沪教版 八年级数学 寒假班讲义 一次函数的图像及性质(解析版)

1、 一元一次方程与一次函数

（1） 对于一次函数m ，由它的函数值0y =就得到关于x 的一元一次方程0kx b +=，

解这个方程得b

x k

=-，于是可以知道一次函数m 的图像与x 轴的交点坐标为

(0)b k -，； （2） 若已知一次函数m 的图像与x 轴的交点坐标，也可以知道这个交点的横坐标

b

x k =-，其就是一元一次方程0kx b +=的根．

2、 一元一次不等式与一次函数

（1） 由一次函数y kx b =+的函数值y 大于0（或小于0），就得到关于x 的一元一次不等

式0kx b +>（或0kx b +<）的解集．

（2） 在一次函数m 的图像上且位于x 轴上方（或下方）的所有点，它们的横坐标的取值

范围就是不等式0kx b +>（或0kx b +<）的解集．

一次函数

知识结构

例题解析

知识精讲

模块一：一次函数与不等式

y

x

6

O

y

x

-2

O 没

【例1】 已知一次函数经过(20)A ，和(13)B -，，在直角坐标系中画出函数图像且求在这个

一次函数图像上且位于x 轴上方所有点的横坐标的取值范围． 【答案】图像如图，2x >． 【解析】图像如图，2x >．

【总结】本题考察了一次函数与一元一次不等式的关系．

【例2】 已知(0)y kx b k =+≠的函数图像如图所示：

（1）求在这个函数图像上且位于x 轴上方所有点的横坐标的取值范围；

（2）求不等式0kx b +≤的解集． 【答案】（1）6x <； （2）6x ≥． 【解析】（1）由图像可得：6x <； （2）由图像可得：6x ≥．

【总结】本题考察了一次函数与一元一次不等式的关系．

【例3】 已知(0)y kx b k =+≠的函数图像如图所示：

（1）求在这个函数图像上且位于y 轴左侧所有点的横坐标的取值范围； （2）求在这个函数图像上且位于y 轴右侧所有点的纵坐标的取值范围； （3）求2016y x b =-+在y 轴上的截距． 【答案】（1）0x <；（2）2y >-；（3）2-． 【解析】（1）由图像可得：0x <； （2）由图像可得：0x >； （3）由图像可得：2b =-

∴2016y x b =-+在y 轴上的截距是2-．

【总结】本题考察了一次函数与不等式的关系，注意分析清楚题目中所要求的结果．

【例4】 已知一次函数解析式是1

32y x =

-． （1）当x 取何值时，2y =?

（2）当x 取何值时，2y >?

（3）当x取何值时，2

y

（4）当x取何值时，02

y

<

【答案】（1）10

x=；（2）10

x>；（3）10

x<；（4）610

x

<<．

【解析】（1）令1

32

2

x-=，解得：10

x=；

（2）令1

32

2

x->，解得：10

x>；

（3）令1

32

2

x-<，解得：10

x<；

（4）令

1

032

2

x

<-<，解得：610

x

<<．

【总结】本题考察了一次函数与不等式的关系，本题也可以通过函数图像求解．

【例5】已知函数()31

f x x

=-+．

（1）当x取何值时，()2

f x=-?

（2）当x取何值时，4()2

f x

>>-?

（3）在平面直角坐标系中，在直线()31

f x x

=-+上且位于x轴下方所有点，它们的横坐标的取值范围是什么?

【答案】（1）1

x=；（2）11

x

-<<；（3）

1

3 x>．

【解析】（1）令312

x

-+=-，解得：1

x=；

（2）令4312

x

>-+>-，解得：11

x

-<<；

（3）令310

x

-+<，解得：

1

3 x>．

【总结】本题考察了一次函数与不等式的关系，本题也可以通过函数图像求解．【例6】已知方程20(0)

ax a

-=>的解为4

x=，

（1）求出函数2

y ax

=-与x轴的交点坐标；

（2）解不等式20

ax-≥．

【答案】（1）（4，0）；（2）4

x≥．

【解析】由一次函数与方程不等式的关系得：

（1）2

y ax

=-与x轴的交点坐标为：（4，0）；

（2）20ax -≥的解集为：4x ≥．

【总结】本题考察了一次函数与方程不等式的关系，本题也可由一次函数的图像或者是函数的性质求得最终结果．

【例7】 已知一次函数y ax b =+与y mx n =+交于点(34)，，根据其图像回答下列问题：

（1）求解不等式组：4

4ax b mx n +>⎧⎨+≤⎩

；

（2）求解方程组：y b ax

mx y n -=⎧⎨=-⎩

；

（3）求解不等式：ax b mx n +≤+．

【答案】（1）3x >；（2）3

4x y =⎧⎨=⎩

； （3）3x ≤．

【解析】由一次函数与方程不等式的关系得：

（1）由4ax b +>可得：3x >；由4mx n +≤可得：3x ≥； ∴3x >；

（2）y b ax

mx y n -=⎧⎨=-⎩的解即为两条直线交点坐标，即：34

x y =⎧⎨=⎩；

（3）ax b mx n +≤+解集为y ax b =+在y mx n =+上方时x 的范围，即3x ≤． 【总结】本题考察了一次函数与方程及不等式的关系，主要是根据图像进行求解．

【例8】 当－1≤x ≤2时，函数6y ax =+满足10y <，求出常数a 的取值范围． 【答案】42a -<<．

【解析】当0a >时，max 2610y a =+<，解得：2a <； 当0a <时，min 610y a =-+<，解得：4a >-； 当0a =时，66y ax =+=，满足10y <； ∴42a -<<．

【总结】本题考察了一次函数的性质，注意解题时要分类讨论．