正弦定理教案阿道巴巴
《正弦定理》教学设计方案
《正弦定理》教学设计方案教学目标：1.理解并掌握正弦定理的概念和原理。
2.能够独立地应用正弦定理解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。
4.培养学生的团队合作和沟通表达能力。
教学重点：1.正弦定理的概念和原理2.正弦定理的应用教学难点：1.正弦定理解决实际问题的能力培养2.学生团队合作和沟通表达能力的培养教学准备：1.教师准备正弦定理的相关知识和实例。
2.准备教学案例和习题。
教学过程：Step 1：导入新知识（15分钟）1.教师引导学生回顾三角函数的基本概念，并简要介绍正弦函数。
2.教师出示一个三角形ABC，问学生能否推导出三角形的边长与角度之间的关系。
3.引导学生思考和讨论，最终得出正弦定理的原理。
Step 2：正弦定理的概念和原理（30分钟）1.教师给出正弦定理的定义和公式，并解释每个符号的含义。
2.教师通过几个具体的例子，演示如何应用正弦定理求解三角形的边长和角度。
3.学生跟随教师的指导，完成一些练习题，巩固概念和原理。
Step 3：正弦定理的应用（30分钟）1.教师提供更加复杂的实际问题，并引导学生用正弦定理解决问题。
2.学生分成小组，自主解决问题并进行讨论。
3.学生代表小组报告解题思路和结果，让其他同学参与讨论。
Step 4：归纳总结（15分钟）1.教师和学生一起归纳总结正弦定理的重要概念和应用。
Step 5：延伸拓展（15分钟）1.提供一些更加复杂的问题，让学生挑战运用正弦定理解决。
2.鼓励学生提出自己的问题，并尝试用正弦定理解决。
Step 6：作业布置（5分钟）1.布置一些选择题和应用题，让学生巩固和运用所学的知识。
2.强调作业的重要性，并提醒学生按时完成并及时讨论解答中遇到的问题。
教学反思：通过本节课的教学设计，学生可以在实际问题中运用正弦定理解决问题，培养学生的逻辑思维和分析问题的能力，同时也培养了学生的团队合作和沟通表达能力。
教师可以根据学生的反馈情况和实际教学情况进行适当的调整和改进，以提高教学效果。
《正弦定理》教案
《正弦定理》教案一、教学目标1. 理解正弦定理的定义及其公式；2. 运用正弦定理求解三角形中的任意一边或其角度；3. 培养学生的逻辑思维能力和解题能力。
二、教学内容三、教学重点2. 把解题过程中的基本概念应用到实际问题中。
五、教学方法板书教学法、讲解演示法、实验法、交互式教学法等。
六、教学过程1. 引入① 观察下列三角形及其解法：解法一：设$\angle ACB=\theta$，则：$$\begin{aligned}&\frac{\sin\theta}{8}=\frac{\sin(65°-\theta)}{10}\\&\sin\theta=\frac{8}{10}\sin(65°-\theta)\\&\sin\theta=0.6976\\&\theta=44.58°\\&AC=8\div\sin44.58°=11.84\end{aligned}$$比较两种方法的优缺点。
② 教师把这些问题逐一引出，引导学生探究使之理解正弦定理。
2. 概念及公式① 给出正弦定理的定义：正弦定理指出，对于任意三角形，其任意一条边的长度和与之相对的角的正弦值成比例。
即：$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}$。
② 教师透过答案，总结出正弦定理的公式：3. 案例(1) 已知$AB=8$，$\angle A=66°$，$\angle B=89°$，求$AC$。
(2) 一个角为$60°$，一个角的正弦等于$\dfrac{3}{5}$，对边长为$12$的求另外一条边的长度。
4. 探究① 教师通过上述案例的讲解，带领学生探究正弦定理的应用，并分析解题过程中的基本概念如何应用。
② 鼓励学生自己思考，在课下或课堂中通过其他的角度或边长关系来解决三角形问题。
《正弦定理》教案(精品)
《正弦定理》教案一、教学目标：1.知识与技能：通过创设问题情境，引导学生发现正弦定理，并推证正弦 定理。
会初步运用正弦定理与三角形的内角和定理解斜三角形的两类问题。
2.过程与方法：引导学生从已有的知识出发,共同探究在任意三角形中，边 与其对角正弦的比值之间的关系，培养学生通过观察，猜想，由特殊到一般归纳得出结论的能力和化未知为已知的解决问题的能力。
3.情感、态度与价值观：面向全体学生，创造平等的教学氛围，通过学生 之间、师生之间的交流、合作和评价，调动学生的主动性和积极性，给学生成功的体验，激发学生学习的兴趣。
二、教学重点与难点：1.重点：正弦定理的探索发现及其初步应用。
2.难点：①正弦定理的证明；②了解已知两边和其中一边的对角解三角形时，解的情况不唯一。
三、教学过程： ㈠ 创设情境：宁静的夜晚，明月高悬，当你仰望夜空，欣赏这美好夜色的时候，会不会想要知道：那遥不可及的月亮离我们究竟有多远呢？1671年两个法国天文学家首次测出了地月之间的距离大约为385400km ，你们想知道他们当时是怎样测出这个距离的吗？学习了本章《解三角形》的内容之后，这个问题就会迎刃而解。
㈡ 新课学习：⒈提出问题：我们知道，在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系．我们是否能得到这个边、角关系的准确量化的表示呢？ ⒉解决问题：回忆直角三角形中的边角关系： 根据正弦函数的定义有：CBAcbasin ,sin a bA B c c ==，sinC=1。
经过学生思考、交流、讨论得出：sin sin sin a b c A B C==，问题1：这个结论在任意三角形中还成立吗？（引导学生首先分为两种情况，锐角三角形和钝角三角形，然后按照化未知为已知的思路，构造直角三角形完成证明。
）①当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据锐角三角函数的定义，有=sin CD a B ,sin CD b A =。
由此，得 sin sin abAB =，同理可得 sin sin cbC B =，故有sin sin abAB=sin cC =.从而这个结论在锐角三角形中成立.②当∆ABC 是钝角三角形时，过点C 作AB 边上的高，交AB 的延长线于点D ，根据锐角三角函数的定义，有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ，sin CD b A = 。
正弦定理(教案)
正 弦 定 理 （教案）【教学目标】1．理解正弦定理的多种推导方法和推导过程，会初步应用正弦定理解斜三角形．2．通过应用练习，实现学生提高分析问题、解决问题的能力的目的． 【重点】理解正弦定理的及应用． 【难点】正弦定理的熟练变形运用． 一．【先学学案】1． 在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系．我们如何得到边与角的准确量化表示呢？（1） 在RT ABC ∆中，C ∠是最大的角，所对的斜边c 是最大的边，依据正弦函数定义得：.sin sin sin a b cc A B C=== （2）在锐角ABC ∆中，设边AB 上的高是CD ，根据三角函数定义得：.sin sin sin a b cA B C== （3）在钝角ABC ∆中，C ∠是最大的角，所对的斜边c 是最大的边，过点A作AE 垂直于BC 交BC 于E 点，sin sin()AE AB B AC C π==-,即sin sin c bC B=;同理可得：sin sin a bC B=，故.sin sin sin a b c A B C ==2. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等， 即A asin =Bb sin =Cc sin了解以下几种方法帮助大家开拓一下眼界！ 法一：（等积法）在任意斜△ABC 当中， S △ABC =A bc B ac C ab sin 21sin 21sin 21==.两边同除以abc 21即得：A asin =Bb sin =Cc sin .法二：（外接圆法）如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ,∴==R CD 2DaA a sin sin =. 同理Bbsin =2R ，Cc sin ＝2R .可将正弦定理推广为：A asin =Bb sin =Ccsin =2R （R 为△ABC 外接圆半径）. 法三：（向量法）过A 作单位向量j 垂直于AC ， 由AB =AC +CB.两边同乘以单位向量j 得 j •(AC +CB )=j •AB . 则j •AC +j •CB =j •AB .a bcOB CAD∴|j |•|AC |cos90︒+|j |•|CB |cos(90︒-C)=| j |•|AB |cos(90︒-A) . ∴A c C a sin sin = . ∴A asin =Cc sin .同理，若过C 作j垂直于CB得：Cc sin =Bb sin ∴A asin =Bb sin =Cc sin .3. 定理及其变形 ：（1）sinA:sinB:sinC=__::a b c ____； (2)A asin =Bb sin =Cc sin =CB A cb a sin sin sin ++++= 2R ；a=__2sin R A ____,；b=_2sin R B _____ ；c=_2sin R C ______； sinA=__2a R_____；sinB=___2b R_____；sinC=____2c R____.4.反思和回馈：观察公式结构特点，思考正弦定理可以解决的问题类型：（1）_已知两角和任意一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和两角． 5.时解和中，已知在A b a ABC ,∆三角形的情况： 有三种，我们分情况给予讨论 （1） 当A 为锐角 （2） 当A 为直角或钝角也可利用正弦定理sin B=aA b sin 进行讨论：如果sin B>l ，则问题无解； 如果sin B=l ，则问题有一解；如果求出sin B<l ，则可得B 的两个值，但要通过“三角形内角和定理’’或“大边对大角” 等三角形有关性质进行判断． 【基础练习】 1．在△ABC 中，k CcB b A a ===sin sin sin ,则k 为( A )．()A 2R ()B R ()C 4R ()DR 21 (R为△ABC 外接圆半径)2.在ABC ∆中，已知008,60,75a B C ===，则b 等于（ C ）．()A42 ()B 43 ()C 46 ()D 32.33.(2008年北京) 已知ABC ∆中， 02,3,60a b B ===，则A 等于（ C ）．()A 0135 ()B 090 ()C045()D 030.4. 在△ABC 中，sinA ＞sinB 则角 A ，B 的大小关系为： A>B .5. 在ABC ∆中，a:b:c=1:3:5,CA B A sin sin sin sin 2+-的值为___16-__.二．【典型例题】例1 已知在,0.32,8.81,9.4200===∆B A c ABC 中，解三角形.【审题要领】已知两角A,B ，据三角形内角和求得第三角C ，即知两角和任意一边，由正弦定理求解三角形. 解：根据三角形内角和定理，002.66180=--=B A C .根据正弦定理, )(1.800.32sin 8.81sin 9.42sin sin 00cm A B a b ≈==. 根据正弦定理,)(1.740.32sin 2.66sin 9.42sin sin 0cm A C a c ≈==. 【方法总结】已知两角和任意一边，求解三角形时，注意结合三角形的内角和定理求出已知边的对角；应用正弦定理时注意边与角的对应性.【变式练习】已知在B b a C A c ABC 和求中，,,30,45,1000===∆ 解：根据三角形内角和定理，00105180=--=C A B . 根据正弦定理, ))(26(530sin 105sin 10sin sin 00cm C B c b +===. 根据正弦定理,)(21030sin 45sin 10sin sin 0cm C A c a ===. 例2 （1）在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，已知===∆（2）C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆【审题要领】已知两边和其中一边的对角，由正弦定理先求对角，再求第三角.解：(1)根据正弦定理,,21360sin 1sin sin 0===b B c CB C b c <∴< .300=∴C根据三角形内角和定理，0090180=--=B C A . (2) 根据正弦定理,,23245sin 6sin sin 0===aAc C 060=∴>∴>C B C b c 或0120=C .当060=C 时，根据三角形内角和定理，;7518000=--=A C B当0120=C 时，根据三角形内角和定理，.1518000=--=A C B 【方法总结】应用正弦定理时注意边与角的对应性;注意由C sin 求角C 时，讨论角C 为锐角或钝角的情况.【变式训练】在,28,40,200cm b A cm a ABC ===∆中，解三角形（角度精确到01）. 解：根据正弦定理,.8999.02040sin 28sin sin 0≈==a A b B因为,180000<<B 所以,640≈B 或.1160≈B（1）当064≈B 时，076180=--=B A C ，)cm (3040sin 76sin 20sin sin 0≈==A C a c . (2)当0116≈B 时，024180=--=B A C ，).cm (1340sin 24sin 20sin sin 0≈==A C a c 例3 不解三角形，判断下列三角形解的个数． (l)a=5,b=4 ，A= 120 (2)a =9,b=l0,A=60(3)c=50,b=72,C= 135【审题要领】已知两边及其中一边的对角的三角形不一定确定，在上述例题中通过求解可以判定解的个数，还可以通过“三角形内角和定理’’或“大边对大角等三角形有关性 质进行判断，也可利用数形结合的办法不求解就能判定三角形解的个数．解：（1）因为A= 120是钝角，且a=5>b=4 ， 所以此三角形只有一解． （2）b a A b A b <<∴<==sin ,97535sin ，由图可知该三角形有两解．（3）因为C=135，c=50 <b=72,所以如下图知此三角形无解．【方法总结】时解和中，已知在AbaABC,∆三角形的情况：有三种，我们分情况给予讨论（3）当A为锐角（4）当A为直角或钝角也可利用正弦定理sin B=a Ab sin进行讨论：如果sin B>l，则问题无解；如果sin B=l，则问题有一解；如果求出sinB<l，则可得B的两个值，但要通过“三角形内角和定理’’或“大边对大角”等三角形有关性质进行判断．例4 已知△ABC中，bsin B=csin c，且试判断三角形的形状．【审题要领】从正弦定理的形式可以看出定理能进行边与角的转化，这里条件中有角也有边，转化为相同的形式便于进一步探究.解：根据正弦定理将C B A 222sin sin sin +=可化为222c b a +=， 由勾股定理逆定理得△ABC 为直角三角形，且.900=∠A又因为,sin sin C Bc b =所以bsin B=csin c 可化为,b c c b =即c b c b ==即,22，故该三角形为等腰直角三角形．【方法总结】三角形的形状常有等腰、等边、直角等特殊的三角形，判定中将角化为边或将边化为角是常用的思路． 例4 已知△ABC 的面积为1，tanB=21,tanC=-2,求△ABC 的边长以及△ABC 外接圆的面积.【审题要领】从正弦定理的形式可以看出定理反映了三角形的边与对角的正弦的比值的关系，这里给出角B,C 的正切，利用同角的基本关系式进行转化. 解：.552cos ,55sin ,20,21tan ==∴<∠<=B B B B π 又.55cos ,552sin ,2,2tan -==∴<∠<-=C C C C ππ.53sin cos cos sin )sin(sin =+=+=∴C B C B C B A.53sin sin ,sin sin b B A b a B b A a ==∴=,15525321sin 212=••==∴∆b C ab S ABC 解得,315=b 于是.3=a又由正弦定理知：,3152sin sin ==A C a c 外接圆的直径.635,335sin 2=∴==R A a R 故△ABC 外接圆的面积为.12252ππ==R S【方法总结】学习本节时要综合运用同角三角函数关系式，正弦定理和三角形的面积公式进行计算，加强知识间的联系. 三．【小试身手】 （一）选择题:1．在△ABC 中，下列等式中总能成立的是 ( D ) ． （A ）acos C= ccos A （B ）bsinC= csin A （C ）absin C=bcsin B （D ）aslnC=csin A ． 2．在△ABC 中，已知a=18，b=20，A= 150，则这个三角形解的情况是 ( C ) ．（A ）有一个解 （B ）有两个解 （C ）无解 （D ）不能确定3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A= 60,a=3，b=1，则c 等于(B ) ．（A ） 1 （B ） 2 （C ）3-1（D ） 3．4．在△ABC 中，已知(b+c)：（c+a ）：(a+b) = 4：5：6，则 sin A ：sin B ：sin C 等于 ( B ) ．（A ） 6:5:4 （B ） 7:5:3 （C ） 3:5:7 （D ） 4:5:6．（二）、填空题 5．在△ABC 中，A=45，B= 60，则ba ba +-=______562-_ ．6．在△ABC 中，a=x ，b=2，B= 45 ，若三角形有两解，则x 的取值范围为__222<<x __．7．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为内角A 、B 、C 的对边，若b=2a ，B=A+ 60，则A=__33__．（三）、解答题8． 在C a b B A cm c ABC ,,56,34,2000和求中，===∆解：根据三角形内角和定理，0090180=--=B A C . 根据正弦定理, )(56sin 2090sin 56sin 20sin sin 00cm C B c b ===. 根据正弦定理,)(34sin 2090sin 34sin 20sin sin 00cm C A c a ===. 9．在△ABC 中，若a=23,A= 30，讨论当b 为何值时（或在什么范围内），三角形有一解，有两解或无解？解：由上图知：当,30sin ,sin b a b b a A b <<<< 即该三角形有两解， 故3432<<b 时，该三角形有两解．当,sin b a a A b >=或该三角形有一解，故32034<<=b b 或时，该三角形有两解．当,sin a A b >即,34>b 该三角形有两解．10.已知方程2x 一(bcos A)x+acos B=0的两根之积等于两根之和，且a 、b 为△ABC 的两边，A 、B 为两内角,试判定这个三角形的形状．解：设方程的两根为,,21x x 由韦达定理得,cos ,cos 2121B b x x A b x x ==+ 由题意得,cos cos B a A b =由正弦定理得,cos sin 2cos sin 2B A R A B R = 在△ABC 中，,,0,0ππππ<-<-<<<<B A B A,0=-∴B A 故△ABC 为等腰三角形. 1.（2007年北京）△ABC中，若,1,150,31tan 0===BC C A ，则=AB 210．2.（2007年全国）在△ABC 中，已知内角3π=A ，边32=BC ，设内角,x B =，周长为.y （1）求函数)(x f y =的解析式和定义域；（2）求)(x f y =的最大值.解：(1) △ABC 的内角和π=++C B A , 由3π=A ，0,0>>C B 得320π<<B . 应用正弦定理得,sin 4sin sin x B A BC AC =•= ).32sin(4sin sin x C A BC AB -=•=π 因为,BC AB AC y ++= 所以)320(32)32sin(4sin 4ππ<<+-+=x x x y .（2）因为32)32sin(4sin 4+-+=x x y π),6566(32)6sin(34ππππ<+<+-=x x 所以，当26ππ=+x ，即3π=x 时，取得最大值.36四．小结本节课我们是从实际问题出发，通过观察、实验，归纳等思维方法，最后发现了正弦定理，并从不同的角度证明了它。
《正弦定理》教案(含答案)
《正弦定理》教案（含答案）章节一：正弦定理的引入教学目标：1. 让学生理解正弦定理的概念和意义。
2. 让学生掌握正弦定理的数学表达式。
3. 让学生了解正弦定理的应用场景。
教学内容：1. 引入正弦定理的背景和意义。
2. 介绍正弦定理的数学表达式：a/sinA = b/sinB = c/sinC。
3. 解释正弦定理的证明过程。
教学活动：1. 通过实际例子引入正弦定理的概念。
2. 引导学生推导正弦定理的数学表达式。
3. 让学生进行小组讨论，探索正弦定理的应用场景。
练习题：1. 解释正弦定理的概念。
2. 给出一个三角形，让学生计算其各边的比例。
章节二：正弦定理的应用教学目标：1. 让学生掌握正弦定理在三角形中的应用。
2. 让学生能够解决实际问题中涉及的三角形问题。
教学内容：1. 介绍正弦定理在三角形中的应用方法。
2. 讲解正弦定理在实际问题中的应用示例。
教学活动：1. 通过示例讲解正弦定理在三角形中的应用方法。
2. 让学生进行小组讨论，探讨正弦定理在实际问题中的应用。
练习题：1. 使用正弦定理计算一个三角形的面积。
2. 给出一个实际问题，让学生应用正弦定理解决问题。
章节三：正弦定理的证明教学目标：1. 让学生理解正弦定理的证明过程。
2. 让学生掌握正弦定理的证明方法。
教学内容：1. 介绍正弦定理的证明过程。
2. 解释正弦定理的证明方法。
教学活动：1. 通过几何图形的分析，引导学生推导正弦定理的证明过程。
2. 让学生进行小组讨论，理解正弦定理的证明方法。
练习题：1. 解释正弦定理的证明过程。
2. 给出一个三角形，让学生使用正弦定理进行证明。
章节四：正弦定理在实际问题中的应用教学目标：1. 让学生掌握正弦定理在实际问题中的应用。
2. 让学生能够解决实际问题中涉及的三角形问题。
教学内容：1. 介绍正弦定理在实际问题中的应用方法。
2. 讲解正弦定理在实际问题中的应用示例。
教学活动：1. 通过示例讲解正弦定理在实际问题中的应用方法。
正弦定理教案 (3)
正弦定理教案一、教案背景正弦定理是初中数学中的重要内容，它是解决三角形中未知边长和角度的关系的一个定理。
掌握正弦定理的原理和应用，对于学习数学和解决实际问题都有很大的帮助。
本教案旨在通过教学活动，帮助学生理解正弦定理的概念和用法。
二、教学目标1.理解正弦定理的概念和原理；2.能够应用正弦定理解决实际问题；3.培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
三、教学准备1.教师准备：–教学课件和投影设备；–关于正弦定理的教学素材和练习题。
2.学生准备：–学生书本和笔记；–三角形的相关知识和公式。
四、教学过程步骤一：导入新知1.教师通过提问和展示图片引入正弦定理的概念，让学生回忆并复习三角形的相关知识。
2.教师给出正弦定理的定义和公式，解释其中的符号意义和用法。
正弦定理：在一个三角形中，任意两边的比值等于这两边对应角的正弦值的比值。
公式：$\\frac{a}{\\sin A} = \\frac{b}{\\sin B} = \\frac{c}{\\sin C}$步骤二：示例分析1.教师通过具体的示例，演示如何应用正弦定理解决三角形中未知边长和角度的问题。
示例1：已知三角形的两边和夹角，求第三边的长度。
示例2：已知三角形的两条边和一个角度，求另外两个角的大小。
2.教师引导学生参与示例分析，共同探讨解决问题的步骤和思路。
步骤三：小组活动1.教师组织学生分成小组，分发练习题和考察题。
2.学生在小组内合作解决问题，通过讨论和交流来加深对正弦定理的理解和应用。
3.教师巡视指导，鼓励学生主动思考和提出问题。
步骤四：讲评和总结1.教师引导学生讲解和分享解题思路和方法，梳理正弦定理的应用要点和注意事项。
2.教师总结本节课的主要内容和学习收获，强调正弦定理在实际问题中的应用。
五、教学延伸1.学生可以通过练习题和考察题进一步巩固和拓展对正弦定理的应用能力。
2.学生可以通过研究和解决实际问题，发现和探索正弦定理的更多应用场景。
六、课后作业1.完成课堂上未能完成的练习题和考察题，加深对正弦定理的理解和熟练应用。
正弦定理教案全
1.1.1 正弦定理教学要求：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题. 教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用.教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数. 教学过程：一、复习引入：1.在任意三角形行中有大边对大角，小边对小角的边角关系？是否可以把边、角关系准确量化？2.在ABC ∆中，角A 、B 、C 的正弦对边分别是c b a ,,，你能发现它们之间有什么关系吗？ 结论★： 。
二、讲授新课：探究一：在直角三角形中，你能发现三边和三边所对角的正弦的关系吗？直角三角形中的正弦定理： sin A =c a sin B =c bsin C =1 即c =sin sin sin a b c A B C==. 探究二：能否推广到斜三角形？ （先研究锐角三角形，再探究钝角三角形）当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据三角函数的定义，有sin sin CD a B b A ==,则sin sin a bA B=. 同理，sin sin a c A C =（思考如何作高？），从而sin sin sin a b cA B C==. 探究三：你能用其他方法证明吗？ 1． 证明一：（等积法）在任意斜△ABC 当中S △ABC =111sin sin sin 222ab C ac B bc A ==.两边同除以12abc 即得：sin a A =sin b B =sin cC.2．证明二：（外接圆法）如图所示，∠A ＝∠D ，∴2sin sin a aCD R A D===， 同理sin b B =2R ，sin c C ＝2R . 3．证明三：（向量法）过A 作单位向量j 垂直于AC ，由AC +CB =AB 边同乘以单位向量j 得…..正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin abAB=sin cC==2R[理解定理] 1公式的变形：C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2)1(===C B A c b a sin :sin :sin ::)3(=,2sin ,2sin ,2sin )2(Rc C R b B R a A ===Bb Cc C c A a B b A a sin sin ,sin sin ,sin sin )4(===2.正弦定理的基本作用为：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b Aa B=； ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b=。
第一课时正弦定理教案
1.1.1正弦定理教案一.课题导入如图1．1-1，固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。
思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。
[能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？二.讲授新课[探索研究]在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。
如图，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c==,!则sin sin sin abcc ABC===从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin abcA B C==思考1：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1．1-3，（1）当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin abAB=， C同理可得sin sin cbC B =， b a 从而sin sin abAB=sin cC=！（2）当∆ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。
（由学生自己推导）思考2：还有其方法吗？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这问题。
（证法二）：过点A 作单位向量j AC ⊥，由向量的加法可得 AB AC CB =+则 ()j AB j AC CB ⋅=⋅+∴j AB j AC j CB ⋅=⋅+⋅()()00cos 900cos 90-=+-j AB A j CB C∴sin sin =c A a C ，即sin sin =a cA CC A BB CA同理，过点C 作⊥j BC ，可得 sin sin =b c B C ，从而sin sin a b A B =sin c C= 从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin abAB=sin cC=[理解定理]（（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =； （2）sin sin abA B =sin cC =等价于sin sin abA B=，sin sin cbCB=，sin aA=sin cC思考：正弦定理的基本作用是什么？①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b Aa B=； ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b=。
1.1.1正弦定理教案
1.1.1正弦定理一、教学目标： 1、能力要求：①掌握正弦定理，能初步运用正弦定理解一些斜三角形； ②能够运用正弦定理解决某些与测量和几何有关的实际问题。
2、过程与方法：①使学生在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系——正弦定理。
②在探究学习中认识到正弦定理可以解决某些与测量和几何计算有关的实际问题，帮助学生提高运用有关知识解决实际问题的能力。
二、教学重点、难点：重点： 理解和掌握正弦定理的证明方法。
难点： 理解和掌握正弦定理的证明方法；三角形解的个数的探究。
三、预习问题处理：1、在直角三角形中，由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数，可以由已知的边和角求出未知的边和角。
那么斜三角形怎么办？确定一个直角三角形或斜三角形需要几个条件？2、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即 。
3、一般地，把三角形的三个角C B A ,,和它们所对的边c b a ,,叫做三角形的 ，已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做 。
4、用正弦定理可解决下列那种问题① 已知三角形三边；②已知三角形两边与其中一边的对角；③已知三角形两边与第三边的对角；④已知三角形三个内角；⑤已知三角形两角与任一边；⑥已知三角形一个内角与它所对边之外的两边。
5、上题中运用正弦定理可求解的问题的解题思路是怎样的？四、新课讲解：在ABC Rt ∆中，设ο90=C ，则1sin ,sin ,sin ===C c b B c a A ，即：C cc B b c A a c sin ,sin ,sin ===, CcB b A a sin sin sin ==。
问题一：对于一般的三角形，上述关系式是否依然成立呢？ 设ABC ∆为锐角三角形，其中C 为最大角。
如图（１）过点A 作BC AD ⊥于D ，此时有bADC c AD B ==sin ,sin ， 所以C b B c sin sin =，即C c B b sin sin =．同理可得CcA a sin sin =， 所以Cc B b A a sin sin sin ==。
正弦定理及其运用的教案
正弦定理及其运用的教案正弦定理及其运用的教案引言：正弦定理是初中数学中的重要知识点，它能够帮助我们解决关于三角形的边长和角度的问题。
在实际应用中，正弦定理是非常有用的，可以用于土木工程、建筑设计、地理测量等领域。
本节课将通过一系列实例和练习，帮助学生掌握正弦定理的概念、原理和应用方法。
第一部分：概念介绍一、正弦定理的定义和表述正弦定理是指在任意三角形中，三条边的长度和角度之间的关系。
具体而言，正弦定理可以表述为：在三角形ABC中，边长a、b、c所对应的角度分别为A、B、C，则有以下关系式成立：sinA/a = sinB/b = sinC/c二、角度的度与弧度的转换在使用正弦定理时，常常需要将角度从度转换为弧度。
角度与弧度之间的转换关系如下：1度= π/180 弧度1弧度= 180/π 度第二部分：原理探究一、正弦定理的推导过程正弦定理的推导可以通过应用勾股定理和三角函数的定义来完成。
以下是推导过程的关键步骤：1. 假设在三角形ABC中，分别从A、B、C点作垂直于边a、b、c的高，分别为h1、h2、h3。
根据勾股定理，可以得到以下关系式：a^2 = h2^2 + (c - h3)^2b^2 = h1^2 + (c - h3)^2c^2 = h1^2 + h2^22. 将第一步的三个关系式变形，得到以下形式：a^2 = h2^2 + c^2 - 2ch3 + h3^2b^2 = h1^2 + c^2 - 2ch3 + h3^2c^2 = h1^2 + h2^23. 将第三步的三个关系式利用正弦函数的定义进行化简，得到以下形式：a^2 = 4R^2sin^2(A/2) + c^2 - 2cRsinAb^2 = 4R^2sin^2(B/2) + c^2 - 2cRsinBc^2 = 4R^2sin^2(C/2)4. 利用三角恒等式sin^2(x) = (1 - cos2x)/2，进一步化简，可以得到正弦定理的最终形式。
《正弦定理》教案(含答案)
《正弦定理》教案（含答案）第一章：正弦定理的引入1.1 实物的直观引入利用直角三角形和平行四边形模型，引导学生直观感受正弦定理的概念。
让学生通过观察和实验，发现正弦定理在几何图形中的普遍性。
1.2 数学定义与公式给出正弦定理的数学表达式：a/sinA = b/sinB = c/sinC，其中a, b, c分别为三角形的边长，A, B, C分别为对应的角度。
解释正弦定理的内涵，让学生理解各个参数之间的关系。
1.3 例题讲解选择具有代表性的例题，讲解正弦定理的应用方法。
引导学生通过正弦定理解决问题，培养学生的解题能力。
第二章：正弦定理的应用2.1 三角形内角和定理的推导利用正弦定理推导三角形内角和定理：A + B + C = 180°。
解释推导过程，让学生理解正弦定理与三角形内角和定理之间的关系。
2.2 三角形形状的判断利用正弦定理判断三角形的形状（直角三角形、锐角三角形、钝角三角形）。
引导学生通过正弦定理判断给定三角形的形状。
2.3 实际问题应用选择与生活实际相关的问题，引导学生利用正弦定理解决问题。
培养学生的实际问题解决能力，提高学生对正弦定理的应用意识。
第三章：正弦定理在测量中的运用3.1 角度测量讲解利用正弦定理进行角度测量的方法。
引导学生通过正弦定理进行角度测量，提高学生的实际操作能力。
3.2 距离测量讲解利用正弦定理进行距离测量的方法。
引导学生通过正弦定理进行距离测量，提高学生的实际操作能力。
3.3 实际测量案例提供实际测量案例，让学生利用正弦定理进行测量。
培养学生的实际测量能力，提高学生对正弦定理在测量中应用的理解。
第四章：正弦定理在三角函数中的应用4.1 三角函数的定义与关系讲解正弦定理与三角函数之间的关系。
引导学生理解正弦定理在三角函数中的应用。
4.2 三角函数图像的绘制利用正弦定理绘制三角函数图像。
培养学生的图像绘制能力，提高学生对正弦定理在三角函数中应用的理解。
4.3 三角函数问题的解决利用正弦定理解决三角函数问题。
正弦定理 教案
《正弦定理》教学设计1.1.1 正弦定理课时分配本节内容用1课时的时间完成，主要讲解正弦定理的探索和证明及运用公式解决简单的解三角形问题.教学目标知识与技能目标：在创设情境中，引导学生发现正弦定理的内容，推导并证明正弦定理，简单运用正弦定理解三角形的两类问题。
过程与方法目标：引导学生通过观察，类比，思考，练习，总结，形成认识，归纳出正弦定理培养学生的创新意识和观察与逻辑思维能力，体会数形结合的思想。
情感目标：面向全体学生，创造平等的教学氛围，通过生生、师生之间的交流、合作和评价，调动学生的主动性和积极性，给学生成功的体验，激发学生的学习兴趣。
重点: 正弦定理的探索和证明及其应用. 难点：正弦定理的推导与证明及其简单应用. 教育点：经历由特殊到一般的研究数学问题的过程，体会探究的乐趣，激发学生的学习热情. 易错易混点：根据函数值求角度的大小会忽略角度的范围. 拓展点：如何求三角形外接圆的半径.教具准备 多媒体课件和三角板 课堂模式 学案导学 一、引入新课(1)在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事.明月高悬,我们仰望夜空，会有无限遐想，不禁会问，月亮离我们地球有多远呢？科学家们是怎样测出来的呢？（2）设A 、B 两点在河的两岸，测量者只有皮尺和测角仪两种工具，无法跨河测量，你能否利用现有工具和解三角形知识，测量A 、B教师引导：若如果借助直角三角形如何求解？直角三角形可以借助直角三角函数关系，完成AB 那么一般三角形中如何求解AB 。
若,A B 两点在河的两岸，测量者为了计算两点之间距离.在B 的同侧河岸选定一个点C ,测量,B C 的距离是54,45,60m B C ∠=∠= . 根据这些数据能解决这个问题吗？B我们这一节所学习的内容就是解决这些问题的有力工具。
引出：解三角形——已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程。
这节课我们就要从正弦这个侧面来研究三角形边角的关系即正弦定理。
【师生活动】师：解三角形，需要用到许多三角形的知识，你对三角形中的边角知识知多少？ 先从一般三角形中的边角关系，认识三角形中的边角关系 从角的关系、边的关系、边角关系三个方面认识。
正弦定理教案 (4)
正弦定理教案一、教学目标1.理解正弦定理的概念及其应用。
2.掌握正弦定理的公式及推导方法。
3.能够灵活运用正弦定理解决相关问题。
二、教学重点和难点1.教学重点：正弦定理的公式及其应用。
2.教学难点：正弦定理的推导方法。
三、教学准备1.教学工具：黑板、白板、投影仪等。
2.教学材料：教科书、教案、作业等。
四、教学过程第一步：导入新知1.引入概念：请学生们回忆并复习三角函数的基本概念，尤其是正弦函数的定义和性质。
2.出示一个三角形图形，引导学生观察并思考三角形内部的各个角度和边长之间是否存在一定的关系。
3.提问学生，是否有人能够发现一个规律或特点？第二步：介绍正弦定理1.引导学生思考并总结出正弦定理的定义和公式。
–定理表述：在任意三角形中，三边的比与其对角的正弦值的比相等。
–公式表达：$\\frac{a}{\\sin A}=\\frac{b}{\\sinB}=\\frac{c}{\\sin C}$第三步：推导正弦定理的原理1.首先，讲解三角形内角和等于180°的原理。
2.推导正弦定理的过程：–假设三角形ABC的各个边长分别为a、b、c，对应的角度分别为A、B、C。
–由正弦函数的定义可得：$\\sin A=\\frac{a}{c}$，$\\sin B=\\frac{b}{c}$。
–两式相除得到：$\\frac{\\sin A}{\\sin B}=\\frac{a}{b}$。
–根据三角形内角和等于180°的原理可得：C=180°−A−B。
–将$\\sin C$用$\\sin A$和$\\sin B$表示，得到：$\\sin C = \\sin (180°-A-B)=\\sin (A+B)$。
–将上述结果代入公式中，得到：$\\frac{a}{b}=\\frac{\\sin A}{\\sin B}=\\frac{\\sin (A+B)}{\\sin B}$。
–整理后可得到正弦定理的公式：$\\frac{a}{\\sinA}=\\frac{b}{\\sin B}=\\frac{c}{\\sin C}$。
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正弦定理教案阿道巴巴【篇一：正弦定理精品教案详案】正弦定理一、教学内容分析：本节课是高一数学第五章《三角比》第三单元中解斜三角形的第一课时，它是初中“解直角三角形”内容的直接延拓，是解决生产、生活实际问题的重要工具，正弦定理揭示了任意三角形的边角之间的一种等量关系，它与后面的余弦定理都是解三角形的重要工具。
本节课的主要任务是通过引入三角形新的面积公式，推导出正弦定理，并让学生初步掌握正弦定理的基本应用。
二、学情分析：对高一的学生来说，一方面已经学习了平面几何、解直角三角形、任意角的三角比等知识，具有一定的观察分析、解决问题的能力；但另一方面对新旧知识间的联系、理解、应用往往会出现思维障碍，思维灵活性、深刻性受到制约，特别是对于本校的同学，这方面的能力比较薄弱。
根据以上特点，教师需要恰当引导，提高学生学习主动性，注意前后知识间的联系，引导学生直接参与分析问题、解决问题。
三、设计思路：由于学生的总体基础比较薄弱，因此，在上课之前，针对《正弦定理》课内内容学生不太容易理解的地方，我作了一个学情调查，将其中的公式推导要应用的关键知识以题目的形式出给学生做，用以诊断学生学习正弦定理的知识方法基础，然后分析梳理为课堂教学服务。
在课堂教学方面，首先通过一个实际生活的例子引入，在现实的测绘工作中，经常会碰到解斜三角形的问题，那么，在斜三角形中，边和角之间有没有特殊的关系可以给我们利用呢？借鉴前面利用坐标研究三角的方法，用坐标法来对任意三角形进行研究，得到三角形新的面积公式，通过对三角形面积公式的变形，得到正弦定理，但不对比值的意义作深入的探讨（放在第二节课进行）。
定理研究完毕以后，引导学生利用正弦定理来解决具体问题，并发现，正弦定理可以解决解三角形的两类问题：（1）已知三角形两角和一边，求其它边和角；（2）已知三角形两边和一边对角，求其它边和角。
四、教学目标：一、知识与技能：理解三角形的面积公式，初步掌握正弦定理及其证明；会初步运用正弦定理解三角形；培养数学应用意识。
二、过程与方法：1、通过实际问题，激发学生的学习兴趣；2、采用坐标法来研究任意三角形，并感受其解决问题的优越性，感受数学推理的严谨性；3、通过应用分析、问题解决来培养学生良好的学习思维习惯，增强学生学习的自信心。
三、情感、态度与价值观：通过知识之间的联系与推理使学生明白事物之间的普遍联系与辩证统一性。
四、教学重点与难点教学重点：正弦定理的探索与证明；正弦定理的基本应用。
教学难点：正弦定理的探索与证明；正弦定理在解三角形时的应用思路。
教学过程：一、情景引入：开场白：今天我们来研究三角形。
初中我们曾经学习过解直角三角形，通常依据直角三角形中边角的特殊关系来求解。
但在解决实际问题中，往往会碰到关于解斜三角形的问题。
如：某林场为了及时发现火情，在林场中设立了两个观测点a和b。
某日两个观测点的林场人员分别观测到c处出现火情。
在a处观测到火情发生在北偏西400方向，在b处观测到火情在北偏西600方向。
已知b在a的正东方向10千米处，请你帮忙确定火场c距离a、b多远？这个实际问题可以转化为一个数学问题：00在三角形abc中，已知ab=10，∠a=130，∠b=30，求ac和bc的长？这就是一个解斜三角形的问题。
师：思考一下，我们用以前的知识该怎么求呢？生：-------------------师：我们可以通过作垂线，构造直角三角形的问题来解。
但是，有没有更好的方法，可以直接求解呢？这就是我们今天要研究的内容-------------正弦定理。
二、新授课我们在角的范围扩大后，将角放在坐标系中进行研究，对任意角三角比重新进行了定义，奠定了整个三角内容的基础。
今天，我们同样将三角形放在坐标系中进行研究，看能否给我们一些惊喜？如图所示建立直角坐标系：我们先定一下点a、b、c的坐标.si）n aaba（0，0）b（c，0） c（bcos，问：点c的坐标如何确定？生：点c在角a的终边上，根据任意角三角比的定义， cosa=x/b，sina=y/b所以：x=bcosa，y=bsina师：从这里看一看出，不管角a我们来看看点c的纵坐标，它的大小等于点c到x问：大家发现没有，对于三角形abc来说，cd有没有什么几何含义？生：它是三角形abc边ab上的高。
师：我们看一下，这个三角形的底边ab长为c，高可以表示成bsina，知道了三角形的底边和高，可以求出什么？生：三角形的面积。
师：请说出三角形的面积表达式：生：s?abc=1b?csina 2师：（操作几何画板，变动三角形形状）我们来看一下，当三角形变化时，点c的纵坐标的形式会不会发生变化？生：不会师：那就是说，这个面积公式可以适用于任意三角形。
师：我们知道，一个三角形含有6个元素，三条边，三个角，这个表达式含有几个元素？生：三个，两条边，一个角。
师：边和角有什么关系吗？生：角是两边的夹角。
师：你能用一句话来表达一下这个面积公式吗？生：三角形的面积等于：三角形的两边与它们的夹角的正弦值的乘积的一半。
师：我们现在是用b,c，a这三个元素来表示的，那么，同样的，你还能用其他的边角来表示吗？生：s?abc=111b?csina=a?csinb=a?bsinc 222师：用一句话来描述一下这个公式？生：三角形的面积 = 任意两边与他们夹角的正弦的积的一半师：这是一个非常漂亮的公式，我们看看，它将任意三角形的三条边，三个角和三角形的面积在一个式子里面联系在了一起。
从今以后，我们求三角形的面积又多了一个选择。
师：我们通过这个公式还可以看出，任意三角形的边角之间有一种特殊的等量关系，我们把等式中的s和1去掉看看：b?csina=a?csinb=a?bsinc 2师：我们看看这个式子，等式中每条边都出现了2次，每个角出现了1次，总的来说还是很复杂。
我们能否将它们进行等价变形，让边角之间的关系变得更加明确、更加简单一点？思路1：等式的左、中、右同除以abc又会得到什么呢？生：sinasinbsinc== abcabc== sinasinbsinc我们把这个等式取倒数，可以写成：思路2：我们将这个连等式变化成2个等式：bcsina=acsinb,acsinb=absinc即：bsina=asinb,csinb=bsinc，要使2个等式的形式完全相同，并且能够练习在一起。
再变形：可以得到b/sinb=a/sina,c/sinc=bsinb所以可以得到：abc== sinasinbsinc我们来看一下，这个连等式将三角形的6个元素完美的结合在了一起，比起前面的表达式，它显得非常的简洁，非常的美。
为什么说它非常美呢？大家看看它的结构，有什么特点？生：各边与其对角的正弦严格对应，体现了数学的对称美. 问：哪位同学能用文字语言把它描述一下？生：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等师：我们初中学过，在任意三角形abc中，大边对大角，这个两等式可以看做大边对大角的一个升级版，大边对大角的正弦，小边对小角的正弦，他们的比值相等。
不研究不知道，一研究吓一跳，小小的一个三角形蕴含了这么多的奥秘！说明：这就是我们今天要学的正弦定理。
为什么要写成这种形式呢？因为这个比值是一个常数，有它特定的意义，我们在下一节课再进行研究。
师：我们再来研究一下这个连等式。
我们可以将它分解成几个等式？生：三个：abacbc==，= sinasinbsinasincsinbsinc师：我们来看一下，每个等式含有4个元素。
对于每个等式来说，如果用方程的观点来看，如果要求出其中一个元素，需要知道几个元素？生：知道三个。
师：三个方程，每个含有四个量，知其三求其一。
练习：（1）下列哪些三角形的x可以用正弦定理来求解?如果可以，应该如何求？（不必求出x的值）bbb(3)bcb(5)b(6)(4)由此，我们可以归纳出正弦定理可以解决某些三角形的求解问题：（1）已知两角及任意一边；（2）已知两边及其中一边的对角.（2）应用正弦定理解决引例问题；4、归纳小结请大家梳理一下我们今天学的内容：生：我们今天利用坐标系对三角形进行研究，发现了：1、三角形面积公式：s?abc=111b?csina=a?csinb=a?bsinc222即：三角形的面积等于三角形任意两条边与它夹角的正弦的积的一半。
2、正弦定理abc==，它是解三角形的工具之一。
sinasinbsinc即：在三角形中，各边与它所对角的正弦的比相等。
3、正弦定理可以解决以下两种类型的三角形：（1）已知两角及任意一边；（2）已知两边及其中一边的对角.5、作业：练习卷【篇二：正弦定理教学设计】《正弦定理》教学设计颍上一中施培松一、教材分析本节课的主要内容是引入证明正弦定理及正弦定理的基本应用，在实际教学中，正弦定理这部分内容被分成了三个层次：第一层次教师通过引导学生对实际问题的探索，并大胆提出猜想；第二层次由猜想入手，带着疑问，以及特殊三角形中边角的关系的验证，通过“作高法”、“等积法”、“外接圆法”、等多种方法证明正弦定理，验证猜想的正确性，并得到三角形面积公式；第三层次利用正弦定理解决引例，最后进行简单的应用。
学生通过对任意三角形中正弦定理的探索、发现和证明，感受“观察——实验——猜想——证明——应用”这一思维方法，养成大胆猜想、善于思考的品质和勇于求真的精神。
二、学情分析对我们高二的学生来说，已学的平面几何，解直角三角形，三角函数，向量等知识，有一定观察分析、解决问题的能力，但对前后知识间的联系、理解、应用有一定难度，因此思维灵活性受到制约。
根据以上特点，教师恰当引导，提高学生学习主动性，多加以前后知识间的联系，带领学生直接参与分析问题、解决问题并品尝劳动成果的喜悦。
学生通过对定理证明的探究和讨论，体验到数学理论发现和发展的过程，进而培养学生提出问题、解决问题等研究性学习的能力。
三、设计思想：培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要方面，也是高中新课程改革的主要任务。
如何培养学生学会学习、学会探究呢？这就要求在教学过程中以学生为主体，充分的发挥学生的主观能动性，也就是使学生在教师的指导下，自主进行思考和探究活动。
本节课采用的是探究式课堂教学模式，即在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为主，以问题为导向设计教学情境，以“正弦定理的发现和证明”为基本探究内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力。
四、教学目标：1．在创设日常生活的问题情境中，让学生从已有的几何知识和处理几何图形的常用方法出发，由简单到复杂，步步推进，探索和证明正弦定理。