高中数学选修4-4导学案打印
2017-2018学年高中数学选修4-4全册导学案新人教A版29P
2017~2018学人教A版高中数学选修4-4全册课堂导学案汇编目录一平面直角坐标系 (1)二极坐标系 (5)三简单曲线的极坐标方程 (7)四柱坐标系与球坐标系简介 (10)一曲线的参数方程 (14)二圆锥曲线的参数方程 (17)三直线的参数方程 (21)四渐开线与摆线 (26)一平面直角坐标系课堂导学三点剖析一、建立平面直角坐标系解决问题我们已经熟悉了平面直角坐标系,借此工具,讨论轨迹非常方便.请看例1.【例1】两个定点的距离为6,点M到这两个定点的距离的平方和为26,求点M的轨迹. 解:如图.以AB所在直线为x轴,以AB中点为原点,建立平面直角坐标系,则A(-3,0),B(3,0),设动点P(x,y),由已知得|PA|2+|PB|2=26,即x2+y2=4.这即是点M的轨迹方程,是以AB的中点为圆心,2为半径的圆.温馨提示由此可见,建立适当的坐标系,一些看似困难的问题就很容易解决了.各个击破类题演练 1已知A为定点,线段BC在定直线l上滑动,|BC|=4,点A到l的距离为3.求△ABC外心的轨迹方程.解:以l为x轴,过A与l垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系,则A为(0,3),设△ABC的外心为P(x,y).因为P是BC的中垂线上的点,故B,C坐标分别为(x-2,0),(x+2,0).因P在线段AB的中垂线上,故|PA|=|PB|,即22222-+,即x2-6y+5=0.=y)3(yx+变式提升 1证明三角形的三条高线交于一点.证明:如图,△ABC,则AD,BE,CO分别是△ABC的三条高,取边AB所在的直线为x轴,CO所在的直线为y轴,建立坐标系.设BE交AD于点H(x,y),A(-a,0,),B(b,0),C(0,c),则=(x-b,y),=(x+a,y),=(-b,c),=(a,c).∵⊥BH⇔²BH=0,即a(x-b)+cy=0,①∵⊥⇔²=0,故(-b)(x+a)+cy=0,② ①-②得(a+b)x=0. ∵a+b≠0,∴x=0.∴H 在AB 的高线上,即△ABC 三条高线交于一点. 二、坐标变换问题【例2】 在同一平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧='='yy x x 4,21后的图形.①y 2=2x;②y=3sin2x.解:由伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧='='y y x x 4,21得⎪⎩⎪⎨⎧'='=.41,2y y x x y′.(*)①将(*)代入y 2=2x,得(41y′)2=2²(2x′). ∴y′2=64x′.∴经过伸缩变换后抛物线y 2=2x 变成了抛物线y′2=64x′. ②将(*)代入y=3sin2x,得41y′=3sin2²(2x′), ∴y′=12sin4x′.∴经过伸缩变换后,曲线y=3sin2x 变成了曲线y′=12sin4x′. 类题演练 2将曲线C 按伸缩变换公式⎩⎨⎧='='yy x x 3,2变换后的曲线方程为x′2+y′2=1,则曲线C 的方程为( )A.9422y x +=1 B.4922y x +=1 C.4x 2+9y 2=36D.4x 2+9y 2=1解析:将⎩⎨⎧='='yy x x 3,2代入方程x′2+y′2=1,得4x 2+9y 2=1.故选D.答案:D 变式提升 2已知f 1(x)=cosx,f 2(x)=cos ωx(ω>0),f 2(x)的图象可以看作是把f 1(x)的图象在其所在的坐标系中的横坐标压缩到原来的31倍(纵坐标不变)而得到的,则ω为( ) A.21B.2C.3 D.31解析:f 1(x)=cosx→f 2(x)=cos3x.∴ω=3,选C.答案:C三、利用直角坐标系解决应用题【例3】 某河上有抛物线型拱桥,当水面距拱顶5 m 时,水面宽8 m,一木船宽4 m,高2 m,载货后木船露在水面上的部分高为43m,问水面涨到与抛物线拱顶相距多少米时,木船开始不能通航?解:以水平面与拱的截面的交线为x 轴,以该交线的中点为原点建立平面直角坐标系,如图.由题意,点A(-4,0),B(4,0),C(0,5).则可设抛物线为y=ax 2+c.∴把A,C 代入得16a+c=0且c=5. ∴a=165-.∴y=165-x 2+5. 当船沿拱的中心方向通过时,D 为(-2,0),代入得 y=165-²4+5=415, 即拱到水平面的高为415m. 又船高 2 m,∴水面上涨的余地为415-2=47,若保证船通过,则水平面涨到与拱顶相距413 m 时,船开始不能通航,其中413=5-47. 类题演练 3某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从2月1日起的300天内,西红柿市场售价与上市时间的关系用图(1)的一条折线表示;西红柿的种植成本与上市时间的关系用图(2)的抛物线表示.(1)写出图(1)表示的市场售价与时间的函数关系式P=f(t);写出图(2)表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g(t).(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿纯收益最大?(注:市场售价和种植成本的单位:元/102千克,时间单位:天)解:(1)由题图(1)可得市场售价与时间的函数关系为 f(t)=⎩⎨⎧≤<-≤≤-.300200,3002,2000,300t t t t由题图(2)可得种植成本与时间的函数关系为 g(t)=2001(t-150)2+100,0≤t≤300. (2)设t 时刻的纯收益为h(t),则由题意得h(t)=f(t)-g(t),即h(t)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+-≤≤++-.300200,21025272001,2000,2175********t t t t t t ,当0≤t≤200时,配方整理得h(t)=2001-(t-50)2+100, 所以当t=50时,h(t)取得区间[0,200]上的最大值100; 当200<t≤300时,配方整理得h(t)=2001-(t-350)2+100. 所以当t=300时,h(t)取得区间(200,300]上的最大值87.5.综上,由100>87.5可知,h(t)在区间[0,300]上可以取得最大值100,此时t=50,即从2月1日开始的第50天时,上市的西红柿纯收益最大.二 极坐标系课堂导学三点剖析一、求极坐标方程 【例1】 θ=43π的直角坐标方程是____________. 解:根据极坐标的定义. tan θ=xy=-1, 即y=-x(x≤0). 答案:y=-x(x≤0) 温馨提示充分利用坐标互化公式. 各个击破 类题演练 1将M(5,32π)化为直角坐标. 解:由x=ρcos θ=25-,y=ρsin θ=325, ∴M 为(25-,325). 变式提升 1极坐标方程ρ=sin θ+2cos θ所表示的曲线是_________. 解:由互化公式得(x-1)2+(y-21)2=45. 答案:圆二、应用公式,求距离及角 【例2】 已知两点的极坐标A(3,2π),B(3,6π),则|AB|=____________,AB 与极轴正方向所成的角为____________. 解:如图.根据极坐标的定义可得|AO|=|BO|=3,∠AOB=60°,即△AOB 为正三角形.答案立得. 答案:365π 温馨提示在极坐标系中,点P 1(ρ1,θ1),P 2(ρ2,θ2)(ρ1,ρ2>0),则P 1,P 2两点间距离是|P 1P 2|=)cos(212212221θθρρρρ--+. 类题演练 2在极坐标系中,若等边△ABC 的两个顶点是A(2,4π),B(2,45π),则C 的坐标可能是( ) A.(4,33π) B.(3,33π) C.(32,47π)D.(3,π)答案:C 变式提升 2 直线l 过点A(3,3π),B(3,6π),则直线l 与极轴的夹角等于___________.解析:如图所示,先在图中找到直线与极轴的夹角,另外注意夹角是锐角. ∵|AO|=|BO|=3,∠AOB=3π-6π=6π,∴∠OAB=12526πππ=-, ∴∠ACO=π-3π-125π=4π.答案:33π三、直角坐标方程与极坐标方程的互化【例3】 将y 2+x 2-2x-1=0化为极坐标方程. 解:由x=ρcos θ,y=ρsin θ,得 ρ2-2ρcos θ-1=0. 温馨提示熟记公式:ρ2=x 2+y 2, tan θ=xy(x≠0). 类题演练 3将ρ=cos θ化为直角坐标方程.解:整理,得ρ2=ρcos θ,将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入得 x 2+y 2=x. 变式提升 3将y 2=4x 化为极坐标方程.解:设x=ρcos θ,y=ρsin θ,则 ρ2sin 2θ=4ρcos θ.故得ρsin 2θ-4cos θ=0.三 简单曲线的极坐标方程课堂导学三点剖析一、圆的极坐标方程【例1】 写出圆心在(3,0)且过极点的圆的极坐标方程,并化为直角坐标方程. 解:由ρ=2acos θ及题意a=3,θ∈[-2π,2π],得ρ=6cos θ,即ρ2=6ρcos θ,由x 2+y 2=ρ2,ρcos θ=x,得 x 2+y 2=6x,即(x-3)2+y 2=9. 温馨提示直角坐标方程与极坐标方程的互化,最重要的是记熟并会运用互化公式:⎩⎨⎧==.sin ,cos θρθρy x ;其次还要注意“凑”出公式的形式.各个击破 类题演练 1把x 2+y 2=x 化为极坐标方程.解:由公式得ρ2=ρcos θ, 即ρ=cos θ. 变式提升 1从极点作圆ρ=2acos θ的弦,求弦的中点的轨迹方程. 解:设曲线上动点M 的坐标为(r,φ),则⎪⎩⎪⎨⎧==.21,ρθϕr把θ=φ和ρ=2r 代入ρ=2acos θ,得 2r=2acos φ, 即r=acos φ(-2π≤φ≤2π),即其轨迹是以(2a ,0)为圆心,半径为2a的圆.二、极坐标方程与直角坐标方程互化 【例2】 写出圆心在(2,2π)处且过极点的圆的极坐标方程,并把它化为直角坐标方程.解:由ρ=2asin θ,0≤θ≤π,得ρ=4sin θ,0≤θ≤π,变为ρ2=4ρsin θ. 由⎩⎨⎧==.sin ,cos θρθρy x 得x 2+y 2=4y,即x 2+(y-2)2=4.温馨提示当圆心不在直角坐标系的坐标轴上时,要建立圆的极坐标方程,通常把极点放置在圆心处,极轴与x 轴同向,这样,圆的极坐标方程十分简单,为ρ=R. 类题演练 2写出圆心在(-1,1)处,且过原点的圆的直角坐标方程,并化为极坐标方程. 解:圆的半径为R=2)1()1(22=+-,故方程为(x+1)2+(y-1)2=2,变为x 2+y 2=-2(x-y), 即ρ=2(sin θ-cos θ). 变式提升 2 画出极坐标方程(θ-4π)ρ+(4π-θ)sin θ=0的图形.解析:若所给曲线的极坐标方程比较复杂时,可将其方程分解因式,分解成几个常见曲线方程连乘积的形式,然后分别作出图形,放在一起即为所求方程的曲线.解:如图,将原方程分解因式得(θ-4π)(ρ-sin θ)=0,∴θ-4π=0,即θ=4π为一条射线,或ρ-sin θ=0为一个圆.三、动点的轨迹问题【例3】 从极点作圆ρ=4sin θ的弦,求各条弦的中点的轨迹方程. 解:设动点为M(r,φ),则⎪⎩⎪⎨⎧==.21,ρθϕr 把θ=φ和ρ=2r 代入ρ=4sin θ,得2r=4sin φ,即r=2sin φ,-2π≤φ≤2π. 其轨迹是以(2,0)为圆心,以2为半径的圆.温馨提示寻找一个关键三角形,使动点的极半径和极角与已知条件成为该三角形的元素,借助于三角形的边角关系建立起动点的轨迹方程,这种方法称为三角形法.若三角形为直角三角形,可利用勾股定理及其他边角关系建立动点的极坐标方程;若三角形为一般三角形,可利用正,余弦定理建立动点的极坐标方程.如变式提升3. 类题演练 3 判断点(-21,35π)是否在曲线ρ=cos 2θ上. 解:∵点(-21,35π)和点(21,32π)是同一点,而cos 232π=cos 3π=21,∴点(21,32π)在曲线ρ=cos 2θ上,即点(-21,35π)在曲线ρ=cos 2θ上. 变式提升 3设M 是定圆O 内一定点,任作半径OA ,连结MA ,自M 作MP⊥MA 交OA 于P ,求P 点的轨迹方程.解:以O 为极点,射线OM 为极轴,建立极坐标系,如图. 设定圆O 的半径为r ,OM=a ,P(ρ,θ)是轨迹上任意一点.∵MP⊥MA ,∴|MA|2+|MP|2=|PA|2,由余弦定理可知|MA|2=a 2+r 2-2arcos θ,|MP|2=a 2+ρ2-2a ρcos θ,而|PA|=r-ρ,由此可得a 2+r 2-2arcos θ+a 2+ρ2-2a ρcos θ=(r-ρ)2,整理化简,得ρ=ra r a a --θθcos )cos (.四 柱坐标系与球坐标系简介课堂导学三点剖析一、已知直角坐标求柱坐标【例1】 设点M 的直角坐标为(1,1,3),求它的柱坐标. 解:由变换公式得ρ2=x 2+y 2=12+12=2, ∴ρ=2. 又tan θ=xy=1, ∴θ=4π(M 在第Ⅰ卦限).故M 的柱坐标为(2,4π,3).温馨提示可以看出,球坐标系与柱坐标系都是在空间直角坐标系的基础上建立的.在直角坐标系中,我们需要三个长度:(x,y,z),而在柱坐标系与球坐标系中,我们需要长度,还需要角度.它是从长度,方向来描述一个点的位置,需要(ρ,θ,z)或者(r,φ,θ).三种坐标系互相不同,互相有联系,互相能够转化,都是刻画空间一点的位置,只是描述的角度不同. 类题演练 1设M 的直角坐标为(1,3-,4),求其柱坐标. 解:由公式得ρ2=1+3=4, ∴ρ=2. 又tan θ=xy=3-, ∴θ=32π. ∴柱坐标为(2,32π,4). 变式提升 1设M 的柱坐标为(2,6π,7),求直角坐标.解:由公式得ρ2=x 2+y 2=4, 又tan6π=33=xy , ∴y=31x.∴y 2=1.∴y=1,x=3. ∴直角坐标为(3,1,7).二、已知直角坐标求球坐标【例2】 设点M 的直角坐标为(1,1,2),求它的球坐标. 解:由公式得r=222z y x ++=2, 由rcos φ=z=2,得cos φ=222=r ,φ=4π. 又tan θ=x y =1,θ=4π. ∴点M 的球坐标为(2,4π,4π).类题演练 2设M 的直角坐标为(2,-1,1),求它的球坐标. 解:由公式得r=222z y x ++=2, 由rcos φ=z 得cos φ=21,φ=3π. 又tan θ=22-, ∴θ=π-arctan22. ∴球坐标为(2,3π,π-arctan22). 三、用柱坐标与球坐标解决空间实际问题【例3】 已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的边长为AB=14,AD=6,AA 1=10,以这个长方体的顶点A 为坐标原点,以射线AB,AD,AA 1分别为Ox 、Oy 、Oz 轴的正半轴,建立空间直角坐标系,求长方体顶点C 1的空间直角坐标,球坐标,柱坐标.解析:如图,此题是考查空间直角坐标,球坐标,柱坐标的概念,我们要能借此区分三个坐标,找到它们的相同和不同来.C 1点的(x,y,z)分别对应着CD,BC,CC 1,C 1点的(ρ,θ,z)分别对应着AC,∠BAC,CC 1,C 1点的(r,φ,θ)分别对应着AC 1,∠A 1AC 1,∠BAC.解:C 1点的空间直角坐标为(14,6,10),C 1点的柱坐标为(232,arctan 73,10),C 1点的球坐标为(332,arccos33210,arctan 73).温馨提示应当注意,在球坐标系中,当点P 在z 轴上,θ不确定;点P 与坐标原点O 重合,φ与θ都不确定.类题演练 3经过若干个固定和流动的地面遥感观测站监测,并通过数据汇总,计算出一个航天器在某一时刻的位置,离地面2 384千米,地球半径为6 371千米,此时经度为80°,纬度为75°.试建立适当的坐标系,确定出此时航天器点P 的坐标. 解:在赤道平面上,选取地球球心O 为极点,以O 为端点且与零子午线相交的射线Ox 为极轴,建立球坐标系,如图.由已知航天器位于经度80°,可知θ=80°,由航天器位于纬度75°,可知φ=90°-75°=15°,由航天器离地面2 384千米,地球半径为6 371千米,可知r=2 384+6 371=8 755千米.∴点P 的球坐标为(8 755 km,15°,80°). 变式提升 2两平行平面去截球,如图,在两个截面圆上有两个点,它们的球坐标分别为A(25,arctan724,θa ),B(25,π-arctan 43,θb ),求出这两个截面间的距离.解:由已知,OA=OB=25,∠AOO 1=arctan724,∠BOO 1=π-arctan 43,在△AOO 1中,tan∠AOO 1=724=11OO AO . ∵OA=25,∴OO 1=7. 在△BOO 2中,∠BOO 2=arctan 43,tan∠BOO 2=43=22OO B O . ∵OB=25,∴OO 2=20.则O 1O 2=OO 1+OO 2=7+20=27.∴两个截面间的距离O1O2为27.一 曲线的参数方程课堂导学三点剖析一、求曲线的参数方程【例1】 设质点沿以原点为圆心,半径为2的圆作匀速(角速度)运动,角速度为60πrad/s,试以时间t 为参数,建立质点运动轨迹的参数方程.解:如图,运动开始时质点位于A 处,此时t=0,设动点M(x,y)对应时刻t,由图可知⎩⎨⎧==.sin 2,cos 2θθy x 又θ=60πt, 得参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==t y t x 60sin 2,60cos 2ππt(t≥0).各个击破类题演练 1求3x+4y+7=0的参数方程. 解:令x=t,则y=41-(3t+7). ∴参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+-==).73(41,t y t x 变式提升 1 已知⎩⎨⎧==ϕϕsin 3,cos 6y x (φ为参数),判断曲线类型.解:由平方关系得222236y x +=1,即上述参数方程表示的是椭圆.二、化参数方程为普通方程【例2】 化⎩⎨⎧+-=+=t y t x sin 42,cos 41为普通方程.解:整理,得⎩⎨⎧=+=-.sin 42,cos 41t y t x由sin 2t+cos 2t=1得(x-1)2+(y+2)2=16. 温馨提示掌握好参数的取值范围,注意所用的消元法的选择.正确的选择是解题的关键.对于正弦、余弦来说,重要的一个关系即是平方关系:sin 2θ+cos 2θ=1. 类题演练 2化⎩⎨⎧==t y t x sin 3,cos 5为普通方程.解:由sin 2t+cos 2t=1得92522y x +=1. 变式提升 2设直线的参数方程为⎩⎨⎧+-=+=,21,2t y t x 求P(-1,1)到直线的距离d.解:整理,得⇒⎪⎩⎪⎨⎧+=-=21,2y t x t x-2=21+y ∴y -2x+5=0. ∴d=5585|512|=++. 三、参数方程与轨迹【例3】 已知圆x 2+y 2=1,点A(1,0),△ABC 内接于该圆,且∠BAC=60°,当B 、C 在圆上运动时,求BC 的中点的轨迹方程.解:如图(1)所示,M 为BC 的中点,由∠BAC=60°,得∠BOC=2³60°=120°(弦所对的圆心角等于它所对的圆周角的2倍),在△BOC 中,OB=OC=1⇒OM=21.所以点M 的轨迹方程为x 2+y 2=41. 又因为x≥41时,如图(2),虽然∠BOC=120°,但∠BAC=21(360°-120°)=120°≠60°,所以点M 的轨迹方程为x 2+y 2=41(x<41),如图(1).温馨提示利用消元法,实现参数方程与普通方程互化,解决距离问题、最值问题、交点问题及类型的判断问题,一般把参数方程化为普通方程来解. 类题演练 3一直线过点(2,1),且与向量(-1,1)平行, (1)求参数方程;(2)求P(-1,-2)到直线的距离d. 解:(1)直线斜率k=-1,倾斜角135°,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 221,222(t 为参数). (2)化为x+y-3=0, d=232|321|=---. 变式提升 3已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=2,21at y t x (其中t 是参数,a∈R ),点M(5,4)在该曲线上. (1)求常数a;(2)求曲线C 的普通方程.解:本题主要应根据曲线与方程之间的关系,可知点M(5,4)在该曲线上,则点M 的坐标应适合曲线C 的方程,从而可求得其中的待定系数,进而消去参数得到其普通方程.(1)由题意可知,有⎩⎨⎧==+,4,5212at t 故⎩⎨⎧==.1,2a t ∴a=1.(2)由已知及(1)可得,曲线C 的方程为⎩⎨⎧=+=.,212t y t x 由第一个方程得t=21-x ,代入第二个方程,得y=(21-x )2,即(x-1)2=4y 为所求.二 圆锥曲线的参数方程课堂导学三点剖析一、利用参数方程求点的轨迹【例1】 已知A 、B 分别是椭圆93622y x +=1的左顶点和上顶点,动点C 在该椭圆上运动,求△ABC 的重心G 的轨迹的普通方程.解析:本题有两种思考方式,求解时把点C 的坐标设为一般的(x 1,y 1)的形式或根据它在该椭圆上运动也可以设为(6cos θ,3sin θ)的形式,从而予以求解.解:由动点C 在该椭圆上运动,故据此可设点C 的坐标为(6cos θ,3sin θ),点G 的坐标为(x,y),则由题意可知点A(-6,0)、B(0,3). 由重心坐标公式可知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=+-=++-=.sin 13sin 330,cos 223cos 606θθθθy x 由此消去θ得到4)2(2+x +(y-1)2=1,即为所求.温馨提示本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性,运用参数方程显得更简单、更便捷. 各个击破 类题演练 1已知双曲线2222by a x -=1(a>0,b>0)的动弦BC 平行于虚轴,M 、N 是双曲线的左、右顶点.(1)求直线MB 、CN 的交点P 的轨迹方程;(2)若P(x 1,y 1),B(x 2,y 2),求证:a 是x 1、x 2的比例中项.(1)解:由题意可设点B(asec θ,btan θ),则点C(asec θ,-btan θ),又M(-a,0),N(a,0),∴直线MB 的方程为y=a ab +θθsec tan (x+a),直线CN 的方程为y=θθsec tan a a b -(x-a).将以上两式相乘得点P 的轨迹方程为2222by a x +=1.(2)证明:因为P 既在MB 上,又在CN 上,由两直线方程消去y 1得x 1=θsec a,而x 2=asec θ,所以有x 1x 2=a 2,即a 是x 1、x 2的比例中项. 变式提升 1在直角坐标系xOy 中,参数方程⎩⎨⎧-=+=12,122t y t x (t 为参数)表示的曲线是___________. 解析:t=21-x 代入y=2t 2-1得y=2(21-x )2-1,即(x-1)2=2(y+1). 答案:抛物线二、利用参数方程求坐标【例2】 在椭圆7x 2+4y 2=28上求一点,使它到直线l:3x-2y-16=0的距离最短,并求出这一最短距离.解:把椭圆方程化为7422y x +=1的形式, 则可设椭圆上点A 坐标为(2cos α,7sin α), 则A 到直线l 的距离为d=13|16)sin(8|13|16sin 72cos 6|--=--αβαα(其中β=arcsin43). ∴当β-α=2π时,d 有最小值,最小值为13138138=. 此时α=β-2π,∴sin α=-cos β=47-,cos α=sin β=43.∴A 点坐标为(23,47-). 温馨提示用参数方程解决一些坐标问题,简单易行,本例是很典型的. 类题演练 2 椭圆⎩⎨⎧==θθsin 3,cos 4y x (θ为参数)的左焦点的坐标是__________.解析:a=4,b=3,∴c=7.∴坐标为(7-,0). 答案:(7-,0) 变式提升 2在椭圆2222by a x +=1(a>b>0)的第一象限的上求一点P,使四边形OAPB 的面积最大,并求最大面积.解析:如图,将四边形OAPB 分割成△OAP 与△OPB,则P 点纵坐标为△OAP 的OA 边上的高,P 点横坐标为△OPB 的OB 边上的高.解:设P(acos θ,bsin θ),S 四边形OAPB =S △OAP +S △OPB =21absin θ+21abcos θ =21ab(sin θ+cos θ)=22absin(4π+θ). 当θ=4π时,四边形OAPB 面积最大,最大面积为22ab,此时,P 点坐标为(22a,22b). 三、范围及最值问题【例3】 圆M 的方程为x 2+y 2-4Rxcos α-4Rysin α+3R 2=0(R>0). (1)求该圆圆心M 的坐标以及圆M 的半径;(2)当R 固定,α变化时,求圆心M 的轨迹,并证明此时不论α取什么值,所有的圆M 都外切于一个定圆.思路分析:本题中所给的圆方程中的变数有多个,此时要结合题意分清究竟是哪个真正在变,而像这样的具体题目尤其容易犯弄不清真正的参数的错误.解:(1)由题意得圆M 的方程为(x-2Rcos α)2+(y-2Rsin α)2=R 2,故圆心为M(2Rcos α,2Rsin α),半径为R.(2)当α变化时,圆心M 的轨迹方程为⎩⎨⎧==ααsin 2,cos 2R y R x (其中α为参数),两式平方相加得x 2+y 2=4R 2,所以圆心M 的轨迹是圆心在原点,半径为2R 的圆.由于22)sin 2()cos 2(ααR R +=2R=3R-R,22)sin 2()cos 2(ααR R +=2R=R+R, 所以所有的圆M 都和定圆x 2+y 2=R 2外切,和定圆x 2+y 2=9R 2内切.类题演练 3 曲线C:⎩⎨⎧+-==θθsin 1,cos y x (θ为参数)的普通方程是,如果C 与直线x+y+a=0有________公共点,那么实数a 的取值范围是_________.解析:参数方程消去θ得x 2+(y+1)2=1.曲线C 与直线x+y+a=0有公共点,则圆心到直线的距离不超过半径长, 即2|10|a +-≤1.∴1-2≤a≤1+2.答案:x 2+(y+1)2=1 1-2≤a≤1+2变式提升 3设a 、b∈R ,a 2+2b 2=6,则a+b 的最小值是________.解析:∵a 2+2b 2=6, ∴3622b a +=1. 设⎪⎩⎪⎨⎧==θθsin 3,cos 6b a (θ为参数), ∴a+b=6cos θ+3sin θ=3sin(θ+φ),其中cos φ=33,sin φ=36,即a+b 的最小值是-3.答案:-3三 直线的参数方程课堂导学三点剖析一、直线的参数方程和普通方程的互化【例1】 写出直线2x-y+1=0的参数方程,并求直线上的点M(1,3)到点A(3,7)、B(8,6)的距离.解:根据直线的普通方程可知斜率是2,设直线的倾斜角为α,则tan α=2,sin α=552,cos α=55,所以直线的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 5523,551(t 为参数). 经验证易知点A(3,7)恰好在直线上,所以有1+55t=3,即t=52,即点M 到点A 的距离是52.而点B(8,6)不在直线上,所以不能使用参数t 的几何意义,可以根据两点之间的距离公式求出距离为58)63()81(22=-+-.温馨提示本题主要考查直线参数方程的转化和参数的几何意义.常见错误:①转化参数方程时不注意后边的题目内容,随便取一个定点;②把点B(8,6)当成直线上的点很容易由1+55t=8,得t=57.各个击破类题演练 1 设直线的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=t y t x 22,224(t 为参数),点P 在直线上,且与点M 0(-4,0)的距离为2,如果该直线的参数方程改写成⎩⎨⎧=+-=ty t x ,4(t 为参数),则在这个方程中点P 对应的t值为( ) A.±1 B.0 C.±21D.±23 解析:由|PM 0|=2,知PM 0=2或PM 0=2-,即t=±2,代入第一个参数方程,得点P 的坐标分别为(-3,1)或(-5,-1);再把点P 的坐标代入第二个参数方程可得t=1或t=-1.答案:A变式提升 1设直线的参数方程为⎩⎨⎧-=+=t y t x 410,35求直线的直角坐标方程. 解:把t=35-x 代入y 的表达式,得y=10-3)5(4-x .化简得4x+3y-50=0. 这即是直线的直角坐标方程.温馨提示注意变量代换的方法.二、直线的参数方程与倾斜角【例2】 设直线l 1过点A(2,-4),倾斜角为65π. (1)求l 1的参数方程;(2)设直线l 2:x-y+1=0,l 2与l 1的交点为B,求|AB|.解:(1)由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=65sin 4,65cos 2ππt y t x 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=t y t x 214,232(t 为参数).(2)B 在l 1上,只要求出B 点对应的参数值t,则|t|就是B 到A 的距离.把l 1的参数方程代入l 2中,得(2-23t)-(-4+21t)+1=0, 213+t=7, t=)13(71314-=+, t 为正值,知|AB|=7(3-1).类题演练 2求直线l 1:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 1343,1364 (t 为参数)与直线l 2:x+y-2=0的交点到定点(4,3)的距离.解:∵l 1的参数方程不是标准方程,则利用换参数的方法把l 1的参数方程改写成⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'+=∙+='+=∙+=t t y t t x 132321323,133421334(t′为参数). 把l 1的参数方程的标准形式代入x+y-2=0中,得4+133t′+3+132t′-2=0. 解得t′=13-,∴|t′|=13.由|t′|的几何意义为交点到点(4,3)的距离, ∴所求的距离为|t′|=13.变式提升 2求经过点(1,1),倾斜角为135°的直线截椭圆42x +y 2=1所得的弦长. 解:由条件可知直线的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 221,221(t 为参数), 代入椭圆方程可得4)221(2t -+(1+22t)2=1, 即5t 2+26t+2=0. 设方程的两实根分别为t 1、t 2,则由二次方程的根与系数的关系可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+,52,5262121t t t t 则直线截椭圆的弦长是|t 1-t 2|=212214)(t t t t -+ =534524)526(2=⨯--. 三、直线的参数方程与两点间距离【例3】 直线过点A(1,3)且与向量(2,-4)共线.(1)写出该直线的参数方程;(2)求点P(-2,-1)到此直线的距离.解:(1)由题意得参数方程为⎩⎨⎧-=+=ty t x 43,21(2)在直线上任取一点M(x,y),则|PM |2=(x+2)2+(y+1)2=20t 2-20t+25=20[(t-21)2+1], 当t=21时,|PM |2取最小值,此时|PM |等于点P 与直线的距离,则|PM |=5220=. 由P 向直线作垂线,垂足记为P 0,将参数t=21代入,得P 0(2,1),显然有|PP 0|=52. 温馨提示直线的参数方程和普通方程可以进行互化,特别是要求直线上某一定点到直线与曲线交点距离时通常要使用参数的几何意义,宜用参数方程的标准形式.而对于某些比较简单的直线问题,比如求直线和坐标轴或者与某条直线交点时,宜用直线的普通方程.类题演练 3已知直线l 过点P(3,2),且与x 轴和y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点,求|PA|²|PB|的值为最小时的直线l 的方程.解:设直线的倾斜角为α,则它的方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin 2,cos 3t y t x (t 为参数),由A 、B 是坐标轴上的点,知y a =0,x b =0,∴0=2+tsin α,即|PA|=|t|=αsin 2,0=3+tcos α,即|PB|=|t|=αcos 3-. 故|PA|²|PB|=αsin 2(αcos 3-)=α2sin 12-. ∵90°<α<180°,∴当2α=270°,即α=135°时,|PA|²|PB|有最小值. ∴直线方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 222,223(t 为参数),化为普通方程即x+y-5=0. 变式提升 3 设直线l 过点P(-3,3),且倾斜角为65π. (1)写出直线l 的参数方程;(2)设此直线与曲线C:⎩⎨⎧==θθsin 4,cos 2y x (θ为参数)交于A 、B 两点,求|PA|²|PB|; (3)设A 、B 中点为M,求|PM|.解:(1)直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=--=+-=.21365sin 3,23365cos 3t t y t t x ππ(2)把曲线C 的参数方程中参数θ消去,得4x 2+y 2-16=0.把直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程中,得4(-3-23t)2+(3+21t)2-16=0, 即13t 2+4(3+312)t+116=0.由t 的几何意义,知|PA|²|PB|=|t 1²t 2|,∴|PA|²|PB|=|t 1²t 2|=13116. (3)由t 的几何意义知中点M 的参数为221t t +, ∴|PM|=21|t 1+t 2|=13)3123(2+.四 渐开线与摆线课堂导学三点剖析一、圆的摆线的参数方程【例1】 平面直角坐标系中,若圆的摆线过点(1,0),求这条摆线的参数方程.思路分析:根据圆的摆线的参数方程的表达式⎩⎨⎧-=-=)cos 1(),sin (ϕϕϕr y r x (φ为参数),可知只需求出其中的r ,也就是说,摆线的参数方程由圆的半径唯一确定,因此只需把点(1,0)代入参数方程求出r 值再代入参数方程的表达式.解:令r(1-cos φ)=0,可得cos φ=1,所以φ=2k π(k∈Z ),代入可得x=r(2k π-sin2k π)=1.所以r=πk 21. 又根据实际情况可知r 是圆的半径,故r>0.所以,应有k>0且k∈Z ,即k∈N *. 所以,所求摆线的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=)cos 1(21),sin (21ϕπϕϕπk y k x (φ为参数)(其中k∈N *).温馨提示本题易错点是误把点(1,0)中的1或0当成φ的值,代入参数方程中求出x 和y 的值,再计算r 的值;或者在求出cos φ=1后,直接得出φ=0,从而导致答案不全面. 各个击破类题演练 1求摆线⎩⎨⎧-=-=)cos 1(2),sin (2t y t t x (0≤t≤2π)与直线y=2的交点的直角坐标.解:y=2时,2=2(1-cost),∴cost=0.∵0≤t≤2π, ∴t=2π或23π. ∴x 1=2(2π-sin 2π)=π-2,x 2=2(23π-sin 23π)=3π+2. ∴交点的直角坐标为(π-2,2),(3π+2,2).温馨提示求交点坐标时,要避免出现增根和减根的情况,因此,要切实注意参数的取值范围.这是初学者最容易忽视的.二、圆的渐开线的参数方程【例2】 已知圆的直径为2,其渐开线的标准参数方程对应的曲线上两点A,B 对应的参数分别是3π和2π,求A,B 两点的距离.思路分析:首先根据圆的直径可知半径为1,写出渐开线的标准参数方程,再根据A,B 对应的参数代入参数方程可得对应的A,B 两点的坐标,然后使用两点之间的距离计算公式可得A,B 之间的距离.解:根据条件可知圆的半径是1,所以对应的渐开线参数方程是⎩⎨⎧-=+=ϕϕϕϕϕϕcos sin ,sin cos y x (φ为参数), 分别把φ=3π和φ=2π代入,可得A,B 两点的坐标分别为A(633,633ππ-+),B(2π,1). 那么,根据两点之间的距离公式可得A,B 两点的距离为 |AB|=22)1633()2633(--+-+πππ 633366)3613(612+---=ππ, 即点A,B 之间的距离为633366)3613(612+---ππ 温馨提示本节主要内容是圆的渐开线和摆线的定义和参数方程.要解决有关的问题首先要理解这两个定义和参数方程的推导过程,还要牢记两个参数方程.给出圆的半径要能写出对应的参数方程,根据参数方程能写出某对应参数的坐标,从而再解决其他问题.本例题就是对这些知识的综合考查,要注意前后知识的联系.特别是两点之间的距离公式也要熟记.类题演练 2已知一个圆的摆线过一定点(2,0),请写出当圆的半径最大时该摆线的参数方程和对应的圆的渐开线的标准方程.解:设摆线方程为⎩⎨⎧-=-=)cos 1(),sin (ϕϕϕr y r x 令y=0,得r(1-cos φ)=0,即得cos φ=1.所以φ=2k π(k∈Z ).代入x=r(2k π-sin2k π)=2,即得r=πk 1(k∈Z ). 又由实际可知r>0,所以r=πk 1(k∈N *).易知,当k=1时,r 最大,最大值为π1. 代入即可得圆的摆线的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=)cos 1(1),sin (1ϕπϕϕπy x (φ为参数),圆的渐开线的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=)cos (sin 1),sin (cos 1ϕϕϕπϕϕϕπy x (φ为参数).变式提升 2如图,ABCD 是边长为1的正方形,曲线AEFGH…叫做“正方形的渐开线”,其中AE 、EF 、FG 、GH,…的圆心依次按B 、C 、D 、A 循环,它们依次相连结,则曲线AEFGH 的长是…( )A.3πB.4πC.5πD.6π解析:如题图,根据渐开线的定义可知,是半径为1的41圆周长,长度为2π,继续旋转可得是半径为2的41圆周长,长度为π;是半径为3的41圆周长,长度为23π;是半径为4的41圆周长,长度为2π. 所以,曲线AEFGH 的长是5π.答案:C。
苏教版数学高二数学苏教版选修4-4学案4.1.1直角坐标系
4.1.1 直角坐标系1.平面直角坐标系在平面内两条互相垂直的数轴构成了平面直角坐标系,如图所示.在平面直角坐标系中,有序实数对与坐标平面内的点具有一一对应关系,如图,有序实数对(x ,y )与点P 相对应,这时(x ,y)称作点P 的坐标,并记为P(x ,y ),其中,x 称为点P 的横坐标,y 称为点P 的纵坐标.2.坐标法(1)坐标法:根据几何对象的特征,选择适当的坐标系,建立它的方程,通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关系.(2)用坐标法解决几何问题的步骤:第一步,建立适当的坐标系,用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素,将几何问题转化成代数问题;第二步,通过代数运算,解决代数问题;第三步,把代数运算结果“翻译”成几何结论.一、平面直角坐标系下的轨迹问题已知一条长为6的线段两端点A ,B 分别在x ,y 轴上滑动,点M 在线段AB 上,且AM ∶MB =1∶2,求动点M 的轨迹方程.思路分析:利用平面直角坐标系,设出A ,B ,M 三点的坐标,再利用定比分点公式表示出点M 的坐标关系,即点M 的轨迹方程.解:如图,设A (x A ,0),B (0,y B ),M (x ,y ), ∵|AB |=66=,即2236A B x y += .①又∵AM ∶MB =1∶2,∴x =x A1+12,y =12y B 1+12,即⎩⎪⎨⎪⎧x A =32x ,y B =3y ,代入①得94x 2+9y 2=36,即x 216+y 24=1.得动点M 的轨迹方程为x 216+y 24=1.如图,在以点O 为圆心,|AB |=4为直径的半圆ADB 中,OD ⊥AB ,P 是半圆弧上一点,∠POB =30°,曲线C 是满足||MA |-|MB ||为定值的动点M 的轨迹,且曲线C 过点.建立适当的平面直角坐标系,求曲线C 的方程.解:以O 为原点,AB ,OD 所在直线分别为x 轴、y 轴,建立平面直角坐标系,则A (-2,0),B (2,0),D (0,2),P,依题意得||MA |-|MB ||=|PA |-|PB |==|AB |=4.∴曲线C 是以原点为中心,A ,B 为焦点的双曲线. 设实半轴长为a ,虚半轴长为b ,半焦距为c , 则c =2,2a =a 2=2,b 2=c 2-a 2=2.∴曲线C 的方程为22122x y -=. 利用点在平面直角坐标系中的关系,找到其关系式,并用代入法解出相关点的轨迹方程是常见题型.二、利用坐标系解决实际问题我海军某部发现,一艘敌舰从离小岛O 80海里的正东方向的B 处,沿东西方向向O 岛驶来,指挥部立即命令在岛屿O 正北方向40海里的A 处的我军舰沿直线前往拦截.以东西方向为x 轴,南北方向为y 轴,岛屿O 为原点,建立平面直角坐标系并标出A ,B 两点.若敌我两舰行驶的速度相同,在上述坐标系中标出我军舰最快拦住敌舰的位置,并求出该点的坐标.思路分析:先画出坐标系,标出A ,B 的位置及坐标,根据相应的图形结构求出拦住敌舰的位置并求出坐标.解:A,B两点如图所示,A(0,40),B(80,0),∴OA=40(海里),OB=80(海里).我军舰直行到点C与敌舰相遇,设C(x,0),∴OC=x,BC=OB-OC=80-x.∵敌我两舰速度相同,∴AC=BC=80-x.在Rt△AOC中,OA2+OC2=AC2,即402+x2=(80-x)2,解得x=30.∴点C的坐标为(30,0).已知B村位于A村的正西方向1千米处,原计划经过B村沿着北偏东60°的方向埋设一条地下管线m,但A村的西北方向400米处,发现一古代文物遗址W.根据初步勘察的结果,文物管理部门将遗址W周围100米范围划为禁区.试问:埋设地下管线m的计划需要修改吗?解:建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(-1 000,0),由W位于A的西北方向及|AW|=400,得W(-2002,2002).由直线m过B点且倾斜角为90°-60°=30°,得直线m的方程是x-3y+1 000=0.于是,点W到直线m的距离为|-2002-3×2002+1 000|2=100×(5-2-6)≈113.6>100.所以,埋设地下管线m的计划可以不修改.利用坐标解决实际问题的关键是分析好题意,根据题意建立适当的平面直角坐标系或利用已有的坐标系建立相关点的关系式,从而解决实际问题.1.已知点A(-1,3),B(3,1),点C在坐标轴上,∠ACB=90°,则满足条件的点C的个数是__________.答案:3解析:若点C在x轴上,可设点C(x,0),由∠ACB=90°,得|AB|2=|AC|2+|BC|2,∴有(-1-3)2+(3-1)2=(x+1)2+32+(x-3)2+1,解得x1=0,x2=2.故点C的坐标为(0,0)或(2,0).若点C 在y 轴上,可设点C 为(0,y ), 由∠ACB =90°,得|AB |2=|AC |2+|BC |2,∴有(-1-3)2+(3-1)2=(0+1)2+(y -3)2+(0-3)2+(y -1)2,解之,得y 1=0,y 2=4. 故点C 的坐标为(0,0)或(0,4).∴这样的点C 有(0,0),(2,0),(0,4)共3个点.2.已知平行四边形ABCD 的三个顶点A ,B ,C 的坐标分别为(-1,2),(3,0),(5,1),则D 的坐标是__________.答案:(1,3)解析:设D (x ,y ),则⎩⎪⎨⎪⎧ -1+5=3+x ,2+1=0+y ,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =1,y =3.故D (1,3).3.已知点P (-1+2m ,-3-m )在第三象限,则m 的取值范围是__________.答案:-3<m <12解析:∵第三象限点的坐标特征是横坐标与纵坐标均小于0,∴⎩⎪⎨⎪⎧-1+2m <0,-3-m <0,即⎩⎪⎨⎪⎧m <12,m >-3.∴-3<m <12.4.在平面直角坐标系中,A 为平面内的一个动点,B 点坐标为(2,0).若=OA BA OB ⋅|(O 为坐标原点),则动点A 的轨迹为__________. 答案:圆解析:设A (x ,y ),则OA =(x ,y ),BA =(x -2,y ),222OB ==.代入已知条件得x (x -2)+y 2=2. 即(x -1)2+y 2=3,表示一个圆.5.选择适当的平面直角坐标系,表示边长为1的正六边形的顶点. 解:方法一:建立如图(1)所示的平面直角坐标系,则正六边形的顶点分别为A (1,0),B ⎝⎛⎭⎫12,32,C ⎝⎛⎭⎫-12,32,D (-1,0),E ⎝⎛⎭⎫-12,-32,F ⎝⎛⎭⎫12,-32.(1) 方法二:建立如图(2)所示的平面直角坐标系,(2) 则正六边形的顶点分别为A ⎝⎛⎭⎫2,32,B ⎝⎛⎭⎫32,3,C ⎝⎛⎭⎫12,3,D ⎝⎛⎭⎫0,32,E ⎝⎛⎭⎫12,0,F ⎝⎛⎭⎫32,0.。
高中数学人教A版选修4-4 2-2-1 椭圆的参数方程 导学案 精品
2.2.1 椭圆的参数方程学案【学习目标】:1. 知识与技能:了解椭圆的参数方程及参数的的意义2. 过程与方法:能选取适当的参数,求简单曲线的参数方程3. 情感、态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识【学习重点】:椭圆参数方程的定义和方法【学习方法】:分组讨论学习法、探究式;【学习过程】:一、课前准备复习1:圆的参数方程及参数的几何意义是什么?圆x 2+y 2=r 2(r>0)的参数方程:圆(x-a)2+(y-b)2=r 2的参数方程:其中参数的几何意义为:复习2:圆的参数方程是怎样推导出来的呢?二、新课导学学习探究探究任务一:圆的参数方程问题1:你能仿此推导出椭圆的参数方程吗?问题2:你能仿此推导出椭圆 的参数方程吗?提问3:把下列普通方程化为参数方程,把参数方程化为普通方程.194)1(22=+y x 116)2(22=+y x【典型例题】12222=+a y b x 为参数)ϕϕϕ(sin 5cos 3)3(⎩⎨⎧==y x 为参数)ϕϕϕ(sin 10cos 8)4(⎩⎨⎧==y x【例1】:如下图,以原点为圆心,分别以a ,b (a >b >0)为半径作两个圆,点B 是大圆半径OA 与小圆的交点,过点A 作AN ⊥ox ,垂足为N ,过点B 作BM ⊥AN ,垂足为M ,求当半径OA 绕点O 旋转时点M 的轨迹参数方程.反思: 椭圆 的参数方程为的几何意义是什么?知识点小结:1.在椭圆的参数方程中,常数a 、b 分别是椭圆的 和 . (其中a>b )2.ϕ称为离心角,规定参数ϕ的取值范围是3. 当焦点在X 轴时椭圆的参数方程为: 当焦点在Y 轴时椭圆的参数方程为: 知识归纳名称参数方程各元素的几何意义圆椭圆)0(12222>>=+b a b ya x 其中为参数)(sin cos ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x ϕ,,b a【例2】:设P 是椭圆223641y x +=在第一象限部分的弧AB 上的一点,求使四边形OAPB 的面积最大的点P 的坐标。
【西城学探诊】人教B版高中数学选修4-4导学案:1.2.(1、2)极坐标系
§1.2.(1、2)极坐标及其与直角坐标的关系学习目标1.通过具体实例引入确定点的位置的新形式,即极坐标。
2.能够建立极坐标系并描出系中点的位置,在极坐标系中观察一些对称点的坐标关系。
学习过程【任务一】问题分析问题1:一艘军舰在海面上巡逻,发现附近水域里有一片水雷,如何确定它们的位置以便将它们引爆?问题2:思考解决上述问题的关键因素是什么?【任务二】新知理解1.极坐标系:在平面上取一个定点O ,由O 点出发的一条 ,一个 及计算 的正方向(通常 ),合称为一个 。
2.在下图极坐标系中,O 点称为 ,Ox 称为 。
3.图中点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画,这两个数组成的有序数对 称为点M 的极坐标。
其中ρ称为 ,θ称为 。
【任务三】典型例题分析例1:在同一个极坐标系中,画出以下点:)62(π,A )66(π-,B )321(π,C )4(π,D )05(,E )4(π-,F注意:1.一般限定0≥ρ。
特别地:⎩⎨⎧<=,00ρρ, 2.与直角坐标不同,给定点的极坐标),(θρ,唯一确定平面上点,但是平面上点的极坐标并不唯一,比如例1中的 ,如何限定则除极点外一一对应?例2:建立极坐标系描出点)22()63(ππ,,,B A ,分别求点A 关于极轴,直线OB ,极点的对称点的极坐标。
小结:点),(θρ关于极轴的对称点是 ,关于某直线的对称点是 ,关于极点的对称点是 。
思考:极坐标系中,ρ恒为1的点的集合构成什么样的曲线?θ恒为4π的点呢? 【任务四】探究极坐标与直角坐标的关系如图,在平面上取定一个极坐标系,一极轴作为直角坐标系的x 轴的正半轴,以2πθ=的射线作为y1.用θρ,表示y x ,。
2.用y x ,表示θρtan ,。
例3:把点M 的极坐标)65,3(π化为直角坐标形式。
例4:把点M 的直角坐标)1,1(-化为极坐标形式(限定πθπρ≤<-≥,0)【任务五】课后作业教材P10习题1-2,附纸交。
高中新课程数学(新课标人教A版)选修4-4《1.1平面直角坐标系》导学案
新课标人教A版选修4-4 第一讲坐标系导学案§4.1.1—第一课平面直角坐标系本课提要:本节课的重点是体会坐标法的作用,掌握坐标法的解题步骤,会运用坐标法解决实际问题与几何问题.一、(温故而知新1.到两个定点A(-1,0)与B(0,1)的距离相等的点的轨迹是什么?2.在⊿ABC中,已知A(5,0),B(-5,0),且,求顶点C的轨迹方程.(重点、难点都在这里【问题1】:某信息中心接到位于正东、正西、正北方向三个观测点的报告:正西、正北两个观测点同时听到一声巨响,正东观测点听到巨响的时间比它们晚4s.已知各观测点到中心的距离都是1020m.试确定巨响发生的位置.(假定声音传播的速度为340m/s,各观测点均在同一平面上.)练一练:3.有三个信号检测中心A、B、C,A位于B的正东,相距6千米,C在B的北偏西300,相距4千米.在A测得一信号,4秒后B、C同时测得同一信号.试求信号源P相对于信号A的位置(假设信号传播速度为1千米/秒).【问题2】:已知⊿ABC的三边满足,BE,CF分别为边AC,AB上的中线,建立适当的平面直角坐标系探究BE与CF的位置关系.三、(懂了,不等于会了4.两个定点的距离为6,点M到这两个定点的距离的平方和为26,求点M的轨迹.5.求直线与曲线的交点坐标.6.求证:三角形的三条高线交于一点.平面直角坐标系中的伸缩变换【基础知识导学】坐标系包括平面直角坐标系、极坐标系、柱坐标系、球坐标系。
“坐标法”解析几何学习的始终,同学们在不断地体会“数形结合”的思想方法并自始至终强化这一思想方法。
坐标伸缩变换与前面学的坐标平移变换都是将平面图形进行伸缩平移的变换,本质是一样的。
【典型例题】在同一直角坐标系中,求满足下列图形变换的伸缩变换。
将直线变成直线,分析:设变换为可将其代入第二个方程,得,与比较,将其变成比较系数得【解】(1),直线图象上所有点的横坐标不变,纵坐标扩大到原来的4倍可得到直线。
选修4-4学案
学案 1《平面直角坐标系》一、问题引入情境1:为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行,并在按计划完成科学考察任务后,安 全、准确的返回地球,从火箭升空的时刻开始,需要随时测定飞船在空中的位置机器运动的轨迹。
情境2:运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演,其中不断变化的背景图案是由看 台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。
要出现正确的背景图案,需要缺点不同的画布所在的位置。
问题:如何刻画一个几何图形的位置? 二、 合作探究 1、学生回顾刻画一个几何图形的位置,需要设定一个参照系①数轴 :它使直线上任一点P 都可以由惟一的实数x 确定②平面直角坐标系 :在平面上,当取定两条互相垂直的直线的交点为原点,并确定了度量单位和这两条直线的方向,就建立了平面直角坐标系。
它使平面上任一点P 都可以由惟一的实数对(x,y )确定。
③空间直角坐标系 :在空间中,选择两两垂直且交于一点的三条直线,当取定这三条直线的交点为原点,并确定了度量单位和这三条直线方向,就建立了空间直角坐标系。
它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对(x,y,z )确定。
2、用坐标系解决具体问题例1、某信息中心接到位于正东、正西、正北方向三个观测点的报告:正西、正北两个观测点同时听到一声巨响,正东观测点听到巨响的时间比它们晚了4s 。
已知各观测点到中科 目 数学 年 级 高二 班 级 姓名 课 型新课 主备人审核人导学时间第 1周教学目标知识回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 能力 体会坐标系的作用情感通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。
教材 分析 重点 体会直角坐标系的作用难点 能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题。
心的距离是1020m ,试确定巨响发生的位置(假定声音传播的速度是340m/s ,各观测点均在同一平面上)例2、已知△ABC 的三边a,b,c 满足b 2+c 2=5a 2,BE,CF 分别为边AC,CF 上的中线,建立适当的平面直角坐标系探究BE 与CF 的位置关系。
数学文科《4-4》导学案
第一讲:坐标系第1课时 :平面直角坐标系编写:梁光明【学习目标】1、体会平面直角坐标系的意义,学会在平面直角坐标系中刻画点的方法;2、牢记用坐标法解决几何问题的步骤,体会坐标系的作用;【知识线索】1、坐标法:根据具体情况,选择适当的坐标系,用坐标表示点,用方程表示曲线,通过对方程的讨论来研究图形的几何性质的方法。
2、坐标法解决平面几何问题的主要步骤:第一步:建立适当的坐标系,用坐标或方程表示问题中的几何元素,从而将平面几何问题转化为 问题。
第二步:进行代数运算。
第三步:将代数运算的结果“翻译”成几何问题。
3.平面直角坐标系:平面直角坐标系是坐标系的一种。
在平面上取两条相互垂直且确定了正方向的直线X 轴和Y 轴,两直线交点O 作为原点,再确定一个长度单位就构成了平面直角坐标系。
4.求曲线方程的主要步骤:(1)建立适当的坐标系,设点M (X,Y )为所求曲线上的任意一点。
(2)写出点M 所满足的条件。
(3)根据所给条件列出方程。
(4)方程化简(如有特殊情况要适当予以说明,即确定变量的范围)。
5.平面直角坐标系的主要公式:(1)经过两个点A (X 1,Y 1),B (X 2,Y 2-(2)两点MN 的距离公式M(x 1 ,y 1),N (X 2 ,Y 2)(3)点P(x 0 ,y 0)到直线AX+BY+C=0的距离公式(4)两条平行直线AX+BY+C 1=0与AX+BY+C 2=0(5)两点P 1(X 1 ,Y 1),P 2(X 2 ,Y 2)的中点坐标为 ⎝⎭ .(6)△ABC 中A (X 1 ,Y 1),B (X 2 ,Y 2),C (X 3,Y 3),则△ABC 的重心G 的坐标为 123123,33x x x y y y ++++⎛⎫⎪⎝⎭. 【知识建构】课时目标呈现课中师生互动 课前自主预习高二数学选修4-4坐标法数学模型的建立程序;收集数据信息→建立适当的平面坐标系→选择函数或方程模型→建立函数或方程模型→解决代数问题→实际问题解决【典例透析】例1.平行四边形ABCD 中三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是A(-1,2),B(3,0),C(5,1)求顶点D 的坐标。
2020高考数学文科大一轮复习导学案:选修4-4 坐标系与参数方程4.4.1 Word版含答案
姓名,年级:时间:选考部分选修4-4 坐标系与参数方程第一节错误!知识点一平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:错误!的作用下,点P(x,y)对应到点P′(x′,y′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.1.(选修4-4P4例题改编)设平面内伸缩变换的坐标表达式为错误!则在这一坐标变换下正弦曲线y=sin x的方程变为y=3sin2x.解析:由已知得错误!代入y=sin x,得错误!y′=sin2x′,即y′=3sin2x′,所以y=sin x的方程变为y=3sin2x。
知识点二极坐标系1.极坐标系的建立:在平面上取一个定点O,叫做极点,从O 点引一条射线Ox,叫做极轴,再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就确定了一个极坐标系.如图,设M是平面内一点,极点O与点M的距离OM叫做点M 的极径,记为ρ,以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角叫做点M的极角,记为θ。
有序数对(ρ,θ)叫做点M的极坐标,记作M(ρ,θ).2.极坐标与直角坐标的关系:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,设M是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标为(ρ,θ),则它们之间的关系为x=ρcosθ,y=ρsinθ.另一种关系为ρ2=x2+y2,tanθ=错误!.2.(选修4-4P11例4改编)点P的直角坐标为(1,-错误!),则点P的极坐标为错误!.解析:因为点P(1,-错误!)在第四象限,与原点的距离为2,且OP与x轴所成的角为-π3,所以点P的极坐标为错误!.3.(选修4-4P15T3)若以直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则线段y=1-x(0≤x≤1)的极坐标方程为( A )A.ρ=错误!,0≤θ≤错误!B.ρ=错误!,0≤θ≤错误!C.ρ=cosθ+sinθ,0≤θ≤错误!D.ρ=cosθ+sinθ,0≤θ≤错误!解析:∵y=1-x(0≤x≤1),∴ρsinθ=1-ρcosθ(0≤ρcosθ≤1,0≤ρsinθ≤1);∴ρ=错误!错误!.知识点三常见曲线的极坐标方程4.(选修4-4P15T4)在极坐标系中,圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标是( B )A。
人教A版高中数学选修4-4 1-1-1 平面直角坐标系 导学案
信息中心·O·CB··A观测点观测点观测点1.1.1 平面直角坐标系【学习目标】1.理解平面直角坐标系的意义,掌握在平面直角坐标系中描述点或线的方法. 2.掌握坐标法解决几何问题的方法步骤. 3.体会坐标系的作用.【重点难点】重点:建立坐标系解决几何问题的方法步骤.难点:应用坐标法解决问题.一.课前预习阅读教材42~P P 的内容,体会平面直角坐标系在解决实际问题和几何问题中的作用,并自主解决下列问题:1. 到两个定点A (-1,0)与B (0,1)的距离相等的点的轨迹是什么?并求其轨迹方程。
2.在⊿ABC 中,已知A (5,0),B (-5,0),且6=-BC AC ,求顶点C 的轨迹和轨迹方程.3.求直线0532=+-y x 与曲线xy 1=的交点坐标. 二.课堂学习与研讨 (一)合作探索声响定位问题某信息中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告:正西、正北两个观测点同时听到一声巨响,正东观测点听到巨响的时间比其他两个观测点晚4s ,已知各观测点到信息中心的距离都是1020m ,试确定该巨响的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/s ,各相关点均在同一平面上)设发出响声的位置为P ,正东、正西、正北方向 三个观测点分别为C B A ,,,阅读上面材料并 回答下列问题:由上述可知响声的位置就是 和 的交点3.建立适当的坐标系,通过推理、计算求得响声的位置P 距离信息中心O 为 ; 方向在信息中心的 . (二)知识梳理1.建立坐标系解决几何问题的方法步骤:(1)建立平面直角坐标系 (2)设点(点与坐标的对应) (3)列式(方程与坐标的对应) (4)化简 (5)说明2.根据几何特点建立适当的平面直角坐标系的规则是: (1)如果图形有对称中心,可以选择 为坐标原点; (2)如果图形有对称轴,可以选择 为坐标轴; (3)使图形上的 点尽可能地在坐标轴上. 例题分析例1.已知△ABC 的三边c b a ,,满足,2225a c b =+,BE,CF 分别为边AC,AB 上的中线,建立适当的平面直角坐标系探究BE 与CF 的位置关系.练习2. 教材 习题1.1 3 课堂归纳小结(1)利用坐标法可以把平面几何问题转化为代数问题,以代数运算代替几何证明;对于某些几何问题,用坐标法有明显的优势;(2)建立直角坐标系要尽可能选择适当的直角坐标系的一些规则:如果图形有对称中心,可以选对称中心为坐标原点;如果图形有对称轴,可以选择对称轴为坐标轴;使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上. 达标检测A 基础巩固1.原点在直线l 上的射影是(2,1)P -,则l 的方程为( ) A. 20x y += B.240x y +-= C. 250x y -+=D .230x y ++=2. 直线0x +=被圆224x y +=截得的弦长是 .3.已知正方形的一个顶点为(1,0)A -,一边所在的直线方程为350x y +-=,则以A 为端点的两边所在直线的方程分别是 .B 提升练习4.圆22420x y x y F +-++=与y 轴交于,A B 两点,圆心为C ,若90ACB ∠=,则F 的值是 ( )A.-B.3 D.3-5.若直线y x b =+与曲线x =则实数b 的取值范围是 .拓展延伸与巩固6.课本习题1.1 第2题已知点A 为定点,线段BC 在定直线l 上滑动,已知4=BC ,点A 到直线l 的距离为3,求ABC ∆的外心的轨迹方程.。
选修4-4导学案
§ 1.1直角坐标系,平面上的伸缩变换简单复习平面直角坐标系和空间直角坐标系的基本知识一、课前准备 二、新课导学1. 直线上点的坐标:____________________________________2. 平面直角坐标系:_____________________________________3. 空间直角坐标系:_____________________________________4. 作出正弦函数y =sinx 的图像.设点P (x ,y )为正弦曲线y =sinx 上的任意一点,如果保持横坐标不变,把纵坐标变为原来的3倍,则点P (x ,y )变为平面上新的点Q (X ,Y ),其中坐标间的关系为: _________________________;因此原来的正弦曲线变为新的曲线_________________________即______平面上伸缩变换的坐标表达式:______________________5. 平面上伸缩变换的一个典型实例是圆在平行压缩(或拉伸)下变为椭圆. ※ 典型例题例1. 把圆x 2+y 2=4沿x 轴方向均匀压缩为椭圆X 2+142=Y,写出坐标变换公式例2.设平面上伸缩变换的坐标表达式为{yY x X 23==,求圆x 2+y 2=4在此伸缩变换下的方程例 3.证明:以点A (4,1,9),B (10,-1,6),C (2,4,3)为顶点的三角形是等腰三角形例 4.伸缩变换的坐标表达式为 {yY x X 4==曲线C 在此变换下变为椭圆11622=+Y X .求曲线C 的方程.§1.2极坐标系能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化一、课前准备情境1:军舰巡逻在海面上,发现前方有一群水雷,如何确定它们的位置以便将它们引爆?情境2:如图为某校园的平面示意图,假设某同学在教学楼处。
人教版高中数学选修4-4学案:第1讲-章末分层突破Word版含解析
章末分层打破[自我校正 ]①极坐标系②直线的极坐标系方程③圆的极坐标系方程④柱坐标系⑤球坐标系平面直角坐标系下列图形的变换平面图形的伸缩变换可由坐标伸缩变换来实现,在使用坐标变换公式x′=λxλ时,必定要分清变换前后的新旧坐标.y′=μyμx ′=3x ,求曲线 y 2=2x 在平面直角坐标系中, 已知伸缩变换 φ:y ′=- 2y , 经过 φ变换后所得直线 l ′的方程.【规范解答】设 P ′(x ,y ′)是直线 l ′上随意一点.x ′ x ′= 3x , x = 3,由伸缩变换 φ:y ′=- 2y ,得1y =- 2y ′,21 2 2代入 y =2x ,得 4y ′=3x ′,2 8∴即 y ′=3x ′,28所以变换后曲线的方程为 y ′=3x ′.[再练一题 ]x ′=2x , 1.在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换后,曲线 C 变成曲y ′=2y线 (x ′-5)2+(y ′+ 6)2=1,求曲线 C 的方程,并判断其形状.【解】将x ′=2x , 代入 (x ′-5)2 +(y ′+ 6)2= 1 中,得 (2x -5)2+ (2y + 6)2y ′=2y ,= 1,化简,得x -522+(y + 3)2=14,故曲线是以5,- 3 为圆心,半径为 1的圆 .22求曲线的极坐标方程求曲线的极坐标的方法和步骤, 和求直角坐标方程近似, 就是把曲线看作适合某种条件的点的会合或轨迹, 将已知条件用曲线上的极坐标 (ρ,θ)的关系式 f(ρ,θ)= 0 表示出来,就获得曲线的极坐标方程.π求圆心为 C 3,6 ,半径为 3 的圆的极坐标方程.π【规范解答】 如图,设圆上任一点为 P(ρ,θ),则 |OP|=ρ,∠POA = θ- 6 ,|OA|=2×3=6.在 Rt△ POA 中,|OP|= |OA|cos∠POA,π则ρ= 6cos θ-6,π即圆的极坐标方程为ρ=6cos θ-6 .[再练一题 ]12.△ABC 底边 BC=10,∠ A=2∠B,以 B 为极点, BC 为极轴,求极点A 的轨迹的极坐标方程.【解】如图:令 A(ρ,θ),θ△ABC 内,设∠B=θ,∠ A=2,又|BC|= 10,|AB|=ρ.于是由正弦定理,得ρ=10,3θθsin π-2sin2化简,得 A 点轨迹的极坐标方程为ρ=10+20cosθ.极坐标与直角坐标的互化极坐标系和直角坐标系是两种不一样的坐标系.同一个点能够有极坐标,也能够有直角坐标;同一条曲线能够有极坐标方程,也能够有直角坐标方程.为了研究问题的方便,有时需要把在一种坐标系中的方程化为在另一种坐标系中的方程.它们之间的互化关系为:222,tan θ=y≠ .x=ρcos θ,y=ρsin θ;ρ= x+yx(x0)⊙O1和⊙ O2的极坐标方程分别为ρ= 4cosθ,ρ=- 4sin θ.(1)把⊙ O1和⊙ O2的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)求经过⊙ O1,⊙ O2交点的直线的直角坐标方程.【解】以极点为原点,极轴为x 轴正半轴,成立平面直角坐标系,两坐标系中取同样的长度单位.(1)由ρ=4cos θ,222=4x,得ρ=4ρcos θ,所以 x + y即 x2+y2-4x= 0 为⊙O1的直角坐标方程,同理 x2+y2+ 4y=0 为⊙ O2的直角坐标方程.x2+ y2-4x= 0,(2)由x2+ y2+4y= 0,x1=0,x2=2,解得y2=- 2.y1=0,即⊙ O1,⊙ O2交于点 (0,0)和(2,- 2),故过交点的直线的直角坐标方程为y=- x.[再练一题 ]2π3.(2015 ·江苏高考 )已知圆 C 的极坐标方程为ρ+2 2ρsinθ-4-4=0,求圆 C的半径.【导学号: 91060012】【解】以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O,以极轴为 x 轴的正半轴,成立直角坐标系 xOy.圆 C 的极坐标方程为2+22ρ22-=,ρ2 sin θ-2 cos θ 4 02化简,得ρ+2ρsin θ-2ρcos θ-4=0.则圆 C 的直角坐标方程为x2+y2- 2x+2y- 4= 0,即 (x-1)2+(y+1)2=6,所以圆 C 的半径为 6.转变与化归思想转变与化归思想,是运用数学知识的迁徙解决问题.详细表现为化未知为已知,化抽象为详细,化一般为特别.如本章中直角坐标与极坐标,直角坐标方程与极坐标方程,都是这类思想的表现.当ρ≥0,0θ≤<2π时,极坐标方程与直角坐标方程的互相转变就是等价转变.已知极坐标方程C1:ρ=10,πC2:ρsin θ-3= 6,(1)化 C1、 C2的极坐标方程为直角坐标方程,并分别判断曲线形状;(2)求 C1、 C2交点间的距离.2【规范解答】(1)由 C1:ρ=10,得ρ=100,∴x2+ y2=100,所以 C1为圆心在 (0,0),半径等于 10 的圆.π由 C 2:ρsin θ-3=6,1得 ρ2sin θ-32 cos θ=6,∴y -3x = 12,即3x -y + 12= 0,所以 C 2 表示直线.(2)因为圆心 (0,0)到直线 3x - y + 12=0 的距离为=12=6<r = 10,2+ -23所以直线 l 被圆截得的弦长|C 1C 2|=2 r 2-d 2= 2 102-62=16.[再练一题 ].在极坐标系中,点 坐标是 2, π ,曲线 C 的方程为 ρ= 2 πM 2sin θ+ ;4 34以极点为坐标原点,极轴为 x 轴的正半轴成立平面直角坐标系,直线 l 经过点 M和极点.(1)写出直线 l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程;(2)直线 l 和曲线 C 订交于两点 A 、 B ,求线段 AB 的长.π【解】(1)∵直线 l 过点 M 2,3 和极点,π∴直线 l 的直角坐标方程是θ= 3(ρ∈ R ).πρ=2 2sin θ+4 即 ρ=2(sin θ+ cos θ),2θ+ρcos θ),两边同乘以 ρ得 ρ= 2(ρsin∴曲线 C 的直角坐标方程为x 2+ y 2-2x -2y =0. (2)点 M 的直角坐标为 (1, 3),直线 l 过点 M 和原点, ∴直线 l 的直角坐标方程为 y = 3x.曲线 C 的圆心坐标为 (1,1),半径 r = 2,圆心到直线 l 的距离为 d =3-1,2∴ |AB|=2 r 2-d 2= 3+1.1.(2015 ·南高考湖 )在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系.若曲线 C 的极坐标方程为ρ= 2sin θ,则曲线 C 的直角坐标方程为 __________.2【分析】∵ρ= 2sin θ,∴ρ=2ρsin θ,∴x2+ y2=2y,即 x2+y2-2y= 0.【答案】 x2+y2-2y= 02.(2015 ·北京高考 )在极坐标系中,点2,π3到直线ρ(cos θ+ 3sin θ)=6 的距离为 ________.x=ρcos θ,π【分析】由y=ρsin θ知极坐标2,3可化为 (1, 3),直线ρ(cos θ+ 3θ=可化为+-=故所求距离为|1+ 3× 3- 6|6==2=1.sin )x3y60.d12+3 2 2【答案】1π3.(2015 ·徽高考安)在极坐标系中,圆ρ=8sin θ上的点到直线θ=3(ρ∈R)距离的最大值是 ________.【分析】圆ρ=8sin θ化为直角坐标方程为 x2+y2-8y=0,即 x2+(y-4)2π= 16,直线θ=3(ρ∈R)化为直角坐标方程为y=3x,联合图形知圆上的点到直线的最大距离可转变成圆心到直线的距离再加上半径.4圆心 (0,4)到直线 y=3x 的距离为=2,又圆的半径r=4,所223 +1以圆上的点到直线的最大距离为 6.【答案】64.(2016 ·北京高考 )在极坐标系中,直线ρcos θ- 3ρsin θ-1=0 与圆ρ=2cos θ交于 A,B 两点,则 |AB|=______________.【导学号: 91060013】【分析】∵x=ρcos θ,y=ρsin θ,∴直线的直角坐标方程为x-3y-1=0.222∵ρ=2cos θ,∴ρ(sin θ+ cos θ)=2ρcos θ,∴x2+ y2=2x.∴圆的直角坐标方程为(x-1)2+y2= 1.∵圆心 (1,0)在直线x-3y-1=0 上,∴AB 为圆的直径,∴|AB|= 2.【答案】25.(2015 ·全国卷Ⅰ )在直角坐标系 xOy 中,直线 C1:x=- 2,圆 C2:(x-1)2+(y-2)2= 1,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系.(1)求 C1, C2的极坐标方程;π(2)若直线 C3的极坐标方程为θ=4(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△ C2MN 的面积.【解】(1)因为 x=ρcos θ,y=ρsin θ,所以 C1的极坐标方程为ρcosθ=-2,2C2的极坐标方程为ρ- 2ρcos θ-4ρsin θ+4=0.π2(2)将θ=4代入ρ-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0,得2ρ-3 2ρ+ 4=0,解得ρ1= 2 2,ρ2= 2.故ρ1-ρ2=2,即 |MN|= 2.因为 C2的半径为 1,1所以△C2MN 的面积为2.章末综合测评 (一 )坐标系(时间 120 分钟,满分 150 分)一、选择题 (本大题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项切合题目要求的).将曲线x′=2x1y=sin 2x 依据伸缩变换后获得的曲线方程为 ()y′=3yA.y′=3sin x′B.y′=3sin 2x′1C .y ′=3sin2x ′1D .y ′=3sin 2x ′【分析】由伸缩变换,得x ′ y ′x = 2 ,y = 3 .y ′代入 y = sin 2x ,有 3= sin x ′,即 y ′=3sin x ′.【答案】A2. (2016 ·重庆七校结盟)在极坐标系中,已知两点A ,B 的极坐标分别为ππ3,3 , 4, 6 ,则 △ AOB(此中 O 为极点 )的面积为 ()A .1B .2C .3D .4π【分析】如下图, OA = 3,OB =4,∠ AOB = 6,所11 以 S △AOB = ×3×4× = 3.22【答案】C3.已知点 P 的极坐标为 (1,π),那么过点 P 且垂直于极轴的直线的极坐标方程是()A .ρ=1B .ρ=cos θ11C .ρ=- cos θD .ρ=cos θ【答案】Cπ π4.在极坐标系中,点 A 2,6 与 B 2,- 6 之间的距离为 ()A .1B .2C .3D .4πππ【分析】 由A2,6 与 B 2,- 6 ,知 ∠AOB = 3,∴△ AOB 为等边三角形,所以 |AB|= 2. 【答案】B.极坐标方程 θ 表示的曲线是 ()5 4ρ·sin 2A .圆B .椭圆C .双曲线的一支D .抛物线【分析】 由 4ρ·sin 2 θ1-cos θ22-=4ρ·2=2ρ- 2ρcos θ=5,得方程为 2 x +y22x = 5,化简得 y 2=5x +25,4∴该方程表示抛物线. 【答案】 D6.直线 ρcos θ+2ρsin θ= 1 不经过 ( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限【分析】 由 ρcos θ+ 2ρsin θ=1,得 x +2y = 1, ∴直线 x +2y = 1 可是第三象限. 【答案】 C7.点 M 的直角坐标为 ( 3,1,- 2),则它的球坐标为 () A. 2 2, 3π ππ π4,6 B.2 2,,64π π3π πC. 2 2,4,3D. 2 2,4 ,3【分析】 设 M 的球坐标为 (r ,φ,θ),3=rsin φcos θ,r = 2 2,则解得3π=φ θ,φ= 4,1 rsin sin- 2=rcos φ,πθ= 6.【答案】 Aπ8.在极坐标系中,直线 θ=6(ρ∈R )截圆πρ=2cos θ- 6 所得弦长是()【导学号: 91060014】A .1B .2C .3D .4π3 2【分析】 化圆的极坐标方程 ρ= 2cos θ- 6 为直角坐标方程得 x - 2+1 23 1 πy - 2 = 1,圆心坐标为2 ,2 ,半径长为 1,化直线 θ=6(ρ∈R )的直角坐标方程为 x - 3y = 0,因为 3 13y = 0 过圆 x - 3 2+ y - 1 2 2 - 3× =0,即直线 x -2 2 2 π π = 1 的圆心,故直线 θ=6(ρ∈R )截圆 ρ=2cos θ-6 所得弦长为 2.【答案】Bπ,则到直线的距离为.若点 P 的柱坐标为 2,, 3 P Oy ()96A .1B .2C. 3D. 6π3 ,故点 P 在平面 xOy【分析】因为点 P 的柱坐标为 (ρ,θ,z)= 2,6, 内的射影 Q 到直线 Oy 的距离为 ρcos π 3,可得 P 到直线 Oy 的距离为 6.6=【答案】 D1后获得曲线方程为 y ′= sin x ′,则正.设正弦曲线 C 按伸缩变换x ′=2x10y ′=3y弦曲线 C 的周期为 ()πA.2B .πC .2πD .4π由伸缩变换知 3y =sin 1【分析】 2x ,1 1 2π∴y =3sin 2x ,∴ T = 1 = 4π.2【答案】 D11.(2016 ·惠州调研 )已知点 A 是曲线 ρ=2cos θ上随意一点,则点 A 到直线ρθ+π )=4 的距离的最小值是 sin635 7A .1 B.2 C.2 D.2【分析】曲线 ρ=2cos θ即 (x -1)2+ y 2 =1,表示圆心为 (1,0),半径等于 1π|1+ 0- 8|的圆,直线 ρsin θ+6 =4,即 x + 3y - 8= 0,圆心 (1,0)到直线的距离等于27 π 7 5 = 2,所以点 A 到直线 ρsin θ+6 =4 的距离的最小值是 2-1= 2.【答案】 C.极坐标方程 ρ= θ+π2sin 的图形是 ()12 4π【分析】 法一 圆 ρ=2sin θ+ 4 是把圆 ρ=2sin θ绕极点按顺时针方向旋π π转 4而得,圆心的极坐标为 1,4 ,应选 C.法二 圆 ρ=2sin θ+ π 的直角坐标方程为 x - 2 2+ y - 2 2= 1,圆心为42 22 2,半径为 1,应选 C.2 ,2【答案】 C二、填空题 (本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分,请把正确答案填在题中横线上 )π13.(2016 ·深圳调研 )在极坐标系中, 经过点 22,4 作圆 ρ= 4sin θ的切线,则切线的极坐标方程为 ________.【分析】圆 ρ=4sin θ的直角坐标方程为 x 2+y 2= 4y ,化成标准方程得 x 2+ (y -2)2= 4,表示以点 (0,2)为圆心,以 2 为半径长的圆,点 2 2,4π的直角坐标为 (2,2),因为 22+(2- 2)2= 4,即点 (2,2)在圆上,故过点且与圆相切的直线的方程为 x =2,其极坐标方程为 ρcos θ= 2.【答案】ρcos θ=2π14.已知圆的极坐标方程为 ρ=4cos θ,圆心为 C ,点 P 的极坐标为4,3 ,则 |CP|=________.【分析】 由 ρ=4cos θ可得 x 2+y 2=4x ,即(x -2)2+y 2= 4,所以圆心 C 的直角坐标为 (2,0).又点 P 的直角坐标为 (2,2 3),所以 |CP|=2 3.【答案】 2 3.在极坐标系中,曲线C 1:ρ( 2cos θ+sin θ)=1 与曲线 C 2:ρ=a(a>0) 15的一个交点在极轴上,则 a =________.【分析】ρ( 2cos θ+sin θ)=1,即 2ρcos θ+ ρsin θ=1 对应的直角坐标方程为 2x +y -1=0,ρ= a(a>0)对应的一般方程为x 2+y 2= a 2.在 2x +y - 1=0 中,2 22 2 22令 y =0,得 x = 2 .将2,0 代入 x +y = a 得 a = 2 . 【答案】2216.直线 2ρcos θ= 1 与圆 ρ= 2cos θ订交的弦长为 ________.【分析】 直线 2ρcos θ= 1 可化为 2x = 1,即 x =1,圆 ρ= 2cos θ两边同乘222 2ρ得 ρ=2ρcos θ,化为直角坐标方程是 x +y =2x ,即(x - 1)2+y 2= 1,其圆心为 (1,0),半径为 1,21 2∴弦长为 2× 1- 2 = 3.【答案】3三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 )2 217. (本小题满分10 分)已知⊙ C :ρ=cos θ+ sin θ, 直线 l :ρ=cos θ+π.4求⊙ C 上点到直线 l 距离的最小值.【解】⊙ C 的直角坐标方程是 x 2+y 2-x -y =0,1 2 1 21即 x - 2 + y -2 =2.又直线 l 的极坐标方程为 ρ(cos θ-sin θ)= 4, 所以直线 l 的直角坐标方程为 x -y - 4= 0.12 12设M 2+ 2 cos θ, 2+2 sin θ为 ⊙C 上随意一点, M 点到直线 l 的距离1 2 1 2 2+ 2 cos θ- 2+2 sin θ- 4d = 24-cos θ+π=4,2当 θ=7π33 24 时, d min ==2.218.(本小题满分 12 分 )已知直线的极坐标方程 ρsin θ+ π 2,求极点到直4 =2 线的距离.π2【解】 ∵ρsin θ+4 = 2 ,∴ρsin θ+ρcos θ=1,即直角坐标方程为 x + y = 1.又极点的直角坐标为 (0,0),|0+0-1| 2∴极点到直线的距离 d =2 = 2.19. (本小题满分 12 分)(1)在极坐标系中,求以点 (1,1)为圆心,半径为 1 的圆C 的方程;π(2)将上述圆 C 绕极点逆时针旋转 2获得圆 D ,求圆 D 的方程.【解】(1)设 M(ρ, θ)为圆上随意一点,如图,圆 C 过极点 O ,∠COM = θ- 1,作 CK ⊥ OM 于 K ,则 ρ=|OM|=2|OK|= 2cos(θ-1),∴圆 C 的极坐标方程为 ρ= 2cos(θ-1).将圆 : ρ= θ- 按逆时针方向旋转 π πC 获得圆D :ρ=2c os θ--,(2) 2cos( 1)22即 ρ=- 2sin(1-θ).20. (本小题满分 12 分)如图 1,正方体 OABC-D′A′B′C′中, |OA|=3,A′C′与B′D′订交于点 P,分别写出点 C、B′、 P 的柱坐标.图 1【解】设点C 的柱坐标为(ρ1,θ1,z1),π则ρ1=|OC|= 3,θ1=∠COA=2,z1=0,π∴C 的柱坐标为3,2,0 ;设点 B′的柱坐标为 (ρ2,θ2,z2),则ρ2=|OB|=|OA|2+|AB|2=32+32= 3 2,πθ2=∠BOA=4,z2=3,π∴B′的柱坐标为 3 2,4,3;如图,取 OB 的中点 E,连结 PE,设点 P 的柱坐标为 (ρ3,θ3,z3),则ρ3=|OE|=132 2|OB|=2,πθ3=∠AOE=4,z3 =3,点 P 的柱坐标为32π. 2,4,3.本小题满分12分已知曲线 1 的极坐标方程为ρcosθ-π=- 1,曲线21 ()C3πC2的极坐标方程为ρ=22cos θ-4,判断两曲线的地点关系.【解】将曲线 C1,C2化为直角坐标方程得:C1: x+3y+2=0,C2: x2+y2-2x- 2y=0,即 C2: (x-1)2+ (y-1)2=2,|1+3+2|3+3圆心到直线的距离d==>2,12+32222. (本小题满分 12 分)在极坐标系中,极点为O,已知曲线 C1:ρ=2 与曲π线 C2:ρsin θ-4=2交于不一样的两点A,B.(1)求 |AB|的值;(2)求过点 C(1,0)且与直线 AB 平行的直线 l 的极坐标方程.22π又∵ρsin θ-4=2,∴y= x+ 2,2222∴|AB|= 2r - d=24-2=2 2.(2)∵曲线 C2的斜率为 1,∴过点 (1,0)且与曲线 C2平行的直线 l 的直角坐标方程为 y=x-1,∴直线 l 的极坐标为ρsin θ=ρcos θ-1,π 2即ρcos θ+4=2 .。
最新人教A版高中数学选修4-4导学案
1二中高二数学选修4-4导学案 编号:15-12-11-6031新课标人教A 版选修4-4 第一讲 坐标系 导学案2 §4.1.1—第一课 平面直角坐标系3本课提要:本节课的重点是体会坐标法的作用,掌握坐标法的解题步骤,会运用坐标4 法解决实际问题与几何问题. 5一、温故而知新61.到两个定点A (-1,0)与B (0,1)的距离相等的点的轨迹是什么?7 89 2.在⊿ABC 中,已知A (5,0),B (-5,0),且6=-BC AC ,求顶点C 的轨迹方程.1011 12 1314 二、 重点、难点都在这里15【问题1】:某信息中心接到位于正东、正西、正北方向三个观测点的报告:正西、正16 北两个观测点同时听到一声巨响,正东观测点听到巨响的时间比它们晚4s.已知各观测点17 到中心的距离都是1020m.试确定巨响发生的位置.(假定声音传播的速度为340m/s ,各18 观测点均在同一平面上.)(详解见课本)19 2021 22 23 24 2526课前小典型问22728 【问题2】:已知⊿ABC 的三边c b a ,,满足2225a c b =+,BE ,CF 分别为边AC ,AB 上的中29 线,建立适当的平面直角坐标系探究BE 与CF 的位置关系.30 3132 33 34 3536 三、懂了,不等于会了374.两个定点的距离为6,点M 到这两个定点的距离的平方和为26,求点M 的轨迹.38 39 40 41 42 4344 5.求直线0532=+-y x 与曲线xy 1=的交点坐标. 45 46 4748 49 5051 6.已知A (-2,0),B (2,0),则以AB 为斜边的直角三角形的顶点C 的轨迹方程 52是 .538.已知A (-3,0),B (3,0),直线AM 、BM 相交于点M ,且它们的斜率之积为94,则 54技能训点M的轨迹方程是 .5556575859606162636465666768697071727374757677787980818283二中高二数学选修4-4导学案编号:84平面直角坐标系中的伸缩变换85【基础知识导学】861、坐标系包括平面直角坐标系、极坐标系、柱坐标系、球坐标系。
高中数学人教A版选修4-4 第二讲 复习 导学案
第二讲 参数方程知识梳理:参数方程—⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪—曲线的参数方程—⎪⎪⎪⎪—参数方程的概念— ①—参数方程与普通方程的互化— ② —⎪⎪⎪⎪—椭圆的参数方程—双曲线的参数方程—抛物线的参数方程— ③ —参数t 的几何意义及应用—渐开线与摆线—⎪⎪⎪⎪—渐开线的参数方程—摆线的参数方程典型例题:类型一 圆锥曲线的参数方程及应用对于椭圆的参数方程,要明确a ,b 的几何意义以及离心角φ的意义,要分清椭圆上一点的离心角φ和这点与坐标原点连线倾斜角θ的关系,双曲线和抛物线的参数方程中,要注意参数的取值范围,且它们的参数方程都有多种形式.例1、在平面直角坐标系xOy 中,设P (x ,y )是椭圆x 23+y 2=1上的一个动点,求S =x +y 的最大值和最小值.[再练一题]1.一直线经过P (1,1)点,倾斜角为α,它与椭圆x 24+y 2=1相交于P 1、P 2两点.当α取何值时,|PP 1|·|PP 2|有最值,并求出最值.类型二 直线的参数方程及应用直线参数方程的应用非常广泛,主要用来解决直线与圆锥曲线的位置关系问题.在解决这类问题时,应用直线的参数方程,利用直线参数方程中参数t 的几何意义,可以避免通过解方程组求交点等繁琐运算,使问题得到简化,由于直线的参数方程有多种形式,只有标准形式中的参数才具有明显的几何意义.例2直线l 过点P 0(-4,0),它的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =-4+32t ,y =12t(t 为参数)与圆x 2+y 2=7相交于A ,B 两点,(1)求弦长|AB |;(2)过P 0作圆的切线,求切线长.[再练一题]2.已知实数x ,y 满足(x -1)2+(y -1)2=9,求x 2+y 2的最大值和最小值.类型三 参数法及应用参数方法是一种重要的数学方法,尤其在运动变化型问题中,若能引入参数作桥梁,沟通变量之间的联系,既有利于揭示运动变化的本质规律,还能把多个变量统一体现在一个参变量上.但一定要注意,利用参数表示曲线的方程时,要充分考虑到参数的取值范围.例3 如图,已知直线l 过点P (2,0),斜率为43,直线l 和抛物线y 2=2x 相交于A 、B 两点,设线段AB 的中点为M ,求:(1)P 、M 两点间的距离|PM |; (2)线段AB 的长|AB |.[再练一题]3.在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x =4cos θy =4sin θ(θ为参数,且0≤θ<2π),点M 是曲线C 1上的动点.(1)求线段OM 的中点P 的轨迹的直角坐标方程;(2)以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,若直线l 的极坐标方程为ρcos θ-ρsin θ+1=0(ρ>0),求点P 到直线l 距离的最大值.类型四 曲线的参数方程与普通方程的互化参数方程与普通方程的相互转化体现了函数与方程的紧密联系和实际应用. 例4 求方程4x 2+y 2=16的参数方程 (1)设y =4sin θ,θ为参数;(2)以过点A (0,4)的直线的斜率k 为参数.[再练一题]4.将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x =35t +1,y =t 2-1(t 为参数)化为普通方程.迁移运用1.在平面直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ+sin θ)=-2,曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x =t 2,y =22t (t 为参数),则C 1与C 2交点的直角坐标为________.2.在直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l 的极坐标方程为ρ(sin θ-3cos θ)=0,曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =t -1t ,y =t +1t (t 为参数),l 与C 相交于A ,B 两点,则|AB |=______.3.已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x =-1+t ,y =1+t (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ=4⎝⎛⎭⎪⎫ρ>0,3π4<θ<5π4,则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为________. 4.在直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为(x +6)2+y 2=25.(1)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C 的极坐标方程; (2)直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x =t cos α,y =t sin α(t 为参数),l 与C 交于A ,B 两点,|AB |=10,求l 的斜率.5.在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =1+12t ,y =32t(t为参数),椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x =cos θ,y =2sin θ(θ为参数).设直线l 与椭圆C 相交于A ,B 两点,求线段AB 的长.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
新课标人教A 版选修4-4 第一讲 坐标系 导学案§4.1.1—第一课 平面直角坐标系本课提要:本节课的重点是体会坐标法的作用,掌握坐标法的解题步骤,会运用坐标法解决实际问题与几何问题.一、 温故而知新1.到两个定点A (-1,0)与B (0,1)的距离相等的点的轨迹是什么?2.在⊿ABC 中,已知A (5,0),B (-5,0),且6=-BC AC ,求顶点C 的轨迹方程.二、 重点、难点都在这里【问题1】:某信息中心接到位于正东、正西、正北方向三个观测点的报告:正西、正北两个观测点同时听到一声巨响,正东观测点听到巨响的时间比它们晚4s.已知各观测点到中心的距离都是1020m.试确定巨响发生的位置.(假定声音传播的速度为340m/s ,各观测点均在同一平面上.)(详解见课本)练一练:3.有三个信号检测中心A 、B 、C ,A 位于B 的正东,相距6千米,C 在B 的北偏西300,相距4千米.在A 测得一信号,4秒后B 、C 同时测得同一信号.试求信号源P 相对于信号A 的位置(假设信号传播速度为1千米/秒).【问题2】:已知⊿ABC 的三边c b a ,,满足2225a c b =+,BE ,CF 分别为边AC ,AB 上的中线,建立适当的平面直角坐标系探究BE 与CF 的位置关系.三、 懂了,不等于会了4.两个定点的距离为6,点M 到这两个定点的距离的平方和为26,求点M 的轨迹.5.求直线0532=+-y x 与曲线xy 1=的交点坐标.7.已知A (-2,0),B (2,0),则以AB 为斜边的直角三角形的顶点C 的轨迹方程 是 .8.已知A (-3,0),B (3,0),直线AM 、BM 相交于点M ,且它们的斜率之积为94,则 点M 的轨迹方程是 .平面直角坐标系中的伸缩变换【基础知识导学】1、 坐标系包括平面直角坐标系、极坐标系、柱坐标系、球坐标系。
2、 “坐标法”解析几何学习的始终,同学们在不断地体会“数形结合”的思想方法并自始至终强化这一思想方法。
3、 坐标伸缩变换与前面学的坐标平移变换都是将平面图形进行伸缩平移的变换,本质是一样的。
知识要点归纳】思考1:怎样由正弦曲线y=sinx 得到曲线y=sin2x?坐标压缩变换:设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点,保持纵坐标不变,将横坐标x 缩为原来 1/2,得到点P’(x’,y’).坐标对应关系为: ⎪⎩⎪⎨⎧==y y x x ''21通常把上式叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。
思考2:怎样由正弦曲线y=sinx 得到曲线y=3sinx?写出其坐标变换。
设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点,保持横坐标x 不变,将纵坐标y 伸长为原来 3倍,得到点P’(x’,y’).坐标对应关系为: ⎩⎨⎧==y y x x 3''通常把上式叫做平面直角坐标系中的一个伸长变换。
思考3:怎样由正弦曲线y=sinx 得到曲线y=3sin2x? 写出其坐标变换。
定义:设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点,在变换⎩⎨⎧>=>=)0(,)0(,:''y y y x x μλλϕ的作用下,点P(x,y)对应P’(x’,y’).称ϕ为平面直角坐标系中的伸缩变换。
【典型例题】 在同一直角坐标系中,求满足下列图形变换的伸缩变换。
将直线22=-y x 变成直线42='-'y x ,分析:设变换为⎩⎨⎧>⋅='>⋅='),0(,),0(,μμλλy y x x 可将其代入第二个方程,得42=-y x μλ,与22=-y x 比较,将其变成,442=-y x 比较系数得.4,1==μλ【解】(1)⎩⎨⎧='='yy xx 4,直线22=-y x 图象上所有点的横坐标不变,纵机坐标扩大到原来的4倍可得到直线42='-'y x 。
达标检测A1.求下列点经过伸缩变换⎩⎨⎧==yy xx 3'2'后的点的坐标:(1) (1,2); (2) (-2,-1)A2.点),(y x 经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧==yy x x 3'21'后的点的坐标是(-2,6),则=x ,=y ; A3.将点(2,3)变成点(3,2)的伸缩变换是( )A.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y y x x 23'32'B.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==yy x x 32'23' C.⎩⎨⎧==x y y x '' D.⎩⎨⎧-=+=1'1'y y x xA4.将直线22=-y x 变成直线4''2=-y x 的伸缩变换是 .B6.在平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎩⎨⎧==yy xx 3'2'后的图形:(1)032=+y x ;(2)122=+y x .OX1.2.1极坐标系的的概念学习目标1.能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置.2.体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别.学习过程一、学前准备情境1:军舰巡逻在海面上,发现前方有一群水雷,如何确定它们的位置以便将它们引爆?情境2:如图为某校园的平面示意图,假设某同学在教学楼处。
(1)他向东偏60°方向走120M 后到达什么位置?该位置唯一确定吗?(2)如果有人打听体育馆和办公楼的位置,他应如何描述?问题1:为了简便地表示上述问题中点的位置,应创建怎样的坐标系呢? 问题2:如何刻画这些点的位置? 二、新课导学◆探究新知(预习教材P 8~P 10,找出疑惑之处)1、如右图,在平面内取一个 O ,叫做 ; 自极点O 引一条射线Ox ,叫做 ;再选定一个 ,一个 (通常取 )及其 (通常取 方向),这样就建立了一个 。
2、设M 是平面内一点,极点O 与M 的距离||OM 叫做点M 的 ,记为 ;以极轴Ox为始边,射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的 ,记为 。
有序数对 叫做点M 的 ,记作 。
3、思考:直角坐标系与极坐标系有何异同?___________________________________________. ◆应用示例 例题1:(1)写出图中A ,B ,C ,D ,E ,F ,G 各点的极坐标)20,0(πθρ<≤>. (2):思考下列问题,给出解答。
①平面上一点的极坐标是否唯一?②若不唯一,那有多少种表示方法? ③坐标不唯一是由谁引起的?④不同的极坐标是否可以写出统一表达式? ⑤本题点G 的极坐标统一表达式。
答:◆反馈练习在下面的极坐标系里描出下列各点小结:在平面直角坐标系中,一个点对应 个坐标表示,一个直角坐标对应 个点。
极坐标系里的点的极坐标有 种表示,但每个极坐标只能对应 个点。
三、总结提升1.本节学习了哪些内容?答:能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置. 1.已知5,3M π⎛⎫⎪⎝⎭,下列所给出的能表示该点的坐标的是 A .⎪⎭⎫⎝⎛-3,5π B .⎪⎭⎫ ⎝⎛34,5π C .⎪⎭⎫⎝⎛-32,5π D .55,3π⎛⎫-⎪⎝⎭2、在极坐标系中,与(ρ,θ)关于极轴对称的点是( )A 、),(θρB 、),(θρ-C 、),(πθρ+D 、),(θπρ-3、设点P 对应的复数为-3+3i ,以原点为极点,实轴正半轴为极轴建立极坐标系,则点P 的极坐标为( ) A.(23,π43) B. (32,π45) C. (3,π45) D. (3,π43) 4、(课本习题1.2第二题)),(θρM●ρθOx(3,0)(6,2)(3,)245(5,)(3,)(4,)365(6,)3A B C D E F G ππππππ1.2.2. 极坐标与直角坐标的互化学习目标1.掌握极坐标和直角坐标的互化关系式。
2. 会实现极坐标和直角坐标之间的互化。
学习过程一、学前准备情境1:若点作平移变动时,则点的位置采用直角坐标系描述比较方便; 情境2:若点作旋转变动时,则点的位置采用极坐标系描述比较方便。
问题1:如何进行极坐标与直角坐标的互化?问题2:平面内的一个点的直角坐标是)3,1(,这个点如何用极坐标表示?二、新课导学◆探究新知(预习教材P 11~P 11,找出疑惑之处)直角坐标系的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,且在两坐标系中取相同的长度单位。
平面内任意一点P 的指教坐标与极坐标分别为),(y x 和),(θρ,则由三角函数的定义可以得到如下两组公式:{θρθρsin cos ==y x { xy y x =+=θρtan 222说明:1、上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式2、通常情况下,将点的直角坐标化为极坐标时,取ρ≥0,0≤θ<π2。
3、互化公式的三个前提条件(1). 极点与直角坐标系的原点重合;(2). 极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合; (3). 两种坐标系的单位长度相同. ◆应用示例例1.将点M 的极坐标)32,5(π化成直角坐标。
(教材P 11例3) 解:例2.将点M 的直角坐标)1,3(--化成极坐标(教材P 11例4) 解:◆反馈练习1.点()3,1-P ,则它的极坐标是 A .⎪⎭⎫ ⎝⎛3,2π B .⎪⎭⎫ ⎝⎛34,2π C .⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,2π D .⎪⎭⎫⎝⎛-34,2π 2.点M 的直角坐标是(1,3)-,则点M 的极坐标为( ) A .(2,)3πB .(2,)3π-C .2(2,)3πD .(2,2),()3k k Z ππ+∈三、总结提升1.本节学习了哪些内容?答:极坐标和直角坐标之间的互化。
课后作业1.若A 33,π⎛⎝ ⎫⎭⎪,B ⎪⎭⎫ ⎝⎛-64π,,则|AB|=___5____,ABO S ∆=_6_________。
(其中O 是极点)2.已知点的极坐标分别为)4,3(π,)32,2(π,)2,4(π,),23(π,求它们的直角坐标。
3.已知点的直角坐标分别)3,3(,)35,0(-,)0,27(,)32,2(--,为求它们的极坐标。
4.在极坐标系中,已知两点)3,3(π-A ,)32,1(πB ,求B A ,两点间的距离。
圆的极坐标方程本课提要:本节课的重点是掌握一些特殊位置下的圆(如过极点或圆心在极点的圆)的极坐标方程.一、 温故而知新1.圆122=+y x 的极坐标方程是 .2.曲线θρcos =的直角坐标方是 . 二 重点、难点都在这里【问题1】:求以点)0)(0,(>a a C 为圆心,a 为半径的圆C 的极坐标方程.3.求圆心在点(3,0),且过极点的圆的极坐标方程.4.求以)2,4(π为圆心,4为半径的圆的极坐标方程.【问题2】:已知圆心的极坐标为),(00θρM ,圆的半径为r ,求圆的极坐标方程.【问题3】:已知一个圆的极坐标方程是θθρsin 5cos 35-=,求圆心的极坐标与半径.三练习 5.在极坐标系中,求适合下列条件的圆的极坐标方程:(1)圆心在)4,1(πA ,半径为1的圆;(2)圆心在)23,(πa ,半径为a 的圆.6.把下列极坐标方程化为直角坐标方程:(1)2=ρ;(2)θρcos 5=.7.求下列圆的圆心的极坐标:(1)θρsin 4=;(2))4cos(2θπρ-=.8.求圆05)sin 3(cos 22=-+-θθρρ的圆心的极坐标与半径.四、试试你的身手呀9.设有半径为4的圆,它在极坐标系内的圆心坐标是),4(π,则这个圆的极坐标方程是 .10.两圆θρcos 2=和θρsin 4=的圆心距是 .11.在圆心的极坐标为)0)(0,(>a a ,半径为a 的圆中,求过极点的弦的中点的轨迹.直线的极坐标方程本课提要:本节课的重点是掌握一些特殊位置下的直线(如过极点或垂直于极轴的直线)的极坐标方程.一、 温故而知新1.直线1=+y x 的极坐标方程是 . 2.曲线1cos =θρ的直角坐标方程是 . 二、典型例题【问题1】:求经过极点,从极轴到直线l 的夹角是4π的直线l 的极坐标方程. 练一练:3.经过极点,且倾斜角是6π的直线的极坐标方程是 . 4.直线)(43R ∈=ρπρ的直角坐标方程是 . 【问题2】:设点P 的极坐标为),(11θρ,直线l 过点P 且与极轴所成的角为α,求直线l 的极坐标方程.三、技能训练懂了,不等于会了5.在极坐标系中,求适合下列条件的直线的极坐标方程: (1)过极点,倾斜角是3π的直线;(2)过点)3,2(π,并且和极轴垂直的直线.6.把下列极坐标方程化为直角坐标方程:(1)2sin =θρ;(2)θρsin 2=. 7.求下列直线的倾斜角:(1))(65R ∈=ρπθ;(2)1)4sin(=-πθρ.8.已知直线的极坐标方程为22)4sin(=+πθρ,求点)47,2(πA 到这条直线的距离.四、变式训练试试你的身手呀9.过点)(42,π,且平行于极轴的直线的极坐标方程为 .10.直线2cos =θρ关于直线4πθ=对称的直线的极坐标方程为________________六、课后作业11. 直线αθ=和直线1)sin(=-αθρ的位置关系是 . 12.在极坐标系中,点)3,4(πM 到直线4)sin cos 2(:=+θθρl 的距离=d .13.在极坐标系中,若过点(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线θρcos =于A 、B 两点,则=AB .柱坐标系与球坐标系简介本课提要:本节课的重点是了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法,并掌握柱坐标、球坐标与直角坐标的互化.一、课前小测温故而知新1.如何确定一个圆柱侧面上的点的位置?2.如何确定一个球面上的点的位置? 二、典型例题重点、难点都在这里【问题1】:(1)点A 的柱坐标是)7,6,2(π,则它的直角坐标是 ;(2)点B 的直角坐标是)4,3,1(,则它的柱坐标是 . 3.点P 的柱坐标是)2,3,4(-π,则它的直角坐标是 .4.点Q 的直角坐标是)2,3,1(-,则它的柱坐标是 . 【问题2】:(1)点A 的球坐标是)4,4,2(ππ,则它的直角坐标是 ;(2)点B 的直角坐标是)222,2(,-,则它的球坐标是 . 【问题3】:建立适当的球坐标系,表示棱长为2的正方体的顶点.三、 懂了,不等于会了5.将下列各点的柱坐标化为直角坐标:)3,32,4(),1,6,2(-ππQ P .6.将下列各点的球坐标化为直角坐标:)23,,5(),35,2,4(ππππB A .7.将下列各点的直角坐标化为球坐标:)24,0,24(),6,1,1(--N M .8.建立适当的柱坐标系与球坐标系,表示棱长为3的正四面体的四个顶点.四、 试试你的身手呀 9.设M 的球坐标为)45,4,2(ππ,则它的柱坐标为 .10.在球坐标系中, )4,6,3(ππP 与)43,6,3(ππQ 两点间的距离是 .11.球坐标满足方程3=r 的点所构成的图形是什么?并将此方程化为直角坐标方程.12.点A 的柱坐标是)4,6,2(π-,则它的直角坐标是 .13.点M 的球坐标是)65,3,8(ππ,则它的直角坐标是 .嫩江一中高二数学导学案 主备人: 王杰 课前批改: 课后批改:1.1.1参数方程的概念学习目标1.通过分析抛射物体运动中时间与物体位置的关系,了解一般曲线的参数方程,体会参数的意义学习过程一、学前准备复习:在直角坐标系中求曲线的方程的步骤是什么? 二、新课导学◆探究新知(预习教材P 21~P 22,找出疑惑之处)问题1:由物理知识可知,物资投出机舱后,它的运动是下列两种运动的合成: 问题2:由方程组210015002x t y g t =⎧⎪⎨=-⎪⎩,其中是g 重力加速度(29.8/g m s =) 可知,在 t 的取值范围内,给定 t 的一个值,由方程组可以 确定,x y 的值。