函数问题的题型与解题方法
函数常见题型及其解答
函数常见题型及其解答函数是高中数学的重要内容之一，也是高考的重点和难点。
在学习函数的过程中，同学们可能会遇到各种类型的题目，本文将介绍一些常见的题型及其解答方法。
一、求函数的定义域定义域是函数的基础，求函数的定义域是常见的问题之一。
常见的方法有：1. 观察法：根据函数解析式，直接观察出其定义域。
2. 分式法：对于分式函数，需要保证分母不为0。
3. 偶次根式法：对于偶次根式函数，需要保证被开方数非负。
4. 对数法：对于对数函数，需要保证对数的真数大于0。
5. 复合法：对于含有多个函数的式子，需要保证每个函数都有意义。
例题：求函数f(x) = 的定义域。
解答：由已知可得，要使函数有意义，需满足：3x - 4 > 0，解得x > 4/3。
所以函数的定义域为{x︱x > 4/3}。
二、求函数的解析式求函数的解析式是另一个常见的问题。
常见的方法有：1. 直接法：根据已知的函数表达式，直接求出未给出的函数表达式。
2. 换元法：对于某些复杂的表达式，可以通过换元法简化表达式。
3. 待定系数法：通过设出函数表达式中的系数，再根据已知条件求出这些系数。
例题：已知函数f(x)满足f(x) + f(2 - x) = 2，求f(x)的解析式。
解答：设f(x) = kx + b，则f(2 + x) = k(x + 2) + b + k = kx + 2k + b + b = 2，解得k = - 1，b = 0，所以f(x)的解析式为f(x) = - x。
三、函数的性质与图像函数的性质和图像是函数的重要内容之一。
常见的题型有：1. 求函数的单调区间、极值和最值。
2. 根据函数的性质和图像，分析函数的特征和变化规律。
3. 根据已知条件，画出函数的图像。
例题：已知函数f(x)在定义域内为减函数，且f(x - 1) >f(1)，求函数的单调区间。
解答：由题意可知，函数f(x)在定义域内为减函数，且f(x - 1) > f(1)，所以x - 1 < 1 < x，即- 1 < x < 2，函数的单调递减区间为( - 1,2)。
高中函数题型及解题方法
高中函数题型及解题方法高中数学中，函数是一个非常重要的概念，也是学生们比较头疼的一个知识点。
函数题型的考察也是比较灵活多样的，下面我们就来系统地总结一下高中函数题型及解题方法。
一、基本函数题型。
1.函数的定义和性质题型。
这类题型主要考察对函数定义和性质的理解，学生需要掌握函数的定义、定义域、值域、奇偶性、周期性等基本性质。
解题方法是根据函数的具体性质，进行逻辑推理和数学运算，得出题目要求的结论。
2.函数的图像和性质题型。
这类题型主要考察对函数图像和性质的理解，学生需要掌握函数图像的基本特征、对称性、单调性、极值点、拐点等性质。
解题方法是根据函数图像的特点，进行分析和推理，得出题目要求的结论。
3.函数的运算题型。
这类题型主要考察对函数的运算和复合的理解，学生需要掌握函数的加减乘除、复合函数、反函数等运算规则。
解题方法是根据函数运算的性质，进行逻辑推理和数学运算，得出题目要求的结果。
二、综合函数题型。
1.函数的应用题型。
这类题型主要考察对函数的实际应用的理解，学生需要掌握函数在各个领域的具体应用，如经济学、物理学、生物学等。
解题方法是根据具体问题，建立函数模型，进行分析和推理，得出问题的解决方案。
2.函数方程题型。
这类题型主要考察对函数方程的解法和应用的理解，学生需要掌握函数方程的求解方法和应用技巧。
解题方法是根据函数方程的具体形式，进行分析和推理，得出方程的解或满足条件的函数形式。
三、解题方法。
1.理清思路，明确目标。
在解函数题型时，首先要理清思路，明确题目要求的目标，分析题目中给出的条件和限制，明确解题的方向和方法。
2.运用函数的基本性质。
在解题过程中，要灵活运用函数的基本性质，如定义、图像、运算规则等，根据题目的具体要求，进行逻辑推理和数学运算。
3.建立函数模型，进行分析。
对于应用题型，要善于建立函数模型，将实际问题转化为数学问题，进行逻辑分析和推理，得出问题的解决方案。
4.多做练习，掌握技巧。
函数与导数压轴题题型与解题方法(高考必备)
函数与导数压轴题题型与解题方法(高考必备)题型与方法（选择、填空题）一、函数与导数1、抽象函数与性质主要知识点：定义域、值域（最值）、单调性、奇偶性、周期性、对称性、趋势线（渐近线）对策与方法：赋值法、特例法、数形结合例1：已知定义在$[0,+\infty)$上的函数$f(x)$，当$x\in[0,1]$时，$f(x)=\frac{2}{3}-4x$；当$x>1$时，$f(x)=af(x-1)$，$a\in R$，$a$为常数。
下列有关函数$f(x)$的描述：①当$a=2$时，$f(\frac{3}{2})=4$；②当$a<\frac{1}{2}$时，函数$f(x)$的值域为$[-2,2]$；③当$a>\frac{1}{2}$时，不等式$f(x)\leq 2a$恒成立；④当$-\frac{1}{2}<a<\frac{1}{2}$时，函数$f(x)$的图像与直线$y=2an-1$（$n\in N^*$）在$[1,n]$内的交点个数为$n-\frac{1+(-1)^n}{2}$。
其中描述正确的个数有（。
）【答案】C分析：根据题意，当$x>1$时，$f(x)$的值由$f(x-1)$决定，因此可以考虑特例法。
当$a=2$时，$f(x)$的值域为$[0,4]$，因此①正确。
当$a\frac{1}{2}$时，$f(x)$在$[0,1]$上单调递减，在$[1,+\infty)$上单调递增，因此不等式$f(x)\leq 2a$恒成立，③正确。
当$-\frac{1}{2}<a<\frac{1}{2}$时，$f(x)$在$[0,1]$上单调递减，在$[1,+\infty)$上单调递增，因此$f(x)$与直线$y=2an-1$（$n\in N^*$）在$[1,n]$内的交点个数为$n-\frac{1+(-1)^n}{2}$，④正确。
因此，答案为$\boxed{\textbf{(C) }2}$。
高一函数题型及解题技巧
高一函数题型及解题技巧高一函数是高中数学中的重要内容，包括函数的定义、性质、图像、变化规律等，在考试中也经常出现。
下面是一些高一函数题型及解题技巧的介绍。
1.函数的定义题型函数的定义题型考察的是对函数的基本概念和定义的理解。
通常会给出一个函数的表达式或定义，然后要求判断函数的性质或回答问题。
解题时要仔细分析函数的定义，注意函数值的范围、定义域和值域等因素。
2.函数的性质题型函数的性质题型考察的是对函数性质的理解和运用。
通常会给出一个函数的表达式或定义，并且要求判断函数的奇偶性、单调性、周期等性质。
解题时要根据函数的性质进行分析，可以使用导数、导数的符号变化、函数图像等方法。
3.函数的图像题型函数的图像题型考察的是对函数图像的理解和分析能力。
通常会给出一个函数的表达式或定义，然后要求画出函数的图像或分析图像的特点。
解题时可以先分析函数的性质，然后根据性质画图，注意函数的变化规律和特殊点的位置。
4.函数的变化规律题型函数的变化规律题型考察的是对函数变化规律的掌握和分析能力。
通常会给出一个函数的表达式或定义，然后要求分析函数的变化规律或进行函数的运算。
解题时要注意函数的变化趋势、特点和规律，可以使用导数、极值、最值等方法。
解题技巧：1.熟练掌握函数的基本概念和定义，理解函数的性质和特点。
2.注意观察题目中给出的已知条件和要求，对问题进行合理的分析和解答。
3.尽量画出函数的图像，根据图像进行分析和判断。
首先确定函数的性质和特点，然后根据特点进行计算或推导。
4.注意函数的定义域和值域，合理利用函数的性质进行推导和计算。
5.灵活运用导数和基本函数的性质，尤其是对于求导和导数的符号变化。
6.注意函数的极值和最值，找出极值点和最值点的位置和数值。
以上是一些高一函数题型及解题技巧的介绍，希望对你有帮助。
在学习函数的过程中，要多做练习题，熟练掌握函数的概念、性质和画图方法，提高解题能力。
高中函数题型及解题方法
高中函数题型及解题方法
一、高中函数题型
1、一元函数：一元函数是一种函数，它将一个变量映射到另
一个变量。
它只有一个自变量，只有一个因变量。
2、二元函数：二元函数是一种函数，它将两个变量映射到另
一个变量。
它有两个自变量，只有一个因变量。
3、指数函数：指数函数是一种函数，它将一个变量映射到另
一个变量，并且满足指数关系。
4、对数函数：对数函数是一种函数，它将一个变量映射到另
一个变量，并且满足对数关系。
5、反比例函数：反比例函数是一种函数，它将一个变量映射
到另一个变量，并且满足反比例关系。
6、三角函数：三角函数是一种函数，它将一个变量映射到另
一个变量，并且满足三角关系。
二、解题方法
1、分析问题：首先要仔细阅读题目，把握问题的内容，如果
是函数的问题，要确定函数的类型，以及函数的定义域和值域。
2、解方程：如果是求函数的值，要先把函数表示出来，然后
根据给出的条件解出方程，最后求出函数的值。
3、画图：如果需要求函数的图像，可以根据函数的定义，画出一些点，然后连接这些点，就可以得到函数的图像了。
4、总结：最后，要总结出问题的结果，把函数的定义域和值域，以及函数的图像都写出来。
一次函数题型及解题方法
一次函数题型及解题方法考点一、一次函数的图象与性质【方法总结】一次函数的k值决定直线的方向，如果k＞0，直线就从左往右上升，y随x的增大而增大；如果k＜0，直线就从左往右下降，y随x的增大而减小；而b值决定直线和y轴的交点，如果b＞0，则与y轴的正半轴相交；如果b＜0，则与y轴交于负半轴；当b＝0时，一次函数就变成正比例函数，图象过原点.考点二、确定一次函数的解析式【方法总结】用待定系数法求一次函数的步骤：①设出函数关系式；②把已知条件(自变量与函数的对应值)代入函数关系式中，得到关于待定系数的方程(组)；③解方程(组)，求出待定系数的值，写出函数关系式．考点三、一次函数与一次方程（组）【方法总结】两个函数图象的交点坐标，既满足其中一个函数的表达式，也满足另一个函数的表达式，求函数图象的交点坐标，就是解这两个函数图象的表达式所组成的方程组的解，讨论图象的交点问题就是讨论方程组解的情况．考点四、一次函数与一元一次不等式补充：方法二，kx+3＞0也就是函数y>0，结合图像x轴上方的部分，此时x＜2【方法总结】先把已知点的坐标代入求出解析式，然后在解不等式求出解集。
或者利用函数图像分析来解答，函数大于0也就是对应图像中在x轴以上的部分函数，再找出对应的x的取值范围即可。
考点五、一次函数与图形面积问题【方法总结】两直线交点坐标必满足两直线解析式，求交点就是联立两直线解析式求方程组的解；复杂图形“外补内割”即：往外补成规则图形，或分割成规则图形（三角形）；往往选择坐标轴上的线段作为底，底所对的顶点的坐标确定高考点六、一次函数的平移一次函数图象的性质一次函数y＝kx＋b的图象可由正比例函数y＝kx的图象平移得到，b＞0，上移b 个单位；b＜0，下移|b|个单位．一次函数与方程、方程组及不等式的关系1．y＝kx＋b与kx＋b＝02．一次函数与方程组两个一次函数图象的交点坐标就是它们的解析式所组成的二元一次方程组的解；以二元一次方程组的解为坐标的点是两个二元一次方程所对应的一次函数图象的交点．。
中考压轴题-二次函数综合(八大题型+解题方法)——冲刺2024年中考数学考点押题(全国通用)(解析)
中考压轴题-二次函数综合 （八大题型+解题方法）1、求证“两线段相等”的问题：借助于函数解析式,先把动点坐标用一个字母表示出来；然后看两线段的长度是什么距离即是“点点”距离,还是“点轴距离”,还是“点线距离”,再运用两点之间的距离公式或点到x 轴y 轴的距离公式或点到直线的距离公式,分别把两条线段的长度表示出来,分别把它们进行化简,即可证得两线段相等;2、“平行于y 轴的动线段长度的最大值”的问题：由于平行于y 轴的线段上各个点的横坐标相等常设为t,借助于两个端点所在的函数图象解析式,把两个端点的纵坐标分别用含有字母t 的代数式表示出来,再由两个端点的高低情况,运用平行于y 轴的线段长度计算公式-y y 下上,把动线段的长度就表示成为一个自变量为t,且开口向下的二次函数解析式,利用二次函数的性质,即可求得动线段长度的最大值及端点坐标;3、求一个已知点关于一条已知直线的对称点的坐标问题：先用点斜式或称K ,且与已知直线垂直的直线解析式,再求出两直线的交点坐标,最后用中点坐标公式即可;4、“抛物线上是否存在一点,使之到定直线的距离最大”的问题：方法1先求出定直线的斜率,由此可设出与定直线平行且与抛物线相切的直线的解析式注意该直线与定直线的斜率相等,因为平行直线斜率k 相等,再由该直线与抛物线的解析式组成方程组,用代入法把字母y 消掉,得到一个关于x 的的一元二次方程,由题有△=2b -4ac=0因为该直线与抛物线相切,只有一个交点,所以2b -4ac=0从而就可求出该切线的解析式,再把该切线解析式与抛物线的解析式组成方程组,求出x 、y 的值,即为切点坐标,然后再利用点到直线的距离公式,计算该切点到定直线的距离,即为最大距离; 方法2该问题等价于相应动三角形的面积最大问题,从而可先求出该三角形取得最大面积时,动点的坐标,再用点到直线的距离公式,求出其最大距离;方法3先把抛物线的方程对自变量求导,运用导数的几何意义,当该导数等于定直线的斜率时,求出的点的坐标即为符合题意的点,其最大距离运用点到直线的距离公式可以轻松求出;5、常数问题：1点到直线的距离中的常数问题：“抛物线上是否存在一点,使之到定直线的距离等于一个 固定常数”的问题：先借助于抛物线的解析式,把动点坐标用一个字母表示出来,再利用点到直线的距离公式建立一个方程,解此方程,即可求出动点的横坐标,进而利用抛物线解析式,求出动点的纵坐标,从而抛物线上的动点坐标就求出来了;2三角形面积中的常数问题：“抛物线上是否存在一点,使之与定线段构成的动三角形的面积等于一个定常数”的问题：先求出定线段的长度,再表示出动点其坐标需用一个字母表示到定直线的距离,再运用三角形的面积公式建立方程,解此方程,即可求出动点的横坐标,再利用抛物线的解析式,可求出动点纵坐标,从而抛物线上的动点坐标就求出来了;3几条线段的齐次幂的商为常数的问题：用K 点法设出直线方程,求出与抛物线或其它直线的交点坐标,再运用两点间的距离公式和根与系数的关系,把问题中的所有线段表示出来,并化解即可;6、“在定直线常为抛物线的对称轴,或x 轴或y 轴或其它的定直线上是否存在一点,使之到两定点的距离之和最小”的问题：先求出两个定点中的任一个定点关于定直线的对称点的坐标,再把该对称点和另一个定点连结得到一条线段,该线段的长度〈应用两点间的距离公式计算〉即为符合题中要求的最小距离,而该线段与定直线的交点就是符合距离之和最小的点,其坐标很易求出利用求交点坐标的方法;7、三角形周长的“最值最大值或最小值”问题：① “在定直线上是否存在一点,使之和两个定点构成的三角形周长最小”的问题简称“一边固定两边动的问题：由于有两个定点,所以该三角形有一定边其长度可利用两点间距离公式计算,只需另两边的和最小即可;② “在抛物线上是否存在一点,使之到定直线的垂线,与y 轴的平行线和定直线,这三线构成的动直角三角形的周长最大”的问题简称“三边均动的问题：在图中寻找一个和动直角三角形相似的定直角三角形,在动点坐标一母示后,运用=C C 动动定定斜边斜边,把动三角形的周长转化为一个开口向下的抛物线来破解;8、三角形面积的最大值问题：① “抛物线上是否存在一点,使之和一条定线段构成的三角形面积最大”的问题简称“一边固定两边动的问题”：方法1：先利用两点间的距离公式求出定线段的长度；然后再利用上面３的方法,求出抛物线上的动点到该定直线的最大距离;最后利用三角形的面积公式= 12底×高;即可求出该三角形面积的最大值,同时在求解过程中,切点即为符合题意要求的点;方法2：过动点向y 轴作平行线找到与定线段或所在直线的交点,从而把动三角形分割成两个基本模型的三角形,动点坐标一母示后,进一步可得到）（）（左（定）右（定）下（动）上（动）动三角形x x y y 21−⋅−=S ,转化为一个开口向下的二次函数问题来求出最大值;②“三边均动的动三角形面积最大”的问题简称“三边均动”的问题：先把动三角形分割成两个基本模型的三角形有一边在x 轴或y 轴上的三角形,或者有一边平行于x 轴或y 轴的三角形,称为基本模型的三角形面积之差,设出动点在x 轴或y 轴上的点的坐标,而此类题型,题中一定含有一组平行线,从而可以得出分割后的一个三角形与图中另一个三角形相似常为图中最大的那一个三角形;利用相似三角形的性质对应边的比等于对应高的比可表示出分割后的一个三角形的高;从而可以表示出动三角形的面积的一个开口向下的二次函数关系式,相应问题也就轻松解决了;9、“一抛物线上是否存在一点,使之和另外三个定点构成的四边形面积最大的问题”：由于该四边形有三个定点,,即可得到一个定三角形的面积之和,所以只需动三角形的面积最大,就会使动四边形的面积最大,而动三角形面积最大值的求法及抛物线上动点坐标求法与7相同;10、“定四边形面积的求解”问题： 有两种常见解决的方案：方案一：连接一条对角线,分成两个三角形面积之和；方案二：过不在x 轴或y 轴上的四边形的一个顶点,向x 轴或y 轴作垂线,或者把该点与原点连结起来,分割成一个梯形常为直角梯形和一些三角形的面积之和或差,或几个基本模型的三角形面积的和差11、“两个三角形相似”的问题： 两个定三角形是否相似：（1）已知有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出已知角的两条夹边,看看是否成比例 若成比例,则相似;否则不相似;（2）不知道是否有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出两个三角形各边的长,看看是否成比例若成比例,则相似;否则不相似;一个定三角形和动三角形相似：（1）已知有一个角相等的情形：先借助于相应的函数关系式,把动点坐标表示出来一母示,然后把两个目标三角形题中要相似的那两个三角形中相等的那个已知角作为夹角,分别计算或表示出夹角的两边,让形成相等的夹角的那两边对应成比例要注意是否有两种情况,列出方程,解此方程即可求出动点的横坐标,进而求出纵坐标,注意去掉不合题意的点;2不知道是否有一个角相等的情形：这种情形在相似性中属于高端问题,破解方法是,在定三角形中,由各个顶点坐标求出定三角形三边的长度,用观察法得出某一个角可能是特殊角,再为该角寻找一个直角三角形,用三角函数的方法得出特殊角的度数,在动点坐标“一母示”后,分析在动三角形中哪个角可以和定三角形中的那个特殊角相等,借助于特殊角,为动点寻找一个直角三角形,求出动点坐标,从而转化为已知有一个角相等的两个定三角形是否相似的问题了,只需再验证已知角的两边是否成比例若成比例,则所求动点坐标符合题意,否则这样的点不存在;简称“找特角,求动点标,再验证”;或称为“一找角,二求标,三验证”;12、“某函数图象上是否存在一点,使之与另两个定点构成等腰三角形”的问题：首先弄清题中是否规定了哪个点为等腰三角形的顶点;若某边底,则只有一种情况；若某边为腰,有两种情况；若只说该三点构成等腰三角形则有三种情况;先借助于动点所在图象的解析式,表示出动点的坐标一母示,按分类的情况,分别利用相应类别下两腰相等,使用两点间的距离公式,建立方程;解出此方程,即可求出动点的横坐标,再借助动点所在图象的函数关系式,可求出动点纵坐标,注意去掉不合题意的点就是不能构成三角形这个题意;13、“某图象上是否存在一点,使之与另外三个点构成平行四边形”问题：这类问题,在题中的四个点中,至少有两个定点,用动点坐标“一母示”分别设出余下所有动点的坐标若有两个动点,显然每个动点应各选用一个参数字母来“一母示”出动点坐标,任选一个已知点作为对角线的起点,列出所有可能的对角线显然最多有3条,此时与之对应的另一条对角线也就确定了,然后运用中点坐标公式,求出每一种情况两条对角线的中点坐标,由平行四边形的判定定理可知,两中点重合,其坐标对应相等,列出两个方程,求解即可;进一步有：①若是否存在这样的动点构成矩形呢先让动点构成平行四边形,再验证两条对角线相等否若相等,则所求动点能构成矩形,否则这样的动点不存在;②若是否存在这样的动点构成棱形呢先让动点构成平行四边形,再验证任意一组邻边相等否若相等,则所求动点能构成棱形,否则这样的动点不存在;③若是否存在这样的动点构成正方形呢先让动点构成平行四边形,再验证任意一组邻边是否相等和两条对角线是否相等若都相等,则所求动点能构成正方形,否则这样的动点不存在;14、“抛物线上是否存在一点,使两个图形的面积之间存在和差倍分关系”的问题：此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉,后面的19实为本类型的特殊情形;先用动点坐标“一母示”的方法设出直接动点坐标,分别表示如果图形是动图形就只能表示出其面积或计算如果图形是定图形就计算出它的具体面积,然后由题意建立两个图形面积关系的一个方程,解之即可;注意去掉不合题意的点,如果问题中求的是间接动点坐标,那么在求出直接动点坐标后,再往下继续求解即可;15、“某图形〈直线或抛物线〉上是否存在一点,使之与另两定点构成直角三角形”的问题：若夹直角的两边与y轴都不平行：先设出动点坐标一母示,视题目分类的情况,分别用斜率公式算出夹直角的两边的斜率,再运用两直线没有与y轴平行的直线垂直的斜率结论两直线的斜率相乘等于-1,得到一个方程,解之即可;若夹直角的两边中有一边与y 轴平行,此时不能使用斜率公式;补救措施是：过余下的那一个点没在平行于y轴的那条直线上的点直接向平行于y的直线作垂线或过直角点作平行于y轴的直线的垂线与另一相关图象相交,则相关点的坐标可轻松搞定;16、“某图象上是否存在一点,使之与另两定点构成等腰直角三角形”的问题;①若定点为直角顶点,先用k点法求出另一直角边所在直线的解析式如斜率不存在,根据定直角点,可以直接写出另一直角边所在直线的方程,利用该解析式与所求点所在的图象的解析式组成方程组,求出交点坐标,再用两点间的距离公式计算出两条直角边等否若等,该交点合题,反之不合题,舍去;②若动点为直角顶点：先利用k点法求出定线段的中垂线的解析式,再把该解析式与所求点所在图象的解析式组成方程组,求出交点坐标,再分别计算出该点与两定点所在的两条直线的斜率,把这两个斜率相乘,看其结果是否为-1 若为-1,则就说明所求交点合题；反之,舍去;17、“题中含有两角相等,求相关点的坐标或线段长度”等的问题：题中含有两角相等,则意味着应该运用三角形相似来解决,此时寻找三角形相似中的基本模型“A”或“X”是关键和突破口;18、“在相关函数的解析式已知或易求出的情况下,题中又含有某动图形常为动三角形或动四边形的面积为定常数,求相关点的坐标或线段长”的问题：此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉,本类型实际上是前面14的特殊情形;先把动图形化为一些直角梯形或基本模型的三角形有一边在x 轴或ｙ轴上,或者有一边平行于x 轴或y 轴面积的和或差,设出相关点的坐标一母示,按化分后的图形建立一个面积关系的方程,解之即可;一句话,该问题简称“单动问题”,解题方法是“设点动点标,图形转化分割,列出面积方程”;19、“在相关函数解析式不确定系数中还含有某一个参数字母的情况下,题中又含有动图形常为动三角形或动四边形的面积为定常数,求相关点的坐标或参数的值”的问题：此为“双动问题”即动解析式和动图形相结合的问题;如果动图形不是基本模型,就先把动图形的面积进行转化或分割转化或分割后的图形须为基本模型,设出动点坐标一母示,利用转化或分割后的图形建立面积关系的方程或方程组;解此方程,求出相应点的横坐标,再利用该点所在函数图象的解析式,表示出该点的纵坐标注意,此时,一定不能把该点坐标再代入对应函数图象的解析式,这样会把所有字母消掉;再注意图中另一个点与该点的位置关系或其它关系,方法是常由已知或利用2问的结论,从几何知识的角度进行判断,表示出另一个点的坐标,最后把刚表示出来的这个点的坐标再代入相应解析式,得到仅含一个字母的方程,解之即可;如果动图形是基本模型,就无须分割或转化了,直接先设出动点坐标一母式,然后列出面积方程,往下操作方式就与不是基本模型的情况完全相同;一句话,该问题简称“双动问题”,解题方法是“转化分割,设点标,建方程,再代入,得结论”;常用公式或结论：1横线段的长 = 横标之差的绝对值 =-x x 大小=-x x 右左纵线段的长=纵标之差的绝对值=-y y 大小=-y y 下上 2点轴距离：点P 0x ,0y 到X 轴的距离为0y ,到Y 轴的距离为o x ; 3两点间的距离公式：若A 11,x y ,B 2,2x y , 则AB=目录：题型1：存在性问题 题型2：最值问题 题型3：定值问题 题型4：定点问题题型5：动点问题综合 题型6：对称问题 题型7：新定义题 题型8：二次函数与圆题型1：存在性问题1．（2024·四川广安·二模）如图，抛物线2y x bx c =−++交x 轴于()4,0A −，B 两点，交y 轴于点()0,4C ．(1)求抛物线的函数解析式．(2)点D 在线段OA 上运动，过点D 作x 轴的垂线，与AC 交于点Q ，与抛物线交于点P ，连接AP 、CP ，求四边形AOCP 的面积的最大值．(3)在抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得以点A 、C 、M 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点M【答案】(1)234y x x =−−+；(2)四边形AOCP 的面积最大为16；(3)点M 的坐标为35,22⎛⎫−− ⎪⎝⎭或311,22⎛⎫− ⎪⎝⎭．【分析】本题主要考查了二次函数综合，熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及二次函数的图象和性质，是解题的关键． （1）把()4,0A −，()0,4C 代入2y x bx c =−++，求出b 和c 的值，即可得出函数解析式； （2）易得182AOCSOA OC =⋅=，设()2,34P t t t −−+，则(),4Q t t +，求出24PQ t t =−−，则()()212282ACP C A S PQ x x t =⋅−=−++，根据四边形AOCP 的面积()22216ACP AOCS St =+=−++，结合二次函数的增减性，即可解答；（3）设3,2M m ⎛⎫− ⎪⎝⎭，根据两点之间距离公式得出232AC =，22254AM m =+，229(4)4CM m =+−，然后分情况根据勾股定理列出方程求解即可．【解析】（1）解：把()4,0A −，()0,4C 代入2y x bx c =−++得：01644b c c =−−+⎧⎨=⎩，解得：34b c =−⎧⎨=⎩，∴该二次函数的解析式234y x x =−−+；（2）解：∵()4,0A −，()0,4C ，∴4,4OA OC ==，∴1144822AOC S OA OC =⋅=⨯⨯=△，设直线AC 的解析式为4y kx =+， 代入()4,0A −得，044k =−+，解得1k =，∴直线AC 的解析式为4y x =+， 设()2,34P t t t −−+，则(),4Q t t +，∴()223444PQ t t t t t=−−+−+=−−∴()()()22114422822ACPC A SPQ x x t t t =⋅−=−−⨯=−++，∴四边形AOCP 的面积()22216ACP AOCSSt =+=−++，∵20−<，∴当2t =−时，四边形AOCP 的面积最大为16； （3）解：设3,2M m ⎛⎫− ⎪⎝⎭，∵()4,0A −，()0,4C ，∴2224432AC =+=，2222325424AM m m ⎛⎫=−++=+ ⎪⎝⎭，()()2222394424CM m m ⎛⎫=−+−=+− ⎪⎝⎭，当斜边为AC 时，AM CM AC 222+=，即()2225943244m m +++−=，整理得：24150m m ++=，无解；当斜边为AM 时，222AC CM AM +=，即2292532(4)44m m ++−=+，解得：112m =；∴311,22M ⎛⎫− ⎪⎝⎭当斜边为CM 时，222AC AM CM +=，即2225932(4)44m m ++=+−， 解得：52m =−；∴35,22M ⎛⎫−− ⎪⎝⎭综上：点M 的坐标为35,22⎛⎫−− ⎪⎝⎭或311,22⎛⎫− ⎪⎝⎭．2．（2024·内蒙古乌海·模拟预测）如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线()240y ax bx a =+−≠与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为()1,0−，且OC OB =，点D 和点C 关于抛物线的对称轴对称．(1)分别求出a ，b 的值和直线AD 的解析式；(2)直线AD 下方的抛物线上有一点P ，过点P 作PH AD ⊥于点H ，作PM 平行于y 轴交直线AD 于点M ，交x 轴于点E ，求PHM 的周长的最大值；(3)在（2）的条件下，如图2，在直线EP 的右侧、x 轴下方的抛物线上是否存在点N ，过点N 作NG x ⊥轴交x 轴于点G ，使得以点E 、N 、G 为顶点的三角形与AOC 相似？如果存在，请直接写出点G 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)1a =，3b =−，=1y x −−(2)4+(3)存在，点G的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，掌握二次函数的交点式、配方法求二次函数的最值、相似三角形的判定、等腰直角三角形的判定、一元二次方程的求根公式，列出PM 的长与a 的函数关系式是解题的关键．（1）先求得C 的坐标，从而得到点B 的坐标，设抛物线的解析式为()()14y a x x =+−，将点C 的坐标代入求解即可；先求得抛物线的对称轴，从而得到点()3,4D −，然后可求得直线AD 的解析式=1y x −−；（2）求得45BAD ∠=︒，接下来证明PMD △为等腰直角三角形，所当PM 有最大值时三角形的周长最大，设()2,34P a a a −−，()1M a −−，则223PM aa =−++，然后利用配方可求得PM 的最大值，最后根据MPH△的周长(1PM=求解即可；（3）当90EGN ∠=︒时，如果OA EG OC GN = 或OA GNOC EN =时，则AOC ∽EGN △，设点G 的坐标为(),0a ，则()2,34N a a a −−，则1EG a =−，234NG aa =−++，然后根据题意列方程求解即可．【解析】（1）点A 的坐标为()1,0−，1OA ∴=．令0x =，则4y =−，()0,4C ∴−，4OC =，OC OB =Q ， 4OB ∴=，()4,0B ∴，设抛物线的解析式为()()14y a x x =+−，将0x =，4y =−代入得：44a −=−，解得1a =，∴抛物线的解析式为234y x x =−−；1a ∴=，3b =−； 抛物线的对称轴为33212x −=−=⨯，()0,4C −，点D 和点C 关于抛物线的对称轴对称，()3,4D ∴−；设直线AD 的解析式为y kx b =+．将()1,0A −、()3,4D −代入得：034k b k b −+=⎧⎨+=−⎩，解得1k =−，1b =-，∴直线AD 的解析式=1y x −−；（2）直线AD 的解析式=1y x −−，∴直线AD 的一次项系数1k =−，45BAD ∴∠=︒． PM 平行于y 轴，90AEP ∴∠=︒，45PMH AME ∴∠=∠=︒．MPH ∴的周长(122PM MH PH PM MP PM PM =++=++=． 设()2,34P a a a −−，则(),1M a a −−， 则()22213423(1)4PM a a a a a a =−−−−−=−++=−−+．∴当1a =时，PM 有最大值，最大值为4．MPH ∴的周长的最大值(414=⨯=+（3）在直线EP 的右侧、x 轴下方的抛物线上存在点N ，过点N 作NG x ⊥轴交x 轴于点G ，使得以点E 、N 、G 为顶点的三角形与AOC 相似；理由如下：设点G 的坐标为(),0a ，则()2,34N a a a −−①如图2.1，若OA EG OC GN = 时，AOC ∽EGN △． 则 211344a a a −=−++，整理得：280a a +−=．得：a =负值舍去)，∴点G为⎫⎪⎪⎝⎭； ②如图2.2，若OA GN OC EN =时，AOC ∽NGE ，则21434a a a −=−++，整理得：2411170a a −−=，得：a =负值舍去)，∴点G为⎫⎪⎪⎝⎭， 综上所述，点G的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭． 3．（2024·重庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx =+x 轴交于点()1,0A −，()5,0B ，与y 轴交于点C ，连接BC ，AC ．(1)求抛物线的表达式；(2)P 为直线BC 上方抛物线上一点，过点P 作PD BC ⊥于点D ，过点P 作PE x 轴交抛物线于点E，求4+PD PE 的最大值及此时点P 的坐标； (3)点C 关于抛物线对称轴对称的点为Q ，将抛物线沿射线CAy '，新抛物线y '与y 轴交于点M ，新抛物线y '的对称轴与x 轴交于点N ，连接AM ，MN ，点R 在直线BC 上，连接QR ．当QR 与AMN 一边平行时，直接写出点R 的坐标，并写出其中一种符合条件的解答过程．【答案】(1)2y x x =++(2)当154t =时，PE的最大值，15,416P ⎛ ⎝⎭， (3)R点的坐标为⎛ ⎝⎭或6,⎛ ⎝⎭或(．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式即可；（2）先求得2y x =2x =，过点P 作PG x ⊥轴交BC 于点F ，利用勾股定理求得BC ==DPF OBC ∽，得PF DP BC OB =即PF PD=，从而得PF =，求出设直线BC的解析式后，设2,P t ⎛+ ⎝，则,F t ⎛+ ⎝，从而2PF =+，当点P在E 点右侧时()424PE t t t =−−=−，从而得2154t ⎫=−⎪⎝⎭，利用二次函数的性质即可求解；当点P 在E 点左侧时：442PE t t t =−−=−时，同理可求．然后比较4+PE 的最大值即可得出答案. （3）先求得1OA=，OC AC =设抛物线2y =H ⎛ ⎝⎭平移后为P ，过点P 作PW ⊥直线2x =，则AOC PWH ∽，得1OA OC AC WP HW PH ====，进而得平移后的抛物线2y x +'=，从而求得()1,0N，M ⎛ ⎝⎭，然后分QR AM ∥，QR MN ∥，QR AN ∥三种情况，利用二次函数的性质及一次函数的与二元一次方程的关系求解即可得解．【解析】（1）解：∵抛物线2y ax bx =+x 轴交于点()1,0A −，()5,0B 两点，代入坐标得：02550a b a b ⎧−=⎪⎨+=⎪⎩，解得：a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的函数表达式为255y x x =−++（2）解：∵)2225555y x x x =−+=−−+，∴2y x =2x=，顶点为⎛ ⎝⎭ 过点P 作PG x ⊥轴交BC 于点F ，当0x =时，200y =∴(C ∵()5,0B ∴BC ==∵PG x ⊥轴，PD BC ⊥，x 轴y ⊥轴，∴909090CBO BFG DPF PFD PDF BOC ∠∠∠∠∠∠+=︒+=︒==︒，，∵PFD BFG ∠∠=∴DPF CBO ∠∠=∴DPF OBC ∽，∴PF DP BC OB =即PF PD =，∴PF PD =∴44+PD PE =PF +PE ，设直线BC ：y kx b =+，把(C ，()5,0B 代入得：05k b b =+⎧⎪=，解得5k b ⎧=−⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC：y =设2,P t ⎛ ⎝，则,F t ⎛+ ⎝，∴22PF ⎛⎛=−+=+ ⎝⎝，∵2y x =2x =，PE x 轴，∴24,E t ⎛−+ ⎝当点P 在E 点右侧时：()424PE t t t =−−=−，当24PE t =−时：∴+PD PE =PF +()221524545416t t ⎛⎫=−+−=−−+ ⎪⎝⎭ ∴当154t =时，的最大值∴2151544⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴154P ⎛ ⎝⎭； 当点P 在E 点左侧时：442PE t t t =−−=−时，∴+PD PE =PF +()225424t t ⎫=−=−⎪⎝⎭， ∴当54t =时，的最大值．2,55P t ⎛−+ ⎝∴25544⎛⎫ ⎪⎝⎭∴5,416P ⎛ ⎝⎭，∵> 综上所诉，当点P 在E 点右侧时：即154t =时，的最大值，154P ⎛ ⎝⎭， （3）解：设直线AC ：y mx n =+，把()1,0A −，(C ， ∴1OA =，OC =∴AC ==设抛物线2y x =H ⎛ ⎝⎭平移后为P ， 过点P 作PW ⊥直线2x =，则AOC PWH ∽，∴1OA OC AC WP HW PH ====∴1PW =，HW=∴21,5P ⎛−⎝即1,5P ⎛ ⎝⎭，∴平移后的抛物线)22155555y x x x =−−+=−++'， ∴()1,0N令0x =，y '=，∴M ⎛ ⎝⎭ 如图，当QR AM ∥时，设直线AM 的解析式为：y px q =+，把M ⎛ ⎝⎭，()1,0A −代入得：0p q q =−+⎧=解得p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线AM的解析式为：y =， ∴设直线QR的解析式为：y x n =∵(C ，Q 和C 关于2x =对称，∴(Q把(Q代入5y x n =+45n +，解得n =，∴直线QR的解析式为：y = 联立直线QR的解析式y =与直线BC：y x =+55y x y x ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴R ⎛ ⎝⎭ 同理可得：当QR MN ∥时，6,5R ⎛− ⎝⎭ 当QR AN ∥时，(R所有符合条件的R点的坐标为⎛ ⎝⎭或6,⎛ ⎝⎭或(． 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，勾股定理，抛物线的性质，抛物线平移，一次函数的平移，相似三角形的判定及性质，图形与坐标，掌握待定系数法求抛物线解析式，抛物线的性质，抛物线平移，相似三角形的判定及性质，图形与坐标，利用辅助线画出准确图形是解题关键．题型2：最值问题4．（2024·安徽合肥·二模）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线23y ax bx =+−与x 轴交于()1,0A −，()3,0B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ．(1)求a ，b 的值；(2)点M 为线段BC 上一动点（不与B ，C 重合），过点M 作MP x ⊥轴于点P ，交抛物线于点N ． （ⅰ）如图1，当3PA PB=时，求线段MN 的长； （ⅱ）如图2，在抛物线上找一点Q ，连接AM ，QN ，QP ，使得PQN V 与APM △的面积相等，当线段NQ 的长度最小时，求点M 的横坐标m 的值．【答案】(1)1a =，2b =−(2)（ⅰ）2MN =；（ⅱ）m 的值为32或12【分析】本题考查诶粗函数的图象和性质，掌握待定系数法和利用函数性质求面积是解题的关键．（1）运用待定系数法求函数解析式即可；（2）（ⅰ）先计算BC 的解析式，然后设(),3M m m −，则3PM PB m ==−，1PA m =+，根据题意得到方程133m m +=−求出m 值，即可求出MN 的长；（ⅱ）作QR PN ⊥于点R ，由（ⅰ）可得1PA m =+，3PB PM m =−−，223PN m m =−++，然后分为点Q 在PN 的左侧和点Q 在PN 的右侧两种情况，根据勾股定理解题即可．【解析】（1）由题意得309330a b a b −−=⎧⎨+−=⎩，解得12a b =⎧⎨=−⎩；（2）（ⅰ）当0x =时，3y =−，∴()0,3C −，设直线BC 为3y kx =−，∵点()3,0B ，∴330k −=，解得1k =，∴直线BC 为3y x =−，设(),3M m m −，则3PM PB m ==−，1PA m =+， ∵3PA PB =， ∴133m m +=−，解得2m =，经检验2m =符合题意，当2m =时，222233y =−⨯−=−， ∴3PN =，31PM PB m ==−=，∴2MN =；（ⅱ）作QR PN ⊥于点R ，由（ⅰ）可得1PA m =+，3PB PM m =−−，223PN m m =−++，PQN V 的面积为()21232m m QR −++⋅，APM △的面积为()()1312m m −+，∴()()()211233122m m QR m m −++⋅=−+，解得1QR =；当点Q 在PN 的左侧时，如图1，Q 点的横坐标为1m QR m −=−，纵坐标为()()2212134m m m m −−⨯−−=−，∴R 点的坐标为()2,4m mm−，∵N 点坐标为()2,23m mm −−，∴32RN m =−，∴()22231NQ m =−+，∴当32m =时，NQ 取最小值；当点Q 在PN 的右侧时，如图2，Q 点的横坐标为1m QR m +=+，纵坐标为()()2212134m m m +−⨯+−=−，∴R 点的坐标为()2,4m m−，∵N 点的坐标为()2,23m mm −−，∴21RN m =−， ∴()222211NQ m =−+，∴当12m =时，NQ 取最小值．综上，m 的值为32或12．。
高考函数题型及解题方法总结
高考函数题型及解题方法总结
高考函数题型及解题方法总结
1、一元二次函数的求根求最值
求根：要求一元二次函数的根，可使用中国剩余定理，从根式公式中
求出函数的两个相等根；也可采用“二分法”或“牛顿迭代法”，从试值中求出函数的两个相等根。
求最值：要求一元二次函数的最值，可通过求函数的判别式delta=b^2-
4ac，并分析delta>0、delta=0和delta <0时函数在原点周围的情况，分
类判断即可求出函数的最值；也可根据函数有理切线斜率的性质，及
函数的拐点的特性，求出函数的最值。
2、多项式的分析
多项式的分析：可使用“系数比例”、“极坐标曲线”、“相关数列”等方法，从多项式本身角度分析多项式性质及多项式各分段性质；也可使用“解
析法”，将一维函数转化为一等关系，从而分析多项式的性质。
3、参数方程的解法
使用“换元法”，将参数方程中的参数化为一个变量，并采用一元混合
方程的解法去求解；也可使用“牛顿迭代法”，通过试值法得到参数方
程的解；或使用“分步解法”，将参数方程转化为一组参量方程，一步
步地求解参数方程。
4、函数图象的绘制和分析
采用“图形分析法”，结合函数图象结构特点，分析函数图象性质；也
可根据函数定义域及值域以及函数特性，使用“穷举法”绘制函数图象。
5、函数及函数图象之间的关系
要求函数及函数图象之间的关系，可利用函数导数的性质，将函数求
导得到函数的导数，或考虑到函数的有理切线斜率的性质，从而把函
数的性质及函数图象的性质联系起来；又或者根据函数有理切线的特点，从函数图象中求出函数的特性。
函数题型分析及解题方法
函数题型分析及解题方法1. 函数题型的概述函数题型是数学题中的一类常见题型，要求学生通过给定的条件和已知的函数，推导出未知的函数表达式或确定函数的性质。
函数题型包括但不限于函数的图像、定义域、值域、奇偶性、单调性、对称性等性质的求解和分析。
2. 解题方法总结在解答函数题型时，我们可以采用以下几种常见的解题方法：2.1 函数图像的求解对于函数图像的求解，我们可以通过以下步骤进行：1. 根据已知条件确定函数的定义域和值域；2. 确定函数的对称性，如奇偶性、周期性等；3. 根据已知的函数特点，如零点、极值点等，画出函数的大致图像；4. 根据已知条件进一步细化函数图像的细节，如确定函数的增减区间、凹凸区间等。
2.2 函数性质的求解对于函数性质的求解，我们可以采用以下几种常见的解题方法：1. 根据函数的定义，确定函数的奇偶性。
奇函数满足$f(-x)=-f(x)$，偶函数满足$f(-x)=f(x)$；2. 利用函数的定义和求导的方法，确定函数的单调性。
在区间$(a,b)$上，函数$f(x)$严格单调递增的条件是$f'(x)>0$，严格单调递减的条件是$f'(x)<0$；3. 利用函数的定义和求导的方法，确定函数的凹凸性。
在区间$(a,b)$上，函数$f(x)$严格凹的条件是$f''(x)<0$，严格凸的条件是$f''(x)>0$。
2.3 函数题型的特殊解法有些函数题型可能存在特殊的解法，我们可以尝试以下方法来解决：1. 利用已知函数的性质进行等式推导；2. 运用已知函数的性质进行函数的迭代求解；3. 借助数学工具进行数值求解，如利用计算机软件进行函数绘图和求解。
3. 实例分析为了更好地理解函数题型的解题方法，我们来看一个实例。
例题：已知函数$f(x)=\frac{1}{2}x^2-2$，求函数$f(x)$的定义域、值域、奇偶性、单调性和凹凸性。
函数单调性的题型和解题方法
函数单调性的题型和解题方法
函数单调性是指函数在定义域内的单调性，也就是说函数随着其自变量增加而增加或减少。
常见的单调性题型包括：
1.判断一个函数是单调增还是单调减
2.确定函数的极值
3.确定函数的单调区间
解题方法：
1.对于一个函数，首先要求出其导函数，然后
判断导函数的正负性，来确定原函数的单调
性。
2.求函数的极值，需要用到导函数的概念，求
出导函数的零点，并确定其是极大值还是极
小值。
3.确定函数的单调区间，需要分析导函数的正
负性和零点。
需要注意的是，这些方法都是针对连续可导函数，对于不连续不可导函数，需要采用其他方法分析。
对于判断一个函数是单调增还是单调减，我们可以通过求导函数来判断，如果导函数为正值，那么原函数就是单调增的，如果导函数为负值，那
么原函数就是单调减的。
而如果导函数为0，那么可能是函数的极值点。
对于求函数的极值，我们需要求出函数的导函数，并找到导函数的零点。
对于导函数为0的点，我们需要分析其二阶导函数的正负性来确定其是极大值点还是极小值点。
对于确定函数的单调区间，我们需要分析导函数的正负性和零点。
导函数为正值时，原函数在该区间内单调递增；导函数为负值时，原函数在该区间内单调递减；导函数为0时，原函数在该点可能是极值点。
需要注意的是，单调性和极值点的分析都是基于连续可导的函数，对于不连续不可导的函数，需要采用其他方法来分析。
高一数学函数题型及解题技巧总结
高一数学函数题型及解题技巧总结1. 函数概述在高一数学学习中，函数是一个重要的概念。
函数描述了自变量和因变量之间的关系，并在各个数学领域中被广泛应用。
通过掌握各种函数题型及解题技巧，我们能够更好地理解和运用函数，提升数学解题能力。
2. 一次函数一次函数是最基础的函数之一，形式为y=ax+b。
其中a表示直线的斜率，b表示直线在y轴上的截距。
在解一次函数的题目时，可以利用函数的定义、斜率和截距等性质来求解。
此外，还需要注意直线与x轴和y轴的交点，以及直线与其他线段的关系。
3. 二次函数二次函数是一个抛物线，通常由形式为y=ax^2+bx+c的方程表示，其中a、b、c为常数且a≠0。
解题时需要掌握二次函数的性质和基本特征。
例如，抛物线的开口方向由a的正负确定，顶点的坐标可以通过求解x的值来确定。
4. 指数函数和对数函数指数函数和对数函数是一对互为反函数的特殊函数。
指数函数形式为y=a^x，其中a为底数，x为指数。
对数函数形式为y=loga(x)，表示以a为底，x的对数。
在解题时，需要掌握指数函数和对数函数的定义、性质和常用公式。
例如，指数函数与对数函数之间的关系可以帮助我们快速求解方程。
5. 三角函数三角函数是解析几何和三角学的重要内容。
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
在解题时，需要熟悉三角函数的周期性、正负性和基本关系。
例如，利用正弦函数和余弦函数的和差化积公式可以简化复杂的三角函数表达式。
6. 分段函数分段函数在解决实际问题和图像绘制中起到重要作用。
分段函数由多个不同的函数组成，每个函数在一定的区间内有效。
解题时需要找到各个区间的特点，并且针对不同区间使用相应的函数表达式。
7. 综合题型高一数学中的函数题往往是综合性的，要求综合运用多个函数的知识和技巧进行分析和求解。
这种题型常常需要从不同的角度考虑问题，运用多种函数的特性及相关知识，找到问题的关键点并进行适当的变换和求解。
总结：在高一数学学习中，函数题型及解题技巧是数学学习的核心内容之一。
八年级函数题型及解题方法
八年级函数题型及解题方法
八年级学习函数时，掌握函数题型及解题方法对于理解函数的性质和应用至关重要。
下面将介绍常见的八年级函数题型及解题方法。
1. 判断奇偶性
对于函数$f(x)$，若$f(-x)=f(x)$，则它是偶函数；若$f(-x)=-f(x)$，则它是奇函数。
解题时可将对称轴设为$y$轴或原点，以判断函数的奇偶性。
2. 求定义域和值域
定义域是函数可以取值的集合，常见的限制有根号内不能为负数、分母不能为零等。
值域是函数所有可能取到的值的集合。
求定义域和值域可以通过对函数进行分析和计算得出。
3. 求解方程
求解函数方程即求函数的解析式，常见的方法有代数法、函数性质法、复合函数法等。
其中代数法是最常用的方法，通过代入变量求解方程，然后化简得出函数的解析式。
4. 求极值
对于函数$f(x)$，若存在$x_0$，使得在$x_0$的某个邻域内，
$f(x)leqslant f(x_0)$，则称$f(x_0)$为函数$f(x)$的最大值；若
存在$x_0$，使得在$x_0$的某个邻域内，$f(x)geqslant f(x_0)$，
则称$f(x_0)$为函数$f(x)$的最小值。
求函数的极值可以通过求导数、利用函数图像等方法。
5. 绘制函数图像
绘制函数图像是理解函数性质及应用的重要手段。
可通过手绘或利用计算机工具进行绘制，先求出函数的零点、导数、极值等特征，再根据特征绘制出函数的图像。
总之，八年级学习函数时，需要掌握常见的函数题型及解题方法，通过不断练习和思考，提高解题能力和理解函数的水平。
高中函数题型及解题方法
高中函数题型及解题方法1. 分析函数的解析式：给定一个函数，要求分析该函数的解析式，即找出函数的表达式形式。
解题方法：通过对函数给定的条件进行分析，利用对应的函数性质和已知信息，推导出函数的解析式。
2. 求函数的定义域：给定一个函数，要求确定该函数的定义域，即使该函数在哪个区间或值集上有意义。
解题方法：根据函数的定义，找出对函数的约束条件，推导出函数的定义域。
3. 求函数的值域：给定一个函数，要求确定该函数的值域，即使该函数在实数范围内能够取到的所有值。
解题方法：通过对函数的性质进行分析，找到函数的最大值和最小值，推导出函数的值域范围。
4. 求函数的导数：给定一个函数，要求求出该函数的导数，即该函数的变化率。
解题方法：使用导数的定义或导数的性质进行求解，并化简表达式。
5. 求函数的极值点：给定一个函数，要求确定该函数的极值点，即函数在哪些点上达到最大值或最小值。
解题方法：求出函数的导数，令导数为0，解方程得到函数的极值点。
6. 求函数的最值：给定一个函数，要求确定该函数的最大值或最小值。
解题方法：找到函数的极值点，并比较极值点和区间端点的函数值，确定函数的最值。
7. 求函数的反函数：给定一个函数，要求确定该函数的反函数，即使得该函数复合反函数为恒等函数的逆运算。
解题方法：通过函数的定义和性质，进行变量的代换和方程的转换，求解反函数。
8. 求函数的零点：给定一个函数，要求确定该函数的零点，即函数取到0的点。
解题方法：将函数的表达式设置为0，解方程得到函数的零点。
9. 求函数的不等式解集：给定一个函数，要求确定该函数的不等式解集，即满足给定不等式的函数取值范围。
解题方法：对不等式进行转化和化简，然后根据函数和不等式的性质，确定函数的解集。
10. 求函数的复合函数：给定两个函数，要求确定它们的复合函数，即通过一个函数对另一个函数进行运算。
解题方法：将一个函数的表达式代入另一个函数的表达式中，得到复合函数的表达式。
函数问题的题型与解题方法
函数问题的题型与解题方法一、函数的概念函数有二种定义，一是变量观点下的定义，一是映射观点下的定义．复习中不能仅满足对这两种定义的背诵，而应在判断是否构成函数关系，两个函数关系是否相同等问题中得到深化，更应在有关反函数问题中正确运用．具体要求是：1．深化对函数概念的理解，明确函数三要素的作用，并能以此为指导正确理解函数与其反函数的关系．2．系统归纳求函数定义域、值域、解析式、反函数的基本方法．在熟练有关技能的同时，注意对换元、待定系数法等数学思想方法的运用．3．通过对分段定义函数，复合函数，抽象函数等的认识，进一步体会函数关系的本质，进一步树立运动变化，相互联系、制约的函数思想，为函数思想的广泛运用打好基础．本部分的难点首先在于克服“函数就是解析式”的片面认识，真正明确不仅函数的对应法则，而且其定义域都包含着对函数关系的制约作用，并真正以此作为处理问题的指导．其次在于确定函数三要素、求反函数等课题的综合性，不仅要用到解方程，解不等式等知识，还要用到换元思想、方程思想等与函数有关概念的结合．Ⅰ深化对函数概念的认识例1．下列函数中，不存在反函数的是（）分析：处理本题有多种思路．分别求所给各函数的反函数，看是否存在是不好的，因为过程太繁琐．从概念看，这里应判断对于给出函数值域内的任意值，依据相应的对应法则，是否在其定义域内都只有惟一确定的值与之对应，因此可作出给定函数的图象，用数形结合法作判断，这是常用方法。
此题作为选择题还可采用估算的方法．对于D，y=3是其值域内一个值，但若y=3，则可能x=2(2＞1)，也可能x=-1(-1≤-1)．依据概念，则易得出D中函数不存在反函数．于是决定本题选D．说明：不论采取什么思路，理解和运用函数与其反函数的关系是这里解决问题的关键．由于函数三要素在函数概念中的重要地位，那么掌握确定函数三要素的基本方法当然成了函数概念复习中的重要课题．例1．函数)23(log21-=xy的定义域是（D）A、[1,)+∞B、23(,)+∞C、23[,1]D、23(,1]例2．函数123-=xy（01<≤-x）的反函数是（D）A、)31(log13≥+=xxy B、)31(log13≥+-=xxyC 、)131(log 13≤<+=x x yD 、)131(log 13≤<+-=x x y 也有个别小题的难度较大，如 例3．函数,,(),,x x P f x x x M ∈⎧=⎨-∈⎩其中P 、M 为实数集R 的两个非空子集，又规定f P y y f x x P (){|(),}==∈，f M y y f x x M (){|(),}==∈，给出下列四个判断： ①若P M ⋂=∅，则f P f M ()()⋂=∅ ②若P M ⋂≠∅，则f P f M ()()⋂≠∅ ③若P M ⋃=R ，则()()f P f M ⋃=R ④若P M R ⋃≠，则()()f P f M ⋃≠R 其中正确判断有（ B ）A 、 1个B 、 2个C 、 3个D 、 4个分析：若P M ⋂≠∅，则只有}0{=⋂M P 这一种可能．②和④是正确的．Ⅱ 系统小结确定函数三要素的基本类型与常用方法1．求函数定义域的基本类型和常用方法由给定函数解析式求其定义域这类问题的代表，实际上是求使给定式有意义的x 的取值范围．它依赖于对各种式的认识与解不等式技能的熟练．这里的最高层次要求是给出的解析式还含有其他字例2．已知函数()f x 定义域为(0，2)，求下列函数的定义域：分析：x 的函数f(x 2)是由u=x 2与f(u)这两个函数复合而成的复合函数，其中x 是自变量，u 是中间变量．由于f(x)，f(u)是同一个函数，故(1)为已知0＜u ＜2，即0＜x 2＜2．求x 的取值范围．解：(1)由0＜x 2＜2， 得说明：本例(1)是求函数定义域的第二种类型，即不给出f(x)的解析式，由f(x)的定义域求函数f[g(x)]的定义域．关键在于理解复合函数的意义，用好换元法．(2)是二种类型的综合．求函数定义域的第三种类型是一些数学问题或实际问题中产生的函数关系，求其定义域。
函数基本性质题型及解题技巧
函数基本性质题型及解题技巧函数基本性质题型及解题技巧一、函数解析式的求法：1.配凑法：将关系式配凑成括号内的形式。
例如，已知$f(x+)=\frac{x^2}{2}$，求解析式$f(x)$。
解：因为$f(x+)=\frac{x^2}{2}=(x+)^2-2$，所以$f(x)=x^2-2$，$x\in(-\infty,-2]\cup[2,\infty)$。
2.换元法：令括号内的部分等于$t$，然后解出$x$，带入得到关于$t$的解析式，最后再换回$x$。
例如，已知$f(x+1)=x+2x$，求$f(x)$的解析式。
解：令$t=x+1$，则$x=(t-1)^2$，$(t\geq1)$，因此$f(t)=(t-1)^2+2(t-1)=t^2-1$。
所以$f(x)=x^2-1$，$(x\geq1)$。
3.待定系数法：根据已知函数类型，设相应的函数解析式，然后根据已知条件算出相应系数。
例如，已知$f(x)$是二次函数，且$f(0)=2$，$f(x+1)-f(x)=x-1$，求$f(x)$。
解：设$f(x)=ax^2+bx+c$，由$f(0)=2$得$c=2$，由$f(x+1)-f(x)=x-1$，得恒等式$2ax+a+b=x-1$，解得$a=\frac{1}{2}$，$b=-\frac{1}{2}$。
因此，所求函数的解析式为$f(x)=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x+2$。
4.消元法（方程组法）：若函数方程中同时出现$f(x)$与$f(-x)$，则一般用$x$代之或用$-x$代之，构造另一个方程，然后联立解方程组得到$f(x)$。
例如，已知$3f(x)+2f(-x)=x+3$，求$f(x)$。
解：因为$3f(x)+2f(-x)=x+3$，令$x=-x$得$3f(-x)+2f(x)=-x+3$，消去$f(-x)$得$f(x)=\frac{x}{5}+\frac{3}{5}$。
二、绝对值图像的画法：5.对于函数$y=ax^2+b|x|+c$，找出$x=0$的点和两个对称轴上的点，然后将它们连起来。
求函数解析式的几种方法及题型
求函数解析式的几种方法及题型【最新版3篇】篇1 目录一、引言二、求函数解析式的常用方法1.待定系数法2.交点式3.顶点式4.换元法5.归纳法三、求函数解析式的题型及应用1.已知三个点求解析式2.已知顶点求解析式3.已知交点求解析式4.抽象复杂函数问题四、结论篇1正文一、引言求函数解析式是高中数学中的常见问题，也是高考的常规题型之一。
解决这类问题需要掌握一定的方法和技巧。
本文将介绍几种常用的求函数解析式的方法及题型，帮助同学们更好地理解和应用这些方法。
二、求函数解析式的常用方法1.待定系数法待定系数法是一种求未知数的方法。
将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。
然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式。
2.交点式交点式适用于已知抛物线与 x 轴的两个交点的情况。
通过已知的交点，我们可以得到两个方程，解这两个方程可以求得抛物线的解析式。
3.顶点式顶点式适用于已知抛物线的顶点的情况。
通过已知的顶点，我们可以得到一个方程，这个方程包含了抛物线的顶点坐标和抛物线的解析式中的待定系数。
解这个方程可以求得抛物线的解析式。
4.换元法换元法是一种通用的求函数解析式的方法，适用于各种复杂的函数问题。
通过换元，我们可以将复杂的函数问题转化为简单的函数问题，从而求得函数的解析式。
5.归纳法归纳法适用于具有一定规律的函数问题。
通过观察函数的规律，我们可以猜测函数的解析式，然后通过数学归纳法证明我们的猜测是正确的。
三、求函数解析式的题型及应用1.已知三个点求解析式已知函数上的三个点，我们可以通过待定系数法求解函数的解析式。
设定函数的形式为 y=ax^2+bx+c，然后将三个点的坐标代入方程，得到三个方程组成的线性方程组，解这个方程组可以求得函数的解析式。
2.已知顶点求解析式已知抛物线的顶点，我们可以通过顶点式求解抛物线的解析式。
高一数学必修一函数题型与解法
高一数学必修一函数题型与解法函数的定义函数是一种描述两个数集之间关系的规则，它将自变量的值对应到因变量的值上。
通常用符号y=f(x)表示，其中x是自变量，y是因变量，f(x)表示函数的运算规则。
函数的解题方法1.函数的图象与解析式之间的转化函数可以用图象表示，也可以用解析式表示。
图象可以帮助我们更直观地理解函数的性质和特点，而解析式则便于计算和推导。
因此，函数的图象与解析式之间的转化是十分重要的。
对于已知函数的图象，要根据图象求出函数的解析式，可以通过观察图象上点的坐标来找到函数的规律。
例如，对于线性函数y=kx+b，可以通过观察函数图象上两个点的坐标来确定k和b的值。
对于其他函数，我们可以通过观察函数图象的特点，如最值、对称轴、零点等来确定函数的解析式。
对于已知函数的解析式，要根据解析式求出函数的图象，可以通过转换解析式的形式，如改变k和b的值、对解析式加减乘除等操作，来确定函数的图象。
例如，对于一次函数y=kx+b，可以通过改变k和b的值来确定函数的斜率和截距，从而确定函数图象的性质。
2.函数的性质与判断在解题过程中，我们常常需要根据已知条件判断函数的一些性质。
下面介绍一些常见的函数性质及其判断方法。
奇偶性：若对于函数中的任意一个数a，都有f(-a)=-f(a)，则函数f(x)是奇函数；若对于函数中的任意一个数a，都有f(-a)=f(a)，则函数f(x)是偶函数；若对于函数中的任意一个数a，都有f(-a)≠-f(a)，且存在一些点b，有f(-b)=f(b)，则函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数。
判断奇偶性的方法很简单，只需要将函数的自变量用负号代入函数中计算即可。
单调性：若对于任意的x1<x2，有f(x1)<f(x2)，则函数f(x)是递增函数；若对于任意的x1<x2，有f(x1)>f(x2)，则函数f(x)是递减函数；若对于任意的x1<x2，总存在x1'和x2'，有x1<x1'<x2'<x2，使得f(x1')<f(x2')，则函数f(x)是不单调函数。
初二函数题型及解题方法
初二函数题型及解题方法初二数学中，函数是一个重要的概念，掌握函数的概念以及解决函数题是必不可少的。
本文将介绍初二函数题型及解题方法。
1. 函数定义题型函数定义题是最基本的函数题型，要求学生根据给定的函数定义，求出函数在某一点的函数值。
例如，已知函数f(x) = 2x + 1，求f(3)的值。
解题方法：将x=3代入函数f(x)中，即f(3) = 2 × 3 + 1 = 7，所以f(3) = 7。
2. 函数图象题型函数图象题是常见的函数题型，要求学生根据函数图象求出函数在某一点的函数值，或者根据函数的某些特点画出函数的图象。
例如，已知函数f(x)的图象如下，求f(2)的值。
解题方法：从图中可以看出，当x=2时，f(x)的函数值为4，所以f(2) = 4。
3. 函数性质题型函数性质题是要求学生根据函数的定义和性质解决问题，例如，已知函数g(x) = |x + 2|，求g(x)的单调性。
解题方法：当x1 < x2时，有g(x1) < g(x2)或者g(x1) >g(x2)，需要分析|x + 2|的取值情况。
当x < -2时，有g(x) = -(x + 2)，当-2 ≤ x时，有g(x) = x + 2。
所以，当x1 < x2且x1, x2 < -2时，有g(x1) < g(x2)，当-2 ≤ x1 < x2时，有g(x1) < g(x2)，当x1 < x2且x1, x2 ≥ -2时，有g(x1) >g(x2)。
因此，g(x)在区间(-∞, -2)上单调递减，在区间[-2, +∞)上单调递增。
4. 复合函数题型复合函数题要求学生构造复合函数，也就是将一个函数的输出作为另一个函数的输入，例如，已知f(x) = 2x，g(x) = x + 1，求f(g(2))的值。
解题方法：首先，g(2) = 2 + 1 = 3，然后将3代入f(x)中，即f(g(2)) = f(3) = 2 × 3 = 6。
函数基本性质题型及解题技巧
函数基本性质题型及解题技巧一、函数解析式的求法：1. 配凑法：把关系式配凑成含有括号里的形式； 例：已知221)1(xx x x f +=+,求解析式； 解：因为221)1(x x x x f +=+=2)1(2-+xx ，所以2)(2-=x x f ， ),2[]2,(+∞⋃--∞∈x 。
2. 换元法：令括号里的部分等于t ，然后解出x 在带进去，得出关于t 的解析式，最后在换成x ； 例：已知x x x f 2)1(+=+，求)(x f 解析式； 解：令,1+=x t 则)1(,)1(2≥-=t t x ，所以1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f所以)1(,1)(2≥-=x x x f3. 待定系数法：（已知函数类型）告诉你什么函数，就设什么函数解析式，然后根据已知条件算出相应系数， 例：已知()f x 是二次函数，且(0)2,(1)()1f f x f x x =+-=-，求()f x解：设2()(0)f x ax bx c a =++≠，由(0)2,f =得2c =由(1)()1f x f x x +-=-，得恒等式2ax+a+b=x-1,得13,22a b ==-，故所求函数的解析式为213()222f x x x =-+.4. 消元法（方程组法）：若函数方程中同时出现()f x 与1()f x 或者()f x 与)(x f -，则一般x 用1x 代之或x 用-x 代之，构造另一个方程.然后联立解方程组得到()f x例：已知3()2()3f x f x x +-=+，求()f x解：因为3()2()3f x f x x +-=+，① x 用x -代替得3()2()3f x f x x -+=-+，② 由①②消去()f x -，得3()5f x x =+.二、绝对值图像画法：5. c x b ax y ++=||2的图像画法：找三个点，x=0的点和两个对称轴的点；然后把三个点连起来，a >0,开口向上；a<0,开口向下，形状如“屁股”；6. ||2c bx ax y ++=的图像画法：先画出二次函数的图像，然后把x 轴下方的函数图像对折上去；三、对勾函数性质 7. 对勾函数)0(>+=k xk x y 的性质： 1）.单调增区间),(),,(+∞--∞k k ，单调减区间),0(),0,(k k -2）.x>0时，有最小值，最小值为k 2，当x<0时，有最大值，最大值为k 2-；四、单调性8.分段函数的单调性问题：首先保证每一段是增（减）函数，得到两个不等式，然后左边的最大值(左边的最小值）小于（大于）右边的最小值（右边的最大值）得到另一个不等式，然后解不等式组；例： 已知1,2)24(1,{)(≤+->=x x a x a x f x ，是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为_________;解：因为f (x )是R 上的单调递增函数，所以可得⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，4－a 2>0，a ≥4－a 2＋2.解得4≤a <8，9. 抽象函数的单调性证明：在高中数学中，主要有两种类型的抽象函数，一是“()f x y +=)()(y f x f +”型二是“()f xy =)()(y f x f +”型.对于()f x y +型的函数，只需构造2121()[()]f x f x x x =+-，再利用题设条件将它用1()f x 与21()f x x -表示出来，然后利用题设条件确定21()f x x -的范围，从而确定2()f x 与1()f x 的大小关系；对()f xy 型的函数，则只需构造2211()()x f x f x x =⋅即可. 例：已知()f x 的定义域为(0,)+∞，且当1x >时()0f x >.若对于任意两个正数x 和y 都有()()()f xy f x f y =+，试判断()f x 的单调性.解：设120x x >>则,112>x x .又因为当1x >时()0f x >， 0)()()()()()()()(121121112112>=-+=-•=-∴x x f x f x x f x f x f x x x f x f x f ∴()f x 在()0,+∞上单调递增.10. 单调性性质：增+增=增；减+减=减；增-减=增；减-增=减；增=增；减=减；增1=减；减1=增-增=减；-减=增11. 复合函数单调性：同增异减：先列出函数由哪两个函数复合而成，然后求出每一区间两个函数对应的单调性，然后同增异减写出对应区间例：求函数y ＝x 2＋x －6的单调区间解 令u ＝x 2＋x －6，y ＝x 2＋x －6可以看作有y ＝u 与u ＝x 2＋x －6的复合函数．由u ＝x 2＋x －6≥0，得x ≤－3或x ≥2.∵u ＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y ＝u 在(0，＋∞)上是增函数．∴y ＝x 2＋x －6的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)．13. 作差法证明单调性步骤：1）.取值,在定义域内取21x x <；2）最差；3）变形：变形到（）（）（）（）••形式，每一个括号能判断出正负，变形方法有提公因式、通风、合并同类项；4）得出结论，方向一致为增函数，方向相反为减函数；五、奇偶性：14. 判断奇偶性之前得保证定义域关于原点对称；反之，一个函数只要告诉你奇偶性，定义域一定关于原点对称，对应区间两个端点值相加为零15. 对于奇函数，只要在0=x 处有意义，也就是定义域里包含0，则0)0(=f （做题易忽略点）16. 对于d cx bx ax x f +++=23)(这种类型的函数，如果)(x f 是偶函数，则奇次项系数为零，如果)(x f 是奇函数，则偶次项系数为零；例：已知函数)127()2()1()(22+-+-+-=m m x m x m x f 为偶函数，则m 的值是( B )A. 1B. 2C. 3D. 417.奇 + 奇 = 奇； 偶 + 偶 = 偶；奇⨯偶 = 奇； 奇⨯奇 = 偶；偶⨯偶 = 偶；（乘和除一致）|奇|=偶，复合函数奇偶性，一偶则偶：复合函数的两个分函数，只要一个为偶，整体就是偶函数；例：若函数2()1x a f x x bx +=++在[]1,1-上是奇函数，则()f x 的解析式为 .解：首先由结论15得，0)0(=f ，然后得到0=a ，然后因为分子是奇函数，整体也是奇函数，所以由结论17得分母是偶函数，然后再由结论16得0=b ，然后得到2()1x f x x =+ 18. 告诉你分段函数)(x f 的奇偶性，给出一半的解析式，让你求另一半或整体的解析式的题型做法：给出大于0的解析式，就设0<x ，给出小于0的解析式，就设0>x ，然后把x -带到给出的解析式里求出)(x f -，然后通过奇偶性得到)(x f ，然后写出解析式，记住不要漏掉0=x 的时候；例： 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()31f x x x =+-，求()f x 的解析式．【解析】()f x 是定义在R 上的奇函数，()()f x f x ∴-=-，当0x <时，0x ->，2()()()3()1f x f x x x ⎡⎤∴=--=--+--⎣⎦=231x x -++又奇函数()f x 在原点有定义，(0)0f ∴=．2231,0,()0,0,31,0.x x x f x x x x x ⎧+->⎪∴==⎨⎪-++<⎩19. 遇到c x bg x af x H ++=)()((），其中）x f (、)(x g 为奇函数这种题型，构造奇函数解决问题，令c x H x F -=)((），则）（x F 为奇函数； 例：已知f(x)=x 5+ax 3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2).解：令g(x)=f(x)+8易证g(x)为奇函数∴g(-2)=-g(2) ∴f(-2)+8=-f(2)-8∴f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.六、周期性：20.若）（x f T x f =+)(，周期为T ；周期为2T 的有)()(T x f T x f -=+；)()(x f T x f -=+；)()(x f T x f -=+，且)(x f 为奇函数；)(1)(x f T x f =+；)(1)(x f T x f -=+； 例： (1)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则 ( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)【答案】D七、对称性：21.若)()(xafxaf+=-，则)(xf关于ax=对称；22.若)()(xbfxaf-=+，则)(xf关于2ba x +=对称；23.若)(axf+是偶函数，则)(xf关于ax=对称；24.若)(axf+是奇函数，则)(xf关于）（0,a中心对称；。
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函数问题的题型与解题方法一、函数的概念函数有二种定义，一是变量观点下的定义，一是映射观点下的定义．复习中不能仅满足对这两种定义的背诵，而应在判断是否构成函数关系，两个函数关系是否相同等问题中得到深化，更应在有关反函数问题中正确运用．具体要求是：1．深化对函数概念的理解，明确函数三要素的作用，并能以此为指导正确理解函数与其反函数的关系．2．系统归纳求函数定义域、值域、解析式、反函数的基本方法．在熟练有关技能的同时，注意对换元、待定系数法等数学思想方法的运用．3．通过对分段定义函数，复合函数，抽象函数等的认识，进一步体会函数关系的本质，进一步树立运动变化，相互联系、制约的函数思想，为函数思想的广泛运用打好基础．本部分的难点首先在于克服“函数就是解析式”的片面认识，真正明确不仅函数的对应法则，而且其定义域都包含着对函数关系的制约作用，并真正以此作为处理问题的指导．其次在于确定函数三要素、求反函数等课题的综合性，不仅要用到解方程，解不等式等知识，还要用到换元思想、方程思想等与函数有关概念的结合．Ⅰ 深化对函数概念的认识例1．下列函数中，不存在反函数的是 （ ）分析：处理本题有多种思路．分别求所给各函数的反函数，看是否存在是不好的，因为过程太繁琐．从概念看，这里应判断对于给出函数值域内的任意值，依据相应的对应法则，是否在其定义域内都只有惟一确定的值与之对应，因此可作出给定函数的图象，用数形结合法作判断，这是常用方法。
此题作为选择题还可采用估算的方法．对于D ，y=3是其值域内一个值，但若y=3，则可能x=2(2＞1)，也可能x=-1(-1≤-1)．依据概念，则易得出D 中函数不存在反函数．于是决定本题选D ．说明：不论采取什么思路，理解和运用函数与其反函数的关系是这里解决问题的关键．由于函数三要素在函数概念中的重要地位，那么掌握确定函数三要素的基本方法当然成了函数概念复习中的重要课题．例1．函数)23(log 21-=x y 的定义域是（ D ）A 、[1,)+∞B 、23(,)+∞ C 、23[,1] D 、23(,1]例2．函数123-=x y （01<≤-x ）的反函数是（ D ）A 、)31(log 13≥+=x x y B 、)31(log 13≥+-=x x y C 、)131(log 13≤<+=x x yD 、)131(log 13≤<+-=x x y 也有个别小题的难度较大，如例3．函数,,(),,x x P f x x x M ∈⎧=⎨-∈⎩其中P 、M 为实数集R 的两个非空子集，又规定f P y y f x x P (){|(),}==∈，f M y y f x x M (){|(),}==∈，给出下列四个判断：①若P M ⋂=∅，则f P f M ()()⋂=∅ ②若P M ⋂≠∅，则f P f M ()()⋂≠∅ ③若P M ⋃=R ，则()()f P f M ⋃=R ④若P M R ⋃≠，则()()f P f M ⋃≠R 其中正确判断有（ B ）A 、 1个B 、 2个C 、 3个D 、 4个分析：若P M ⋂≠∅，则只有}0{=⋂M P 这一种可能．②和④是正确的．Ⅱ 系统小结确定函数三要素的基本类型与常用方法1．求函数定义域的基本类型和常用方法由给定函数解析式求其定义域这类问题的代表，实际上是求使给定式有意义的x 的取值范围．它依赖于对各种式的认识与解不等式技能的熟练．这里的最高层次要求是给出的解析式还含有其他字例2．已知函数()f x 定义域为(0，2)，求下列函数的定义域：分析：x 的函数f(x 2)是由u=x 2与f(u)这两个函数复合而成的复合函数，其中x 是自变量，u 是中间变量．由于f(x)，f(u)是同一个函数，故(1)为已知0＜u ＜2，即0＜x 2＜2．求x 的取值范围．解：(1)由0＜x 2＜2， 得说明：本例(1)是求函数定义域的第二种类型，即不给出f(x)的解析式，由f(x)的定义域求函数f[g(x)]的定义域．关键在于理解复合函数的意义，用好换元法．(2)是二种类型的综合．求函数定义域的第三种类型是一些数学问题或实际问题中产生的函数关系，求其定义域。
2．求函数值域的基本类型和常用方法函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的．其类型依解析式的特点分可分三类：(1)求常见函数值域；(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域．3．求函数解析式举例例3．已知xy ＜0，并且4x 2-9y 2=36．由此能否确定一个函数关系y=f(x)？如果能，求出其解析式、定义域和值域；如果不能，请说明理由．分析： 4x2-9y2=36在解析几何中表示双曲线的方程，仅此当然不能确定一个函数关系y=f(x)，但加上条件xy＜0呢？所以因此能确定一个函数关系y=f(x)．其定义域为(-∞，-3)∪(3，+∞)．且不难得到其值域为(-∞，0)∪(0，＋∞)．说明：本例从某种程度上揭示了函数与解析几何中方程的内在联系．任何一个函数的解析式都可看作一个方程，在一定条件下，方程也可转化为表示函数的解析式．求函数解析式还有两类问题：(1)求常见函数的解析式．由于常见函数(一次函数，二次函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数及反三角函数)的解析式的结构形式是确定的，故可用待定系数法确定其解析式．这里不再举例．(2)从生产、生活中产生的函数关系的确定．这要把有关学科知识，生活经验与函数概念结合起来，举例也宜放在函数复习的以后部分．二、函数的性质、图象(一)函数的性质函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容．在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫．复习函数的性质，可以从“数”和“形”两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化．具体要求是：1．正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性．2．从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法．3．培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力．这部分内容的重点是对函数单调性和奇偶性定义的深入理解．函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论．函数y=f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质．函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称．这是函数具备奇偶性的必要条件．稍加推广，可得函数f(x)的图象关于直线x=a对称的充要条件是对定义域内的任意x，都有f(x+a)=f(a-x)成立．函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映．这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用．根据已知条件，调动相关知识，选择恰当的方法解决问题，是对学生能力的较高要求．1．对函数单调性和奇偶性定义的理解例4．下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R)，其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4分析：偶函数的图象关于y轴对称，但不一定相交，因此③正确，①错误．奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点，因此②不正确．若y=f(x)既是奇函数，又是偶函数，由定义可得f(x)=0，但不一定x∈R，如例1中的(3)，故④错误，选A．说明：既奇又偶函数的充要条件是定义域关于原点对称且函数值恒为零．2．复合函数的性质复合函数y=f[g(x)]是由函数u=g(x)和y=f(u)构成的，因变量y通过中间变量u 与自变量x建立起函数关系，函数u=g(x)的值域是y=f(u)定义域的子集．复合函数的性质由构成它的函数性质所决定，具备如下规律：(1)单调性规律如果函数u=g(x)在区间［m，n］上是单调函数，且函数y=f(u)在区间[g(m)，g(n)] (或[g(n)，g(m)])上也是单调函数，那么若u=g(x)，y=f(u)增减性相同，则复合函数y=f[g(x)]为增函数；若u=g(x)，y= f(u)增减性不同，则y=f[g(x)]为减函数．(2)奇偶性规律若函数g(x)，f(x)，f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的，则u=g(x)，y=f(u)都是奇函数时，y=f[g(x)]是奇函数；u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y= f[g(x)]是偶函数．例5．若y=loga(2-ax)在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是（）A．(0，1) B．(1，2) C．(0，2) D．[2，+∞)分析：本题存在多种解法，但不管哪种方法，都必须保证：①使loga(2-ax)有意义，即a＞0且a≠1，2-ax＞0．②使loga (2-ax)在[0，1]上是x的减函数．由于所给函数可分解为y=logau，u=2-ax，其中u=2-ax在a＞0时为减函数，所以必须a＞1；③[0，1]必须是y=loga(2-ax)定义域的子集．解法一：因为f(x)在［0，1］上是x的减函数，所以f(0)＞f(1)，即loga 2＞loga(2-a)．解法二：由对数概念显然有a＞0且a≠1，因此u=2-ax在［0，1］上是减函数，y= logau 应为增函数，得a＞1，排除A，C，再令故排除D，选B．说明：本题为1995年全国高考试题，综合了多个知识点，无论是用直接法，还是用排除法都需要概念清楚，推理正确．3．函数单调性与奇偶性的综合运用例6．甲、乙两地相距Skm，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c km／h，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(km／h)的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元．(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(km／h)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶．分析：(1)难度不大，抓住关系式：全程运输成本=单位时间运输成本×全程运输时间，而全程运输时间=(全程距离)÷(平均速度)就可以解决．故所求函数及其定义域为但由于题设条件限制汽车行驶速度不超过ckm／h，所以(2)的解决需要论函数的增减性来解决．由于v1v2＞0，v2-v1＞0，并且又S＞0，所以即则当v=c时，y取最小值．说明：此题是1997年全国高考试题．由于限制汽车行驶速度不得超过c，因而求最值的方法也就不完全是常用的方法，再加上字母的抽象性，使难度有所增大．（二）函数的图象1．掌握描绘函数图象的两种基本方法——描点法和图象变换法．2．会利用函数图象，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题．3．用数形结合的思想、分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题．4．掌握知识之间的联系，进一步培养观察、分析、归纳、概括和综合分析能力．以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本节的重点．运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线．要把表列在关键处，要把线连在恰当处．这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究．而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点．用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换．这也是个难点．1．作函数图象的一个基本方法例7．作出下列函数的图象(1)y=|x-2|(x＋1)；(2)y=10|lgx|．分析：显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还应想到对已知解析式进行等价变形．解：(1)当x≥2时，即x-2≥0时，当x＜2时，即x-2＜0时，这是分段函数，每段函数图象可根据二次函数图象作出(见图6)(2)当x≥1时，lgx≥0，y=10|lgx|=10lgx=x；当0＜x＜1时，lgx＜0，所以这是分段函数，每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出．(见图7)说明：作不熟悉的函数图象，可以变形成基本函数再作图，但要注意变形过程是否等价，要特别注意x，y的变化范围．因此必须熟记基本函数的图象．例如：一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数，及三角函数、反三角函数的图象．在变换函数解析式中运用了转化变换和分类讨论的思想．2．作函数图象的另一个基本方法——图象变换法．一个函数图象经过适当的变换(如平移、伸缩、对称、旋转等)，得到另一个与之相关的图象，这就是函数的图象变换．在高中，主要学习了三种图象变换：平移变换、伸缩变换、对称变换．(1)平移变换函数y=f(x+a)(a≠0)的图象可以通过把函数y=f(x)的图象向左(a＞0)或向右(a＜0)平移|a|个单位而得到；函数y=f(x)+b(b≠0)的图象可以通过把函数y=f(x)的图象向上(b＞0)或向下(b＜0)平移|b|个单位而得到．(2)伸缩变换函数y=Af(x)(A＞0，A≠1)的图象可以通过把函数y=f(x)的图象上各点的纵坐标伸长(A＞1)或缩短(0＜A＜1)成原来的A倍，横坐标不变而得到．函数y=f(ωx)(ω＞0，ω≠1)的图象可以通过把函数y=f(x)的图象上而得到．(3)对称变换函数y=-f(x)的图象可以通过作函数y=f(x)的图象关于x轴对称的图形而得到．函数y=f(-x)的图象可以通过作函数y=f(x)的图象关于y轴对称的图形而得到．函数y=-f(-x)的图象可以通过作函数y=f(x)的图象关于原点对称的图形而得到．函数y=f-1(x)的图象可以通过作函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称的图形而得到。