(完整)上海交通大学_2007-2008学年_高等数学(高数)_期末考试_解答

1、解 22

()()()0xy xx yy B AC f ab f ab f ab -=-≥，排除A 、B.

(,)f x b 在点x a =处取得极小值：(,)0xx f a b ≥，同理：(,)0yy f a b ≥.

答案：C

2、解 0[()()()]C W F dr yzx t xzy t zz t dt π

'''=⋅=-++⎰⎰u r r

22200[sin cos ]2t t t t t dt tdt π

π

π=++==⎰⎰

答案：B

3、解 22

:1(1)S z x y =+≤，方向为下侧，

[221]S S S I y y dv dxdy -

+

+

Ω

∑+=+=--+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ò

32251133

πππ=-⋅-⋅=-

答案：A

4、解

1

|(1)|n

n n n a ∞

∞

==-=∑∑

――A 错

11||n n n n n a a ∞∞

∞

+====≥∑∑

∑

，发散 ――B 错

1111|||

|n n

n n n n n a a +∞

∞

∞

+===-=-

≥∑∑∑

，发散 ――C 错

111

1

|||

|n n

n n n n n a a +∞

∞

∞

+===+=+

=∑∑∑

n n ∞

∞

===≈∑

∑

，收敛 ――D 对

答案：D

5、解 (0)(0)

(3)()02

S S S S ππππ-+-+==

=

答案：D

6、解1 2{(,)|cos 2}D r r θθ=≤，2

.......D

xy dxdy =⎰⎰

解2 ***

22***D

xy dxdy dy xy dx +-==⎰⎰⎰⎰0

7、解

()()()

2

22222

552323222

c

c c x xy y ds x y ds x y ds π-+=+=+=⋅=⎰⎰⎰蜒

?5π

8、

2cos x P Q

x e y y x

∂∂=+=∂∂ 解1 2(2sin )(cos )0x x xy e y dx x e y dy +++= ⇒ 2(2)(sin cos )0x x xydx x dy e ydx e ydy +++= ⇒ 2()(sin )0x d x y d e y += 通解为：2sin x x y e y C +=

解2 (,)

2(0,0)(2sin )(cos )x y x x u xy e y dx x e y dy =+++⎰

220(cos )sin y x x x e y dy x y e y =+=+⎰

通解为：2sin x x y e y C +=

9、()()div rot F F =∇⋅∇⨯u r u r ()5(2)(3)23x

y z

x y z x y z x y z yz

xz xy

∂

∂∂∂∂∂∂∂

∂∂∂-∂-=

=++=∂∂∂∂∂∂-0

10、解

1

(1)n n n a x ∞

=+∑的收敛半径2R =

1

11

(1)

(1)(1)n n n n n n na x n a x ∞

∞

-+==⇒

+=++∑∑的收敛半径2R =，

11

(1)n n n n a x ∞+=⇒

+∑的收敛半径R =2

11、

32332x x u z e yz e yz x x

∂∂=+∂∂ 323232()3x x z

yz

e yz e yz e xy

+=+-

-+ (0,1,1)u x -∂⇒

∂1212

32()333e e

--=--=--

12、解 12112xy y

I dy ye dx =⎰⎰

1

212

()y e e dy =-⎰2

1(2)2

e e =

-

13、解 1C : 0y =（:15x →），

1

1

C

C C C +=-⎰⎰⎰Ñ

5

1[(2D

y dxdy xdx =+⋅

-

-⎰⎰⎰

5

12D

dxdy xdx =-⎰⎰⎰12512222π-=⋅⋅-212π=-

14、解1

(1) xz

S

D S dS =

=⎰⎰⎰⎰

(2) yz

S

D S dS ==

⎰⎰⎰⎰ √

yz

S

D S dS ==⎰⎰⎰⎰

（yz D ：0z =,z y =和1y =所围成的三角形区域）

1

00dy =⎰⎰

1

0==

⎰ 解2

:(01)C y x =≤≤

c c S zds yds ==⎰

⎰0

=⎰

012

==

⎰

z 1

1

O

z