专题1 含参数导数问题的分类讨论

专题一 含参数导数问题的分类讨论

导数是研究函数的图象和性质的重要工具，自从导数进入高中数学教材以来，有关导数问题几乎是每年高考的必考试题之一．随着高考对导数考查的不断深入，含参数的导数问题成为了历年高考命题的热点．由于含参数的导数问题在解答时往往需要对参数进行分类讨论，如何进行分类讨论成为绝大多数考生答题的难点．

模块1 整理方法 提升能力

在众多的含参数导数问题中，根据所给的参数的不同范围去讨论函数的单调性是最常见的题目之一，求函数的极值、最值等问题，最终也需要讨论函数单调性．对于含参数导数问题的单调性的分类讨论，常见的分类讨论点有以下三个：

分类讨论点1：求导后，考虑()0f x '=是否有实根，从而引起分类讨论；

分类讨论点2：求导后，()0f x '=有实根，但不清楚()0f x '=的实根是否落在定义域内，从而引起分类讨论；

分类讨论点3：求导后，()0f x '=有实根，()0f x '=的实根也落在定义域内，但不清楚这些实根的大小关系，从而引起分类讨论．

以上三点是讨论含参数导数问题的单调性的三个基本分类点，在求解有关含参数导数问题的单调性时，可按上述三点的顺序对参数进行讨论．因此，对含参数的导数问题的分类讨论，还是有一定的规律可循的．当然，在具体解题中，可能要讨论其中的两点或三点，这时的讨论就会复杂一些了，也有些题目可以根据其式子和题目的特点进行灵活处理，减少分类讨论，需要灵活把握．

例1

设0a >，讨论函数()()()2ln 121f x x a a x a x =+---的单调性． 【解析】()f x 的定义域是()0,+∞．()()()1

2121f x a a x a x

'=

+--- ()()221211

a a x a x x

---+=

．

令()()()221211g x a a x a x =---+，则()0f x '=的根的情况等价于()0g x =的根的情况．由于()g x 的函数类型不能确定，所以需要对a 进行分类讨论从而确定函数的类型．

（1）当1a =时，()g x 是常数函数，此时()1g x =，()1

0f x x

'=>，于是()f x 在()0,+∞上递增．

（2）当1a ≠时，()g x 是二次函数，类型确定后，我们首先考虑讨论点1——()0f x '=是否有实根的问题．由于()g x 不能因式分解，所以我们考虑其判别式()()4131a a ∆=--，判别式的正负影响到()0g x =的根的情况，由此可初步分为以下三种情况：①当0∆<，即

113a <<时，()0g x =没有实根；②当0∆=，即1

3

a =时，()0g x =有两个相等的实根；③当0∆>，即1

03

a <<或1a >时，()0g x =有两个不等的实根．

对于第①种情况，()0g x =没有实根且永远在x 轴上方，于是()0f x '>，所以()f x 在

()0,+∞上递增．

对于第②种情况，

()0g x =有两个相等的实根3

2

x =，于是()0f x '≥，所以()f x 在()0,+∞上递增．

对于第③种情况，()0g x =有两个不等的实根，112x a

=

-和

212x a

=

．由于不知道两根是否落在定义域()0,+∞内，因此要考虑讨论点2，

而利用韦达定理进行判断是一个快捷的方法．

因为121x x a +=

，()12121x x a a =-，所以当1

03

a <<时，有120x x +>且120x x >，此时

两个根都在定义域内切120x x <<（因为1x 与2x 的大小关系已经确定，所以不需要考虑讨论点3）

．由()0f x '>可得10x x <<或2x x >，所以()f x 在()10,x 和()2,x +∞上递增；由()0f x '<可得12x x x <<，所以()f x 在()12,x x 上递减．

当1a >时，有120x x +>且120x x <，此时210x x <<，由()0f x '>可得10x x <<，所以

()f x 在()10,x 上递增；由()0f x '<可得1x x >，所以()f x 在()1,x +∞上递减．

综上所述，当103a <<

时，()f x 在()10,x 和()2,x +∞上递增，在()12,x x 上递减；当113

a ≤≤时，()f x 在()0,+∞上递增；当1a >时，()f x 在()10,x 上递增，在()1,x +∞上递减．其中

11

2x a

=21

2x a =．

【点评】只要按照3个分类讨论点进行思考，就能很好地处理含参数导数问题的单调性．此

外，涉及两根与0的大小比较的时候，利用韦达定理往往比较简单．

例2

已知函数()ln f x x kx k =-+（k ∈R ）． （1）求()f x 在[]1,2上的最小值；

（2）若1ln 1x a x x ⎛⎫+≥ ⎪ ⎪-⎝⎭

对()1,1x ∈-恒成立，求正数a 的最大值．

【解析】（1）定义域为()0,+∞，()11

kx f x k x x

-+'=-=

． 法1：①当0k =时，()1

0f x x

'=

>，函数()f x 在[]1,2为增函数，所以()()min 10f x f ⎡⎤==⎣⎦．

②当0k ≠时，令()0f x '=可得1

x k

=． （i ）当

1

0k

<，即0k <时，()0f x '>在[]1,2上恒成立，函数()f x 在[]1,2为增函数，所以()()min 10f x f ⎡⎤==⎣⎦．

（ii ）当1

01k

<

≤，即1k ≥时，()0f x '≤在[]1,2上恒成立，所以()f x 在[]1,2为减函数，所以()()min 2ln 2f x f k ⎡⎤==-⎣⎦．

（iii ）当

12k ≥，即1

02

k <≤时，()0f x '≥在[]1,2上恒成立，所以()f x 在[]1,2为增函数，所以()()min 10f x f ⎡⎤==⎣⎦．

（iv ）当112k <

<，即112k <<时，由()0f x '>可得11x k <<，由()0f x '<可得1

2x k

<<，所以()f x 在11,k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在1,2k ⎛⎫

⎪⎝⎭上递减．于是()f x 在[]1,2上的最小值为()10f =或

()2ln 2f k =-．当0ln2k <-，即

1

ln 22

k <<时，()()min

10f x f ⎡⎤==⎣⎦；当0ln2k ≥-，即ln21k ≤≤时，()()min 2ln 2f x f k ⎡⎤==-⎣⎦．

综上所述，当ln2k <时，()()min 10f x f ⎡⎤==⎣⎦；当ln2k ≥时，()()min 2ln 2f x f k ⎡⎤==-⎣⎦． 法2：①当0k ≤时，()0f x '>，函数()f x 在[]1,2为增函数，所以()()min 10f x f ⎡⎤==⎣⎦． ②当0k >时，由()0f x '>可得10x k <<

，由()0f x '<可得1x k >，所以()f x 在10,k ⎛⎫

⎪⎝⎭

上