初一数学图形与面积竞赛教程含例题练习及答案

初一数学竞赛讲座

图形与面积

一、直线图形的面积

在小学数学中我们学习了几种简单图形的面积计算方法，数学竞赛中的面积问题不但具有直观性，而且变换精巧，妙趣横生，对开发智力、发展能力非常有益。

图形的面积是图形所占平面部分的大小的度量。它有如下两条性质：

1．两个可以完全重合的图形的面积相等；

2．图形被分成若干部分时，各部分面积之和等于图形的面积。

对图形面积的计算，一些主要的面积公式应当熟记。如：

正方形面积=边长×边长；矩形面积=长×宽；平行四边形面积=底×高； 三角形面积=底×高÷2；梯形面积=（上底+下底）×高÷2。

此外，以下事实也非常有用，它对提高解题速度非常有益。

1．等腰三角形底边上的高线平分三角形面积；

2．三角形一边上的中线平分这个三角形的面积；

3．平行四边形的对角线平分它的面积；

4．等底等高的两个三角形面积相等。

解决图形面积的主要方法有：

1．观察图形，分析图形，找出图形中所包含的基本图形；

2．对某些图形，在保持其面积不变的条件下改变其形状或位置（叫做等积变形）；

3．作出适当的辅助线，铺路搭桥，沟通联系；

4．把图形进行割补（叫做割补法）。

例1 你会用几种不同的方法把一个三角形的面积平均分成4等份吗？

解：最容易想到的是将△ABC 的底边4等分，

如左下图构成4个小三角形，面积都为原来的三 角形面积的4

1。 另外，先将三角形△ABC 的面积2等分（如右

上图），即取BC 的中点D ，连接AD ，

则S △ABD =S △ADC ，然后再将这两个小三角

形分别2等分，分得的4个小三角形各 自的面积为原来大三角形面积的4

1。还 有许多方法，如下面的三种。请你再想出几种不同的方法。

例2 右图中每个小方格面积都是1cm 2，那么六边形

ABCDEF 的面积是多少平方厘米？

分析：解决这类问题常用割补法，把图形分成几个简单

的容易求出面积的图形，分别求出面积。

也可以求出六边形外空白处的面积，从总面积中减去空

白处的面积，就是六边形的面积。

解法1：把六边形分成6块：

△ABC ，△AGF ，△PEF ，△EKD ，△CDH 和正方形GHKP 。用S 表示三角形面积，如用S △ABC 表示△ABC 的面积。

故六边形ABCDEF 的面积等于6+2+1+

21+4+9=)(2

1222cm 说明：当某些图形的面积不容易直接计算时，可以把这个图形分成几个部分，计算各部分的面积，然后相加，也就是说，可以化整为零。

解法2：先求出大正方形MNRQ 的面积为6×6=36（cm 2）。

说明：当某些图形的面积不易直接计算时，可以先求出一个比它更大的图形的面积，再减去比原图形多的那些（个）图形的面积，也就是说，先多算一点，再把多算的部分减去。

解法3：六边形面积等于

S △ABC +S 梯形ACDF -S △DEF =6×2×21+（3+6）×4×2

1-3×1×21=6+18-121=)(2

1222cm

说明：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，从不同的角度去观察同一个图形，会对图形产生不同的认识。一种新的认识的产生往往会伴随着一种新的解法。做题时多想一想，解法就会多起来，这对锻炼我们的观察能力与思考能力大有益处。

例3 如下图所示，BD，CF将长方形ABCD分成4块，

△DEF的面积是4cm2，△CED的面积是6cm2。

问：四边形ABEF的面积是多少平方厘米？

解：如下图，连结BF。则△BDF与△CFD面积相等，

减去共同的部分△DEF，可得△BEF与△CED面积相等，

等于6cm2。

S△ABD-S△DEF=S△BDC-S△DEF=S△BCE+S△CDE-S△DEF=9+6-4=11（cm2）。

问：两块红色图形的面积和与两块蓝色图形的面积和，

哪个大？

分析：只需比较△ACE与△BDF面积的大小。因

为△ACE与△BDF的高相等（都是CD），所以只需比

较两个三角形的底AE与BF的大小。

减去中间空白的小四边形面积，推知两块红色图形的面积和大于两块蓝色图

形的面积和。

例5在四边形ABCD中（见左下图），线

段BC长6cm，∠ABC为直角，∠BCD为135°，

而且点A到边CD的垂线段AE的长为12cm，线

段ED的长为5cm，求四边形ABCD的面积。

解：延长AB，DC相交于F（见右上图），

则∠BCF=45°，∠FBC=90°，从而∠BFC=45°。

因为∠BFC=∠BCF，所以BF=BC=6（cm）。

在Rt △AEF 中，∠AFE=45°，所以∠FAE=90°-45°=45°，从而EF=AE=12（cm ）。

故S 四边形ABCD=S △ADF-S △BCF=102-18=84（cm 2）。

说明：如果一个图形的面积不易直接求出来，可根据图形的特征和题设条件的特点，添补适当的图形，使它成为一个新的易求出面积的图形，然

后利用新图形面积减去所添补图形的面积，求出原图形面积。

这种利用“补形法”求图形面积的问题在国内外初中、小学

数学竞赛中已屡见不鲜。

例6 正六边形ABCDEF 的面积是6cm 2，M ，N ，P 分别是所

在边的中点（如上图）。

问：三角形MNP 的面积是多少平方厘米？

解法1：如左下图，将正六边形分成6个面积为正

1cm 2的正三角形，将另外三个面积为1cm 2的正三角形分

别拼在边BC ，DE ，AF 外面，得到一个大的正三角形XYZ ，其面积是9cm 2。 这时，M ，N ，P 分别是边ZX ，YZ ，Xy 的中点，推知

解法2：如右上图，将正六边形分成6个面积为1cm 2的正三角形，再取它们

各边的中点将每个正三角形分为4个面积为4

1的小正三角形。于是正六边形ABCDEF 被分成了24个面积为41的小正三角形。因为△MNP 由9个面积为4

1的小正三角形所组成，所以S △MNP =4

1×9=2.25（cm 2） 二、圆与组合图形

以上我们讨论了有关直线图形面积计算的种种方法。现在我们继续讨论涉及圆的面积计算。

1．圆的周长与面积

计算圆的周长与面积，有的直接利用公式计算，有的需要经过观察分析后灵活运用公式计算。主要公式有：

（1）圆的周长=π×直径=2π×半径，即C=πd=2πr ；

（2）中心角为n °的弧的长度=n ×π×（半径）÷180，即1=180

r n （3）圆的面积=π×（半径）2，即S=πr 2；