第三章 线性控制系统的能控性和能观性

最后在系统结构分解的基础上介绍传递函数 的最小实现。
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§3-1 能控性的定义
能控性所考察的只是系统在控制作用u(t)的控 制下，状态矢量x(t)的转移情况，与输出y(t)无关， 所以只需从系统的状态方程研究出发即可。
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一、线性连续定常系统的能控性ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ义
线性连续定常系统
x A x Bu
如果存在一个分段连续的输入u(t)，能在有 限时间区间[t0, tf]内，使系统由某一初始状态x(t0)， 转移到指定的任一终端状态x(tf)，则称此状态是 能控的。若系统的所有状态都是能控的，则称此 系统是状态完全能控的，或简称系统是能控的。
(3-5)
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x 0 1
0 0
2 x b 2 u;
yc1
c2x
1) 对式(3-3)的系统，系统矩阵A为对角线型，其 标量微分方程形式为
x 11x1
x 22x2b 2 u
(3-6) (3-7)
从式(3-7)可知，x2可以受控制量u的控制， 从式(3-6)又知，x1与u无关, 即不受u控制。
x (k 1 ) G (k ) x H (k )u
其中u(k)是标量控制作用,在(k, k+1)区间内是个常值。
能控性定义为: 若存在控制作用序列u(k), u(k+1), u(l-1)能将
第k步的某个状态x(k)在第l步上到达零状态，即： x(l)=0，其中l是大于k的有限数，那么就称此状态 是能控的。若系统在第k步上的所有状态x(k)都是 能控的，那么此系统是状态完全能控的，称为能控 系统。
可以看出，系统中某一状态的能控和系统的 状态完全能控在含义上是不同的。
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几点说明:
1) 在线性定常系统中，为简便计，可以假定初始 时刻t0=0，初始状态为x(0)，而任意终端状态就指 定为零状态，即 x(tf )0
2) 也可以假定x(t0)=0，而x(tf)为任意终端状态， 换句话说，若存在一个无约束控制作用u(t)，在 有限时间[t0, tf]能将x(t)由零状态驱动到任意x(tf)。 在这种情况下，称为状态的能达性。
因而只有一个特殊状态
x(t)
0 x2(t)
是能控状态，故为状态不完全能控的，因而为不能
控系统。
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就状态空间而言，如图3-2所示。
能控部分是图中 粗线所示的一条线， 它属于能控状态子空 间，除此子空间以外 的整个空间，都是不 能控的状态子空间。
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式(3-3)系统的方块结构图如图3-3所示。
1．单输入系统
具有约旦标准型系统矩阵的单输入系统，状态
方程为
x Λ x bu
(3-1)
或
x J xbu
(3-2)
1
0
2
Λ
3
0
n
12 3 n 即n个根互异
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12
1 1
1 1
0
0
1
1
m 1
0
J
0
m
0
1
m
m 1
0
0
0
0
n
(m-l)个1重根, l个m重根，其余为互异根。
在线性定常系统中，能控性与能达性是可以 互逆的，即能控系统一定是能达系统，能达系统 一定是能控系统。
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3) 在讨论能控性问题时，控制作用从理论上说是 无约束的，其取值并非唯一的，因为我们关心的只 是它能否将x(t0)驱动到x(tf)而不计较x的轨迹如何。
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三、离散时间系统
只考虑单输入的n阶线性定常离散系统
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上述定义可以在二阶系统的状态平面上来说 明(如图3-1所示)。
假定状态平面中的 P点能在输入的作用下 被驱动到任一指定状态 P1, P2, P3,, Pn，那么 状态平面的p点是能控 状态。
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假如能控状态“充满”整个状态空间，即对 于任意初始状态都能找到相应的控制输入u(t)，使 得在有限的时间区间[t0, tf]内，将状态转移到状态 空间的任一指定状态，则该系统称为状态完全能 控。
第三章 线性控制系统的能控性和能观性
§3-1 能控性的定义 §3-2 线性定常系统能控性判别 §3-3 线性连续定常系统能观性 §3-4 离散时间系统的能控性与能观性 §3-6 能控性与能观性的对偶关系 §3-7 状态空间表达式的能控标准型与能观标准型 §3-8 线性系统的结构分解 §3-9 传递函数矩阵的实现问题 §3-10 传递函数中零极点对消与状态能控性和
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§3-2 线性定常系统能控性判别
线性定常系统能控性判别准则有两种形式
➢ 一种是先将系统进行状态变换，把状态方程化 为约旦标准型 (Aˆ, Bˆ，) 再根据 阵Bˆ ，确定系统的能控 性; ➢ 另一种方法是直接根据状态方程的A阵和B阵， 确定其能控性。
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一、具有约旦标准型系统的能控性判别
能 控 性 和 能 观 性 正 是 分 别 分 析 u(t) 对 状 态 x(t) 的控制能力以及输出y(t)对状态x(t)的反映能力。
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本章将在详细讨论能控性和能观性定义的基 础上，介绍有关判别系统能控性和能观性的准则， 以及能控性与能观性之间的对偶关系。
然后介绍如何通过非奇异变换把能控系统和 能观系统的动力学方程化成能控标准型和能观标 准型，把不完全能控系统和不完全能观系统的动 力学方程进行结构分解。
能观性之间的关系
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在现代控制理论中，能控性和能观性是两个重 要的概念，是卡尔曼(Kalman)在1960年首先提出 来的，它是最优控制和最优估计的设计基础。
现代控制理论是建立在用状态空间描述的基 础上的。状态方程描述了输入u(t)引起状态x(t)的 变化过程；输出方程则描述了由状态变化引起的输 出y(t)的变化。
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b b 1 b 2 b n T
为简明起见，下面举三个具有上述类型的二阶 系统，对能控性加以剖析。
x 0 1 0 2 x b 0 2 u ; yc1 c2x
(3-3)
x 0 1 1 1 x b 0 2 u; yc1 c2x
(3-4)
x 0 1 1 1 x b 0 1 u; yc1 c2x
它是一个并联型 的结构，而对应x1(t) 这个方块而言, 是一 个 与 u(t) 无 联 系 的 孤 立部分，而状态x2(t) 受 u(t) 影 响 ， 故 x1(t) 不能控的。
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x 0 1
1 0
1 x b 2 u;
yc1
c2x
2) 对于式(3-4)的系统，系统矩阵A为约旦型，微分