养老保险精算模型操作及指标解释

合集下载

寿险精算学课件：养老金数学

▪社会养老金是国家面向全体社会成员提供
的统一的养老计划。它具有强制性。
DC模式
▪ DC （defined contribution）模式直译为
缴费确定型。
▪ 在DC模式下，参与者到退休年龄为止，一
共向养老金计划缴了多少费是确定的，但其退休后每月可领取多少养老金是不确定的，因为养老金总额是缴费和投资收益的总和，而投资收益是不确定的，投资风险由参与者自己承担。
▪ DC则基本上是固定的，雇主雇员按照比例
缴费，弹性小，但很公平，在雇主那里不易产生腐败行为。
DB与DC模式各有千秋
▪ 在融资上，DB型计划非常复杂，对支付能力
的要求比较高，需要始终保持资产≧债务；
▪ 而DC完全没有这方面的烦恼，不需精算，很
透明，个人缴费与未来收益几乎一目了然，具有完全的精算关系。
▪ 替代率（replacement ratio）
退休后领取养老金水平 R= 退休前薪水水平
例11.3
▪ A养老金计划规定，退休给付额为最后三年
工资均值的70%；
▪ B养老金计划规定，退休给付额为最后三年
工资均值的1.5%乘以工作年数。
▪ 假设工资按每年5%增长。请问对于一个25
岁加入保险，现年40岁，年薪4万，60岁退休的参保人而言，哪个养老金计划更有利？替代率分别为多少？
r
50579.11
AS 1.0519
50.04%
40
第十一章
养老金数学
养老金概述养老金函数
养老金精算模型
养老金精算模型
▪ 养老金精算模型就是根据养老金计划，以
退休时点为时间参照点，构建养老金收支平衡模型。收是年金积累值，支是年金现时值。

精算师的养老保险精算

精算师的养老保险精算在当今快速老龄化的社会中，养老保险的需求变得尤为突出。

精算师作为保险行业中专业的数学和统计分析人员，扮演着关键的角色，为养老保险的设计、定价和风险管理提供专业的精算支持。

本文将重点探讨精算师在养老保险领域中的重要性以及其所承担的具体工作职责。

一、养老保险精算的定义和意义养老保险精算是指利用数学和统计方法对养老保险风险进行评估、测算以及定价的过程。

通过养老保险精算的工作，可以更好地预测未来的风险和负债，并为保险公司提供合理的产品定价和风险管理策略，以保障被保险人在退休后获得稳定的养老金收入。

精算师在养老保险精算中的角色十分重要。

他们根据大量的数据和统计模型，分析保险公司的历史赔付情况、参保人群的特征以及其他相关变量，预测未来的保险需求和风险水平。

这些预测和分析结果将在保险产品的设计和定价中发挥重要作用，保证保险公司的经济可持续性和被保险人利益的最大化。

二、精算师在养老保险精算中的工作职责1. 风险评估与模型构建：精算师需要根据大数据分析和统计方法，评估养老保险业务的风险水平，并建立合适的数学模型以量化这些风险。

通过风险评估和模型构建，精算师可以更好地估计未来的养老保险赔付和资金需求。

2. 养老金计算与定价：精算师负责根据保险公司的养老保险方案和参保人的特征，计算养老金的金额和支付期限。

他们需要结合各种因素，如参保人的年龄、工作年限、收入水平以及退休年龄的变化趋势等，准确预测和确定养老金的数额，以制定合理的保费方案。

3. 基金管理和风险控制：精算师需要制定科学的投资策略，合理配置养老保险基金的资产，以保证基金能够获得稳定的收益并满足养老金支付的需求。

他们还需要对投资组合进行风险评估和监控，及时调整投资策略以应对市场波动和风险事件。

4. 创新产品设计：精算师通过对市场需求和竞争情况的研究，为养老保险提供创新的产品设计方案。

他们可以根据不同的参保人群和养老需求，提出灵活的投保方案、可选的保障范围以及适应不同退休年龄和养老金支付方式的产品设计。

养老保险精算模型操作及指标解释

21
二、指标解释
22
二、指标解释
人口死亡率预测方式
提供两种方法： • 按预期寿命计算 • 直接输入
23
二、指标解释
参保人员死亡率预测方式
提供两种方法： • 按城镇人口死亡率比例计算 • 直接输入
24
二、指标解释
城乡人口预测方式
提供两种方法： • 按城镇化率 • 按定额
25
二、指标解释
制度新增称”选择项：用于选定绘制图表所需的结果数据对应的方案名。 “基准输出名称”选择项：用于选定绘制图表所需的结果数据对应的输出数据表。例如，选择结果数据表为方案“测试一”中的“人体分类_全体”表，点击“展示” 按钮，此图表数据在结果查询界面中对应的查询条件及内容如下图所示。
询界面，选择方案名、输出表类型、输出表结构后，显示结果。
8
一、模型操作
输出操作：此处的输出只能输出全部计算结果到新的EXCEL工作簿中。情况一，先选择需要输出计算结果的方案名称，点击“输出”按钮，PB2016自动将该方案下全部计算结果输出至PB2016程序文件所在目录下的名称为“输出城职-Sample–日期_时间.xlsx”的 EXCEL工作簿中。情况二，如果不选择方案名称，即方案名称项为空，点击“输出”按钮，PB2016将在PB2016程序文件所在目录下生成一个名称为“输出城职-–日期_时间.xlsx” 的具有输出表结构的EXCEL工作簿。
10
一、模型操作
“数据类型”选择项：用于选定绘制图表所需的结果数据的数据类型，共有两种： “库存参数”和“输出结果”。
“展现方式”选择项：用于选定图表绘制方式，共有八种：“三维立体展示”、 “静态单组展示”、 “动态单组展示”、“静态同轴对比”、“动态同轴对比”、“静态异轴对比”、 “三维立体对比”、“人口金字塔图”。

个人帐户养老金精算模型

个人帐户养老金精算模型一、问题的提出中国老龄化问题日益严重。

在人口老龄化的趋势下，我国传统的现收现付制的养老保险制度已不适合我国的经济的发展，因此，只有建立基金式养老金模式，与国际社会接轨，才能彻底解决我国老龄化问题对我国政府带来的压力。

因此，我国于1997年对养老金制度进行了改革，社会基本养老保险由传统的现收现付制模式转化为现部分基金模式。

所谓部分基金模式，即退休职工的退休金包括两部分：基础养老金和个人账户养老金。

当职工退休时，领取的基础养老金标准是该地区上年度职工月平均工资的20%，个人帐户养老金的标准为本人帐户储存额除以120，均为按月发放。

对改革前实施前参加工作、实施后退休且个人缴费和视同缴费年限累计满15年的人员（以下简称‘中人’），按照新老办法平稳衔接、待遇水平基本平衡等原则，在发给基础养老金和个人帐户养老金的基础上再确定过渡性养老金，过渡性养老金从养老保险基金中解决。

具体办法，由劳动部会同有关部门制订并指导实施；对改革时已经退休的职工（以下简称‘老人’），养老金发放标准与现收现付制下的标准相同。

对于基本养老金制度的改革，我们提出以下两个问题：1、试对改革后个人账户养老金发放标准建立数学模型，并对标准的合理性进行分析；2、试建立数学模型并分析当前养老金制度中影响保障程度的指标。

二、问题的分析《决定》规定，退休后职工的基本养老金由基础养老金和个人帐户养老金组成。

退休后的基本养老金计算公式为：月养老金＝基础养老金＋个人帐户养老金。

其中：基础养老金＝上年度本地区在职职工月平均工资×20%，个人帐户养老金＝个人养老保险帐户累积储存额/120，个人帐户养老金按照社会平均余命发放，超过平均余命的退休职工的养老金部分，由社会统筹支付。

替代率是指个人进入退休期所领取的养老金与进入退休期上一年度工资的比例，或者是进入退休期社会平均养老金与进入退休期上一年度社会平均工资的比例。

替代率的高低是衡量养老金制度是否合理的关键因子。

养老保险问题的数学模型

养老保险的模型设计柏强魏永涛摘要：本文通过对给定保险方案的分析，针对养老保险的实际情况，提出了对投保人有利的计算方法，以下对题目所给定的方案作出简要分析：方案I：40足岁开始投保，直到59岁止，60岁开始领取养老金，直到死亡，死时一次支付家属一定金额；方案II：40足岁开始投保，投10年，60岁开始领取养老金，直到死亡，死亡时一次支付家属一定金额。

将两方案进行比较，投保方法相同，只是领取养老金的方法不同。

这样,便简化了数学模型的建立。

问题一：指出对投保人更有利的方案。

针对该问题需寻找一个确定有利方案的指标，由此我们引入了投保有利率η(其定义为：领取的总金额（包括利息）与投保总金额（包括利息）的差再与投保总金额（包括利息）的比值)；这样来把未来的资金转换为现值，来体现投保人与保险公司何者获利及何种方案对投保人更有利。

在此需说明：a．η>0表示投保人获利；b．η=0表示投保人和保险公司等价交换；c．η<0表示保险公司获利。

此外，η的值越大说明对投保人越有利。

我们计算出方案I的η值为0.039322，方案II的η值为0.019176；根据我们的对η的定义可知：方案I对投保人更有利。

问题二：建立一般数学模型。

此问题相当灵活，在此，我们将问题涉及到的所有参量均作一般化处理，从而建立对保险问题通用的数学模型。

具体实现如下：a.统一两方案并将问题作一般化重述：投保人从m岁时开始投保，每年交费c元，一直交到n岁为止，从p岁起，每年领取养老金d元，以后每年增加e元，直到死亡，死亡后，保险公司一次性支付a元。

若预期寿命为k岁，银行年利率为λ。

同时，对其中的参量作定性的约束。

b.据以上重述及对问题的分析建立一般模型。

此模型对实际投保问题很有意义，既可做为保险公司方的参考工具，又可为投保人提供一定的信息。

本文也对寿命的变化所引起的模型的变化做了灵敏性分析；但其中不足之处亦有之：模型没有图形、表格之类的部分，不能使问题更清晰，直观地表现。

养老金投资的战略配置与精算分析

养老金投资的战略配置与精算分析养老金是指为了满足人们退休后生活所需而进行的资金储备。

随着人口老龄化趋势的加剧，养老金的投资管理变得越来越重要。

在养老金投资中，战略配置和精算分析是两个关键的方面。

本文将探讨养老金投资的战略配置和精算分析的重要性以及如何进行有效的战略配置和精算分析。

一、养老金投资的战略配置养老金投资的战略配置是指根据投资目标和风险承受能力，将养老金资金分配到不同的资产类别中，以实现最佳的风险收益平衡。

战略配置需要考虑以下几个方面：1. 投资目标：养老金投资的目标是保值增值，以满足未来退休生活的需求。

因此，战略配置应该以长期稳健增长为主要目标。

2. 风险承受能力：不同的养老金计划参与者对风险的承受能力不同。

年轻人可以承受更高的风险，因为他们有更长的投资时间来弥补潜在的损失。

而年长者则需要更加保守的投资策略。

3. 资产类别选择：根据投资目标和风险承受能力，养老金资金可以分配到不同的资产类别中，如股票、债券、房地产等。

股票具有较高的风险和回报，适合年轻人；债券相对较为稳定，适合年长者。

4. 分散投资：战略配置还需要考虑到资产的分散投资。

将养老金资金分散到不同的资产类别和市场，可以降低投资风险，提高整体收益。

二、养老金投资的精算分析精算分析是指通过数学和统计方法，对养老金投资进行风险评估和收益预测。

精算分析可以帮助投资者更好地理解和管理养老金投资的风险和回报。

以下是一些常用的精算分析方法：1. 风险评估：通过历史数据和模型，对养老金投资的风险进行评估。

常用的风险评估方法包括价值-at-risk（VaR）和条件风险价值（CVaR）等。

2. 收益预测：通过对市场和资产的研究，预测养老金投资的收益。

常用的收益预测方法包括基本面分析、技术分析和量化分析等。

3. 敏感性分析：通过对关键变量进行敏感性分析，评估养老金投资的风险敏感性。

敏感性分析可以帮助投资者了解不同因素对投资组合的影响程度。

4. 模拟测试：通过模拟不同的市场情景和投资决策，评估养老金投资的风险和回报。

保险业中的保险精算模型与方法

保险业中的保险精算模型与方法保险精算是保险业中至关重要的一环，它通过运用各种数学和统计模型来评估和管理保险风险。

本文将探讨保险业中常用的保险精算模型与方法，以及其在保险业务中的应用。

一、费率制定模型费率制定是保险精算中的核心工作之一，它涉及到确定保险产品的价格。

常见的费率制定模型包括经验模型、频率-严重度模型和基于风险的定价模型。

1.1 经验模型经验模型是基于历史数据和经验法则来进行费率制定的一种方法。

它通过分析过去的赔付数据和理赔率来预测未来的赔付风险，并根据预测结果来确定产品的价格。

经验模型的优点是简单易用，但它没有考虑到风险的个体差异和潜在的未来变化。

1.2 频率-严重度模型频率-严重度模型是一种常用的费率制定模型，它将损失事件的频率和严重度分别建模，然后通过将两者相乘来计算总体损失。

这种模型可以更好地考虑到风险的个体差异和未来的变化，但需要更多的数据和更复杂的计算方法。

1.3 基于风险的定价模型基于风险的定价模型是一种较新的费率制定方法，它通过考虑被保险人的个体特征和风险因素来确定保险费率。

这种模型利用大量的统计数据和机器学习算法，可以更准确地评估风险和定价。

二、准备金估计模型准备金是保险公司为承担未决赔款而做出的经济准备。

在保险精算中，准备金的估计是一项关键任务，它涉及到对未来赔付的预测和风险的评估。

常见的准备金估计模型包括链线法、损失开发法和贝叶斯法。

2.1 链线法链线法是一种常用的准备金估计方法，它基于历史数据和统计模型来预测未来的赔付，并根据预测结果来确定准备金水平。

链线法的优点是简单易懂，但它没有考虑到未来的变化和不确定性。

2.2 损失开发法损失开发法是一种较为复杂的准备金估计方法，它通过分析历史损失的发展模式来预测未来损失的发展趋势。

这种方法能够更好地考虑到未来的变化和不确定性，但需要更多的数据和更复杂的计算。

2.3 贝叶斯法贝叶斯法是一种基于贝叶斯统计理论的准备金估计方法，它通过将先验信息和后验信息相结合来进行准备金估计。

李斯特养老金计划所用数学模型

李斯特养老金计划所用数学模型
李斯特养老金计划是一个涉及金融和经济领域的复杂问题，需要使用多种数学模型来进行描述和分析。

以下是其中一些常用的数学模型：
1. 精算模型
精算模型是用来计算养老金计划负债和成本的工具。

它基于一系列假设，包括人口统计数据、投资收益率、通货膨胀率、利率等，通过这些假设来模拟未来现金流和负债变化的情况。

精算模型可以帮助计划发起人制定合适的费率，以保证养老金计划的长期稳定运行。

2. 投资组合模型
投资组合模型是用来优化养老金资产配置的工具。

它通过将资产分配到不同的投资品种中，以实现风险和收益的平衡。

投资组合模型通常采用现代投资组合理论（如Markowitz模型），通过计算每一种投资品种的期望收益、方差和相关系数，来找出最优的投资组合。

3. 随机过程模型
随机过程模型是用来模拟养老金计划负债和投资的动态变化的工具。

它基于随机过程理论，可以考虑到许多随机因素的影响，如死亡率、投资收益率、通货膨胀率等。

随机过程模型可以帮助计划发起人预测未来负债和资产的变化情况，从而更好地制定决策。

4. 仿真模型
仿真模型是用来模拟养老金计划在不同情况下的表现的工。

它通过设定不同的参数和假设条件，模拟出未来可能出现的各种情况，并对这些情况进行评估和分析。

仿真模型可以帮助计划发起人评估不同策略的风险和收益，从而更好地制定决策。

李斯特养老金计划需要使用多种数学模型来进行描述和分析。

这些模型可以帮助计划发起人制定合适的费率、优化资产配置、预测未来变化情况以及评估不同策略的风险和收益。

养老金收支平衡精算模型

养老金收支平衡精算模型摘要本文针对企业退休职工养老金的问题，通过建立合理的假设，综合运用Logistic 阻滞增长模型、傅立叶级数拟合、折现率、精算模型等方法讨论影响职工养老金的各因素，并对影响养老金的各个因素作了详细的分析和提供了较为实际的建议。

针对问题一，假设在未来中国经济发展稳定增长的情况下，根据附件提供的数据，运用曲线拟合和Logistic增长模型，建立年均工资预测模型。

首先对原数据进行简单的曲线拟合，结果成指数趋势增长，而指数的增长趋势与经济发展规律和国家经济发展战略不符，属于理想状况；之后通过引进与经济发展相关的Logistic增长模型对山东省职工的年均工资进行预测，并采用四点法求得Logistic增长趋势方程的最大上限值，确定Logistic增长模型的趋势方程式，最后采用R方检验法进行检验。

预测得到山东省2011年的年均工资为37827.86元，在2021年实现年均工资翻一番（64684.56元），2035年时年均工资翻两番，达到93199.61元，整体上符合国家的经济发展战略。

针对问题二，建立养老金替代率计算模型。

首先根据养老金原理得出基础养老金和个人账户养老金公式，运用问题一的Logistic增长模型，并在考虑职工年龄阶段性跳层的基础上，引用傅立叶级数拟合60-64岁阶段的月均工资，获得2000-2034年各年龄段年均工资，在此基础上，借助MATLAB编程解出各缴费年龄段的替代率。

最后对替代率进行灵敏度分析。

针对问题三，建立养老保险基金缺口分析模型。

首先分别从基础养老金和个人账户养老金两方面讨论缺口情况，并在引进折现率的基础上综合讨论养老保险基金的缺口情况，主要针对社会统筹基金和个人账户基金两方面进行分析，最后推算缴存的养老保险基金和领取的养老金之间的平衡点。

针对问题四，建立养老保险收支平衡精算模型。

首先对影响养老保险收支平衡的因素进行取舍，忽略社会统筹基金中其他相关因素对收支平衡的影响，只重点考虑影响个人账户的收入和支出的相关因素。

个人账户中养老金给付精算模型及其应用

个人账户中养老金给付精算模型及其应用个人账户中养老金给付精算模型及其应用一、引言1997年，《国务院关于建立统一的企业职工基本养老保险制度的决定》（以下简称《决定》）规定，中国现行基本养老保险制度选择社会统筹与个人账户相结合的部分积累制，主要目的是预筹资金积累，防范人口老龄化高峰到来之际养老金支付危机。

社会统筹采用现收现付模式发放基础养老金，个人账户采用完全积累模式发放个人账户养老金。

个人账户缴费的累积额用于退休后平均余寿期间的养老金支付，超过平均余寿期间的养老金由社会统筹基金支付。

个人账户使得个人缴费和享受之间建立起直接的联系，增加了缴费的灵活性。

在职工调动工作时，由于个人账户的归属权明确，个人账户的累积额可以随同职工转移，有利于职工的流动。

《决定》规定对《决定》实施前已经退休的职工，仍按照国家原来标准发给基础养老金，不发放个人账户养老金。

对《决定》实施前参加工作、实施后退休的职工（简称为“中人”）按照新制度规定办法发放基础养老金和个人账户养老金，并在基础养老金和个人账户养老金基础上再确定过渡性养老金。

过渡性养老金从养老保险基金中解决，具体办法，同劳动部会同有关部门制定并指导实施。

但中国至今关于“中人”的过渡性养老金的发放问题尚未解决。

对《决定》实施后参加工作的职工（简称“新人”和“中人”个人账户养老金月标准为本人储存额除以120。

但这一标准忽略了预期利率的变化。

针对本世纪人口老龄化的到来，退休人员的养老金的发放标准显得日益重要的事实，笔者利用保险精算学中生存年金理论分别给出“新人”和“中人”的个人账户下养老金给付模型，并结合社会养老保险中公平、效率原则给出“中人”过渡性养老金给付模型，由此得到的`个人账户下养老金给付模型具有重要的理论和参考价值。

根据个人账户给付模型和1990年全国市镇职工从业人口生命表的数据，得出个人账户下养老金发放标准偏高的结论。

这一结论对制定个人账户下养老金发放标准具有重要的实际应用价值。

养老保险精算

养老保险精算1.1养老保险的含义养老保险是社会保障制度的重要组成部分，是社会保险五大险种中最重要的险种之一。

所谓养老保险是国家和社会根据一定的法律和法规，为解决劳动者在达到国家规定的解除劳动义务的劳动年龄界限，或因年老丧失劳动能力退出劳动岗位后的基本生活而建立的一种社会保险制度。

这一概念主要包含以下三层含义:(1)养老保险是在法定范围内的老年人完全或基本退出社会劳动生活后才发生作用的。

(2)养老保险的目的是为保障老年人的基本生活需求，为其提供稳定可靠的生活来源。

(3)养老保险是以社会保险为手段来达到保障的目的。

1.2我国养老保险的组成我国是一个发展中国家，经济还不发达，为了使养老保险既能发挥保障生活和安定社会的作用，又能适应不同经济条件的需要，以利于劳动生产率的提高。

我国的养老保险由三个部分组成:基本养老保险、企业补充养老保险、个人储蓄性养老保险。

(1)基本养老金在我国实行养老保险制度改革以前，基本养老金也称退休金、退休费，是一种最主要的养老保险待遇。

在劳动者年老或丧失劳动能力后，根据他们对社会所作的贡献和所具备的享受养老保险资格或退休条件，按月或一次性以货币形式支付的保险待遇，主要用于保障职工退休后的基本生活需要。

(2)企业补充养老保险(企业年金)企业补充养老保险是指由企业根据自身经济实力，在国家规定的实施政策和实施条件下为本企业职工所建立的一种辅助性的养老保险。

它居于多层次的养老保险体系中的第二层次，由国家宏观指导、企业内部决策执行。

(3)个人储蓄性养老保险职工个人储蓄性养老保险是我国多层次养老保险体系的一个组成部分，是由职工自愿参加、自愿选择经办机构的一种补充保险形式。

由社会保险机构经办的职工个人储蓄性养老保险，由社会保险主管部门制定具体办法，职工根据自己的工资收入情况，按规定缴纳个人储蓄性养老保险费，记入当地社会保险机构在有关银行开设的养老保险个人账户。

职工达到法定退休年龄经批准退休后，凭个人账户将储蓄性养老保险金一次支付或分次支付给本人。

养老保险基金收支平衡精算模型

养老金又称为退休金 … ，是由职工在社会上做出的贡献及其所拥有的享受退休金的资格，采用货币形式支付的养老保险
待遇。我国目前采取基金积累和现收现付的方式相结合的模式来筹集养老保险经费，使得养老保险基金收支严重失衡，个８％的比例缴纳到个人账户。我们将这两个账户合称为养老保
ｉｎｓｕｒａｎｃｅｓｙｓｔｅｍ，ｗｅｍｕｓｔｉｆｒｓｔｅｎｓｕｒｅｔｈａｔｔｈｅｅｎｄｏｗｍｅｎｔｉｎｓｕｒａｎｃｅｆｕｎｄｂｌａａｎｃｅ，ｏｔｈｅｒｗｉｓｅｔｈｅｅｎｄｏｗｍｅｎｔｉｎｓｕｒａｎｃｅｓｙｓｔｅｍｆｉ —
险基金。职工退休后，按缴费指数（员工在没退休之前每年所交工资与社会平均工资之比）以及退休前的那一年的社会平均
工资等因素，从社会统筹账户中拿出一部分资金（即基础养老金），再拿出一定比例的个人工资账户的资金（即个人账户养老
金），退休后作为其每个月的养老金付给职工。工资的增长又与经济增长相关，如果社会平均工资有所变化，养老金也会随着调整。如果职工死亡，可以继承个人账户中的余额，但是不退给职工社会统筹账户中的资金。个人账户储存额的利息以银行当时公布的一年期存款利率计算。２．１缴费指数及计算下面我们以山东某企业各年龄段工资分布（表１）为代表，
ｄｏｉ：ｉ０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００６— ８５５４．２０１５．０７．２２１

数学建模——关于养老金的分析与计算及简化编程

北京高中数学知识应用竞赛论文题目：社会养老保险缴纳方式的建议与养老金的计算分析学校：北京市第三十五中学作者：***指导老师：李赤军、王霞一、摘要本文论述了北京的养老模式问题，并由此进行了对养老金的计算、分析、缴纳方式的研究，并运用matlab进行了编程，并对过去、未来的工资、养老金最低标准等进行了拟合、推算。

关键词：matlab 拟合养老金二、问题的提出早在2008年底，北京市民政局、市发改委、市规划委员会、市财政局以及市国土资源局等五个部门联合下发了《关于加快养老服务机构发展的意见》，提出了“9064”养老新模式。

即到2020年，90%的老年人在社会化服务的协助下通过居家养老，6%的老年人通过政府购买社区服务照顾养老，4%的老年人入住养老服务机构集中养老。

而这其中90%的老人的生活消费的新型养老模式就是我们所要探讨与研究的话题。

所以，在这里我们提出了几个问题：问题一：对于正常的养老来说，我们每月需要花费多少养老金呢？对于这部分养老金，我们是如何分配的呢？问题二：现在网络上的养老金计算器的计算所需要的数据太繁复，怎么才能更简单的了解自己的现在或未来的养老金多少，和相应的其他信息？问题三：那么我们为了能使退休时的养老金达到一定的标准，保证未来的生活品质，我们应该怎么做？三、问题的分析养老金也称退休金、退休费，是一种最主要的养老保险待遇。

即国家有关文件规定：在劳动者年老或丧失劳动能力后，根据他们对社会所作的贡献和所具备的享受养老保险资格或退休条件，按月或一次性以货币形式支付的保险待遇，是造福社会的需要，主要用于保障职工退休后的基本生活需要。

然而，由于中国的养老金主要分为两类——机关事业单位人员退休养老金和企业人员退休养老金，而机关事业单位人员退休养老金远比企业人员退休养老金高，比例大约是300%-500%。

所以，企业人员退休后，如何用相对退休前工资较低的退休金来合理规划，独立生活，就成了一个急需解决的社会普遍问题，特别是在中国老龄化社会愈发严重的大背景下，北京的老龄化程度更是达到了全国第四的极高的比例，所以，如何合理运用时间，规划夕阳生活，成了北京的一个重要的难题。

养老保险的连续精算模型

收稿日期:2002-06-25.基金项目:国家自然科学基金资助项目(10171041).作者简介:原俊青(1978-),女,现为香港科技大学数学系博士研究生.¹通讯联系人. 文章编号:0455-2059(2003)06-0012-04养老保险的连续精算模型原俊青,杨　兵,李泽慧¹(兰州大学数学系,甘肃兰州　730000)摘要:建立了养老保险3种模式的连续精算模型,讨论了其平衡条件,为应用精算技术准确厘定养老金交费标准和给付水平提供了坚实的理论依据.关键词:养老保险;平衡模型;精算研究中图分类号:O 212;F 840.62 文献标识码:A0引言社会养老保险不仅关系到保险人和投保人的利益,而且关系到职工因年老退休造成的经济损失能否得到及时、足额的补偿,在我国还关系到经济制度改革的成败.因此加强社会养老保险的研究,进一步健全和完善社会养老保险制度,具有十分重要的社会意义[1].确保社会养老保险基金平衡是加强社会养老保险基金管理的关键,也是促进社会养老保险持续发展,进一步深化养老保险基金制度改革的必要条件.近年来,一些学者已开始关注这个问题[2,3],从定性的角度对其进行了研究,并做了初略的定量分析.但是由于当前的测算和评估方法比较简单,测算结果比较粗糙,使得现有实施方案难免存在保障功能不强,适应能力差等问题.在实践中存在筹资不足,养老基金收支不平衡,账户基金增值困难以及经营成本过大等问题.本文试图从实际情况出发,得出连续的数学精算模型,为准确厘定交费标准和给付水平,保证养老金的稳健运用和给付安全提供可靠的理论基础.在人口老龄化压力日益加剧的今天,有着重要的现实意义.研究养老保险基金在收入和支出之间的数量上的平衡关系,其中心内容是研究未来人口状态变动所决定的缴费率、替代率和退休年龄之间的变动关系.本文分别在社会养老保险现收现付、部分积累和完全积累3种模式下,以未来的分年龄人口测算数据为基础,建立了相应的连续精算模型,讨论了其平衡条件,并且在人口结构趋于老龄化时,对其进行了分析与比较.同时,对甘肃省1990年的人口普查资料作了实证分析.1现收现付模式王鉴刚[3]从退休职工平均养老金和在职职工平均工资的角度分析了人口老龄化时的养老保险平衡问题.实际上,不同退休职工由于退休时间早晚的不同,退休前职工收入的不同,或个人养老金缴费的不同等,养老金是有差别的.目前假设在同一年,年龄越大养老金越少是有意义的.另一方面,职工的工资与工龄有关,一般来讲工龄越长,工人的熟练程度越高,工作业绩越好,工资也越高.将从这两点出发,在离散模型的基础上得到连续模型.为了使模型建立简单,先作几点假设:职工开始就业的年龄A ,退休年龄B 是相同的;职工年龄构成的变动与人口年龄构成的变动一致;由于是现收现付模式,养老金筹集到发放时间很短,利率对其影响极小,因而不考虑利率对养老保险平衡的影响;养老保险基金支出全部用于存活退休职工养老金的发放,不考虑管理费用和抚恤金的支出.在以上假设的基础上,首先定义样本空间8为{参加养老保险的全体职工},随机变量X 为职工当年的年龄.令X i 为第i 个职工当年的年龄,设参加此基金的总人数为N ,那么随机变量X 的分布函数为F (x )=P (X <x )=1N ∑Ni =1I (X i <x ),　x ≥A .(1)第39卷第6期2003年12月兰州大学学报(自然科学版)Jo urnal of L anzho u U niver sity (N atur al Sciences)V ol.39N o.6Dec.2003其中:I(õ)表示õ的示性函数.令w=inf{x:F(x) =1},则有F(w)= 1.定理1现收现付模式下的连续精算模型为∫B A C1W(x)d F(x)=∫w B Q(x)d F(x).(2)其中:∫B A=∫[A,B),W(x)为x岁人群的当年平均工资,Q(x)为x岁人群的当年平均退休金,C1为当年的养老金缴费率.证明(2)式左边乘以总人数N即为当年养老金缴费收入,右边乘以总人数N即为当年养老金发放支出.根据现收现付模式的精算平衡原理,可得(2)式.定义1抚养比DR是退休职工人数与在职职工人数之比,即DR=∑Ni=1I(X i≥B)∑Ni=1I(A≤X i<B).由(1)式易知,抚养比D R可以表示为DR=1-F(B)F(B)-F(A)=∫w B d F(x)∫B A d F(x).(3)显然,抚养比DR随着退休年龄B的增加而减少.定义2平均替代率T是指全部退休职工的平均养老金收入与全部职工的平均工资收入的比率,即为T=∫w B Q(x)d F(x)∫B A W(x)d F(x)õ∫B A d F(x)∫X B d F(x).(4)它是用以表示退休职工整体的养老金收入水平高低的指标.定理2现收现付模式下的精算平衡条件为C1=TõDR.(5)证明由(2～4)式可证之.注从此模型的平衡条件(5)式和(3)式可以看出,缴费率与平均替代率、抚养比和退休年龄有关.缴费率与平均替代率和抚养比分别成正比关系.当抚养比不变时,缴费率随平均替代率的增大而增大;当平均替代率不变时,缴费率随抚养比的增大而增大,随退休年龄的增大而减小.下面根据甘肃省1990年人口普查资料的在业人口的年龄构成数据来计算抚养比的值.设开始就业年龄A为20岁,退休年龄B分别为50,55和60岁时,由(3)式计算出的抚养比的数值如表1所示.表1稳定态人口下不同退休年龄的抚养比 Table1Foster percentage of diff erent retiring agein a stable state of population退休年龄/岁抚养比/%5018.48559.2360 3.62 再根据现收现付模式的平衡条件(5)式,可以求得不同平均替代率数值下的缴费率如表2所示.从表2的数据可以看出缴费率随平均替代率的增加而增加,随退休年龄的增加而减少的变动关系.稳定态人口类型的养老保险平衡分析能够为一个国家的养老保险的平衡分析和制定政策提供表2稳定态人口下不同平均替代率、退休年龄的缴费率Table2Payment ratio of dif ferent retiring age and average substitution rate in a stable state of population退休年龄/岁平均替代率/%405060708090100110120507.399.2411.0912.9414.7816.6318.4820.3322.18 55 3.69 4.62 5.54 6.467.388.319.2310.1511.08 60 1.45 1.81 2.17 2.53 2.90 3.26 3.62 3.98 4.34一个比较的基准.它告诉我们,当人口因素不再发生变化时的养老保险的缴费率、平均替代率和退休年龄的平衡关系.甘肃省目前老龄化程度较轻,社会养老负担还不重,但随着人口走向老龄化,实现养老保险收支平衡的难度就会大大增加.上述稳定态人口的计算结果表明,养老保险政策的基本取向是在提高退休年龄和降低平均替代率两方面同时采取措施.2部分积累模式部分积累模式平衡的实质是用目标期间内收大于支年份的积累去弥补收不抵支年份的缺口.因此部分积累模式中的目标期间可以分为两个阶段:第一阶段可称为积累阶段,该阶段养老负担较轻,按照一个确定的缴费率筹集的养老金除满足当年养老金支付后仍有结余;第二阶段是负积累阶段,13第6期原俊青等:养老保险的连续精算模型该阶段养老负担较重,按照确定的缴费率筹集的养老金不能满足当年养老金支付的需要,存在资金缺口.实现部分积累模式平衡就是拿第一个阶段的养老金积累去平衡第二阶段养老金支付的缺口.为了建立部分积累模式的连续模型,我们首先作出以下假定:开始就业年龄、退休年龄、人口年龄构成变动、养老保险基金发放的用途等保留现收现付模型的假设;在职职工的工资随着年龄的增长而增长,随着时间(年度)的增加而增加;退休职工的退休金随着年龄的增长而减少,随着时间(年度)的增加而增加;设养老金增值率在整个目标期间内保持不变,利息力为常数D ;目标期间为n 年.在上述人口和经济参数的假定之下,我们定义随机过程X t 为第t 年的年龄t ∈[0,n ],其样本轨道在图1所示的斜线上.对于P t ∈[0,n ],职工的年龄构成可表示为F (t ,x )=P (X t <x ),　x ≥A ,(6)d F t (x )d x =5F (t ,x )5x =P (x ≤X t <x +d x ),P t ∈[0,n ]表示第t 年各年龄段人口在基金总人口中的比重.d F x (t )d t =5F (t ,x )5t=lim $t →0+P (X t +$t <x )-P (X t <x )$t ,P t ∈[A ,w ]表示不到x 岁的人口在基金总人口中所占比重随时间的变化.图1时间—年龄方格图F ig .1T ime -age g ra ph定理3部分积累模式下的连续精算模型为∫n 0e -D t∫BAC 2W (t ,x )d F t (x )d t =∫ne -D t∫wBQ (t ,x )d F t(x )d t .(7)其中:W (t ,x )为x 岁人群的第t 年平均工资,Q (t ,x )为x 岁人群的第t 年平均退休金,C 2为目标期间为n 年的部分积累模式下的养老金缴费率.证明根据部分积累模式下现值的平衡原理,易得(7)式.根据本节的假设(2),(3),可以设W (t ,x )随x的增长率为a ,而Q (t ,x )随x 的增长率为-b .由于通货膨胀、经济增长等因素,设它们随t 的增长率分别为g 和h ,其中a ,b >0,g ≥h >0.即W (t ,x )=W õe ax õe gt , x ∈[A ,B ],t ∈[0,n ];(8)Q (t ,x )=Q õe-bxõe ht, x ∈[B ,w ],t ∈[0,n ].(9)其中:W =W (0,A )õe -a A ,Q =Q (0,B )õe b B .将(8),(9)式代入(7)式,可得C 2W ∫n 0e(g -D )t∫BAe axd F t (x )d t =Q ∫n 0e (h -D )t∫wBe -bxd F t(x )d t .(10)定义3稳定态人口是指人口年龄构成不发生变化的人口类型,那么d F t (x )=P (x ≤X t <x +d x )d x 与t 无关,即为d F (x ).定理4稳定态人口条件下,部分积累模式的精算平衡条件为C 2=Q W õe (h -D )n-1e (g -D )n -1õg -Dh -Dõ∫wBe -bx d F (x )∫BAe ax d F (x ).(11)证明稳定态人口条件下,(10)式变为C 2W ∫n 0e(g -D )td t ∫BAe ax d F (x )=Q ∫n 0e (h -D )td t ∫wBe -bx d F (x ).(12)通过简单计算可得(11)式.注:分两种情况讨论上述平衡条件.第1种情况:g =h ,即退休职工与在职职工共同分享社会进步带来的利益,(11)式就变为 C 2=Q Wõ∫wBe -bx d F (x )∫B A e axd F (x )=∫wB Q (x )d F (x )∫B AW (x )d F (x )=C 1(t ),　t ∈[0,n ].(13)其中:C 1(t )表示第t 年在现收现付模式下的缴费率.(13)式表明部分积累模式下的缴费率与现收现付模式下的相同.第2种情况:g >h 即在职职工比退休职工享受更多的社会进步带来的利益,实际情况一般是这样的.(12)式中∫n0e(g -D )td t >∫ne (h -D )t d t >0,由(11)式14 兰州大学学报(自然科学版) 第39卷可得 C 2=Q Wõ∫n 0e (h -D )td t∫n 0e (g -D )t d t ∫wBe -bxd F (x )∫B Ae axd F (x )<Q Wõ∫wBe -bxd F (x )∫BAe axd F (x )=C 1(0),(14)C 1(t )=e(h -g )tC 1(0).(15)由(15)式可知C 1(t )是t 的减函数,则v t 0,使得C 1(t 0)=C 2成立,那么就有C 1(0)>…>C 1(t 0)=C 2>…>C 1(n ).上述讨论表明,如果人口是稳定态的,在相同的条件下,部分积累模式的缴费率不大于现收现付模式的缴费率,可以缓解由于人口老龄化带来的养老负担.因此,随着人口老龄化的到来,许多国家由原来的现收现付模式发展为部分积累模式.3完全积累模式完全积累模式下,个人账户的平衡指的是职工在职时的缴费收入与退休后的发放支出的平衡,这是单个职工的自身纵向平衡,与人口因素无关.平衡关键是根据个人账户的储存额、平均剩余寿命和预期利率来确定发放标准,以确保退休后平均养老金的发放.定理5完全积累模式下,个人账户的连续精算模型为C 3W (e km -e r m )k -r =Q r(1-E {e -rT}).(15)其中,W 为职工就业第一年工资,k 为工资增长率,m 为缴费年限,r 为个人账户记账利息度,C 3为工资的缴费比例,Q 为个人账户养老金发放的标准,T 为职工退休后的剩余寿命,是随机变量.证明因为第t 年的工资为W e kt,则退休时个人账户的终值为M 收=∫mC 3W e kt e r (m -t )d t =C 3W (e km -e r m )k -r.(16)而各年的养老金在退休年的现值为M 支=∫TQ e -r td t =Q r (1-e -rT).(17)由平衡条件M 收=E M 支可证之.推论1设E T =s ,则平衡条件下Q 的上界为Q ≤C 3W r k -r e km-erm1-e-rs .(18)证明由凸函数期望的性质得E {e -r T }≤e -rET =e -r s .(19)由(15),(19)式,可计算出Q 的上界.参　考　文　献[1]　周渭兵.社会养老保险精算研究现状及需要进一步研究的课题[J].统计研究,2000,12:46-49.[2]　王晓军.中国养老金制度及其精算评价[M ].北京:经济管理出版社,2000.[3]　王鉴刚.社会养老保险平衡测算[M ].北京:经济管理出版社,1999.[4]　Ger ber H U.L ife Insur ance M athematics[M ].Berlin:Spr inger -V er lag ,1990.[5]　郑真真,顾大勇,任强译.应用数理人口学[M ].北京:华夏出版社,2000.[6]　兰州大学社会人口研究所编写组.甘肃省1990年人口普查资料[M ].兰州:兰州大学出版社,1995.Continuous actuarial model of endowment insuranceYUA N J un -qing ,YAN G Bing ,LI Ze -H ui(Depar tment of M athematics,L anzhou U niv ersity ,L anzhou,730000,China)Abstract :In this paper ,the continuo us actuarial models of endow ment insurance in three patter ns arepr esented,and their balance conditions are discussed as w ell,w hich try to provide a stable theo ry for calculating pension income and expense level by m eans of actuarial techniques.Key words :endow ment insurance ;balance m odel ;actuar ial research MR (1991)Subject classification :62P 0515第6期原俊青等:养老保险的连续精算模型。

中国基本养老保险替代率精算模型及其应用_高建伟

年限至少15 年时, 年养老金替代率:
f = 0. 2 +
0. 11
( 1 + i ) { [ ( 1 + n1 ) ( 1 + n2 ) ] r - x - ( 1 + i ) r- x } [ ( 1 + n1 ) ( 1 + n2 ) - i] ( 1 + i) r - x
个人缴费年限少于 15 年时, 一次性养老金替代率:
加基本养老保险时平均工资为: w = t- r+ x + 1, x w t, r- 1 / [ ( 1 + n1) ( 1 + n2 ) ] r - 1- x 根据定期确定
年金理论[ 3] , 对 x 岁职工:
第一年初缴费到退休时终值: w t- r + x+ 1, x ( 1 + i ) r- x
f0=
0. 11
( 1 + i ) { [ ( 1 + n1 ) ( 1 + n2 ) ] r - x - ( 1 + i ) r- x } [ ( 1 + n1 ) ( 1 + n2 ) - i] ( 1 + i) r - x
证明由 1997 年国务院《决定》规定的职工个人缴费为本人缴费工资的 8% , 企业按职
对20 岁至45 岁在职职工, 由于其到退休时个人缴费年限已满15 年, 因此其退休后享受基础养老金和个人账户养老金, 计算基本养老金替代率见表 1:
表 1 20—45 各年龄个人养老金和基本养老金替代率表
年
基本养老保险替代率
年
基本养老保险替代率
年
基本养老保险替代率
龄

养老保险精算基础第二节

=(1100-1050)/1100=4.545%
实际贴现率:
“等价”的概念
实际利率和实际贴现率都是度量利息的方
法。任何一笔业务都可以同时用这两种方法来
度量。
如果对于给定的投资金额，在同样长的时
间内，利率与实际贴现率（或其他任何利息的
度量方式）能够产生同样的积累值，则称两个
“率”是“等价”的。
如例6中的6%与6.38%就是等价的。
实际利率恒定
单利与复利的比较从积累函数看单个度量期（t=1）: 1+it=(1+i)t 结果相同较长时期（t>1）: (1+i)t>1+it 复利产生更大积累值较短时期（t<1）: (1+i)t<1+it 单利产生更大积累值
从增长形式看单利：同样长时间积累值增长的绝对金额为常数。 a (t + s) – a (t)=s · i 利息与时间长度s成比，与t无关。
复利假设下实际贴现率为常数
dn=[a(t)-a(t-1)]/a(t)
复利条件下，对任意正整数t，有：
=[(1+i)n-(1+i)n-1]/(1+i)n
5
=i/(1+i)
6
这种情况下的贴现称为“复贴现”，类似于“复利”。
例题：7. 某人到银行存入1000元，第一年末
存折上余额为1050元，第二年余额为1100
A
第一节利息与年金
■第t时刻的利息（It）：
0
1
2
…..
t-1
t
第1期
第2期
第t期
It=At-At-1
■从初始时刻到第t时刻的利息：

社会保障精算(第三章)养老保险成本与债务的估计(2)

(
PVFB
） x
( NC ) x
Br
y
z
x
xz
rx r
年龄
rz
( AL)x
(
PVFB
） x
(PVFNC )x
(PVFB )x
csx
as (T ) x:r x
( AL)x
(PVFB )x
csx
as (T ) x:r x
（1）
先将
c
( PVFB ) z
/
sz
a s (T ) z:r z
代入（1）
正常成本与工资的比例
比例分配
水平分配
25
35
45
55
年龄
3.3.1.2 精算债务的估计
精算债务 ( AL)x ，是累积到计算年 x 的养老金权利 Bx 的现值。
x 1
Bx bt ty
( AL) x Bxar rx Ex Bxar rx px(T )vrx
（1）水平分配时的精算债务
x1
Br
r 1
st
Br Sr
ty
sx ─ x 岁时的工资； g ─ 养老金权利与工资之比。
3.3.1.1 正常成本的估计
在给付分配精算成本法下，年正常成本 (NC)x 是参保人在 x 年获得的养老金权利 bx 在计算之年的现值。
( NC ) x
rx Ex
bx ar
x
rx
r
年岁
(NC)x bxar E rx x bxar rx px(T )vrx
（1）水平分配时的正常成本
CA (NC)x
r
Br
y
ar
rx
Ex
Br ar r x px(T )vr x ry

养老保险精算模型操作及指标解释

寿险精算学课件：养老金数学

精算师的养老保险精算

养老保险精算模型操作及指标解释

个人帐户养老金精算模型

养老保险问题的数学模型

养老金投资的战略配置与精算分析

保险业中的保险精算模型与方法

李斯特养老金计划所用数学模型

最新个人帐户养老金精算模型

养老金收支平衡精算模型

个人账户中养老金给付精算模型及其应用

养老保险精算

养老保险基金收支平衡精算模型

数学建模——关于养老金的分析与计算及简化编程

养老保险的连续精算模型

中国基本养老保险替代率精算模型及其应用_高建伟

养老保险精算基础第二节

社会保障精算(第三章)养老保险成本与债务的估计(2)