线性代数与几何

夹角为θ。混合积就是这个六面体的体积V。六面体的平行四边形底的面
积为 |αβ|，高与底面垂直，因而与αβ共线，其长度是γ在αβ上的投影， 即
h = |γ cos<αβ,γ>|
10 October 2018
北京大学工学院
3Байду номын сангаас
因此
V= |α β| | γcos<α β, γ >| = |α β| | γ | | cos<α β, γ >| =|(α β) γ || (α, β, γ ) |
(1) (2)
(α β) γ (αγ)β (βγ)α α (β γ) (αγ)β (α β) γ
例题3.23， 3.24, 3.25, 习题14（5）
10 October 2018
北京大学工学院
8
第二次课作业
P123: 18, 21, 22, 23
当<αβ,γ>为锐角时，cos<αβ,γ>大于零，(α, β, γ)>0，α, β, γ符合右手系； 当<αβ,γ>为钝角时，cos<αβ,γ>小于零, (α, β, γ)<0；α, β, γ符合左手系。 对于给定的轮转（奇偶排列）：大小一样，但需确定正负号。所谓的“正 负号”定下了体积的方向，所以称 (α, β, γ) 为有向体积或定向体积。
10 October 2018
北京大学工学院
4
性质： 1)轮转对称性：(α, β, γ) = (γ, α, β) = (β, γ, α) 2)(α, β, γ) = −(β, α, γ) 3)(kα, β, γ) = (α, kβ, γ) = (α, β, kγ) = k(α, β, γ), 对任意的实数k 4)(α1+α2, β, γ) = (α1, β, γ) + (α2, β, γ) 5)(α, α, γ) = 0 例题 3.19，3.20
10 October 2018
北京大学工学院
1
第四章 向量代数、平面与直线 （第23次课）
10 October 2018
北京大学工学院
§5 混合积与复合积
定义：三个向量α, β, γ的混合积是一个实数，它等于向量α, β先做向量积， 然后再与γ作数量积，记为(α, β, γ)，即 (α, β, γ) =(αβ)· γ 几何意义：设α, β, γ不共面，过点O作一个以α, β, γ的棱的平行六面体，它 的底面为α, β所决定的平面，其高为h，体积为V，作αβ，并记αβ与γ的
1 V= (α, β, γ ) 6 x2 x1 1 det x3 x1 6 x x 4 1 1 x1 1 x2 1 det 1 x3 6 1 x4
y2 y1 y3 y1 y4 y1 y1 y2 y3 y4 z1 z2 z3 z4
z2 x2 y2
z3 x1 x3 det y1 z y3 1
我们看到 混合积等价于 “行列式”
10 October 2018
北京大学工学院
6
直角坐标系下四面体ABCD的体积：A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2), C(x3,y3,z3), D(x4,y4,z4)
z2 z1 z3 z1 z4 z1
10 October 2018
北京大学工学院
7
复合积 定义：三个向量α, β, γ的复合积（双叉积或双重外积）是一个向量，它等 于两个向量先做向量积，然后再与第3个向量作向量积。如：(αβ)γ， α(βγ)等。 首先结合律不成立：(αβ)γ ≠ α(βγ) 复合积公式（中项原则）
10 October 2018
北京大学工学院
5
直角坐标系 (O; i, j, k)下的混合积计算（右手系）
i α β det x1 y 1 z1 (α β) γ det x1 y 1
例题 3.21， 3.22
j x2 y2
k x3 y3 x2 y2 z2 x3 y3 z3