级数的敛散性判别习题课

n1
n1
定义:若 un 收敛, 则称 un 为绝对收敛;
n1
n0
若 un 发散,而 un 收敛, 则称 un 为条件收敛.
n1
n1
n1
5、函数项级数
(1) 定义
设 u1( x), u2 ( x), , un ( x), 是 定 义在 I R 上
的函数,则 u1( x) u2 ( x) un ( x)
称s( x)为函数项级数的和函数.
二、典型例题
例1 判断级数敛散性 :
(1)
n 1
nn
n1 (n 1 )n ;
n
1
1
解
un
nn (n
nn 1 )n
(1
nn 1
)n
,
n
n2
lim(1
n
1 )n n2
lim[(1
n
1
1
)n2 ]n
n2
e0
1;
1
lim nn
1
lim x x
exp{lim 1 ln x}
n1
称为定义在区间I 上的(函数项)无穷级数.
(2) 收敛点与收敛域
如果 x0 I ,数项级数 un ( x0 )收敛,
n1
则称x0 为级数 un ( x)的收敛点,否则称为发散点.
n1
函数项级数 un( x)的所有收敛点的全体称为收敛域, n1
所有发散点的全体称为发散域.
(3) 和函数
在收敛域上,函数项级数的和是x 的函数s( x) ,
第十一章 无穷级数
习 题 课一 主要内容 典型例题
1、常数项级数
定义
un u1 u2 u3 un
n1
n
级数的部分和 sn u1 u2 un ui
i 1
级数的收敛与发散
常数项级数收敛(发散)
lim
n
sn
存在(不存在).
收敛级数的基本性质
性质1: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变.
设 un 为正项级数,
n1
如果lim n
nun
l
0
(或lim n
nun
),
则级数 un 发散;
n1
如果有 p 1,
使得lim n
n
p
un
存在,
则级数 un 收敛.
n1
(4) 比值审敛法(达朗贝尔 D’Alembert 判别法)
设
n1
un
是正项级数,如果lim n
un1 un
(数或 )
,
原级数也发散．
n
例２
判断级数
n1
(1)n n ln n
是否收敛？如果收敛，
是条件收敛还是绝对收敛？
解
1 1, n ln n n
而 1 发散, n n1
(1)n
1 发散,
n1 n ln n n1 n ln n
即原级数非绝对收敛．
(1)n 是交错级数, 由莱布尼茨定理：
n1 n ln n
n1
n1
莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件:
( ⅰ )un
un1
(n
1,2,3,
);(
ⅱ
)
lim
n
un
0, 则
级 数 收 敛 , 且 其 和 s u1, 其 余 项 rn 的 绝 对 值
rn un1.
4、任意项级数及其审敛法
定义 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.
定理 若 un 收敛,则 un 收敛.
1 1, 2
n 收敛, 根据比较判别法， 原级数收敛．
2n
n1
(3)
ln(n 2) n1 (a 1 )n
(a 0).
n
解
lim n
n
un
n
lim
n
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ln(n 2) a1
1 lim n
a n
ln( n 2),
n
n 2 时, n 2 en , 从而有
1 n ln(n 2) n n,
故 1 当 n 1时单减, n ln n
1
1
un n ln n (n 1) ln(n 1) un1 (n 1),
所以此交错级数收敛， 故原级数是条件收敛．
问题:
交 错 级 数 (1)n1 un , 如 果 它 不 满 足 n1
由于 lim n n 1, n
lim n ln(n 2) 1,
n
lim n
n
un
1. a
当 a 0 即 0 1 1时, 原级数收敛； a
当 0 a 1即 1 1时, 原级数发散； a
当 a 1时,
原级数为
n1
ln(n (1
1
2), )n
n
lim
n
ln(n (1
2) 1 )n
4.绝对收敛
4.充要条件 5.比较法 6.比值法 7.根值法
4.绝对收敛 5.交错级数 (莱布尼茨定理)
2、正项级数及其审敛法
定义
un , un 0
n1
审敛法 正项级数收敛 部分和所成的数列 sn有界.
(1) 比较审敛法
若 un 收敛(发散)且vn un (un vn ),
n1
则 vn 收敛(发散).
lim ln n lim ln x lim 1 0,
n n
x x
x x
1
lim n n
1 ln n
lim
n
1
n ln n
0,
n
f ( x) x ln x ( x 0),
f ( x) 1 1 0 ( x 1), x
在 (1,) 上单增, 即 1 单减, x ln x
n
x
x x
exp{lim 1 } e0 1; x x
lim n
un
1
0,
根据级数收敛的必要条件，原级数收敛．
ncos2 n
(2)
n1
2n 3 ;
解
un
n cos 2 2n
n 3
n 2n
,
令
n vn 2n ,
lim vn1 v n
n
n 1 2n lim 2 n n n1
n1 lim 2n n
n1
(2) 比较审敛法的极限形式
设
n1
un
与
n1
vn
都是正项级数,如果lim n
un vn
l
,
则(1) 当0 l 时,二级数有相同的敛散性;
(2) 当l 0 时，若 vn 收敛,则 un 收敛;
n1
n1
(3) 当l 时, 若 vn 发散,则 un 发散;
n1
n1
(3) 极限审敛法
则 1时级数收敛; 1 时级数发散; 1时失效.
(5) 根值审敛法 (柯西判别法)
设 un 是正项级数,
n1
如果lim n n
un
(为数或 ),
则 1时级数收敛; 1时级数发散; 1时失效.
3、交错级数及其审敛法
定义 正 、负项相间的级数称为交错级数.
(1)n1un或 (1)nun (其中un 0)
性质2:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.
性质3:在级数前面加上有限项不影响级数的敛 散性.
性质4:收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛 于原来的和.
级数收敛的必要条件:
lim
n
un
0.
常数项级数审敛法
一般项级数 正 项 级 数
任意项级数
1. 若 Sn S ,则级数收敛; 2. 当 n , un 0, 则级数发散; 3.按基本性质;