；对于D ：根据不等式的性质即可进行判断. 【详解】因为11a <，1110aa a --=<，解得1a >或0a <，所以“1a >”是“11a<”的充分不必要条件，所以选项A 错误；命题“()0000,,ln 1x x x ∃∈+∞=-”的否定是“()0,,ln 1x x x ∀∈+∞≠-”，所以选项B 正确；当0M <且0N <时，log a M 与log a N 没有意义，所以选项C 错误；若22ac bc >，可得20c >，则a b >，所以选项D 正确.故选：BD.2．（2022·河北张家口·三模）已知公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（） A ．n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列B ．n S 是关于n 的二次函数C ．{}n na 不可能是等差数列D ．“0d >”是“112n n n S S S -++>”的充要条件【答案】AD 【解析】【分析】根据等差数列前n 项公式及函数特征结合等差数列的定义即可判断ABC ，再结合充分条件和必要条件的定义即可判断D. 【详解】解：由11(1)2n S na n n d =+-知，11(1)2n S a n d n =+-，则1112+-=+n n S S d n n ，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，故A 正确；当0d =时，1n S na =不是n 的二次函数，故B 不正确；当0d =时，11,n n a a na na ==，则()111n n n a na a ++-=，所以{}n na 是等差数列，故C 不正确；当0d >时，1102n n n S S d S -+=->+，故112n n n S S S -++>，11111120n n n n n n n n n n n S S S S S S S a a a a d -++-+++>⇔->-⇔>⇔-=>，所以“0d >”是“112n n n S S S -++>”的充要条件，故D 正确. 故选：AD.3．（2022·江苏南京·三模）设2P a a=+，a ∈R ，则下列说法正确的是（） A ．22P ≥B ．“a ＞1”是“22P ≥的充分不必要条件 C ．“P ＞3”是“a ＞2”的必要不充分条件 D ．∃a ∈（3，＋∞），使得P ＜3 【答案】BC 【解析】【分析】根据双勾函数的单调性，逐一分析，即可求解. 【详解】解：A 错误，当0a <时，显然有P 小于0B 正确，1a >时，22222P a a a a=+⋅≥22P ≥0a >即可；C 正确，23P a a=+>可得01a <<或2a >，当2a >时3P >成立的，故C 正确； D 错误，因为3a >有22333a a +>+>，故D 错误；故选：BC.4．（2022·辽宁·二模）下列结论正确的是( ) A ．“5x >是“25x >”的充分不必要条件B ．2πtan 18π21tan 8=+ C ．已知在前n 项和为Sn 的等差数列{n a }中，若75a =，则1375S = D ．已知001a b a b >>+=，，，则14ba b-+的最小值为8【答案】AD 【解析】【分析】A ：求解不等式25x >，根据充分条件和必要条件的概念即可判断；B ：根据同角三角函数的商数关系、平方关系、正弦的二倍角公式即可化简求值；C ：根据等差数列与下标和有关的性质及等差数列前n 项和公式即可求解判断；D ：()14141411b a b a b a b a b -⎛⎫+=+-=++- ⎪⎝⎭，展开利用基本不等式即可求解判断．【详解】对于A ，由255x x >⇔>5x <-A 正确；对于B ，22222πsin8ππππtancossin cos 1π28888sin ππππ241tan sin sin cos88881πcos 8====+++B 错误；对于C ，11313713()13652a a S a +===，故C 错误；对于D ，()14141444114248b b a b a a b a b a b a b a b a b -⎛⎫+=+-=++-=++≥⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当1233a b ==，时取等号，故D 正确﹒ 故选：AD ．5．（2022·湖南衡阳·二模）下列结论中正确的是（） A ．在ABC 中，若A B >，则sin sin A B >B ．在ABC 中，若sin2sin2A B =，则ABC 是等腰三角形C ．两个向量,a b 共线的充要条件是存在实数，使b a λ=D ．对于非零向量,a b ，“0a b +=”是“a b ∥”的充分不必要条件【答案】AD 【解析】【分析】根据三角形的边与角的关系，以及根据共线向量的定义，逐个选项判断即可得到正确答案. 【详解】对于A ：大角对大边，用正弦定理可得该命题正确；对于B ：若sin2sin2A B =，则22A B =或22A B π+=，即A B =或2A B π+=即ABC 是等腰三角形或直角三角形，所以该命题不正确；对于C ：若0,0b a ≠=，满足向量,a b 共线，但不存在实数λ，使b a λ=，所以该命题不正确；对于D ：若“0a b +=”，则“//a b ”；若“//a b ”，则“0a b +=”不一定成立.所以该命题正确；故选：AD6．（2022·重庆·二模）已知空间中的两条直线,m n 和两个平面,αβ，则αβ⊥”的充分条件是（）A ．,m mα⊥βB ．,,m n m n αβ⊂⊂⊥C ．,m mα⊂,n n β⊥D ．,,m n m n αβ⊥⊥⊥ 【答案】ACD 【解析】【分析】根据线面垂直或平行关系，代入分析讨论求证即可. 【详解】对于选项A ，m β ，则有m β内的一条直线,l 因为m α⊥，所以,l α⊥ 又,l β⊂所以αβ⊥，即条件“,m m α⊥β”能够得到αβ⊥,所以选项A 是αβ⊥的充分条件；对于选项B ，,,m n m n αβ⊂⊂⊥不一定能够得出结论αβ⊥，,βα 也可能相交或平行；因此该选项错误；对于选项C ，n β⊥，m n ，所以m β⊥，又因为,m α⊂所以αβ⊥，因此该选项正确；对于选项D ，因为,,m n m α⊥⊥ 所以,n α或,n α⊂又因为n β⊥，所以αβ⊥.故选：ACD.7．（2022·辽宁·沈阳二中二模）对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题，其中假命题是（）A ．“a b =”是“ac bc =”的充要条件B ．“a b >”是“22a b >”的充分条件C ．“5a <”是“3a <”的必要条件D ．“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充分不必要条件【答案】ABD【解析】【分析】根据充分、必要性的推出关系，判断各选项中条件间的关系，即可得答案.【详解】A ：由a b =有ac bc =，当ac bc =不一定有a b =成立，必要性不成立，假命题；B ：若12a b =>=-时22a b <，充分性不成立，假命题；C ：5a <不一定3a <，但3a <必有5a <，故“5a <”是“3a <”的必要条件，真命题；D ：5a +是无理数则a 是无理数，若a 是无理数也有5a +是无理数，故为充要条件，假命题.故选：ABD8．（2022·广东·普宁市华侨中学二模）下列说法错误的是（）A ．“1a =-”是“直线30x ay -+=与直线10ax y -+=互相垂直”的充分必要条件B ．直线cos 30x y α-+=的倾斜角θ的取值范围是30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．若圆221:64120C x y x y +-++=与圆222:1420C x y x y a +--+=有且只有一个公共点，则34a =D ．若直线y x b =+与曲线234y x x =-b 的取值范围是122,3⎡⎤-⎣⎦【答案】AC【解析】【分析】当1a =-时，可判断直线30x ay -+=与直线10ax y -+=互相平行，判断A;根据直线的方程可求得斜率，进而求得倾斜角的范围，判断B;根据圆221:64120C x y x y +-++=与圆222:1420C x y x y a +--+=有且只有一个公共点，判断出两圆的位置关系，求得a 的值，判断C;求出曲线234y x x =-数形结合，求得b 的范围，判断D.【详解】对于A,当1a =-时，30x y ++=与直线10x y --+=互相平行，即“1a =-”不是“直线30x ay -+=与直线10ax y -+=互相垂直”的充分条件，故A 错误；对于B, 直线cos 30x y α-+=的倾斜角θ满足tan cos [1,1]θα=∈- ，故30,,44ππθπ⎡⎤⎡⎫∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭，故B 正确；对于C ，圆221:64120C x y x y +-++=的圆心为3,2-（），半径1r =，圆222:1420C x y x y a +--+=的圆心为(7,1) ，半径50,(50)R a a =-<，两圆有且只有一个公共点，则两圆外切或内切，()()223721550a -+--==-()()2237215150a -+--==-，解得34a = 或14a = ，故C 错误；对于D, 曲线234y x x =-22(2)(3)4,(3)x y y -+-=≤ ，表示以(2,3) 为圆心，半径为2 的半圆，如图示：直线y x b =+与曲线234y x x =-y x b =+与圆相切或过点(0,3), 22= 22= ，解得122b =-，当直线过点(0,3)时，3b = ，则数b 的取值范围是122,3⎡⎤-⎣⎦，故D 正确，故选：AC9．（2022·湖南邵阳·一模）给出下列命题，其中正确的命题有（）A ．“αβ=”是“sin sin αβ=”的必要不充分条件B ．已知命题P ：“0x R ∃∈，00e 1x x <+”，则P ⌝：“x R ∀∈，e 1x x ≥+”C ．若随机变量12,3B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()23E ξ= D ．已知随机变量()23,XN σ，且()()213P X a P X a >-=<+，则43a = 【答案】BCD【解析】【分析】选项A ：利用充分条件和必要条件的概念，并结合同角或终边相同的角的三角函数值相同即刻判断；选项B ：利用特称命题的否定的概念即可判断；选项C ：利用二项分布的期望公式即可求解；选项D ：利用正态曲线的对称性即可求解.【详解】选项A ：若αβ=，则sin sin αβ=；若sin sin αβ=，则2k αβπ=+，k Z ∈，从而“αβ=”是“sin sin αβ=”的充分不必要条件，故A 错误；选项B ：由特称命题的否定的概念可知，B 正确；选项C ：因为12,3B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()12233E ξ=⨯=，故C 正确；选项D ：结合已知条件可知，正态曲线关于3x =对称，又因为()()213P X a P X a >-=<+，从而21323a a -++=⨯，解得43a =，故D 正确. 故选：BCD10．（2022·江苏·南京市宁海中学二模）下列命题正确的是（）A ．“1a >”是“21a >”的充分不必要条件B ．“M N >”是“lgM lgN >”的必要不充分条件C ．命题“2,10x R x ∀∈+<”的否定是“x R ∃∈，使得210x +<”D ．设函数()f x 的导数为()'f x ，则“0()0f x '=”是“()f x 在0x x =处取得极值”的充要条件【答案】AB【解析】根据定义法判断是否为充分、必要条件，由全称量词命题的否定是∀→∃，否定结论，即可知正确的选项.【详解】A 选项中，211a a >⇒>，但211a a >⇒>或1a <-，故A 正确；B 选项中，当0M N >>时有lgM lgN >，而lgM lgN >必有0M N >>，故B 正确；C 选项中，否定命题为“x R ∃∈，使得210x +≥”，故C 错误；D 选项中，0()0f x '=不一定有()f x 在0x x =处取得极值，而()f x 在0x x =处取得极值则0()0f x '=，故D 错误；故选：AB【点睛】本题考查了充分、必要条件的判断以及含特称量词命题的否定，属于简单题.题型二：全称量词与存在量词1．（2022·全国·模拟预测（理））若“x ∃∈R ，使得sin 3x x a =”为假命题，则实数a 的取值范围是（）A ．[]22-,B ．()2,2-C ．(][),22,-∞-+∞D ．()(),22,∞∞--⋃+【答案】D【解析】【分析】写出全称量词命题为真命题，利用辅助角公式求出()[]2,2f x ∈-，从而求出实数a 的取值范围.【详解】因为“x ∃∈R ，使得sin 3x x a =”为假命题，则“x ∀∈R ，使得sin 3x x a ≠”为真命题，因为()[]πsin 32sin 2,23f x x x x ⎛⎫==-∈- ⎪⎝⎭，所以实数a 的取值范围是()(),22,∞∞--⋃+故选：D2．（2022·全国·模拟预测）命题“π,02x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，tan x x >”的否定是（）A ．,02x π⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，tan x x ≤B ．,02x π⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，tan x x <C ．,02x π⎛⎫∃∈- ⎪⎝⎭，tan x x ≤D ．,02x π⎛⎫∃∈- ⎪⎝⎭，tan x x <【答案】C【解析】【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.【详解】解：由全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题“,02x π⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，tan x x >”的否定是“,02x π⎛⎫∃∈- ⎪⎝⎭，tan x x ≤”，故选：C ．3．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（理））命题“2x ∀≥，2440x x -+≥”的否定是（）A ．2x ∀≥，2440x x -+<B ．2x ∃<，2440x x -+<C ．2x ∀<，2440x x -+<D ．2x ∃≥，2440x x -+<【答案】D【解析】【分析】对原命题“改量词，否结论”即可求得结果.【详解】命题2x ∀≥，2440x x -+≥的否定是：2x ∃≥，2440x x -+<.故选：D.4．（2022·全国·东北师大附中模拟预测（文））命题“0x R ∃∈，00e 1x x -≥”的否定是（）A ．0x R ∃∈，00e 1x x -<B ．0x R ∃∈，00e 1x x -<C ．x R ∀∈，e 1x x -≤D ．x R ∀∈，e 1x x -<【答案】D【解析】【分析】根据特称量词命题的否定为全称量词命题判断即可；【详解】命题“0R x ∃∈，00e 1x x -≥”为特称量词命题，其否定为R x ∀∈，e 1x x -<；故选：D5．（2022·全国·模拟预测（文））命题“R x ∀∈，20x ≥”的否定是（）A ．R x ∀∈，20x <B ．R x ∀∈，20x ≥C ．0R x ∃∈，200x < D ．0R x ∃∈，200x ≥ 【答案】C【解析】【分析】由全称量词命题的否定：将任意改为存在并否定原结论，即可写出命题的否定形式.【详解】由全称量词命题的否定为特称命题，所以原命题的否定为：0R x ∃∈，200x <. 故选：C6．（2022·全国·东北师大附中模拟预测（理））命题“00x ∃≥，001x e x -≥”的否定是（）A ．00x ∃<，001x e x -<B ．00x ∃≥，001x e x -<C ．0x ∀<，1x e x -<D ．0x ∀≥，1x e x -<【答案】D【解析】【分析】将特称命题的否定改为全称量词命题即可【详解】命题“00x ∃≥，001x e x -≥”的否定是“0x ∀≥，1x e x -<”，故选：D7．（2022·全国·模拟预测）命题():0,p x ∀∈+∞，1ln x x +≤的否定为（）A ．()0,x ∃∈+∞，1ln x x +≤B ．()0,x ∀∈+∞，1ln x x +≥C ．()0,x ∃∈+∞，1ln x x +>D ．()0,x ∀∈+∞，1ln x x +> 【答案】C【解析】【分析】根据全称量词命题的否定直接得出结果.【详解】因为全称量词命题的否定是特称量词命题，故原命题的否定是()0,x ∃∈+∞，1ln x x +>．故选：C8．（2022·广东汕头·三模）下列说法错误的是（）A ．命题“x R ∀∈，cos 1≤x ”的否定是“0x R ∃∈，0cos 1x >”B ．在△ABC 中，sin sin A B ≥是A B ≥的充要条件C ．若a ，b ，R c ∈，则“20ax bx c ++≥”的充要条件是“0a >，且240b ac -≤”D ．“若1sin 2α≠，则6πα≠”是真命题【答案】C【解析】【分析】利用全称量词命题的否定可判断A ,由正弦定理和充要条件可判断B ，通过举特例可判断C ,通过特殊角的三角函数值可判断D .【详解】A.命题“x R ∀∈，cos 1≤x ”的否定是“0x R ∃∈，0cos 1x >”,正确；B. 在△ABC 中，sin sin A B ≥，由正弦定理可得22a b R R≥(R 为外接圆半径)，a b ≥，由大边对大角可得A B ≥；。

高考专题复习1.2常用逻辑用语真题练习(附答案)

1.2常用逻辑用语考点一充分条件与必要条件1.(2022浙江,4,4分)设x∈R,则“sin x=1”是“cos x=0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A根据sin x=1解得x=π2+2kπ,k∈Z,此时cos x2χ=cosπ2=0.根据cos x=0解得x=π2+kπ,k∈Z,此时sin xχ=±1.故“sin x=1”是“cos x=0”的充分不必要条件,故选A.2.(2021浙江,3,4分)已知非零向量a,b,c,则“a·c=b·c”是“a=b”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案B解题指导:利用平面向量的数量积定义分别判断命题“若a·c=b·c,则a=b”与“若a=b,则a·c=b·c”的真假性即可.解析若c与向量a,b都垂直,则由a·c=b·c不一定能得到a=b;若a=b,则由平面向量的数量积的定义知a·c=b·c成立,故“a·c=b·c”是“a=b”的必要不充分条件.故选B.方法总结:(1)充分条件、必要条件的判断方法:①定义法:根据“若p,则q”与“若q,则p”的真假性进行判断;②集合法:根据p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.(2)要判断一个命题是假命题,只需举出一个反例即可.但要判断一个命题是真命题,必须通过严格的推理论证.3.(2021北京,3,4分)设函数f(x)的定义域为[0,1],则“函数f(x)在[0,1]上单调递增”是“函数f(x)在[0,1]上的最大值为f(1)”的() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A若f(x)在[0,1]上单调递增,则f(x)在[0,1]上的最大值为f(1);若f(x)在[0,1]上的最大值为f(1),则f(x)未必在[0,1]上单调递增,如图.故选A.4.(2022北京,6,4分)设{a n}是公差不为0的无穷等差数列,则“{a n}为递增数列”是“存在正整数N0,当n>N0时,a n>0”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案C设等差数列{a n}的公差为d(d≠0),则a n=a1+(n-1)d.若{a n}为递增数列,则d>0,由a n=a1+(n-1)d可构造函数f(x)=xd+a1-d,令f(x)=0,得x=K1,若a1>d,则x<0,取N0=1,即有n>1时,f(n)>f(1)>0成立;若a1<d,则x>0,取N0K1K1表示不超过K1的最大正整数,此时n>N0,必有f(n)>f(N0)=K1+1>K1.综上,存在正整数N0,当n>N0时,a n>0,∴充分性成立.易知a n是关于n的一次函数,若存在正整数N0,当n>N0时,a n>0,则一次函数为增函数,∴d>0,∴必要性成立.故选C.5.(2019天津文,3,5分)设x∈R,则“0<x<5”是“|x-1|<1”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B|x-1|<1⇔-1<x-1<1⇔0<x<2.当0<x<2时,必有0<x<5;反之,不成立.所以,“0<x<5”是“|x-1|<1”的必要而不充分条件.一题多解因为{x||x-1|<1}={x|0<x<2}⫋{x|0<x<5},所以“0<x<5”是“|x-1|<1”的必要而不充分条件.6.(2018天津,理4,文3,5分)设x∈R,则“<12”是“x3<1”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A本题主要考查解不等式和充分、必要条件的判断.由−<12得-12<x-12<12,解得0<x<1.由x3<1得x<1.当0<x<1时能得到x<1一定成立;当x<1时,0<x<1不一定成立.所以“<12”是“x3<1”的充分而不必要条件.方法总结(1)充分、必要条件的判断.解决此类问题应分三步:①确定条件是什么,结论是什么;②尝试从条件推结论,从结论推条件;③确定条件和结论是什么关系.(2)探究某结论成立的充要、充分、必要条件.解答此类题目,可先从结论出发,求出使结论成立的必要条件,然后验证得到的必要条件是否满足充分性.7.(2017北京理,6,5分)设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A由存在负数λ,使得m=λn,可得m、n共线且反向,夹角为180°,则m·n=-|m||n|<0,故充分性成立.由m·n<0,可得m,n的夹角为钝角或180°,故必要性不成立.故选A.8.(2017天津理,4,5分)设θ∈R,则“−<π12”是“sinθ<12”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A本题考查不等式的解法及充分必要条件的判断.∵<π12⇔-π12<θ-π12<π12⇔0<θ<π6,sin θ<12⇔θ∈2χ−7π6,+62χ−7π6,2kπ+∴“−<π12”是“sin θ<12”的充分而不必要条件.9.(2016天津理,5,5分)设{a n }是首项为正数的等比数列,公比为q,则“q<0”是“对任意的正整数n,a 2n-1+a 2n <0”的()A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件答案C 若对任意的正整数n,a 2n-1+a 2n <0,则a 1+a 2<0,又a 1>0,所以a 2<0,所以q=21<0.若q<0,可取q=-1,a 1=1,则a 1+a 2=1-1=0,不满足对任意的正整数n,a 2n-1+a 2n <0.所以“q<0”是“对任意的正整数n,a 2n-1+a 2n <0”的必要而不充分条件.故选C.评析本题以等比数列为载体,考查了充分条件、必要条件的判定方法,属中档题.10.(2015重庆理,4,5分)“x>1”是“lo g 12(x+2)<0”的()A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件答案B 当x>1时,x+2>3>1,又y=lo g 12x 是减函数,∴lo g 12(x+2)<lo g 121=0,则x>1⇒lo g 12(x+2)<0;当lo g 12(x+2)<0时,x+2>1,x>-1,则lo g 12(x+2)<0⇒/x>1.故“x>1”是“lo g 12(x+2)<0”的充分而不必要条件.选B.11.(2015天津理,4,5分)设x∈R,则“1<x<2”是“|x-2|<1”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A因为|x-2|<1等价于-1<x-2<1,即1<x<3,由于(1,2)⫋(1,3),所以“1<x<2”是“|x-2|<1”的充分而不必要条件,故选A.12.(2015湖南理,2,5分)设A,B是两个集合,则“A∩B=A”是“A⊆B”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案C若A∩B=A,任取x∈A,则x∈A∩B,∴x∈B,故A⊆B;若A⊆B,任取x∈A,都有x∈B,∴x∈A∩B,∴A⊆(A∩B),又A∩B⊆A显然成立,∴A∩B=A.综上,“A∩B=A”是“A⊆B”的充要条件,故选C.13.(2015陕西理,6,5分)“sinα=cosα”是“cos2α=0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A由sinα=cosα,得cos2α=cos2α-sin2α=0,即充分性成立.由cos2α=0,得sinα=±cosα,即必要性不成立.故选A..若p:f'(x0)=0;q:x=x0是f(x)的极值点,则() 14.(2014课标Ⅱ文,3,5分)函数f(x)在x=x0处导数存在A.p是q的充分必要条件B.p是q的充分条件,但不是q的必要条件C.p是q的必要条件,但不是q的充分条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件答案C∵f(x)在x=x0处可导,∴若x=x0是f(x)的极值点,则f'(x0)=0,∴q⇒p,故p是q的必要条件;反之,以f(x)=x3为例,f'(0)=0,但x=0不是极值点,∴p⇒/q,故p不是q的充分条件.故选C.15.(2014安徽理,2,5分)“x<0”是“ln(x+1)<0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案B ln(x+1)<0⇔0<x+1<1⇔-1<x<0⇒x<0;而x<0⇒/-1<x<0,故选B.16.(2014浙江理,2,5分)已知i是虚数单位,a,b∈R,则“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A当a=b=1时,有(1+i)2=2i,即充分性成立.当(a+bi)2=2i时,有a2-b2+2abi=2i,得2−2=0,B=1,解得a=b=1或a=b=-1,即必要性不成立,故选A.评析本题考查复数的运算,复数相等的概念,充分条件与必要条件的判定,属于容易题.17.(2014北京理,5,5分)设{an }是公比为q的等比数列.则“q>1”是“{an}为递增数列”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案D若q>1,则当a1=-1时,a n=-q n-1,{a n}为递减数列,所以“q>1”⇒/“{a n}为递增数列”;若{a n}为递增数列,则当a n时,a1=-12,q=12<1,即“{a n}为递增数列”⇒/“q>1”.故选D.考点二全称量词与存在量词1.(2015浙江理,4,5分)命题“∀n∈N*,f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是()A.∀n∈N*,f(n)∉N*且f(n)>nB.∀n∈N*,f(n)∉N*或f(n)>nC.∃n0∈N*,f(n)∉N*且f(n0)>n0D.∃n0∈N*,f(n)∉N*或f(n0)>n0答案D“f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定为“f(n)∉N*或f(n)>n”,全称命题的否定为特称命题,故选D.2.(2014湖北文,3,5分)命题“∀x∈R,x2≠x”的否定是()A.∀x∉R,x2≠xB.∀x∈R,x2=xC.∃x∉R,x2≠xD.∃x∈R,x2=x答案D原命题的否定为∃x∈R,x2=x.故选D.3.(2013重庆理,2,5分)命题“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定为()A.对任意x∈R,都有x2<0B.不存在x∈R,使得x2<0C.存在x∈R,使得02≥0 D.存在x0∈R,使得02<0答案D全称命题的否定是特称命题.“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定为“存在x0∈R,使得02<0”,故选D.4.(2015山东理,12,5分)若“∀x∈x≤m”是真命题,则实数m的最小值为.答案1解析∵0≤x≤π4,∴0≤tan x≤1,∵“∀x∈0,x≤m”是真命题,∴m≥1.∴实数m的最小值为1。

50道经典逻辑题及答案

一、逻辑判断: 每题给出一段陈述, 这段陈述被假设是正确的, 不容置疑的。

要求你根据这段陈述, 选择一个答案。

注意, 正确的答案应与所给的陈述相符合, 不需要任何附加说明即可以从陈述中直接推出1. 以下是一则广告: 就瘘痛而言, 四分之三的医院都会给病人使用"诺维克斯"镇痛剂。

因此, 你想最有效地镇瘘痛, 请选择"诺维克斯"。

以下哪项如果为真, 最强地削弱该广告的论点?( )A. 一些名牌的镇痛剂除了减少瘘痛外, 还可减少其他的疼痛B. 许多通常不用"诺维克斯"的医院, 对那些不适应医院常用药的人, 也用"诺维克斯" C．许多药物制造商, 以他们愿意提供的最低价格, 销售这些产品给医院, 从而增加他们产品的销售额D. 和其他名牌的镇痛剂不一样, 没有医生的处方, 也可以在药店里买到"诺维克斯"正确答案:C2. 会骑自行车的人比不会骑自行车的人学骑三轮车更困难。

由于习惯于骑自行车, 会骑自行车的人在骑三轮车转弯时, 对保持平衡没有足够的重视。

据此可知骑自行车( )。

A. 比骑三轮车省力B. 比三轮车更让人欢迎C. 转弯时比骑三轮车更容易保持平衡D. 比骑三轮车容易上坡正确答案:C 解题思路: 题干已知, 不会骑自行车的人反而比会骑的人更容易学习骑三轮车, 原因是骑三轮车在转弯时需要更多地控制平衡, 由此可以推断出选项C为正确答案, 选项A、B、D与题干无关。

故选C。

3. 长久以来认为, 高水平的睾丸激素荷尔蒙是男性心脏病发作的主要原因。

然而, 这个观点不可能正确, 因为有心脏病的男性一般比没有心脏病的男性有显著低水平的睾丸激素。

上面的论述是基于下列哪一个假设的?( )。

A. 从未患过心脏病的许多男性通常有低水平的睾丸激素B. 患心脏病不会显著降低男性的睾丸激素水平C. 除了睾丸激素以外的荷尔蒙水平显著影响一个人患心脏病的可能性D. 男性的心脏病和降低睾丸激素是一个相同原因的结果正确答案:B 解题思路：题干推理过程为：有心脏病的男性的睾丸激素水平低于无心脏病的, 所以高水平的睾丸激素荷尔蒙不是男性心脏病发作的主要原因。

备考2024年新高考数学一轮复习专题1-2 常用逻辑用语含详解

专题1.2常用逻辑用语题型一充分条件与必要条件的判定题型二根据充分（必要）条件求参数的范围题型三全称（存在）量词命题的否定题型四全称（存在）量词命题真假的判断题型五全称（存在）量词命题中有关参数的取值范围题型一充分条件与必要条件的判定例1．（2023·陕西榆林·统考三模）已知两个非零向量()2(1,),,4a x b x x == ，则“||2x =”是“//a b ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件例2．（2022秋·江西景德镇·高一景德镇一中校考期末）（多选）不等式5log 32)1(x -<成立的必要不充分条件是（）A ．(1,0)-B ．(1,1)-C ．(1,2)-D ．(1,)-+∞练习1．（2023春·山东滨州·高二校考阶段练习）“0ab >”是“0a b +>”的（）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分又不必要条件练习2．（2023·重庆·统考二模）“20x x -<”是“e 0x >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件练习3．（2023·河南·校联考二模）设椭圆()2210,0x y m n m n+=>>的离心率为e ，则“2e =”是“4=m n ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件练习4．（2023·辽宁沈阳·高三校联考学业考试）已知圆221:1C x y +=和圆()222:16C x a y -+=，其中0a >，则使得两圆相交的一个充分不必要．．．．．条件可以是（）A ．35a <”是“x >m ”的充分不必要条件，若Z m ∈，则m 取值可以是___________（满足条件即可）.题型二根据充分（必要）条件求参数的范围例3．（2022春·四川绵阳·高二校考期中）关于x 的一元二次方程2210ax x +-=有两个不相等正根的充要条件是（）A ．1a <-B ．10a -<<C ．a<0D ．01a <<例4．（2023·山东潍坊·统考二模）若“x α=”是“sin cos 1x x +>”的一个充分条件，则α的一个可能值是__________.练习6．（2022秋·浙江金华·高一校考阶段练习）已知x ∈R ，条件:01p x <<，条件1:q a x≥()0a >，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（）A ．0<1a ≤B ．1a ≤C ．1a ≥D ．0a >练习7．（2023·全国·高三专题练习）函数()()()2e e -=-++x xf x ax bx c 是偶函数的充分必要条件是（）．A ．0b =B ．0ac =C ．0a =且0c =D ．0a =，0c =且0b ≠练习8．（2023春·云南红河·高二校考阶段练习）若“m a >”是“63m ≥”的必要不充分条件，则实数a 能取的最大整数为_______________．练习9．（2023秋·河南许昌·高三校考期末）已知集合2}{|+280A x x x =-≤，{|433}B x m x m =-≤≤+．(1)求A ；(2)若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，求m 的取值范围．练习10．（2023秋·江苏无锡·高一统考期末）设全集U =R ，集合2{|321},{|log (1)2}A x a x a B x x =-<<-=-≤，其中R a ∈．(1)若“x A ∈”是“x B ∈”成立的必要不充分条件，求a 的取值范围；(2)若命题“x A ∃∈，使得R x B ∈ð”是真命题，求a 的取值范围．题型三全称（存在）量词命题的否定例5．（2023·四川达州·统考二模）命题p ：x ∀∈R ，2210x x x +-+>，则p ⌝为（）A ．x ∀∈R ，2210x x x +-+≤B ．x ∀∈R ，2210x x x +-+<C ．0x ∃∈R ，0200210x x x +-+<D ．0x ∃∈R ，0200210x x x +-+≤例6．（2023春·河北衡水·高三衡水市第二中学期末）命题“[]1,2x ∃∈-，21x <”的否定是（）A ．[]1,2x ∃∈-，21x ≥B ．[]1,2x ∃∉-，21x <C ．[]1,2x ∀∈-，21x <D ．[]1,2x ∀∈-，21x ≥练习11．（2023春·江苏南京·高一江苏省高淳高级中学校联考阶段练习）命题“2010x x ∀>->，”的否定是（）A ．2010x x ∀≤->，B ．2010x x ∃>->，C ．2010x x ∃≤-≤，D ．2010x x ∃>-≤，练习12．（2023·全国·高一专题练习）命题“R,sin x x x ∀∈<”的否定是（）A ．R,sin x x x ∃∈≥B ．R,sin x x x ∃∉≥C ．R,sin x x x∀∈<D ．R,sin x x x∀∈≥练习13．（2022秋·浙江杭州·高一校考阶段练习）命题{}:15p x x x ∀∉≤≤，245x x ->，则命题p 的否定是（）A ．{}15x x x ∃∈≤≤，245x x -≤B ．{}15x x x ∃∉≤≤，245x x -≤C ．{}15x x x ∀∉≤≤，245x x -≤D ．{}15x x x ∀∈≤≤，245x x -≤练习14．（2023春·黑龙江大庆·高一大庆实验中学校考阶段练习）命题：“0x ∃>，0x x +≥”的否定是（）A ．0x ∀<，0x x +，0x x +<C ．0x ∀>，0x x +≤D ．0x ∀<，0x x +≤练习15．（2021秋·高一课时练习）命题00:0,21p x x ∃><，则命题p 的否定是（）A ．000,21x x ∃>≥B ．000,21x x ∃≤≥C ．0,21x x ∀>≥D ．0,21x x ∀≤≥题型四全称（存在）量词命题真假的判断例7．（2023春·河北·高三统考阶段练习）已知命题:N e 0，x p x ∃∈<（e 为自然对数的底数）2;:R 0q x x x ∀∈+≥，，则下列为真命题的是（）A ．p 真，q 假B ．p 真，q 真C ．p 假，q 真D ．p 假，q 假例8．（2022秋·高一校考课时练习）下列命题中的真命题是__________.①R x ∀∈，233x +≥;②0R x ∃∈，233x +≤;③所有的量词都是全称量词.练习16．（2023春·重庆·高三重庆市长寿中学校校考期末）已知P ，Q 为R 的两个非空真子集，若R Q ðP R ð，则下列结论正确的是（）A ．x Q ∀∈，x P ∈B ．0R x P ∃∈ð，0R x Q ∈ðC ．0x Q ∃∉，0x P∈D ．R x P ∀∈ð，R x Q∈ð练习17．（2021春·陕西渭南·高二校考阶段练习）下列命题中的假命题．．．是（）A ．0x ∃∈R ，0lg 1x =B ．0x ∃∈R ，0sin 0x =C ．x ∀∈R ，30x >D ．x ∀∈R ，20x >练习18．（2023·山东枣庄·统考二模）已知集合{}02A x x =<<，{}244150B x x x =--<，则（）A ．x A ∃∈，xB ∉B ．x B ∀∈，x A ∈C ．x B ∃∈，x A∈D ．x A ∀∈，x B∉练习19．（2023秋·浙江杭州·高一杭师大附中校考期末）下列命题为真命题的是（）A ．2,30x x ∀∈+<RB ．2,1x x ∀∈≥NC ．5,1x x ∃∈<Z D ．2,5x x ∃∈=Q 练习20．（2022秋·广西百色·高一校考阶段练习）（多选）关于命题p ：“2,10x x "Î+¹R ”的叙述，正确的是（）A ．p 的否定：2,10x x $Î+=RB ．p 的否定：2,10x x "Î+=RC ．p 是真命题，p 的否定是假命题D ．p 是假命题，p 的否定是真命题题型五全称（存在）量词命题中有关参数的取值范围例9．（2022秋·江西抚州·高一统考期末）若01,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得200310x x λ-+<成立是假命题，则实数λ可能取值是（）．A ．B ．C ．4D ．5例10．（2021秋·高一课时练习）已知命题2:R,210p x ax x ∀∈++≠”的否定为真命题，则实数a 的取值范围是______________.练习21．（2022秋·陕西西安·高一校考期末）若命题“[1,4]x ∀∈-时，2x m >”是假命题，则m 的取值范围（）A ．16m ≥B ．m 1≥C ．0m ≥D ．1m <练习22．（2023春·安徽亳州·高三校考阶段练习）已知命题“[]01,1x ∃∈-，20030x x a -++>”为真命题，则实数a 的取值范围是（）A ．(),2-∞-B ．(),4-∞C ．()2,-+∞D ．()4,+∞练习23．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）已知命题2024:,31p x a x ∀∈<+R ，若p 为真命题，则实数a 的取值范围是__________.练习24．（2022秋·四川成都·高二树德中学校考期末）已知“{}11x x x ∀∈-≤≤，都有不等式2x x m --<0成立”是假命题，则实数m 的取值范围为______．练习25．（2021秋·高一课时练习）若“2R,30x x x m ∃∈++=”是真命题，则实数m 的取值范围是________．专题1.2常用逻辑用语题型一充分条件与必要条件的判定题型二根据充分（必要）条件求参数的范围题型三全称（存在）量词命题的否定题型四全称（存在）量词命题真假的判断题型五全称（存在）量词命题中有关参数的取值范围题型一充分条件与必要条件的判定例1．（2023·陕西榆林·统考三模）已知两个非零向量()2(1,),,4a x b x x == ，则“||2x =”是“//a b ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据向量的共线的坐标运算，求得2x =±，再结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】因为()2(1,),,4a x b x x == 且//a b ，可得34x x =，解得2x =±或0x =，又因为b为非零向量，所以2x =±，即||2x =，故“||2x =”是“//a b ”的充要条件．故选：C.例2．（2022秋·江西景德镇·高一景德镇一中校考期末）（多选）不等式5log 32)1(x -<成立的必要不充分条件是（）A ．(1,0)-B ．(1,1)-C ．(1,2)-D ．(1,)-+∞【答案】CD【分析】求出对数不等式的解集，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】解不等式5log 32)1(x -<得：0321x <-<，解得312x <<，即原不等式的解集为3(1,)2，(1,0)-、(1,1)-与3(1,)2的交集都空集，因此选项A ，B 都不是；而3(1,2(1,2)-，3(1,)2(1,)-+∞，因此选项C 、D 都是.故选：CD练习1．（2023春·山东滨州·高二校考阶段练习）“0ab >”是“0a b +>”的（）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】D【分析】先推导出充分性不成立，再举出反练习得到必要性不成立.【详解】因为0ab >，所以0,0a b >>或0,0a b <<，则0a b +>或0a b +<，故充分性不成立，若1,2a b =-=，满足0a b +>，但不满足0ab >，必要性不成立，故“0ab >”是“0a b +>”的既不充分又不必要条件.故选：D练习2．（2023·重庆·统考二模）“20x x -<”是“e 0x >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】将已知转化为集合的关系再利用充分条件和必要条件的定义处理即可.【详解】由20x x -<可得其解集为：}{01x x x ∈<<，由e 0x >可得其解集为：x ∈R .而}{01x x <<ÜR ，即由“20x x -<”可以推出“e 0x >”，反过来“e 0x >”不能推出“20x x -<”，故“20x x -<”是“e 0x >”的充分不必要条件.故选：A练习3．（2023·河南·校联考二模）设椭圆()2210,0x y m n m n+=>>的离心率为e ，则“32e =”是“4=m n ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分、必要性定义，结合椭圆方程，讨论,m n 判断充分性，由离心率定义判断必要性，即可得答案.【详解】当m n >时32m n e m -=4=m n ；当m n <时32n m e n-=4n m =；所以32e =4=m n ，充分性不成立；当4=m n 时，则2e ==，必要性成立；综上，“2e =”是“4=m n ”的必要不充分条件.故选：B练习4．（2023·辽宁沈阳·高三校联考学业考试）已知圆221:1C x y +=和圆()222:16C x a y -+=，其中0a >，则使得两圆相交的一个充分不必要．．．．．条件可以是（）A ．35a <<B ．36a <<C ．45a <<D ．25a <<【答案】C【分析】根据圆与圆的位置关系求参数范围，结合充分、必要性定义确定答案即可.【详解】由1(0,0)C 且半径11r =，2(,0)C a 且半径24r =，结合a 大于0，所以2121r r a r r -<<+时，两圆相交，则35a <<，由选项可得A 选项为35a <<的充要条件；B 、D 选项为35a <<的必要不充分条件；C 选项为35a <<的充分不必要条件；故选：C练习5．（2023春·四川内江·高二威远中学校校考期中）“1x >”是“x >m ”的充分不必要条件，若Z m ∈，则m 取值可以是___________（满足条件即可）.【答案】0（答案不唯一，满足1m <且Z m ∈均可）.【分析】利用充分不必要条件的定义求解.【详解】解：因为“1x >”是“x >m ”的充分不必要条件，且Z m ∈，所以1m <且Z m ∈，故可取0，故答案为：0（答案不唯一，满足1m <且Z m ∈均可）题型二根据充分（必要）条件求参数的范围例3．（2022春·四川绵阳·高二校考期中）关于x 的一元二次方程2210ax x +-=有两个不相等正根的充要条件是（）A ．1a <-B ．10a -<<C ．a<0D ．01a <<【答案】B【分析】2210ax x +-=有两个不相等正根的充要条件是：1212Δ000x x x x >⎧⎪+>⎨⎪⋅>⎩，解不等式组即可求出a 的取值范围.【详解】解：关于x 的一元二次方程2210ax x +-=有两个不相等正根的充要条件是：Δ440210a a a⎧⎪=+>⎪⎪->⎨⎪⎪->⎪⎩，解得10a -<<，故选：B.例4．（2023·山东潍坊·统考二模）若“x α=”是“sin cos 1x x +>”的一个充分条件，则α的一个可能值是__________.【答案】π4（只需满足()π2π,2π2k k k α⎛⎫∈+∈ ⎪⎝⎭Z 即可）【分析】解不等式sin cos 1x x +>，可得出满足条件的一个α的值.【详解】由sin cos 1x x +>π14x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，则πsin 42x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以，()ππ3π2π2π444k x k k +<+<+∈Z ，解得()π2π2π2k x k k <<+∈Z ，因为“x α=”是“sin cos 1x x +>”的一个充分条件，故α的一个可能取值为π4.故答案为：π4（只需满足()π2π,2π2k k k α⎛⎫∈+∈ ⎪⎝⎭Z 即可）.练习6．（2022秋·浙江金华·高一校考阶段练习）已知x ∈R ，条件:01p x <<，条件1:q a x≥()0a >，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（）A ．0<1a ≤B ．1a ≤C ．1a ≥D ．0a >【答案】A【分析】先求出条件q 的x 的范围，再根据充分不必要建立不等式求解即可.【详解】条件q ：由不等式()10a a x>≥，解得：10<≤x a ，若p 是q 的充分不必要条件，则()0,110,a ⎛⎤⎥⎝⎦，所以11a≥解得01a <≤.故选：A ．练习7．（2023·全国·高三专题练习）函数()()()2e e -=-++x x f x ax bx c 是偶函数的充分必要条件是（）．A ．0b =B ．0ac =C ．0a =且0c =D ．0a =，0c =且0b ≠【答案】C 【分析】利用偶函数的定义求得2()(22)0x x axc --+=e e 恒成立，即可求出a ，c ，再验证0b =时情况即可判断作答.【详解】显然函数2)())((x x f x ax bx c -=-++e e 定义域为R ，因()f x 是偶函数，即R,()()x f x f x ∀∈-=，亦即22()(()())x x x x ax bx c ax bx c ---++=--+e e e e ，整理得2()(22)0x x ax c --+=e e ，而e e x x --不恒为0，因此，2220ax c +=，即0a =且0c =，当0b =时，()0f x =也是偶函数，D 不正确，所以一定正确的是C.故选：C练习8．（2023春·云南红河·高二校考阶段练习）若“m a >”是的必要不充分条件，则实数a 能取的最大整数为_______________．【答案】0【分析】先由集合与充分必要的关系得到23m m ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭是{}m m a >的真子集，从而利用数轴法得到23<a ，由此得解.【详解】因为“m a >”是3”的必要不充分条件，所以⎧⎪≥⎨⎪⎪⎩⎭是{}m m a >的真子集，23m ≥，所以23m m ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭是{}m m a >的真子集，所以23<a ，所以实数a 能取的最大整数为0.故答案为：0.练习9．（2023秋·河南许昌·高三校考期末）已知集合2}{|+280A x x x =-≤，{|433}B x m x m =-≤≤+．(1)求A ；(2)若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，求m 的取值范围．【答案】(1)[]4,2-(2)1,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据一元二次不等式的解法解出20+28x x -≤即可；（2）由题意知若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件则集合A 是集合B 的真子集，求出m 的取值范围，再讨论即可.【详解】（1）由20+28x x -≤，可得()()420x x +-≤，所以42x -≤≤，所以集合[4,2]A =-.（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则集合A 是集合B 的真子集，由集合A 不是空集，故集合B 也不是空集，所以7433214400333213m m m m m m m m ⎧≥-⎪-≤+⎧⎪⎪-≤-⇒≤⇒-≤≤⎨⎨⎪⎪+≥⎩⎪≥-⎩，当13m =-时，13{|2}3B x x =-≤≤满足题意，当0m =时，{|43}B x x =-≤≤满足题意，故103m -≤≤，即m 的取值范围为1,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.练习10．（2023秋·江苏无锡·高一统考期末）设全集U =R ，集合2{|321},{|log (1)2}A x a x a B x x =-<<-=-≤，其中R a ∈．(1)若“x A ∈”是“x B ∈”成立的必要不充分条件，求a 的取值范围；(2)若命题“x A ∃∈，使得R x B ∈ð”是真命题，求a 的取值范围．【答案】(1)(3,4](2)()2,-+∞【分析】（1）首先求解集合B ，根据条件转化为集合的包含关系，列式求解；（2）根据条件转化为R A B ≠∅ ð，列式求a 的取值范围.【详解】（1）()2log 12x -≤，得014x <-≤，解得：15x <≤，即{}15B x x =<≤，因为“x A ∈”是“x B ∈”成立的必要不充分条件，所以B A ，则32131215a a a a -<-⎧⎪-≤⎨⎪->⎩，解得：34a <≤；（2）由条件可知，R A B ≠∅ ð，{1R B x x =≤ð或5}x >，所以31321a a a -<⎧⎨-<-⎩或215321a a a ->⎧⎨-<-⎩，解得：2a >-，所以a 的取值范围是()2,-+∞题型三全称（存在）量词命题的否定例5．（2023·四川达州·统考二模）命题p ：x ∀∈R ，2210x x x +-+>，则p ⌝为（）A ．x ∀∈R ，2210x x x +-+≤B ．x ∀∈R ，2210x x x +-+<C ．0x ∃∈R ，0200210x x x +-+<D ．0x ∃∈R ，0200210x x x +-+≤【答案】D【分析】对全称量词的否定用存在量词，直接写出p ⌝.【详解】因为对全称量词的否定用存在量词，所以命题p ：x ∀∈R ，2210x x x +-+>的否定为：0x ∃∈R ，0200210x x x +-+≤.故选：D例6．（2023春·河北衡水·高三衡水市第二中学期末）命题“[]1,2x ∃∈-，21x <”的否定是（）A ．[]1,2x ∃∈-，21x ≥B ．[]1,2x ∃∉-，21x <C ．[]1,2x ∀∈-，21x <D ．[]1,2x ∀∈-，21x ≥【答案】D【分析】由存在量词命题的否定形式可直接确定结果.【详解】由存在量词命题的否定知：原命题的否定为[]1,2x ∀∈-，21x ≥.故选：D.练习11．（2023春·江苏南京·高一江苏省高淳高级中学校联考阶段练习）命题“2010x x ∀>->，”的否定是（）A ．2010x x ∀≤->，B ．2010x x ∃>->，C ．2010x x ∃≤-≤，D ．2010x x ∃>-≤，【答案】D【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可求解.【详解】命题“2010x x ∀>->，”的否定是2010x x ∃>-≤，,故选：D练习12．（2023·全国·高一专题练习）命题“R,sin x x x ∀∈<”的否定是（）A ．R,sin x x x ∃∈≥B ．R,sin x x x∃∉≥C ．R,sin x x x ∀∈<D ．R,sin x x x∀∈≥【答案】A【分析】全称量词命题否定为存在量词命题即可.【详解】命题“R,sin x x x ∀∈<”的否定是“R,sin x x x ∃∈≥”.故选：A练习13．（2022秋·浙江杭州·高一校考阶段练习）命题{}:15p x x x ∀∉≤≤，245x x ->，则命题p 的否定是（）A ．{}15x x x ∃∈≤≤，245x x -≤B ．{}15x x x ∃∉≤≤，245x x -≤C ．{}15x x x ∀∉≤≤，245x x -≤D ．{}15x x x ∀∈≤≤，245x x -≤【答案】B【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义判断.【详解】解：因为命题{}15x x x ∀∉≤≤，245x x ->是全称量词命题，所以其否定是存在量词命题，即{}15x x x ∃∉≤≤，245x x -≤，故选：B练习14．（2023春·黑龙江大庆·高一大庆实验中学校考阶段练习）命题：“0x ∃>，0x x +≥”的否定是（）A ．0x ∀<，0x x +，0x x +<C ．0x ∀>，0x x +≤D ．0x ∀<，0x x +≤【答案】B【分析】利用存在量词命题的否定可得出结论.【详解】命题：“0x ∃>，0x x +≥”为存在量词命题，该命题的否定为“0x ∀>，0x x +<”.故选：B.练习15．（2021秋·高一课时练习）命题00:0,21p x x ∃><，则命题p 的否定是（）A ．000,21x x ∃>≥B ．000,21x x ∃≤≥C ．0,21x x ∀>≥D ．0,21x x ∀≤≥【答案】C【分析】直接根据存在量词命题的否定是全称量词命题得到答案.【详解】命题00:0,21p x x ∃><，的否定是0,21x x ∀>≥，故选：C题型四全称（存在）量词命题真假的判断例7．（2023春·河北·高三统考阶段练习）已知命题:N e 0，x p x ∃∈<（e 为自然对数的底数）2;:R 0q x x x ∀∈+≥，，则下列为真命题的是（）A ．p 真，q 假B ．p 真，q 真C ．p 假，q 真D ．p 假，q 假【答案】C【分析】由全称量词，存在量词定义判断命题p ，q 正误可得答案.【详解】,e 0,x x ∀∈>∴N 命题p 为假命题，x ∀∈Q R ，必有20,0x x ≥≥，所以20x x +≥，∴命题q 为真命题.故选：C.例8．（2022秋·高一校考课时练习）下列命题中的真命题是__________.①R x ∀∈，233x +≥;②0R x ∃∈，2033x +≤;③所有的量词都是全称量词.【答案】①②【分析】根据全称量词命题和存在量词命题的含义判断命题的真假即可.【详解】①因为20x ≥，所以R x ∀∈，233x +≥，故①为真命题；②当00x =时，2033x +=，所以0R x ∃∈，2033x +≤，故②为真命题；③量词有全称量词和存在量词，故③为假命题.故答案为：①②.练习16．（2023春·重庆·高三重庆市长寿中学校校考期末）已知P ，Q 为R 的两个非空真子集，若R QðP R ð，则下列结论正确的是（）A ．x Q ∀∈，x P ∈B ．0R x P ∃∈ð，0R x Q∈ðC ．0x Q ∃∉，0x P ∈D ．R x P ∀∈ð，R x Q∈ð【答案】B【分析】根据条件画出Venn 图，根据图形，判断选项.【详解】因为R Q ðR P ð，所以P Q ，如图，对于选项A ：由题意知P 是Q 的真子集，故∃∈x Q ，x P ∉，故不正确，对于选项B ：由R Q ð是R P ð的真子集且R Q ð，R P ð都不是空集知，0R x P ∃∈ð，0R x Q ∈ð，故正确.对于选项C ：由R Q ð是R P ð的真子集知，x Q ∀∉，x P ∉，故不正确，对于选项D ：Q 是R P ð的真子集，故R x P ∃∈ð，R x Q ∉ð，故不正确，故选：B练习17．（2021春·陕西渭南·高二校考阶段练习）下列命题中的假命题．．．是（）A ．0x ∃∈R ，0lg 1x =B ．0x ∃∈R ，0sin 0x =C ．x ∀∈R ，30x >D ．x ∀∈R ，20x >【答案】C【分析】A 、B 、C 可通过取特殊值法来判断；D 由指数函数的性质来判断.【详解】当010x =时，0lg lg101x ==，故A 正确；当00x =时，0sin sin 00x ==，故B 正确；当0x <时，30x <，故C 错误；由指数函数的性质可知，x ∀∈R ，20x >，故D 正确.故选：C.练习18．（2023·山东枣庄·统考二模）已知集合{}02A x x =<<，{}244150B x x x =--<，则（）A ．x A ∃∈，xB ∉B ．x B ∀∈，x A∈C ．x B ∃∈，x A ∈D ．x A ∀∈，x B∉【答案】C【分析】先求出B ，在判断两个集合的关系，从而可得出答案.【详解】{}2354415022B x x x x x ⎧⎫=--<=-<<⎨⎬⎩⎭，则集合A 是集合B 的真子集，所以x A ∀∈，x B ∈，x B ∃∈，x A ∈，故ABD 错误，A 正确.故选：C.练习19．（2023秋·浙江杭州·高一杭师大附中校考期末）下列命题为真命题的是（）A ．2,30x x ∀∈+<R B ．2,1x x ∀∈≥N C ．5,1x x ∃∈<Z D ．2,5x x ∃∈=Q 【答案】C【分析】根据全称量词命题和特称量词命题的定义判断.【详解】对于A ，因为20x ≥，所以2,33x x ∀∈+≥R ，A 错误；对于B ，当0x =时，21x <，B 错误；对于C ，当0x =时，51<x ，C 正确；由25x =可得x =均为无理数，故D 错误，故选:C.练习20．（2022秋·广西百色·高一校考阶段练习）（多选）关于命题p ：“2,10x x "Î+¹R ”的叙述，正确的是（）A ．p 的否定：2,10x x $Î+=R B ．p 的否定：2,10x x "Î+=R C ．p 是真命题，p 的否定是假命题D ．p 是假命题，p 的否定是真命题【答案】AC【详解】p 的否定为“2,10x x $Î+=R ”，A 对B 错；2,11x x "Î+³R ，所以p 是真命题，则p 的否定是假命题，故C 对D 错.故选：AC题型五全称（存在）量词命题中有关参数的取值范围例9．（2022秋·江西抚州·高一统考期末）若01,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得200310x x λ-+<成立是假命题，则实数λ可能取值是（）．A ．B ．C ．4D ．5【答案】B【分析】由题意得到1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2310x x λ-+≥成立是真命题，转化为13x x λ+≥在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，由基本不等式得到1323x x+≥，从而得到23λ≤，从而求出答案.【详解】由题意得：1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2310x x λ-+≥成立是真命题，故13x x λ+≥在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，由基本不等式得：1132323y x x x x =+≥⋅=，当且仅当13x x =，即31,232x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦时，等号成立，故23λ≤，故选：B.例10．（2021秋·高一课时练习）已知命题2:R,210p x ax x ∀∈++≠”的否定为真命题，则实数a 的取值范围是______________.【答案】{}1a a ≤【分析】问题等价于2210ax x ++=有解，即Δ4400a a =-≥⎧⎨≠⎩或0a =，解得答案.【详解】已知问题等价于2210ax x ++=有解，即Δ4400 a a =-≥⎧⎨≠⎩或0a =，解得1a ≤.故答案为：{}1a a ≤练习21．（2022秋·陕西西安·高一校考期末）若命题“[1,4]x ∀∈-时，2x m >”是假命题，则m 的取值范围（）A ．16m ≥B ．m 1≥C ．0m ≥D ．1m <【答案】C【分析】由否命题为真命题可得2min ()x m ≤，求2y x =的最小值即可.【详解】因为命题“[1,4]x ∀∈-时，2x m >”是假命题，所以命题“[1,4]x ∃∈-时，2x m ≤”是真命题，即有2min ()x m ≤，易知当0x =，2y x =有最小值0,所以0m ≥.故选：C练习22．（2023春·安徽亳州·高三校考阶段练习）已知命题“[]01,1x ∃∈-，20030x x a -++>”为真命题，则实数a 的取值范围是（）A ．(),2-∞-B ．(),4-∞C ．()2,-+∞D ．()4,+∞【答案】C 【分析】由题知[]01,1x ∈-时，()min 2003a x x ->，再根据二次函数求最值即可得答案.【详解】解：因为命题“[]01,1x ∃∈-，20030x x a -++>”为真命题，所以，命题“[]01,1x ∃∈-，2003a x x >-”为真命题，所以，[]01,1x ∈-时，()min 2003a x x ->，因为，2239324y x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，所以，当[]1,1x ∈-时，min 2y =-，当且仅当1x =时取得等号.所以，[]01,1x ∈-时，()200min 32a x x ->=-，即实数a 的取值范围是()2,-+∞故选：C练习23．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）已知命题2024:,31p x a x ∀∈<+R ，若p 为真命题，则实数a 的取值范围是__________.【答案】(),1-∞【分析】根据题意知202431a x <+恒成立，求出x ∈R 时，202431x +的最小值，即可求出实数a 的取值范围.【详解】若2024,31x a x ∀∈<+R 为真命题，等价于()2024min 31a x<+，∵20240x ≥，当且仅当0x =时，等号成立，∴2024311x +≥，即()2024min 131x +=，可得1a <，故实数a 的取值范围是(),1-∞.故答案为：(),1-∞.练习24．（2022秋·四川成都·高二树德中学校考期末）已知“{}11x x x ∀∈-≤≤，都有不等式2x x m --<0成立”是假命题，则实数m 的取值范围为______．【答案】2m ≤【分析】根据命题的否定得“{}11x x x ∃∈-≤≤，使得20x x m --≥成立”是真命题，进而转化成最值问题，利用二次函数的性质即可求解最值.【详解】“{}11x x x ∀∈-≤≤，都有不等式2x x m --<0成立”是假命题，故“{}11x x x ∃∈-≤≤，使得20x x m --≥成立”是真命题，因此{}11x x x ∃∈-≤≤，使2m x x ≤-，只需要()2max m x x ≤-，而二次函数()2f x x x =-在112⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递减，在112⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增，故当=1x -时，()f x 取最大值()1=2f -，因此2m ≤，故答案为：2m ≤练习25．（2021秋·高一课时练习）若“2R,30x x x m ∃∈++=”是真命题，则实数m 的取值范围是________．【答案】94m ≤【分析】根据一元二次方程有解，利用判别式求解.【详解】根据题意知，2340m ∆=-≥，解得，94m ≤，所以实数m 的取值范围是94m ≤.故答案为：94m ≤。

2025年新高考数学专题集合与常用逻辑用语含解析

专题01集合与常用逻辑用语易错点一：对集合表示方法的理解存在偏差（集合运算问题两种解题方法）方法一：列举法列举法就是通过枚举集合中的所有元素，然后根据集合基本运算的定义求解的方法。

其解题具体步骤如下:第一步定元素：确定已知集合中的所有元素，利用列举法或画数轴写出所有元素或范围；第二步定运算：利用常见不等式或等式解未知集合；第三步：定结果。

方法二：赋值法高考对集合的基本运算的考查以选择题为主,所以我们可以利用特值法解题,即根据选项之间的明显差异,选择一些特殊元素进行检验排除,从而得到正确选项.其解题具体步骤如下:第一步：辨差异:分析各选项,辨别各选项的差异；第二步：定特殊:根据选项的差异,选定一些特殊的元素；第三步：验排除:将特殊的元素代入进行验证，排除干扰项；第四步：定结果:根据排除的结果确定正确的选项。

易错提醒：对集合表示法的理解先观察研究对象（丨前），研究对象是点集还是数集，故要对本质进行剖析，需要明确集合中的代表元素类型及代表元素的含义.若A B ⊆，即A 是B 的子集，所以A B A = ，所以（4）正确；根据元素与集合的关系可知{}∅∈∅正确，也即（5）正确.所以正确的个数是4.故选：A易错点二：忽视（漏）空集导致错误（集合中的含参问题）1.利用两个集合之间的关系确定参数的取值范围解题时务必注意:由于∅是任意集合的子集,若已知非空集合B,集合A 满足A ⊆B 或A ⊂B,则对集合A 分两种情中的含参问题况讨论:(1)当A=∅时,若集合A 是以不等式为载体的集合,则该不等式无解;(2)当A≠∅时,要利用子集的概念把子集关系转化为两个集合对应区间的端点值的大小关系,从而构造关于参数的不等式(组)求解.2.利用两集合的运算求参数的值或取值范围解决此类问题的步骤一般为:第一步：化简所给集合;第二步：用数轴表示所给集合;第三步：根据集合端点间关系列出不等式(组);(4)解不等式(组);第四步：检验,通过返回代入验证端点是否能够取到.第五步：解决此类问题多利用数形结合的方法,结合数轴或Venn 图进行求解.易错提醒：勿忘空集和集合本身.由于∅是任意集合的子集，是任何集合的真子集，任何集合的本身是该集合的子集，所以在进行列举时千万不要忘记。

经典逻辑题大全及答案

经典逻辑题大全及答案逻辑题一直是考验学生思维能力和逻辑推理能力的经典题型，以下是一些常见的逻辑题及其答案：1. 神奇魔盒有一只神奇魔盒，里面有黑白两色的球各若干个。

你可以随意取出一些球，但必须满足以下条件：如果你取出的是黑球，则必须再取出一个黑球，如果你取出的是白球，则必须再取出一个白球。

假设你只能取一次，那么你取出的是黑球还是白球呢？答案：无法确定。

因为我们不知道黑球和白球的个数和比例。

2. 三门问题在你面前有三扇门，其中一扇门后面有一辆车，另外两扇门后面是山羊。

你选定一扇门后，主持人会打开一扇没有车的门，问你是否保持原先选择的门，或改选另一扇未开过的门，哪种策略能获得更大的获胜概率？答案：改选别的门。

如果你一开始选的是有车的门，那么改选后就会失去胜利的机会，如果你一开始选的是山羊门，那么换门就能获得胜利的机会。

3. 邮票问题你想要贴满一张邮票纸，邮票有1分、2分、3分共三种。

问，最少需要几张邮票才能覆盖所有的邮票面值？答案：4张。

第一张邮票上贴1分和2分，第二张邮票上贴2分和3分，第三张邮票上贴1分和3分，第四张邮票上贴1分、2分、3分。

4. 柿子问题如下述的等式有几个不同的解？$$\frac{X}{Y+Z}=5$$$$\frac{Y}{Z+X}=6$$$$\frac{Z}{X+Y}=7$$答案：只有一个解。

将前两个式子代入第三个式子中，得到：$$ \frac{7Z}{X+Y}=\frac{Z}{X+Y}+1$$$$6Z=X+Y$$$$\frac{5X}{7}+Z=Y$$ 再将第一、三个式子代入第二个式子中，得到：$$ \frac{6Y+42X}{X+Y+Z}=\frac{Y}{X+Y}+1$$$$7Y=6X+6Y+42X+X+Y$$$$X= -6Y$$$$Z=-\frac{17}{2}Y$$ 又知$X,Y,Z$必须是正整数，所以只有一组解，即$(X,Y,Z)=(36, -6, -51)$。

第02讲常用逻辑用语(五大题型)(课件)高考数学一轮复习(新教材新高考)

条件.
使得“ ∈ ”是“ ∈ ”的
【答案】②，③
【解析】①“ ∈ ”是“ ∈ ”的充要条件，则 2 − = −1 ， 3 + 2 = 5 ，此方程无解，
故不存在实数，则不符合题意；
【方法技巧】
②“1、集合中推出一定是小集合推出大集合，注意包含关系．
∈ ”是“ ∈ ”的充分不必要条件时，2 − ≤ −1，3 + 2 ≥ 5，
若“ ∈ ”是“ ∈ ”的必要非充分条件，则集合B是集合A的真子集，
− 1 ≥ −2
则
，且等号不能同时成立，解得−1 ≤ ≤ 3，
+1≤4
所以实数a的取值范围是 | − 1 ≤ ≤ 3 .
题型突破·考法探究
题型三：全称量词命题与存在量词命题的真假
【典例3-1】下列正确命题的个数为（
若 ⫋ ，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即 ⇒ 且 ⇏ ；
简记：“小⇒大”．
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（2）若 ⊆ ，则是的必要条件，是的充分条件；
（3）若 = ，则与互为充要条件．
2、含有一个量词命题的否定规律是“改量词，否结论”.
3、命题p与p的否定的真假性相反.
题型突破·考法探究
题型一：充分条件与必要条件的判断
【典例1-1】（2024·浙江宁波·二模）已知平面, , , ∩ = ，则“ ⊥ ”是“ ⊥
且 ⊥ ”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由于⋂ = ，所以 ⊂ , ⊂ ，
∃
_____________
0 ∈ ，(0 )
否定
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重难点02 常用逻辑用语—2023年高考数学(解析版)

重难点02 常用逻辑用语1.含有逻辑联结词的命题真假的判断规律(1)p ∨q ：“有真则真，全假才假”，即p ，q 中只要有一个真命题，则p ∨q 为真命题，只有p ，q 都是假命题时，p ∨q 才是假命题．(2)p ∧q ：“有假则假，全真才真”，即p ，q 中只要有一个假命题，则p ∧q 为假命题，只有p ，q 都是真命题时，p ∧q 才是真命题．(3)p ：p 与p 的真假相反．2．全称量词命题与存在量词命题的否定(1)改写量词：确定命题所含量词的类型，若命题中无量词，则要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写；(2)否定结论：对原命题的结论进行否定．3.判断充分条件、必要条件的三个法宝(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断，适用于定义、定理判断性问题；(2)集合法：根据p ，q 对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题．2023年高考预测该知识点仍将与其他知识结合，例如与集合、函数、不等式、立体几何结合等；含有一个量词的命题的否定和充分必要条件的判定是高考的重点；考查考生的推理能力，考查形式以基础题为主，低档难度.（建议用时：40分钟）一、单选题1．已知命题:,sin 1p x x ∃∈<R ﹔命题:q x ∀∈R ﹐||e 1x ≥，则下列命题中为真命题的是（）A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．()p q ⌝∨【答案】A【解析】由于sin0=0，所以命题p 为真命题；由于x y e =在R 上为增函数，0x ≥，所以||01x e e ≥=，所以命题q 为真命题；所以p q ∧为真命题，p q ⌝∧、p q ∧⌝、()p q ⌝∨为假命题.故选：A ．2．命题“()**,n N f n N ∀∈∈且()f n n ≤的否定形式是（）A ．()**,n N f n N ∀∈∉且()f n n >B ．()**,n N f n N ∀∈∉或()f n n >C ．()**00,n N f n N ∃∈∉且()00f n n >D ．()**00,n N f n N ∃∈∉或()00f n n >【答案】D【解析】根据全称命题的否定是特称命题，可知命题“()**,n N f n N ∀∈∈且()f n n ≤的否定形式是()**00,n N f n N ∃∈∉或()00f n n >故选D.3．设ABC 不是直角三角形，A 和B 是它的两个内角，那么（）A ．“AB <”是“tan tan A B <”的充分条件，但不是必要条件B ．“A B <”是“tan tan A B <”的必要条件，但不是充分条件C ．“A B <”是“tan tan A B <”的充分必要条件D ．“A B <”不是“tan tan A B <”的充分条件，也不是必要条件【答案】D【解析】因为ABC 不是直角三角形，所以90A ≠︒，90B ≠︒，若30,135A B =︒=︒，满足A B <，但tan30tan135︒>︒，若135,30A B =︒=︒，满足tan tan A B <，但A B >，所以“A B <”是“tan tan A B <”的既不充分也不必要条件.故选：D4．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件【答案】A【解析】若空间中有两条直线，若“这两条直线为异面直线”，则“这两条直线没有公共点”；若 “这两条直线没有公共点”，则 “这两条直线可能平行，可能为异面直线”；∴ “这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的充分非必要条件，故选：A.5．不等式组1,{24,x y x y +≥-≤的解集为D,有下面四个命题： 1:(,),22p x y D x y ∀∈+≥-， 2:(,),22p x y D x y ∃∈+≥， 3:(,),23p x y D x y ∀∈+≤4:(,),21p x y D x y ∃∈+≤-，其中的真命题是A ．23,p pB ．12,p pC ．13,p pD ．14,p p【答案】B【解析】画出可行域，如图所示，设2x y z +=，则 122z y x =-+，当直线l 过点 (2,1)A -时，z 取到最小值， min 22(1)0z =+⨯-=，故2x y +的取值范围为 20x y +≥，所以正确的命题是12,p p ，选B ．6．若a 与b c -都是非零向量，则“a b a c ⋅=⋅”是“()a b c ⊥-”的（）A ．充分但非必要条件B ．必要但非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【答案】C【解析】因为a 与b c -都是非零向量，所以0()0()a b a c a b a c a b c a b c ⋅=⋅⇔⋅-⋅=⇔⋅-=⇔⊥-，故“a b a c ⋅=⋅”是“()a b c ⊥-”的充要条件.故选：C.7．对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题：①“a b =”是“ac bc =”充要条件；②“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件；③“a b >”是“22a b >”的充分条件；④“5a <”是“3a <”的必要条件．其中真命题的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【解析】①中“a b =” ⇒ “ac bc =”为真命题，但当0c 时，“ac bc =” ⇒ “a b =”为假命题，故“a b =”是“ac bc =”的充分不必要条件，故①为假命题；②中“5a +是无理数” ⇒ “a 是无理数”为真命题，“a 是无理数” ⇒ “5a +是无理数”也为真命题，故“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件，故②为真命题；③中“a b >” ⇒ “22a b >”为假命题，如0a =、1b 满足a b >，但是22a b <，“22a b >” ⇒ “a b >”也为假命题，如1a =-、0b =满足22a b >，但是a b <，故“a b >”是“22a b >”的即充分也不必要条件，故③为假命题；④中{|3}a a < {|5}a a <，故“5a <”是“3a <”的必要条件，故④为真命题．故真命题的个数为2故选：B ．8．设命题甲：ABC 的一个内角为60°．命题乙：ABC 的三内角的度数成等差数列．那么（）A ．甲是乙的充分条件，但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件，但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件【答案】C【解析】ABC 的一个内角为60°，则另两内角的和为120°，因此ABC 的三内角的度数成等差数列，反之，ABC 的三内角的度数成等差数列，由三角形内角和定理知，ABC 必有一个内角为60°，所以甲是乙的充要条件.故选：C9．集合101x A x x ⎧⎫-=<⎨⎬+⎩⎭，{}B x x b a =-<，若“1a =”是“A B ⋂≠∅”的充分条件，则b 的取值范围是（） A ．20b -≤<B ．02b <≤C ．31b -<<-D ．22b -<<【答案】D 【解析】因为{}10111x A x x x x ⎧⎫-=<=-<<⎨⎬+⎩⎭，当1a =时，由1x b -<可得11b x b -<<+，此时{}11B x b x b =-<<+，因为“1a =”是“A B ⋂≠∅”的充分条件，则111-≤-<b 或111-<+≤b ，解得22b -<<.故选：D.10．已知命题p ：x ∃∈R ，210x x -+≥；命题q ：若22a b <，则.a b <下列命题为真命题的是（） A ．p q ∧B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝【答案】B【解析】解：命题:0p x ∃=，使210x x -+≥成立，故命题p 为真命题；当1a =，2b =-时，22a b <成立，但a b <不成立，故命题q 为假命题；故命题p q ∧，p q ⌝∧，p q ⌝∧⌝均为假命题，命题p q ∧⌝为真命题．故选：B ．11．“双曲线的方程为221916x y -=”是“双曲线的准线方程为95x =±”的 A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】“双曲线的方程为221916x y -=”⇒“双曲线的准线方程为95x =±” 但是“95x =±” ⇒ “221916x y -=”，如反例：2211882x y -=，所以为充分不必要条件，故选：A12．下列命题正确的是（）A ．若点(,2)(0)P a a a ≠为角a 终边上一点，则sin α=B ．同时满足1sin ,cos 2αα==的角a 有且只有一个C ．当||1,tan (arcsin ) a a <时的值恒为正D ．三角方程tan 3x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭{|,}x x k k π=∈Z 【答案】D【解析】①若点(,2)(0)P a a a ≠为角α终边上一点，则|r a ==，则sinα=，若0a >,得sinα，若a<0，则sin α==故①错误；②同时满足1sin 2α=，cos α=的角26k παπ=+，Z k ∈，有无数多个，故②错误；③当||1a <时，arcsin ,22a ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以tan(arcsin )a R ∈，故③错误；④方程tan 3x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭33x k πππ+=+，即x k π=，即方程的解集为{|,}x x k k Z π=∈，故④正确，故答案为:D二、填空题13．命题“存在x ∈R ，使得x 2+2x+5=0”的否定是【答案】对任何x ∈R ，都有x2+2x+5≠0．【解析】因为命题“存在x ∈R ，使得x2+2x+5=0”是特称命题，根据特称命题的否定是全称命题，可得命题的否定为：对任何x ∈R ，都有x2+2x+5≠0．故答案为对任何x ∈R ，都有x2+2x+5≠0．14．若“0,,tan 4x x m π⎡⎤∀∈≤⎢⎥⎣⎦”是真命题，则实数m 的最小值为_____________. 【答案】1【解析】若“0,,tan 4x x m π⎡⎤∀∈≤⎢⎥⎣⎦ ”是真命题，则m 大于或等于函数tan y x =在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值。

考向02常用逻辑用语(重点)-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题(全国通用)(解析版)

考向02 常用逻辑用语1. 【2022年浙江卷第4题】设x ∈R ，则“sin 1x =”是“cos 0x =”的（）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为22sin cos 1x x +=可得：当sin 1x =时，cos 0x =，充分性成立；当cos 0x =时，sin 1x =±，必要性不成立；所以当x ∈R ，sin 1x =是cos 0x =的充分不必要条件.故选：A.2.【2022年天津卷第2题】“x 为整数”是“21x +为整数”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不允分也不必要条件【答案】A【解析】由题意，若x 为整数，则21x +为整数，故充分性成立；当12x =，21x +为整数，故必要性不成立；所以“6a >”是“236a >”的充分不必要条件.故选：A.3．【2021年全国甲卷第7题】等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ．设甲：0q >．乙：{}n S 是递增数列，则A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲不是乙的充分条件也不是必要条件【答案】B【解析】11,2a q =-=时，{}n S 是递减数列，所以甲不是乙的充分条件；{}n S 是递增数列，可以推出110n n n a S S ++=->，可以推出0q >，甲是乙的必要条件．故选：B ．【易错点1】混淆命题的否定与否命题命题的“否定”与命题的“否命题”是两个不同的概念.命题p 的否定是否定命题所作的判断.而“否命题”是对“若p 则q ”形式的命题而言.既要否定条件也要否定结论.【易错点2】充分条件、必要条件颠倒致误对于两个条件A 和B.如果A ⇒B 成立.则A 是B 的充分条件.B 是A 的必要条件;如果B ⇒A 成立.则A 是B 的必要条件.B 是A 的充分条件;如果A ⇔B.则A.B 互为充分必要条件.解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性.所以在解决这类问题时一定要根据充分条件和必要条件的概念作出准确的判断.【易错点3】“或”“且”“非”理解不准致误命题p ∨q 真⇒p 真或q 真.命题p ∨q 假⇒p 假且q 假(概括为一真即真);命题p ∧q 真⇒p 真且q 真.命题p ∧q假⇒p 假或q 假(概括为一假即假);¬p 真⇒p 假.¬p 假⇒p 真(概括为一真一假).求参数取值范围的题目.也可以把“或”“且”“非”与集合的“并”“交”“补”对应起来进行理解.通过集合的运算求解.1.设点A,B,C 不共线，则“与的夹角是锐角”是“”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件AB AC BC +>u u u r u u u r u u u r【答案】C【解析】选C ，充分性：AB AC 与的夹角是锐角，所以0AB AC ×>.则有()222222+=+=22AB AC AB ACAB AC AB AC AB AC AB AC++×>+-× 22AB AC BC =-= ;必要性：0AB AC BC AB AC AB AC AB AC +>Þ+>-Þ×>,所以AB AC与的夹角是锐角.2．已知直线12:(2)10,:20l ax a y l x ay +++=++=，其中a R ∈，则“3a =-”是“12l l ⊥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】选A.直线12l l ⊥的充要条件是(2)0(3)00a a a a a a ++=∴+=∴= 或3a =- ．3．命题“x R ∀∈，210x x -+≥”的否定是（）A ．x R ∀∈，210x x -+<B ．x R ∀∈，210x x -+≤C ．0x R ∃∈，20010x x -+<D ．0x R ∃∈，20010x x -+≤【答案】C【解析】选C.命题“x R ∀∈，210x x -+≥”的否定是“0x R ∃∈，20010x x -+<”，特别注意特征命题与全称命题的互否关系。

第1章-常用逻辑用语知识及典型例题

常用逻辑用语知识点及例题解析知识点一：充分条件、必要条件、充要条件：1、定义：对于“若p 则q ”形式的命题：(1)若q p ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；练习：1.：p 两个三角形全等；:q 这两个三角形的面积相等.q p 是条件，p q 是条件.(2)若q p ⇒，但q p ，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件；练习：1.：p b a =；:q bc ac =.q p 是条件，p q 是条件.2.：p 12=x ；:q 1=x .q p 是条件，p q 是条件. (3)若既有q p ⇒，又有p q ⇒，记作q p ⇔，则p 是q 的充分必要条件（充要条件）. 练习：1.已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，那么p 是q 成立的：（）.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件.C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件2.设A 是B 的充分不必要条件，C 是B 的必要不充分条件,D 是C 的充要条件，则D 是A 的( ).A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充要条件 .D 既不充分又不必要条件3.已知p 是r 的充分条件而不是必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件。

现有下列命题：①s 是q 的充要条件；②p 是q 的充分条件而不是必要条件；③r 是q 的必要条件而不是充分条件；④r 是s 的充分条件而不是必要条件，则正确命题序号是 .4.已知p ：121≤≤x ，q ：1+≤≤a x a ，若p 的必要不充分条件是q ，求实数a 的取值范围． 210≤≤a 5.“0>a ，0>b ”是“0>ab ”的（）.A 充分而不必要条件 .B 必要而不充分条件.C 充分必要条件 .D 既不允分也不必要条件6.条件甲：()200ax bx c a ++=≠的两根，10x >，20x >，条件乙：0b a -> 且0c a>，则甲是乙的（）.A 充分不必要条件.B 必要不充分条件 .C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件 7.设1a ，1b ，1c ，2a ，2b ，2c 均为非零实数，不等式21110a x b x c ++>和22220a x b x c ++>的解集分别为M 和N ，那么“111222a b c a b c ==”是“M N =”的（） .A 充分非必要条件.B 必要非充分条件 .C 充要条件.D 既非充分也非必要条件知识点二：全称量词与存在量词：1. 全称量词与存在量词：全称量词及表示：表示全体的量词称为全称量词。

数学选修2-1第一章常用逻辑用语典型例题含解析

一．知识点回顾： 1、命题：可以判断真假的语句叫命题；简单命题：不含逻辑联结词的命题;复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题.常用小写的拉丁字母p ，q ，r ，s ，……表示命题. 2、四种命题及其相互关系四种命题的真假性之间的关系：⑴、两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；⑵、两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 3、充分条件、必要条件与充要条件⑴、一般地，如果已知p q ⇒，那么就说：p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；若p q ⇔，则p 是q 的充分必要条件，简称充要条件．⑵、充分条件，必要条件与充要条件主要用来区分命题的条件p 与结论q 之间的关系：Ⅰ、从逻辑推理关系上看：①若p q ⇒，则p 是q 充分条件，q 是p 的必要条件；②若p q ⇒，但q p ，则p 是q 充分而不必要条件;③若p q ，但q p ⇒，则p 是q 必要而不充分条件;④若p q ⇒且q p ⇒，则p 是q 的充要条件；⑤若p q 且q p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件. Ⅱ、从集合与集合之间的关系上看：已知{A x x =满足条件}p ，{B x x =满足条件}q ：①若A B ⊆,则p 是q 充分条件；②若B A ⊆,则p 是q 必要条件；③若A B ，则p 是q 充分而不必要条件;④若B A ，则p 是q 必要而不充分条件;⑤若A B =，则p 是q 的充要条件；⑥若A B ⊄且B A ⊄，则p 是q 的既不充分也不必要条件. 4、复合命题⑴复合命题有三种形式：p 或q （p q ∨）；p 且q （p q ∧）；非p （p ⌝）. ⑵复合命题的真假判断“p 或q ”形式复合命题的真假判断方法：一真必真；“p 且q ”形式复合命题的真假判断方法：一假必假；“非p ”形式复合命题的真假判断方法：真假相对. 5、全称量词与存在量词⑴全称量词与全称命题短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示.含有全称量词的命题，叫做全称命题.⑵存在量词与特称命题短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.含有存在量词的命题，叫做特称命题.⑶全称命题与特称命题的符号表示及否定①全称命题p ：,()x p x ∀∈M ，它的否定p ⌝：00,().x p x ∃∈M ⌝全称命题的否定是特称命题．②特称命题p ：00,(),x p x ∃∈M ，它的否定p ⌝：,().x p x ∀∈M ⌝特称命题的否定是全称命题.二．典题训练：【例1】判断下列命题的真假．(1)若x ∈A ∪B ，则x ∈B 的逆命题与逆否命题；(2)若0<x <5，则|x －2|<3的否命题与逆否命题；(3)设a 、b 为非零向量，如果a ⊥b ，则a·b ＝0的逆命题和否命题．【例2】若p：－2<a<0,0<b<1；q：关于x的方程x2＋ax＋b＝0有两个小于1的正根，则p是q的什么条件？【例3】设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，a<0.q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0.且綈p是綈q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【例4】写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)3＝2；(2)5>4；(3)对任意实数x，x>0；(4)有些质数是奇数．例5.已知命题p：x1和x2是方程x2－mx－2＝0的两个实根，不等式a2－5a－3≥|x1－x2|对任意实数m∈[－1,1]恒成立；命题q：不等式ax2＋2x－1>0有解；若命题p q∨和q⌝都是真命题，求a的取值范围．例5.解∵x1，x2是方程x2－mx－2＝0的两个实根，则x1＋x2＝m且x1x2＝－2，∴|x1－x2|＝(x1＋x2)2－4x1x2＝m2＋8，当m∈[－1,1]时，|x1－x2|max＝3，由不等式a2－5a－3≥|x1－x2|对任意实数m∈[－1,1]恒成立可得：a2－5a－3≥3，∴a≥6或a≤－1.所以命题p为真命题时，a≥6或a≤－1.命题q：不等式ax2＋2x－1>0有解，当a>0时，显然有解；当a＝0时，2x－1>0有解；当a<0时，∵ax2＋2x－1>0有解，∴Δ＝4＋4a>0，∴－1<a<0，从而命题q：不等式ax2＋2x－1>0有解时a>－1.又命题q为假命题，∴a≤－1.综上得，若p为真命题且q为假命题则a≤－1.例6.判断命题“已知a、x为实数，如果关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．例7.已知p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2；q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0 (m >0)，若綈p 是綈q 的必要非充分条件，求实数m 的取值范围．例8.已知方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件．例题解析：例1解(1)若x∈A∪B，则x∈B是假命题，故其逆否命题为假，逆命题为若x∈B，则x∈A∪B，为真命题．(2)∵0<x<5，∴－2<x－2<3，∴0≤|x－2|<3.原命题为真，故其逆否命题为真．否命题：若x≤0或x≥5，则|x－2|≥3.例如当x＝－12，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12－2＝52<3.故否命题为假．(3)原命题：a，b为非零向量，a⊥b⇒a·b＝0为真命题．逆命题：若a，b为非零向量，a·b＝0⇒a⊥b为真命题．否命题：设a，b为非零向量，a不垂直b⇒a·b≠0也为真．例2解若a＝－1，b＝12，则Δ＝a2－4b<0，关于x的方程x2＋ax＋b＝0无实根，故p⇒q.若关于x的方程x2＋ax＋b＝0有两个小于1的正根，不妨设这两个根为x1、x2，且0<x1≤x2<1，则x1＋x2＝－a，x1x2＝b.于是0<－a<2,0<b<1，即－2<a<0,0<b<1，故q⇒p.所以，p是q的必要不充分条件．【例3】解设A＝{x|p}＝{x|x2－4ax＋3a2<0，a<0}＝{x|3a<x<a，a<0}．B＝{x|q}＝{x|x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0}＝{x|x<－4或x≥－2}．∵綈p是綈q的必要不充分条件，∴q是p的必要不充分条件．∴A B ，∴⎩⎨⎧ a ≤－4a <0或⎩⎨⎧3a ≥－2a <0，解得－23≤a <0或a ≤－4.故实数a 的取值范围为(－∞，－4]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫－23，0. 【例4】：解 (1)3≠2，真命题；(2)5≤4，假命题；(3)存在一个实数x ，x ≤0，真命题；(4)所有质数都不是奇数，假命题．例5.解 ∵x 1，x 2是方程x 2－mx －2＝0的两个实根，则x 1＋x 2＝m 且x 1x 2＝－2，∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝m 2＋8，当m ∈[－1,1]时，|x 1－x 2|max ＝3，由不等式a 2－5a －3≥|x 1－x 2|对任意实数m ∈[－1,1]恒成立可得：a 2－5a －3≥3，∴a ≥6或a ≤－1.所以命题p 为真命题时，a ≥6或a ≤－1.命题q ：不等式ax 2＋2x －1>0有解，当a >0时，显然有解；当a ＝0时，2x －1>0有解；当a <0时，∵ax 2＋2x －1>0有解，∴Δ＝4＋4a >0，∴－1<a <0，从而命题q ：不等式ax 2＋2x －1>0有解时a >－1.又命题q 为假命题，∴a ≤－1.综上得，若p 为真命题且q 为假命题则a ≤－1.例6.解方法一 (直接法)逆否命题：已知a 、x 为实数，如果a <1，则关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为空集．判断如下：二次函数y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2图象的开口向上，判别式Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)＝4a －7.∵a <1，∴4a －7<0.即二次函数y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2与x 轴无交点，∴关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为空集，故逆否命题为真．方法二 (先判断原命题的真假)∵a 、x 为实数，且关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空， ∴Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0，即4a －7≥0，解得a ≥74，∵a ≥74>1，∴原命题为真．又∵原命题与其逆否命题等价，∴逆否命题为真．方法三 (利用集合的包含关系求解)命题p ：关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0有非空解集．命题q ：a ≥1.∴p ：A ＝{a |关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0有实数解}＝{a |(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ≥74，q ：B ＝{a |a ≥1}．∵A ⊆B ，∴“若p ，则q ”为真，∴“若p ，则q ”的逆否命题“若綈q ，则綈p ”为真．即原命题的逆否命题为真．例7．解綈p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13>2，解得x <－2，或x >10，A ＝{x |x <－2，或x >10}．綈q ：x 2－2x ＋1－m 2>0，解得x <1－m ，或x >1＋m ，B ＝{x |x <1－m ，或x >1＋m }．∵綈p 是綈q 的必要非充分条件，∴B A ，即⎩⎨⎧ 1－m ≤－21＋m ≥10且等号不能同时成立⇒m ≥9，∴m ≥9.例8．解令f (x )＝x 2＋(2k －1)x ＋k 2，方程有两个大于1的实数根⇔⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝(2k －1)2－4k 2≥0－2k －12>1f (1)>0，即k <－2.所以其充要条件为k <－2.。