山东省高中数学优质课一等奖课件：向量数量积
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山东地区高级中学数学优质课一等奖课件教材-向量数量积38页PPT
山东地区高级中学数学优质课一等奖 课件教材-向量数量积
1、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如集体，养 成儿童 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
1、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如集体，养 成儿童 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
高中数学第二章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT
为(
)
A.30° B.60°
C.120°
D.150°
(2)已知非零向量a,b满足|a|=|b|=|a+b|,求a与a+b夹角及a与a-b
夹角.
分析(1)将已知条件展开变形后利用数量积定义求解;(2)可采取
数形结合方法组成平面图形求解.
第25页
探究一
探究二
探究三
(1)解析:因为(2a+b)⊥b,
所以2(a+b)·b=0,
∴|b|2-2|b|-3=0.∴|b|=3 或|b|=-1(舍去).
答案:(1)5 7 (2)3
第22页
探究一
探究二
探究三
|a|= ·，
反思感悟 依据数量积定义a·
a=|a||a|cos 0°=|a|2,得
这是求向量模一个方法.即要求一个向量模,先求这个向量与本
身数量积(一定非负),再求它算术平方根.对于复杂向量也是如此.比
结合方法求解.
第28页
探究一
探究二
探究三
本例(1)中,若非零向量a,b夹角为60°,且|a|=|b|,当(a+2b)⊥(ka-b)
时,求实数k值.
解:因为(a+2b)⊥(ka-b),
所以(a+2b)·(ka-b)=0,
即k|a|2+(2k-1)a·b-2|b|2=0,
1
所以 k|a|2+ - 2 |a|2-2|b|2=0,
所以a2=|a|2=4,b2=|b|2=9,
代入①式得
4+2a·b+9=16,得2a·b=3.
又因为(a-b)2=a2-2a·b+b2=4-3+9=10,
所以|a-b|= 10.
)
A.30° B.60°
C.120°
D.150°
(2)已知非零向量a,b满足|a|=|b|=|a+b|,求a与a+b夹角及a与a-b
夹角.
分析(1)将已知条件展开变形后利用数量积定义求解;(2)可采取
数形结合方法组成平面图形求解.
第25页
探究一
探究二
探究三
(1)解析:因为(2a+b)⊥b,
所以2(a+b)·b=0,
∴|b|2-2|b|-3=0.∴|b|=3 或|b|=-1(舍去).
答案:(1)5 7 (2)3
第22页
探究一
探究二
探究三
|a|= ·，
反思感悟 依据数量积定义a·
a=|a||a|cos 0°=|a|2,得
这是求向量模一个方法.即要求一个向量模,先求这个向量与本
身数量积(一定非负),再求它算术平方根.对于复杂向量也是如此.比
结合方法求解.
第28页
探究一
探究二
探究三
本例(1)中,若非零向量a,b夹角为60°,且|a|=|b|,当(a+2b)⊥(ka-b)
时,求实数k值.
解:因为(a+2b)⊥(ka-b),
所以(a+2b)·(ka-b)=0,
即k|a|2+(2k-1)a·b-2|b|2=0,
1
所以 k|a|2+ - 2 |a|2-2|b|2=0,
所以a2=|a|2=4,b2=|b|2=9,
代入①式得
4+2a·b+9=16,得2a·b=3.
又因为(a-b)2=a2-2a·b+b2=4-3+9=10,
所以|a-b|= 10.
高考数学一轮复习第五章平面向量第3节平面向量的数量积市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT课件
(2)解决向量的夹角问题时要注意方法的选择，可以用定 义法、坐标法以及图形法求解，在用定义法求解的过程中要 注意运算的准确率．
(3)数量积大于 0 且两向量不共线时两向量的夹角为锐 角，数量积小于 0 且两向量不共线时两向量的夹角为钝角．
38/72
1．[角度 1](2015·重庆卷)若非零向量 a，b 满足|a|＝2 3 2|b|，
19/72
考点
题型突破
20/72
考点一 平面向量数量积的运算——互动型
21/72
(1)已知向量 a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则(a＋b)·(a
－2b)＝(
)
A．2
B．－2
C．－3
D．4
22/72
(2)(2015·四川卷)设四边形 ABCD 为平行四边形，|A→B|＝6，
|A→D|＝4.若点 M，N 满足B→M＝3M→C，D→N＝2N→C，则A→M·N→M＝
则(2a＋b)·a＝(
)
A．－1
B．0
C．1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D．2
[解析] a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，
－1)＝1.
[答案] C
12/72
3．(2016·全国卷Ⅱ)已知向量 a＝(1，m)，b＝(3，－2)，
且(a＋b)⊥b，则 m＝(
)
A．－8
B．－6
C．6
D．8
[解析] 由题意可知，向量 a＋b＝(4，m－2)．由(a＋b)
[答案] C
16/72
6．(2016·沧州一中月考)如图，△ABC 中， AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，D 是 BC 的中点， 则B→A·A→D的值为________．
(3)数量积大于 0 且两向量不共线时两向量的夹角为锐 角，数量积小于 0 且两向量不共线时两向量的夹角为钝角．
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1．[角度 1](2015·重庆卷)若非零向量 a，b 满足|a|＝2 3 2|b|，
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考点
题型突破
20/72
考点一 平面向量数量积的运算——互动型
21/72
(1)已知向量 a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则(a＋b)·(a
－2b)＝(
)
A．2
B．－2
C．－3
D．4
22/72
(2)(2015·四川卷)设四边形 ABCD 为平行四边形，|A→B|＝6，
|A→D|＝4.若点 M，N 满足B→M＝3M→C，D→N＝2N→C，则A→M·N→M＝
则(2a＋b)·a＝(
)
A．－1
B．0
C．1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D．2
[解析] a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，
－1)＝1.
[答案] C
12/72
3．(2016·全国卷Ⅱ)已知向量 a＝(1，m)，b＝(3，－2)，
且(a＋b)⊥b，则 m＝(
)
A．－8
B．－6
C．6
D．8
[解析] 由题意可知，向量 a＋b＝(4，m－2)．由(a＋b)
[答案] C
16/72
6．(2016·沧州一中月考)如图，△ABC 中， AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，D 是 BC 的中点， 则B→A·A→D的值为________．
平面向量的数量积公开课一等奖优秀课件(2024)
性质
数量积满足交换律、分配律和结合律，即$vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{a}$， $(vec{a} + vec{b}) cdot vec{c} = vec{a} cdot vec{c} + vec{b} cdot vec{c}$， $(lambdavec{a}) cdot vec{b} = lambda(vec{a} cdot vec{b})$。
空间向量的数量积性质
满足交换律、分配律和结合律，且当两向量垂直时，其数量积为零。
2024/1/29
空间向量的数量积应用
在物理中，用于计算力在某一方向上的做功；在计算机图形学中，用 于计算光照强度等。
与平面向量的数量积比较
空间向量的数量积与平面向量的数量积在定义和性质上有很多相似之 处，但空间向量的数量积涉及三维空间，更为复杂和抽象。
6
02
平面向量的基本概念与性质
2024/1/29
7
向量的定义与表示方法
2024/1/29
向量的定义
向量是既有大小又有方向的量， 通常用有向线段表示，有向线段 的长度表示向量的大小，有向线 段的方向表示向量的方向。
向量的表示方法
向量可以用小写字母或大写字母 加箭头表示，如$vec{a}$或 $vec{AB}$，其中起点为A，终点 为B。
向量的共线定理
向量$vec{a}$与$vec{b}$共线的 充要条件是存在唯一实数$k$，
使得$vec{a} = kvec{b}$。
2024/1/29
9
向量的模与方向角
01
向量的模
向量的模定义为向量的长度，记作$|vec{a}|$，对于任意向量$vec{a}$
数量积满足交换律、分配律和结合律，即$vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{a}$， $(vec{a} + vec{b}) cdot vec{c} = vec{a} cdot vec{c} + vec{b} cdot vec{c}$， $(lambdavec{a}) cdot vec{b} = lambda(vec{a} cdot vec{b})$。
空间向量的数量积性质
满足交换律、分配律和结合律，且当两向量垂直时，其数量积为零。
2024/1/29
空间向量的数量积应用
在物理中，用于计算力在某一方向上的做功；在计算机图形学中，用 于计算光照强度等。
与平面向量的数量积比较
空间向量的数量积与平面向量的数量积在定义和性质上有很多相似之 处，但空间向量的数量积涉及三维空间，更为复杂和抽象。
6
02
平面向量的基本概念与性质
2024/1/29
7
向量的定义与表示方法
2024/1/29
向量的定义
向量是既有大小又有方向的量， 通常用有向线段表示，有向线段 的长度表示向量的大小，有向线 段的方向表示向量的方向。
向量的表示方法
向量可以用小写字母或大写字母 加箭头表示，如$vec{a}$或 $vec{AB}$，其中起点为A，终点 为B。
向量的共线定理
向量$vec{a}$与$vec{b}$共线的 充要条件是存在唯一实数$k$，
使得$vec{a} = kvec{b}$。
2024/1/29
9
向量的模与方向角
01
向量的模
向量的模定义为向量的长度，记作$|vec{a}|$，对于任意向量$vec{a}$
山东地区高级中学数学优质课一等奖课件教材-向量数量积共38页
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
1、不要轻言放弃，否则对不起自己。
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从Biblioteka 边走远。-戴尔．卡耐基。梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
山东地区高级中学数学优质课一等奖课件 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。 教材-向量数量积
向量的数量积课件
详细描述
向量数量积在计算机图形学中也有着广可以用 来计算光照和阴影的方向和强度，或者用来 实现物理模拟和动画效果。此外，向量数量 积还可以用于实现碰撞检测和运动控制等算 法。
05
总结与展望
向量数量积的重要性和意义
数学基础
，数量积为ab。
几何意义
向量数量积的几何意义是表示一个向量在另一个向量上的投 影长度。
当两个向量的夹角为锐角时，数量积为正，表示两向量方向 相同；当夹角为钝角时，数量积为负，表示两向量方向相反 ；当夹角为直角时，数量积为0。
向量数量积的运算性质
向量数量积满足交换律和分配 律，即a·b=b·a和 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积的模的性质
总结词
两个向量的数量积的值等于它们的模的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。
详细描述
向量的数量积的模的性质表明，两个向量的数量积等于它们的模的乘积与它们 夹角的余弦值的乘积。这个性质对于计算两个向量的数量积非常重要，因为它 提供了一个公式来直接计算数量积的值。
向量数量积的交换律和结合律
向量的数量积ppt课件
目录
• 向量数量积的定义 • 向量数量积的性质 • 向量数量积的运算 • 向量数量积的应用 • 总结与展望
01
向量数量积的定义
定义
向量数量积定义为两个向量的模 长之积与夹角的余弦值的乘积，
记作a·b=abcosθ。
其中，a和b分别为两个向量，θ 为两向量的夹角。
当两个向量的夹角为90°时，数 量积为0；当夹角为0°或180°时
理论价值
向量的数量积是向量代数中的基本概 念之一，是研究向量关系和进行数学 分析的重要工具。
向量数量积的概念是线性代数和解析 几何理论体系的重要组成部分，对于 理解空间几何和线性变换的本质具有 重要意义。
向量数量积的坐标运算与度量公式公开课一等奖课件省赛课获奖课件
a2
e2，b
b1
e1
b2
e2
a b a1e1 a2 e2 • b1e1 b2 e2
利用运算律展开
2
2
a b a1b1e1 b1a2 e2 e1 a1b2 e1 e2 a2b2 e2
寻找出发点
研究x，y轴上单位向量的数量积
&2.3.3向量数量积的坐标 运算与度量公式
一. 向量内积的坐标运算
1a 3，2，b 4，6； 2a 7，1，b 2，14； 3a 1，1 ，b 2， 2 ；4a 3，4，b 4， 3；
3 2 3
变式：与向量 a 3,4垂直的向量可以写成
？
变式：与向量 a 3,4垂直的单位向量是
？
变式：写出与下列向量垂直的单位向量：
1a 3，4； 2b 1，1; 3c 3， 4; 4d 12， 5.
(3)_(_a___b_)_ c____a__c__b___c____
问已 我题知 们研两 能究个 否非 用零a和向b量的a坐用a标(1,aa来12,，a表2b1)示 ,,bb2a表•示(bba1呢,•bb？ 2 ),
b b1e1 b2 e2
a a1e1 a2e2
寻找联系
a
a1 e1
复习回想
1.平面对量数量积的定义：
a
b
_a_b__c_o_s__
2.平面 对量数量积的性 质：
(1)a b _a__b___0 (2) a __a__a___
3.平面已对知量向数量量a，积b的，运c和算实律数: ，则有：
(1)__a__b____b__a___
(2)_(__a__)_ b______(a___b_)___a___(__b_)_
高考数学复习第五章平面向量5.3平面向量的数量积市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT课件
38/76
跟踪训练
在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝
cos x)，x∈0，π2.
22，－
22，n＝(sinx，
(1)若m⊥n，求tan x值；
解
因为
m＝
22，－
22，n＝(sin
x，cos
x)，m⊥n.
所以
m·n＝0，即
2 2 sin
x－
2 2 cos
x＝0，
所以 sin x＝cos x，所以 tan x＝1.
解析 答案 51/76
4.(·乐山质检)在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝
A.－32
B.－32
2 C.3 解析
√D.23
AB2＋AC2－BC2 在△ABC 中，cos∠BAC＝ 2AB·AC
＝92＋×43－×120＝14，
∴A→B·A→C＝|A→B||A→C|cos∠BAC＝3×2×41＝23.
(4)(a·b)c＝a(b·c).( × )
(5)两个向量夹角范围是
0.，( π2 ) ×
(6)若a·b>0，则a和b夹角为锐角；若a·b<0，则a和b夹角为钝角.( ) ×
123456
10/76
题组二 教材改编 2.[P105例4]已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝__1_2___.
(4)若a，b都是非零向量，θ是a与b夹角，则cos θ＝
a·b 2 2
22
|a＝||b| x ＋y x ＋.y 1 1 2 2 _______________________________________
8/76
【知识拓展】 1.两个向量a，b夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线； 两个向量a，b夹角为钝角⇔a·b<0且a，b不共线. 2.平面向量数量积运算惯用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. (2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2. (3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.
跟踪训练
在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝
cos x)，x∈0，π2.
22，－
22，n＝(sinx，
(1)若m⊥n，求tan x值；
解
因为
m＝
22，－
22，n＝(sin
x，cos
x)，m⊥n.
所以
m·n＝0，即
2 2 sin
x－
2 2 cos
x＝0，
所以 sin x＝cos x，所以 tan x＝1.
解析 答案 51/76
4.(·乐山质检)在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝
A.－32
B.－32
2 C.3 解析
√D.23
AB2＋AC2－BC2 在△ABC 中，cos∠BAC＝ 2AB·AC
＝92＋×43－×120＝14，
∴A→B·A→C＝|A→B||A→C|cos∠BAC＝3×2×41＝23.
(4)(a·b)c＝a(b·c).( × )
(5)两个向量夹角范围是
0.，( π2 ) ×
(6)若a·b>0，则a和b夹角为锐角；若a·b<0，则a和b夹角为钝角.( ) ×
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题组二 教材改编 2.[P105例4]已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝__1_2___.
(4)若a，b都是非零向量，θ是a与b夹角，则cos θ＝
a·b 2 2
22
|a＝||b| x ＋y x ＋.y 1 1 2 2 _______________________________________
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【知识拓展】 1.两个向量a，b夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线； 两个向量a，b夹角为钝角⇔a·b<0且a，b不共线. 2.平面向量数量积运算惯用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. (2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2. (3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.
【高质量】全国百强校山东省实验中学高一下学期数学必修四向量数量积的坐标运算PPT文档
a
两个a对向·应b量坐=的标a数的1b量乘1积+积等之a于2和b它2们
b
e向量 垂直的条件？
知识支持
两个向量垂直的条件 a ⊥ b a ·b = 0
已知两个非零向量 a = (a1 , a2)，b = (b1 , b2)，
如果 a ⊥ b，则 a1b1 + a2b2 = 0 如果 a1b1 + a2b2 = 0；则 a ⊥ b.
（3）a ·a = | a |2 或 | a | = a ·a = a 2
（4）cos<a , b> a ·b ab
（5）| a ·b | ≤ | a || b |
Ø【问题3】平面向量数量积满足哪些运算律？
a ·b = b ·a
(a) ·b = (a ·b) = a ·(b)
(a + b) ·c = a ·c + b ·c
达式？ 你还记得它们是如何推导出来的吗？
（3）a ·a = | a |2 或 | a | =
=
全国百强校山东省实验中学高一下学期数学课件必修四向量数量积的坐标运算PPT
全国百强校山东省实验中学高一下学期数学课件必修四向 量数量积的坐标运算PPT
Ø【问题1】平面向量数量积是如何定义的？
a ·b = | a | | b | cos< a , b >
Ø【问题2】两个向量数量积有什么重要性质？ （1）如果e是单位向量 e ·a = a ·e = | a | cos<a , e> （2）两个向量垂直的条件 a ⊥ b a ·b = 0
a ·b = (a1e1 + a2e2)·(b1e1 + b2e2)
= a1b1e1·e1 + a1b2e1·e2 + a2b1e2·e1 + a2b2e2·e2
高中数学第二章平面向量2.4向量的数量积全国公开课一等奖百校联赛微课赛课特等奖PPT课件
a
2
a
| a
|2
或 | a |
2
a与b 数量积等于|a|与b在 a 方向上投影积.
即 a b | a | (| b | cos )
4/12
5.向量数量积满足运算律:
(1)交换律:
a bb a
(2)对实数结合律: (a) b (a b)
(3)分配律:
a (b c) a b a c
2.4 向量数量积
1/12
复习
1.向量数量积:
已知两个非零向量 a, b ,它们夹角为 ,我们把 | a || b | cos 叫做向量a和b 数量积(或内积).
记作: a b 即 a b | a || b | cos 要求:零向量与任一向量数量积为0.
2.两非零向量夹角:
对于两非零向量a, b ,作 OA a,OB b ,则 AOB 叫做 a与b夹角. (0 180)
11/12
12/12
则k=_______
8/12
4.已知两非零向量 a与b满足 | a b || a b |, 则 a与b
夹角是_______
5.已知 a,b 为非零向量,且 a 3b与7a 5b垂直 , a 4b与7a 2b 垂直,求 a与b 夹角.
9/12
蓦然回首
这节课我收获是什么？
10/12
P79 习题 2, 3, 4, 5.
2/12
3.向量数量积主要性质:(设非零向量 a与b的夹角为)
(1) cos a b
| a || b |
(2)a b 0 a b
(4) | a b || a || b |
(3)a,b同向时, a b | a | | b |
a,b反向时, a b | a | | b |
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F
s
回顾反思 拓展延伸 1.课堂小结
向量在 轴上的 正射影
功 向量 向量数量积
数量积
向量 的夹角
数量积的 数量积 五条性质 的性质
回顾反思 拓展延伸 1.课堂小结
由具体 到抽象
分类 讨论
数学思 想方法
由特殊 到一般
数形 结合
回顾反思 拓展延伸
2.布置作业
基础巩固 课本 P109 练习 A 第 2 题
过程与方法目标 通过分析实际问题,经历 由特殊到一般、由具体 到抽象的过程；渗透分 类讨论、数形结合等思 想方法.
教学重点、难点
平面向量数量积的定义和性质
理解向量在轴上的正射影及其数量； 发现平面向量数量积的性质
教法学法
教学方法
情境式和问题 探究式相结合
教法 学法
学法指导 自主探究与 合作交流
教学手段 多媒体和 导学案
教学过程
物理背景
追溯
概念的起源
揭示
抽象概括
概念的内涵 概念的外延
发现
问题探究
教学过程
创 设 情 境
引 入 背 景
分 析 背 景 形 成 概 念
应 用 概 念
探 究 性 质
归 纳 性 质
回 顾 反 思 拓 展 延 伸
学 以 致 用
创设情境 引入背景
创设情境 引入背景
想一想
F
s
大力士拉车,沿着绳 ur 子方向上的力为 F ,车的 r 位移是 s ，力和位移的 夹角为 ，所做的功为 多少？ W | s || F | cos
1 l 1
l
分析背景 形成概念
作一作
分别作出图中 OA ，OB ，OC 在轴 l 上的
正射影， 并指出所作正射影的数量的符号.
B
A
C
C1
O B1
A1
l
分析背景 形成概念
练一练
(1) 已知 | OA | 5 , OA, l 120 ,求 OA
向量的数量积
性质1 性质2 性质3 性质4 性质5
例题示范 学习练习
课堂小结
布置作业
设计说明
设计特色
• 于物理中提炼 • 在抽象中思考
• 从数学中感悟
• 到生活中应用
3. a b 的几何意义：数量积 a b 等于 a a 方向上的正射影的数量 | b | cosa, b 的乘积；
的长度 | a | 与 b 在
4.性质 1 若 e 是单位向量，则 a e e a | a | cosa, e ， 表示 a 在 e 方向上的正射影的数量.
应用概念 探究性质
一例
二练 三探究
应用概念 探究性质
讲一讲
例
已知 | a | 5 , | b | 4 , a, b 120 ,求 a b .
应用概念 探究性质
算一算
(1)已知 | a | 2 ， | b | 3 ，a b=3 ,求 a, b .
做 a 和 b 的数量积(或内积)，记作 a b ，即
a b | a || b | cosa, b .
规定 零向量与任一向量的数量积为 0
分析背景 形成概念
定义剖析
1.“ ”是内积运算符号，不能省略也不能用“ ”代替；
2.数量积 a b 的结果是一个实数；
人教B版 数学 必修 4
2.3.1 向量数量积的
物理背景与定义
山东师范大学附属中学
徐同
内容提要
学情 分析
教材 分析
教学 目标
教法 学法
教学 过程
设计 说明
教材分析
物理 背景
减法
加 法 向量 概念 数乘 数 量 积 代数 几何
抽象
B
错 解 重 现
注意：求两个向量的夹角时要将两个向量平移到同一始点.
分析背景 形成概念
问题 2
如何作出力 F 在位移 s 方向上的
分力？它的大小是多少？
F
| F | cos
s
a
O
A
x
1
W | s || F | cos
A al | a | cos O1
分析背景 形成概念
两个向量 的夹角
向量在轴上 的正射影
向量的 数量积
分析背景 形成概念
问题 1 这个物理背景涉及哪些矢量？ 影响功的因素有哪几个？
F
W | s || F | cos
s
b
a
O
b
B
a
A
分析背景 形成概念
已知两个非零向量 a ， b ，作 OA a ，
l
分析背景 形成概念
已知向量 a 和轴 l .作 OA a ，过点 O , A 分别作 轴 l 上的垂线，垂足分别为 O1 , A1 ，则向量 O1 A1 叫做 向量 a 在轴 l 上的正射影（简称射影） ，该射影在轴 l 上的坐标，称作 a 在轴 l 上 A 的数量或在轴 l 的方向上 a 的数量记作 a l . O x a l | a | cos Oa A
向量 a 在 b 方向上的正射影的数量.
b
分析背景 形成概念
s F
W
W | s || F | cos
F
a b a b
a b | a || b | cosa, b
s
分析背景 形成概念
定义
已知两个非零向量 a , b ， 把数量 | a || b | cosa, b 叫
练习 B 第 1,2 题
能力发展 课本 P115 习题 2-3A 第 1,2,3 题
拓展延伸
通过查阅图书资料或网上资料， 完成向量的另 一种乘法运算——矢量积的概念的学习和性质的探 讨，并探索出自己的成果形成小论文.
面对挑战，敢于超越！
设计说明
板书设计
2.3.1 向量数量积的物理背景与定义 两个向量的夹角 向量在轴上的正 射影及其数量
3.零向量与任意向量垂直.
规定
分析背景 形成概念
找一找
如图，在等腰直角 ABC 中， C 90 , 求出下列两个非零向量的夹角. C (1) AC, AB =___； (2) CA, CB =____； A (3) CB, BA =____.
归纳性质 学以致用
（1）如果 e 是单位向量，则
a e e a | a | cos a, e ；
（2） a b a b 0 ，且 a b 0 a b ； 2 （3） a a | a | 即 | a | a a ；
OB b ，则 AOB 称作向量 a 和向量 b 的夹 角，记作 a, b . a, b b, a
b
b
O
B
a
a
A
分析背景 形成概念
b
a
1. 0 a, b ； 2.当 a, b 时， 则称向量 2 a 与向量 b 互相垂直 . 记作 a b；
性质 2 a b a b 0且 a b 0 a b
性质 5
| a b || a || b |
辨一辨
(1) 已知 a b ,求 a b 的值. （2）已知 a b 0 ，试讨论 a 与 b 是否垂直. （3）试比较 | a b | 与 | a || b | 的大小.
a b 性质 4 cos a, b (| a || b | 0) | a || b | (2)已知 | a | 2 ,求 a a .
性质 3
2 a a | a | ,即 | a | a a
应用概念 探究性质
A
120
(2) 已知 a, b 45 , | a | 2 ，| b | 3 ， 求
a 在 b 方向上的正射影的数量.
在轴 l 上的正射影的数量 OA1 .
A 1
O
l
a
45
已知两个非零向量 a 和 b ， 则 | a | cos a, b 叫做
（5） | a b || a || b | .
a b （4） cos a, b |
归纳性质 学以致用
用一用
已知本课视频中大力士拉力 F 与卡车的位移 成 30 角，若卡车在位移方向上匀速前进了 5m ， 拉力对卡车所做的功为 2500J ，求拉力 F 的大小.
平面向量 的数量积
三角
学情分析
学习向量的概念和线性运算
了解物理背景：力,位移,功
具备数学建模能力 抽象能力有待提高
教学目标
情感态度与 价值观目标 通过物理背景，体 会向量的科学价值, 培养探索精神，提 高应用意识.
教学 目标
知识与技能目标 理解向量数量积的 含义及其物理意义； 初步掌握数量积的 性质；培养抽象思 维能力.
s
回顾反思 拓展延伸 1.课堂小结
向量在 轴上的 正射影
功 向量 向量数量积
数量积
向量 的夹角
数量积的 数量积 五条性质 的性质
回顾反思 拓展延伸 1.课堂小结
由具体 到抽象
分类 讨论
数学思 想方法
由特殊 到一般
数形 结合
回顾反思 拓展延伸
2.布置作业
基础巩固 课本 P109 练习 A 第 2 题
过程与方法目标 通过分析实际问题,经历 由特殊到一般、由具体 到抽象的过程；渗透分 类讨论、数形结合等思 想方法.
教学重点、难点
平面向量数量积的定义和性质
理解向量在轴上的正射影及其数量； 发现平面向量数量积的性质
教法学法
教学方法
情境式和问题 探究式相结合
教法 学法
学法指导 自主探究与 合作交流
教学手段 多媒体和 导学案
教学过程
物理背景
追溯
概念的起源
揭示
抽象概括
概念的内涵 概念的外延
发现
问题探究
教学过程
创 设 情 境
引 入 背 景
分 析 背 景 形 成 概 念
应 用 概 念
探 究 性 质
归 纳 性 质
回 顾 反 思 拓 展 延 伸
学 以 致 用
创设情境 引入背景
创设情境 引入背景
想一想
F
s
大力士拉车,沿着绳 ur 子方向上的力为 F ,车的 r 位移是 s ，力和位移的 夹角为 ，所做的功为 多少？ W | s || F | cos
1 l 1
l
分析背景 形成概念
作一作
分别作出图中 OA ，OB ，OC 在轴 l 上的
正射影， 并指出所作正射影的数量的符号.
B
A
C
C1
O B1
A1
l
分析背景 形成概念
练一练
(1) 已知 | OA | 5 , OA, l 120 ,求 OA
向量的数量积
性质1 性质2 性质3 性质4 性质5
例题示范 学习练习
课堂小结
布置作业
设计说明
设计特色
• 于物理中提炼 • 在抽象中思考
• 从数学中感悟
• 到生活中应用
3. a b 的几何意义：数量积 a b 等于 a a 方向上的正射影的数量 | b | cosa, b 的乘积；
的长度 | a | 与 b 在
4.性质 1 若 e 是单位向量，则 a e e a | a | cosa, e ， 表示 a 在 e 方向上的正射影的数量.
应用概念 探究性质
一例
二练 三探究
应用概念 探究性质
讲一讲
例
已知 | a | 5 , | b | 4 , a, b 120 ,求 a b .
应用概念 探究性质
算一算
(1)已知 | a | 2 ， | b | 3 ，a b=3 ,求 a, b .
做 a 和 b 的数量积(或内积)，记作 a b ，即
a b | a || b | cosa, b .
规定 零向量与任一向量的数量积为 0
分析背景 形成概念
定义剖析
1.“ ”是内积运算符号，不能省略也不能用“ ”代替；
2.数量积 a b 的结果是一个实数；
人教B版 数学 必修 4
2.3.1 向量数量积的
物理背景与定义
山东师范大学附属中学
徐同
内容提要
学情 分析
教材 分析
教学 目标
教法 学法
教学 过程
设计 说明
教材分析
物理 背景
减法
加 法 向量 概念 数乘 数 量 积 代数 几何
抽象
B
错 解 重 现
注意：求两个向量的夹角时要将两个向量平移到同一始点.
分析背景 形成概念
问题 2
如何作出力 F 在位移 s 方向上的
分力？它的大小是多少？
F
| F | cos
s
a
O
A
x
1
W | s || F | cos
A al | a | cos O1
分析背景 形成概念
两个向量 的夹角
向量在轴上 的正射影
向量的 数量积
分析背景 形成概念
问题 1 这个物理背景涉及哪些矢量？ 影响功的因素有哪几个？
F
W | s || F | cos
s
b
a
O
b
B
a
A
分析背景 形成概念
已知两个非零向量 a ， b ，作 OA a ，
l
分析背景 形成概念
已知向量 a 和轴 l .作 OA a ，过点 O , A 分别作 轴 l 上的垂线，垂足分别为 O1 , A1 ，则向量 O1 A1 叫做 向量 a 在轴 l 上的正射影（简称射影） ，该射影在轴 l 上的坐标，称作 a 在轴 l 上 A 的数量或在轴 l 的方向上 a 的数量记作 a l . O x a l | a | cos Oa A
向量 a 在 b 方向上的正射影的数量.
b
分析背景 形成概念
s F
W
W | s || F | cos
F
a b a b
a b | a || b | cosa, b
s
分析背景 形成概念
定义
已知两个非零向量 a , b ， 把数量 | a || b | cosa, b 叫
练习 B 第 1,2 题
能力发展 课本 P115 习题 2-3A 第 1,2,3 题
拓展延伸
通过查阅图书资料或网上资料， 完成向量的另 一种乘法运算——矢量积的概念的学习和性质的探 讨，并探索出自己的成果形成小论文.
面对挑战，敢于超越！
设计说明
板书设计
2.3.1 向量数量积的物理背景与定义 两个向量的夹角 向量在轴上的正 射影及其数量
3.零向量与任意向量垂直.
规定
分析背景 形成概念
找一找
如图，在等腰直角 ABC 中， C 90 , 求出下列两个非零向量的夹角. C (1) AC, AB =___； (2) CA, CB =____； A (3) CB, BA =____.
归纳性质 学以致用
（1）如果 e 是单位向量，则
a e e a | a | cos a, e ；
（2） a b a b 0 ，且 a b 0 a b ； 2 （3） a a | a | 即 | a | a a ；
OB b ，则 AOB 称作向量 a 和向量 b 的夹 角，记作 a, b . a, b b, a
b
b
O
B
a
a
A
分析背景 形成概念
b
a
1. 0 a, b ； 2.当 a, b 时， 则称向量 2 a 与向量 b 互相垂直 . 记作 a b；
性质 2 a b a b 0且 a b 0 a b
性质 5
| a b || a || b |
辨一辨
(1) 已知 a b ,求 a b 的值. （2）已知 a b 0 ，试讨论 a 与 b 是否垂直. （3）试比较 | a b | 与 | a || b | 的大小.
a b 性质 4 cos a, b (| a || b | 0) | a || b | (2)已知 | a | 2 ,求 a a .
性质 3
2 a a | a | ,即 | a | a a
应用概念 探究性质
A
120
(2) 已知 a, b 45 , | a | 2 ，| b | 3 ， 求
a 在 b 方向上的正射影的数量.
在轴 l 上的正射影的数量 OA1 .
A 1
O
l
a
45
已知两个非零向量 a 和 b ， 则 | a | cos a, b 叫做
（5） | a b || a || b | .
a b （4） cos a, b |
归纳性质 学以致用
用一用
已知本课视频中大力士拉力 F 与卡车的位移 成 30 角，若卡车在位移方向上匀速前进了 5m ， 拉力对卡车所做的功为 2500J ，求拉力 F 的大小.
平面向量 的数量积
三角
学情分析
学习向量的概念和线性运算
了解物理背景：力,位移,功
具备数学建模能力 抽象能力有待提高
教学目标
情感态度与 价值观目标 通过物理背景，体 会向量的科学价值, 培养探索精神，提 高应用意识.
教学 目标
知识与技能目标 理解向量数量积的 含义及其物理意义； 初步掌握数量积的 性质；培养抽象思 维能力.