《选修4-5 不等式选讲》知识点详解+例题+习题(含详细答案)

选修4－5不等式选讲最新考纲：1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)．(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－c|＋|x－b|≥a.3.了解柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明.4.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法．1．含有绝对值的不等式的解法(1)|f(x)|>a(a>0)⇔f(x)>a或f(x)<－a；(2)|f(x)|<a(a>0)⇔－a<f(x)<a；(3)对形如|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．2．含有绝对值的不等式的性质|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.问题探究：不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中，“＝”成立的条件分别是什么？提示：不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|.3．基本不等式定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b时，等号成立．定理2：如果a、b为正数，则a＋b2≥ab，当且仅当a＝b时，等号成立．定理3：如果a、b、c为正数，则a＋b＋c3≥3abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均值不等式)如果a 1、a 2、…、a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n≥n a 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立． 4．柯西不等式(1)柯西不等式的代数形式：设a ，b ，c ，d 为实数，则(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立．(2)若a i ，b i (i ∈N *)为实数，则(∑i ＝1n a 2i )(∑i ＝1n b 2i )≥(∑i ＝1n a i b i )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α|·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立．1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)对|a ＋b |≥|a |－|b |当且仅当a >b >0时等号成立．( )(2)对|a －b |≤|a |＋|b |当且仅当ab ≤0时等号成立．( )(3)|ax ＋b |≤c (c >0)的解等价于－c ≤ax ＋b ≤c .( )(4)不等式|x －1|＋|x ＋2|<2的解集为Ø.( )(5)若实数x 、y 适合不等式xy >1，x ＋y >－2，则x >0，y >0.( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√2．不等式|2x －1|－x <1的解集是( )A ．{x |0<x <2}B ．{x |1<x <2}C ．{x |0<x <1}D ．{x |1<x <3}[解析] 解法一：x ＝1时，满足不等关系，排除C 、D 、B ，故选A.解法二：令f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －1，x ≥12，1－3x ，x <12，则f (x )<1的解集为{x |0<x <2}．[答案] A 3．设|a |<1，|b |<1，则|a ＋b |＋|a －b |与2的大小关系是( )A．|a＋b|＋|a－b|>2 B．|a＋b|＋|a－b|<2C．|a＋b|＋|a－b|＝2 D．不能比较大小[解析]|a＋b|＋|a－b|≤|2a|<2.[答案]B4．若a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，则a＋b＋c的最大值为() A．1 B． 2C. 3 D．2[解析](a＋b＋c)2＝(1×a＋1×b＋1×c)2≤(12＋12＋12)(a＋b＋c)＝3.当且仅当a＝b＝c＝13时，等号成立．∴(a＋b＋c)2≤3.故a＋b＋c的最大值为 3.故应选C.[答案]C5．若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．[解析]利用数轴及不等式的几何意义可得x到a与到1的距离和小于3，所以a的取值范围为－2≤a≤4.[答案]－2≤a≤4考点一含绝对值的不等式的解法解|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型不等式，其一般步骤是：(1)令每个绝对值符号里的代数式为零，并求出相应的根．(2)把这些根由小到大排序，它们把定义域分为若干个区间．(3)在所分区间上，去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集．(4)这些不等式解集的并集就是原不等式的解集．解绝对值不等式的关键是恰当的去掉绝对值符号．(1)(2015·山东卷)不等式|x －1|－|x －5|<2的解集是( )A ．(－∞，4)B ．(－∞，1)C ．(1,4)D ．(1,5)(2)(2014·湖南卷)若关于x 的不等式|ax －2|<3的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －53<x <13，则a＝________. [解题指导] 切入点：“脱掉”绝对值符号；关键点：利用绝对值的性质进行分类讨论．[解析] (1)当x <1时，不等式可化为－(x －1)＋(x －5)<2，即－4<2，显然成立，所以此时不等式的解集为(－∞，1)；当1≤x ≤5时，不等式可化为x －1＋(x －5)<2，即2x －6<2，解得x <4，又1≤x ≤5，所以此时不等式的解集为[1,4)；当x >5时，不等式可化为(x －1)－(x －5)<2，即4<2，显然不成立，所以此时不等式无解．综上，不等式的解集为(－∞，4)．故选A.(2)∵|ax －2|<3，∴－1<ax <5.当a >0时，－1a <x <5a ，与已知条件不符；当a ＝0时，x ∈R ，与已知条件不符；当a <0时，5a <x <－1a ，又不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－53<x <13，故a ＝－3. [答案] (1)A (2)－3用零点分段法解绝对值不等式的步骤：(1)求零点；(2)划区间、去绝对值号；(3)分别解去掉绝对值的不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．对点训练已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|.(1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围．[解] (1)当a ＝－3时，f (x )＝⎩⎨⎧ －2x ＋5，x ≤2，1，2<x <3，2x －5，x ≥3.当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1；当2<x <3时，f (x )≥3无解；当x ≥3时，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4；所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1或x ≥4}．(2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |.当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a |⇔－2－a ≤x ≤2－a .由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0.故满足条件的a 的取值范围为[－3,0]．考点二 利用绝对值的几何意义或图象解不等式对于形如|x －a |＋|x －b |>c 或|x －a |＋|x －b |<c 的不等式，利用绝对值的几何意义或者画出左、右两边函数的图象去解不等式，更为直观、简捷，它体现了数形结合思想方法的优越性．|x －a |＋|x －b |的几何意义是数轴上表示x 的点与点a 和点b 的距离之和，应注意x 的系数为1.(1)(2014·重庆卷)若不等式|x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．(2)不等式|x ＋1|－|x －2|>k 的解集为R ，则实数k 的取值范围是__________．[解题指导] 切入点：绝对值的几何意义；关键点：把恒成立问题转化为最值问题．[解析] (1)∵|x －1|＋|x ＋2|≥|(x －1)－(x －2)|＝3，∴a 2＋12a ＋2≤3，解得－1－174≤a ≤－1＋174. 即实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－174，－1＋174. (2)解法一：根据绝对值的几何意义，设数x ，－1,2在数轴上对应的点分别为P ，A ，B ，则原不等式等价于P A －PB >k 恒成立．∵AB ＝3，即|x ＋1|－|x －2|≥－3.故当k <－3时，原不等式恒成立．解法二：令y ＝|x ＋1|－|x －2|，则y ＝⎩⎨⎧ －3，x ≤－1，2x －1，－1<x <2，3，x ≥2，要使|x ＋1|－|x －2|>k 恒成立，从图象中可以看出，只要k <－3即可．故k <－3满足题意．[答案] (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－174，－1＋174 (2)(－∞，－3)解含参数的不等式存在性问题，只要求出存在满足条件的x 即可；不等式的恒成立问题，可转化为最值问题，即f (x )<a 恒成立⇔a >f (x )max ，f (x )>a 恒成立⇔a <f (x )min .对点训练(2015·唐山一模)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a ，a ∈R ，g (x )＝|2x －1|.(1)若当g (x )≤5时，恒有f (x )≤6，求a 的最大值；(2)若当x ∈R 时，恒有f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围．[解] (1)g (x )≤5⇔|2x －1|≤5⇔－5≤2x －1≤5⇔－2≤x ≤3；f (x )≤6⇔|2x －a |≤6－a ⇔a －6≤2x －a ≤6－a ⇔a －3≤x ≤3.依题意有，a －3≤－2，a ≤1.故a的最大值为1.(2)f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋|2x－1|＋a≥|2x－a－2x＋1|＋a＝|a－1|＋a，当且仅当(2x－a)(2x－1)≤0时等号成立．解不等式|a－1|＋a≥3，得a的取值范围是[2，＋∞)．考点三不等式的证明与应用不等式的证明方法很多，解题时既要充分利用已知条件，又要时刻瞄准解题目标，既不仅要搞清是什么，还要搞清干什么，只有兼顾条件与结论，才能找到正确的解题途径．应用基本不等式时要注意不等式中等号成立的条件．(2015·新课标全国卷Ⅱ)设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：(1)若ab>cd，则a＋b>c＋d；(2)a＋b>c＋d是|a－b|<|c－d|的充要条件．[解题指导]切入点：不等式的性质；关键点：不等式的恒等变形．[证明](1)因为(a＋b)2＝a＋b＋2ab，(c＋d)2＝c＋d＋2cd，由题设a＋b＝c＋d，ab>cd得(a＋b)2>(c＋d)2.因此a＋b>c＋d.(2)①若|a－b|<|c－d|，则(a－b)2<(c－d)2，即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.由(1)得a＋b>c＋d.②若a＋b>c＋d，则(a＋b)2>(c＋d)2，即a＋b＋2ab>c＋d＋2cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c －d)2.因此|a－b|<|c－d|.综上，a＋b>c＋d是|a－b|<|c－d|的充要条件．分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．对点训练(2014·新课标全国卷Ⅱ)设a、b、c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明：(1)ab＋bc＋ac≤1 3；(2)a2b＋b2c＋c2a≥1.[证明](1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤1 3.(2)因为a2b＋b≥2a，b2c＋c≥2b，c2a＋a≥2c，故a2b＋b2c＋c2a＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.所以a2b＋b2c＋c2a≥1.———————方法规律总结————————[方法技巧]1．绝对值不等式求解的根本方向是去除绝对值符号．2．绝对值不等式在求与绝对值运算有关的最值问题时需灵活运用，同时还要注意等号成立的条件．3．在证明不等式时，应根据命题提供的信息选择合适的方法与技巧．如在使用柯西不等式时，要注意右边为常数．[易错点睛]1．对含有参数的不等式求解时，分类要完整．2．应用基本不等式和柯西不等式证明时要注意等号成立的条件．课时跟踪训练(七十)一、填空题1．不等式|2x －1|<3的解集为__________．[解析] |2x －1|<3⇔－3<2x －1<3⇔－1<x <2.[答案] (－1,2)2．若不等式|kx －4|≤2的解集为{x |1≤x ≤3}，则实数k ＝__________.[解析] ∵|kx －4|≤2，∴－2≤kx －4≤2，∴2≤kx ≤6.∵不等式的解集为{x |1≤x ≤3}，∴k ＝2.[答案] 23．不等式|2x ＋1|＋|x －1|<2的解集为________．[解析] 当x ≤－12时，原不等式等价为－(2x ＋1)－(x －1)<2，即－3x <2，x >－23，此时－23<x ≤－12.当－12<x <1时，原不等式等价为(2x ＋1)－(x －1)<2，即x <0，此时－12<x <0.当x ≥1时，原不等式等价为(2x ＋1)＋(x －1)<2，即3x <2，x <23，此时不等式无解，综上，原不等式的解为－23<x <0，即原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0. [答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0 4．已知关于x 的不等式|x －1|＋|x |≤k 无解，则实数k 的取值范围是__________．[解析] ∵|x －1|＋|x |≥|x －1－x |＝1，∴当k <1时，不等式|x －1|＋|x |≤k 无解，故k <1.[答案] (－∞，1)5．(2015·西安统考)若关于实数x 的不等式|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，则实数a 的取值范围是________．[解析] |x －5|＋|x ＋3|≥|(x －5)－(x ＋3)|＝8，故a ≤8.[答案] (－∞，8]6．(2015·重庆卷)若函数f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |的最小值为5，则实数a ＝__________.[解析] 当a ＝－1时，f (x )＝3|x ＋1|≥0，不满足题意；当a <－1时，f (x )＝⎩⎨⎧ －3x －1＋2a ，x ≤a ，x －1－2a ，a <x ≤－1，3x ＋1－2a ，x >－1，f (x )min ＝f (a )＝－3a －1＋2a ＝5，解得a ＝－6；当a >－1时，f (x )＝⎩⎨⎧ －3x －1＋2a ，x ≤－1，－x ＋1＋2a ，－1<x ≤a ，3x ＋1－2a ，x >a ，f (x )min ＝f (a )＝－a ＋1＋2a ＝5，解得a＝4.[答案] －6或4 7．若关于x 的不等式|a |≥|x ＋1|＋|x －2|存在实数解，则实数a 的取值范围是__________．[解析] ∵f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|＝⎩⎨⎧ －2x ＋1(x ≤－1)，3 (－1<x <2)，2x －1 (x ≥2)，∴f (x )≥3.要使|a |≥|x ＋1|＋|x －2|有解，∴|a |≥3，即a ≤－3或a ≥3.[答案] (－∞，－3]∪[3，＋∞)8．已知关于x 的不等式|x －a |＋1－x >0的解集为R ，则实数a 的取值范围是__________．[解析] 若x －1<0，则a ∈R ；若x －1≥0，则(x －a )2>(x －1)2对任意的x ∈[1，＋∞)恒成立，即(a －1)[(a ＋1)－2x ]>0对任意的x ∈[1，＋∞)恒成立，所以⎩⎨⎧ a －1>0，a ＋1>2x ，(舍去)或⎩⎨⎧ a －1<0，a ＋1<2x ，对任意的x ∈[1，＋∞]恒成立，解得a <1.综上，a <1.[答案] (－∞，1)9．设a ，b ，c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝9，则2a ＋2b ＋2c 的最小值为__________．[解析] ∵(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋2b ＋2c＝[(a )2＋(b )2＋(c )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫2b 2＋⎝⎛⎭⎪⎫2c 2 ≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·2a ＋b ·2b ＋c ·2c 2＝18， ∴2a ＋2b ＋2c ≥2，∴2a ＋2b ＋2c 的最小值为2. [答案] 210．(2014·陕西卷)设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则 m 2＋n 2的最小值为________．[解析] 由柯西不等式，得(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)≥(am ＋bn )2， 即5(m 2＋n 2)≥25，∴m 2＋n 2≥5，当且仅当an ＝bm 时，等号成立．∴m 2＋n 2的最小值为 5. [答案]511．对任意x ，y ∈R ，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为__________． [解析] ∵|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1| ＝(|1－x |＋|x |)＋(|1－y |＋|1＋y |)≥|(1－x )＋x |＋|(1－y )＋(1＋y )|＝1＋2＝3，当且仅当(1－x )·x ≥0，(1－y )·(1＋y )≥0，即0≤x ≤1，－1≤y ≤1时等号成立，∴|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3. [答案] 312．若不等式|x ＋1|－|x －4|≥a ＋4a ，对任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．[解析] 只要函数f (x )＝|x ＋1|－|x －4|的最小值不小于a ＋4a 即可．由于||x ＋1|－|x －4||≤|(x ＋1)－(x －4)|＝5，所以－5≤|x ＋1|－|x －4|≤5，故只要－5≥a ＋4a 即可．当a >0时，将不等式－5≥a ＋4a 整理，得a 2＋5a ＋4≤0，无解；当a <0时，将不等式－5≥a ＋4a 整理，得a 2＋5a ＋4≥0，则有a ≤－4或－1≤a <0.综上可知，实数a 的取值范围是(－∞，－4]∪[－1,0)．[答案] (－∞，－4]∪[－1,0) 二、解答题13．已知不等式2|x －3|＋|x －4|<2a . (1)若a ＝1，求不等式的解集；(2)若已知不等式的解集不是空集，求a 的取值范围． [解] (1)当a ＝1时，不等式即为2|x －3|＋|x －4|<2， 若x ≥4，则3x －10<2，x <4，∴舍去； 若3<x <4，则x －2<2，∴3<x <4； 若x ≤3，则10－3x <2，∴83<x ≤3.综上，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪83<x <4.(2)设f (x )＝2|x －3|＋|x －4|，则f (x )＝⎩⎨⎧3x －10，x ≥4，x －2，3<x <4，10－3x ，x ≤3.作出函数f (x )的图象，如图所示． 由图象可知，f (x )≥1，∴2a >1，a >12，即a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.14．(2015·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围． [解] (1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0. 当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解；当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得23<x <1； 当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2. 所以f (x )>1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪23<x <2. (2)由题设可得，f (x )＝⎩⎨⎧x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，0，B (2a ＋1,0)，C (a ，a ＋1)，△ABC 的面积为23(a ＋1)2.由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2. 所以a 的取值范围为(2，＋∞)． 15．设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |. (1)若a ＝－1，解不等式f (x )≥3；(2)如果∀x ∈R ，f (x )≥2，求a 的取值范围． [解] (1)当a ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|，f (x )＝⎩⎨⎧－2x ，x <－1，2，－1≤x ≤1，2x ，x >1.作出函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|的图象．由图象可知，不等式f (x )≥3的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－32或x ≥32. (2)若a ＝1，f (x )＝2|x －1|，不满足题设条件；若a <1，f (x )＝⎩⎨⎧ －2x ＋a ＋1，x ≤a ，1－a ，a <x <1，2x －(a ＋1)，x ≥1，f (x )的最小值为1－a ；若a >1，f (x )＝⎩⎨⎧－2x ＋a ＋1，x ≤1，a －1，1<x <a ，2x －(a ＋1)，x ≥a ，f (x )的最小值为a －1.∴对于∀x ∈R ，f (x )≥2的充要条件是|a －1|≥2， ∴a 的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．16．(2015·福建卷)已知a >0，b >0，c >0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c 的最小值为4.(1)求a ＋b ＋c 的值； (2)求14a 2＋19b 2＋c 2的最小值．[解] (1)因为f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c ≥|(x ＋a )－(x －b )|＋c ＝|a ＋b |＋c ， 当且仅当－a ≤x ≤b 时，等号成立． 又a >0，b >0，所以|a ＋b |＝a ＋b ， 所以f (x )的最小值为a ＋b ＋c . 又已知f (x )的最小值为4， 所以a ＋b ＋c ＝4.(2)由(1)知a ＋b ＋c ＝4，由柯西不等式得 ⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2＋19b 2＋c 2(4＋9＋1)≥ ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2×2＋b 3×3＋c ×12＝(a ＋b ＋c )2＝16， 即14a 2＋19b 2＋c 2≥87. 当且仅当12a 2＝13b 3＝c1，即a＝87，b＝187，c＝27时等号成立．故14a2＋19b2＋c2的最小值为87.。