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全等三角形专项训练及答案解析

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2024年八年级数学上册《全等三角形》及答案解析

2024年八年级数学上册《全等三角形》及答案解析

第十二章全等三角形(单元重点综合测试)班级_________姓名________学号__________分数__________考试范围：全章的内容；考试时间：120分钟；总分：120分一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.下列说法中，正确的有()①形状相同的两个图形是全等形；②面积相等的两个图形是全等形；③全等三角形的周长相等，面积相等；④若△ABC≌△DEF，则∠A=∠D．A.1个B.2个C.3个D.4个2.下列各组图形中，是全等形的是()A. B.C. D.3.如图，点B在线段AD上，△ABC≌△EBD，AB=2cm，BD=5cm，则CE的长度为()A.2cmB.2.5cmC.3cmD.5cm4.小红用如图所示的方法测量小河的宽度．她利用适当的工具，使AB⊥BC，CD⊥BC，BO=OC，点A、O、D在同一直线上，就能保证△ABO≌△DCO，可作为证明△ABO≌△DCO的依据的是()A.SSSB.ASAC.SASD.HL5.如图，在△ABC和△DEF中，点A，E，B，AC∥DF，AC=DF，能判定△ABC≌△DEF的是()A.BC=DEB.AE=DBC.∠A=∠DEFD.∠ABC=∠D6.如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，OA=OB，则图中全等三角形有()A.1对B.2对C.3对D.4对7.现要在一块三角形形状的草坪上安装一个洒水龙头，要使洒水龙头到草坪三条边的距离相等，洒水龙头的位置应选在( )处A.三角形三边的垂直平分线的交点B.三角形的三条角平分线的交点C.三角形的三条高所在直线的交点D.三角形的三条中线的交点8.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE⊥BC于点E，S△ABC=30,DE=4,BC=10，则AC的长是()A.5B.6C.7D.89.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF，给出下列五个结论：①DE=DF；②BC=2DB；③AD⊥BC；④AB=3BF；⑤S△ADB=2S△BDF；其中正确的结论共有()A.4个B.3个C.2个D.1个10.新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为“格线三角形”．如图，a∥b∥c，相邻两条平行线间的距离为m，等腰Rt△ABC为“格线三角形”，且∠BAC=90°，则△ABC的面积为()A.5m2 B.2m2 C.5m2 D.4m22二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)11.如图，AD=AB，∠C=∠E，∠CDE=50°，则∠ABE=．12.如图，四边形ABCD≌四边形A B C D ．若∠B=90°，∠C=60°，∠D =105°，则∠A的大小为度．13.如图，D，E是边BC上的两点，BD=CE，∠ADB=∠AEC，现要直接用“AAS”定理来证明△ABD≌△ACE，请你再添加一个条件：．14.已知△ABC面积为24，将△ABC沿BC的方向平移到△A B C 的位置，使B 和C重合，连接AC 交A C于D，则△C DC的面积为．15.如图，△ABC中∠A=66°，点M、N是∠ABC与∠ACB三等分线的交点，则∠BMN的度数是．16.如图，CA⊥AB，垂足为点A，射线BM⊥AB，垂足为点B，AB=15cm，AC=6cm．动点E从A点出发以3cm/s的速度沿射线AN运动，动点D在射线BM上，随着E点运动而运动，始终保持ED=CB．若点E的运动时间为t秒t>0，则当t=秒时，△DEB与△BCA全等．三、(本大题共4小题，每小题6分，共24分)17.已知：如图，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D．求证：BC=ED．18.如图，已知AB∥CD，AB=CD．(1)求证：△ABC≌△CDA；(2)判断BC与AD的位置关系，并说明理由．19.如图，已知AB=CD，AD=BC，O为AC的中点，过O作一条直线分别与AB，CD交于点M，N，点E，F在直线MN上，且OE=OF．(1)图中共有几对全等三角形？请把它们都写出来；(2)求证：∠MAE=∠NCF．20.如图，B、C、E三点在同一条直线上，AC∥DE，AC=CE，∠ACD=∠B(1)求证：△ABC≌△CDE(2)若∠A=55°,求∠BCD的度数．四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)21.如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB=106°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH=53°．(1)求∠ACE的度数；(2)求证：AE平分∠CAF；(3)若AC+CD=16，AB=10，且S△ACD=24，则△ABE的面积．22.问题提出：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD与∠BCD互补，∠B与∠D互补，AB=AD，∠BAD=x°0<x<180，∠ACB=y°，数学兴趣小组在探究y与x的数量关系时，经历了如下过程：实验操作：(1)数学兴趣小组通过电脑软件“几何画板”进行探究，测量出部分结果如下表所示：x⋯304050607080β130y757065α555040θ这里α=，β=，θ=．猜想证明：(2)根据表格，猜想：y与x之间的关系式为；数学兴趣小组发现证明此猜想的一种方法：如图2，延长CB到E，使BE=DC，连接AE，⋯，请你根据其思路将证明过程补充完整，并验证(1)中结论的正确性．应用拓广：(3)如图3，若x+y=135，AC=10，求四边形ABCD的面积．23.(1)【问题解决】如图①，∠AOB=∠DFE=90°，OC平分∠AOB，点F在OC上，∠DFE的两边分别与OA，OB交于点D，E．当FE⊥OB，FD⊥OA时，则FD与FE的数量关系为；(2)【问题探究】如图②，在(1)的条件下，过点F作两条相互垂直的射线FM，FN，分别交OA，OB于点M，N，判断FM与FN的数量关系，说明理由；(3)【迁移应用】某学校有一块四边形的空地ABCD，如图③所示，∠DAB=∠DCB=90°，AC是∠DAB的平分线，AB= 50m，AD=30m，直接写出该空地的面积．五、(本大题共2小题，每小题12分，共24分)24.综合探究：如题图1是一种用刻度尺画角平分线的方法，在OA、OB上分别取点C、E、D、F，使得OC=OD，OE=OF，连接CF、DE，交点为P，则射线OP为∠AOB的角平分线．【验证】(1)试说明OP平分∠AOB，且PE=PF；【应用】(2)如题图2，若C、E、D、F分别为OA、OB上的点，且OC=OD，CF⊥OA，DE⊥OB，试用(1)中的原理说明OP平分∠AOB；【猜想】(3)如题图3，P是∠AOB角平分线上一点，C、D分别为OA、OB上的点，且PC=PD，请补全图形，并直接写出∠PCO与∠PDO的数量关系．25.【模型呈现】(1)如图1，∠BAD=90°，AB=AD，BC⊥CA于点C，DE⊥AE于点E．求证：BC=AE．【模型应用】(2)如图2，EA⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形ABCDE的面积．【深入探究】(3)如图3，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，连接BC、DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．①求证DG=GE；②若BC=21，AF=12，求△ADG的面积．第十二章全等三角形(单元重点综合测试)班级_________姓名________学号__________分数__________考试范围：全章的内容；考试时间：120分钟；总分：120分一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.下列说法中，正确的有()①形状相同的两个图形是全等形；②面积相等的两个图形是全等形；③全等三角形的周长相等，面积相等；④若△ABC≌△DEF，则∠A=∠D．A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【分析】根据全等形的定义，全等三角形的判定与性质，即可判断．【详解】解：能够完全重合的两个图形叫做全等形，即形状和大小相同的两个图形是全等形，故①②说法错误；全等三角形能够完全重合，所以全等三角形的周长相等，面积相等，故③说法正确；若△ABC≌△DEF，∠A的对应角为∠D，所以∠A=∠D，故④说法正确；说法正确的有③④，共2个．故选：B．【点睛】本题考查全等形，理解能够完全重合的两个图形叫做全等形是解题关键．2.下列各组图形中，是全等形的是()A. B.C. D.【答案】B【分析】本题考查全等形，掌握能完全重合的两个图形是全等形是解题的关键．【详解】观察发现：A，C，D选项中两个图形不能完全重合，不是全等形；B选项中两个图形能完全重合，是全等形，故选B．3.如图，点B在线段AD上，△ABC≌△EBD，AB=2cm，BD=5cm，则CE的长度为()A.2cmB.2.5cmC.3cmD.5cm【答案】C【分析】此题考查了全等三角形的性质，解题的关键熟练掌握性质的应用．根据全等三角形的对应边相等，再利用线段和差即可求解．【详解】∵△ABC≌△EBD，∴BE=AB=2cm，BC=BD=5cm，∴CE=BC-BE=3cm，故选：C．4.小红用如图所示的方法测量小河的宽度．她利用适当的工具，使AB⊥BC，CD⊥BC，BO=OC，点A、O、D在同一直线上，就能保证△ABO≌△DCO，可作为证明△ABO≌△DCO的依据的是()A.SSSB.ASAC.SASD.HL【答案】B【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．直接利用全等三角形的判定方法即可得出答案．【详解】解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠ABO=∠DCO=90°，在△ABO和△DCO中，∠ABO=∠DCOBO=OC=CO∠BOA=∠COD，∴△ABO≌△DCO ASA∴证明△ABO≌△DCO的依据的是ASA，故选：B．5.如图，在△ABC和△DEF中，点A，E，B，AC∥DF，AC=DF，能判定△ABC≌△DEF的是()A.BC=DEB.AE=DBC.∠A=∠DEFD.∠ABC=∠D【答案】B【分析】本题考查三角形全等的判定，先根据平行线的性质得到∠A=∠D，加上AC=DF，则可根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断即可，掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS，HL是解题的关键．【详解】解：∵AC∥DF，∴∠A=∠D，∵AC=DF，A、添加BC=DE，不能判定△ABC≌△DEF；B、添加AE=DB，能判定△ABC≌△DEF；C、添加∠A=∠DEF，不能判定△ABC≌△DEF；D、添加∠ABC=∠D，不能判定△ABC≌△DEF；故选：B．6.如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，OA=OB，则图中全等三角形有()A.1对B.2对C.3对D.4对【答案】C【分析】本题主要考查三角形全等的判定定理，角平分线的性质，熟练掌握三角形全等的判定方程是解题的关键．根据全等三角形的判定分别证明△AOP≌△BOP(SAS)，Rt△P AE≌Rt△PBF HL，△OEP≌△OFP (AAS)，即可得到答案．【详解】解：∵OP平分∠MON，∴∠AOP=∠BOP，∵OA=OB，OP=OP，∴△AOP≌△BOP(SAS)；∴AP=BP，∵OP平分∠MON，PE⊥OM,PF⊥ON∴PE=PF，∵PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，∴Rt△P AE≌Rt△PBF HL；∵OP平分∠MON，∴∠AOP=∠BOP，又∵∠OEP=∠OFP=90°,OP=OP，∴△OEP≌△OFP(AAS)．∴图中全等三角形有3对故选C．7.现要在一块三角形形状的草坪上安装一个洒水龙头，要使洒水龙头到草坪三条边的距离相等，洒水龙头的位置应选在( )处A.三角形三边的垂直平分线的交点B.三角形的三条角平分线的交点C.三角形的三条高所在直线的交点D.三角形的三条中线的交点【答案】B【分析】本题考查的是三角形的角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．【详解】解：要使洒水龙头到草坪三条边的距离相等，则洒水龙头的位置应选在三角形三条角平分线的交点，故选：B8.如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB ，DE ⊥BC 于点E ，S △ABC =30,DE =4,BC =10，则AC 的长是()A.5B.6C.7D.8【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理．过点D 作DF ⊥AC 于点F ，根据角平分线的性质可得DE =DF =4，再由S △ABC =S △DBC +S △DAC ，即可求解．【详解】解：如图，过点D 作DF ⊥AC 于点F ，∵CD 平分∠ACB ，DE ⊥BC ，DF ⊥AC ，DE =4，∴DE =DF =4，∵S △ABC =S △DBC +S △DAC ，S △ABC =30，BC =10，∴30=12DE ×BC +12DF ×AC ，∴30=12×4×10+12×4×AC ，∴AC =5，故选：A ．9.如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AC ，垂足为E ，BF ∥AC 交ED 的延长线于点F ，若BC 恰好平分∠ABF ，AE =2BF ，给出下列五个结论：①DE =DF ；②BC =2DB ；③AD ⊥BC ；④AB =3BF ；⑤S △ADB =2S △BDF ；其中正确的结论共有()A.4个B.3个C.2个D.1个【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，由角平分线的性质和平行线的性质可证∠ACB=∠ABC，可得AC=AB，由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，CD= BD，由“ASA”可证△CDE≌△BDF，可得S△CDE=S△BDF，CE=BF，DE=DF，即可求解．【详解】解：∵BC恰好平分∠ABF，∴∠ABC=∠CBF，∵BF∥AC，∴∠ACB=∠CBF，∴∠ACB=∠ABC，∴AC=AB，且AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，BC=2DB，故②，③正确，符合题意；在△CDE和△BDF中，∠ACB=∠CBF CD=BD∠CDE=∠BDF，∴△CDE≌△BDF ASA，∴S△CDE=S△BDF，CE=BF，DE=DF，故①正确，符合题意；∵AE=2BF，∴AC=3BF=AB，故④正确，符合题意；∵BD=CD，∴S△ADB=S△ACD，∵AE=2BF，∴S△ADB=S△ACD=3S△CDE=3S△BDF，故⑤错误，不符合题意；故选：A．10.新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为“格线三角形”．如图，a∥b∥c，相邻两条平行线间的距离为m，等腰Rt△ABC为“格线三角形”，且∠BAC=90°，则△ABC的面积为()A.52m2 B.2m2 C.5m2 D.4m2【答案】A【分析】本题主要考查平行线间的距离，全等三角形的判定与性质，过点B作BE⊥直线a于点E，延长EB交直线c于点F，过点C作CD⊥直线a于点D，证明△CDA≌△AEB(AAS)，得出AE=CD=2m,AD=BE=m，CF=DE=AD+AE=m+2m=3m，再根据=S四边形DEFE-S△ACD×2-S△BCF求解即可【详解】解：过点B作BE⊥直线a于点E，延长EB交直线c于点F，过点C作CD⊥直线a于点D，则∠CDA=∠AEB=90°，如图，∵a∥b∥c，相邻两条平行线间的距离为m，∴BF⊥直线c，CD=2m,BE=BF=m,∵∠CAB=90°,∠CDA=90°∴∠DCA+∠DAC=90°，∴∠DCA=∠EAB，在△CDA和△AEB中，∠DCA=∠EAB∠CDA=∠AEBAC=AB，∴△CDA≌△AEB(AAS)，∴AE=CD=2m,AD=BE=m，∴CF=DE=AD+AE=m+2m=3m∴△ABC的面积=S四边形DEFE -S△ACD×2-S△BCF=3m×2m-12×2m×m×2-12×3m×m=52m2故选：A二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)11.如图，AD=AB，∠C=∠E，∠CDE=50°，则∠ABE=．【答案】130°/130度【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，邻补角的定义，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．证明△ADC≌△ABE AAS得出∠ADC=∠ABE，根据邻补角即可求解．【详解】解：∵在△ADC和△ABE中，∠C=∠E∠A=∠AAD=AB，∴△ADC≌△ABE AAS，∴∠ADC=∠ABE，∵∠CDE=50°，∴∠ADC=180°-50°=130°，∴∠ABE=130°．故答案为：130°．12.如图，四边形ABCD≌四边形A B C D ．若∠B=90°，∠C=60°，∠D =105°，则∠A的大小为度．【答案】105【分析】本题考查了全等图形的性质和四边形内角和公式，解题的关键在于熟练掌握全等图形的性质．根据全等的性质求出∠D=∠D ，利用四边形的内角和公式求出∠A的度数即可．【详解】解：∵四边形ABCD≌四边形A B C D ．∴∠D=∠D ，∵∠D =105°，∴∠D=105°，∵∠B=90°,∠C=60°，∴∠A=360°-90°-60°-105°=105°，故答案为：105．13.如图，D，E是边BC上的两点，BD=CE，∠ADB=∠AEC，现要直接用“AAS”定理来证明△ABD≌△ACE，请你再添加一个条件：．【答案】∠BAD=∠CAE【分析】在△ABE与△ACD中，已知AE=AD，∠AED=∠ADE，即已知一角及角的一边对应相等，根据“AAS”的判定方法，可以添加已知边的对角对应相等即可．本题考查了全等三角形的判定定理：AAS：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．【详解】解：可添加一个条件：∠BAD=∠CAE，使△ABD≌△ACE．理由：在△ABD与△ACE中，∠BAD=∠CAE∠AED=∠ADEBD=CE，∴△ABD≌△ACE(AAS)．故答案为∠BAD=∠CAE14.已知△ABC面积为24，将△ABC沿BC的方向平移到△A B C 的位置，使B 和C重合，连接AC 交A C于D，则△C DC的面积为．【答案】12【分析】根据平移的性质可得AC=A C ，BC=B C ，AC∥A C ，证明△ADC≌△C DA ，得到AD=C D，则S△C DC =12S△ACC，再推出S△ABC=S△ACC=24，则S△C DC=12S△ACC=12．【详解】解：由平移的性质可得AC=A C ，BC=B C ，AC∥A C ，∴∠DCA=∠DA C ，∠DAC=∠DC A ，∴△ADC≌△C DA ASA，∴AD=C D，∴S△C DC =12S△ACC，∵BC=CC ，△ABC的面积为24，∴S△ABC=S△ACC=24，∴S△C DC =12S△ACC=12．故答案为：12．【点睛】本题主要考查了平移的基本性质，全等三角形的性质与判定，三角形中线的性质，熟知平移的性质是解题的关键：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．15.如图，△ABC中∠A=66°，点M、N是∠ABC与∠ACB三等分线的交点，则∠BMN的度数是．【答案】52°/52度【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和定理．过点N作NG⊥BC于G，NE⊥BM于E，NF⊥CM于F，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得NE=NG=NF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出MN平分∠BMC，然后根据三角形内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB,再根据角的三等分求出∠MBC+∠MCB的度数，然后利用三角形内角和定理求出∠BMC的度数，从而得解．【详解】解：如图，过点N作NG⊥BC于G，NE⊥BM于E，NF⊥CM于F，∵点M、N是∠ABC与∠ACB三等分线的交点，∴BN平分∠MBC，CN平分∠MCB，∴NE=NG,NF=NG，∴NE=NF，∴MN平分∠BMC，∴∠BMN=12∠BMC，∵∠A=66°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-66°=114°，∴∠MBC+∠MCB=23∠ABC+∠ACB=76°，在△BMC中，∠BMC=180°-∠MBC+∠MCB=180°-76°=104°∴∠BMN=12∠BMC=52°．故答案为：52°．16.如图，CA⊥AB，垂足为点A，射线BM⊥AB，垂足为点B，AB=15cm，AC=6cm．动点E从A点出发以3cm/s的速度沿射线AN运动，动点D在射线BM上，随着E点运动而运动，始终保持ED=CB．若点E的运动时间为t秒t>0，则当t=秒时，△DEB与△BCA全等．【答案】3或7或10【分析】本题考查全等三角形的性质，关键是要分情况讨论．分情况，当E在线段AB上，或当E在线段AB延长线上，由HL即可求解．【详解】解：∵CA⊥AB，BM⊥AB，∠CAB=∠DBE=90°，∵ED=CB，当E在线段AB上时，若BE=AC，∴Rt△DEB≌Rt△BCA(HL)，∵AE=3tcm，∴BE=AB-AE=15-3tcm，∴15-3t=6，∴t=3；若BE=AB，∴Rt△DEB≌Rt△CBA(HL)，∴AE=0，∴t=0(舍去)，当E在线段AB延长线上时，若BE=AC，∴Rt△DEB≌Rt△BCA(HL)，∵AE=3t=AB+BE=15+6=21(cm)，∴t=7，若BE=AB，∴Rt△DEB≌Rt△CBA(HL)，∵AE=3t=AB+BE=15+15=30(cm)，∴t=10，∴当t=3或7或10秒时，△DEB与△BCA全等．故答案为：3或7或10．三、(本大题共4小题，每小题6分，共24分)17.已知：如图，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D．求证：BC=ED．【答案】见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由∠1=∠2可得∠EAD=∠BAC，再根据条件AB=AE，∠C=∠D，可利用AAS证明△ABC≌△AED AAS，再根据全等三角形对应边相等即可得出结论．【详解】证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD，即∠EAD=∠BAC，在△EAD和△BAC中，∠C=∠D∠BAC=∠EADAB=AE，∴△ABC≌△AED AAS，∴BC=ED．18.如图，已知AB∥CD，AB=CD．(1)求证：△ABC≌△CDA；(2)判断BC与AD的位置关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)BC∥AD，理由见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△ABC≌△CDA．(1)利用SAS证明△ABC≌△CDA即可；(2)由△ABC≌△CDA，得∠BCA=∠CAD，进而可以判断BC与AD的位置关系．【详解】(1)证明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD，在△ABC与△CDA中，AB=CD∠BAC=∠ACDAC=CA，∴△ABC≌△CDA SAS；(2)解：BC∥AD，理由如下：∵△ABC≌△CDA，∴∠BCA=∠CAD，∴BC∥AD．19.如图，已知AB=CD，AD=BC，O为AC的中点，过O作一条直线分别与AB，CD交于点M，N，点E，F在直线MN上，且OE=OF．(1)图中共有几对全等三角形？请把它们都写出来；(2)求证：∠MAE=∠NCF．【答案】(1)4；△ABC≌△CDA，△AMO≌△CNO，△OAE≌△OCF，△AME≌△CNF(2)证明见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，找出判定三角形全等的条件是解题的关键．(1)结合已知条件，再根据全等三角形的四个判定方法，即可找出所有的全等三角形；(2)先证明△AME≌△CNF SSS，即可证明∠MAE=∠NCF．【详解】(1)解：有4对全等三角形，分别为：△ABC≌△CDA，△AMO≌△CNO，△OAE≌△OCF，△AME≌△CNF，理由如下：∵AB=CD，BC=AD=DA，AC=CA，∴△ABC≌△CDA SSS，∴∠BAC=∠DCA，即∠MAO=∠NCO，∵O为AC的中点，∴OA=OC，又∵∠AOM=∠CON，∴△AMO≌△CNO ASA，∴AM=CN，OM=ON，∵OA=OC，∠AOE=∠COF，OE=OF，∴△OAE≌△OCF SAS，∴AE=CF，∵OE=OF，OM=ON，∴OE-OM=OF-ON，即ME=NF，又∵AM=CN，∴△AME≌△CNF SSS；(2)证明：∵AB=CD，BC=AD=DA，AC=CA，∴△ABC≌△CDA SSS，∴∠BAC=∠DCA，即∠MAO=∠NCO，∵O为AC的中点，∴OA=OC，又∵∠AOM=∠CON，∴△AMO≌△CNO ASA，∴AM=CN，OM=ON，∵OA=OC，∠AOE=∠COF，OE=OF，∴△OAE≌△OCF SAS，∴AE=CF，∵OE=OF，OM=ON，∴OE-OM=OF-ON，即ME=NF，又∵AM=CN，∴△AME≌△CNF SSS，∴∠MAE=∠NCF．20.如图，B、C、E三点在同一条直线上，AC∥DE，AC=CE，∠ACD=∠B(1)求证：△ABC≌△CDE(2)若∠A=55°,求∠BCD的度数．【答案】(1)详见解析(2)125°【分析】本题考查了平行线性质和全等三角形的性质和判定的应用，证得△ABC≌△CDE是解题的关键．(1)根据平行线求出∠ACD=∠CDE，∠ACB=∠CED，再说明∠B=∠CDE，最后结合AC=CE运用AAS即可证明结论；(2)根据全等三角形性质得出∠A=∠E=55°，进而根据平角定义即可解答．【详解】(1)证明∶∵AC∥DE，∴∠ACD=∠CDE，∠ACB=∠CED，∵∠ACD=∠B，∴∠B=∠CDE，∵AC=CE，∴△ABC≌△CDE AAS．(2)解：∵∠A=55°，∵△ABC≌△CDE，∴∠A=∠ECD=55°，∴∠BCD=180°-∠ECD=180°-55°=125°．四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)21.如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB=106°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH=53°．(1)求∠ACE的度数；(2)求证：AE平分∠CAF；(3)若AC+CD=16，AB=10，且S△ACD=24，则△ABE的面积．【答案】(1)∠ACE=37°(2)证明见解析(3)15【分析】本题主要考查了邻补角的性质、角平分线的性质与判定定理、三角形的面积等知识点，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键．(1)根据邻补角的定义和垂直的定义可得∠ACD=74°、∠CHE=90°，进而得到∠ECH=37°，然后根据∠ACE=∠ACD-∠ECH即可解答；(2)如图：过E点分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC与N，根据角平分线的性质定理以及角平分线的定义可得EM=EH、CE平分∠ACD、EN=EH，最后根据角平分线的判定定理即可解答；(3)根据S△ACD=S△ACE+S△CED结合已知条件可得EM=3，最后运用三角形的面积公式即可解答．【详解】(1)解：∵∠ACB=106°，∴∠ACD=180°-106°=74°，∵EH⊥BD，∴∠CHE=90°，∵∠CEH=53°，∴∠ECH=90°-53°=37°，∴∠ACE=∠ACD-∠ECH=74°-37°=37°．(2)证明：如图：过E点分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC与N，∵BE平分∠ABC，∴EM=EH，∵∠ACE =∠ECH =37°，∴CE 平分∠ACD ，∴EN =EH ，∴EM =EN ，∴AE 平分∠CAF ．(3)解：∵AC +CD =16，S △ACD =24，EM =EN =EH ，∴S △ACD =S △ACE +S △CED =12AC ⋅EN +12CD ⋅EH =12(AC +CD )⋅EM =24，即12×16⋅EM =24，解得EM =3，∵AB =10，∴S △ABE =12AB ⋅EM =15．22.问题提出：如图1，在四边形ABCD 中，∠BAD 与∠BCD 互补，∠B 与∠D 互补，AB =AD ，∠BAD =x °0<x <180 ，∠ACB =y °，数学兴趣小组在探究y 与x 的数量关系时，经历了如下过程：实验操作：(1)数学兴趣小组通过电脑软件“几何画板”进行探究，测量出部分结果如下表所示：x⋯304050607080β130y 757065α555040θ这里α=，β=，θ=．猜想证明：(2)根据表格，猜想：y 与x 之间的关系式为；数学兴趣小组发现证明此猜想的一种方法：如图2，延长CB 到E ，使BE =DC ，连接AE ，⋯，请你根据其思路将证明过程补充完整，并验证(1)中结论的正确性．应用拓广：(3)如图3，若x +y =135，AC =10，求四边形ABCD 的面积．【答案】(1)60，100，15；(2)y =90-12x ，理由见详解；(3)S 四边形ABCD =50【分析】(1)观察表格发现：x 每增加10，y 减小5，由此即可得出α、β、θ的值．(2)根据表格猜想：y =90-12x ．延长CB 到E ，使BE =DC ，连接AE ，则可得△ABE ≌△ADE ，进而可得AE =AC ，∠EAB =∠CAD ，则可得∠EAC =x °．在△AEC 中，根据三角形内角和定理即可得出y 于x 之间的关系式．(3)延长CB 到E ，使BE =DC ，连接AE ．由(2)得△ABE ≌△ADE ，则S △ABE =S △ADE ，进而可得S 四边形ABCD =S △AEC ．由x +y =135，y =90-12x 可得x =90，y =45．则可得∠EAC =90°，∠AEC =∠ACE =45°，进而可得AE =AC =10，可得S △AEC 的值，即可得S 四边形ABCD 的值．【详解】(1)观察表格发现：x每增加10，y减小5，∴α=65-5=60，β=80+2×10=100，θ=40-3×5=15．故答案为：60，100，15，x．(2)根据表格猜想：y=90-12证明：如图2，延长CB到E，使BE=DC，连接AE，则∠ABC+∠ABE=180°，又∵∠ABC+∠D=180°，∴∠ABE=∠D，又∵AB=AD，∴△ABE≌△ADE(SAS)，∴AE=AC，∠EAB=∠CAD，∴∠E=∠ACB=y°，∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠CAD+∠BAC=∠BAD=x°．在△AEC中，∠EAC+∠E+∠ACE=180°，∴x°+2y°=180°，y=90-1x．2(3)如图，延长CB到E，使BE=DC，连接AE．由(2)得△ABE≌△ADE，∴S△ABE=S△ADE，=S△ACD+S△ABC=S△ABE+S△ABC=S△AEC，∴S四边形ABCD∵x+y=135，y=90-1x，2x=135，∴x+90-12解得x=90，y=45，∴∠EAC=90°，∠AEC=∠ACE=45°，∴AE=AC=10，×10×10=50，∴S△AEC=12∴S=50．四边形ABCD【点睛】本题考查了数字类探索规律问题，以及全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理．熟练掌握以上知识，证明出y与x之间的关系式是解题的关键．23.(1)【问题解决】如图①，∠AOB =∠DFE =90°，OC 平分∠AOB ，点F 在OC 上，∠DFE 的两边分别与OA ，OB 交于点D ，E ．当FE ⊥OB ，FD ⊥OA 时，则FD 与FE 的数量关系为；(2)【问题探究】如图②，在(1)的条件下，过点F 作两条相互垂直的射线FM ，FN ，分别交OA ，OB 于点M ，N ，判断FM 与FN 的数量关系，说明理由；(3)【迁移应用】某学校有一块四边形的空地ABCD ，如图③所示，∠DAB =∠DCB =90°，AC 是∠DAB 的平分线，AB =50m ，AD =30m ，直接写出该空地的面积．【答案】(1)FD =FE ；(2)FM =FN ，理由见详解；(3)1600m 2【分析】(1)根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得FD =FE ；(2)先根据四边形内角和等于360°可得∠DFE =90°，由∠DFE =∠FMN =90°可得∠DFM =∠EFN ，再根据ASA 证明△DFM ≌△EFN ，则可得FM =FN ；(3)过C 点作CE ⊥AB 于E 点，CF ⊥AD 的延长线于F 点．由(2)得△CFD ≌△CEB ，则可得FD =EB ，S △CFD =S △CEB ，进而可得S 四边形ABCD =S 四边形AECF ．证明△ACF ≌△ACE (，则可得AF =AE ，由AE =AB -BE 、AF =AD +DF 可求得BE 的长，进而可得AF 、AE 的长，由此可得S 四边形AECF 的值，即可得S 四边形ABCD 的值．【详解】(1)解：∵OC 平分∠AOB ，点F 在OC 上，且FE ⊥OB ，FD ⊥OA ，∴FD =FE ．(2)解：FD =FE ，理由如下：∵FD ⊥OA ，FE ⊥OB ，∴∠FDO =∠FEO =∠FEN =90°，∵四边形DOEF 中，∠FDO =∠FEO =∠AOB =90°，∴∠DFE =360°-∠FDO -∠FEO -∠AOB =90°，∴∠DMF +∠MFE =90°，又∵FM ⊥FN ，∴∠FMN =90°，∴∠DFM =∠EFN ，在△DFM 和△EFN 中，∠FDM =∠FENFD =FE ∠DFM =∠EFN，∴△DFM ≌△EFN (ASA )，∴FM =FN ．(3)解：如图，过C 点作CE ⊥AB 于E 点，CF ⊥AD 的延长线于F 点，由(2)得△CFD≌△CEB，∴FD=EB，S△CFD=S△CEB，∴S四边形ABCD =S四边形AECF，∵AC是∠DAB的平分线，∴∠DAC=∠CAB，又∵∠CFB=∠CEA=90°，AC=AC，∴△ACF≌△ACE(AAS)，∴AF=AE，又∵AE=AB-BE,AF=AD+DF，∴AB-BE=AD+DF，∴50-BE=30+BE，解得BE=10，∴AF=AE=40，∴S四边形AECF=40×40=1600m2，∴S四边形ABCD=1600m2，答：该空地的面积为1600m2．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键．五、(本大题共2小题，每小题12分，共24分)24.综合探究：如题图1是一种用刻度尺画角平分线的方法，在OA、OB上分别取点C、E、D、F，使得OC=OD，OE=OF，连接CF、DE，交点为P，则射线OP为∠AOB的角平分线．【验证】(1)试说明OP平分∠AOB，且PE=PF；【应用】(2)如题图2，若C、E、D、F分别为OA、OB上的点，且OC=OD，CF⊥OA，DE⊥OB，试用(1)中的原理说明OP平分∠AOB；【猜想】(3)如题图3，P是∠AOB角平分线上一点，C、D分别为OA、OB上的点，且PC=PD，请补全图形，并直接写出∠PCO与∠PDO的数量关系．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)补全图形见解析，∠PCO=∠PDO或∠PCO+∠PDO=180°【分析】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．(1)先证明△DOE≌△COF(SAS)，得∠PEC=∠PFD，再证△CPE≌△DPF(AAS)，得PE=PF，然后证△OPE≌△OPF(SSS)，得∠POE=∠POF，即可得出结论；(2)先证明△OCF≌△ODE(ASA)，可得OF=OE，由(1)可得OP平分∠AOB；(3)过点P分别作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，分两种情况进行求解即可．【详解】解：(1)∵OC=OD，∠DOE=∠COF，OE=OF，∴CE=DF，△DOE≌△COF(SAS)，∴∠PEC=∠PFD，∵∠CPE=∠DPF，CE=DF，∴△CPE≌△DPF(AAS)，∴PE=PF，∵OE=OF，PE=PF，OP=OP，∴△OPE≌△OPF(SSS)，∴∠POE=∠POF，即∠POA=∠POB，∴射线OP平分∠AOB；(2)∵CF⊥OA，DE⊥OB，∴∠OCF=∠ODE=90°，∴∠COF=∠DOE，OC=OD，∴△OCF≌△ODE(ASA)，∴OF=OE，由(1)可得OP平分∠AOB；(3)补全图形如下，过点P分别作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，∵OP是∠AOB的平分线，∴PM=PN，∠PMC=∠PND=90°，当PC=PD1时，在Rt△PMC和Rt△PND1中，PC=PD1，PM=PN∴Rt△PMC≌Rt△PND1(HL)，∴∠PCO=∠PD1O；当PC=PD2时，同理得Rt△PMC≌Rt△PND2HL，∴∠PCM=∠PD2N；∵∠PD2N+∠PD2O=180°，∴∠PCO+∠PD2O=180°，综上所述，∠PCO与∠PDO的数量关系为∠PCO=∠PDO或∠PCO+∠PDO=180°；25.【模型呈现】(1)如图1，∠BAD=90°，AB=AD，BC⊥CA于点C，DE⊥AE于点E．求证：BC=AE．【模型应用】(2)如图2，EA⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形ABCDE的面积．【深入探究】(3)如图3，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，连接BC、DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．①求证DG=GE；②若BC=21，AF=12，求△ADG的面积．【答案】(1)见解析；(2)50；(3)①见解析；63【分析】(1)证明△ABC≌△DAE AAS，即可得证；(2)同(1)法得到△AEP≌△BAG，△CBG≌△DCH，分割法求出图形面积即可；(3)①过点D作DP⊥AG于P，过点E作EQ⊥AG交AG的延长线于Q，易证△AFB≌△DP A，△AFC ≌△EQA，得到DP=AF，EQ=AF，再证明△DPG≌△EQG AAS，即可得出结论；②根据全等三角形的性质，求出AG的长，进而利用面积公式进行求解即可．【详解】解：(1)证明：∵∠BAD=90°，∴∠BAC+∠DAE=90°，∵BC⊥CA，DE⊥AE，∴∠ACB=∠DEA=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°，∴∠ABC=∠DAE，在△ABC和△DAE中，∠ACB=∠DEA∠ABC=∠DAEBA=AD∴△ABC≌△DAE AAS，∴BC=AE．(2)由模型呈现可知，△AEP≌△BAG，△CBG≌△DCH，∴AP=BG=3，AG=EP=6，CG=DH=4，CH=BG=3，则S实线围成的图形=12×4+6×3+6+4+3-12×3×6-12×3×6-12×3×4-12×3×4=50．(3)①过点D作DP⊥AG于P，过点E作EQ⊥AG交AG的延长线于Q．图3由【模型呈现】可知，△AFB≌△DP A，△AFC≌△EQA，∴DP=AF，EQ=AF∴DP=EQ，∵DP⊥AG，EQ⊥AG∴∠DPG=∠EQG=90°，在△DPG和△EQG中，∠DPG=∠EQG∠DGP=∠EGQDP=EQ∴△DPG≌△EQG AAS，∴DG=GE．②由①可知，BF=AP，FC=AQ，∴BC=BF+FC=AP+AQ，∵BC=21，∴AP+AQ=21，∴AP+AP+PG+GQ=21，由①△DPG≌△EQG得∴PG=GQ，∴AP+AP+PG+PG=21，∴AP+PG=10.5，∴AG=10.5，∴S△ADG=1×10.5×12=63．2。

三角形全等测试题及答案

三角形全等测试题及答案

三角形全等测试题及答案一、选择题1. 两个三角形全等的条件是（）A. 有两条边和它们的夹角对应相等B. 三条边对应相等C. 有两条边和其中一条边的对角对应相等D. 有两条边和其中一条边的邻角对应相等答案：B2. 如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形（）A. 一定全等B. 可能相似C. 一定相似D. 无法确定答案：B二、填空题3. 已知三角形ABC与三角形DEF全等，且∠A=∠D，AB=DE，那么AC=______。

答案：EF4. 如果两个三角形的两边和夹角对应相等，那么这两个三角形是______。

答案：全等三、判断题5. 如果两个三角形的对应边成比例，那么这两个三角形一定全等。

（）答案：错误6. 如果两个三角形的两边和夹角对应相等，那么这两个三角形一定相似。

（）答案：正确四、解答题7. 如图所示，已知三角形ABC与三角形DEF全等，且AB=5cm，BC=7cm，∠A=∠D=90°，求DE的长度。

答案：DE=7cm8. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且AB=3cm，BC=4cm，DE=6cm，求AC的长度。

答案：AC=8cm五、证明题9. 已知三角形ABC与三角形DEF全等，且∠A=∠D，AB=DE，证明：AC=EF。

证明：由于三角形ABC与三角形DEF全等，根据全等三角形的性质，对应边相等，所以AC=EF。

10. 已知∠A=∠D，AB=DE，AC=DF，求证：三角形ABC≌三角形DEF。

证明：根据SAS（边角边）判定方法，已知∠A=∠D，AB=DE，AC=DF，所以三角形ABC≌三角形DEF。

全等三角形基本模型综合训练(一)(解析版)

全等三角形基本模型综合训练(一)(解析版)

全等三角形基本模型综合训练（一）1．如图，A 点坐标(0，4)，B 为x 轴上一动点，将线段AB 绕点B 顺时针旋转90°，得到BC ，连接OC ，则B 在运动过程中，线段OC 的最小值是（ ）A ．4B ．2C ．2D ．3【答案】C 【详解】解：过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，⊥⊥CDB =90°又线段AB 绕点B 顺时针旋转90°，⊥⊥ABC =90°，AB =BC⊥⊥ABO +⊥CBD =90°，⊥BCD +⊥CBD =90°，⊥⊥ABO =⊥BCD由图可知，⊥AOB =90°，⊥⊥AOB =⊥CDB⊥△AOB ⊥⊥BDC （AAS ），⊥OB =CD ，OA =BD =4，令点B （x ，0）①当x >0时，如图1，在Rt △COD 中OC 22CD OD +224x x ++（）2228x ++（）⊥当x =-2时，OC 有最小值，又x >0⊥x =-2不符合题意，舍去②当x <0时，如图2，在Rt⊥COD 中OC 22CD OD +()224x x -++（）2228x ++（）⊥当x =-2时，OC 有最小值，且最小值为2，故选：C ．2．如图，在ABC ∆中，40A ∠=︒，60C ∠=°，D 为AC 边上一点，DE BC ⊥于点E ．若AD BD =，2BE =，则AB 的长为（ ）A 3B ．2C ．3D ．4【答案】D【详解】解：如图，作DF ⊥AB 于点F ，⊥ AD ＝BD⊥△ADB 是等腰三角形，⊥ABD ＝⊥A ＝40°⊥AB ＝2AF ＝2BF⊥40A ∠=︒，60C ∠=°，⊥⊥ABC ＝180°－⊥A －⊥C ＝80°，⊥ ⊥DBE ＝⊥ABC －⊥ABD ＝40°⊥⊥DBE ＝⊥ABD⊥DE BC ⊥⊥ ⊥DE ＝DF⊥BD ＝BD⊥Rt △BDF ⊥Rt △BDE （HL ）⊥BF ＝BE ＝2⊥AB ＝2BF ＝4，故选：D3．如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D ，10AB =，15ABD S ∆=，则CD 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A 【详解】解：过点D 作DF ⊥AB 于点F ，⊥10AB =，15ABD S ∆=，⊥1152AB DF ⋅=，⊥110152DF ⨯=,得DF =3， ⊥90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，DF ⊥AB ，⊥CD =DF =3，故选：A ．4．正方形ABCD 的边长为4，点E 是射线AD 上的一个动点，连结CE ，以CE 为边往右侧作正方形CEFG ，连结DF 、DG ．（1）当点E在AD延长线上，且DE=AD时，DG=________．（2）当点E在线段AD上，且△DGF为等腰三角形时，DG=________．【答案】454或542【详解】解：（1）过点F作FH⊥AD交AD延长线于点H，⊥四边形ABCD是正方形，且DE=AD，⊥DE=AD=CD，⊥ADC=⊥CDE=90°，⊥△EDC是等腰直角三角形，⊥⊥DCE=⊥DEC=45°，⊥四边形CEFG是正方形，⊥CG=CE=EF，⊥GCE=⊥CEF=90°，⊥⊥DCG=⊥DEF=135°，⊥△DCG⊥△DEF，⊥DG=DF，⊥⊥DEC=45°，⊥CEF=90°，⊥⊥HEF=45°，⊥△EHF是等腰直角三角形，⊥CE=EF，⊥DE=CD=EH=FH=4，在Rt△DFH中，FH=4，DH=8，⊥DG=DF22+=4845（2）当点E与点A重合时，DG=DF，⊥DG=DE=DC=4；当DG=GF时，过点G作GI⊥CD于点I，⊥四边形CEFG是正方形，⊥CG=GF=CE，⊥GCE=90°，⊥DG=GC，CD=2，⊥CI=DI=12⊥DCE+⊥ICG=90°，⊥IGC+⊥ICG=90°，⊥⊥DCE=⊥IGC，⊥△DCE⊥△IGC，⊥IG=DC=4，⊥DG=GC22+=2425点E与点D重合时，DF=GF，此时，FG=FD=DC=4，⊥DG224442；综上，△DGF为等腰三角形时，DG=4或542故答案为：4或5425．如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F在BC上，且BF=2CF，DE，AF相交于点G，则DG的长为___________．958【详解】如图，延长DG、CB，二线交于点H，⊥四边形ABCD是正方形，E是AB的中点，⊥⊥DAE=⊥HBE=90°，AE=BE，⊥⊥AED =⊥BEH⊥△DAE ⊥△HBE ，⊥BH =AD =3，⊥BF =2CF ，BC =3，⊥BF =2，CF =1，⊥FH =FB +BH =3+2=5，CH =FH +CF =1+5=6，⊥四边形ABCD 是正方形，⊥⊥DCH =90°，AD ∥BC ，⊥△DAG ⊥△HFG ，DH 22223635CD CH ++=⊥35DG AD GH FH ==，⊥38DG DH =， ⊥333588DG DH ==⨯958958 6．如图，△ABC 中，AB =AC ，点 D 在 AC 上，连接 BD ，△ABD 的中线 AE 的延长线交 BC 于点 F ，⊥F AC =60°，若 AD =5，AB =7，则 EF 的长为__________．【答案】23【详解】解：延长AE 至点G ，使得AE ＝EG ，⊥E 是BD 的中点，⊥BE ＝DE ，在△ADE 和△GBE 中，DE BE AED GEB AE GE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩⊥⊥ADE ⊥⊥GBE （SAS ）， ⊥AD ＝GB ＝5，⊥G＝⊥F AC ＝60°，过点B 作BH ⊥GE 于点H ，在Rt ⊥BGH 中，⊥GBH ＝180°﹣90°﹣60°＝30°，⊥GH ＝12BG ＝52，BH 22555()322-=， 在Rt ⊥ABH 中，AH 225117(3)22-，⊥AG ＝AH +GH ＝8，⊥AE ＝GE ＝4， 过点D 作DM AB 2AC =EF ，交BC 于点M ．⊥12BE EF BD DM == ， 设EF ＝x ，则DM ＝2x ，⊥DM AB 2AC =EF ，⊥225DM CD AF CA ==+，⊥AF ＝7x ，⊥AE ＝7x ﹣x ＝6x ＝4，⊥x ＝23，⊥EF ＝23， 故答案为：23． 7．如图，将矩形ABCD 绕着点B 逆时针旋转得到矩形GBEF ，使点C 恰好落到线段AD 上的E 点处，连接CE ，连接CG 交BE 于点H ．(1)求证：CE 平分⊥BED ；(2)取BC 的中点M ，连接MH ，求证：MH ∥BG ；(3)若BC ＝2AB ＝4，求CG 的长．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)7【解析】(1)⊥四边形ABCD 是矩形，⊥BC =BE ，DE ∥BC ，⊥⊥BEC =⊥BCE ，⊥BCE =⊥DEC ，⊥⊥BEC =⊥DEC ，⊥CE 平分⊥BED ．(2)过点C 作CN ⊥BE ，垂足为N ，⊥四边形ABCD 是矩形，⊥CD ⊥DE ，⊥CE 平分⊥BED ，⊥CD =CN ，⊥矩形ABCD 绕着点B 逆时针旋转得到矩形GBEF ，⊥CD =BG ，⊥GBH =⊥CNH =90°，⊥CN =BG ，⊥BHG =⊥NHC ，⊥△BHG ⊥△CHN ，⊥HG =HC ，⊥H 是GC 的中点，⊥BC 的中点是M ，⊥MH 是△BGC 中位线，⊥MH ∥BG ．(3)过点C 作CN ⊥BE ，垂足为N ，⊥四边形ABCD 是矩形，BC ＝2AB ＝4，矩形ABCD 绕着点B 逆时针旋转得到矩形GBEF ，⊥GB ⊥BH ，GB =BM =2，⊥MH 是△BGC 中位线，⊥MH =1，⊥⊥HBM =⊥QGB ，⊥GB =BM =2，⊥BHM =⊥GQB ，⊥△QBG ⊥△HMB ，⊥QB =MH =1，GQ =BH 3QC =5，⊥CG 22(3)52827+=．8．如图，在正方形ABCD 中，点E 是CD 中点，连接AE ．过点C 作CF AE ⊥，交AE 的延长线于点F ，连接DF ．过点D 作DG DF ⊥交AF 于点G ．若2DF =，则正方形ABCD 的边长为________．10【详解】解：⊥四边形ABCD 是正方形，⊥AD =CD ，⊥ADC =90°，⊥⊥DAE +⊥AED =90°，⊥CF ⊥AE ，⊥⊥ECF +⊥CEF =90°，⊥⊥DAE =⊥ECF ，同理，⊥⊥ADG +⊥GDE =90°，⊥GDE +⊥CDF =90°，在⊥AGD 与⊥CFD 中，DAE ECF AD CD ADG CDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，⊥⊥AGD ⊥⊥CFD （ASA ），⊥DG =DF ，AG =CF ，⊥DG ⊥DF ，⊥⊥DGF 是等腰直角三角形，⊥2222GF DG DF +=过点D 作DK ⊥AE 于点K ，则122DK GK GF === ， 在⊥DKE 与⊥CFE 中，DEK CEF DKE CFE DE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥⊥DKE ⊥⊥CFE （AAS ），⊥DK =CF ，⊥2AG CF DK GK ====⊥22AK =⊥2210AD AK DK +10．9．已知：如图，AC ⊥BD ，AE 、BE 分别平分⊥CAB 和⊥ABD ，点E 在CD上．用等式表示线段AB 、AC 、BD 三者之间的数量关系，并证明．【答案】AC +BD =AB ，理由见见解析【详解】解：AC +BD =AB ，证明如下：在BA 上截取BF =BD ，连接EF ，如图所示：⊥AE 、BE 分别平分⊥CAB 和⊥ABD ，⊥⊥EAF =⊥EAC ，⊥EBF =⊥EBD ，在⊥BEF 和⊥BED 中，BF BD EBF EBD BE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥BEF BED ≌（SAS ），⊥⊥BFE =⊥D ，⊥AC ⊥BD ，⊥⊥C +⊥D =180°，⊥⊥AFE +⊥BFE =180°，⊥⊥AFE +⊥D =180°，⊥⊥AFE =⊥C ，在⊥AEF 和⊥AEC 中，EAF EAC AFE C AE AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥AEF AEC ≌（AAS ），⊥AF =AC ，⊥AF +BF =AB ，⊥AC +BD =AB ．10．如图1，ΔΔRt ABF Rt CBE ≌，90ABC ∠=︒，点E ，F 分别在边AB，BC 上，点M 为AF 中点．(1)请直接写出线段CE 与BM 的关系；(2)连接EF ，将EBF ∆绕点B 逆时针旋转至如图2位置，请写出CE 与BM 的关系，并说明理由；(3)在EBF ∆绕点B 旋转的过程中，当B ，C ，E 三点共线时，若3BC =，2EF =CM 的长．【答案】(1)2CE BM = ，CE BM ⊥；(2)2CE BM = ，CE BM ⊥，理由见解析；(3)13CM =10【解析】(1)2CE BM =，CE BM ⊥，理由如下，设BM 与CE 相交于点N ，如图，⊥Rt ABF Rt CBE ≅△△，⊥ABC =90°，⊥AF =CE ，⊥A =⊥C ，⊥⊥A +⊥AFB =90°，⊥M 为AF 的中点，⊥BM =AM =FM =12AF ，⊥BM =12CE ，即2BM =CE ，⊥AFB =⊥CBM ，⊥⊥C +⊥CBM =90°，⊥⊥CNB =90°，⊥BM ⊥CE ，故BM 与CE 的关系为：2CE BM =，CE BM ⊥，(2)2CE BM =，CE BM ⊥，理由如下：证明：延长AB 至点N ，使NB AB =，连接NF⊥M 为AF 的中点，B 为AN 中点⊥BM 为ANF 的中位线⊥2NF BM =⊥90ABC ∠=︒，90EBF ∠=︒，⊥ABE ABF CBF ABF ∠+∠=∠+∠，⊥ABE CBF ∠=∠，⊥90ABC ∠=︒，AB BC BN ==，⊥CBA ABE CBN CBF ∠+∠=∠+∠，⊥CBE NBF ∠=∠，又⊥BE BF =，⊥()CBE NBF SAS ≅△△，⊥NF CE =，⊥2CE BM =，⊥BM 为ANF 的中位线，⊥BM FN ∥，⊥MBA N ∠=∠，⊥CBE NBF ≅△△，⊥ECB N ∠=∠，⊥MBA ECB ∠=∠，⊥90MBA CBM ∠+∠=︒，⊥90ECB CBM ∠+∠=︒，⊥CE BM ⊥，综上2CE BM =且CE BM ⊥；(3)当点E 在CB 的延长线上时，如图，⊥⊥ABC =⊥ABE =90°，AB =BC =3，BE =BF ，⊥在等腰Rt ⊥BEF 中，有EF 22，又⊥EF 2⊥BE =BF =1，⊥AF =AB -EF =3-1=2，⊥M 为AF 的中点，⊥FM =12AF =1，⊥22223213CM BC BM ++=当点E 在CB 上时，如图，同理可求得BF =BE =1，⊥AF =AB +BF =3+1=4，⊥M 为AF 的中点，⊥FM =12AF =2，⊥BM =FM -BF =2-1=1， ⊥22223110CM BC BM ++ 即CM 1310．11．在四边形ABCD 中，180B D ∠+∠=︒，对角线AC 平分⊥BAD ．(1)推理证明：如图1，若120DAB ∠=︒，且90D ∠=︒，求证：AD AB AC +=；(2)问题探究：如图2，若120DAB ∠=︒，试探究AD 、AB 、AC 之间的数量关系；(3)迁移应用：如图3，若90DAB ∠=︒，AD =2，AB =4，求线段AC 的长度．【答案】(1)见解析；(2)AD AB AC +=；(3)32AC =【解析】(1)证明：⊥AC 平分BAD ∠，⊥12DAC BAC DAB ∠=∠=∠， 又⊥120DAB ∠=，⊥60DAC BAC ∠=∠=，又⊥180B D ∠+∠=，90D ∠=，⊥90B D ∠=∠=，⊥30ACD ACB ∠=∠=︒，⊥12AD AC =，12AB AC =， ⊥AD AB AC +=．(2)解：AD AB AC +=；过点C 作CE AD ⊥于点E ，过点C 作CF AE ⊥的延长线于点F ，⊥AC 平分BAD ∠，⊥CE CF =，90DEC CFB ∠=∠=，⊥180D ABC ∠+∠=，而180ABC FBC ∠+∠=，⊥D FBC ∠=∠，在BFC △与DEC 中D FBC DEC BFC CE CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥()AAS BFC DEC ≌，⊥DF BF =，⊥AD AB AE DE AF BF AE AF +=++-=+，由（1）知AE AF AC +=，⊥AD AB AC +=．(3)过点C 作CM AB ⊥于点M ，过点C 作CN AD ⊥的延长线于点N ，由（2）知：CDN CBM ∆∆≌，⊥DN BM =，⊥AD AB AN DN AM BM AN AM +=-++=+，而90DAB ∠=︒，AC 平分BAD ∠，⊥45NAC MAC ACN ∠=∠=∠=︒，⊥2AN AM NC AC ===，⊥2AD AB AN AM +=+=， 又2AD =，4AB =，⊥32AC =12．如图，点F 在四边形ABCD 的边AB 上．(1)如图1，当四边形ABCD 是正方形时，过点B 作BE CF ⊥，垂足为O ，交AD 于点.E 求证：BE CF =；(2)当四边形ABCD 是矩形，6AD =，8AB =时，①如图2，点P 是BC 上的一点，过点P 作PE CF ⊥，垂足为O ，点O 恰好落在对角线BD 上，求OC OE 的值； ②如图3，点P 是BC 上的一点，过点P 作PE CF ⊥，垂足为O ，点O 恰好落在对角线BD 上，延长EP 、AB 交于点G，当2BG =时，请直接写出DE 的值．【答案】(1)证明见解析；(2)①34；②83． 【解析】(1)证明：四边形ABCD 是正方形，AB BC ∴=，90A FBC ∠=∠=︒，BE CF ⊥于点O ，90BOC ∴∠=︒，90ABE OBC BCF ∴∠=︒-∠=∠，ABE ∴⊥()BCF ASA ， BE CF ∴=．(2)解：①如图2，过O 作OM AD ⊥于点M ，ON CD ⊥于点N ，则90OMD OND ∠=∠=︒，四边形ABCD 是矩形，6BC AD ∴==，8AB CD ==，90MDN A BCD ∠=∠=∠=︒，∴四边形OMDN 是矩形，90MON ∴∠=︒，PE CF ⊥于点O ，90COE ∴∠=︒，90CON EOM EON ∴∠=∠=︒-∠，90ONC OME ∠=∠=︒，ONC ∴⊥OME ，OC ON OE OM ∴=， OND BCD ∠=∠，//ON BC ∴， DON ∴⊥DBC △，ON OD BC BD ∴=，同理OM OD AB BD =， ON OM BC AB ∴=，ON BC OM AB ∴=，6384OC BC OE AB ∴===； ②如图3，连接CE 、CG ，90ABC ∠=︒，18090PBG ABC ∴∠=︒-∠=︒，90PBG POC ∴∠=∠=︒，BPG OPC ∠=∠，BPG ∴⊥OPC ，PB PG PO PC ∴=，PB PO PG PC ∴=，OPB CPG ∠=∠，OPB ∴⊥CPG △，CBD OGC ∴∠=∠， 34OC OE =，6384CB CD ==；OC CB OE CD ∴=， 90COE BOD ∠=∠=︒，COE ∴⊥BOD ，CDB OEC ∴∠=∠，90OGC OEC CBD CDB ∴∠+∠=∠+∠=︒，90ECG ∴∠=︒，90BCG DCE BCE ∴∠=∠=︒-∠，90CBG CDE ∠=∠=︒，CBG ∴△⊥CDE △，34BG CB DE CD ∴==，4482333DE BG ∴==⨯=． 13．将一块足够大的直角三角板的直角顶点P 放在边长为1的正方形ABCD 的对角线AC 上滑动,一条直角边始终经过点B ,另一条直角边与射线DC 交于点E ．(1)当点E 在边DC 上时（如图1），求证：①⊥PBC ⊥⊥PDC ；②PB =PE ．(2)当点E 在边DC 的延长线上时（如图2）,（1）中的结论②还成立吗？如果不成立，请说明理由；如果成立，请给予证明．【答案】(1)①见解析；②见解析(2)（1）中的结论②仍然成立，证明见解析【解析】(1)①⊥四边形ABCD 是正方形，⊥BC =CD ,⊥BCP =⊥DCP=45°,又⊥CP =CP ，⊥⊥PBC ⊥⊥PDC ，②过点P 分别作PF ⊥BC 于点F ，PG ⊥CD 于点G ，易证四边形PFCG 为正方形，⊥⊥BFP =⊥EGP=90°，PF =PG ，⊥⊥EPG+⊥EPF=90°=⊥BPF+⊥EPF ，⊥⊥BFP =⊥EGP ⊥⊥PGE ⊥⊥PFB (ASA)，⊥PB =PE .(2)PB =PE 成立，证明：设PE 交BC 于点O ，⊥⊥BPE =⊥BCE=90°，⊥BOP =⊥COE ，⊥⊥PBC =⊥PEC ，由（1）得：⊥PBC =⊥PDC ，⊥⊥PDC =⊥PEC ，PB =PD ，⊥PE =PD=PB ，故（1）中的结论②仍然成．14．在ABC 中，22BAC ABC ACB ∠=∠=∠，D 是BC 所在直线上的一个动点（点D 不与点B 、点C 重合），以AD 为边在AD 右侧作正方形ADEF ，连接CF ．(1)观察发现：如图1，当点D 在线段BC 上时，①BC 、CF 的位置关系为___________；②BC 、CD 、CF 之间的数量关系为___________．(2)探究证明：如图2，当点D 在线段CB 的延长线上时，（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由．(3)问题解决：如图3，当点D 在线段BC 的延长线上时，延长BA 交CF 于点G ，连接GE .若62AB =4BC CD =时，直接写出GE 的长．【答案】(1)①BC CF ⊥，②BC CF CD =+；(2)（1）中结论①成立，②不成立，理由见解析； (3)310【解析】(1)①在正方形ADEF 中，AD =AF ，⊥DAF =90°，⊥⊥BAC =90°，⊥⊥BAC =⊥DAF =90°⊥⊥BAD =⊥CAF ，在△DAB 与△F AC 中，AD AF BAD CAF AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥⊥DAB ⊥⊥F AC （SAS ），⊥⊥ABD =⊥ACF ，⊥⊥ACB +⊥ACF =⊥ACB +⊥ABD =180°-⊥BAC =90°，⊥BC ⊥CF ；故答案为：BC ⊥CF ；②由①知，△DAB ⊥⊥F AC ，⊥BD =CF ，⊥BC =BD +CD ，⊥BC =CF +CD ；故答案为：BC =CF +CD ；(2)（1）中结论①成立．②不成立．理由如下：⊥四边形ADEF 是正方形：⊥AD AF =，90DAF ∠=︒．⊥22BAC ABC ACB ∠=∠=∠，180BAC ABC ACB ∠+∠+∠=︒，⊥90BAC ∠=︒，45ABC ACB ∠=∠=︒，⊥AB AC =，BAC DAF ∠=∠，⊥BAD CAF ∠=∠，⊥()SAS DAB FAC △△≌，⊥135ABD ACF ∠=∠=︒，=CF BD ． ⊥45ACB ∠=︒，⊥1354590DCF ACF ACB ∠=∠-∠=︒-︒=︒，⊥CF BD ⊥． ⊥BC CD BD =-，⊥BC CD CF =-．⊥（1）中结论①成立．②不成立．(3)如图，作AH BC ⊥于点H ，EM BD ⊥于点M ，EN CF 于点N ．易证90BAC ∠=︒，45ABC ACB ∠=∠=︒，⊥AB AC =，⊥BH CH =，⊥6212sin 452AB BC ==︒，⊥6AH BH CH ===． ⊥4BC CD =，3CD =，⊥9DH =．由（2）得BC CF ⊥，15CF BD ==．⊥BC CF ⊥，EM BD ⊥，EN CF ，⊥四边形CMEN 是矩形，⊥NE CM =，EM CN =． ⊥90AHD ADE EMD ∠=∠=∠=︒，⊥90ADH EDM ∠+∠=︒，90EDM DEM ∠+∠=︒，⊥ADH DEM =∠∠． ⊥AD DE =，⊥()ADH DEM AAS △△≌，⊥9EM DH ==，6DM AH ==， ⊥9CN EM ==，9669EN CM DH DM CH ==+-=+-=．⊥45ABC ∠=︒，⊥45BGC ∠=︒，⊥12CG BC ==，⊥1293GN CG CN =-=-=． ⊥2239310EG +=15．【探究建模】已知正方形ABCD ，E ，F 为平面内两点．(1)如图1，当点E 在边AB 上时，DE ⊥DF ，且B ，C ，F 三点共线．求证：AE ＝CF ；(2)【类比应用】如图2，当点E 在正方形ABCD 外部时，DE ⊥DF ，AE ⊥EF ，且E ，C ，F 三点共线．①（1）中的结论AE＝CF还成立吗？请说明理由；②猜想并证明线段AE，CE，DE之间的数量关系．【答案】(1)见解析；(2)①成立，理由见解析；②EA+EC2，证明见解析【解析】(1)证明：⊥四边形ABCD是正方形，⊥DA＝DC，⊥A＝⊥ADC＝⊥DCB＝90°，⊥DE⊥DF，⊥⊥EDF＝⊥ADC＝90°，⊥⊥ADE＝⊥CDF，在⊥DAE和⊥DCF中，ADE CDF AD CDA DCF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，⊥⊥DAE⊥⊥DCF（ASA），⊥AE＝CF．(2)解：①（1）中的结论AE＝CF还成立．证明：⊥四边形ABCD是正方形，⊥DA＝DC，⊥DAB＝⊥ADC＝⊥DCB＝⊥DCF＝90°，⊥DE⊥DF，⊥⊥EDF＝⊥ADC＝90°，⊥⊥ADE＝⊥CDF，⊥AE⊥EF，⊥⊥AEF＝90°，⊥⊥DAE+⊥DCE＝180°，⊥⊥DCF+⊥DCE＝180°，⊥⊥DAE＝⊥DCF，在⊥DAE和⊥DCF中，ADE CDFAD CDDAE DCF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，⊥⊥DAE⊥⊥DCF（ASA），⊥AE＝CF．②解：结论：EA+EC2．理由：由①知，⊥DAE⊥⊥DCF（ASA），⊥AE＝CF，DE=DF，∥ADE=∥CDF,⊥∥EDF=90°，⊥⊥DEF为等腰直角三角形，⊥EF2⊥FC+EC2．⊥AE+EC2．。

中考数学复习《全等三角形》专题训练-附带参考答案

中考数学复习《全等三角形》专题训练-附带参考答案

中考数学复习《全等三角形》专题训练-附带参考答案一、选择题1．下列选项中表示两个全等的图形的是（）A．形状相同的两个图形B．周长相等的两个图形C．面积相等的两个图形D．能够完全重合的两个图形2．如图，点D、E分别在线段AB、AC上，BE、CD相交于点O，AE＝AD，则不一定能使△ABE≌△ACD的条件是（）A．AB＝AC B．∠B＝∠CC．∠AEB＝∠ADC D．CD＝BE3．如图是用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明∠CAD=∠DAB的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS4．如图△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE=65°，则∠CAF的度数为（）A．25°B．30°C．35°D．65°5．如图EF=CF，BF=DF则下列结论不一定正确的是（）A．△BEF≌△DCF B．△ABC≌△ADEC．DC=AC D．AB=AD6．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．57．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，点E，BE、CD相交于点O．∠1＝∠2，则图中全等三角形共有（）A．2对B．3对C．4对D．5对8．如图，AD 是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为12，DE =2，AB = 7，则 AC 的长是（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题9．如图，∠ACD＝∠BCE，BC＝EC，要使△ABC≌△DEC，则可以添加的一个条件是．10．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AB=8，AD是△ABC的一条角平分线．若CD=2，则△ABD的面积为．11．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，若BD＝4cm，CE＝3cm则DE= cm．12．如图，把两根钢条AB，CD的中点连在一起做成卡钳，已知AC的长度是6cm，则工件内槽的宽BD是cm．13．如图，△ABC为等腰直角三角形AC=BC，若A(−3，0)，C(0，2)，则点B的坐标为.三、解答题14．如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A=50°（1）求证：△ADE≌△CDE．（2）求∠BDC度数．15．如图，已知，EC＝AC，∠BCE＝∠DCA，∠A＝∠E.（1）求证：BC＝DC；（2）若∠A ＝25°，∠D ＝15°，求∠ACB 的度数.16．如图，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE.（1）求证：△ABD ≌△ACE ；（2）若∠1＝25°，∠2＝30°，求∠3的度数.17．如图，在ABC 中90C ∠=︒，BD 是ABC ∠的平分线，DE AB ⊥于点E ，点F 在BC 上，连接DF ，且AD DF =． (1)求证：CF AE =；(2)若3AE =，BF=4，求AB 的长．18．如图，∠BAD ＝∠CAE ＝90°，AB ＝AD ，AE ＝AC ，AF ⊥CB ，垂足为F ．(1)求证：△ABC ≌△ADE ；(2)求∠FAE 的度数；(3)求证：CD ＝2BF+DE ．1．D2．D3．D4．A5．C6．B7．C8．C9．AC ＝DC （答案不唯一）10．811．712．613．(2，-1)14．（1）证明：∵DE 是线段AC 的垂直平分线 ∴DA=DC ，AE=CE在△ADE 与△CDE 中：DA=DCAE=CEDE=DE∴△ADE ≌△CDE （SSS ）；（2）解：∵△ADE ≌△CDE ．∴∠DCA=∠A=50°∴∠BDC=∠DCA+∠A=100°15．（1）证明：∵∠BCE ＝∠DCA∴∠BCE +∠ACE ＝∠DCA +∠ECA即∠BCA ＝∠DCE .在△BCA 和△DCE 中{∠BCA =∠DCE AC =EC ∠A =∠E∴△BCA ≌△DCE （ASA ）（2）解：∵△BCA ≌△DCE∴∠B ＝∠D ＝15°.∵∠A ＝25°∴∠ACB ＝180°−∠A −∠B ＝140°.16．（1）证明：∵∠BAC ＝∠DAE∴∠BAC ﹣∠DAC ＝∠DAE ﹣∠DAC∴∠1＝∠EAC在△ABD 和△ACE 中{AB =AC ∠1=∠EAC AD =AE∴△ABD ≌△ACE （SAS ）（2）解：∵△ABD ≌△ACE∴∠ABD ＝∠2＝30°∵∠1＝25°∴∠3＝∠1+∠ABD ＝25°+30°＝55°.17．（1）证明：（1）∵90C ∠=︒∴DC BC ⊥又∵BD 是ABC ∠的平分线DE AB ⊥∴DE DC = 90AED ∠=︒在Rt AED △和Rt FCD △中∵AD DFDE DC =⎧⎨=⎩∴()Rt Rt AED FCD HL ≌△△∴CF AE =．（2）解：由（1）可得3CF AE ==∴437BC BF CF =+=+=∵DE AB ⊥∴90DEB ∠=︒∴DEB C ∠=∠∵BD 是ABC ∠的平分线∴ABD CBD ∠=∠在BED 和BCD △中∵DEB C EBD CBD BD BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()BED BCD AAS ≌△△ ∴7BE BC ==∴7310AB BE AE =+=+=∴AB 的长为10．18．（1）证明：∵90BAD CAE ∠=∠=︒∴90BAC CAD ∠+∠=︒ 90CAD DAE ∠+∠=︒ ∴BAC DAE ∠=∠在△BAC 和△DAE 中∵AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()BAC DAE SAS ≌△△；（2）解：∵90CAE ∠=︒，AC=AE∴45E ∠=︒由（1）知BAC DAE ≌△△∴45BCA E ∠=∠=︒∵AF BC ⊥∴90CFA ∠=︒∴45CAF ∠=︒∴4590135FAE FAC CAE ∠=∠+∠=︒+︒=︒；（3）证明：延长BF 到G ，使得FG FB = ∵AF BG ⊥∴90AFG AFB ∠=∠=︒在△AFB 和△AFG 中∴BF GF AFB AFG AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AFB AFG SAS ≌△△∴AB AG = ABF G ∠=∠∵BAC DAE ≌△△∴AB AD = CBA EDA ∠=∠ CB=ED ∴AG AD = ABF CDA ∠=∠∴CGA CDA ∠=∠∵45GCA DCA ∠=∠=︒∴在△CGA 和△CDA 中GCA DCA CGA CDA AG AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()CGA CDA AAS ≌△△∴CG CD =∵22CG CB BF FG CB BF DE BF =++=+=+ ∴2CD BF DE =+．。

全等三角形经典题型50题[含答案解析]

全等三角形经典题型50题[含答案解析]

全等三角形证明经典50题（含答案）1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD延长AD 到E,使DE=AD,则三角形ADC 全等于三角形EBD即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE 即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6 又AD 是整数,则AD=52. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD AB3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2ADBC证明：连接BF 和EF 。

因为BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF。

所以 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)。

所以 BF=EF,∠CBF=∠DEF。

连接BE 。

在三角形BEF 中,BF=EF 。

所以 ∠EBF=∠BEF。

又因为 ∠ABC=∠AED。

所以 ∠ABE=∠AEB。

所以 AB=AE 。

在三角形ABF和三角形AEF中，AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF。

所以 三角形ABF 和三角形AEF 全等。

所以∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。

4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 证明：过E 点，作EG//AC ，交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA，∠DGE=∠2又∵CD=DE ∴⊿ADC≌⊿GDE（AAS）BACDF2 1 E∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C证明：在AC 上截取AE=AB ，连接ED ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB ，AD=AD ∴⊿AED≌⊿ABD （SAS ）∴∠AED=∠B ，DE=DB∵AC=AB+BDAC=AE+CE ∴CE=DE∴∠C=∠EDC∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 证明：在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF 因为CE⊥AB所以∠CEB＝∠CEF＝90° 因为EB ＝EF ，CE ＝CE ， 所以△CEB≌△CEF所以∠B ＝∠CFE因为∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180° 所以∠D＝∠CFA 因为AC 平分∠BAD所以∠DAC＝∠FAC又因为AC ＝AC所以△ADC≌△AFC（SAS ） 所以AD ＝AF 所以AE ＝AF ＋FE ＝CDB AAD ＋BE12. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。

八年级全等三角形专题练习(解析版)

八年级全等三角形专题练习(解析版)

一、八年级数学全等三角形解做题压轴题〔难〕1. 〔1〕如图〔1〕,：在△ ABC中,N BAC=90.,AB二AC,直线m经过点A, 8口,直线m, CE J_直线m,垂足分别为点D、E.证实:DE=BD+CE.〔2〕如图〔2〕,将〔1〕中的条件改为：在△ ABC中,AB=AC, D、A、E三点都在直线m 上,并且有N BDA=Z AEC=Z BAC=.,其中.为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立? 如成立,请你给出证实;假设不成立,请说明理由.〔3〕拓展与应用：如图〔3〕 , D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点〔D、A、E 三点互不重合〕,点F为N BAC平分线上的一点,且△ ABF和^ ACF均为等边三角形,连接BD、CE,假设N BDA=Z AEC=Z BAC,试判断△ DEF 的形状.【答案】(1)见解析(2)成立(3) 4DEF为等边三角形【解析】解：(1)证实：BDL直线m, CEJ_直线m,,N BDA=N CEA=900.: Z BAC=90°, /. Z BAD+Z CAE=90°.•/ Z BAD+Z ABD=90°, /. Z CAE=Z ABD.又AB二“AC〞,「・△ ADB合△ CEA (AAS) . /. AE=BD, AD=CE./. DE=,,AE+AD=H BD+CE.(2)成立.证实如下：: Z BDA =Z BAC=a , /. Z DBA+Z BAD=Z BAD+Z CAE=180°-O r . /. Z DBA=Z CAE.Z BDA=Z AEC=., AB=AC,「・△ AD於△ CEA (AAS). /. AE=BD, AD=CE.DE二AE+AD=BD+CE.(3)△ DEF为等边三角形.理由如下：由(2)知,△ ADB合△ CEA, BD=AE, Z DBA =Z CAE,: △ ABF 和^ ACF 均为等边三角形,J Z ABF=Z CAF=60°.・•, Z DBA+Z ABF=Z CAE+Z CAF. /. Z DBF=Z FAE.; BF=AF,,•・丛DBF合△ EAF (AAS) . /. DF=EF, Z BFD=Z AFE.・•, Z DFE=Z DFA+z AFE=Z DFA+Z BFD=60°.・•.A DEF为等边三角形.(1)由于DE=DA+AE,故由AAS证△ ADB合4 CEA,得出DA=EC, AE=BD,从而证得DE=BD+CE.(2)成立,仍然通过证实△ ADB2 J CEA,得出BD=AE, AD=CE,所以DE=DA+AE=EC+BD.(3)由△ ADB2△ CEA得BD=AE, NDBA=N CAE,由△ ABF和△ ACF均等边三角形,得Z ABF=Z CAF=60°, FB=FA,所以N DBA+N ABF=N CAE+N CAF,即N DBF二N FAE,所以△ DBF^ △ EAF,所以FD=FE, Z BFD=Z AFE,再根据N DFE=Z DFA+Z AFE=Z DFA+Z BFD=60°得到△ DEF是等边三角形.2.如图1,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,点E在AD的延长线上,且PA=PE, PE 交CD 于 F〔1〕证实：PC=PE；〔2〕求N CPE的度数：〔3〕如图2,把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变,当N ABC=12〔T时,连接【答案】(1)证实见解析(2) 90° (3) AP=CE【解析】【分析】(1)、根据正方形得出AB=BC, ZABP=ZCBP=45%结合PB=PB得出aABP g^CBP,从而得出结论：⑵、根据全等得出NBAP=NBCP, ZDAP=ZDCP,根据PA=PE得出NDAP=NE,即ZDCP=ZE,易得答案；(3)、首先证实4ABP和^CBP全等,然后得出PA=PC, NBAP=NBCP,然后得出NDCP二NE,从而得出NCPF=NEDF=60°,然后得出AEPC是等边三角形,从而得出AP=CE.【详解】⑴、在正方形ABCD 中,AB=BC, ZABP=ZCBP=45%在ZkABP 和4CBP 中,XV PB=PB AAABP^ACBP (SAS) , ,PA=PC, VPA=PE>:.PC=PE；⑵、由(1)知,A ABP^ACBP,.\ZBAP=ZBCP, JNDAP=NDCP,VPA=PE, .\ZDAP=ZE> /. ZDCP=ZE. VZCFP=ZEFD (对顶角相等), A180° - ZPFC - ZPCF=1800 - ZDFE - NE, BPZCPF=ZEDF=90<>：⑶、AP = CE理由是：在菱形ABCD 中,AB=BC, NABP二NCBP,在2\ABP ^lACBP 中,XV PB=PB /.△ABP^ACBP (SAS),,PA二PC, NBAP=NDCP,VPA=PE,,PC=PE,,NDAP=NDCP, V PA=PC,/DAP=NE, A ZDCP=ZE V ZCFP=ZEFD (对顶角相等),A180°- ZPFC - ZPCF=180° - ZDFE - NE, RPZCPF=ZEDF=180° - ZADC=180° - 120°=60°, AAEPC 是等边三角形,,PC=CE, AAP=CE考点：三角形全等的证实3.如图,在AA8C中,NAC8为锐角,点£＞为射线8C上一动点,连接AO.以AO为直角边且在AD的上方作等腰直角三角形ADF.图①图②图③〔1〕假设A3 = AC, ABAC = 90°①当点.在线段BC上时〔与点3不重合〕,试探讨CF与8.的数量关系和位置关系：②当点O在线段C的延长线上时,①中的结论是否仍然成立,请在图2中而出相应的图形并说明理由；〔2〕如图3,假设ABwAC, ABAC90° , ZBC4 = 45°,点.在线段8C上运动,试探究CF与8.的位置关系.【答案】〔1〕①CF_LBD,证实见解析：②成立,理由见解析：〔2〕 CF1BD,证实见解析.【解析】【分析】〔1〕①根据同角的余角相等求出NCAF=NBAD,然后利用"边角边"证实4ACF和4ABD全等,②先求出NCAF=NBAD,然后与①的思路相同求解即可：〔2〕过点A作AE_LAC交BC于E,可得4ACE是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质可得AC=AE, NAED=45.,再根据同角的余角相等求出NCAF=NEAD,然后利用“边角边〞证实4ACF 和4AED全等,根据全等三角形对应角相等可得NACF=NAED,然后求出ZBCF=90°,从而得到CFJ_BD.【详解】解：〔1〕①•••NBAC=90°, 4ADF是等腰直角三角形,.\ZCAF+ZCAD=90% ZBAD+ZACD=90°,.\ZCAF=ZBAD,在4ACF和4ABD中,VAB=AC, ZCAF=ZBAD, AD=AF,.,.△ACF^AABD〔SAS〕,.・.CF=BD, ZACF=ZABD=45",ZACB=45",AZFCB=90°,.-.CF±BD：②成立,理由如下：如图2：VZCAB=ZDAF=90%,ZCAB+ ZCAD= ZDAF+ ZCAD, 即NCAF=NBAD,在aACF和AABD中,VAB=AC, ZCAF=ZBAD, AD=AF, AAACF^AABD(SAS), ACF=BD, NACF=NB,VAB=AC, ZBAC=90%AZB=ZACB=45%/. Z BCF= ZACF+ ZACB=45o+45o=90°,ACF1BD：(2)如图3,过点A作AE_LAC交BC于E,•/ ZBCA=45",••.△ACE是等腰直角三角形,,AC=AE, NAED=45°, VZCAF+ZCAD=90°, ZEAD+ZCAD=90%,NCAF=NEAD,在4ACF和4AED中,VAC=AE, NCAF=NEAD, AD=AF,.•.△ACF^AAED(SAS), /. ZACF=ZAED=45\,ZBCF= ZACF+ ZBCA=45o+45°=90°, ACF1BD.【点睛】此题考查全等三角形的动点问题,综合性较强,有一定难度,需要熟练掌握全等三角形的判定和性质进行综合运用.4.如图〔1〕,在△A3C中,ZA = 90°, A3 = AC,点.是斜边8C的中点,点E, 产分别在线段A3, 4c上,且NEDF = 90..〔1〕求证：△.所为等腰直角三角形：〔2〕假设△ABC的面积为7,求四边形AEDF•的面积：〔3〕如图〔2〕,如果点E运动到A8的延长线上时,点尸在射线C4上且保持ZEDF = 90°,△.石尸还是等腰直角三角形吗.请说明理由.【答案】〔1〕证实见解析；〔2〕 3.5：〔3〕是,理由见解析.【解析】【分析】〔1〕由题意连接AD,并利用全等三角形的判定判定△ BD年△ ADF〔ASA〕,进而分析证得△.瓦'为等腰直角三角形；〔2〕由题意分析可得S网边形AEDF=S MDF+S AADE=S ABDE+S ACDF,以此进行分析计算求出四边形AEDF的面积即可；〔3〕根据题意连接AD,运用全等三角形的判定判定△ BDE^ △ ADF〔ASA〕,进而分析证得△.所为等腰直角三角形.【详解】解：〔1〕证实：如图①,连接AD.「N BAC=90°,AB=AC,点D是斜边BC的中点,/. AD±BC , AD=BD,・•, Z 1=Z B=45°,Z EDF=90% Z 2+Z 3=90%又,Z 3+Z 4=90°,/. Z 2=Z 4,在^ BDE 和^ ADF 中,Z 1=Z B, AD=BD,Z 2=Z 4,/. △ BDE合 , ADF(ASA),・•, DE二DF,又；Z EDF=90\・•・ ADEF为等腰直角三角形.(2)由(1)可知DE=DF, NON 6=45., 又「N 2+N 3=90°, Z 2+Z 5=90%J Z 3=Z 5,A ADE级△ CDF,・' S N边H,AEDF=S AADF+S CADE二S ABDE+S^CDF,S MBC=2 S 网边毛AEDF,S wijn；AEDF=3.5.(3)是,如图②,连接AD.•/ Z BAC=90\ AB=AC, D 是斜边BC 的中点,/. AD±BC Z AD=BD ,「・Z 1=45°,Z DAF=180°-Z l=180°-45°=135% Z DBE=180°-Z ABC=180°-45°=135%/. Z DAF=Z DBE,「Z EDF=90\/. Z 3+Z 4=90%又；Z 2+Z 3=90°,「・Z 2=Z 4,在仆BDE 和a ADF 中,Z DAF=Z DBE, AD=BD,N 2=Z 4,△ BDE合△ ADF(ASA),・•.DE=DB又：Z EDF=90\.•.A DEF为等腰直角三角形.【点睛】此题考查等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质,根据题意作辅助线构造出全等三角形是解题的关键.5.如图,在MBC中,ZC = 90°, AC = 3, BC = 7,点.是8c边上的动点,连接AD,以AO为斜边在A.的下方作等腰直角三角形AO石.(1)填空：AABC的面积等于—；(2)连接CE,求证：CE是NAC3的平分线；(3)点.在6C边上,且CO = 1,当.从点.出发运动至点3停止时,求点E相应的运动路程.王O 1 _【答案】〔I〕—：〔2〕证实见解析：〔3〕 3点【解析】【分析】〔1〕根据直角三角形的面积计算公式直接计算可得：〔2〕如下图作出辅助线,证实△AEM名ADEN 〔AAS〕,得至I] ME=NE,即可利用角平分线的判定证实：〔3〕由〔2〕可知点E在NACB的平分线上,当点D向点B运动时,点E的路径为一条直线,再根据全等三角形的性质得出CN=!〔AC + C.〕,根据CD的长度计算出CE的长度即可.【详解】解：〔1〕 ZC = 90°, AC = \ BC = 7= -ACxBC = -x3x7 = — ,故答案为：—2〔2〕连接CE,过点E作EMLAC于点M,作EN_LBC于点N,AZEMA=Z END=90°,XVZACB=90SAZMEN=90%AZMED+Z DEN=90°,•••△ADE是等腰直角三角形AZAED=90\ AE=DEA ZAEM+Z MED=90%, ZAEM=Z DEN,在△AEM 与ZkDEN 中,ZEMA=Z END=90% ZAEM=Z DEN, AE=DEAAAEM^ADEN 〔AAS〕/. ME=NE,点E 在NACB 的平分线上, 即CE 是NAC3的平分线工(3)由(2)可知,点E 在NACB 的平分线上,・•・当点D 向点B 运动时,点E 的路径为一条直线,VAAEM^ADEN,AM=DN,即 AC-CM=CN-CD在 RtZiCME 与 RtZkCNE 中,CE=CE, ME=NE,ARtACME^RtACNE (HL)ACM=CN.,.CN=；(AC + CO),又YNMCE 二NNCE=45°, ZCME=90\・,. CE= y/2CN = —(AC + CD).2当 AC=3, CD=CO=1 时,CE=](3 + 1) = 2&当 AC=3, CD=CB=7 时,5CE=r (3 + 7) = 5 虚,点E 的运动路程为：50-20 = 30,£【点睛】此题考查了全等三角形的综合证实题,涉及角平分线的判定,几何中动点问题,全等三角 形的性质与判定,解题的关键是综合运用上述知识点.6.如图1,在长方形ABCD 中,AB=CD=5 cm, BC=12 cm,点P 从点B 出发,以2cm/s 的 速度沿BC 向点C 运动,设点P 的运动时间为ts.(1) PC=—cm ：(用含t 的式子表示)■I) I)(2)当t 为何值时,△ABPg^DCP?.(3)如图2,当点P从点B开始运动,此时点Q从点C出发,以vcm/s的速度沿CD向点D运动,是否存在这样的v值,使得某时刻4ABP与以P, Q, C为顶点的直角三角形全等？假设存在,请求出v的值：假设不存在,请说明理由.【答案】(1) (12-2/)； (2)1 = 3;(3)存在,P = 2或忏1【解析】【分析】(1)根据P点的运动速度可得BP的长,再利用BC的长减去BP的长即可得到PC的长：(2)先根据三角形全等的条件得出当BP=CP,列方程求解即得；(3)先分两种情况：当BP=CQ, AB=PC 时,△ABPgZ\PCQ：或当BA=CQ, PB=PC 时,△ABPgaQCP,然后分别列方程计算出t的值,进而计算出v的值.【详解】解：(1)当点P以2cm/s的速度沿BC向点C运动时间为ts时3P = 2/57•・• BC = \2cin：.PC = BC-BP = (n-2i)cm故答案为：(12—27)(2) MBP = ^DCP・•. BP = CP・•・ 2/= 12-2/解得1 = 3.(3)存在,理由如下：①当BP=CQ, AB=PC 时,ZiABP名△PCQ,1. PC=AB=5.•.BP=BC-PC=12-5=7•・• BP = Item：.2t=7解得t=3.5.\CQ=BP=7,那么 3.5v=7解得y = 2.②当B4 = C.,PB = PC 时,MBP = \QCP,: BC = ncm,BP = CP = -BC = 6c7〃 2V BP = Item:.2t = 6解得/ = 3CQ = 3vcm,: AB = CQ = 5cm, 3v = 5解得U3综上所述,当u = 2或i,=,时,A48尸与以P, Q,C为顶点的直角三角形全等.【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质和矩形的性质,解题关键是将动态情况化为某一状态情况,并以这一状态为等量关系建立方程求解.7.：在MBC中,AB = AC,ZBAC = 90° ,尸Q为过点4的一条直线,分别过B、C两点作8M_LP0,CN_L尸.,垂足分别为M、N.(1)如图①所示,当P.与BC边有交点时,求证：MN = CN — BM ；(2)如图②所示,当与6C边不相交时,请写出线段8M、CN和MN之间的数量关系,并说明理由. 【答案】(1)见解析：(2) MN = BM + CN (或BM = MN — CN或CN = MN-BM ),理由见解析【解析】【分析】(1)根据条件先证AAA/i运ACN4,得到AM = CN,BM = AN,即可证得MN = CN — BM： (2)由(1)知AAMBYACNA,得到4M =CN,8M = AN,即可确定MN = BM + CN.【详解】证实：・・・BM_LPQ,CN_LP0,・•. ZAMB=ZCAN=90°,V ZBAC=90 ° ,AZCAN+ZACN=90°,ZCAN+ZBAM=90°(或NCW + NAC/V = NC4N+NMM)・•. ZBAM = ZACN,在AAMB和ACN4中,'ZAMB = 4CNA・.• ZBAM = AACN , AB = CA:.AAM“ACN4(A4S),.・.AM =CN,BM =AN,,: MN = AM-AN,:.MN = CN — BM.(2) MN = BM + CN (或BM=MN-CN或CN = MN-BM) .理由：•.・BM_LPQ,CN_LP.,・•・ ZAMB=ZCAN=90°,V ZBAC=90 ° ,.\ZCAN+ZACN=90°,ZCAN+ZBAM=90°(或NCW + NAC/V = NC4N+NBAM ),:.ZBAM = ZACN,在AAMB和ACNA中,'AAMB = ZCNAZ.B\M = ZACN , AB = CA：.AAM*ACNA( AAS),.・.AM =CN,BM =AN,:.MN = AN + AM = BM+CN.【点睛】此题考察三角形全等的应用,正确确定全等三角形是解题关键,由此得到对应相等的线段,确定它们之间的和差关系得到80、CN和MN之间的关系式.8.操作发现：如图,己知"配和"DE均为等腰三角形,AB=AC, AD=AE,将这两个三角形放置在一起,使点8, D, E在同一直线上,连接CE.(1)如图1, ZABC= ZACB= ZADE= ZAED=55Q,求证：△BADgZkCAE；(2)在(1)的条件下,求N8EC的度数：拓广探索：(3)如图2,假设NC48=NEAD=120.,8D=4, CF为aBCE中8E边上的高,请直接写出讦的长度.【答案】(1)见解析：(2) 70°； (3) 2【解析】【分析】(1)根据SAS证实△BADg/kCAE即可.(2)利用全等三角形的性质解决问题即可.(3)同法可证4BAD丝ZkCAE,推出EC=BD=4,由NBEC=NBAC=12O0,推出NFCE=30°即可解决问题.(1)证实：如图1中,图1Z ABC=^ ACB = Z ADE=N AED, /. Z EAD=Z CAB,：.Z EAC=A DAB,AE=AD. AC=AB9：.△ BAD^ & CAE (SAS).(2)解：如图1中,设AC交8E于O. •「N A8C=N4C8 = 55°,/. Z 84c=180° - 110° = 70°,BAD^△ CAE,Z ABO=Z ECO,Z EOC=ZAOB,・•, Z CEO = Z 840=70°,即 N BEC= 70°.(3)解：如图2中,A图2Z C48 = N EAD=120\•. Z BAD=A CAE,：AB=AC, AD=AE.△ BAD^ 4 CAE 〔SAS〕,•. Z BAD=A ACE. 8D=EC=4,同理可证N BEC- 8AC=120°,Z F£C=60%CFLEF,Z F=90",•. Z FCE=30\1•. EF=-EC=2. 2此题属于三角形综合题,考查了全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,属于中考常考题型.9.在等边aABC中,点.是边8C上一点.作射线AO,点3关于射线AO的对称点为点E.连接CE并延长,交射线AO于点〔1〕如图,连接AE,①AE与AC的数量关系是；②设NBA尸=a,用.表示NBCF的大小；〔2〕如图,用等式表示线段A尸,CF.所之间的数量关系,并证实.【答案】⑴①AB二AE；②NBCF=.：(2)AF-EF=CF,理由见详解.【解析】【分析】(1)①根据轴对称性,即可得到答案；②由釉对称性,得：AE二AB, NBAF=NEAF=.,由△A3C是等边三角形,得AB=AC, ZBAC=ZACB=60° ,再根据等腰三角形的性质和三角形内角和等于180°,即可求解：(2)作NFCG=60°交AD于点G,连接BF,易证AFCG是等边三角形,得GF=FC,再证△ACG会ABCF(SAS),从而得AG=BF,进而可得至lj结论.【详解】(1)①•・•点4关于射线的对称点为点E , AAB和AE关于射线AD的对称,AAB=AE.故答案是:AB=AE;②•.•点3关于射线的对称点为点E , ,AE二AB, NBAF=NEAF=.,•二△A3c是等边三角形,AAB=AC, ZBAC=ZACB=60" ,：.ZEAC=60° -2a, AE=AC,ZACE=1[180 - (60 - 2a)] = 60 +6?,A ZBCF=ZACE-ZACB=60 +a-60°=a .(2) AF-EF=CF,理由如下：作NFCG=60.交AD于点G,连接BF,•••NBAF=NBCF=a , NADB=NCDF,A ZABC=ZAFC=60c ,••.△FCG是等边三角形,AGF=FC,•二△A3c是等边三角形,ABC=AC, ZACB=60° , AZACG=ZBCF=« .在AACG和ABCF中,CA = CBZACG = ABCF , CG = CF,AACG 仝ABCF(SAS),.,.AG=BF,•・•点4关于射线AO的对称点为点E , .\AG=BF=EF,VAF-AG=GF,.\AF-EF=CE【点睛】此题主要考查等边三角形的性质和三角形全等的判定和性质定理,添加辅助线,构造全等三角形,是解题的关键.10.如图,AA8C是等边三角形,点.在边4c上〔“点D不与A,C重合〕,点石是射线5c上的一个动点〔点E不与点8,C重合〕,连接OE,以OE为边作作等边三角形hDEF,连接CF.〔1〕如图1,当.石的延长线与A3的延长线相交,且CF在直线OE的同侧时,过点D 作DG//AB, DG 交BC 于点、G ,求证：CF = EG ；〔2〕如图2,当.石反向延长线与A8的反向延长线相交,且.,尸在直线OE的同侧时,求证：CD = CE+CF；〔3〕如图3,当OE反向延长线与线段A8相交,且.,厂在直线O石的异侧时,猜测CD、CE、CP之间的等量关系,并说明理由.【答案】〔1〕证实见详解；〔2〕证实见详解：〔3〕 CF = CO-CE,理由见详解.【解析】【分析】(1)由AABC 是等边三角形,DG//AB,得NCDG=NA=60° , NACB=60.,ACDG 是等边三角形,易证AGDE仝ACDF(SAS),即可得到结论：(2)过点D作DG〃AB交BC于点G,易证A GDE仝△ CDF(SAS),即可得到结论；(3)过点D作DG〃AB交BC于点G,易证A GDE仝A CDF(SAS),即可得到结论.【详解】(1)•・• AA3C是等边三角形,DG//AB, ：.ZCDG=ZA=60° , ZACB=60° , ・•. ACQG是等边三角形,.\DG=DC.是等边三角形, .,.DE=DF, ZEDF=60° , A ZCDG-ZGDF=ZEDF-ZGDF,即：ZGDE=ZCDF, 在4 GDE和八CDF中,DE = DFNGDE = NCDF ,DG = DC.,.△GDE^A CDF(SAS),：.CF = EG ；(2)过点D作DG〃AB交BC于点G,如图2,•・• AABC是等边三角形,DG//AB、：.ZCDG=ZA=60° , ZACB=60" ,••・ACDG是等边三角形,:.DG=DC.•••ADE/是等边三角形,,DE=DF, ZEDF=60c ,A ZCDG-ZCDE=ZEDF-ZCDE> 即：ZGDE=ZCDF, 在4 GDE和^ CDF中,DE = DFNGDE = ZCDF ,DG = DC.,.△GDE^ACDF(SAS),:・CF = GE,••. CD = CG = CE+GE = CE+CF(3)CF = CD + CE,理由如下：过点D作DG〃AB交BC于点G,如图3,•・・AA8C是等边三角形,DGUAB, .,.ZCDG=ZA=60° , ZACB=60" ,,ACDG是等边三角形, ADG=DC=GC.•・• ADEF是等边三角形, ,DE=DF, ZEDF=60° ,A ZCDG+ZCDE=ZEDF+ZCDE,即：NGDE=NCDF, 在A GDE和4 CDF中,DE = DFNGDE = ZCDF , DG = DCAAGDE^ACDF(SAS),,CF = G£=GC+CE=CD+CE.【点睛】此题主要考查等边三角形的性质和三角形全等的判定和性质定理,添加辅助线,构造全等三角形,是解题的关键.。

初中数学《全等三角形》基本模型训练含解析

初中数学《全等三角形》基本模型训练含解析

全等三角形基本模型专项训练一、单选题1如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D，E分别在边BC及其延长线上，BD2+CE2=DE2，F为△ABC外一点，且FB⊥BC，FA⊥AE，则结论：①FA=AE；②∠DAE=45°；③S△ADE=14AD⋅EF；④CE2+BE2=2AE2，其中正确的是()A.①②③④B.①②④C.①③④D.①②【答案】A【分析】根据全等三角形的性质，证明△ABF和△ACE全等，即可得到FA=AE；连接DF如图见解析，证明△ADE和△ADF全等，即可得到∠DAE=45°；延长AD交EF于H如图见解析，利用等腰直角△AFE三线合一的性质，∠FAE=90°，∠DAE=45°∠DAE=45°，可知AH⊥EF，S△ADE=12AD⋅EH，HE=HF=12EF，即可判断③；在Rt△EBF和Rt△EAF中，利用勾股定理以及等式的性质，即可判断④．【详解】解：∵AB=AC，∠BAC=90°∴∠ABC=∠ACB=45°∴∠ACE=180°-∠ACB=135°∵FB⊥BC∴∠FBE=90°∴∠ABF=∠ABC+∠FBE=135°∴∠ABF=∠ACE∵FA⊥AE∴∠FAE=90°=∠BAC∴∠FAE-∠FAC=∠BAC-∠FAC即∠CAE=∠BAF在△ABF和△ACE中，∠ACE=∠ABF AC=AB∠CAE=∠BAF∴△ACE≌△ABF ASA∴FA=EA，故①正确；连接DF，如图：∵△ACE≌△ABF∴BF=CE在Rt△BDF中，BD2+BF2=DF2∴BD2+CE2=DF2∵BD2+CE2=DE2∴DE=DF∵AE=AF，AD=AD∴△ADE≌△ADF SSS∴∠DAE=∠DAF∴∠DAE=12∠EAF=45°，故②正确；延长AD交EF于H，如图：∵AE=AF，∠EAD=∠FAD∴AH⊥EF，HE=HF=12EF∴S△ADE=12AD⋅EH=12AD⋅12EF=14AD⋅EF，故③正确；在Rt△EBF中，BE2+BF2=EF2∵CE=BF∴BE2+CE2=EF2∵AE=AF，∠FAE=90°∴EF2=AE2+AF2=2AE2∴BE2+CE2=2AE2，故④正确，综上所述，正确的有①②③④，故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识．2如图所示，△ABC中，AC=BC，M、N分别为BC、AC上动点，且BM=CN，连AM、CN，当AM +BN最小时，CMCN=( )．A.2B.32C.54D.1【答案】D 【分析】过B 点在BC 下方作BH ∥AC ，且BH =AC ，链接BH ，AH ，先证明△BCN ≌△HBM ，即有BN =HM ，则AM +BN =AM +MH ，当A 、M 、H 三点共线时，AM +MH 值最小，再证明△ACM ≌△HBM ，问题随之得解．【详解】如图，过B 点在BC 下方作BH ∥AC ，且BH =AC ，链接BH ，AH ，∵BH ∥AC ，∴∠C =∠CBH ，∵BH =AC ，BM =CN ，∴△BCN ≌△HBM ，∴BN =HM ，∴AM +BN =AM +MH ，当A 、M 、H 三点共线时，AM +MH 值最小，如图，此时∵BH ∥AC ，∴∠C =∠CBH ，∠CAM =∠BHM ，∵AC =BC ，∴△ACM ≌△HBM ，∴CM =BM ，∵BM =CN ，∴CM CN=CM BM =1，故选：D ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，作出辅助线，构造全等三角形是解答本题的关键．3如图，正五边形ABCDE 中，点F 是边CD 的中点，AF ,BC 的延长线交于点N ，点P 是AN 上一个动点，点M 是BN 上一个动点，当PB +PM 的值最小时，∠BPN =()A.72°B.90°C.108°D.120°【答案】C【分析】本题考查了正多边形的定义，全等三角形的判定与性质等知识．连接BF ，EF ，PE ，EM ，根据全等三角形的判定与性质可得EP =BP ，则当E 、P 、M 三点共线，且EM ⊥BC 时，PB +PM 的值最小，过点E 作EH ⊥BC 于H ，交AF 于P ，分别求出∠BAP 和∠ABP 的度数，然后利用三角形外角的性质求解即可．【详解】解：连接BF ，EF ，PE ，EM ，∵正五边形ABCDE ，∴AE =AB =BC =ED ，∠BAE =∠AED =∠BCD =∠EDC =5-2 ×180°5=108°，∵点F 是边CD 的中点，∴CF =DF ，∴△BCF ≌△EDF SAS ，∴BF =EF ，又AE =AB ，AF =AF ，∴△AEF ≌△ABF SSS ，∴∠EAF =∠BAF =12∠BAE =54°，∴△AEP ≌△ABP SAS∴EP =BP ，∴PB +PM =EP +PM ≥EM ，∴当E 、P 、M 三点共线，且EM ⊥BC 时，PB +PM 的值最小，过点E 作EH ⊥BC 于H ，交AF 于P ，同理可求∠ABP =∠AEP =12∠AED =54°，∴∠BP N =∠BAP +∠ABP =108°，即当PB +PM 的值最小时，∠BPN =108°．故选：C ．4如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，以该三角形的三条边为边向外作正方形ABEF ，正方形BCGH 和正方形ACMN ，给出下列结论：①AB =MG ；②S △ABC =S △AFN ；③过点B 作BI ⊥EH 于点I ，延长B 交AC 于点J ，则AJ =CJ ．④若AB =1，则EH 2+FN 2=5．其中正确的结论个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线．首先根据题意证明出△ACB ≌△MCG SAS ，进而得到AB =MG ，即可判断①；过点F 作FO ⊥NA 交NA 延长线于点O ，证明出△AFO ≌△ABC AAS ，得到OF =BC ，然后利用三角形面积公式即可得到S △ABC =S △AFN ，即可判断②；过点A 作AP ⊥BJ 交BJ 的延长线于点P ，过点C 作CQ ⊥BJ ，证明出△ABP ≌△BEI AAS ，得到AP =BI ，同理得到CQ =BI ，得到CQ =AP ，然后证明出△AJP ≌△CJQ AAS ，得到AJ =CJ ，即可判断③；根据全等三角形的性质得到EH =2BJ ，然后利用勾股定理证明出EH 2=AC 2+4BC 2，同理得到NF 2=4AC 2+BC 2，然后得到EH 2+NF 2=5AB 2=5，即可判断④．【详解】∵在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，以该三角形的三条边为边向外作正方形ABEF ，正方形BCGH 和正方形ACMN ，∴AC =MC ，BC =GC ，∠MCA =∠GCB =90°∵∠ACB =90°∴∠MCG =∠ACB =90°∴△ACB ≌△MCG SAS∴AB =MG ，故①正确；如图所示，过点F 作FO ⊥NA 交NA 延长线于点O ，∵∠FAO +∠BAO =∠CAB +∠BAO =90°∴∠FAO =∠CAB又∵∠O =∠ACB =90°，AF =AB∴△AFO ≌△ABC AAS∴OF =BC∵AN =AC∵S △ANB =12AN ⋅OF ，S △ACB =12AC ⋅BC ∴S △ABC =S △AFN ，故②正确；如图所示，过点A 作AP ⊥BJ 交BJ 的延长线于点P ，过点C 作CQ ⊥BJ∵∠ABP +∠BEI =90°，∠EBI +∠BEI =90°∴∠ABP =∠BEI又∵∠P =∠BIE =90°，AB =BE∴△ABP ≌△BEI AAS∴AP =BI同理可证，△BCQ ≌△HBI AAS ∴CQ =BI∴CQ =AP∵∠P=∠CQJ=90°，∠AJP=∠CJQ∴△AJP≌△CJQ AAS∴AJ=CJ，故③正确；∵△ABP≌△BEI AAS∴BP=EI∵△BCQ≌△HBI AAS∴BQ=HI∵△AJP≌△CJQ AAS∴PJ=QJ∵EH=EI+HI=PB+BQ=PJ+QJ+BQ+BQ=2BJ ∵AJ=CJ∴BJ2=CJ2+BC2=14AC2+BC2∴EH2=2BJ2=4BJ2=414AC2+BC2=AC2+4BC2同理可证，NF2=4AC2+BC2∴EH2+NF2=AC2+4BC2+4AC2+BC2=5AC2+BC2=5AB2=5×12=5，故④正确．综上所述，正确的结论个数是4．故选：D．5如图，在Rt△AEB和Rt△AFC中，BE与AC相交于点M，与CF相交于点D，AB与CF相交于点N，∠E=∠F=90 °，∠EAC=∠FAB，AE=AF．给出下列结论：①∠B=∠C；②CD=DN；③BE= CF；④△ACN≅△ABM．其中正确的结论是()A.①③④B.①②③④C.①②③D.①②④【答案】A【分析】本题考查了两个全等三角形的判定及性质，根据已知条件判定两个三角形全等，可得到对应边及对应角相等，据此可判断①③，再结合条件证明两个三角形全等，可得到④，即可求得结果，灵活运用两个全等三角形的条件及性质是解题的关键．【详解】解：∵∠EAC=∠FAB，∴∠EAB=∠FAC，在△EAB 和△FAC 中，∠E =∠F =90 °AE =AF ∠EAB =∠FAC，∴△EAB ≌△FAC ASA ，∴∠B =∠C ,BE =CF ,AB =AC ，∴①③都正确，在△ACN 和△ABM 中，∠B =∠CAB =AC ∠CAN =∠BAM，∴△ACN ≌△ABM ASA ，故④正确，根据已知条件无法证明②是否正确，故①③④正确，故选：A ．二、填空题6如图，在△ABC 中，AH 是高，AE ⎳BC ，AB =AE ，在AB 边上取点D ，连接DE ，DE =AC ，若S △ABC =5S △ADE ，BH =1，则BC =．【答案】2.5【分析】过点E 作EF ⊥AB ，交BA 的延长线于点F ，先分别证明△ABH ≌△EAF ，Rt △ACH ≌Rt △EDF ，由此可得S △ABH =S △EAF ，S △ACH =S △EDF =S △EAF +S △ADE ，再结合S △ABC =S △ABH +S △ACH =5S △ADE 可得S △ACH S △ABH =32，由此可得CH BH=32，进而即可求得答案．【详解】解：如图，过点E 作EF ⊥AB ，交BA 的延长线于点F ，∵EF ⊥AB ，AH ⊥BC ，∴∠EFA =∠AHB =∠AHC =90°，∵AE⎳BC ，∴∠EAF =∠B ，在△ABH 与△EAF 中，∠AHB =∠EFA∠B =∠EAFAB =EA∴△ABH ≌△EAF (AAS )，∴AH =EF ，S △ABH =S △EAF ，在Rt△ACH与Rt△EDF中，AH=EF AC=DE∴Rt△ACH≌Rt△EDF(HL)，∴S△ACH=S△EDF=S△EAF+S△ADE，∵S△ABC=S△ABH+S△ACH=5S△ADE，∴S△ABH+S△EAF+S△ADE=5S△ADE，∴2S△ABH+S△ADE=5S△ADE，解得：S△ABH=2S△ADE，∴S△ACH=5S△ADE-S△ABH=3S△ADE，∴S△ACHS△ABH=3S△ADE2S△ADE=32，∴12CH⋅AH12BH⋅AH=32，即CHBH=32，又∵BH=1，∴CH=1.5，∴BC=BH+CH=2.5，故答案为：2.5．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的面积公式，作出正确的辅助线并能灵活运用全等三角形的判定与性质是解决本题的关键．7如图，在△ADE和△ABC中，∠E=∠C，DE=BC，EA=CA，过A作AF⊥DE，垂足为F，DE交CB的延长线于点G，连接AG．四边形DGBA的面积为12，AF=4，则FG的长是．【答案】3【分析】过点A作AH⊥BC于H，证△ABC≌△AED，得AF=AH，再证Rt△AFG≌Rt△AHG，同理Rt△ADF≌Rt△ABH，得S四边形DGBA=6，进而得到FG的长．【详解】解：过点A作AH⊥BC于H，如图所示：在△ABC 和△ADE 中，BC =DE∠C =∠E CA =EA，∴△ABC ≌△AED SAS∴AD =AB ,S △ABC =S △AED ,又∵AF ⊥DE ，∴12×DE ×AF =12×BC ×AH ，∴AF =AH ，∵AF ⊥DE ,AH ⊥BC ，∴∠AFG =∠AHG =90°，在Rt △AFG 和Rt △AHG 中，AG =AG AF =AH ,∴Rt △AFG ≌Rt △AHG HL ，同理：Rt △ADF ≌Rt △ABH HL ，∴S 四边形DGBA =S 四边形AFGH =12，∵Rt △AFG ≌Rt △AHG ，∴S Rt △AFG =6,∵AF =4,∴12×FG ×4=6，解得：FG =3；故答案为：3．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形面积等知识，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，解题时注意：全等三角形的面积相等．8如图，动点C 与线段AB 构成△ABC ，其边长满足AB =9，CA=2a +2，CB =2a -3．点D 在∠ACB 的平分线上，且∠ADC =90°，则a 的取值范围是，△ABD 的面积的最大值为．【答案】a >52454【分析】在△ABC 中，由三角形三边关系“在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”可知AC +BC >AB ，代入数值即可确定a 的取值范围；延长AD 、CB交于点E ，首先利用“ASA ”证明△ACD ≌△ECD ，由全等三角形的性质可得AC =EC =2a +2，AD =ED ，进而可求得BE =5，结合三角形中线的性质易知S △ABD :S △ABE =1:2，确定△ABE 面积的最大值，即可获得答案．【详解】解：∵在△ABC 中，AC +BC >AB ，∴2a +2+2a -3>9，解得a >52；如下图，延长AD 、CB 交于点E ，∵CD 为∠ACB 的平分线，∴∠ACD =∠ECD ，在△ACD 和△ECD 中，∠ACD =∠ECDCD =CD ∠ADC =∠EDC =90°，∴△ACD ≌△ECD (ASA )，∴AC =EC =2a +2，AD =ED ，∵CB =2a -3，∴BE =2a +2-(2a -3)=5，∵AD =ED ，∴S △ABD :S △ABE =1:2，当BE ⊥AB 时，△ABE 的面积取最大值，即S △ABE max =12×9×5=452，∴S △ABD max =454．故答案为：a >52，454．【点睛】本题主要考查了三角形三边关系、解一元一次不等式、角平分线、全等三角形的判定与性质、三角形中线的性质等知识，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题关键．9如图，AB =AC ，AD=AE ，∠BAC =∠DAE =40°，BD 与CE 交于点F ，连接AF ，则∠AFB 的度数为．【答案】70°/70度【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，构造全等三角形是解答本题的关键．过点A作AM⊥BD于点M，AN⊥CE于点N，根据手拉手模型证明△BAD≌△CAE，得到∠ADM=∠AEN，然后证明△AMD≌△ANE，得到∠DAM=∠EAN，AM=AN，进一步推得∠MAN=∠DAE= 40°，再证明△AMF≌△ANF，可得∠FAM=20°，最后根据三角形内角和定理即得答案．【详解】过点A作AM⊥BD于点M，AN⊥CE于点N，∵∠BAC=∠DAE=40°，∴∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△BAD≌△CAE SAS，∴∠ADM=∠AEN，∵∠AMD=∠ANE=90°，AD=AE，∴△AMD≌△ANE AAS，∴∠DAM=∠EAN，AM=AN，∴∠DAM+∠DAN=∠EAN+∠DAN，即∠MAN=∠DAE=40°，∵∠AMF=∠ANF=90°，AM=AN，AF=AF，∴△AMF≌△ANF HL，∴∠FAM=∠FAN=1∠MAN=20°，2∴∠AFB=180°-90°-∠FAM=70°．故答案为：70°．10如图所示，已知△ABC，∠BAC=90°，AB=AC，点D和点E分别是AB和AC边上的动点，满足AD=CE，连接DE，点F是DE的中点，则CDAF的最大值为．【答案】5+1/1+5【分析】作EM⊥ED，且EM=ED，连DM，MC，取ME中点N，连ND、NC、NF，可根据“SAS”证明△ADE≌△CEM，可得∠ECM=90°，再设AF=1，并表示DE，EM，及CN，然后根据勾股定理求出DN，最后根据三角形的三边关系ND+NC≥DC，求出CD最大值，可得答案.【详解】解：过E作EM⊥ED，且EM=ED，连DM，MC．取ME中点N，连ND、NC、NF．∵∠ADE+∠AED=90°，∠AED+∠MEC=90°，∴∠ADE=∠MEC.∵AD=CE，DE=EM，∴△ADE≌△CEM，∴∠ECM=∠DAE=90°．设AF=1，∵F为DE中点，∴DE=2AF=2，∴EM=2.∵N为EM中点，∴CN=EN=1．∴DN=DE2+EN2= 5.∵ND+NC≥DC，∴CD最大值5+1，=5+1.∴CDAF故答案为：5+1.【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，根据三角形的三边关系求最大值，作出辅助线是解题的关键．三、解答题11数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样，一个问题：如图1：在△ABC中，AB=3，AC=5，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．【问题初探】：第一小组经过合作交流，得到如下解决方法：如图2延长AD至E．使得DE=AD，连接BE．利用三角形全等将线段AC转移到线段BE，这样就把线段AB，AC，2AD集中到△ABE中．利用三角形三边的关系即可得到中线AD的取值范围，第二小组经过合作交流，得到另一种解决方法：如图3过点B作AC的平行线交AD的延长线于点F，利用三角形全等将线段AC转移到BF，同样就把线段AB，AC，2AD集中到△ABF中，利用三角形三边的关系即可得到中线AD的取值范围．(1)请你选择一个小组的解题思路．写出证明过程【方法感悟】当条件中出现“中点”“中线”等条件时，可考虑将中线延长一倍或者作一条边的平行线．构造出“平行八字型”全等三角形；这样就把分散的已知条件和所证的结论集中到一个三角形中，顺利解决问题【类比分析】(2)如图4：在△ABC中，∠B=90°，AB=6，AD是△ABC的中线，CE⊥BC，CE=10且∠ADE=90°．求AE的长度．【思维拓展】(3)如图5：在△ABC中，AF⊥BC于点F在AB右侧作AD⊥AB，且AD=AB，在AC的左侧作AE⊥AC，且AE=AC，连接DE，延长AF交DE于点O，证明O为DE中点．【答案】(1)见解析(2)16(3)见解析【分析】(1)选择第一个小组的解题思路：延长AD到点E，使DE=AD，证明△ADC≌△EDB(SAS)，得到BE=AC=10，再根据在△ABE中，5-3<AE<5+3，即2<2AD<8，求解即可；选择第二个小组的解题思路：过点B作AC的平行线交AD的延长线于点F，先证明△BDF≌△CDA (AAS)，得到DF=AD，BF=AC=5，则2AD=AF，再根据在△ABF中，5-3<AF<5+3，即2<2AD<8，求解即可；(2)延长AD到点F，使DF=AD，连接CF，先证明△ABD≌△FCD SAS，得到∠FCD=∠ABD=90°，CF=AB=6，再证明E、C、F三点共线，得到EF=EC+CF=10+6=16，然后证明△ADE≌△FDE SAS，得到AE=EF=16解决问题；(3)过点E作EM∥AD交AD延长线于M，先证明△AEM≌△CAB AAS，得到EM=AB，再证明△AOD≌△MOE AAS，得到OD=OE，即可得出结论．【详解】解：(1)选择第一个小组的解题思路：如图2，延长AD到点E，使DE=AD，∵D是BC的中点，∴BD=CD，∵∠ADC=∠EDB，∴△ADC≌△EDB(SAS)，∴BE=AC=10，△ABE中，5-3<AE<5+3，∴2<2AD<8，∴1<AD<4；选择第二个小组的解题思路：如图3，过点B作AC的平行线交AD的延长线于点F，∵D是BC的中点，∴BD=CD，∵BF∥AC，∴∠FBD=∠C，∠F=∠CAD，∴△BDF≌△CDA(AAS)，∴DF=AD，BF=AC=5，∴2AD=AF，在△ABF中，5-3<AF<5+3，∴2<2AD<8，(2)延长AD到点F，使DF=AD，连接CF，如图4，∵D是BC的中点，∴BD=CD，∵∠ADB=∠FDC，DF=AD，∴△ABD≌△FCD SAS，∴∠FCD=∠ABD=90°，CF=AB=6，∵CE⊥BC，∴∠BCD=90°，∴∠FCD+∠ECD=180°，∴E、C、F三点共线，∴EF=EC+CF=10+6=16，∵∠ADE=90°，∴∠FDE=∠ADE=90°，∵DE=DE，AD=DF，∴△ADE≌△FDE SAS，∴AE=EF=16；(3)证明：过点E作EM∥AD交AD延长线于M，如图4，∵AD⊥AB，AE⊥AC，∴∠3+∠2+∠CAD=∠3+∠2+∠BAE=90°，∴∠CAD=∠BAE，又∵AF⊥BC，∴∠3+∠2+∠CAD=∠3+∠BAE+∠B=90°，∴∠2=∠B，∵EM∥AD，∴∠2=∠M，∴∠B=∠M，∵AE⊥AC，AF⊥BC，∴∠3+∠CAM=∠C+∠CAM=90°，∴∠3=∠C，∵AE=AC，∴△AEM≌△CAB AAS，∵AB =AD ，∴EM =AD ，∵∠2=∠M ，∠AOD =∠EOM ，∴△AOD ≌△MOE AAS ，∴OD =OE ，∴O 为DE 中点．【点睛】本题考查三角形三边的关系，全等三角形的判定与性质，余角的性质，平行线的性质，熟练掌握倍长中线，构造出“平行八字型”全等三角形是解题的关键．12已知，在等腰直角三角形ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，∠ABC =∠ACB =45°，点D 是线段BC 上一点，点D 不与点B ，点C 重合，连接AD ，以AD 为一边作△ADE ，AD =AE ，∠DAE =90°，且点E 与点D 在直线AC 两侧，DE 与AC 交于点H ，连接CE ．(1)如图1，求证：△ABD ≌△ACE ．(2)如图2，在CE 的延长线上取一点F ，当∠AEF =∠AFE 时，求证：CD =CF ．(3)过点A 作直线CE 的垂线，垂足为G ，当CD =6EG 时，直接写出△CDH 与△CEH 的面积比．【答案】(1)见详解(2)见详解(3)32或34【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，涉及SAS 、AAS 以及HL 等判定方法，(1)利用“SAS ”证明△ABD ≌△ACE 即可作答；(2)结合(1)的结论，再利用“AAS ”证明△ACD ≌△ACF 即可作答；(3)分类讨论，第一种情况：点G 在点E 的下方，过点A 作AO ⊥BC 于点O ，点H 作HM ⊥BC 于点M ，点H 作HN ⊥CG 于点N ，先证明△AOC ≌△AGC ，即有AO =AG ，CO =CG ，同理可证明：MH =NH ，再证明Rt △AOD ≌Rt △AGE HL ，可得OD =GE ，问题即可作答；第二种情况：点G 在点E 的上方，过点A 作AO ⊥BC 于点O ，点H 作HM ⊥BC 于点M ，点H 作HN ⊥CG 于点N ，按照第一种情况作答即可．【详解】(1)∵∠DAE =90°，∠BAC =90°，∴∠DAE -∠DAH =∠BAC -∠DAH ，∴∠CAE =∠BAD ，又∵AB =AC ，AD =AE ，∴△ABD ≌△ACE SAS ；(2)∵△ABD ≌△ACE SAS ，∴∠ADB =∠AEC ，∠ABD =∠ACE =45°，∴180°-∠ADB =180°-∠AEC ，∠ACB =∠ACE =45°，∴∠ADC =∠AEF ，∵∠AEF =∠AFE ，∴∠ADC =∠AFE ，在△ACD 和△ACF 中，∴∠ACD =∠ACF∠ADC =∠AFC AC =AC，∴△ACD ≌△ACF AAS ，∴CD =CF ；(3)分类讨论：第一种情况：点G 在点E 的下方，过点A 作AO ⊥BC 于点O ，点H 作HM ⊥BC 于点M ，点H 作HN ⊥CG 于点N ，如图，∵AO ⊥BC ，AG ⊥CE∴∠AOC =∠AGC =90°，又∵∠ACB =∠ACE =45°，AC =AC ，∴△AOC ≌△AGC ，∴AO =AG ，CO =CG ，同理可证明：MH =NH ，又∵AD =AE ，∴Rt △AOD ≌Rt △AGE HL ，∴OD =GE ，∵CD =6EG ，∴CO =CD -OD =5EG ，∴CG =CO =5EG ，∴CE =CG -EG =4EG ，∵S △CHD =12×CD ×MH ，S△CHE =12×CE ×NH ，MH =NH ，∴S △CHD S △CHE =12×CD ×MH 12×CE ×NH =CD ×MH CE ×NH ，∵CD =6EG ，CE =4EG ，MH =NH ，∴S △CHD S △CHE =CD ×MH CE ×NH=32；第二种情况：点G 在点E 的上方，过点A 作AO ⊥BC 于点O ，点H 作HM ⊥BC 于点M ，点H 作HN ⊥CG 于点N ，如图，同理可得：OD =GE ，OC =CG ，MH =NH ，∵CD =6EG ，∴CO =CD +OD =7EG ，∴CG =CO =7EG ，∴CE =CG +EG =8EG ，∴S △CHD S △CHE =CD ×MH CE ×NH=34；综上：△CDH 与△CEH 的面积比为32或者34．13如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，△ABC 的边BC 在x 轴上，A 、C 两点的坐标分别为A (0,m ),C (n ,0)，B (-5,0)，且m ，n 满足方程组m +2n =103m -n =9 ，点P 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线BO 匀速运动，设点P 运动时间为t 秒．(1)求A 、C 两点的坐标；(2)连接P A ，用含t 的代数式表示△AOP 的面积，并直接写出t 的取值范围；(3)当点P 在线段BO 上运动时，在y 轴上是否存在点Q ，使△POQ 与△AOC 全等？若存在，请求出t 的值并直接写出Q 点标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)A (0,4)，C (3,0)；(2)0≤t <52，S △AOP =10-4t ；t >52，S △AOP =4t -10．(3)存在，Q (0,3)或(0,-3)或Q (0,4)或(0,-4)．【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，二元一次方程组的解法，坐标与图形性质等知识点的综合运用，关键是利用分类讨论求出符合条件的所有情况．(1)解二元一次方程组求出m ，n 的值即可；(2)分为两种情况：当0≤t <52时,P 在线段OB 上,②当t >52时,P 在射线OC 上,求出OP 和OA ,根据三角形的面积公式求出即可；(3)分为四种情况：①当BP =1,OQ =3时,②当BP =2,OQ =4时,③④利用图形的对称性直接写出其余的点的坐标即可.【详解】(1)解方程组m +2n =103m -n =9 得m =4n =3 ，∴ A 的坐标是0,4 ,C 的坐标是3,0 ；(2)由已知，BP =2t ，OB =5．①0≤t <52，P 在线段OB 上．OP =OB -BP =5-2tS △AOP =12×OP ×OA 2=12×(5-2t )×4=10-4t ．②t >52，P 在射线OC 上，OP =BP -OP =2t -5S △AOP =12×OA ×OP =12×4×(2t -5)=4t -10(3)在y 轴上存在点Q ，使△AOC 与△POQ 全等．①△POQ ≌△AOC 时，OQ =OC =3．OP =OA =4．t =5-42=12,Q (0,3)或Q (0,-3)②△POQ ≌△COA 时，OQ =OA =4,OP =OC =3．t =5-32=1 Q (0,4)或(0,-4)t =12，Q (0,3)或(0,-3)；t =1，Q (0,4)或(0,-4)；综上所述，t =12，Q (0,3)或(0,-3)；t =1，Q (0,4)或(0,-4)．14某校课后延时兴趣小组尝试用尺规来“作一条线段的三等分点”，请认真阅读下面的操作过程并完成相应的学习任务．如图1，①分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径在AB 两侧画弧，四段弧分别交于点C ，点D ；②连接AC ，BC ，AD ，作射线BD ；③以D 为圆心，BD 的长为半径画弧，交射线BD 于点E ；④连接CE ，交于AB 点F ．点F 即为AB 的一个三等分点(即AF =13AB )．学习任务：(1)填空：四边形ADBC的形状是，你的依据是；(2)证明：AF=13AB；(3)如图2，若CE交AD于点H，∠CAD=60°，AC=6，将CH绕着点C旋转，当点H的对应点H 落在直线FD上时，求DH 的长．【答案】(1)菱形；四条边相等的四边形为菱形(2)见解析(3)DH′的长为33+32或33-32【分析】本题考查了菱形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，善于利用特殊叫以及直角三角形中的关系是解题的关键．(1)根据菱形的性质判定即可．(2)证明△AFC∽△BFE，得出AFFB =ACBE，再根据线段关系即可求出．(3)利用菱形及已知条件推出相关信息，证明△ACD为等边三角形，再根据AAS证明△AHC≌△DHE，求得CH ;然后证明△AKF∽△BDF，根据相似三角形的性质得出AK、CK；最后用勾股定理解三角形即可．CH绕着点C旋转，点H的对应点H 需要分情况讨论．【详解】(1)解：由图的作法可知：AC=AD=BC=BD，∴四边形ADBC的形状是菱形，依据是：四条边相等的四边形为菱形．故答案为：菱形；四条边相等的四边形为菱形；(2)证明：∵四边形ADBC的形状是菱形，∴AC∥BE，∴△AFC∽△BFE，∴AF FB =ACBE．∵AC=BD，BD=DE，∴BE=2AC，∴AF FB =12，∴FB=2AF，∴AB=3AF．∴AF=13AB．(3)解：①当点H 在线段FD上时，连接CD，如图，∵AC=AD，∠CAD=60°，∴△ACD为等边三角形，∴CD=AD=6，∠ADC=60°．∵AC∥BE∴∠ACF =∠DEC ．在△AHC 和△DHE 中，∠AHC =∠DHE∠ACE =∠DEC AC =DE，∴△AHC ≌△DHE AAS ，∴AH =HD =3，∵△ACD 为等边三角形，∴CH ⊥AD ，∠ACH =∠DCH =30°，∴CH =33．∴CH =CH =33．设FD 与AC 交于点K ，∵AC ∥BE ，∴△AKF ∽△BDF ，∴AK BD =AF FB=12．同理：CK ED =AF FB=12，∴AK BD =CK ED．∵BD =ED ，∴AK =CK =3，∴HK ⊥AC ，∠CDK =12∠ADC =30°．∴H K =CH 2-CK 2=32，DK =33．∴DH =DK -H K =33-32．②当点H 在射线FD 上时，连接CD ，如图，由①知CH =CH =33，HK ⊥AC ，AK =KC =3，∴DK =AD 2-AK 2=33，∴H K =CH 2-CK 2=32．∴DH =H K +DK =33+32．综上，DH 的长为33+32或33-32．15(1)某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，直线l 经过点A ，BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，垂足分别为点D 、E ．证明：DE =BD +CE ．(2)组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将(1)中的条件改为：在△ABC 中，AB =AC ，D 、A 、E 三点都在直线l 上，并且有∠BDA =∠AEC =∠BAC =α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE =BD +CE 是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．(3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC 的边AB 、AC 向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，AH 是BC 边上的高，延长HA 交EG 于点I ，求证：I 是EG 的中点．【答案】(1)见解析；(2)DE =BD +CE ，见解析；(3)见解析【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件证明三角形全等得到BD =AE 、CE =AD 是解题的关键．(1)由条件可证明△ABD ≌△CAE ，可得DA =CE ，AE =BD ，可得DE =BD +CE ；(2)由条件可知∠BAD +∠CAE =180°-α，且∠DBA +∠BAD =180°-α，可得∠DBA =∠CAE ，结合条件可证明△ABD ≌△CAE ，可得出结论；(3)由条件可知EM =AH =GN ，可得EM =GN ，结合条件可证明△EMI ≌△GNI ，可得出结论I 是EG 的中点．【详解】解：(1)如图1，∵BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，∴∠BDA =∠CEA =90°，∵∠BAC =90°，∴∠BAD +∠CAE =90°，∵∠BAD +∠ABD =90°，∴∠CAE =∠ABD ，在△ABD 和△CAE 中，∠ABD =∠CAE∠BDA =∠CEA AB =AC，∴△ABD ≌△CAE AAS ，∴AE =BD ，AD =CE ，∴DE =AE +AD =BD +CE ；(2)成立，理由如下：如图，证明如下：∵∠BDA =∠BAC =α，∴∠DBA +∠BAD =∠BAD +∠CAE =180°-α，∴∠DBA =∠CAE ，在△ABD 和△CAE 中．∠BDA =∠AEC∠DBA =∠CAE AB =AC．∴△ABD ≌△CAE AAS∴AE =BD ，AD =CE ，∴DE =AE +AD =BD +CE ；(3)如图3，过E 作EM ⊥HI 于M ，GN ⊥HI 的延长线于N ．∴∠EMI =∠EMA =∠GNA =90°，∠BAE =90°，∴∠EAM +BAH =90°，∵AH 是BC 边上的高，∴∠AHB =90°，∴∠BAH +∠ABH =90°，∴∠ABH =EAM ，∵AE =AB ，∴△ABH ≌△EAM ，∴EM =AH ，同理△ACH ≌△GAN ，∴AH =GN ，∴EM =GN ，在△EMI 和△GNI 中，∠EIM =∠GIN∠EMI =∠GNI EM =GN，∴△EMI ≌△GNI AAS ，∴EI =GI ，∴I 是EG 的中点．16如图，在△ABC 中，BC =5，高AD 、BE 相交于点O ，BD =2，且AE =BE．(1)请说明△AOE ≌△BCE 的理由；(2)动点P 从点O 出发，沿线段OA 以每秒1个单位长度的速度向终点A 运动，动点Q 从点B 出发沿射线BC 以每秒4个单位长度的速度运动，P 、Q 两点同时出发，当点P 到达A 点时，P 、Q 两点同时停止运动．设点P 的运动时间为t 秒，求当t 为何值时，△AOQ 的面积为3．(3)在(2)的条件下，点F 是直线AC 上的一点且CF =BO ．当t 为何值时，以点B 、O 、P 为顶点的三角形与以点F 、C 、Q 为顶点的三角形全等？(请直接写出符合条件的t 值)．【答案】(1)见解析(2)当t 为15或45时，△AOQ 的面积为3(3)t =1或53s 时，△BOP 与△FCQ 全等【分析】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，(1)首先推导出∠EAO =∠EBC ，通过ASA 即可证明△AOE ≌△BCE ；(2)分两种情形讨论求解即可①当点Q 在线段BD 上时，QD =2-4t ,②当点Q 在射线DC 上时，DQ =4t -2时；依据三角形面积计算公式解答即可；(3)分两种情形求解即可①如图2中，当OP =CQ 时，BOP ≌△FCQ ．②如图3中，当OP =CQ 时，△BOP ≌△FCQ ．【详解】(1)如图1中，∵AD 是高，∴∠ADC =90°，∵BE 是高，∴∠AEB =∠BEC =90°，∴∠EAO +∠ACD =90°，∠EBC +∠ECB =90°，∴∠EAO =∠EBC ，在△AOE 和△BCE 中，∠EAO =∠EBCAE =BE ∠AEO=∠BEC，∴△AOE ≌△BCE ASA ，(2)解：由(1)知△AOE ≌△BCE ，∴OA =BC =5，∵BD =2，∴CD =3，由题意OP =t ,BQ =4t ,①当点Q 在线段BD 上时，QD =2-4t ,∴S △AOQ =12OA ⋅QD =12×5×2-4t =3，解得：t =15；②当点Q 在BD 延长线上时，DQ =4t -2，∴S △AOQ =12OA ⋅DQ =12×5×4t -2 =3，解得：t =45，综上，当t 为15或45时，△AOQ 的面积为3；(3)存在．①如图2中，当OP =CQ 时，∵OB =CF ，∠POB =∠FCQ ，∴△BOP ≌△FCQ ．∴CQ =OP ，∴5-4t =t ，解得t =1，②如图3中，当OP =CQ 时，∵OB =CF ，∠POB =∠FCQ ，∴△BOP ≌△FCQ ．∴CQ =OP ，∴4t -5=t ，解得t =53．综上所述，t =1或53s 时，△BOP 与△FCQ 全等．17如图1，在△ABC 中，BD 为AC 边上的高，BF 是∠ABD 的角平分线，点E 为AF 上一点，连接AE ，∠AEF =45°．(1)求证：AE平分∠BAF(2)如图2，连接CE交BD于点G，若△BAE与△CAE的面积相等，求证：BG=CF【答案】(1)见解析；(2)见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的证明以及性质运用，角平分线的判定以及基本性质，熟练掌握全等三角形的几种判定方法以及角平分线的判定是解答该题的关键．(1)根据BF是∠ABD的角平分线和，BD为AC边上的高，可得12∠BAD=45°-12∠ABD，由∠AEF=45°得∠BAE=45°-∠ABE=45°-12∠ABD，即可证明∠BAE=12∠BAD；(2)过点E作EM⊥AB于点M，EN⊥AC于点N，由角平分线性质可以得EM=EN，由△BAE与△CAE的面积相等可得AB=AC，证明△ABE≌△ACE(SAS)，得出∠AEB=∠CEB=135°，BE=EC，即可得出∠BEG=∠CEF=360°-∠AEB-∠AEC=90°，再根据垂直模型证明△BEG≌△CEF(ASA)，即可得出结论．【详解】(1)证明：∵BD为AC边上的高，即∠ADB=90°，∴∠ABD+∠BAD=90°，∴12(∠ABD+∠BAD)=45°，∴1 2∠BAD=45°-12∠ABD∵∠AEF=∠ABF+∠BAE=45°，∴∠BAE=45°-∠ABF，∵∠ABF=12∠ABD，∴∠BAE=45°-12∠ABD，∴∠BAE=12∠BAF，即：AE平分∠BAF．(2)过点E作EM⊥AB于点M，EN⊥AC于点N，∵AE平分∠BAC，且EM⊥AB，EN⊥AC，∴EM=EN．∵S△ABE=S△ACE，∴AB=AC，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE，在△ABE和△ACE中，AB=BC∠BAE=∠CAE AE=AE∴△ABE≌△ACE(SAS)，∴∠AEB=∠CEB，BE=EC，∵∠AEF=45°，∴∠AEB=∠AEC=135°，∴∠BEG=∠CEF=360°-∠AEB-∠AEC=90°，∵BD为AC边上的高，∴∠ADB=90°，∴∠FBD+∠BFC=∠BFC+∠FCE，∴∠EBG=∠ECF．在△BEG和△CEF中，∠BEG=∠CEF BE=CE∠EBG=∠ECF∴△BEG≌△CEF(ASA)．∴BG=CF .18如图，已知A a，0,B0,b，AB=AC且AB⊥AC，AC交y轴于E点．(1)如图1，若a2+b2-4a-8b+20=0，求C点坐标；(2)如图2，A，B两点分别在x轴，y轴正半轴上，E为AC的中点，BC交x轴于G点，连EG，若a=3，求G点的坐标；(3)如图3，A在x轴的负半轴上，以BC为边在BC的右侧作等边△BCD，连OD，当∠BOD=60°时，请探究线段OA、OB、OD之间的数量关系，并证明．【答案】(1)(-2,-2)(2)(-2,0)(3)OD=OB+2OA【分析】(1)利用完全平方公式将等式变形为两个数平方和的形式，即可求出a=2，b=4，如图1中，过点C作CH ⊥x轴于点H，证明△AHC≌△BOA，可得CH=OA=2，AH=OB=4，即可得到点C坐标．(2)根据(1)可得CH=OA=a，AH=OB=b，再由a=3，E为AC的中点，可得点C(-3,-3)，AH=OB=6，再利用面积法求出AG =5，即可解题；(3)过点C 作CH ⊥x 轴于点H ，在OD 上取一点M ，使得OM =OB ，证明△OBM 是等边三角形，进而证明△MBD ≌△OBC ，得∠BMD =∠BOC =120°，MD =OC ，再证明∠COH =30°，得OC =2CH =2OA ，即可得出OD =OB +2OA ．【详解】(1)解：∵a 2+b 2-4a -8b +20=0，∴(a 2-4a +4)+(b 2-8b +16)=0，即(a -2)2+(b -4)2=0，∴a =2，b =4，∴A 2,0 ，B 0,4如图1中，过点C 作CH ⊥x 轴于点H ，∵∠AHC =∠BOA =∠BAC =90°，∴∠CAH +∠BAO =90°，∠BAO +∠ABO =90°，∴∠CAH =∠ABO ，在△AHC 和△BOA 中，∠AHC =∠BOA∠CAH =∠ABO AC =BA，∴△AHC ≌△BOA (AAS )，∴CH =OA =2，AH =OB =4，∴OH =AH -OA =4-2=2∴点C 坐标为(-2,-2)；(2)如图2，同理(1)可证明：CH =OA =a ，AH =OB =b ，∵a =3，E 为AC 的中点，OE 平行于CH ，∴OA =OH =3，CH =3，∴点C (-3,-3)，AH =OB =6，AB =AC =OA 2+OB 2=62+32=35，∵S △ABC =S △AGC +S △AGB ，即12×35×35=12×3⋅AG +12×6⋅AG ，∴AG =5，∴GO =AG -OA =5-3=2，∴点G 坐标为(-2,0)；(3)结论：OD =OB +2OA ，如图3，过点C 作CH⊥x轴于点H ，同理可得：CH =OA ，AH =OB ，在OD 上取一点M ，使得OM =OB ，∵OM =OB ，∠BOD =60°，∴△OBM 是等边三角形，∴BO =BM ，∠OMB =60°，∴∠BMD =120°，∵△BCD 是等边三角形，∴BC =BD ，∠CBD =∠OBM =60°，∴∠DBM =∠CBO ，在△MBD 和△OBC 中，BM =OB∠DBM =∠CBO BD =BC，∴△MBD ≌△OBC (SAS )，∴∠BMD =∠BOC =120°，MD =OC ，∴∠COH =120°-90°=30°，∵CH ⊥x 轴，∴OC =2CH =2OA ，∵OD =OM +MD ，∴OD =OB +OC =OB +2OA【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．19已知△ABC 为等边三角形，D 是边AC 上的一点，连接BD ，E 为BD 上的一点，连接CE．(1)如图1，延长CE 交AB 于点G ．若∠DCG =15°，BG =2，求BC 的长；(2)如图2，将△BEC 绕点B 逆时针旋转60°至△BFA ，延长CB 至点M ，使得BM =DC ，连接AM 交BF 于点N ，探究线段FN ，DE ，BE 之间的数量关系，并说明理由；(3)如图3，在(2)问的条件下，过点A 作AH ⊥BC 于点H ，过点B 作BK ∥AH 且BK =AH ，连接HK ，NK ，NH ，NC ．若BC =4，当12BD +NK 的值最小时，请直接写出CD NH的值．【答案】(1)1+3(2)2FN +DE =BE ．理由见解析(3)277【分析】(1)作CF⊥BC，解直角三角形BFG求得BF和FG，进而解直角三角形CFG求得CF，从而得出结果；(2)延长BF至G，使FG=DE，连接AG，作BH∥AF，交BF于H，证明△ABG≌△CBD，进而证明△ANG≌ΔMNB，△AFN≌△MHN，△BMH≌△DCE，进一步得出结论；BD+NK最小，此时BG⊥AG，即BD⊥AC，进一步得出(3)可得出当K、N、G共线且与AG垂直时，12结果．【详解】(1)解：如图1，作CF⊥BC于F，∴∠CFG=∠BFG=90°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°，在Rt△BFG中，BG=2，∠ABC=60°，=1，∴BF=2cos60°=2×12=3，FG=2⋅sin60°=2×32在Rt△CFG中，FG=3，∠FCG=∠ACB-∠ACG=60°-15°=45°，∴CF=FG=3，tan∠FCG∴BC=BF+FC=1+3；(2)证明：如图2，延长BF至G，使FG=DE，连接AG，作BH∥AF，交BF于H，∴∠MHN=∠AFN，∠NMH=∠FAN，∴∠MHB=∠AFG∵△BEC绕点B逆时针旋转60°至△BFA，∴BF=BE，∠ABF=∠CBE，AB=BC，∴BG=BD，∴△ABG≌△CBD，∴AG=CD=BM，∠G=∠BDC=180°-∠CBE-∠ACB=120°-∠CBE，∵∠MBN=180°-∠ABC-∠ABF=120°-∠CBE，∴∠G=∠MBN，∴△ANG≌△MNB，∴AN=MN，∴△AFN≌△MHN，∴FN=NH，∵△ANG ≌△MNB ，∴NG =BN ，∵FN =NH ，∴BH =FG ，∵FG =DE∴BH =DE ，∵旋转，∴CE =AF ，∵△AFN ≌△MHN ，∴AF =MH ，∴MH =CE ，∵CD =BM ，∴△BMH ≌△DCE ，∴BH =DE ，∵FN +NH +BH =BF ，∴2FN +DE =BE ；(3)解：如图3，由(2)知：BD =BG =2BN ，∴12BD +NK =GN +NK ，∴当K 、N 、G 共线且与AG 垂直时，12BD +NK 最小，此时BG ⊥AG ，即BD ⊥AC ，如图4，连接NH ，∵AC =BC =4，∴CD =BH =2，BD =32BC =23，BN =GN =12BG =12BD =3，∵NH =BH 2+BN 2=2+(3)2=7，∴CD NH=277．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．。

全等三角形经典题型50题带问题详解

全等三角形经典题型50题带问题详解

全等三角形证明经典50题（含答案）1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD延长AD 到E,使DE=AD,则三角形ADC 全等于三角形EBD即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE 即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6 又AD 是整数,则AD=52. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD AB从D 做辅助线3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2证明：连接BF 和EF 。

因为 BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF 。

所以 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)。

所以 BF=EF,∠CBF=∠DEF 。

连接BE 。

在三角形BEF 中,BF=EF 。

所以 ∠EBF=∠BEF 。

又因为 ∠ABC=∠AED 。

所以 ∠ABE=∠AEB 。

所以 AB=AE 。

在三角形ABF 和三角形AEF 中，AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF 。

所以 三角形ABF 和三角形AEF 全等。

所以 ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。

ADBC4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC证明：过E 点，作EG//AC ，交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA ，∠DGE=∠2又∵CD=DE ∴⊿ADC ≌⊿GDE （AAS ）∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C证明：在AC 上截取AE=AB ，连接ED ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB ，AD=AD ∴⊿AED ≌⊿ABD （SAS ）∴∠AED=∠B ，DE=DB ∵AC=AB+BD AC=AE+CE ∴CE=DE ∴∠C=∠EDC ∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE证明： 在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF 因为CE ⊥AB 所以∠CEB ＝∠CEF ＝90° 因为EB ＝EF ，CE ＝CE ， 所以△CEB ≌△CEF 所以∠B ＝∠CFE 因为∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180° 所以∠D ＝∠CFA 因为AC 平分∠BAD 所以∠DAC ＝∠FAC 又因为AC ＝AC 所以△ADC ≌△AFC （SAS ） 所以AD ＝AF 所以AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE12. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。

全等三角形专项练习与答案解析

全等三角形专项练习与答案解析

一、选择题（题型注释）1．小明想用三根木棒为边制作一个三角形，则可以选用的木棒长为（）A ．8cm 、15cm 、6cmB ．7cm 、9cm、13cmC ．10cm 、20cm 、30cmD ．20cm 、40cm 、60cm【答案】B2．如图所示，已知△ABE ≌△ACD ，∠1=∠2，∠B=∠C ，下列不正确的等式是（）A.AB=ACB.∠BAE=∠CADC.BE=DCD.AD=DE【答案】D3．已知：如图所示，AC=CD ，∠B=∠E=90°，AC ⊥CD ，则不正确的结论是（）A 、∠A 与∠D 互为余角B 、∠A=∠2C 、△ABC≌△CEDD 、∠1=∠2【答案】D4．如图,△ABC 中,∠C=90°,AC=BC,AD 平分∠CAB,交BC 于D,DE ⊥AB 于E.AB ＝6cm,则△DEB 的周长为（）A. 4cmB. 6cmC. 10cmD. 14cm【答案】B5．如图，OA ＝OC ，OB ＝OD ，OA ⊥OB ，OC ⊥OD ，下列结论：①△AOD ≌△COB ；②CD ＝AB ；③∠CDA ＝∠ABC ； 其中正确的结论是()A ．①②B ．①②③C ．①③D ．②③AB C DE12【答案】B【解析】试题分析：因为OA＝OC，OB＝OD，OA⊥OB，OC⊥OD，可得△COD≌△AOB,∠CDO＝∠ABO；∠DOC+∠AOC=∠AOB+∠AOC,OA＝OC，OB＝OD,所以△AOD≌△COB，所以CD＝AB,∠ADO=∠CBO；所以∠CDA＝∠ABC.故①②③都正确.故选B考点：三角形全等的判定和性质6．如图，△ABC中，∠B=∠C，BD=CF，BE=CD，∠EDF=α，则下列结论正确的是（）A．2α+∠A=180°B．α+∠A=90°C．2α+∠A=90°D．α+∠A=180°【答案】A【解析】试题分析：根据已知条件可证明△BDE≌△CFD，则∠BED=∠CDF，由∠A+∠B+∠C=180°，得∠B=，因为∠BDE+∠EDF+∠CDF=180°，所以得出a与∠A的关系2a+∠A=180°．考点：全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理7．如图，AD是△ABC的中线，E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF，则（）A．BE+CF＞EFB．BE+CF=EFC．BE+CF＜EFD．BE+CF与EF的大小关系不能确定．【答案】A．8．如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，AE=3cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是（）A．10cmB．12cmC．15cmD．17cm【答案】C．【解析】试题分析：∵AB的垂直平分AB，∴AE=BE，BD=AD，∵AE=3cm，△ADC的周长为9cm，∴△ABC的周长是9cm+2×3cm=15cm，故选C．考点：线段垂直平分线的性质．9．如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的结果为（）A．90°B．180°C．360°D．无法确定【答案】【解析】试题分析：延长BE交AC于F，∵∠A+∠B=∠2，∠D+∠E=∠1，∠1+∠2+∠C=180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°，考点：1．三角形内角和定理；2．三角形的外角性质．10．若△ABC中，2（∠A+∠C）=3∠B，则∠B的外角度数为何（）A、36B、72C、108D、144【答案】C【解析】∵∠A+∠B+∠C=180°，∴2（∠A+∠B+∠C）=360°，∵2（∠A+∠C）=3∠B，∴∠B=72°，11．如图，AB∥CD，∠D=∠E=35°，则∠B的度数为（）.A．60°B．65°C．70°D．75°【答案】C.12．如图，已知△ABC，O是△ABC内的一点，连接OB、OC，将∠ABO、∠ACO分别记为∠1、∠2，则∠1、∠2、∠A、∠O四个角之间的数量关系是（）A．∠1+∠0=∠A+∠2B．∠1+∠2+∠A+∠O=180°C．∠1+∠2+∠A+∠O=360°D．∠1+∠2+∠A=∠O【答案】D．【解析】试题分析：连接AO 并延长，交BC 于点D ，∵∠BOD 是△AOB 的外角，∠COD 是△AOC 的外角，∴∠BOD=∠BAD+∠1①，∠COD=∠CAD+∠2②，①+②得，∠BOC=（∠BAD+∠CAD ）+∠1+∠2，即∠BOC=∠BAC+∠1+∠2．故选D ．考点：1．三角形的外角性质；2．三角形内角和定理．13．如图，BD 是∠ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 于F ，，，，△cm 12BC cm 18AB cm 362ABC ===S 则DE 的长是（）【答案】B【解析】试题分析：∵BD 是∠ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥BC,由角平分线的性质可得DE=DF∴DCB S S ∆∆+=ADB ABC S △=∴所以选B.考点：角平分线的性质第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）14．如图，△ABC 中，∠A ＝90°，DE 是BC 的垂直平分线，AD=DE ，则∠C 的度数是°．【答案】30°．【解析】试题分析：∵DE 是BC 的垂直平分线，∴DE ⊥BC ，∵∠A ＝90°，AD=DE ，∴BD 平分∠AABC ，∴∠ABD=∠DBC ，∵DE 是BC 的垂直平分线，∴DC=BD ，∴∠C=∠DBC ，∴3∠C=90°，∴∠C=30°．故答案为：30°．考点：1．线段垂直平分线的性质；2．角平分线的性质．15．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB 的垂直平分线DE 交AB 于E ，交AC 于D ，∠DBC ＝30°，BD ＝4.6，则D 到AB 的距离为。

全等三角形判定-专题复习50题（含答案解析）

全等三角形判定-专题复习50题（含答案解析）

全等三⾓形判定-专题复习50题（含答案解析）全等三⾓形判定⼀、选择题：1.如图所⽰，亮亮书上的三⾓形被墨迹污染了⼀部分，很快他就根据所学知识画出⼀个与书上完全⼀样的三⾓形，那么这两个三⾓形完全⼀样的依据是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA2.⽅格纸中,每个⼩格顶点叫做⼀个格点，以格点连线为边的三⾓形叫做格点三⾓形.如图,在4×4的⽅格纸中,有两个格点三⾓形△ABC、△DEF,下列说法中成⽴的是（）A．∠BCA=∠EDF B．∠BCA=∠EFDC.∠BAC=∠EFD D．这两个三⾓形中，没有相等的⾓3.如图所⽰，△ABD≌△CDB，下⾯四个结论中，不正确的是（）A．△ABD和△C DB的⾯积相等B．△ABD和△CDB的周长相等C.∠A+∠ABD＝∠C+∠CBD D．AD∥BC，且AD＝BC4.下列判断中错误．．的是（）A．有两⾓和⼀边对应相等的两个三⾓形全等B．有两边和⼀⾓对应相等的两个三⾓形全等C．有两边和其中⼀边上的中线对应相等的两个三⾓形全等D．有⼀边对应相等的两个等边三⾓形全等5.使两个直⾓三⾓形全等的条件是（）A．⼀个锐⾓对应相等B．两个锐⾓对应相等C．⼀条边对应相等D．两条边对应相等6.如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F．若AC=BD，AB=ED，BC=BE，则∠ACB等于（）A．∠EDB B．∠BED C．∠AFB D．2∠ABF7.在△ABC和△A/B/C/中,已知∠A=∠A/,AB=A/B/,在下⾯判断中错误的是( )A．若添加条件AC=A/C/,则△ABC≌△△A/B/C/B.若添加条件BC=B/C/,则△ABC≌△△A/B/C/C.若添加条件∠B=∠B/,则△ABC≌△△A/B/C/D.若添加条件∠C=∠C/,则△ABC≌△△A/B/C/8.如图，△ABC和△DEF中，AB=DE、∠B=∠DEF，添加下列哪⼀个条件⽆法证明△ABC≌△DEF（）A．AC∥DF B．∠A=∠D C．AC=DF D．∠ACB=∠F9.如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AC=8cm，F是⾼AD和BE的交点，则BF的长是（）A．4cm B．6cm C．8cm D．9cm10.在如图所⽰的5×5⽅格中,每个⼩⽅格都是边长为1的正⽅形,△ABC是格点三⾓形（即顶点恰好是正⽅形的顶点），则与△ABC有⼀条公共边且全等的所有格点三⾓形个数是（）A．1 B．2 C．3 D．411.如图，点E在正⽅形ABCD的对⾓线AC上，且EC=2AE，直⾓三⾓形FEG的两直⾓边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正⽅形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的⾯积为（）A．a2B．a2C．a2D．a212.在连接A地与B地的线段上有四个不同的点D、G、K、Q，下列四幅图中的实线分别表⽰某⼈从A地到B地的不同⾏进路线（箭头表⽰⾏进的⽅向），则路程最长的⾏进路线图是（）A．B．C．D．⼆、填空题：13.如图所⽰，有⼀块三⾓形的镜⼦，⼩明不⼩⼼弄破裂成1、2两块，现需配成同样⼤⼩的⼀块．为了⽅便起见，需带上块，其理由是．14.如图⽰,点B在AE上,∠CBE=∠DBE,要使ΔABC≌ΔABD, 还需添加⼀个条件是__________.（填上你认为适当的⼀个条件即可）15.如图，已知∠1=∠2，AC=AD，请增加⼀个条件，使△ABC≌△AED，你添加的条件是．16.如图，∠1=∠2，要使△ABD≌△ACD，需添加的⼀个条件是（只添⼀个条件即可）．17.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D点，E、F分别为DB、DC的中点，则图中共有全等三⾓形对．18.如图，△ABD≌△BAC，若AD=BC，则∠BAD的对应⾓是．19.如图，已知AB⊥BD，垂⾜为B，ED⊥BD，垂⾜为D，AB=CD，BC=DE，则∠ACE= 度．20.如图，如果两个三⾓形的两条边和其中⼀条边上的⾼对应相等，那么这两个三⾓形的第三边所对的⾓的关系是．三、解答题：21.如图，∠DCE=90°，CD=CE，AD⊥AC，BE⊥AC，垂⾜分别为A．B．试说明AD+AB=BE．22.如图，E、A．C三点共线，AB∥CD，∠B=∠E,，AC=CD。

专题 全等三角形压轴题训练(30题)(解析版)

专题 全等三角形压轴题训练(30题)(解析版)

（苏科版）八年级上册数学《第1章全等三角形》专题全等三角形压轴题训练（30题）1．如图，△ABC中，AB＝AC，D为AC边上一点，E为AB延长线上一点，且CD＝BE，DE与BC相交于点F．（1）求证：DF＝EF．（2）过点F作FG⊥DE，交线段CE于点G，若CE⊥AC，CD＝4，S＝5，求EG的长．△EFG【分析】（1）过点D作DH∥AB交BC于点H，根据等腰三角形的性质及平行线的性质得到∠BEF＝∠HDF，∠DHC＝∠DCH，则DH＝CD，结合∠BFE＝∠HFD，即可利用AAS判定△BEF≌△HDF，根据全等三角形的性质即可得解；（2）根据三角形的面积公式求解即可．【解答】（1）过点D作DH∥AB交BC于点H，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵DH∥AB，∴∠DHC＝∠ABC，∴∠DHC＝∠ACB＝∠DCH，∴DH＝CD，∵CD＝BE，∴DH＝BE，∵DH∥AB，∴∠BEF＝∠HDF，在△BEF和△HDF中，∠BFE=∠HFD∠BEF=∠HDFBE=DH，∴△BEF≌△HDF（AAS），∴DF＝EF；（2）连接DG，∵DF＝EF，FG⊥DE，∴S△DFG ＝S△EFG＝5，∴S△DEG＝10，∵CE⊥AC，CD＝4，∴S△DEG =12EG•CD=12EG×4，∴12EG×4＝10，∴EG＝5．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用AAS判定△BEF≌△HDF是解题的关键．2．如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝2CD，AB∥CD，∠C＝90°，E是BC的中点，AE与BD相交于点F，连接DE．（1）求证：△ABE≌△BCD；（2）判断线段AE与BD的数量关系及位置关系，并说明理由；【分析】（1）由平行线的性质得出∠ABE+∠C＝180°，得出∠ABE＝90°＝∠C，再证出BE＝CD，由SAS证明△ABE≌△BCD即可；（2）由全等三角形的性质得出AE＝BD，证出∠ABF+∠BAE＝90°，得出∠AFB＝90°，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠ABE+∠C＝180°，∵∠C＝90°，∴∠ABE＝90°＝∠C，∵E是BC的中点，∴BC＝2BE，∵BC＝2CD，∴BE＝CD，在△ABE和△BCD中，AB=BC∠ABE=∠C BE=CD，∴△ABE≌△BCD（SAS）；（2）解：AE＝BD，AE⊥BD，理由如下：由（1）得：△ABE≌△BCD，∴AE＝BD，∵∠BAE＝∠CBD，∠ABF+∠CBD＝90°，∴∠ABF+∠BAE＝90°，∴∠AFB＝90°，∴AE⊥BD．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；证明三角形全等是解题的关键．3．如图1，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点P为BC边上的一个动点，连接AP，以AP为直角边，A为直角顶点，在AP右侧作等腰直角三角形PAD，连接CD．（1）当点P在线段BC上时（不与点B重合），求证：△BAP≌△CAD；（2）当点P在线段BC的延长线上时（如图2），试猜想线段BP和CD的数量关系与位置关系分别是什么？请给予证明．【分析】（1）证得∠BAP＝∠CAD，根据SAS可证明△BAP≌△CAD；（2）可得∠BAP＝∠CAD，由SAS可证明△BAP≌△CAD，可得BP＝CD，∠B＝∠ACD，则结论得证．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠PAD＝90°，∴∠BAC﹣∠PAC＝∠PAD﹣∠PAC，即：∠BAP＝∠CAD，在△BAP和△CAD中AB=AC∠BAP=∠CAD，PA=DA∴△BAP≌△CAD（SAS）；（2）猜想：BP＝CD，BP⊥CD．证明：∵∠BAC＝∠PAD＝90°，∴∠BAC+∠PAC＝∠PAD+∠PAC，即：∠BAP＝∠CAD，在△BAP和△CAD中AB=AC∠BAP=∠CAD，PA=DA∴△BAP≌△CAD（SAS），∴BP＝CD（全等三角形的对应边相等），∠B＝∠ACD（全等三角形的对应角相等），∵∠B+∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠ACB＝90°，即：BP⊥CD．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，根据同角的余角相等求出两边的夹角相等是证明三角形全等的关键．4．（2023春•市南区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E为AC边上一点，连接BE与AD交于点F，G为△ABC外一点，满足∠ACG＝∠ABE，∠FAG＝∠BAC，连接EG．（1）求证：△ABF≌△ACG；（2）求证：BE＝CG+EG．【分析】（1）根据已知条件可得∠BAD＝∠CAG，然后利用ASA即可证明△ABF≌△ACG；（2）结合（1）的结论，再证明△AEF≌△AEG，即可解决问题．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠FAG，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠FAG﹣∠CAD，∴∠BAD＝∠CAG，在△ABF和△ACG中，∠BAD=∠CAGAB=AC，∠ABF=∠ACG∴△ABF≌△ACG（ASA）；（2）证明：∵△ABF≌△ACG，∴AF＝AG，BF＝CG，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠BAD＝∠CAG，∴∠CAD＝∠CAG，在△AEF和△AEG中，AF=AG∠FAE=∠GAE，AE=AE∴△AEF≌△AEG（SAS）．∴EF＝EG，∴BE＝BF+FE＝CG+EG．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△AEF≌△AEG．5．（2022秋•新宾县期中）如图（1）所示，A，E，F，C在一条直线上，AE＝CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB＝CD．（1）求证：EG＝FG．（2）若将△DEC的边EC沿AC方向移动，变为图（2）时，其余条件不变，上述结论是否成立？请说明理由．【分析】（1）先利用HL判定Rt△ABF≌Rt△CDE，得出BF＝DE；再利用AAS判定△BFG≌△DEG，从而得出GE＝GF；（2）结论仍然成立，同理可以证明得到．【解答】解：（1）证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEF＝∠BFE＝90°．∵AE＝CF，AE+EF＝CF+EF．即AF＝CE．在Rt△ABF和Rt△CDE中，AB=CDAF=CE，∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），∴BF＝DE．在△BFG和△DEG中，∵∠BFG=∠DEG ∠BGF=∠DGE BF=DE，∴△BFG≌△DGE（AAS），∴GE＝GF；（2）结论依然成立．理由：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠BFA＝∠DEC＝90°∵AE＝CF∴AE﹣EF＝CF﹣EF，即AF＝CE，在Rt△ABF和Rt△CDE中，AB=CDAF=CE，∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），∴DE＝BF在△BFG和△DEG中，∵∠BFG=∠DEG ∠BGF=∠DGE BF=DE，∴△BFG≌△DGE（AAS），∴GE＝GF．【点评】本题考查三角形全等的判定与性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．6．（2023春•市南区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E为AC边上一点，连接BE与AD交于点F，G为△ABC外一点，满足∠ACG＝∠ABE，∠FAG＝∠BAC，连接EG．（1）求证：△ABF≌△ACG；（2）求证：BE＝CG+EG．【分析】（1）根据已知条件可得∠BAD＝∠CAG，然后利用ASA即可证明△ABF≌△ACG；（2）结合（1）的结论，再证明△AEF≌△AEG，即可解决问题．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠FAG，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠FAG﹣∠CAD，∴∠BAD＝∠CAG，在△ABF和△ACG中，∠BAD=∠CAGAB=AC，∠ABF=∠ACG∴△ABF≌△ACG（ASA）；（2）证明：∵△ABF≌△ACG，∴AF＝AG，BF＝CG，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠BAD＝∠CAG，∴∠CAD＝∠CAG，在△AEF和△AEG中，AF=AG∠FAE=∠GAE，AE=AE∴△AEF≌△AEG（SAS）．∴EF＝EG，∴BE＝BF+FE＝CG+EG．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△AEF≌△AEG．7．（2022秋•忠县期末）在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，设BE与CD相交于点F．（1）如图①，设∠A＝60°，BE、CD分别平分∠ABC、∠ACB，证明：DF＝EF．（2）如图②，设BE⊥AC，CD⊥AB，点G在CD的延长线上，连接AG、AF；若∠G＝∠6，BD＝CD，证明：GD＝DF．【分析】（1）在BC上截取BM＝BD，连接FM，证明△BFD≌△BFM，△ECF≌△MCF，进而可以解决问题；（2）根据已知条件证明△BDF≌△CDA，进而可以解决问题．【解答】证明：（1）如图，在BC上截取BM＝BD，连接FM，∵∠A＝60，∴∠BFC＝90°+60°÷2＝120°，∴∠BFD＝60°，∵BE平分∠ABC，∴∠1＝∠2，在△BFD和△BFM中，BD=BM∠1=∠2，BF=BF∴△BFD≌△BFM（SAS），∴∠BFM＝∠BFD＝60°，DF＝MF，∴∠CFM＝120°﹣60°＝60°，∵∠CFE＝∠BFD＝60°，∴∠CFM＝∠CFE，∵CD平分∠ACB，∴∠3＝∠4，又CF＝CF，在△ECF和△MCF中，∠CFE=∠CFMFC=FC，∠3=∠4∴△ECF≌△MCF（ASA），∴EF＝MF，∴DF＝EF；（2）∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠BDF＝∠CDA＝90°，∴∠1+∠BFD＝90°，∠3+∠CFE＝90°，∠BFD＝∠CFE，∴∠1＝∠3，∵BD＝CD，在△BDF和△CDA中，∠BDF=∠CDABD=CD，∠1=∠3∴△BDF≌△CDA（ASA），∴DF＝DA，∵∠ADF＝90°，∴∠6＝45°，∵∠G＝∠6，∴∠5＝45°∴∠G＝∠5，∴GD＝DA，∴GD＝DF．【点评】本题属于三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．8．（2023春•宣汉县校级期末）已知：∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CM，BE⊥CM，垂足分别为D，E，（1）如图1，把下面的解答过程补充完整，并在括号内注明理由．①线段CD和BE的数量关系是：CD＝BE；②请写出线段AD，BE，DE之间的数量关系并证明．解：①结论：CD＝BE．理由：∵AD⊥CM，BE⊥CM，∴∠ACB＝∠BEC＝∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠ACD＝　在△ACD和△CBE中，（ ）∴△ACD≌△CBE，（ ）∴CD＝BE．②结论：AD＝BE+DE．理由：∵△ACD≌△CBE，∴ ∵CE＝CD+DE＝BE+DE，∴AD＝BE+DE．（2）如图2，上述结论②还成立吗？如果不成立，请写出线段AD，BE，DE之间的数量关系．并说明理由．【分析】（1）根据同角的余角相等，全等三角形的判定和性质即可解决问题；（2）结论：DE﹣BE＝AD，只要证明△ACD≌△CBE即可解决问题；【解答】解：（1）∵AD⊥CM，BE⊥CM，∴∠ACB＝∠BEC＝∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠ACD＝∠CBE在△ACD和△CBE中，（∠ADC=∠BEC ∠ACD=∠CBE AC=BC）∴△ACD≌△CBE，（AAS）∴CD＝BE．②结论：AD＝BE+DE．理由：∵△ACD≌△CBE，∴AD＝CE∵CE＝CD+DE＝BE+DE，∴AD＝BE+DE．故答案为：∠CBE，∠ADC=∠BEC∠ACD=∠CBEAC=BC，AAS，AD＝CE．（2）不成立，结论：DE﹣BE＝AD．理由：∵AD⊥CM，BE⊥CM，∴∠ACB＝∠BEC＝∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠ACD＝∠CBE在△ACD和△CBE中，∠ADC=∠BEC∠ACD=∠CBEAC=BC，∴△ACD≌△CBE，（AAS）∴AD＝CE，CD＝BE，∴DE﹣BE＝DE﹣DC＝CE＝AD．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形的全等条件，灵活运用知识解决问题．9．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F分别在BC、CD上，且∠EAF=1 2∠BAD，求证：DF＝EF﹣BE．【分析】由边角边证明△ADF≌△ABH得AF＝AH，∠DAF＝∠BAH，同理可得△HAE≌△FAE，其性质得HE＝EF，最后由线段和差和等式的性质得DF＝EF﹣BE．【解答】证明：在CB的延长线上取BH＝DF，如图所示：∵∠ABE+∠ABH＝180°，∠ABE+∠D＝180°，∴∠ABH＝∠D，在△ADF和△ABH中，AD=AB∠D=∠ABHDF=BH，∴△ADF≌△ABH（SAS），∴AF＝AH，∠DAF＝∠BAH，∴∠BAD＝∠HAF，∵∠EAF=12∠BAD，∴∠EAF＝∠HAE=12∠HAF，在△HAE和△FAE中，AH=AF∠HAE=∠FAEAE=AE，∴△HAE≌△FAE（SAS），∴HE＝EF，又∵HE＝HB+BE，HB＝DF，∴EF＝BE+DF，∴DF＝EF﹣BE．【点评】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，同角的补角相等，线段的和差和等量代换等知识点，重点掌握全等三角形的判定与性质，难点是构建全等三角形和角平分线．10．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是CB延长线上一点，点E是线段AB上一点，连接DE．AC＝DE，BC＝BE．（1）求证：AB＝BD；（2）BF平分∠ABC交AC于点F，点G是线段FB延长线上一点，连接DG，点H是线段DG上一点，连接AH交BD于点K，连接KG．当KB平分∠AKG时，求证：AK＝DG+KG．【分析】（1）证明Rt△ACB≌Rt△DEB即可解决问题；（2）作BM平分∠ABD交AK于点M，证明△BMK≌△BGK，△ABM≌△DBG，即可解决问题．【解答】证明：（1）在Rt△ACB和Rt△DEB中，AC=DEBC=BE，∴Rt△ACB≌Rt△DEB（HL），∴AB＝BD，（2）如图：作BM平分∠ABD交AK于点M，∵BM平分∠ABD，KB平分∠AKG，∴∠ABM＝∠MBD＝45°，∠AKB＝∠BKG，∵∠ABF＝∠DBG＝45°∴∠MBD＝∠GBD，在△BMK和△BGK中，∠MBD=∠GBDBK=BK，∠AKB=∠BKG∴△BMK≌△BGK（ASA），∴BM＝BG，MK＝KG，在△ABM和△DBG中，AB=BD∠ABM=∠DBG，BM=BG∴△ABM≌△DBG（SAS），∴AM＝DG，∵AK＝AM+MK，∴AK＝DG+KG．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△BMK≌△BGK．11．（2023春•余江区期末）如图，大小不同的两块三角板△ABC和△DEC直角顶点重合在点C处，AC＝BC，DC＝EC，连接AE、BD，点A恰好在线段BD上．（1）找出图中的全等三角形，并说明理由；（2）当AD＝AB＝4cm，则AE的长度为　cm．（3）猜想AE与BD的位置关系，并说明理由．【分析】（1）根据SAS证明△CBD≌△CAE即可；（2）根据全等三角形的性质解答即可；（3）根据全等三角形的性质和垂直的定义解答即可．【解答】解：（1）△CBD≌△CAE，理由如下：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠BCD＝∠ACE，在△CBD与△CAE中，BC=AC∠BCD=∠ACE，DC=EC∴△CBD≌△CAE（SAS）；（2）∵△CBD≌△CAE，∴BD＝AE＝AD+AB＝4+4＝8（cm），故答案为：8；（3）AE⊥BD，理由如下：AE与CD相交于点O，在△AOD与△COE中，∵△CBD≌△CAE，∴∠ADO＝∠CEO，∵∠AOD＝∠COE，∴∠OAD＝∠OCE＝90°，∴AE⊥BD．【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据SAS得出△CBD与△CAE全等解答．12．如图①点A、B、C、D在同一直线上，AB＝CD，作CE⊥AD，BF⊥AD，且AE＝DF．（1）证明：EF平分线段BC；（2）若△BFD沿AD方向平移得到图②时，其他条件不变，（1）中的结论是否仍成立？请说明理由．【分析】（1）由AB＝CD，利用等式的性质得到AC＝BD，再由AE＝DF，利用HL得到直角三角形ACE 与直角三角形DBF全等，利用全等三角形对应边相等得到EC＝BF，再利用AAS得到三角形ECG与三角形FBG全等，利用全等三角形对应边相等得到BG＝CG，即可得证；（2）（1）中的结论成立，理由为：由AC＝DB，利用等式的性质得到AC＝BD，再由AE＝DF，利用HL 得到直角三角形ACE与直角三角形DBF全等，利用全等三角形对应边相等得到EC＝BF，再利用AAS 得到三角形ECG与三角形FBG全等，利用全等三角形对应边相等得到BG＝CG，即可得证．【解答】（1）证明：∵CE⊥AD，BF⊥AD，∴∠ACE＝∠DBF＝90°，∵AB＝CD，∴AB+BC＝BC+CD，即AC＝DB，在Rt△ACE和Rt△DBF中，AE=DFAC=DB，∴Rt△ACE≌Rt△DBF（HL），∴CE＝FB，在△CEG和△BFG中，∠ECG=∠FBG=90°∠EGC=∠BGF，EC=FB∴△CEG≌△BFG（AAS），∴CG＝BG，即EF平分线段BC；（2）（1）中结论成立，理由为：证明：∵CE⊥AD，BF⊥AD，∴∠ACE＝∠DBF＝90°，∵AB＝CD，∴AB﹣BC＝CD﹣BC，即AC＝DB，在Rt△ACE和Rt△DBF中，AE=DFAC=DB，∴Rt△ACE≌Rt△DBF（HL），∴CE＝FB，在△CEG和△BFG中，∠ECG=∠FBG=90°∠EGC=∠BGF，EC=FB∴△CEG≌△BFG（AAS），∴CG＝BG，即EF平分线段BC．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及平移的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．13．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时①请说明△ADC≌△CEB的理由；②请说明DE＝AD+BE的理由；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接在横线上写出这个等量关系：　．（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接在横线上写出这个等量关系：　．【分析】（1）①由已知推出∠ADC＝∠BEC＝90°，因为∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，推出∠DAC＝∠BCE，根据AAS即可得到答案；②由①得到AD＝CE，CD＝BE，即可求出答案；（2）结论：DE＝AD﹣BE．与（1）证法类似可证出∠ACD＝∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD ＝CE，CD＝BE，代入已知即可得到答案．（3）结论：DE＝BE﹣AD．证明方法类似．【解答】解：（1）①证明：如图1中，∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠BCE，在△ADC和△CEB中，∠CDA=∠BEC∠DAC=∠ECB，AC=BC∴△ADC≌△CEB（AAS）．②证明：由（1）知：△ADC≌△CEB，∴AD＝CE，CD＝BE，∵DC+CE＝DE，∴AD+BE＝DE．（2）结论：DE＝AD﹣BE．理由：如图2中，∵BE⊥EC，AD⊥CE，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠EBC+∠ECB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ECB+∠ACE＝90°，∴∠ACD＝∠EBC，在△ADC和△CEB中，∠ACD=∠CBE∠ADC=∠BEC，AC=BC∴△ADC≌△CEB（AAS），∴AD＝CE，CD＝BE，∴DE＝EC﹣CD＝AD﹣BE．（3）结论：DE＝BE﹣AD．理由如下：如图3中，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC＝∠CED＝90°，∴∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，在△ACD和△CBE中，∠ADC=∠CEB∠DAC=∠ECB，AC=CB∴△ACD≌△CBE（AAS），∴AD＝CE，CD＝BE，∴DE＝CD﹣CE＝BE﹣AD．故答案为DE＝AD﹣BE，DE＝BE﹣AD．【点评】本题主要考查了邻补角的意义，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证出符合全等的条件是解此题的关键，题型较好，综合性比较强．14．已知：在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD．（1）如图①，若∠AOB＝∠COD＝60°．①求证：AC＝BD．②求∠APB的度数．（2）如图②，若∠AOB＝∠COD＝α，∠APD的大小为 （直接写出结果，不证明）．【分析】（1）①根据已知先证明∠AOC＝∠BOD，再由SAS证明△AOC≌△BOD，所以AC＝BD．②由△AOC≌△BOD，可得∠OAC＝∠OBD，再结合图形，利用角的和差，可得∠APB＝60°．（2）由（1）小题的证明可知，∠APB＝α，则可得出答案．【解答】（1）①证明：∵∠AOB＝∠COD＝60°，∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，∴∠AOC＝∠BOD，在△AOC和△BOD中，AO=BO∠AOC=∠BOD，OC=OD∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC＝BD；②解：∵△AOC≌△BOD，∴∠OAC＝∠OBD，∴∠OAC+∠AOB＝∠OBD+∠APB，∴∠OAC+60°＝∠OBD+∠APB，∴∠APB＝60°；（2）解：由（1）可知：△AOC≌△BOD（SAS），∴∠OAC＝∠OBD，∴∠OAC+∠AOB＝∠OBD+∠APB，∴∠OAC+α＝∠OBD+∠APB，∴∠APB＝α，∴∠APD＝180°﹣α．故答案为：180°﹣α．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正确运用全等三角形的性质是解题的关键．15．（1）已知，如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E，求证：DE＝BD+CE．（2）如图②，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意钝角，请问结论DE＝BD+CE是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．【分析】（1）根据BD⊥直线m，CE⊥直线m得∠BDA＝∠CEA＝90°，而∠BAC＝90°，根据等角的余角相等得∠CAE＝∠ABD，然后根据“AAS”可判断△ADB≌△CEA，则AE＝BD，AD＝CE，于是DE＝AE+AD＝BD+CE；（2）利用∠BDA＝∠BAC＝α，则∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，得出∠CAE＝∠ABD，进而得出△ADB≌△CEA即可得出答案．【解答】证明：（1）∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA＝∠CEA＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°，∵∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠CAE＝∠ABD，∵在△ADB和△CEA中∠ABD=∠CAE∠BDA=∠CEA，AB=AC∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE；（2）结论DE＝BD+CE仍然成立，理由是：∵∠BDA＝∠BAC＝α，∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，∴∠CAE＝∠ABD，∵在△ADB和△CEA中∠ABD=∠CAE∠BDA=∠CEAAB=AC，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；得出∠CAE＝∠ABD是解题关键．16．已知：如图AC∥BD，AE和BE分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E．求证：（1）AE⊥BE；（2）AB＝AC+BD．【分析】（1）首先证明∠CAB+∠DBA＝180°，再利用角平分线的性质证明∠EAB=12∠CAB，∠EBA=12∠DBA，可得到∠EAB+∠EBA＝90°，进而可证出AE⊥BE；（2）首先在AB上截取AF＝AC，连接EF，证明△CAE≌△FAE，可证出∠CEA＝∠FEA，可得到∠FEB ＝∠DEB，再证明△DEB≌△FEB，可得到BD＝BF，即可证出AB＝AC+BD．【解答】证明：（1）∵AC∥BD，∴∠CAB+∠DBA＝180°又∵AE和BE分别平分∠CAB和∠DBA，∴∠EAB=12∠CAB，∠EBA=12∠DBA，∴∠EAB+∠EBA=12(∠CAB+∠DBA)=90°，∴AE⊥BE（2）在AB上截取AF＝AC，连接EF，在△CAE和△FAE中AC=AF∠CAE=∠FAE AE=AE，∴△CAE≌△FAE，则∠CEA＝∠FEA，又∠CEA+∠BED＝∠FEA+∠FEB＝90°，∴∠FEB＝∠DEB，∵BE平分∠DBA，∴∠DBE＝∠FBE，在△DEB和△FEB中∠DEB=∠FEB EB=EB∠DBE=∠FBE，∴△DEB≌△FEB（ASA），∴BD＝BF，又∵AF＝AC，∴AB＝AF+FB＝AC+BD．【点评】此题主要考查了垂直，角平分线，以及三角形全等的判定和性质，证明三角形全等是证明线段和角相等的重要手段．17．问题情境：如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D．可知：∠BAD＝∠C（不需要证明）；（1）特例探究：如图②，∠MAN＝90°，射线AE在这个角的内部，点B、C在∠MAN的边AM、AN 上，且AB＝AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．证明：△ABD≌△CAF；（2）归纳证明：如图③，点B，C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC．求证：△ABE≌△CAF；（3）拓展应用：如图④，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD＝2BD，点E、F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC．若△ABC的面积为24，则△ACF与△BDE的面积之和为 ．（直接写出结果）【分析】（1）证明∠ABD＝∠CAF，利用AAS定理证明；（2）根据三角形的外角的性质证明∠ABE＝∠CAF，∠BAE＝∠FCA，利用ASA定理证明；（3）根据CD＝2BD，求出△ABD的面积，根据全等三角形的性质计算即可．【解答】（1）证明：如图②，∵CF⊥AE，BD⊥AE，∠MAN＝90°，∴∠BDA＝∠AFC＝90°，∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠ABD+∠CAF＝90°，∴∠ABD＝∠CAF，在△ABD和△CAF中，∠ADB=∠CFA∠ABD=∠CAF，AB=AC∴△ABD≌△CAF（AAS）；（2）证明：如图③，∵∠1＝∠2＝∠BAC，∠1＝∠BAE+∠ABE，∠BAC＝∠BAE+∠CAF，∠2＝∠FCA+∠CAF，∴∠ABE＝∠CAF，∠BAE＝∠FCA，在△ABE和△CAF中，∠ABE =∠CAF AB =AC ∠BAE =∠ACF，∴△ABE ≌△CAF （ASA ）；（3）解：如图④，∵△ABC 的面积为24，CD ＝2BD ，∴△ABD 的面积是：13×24＝8，由（2）可知，△ABE ≌△CAF ，∴△ACF 与△BDE 的面积之和等于△ABE 与△BDE 的面积之和，即等于△ABD 的面积是8，故答案为：8．【点评】本题考查的是三角形的知识的综合应用，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、三角形的面积公式是解题的关键．18．在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是直线BC 上一点，以AD 为一条边在AD 的右侧作△ADE ，使AE ＝AD ，∠DAE ＝∠BAC ，连接DE ，CE ．（1）如图，当点D 在BC 延长线上移动时，求证：BD ＝CE ．（2）设∠BAC ＝α，∠DCE ＝β．①当点D 在线段BC 的延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由．②当点D 分别在线段BC 上、线段BC 的反向延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由.【分析】（1）根据SAS 证△BAD ≌△CAE ，可得结论；（2）①由△BAD ≌△CAE ，推出∠B ＝∠ACE ，根据三角形外角性质求出即可；②α+β＝180°或α＝β，根据三角形外角性质求出即可．【解答】（1）证明：∵∠DAE ＝∠BAC ，∴∠DAE +∠CAD ＝∠BAC +∠CAD ，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE，AD=AE∴△BAD≌△CAE（SAS），（2）解：①当点D在线段BC的延长线上移动时，α与β之间的数量关系是α＝β，理由是：由（1）知△BAD≌△CAE，∴∠B＝∠ACE，∵∠ACD＝∠B+∠BAC＝∠ACE+∠DCE，∴∠BAC＝∠DCE，∵∠BAC＝α，∠DCE＝β，∴α＝β；②分三种情况：i）当D在线段BC上时，如图2，α+β＝180°，理由是：同理可证明：△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ADB＝∠AEC，∠ABC＝∠ACE，∵∠ADC+∠ADB＝180°，∴∠ADC+∠AEC＝180°，∴∠DAE+∠DCE＝180°，∵∠BAC＝∠DAE＝α，∠DCE＝β，∴α+β＝180°，ii）当点D在线段BC反向延长线上时，如图3，α＝β．如图3，同理可证明：△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠ACE＝∠ACD+∠DCE，∠ABD＝∠ACD+∠BAC，∴∠ACD+∠DCE＝∠ACD+∠BAC，∴∠BAC＝∠DCE，∵∠BAC＝α，∠DCE＝β，∴α＝β；ii）当点D在线段BC的延长线上时，如图1，α＝β．综上，当点D在BC上移动时，α＝β或α+β＝180°．【点评】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．19．（2023春•新市区期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是直线AB上一点（点D不与点A、B重合），连接DC并延长到E，使得CE＝CD，过点E作EF⊥直线BC，交直线BC于点F．（1）如图1，当点D为线段AB上的任意一点时，用等式表示线段EF、CF、AC的数量关系，并证明；（2）如图2，当点D为线段BA的延长线上一点时，依题意补全图2，猜想线段EF、CF、AC的数量关系是否发生改变，并证明；（3）如图3，当点D在线段AB的延长线上时，直接写出线段EF、CF、AC之间的数量关系．【分析】（1）过D作DH⊥CB于H，由“AAS”可证△FEC≌△HDC，可得CH＝FC，DH＝EF，可得结论；（2）过D作DH⊥CB于H，由“AAS”可证△FEC≌△HDC，可得CH＝FC，DH＝EF，可得结论．（3）过D作DH⊥CB交CB的延长线于H，由“AAS”可证△FEC≌△HDC，可得CH＝FC，DH＝EF，可得结论．【解答】解：（1）结论：AC＝EF+FC．理由如下：过D作DH⊥CB于H，∴∠DHC＝∠DHB＝90°，∵EF⊥CF，∴∠EFC＝∠DHC＝90°，在△FEC和△HDC中，∠EFC=∠DHC=90°∠FCE=∠DCH，EC=DC∴△FEC≌△HDC（AAS），∴CH＝FC，DH＝EF，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠B＝45°，∵∠DHB＝90°，∴∠B＝∠HDB＝45°，∴DH＝HB＝EF，∵BC＝CB+HB，∴AC＝FC+EF；（2）依题意补全图形，结论：AC＝EF﹣CF，理由如下：过D作DH⊥CB交BC的延长线于H，∵EF⊥CF，∴∠EFC＝∠DHC＝90°，在△FEC和△HDC中，∠FCE=∠DCH∠EFC=∠DHC=90°，EC=DC∴△FEC≌△HDC（AAS），∴CH＝FC，DH＝EF，∵∠DHB＝90°，∴∠B＝∠HDB＝45°，∴DH＝HB＝EF，∵BC＝HB﹣CH，∴AC＝EF﹣CF；（3）AC＝CF﹣EF．如图3，过D作DH⊥CB交CB的延长线于H，同理可证△FEC≌△HDC（AAS），∴CH＝FC，DH＝EF，∵∠DHB＝90°，∴∠B＝∠HDB＝45°，∴DH＝HB＝EF，∵BC＝CH﹣BH，∴AC＝CF﹣EF．【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．20．如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为 ，线段CF、BD的数量关系为　；②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；（2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC（点C、F 不重合），并说明理由．【分析】（1）当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，所以CF＝BD，∠ACF＝∠ABD．结合∠BAC＝90°，AB＝AC，得到∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°．即CF⊥BD．（2）当∠ACB＝45°时，过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，则∠GAC＝90°，可推出∠ACB＝∠AGC，所以AC＝AG，由（1）①可知CF⊥BD．【解答】证明：（1）①正方形ADEF中，AD＝AF，∵∠BAC＝∠DAF＝90°，∴∠BAD＝∠CAF，又∵AB＝AC，∴△DAB≌△FAC，∴CF＝BD，∠B＝∠ACF，∴∠ACB+∠ACF＝90°，即CF⊥BD．②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF得AD＝AF，∠DAF＝90度．∵∠BAC＝90°，∴∠DAF＝∠BAC，∴∠DAB＝∠FAC，又∵AB＝AC，∴△DAB≌△FAC，∴CF＝BD，∠ACF＝∠ABD．∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝45°，∴∠ACF＝45°，∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90度．即CF⊥BD．（2）当∠ACB＝45°时，CF⊥BD（如图）．理由：过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，则∠GAC＝90°，∵∠ACB＝45°，∠AGC＝90°﹣∠ACB，∴∠AGC ＝90°﹣45°＝45°，∴∠ACB ＝∠AGC ＝45°，∴AC ＝AG ，∵∠DAG ＝∠FAC （同角的余角相等），AD ＝AF ，∴△GAD ≌△CAF ，∴∠ACF ＝∠AGC ＝45°，∠BCF ＝∠ACB +∠ACF ＝45°+45°＝90°，即CF ⊥BC ．【点评】本题考查三角形全等的判定和直角三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．21．（2022春•沙坪坝区校级期中）如图，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点D ，延长BD 交AC 于E ，G 、F 分别在BD 、BC 上，连接DF 、GF ，其中∠A ＝2∠BDF ，GD ＝DE ．（1）当∠A ＝80°时，求∠EDC 的度数；（2）求证：CF ＝FG +CE ．【分析】（1）方法一：先求∠ABC 和∠ACB 的和为100°，再根据角平分线求∠DBC +∠DCB ＝50°，再根据外角即可解决问题；方法二：在BC 上取点M ，使CM ＝CE ，证明△CDE ≌△CDM （SAS ），可得DE ＝DM ，∠DEC ＝∠DMC ，∠EDC ＝∠MDC ，证明∠BDM ＝180°―12∠ABC ﹣∠DMB ＝180°―12∠ABC ﹣∠AEB ＝∠A ＝80°，进而可以解决问题．（2）结合（1）然后证明△DGF≌△DMF（SAS），可得GF＝MF，进而可以解决问题．【解答】（1）解：方法一：∵∠A＝80°，∴∠ABC+∠ACB＝100°，∵BE平分∠ABC、CD平分∠ACB，∴∠DBC+∠DCB＝50°，∴∠EDC＝∠DBC+∠DCB＝50°；方法二：如图，在BC上取点M，使CM＝CE，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，在△CDE和△CDM中，CE=CM∠ECD=∠MCDCD=CD，∴△CDE≌△CDM（SAS），∴DE＝DM，∠DEC＝∠DMC，∠EDC＝∠MDC，∵GD＝DE，∴GD＝MD，∵∠DEC+∠AEB＝180°，∠DMC+∠DMF＝180°，∴∠AEB＝∠DMF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE=12∠ABC，∴∠BDM＝180°―12∠ABC﹣∠DMB＝180°―12∠ABC﹣∠AEB＝∠A＝80°，∴∠EDM＝100°，∴∠EDC＝50°；（2）证明：∵∠A＝2∠BDF，∴∠BDM＝2∠BDF，∴∠FDM＝∠BDF，在△DGF和△DMF中，DG=DM∠GDF=∠MDF，DF=DF∴△DGF≌△DMF（SAS），∴GF＝MF，∴CF＝CM+FM＝CE+GF．∴CF＝FG+CE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，解决本题的关键是根据题意准确作出辅助线得到△DGF≌△DMF．22．（2022秋•大同月考）已知△ABC和△CDE中，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AE与BD交于点F．（1）如图1．当α＝90°时．求证：①△ACE≌△BCD；②AE⊥BD；（2）如图2．当α＝60°时，直接写出∠AFB的度数为 ；（3）如图3，直接写出∠AFD的度数为 （用含α的式子表示）．【分析】（1）先根据等角的余角相等得到∠ACE＝∠BCD，再根据等腰直角三角形的性质得AC＝BC，EC＝DC，于是可根据“SAS”判断△ACE≌△BCD，然后根据相似三角形的性质得到∠CAE＝∠CBD，根据三角形的内角和即可得到结论；（2）由已知条件得到∠ACE＝∠BCD，推出△ACE≌△BCD（SAS），根据全等三角形的性质得到∠CAE ＝∠CBD，推出A，B，F，C四点共圆，根据圆周角定理即可得到结论．（3）由已知条件得到∠ACE＝∠BCD，推出△ACE≌△BCD（SAS），根据全等三角形的性质得到∠CAE ＝∠CBD即可得到结论．【解答】证明：（1）∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB+∠BCE＝∠DCE+∠BCE，即∠ACE＝∠BCD，又∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形∴AC＝BC，EC＝DC，在△ACE和△BCD中，AC=BC∠ACE=∠BCD，CE=CD∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠CAE＝∠CBD，∵∠CAE+∠EAB+∠ABC＝90°，∴∠CBD+∠EAB+∠ABC＝90°，∴∠AFB＝90°，∴AE⊥BD；（2）∵∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB﹣∠ACD＝∠DCE﹣∠ACD，即∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，AC=BC∠ACE=∠BCD，CE=CD∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠CAE＝∠CBD，∵∠CAE+∠EAB+∠ABC＝120°，∴∠CBD+∠EAB+∠ABC＝120°，∴∠AFB＝∠ACB＝60°；故答案为：60°；（3））∵∠ACB＝∠DCE＝α，∴∠ACB+∠BCE＝∠DCE+∠BCE即∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，AC=BC∠ACE=∠BCD，CE=CD∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠CAE＝∠CBD，∵∠CAE+∠EAB+∠ABC＝180°﹣α，∴∠CBD+∠EAB+∠ABC＝180°﹣α∴∠AFB＝∠ACB＝α，∴∠AFD＝180°﹣α．故答案为：180°﹣α．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判断三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应角相等，对应边相等．23．将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．（1）求证：AF+EF＝DE；（2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其它条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立；（3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其它条件不变，如图③．你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由．【分析】（1）我们已知了三角形BED和CAB全等，那么DE＝AF+CF，因此只要求出EF＝CF就能得出本题所求的结论，可通过全等三角形来实现，连接BF，那么证明三角形BEF和BCF全等就是解题的关键，这两三角形中已知的条件有BE＝BC，一条公共边，根据斜边直角边定理，这两个直角三角形就全等了，也就得出EF＝CF，也就能证得本题的结论了；（2）解题思路和辅助线的作法与（1）完全一样；（3）结论不成立．结论：AF＝DE+EF．同（1）得CF＝EF，由△ABC≌△DBE，可得AC＝DE，AF＝AC+FC＝DE+EF．【解答】（1）证明：连接BF（如图①），∵△ABC≌△DBE（已知），∴BC＝BE，AC＝DE．∵∠ACB＝∠DEB＝90°，∴∠BCF＝∠BEF＝90°．在Rt△BFC和Rt△BFE中，BF=BFBC=BE∴Rt△BFC≌Rt△BFE（HL）．∴CF＝EF．又∵AF+CF＝AC，∴AF+EF＝DE．（2）解：画出正确图形如图②∴（1）中的结论AF+EF＝DE仍然成立；（3）不成立．结论：AF＝DE+EF．证明：连接BF，∵△ABC≌△DBE，∴BC＝BE，∵∠ACB＝∠DEB＝90°，∴△BCF和△BEF是直角三角形，在Rt△BCF和Rt△BEF中，BC=BEBF=BF，∴△BCF≌△BEF（HL），∴CF＝EF；∵△ABC≌△DBE，∴AC＝DE，∴AF＝AC+FC＝DE+EF．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，通过构建全等三角形来得出简单的线段相等是解题的关键．24．（2023春•沙坪坝区校级期中）如图，在△ABC和△DCE中，∠ACB＝90°，CA＝CB，∠DCE＝90°，CD＝CE．（1）如图1，当点D在BC上时，CB＝10，AE＝4，则S四边形ABDE＝ ；（2）如图2，当B、C、E三点共线时，D在AC上，连接BD、AE，F是AD的中点，过点A作AG∥BD，交BF的延长线于点G，求证：AG＝AE且AG⊥AE；（3）如图3，B、C、E三点共线，且∠DBE＝15°，将线段AE绕点A以每秒10°的速度逆时针旋转，同时线段BE绕点E以每秒20°的速度顺时针旋转180°后立即以相同速度回转，设转动时间为t秒，当BE回到出发时的位置时同时停止旋转，则在转动过程中．当BE和AE互相平行或者垂直时，请直接写出此时t的值．【分析】（1）根据S四边形ABDE ＝S△ABC﹣S△DCE，求解即可．（2）如图2中，延长BD交AE于T．证明△BCD≌△ACE（SAS），推出BD＝AE，∠CBD＝∠CAE，推出BD⊥AE，证明△AFG≌△DFB（AAS），推出AG＝BD，可得结论．（3）从开始到结束出现平行，垂直，平行，平行四种情形，分别构建方程求解即可．【解答】（1）解：如图1中，∵CA＝CB＝10，AE＝4，∴CE＝CD＝AC﹣AE＝10﹣4＝6，∴S四边形ABDE ＝S△ABC﹣S△DCE=12×10×10―12×6×6＝32，故答案为：32．（2）证明：如图2中，延长BD 交AE 于T ．∵∠BCD ＝∠ACE ＝90°，BC ＝AC ，DC ＝EC ，∴△BCD ≌△ACE （SAS ），∴BD ＝AE ，∠CBD ＝∠CAE ，∵∠BDC ＝∠ADT ，∴∠BCD ＝∠ATD ＝90°，∴BD ⊥AE ，∵AG ∥BD ，∴∠G ＝∠FBD ，∵AF ＝FD ，∠AFG ＝∠DFB ，∴△AFG ≌△DFB （AAS ），∴AG ＝BD ，∴AG ＝AE ，∵AG ∥BD ，BD ⊥AE ，∴AG ⊥AE ．（3）由题意，第一次平行时，10t ＝75°﹣20t ，解得t =52，第一次垂直时，10t +20t ﹣75°＝90°，解得t =112，第二次平行时，20t ﹣75°+10t ＝180°．解得y =516，第三次平行时，105°﹣（20t ﹣180°）+10t ＝180°，解得t =212，综上所述，满足条件的t 的值为52或112或516或212．【点评】本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形的面。

全等三角形经典题型50题(含答案解析)

全等三角形经典题型50题(含答案解析)

全等三角形证明经典50题（含答案）1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD延长AD 到E,使DE=AD,则三角形ADC 全等于三角形EBD即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE 即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6 又AD 是整数,则AD=52. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD AB3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2证明：连接BF 和EF 。

因为 BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF 。

所以 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)。

所以 BF=EF,∠CBF=∠DEF 。

连接BE 。

在三角形BEF 中,BF=EF 。

所以 ∠EBF=∠BEF 。

又因为 ∠ABC=∠AED 。

所以 ∠ABE=∠AEB 。

所以 AB=AE 。

在三角形ABF 和三角形AEF 中，AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF 。

所以 三角形ABF和三ADBC角形AEF 全等。

所以 ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。

4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC证明：过E 点，作EG//AC ，交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA ，∠DGE=∠2又∵CD=DE ∴⊿ADC ≌⊿GDE （AAS ）∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DG E ∴EF=EG ∴EF=AC5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C证明：在AC 上截取AE=AB ，连接ED ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB ，AD=AD ∴⊿AED ≌⊿ABD （SAS ）∴∠AED=∠B ，DE=DB ∵AC=AB+BDAC=AE+CE ∴CE=DE ∴∠C=∠E DC ∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE证明： 在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF 因为CE ⊥AB 所以∠CEB ＝∠CEF ＝90° 因为EB ＝EF ，CE ＝CE ， 所以△CEB ≌△CEF 所以∠B ＝∠CFE 因为∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180° 所以∠D ＝∠CFA 因为AC 平分∠BAD 所以∠DAC ＝∠FAC 又因为AC ＝AC 所以△ADC ≌△AFC （SAS ） 所以AD ＝AF 所以AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE12. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。

三角形全等证明题目60题目(有详解)

三角形全等证明题目60题目(有详解)

全等三角形证明题专项练习60 题（有答案）1．已知如图，△ABC≌△ ADE，∠ B=30°，∠ E=20°，∠ BAE=105°，求∠ BAC的度数．∠ BAC= _________．2．已知：如图，四边形ABCD中， AB∥CD， AD∥BC．求证：△ ABD≌△ CDB．3．如图，点 E 在△ ABC外面，点 D 在边 BC上， DE交 AC于 F．若∠ 1=∠ 2=∠ 3， AC=AE，请说明△ ABC≌△ ADE的道理．4．如图，△ ABC的两条高AD， BE订交于 H，且 AD=BD．试说明以下结论成立的原由．（1）∠ DBH=∠ DAC；（2）△ BDH≌△ ADC．5．如图，在△ABC中， D 是 BC边的中点， DE⊥ AB， DF⊥ AC，垂足分别为E、 F，且 DE=DF，则 AB=AC，并说明原由．6．如图， AE是∠ BAC的均分线， AB=AC， D 是 AE反向延长线的一点，则△ABD与△ ACD全等吗？为什么？第1页共28页7．以下列图，A、 D、 F、 B 在同素来线上，A F=BD， AE=BC，且 AE∥BC．求证：△ AEF≌△ BCD．8．如图，已知AB=AC， AD=AE， BE 与 CD订交于 O，△ ABE与△ ACD全等吗？说明你的原由．9．如图，在△ ABC中， AB=AC， D 是 BC的中点，点 E 在 AD上，找出图中全等的三角形，并说明它们为什么是全等的．10．以下列图， CD=CA，∠ 1=∠ 2， EC=BC，求证：△ ABC≌△ DEC．11．已知 AC=FE， BC=DE，点 A、 D、 B、F 在一条直线上，要使△ ABC≌△ FDE，应增加什么条件？并依照你所增加的条件证明：△ ABC≌△ FDE．12．如图，已知AB=AC， BD=CE，请说明△ ABE≌△ ACD．13．如图，△ ABC中，∠ ACB=90°， AC=BC，将△ ABC绕点 C 逆时针旋转角α（ 0°＜α＜ 90°）获取△ A1B1C，连接BB1．设 CB1交 AB于 D， A1B1分别交 AB， AC于 E， F，在图中不再增加其他任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以证明．（△ ABC与△ A1B1 C1全等除外）14．如图， AB∥ DE，AC∥ DF，BE=CF．求证：△ ABC≌△ DEF．15．如图， AB=AC， AD=AE， AB，DC订交于点M， AC， BE订交于点N，∠ DAB=∠EAC．求证：△ADM≌△ AEN．16．将两个大小不同样的含 45°角的直角三角板如图 1 所示放置在同一平面内．从图1中抽象出一个几何图形（如图2）， B、 C、E 三点在同一条直线上，连接DC．求证：△ ABE≌△ ACD．优秀文档17．如图，已知△ ABC是等边三角形， D、E 分别在边 BC、AC上，且 CD=CE，连接 DE并延长至点 F，使 EF=AE，连接AF、 BE和 CF．请在图中找出所有全等的三角形，用符号“≌”表示，并选择一对加以证明．18．如图，已知∠1=∠ 2，∠ 3=∠ 4， EC=AD．（1）求证：△ ABD≌△ EBC．（2）你能够从中得出哪些结论？请写出两个．19．等边△ ABC边长为 8， D为 AB边上一动点，过点 D 作 DE⊥ BC于点 E，过点 E 作 EF⊥ AC于点 F．（1）若 AD=2，求 AF的长；（2）求当 AD取何值时， DE=EF．20．巳知：如图，AB=AC， D、E 分别是 AB、 AC上的点， AD=AE， BE与 CD订交于 G．（Ⅰ）问图中有多少对全等三角形？并将它们写出来．（Ⅱ）请你选出一对三角形，说明它们全等的原由（根椐所选三角形说理难易不同样给分，即难的说对给分高，易的说对给分低）21．已知：如图，AB=DC， AC=BD， AC、BD订交于点E，过 E 点作 EF∥ BC，交 CD于 F，（1）依照给出的条件，能够直接证明哪两个三角形全等？并加以证明．（2） EF 均分∠ DEC吗？为什么？22．如图，己知∠1=∠ 2，∠ ABC=∠ DCB，那么△ ABC与△ DCB全等吗？为什么？23．如图， B， F， E， D 在一条直线上，AB=CD，∠ B=∠ D，BF=DE．试证明：（1）△ DFC≌△ BEA；（2）△ AFE≌△ CEF．24．如图， AC=AE，∠ BAF=∠BGD=∠ EAC，图中可否存在与△ABE全等的三角形？并证明．25．如图， D 是△ ABC的边 BC的中点， CE∥ AB，E 在 AD的延长线上．试证明：△ ABD≌△ ECD．26．如图，已知AB=CD，∠ B=∠C， AC和 BD订交于点O，E 是 AD的中点，连接OE．（1）求证：△ AOB≌△ DOC；（2）求∠ AEO的度数．27．如图，已知AB∥ DE， AB=DE， AF=DC．（1）求证：△ ABF≌△ DEC；（2）请你找出图中还有的其他几对全等三角形．（只要直接写出结果，不要证明）28．如图：在△ ABC中， BE、CF分别是 AC、AB 两边上的高，在 BE 上截取 BD=AC，在 CF的延长线上截取CG=AB，连接 AD、 AG．（1）求证：△ ABD≌△ GCA；（2）请你确定△ ADG的形状，并证明你的结论．29．如图，点D、 F、 E 分别在△ ABC的三边上，∠ 1=∠ 2=∠ 3， DE=DF，请你说明△ ADE≌△ CFD的原由．30．如图，在△ ABC中，∠ ABC=90°， BE⊥ AC于点 E，点 F 在线段 BE 上，∠ 1=∠ 2，点 D在线段 EC上，给出两个条件：① DF∥BC；② BF=DF．请你从中选择一个作为条件，证明：△AFD≌△ AFB．31．如图，在△ ABC中，点 D在 AB 上，点 E 在 BC上， AB=BC， BD=BE，EA=DC，求证：△ BEA≌△ BDC．32．阅读并填空：如图，在△ ABC中，∠ ACB=90°， AC=BC， BE⊥ CE于点 E，AD⊥ CE于点 D．请说明△ ADC≌△ CEB的原由．解：∵ BE⊥CE于点 E（已知），∴∠ E=90°_________，同理∠ ADC=90°，∴∠ E=∠ ADC（等量代换）．在△ ADC中，∵∠ 1+∠ 2+∠ ADC=180°_________，∴∠ 1+∠ 2=90°_________．∵∠ ACB=90°（已知），∴∠ 3+∠ 2=90°，∴_________ ．在△ ADC和△ CEB中， .∴△ ADC≌△ CEB （ A． A． S）33．已知：以下列图，AB∥ DE，AB=DE， AF=DC．（ 1）写出图中你认为全等的三角形（不再增加辅助线）；（ 2）选择你在（1）中写出的全等三角形中的任意一对进行证明．34．如图，点 E 在△ ABC外面，点 D在 BC边上， DE交 AC于点 F，若∠ 1=∠ 2=∠ 3， AC=AE．试说明以下结论正确的原由：（1）∠ C=∠ E；（2）△ ABC≌△ ADE．35．如图，在 Rt△ ABC中，∠ ACB=90°，AC=BC，D 是斜边 AB上的一点， AE⊥ CD于 E，BF⊥ CD交 CD的延长线于F．求证：△ ACE≌△ CBF．36．如图，在△ ABC中， D 是 BC的中点， DE∥ CA交 AB 于 E，点 P 是线段 AC上的一动点，连接PE．研究：当动点P 运动到 AC边上什么地址时，△APE≌△ EDB？请你画出图形并证明△APE≌△ EDB．37．已知：如图，AD∥ BC， AD=BC， E 为 BC上一点，且AE=AB．求证：（ 1）∠ DAE=∠B；（2）△ ABC≌△ EAD．38．如图， D 为 AB边上一点，△ ABC和△ ECD都是等腰直角三角形，∠ ACB=∠ DCE=90°， CA=CB， CD=CE，图中有全等三角形吗？指出来并说明原由．39．如图， AB=AC， AD=AE，∠ BAC=∠ DAE．求证：△ ABD≌△ ACE．40．如图，已知D是△ ABC的边 BC的中点，过D 作两条互相垂直的射线，分别交AB于 E，交 AC于 F，求证： BE+CF ＞EF．41．以下列图，在△MNP中， H是高 MQ与 NE的交点，且QN=QM，猜想 PM与 HN有什么关系？试说明原由．42．如图，在△ ABC中， D 是 BC的中点，过 D 点的直线 GF交 AC于 F，交 AC的平行线 BG于 G点， DE⊥ GF，交 AB于点 E，连接 EG．（1）求证： BG=CF；（2）请你判断 BE+CF与 EF 的大小关系，并证明你的结论．43．如图，在△ ABC中，∠ ACB=90°， AC=BC， BE⊥ CE于 E， AD⊥ CE于 D，，，求 BE 的长．44．如图，小明在完成数学作业时，遇到了这样一个问题，AB=CD， BC=AD，请说明：∠ A=∠ C 的道理，小明着手测量了一下，发现∠A确实与∠ C相等，但他不能够说明其中的道理，你能帮助他说明这个道理吗？试一试看．45．如图， AD是△ ABC的中线， CE⊥ AD于 E， BF⊥AD，交 AD的延长线于F．求证： CE=BF．46．如图，已知 AB∥ CD，AD∥ BC，F 在 DC的延长线上， AM=CF，FM交 DA的延长线上于E．交 BC于 N，试说明：AE=CN．47．已知：如图，△ABC中，∠ C=90°， CM⊥ AB于 M， AT均分∠ BAC交 CM于 D，交 BC于 T，过 D 作 DE∥ AB交 BC 于 E，求证： CT=BE．48．如图，已知AB=AD， AC=AE，∠ BAE=∠ DAC．∠ B 与∠ D 相等吗？请你说明原由．49． D 是 AB上一点， DF交 AC于点 E， DE=EF， AE=CE，求证： AB∥CF．50．如图， M是△ ABC的边 BC上一点， BE∥ CF，且 BE=CF，求证： AM是△ ABC的中线．优秀文档合用标准文案51．如图，在△ ABC中， AC⊥BC， AC=BC， D 为 AB上一点， AF⊥ CD交于 CD的延长线于点F， BE⊥ CD于点 E，求证：EF=CF﹣ AF．52．如图，在△ ABC中，∠ BAC=90°， AB=AC，若 MN是经过点 A 的直线， BD⊥ MN于 D，EC⊥ MN于 E．（1）求证： BD=AE；（2）若将 MN绕点 A 旋转，使 MN与 BC订交于点 O，其他条件都不变， BD与 AE边相等吗？为什么？（3） BD、 CE与 DE有何关系？53．已知：如图，△ABC中， AB=AC， BD和 CE为△ ABC的高， BD和 CE订交于点O．求证： OB=OC．54．在△ ABC中，∠ ACB=90°， D 是 AB边的中点，点 F 在 AC边上， DE与 CF平行且相等．试说明AE=DF的原由．55．如图，在△ ABC中， D 是边 BC上一点， AD均分∠ BAC，在 AB 上截取 AE=AC，连接 DE，已知 DE=2cm， BD=3cm，求线段 BC的长．优秀文档56．如图：已知∠B=∠ C， AD=AE，则 AB=AC，请说明原由．57．如图△ ABC中，点 D 在 AC上， E 在 AB上，且 AB=AC，BC=CD， AD=DE=BE．（ 1）求证△ BCE≌△ DCE；（ 2）求∠ EDC的度数．58．已知：∠ A=90°， AB=AC， BD均分∠ ABC， CE⊥ BD，垂足为E．求证： BD=2CE．59．如图，已知：AB=CD， AD=BC，过 BD上一点 O的直线分别交DA、 BC的延长线于E、 F．（1）求证：∠ E=∠ F；（2） OE与 OF相等吗？若相等请证明，若不相等，需增加什么条件就能证得它们相等？请写出并证明你的想法．60．以以下列图， AD是∠ BAC的均分线， DE垂直 AB于点 E， DF垂直 AC于点 F，且 BD=DC．求证： BE=CF．全等三角形证明题专项练习60 题参照答案：1．∵△ ABC≌△ ADE 且∠ B≠∠ E，∴∠ C=∠ E，∠ B=∠ D；∴∠ BAC=180°﹣∠ B﹣∠ C=180°﹣ 30°﹣ 20° =130°．2．∵ AB∥ CD， AD∥ BC，∴∠ ABD=∠ CDB、∠ ADB=∠CBD．又 BD=DB，∴△ ABD≌△ CDB（ASA）．3．△ ADF与△ AEF中，∵∠ 2=∠ 3，∠ AFE=∠ CFD，∴∠ E=∠ C．∵∠ 1=∠ 2，∴∠ BAC=∠DAE．∵AC=AE，∴△ ABC≌△ ADE．4．（ 1）∵∠ BHD=∠ AHE，∠ BDH=∠ AEH=90°∴∠ DBH+∠BHD=∠ HAE+∠ AHE=90°∴∠ DBH=∠HAE∵∠ HAE=∠DAC∴∠ DBH=∠DAC；（2）∵ AD⊥ BC∴∠ ADB=∠ADC在△ BDH与△ ADC中，∴△ BDH≌△ ADC．5．∵ DE⊥ AB， DF⊥ AC，∴△ DBE与△ DCF是直角三角形，∵BD=CD， DE=DF，∴Rt △ DBE≌ Rt △ DCF（ HL），∴∠ B=∠ C，∴AB=AC．6．∵ AE 是∠ BAC的均分线，∴∠ BAE=∠CAE；∴180°﹣∠BAE=180°﹣∠CAE，即∠ DAB=∠DAC；又∵ AB=AC， AD=AD，∴在△ ABD和△ ACD中，∴△ ABD≌△ ACD（ SAS）7．∵ AE∥ BC，∴∠ B=∠ C．∵AF=BD， AE=BC，∴△ AEF≌△ BCD（ SAS）．8．△ ABE与△ ACD全等．原由：∵ AB=AC，∠ A=∠ A（公共角）， AE=AD，∴△ ABE≌△ ACD．9．图中的全等三角形有：△ABD≌△ ACD，△ABE≌△ ACE，△BDE≌△ CDE．原由：∵ D是 BC的中点，∴BD=DC， AB=AC， AD=AD∴△ ABD≌△ ACD（ SSS）；∵AE=AE，∠ BAE=∠ CAE， AB=AC，∴△ ABE≌△ ACE（ SAS）；∵BE=CE， BD=DC， DE=DE，∴△ BDE≌△ CDE（ SSS）．10．：∵∠ 1=∠ 2，∴∠ ACB=∠DCE，在△ ABC和△ DEC中，，∴△ ABC≌△ DEC（ SAS）11.增加AB=DF．在△ ABC和△ FDE中，∴△ ABC≌△ FDE（SSS）．12．∵ AB=AC， BD=CE，∴ AD=AE．又∵∠ A=∠ A，∴△ ABE≌△ ACD（SAS）．13．△ CBD≌△ CA1F 证明以下：∵AC=BC，∴∠A=∠ ABC．∵△ ABC绕点 C 逆时针旋转角α（ 0°＜α＜ 90°）获取△ A1B1C1，∴∠ A1 =∠ A， A1C=AC，∠ ACA1=∠ BCB1=α．∴∠ A1 =∠ ABC（1 分）， A1C=BC．∴△ CBD≌△ CAF（ ASA）114．∵ AB∥DE， AC∥DF，∴∠ B=∠ DEF，∠ F=∠ ACB．∵BE=CF，∴BE+CE=CF+EC．∴BC=EF．∴△ ABC≌△ DEF （ ASA）．15．∵ AB=AC， AD=AE，∠ DAB=∠ EAC，∴∠ DAC=∠AEB，∴△ ACD≌△ ABE，∴∠ D=∠ E，又 AD=AE，∠ DAB=∠EAC，∴△ ADM≌△ AEN16．∵△ ABC和△ ADE均为等腰直角三角形，∴AB=AC， AD=AE，∠ BAC=∠DAE=90，即∠ BAC+∠CAE=∠DAE+∠ CAE，∴∠ BAE=∠CAD，在△ ABE和△ ACD中，，∴△ ABE≌△ ACD17．答：△ BDE≌△ FEC，△ BCE≌△ FDC，△ ABE≌△ ACF；证明：（以△ BDE≌△ FEC为例）∵△ ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠ ACB=60°，∵CD=CE，∴△ EDC是等边三角形，∴∠ EDC=∠DEC=60°，∴∠ BDE=∠FEC=120°，∵CD=CE，∴BC﹣ CD=AC﹣ CE，∴BD=AE，又∵ EF=AE，∴B D=FE，在△ BDE与△ FEC中，∵，∴△ BDE≌△ FEC（ SAS）．18．（ 1）证明以下：∵∠ ABD=∠1+∠ EBC，∠ CBE=∠ 2+∠ EBC，∠ 1=∠2．∴∠ ABD=∠CBE．在△ ABD和△ EBC中∴△ ABD≌△ EBC（ AAS）；（2）从中还可获取 AB=BC，∠ BAD=∠ BEC19．（ 1）∵ AB=8， AD=2∴BD=AB﹣ AD=6在 Rt △ BDE中∠BDE=90°﹣∠B=30°∴ BE= BD=3∴CE=BC﹣ BE=5在 Rt △ CFE中∠CEF=90°﹣∠C=30°∴ CF= CE=∴AF=AC﹣ FC= ；（2）在△ BDE和△ EFC中，∴△ BDE≌△ CFE（ AAS）∴BE=CF∴BE=CF= EC∴BE= BC=∴BD=2BE=∴AD=AB﹣ BD=∴AD= 时， DE=EF20．（ 1）图中全等的三角形有四对，分别为：①△ DBG≌△ EGC，②△ ADG≌△ AEG，③△ ABG≌△ ACG，④△ABE≌△ ACD；（ 4 分）（Ⅱ）∵ AB=AC， AD=AE，∠ A 是公共角，∴△ ABE≌△ ACD（ SAS）④；∵AB=AC， AD=AE，∴AB﹣ AD=AC﹣ AE，即 BD=CE；由④得∠ B=∠ C，又∵∠ DGB=∠ EGC（对顶角相等）， BD=CE（已证），∴△ DBG≌△ EGC（ AAS）①；由①得 BG=CG，由④得∠ B=∠C，又∵ AB=AC，∴△ ABG≌△ ACG（ SAS）③；由①得 BG=CG，且 AD=AE， AG为公共边，∴△ ADG≌△ AEG（ SSS）②；21．（ 1）△ ABC≌△ DCB．证明：∵ AB=CD， AC=BD， BC=CB，∴△ ABC≌△ DCB．（ SSS）（2） EF 均分∠ DEC．原由：∵ EF∥ BC，∴∠ DEF=∠EBC，∠ FEC=∠ ECB；由（ 1）知：∠ EBC=∠ ECB；∴∠ DEF=∠FEC；∴ FE 均分∠ DEC22．△ ABC≌△ DCB．原由以下：∵∠ABC=∠ DCB，∠ 1=∠ 2，∴∠ DBC=∠ACB．∵BC=CB，∴△ ABC≌△ DCB23．（ 1）∵ BF=DE，∴BF+EF=DE+EF．即 BE=DF．在△ DFC和△ BEA中，∵，∴△ DFC≌△ BEA（ SAS）．（2）∵△ DFC≌△ BEA，∴CF=AE，∠ CFD=∠ AEB．∵在△ AFE与△ CEF中，∵，∴△ AFE≌△ CEF（ SAS）24．△ ABF与△ DFG中，∠ BAF=∠ BGD，∠ BFA=∠DFG，∴∠ B=∠ D，∵∠ BAF=∠EAC，∴∠ BAE=∠DAC，∵AC=AE，∠ BAE=∠ DAC，∠B=∠D，∴△ BAE≌△ DAC．答案：有．△ BAE≌△ DAC25．∵ CE∥AB，∴∠ ABD=∠ECD．在△ ABD和△ ECD中，，∴△ ABD≌△ ECD（ ASA）26．（ 1）证明：在△ AOB和△ COD中∵∴△ AOB≌△ COD（ AAS）（2）解：∵△ AOB≌△ COD，∴ AO=DO∵ E 是 AD的中点∴OE⊥ AD∴∠ AEO=90°27． 1）证明：∵ AB∥ DE，∴∠ A=∠ D．∵AB=DE， AF=DC，∴△ ABF≌△ DEC．（ 2）解：全等三角形有：△ ABC和△ DEF；△ CBF和△ FEC28．证明：（ 1）∵ BE、 CF分别是 AC、 AB两边上的高，∴∠ AFC=∠AEB=90°（垂直定义），∴∠ ACG=∠DBA（同角的余角相等），又∵ BD=CA，AB=GC，∴△ ABD≌△ GCA；（2）连接 DG，则△ ADG是等腰三角形．证明以下：∵△ ABD≌△ GCA，∴AG=AD，∴△ ADG是等腰三角形．29．解：∵∠ 4+∠ 6=180°﹣∠ 3，∠ 5+∠ 6=180°﹣∠ 2，∠ 3=∠2，∴∠ 4+∠ 6=∠ 5+∠ 6，∴∠ 4=∠ 5，∵在△ ADE和△ CFD中，，∴△ ADE≌△ CFD（ AAS）．30．① DF∥BC．证明：∵ BE⊥ AC，∴∠ BEC=90°，∴∠ C+∠ CBE=90°，∵∠ ABC=90°，∴∠ ABF+∠CBE=90°，∴∠ C=∠ ABF，∵DF∥ BC，∴∠C=∠ ADF，∴∠ABF=∠ADF，在△ AFD和△ AFB中∴△ AFD≌△ AFB（ AAS）．31．在△ BEA和△ BDC中：，故△ BEA≌△ BDC（SSS）．32．如图，在△ ABC中，∠ ACB=90°， AC=BC， BE⊥ CE于点 E， AD⊥CE于点 D．请说明△ ADC≌△ CEB的原由．解：∵ BE⊥CE于点 E（已知），∴∠ E=90°（垂直的意义），同理∠ ADC=90°，∴∠ E=∠ ADC（等量代换）．在△ ADC中，∵∠ 1+∠ 2+∠ ADC=180°（三角形的内角和等于180°），∴∠ 1+∠ 2=90°（等式的性质）．∵∠ ACB=90°（已知），∴∠ 3+∠ 2=90°，∴∠ 1=∠3（同角的余角相等）．在△ ADC和△ CEB中， .∴△ ADC≌△ CEB （ A． A． S）33．（ 1）△ ABF≌△ DEC，△ ABC≌△ DEF，△ BCF≌△ EFC；（2 分）（2）△ ABF≌△ DEC，证明：∵ AB∥ DE，∴∠ A=∠ D，（ 3 分）在△ ABF和△ DEC中，（4 分）∴△ ABF≌△ DEC．（5 分）34．（ 1）△ ADF与△ AEF中，∵∠ 2=∠ 3，∠ AFE=∠ CFD，∴∠ C=∠ E；（2）∵∠ 1=∠ 2，∴∠BAC=∠DAE．∵AC=AE，又∠ C=∠ E，∴△ ABC≌△ ADE．35．∵ AE⊥CD，∴∠ AEC=90°，∴∠ ACE+∠CAE=90°，（直角三角形两个锐角互余）∵∠ ACE+∠BCF=90°，∴∠ CAE=∠BCF，（等角的余角相等）∵AE⊥ CD，BF⊥ CD，∴∠ AEC=∠BFC=90°，在△ ACE与△ CBF中，∠ CAE=∠ BCF，∠ AEC=∠ BFC，AC=BC，∴△ ACE≌△ CBF（ AAS）．优秀文档36．当动点 P 运动到 AC边上中点地址时，△APE≌△ EDB，∵DE∥ CA，∴△ BED∽△ BAC，∴= ，∵D是BC的中点，∴ = ，∴= ，∴E 是 AB中点，∴DE= AC， BE=AE，∵DE∥ AC，∴∠ A=∠ BED，要使△ APE≌△ EDB，还缺少一个条件DE=AP，又有 DE= AC，∴ P 必定是 AC中点．37．（ 1）∵ AE=AB，∴∠ B=∠ AEB，又∵ AD∥ BC，∴∠ AEB=∠DAE，∴∠ DAE=∠B；（2）∵∠ DAE=∠ B，AD=BC，AE=AB，∴△ ABC≌△ EAD．38．△ ACE≌△ BCD．∵△ ABC和△ ECD都是等腰直角三角形，∴∠ ECD=∠ACB=90°，∴∠ ACE=∠BCD（都是∠ ACD的余角），在△ ACE和△ BCD中，∵，∴△ ACE≌△ BCD．39．∵∠ BAC=∠ DAE，∴∠ BAC+∠CAD=∠ DAE+∠ CAD，即∠ BAD=∠EAC，在△ ABD和△ ACE中，∴△ ABD≌△ ACE．40．证明：延长FD到 M使 MD=DF，连接 BM，EM．∵D 为 BC中点，∴BD=DC．∵∠ FDC=∠BDM，∴△ BDM≌△ CDF．∴BM=FC．∵ED⊥ DF，∴EM=EF．∵BE+BM＞ EM，∴B E+FC＞ EF．41． PM=HN．原由：∵在△ MNP中， H是高 MQ与 NE的交点，∴∠ MEH=∠NQH=90°，∠ MQP=∠ NQH=90°∵∠ MHE=∠NHQ（对顶角相等），∴∠ EMH=∠QNH（等角的余角相等）在△ MPQ和△ NHQ中，，∴△ MPQ≌△ NHQ（ ASA），∴MP=NH．42．（ 1）∵ BG∥ AC，∴∠ DBG=∠DCF．∵D为BC的中点，∴ BD=CD又∵∠ BDG=∠ CDF，在△ BGD与△ CFD中，∵∴△ BGD≌△ CFD（ ASA）．∴BG=CF．（2）BE+CF＞EF．∵△BGD≌△CFD，∴GD=FD， BG=CF．又∵ DE⊥ FG，∴EG=EF（垂直均分线到线段端点的距离相等）．∴在△ EBG中， BE+BG＞ EG，即 BE+CF＞EF．43．∵ BE⊥CE于 E，AD⊥ CE于 D∴∠ E=∠ ADC=90°∵∠ BCE+∠ACE=∠ DAC+∠ ACE=90°∴∠ BCE=∠DAC∵AC=BC∴△ ACD≌△ CBE∴CE=AD，﹣ 1.7=0.8 （ cm）44．∵ AB=CD， BC=AD，又∵ BD=DB，在△ ABD和△ CDB中，∴△ ABD≌△ CDB，∴∠ A=∠ C．45．∵ AD是△ ABC中 BC边上的中线，∴BD=CD．∵CE⊥ AD于 E， BF⊥AD，∴∠ BFD=∠CED．在△ BFD和△ CED中，∴△ BFD≌△ CED（ AAS）．∴CE=BF46．∵ AD∥BC，∴∠ E=∠ ENB，∵∠ ENB=∠CNF，∴∠ E=∠ CNF，∵AB∥ CD，∴∠A=∠B，∵∠ C=∠ B，∴∠ EAB=∠DCB，∵AM=CF，∴△ AME≌△ CFN，优秀文档47．证明：过T 作 TF⊥ AB于 F，∵A T 均分∠ BAC，∠ ACB=90°，∴CT=TF（角均分线上的点到角两边的距离相等），∵∠ ACB=90°， CM⊥AB，∴∠ ADM+∠DAM=90°，∠ ATC+∠ CAT=90°，∵AT 均分∠ BAC，∴∠DAM=∠CAT，∴∠ ADM=∠ATC，∴∠ CDT=∠CTD，∴CD=CT，又∵ CT=TF（已证），∴C D=TF，∵CM⊥ AB，DE∥ AB，∴∠ CDE=90°，∠ B=∠ DEC，在△ CDE和△ TFB 中，，∴△ CDE≌△ TFB（ AAS），∴C E=TB，∴CE﹣ TE=TB﹣ TE，即 CT=BE．48．∵∠ BAE=∠ DAC∴∠ BAE+∠CAE=∠ DAC+∠ CAE即∠ BAC=∠DAE又∵ AB=AD， AC=AE，∴△ ABC≌△ ADE（ SAS）∴∠ B=∠ D（全等三角形的对应角相等）49．∵ DE=EF， AE=CE，∠ AED=∠ FEC，∴△ AED≌△ FEC．∴∠ ADE=∠CFE．∴AD∥ FC．∵D是AB上一点，∴ AB∥ CF50．∵ BE∥CF，∴∠ CMF=∠BME，∠ FCM=∠ EBM．又∵ BE=CF，即 AM是△ ABC的中线51．∵ AC⊥BC， BE⊥CD，∴∠ ACF+∠FCB=∠ FCB+∠ CBE=90°．∴∠ FCA=∠EBC．∵∠ BEC=∠CFA=90°， AC=BC，∴△ BEC≌△ CFA．∴CE=AF．∴EF=CF﹣ CE=CF﹣ AF52．解：（ 1）证明：由题意可知， BD⊥ MN与 D， EC⊥ MN与 E，∠BAC=90°，则△ ABD与△ CEA是直角三角形，∠ DAB=∠ ECA，在△ ABD与△ CEA中，∵，∴△ ABD≌△ CEA，∴B D=AE；（2）若将 MN绕点 A 旋转，与 BC订交于点 O，则 BD， CE与 MN垂直，∴△ABD与△CEA仍是直角三角形，两个三角形仍全等，∴BD与 AE边仍相等；（3）∵△ ABD≌△ CEA，∴B D=AE， AD=EC，∴DE=BD+EC或 DE=CE﹣ BD或 DE=BD﹣ CE．53．∵ AB=AC，∴∠ ABC=∠ACB，∵BD、CE分别为△ABC的高，∴∠ BEC=∠BDC=90°，∴在△ BEC和△ CDB中，∴△ BEC≌△ CDB，∴∠ 1=∠ 2，∴OB=OC∵∠ ACB=90°， D 是 AB 边的中点∴CD=AD，∠ DAC=∠ DCF∵DE与 CF平行且相等∴∠ EDA=∠DAC∴∠ EDA=∠DCF在△ AED和△ CFD中CD=AD，∠ EDA=∠ DCF， DE=CF∴△ AED≌△ CFD∴A E=DF．55．∵ AD均分∠ BAC∴∠ BAD=∠CAD在△ ADE和△ ADC中∵∴△ ADE≌△ ADC（ SAS）∴DE=DC∴BC=BD+DC=BD+DE=2+3=5（cm）56．在△ AEB与△ ADC中，．∴△ AEB≌△ ADC（ AAS）．∴ AB=AC（全等三角形，对应边相等）57．（ 1）证明：在△ BCE和△ DCE中∴△ BCE≌△ DCE（ SSS）．（2）解：∵ AD=DE，∴∠ A=∠ AED；∴∠ EDC=∠A+∠ AED=2∠ A，设∠ A=x，依照题意得，5x=180°，解得x=36°∴∠ EDC=2∠ A=72°证明：延长CE、 BA 交于点 F．∵CE⊥ BD于 E，∠ BAC=90°，∴∠ ABD=∠ACF．又 AB=AC，∠ BAD=∠ CAF=90°，∴△ ABD≌△ ACF，∴B D=CF．∵BD均分∠ ABC，∴∠ CBE=∠FBE．有 BE=BE，∴△ BCE≌△ BFE，∴C E=EF，∴C E= BD，∴B D=2CE．59．（ 1）证明：在△ ABD和△ CDB中∵AB=CD，AD=BC，BD=DB，∴△ ABD≌△ CDB（ SSS），∴∠ ADB=∠DBC，∴ DE∥ BF．∴∠ E=∠ F．（2）答：当 O是 BD中点时，OE=OF．证明以下：∵ O是 BD中点，∴OB=OD．又∵∠ ADB=∠ DBC，∠ E=∠ F，∴△ ODE≌△ OBF（ AAS）．∴OE=OF．（当 AE=CF时也可证得60．∵ DE⊥AB， DF⊥AC，∴∠ E=∠ DFC=90°．∵AD均分∠ EAC，∴ DE=DF．在 Rt △ DBE和 Rt △ DCF中，∴Rt △ DBE≌ Rt △ CDF（ HL）．∴BE=CF．。

2023年中考数学----全等三角形的判定与性质知识回顾与专项练习题(含答案解析)

2023年中考数学----全等三角形的判定与性质知识回顾与专项练习题(含答案解析)

2023年中考数学----全等三角形的判定与性质知识回顾与专项练习题（含答案解析）知识回顾1.三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

三角形的三边一旦确定，这三角形就固定了，这是三角形具有稳定性。

2.三角形的内角和定理：三角形的三个内角之和等于180°。

3.三角形的外角定理：三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和。

大于它不相邻的任意一个内角。

4.全等三角形的性质：若两个三角形全等，则他们的对应边相等；对应角相等；对应边上的中线相等，高线相等，角平分线也相等；且这两个三角形的周长和面积均相等。

5.全等三角形的判定：①边边边（SSS）：三条边分别对应性相等的两个三角形全等。

②边角边（SAS）：两边及其这两边的夹角对应相等的两个三角形全等。

③角边角（ASA）：两角及其这两角的夹边对应相等的两个三角形全等。

④角角边（AAS）：两角及其其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

⑤直角三角形判定（HL）：直角三角形中斜边与其中任意一直角边分别对应相等的两个直角三角形全等。

全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件。

在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形。

专项练习题（含答案解析）1．已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：AB＝AD．【分析】根据邻补角的定义得出∠ACB＝∠ACD，利用ASA证明△ACB≌△ACD，根据全等三角形的性质即可得解．【解答】证明：∵∠3＝∠4，∴∠ACB＝∠ACD，在△ACB和△ACD中，，∴△ACB≌△ACD（ASA），∴AB＝AD．2．如图，△ABC是等腰三角形，点D，E分别在腰AC，AB上，且BE＝CD，连接BD，CE．求证：BD＝CE．【分析】根据等腰三角形的性质得出∠EBC＝∠DCB，进而利用SAS证明△EBC与△DCB全等，再利用全等三角形的性质解答即可．【解答】证明：∵△ABC∴∠EBC＝∠DCB，在△EBC与△DCB中，，∴△EBC≌△DCB（SAS），∴BD＝CE．3．如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC，∠C＝50°，求∠D的大小．【分析】由∠BAD＝∠EAC可得∠BAC＝∠EAD，根据SAS可证△BAC≌△EAD，再根据全等三角形的性质即可求解．【解答】解：∵∠BAD＝∠EAC，∴∠BAD+∠CAD＝∠EAC+∠CAD，即∠BAC＝∠EAD，在△BAC与△EAD中，，∴△BAC≌△EAD（SAS），∴∠D＝∠C＝50°．4．如图，AC平分∠BAD，CB⊥AB，CD⊥AD，垂足分别为B，D．（1）求证：△ABC≌△ADC；（2）若AB＝4，CD＝3，求四边形的面积．【分析】（1）由AC平分∠BAD，得∠BAC＝∠DAC，根据CB⊥AB，CD⊥AD，得∠B＝90°＝∠D，用AAS 可得△ABC≌△ADC；（2）由（1）△ABC≌△ADC，得BC＝CD＝3，S△ABC＝S△ADC，求出S△ABC＝AB•BC＝6，即可得四边形ABCD的面积是12．【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∵CB⊥AB，CD⊥AD，∴∠B＝90°＝∠D，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（AAS）；（2）解：由（1）知：△ABC≌△ADC，∴BC＝CD＝3，S△ABC＝S△ADC，∴S△ABC＝AB•BC＝×4×3＝6，∴S△ADC＝6，∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝12，答：四边形ABCD的面积是12．5．如图，在△ABC中，点D在边BC上，CD＝AB，DE∥AB，∠DCE＝∠A．求证：DE＝BC．【分析】利用平行线的性质得∠EDC＝∠B，再利用ASA证明△CDE≌△ABC，可得结论．【解答】证明：∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B，在△CDE和△ABC中，，∴△CDE≌△ABC（ASA），∴DE＝BC．6．如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN＝AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H．（1）求证：MP＝NP；（2）若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）．【分析】（1）过点M作MQ∥BC，交AC于点Q，根据等边三角形的性质以及平行线的性质可得∠AMQ＝∠AQM＝∠A＝60°，可得△AMQ是等边三角形，易证△QMP≌△CNP（AAS），即可得证；（2）根据等边三角形的性质可知AH＝HQ，根据全等三角形的性质可知QP＝PC，即可表示出HP的长．【解答】（1）证明：过点M作MQ∥BC，交AC于点Q，如图所示：在等边△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，∵MQ∥BC，∴∠AMQ＝∠B＝60°，∠AQM＝∠ACB＝60°，∠QMP＝∠N，∴△AMQ是等边三角形，∴AM＝QM，∵AM＝CN，∴QM＝CN，在△QMP和△CNP中，，∴△QMP≌△CNP（AAS），∴MP＝NP；（2）解：∵△AMQ是等边三角形，且MH⊥AC，∴AH＝HQ，∵△QMP≌△CNP，∴QP＝CP，∴PH＝HQ+QP＝AC，∵AB＝a，AB＝AC，∴PH＝a．7．如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三个条件：①AC＝DF，②∠ABC ＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．（1）请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．你选取的条件为（填写序号）（只需选一个条件，多选不得分），你判定△ABC≌△DEF的依据是（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；（2）利用（1）的结论△ABC≌△DEF．求证：AB∥DE．【分析】（1）根据SSS ABC≌△DEF，即可解决问题；（2）根据全等三角形的性质可得∠A＝∠EDF，再根据平行线的判定即可解决问题．【解答】（1）解：在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS），∴在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF，选取的条件为①，判定△ABC≌△DEF的依据是SSS．故答案为：①，SSS；（答案不唯一）．（2）证明：∵△ABC≌△DEF．∴∠A＝∠EDF，∴AB∥DE．8．在△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使得CE＝DC．（1）如图1，延长BC到点F，使得CF＝BC，连接AF，EF．若AF⊥EF，求证：BD⊥AF；（2）连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图2．若AB2＝AE2+BD2，用等式表示线段CD与CH的数量关系，并证明．【分析】（1）证明△BCD≌△FCE（SAS），由全等三角形的性质得出∠DBC＝∠EFC，证出BD∥EF，则可得出结论；（2）由题意画出图形，延长BC到F，使CF＝BC，连接AF，EF，由（1）可知BD∥EF，BD＝EF，证出∠AEF＝90°，得出∠DHE＝90°，由直角三角形的性质可得出结论．【解答】（1）证明：在△BCD和△FCE中，，∴△BCD≌△FCE（SAS），∴∠DBC＝∠EFC，∴BD∥EF，∵AF⊥EF，∴BD⊥AF；（2）解：由题意补全图形如下：CD＝CH．证明：延长BC到F，使CF＝BC，连接AF，EF，∵AC⊥BF，BC＝CF，∴AB＝AF，由（1）可知BD∥EF，BD＝EF，∵AB2＝AE2+BD2，∴AF2＝AE2+EF2，∴∠AEF＝90°，∴AE⊥EF，∴BD⊥AE，∴∠DHE＝90°，又∵CD＝CE，∴CH＝CD＝CE．9．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，且点D在线段BC上，连CE．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若∠EAC＝60°，求∠CED的度数．【分析】（1）可利用SAS证明结论；（2）由全等三角形的性质可得∠ACE＝∠ABD，利用等腰直角三角形的性质可求得∠ACE＝∠ABD＝∠AED ＝45°，再根据三角形的内角和定理可求解∠AEC的度数，进而可求可求解【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）解：∵△ABD≌△ACE，∴∠ACE＝∠ABD，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴∠ACE＝∠ABD＝∠AED＝45°，∵∠EAC＝60°，∴∠AEC＝180°﹣∠ACE﹣∠EAC＝180°﹣45°﹣60°＝75°，∴∠CED＝∠AEC﹣∠AED＝75°﹣45°＝30°．10．如图，在△ABC中（AB＜BC），过点C作CD∥AB，在CD上截取CD＝CB，CB上截取CE＝AB，连接DE、DB．（1）求证：△ABC≌△ECD；（2）若∠A＝90°，AB＝3，BD＝2，求△BCD的面积．【分析】（1）由CD∥AB得∠ABC＝∠ECD，而CD＝CB，CE＝AB，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△ABC≌△ECD；（2））由∠A＝90°，根据全等三角形的对应角相等证明∠BED＝∠CED＝∠A＝90°，设BE＝x，由BD2﹣BE2＝CD2﹣EC2＝DE2，列方程（2）2﹣x2＝（3+x）2﹣32，解方程求得符合题意的x的值为2，则BC ＝5，再根据勾股定理求出DE的长，即可求出△BCD的面积．【解答】（1）证明：∵CD∥AB，CD＝CB，CE＝AB，∴∠ABC＝∠ECD，在△ABC和△ECD中，，∴△ABC≌△ECD（SAS）．（2）解：∵∠A＝90°，∴∠CED＝∠A＝90°，∴∠BED＝180°﹣∠CED＝90°，设BE＝x，∵EC＝AB＝3，BD＝2，∴CD＝BC＝3+x，∵BD2﹣BE2＝CD2﹣EC2＝DE2，∴（2）2﹣x2＝（3+x）2﹣32，整理得x2+3x﹣10＝0，解得x1＝2，x2＝﹣5（不符合题意，舍去），∴BE＝2，BC＝3+2＝5，∴DE＝＝＝4，∴S△BCD＝BC•DE＝×5×4＝10，∴△BCD的面积为10．11．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，D是BC边上的一点，以AD为直角边作等腰Rt △ADE，其中∠DAE＝90°，连接CE．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若∠BAD＝22.5°时，求BD的长．【分析】（1）由“SAS”可证△ACE；（2）由等腰三角形三角形的性质可得BC的长，由角度关系可求∠ADC＝67.5°＝∠CAD，可得AC＝CD ＝1，即可求解．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝90°＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，∴BC＝，∠B＝∠ACB＝45°，∵∠BAD＝22.5°，∴∠ADC＝67.5°＝∠CAD，∴AC＝CD＝1，∴BD＝﹣1．12．如图，已知矩形ABCD中，AB＝8，BC＝x（0＜x＜8），将△ACB沿AC对折到△ACE的位置，AE和CD交于点F．（1）求证：△CEF≌△ADF；（2）求tan∠DAF的值（用含x的式子表示）．【分析】（1）根据矩形的性质得到∠B＝∠D＝90°，BC＝AD，根据折叠的性质得到BC＝CE，∠E＝∠B ＝90°，等量代换得到∠E＝∠D＝90°，AD＝CE，根据AAS证明三角形全等即可；（2）设DF＝a，则CF＝8﹣a，根据矩形的性质和折叠的性质证明AF＝CF＝8﹣a，在Rt△ADF中，根据勾股定理表示出DF的长，根据正切的定义即可得出答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝90°，BC＝AD，根据折叠的性质得：BC＝CE，∠E＝∠B＝90°，∴∠E＝∠D＝90°，AD＝CE，在△CEF与△ADF中，，∴△CEF≌△ADF（AAS）；（2）解：设DF＝a，则CF＝8﹣a，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD＝BC＝x，∴∠DCA＝∠BAC，根据折叠的性质得：∠EAC＝∠BAC，∴∠DCA＝∠EAC，∴AF＝CF＝8﹣a，在Rt△ADF中，∵AD2+DF2＝AF2，∴x2+a2＝（8﹣a）2，∴a＝，∴tan∠DAF＝＝．13．如图，△ABC和△DEF，点E，F在直线BC上，AB＝DF，∠A＝∠D，∠B＝∠F．如图①，易证：BC+BE ＝BF．请解答下列问题：（1）如图②，如图③，请猜想BC，BE，BF之间的数量关系，并直接写出猜想结论；（2）请选择（1）中任意一种结论进行证明；（3）若AB＝6，CE＝2，∠F＝60°，S△ABC＝123，则BC＝，BF＝．【分析】（1）根据图形分别得出答案；（2）利用AAS证明△ABC≌△DFE，得BC＝EF，再根据图形可得结论；（3）首先利用含30°角的直角三角形的性质求出BH和AH的长，从而得出BC，再对点E的位置进行分类即可．【解答】解：（1）图②：BC+BE＝BF，图③：BE﹣BC＝BF；（2）图②：∵AB＝DF，∠A＝∠D，∠B＝∠F，∴△ABC≌△DFE（ASA），∴BC＝EF，∵BE＝BC+CE，∴BC+BE＝EF+BC+CE＝BF；图③：∵AB＝DF，∠A＝∠D，∠B＝∠F，∴△ABC≌△DFE（ASA），∴BC＝EF，∵BE＝BF+EF，∴BE﹣BC＝BF+EF﹣BC＝BF+BC﹣BC＝BF；（3）当点E在BC上时，如图，作AH⊥BC于H，∵∠B＝∠F＝60°，∴∠BAH＝30°，∴BH＝3，∴AH＝3，∵S△ABC＝12，∴＝12，∴BC＝8，∵CE＝2，∴BF＝BE+EF＝8﹣2+8＝14；同理，当点E在BC延长线上时，如图②，BF＝BC+BE＝8+10＝18，故答案为：8，14或18．14．△ABC和△ADE都是等边三角形．（1）将△ADE绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有P A+PB ＝PC（或P A+PC＝PB）成立（不需证明）；（2）将△ADE绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接P A，猜想线段P A、PB、PC 之间有怎样的数量关系？并加以证明；（3）将△ADE绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接P A，猜想线段P A、PB、PC 之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．【分析】（2）证明△ABD≌△ACE（SAS）和△BAF≌△CAP（SAS），得AF＝AP，∠BAF＝∠CAP，再证明△AFP是等边三角形，最后由线段的和可得结论；（3）如图③，在PC上截取CM＝PB，连接AM，同理可得结论．【解答】解：（2）PB＝P A+PC，理由如下：如图②，在BP上截取BF＝PC，连接AF，∵△ABC、△ADE都是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAC+∠CAD＝∠CAD+∠DAE，即∠DAB＝∠EAC，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，BF＝CP，∴△BAF≌△CAP（SAS），∴AF＝AP，∠BAF＝∠CAP，∴∠BAC＝∠P AF＝60°，∴△AFP是等边三角形，∴PF＝P A，∴PB＝BF+PF＝PC+P A；（3）PC＝P A+PB，理由如下：如图③，在PC上截取CM＝PB，连接AM，同理得：△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，PB＝CM，∴△AMC≌△APB（SAS），∴AM＝AP，∠BAP＝∠CAM，∴∠BAC＝∠P AM＝60°，∴△AMP是等边三角形，∴PM＝P A，∴PC＝PM+CM＝P A+PB．15．【情境再现】甲、乙两个含45°角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处．将甲绕点O 顺时针旋转一个锐角到图②位置．按图②作出示意图，并连接AG，BH，如图③所示，AB交HO于E，AC 交OG于F，通过证明△OBE≌△OAF，可得OE＝OF．请你证明：AG＝BH．【迁移应用】延长GA分别交HO，HB所在直线于点P，D，如图④，猜想并证明DG与BH的位置关系．【拓展延伸】小亮将图②中的甲、乙换成含30°角的直角三角尺如图⑤，按图⑤作出示意图，并连接HB，AG，如图⑥所示，其他条件不变，请你猜想并证明AG与BH的数量关系．【分析】【情境再现】由△OBE≌△OAF，得BE＝AF，OE＝OF，∠BEO＝∠AFO，可证明△BHE≌△AGF （SAS），得BH＝AG；【迁移应用】由△BHE≌△AGF，得∠BHE＝∠AGF，可得∠AGF+∠GPO＝90°，从而∠BHE+∠HPD＝90°，∠HDP＝90°，故DG⊥BH；【拓展延伸】设AB交OH于T，OG交AC于K，根据△ABC，△HOG是含30°角的直角三角形，AO⊥BC，可得OB＝AO，∠OBA＝∠OAC＝30°，∠BOT＝90°﹣∠AOT＝∠AOK，即得△BOT∽△AOK，有＝＝＝，∠BTO＝∠AKO，又OH＝GO，可得＝＝，故△BTH∽△AKG，即得＝＝，BH＝AG．【解答】【情境再现】证明：由阅读材料知△OBE≌△OAF，∴BE＝AF，OE＝OF，∠BEO＝∠AFO，∴∠BEH＝∠AFG，∵OH＝OG，∴OH﹣OE＝OG﹣OF，即EH＝GF，在△BHE和△AGF中，，∴△BHE≌△AGF（SAS），∴BH＝AG；【迁移应用】解：猜想：DG⊥BH；证明如下：由【情境再现】知：△BHE≌△AGF，∴∠BHE＝∠AGF，∵∠HOG＝90°，∴∠AGF+∠GPO＝90°，∴∠BHE+∠GPO＝90°，∵∠GPO＝∠HPD，∴∠BHE+∠HPD＝90°，∴∠HDP＝90°，∴DG⊥BH；【拓展延伸】解：猜想：BH＝AG，证明如下：设AB交OH于T，OG交AC于K，如图：由已知得：△ABC，△HOG是含30°角的直角三角形，AO⊥BC，∴∠AOB＝90°，∴OB＝AO，∠OBA＝∠OAC＝30°，∠BOT＝90°﹣∠AOT＝∠AOK，∴△BOT∽△AOK，∴＝＝＝，∠BTO＝∠AKO，∴OT＝OK，BT＝AK，∠BTH＝∠AKG，∵OH＝GO，∴HT＝OH﹣OT＝GO﹣OK＝（GO﹣OK）＝KG，∴＝＝，∴△BTH∽△AKG，∴＝＝，∴BH＝AG19。

全等三角形专项练习及答案

全等三角形专项练习及答案

评卷人得分一、选择题（题型注释）、1．小明想用三根木棒为边制作一个三角形，则可以选用的木棒长为（）A．8cm、15cm 、6cm B．7cm、9cm、13cmC．10cm、20cm、30cm D．20cm、40cm、60cm【答案】B2．如图所示，已知△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，下列不正确的等式是（）=AC B.∠BAE=∠CAD =DC =DE【答案】D[3．已知：如图所示，AC=CD，∠B=∠E=90°，AC⊥CD，则不正确的结论是（）A、∠A与∠D互为余角B、∠A=∠2C、△ABC≌△CEDD、∠1=∠2【答案】D4．如图,△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB,交BC于D,DE⊥AB于＝6cm,则△DEB 的周长为（）A. 4cmB. 6cmC. 10cmD. 14cm【答案】B5．如图，OA＝OC，OB＝OD，OA⊥OB，OC⊥OD，下列结论：①△AOD≌△COB；②CD＝AB；③∠CDA＝∠ABC；&AB CDE1]其中正确的结论是( )A．①② B．①②③ C．①③ D．②③》【答案】B【解析】试题分析：因为OA＝OC，OB＝OD，OA⊥OB，OC⊥OD，可得△COD≌△AOB, ∠CDO＝∠ABO；∠DOC+∠AOC=∠AOB+∠AOC, OA＝OC，OB＝OD,所以△AOD≌△COB，所以CD＝AB,∠ADO=∠CBO；所以∠CDA＝∠ABC.故①②③都正确.故选B考点：三角形全等的判定和性质6．如图，△ABC中，∠B=∠C，BD=CF，BE=CD，∠EDF=α，则下列结论正确的是（）…A．2α+∠A=180° B．α+∠A=90° C．2α+∠A=90° D．α+∠A=180°【答案】A【解析】试题分析：根据已知条件可证明△BDE≌△CFD，则∠BED=∠CDF，由∠A+∠B+∠C=180°，得∠B=，因为∠BDE+∠EDF+∠CDF=180°，所以得出a与∠A的关系2a+∠A=180°．考点：全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理7．如图，AD是△ABC的中线，E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF，则（）~A．BE+CF＞EFB．BE+CF=EFC．BE+CF＜EFD．BE+CF与EF的大小关系不能确定．【答案】A．8．如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，AE=3cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是（）A．10cm B．12cm C．15cm D．17cm}【答案】C．【解析】试题分析：∵AB的垂直平分AB，∴AE=BE，BD=AD，∵AE=3cm，△ADC的周长为9cm，∴△ABC的周长是9cm+2×3cm=15cm，故选C．考点：线段垂直平分线的性质．9．如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的结果为（）A．90° B．1 80° C．360° D．无法确定【答案】?【解析】试题分析：延长BE交AC于F，∵∠A+∠B=∠2，∠D+∠E=∠1，∠1+∠2+∠C=180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°，考点：1．三角形内角和定理；2．三角形的外角性质．10．若△ABC中，2（∠A+∠C）=3∠B，则∠B的外角度数为何（）>A、36B、72C、108D、144【答案】C【解析】∵∠A+∠B+∠C=180°，∴2（∠A+∠B+∠C）=360°，∵2（∠A+∠C）=3∠B，∴∠B=72°，11．如图，AB∥CD，∠D =∠E =35°，则∠B的度数为（）.A．60° B．65° C．70° D．75°【答案】C.~12．如图，已知△ABC，O是△ABC内的一点，连接OB、OC，将∠ABO、∠ACO分别记为∠1、∠2，则∠1、∠2、∠A、∠O四个角之间的数量关系是（）A ．∠1+∠0=∠A+∠2B ．∠1+∠2+∠A+∠O=180°C ．∠1+∠2+∠A+∠O=360°D ．∠1+∠2+∠A=∠O【答案】D ．【解析】 试题分析：连接AO 并延长，交BC 于点D ，》∵∠BOD 是△AOB 的外角，∠COD 是△AOC 的外角，∴∠BOD=∠BAD+∠1①，∠COD=∠CAD+∠2②，①+②得，∠BOC=（∠BAD+∠CAD ）+∠1+∠2，即∠BOC=∠BAC+∠1+∠2．故选D ．考点：1．三角形的外角性质；2．三角形内角和定理．13．如图，BD 是∠ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 于F ，，，，△cm 12BC cm 18AB cm 362ABC ===S 则DE 的长是（ ）B.cm 512 D.cm 514 ￥【答案】B【解析】试题分析：∵BD 是∠ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥BC,由角平分线的性质可得DE=DF ∴DCB S S ∆∆+=ADB ABC S △=DF DE ⋅⨯+⋅⨯12211821=9DE+6DF=15DE=36∴DE=cm 512 所以选B.考点：角平分线的性质？第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分~二、填空题（题型注释）14．如图，△ABC中，∠A＝90°，DE是BC的垂直平分线，AD=DE，则∠C的度数是°．【答案】30°．【解析】试题分析：∵DE是BC的垂直平分线，∴DE⊥BC，∵∠A＝90°，AD=DE，∴BD平分∠AABC，∴∠ABD=∠DBC，∵DE是BC的垂直平分线，∴DC=BD，∴∠C=∠DBC，∴3∠C=90°，∴∠C=30°．故答案为：30°．考点：1．线段垂直平分线的性质；2．角平分线的性质．!15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交AB于E，交AC于D，∠DBC＝30°，BD＝，则D到AB的距离为。

全等三角形专项训练及答案.解析

全等三角形专项训练及答案.解析

初中数学专项训练：全等三角形题一、选择1．如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是A．AB=ADB．AC平分∠BCDC．AB=BDD．△BEC≌△DEC2．如图，在△ABC和△DEB中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC ≌△DEC，不能添加的一组条件是A．BC=EC，∠B=∠EB．BC=EC，AC=DCC．BC=D，C∠A=∠DD．∠B=∠E，∠A=∠D3．如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60，CP2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是A．2B．2C．3D．234．如图，在四边形ABCD中，对角线A B=AD，CB=CD，若连接A C、BD相交于【】点O，则图中全等三角形共有A．1 对B．2对C．3对D．4对5．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，连接A D、AE，如果只添加（）一个条件使∠DAB=∠EAC，则添加的条件不能为A．BD=CEB．AD=AEC．DA=DED．BE=CD6．如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（）A．∠A=∠CB．AD=CBC．BE=DFD．AD∥BC7．如图，已知△ABC中，∠ABC=9°0,AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为1 , l2，l3之间的距离为2 ,条直线则AC的长是（）A．26B．25C．42D．7二、填空题8．如图，已知∠C=∠D，∠ABC=∠BAD，AC与BD相交于点O，请写出图中一组相等的线段．9．如图，在Rt△ABC中，∠A=Rt∠，∠ABC的平分线B D交AC于点D，AD=3，BC=10，则△BDC的面积是。

10．如图，已知B C=EC，∠BCE=∠ACD，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个．（答案不唯一，只需填一个）条件为11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=9°0，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是．12．如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB=5，AC=2，．则DF的长为13．如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、E在同一直线上，BF = CE，AC∥DF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是．（只需写一个，不添加辅助线）14．如图，点O是△ABC的两条角平分线的交点，若∠BOC＝118°，则∠A的大小是。

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初中数学专项训练：全等三角形一、选择题1．如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是A．AB=AD B．AC平分∠BCDC．AB=BD D．△BEC≌△DEC2．如图，在△ABC和△DEB中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC ≌△DEC，不能添加的一组条件是A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DCC．BC=DC，∠A=∠D D．∠B=∠E，∠A=∠D3．如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=︒60，CP2=，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是A．2 B．2 C．3D．324．如图，在四边形ABCD中，对角线AB=AD，CB=CD，若连接AC、BD相交于点O，则图中全等三角形共有【】A．1对 B．2对 C．3对 D．4对5．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC，则添加的条件不能为（）A．BD=CE B．AD=AE C．DA=DE D．BE=CD6．如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（）A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC7．如图，已知△ABC中，∠ABC=90°,AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为1 , l2，l3之间的距离为2 ,则AC的长是（）A ．26B ．52C ．24D ．7二、填空题8．如图，已知∠C=∠D ，∠ABC=∠BAD ，AC 与BD 相交于点O ，请写出图中一组相等的线段 ．9．如图，在Rt△ABC 中，∠A=Rt ∠，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，AD=3，BC=10，则△BDC 的面积是 。

10．如图，已知BC=EC ，∠BCE=∠ACD ，要使△ABC≌△DEC ，则应添加的一个条件为 ．（答案不唯一，只需填一个）11．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AB 的垂直平分线DE 交AC 于E ，交BC 的延长线于F ，若∠F=30°，DE=1，则BE 的长是 ．12．如图，△ABC 中，AD 是中线，AE 是角平分线，CF ⊥AE 于F ，AB=5，AC=2，则DF 的长为 ．13．如图，在△ABC 和△DEF 中，点B 、F 、C 、E 在同一直线上，BF = CE ，AC ∥DF ，请添加一个条件，使△ABC ≌△DEF ，这个添加的条件可以是 ．（只需写一个，不添加辅助线）14．如图，点O 是△ABC 的两条角平分线的交点，若∠BOC ＝118°，则∠A的大小是。

15．如图，AB=AC，要使△ABE≌△ACD，应添加的条件是（添加一个条件即可）．16．如图，点D、E分别在线段AB，AC上，AE=AD，不添加新的线段和字母，要使△ABE≌△ACD，需添加的一个条件是（只写一个条件即可）．17．如图，已知∠B=∠C．添加一个条件使△ABD≌△ACE（不标注新的字母，不添加新的线段），你添加的条件是；18．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，BE=CF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF．19．如图，△ABC和△FPQ均是等边三角形，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，点P在AB边上，连接EF、QE．若AB=6，PB=1，则QE= ．20．如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x= ．21．如图，△ABD、△ACE都是正三角形，BE和CD交于O点，则∠BOC=__________．22．如图,四边形ABCD中，∠BAD=∠C=90º，AB=AD，AE⊥BC于E，若线段AE=5，＝。

则S四边形ABCD三、解答题23．已知：如图，AD，BC相交于点O，OA=OD，AB∥CD．求证：AB=CD．24．如图，已知，EC=AC，∠BCE=∠DCA，∠A=∠E；求证：BC=DC．25．课本指出：公认的真命题称为公理，除了公理外，其他的真命题(如推论、定理等)的正确性都需要通过推理的方法证实．（1）叙述三角形全等的判定方法中的推论AAS；（2）证明推论AAS．要求：叙述推论用文字表达；用图形中的符号表达已知、求证，并证明，证明对各步骤要注明依据．26．如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A=∠D，AB=DC．（1）求证：△ABE≌DCE；（2）当∠AEB=50°，求∠EBC的度数。

27．已知，如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACD=∠DCE=90°，D为AB边上一点．求证：BD=AE．28．如图，ABO△与CDO△关于O点中心对称，点E、F在线段AC上，且AF=CE。

求证：FD=BE。

29．如图，已知线段AB。

（1）用尺规作图的方法作出线段AB的垂直平分线l（保留作图痕迹，不要求写出作法）；（2）在（1）中所作的直线l上任意取两点M、N（线段AB的上方），连接AM、AN。

BM、BN。

求证：∠MAN=∠MBN。

30．如图，两条公路OA和OB相交于O点，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论.）31．两个城镇A、B与两条公路l1、l2位置如图所示，电信部门需在C处修建一座信号反射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，那么点C应选在何处请在图中，用尺规作图找出所有符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）32．如图，C是AB的中点，AD=BE，CD=CE．求证：∠A=∠B．33．如图，在△ABC中，∠ACB=900，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F．（1）求证：DE=EF；（2）连接CD，过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G，求证：∠B=∠A＋∠DGC．34．如图：已知D、E分别在AB、AC上，AB=AC，∠B=∠C，求证：BE=CD．35．如图，∠AOB=90°，OA=0B，直线l经过点O,分别过A、B两点作AC⊥l交l于点C，BD⊥l交l于点D.求证：AD=OD.36．已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是，QE 与QF的数量关系式；（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立请画出图形并给予证明．37．如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，求证：AC=DF．38．如图，CD=CA，∠1=∠2，EC=BC，求证：DE=AB．39．如图，已知△ABC≌△ADE，AB与ED交于点M，BC与ED，AD分别交于点F，N．请写出图中两对全等三角形（△ABC≌△ADE除外），并选择其中的一对加以证明．40．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3（1）求证：BN=DN；（2）求△ABC的周长．41．如图，△ABC与△CDE均是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D在AB上，连结BE．请找出一对全等三角形，并说明理由．42．如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=90°，∠D AE=90°，B，C，D在同一条直线上．求证：BD=CE．43．如图，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D．求证：△ABC≌△AED．44．如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H．（1）求证：CF=DG；（2）求出∠FHG的度数．45．已知等腰三角形ABC中，∠ACB=90°，点E在AC边的延长线上，且∠DEC=45°，点M、N分别是DE、AE的中点，连接MN交直线BE于点F．当点D在CB边上时，如图1所示，易证MF+FN=12BE新| 课 |标 |第 |一 | 网（1）当点D在CB边上时，如图2所示，上述结论是否成立若成立，请给与证明；若不成立，请写出你的猜想，并说明理由．（2）当点D在BC边的延长线上时，如图3所示，请直接写出你的结论．（不需要证明）46．如图，点B在AE上，点D在AC上，AB=AD．请你添加一个适当的条件，使△ABC≌△ADE（只能添加一个）．（1）你添加的条件是．（2）添加条件后，请说明△ABC≌△ADE 的理由．47．如图，AD=BC ，AC=BD ，求证：△EAB 是等腰三角形．48．我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等. 那么在什么情况下，它们会全等 （1）阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等.对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等（证明略）. 对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下：已知：△ABC 、△A 1B 1C 1均为锐角三角形，AB ＝A 1B 1，BC ＝B 1C 1，∠C ＝∠C 1. 求证：△ABC ≌△A 1B 1C 1. （请你将下列证明过程补充完整） 证明：分别过点B ，B 1作BD ⊥CA 于D ，B 1D 1⊥C 1A 1于D 1. 则∠BDC ＝∠B 1D 1C 1＝90°， ∵BC ＝B 1C 1，∠C ＝∠C 1， ∴△BCD ≌△B 1C 1D 1， ∴BD ＝B 1D 1.______________________________。

（2）归纳与叙述：由（1）可得到一个正确结论，请你写出这个结论.A BCDA 1B 1C 1D 149．有一块不规则的鱼池，下面是两位同学分别设计的能够粗略地测量出鱼池两端A 、B 的距离的方案，请你分析一下两种方案的理由.方案一：小明想出了这样一个方法，如图①所示，先在AB 的垂线BF 上取两点C 、D ，使CD ＝BC ，再定出BF 的垂线DE ，使A 、C 、E 在同一条直线上，测得DE 的长就是AB 的长. 你能说明一下这是为什么吗方案二：小军想出了这样一个方法，如图②所示，先在平地上取一个可以直接到达鱼池两端A 、B 的点C ，连结AC 并延长到点D ，使CD ＝CA ，连结BC 并延长到E ，使CE ＝CB ，连结DE ，量出DE 的长，这个长就是A 、B 之间的距离. 你能说明一下这是为什么吗50．MN 、PQ 是校园里的两条互相垂直的小路，小强和小明分别站在距交叉口C 等距离的B 、E 两处，这时他们分别从B 、E 两点按同一速度沿直线行走，如图所示，经过一段时间后，同时到达A 、D 两点，他们的行走路线AB 、DE 平行吗请说明你的理由.初中数学专项训练：全等三角形参考答案1．C【解析】试题分析：∵AC垂直平分BD，∴AB=AD，BC=CD，∴AC平分∠BCD，平分∠BCD，BE=DE。

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