数学建模减肥

4.模型假设
人体的脂肪是存储和提供能量的主要方式， (1) 人体的脂肪是存储和提供能量的主要方式，而且也是减肥的 主要目标。对于一个成年人来说体重主要由三部分组成：骨骼、 主要目标。对于一个成年人来说体重主要由三部分组成：骨骼、水 和脂肪。骨骼和水大体上可以认为是不变的， 和脂肪。骨骼和水大体上可以认为是不变的，我们不妨以人体脂肪 的重量作为体重的标志。已知脂肪的能量转换率为100% 的重量作为体重的标志。已知脂肪的能量转换率为100%，每千克脂 100 肪可以转换为4 焦耳的能量。 焦耳/千克， 肪可以转换为4.2×107焦耳的能量。记D=4.2×107焦耳/千克，称为 脂肪的能量转换系数。 脂肪的能量转换系数。 ），而与其他因 （2） 人体的体重仅仅看成是时间t的函数w（t），而与其他因 素无关，这意味着在研究减肥的过程中， 素无关，这意味着在研究减肥的过程中，我们忽略了个体间的差异 （年龄、性别、健康状况等）对减肥的影响。 年龄、性别、健康状况等）对减肥的影响。 体重随时间是连续变化的， （3） 体重随时间是连续变化的，即w（t）是连续函数且充分光 滑，因此可以认为能量的摄取和消耗是随时发生的。 因此可以认为能量的摄取和消耗是随时发生的。 不同的活动对能量的消耗是不同的，例如：体重分别为50 （4） 不同的活动对能量的消耗是不同的，例如：体重分别为50 千克和100千克的人都跑1000米 所消耗的能量显然是不同的。 千克和100千克的人都跑1000米，所消耗的能量显然是不同的。可 100千克的人都跑1000 见，活动对能量的消耗也不是一个简单的问题，但考虑到减肥的人 活动对能量的消耗也不是一个简单的问题， 会为自己制订一个合理且相对稳定的活动计划， 会为自己制订一个合理且相对稳定的活动计划，我们可以假设在单
D[w(t +∆t) − w(t)] = A∆t − B∫ w(s)ds −C∫ w(s)ds
t t
t+∆t
t+∆t
由积分中值定理有 其中 a 得
wt +∆t) −wt) = a∆t −bwt +θ∆t)∆t, θ ∈(0,1) , ( ( (
,
= A/ D ，
b =
B +C D , 两边同时除以Δt.并令Δt→0取极限 两边同时除以Δ 并令Δ
为模型的初始时刻， 设t=0为模型的初始时刻，这时人的体重为w（0）=w0。在模型 的两边同时乘以ebt得
e bt
即
dw (t ) + bw (t ) e bt = ae bt dt
d ( e bt w (t )) = a e bt dt
积分， 从0到t积分，并利用初值 w(0) = w0 得
a a a w(t ) = w0 e− bt + (1 − e− bt ) = + ( w0 − )e− bt b b b .
d w (t ) = a − b w (t ), dt
t > 0
这就是在一定简化层次上的减肥的数学模型。 这就是在一定简化层次上的减肥的数学模型。我们知道模型的 某些假设不十分合理，但我们希望求解模型， 某些假设不十分合理，但我们希望求解模型，看看能否说明一些问 题。
6.模型的求解 模型的求解
7.模型推广
1）
a b
是模型中的一个重要参数。 是模型中的一个重要参数。 a
的摄入而增加的体重。 的摄入而增加的体重。 是每天由于能量的消耗而 失去的体重。 即停止进食，无任何能量摄入， 失去的体重。 2） 假设a=0，即停止进食，无任何能量摄入，体重
b = (B + C) / D
= A / D 是每天由于能量
就很小，可以忽略，当t充分大时，
Байду номын сангаас
( w0 − a / b)e − bt 就很小，可以忽略，当t充分大时， 就很小，可以忽略， 充分大时，
w(t ) =
a A = b B + C 这表明任何人都不必为自己的体重担心（肥胖、 这表明任何人都不必为自己的体重担心（肥胖、
瘦小），从理论上讲，体重要多重就有多重，只要适当调节A 瘦小），从理论上讲，体重要多重就有多重，只要适当调节A（进 ），从理论上讲 ）、B 活动）、 ）、C 新陈代谢）。同时也说明了， ）。同时也说明了 食）、B（活动）、C（新陈代谢）。同时也说明了，任何减肥方法 都是考虑和调节上述三个要素：节食是调节A 活动是调节B 都是考虑和调节上述三个要素：节食是调节A、活动是调节B、减肥 药是调节C 由于C是基础代谢和食物特殊动力的消耗， 药是调节C。由于C是基础代谢和食物特殊动力的消耗，它不可能作 措施随着每个人的意愿进行改变， 为减肥的 措施随着每个人的意愿进行改变，对于每个人而言可以认 为是一个常数，有大量事实表明， 为是一个常数，有大量事实表明，通过调整新陈代谢的方法来减肥 是值得推敲的。于是我们有如下结论，减肥的效果主要由两个因素 是值得推敲的。于是我们有如下结论， 控制：进食摄取能量和活动消耗能量， 控制：进食摄取能量和活动消耗能量，从而减肥的两个重要措施是 控制饮食和增加活动量。这也是熟知的常识。 控制饮食和增加活动量。这也是熟知的常识。
dw <0 w* < w0 dt 容易证明 容易证明， 时有 容易证明，当且仅当 , 这表明只有当
时才有可能产生减肥的效果。 进一步讨论能量的摄取量A与活动消耗量B对减肥效果的影响。 4） 进一步讨论能量的摄取量A与活动消耗量B对减肥效果的影响。 由 的直线。根据背景知识， 0）斜率为w*的直线。根据背景知识，任何人通过饮食摄取的能量 不能低于用于维持正常生理功能所需要的能量。 不能低于用于维持正常生理功能所需要的能量。因此作为人体体重
A。
5.分析与建立模型
建模过程中，我们以“ 建模过程中，我们以“天”为时间单位。根据假设(3)，我们可 为时间单位。根据假设( 以在任何一个时间段内考虑能量的摄入和消耗所引起的体重的变 化。 根据能量的平衡原理， 根据能量的平衡原理，任何时间段内由于体重的改变所引起的 人体内能量的变化应该等于这段时间内摄入的能量与消耗的能量的 差。 考虑时间区间[ 内能量的改变，根据能量平衡原理， 考虑时间区间[t,t+Δt]内能量的改变，根据能量平衡原理，有
数学建模论文
学院： 学院：理学院 专业：物理10专业：物理10-1 10 题目： 题目：运动与摄食减肥问题 班级：10-1 姓名： 姓名：黄首亚
2012年03月29日 年 月 日
与摄食减肥问题 1.题目：运动与摄食减肥问题 题目：运动与摄食
2.摘要
随着社会的进步和发展，人们的生活水平不断提高。 随着社会的进步和发展，人们的生活水平不断提高。由于饮 食营养摄入量的不断改善和提高， 肥胖” 食营养摄入量的不断改善和提高，“肥胖”已经成为全社会关注的 一个重要的问题。减肥的方法也有很多。 一个重要的问题。减肥的方法也有很多。如何正确对待减肥是我们 必须考虑的问题。于是了解减肥的机理成为关键。背景材料: 必须考虑的问题。于是了解减肥的机理成为关键。背景材料: 根据 中国生理科学会修订并建议的我国人民的每日膳食指南可知： 中国生理科学会修订并建议的我国人民的每日膳食指南可知： 每日膳食中， （1） 每日膳食中，营养素的供给量是作为保证正常人身体健康 而提出的膳食质量标准。 而提出的膳食质量标准。如果人们在饮食中摄入营养素的数量低于 这个数量，将对身体产生不利的影响。 这个数量，将对身体产生不利的影响。 （2）人体的体重是评定膳食能量摄入适当与否的重要标志。 人体的体重是评定膳食能量摄入适当与否的重要标志。 （3）人们热能需要量的多少，主要决定于三个方面：维持人体 人们热能需要量的多少，主要决定于三个方面： 基本代谢所需的能量、 基本代谢所需的能量、从事劳动和其它活动所消耗的能量以及食物 的特殊动力作用（将食物转化为人体所需的能量）所消耗的能量。 的特殊动力作用（将食物转化为人体所需的能量）所消耗的能量。 （4）一般情况下，成年男子每一千克体重每小时平均消耗热量 一般情况下， 为4200焦耳。 4200焦耳。 焦耳 一般情况下，食用普通的混合膳食， （5） 一般情况下，食用普通的混合膳食，食物的特殊动力作用 所需要的额外的能量消耗相当于基础代谢的10% 所需要的额外的能量消耗相当于基础代谢的10%。 10
w(t +1) = w0e−b(t+1) = w0e−bt e−b = w(t)e−b ，
，
(wt)−wt +1 wt) =1−e−b. 自然 e− bt = w(t ) / w0 为[0，t]内的体 ( ( ))/ ( 所以
重保存率， 时刻体重占初始体重的百分率。 重保存率，它表明t时刻体重占初始体重的百分率。 基于上面的分析， 时刻的体重由两部分构成： 基于上面的分析， t 时刻的体重由两部分构成：一部分是初始体重 中由于能量消耗而被保存下来的部分， 中由于能量消耗而被保存下来的部分，另一部分是摄取能量而获得 的补充量，这一解释从直观上理解也是合理的。 的补充量，这一解释从直观上理解也是合理的。
0 时表明能 极限值的减肥效果指标一定存在一个下限w1，当 * 量的摄入过低，无法满足维持人体正常的生理功能所需要的能量。 量的摄入过低，无法满足维持人体正常的生理功能所需要的能量。 这时减肥所得到的结果不能认为是有效的，它将危及人体的健康， 这时减肥所得到的结果不能认为是有效的，它将危及人体的健康， 为减肥的临界指标。此外， 因而称w1为减肥的临界指标。此外，人们为减肥所采用的各种体力 活动对能量的消耗也有一个人体所能承受的范围， 活动对能量的消耗也有一个人体所能承受的范围，即存在B1使得
心如雨后春笋般出现, 心如雨后春笋般出现,现在我们也利用减肥的基本原理以及在减肥过 程中应注意的问题利用科学的原理,组建一个减肥的数学模型, 程中应注意的问题利用科学的原理,组建一个减肥的数学模型,从数 学的角度对有关的规律做进一步的探讨和分析。所以我们可以通过 学的角度对有关的规律做进一步的探讨和分析。 引入人的体重与时间的函数关系,建立了一个微分方程模型, 引入人的体重与时间的函数关系,建立了一个微分方程模型,采用离 散化方法,以天为单位,从数学的角度解决了每天的饮食摄入量、 散化方法,以天为单位,从数学的角度解决了每天的饮食摄入量、运 动强度与体重的关系,以探索减肥的科学方法。 动强度与体重的关系,以探索减肥的科学方法。
t →+∞ 3 3）由上面的模型可得
lim w(t ) =
a A A = w* = b B + C ,记 B+C ,也
就是说模型的解渐近稳定于
w * ，它给出了减肥的最终结果，称 它给出了减肥的最终结果，
，它给出了减肥的最终结果，称
w*
e−bt 衰减很快，在有限时间内， 为减肥效果指标。 衰减很快，在有限时间内， 为减肥效果指标。因为
w(t ) = w0 e − bt . 的变化（减少）完全是脂肪的消耗而产生。此时， 的变化（减少）完全是脂肪的消耗而产生。此时，
的变化（减少）完全是脂肪的消耗而产生。此时， 不进食的节食减肥法是危险的。 （1）不进食的节食减肥法是危险的。因为 t →+∞ （脂肪）都消耗尽了，如何能活命！ 脂肪）都消耗尽了，如何能活命！ .
lim w(t ) = 0
, 即体重
（2 （2）当a=0时，有
( w0 − w(t )) / w0 = 1 − e − bt
, 这表明在 [0, t ]
1 − e−bt ，称之为 [0, t ] 内体重消耗率，特别 内体重消耗率， 内体重减少的百分率为
1 − e−b 是单位时间内的体重的消耗率，事实上， 是单位时间内的体重的消耗率，事实上， 地，
位时间（ 位时间（1日）内人体活动所消耗的能量与其体重成正比，记B为每 内人体活动所消耗的能量与其体重成正比， 1千克体重每天因活动所消耗的能量。 千克体重每天因活动所消耗的能量。 （5） 单位时间内人体用于基础代谢和食物特殊动力作用所消耗 的能量正比于人的体重。 的能量正比于人的体重。记C为1千克体重每天消耗的能量。 千克体重每天消耗的能量。 减肥者一般对自己的饮食有相对严格的控制， （6） 减肥者一般对自己的饮食有相对严格的控制，在本问题 中，为简单计，我们可以假设人体每天摄入的能量是一定的，记为 为简单计，我们可以假设人体每天摄入的能量是一定的，
3.问题重述
随着人们的生活水平的日渐提高, 随着人们的生活水平的日渐提高,饮食营养摄入的不断改善和提 高“,肥胖”已成为全社会关注的一个重要问题,肥胖无论从审美或 肥胖”已成为全社会关注的一个重要问题, 健康的角度,都严重地威胁到人们,各种减肥食品、 健康的角度,都严重地威胁到人们,各种减肥食品、药物或是健美中