高三数学课题：数学归纳法(公开课讲解)

课题：数学归纳法【三维目标】：一、知识与技能1．了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

2．抽象思维和概括能力进一步得到提高．二、过程与方法通过数学归纳法的学习，体会用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明是解决问题的一种重要途径，用数学归纳法进行证明时，“归纳奠基”与“归纳递推”两个步骤缺一不可，而关键的第二步，其本质是证明一个递推关系。

三、情感，态度与价值观体会数学归纳法是用有限步骤解决无限问题的重要方法，提高归纳、猜想、证明能力。

【教学重点与难点】：重点：是了解数学归纳法的原理及其应用。

难点：是对数学归纳法的原理的了解，关键是弄清数学归纳法的两个步骤及其作用。

【课时安排】：2课时第一课时【教学思路】：（一）、创设情景，揭示课题问题1：P 71中的例1.在数列｛a n ｝中，a 1＝1，a n+1＝nn a a +1（n ∈N+），先计算a 2，a 3，a 4的值，再推测通项an 的公式． 生：a 2＝21，a 3＝31，a 4＝41．由此得到：a n ＝n1（n ∈N +）． 问题2：通过计算下面式子，你能猜出()()121531--++-+-n n 的结果吗？证明你的结论？________97531________7531_______531_______31=-+-+-=+-+-=-+-=+- 生：上面四个式子的结果分别是：2，-3，4，-5，因此猜想： ()()()n n nn 1121531-=--++-+- （*） 怎样证明它呢？ 问题3：我们先从多米诺骨牌游戏说起，这是一种码放骨牌的游戏，码放时保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌也倒下。

只要推倒第一块骨牌，由于第一块骨牌倒下，就可导致第二块骨牌倒下;而第二块骨牌倒下，就可以导至第三块骨牌倒下……最后，不论有多少块，都能全部倒下。

（二）、研探新知原理分析：问题3：可以看出，使所有骨牌都倒下的条件有两个：（1） 第一块骨牌倒下；（2） 任意相邻的两块骨牌，前一块倒下.一定导致后一块倒下。

可以看出，条件（2）事实上给出了一个递推关系：当第k 块倒下时，相邻的第k+1块也倒下。

这样只要第1块骨牌倒下，其他所有的骨牌就能够相继倒下。

事实上，无论有多少块骨牌，只要保证（1）（2）成立，那么所有的骨牌一定可以全部倒下。

问题2：分析：这个问题的特点是：要证不等式（*）在n 为任何正整数时都成立，虽然我们可以验证n = 1，2，3，4，5，…甚至n = 1000，10000，…时这个等式成立。

但是正整数是无限多个，我们无法对它们一一验证，所以验证的方法无法完成证明。

要证明这个问题，必须寻找一种有限个步骤，就能够处理完无限多个对象的方法。

类比多米骨牌游戏，我们设想将全部正整数由小到大依次排列为无限长一队1，2，3，4，…k，k+1，…可以验证（1）当n = 1时，等式（*）的左右两边都等于-1。

即这时等式（*）成立可以想象（2）若从“n = k 时等式（*）成立”能推出n = k + 1时等式（*）也成立，则可以建立一种多米诺骨牌那样的由前到后的自到递推关系综合（1）（2），就自然地想到一种证明这个等式的方法：首先证明（1）n = 1时等式（*）成立然后证明（2）中的递推关系完成以上两步后，就可由n = 1时等式（*）成立为起点，递推出n = 2时等式（*）成立，再由n = 2时等式（*）成立，递推出n = 3时等式（*）成立……如此继续自动递推下去，就可以说：对于任意正整数n ，等式（*）成立下面按照上述思路具体的证明等式（*）证明：（1）当n = 1 时，式（*）左右两边都等于 -1，即这时等式（*）成立。

（2）假设当n = k (k ≥1) 时等式（*）式成立，即()()()k n kk 1121531-=--++-+- 在这个假设下，再考虑n = k + 1 时式（*）的左右两边。

左边=()()()()[]11211215311-+-+--++-+-+k n k k()[]1)1(2)1(11-+-+-=+k k k k[]右边=+-=-++--=++)1()1(1)1(2)1(11k k k k k 。

所以当n = k + 1 时等式（*）成立。

由（1），（2）可知()()()n n n n 1121531-=--++-+- )(+∈N n总结上述过程，我们用了两个步骤：第一步，证明n = 1 时命题成立，从而奠定了命题成立的一个起点；第二步，先作归纳假设，然后证明由前后的递推关系由这两步保证：对于从起点由前向后的所有正整数+∈N n ,命题都成立。

一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行：（1）（归纳奠基）证明当n 取第一个值0n )(*0N n ∈时命题成立；（2）（归纳递推）假设n = k )(*0N n ∈时命题成立，证明当n = k +1时命题也成立。

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从0n 开始的所有正整数n 都成立。

这种证明方法叫做数学归纳法（mathematical induction ）.思考：结合上面的证明，你认为数学归纳法的基本思想是什么？在数学归纳法的两个步骤中，第一步是奠基，第二步是假设与递推。

这两步都是非常重要，缺一不可。

第一步确定了n = n 0 时命题成立，n = n 0 成为后面递推的出发点，没有它递推就成无源之水；第二步确认一种递推关系，借助它，命题成立的范围就能从正整数n 0 开始，向后一个数一个数无限传递到n 0 以后的每一个正整数，从而完成证明，因此，递推是实现从有限到无限的飞跃的关键，没有它我们就只能停留在对有限情况的把握上。

以上就是数学归纳法的基本原理。

下面的框图表示了数归纳法的基本过程问题：数学归纳法适用于证明什么的命题呢？对于一些与无限多个正整数相关的命题，如果不易有以前所学习过的方法证明，用数学归纳法可能收到较好的效果。

思考：如果要用数学归纳法证明某命脉题对于全体正整数都能立，应取n 0为何值？为什么？（三）、例题剖析例1：（教材第94页例1）例2：（教材第94页例2）（四）、巩固深化，反馈矫正 （教材第95页练习 1、2）第二课时【教学思路】：（一）、复习回顾一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行：（1） （归纳奠基）证明当n 取第一个值*00()n n N ∈时命题成立;（2） （归纳递推）假设*0(,)n k k n k N =≥∈时命题成立，证明当1n k =+时 命题也成立 。

--------------数学归纳法（二）、例题剖析：例1．用数学归纳法证明：)(17)13(+∈-⋅+N n n n 能被9整除.证明：（1）当n=1时，（3+1）×7－1=27 能被9整除，命题成立（2）假设当n=k 时命题成立，即)(17)13(+∈-⋅+N n k k 能被9整除那么，当n=k+1时，17]1)1(3[1-⋅+++k k1111(31)73717(31)7371(31)716(31)737[(31)71](1827)7k k k k k k k k k k k k k k k ++++=+⋅+⋅-=⋅+⋅+⋅-=+⋅-+⋅+⋅+⋅=+⋅-++⋅由归纳假设)(17)13(+∈-⋅+N n k k 能被9整除及k k 7)2718(⋅+是9的倍数所以k k k k 7)2718(]17)13[(⋅++-⋅+能被9整除即n=k+1时，命题成立由（1）（2）知命题对任意的+∈N n 均成立例2．若n 为大于1的自然数，用数学归纳法证明：2413212111>+++++n n n 证明：(1)当n =2时，2413127221121>=+++ (2)假设当n =k 时成立，即2413212111>+++++k k k 1,1111111232212211131111311242122124212213113.242(21)(1)24n k k k k k k k k k k k k k k k =+++++++-++++++>++-=+-+++++=+>++则当时不等式也成立 由(1)、 (2)知原不等式对一切大于2的自然数都成立。

例3 ．已知n a =23123(1)n n n n +++⋅⋅⋅++ (*n N ∈) 求证：1n a < 证明：(1)当n =1时，a 1=21＜1，不等式成立.（2）假设n =k (k ≥1)时，不等式成立，即a k =k k k k )1(32132++⋅⋅⋅+++＜1 亦即1+22+33+…+k k ＜(k +1)k当n =k +1时a k +1=111132)2()1()1(]1)1[()1(321++++++++<+++++⋅⋅⋅+++k k k k k k k k k k k k =1)2()2()1(++++k k k k k =(21++k k )k ＜1. ∴n =k +1时，不等式也成立. 由（1）、（2）知,对一切n ∈N *，不等式都成立.例4 ．用数学归纳法证明等式对所有n ∈N*均成立．111111111234212122n n n n n-+-++-=+++-++ 证明：i)当n=1时，左式=21211=-，右式=21111=+， ∴ 左式=右式，等式成立．ii)假设当n=k(k ∈N)时等式成立， 即kk k k k 212111211214131211+++++=--++-+- ， 则当n=k+1时，)1(21)1(13)1(12)1(11)1(1221121413121)22111(1213121221121)212111(221121)211214131211(221121211214131211++++++++++++++=++++++++++=+-++++++++=+-+++++++=+-++--++-+-=+-++--++-+-k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k 即n=k+1时，等式也成立，由i) ii)可知，等式对n ∈N 均成立．小结：在利用归纳假设论证n=k+1等式成立时，注意分析n=k 与n=k+1的两个等式的差别．n=k+1时，等式左边增加两项，右边增加一项，而且右式的首项由11+k 变为21+k ．因此在证明中，右式中的11+k 应与-221+k 合并，才能得到所证式．因而，在论证之前，把n=k+1时等式的左右两边的结构先作一分析是有效的．由例1可以看出，数学归纳法的证明过程中，要把握好两个关键之处：一是f(n)与n 的关系；二是f(k)与f(k+1)的关系．（三）、巩固深化，反馈矫正 （教材第95页练习 1、2）（四）、归纳整理，整体认识1．用数学归纳法证明，要完成两面个步骤，这两个步骤是缺一不可的，但从证题的难易来分析，证明第二步是难点和关键，要充分利用归纳假设，做好命题从n=k 到 n=k+1的转化，这个转化要求在变化过程中结构不变。