高考数学 反函数

高考数学 反函数

时间：45分钟 分值：100分

一、选择题(每小题5分，共30分)

1．设函数f (x )＝log 2x ＋3，x ∈＝__________.

解析：依题意得g (－1)＝－1＋2＝1，g ＝g (1)＝f －1(1)．设f －1(1)＝t ，则有f (t )＝1，即e 2(t －1)＝1，t ＝1，所以g ＝1.

答案：1

9．已知函数f (x )＝a －x x －a －1

的反函数f －1(x )的图象的对称中心是(－1,3)，则实数a 的值为__________．

解析：因为f －1(x )的图象的对称中心是(－1,3)，所以f (x )的图象的对称中心为(3，－1)．又由f (x )＝a －x ＋1－1x －a －1＝－1－1x －a －1

，则f (x )的图象可由g (x )＝－1x 的图象中心(0,0)平移到(3，－1)得到，所以a ＋1＝3，即a ＝2.

答案：2

10．(2009·重庆二次调研)若函数f (x )＝log 2(4x －2)，则方程f －

1(x )＝x 的解是__________． 解析：由f －1(x )＝x ，得x ＝f (x )，∴x ＝log 2(4x －2)，即2x ＝4x －2，∴2x ＝2.∴x ＝1. 答案：x ＝1

三、解答题(共50分)

11．(15分)求y ＝lg(x －x 2－4)的反函数．

解：由x －x 2－4>0，得x >x 2－4， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，x 2－4≥0，

x 2>x 2－4. ∴x ≥2.

∴lg(x －x 2－4)＝lg 4

x ＋x 2－4

≤lg 42＝lg2. 由y ＝lg(x －

x 2－4)．得 x －x 2－4＝10y ，

x 2－4＝x －10y . ∴x 2－4＝x 2－2·10y x ＋102y .

∴x ＝12

(4·10－y ＋10y )． 故f －1(x )＝12

(10x ＋4·10－x )，x ∈(－∞，lg2]． 12．(15分)设函数f (x )＝2x －1有反函数f －1(x )，g (x )＝log 4(3x ＋1)，

(1)若f －1(x )≤g (x )，求x 的取值范围D ；

(2)设H (x )＝g (x )－12

f －1(x )，当x ∈D 时，求函数H (x )的值域及它的反函数H －1(x )． 解：(1)∵f (x )＝2x －1的定义域是R ，值域是(－1，＋∞)．由y ＝2x －1解得x ＝lo

g 2(y ＋

1)(y >－1)，

∴f －1(x )＝log 2(x ＋1)(x >－1)，于是f －1(x )≤g (x )即为log 2(x ＋1)≤log 4(3x ＋1)，即⎩

⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，

(x ＋1)2≤3x ＋1. ∴0≤x ≤1，即D ＝．

(2)H (x )＝g (x )－12f －1(x )＝log 4(3x ＋1)－12

log 2(x ＋1) ＝12log 23x ＋1x ＋1＝12log 2(3－2x ＋1

)． ∵0≤x ≤1，∴1≤3－2x ＋1

≤2. ∴0≤12log 2(3－2x ＋1)≤12

. ∴H (x )的值域为．

由y ＝12log 2(3－2x ＋1)得3－2x ＋1

＝22y ， ∴2x ＋1＝3－4y ，x ＋1＝23－4y ，x ＝4y －13－4y

，y ∈． ∴H －1(x )＝4x －13－4x

(x ∈)． 13．(20分)(2009·上海高考)已知函数y ＝f －1(x )是y ＝f (x )的反函数．定义：若对给定的实

数a (a ≠0)，函数y ＝f (x ＋a )与y ＝f －1(x ＋a )互为反函数，则称y ＝f (x )满足“a 和性质”；若

函数y ＝f (ax )与y ＝f －1(ax )互为反函数，则称y ＝f (x )满足“a 积性质”．

(1)判断函数g (x )＝x 2＋1(x >0)是否满足“1和性质”，并说明理由；

(2)求所有满足“2和性质”的一次函数；

(3)设函数y ＝f (x )(x >0)对任何a >0，满足“a 积性质”．求y ＝f (x )的表达式．

解：(1)函数g (x )＝x 2＋1(x >0)的反函数是g －1(x )＝

x －1(x >1)，∴g －1(x ＋1)＝x (x >0)， 而g (x ＋1)＝(x ＋1)2＋1(x >－1)，其反函数为y ＝

x －1－1(x >1)， 故函数g (x )＝x 2＋1(x >0)不满足“1和性质”．

(2)设函数f (x )＝kx ＋b (x ∈R )满足“2和性质”，k ≠0.

∴f －1(x )＝x －b k (x ∈R )，∴f －1(x ＋2)＝x ＋2－b k

， 而f (x ＋2)＝k (x ＋2)＋b (x ∈R )，得反函数为y ＝

x －b －2k k ，由“2和性质”定义可知x ＋2－b k ＝x －b －2k k

对x ∈R 恒成立，∴k ＝－1，b ∈R ，即所求一次函数为f (x )＝－x ＋b (b ∈R )． (3)设a >0，x 0>0，且点(x 0，y 0)在y ＝f (ax )图象上，则(y 0，x 0)在函数y ＝f －1(ax )图象上，故⎩⎪⎨⎪⎧

f (ax 0)＝y 0，f －1(ay 0)＝x 0，

可得ay 0＝f (x 0)＝af (ax 0)．令ax 0＝x ，则a ＝x x 0，∴f (x 0)＝x x 0f (x )，即f (x )＝x 0f (x 0)x

. 综上所述，f (x )＝k x (k ≠0)，此时f (ax )＝k ax ，其反函数就是y ＝k ax ，而f －1(ax )＝k ax ，故y