级数的敛散性判别习题课

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8.2正项级数敛散性的判别

∞
∞
证： ≤1 级发； >1 级收。明 p 时数散 p 时数敛 ∞ 1 解: (1) p = 1时, 调和级数 ∑ 发散 . n =1 n ∞ ∞ 1 1 1 ( 2) p < 1时， ≤ p Q ∑ 发散，∴ ∑ 1 发散. 发散， p n n n =1 n n =1 n ( 3) p > 1时，方向：证原级数某一收敛级数方向：证原级数<某一收敛级数 ∞ 1 1 1 1 1 1 1 ∑ np = 1 + 2p + 3p + 4p + 5p + 6p + 7p +L n =1 1 1 1 1 1 1 < 1 + ( p + p ) + ( p + p + p + p ) + L 几何级数 2 2 4 4 34 4 2 n ∞ 1 1 1 1 收敛！ < 1 + p −1 + p−1 + p −1 + L = ∑ p−1 收敛！ 2 n=0 2 2 2 +∞ 1 此论广积 ∫ dx的散相。敛性同 ∴ 原级数收敛。结与义分原级数收敛。 p 1 x
的敛散性。例2.判定∑ 2 sin n的敛散性。 3 n =1 解: 由于当 x > 0时， < sin x < x 0 n π 2 n n π 故0 < 2 sin n < 2 n = π ( n = 1,2L) 3 3 n 3 ∞ 2 2 Q ∑ π 为公比是的几何级数，收敛的几何级数， n =1 3 ∞3 π n ∴由比较判别法知 ∑ 2 sin n收敛。收敛。 3 n =1

无穷级数习题课含解答

无穷级数习题课1.判别级数的敛散性:（1）（2）（3）（4）（5）()211ln1nn n¥=+å()41tan1nn p¥=+å363663666-+-++×××+-++×××++×××21sinlnnnnp¥=æö+ç÷èøå()211lnnnn n¥=--å解：（1）为正项级数，当时，，根据比较审敛准则，与有相同敛散性，根据积分审敛准则，与反常积分有相同敛散性，而发散，故发散.()211ln 1n n n ¥=+ån ®¥()2111~2ln ln 1n u n n n n =+()211ln 1n n n ¥=+å21ln n n n ¥=å21ln n n n¥=å21ln dx x x +¥ò21ln dx x x +¥ò()211ln 1n n n ¥=+å（2）为正项级数，当时，，而收敛，根据比较审敛准则，收敛.()41tan 1n n p¥=+ån ®¥()422421tan1tan~21n u n n n n npp p =+-=++211n n ¥=å()41tan1n n p¥=+å（3）为正项级数，令，其中，易证单调递增且，故收敛;令，由，两边取极限得，，（舍去）;，，根据达朗贝尔比值审敛法，该级数收敛.363663666-+-++×××+-++×××++×××3n n u a =-666n a =++×××+{}n a 3n a <{}n a lim n n a a ®¥=16n n a a -=+6a a =+Þ260a a --=3a =2a =-111113311333n n n n n n n a a u u a a a +++++-+=×=-++1111lim lim 136n n n nn u u a +®¥®¥+==<+（4）看成交错级数，单调递减趋于0，根据Leibniz 定理，该级数收敛；其绝对值级数发散（这是因为当时，，而且），故级数条件收敛. ()2211sin 1sin ln ln n n n n n n p ¥¥==æö+=-ç÷èøåå1sin ln n ìüíýîþ21sin ln n n ¥=ån ®¥11sin ~ln ln n n 1lim ln n n n®¥×=+¥(5)为交错级数，其绝对值级数为，当时，，所以，该级数绝对收敛.()211ln nn n n¥=--å211ln n n n ¥=-ån ®¥2211~ln n n n-2. 设，且，证明级数条件收敛. ()01,2,n u n ¹= lim 1n nn u ®¥=()111111n n n n u u ¥-=+æö-+ç÷èøå证明：设级数的部分和为，则，因为，所以，于是，即级数收敛；其绝对值级数为，因为，所以级数发散，故原级数条件收敛.()111111n n n n u u ¥-=+æö-+ç÷èøån s ()()211223111111111111n n n n n n n s u u u u u u u u ---+æöæöæöæö=+-+++-++-+ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø()111111n n u u -+=+-lim1n nn u ®¥=()()1111111lim 1lim 101n n n n n n n u u n --®¥®¥+++-=-×=+()1111111lim lim 1n n n n n s u u u -®¥®¥+éù=+-=êúëû()111111n n n n u u ¥-=+æö-+ç÷èøå1111n n n u u ¥=++å11111lim lim 21n n n n n n n n nn u u u u n ®¥®¥+++×+=+×=+1111n n n u u ¥=++å3. 填空(1) _____(2) 设幂级数在处收敛, 则级数__收敛__.(收敛还是发散)(3) 设幂级数在处条件收敛，则幂级数在处（绝对收敛），在处（发散）； (4)设,, ,则________;________.11(1)2n n n -¥=-=å130(1)nn n a x ¥=-å12x =-0(1)n n n a ¥=-å1()nn x a n ¥=-å2x =-1()2nn n x a ¥=+åln 2x =-x p =11,02()1,12x f x x x ì£<ïï=íï ££ïî1()sin nn s x bn xp ¥==å102()sin n b f x n xdx p =ò3()2s =34-5()2s =344. 求幂级数的收敛域2112sin 22nn x n x ¥=+æöæöç÷ç÷-èøèøå 解：令，原级数变为变量t的幂级数.因为，所以收敛半径.又时级数发散，时级数收敛，故收敛域为;再由，解得, 原函数项级数的收敛域为.122xt x +=-21sin 2n n t n ¥=æöç÷èøå ()11sin21limlim 11sin2n n n nn a a n+®¥®¥+==1R =1t=21sin 2n n ¥=å1t=-()211sin 2nn n ¥=-å21sin 2n n t n ¥=æöç÷èøå [)1,1-12112x x +-££-133x -£<2112sin 22nn x n x ¥=+æöæöç÷ç÷-èøèøå 13,3éö-÷êëø5.求下列级数的和函数（1）（2）221212n n n n x ¥-=-å()()()201123!nn n n x n ¥=-++å解：（1）.令，，所以收敛半径. 当时，级数发散，所以幂级数的收敛域为.设级数的和函数为，对幂级数逐项积分得，，对上式两边求导得， .221212n n n n x ¥-=-å212n n n a -=11lim 2n n n a a +®¥=1212R ==2x =±()2,2D =-()s x ()212200112122n xx n n n n n n x s x dx x dx -¥¥-==-==ååòò222212xx x x ==--()2,2x Î-()()2222222x x s x x x ¢+æö==ç÷-èø-()2,2x Î-（2）. 易求该幂级数的收敛域为；设级数的和函数为，，，两边取积分，逐项求积分得， ()()()201123!nnn n x n ¥=-++å(),-¥+¥()s x ()()()()201123!nn n n s x xn ¥=-+=+å()()()()2101123!nn n n xs x x n ¥+=-+=+å()()()()()()21220000111123!223!nnxx n n n n n xs x dx x dx x n n ¥¥++==-+-==++ååòò当时，，求导得，当时，由所给级数知.因此. 0x ¹()()()()230111sin 223!2nxn n xs x dx x x x x n x¥+=-==-+åò()2sin 1sin cos 22x x x x xxs x x x ¢--æö==ç÷èø()3sin cos 2x x x s x x -=0x =()106s =()3sin cos ,021,06x x xx xs x x -ì¹ïï=íï=ïî6.求级数的和.()22112n n n ¥=-å解：考虑幂级数，收敛区间，设和函数为，则当且时,，. ()2211nn x n ¥=-å()1,1-()s x 11x -<<0x ¹()()222211121211nnnn n n x x s x x n n n ¥¥¥=====--+-ååå112212121n n n n x x x n x n -+¥¥===--+åå11220121212n n n n x x x x x n x n -+¥¥==æö=---ç÷-+èøåå()11ln 12224x x x x æö=--++ç÷èø()2211311153ln ln 2242288412nn s n ¥=æö==++=-ç÷-èøå()()211ln 1ln 1222x x x x x x éù=-------êúëû7.设，试将展开成的幂级数.()111ln arctan 412x f x x x x +=+--()f x x 解：，取0到x 的定积分，幂级数逐项求积分， .()241111111114141211f x x x x x¢=++-=-+-+-44011n n n n x x ¥¥===-=åå()11x -<<()()()4410111041xx nn n n f x f f x dx x dx x n ¥¥+==¢=+==+ååòò1x <8.设在上收敛，试证：当时，级数必定收敛. ()0nn n f x a x ¥==å[]0,1010a a ==11n f n ¥=æöç÷èøå证明: 由已知在上收敛，所以，从而有界. 即存在，使得，所以，；级数收敛，根据比较审敛准则，级数绝对收敛.()0n n n f x a x ¥==å[]0,1lim 0n n a ®¥={}n a 0M>n a M£()1,2,n = 0123232323111111f a a a a a a n n n n n n æö=++++=++ç÷èø()2231111111n M M M n n n n næö£++==ç÷-èø- ()2n ³()211n n n ¥=-å11n f n ¥=æöç÷èøå9.已知为周期是的周期函数，（1）展开为傅立叶级数；（2）证明；（3）求积分的值.[)2(),0,2f x x x p =Î2p ()f x ()1221112n n np -¥=-=å()10ln 1x dx x +ò解：（1）在处间断，其它点处都连续.所以由Dirichlet 收敛定理，时，级数收敛于，所以当时，有，亦即：.()f x ()20,1,2,x k k p ==±± ()()22220011183a f x dx f x dx x dx pppp pp pp-====òòò222022014cos ,14sin ,1,2,n n a x nxdx n b x nxdx n npp p p p ====-=òò ()()221414cos sin 20,1,2,3n f x nx nx x k k nn p p p ¥=æö=+-¹=±±ç÷èøå ()22214114cos sin ,0,23n x nx nx x nn p p p ¥=æö=+-Îç÷èøå()20,1,2,x k k p ==±± ()()2002022f f p p ++-=()20,1,2,x k k p ==±± 222141423n np p ¥=+=å22116n n p ¥==å（2）是连续点，所以即：;x p =()f x 2221414cos ,3n n np p p ¥==+å()221112nn n p¥=-=-å()1221112n n n p-¥=-Þ=å（3）积分是正常积分，不是瑕点，对，令，.()10ln 1x dx x +ò0x=()1,1t "Î-()()()()111112000111ln 1111n n n tt tn n nn n n x dx x dx x dx tx n nn---¥¥¥--===+---===åååòòò1t -®()10ln 1x dx x +ò()01ln 1lim t t x dx x -®+=ò()12111lim n n t n t n --¥®=-=å()12111lim n n t n t n --¥®=-=å()1221112n n np -¥=-==å10.证明下列展开式在上成立：（1）；（2）.并证明. []0,p ()221cos 26n nxx x n pp ¥=-=-å()()()31sin 21821n n xx x n p p¥=--=-å()()133113221n n n p -¥=-=-å证明：将函数展开为余弦级数和正弦级数.（1）对作偶延拓，再作周期延拓，得到的周期函数处处连续，根据Dirichlet 定理，时，的余弦级数处处收敛于.,()()f x x x p =-[]0,x p Î()f x []0,x p Î()f x ()f x ()()0022a f x dx x x dx ppp p p==-òò23202233x x pp p p æö=-=ç÷èø, ,所以在上，.()()022cos cos n a f x nxdx x x nxdx ppp p p==-òò()()()()200022sin 2sin 2cos x x nx x nxdx x d nx n n pppp p p ppéù=---=-êúëûòò()2211nn éù=--+ëû()()202112cos 11cos 26n n n n a f x a nx nx n p ¥¥==éù=+=--+ëûåå221cos 26n nxnp ¥==-å[]0,x p Î[]0,p ()221cos 26n nxx x n p p ¥=-=-å(2)对作奇延拓，再作周期延拓，得到的周期函数处处连续，根据Dirichlet 定理，时，的正弦级数处处收敛于. , ()f x []0,x p Î()f x ()f x ()()0022sin sin n b f x nxdx x x nxdx p pp p p ==-òò()()()()200022cos 2cos 2sin x x nx x nxdx x d nx n n p p p p p p p p éù=----=-êúëûòò()3411n n p éù=--ëû, 所以在上，. 令，有. ()()3114sin 11sin n n n n f x b nx nx n p ¥¥==éù==--ëûåå()()31sin 21821n n x n p ¥=-=-å[]0,x p Î[]0,p ()()()31sin 21821n n xx x n p p ¥=--=-å2x p =()()23181sin 214221n n n p p p ¥==--åÞ()()133113221n n n p -¥=-=-å。

高等数学数项级数的敛散性判别法课件

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定理4 定理 . 比值判别法
un+1 设为正项级数, 且 lim = ρ, 则 n→∞ un (1) 当 ρ < 1 时, 级数收敛 ; (2) 当 ρ > 1 或 ρ = ∞ 时, 级数发散 .
证: (1) 当ρ < 1时,
un+1 知存在 N ∈Z , 当n > N 时, < ρ + ε <1 un
un = 2 vn − un
n=1
n=1
∑ un , ∑2vn 收敛
n=1
∞
∞
n=1
∑un 也收敛
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∞
例7. 证明下列级数绝对收敛 : 2 ∞ ∞ sin nα nn (1) ∑ ; (2) ∑(−1) . n4 en n=1 n=1
sin nα 1 证: (1) Q ≤ 4,而 4 n n
S2n = u1 − (u2 − u3 ) − (u4 − u5 ) −L− (u2n−2 − u2n−1)
− u2n
是单调递增有界数列, 故又
n→∞
lim S2n+1 = lim( S2n + u2n+1)
n→∞
故级数收敛于S, 且 S ≤ u1,
= ±(un+1 − un+2 +L)
∴ rn = un+1 − un+2 + L ≤ un+1
1) un ≥ un+1 ( n = 1, 2, L);
2)
∞
n→∞
lim un = 0,
n−1 则级数 ∑(−1) un收敛 , 且其和 S ≤ u1, 其余项满足 n=1

正项级数敛散性地判别

一、正项级数敛散性的判别设∑∞=1n n u 是正项级数，假设 0lim ≠∞→n n u ,那么∑∞=1n n u 发散。

若0lim =∞→n n u ,那么∑∞=1n n u 可能收敛也可能发散。

可依照下面的思路判别其敛散性。

(1)若是通项n u 包括有n ！之类的因子，或关于n 的假设干因子连乘形式，那么用比值判别法，即ρ=+→∞n n n u u 1lim ，那么当1<ρ时∑∞=1n n u 收敛，当1>ρ时∑∞=1n n u 发散。

若是nn n u u 1lim +∞→不易计算，或不存在，或存在为1，那么适当放大n u ,使得n n v u ≤，并对∑∞=1n nv 应用比值判别法，若是∑∞=1n n v 收敛，那么∑∞=1n n u 收敛；或适当缩小n u ，使得0>≥n n v u ，并对应用比值判别法，若是∑∞=1n n v 发散，则∑∞=1n n u 发散。

(2)若是通项n u 包括有n 或关于n 的函数为指数的因子，那么用根值判别法，即ρ=∞→n lim n n u ，那么当1<ρ时∑∞=1n nu收敛，当1>ρ时∑∞=1n n u 发散。

若是n lim n n u →∞不易计算，或不存在，或存在为1，那么适当放大n u ,使得n n v u ≤，并对∑∞=1n n v 应用根值判别法，若是∑∞=1n n v 收敛，那么∑∞=1n n u 收敛；或适当缩小n u ，使得0>≥n n v u ，并对应用根值判别法，若是∑∞=1n n v 发散，那么∑∞=1n n u 发散。

(3)当n u 不是以上情形时，寻觅∞→n 时n u 的等价无穷小，可利用等价无穷小的经常使用公式和麦克劳林展开式，取得)0(~>C nCu n α，第八讲常数项级数敛散性的判别等价的通项，两级数应具有相同的敛散性。

因此当1>α时∑∞=1n n u 收敛；当1≤α时∑∞=1n nu发散。

级数敛散性判断研究式教学案例

级数敛散性判断研究式教学案例
教学内容：级数敛散性判断
教学目标：
1. 了解级数的定义和概念；
2. 掌握级数敛散的概念；
3. 学会判断级数敛散性的方法；
4. 解决相应的例题。

教学过程：
1. 引入：通过一道简单的题目来引出级数敛散性判断的概念。

2. 概念讲解：对级数及其敛散性进行详细的讲解和解释。

3. 方法学习：讲解级数敛散时，教师应重点介绍级数敛散的方法和技巧，如比值判别法、根值判别法、积分判别法等。

4. 实例演练：通过几个典型的例题来展示不同的判别方法，让学生自己操作并尝试解决问题。

5. 深入讲解：对于难度较高的例题，教师还需要进行深入的讲解，并指出相应的重点和难点。

6. 综合练习：设置一些多种方法互相混合的例题，让学生根据自己的经验和掌握的方法来选择适当的判别方法。

7. 思考拓展：通过一些思考性的题目来拓展学生的思维能力，并提高他们的综合解决问题的能力。

教学方法：讲授、实例操作、互动探究、课后练习。

教学资源与技术：PPT、互联网、计算器、板书、课件等。

教学评价：
通过教学，能够达到以下目标：
1. 学生了解级数的定义和概念，掌握级数敛散的概念。

2. 学生掌握判断级数敛散性的方法，熟练进行操作。

3. 学生可以针对不同的例题，选择适当的判别方法进行解题。

4. 学生能够熟练地运用所学知识，解决与级数敛散性有关的问题。

5. 学生通过本次学习，也进一步提高了自己的分析和解决问题的能力。

数项级数的敛散性的练习题及解析

数项级数的敛散性的练习题及解析一、单项选择题（每小题4分，共24分） 1．若lim 0n n U →∞=则常数项级数1nn U∞=∑（ D ）A ．发散 B.条件收敛 C ．绝对收敛 D .不一定收敛解：1lim 0n n →∞=，但11n n ∞=∑发散；21lim 0n n →∞=，但211n n∞=∑收敛选D2．设1nn U∞=∑收敛，则下列级数一定收敛的是（ B ）A ．1nn U∞=∑ B.()12008nn U ∞=∑C ．()10.001n n U ∞=+∑ D ．11n uU ∞=∑解：()12008nn U ∞=∑＝20081nn U∞=∑1nn U ∞=∑收敛∴由性质()12008nn U ∞=∑收敛3．下列级数中一定收敛的是…( A )A ．21014n n ∞=-∑ B ．10244n n nn ∞=-∑ C ．101nn n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑ D+… 解：214n U n =-0n ≥21n=lim 1n n nU V →∞=，且2101n n ∞=∑收敛，由比较法21014n n ∞=-∑收敛 4．下列级数条件收敛的是……（ C ）A ．11n n n ∞=+∑n（－1） B ．()211nn n ∞=-∑C ．1nn ∞=- D ．()1312nnn ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑ 解：（1）n ∞∞=n=1发散（112p =<）（2）11nn ∞=-为莱布尼兹级数收敛，选C5．级数()111cos nn k n ∞=⎛⎫-- ⎪⎝⎭∑ （k>0）…（ B ）A ．发散B ．绝对收敛C ．条件收敛D ．敛散性与K 相关解：11(1)(1cos )1cos nn n k k n n ∞∞-=⎛⎫--=- ⎪⎝⎭∑∑1cos n kU n=-222k n =lim 1n n nU V →∞=且1n n V ∞=∑收敛，故选B 6．设正项极数!1lim n nn n nU U p U∞+→∞==∑若则（D ）A..当0<p<+∞时，级数收敛B.当p<1时级数收敛，p ≥1时级数发散C.当p ≤1时级数收敛，p>1时级数发散D.当p<1时级数收敛，p>1时级数发散解：当P<1时级数收敛，当P>1时级数发散，当P ＝1时失效。

习题课讲义(级数)

丄，Sn=1」+ —-+_—=1——T 1(n T^(n +1! 2! 2! 3! n! (n +1 ) (n +1)第九讲：无穷级数一、常数项级数1、概念与性质：（1）数列t u j 中的各项用加号连接的形式： U1+U 2 +■…□c+ u n +…=2 U n 称为无穷项n 二1数项级数，第n 项称为一般项（通项）。

n oc数列s n =送U n 称为级数s U n 的前n 项之和（部分和），若n ms n = S ，则称级数Z U n 的和为S ，级数艺U n 收敛；若lim S n 不存在, n£ ni F 则称级数送U n 发散。

n4oC oC若级数2 U n 收敛，r n =S-S n 称为级数送U n n 二 n 二的余项，lim r n =0。

n _jpc例1判定下列级数的敛散性: 解：U n =ln 1 中一1 = 1 n (n +1 )-|n n ， V n 丿 S n = In2-In1+In 3- I n2+…+ln (1+n )-lnn =ln (1 + n l 处(n T 处故S In nd ：〔1+1 ］发散; V n 丿解: U n□c故 2(n +1! 收敛;③调和级数：2 1；n# nn!(2) 性质:ii 、改变级数的有限项，不会改变级数的敛散性;□C OC推论：送U n 与无U n 同敛散;n=1n =N +边 1巳― +[(2k -1 2(2k 门1—Lh . J , I k#(2k-1f 4+1Q1 < 1解：由一 >1 n |1 + — 1 = 1 n (n+1 )_|n n , n I n 丿 1 1S^ =1 +- +…+— >1 n2 - In1 + ln 3-1 n2 +…+ln (n +1)—1 n n = ln (n + 1 □C 1（n T 处），故级数2 —发散。

n4 n④几何级数: Z aqnA4-q' 发散,d e q >1⑤p —级数: £1-n 吕n P (p >0 冶［收敛，p A 1 改散,p 兰1i 、设a 、P 为常数,□c若送U nn =1oCoCZ V n 收敛，则送(a U nn=1P V n ）也收敛，且n=3推论: 比如: □C 2 (a U n + Pv n ) = aZ ni□c常数 k H 0 , 2 ku n n z!证明级数2： 2发散心n □CU nn 二□c与S u n 同敛散;n=1处2 处：因为£ -与送-同敛散，又心n 心n比1 处2 Z 1发散，故级数£ -发散; nT n 心 n注意: 至2 处1处Z 2工22 1, Z心门 n^n nd ： o ’1 比 1+丄 Hy 1+y —2 厶厶 2iii 、收敛级数“加括号” 则原级数必发散）后所得的级数仍收敛于原来的和;（“加括号”后所得的级数发散,□Civ 、若级数W U n 收敛，则n z1□C 1则送沪发散。

8.2数项级数敛散性判定(一)

(上界)

正项级数 un收敛
它的部分和数列 Sn有界.
n1
否则,
若数列

Sn
无界, 则

lim
n
Sn
,
从而
正项级数 un发散, 记为 un .
n1
n1
二、正项级数的敛散性判别法
正项级数敛散性的判别法较多，只介绍几个最基本、
最常用的判别法。

定理(比较判别法1) 设 un和 vn均为正项级数，
且 un

vn(n

1, 2,
),
n1
n1
(1)若 vn 收敛,则 un 收敛；（大敛则小敛）
n1
n1
(2)若 un 发散，则 vn 发散. （小散则大散）
证明
n1
(1) 设 Sn
n
n1
uk , Tn
n
vk , un vn ,
且 Sn u1
第二节
数项级数敛散性判别法
一、比较判别法
第七章无穷级数
二、比值判别法
三、根值判别法
四、绝对收敛与条件收敛
复习
（一）数项级数的基本概念

un u1 u2 u3 un
n1
前n项部分和Sn u1 u2 un , 部分和数列 Sn
（二）级数的基本性质
23
n

1 (1)n1
1 01 0
均为正项级数
...
n1
2
一、正项级数及其敛散性
由正项级数的定义,可得正项级数的性质
性质如果正项级数 un的部分和为 Sn , 则 n1

高数-任意项级数敛散性判别法

x)
.
所以当x ≥ 1时 , f ( x) ≤ 0 .
即函数
f
(x)
2x 1 x2
单调减小.
即 un un+1 (n = 1 , 2 , 3 , ) .
(
n1
1 )n1
2n 1 n2
又
lim
n
un
lim
n
2n 1 n2
0
.
因此交错级数 (1)n1
n1
2n 1 n2
收敛
.
二、绝对收敛与条件收敛
高等数学第十二章第三节
任意项级数敛散性判别法
第三节任意项级数敛散性判别法
一、交错级数及其审敛法二、绝对收敛与条件收敛三、小结提高题
一、交错级数收敛性判别法
在级数 un 中，总含有无穷多个正项和负项 n1
叫任意项级数.
1.定义：如果级数的各项是正、负交错的，即
(-1)n-1 un = u1 - u2 + u3 - u4 +
如下：
u1v1, u1v2, u1v3, u2v1, u2v2, u2v3,
u3v1, u3v2, u3v3,
,
u1v
，
n
,
u2v
，
n
,
u3v
，
n
unv1, unv2, unv3,
,
un
v
，
n
将它们排成下面形状的数列.
对角线法
u1v1
u2v1
u3v1
u4v1
u1v 2 u2v 2 u3v2 u4v2
定义2 如果级数 un 收敛，则称级数 un 绝对收敛；
n=1
n=1

[理学]第二节正项级数敛散性的判别

u 取特殊值 vn n (对 )
则 (1)当 0 c 时,
√ u 与 v
n 1 n n 1
目标: c1vn un c2vn

n
有相同的敛散性;

v n 收敛, un 也收敛; (2)当 c 0 时,若 n 1 n 1
v n 发散, un 也发散. (3)当 c 时,若 n 1 n 1
1
1 2 且 n n 1

收敛, 故 n 2 n

1 n n
2
收敛.
1 例2 判断 p 级数 n p 的敛散性. n 1 1 1 1 解当 p 1时 n p n 而 n 发散 n 1

1 故 n p发散. n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 当 p 1时 1 p p p p p p p p (1) 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( p p ) ( p p p p ) ( p p p ) ( 2) 2 3 4 5 6 7 8 9 15
则 (1)当 0 c 时,
n 1 n n 1 n
目标: c1vn un

u 与 v 有相同的敛散性;
v n 收敛, un 也收敛; (2)当 c 0 时,若 n 1 n 1
v n 发散, un 也发散. (3)当 c 时,若 n 1 n 1
从而故

un1 un
lim un 0
n
un 发散. 所以 n 1
un1 lim l 时 , 因 (2)当 n u n
故对 M 1 0, 存在正整数 N , 当 n N 时, 有即故

7.2正项级数敛散性的判别基础教学

n1
ln n
lim n2
n 1
limln n
n
而
n1
1 n2
收敛,
n2
n1
lnn2n的敛散性依据该定理无法判别.
ln n
1
lim n2 n 1
3
n2
ln n
lim
n
1
n2
lim ln x x x
lim
x
x 1
lim 2 x
2x
1 0 x
而
1
3
收敛,
n n1 2
n1
lnn2n收敛.
5n1 n2
lim
n
1 5
n n
1
2
1 5
1
5n
级数
n1
n2 5n
收敛
,
从而
n1
n2
sin2 5n
n
5
收敛.
高级教学
26
例 2 (1)n
n1
2n
解：
un
2 (1)n 2n
3 2n
,
而
n1
3 2n
收敛,
2 (1)n
n1
2n
收敛.
1
但
un1 un
2 (1)n1 2[2 (1)n]
-
级数
n1
1 的特例！ np
1
n1 n
1 5
n n1 4
高级教学
8
例判断级数
1 的敛散性.
n1 n (n2 1)
解：
n
1 (n2
1)
1 n2
且
n1
1 n2
收敛,
所以原级数收敛.

正项级数敛散性的判别(2)

收敛
例7
n1 n1 n2 1
n1
lim
n
n2
1
1 1， n
发散
例8
1
n1 ln(1 n2 )
1
lim
n
ln(1
n2
)
1 n2
1，收敛
10
*例9
设常数
p
0
,试判别级数
n1
ln
np np
1
的敛散性.
解
lim
n
ln
n
p np
1
1 np
1
所以原级数当 p 1 时收敛，当 0 p 1 时发散.
从某项起,恒有un kvn ,(k 0) .
3
例1
判断级数
1
n1 sin 2n
的收敛性.
解
因为
0
s
in
1 2n
1 2n
,
而 1 收敛,
2n
n1
所以原级数收敛.
4
例2
讨论 p-级数
1 的收敛性(p 0 ).
np
n1
解
当
p 1 时,
1 np
1， n
y
而调和级数
1 发散,
n1 n
故原级数发散；
例10
(1 cos )
n1
n
解
lim(1 cos )
n
n
1 lim 1 ( )2
n2 n 2 n
1 2 n2 2 ,
收敛.
11
例11
1 n1 3n n
lim
n
3n
1
n
1 3n
1，
而 1 收敛, 所以原级数收敛. 3n n1

(整理)(习题解答)习题9-2常数项级数收敛性的判定.

习题 9-21.判断下列级数的敛散性.（1）1121n n ∞=-∑；（2）2111n n ∞=+∑；（3）11ln(1)n n ∞=+∑；（4）1n ∞=∑ （5）2111n n n ∞=++∑；（6）111nn p∞=+∑（0p >）．解：（1）1121n n ∞=-∑；方法一：（利用正项级数的比较判别法）因为1111111212222n n n n =>=--，而调和级数11n n ∞=∑发散，从而1111122n n n n ∞∞===∑∑也发散；由正项级数的比较判别法，得级数1121n n ∞=-∑发散。

方法二：（利用正项级数的比较判别法的极限形式）因为1121lim lim 1212n n n n n n →∞→∞-==-，而调和级数11n n∞=∑发散，则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数1121n n ∞=-∑发散。

（2）2111n n ∞=+∑；方法一：（利用正项级数的比较判别法）因为22111n n <+，而级数211n n ∞=∑收敛（p -级数的结论）；由正项级数的比较判别法，得级数2111n n ∞=+∑收敛。

方法二：（利用正项级数的比较判别法的极限形式）因为222211lim lim 111n n n n n n→∞→∞+==+，而级数211n n ∞=∑收敛（p -级数的结论），则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数2111n n ∞=+∑收敛。

（3）11ln(1)n n ∞=+∑；方法一：（利用正项级数的比较判别法）因为11ln(1)n n >+（1n ≥），且调和级数11n n∞=∑发散；则由正项级数的比较判别法，得级数11ln(1)n n ∞=+∑发散。

方法二：（利用正项级数的比较判别法的极限形式）因为1ln(1)lim lim 1ln(1)n n n n n n→∞→∞+=+，而1limlimlim (1)1ln(1)1x x x xx x x →+∞→+∞→+∞=+=+∞++洛必达法则，所以limln(1)n n n →∞=+∞+，即1ln(1)lim 1n n n→∞+=+∞，又调和级数11n n∞=∑发散，则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数11ln(1)n n ∞=+∑发散。

7.2 正项级数敛散性的判别-1

n! ∑ n 的敛散性例3. 判别级数 n=1 4 n! ( n + 1)! un+1 n + 1 解： un = n , un+1 = , = n+1 un 4 4 4 un+1 n+1 ∞ n! lim = lim = ∞ 故级数 ∑ 发散. 发散 n n→ ∞ u n→ ∞ 4 n =1 4 n ∞ n! 的敛散性(典型例题典型例题) 例4. 判别级数 ∑ n 的敛散性(典型例题) n =1 n n! ( n + 1)! , un+1 = ( n ) n 解：u n = n , un+1 = un n+1 n ( n + 1) n+1 un+1 1 lim = lim = 1 / e <1 n n→ ∞ u n→ ∞ (1 + 1 / n ) n ∞ n! 由比值判别法可知：收敛. 由比值判别法可知：级数 ∑ n 收敛 n =1 n
∞
y
1 y= p x
x 1 1 1 n dx + p + ... + p < ∫1 p 0 1 2 3 ... n − 1 n p 2 3 n x ∞ 1 dx x 1− p n 1 n ⇒ ∑ p 收敛 S n < 1 + ∫1 p = 1 + |1 < 1 + n =1 n 1− p 1− p x
1 我们称级数 ∑ p 为 p 级数 n =1 n
到目前为止，我们已知两类敛散性确定的级数：到目前为止，我们已知两类敛散性确定的级数：
∞
q 1 )几何级数 ∑ aq n=1 q ∞ 1 p 2 ) P − 级数 ∑ p n=1n p
∞ n −1

级数敛散性判断习题

n 1

(c n a n ) a n 收敛
n 1
n 1
例2. 判别下列级数的敛散性:
1
提示: (1)

lim
n
nn
1 n
n

lim
n
1 nn
据比较审敛法的极限形式, 原级数发散 .
(3)
n1
n
cos 2 2n
nπ 3
:
, 原级数发散
0

n
cos 2 2n
(1 x 1)
例8
将 f(x)
x
展开成麦克劳林级数.
(x 1)(1 x)2
解
f
(x)

1 4(1 x)

1 4(1
x)

1 2(1
x)2
1 x n 1 (1)n x n 1 1 '
4 n0
4 n0
21 x
1 (1 (1)n )x n 1 nx n1
2
x 3n2 |
2 | x |3
n | un ( x) |
n
n
| n2 2 x 3n1 |
收敛域为 1 x 1 ,
62
62

n

xS( x) n2 2 x 3n n( 2x 3 )n
n1
n1
2x2
S(x) (1
2x 3 )2
x ( 1 , 1 ) 62 62
例5

求级数
x 2n 收敛域及和函数.
n0 (2n)!
解 lim | un1 ( x) | lim x 2n2 (2n)! 0 n | un ( x) | n (2n 2)! x 2n

___级数的敛散性判别习题课.ppt

当a ? 1时,
? 当a ? 1时,级数化为 ? (? 1)n 1 条件收 .
n? 1
n
当a ? ? 1时,级数
? 结论: ? ( ? 1)n a n
n? 1
n
??化1
n?1 n
发为
.散
当 a ? 1时 , 级数绝对收敛 .
当 a ? 1及 a ? ? 1时 , 级数发散 .
当 a ? 1时 , 级数条件收. 敛
函数项级数? un( x)的所有收敛点的全体称为收敛域, n? 1
所有发散点的全体称为发散域.
(3) 和函数
在收敛域上,函数项级数的和是x 的函数s( x) ,
称 s( x)为函数项级数的和函数.
二、典型例题
例1 (1)
判断级数敛散性 :
1
n?
? n ?
n
n?1 (n ? 1 )n ;
n
1
1
解
un ?
{nan}
例8
?
设数列{na
n
}的极限存在，级数 ?
? ? n(a n ? a n?1 ) 收敛，证明级数 a n 亦收敛。
n?1
n?1
证明 ?
{na } ? 设数列
n
的极限为A ，级数
?
n(an ?
n?1
a n?1 )
的
T ? 部分和为
，级数
n
a n 的部分和为 Sn
n?1
注意到等式
n?1
n
? ? an ? nan ? ka( k ? ak?1)
1
1
? un ? n ? ln n ? (n ? 1) ? ln( n ? 1) ? un?1 (n ? 1),

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n
x
x x
exp{lim 1 } e0 1; x x
lim n
un
1
0,
根据级数收敛的必要条件，原级数收敛．
ncos2 n
(2)
n1
2n 3 ;
解
un
n
n vn 2n ,
lim vn1 v n
n
n 1 2n lim 2 n n n1
n1 lim 2n n
则 1时级数收敛; 1 时级数发散; 1时失效.
(5) 根值审敛法 (柯西判别法)
设 un 是正项级数,
n1
如果lim n n
un
(为数或 ),
则 1时级数收敛; 1时级数发散; 1时失效.
3、交错级数及其审敛法
定义正、负项相间的级数称为交错级数.
(1)n1un或 (1)nun (其中un 0)
n1
(2) 比较审敛法的极限形式
设
n1
un
与
n1
vn
都是正项级数,如果lim n
un vn
l
,
则(1) 当0 l 时,二级数有相同的敛散性;
(2) 当l 0 时，若 vn 收敛,则 un 收敛;
n1
n1
(3) 当l 时, 若 vn 发散,则 un 发散;
n1
n1
(3) 极限审敛法
lim ln n lim ln x lim 1 0,
n n
x x
x x
1
lim n n
1 ln n
lim
n
1
n ln n
0,
n
f ( x) x ln x ( x 0),
f ( x) 1 1 0 ( x 1), x
在 (1,) 上单增, 即 1 单减, x ln x
称s( x)为函数项级数的和函数.
二、典型例题
例1 判断级数敛散性 :
(1)
n 1
nn
n1 (n 1 )n ;
n
1
1
解
un
nn (n
nn 1 )n
(1
nn 1
)n
,
n
n2
lim(1
n
1 )n n2
lim[(1
n
1
1
)n2 ]n
n2
e0
1;
1
lim nn
1
lim x x
exp{lim 1 ln x}
n1
称为定义在区间I 上的(函数项)无穷级数.
(2) 收敛点与收敛域
如果 x0 I ,数项级数 un ( x0 )收敛,
n1
则称x0 为级数 un ( x)的收敛点,否则称为发散点.
n1
函数项级数 un( x)的所有收敛点的全体称为收敛域, n1
所有发散点的全体称为发散域.
(3) 和函数
在收敛域上,函数项级数的和是x 的函数s( x) ,
故 1 当 n 1时单减, n ln n
1
1
un n ln n (n 1) ln(n 1) un1 (n 1),
所以此交错级数收敛，故原级数是条件收敛．
问题:
交错级数 (1)n1 un , 如果它不满足 n1
设 un 为正项级数,
n1
如果lim n
nun
l
0
(或lim n
nun
),
则级数 un 发散;
n1
如果有 p 1,
使得lim n
n
p
un
存在,
则级数 un 收敛.
n1
(4) 比值审敛法(达朗贝尔 D’Alembert 判别法)
设
n1
un
是正项级数,如果lim n
un1 un
(数或 )
4.绝对收敛
4.充要条件 5.比较法 6.比值法 7.根值法
4.绝对收敛 5.交错级数 (莱布尼茨定理)
2、正项级数及其审敛法
定义
un , un 0
n1
审敛法正项级数收敛部分和所成的数列 sn有界.
(1) 比较审敛法
若 un 收敛(发散)且vn un (un vn ),
n1
则 vn 收敛(发散).
性质2:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.
性质3:在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性.
性质4:收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和.
级数收敛的必要条件:
lim
n
un
0.
常数项级数审敛法
一般项级数正项级数
任意项级数
1. 若 Sn S ,则级数收敛; 2. 当 n , un 0, 则级数发散; 3.按基本性质;
n1
n1
定义:若 un 收敛, 则称 un 为绝对收敛;
n1
n0
若 un 发散,而 un 收敛, 则称 un 为条件收敛.
n1
n1
n1
5、函数项级数
(1) 定义
设 u1( x), u2 ( x), , un ( x), 是定义在 I R 上
的函数,则 u1( x) u2 ( x) un ( x)
n1
n1
莱布尼茨定理如果交错级数满足条件:
( ⅰ )un
un1
(n
1,2,3,
);(
ⅱ
)
lim
n
un
0, 则
级数收敛 , 且其和 s u1, 其余项 rn 的绝对值
rn un1.
4、任意项级数及其审敛法
定义正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.
定理若 un 收敛,则 un 收敛.
,
原级数也发散．
n
例２
判断级数
n1
(1)n n ln n
是否收敛？如果收敛，
是条件收敛还是绝对收敛？
解
1 1, n ln n n
而 1 发散, n n1
(1)n
1 发散,
n1 n ln n n1 n ln n
即原级数非绝对收敛．
(1)n 是交错级数, 由莱布尼茨定理：
n1 n ln n
第十一章无穷级数
习题课一主要内容典型例题
1、常数项级数
定义
un u1 u2 u3 un
n1
n
级数的部分和 sn u1 u2 un ui
i 1
级数的收敛与发散
常数项级数收敛(发散)
lim
n
sn
存在(不存在).
收敛级数的基本性质
性质1: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变.
1 1, 2
n 收敛, 根据比较判别法，原级数收敛．
2n
n1
(3)
ln(n 2) n1 (a 1 )n
(a 0).
n
解
lim n
n
un
n
lim
n
ln(n 2) a1
1 lim n
a n
ln( n 2),
n
n 2 时, n 2 en , 从而有
1 n ln(n 2) n n,
由于 lim n n 1, n
lim n ln(n 2) 1,
n
lim n
n
un
1. a
当 a 0 即 0 1 1时, 原级数收敛； a
当 0 a 1即 1 1时, 原级数发散； a
当 a 1时,
原级数为
n1
ln(n (1
1
2), )n
n
lim
n
ln(n (1
2) 1 )n